10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую переменную х неизвестную функцию ух и ее производные или их дифференциалы d d d d В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение записывается следующим образом: F = Если из этого уравнения старшую производную выразить через остальные переменные = f - то полученное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной Заданная функция f и ее первообразная связаны простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением разрешенным относительно производной = f В дальнейшем рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения поэтому термин обыкновенные будет опущен Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной или дифференциала входящей в уравнение Например: = х дифференциальные уравнения первого порядка; 5 e дифференциальное уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение третьего порядка разрешенное относительно старшей производной Решением дифференциального уравнения F = называется функция у = х определенная вместе с соответствующими производными в интервале а b если она обращает исходное уравнение в тождество на интервале а b Например в дифференциальном уравнении = х неизвестную функцию ух можно рассматривать как первообразную для заданной на интервале функции f = х Поэтому в соответствии с правилом определения первообразной решение рассматриваемого дифференциального уравнения может быть найдено интегрированием функции f = х : d C В том что функция C является решением заданного дифференциального уравнения на интервале х можно убедиться подставив ее в это уравнение Действительно C поэтому приходим к тождеству х х справедливому для всех Процесс нахождения решения заданного дифференциального уравнения еще называется интегрированием этого уравнения а график функции у = х на плоскости О являющейся решением дифференциального уравнения интегральной кривой Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении их решений и изучении их свойств Для дифференциального уравнения Задача Коши для дифференциального уравнения F = 6

2 числа называются начальными значениями а соотношения начальными условиями или начальными данными Задачей Коши для дифференциального уравнения F = называется задача нахождения решения этого уравнения удовлетворяющего начальным условиям Пример Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющего при начальном значении х = начальному условию у = d Решение Так как d C то при х = для определения неизвестной постоянной С получим алгебраическое уравнение + С = решив которое найдём С = Следовательно решением исходной задачи Коши является функция Теорема Если в дифференциальном уравнении у = f - функция f непрерывна в некоторой области D изменения переменных и имеет в ней непрерывные частные производные по переменным то в области D существует единственное решение любой задачи Коши с начальными данными из области D те для D Геометрическое содержание задачи Коши наиболее просто устанавливается для дифференциального уравнения первого порядка f Ее смысл заключается в выделении из всего множества решений заданного дифференциального уравнения такой интегральной кривой ух = х С которая проходит через заданную точку ; области D плоскости О Общее частное и особое решения дифференциального уравнения его общий и частный интегралы Общим решением дифференциального уравнения F = называется функция у = х С С С зависящая от независимой переменной х и произвольных постоянных С С С и удовлетворяющая следующим условиям: функция у = х С С С является решением исходного уравнения; для заданных начальных условий из области D где определено дифференциальное уравнение существуют такие значения С С С при которых функция у = х С С С решает задачу Коши соответствующую заданным начальным условиям Решение которое получено из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным решением Пример Найти общее и частное решения задачи Коши cos 4 Решение Дважды последовательно интегрируя функцию в правой части дифференциального уравнения получим его общее решение cos C C 4 7

3 Для определения С подставим начальное условие у = /4 в общее решение: C откуда 4 4 C Для определения постоянной С продифференцируем общее решение по переменной х и учтем второе начальное условие В результате получим = + С и С = Следовательно частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид ух = = + х 5cos Особым решением называется такое решение которое нельзя получить из общего ни при каких конечных или бесконечных значениях произвольных постоянных На кривых являющихся особыми решениями нарушаются условия теоремы о единственности решения дифференциального уравнения В частности на таких кривых частные производные от функции f по переменным могут быть неограниченны Условие неограниченности частных производных функции f по переменным позволяет выделить кривую = х подозрительную на особое решение не решая заданного дифференциального уравнения Для подтверждения факта принадлежности выделенной кривой к особому решению следует проверить удовлетворяет ли функция = х заданному дифференциальному уравнению и если удовлетворяет то найденное решение особое Например для уравнения кривая у = подозрительна на особое решение так как частная производная от функции f по переменной у неограниченна при у = Однако найденная кривая у = не является особым решением потому что функция у = не удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению Если решения дифференциального уравнения найдены то при выделении из них особого решения следует иметь в виду что оно не содержится в формуле общего решения общего интеграла ни при каком численном значении произвольной постоянной С включая предельные случаи С Особое решение может получаться из формулы общего решения лишь при замене С на некоторую функцию С = Сх Например непосредственной подстановкой можно убедиться что дифференциальное уравнение R имеет два решения у = R и R C Так как первое из них у = R невозможно получить из второго ни при каком конкретном значении постоянной С а лишь приравняв С независимой переменной х то решение у = R особое В том что решение у = R особое можно убедиться и иначе Запишем исходное дифференциальное уравнение следующим образом: производная по переменной у от правой части уравнения R / Так как R и неограниченна при у = R то R это решение особое в том что у = R решение убеждаемся непосредственной подстановкой функции у = R в исходное уравнение Решение дифференциального уравнения выраженное в неявной форме х у С С С = называется общим интегралом Если в общем интеграле постоянные С С С приняли конкретные значения то найденное решение называется частным интегралом Геометрически общий интеграл как и общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на координатной плоскости О зависящее от произвольных постоянных С С С Частному интегралу как и частному решению соответствует одна кривая этого семейства проходящая через заданную точку координатной плоскости Например для дифференциального уравнения общий интеграл записывается в виде у + х С = Если исходное дифференциальное уравнение дополнить начальным соотношением у = 4 то частным интегралом этого уравнения будет х + у 6 = ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальные уравнения с разделенными переменными Дифференциальное уравнение вида f d f d в котором f f непрерывные функции называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными Метод нахождения решений таких уравнений основан на их непосредственном интегрировании Теорема Общий интеграл дифференциального уравнения с разделенными переменными имеет вид f d f d C 8

