Примеры решения задач

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Примеры решения задач"

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки на данную плоскость. На рис. показано расстояние d от точки до плоскости. d Рис.. Расстояние от точки до плоскости Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно нулю. Примеры решения задач Разберём четыре задачи. В них мы проиллюстрируем основные идеи, встречающиеся на ЕГЭ по математике в задачах С, где требуется найти расстояние от точки до плоскости. Задача. Дан равносторонний треугольник со стороной. В пространстве взята точка такая, что = =, =. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Искомое расстояние это высота пирамиды, проведённая из точки. Пусть середина. Проведём перпендикуляр на прямую (рис. ). Покажем, что будет высотой нашей пирамиды. ϕ Рис.. К задаче Поскольку медиана является высотой треугольника, имеем. Точно так же (ведь треугольник тоже равносторонний). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что перпендикулярна плоскости. Значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости в частности, прямой. Итак, (по построению) и. Отсюда получаем, что мы и хотели.

2 Из треугольников и легко находим: = =. Теперь запишем теорему косинусов для стороны треугольника : = + cos ϕ (здесь ϕ = ). Отсюда cos ϕ = /6, sin ϕ = /6 и = sin ϕ = 6. Ответ: 6. Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна, а боковое ребро равно. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Поскольку, прямая параллельна плоскости. Следовательно, искомое расстояние d есть расстояние от любой точки прямой до плоскости (ведь все эти расстояния равны друг другу). Поэтому мы можем выбрать наиболее удобную точку на прямой. Это, несомненно, точка N середина отрезка (рис. ). N d Рис.. К задаче Пусть середина. Проведём N перпендикулярно. Покажем, что N. В равнобедренном треугольнике медиана является одновременно высотой, так что. Кроме того, N, так как призма прямая. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости N и, в частности, прямой N, лежащей в этой плоскости. Итак, N (по построению) и N. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая N перпендикулярна плоскости, что мы и хотели показать. Стало быть, искомое расстояние d равно длине отрезка N. Дальше несложно. Имеем: N =, N = и = N + N =, откуда d = N N =. Ответ:.

3 Повторим ключевую идею данной задачи: от исходной точки перейти к другой точке, находящейся на таком же расстоянии от плоскости, но более удобной для вычислений. В приведённом решении мы из точки сместились