4 где С произвольная постоянная Доказательство Пусть у = ух решение дифференциального уравнения с разделенными переменными Тогда Интегрируем последнее равенство: После замены переменной ух = у следует d f d f f d f d C f d f d C Замечание Особых решений уравнение с разделенными переменными не имеет Пример Решить уравнение si d d Решение Запишем общий интеграл уравнения Выполним интегрирование в левой части: si d d C l cos C Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение вида f g d f g d в котором f g непрерывные функции не равные тождественно нулю называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Метод нахождения решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными основан на приведении их с помощью алгебраических преобразований к уравнениям с разделенными переменными Такие преобразования осуществляются переносом слагаемых из одной части уравнения в другую путем умножения или деления обеих частей уравнения на общий множитель и тп В частности в результате деления обеих частей исходного уравнения на f g получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными общий интеграл которого может быть записан в виде f g d d f g f g d d C f g Пример 4 Решить уравнение arcgd d Решение Это уравнение с разделяющимися переменными в котором g f arcg f g Разделив обе части заданного уравнения на не равный тождественному нулю множитель f g придём к дифференциальному уравнению с разделенными переменными arcg d d Почленным интегрированием получим общий интеграл 9

5 откуда arcg d d C arcg l C Пример 5 Решить уравнение d d с начальным условием у = при х = Решение Разделяя переменные получим d d d d C C Так как у = при х = то постоянная С = Частный интеграл исходного уравнения имеет вид Замечание Если на линии у = у функция g обращается в нуль то для дифференциального уравнения f g d f g d постоянная у = у является решением уравнения Это решение будет особым если его можно получить из общего решения уравнения лишь приняв С за некоторую функцию независимой переменной х Аналогичный вывод справедлив относительно решения х = х если функция f х равна нулю Других особых решений нет Пример 6 Решить уравнение d d Решение Разделим обе части заданного уравнения на полагаем что ху : d d d d C C Решения х = и у = особые Первое из них найдём из общего интеграла полагая C = а второе полагая C = Пример 7 Решить уравнение d d Решение В заданном уравнении f f g g поэтому разделив обе части уравнения на множитель f g полагаем ху придем к уравнению Интегрируя запишем общий интеграл d d l l lc 5 откуда Cе Приняв С = получим ху = Следовательно решения х = и у = частные Некоторые дифференциальные уравнения вида Однородные дифференциальные уравнения F d F d не допускают разделения переменных с помощью алгебраических преобразований Примером такого уравнения является уравнение d d d d

6 в котором переменные не разделяются алгебраическим способом из-за того что есть комбинация вида + Тем не менее дифференциальные уравнения рассматриваемого типа можно преобразовать к уравнениям с разделяющимися переменными если входящие в них функции F однородные Функция f называется однородной степени если f f Например однородными нулевой и второй степени являются функции f / f так как для первой из них справедливы равенства а для второй Дифференциальное уравнение вида f o f f f F d F d и называется однородным если не равные тождественно нулю функции F однородные функции одинаковой степени Метод интегрирования однородного уравнения основан на преобразовании его к уравнению с разделяющимися переменными что достигается введением новой зависимой переменной связанной с у равенством Действительно пусть в уравнении F d F d функции F однородные функции степени Замена позволяет преобразовать их и дифференциал переменной у следующим образом: F d d d F Введя обозначения F f и выполнив приведение подобных членов в заданном уравнении преобразуем его к виду f f d f d При х придем к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными f d f d f Разделение переменных в полученном уравнении осуществляется делением его на не равное нулю произведение f f : Затем после интегрирования получим d d f d f f f d f d C или l C f f f f Если интеграл по переменной берется то после его вычисления и замены = х/ найдем общий интеграл исходного дифференциального уравнения Пример 8 Решить уравнение d d Решение Так как функции F и F являются однородными второй степени то исходное дифференциальное уравнение однородное Введем новую переменную связанную с у зависимостью = Найдем d d d и исключим и d из исходного дифференциального уравнения: d d d

7 После приведения подобных членов и деления на х получим d d последнем уравнении запишем после интегрирования получим Учитывая что = /х окончательно имеем d d l l C l C Разделяя переменные в В некоторых случаях за зависимую переменную удобнее принимать х а за независимую у Тогда в однородном уравнении следует делать замену Пример 9 Решить уравнение d d Решение Перепишем однородное уравнение в виде Теперь сделаем замену тогда и следовательно Разделяя переменные получим Откуда общий интеграл уравнения d d C l lе C 4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения Бернулли Дифференциальное уравнение вида p q в котором p q непрерывные на некотором интервале a b функции называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка Если функция q тождественно не равна нулю то линейное уравнение называется неоднородным в противном случае однородным Однородное линейное уравнение относится к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными Так как методы решения таких уравнений были рассмотрены в разделе то в дальнейшем будем полагать что q Дифференциальное уравнение вида p q в котором p q непрерывные на некотором интервале a b функции называется дифференциальным уравнением Бернулли При = уравнение Бернулли вырождается в линейное а при = с помощью алгебраических преобразований приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными см раздел В общем случае и уравнение Бернулли нелинейное относительно неизвестной функции ух Введением новой зависимой переменной zх: / z уравнение Бернулли преобразуется к линейному уравнению Действительно принимая во внимание что

8 получим для функции zх уравнение z z делением обеих частей которого на z z p z q z z окончательно найдём z p z q Таким образом методы решения линейного уравнения и уравнения Бернулли должны быть аналогичны Простейший из них указал Бернулли Суть этого метода состоит в представлении неизвестного решения ух линейного уравнения в виде произведения двух дифференцируемых функций uх и vх одна из которых удовлетворяет дополнительному условию Это условие позволяет последовательно произвести преобразование исходного линейного уравнения или уравнения Бернулли к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными методы интегрирования которых известны см раздел Действительно примем ух = uхvх тогда у х = u хvх + uхv х Подставим выражения для искомой функции ух и ее производной у х в исходное линейное дифференциальное уравнение и получим u хvх + uхv х + рхuхvх = qх Примем дополнительное условие функции две а уравнение одно! uхv х + рхuхvх = тогда u v p v Следовательно имеем два дифференциальных уравнения с разделяющими переменными Решим первое из уравнений: v + р v = ; u v = q dv dv p v p d ; d v lv p d lc и поэтому е p d v C Определив v неизвестную функцию uх получим из решения второго уравнения u C e p d u C q du q e C q e C Следовательно общее решение линейного уравнения имеет вид е p d p d C е q d p d p d d d Пример Решить уравнение Решение Это линейное уравнение его решение ищем в виде uv Тогда uv uv uv uv uv и получим два дифференциальных уравнения с разделяющимися v переменными: v и u v Первое из этих уравнений после разделения переменных принимает вид dv d lv l v Определив v решим второе уравнение которому удовлетворяет v

9 6 5 функция и: u u C Следовательно общее решение исходного уравнения имеет вид 6 4 C u v В некоторых случаях решение линейного уравнения удобнее разыскивать принимая за 6 зависимую переменную х а у за независимую Пример Решить уравнение Решение Это нелинейное уравнение и его решение удобнее искать принимая переменную х за d зависимую Тогда учитывая что исходное уравнение можно преобразовать к виду d d d d Это линейное уравнение относительно Его решение будем искать в d виде uv v u v uv uv uv uv v ; uv Решение первого из этих уравнений: Определив v функцию и найдём из уравнения dv v d lv l v u u C d u C Следовательно общее решение исходного уравнения может быть записано в виде uv C Общее решение уравнения Бернулли можно построить аналогично Однако возможен и иной подход Принимая во внимание что замена z преобразует уравнение Бернулли к линейному общее решение которого записывается в виде е p d е p d z C q d можем сразу записать общее решение уравнения Бернулли p d p d е C q е Наличие особых решений у линейного уравнения и уравнения Бернулли можно установить с помощью теоремы о существовании единственного решения см раздел Представим эти уравнения в виде f где f q p При = рассматриваемое уравнение - линейное Если функции q и p непрерывны на некотором интервале a b то f также непрерывна поэтому особых решений линейное уравнение не имеет При > это уравнение Бернулли которое имеет решение у = При условии < < указанное решение особое так как f не существует при у = Если > то решение у = частное Пример Решить уравнение Решение Это уравнение Бернулли его решение ищем в виде d uv u v uv uv uv uv uv 4

10 Функцию v найдем из уравнения v v v Для определения функции и используем уравнение u v u u u 7 du d 7 u u 6 6 C 6 u 6 u 6 C 6 C Общее решение исходного уравнения имеет вид uv Особых решений у C 6 рассматриваемого уравнения нет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Представить общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения -го порядка F = через элементарные функции удается очень редко Чаще решение таких уравнений можно выразить через «неберущиеся» интегралы В этих случаях говорят что общее решение или общий интеграл уравнения представлено в квадратурах Рассмотрим некоторые простейшие случаи дифференциальных уравнений -го порядка и методы их интегрирования Дифференциальное уравнение вида Дифференциальные уравнения вида = f = f в котором функция f непрерывна на некотором интервале а b является простейшим уравнением -го порядка Общее решение такого уравнения всегда существует а особых решений уравнение не имеет Метод интегрирования рассматриваемого дифференциального уравнения основан на его последовательном преобразовании к уравнениям первого порядка с разделенными переменными для некоторой вспомогательной функции z Такое преобразование исходного уравнения осуществляется введением новой функции z = у d Так как у то у d х z В результате d d исходное уравнение -го порядка преобразуется к дифференциальному уравнению с разделяющимися d переменными см раздел z f или dz f d откуда d z = f d + C или - = f d + C Поступая аналогично - раз найдём общее решение: dd f d С C C C раз Дифференциальные уравнения высших порядков не содержащие искомой функции Дифференциальное уравнение вида F называется уравнением -го порядка не содержащим искомой функции у Уравнения рассматриваемого типа лишь в некоторых случаях могут быть проинтегрированы в квадратурах Выясним возможности такого исхода на примере дифференциального уравнения второго порядка вида F 5

11 Метод интегрирования этого дифференциального уравнения основан на преобразовании его к уравнению первого порядка с помощью введения новой зависимой переменной z которая связана с искомой функцией у соотношением у z В результате такой замены переменной в рассматриваемом дифференциальном уравнении на единицу понижается порядок В том случае когда удается найти общее решение z f C уравнения F z z исходное дифференциальное уравнение второго порядка можно проинтегрировать в квадратурах Действительно так как у z то зная общее решение z f C для определения неизвестной функции у получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными у f C Его решение может быть записано в виде у f C d C Если же удается найти лишь общий интеграл х z C = уравнения F z z то решение этого уравнения можно иногда построить в параметрической форме Пример Решить уравнение Решение Это дифференциальное уравнение второго порядка не содержащее искомой функции Введем новую зависимую переменную z у тогда исходное уравнение преобразуется к виду х z z Это dz d уравнение с разделяющимися переменными поэтому его можно записать в виде Интегрируя z найдём общий интеграл этого уравнения lz = lc и выделим из него общее решение z C / Следовательно заданное уравнение можно проинтегрировать в квадратурах Действительно так как z то возвращаясь к переменной у получим уравнение с разделяющимися переменными C / Интегрируя это уравнение окончательно найдём C C / Замечание Дифференциальное уравнение высшего порядка вида F с помощью замены переменной z приводится к дифференциальному уравнению первого порядка z z F Если для этого уравнения можно найти общее решение z f C то исходное дифференциальное уравнение приводится к уравнению f C и интегрируется в квадратурах в явном виде Если же общего решения уравнения F z z построить не удается то решение исходного уравнения в квадратурах иногда можно представить в параметрической форме Дифференциальное уравнение вида Дифференциальные уравнения высших порядков не содержащие независимой переменной F называется уравнением -го порядка не содержащим независимой переменной Уравнения рассматриваемого типа также могут быть проинтегрированы в квадратурах лишь в некоторых случаях Выясним возможности такого исхода на примере дифференциального уравнения второго порядка вида F Метод интегрирования этого дифференциального уравнения основан на преобразовании его к уравнению первого порядка с помощью введения новой зависимой переменной z которая связана с искомой функцией соотношением z В результате такой замены дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется к уравнению первого порядка Действительно так как d dz d z z z d d d то F z z z 6

12 Если удается найти общее решение z f C дифференциального уравнения F z z z то исходное уравнение можно проинтегрировать в квадратурах Действительно так как z то учитывая что z f C придем к дифференциальному уравнению с d разделяющимися переменными f C Откуда d Его общий интеграл f C d f C C Пример 4 Решить уравнение Решение Это уравнение второго порядка не содержащее независимой переменной Введем новую зависимую переменную z тогда принимая во внимание что zz придем к уравнению z z z Это уравнение распадается на два: z и z z Так как z то первое из уравнений имеет решение C Второе уравнение с разделяющимися переменными dz d z / Его общий интеграл может быть записан в виде l z lc Выделим из общего интеграла C C общее решение z Учитывая что z имеем уравнение Разделяя в нем / / / переменные найдём dcd Общий интеграл этого уравнения может быть записан в виде / 5/ d C d C откуда C C 5 Замечание Дифференциальное уравнение высшего порядка вида F с помощью замены z приводится к дифференциальному уравнению первого порядка F z z z Если удается найти общее решение этого уравнения z f C то исходное уравнение может быть приведено к виду f C Решение этого уравнения в некоторых случаях построить проще чем найти решение исходного 4 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -го ПОРЯДКА 4 Основные понятия и свойства Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами р х р х р х называется уравнение вида p p p Если в интервале а b функции р х = непрерывны то в этом интервале дифференциальное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее при х а b заданным начальным условиям Особых решений линейное однородное уравнение не имеет Например в линейном однородном дифференциальном уравнении второго порядка коэффициенты р х р х непрерывны в интервале ; поэтому в нем заданное уравнение имеет решение Теорема Если у х и у х решения линейного однородного дифференциального уравнения то функции у х + у х и Су х где С постоянная также его решения Доказательство По условию теоремы p p p p 7

13 Сложим эти уравнения и учтём что тогда Значит решение p p Аналогично основываясь на равенстве C C p C p C и следовательно C решение C можно записать C p p Следствие Если m решения линейного однородного дифференциального уравнения а C C C m произвольные постоянные то функция C C Cm m также является решением заданного уравнения 4 Линейная зависимость и независимость функций Вронскиан и его свойства Функции m называются линейно зависимыми на интервале а b если при всех х а b равенство C C Cm m выполняется для не равных одновременно нулю постоянных C C Cm Линейная зависимость функций m на интервале а b означает что хотя бы одна из них может быть выражена через остальные Например функции si х cos х линейно зависимы на интервале так как равенство C С si х C cos х = выполняется для всех х если C = C = C Функции m называются линейно независимыми на интервале а b если при всех х а b равенство C C C m m выполняется лишь в случае равенства нулю всех постоянных C C C т Например функции х х линейно независимы на интервале так как при произвольных не равных одновременно нулю постоянных С равенство C C C возможно лишь при некоторых х но не для всех х Если на интервале а b функции m имеют непрерывные производные до порядка т то определитель m w m m называется определителем Вронского или вронскианом Теорема Если функции и линейно зависимы на интервале а b то определитель Вронского тождественно равен нулю на этом интервале Доказательство Так как и линейно зависимые функции то C C причем m m m C C не равны нулю Следовательно где C C Так как / w то учитывая что получим 8

14 w при всех х а b Следствие Если w тождественно не равен нулю на интервале а b то на этом интервале функции и линейно независимые легко получается от «противного»! Замечание Аналогичные утверждения верны для любой системы функций Теорема Остроградского Лиувилля Если функции и решения на интервале а b линейного однородного дифференциального уравнения + p + p то справедлива формула для их вронскиана w w е Доказательство По условию теоремы функции и удовлетворяют дифференциальным уравнениям + p + p + p + p p d Умножив первое из этих уравнений на а второе на и сложив полученные произведения найдем Так как то + p w w поэтому вронскиан функций и удовлетворяет дифференциальному уравнению w p w Разделяя в нем переменные и интегрируя получим его общий интеграл где w = w откуда w dw p d w w p d p d w e или w w e w Из доказанной теоремы следует что если определитель Вронского w не обращается в нуль в некоторой точке х а b то w ни в одной точке на а b Если же w обращается в нуль хотя бы в одной точке х а b то w во всех точках а b Теорема Пусть на интервале а b функции решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка Тогда справедливо: если определитель Вронского w хотя бы в одной точке х а b не равен нулю то решения линейно независимые; если решения линейно независимые на интервале а b то определитель Вронского w отличен от нуля на этом интервале Сформулированная теорема дает простой критерий для проверки линейной зависимости или независимости совокупности функций являющихся решениями какого-либо линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка Например для системы функций х х которые очевидно являются решениями 9

15 w для всех х поэтому эти функции линейно независимы на всей числовой оси 4 Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения Теорема о структуре общего решения Совокупность линейно независимых в интервале а b решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения Теорема Для каждого линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными в интервале а b коэффициентами p p p существует фундаментальная система решений Установленные теоремой условия существования фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка не содержат способов его построения Однако показано что если решение некоторого линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка то введением новой зависимой переменной z связанной с равенством z d порядок заданного уравнения можно понизить на единицу Наибольший эффект такая замена может принести при решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка для которых доказана следующая теорема Теорема Лиувилля Если - решение дифференциального уравнения p p то его второе решение линейно независимое с первым определяется по формуле e p d d Доказательство Так как и линейно независимые решения то их определитель Вронского w отличен от нуля и в соответствии с формулой Остроградского Лиувилля справедливо равенство w = е p d C Рассмотрим отношение / и найдем его производную: p d e Интегрируя уравнение C которого следует что функция линейно независимым с w e p d e p d приходим к равенству C d d является вторым решением заданного уравнения Пример 5 Функция является решением дифференциального уравнения Построить второе его решение линейно независимое с первым Решение Так как в заданном дифференциальном уравнении функции p p непрерывны при то в интервале ; уравнение имеет решение По формуле Лиувилля d e d l из

16 Покажем что это решение линейно независимо с первым Раскрывая определитель Вронского получим w l l Таким образом w для всех х ; следовательно в этом интервале и линейно независимые решения Теорема о структуре общего решения Если функции составляют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка то его общее решение дается формулой C C C Доказательство Пусть фундаментальная система решений дифференциального уравнения Тогда если C C постоянные то функция C p p C C C также является решением Покажем что существуют такие значения постоянных C C C при которых функция решает задачу Коши для рассматриваемого дифференциального уравнения с любыми начальными условиями Найдем производные до -го порядка функции и потребуем чтобы выполнялись условия C C C C C C C C C C C C ; В полученной системе линейных алгебраических уравнений постоянные C C C являются неизвестными Так как определитель составленный из коэффициентов системы это определитель Вронского то он отличен от нуля Поэтому система имеет единственное решение C C C C C C которое может быть найдено по формулам Крамера Следовательно функция ; C C C представляет собой искомое частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям а значит общее решение Следствие Любые + решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка линейно зависимы si Пример 6 Одно решение уравнения известно: Построить его общее решение Решение По формуле Лиувилля

17 d si e si si d si cos d cg si Следовательно общее решение уравнения имеет вид C si cos C 44 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами a a a называется уравнение вида a a a a Способ построения фундаментальной системы решений такого уравнения принадлежит Эйлеру который предложил искать решения в виде е m m где = cos Тогда принимая во внимание что е исходное линейное однородное дифференциальное уравнение можно записать в виде Откуда учитывая отличие от нуля множителя е a a a е получим характеристическое уравнение a a a Из этого уравнения найдём неизвестный параметр а затем определим функции е удовлетворяющие однородному дифференциальному уравнению В общем случае 4 am произвольные действительные числа корни характеристического уравнения обычно определяются численно При 4 и любых действительных значениях коэффициентов a корни характеристического уравнения выражаются m аналитическими зависимостями Наиболее просто корни i характеристического уравнения определяются для квадратного уравнения a a для которого 5a D 5a D где D 5a a дискриминант В зависимости от знака и величины D возможны следующие варианты решения: Если D > то корни характеристического уравнения вещественны и различны Для решений линейного однородного дифференциального уравнения i е и е е w е е е е определитель Вронского не равен нулю при всех конечных х Поэтому функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка В соответствии с теоремой о структуре общего решения такого уравнения можно записать C C C е C е Если D = то характеристическое уравнение имеет один корень кратности два: 5a В этом случае метод Эйлера позволяет определить только одно решение дифференциального уравнения е Второе решение этого уравнения может быть найдено по формуле Лиувилля в соответствии с которой имеем a е d d

18 Для функций е и a е d е a е е d е е определитель Вронского w е е е е е не равен нулю при всех конечных х поэтому функции и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений для рассматриваемого дифференциального уравнения Его общее решение может быть записано в виде C C e Ce Ce Если D < то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня = i где = 5а D Соответственно дифференциальное уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения которые с помощью формулы Эйлера можно представить в виде i е е cos isi Образуя подходящие линейные комбинации функций и получим два вещественных решения е cos и е si i где = 5а D Можно убедиться в том что они являются решениями дифференциального уравнения Так как определитель Вронского w е cos е si cos si e si cosе е не равен нулю при всех конечных х то функции е cos и е si линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений рассматриваемого дифференциального уравнения Его общее решение у может быть записано следующим образом: C cosc si е Cе cos Cе si Таким образом для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка основные результаты удобно представить в виде табл Таблица Знак и величина дискриминанта характеристического уравнения a a Фундаментальная система решений Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения D 5a a е е 5a D Cе Cе D 5a a е е 5a D 5a a е cos е si 5a Пример 7 Решить уравнение у 4у у D C C е С C cos С si е

19 Решение Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка коэффициенты которого а = 4 и а = Характеристическое уравнение имеет дискриминант D 5a a Следовательно корни характеристического уравнения и различны Фундаментальной системой решений заданного дифференциального уравнения являются функции e и e Общее решение уравнения: Се Се Пример 8 Решить уравнение у 6у 9у Решение В характеристическом уравнении 6 9 коэффициенты а = 6 и а = 9 поэтому дискриминант D = Следовательно характеристическое уравнение имеет один корень Фундаментальную систему решений заданного уравнения образуют функции общее решение уравнения е C C Пример 9 Решить уравнение у 4у 5у и e а e Решение В характеристическом уравнении 4 5 коэффициенты а = 4 а = 5 поэтому дискриминант D Следовательно 5а D и фундаментальную систему решений заданного уравнения образуют функции е cos и е si Общее решение заданного дифференциального уравнения записывается в виде у C cos C si е Замечание Установлено что для тех линейных однородных дифференциальных уравнений степени выше второй характеристическое уравнение которых a а a представлено в виде произведения m m l l s p q p q где pi q неприводимые квадратные трехчлены с дискриминантом i D 5p i qi фундаментальную систему решений образуют функции е 5 pi е 5 pi i е cos е si е е 5 pi 5 pi i q 5p i i i j j m j е cos i si Пример Решить уравнение у 6у у 6 i j j r i s е е s li 5 pi li 5 pi 6 s cos ; si ; Решение Характеристическое уравнение 6 допускает представление в виде произведения Следовательно функции е е е образуют фундаментальную систему решений и общим решением будет С е С е C е Пример Решить уравнение I 4у 8у 8у 4 Решение Характеристическое уравнение допускает представление в виде 4 Так как дискриминант неприводимого квадратного трехчлена D то = = и фундаментальную систему решений образуют функции е cos хе cos е si е si а общее решение уравнения С С хcos С С хsi е 4 i i 45 Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами 45 Уравнение Эйлера 4

20 Линейным однородным дифференциальным уравнением Эйлера называется уравнение вида a a a в котором а = постоянные действительные числа Для уравнения Эйлера в каждом из интервалов ; и ; выполнены условия теоремы существования и единственности решения см раздел В интервале ; с помощью замены = e уравнение Эйлера может быть приведено к однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами Покажем это на примере дифференциального уравнения второго порядка Так как d е то дифференцируя переменную у по х последовательно получим d d d d d d d d d d d d d d d е е е d d d d d d d d Подставим функцию у и найденные производные у у в исходное уравнение Эйлера заменим в нем х на e и выполним приведение подобных членов В результате этих преобразований придем к линейному однородному дифференциальному уравнению d у d d d е a a d d с постоянными коэффициентами Построив изложенным способом фундаментальную систему решений у полученного дифференциального уравнения и приняв во внимание связь = l найдем общее решение уравнения Эйлера С l С l Пример Решить уравнение х у ху 4 Решение Подстановка х = e d d преобразует заданное уравнение к виду 4 4 Дискриминант d d характеристического уравнения 4 4 равен нулю поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами записывается в виде у e С С Принимая во внимание что = l получим общее решение уравнения Эйлера: х С С l d d 45 Уравнение Чебышева Линейным однородным дифференциальным уравнением Чебышева называется уравнение вида в котором - целое число или нуль Для уравнения Чебышева в каждом из интервалов ; ; ; выполнены условия теоремы существования и единственности см раздел В интервале ; с помощью замены cos arccos уравнение Чебышева может быть преобразовано к однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами Действительно в соответствии со сделанной подстановкой имеем dх si поэтому d d d d d d d d d d cos d ; si d d si d si d 5

21 Подставляя эти значения у и у в исходное уравнение и вводя замену х cos получим однородное d уравнение которое имеет см раздел44 общее решение у С cos si С d Следовательно общее решение уравнения Чебышева у С cos arccos С si arccos 5 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -го ПОРЯДКА 5 Основные понятия и свойства Теорема о структуре общего решения Линейным неоднородным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами р х р х р х называется уравнение у х + р х у - х + + р - х + р хх = f Функция f называется свободным членом или правой частью дифференциального уравнения Линейное однородное дифференциальное уравнение у х + р х у - х + + р - х + р хх = называется соответствующим заданному неоднородному Если в интервале а b функции f и р х = непрерывны то в этом интервале неоднородное дифференциальное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям Особых решений неоднородное дифференциальное уравнение не имеет Теорема о суперпозиции решений Если функции у и у являются решениями неоднородного дифференциального уравнения с правой частью f и f соответственно то функция z будет решением того же дифференциального уравнения но с правой частью f + f Доказательство Так как у и у решения дифференциального уравнения то p p p f ; Складывая эти равенства и учитывая что для m приходим к уравнению p p p f m m m m z z p z p z p z f f Доказанная теорема позволяет расщеплять заданное неоднородное дифференциальное уравнение на ряд уравнений с более простой правой частью Теорема о структуре общего решения Общее решение у неоднородного дифференциального уравнения складывается из общего решения z соответствующего ему однородного уравнения и частного решения и заданного неоднородного Доказательство Так как и частное решение неоднородного дифференциального уравнения то u p u p u p u p u f Введем новую искомую функцию z по формуле у = и + z Подставляя у в заданное неоднородное дифференциальное уравнение и учитывая что и - его частное решение получим z p z p z p z Если у у у - фундаментальная система решений этого однородного дифференциального уравнения то его общее решение записывается в виде см раздел 4 z C C C 6

22 Таким образом если для заданного неоднородного дифференциального уравнения известно какое-либо частное решение то для построения общего решения уравнения необходимо найти фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного дифференциального уравнения Так как для дифференциальных уравнений -го порядка с переменными коэффициентами общих методов построения фундаментальной системы решений не существует то в дальнейшем будем рассматривать лишь уравнения с постоянными коэффициентами 5 Метод подбора частного решения Метод подбора частного решения применяется для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами только для случая когда правая часть f уравнения представима в специальном виде где f е P P cos P si m A ; A A A m P m m m B B B B m В основе метода подбора частного решения уравнения со специальной правой частью лежит следующее утверждение Теорема Дифференциальное уравнение имеет частное решение l a a r u е a е P cos P Q cos Q si l l m si в котором Q - многочлены содержащие все степени х от нуля до l = ma; m а число r и равно кратности корня i характеристического уравнения a a a Алгоритм построения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью включает следующие элементы По виду правой части f заданного дифференциального уравнения определяем постоянные и m Пример Найти и m при условии: а f е cos 5 si ; б f cos5; в f 4 е Решение Записывая f в специальном виде f е P cos P m si и сравнивая две записи функции f найдем а = - = = m = ; б = = 5 = m = Так как в рассматриваемом случае f не содержит слагаемого пропорционального siх то постоянную т можно принять равной любому целому числу или нулю Однако при выборе т следует иметь в виду что с возрастанием и т возрастает и объем дальнейших расчетов поэтому примем т = ; в = = = m = что следует из сравнения левой и правой частей равенства е х х х + 4cos = х х + 4 е х По значениям постоянных и m находим показатель степени l полиномов частного решения l = ma ; т и вспомогательное число i где i символ мнимой единицы Пример 4 Найти l и при условии: а f e cos 5 si ; 7

23 б f cos5; в f 4 e Решение По виду f последовательно найдём для условий: а l = ma ; = ; i; б l = ma ; = ; 5i; в l = ma ; = = ; Для заданного дифференциального уравнения составим характеристическое уравнение a a и найдём его корни Если вспомогательное число не является корнем характеристического уравнения то число r примем равным нулю В противном случае r примем равным показателю кратности корня характеристического уравнения Замечание Для дифференциальных уравнений второго порядка характеристическое уравнение a a имеет два корня a D и a D поэтому число r проще находить по формуле 5 если r если если и ; и a 5 или и 4 Запишем частное решение неоднородного дифференциального уравнения u e Q l Q M l r Q N l l l l cos Q M l N e e e e l si M M N N 5 Подставим функцию и в левую часть заданного дифференциального уравнения выполним дифференцирование и приведение подобных членов а затем с помощью отождествления коэффициентов при подобных членах в левой и правой частях уравнения получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов M N j l полиномов j j Пример 5 Найти частное решение уравнения е Решение Действуем в соответствии с приведенным алгоритмом: определяем постоянные = = = m = ; находим вспомогательное число и показатель степени l полинома Ql частного решения l = ma ; = ; составляем характеристическое уравнение и находим его корни Так как ; ; ; Q l вспомогательное число то оно является корнем характеристического уравнения первой кратности выполняется случай следовательно r = ; 4 записываем частное решение заданного уравнения u е M M ; 5 подставляем функцию и в заданное дифференциальное уравнение и отождествлением коэффициентов при подобных членах в левой и правой частях полученного соотношения составляем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов M и M : следовательно u е M M; u е M е ; M M M u 4е M M 4е M M е M; M M M е u u u M M M е 8

24 Решая эту систему находим M M поэтому искомое частное решение u е Пример 6 Найти общее решение уравнения 4 si Решение Так как = = = m = то = i l = ; характеристическое уравнение 4 имеет корни и 4 и реализуется случай и Поэтому r = а общее решение однородного дифференциального уравнения соответствующего заданному имеет вид z C e C e Частное решение неоднородного уравнения может быть записано в виде u M cos N si Составим систему уравнений для определения коэффициентов M : и N 4 u M cos N si ; u M si N cos ; u M cos N si ; 4 5M N cos M 5N si si u u 4u следовательно 5M M N 5N Решая эту систему находим M /7 N 5/7 поэтому искомое частное решение u cos 5 si а общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид 7 4 Cе Cе cos 5si 7 Пример 7 Найти общее решение уравнения 6 9 e Решение Так как = = = m = то = l = Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид 6 9 и корни его кратные с показателем кратности Так как реализуется случай то число r = Следовательно искомое частное решение u e M M Для определения неизвестных коэффициентов M и M составим систему алгебраических уравнений 9 u е M M ; 6 u е M M е M M ; u 9е M M 6е M M е 6M M u 6u 9u е 6M M е Следовательно M ; 6M M / 6 поэтому частное решение имеет вид u e а его общее 6 решение C C е е 6 Замечание Если правая часть заданного неоднородного дифференциального уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемого специального вида то для отыскания частного решения такого уравнения необходимо использовать теорему о суперпозиции решений Пример 8 Найти частное решение уравнения у 5у 6 у е е cos Решение Правая часть заданного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида f е и f е cos Следовательно в соответствии с теоремой о суперпозиции решений заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям 9

25 5 6 e 5 6 e cos Для первого из них = m = для второго = m = поэтому l = +i l = Так как характеристическое уравнение 5 6 имеет два корня и причем ни ни не являются его корнями то r = r = Следовательно частными решениями уравнений будут u е M М и u = e N cos + + L si Для определения неизвестных коэффициентов М М N и L составим системы линейный уравнений Имеем откуда 6 u е M М 5 u е M М М u е M М М M М М е u 5u u е М М М Решая эту систему находим М = / М = ¼ Следовательно u = е 4 Аналогично имеем 6 u е N cos L si 5 u е L N cos N L si u е 6L 8N cos 8L 6N si N 9L cos N L si е cos u 5u 6u е откуда N L N L Решая эту систему находим N /5 L 7/5 следовательно е 5 е 4 5 Метод вариации произвольных постоянных u cos 7si и частное решение заданного уравнения можно записать в виде u u u cos 7si Метод вариации произвольных постоянных метод Лагранжа является наиболее общим методом решения неоднородных дифференциальных уравнений a a a f с произвольной непрерывной на интервале а b функцией f Главная идея метода вариации произвольных постоянных основывается на допущении о представлении общего решения неоднородного дифференциального уравнения в таком же виде в каком оно существует для однородного уравнения соответствующего неоднородному но с зависящими от переменной х величинами С i Действительно построив фундаментальную систему решений у у у однородного уравнения соответствующего неоднородному представим его общее решение в виде C C C Дальнейшее изложение способа определения функций С i проиллюстрируем на примере неоднородного дифференциального уравнения второго порядка а а f Представим общее решение этого уравнения в виде е 5

26 C C Будем считать функции С i i = непрерывно дифференцируемыми на интервале а b и удовлетворяющими дополнительному условию: в производной искомой функции C C C C сумму подчеркнутых членов полагаем равной нулю функций две а уравнение одно! Тогда C C и поэтому C C C C Умножим у х на а у х - на а у х - на и сложим найденные произведения а затем сгруппируем слагаемые следующим образом: i i i i i i i C а а C а а Так как у х фундаментальная система решений соответствующего дифференциального уравнения то а а i i i и значит i i i C а а Поэтому из уравнения имеем для функций С i еще одно условие: f C C Следовательно функции С i удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений второго порядка ; f C C C C Так как определитель системы - определитель Вронского w то он отличен от нуля во всем интервале ; b a Поэтому система имеет единственное решение w f С w f С Интегрируя полученные уравнения найдём ~ ~ C w d f С C w d f С где ~ i C i произвольные постоянные Общее решение исходного дифференциального уравнения представим в виде ~ ~ C C w d f х w d f х Замечание С незначительными изменениями изложенная схема метода вариации произвольных постоянных может быть использована для построения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка Пример 9 Решить уравнение cos 9 у у

27 Решение Для решения уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных Так как характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения соответствующего неоднородному имеет вид + 9 = и его дискриминант D = 9 < то фундаментальной системой решений являются функции у cos и у si Общее решение заданного уравнения представим следующим образом: C cos C si Функции C х будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений решив которую получим С cos С si С si С cos si С х cos С х cos Интегрируя дифференциальные уравнения определим неизвестные функции si С х d l cos cos 9 ~ С х C а затем искомое общее решение заданного уравнения ~ C ; cos ~ ~ х l cos si C cos C si 9 Применение метода вариации произвольных постоянных всегда позволяет представить решение заданного дифференциального уравнения в квадратурах Однако часто оказывается что интегралы входящие в частное решение не выражаются через элементарные функции Замечание Если для неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами известна фундаментальная система решений то с помощью метода вариации произвольных постоянных можно построить его общее решение Пример Решить уравнение у х Решение Непосредственной подстановкой несложно убедиться что функция х является решением соответствующего однородного уравнения Второе решение заданного уравнения может быть найдено по формуле Лиувилля Функции и d e d d l l линейно независимы так как их определитель Вронского w при х отличных от нуля для определенности будем полагать > поэтому они образуют фундаментальную систему решений заданного дифференциального уравнения Общее решение этого уравнения будем искать в виде C C l В соответствии с методом вариации произвольных постоянных производные неизвестных функций С х и С х удовлетворяют системе уравнений C C l C C l


1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ Введение Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении 0 Постановка задачи Математическое описание процессов (физических

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее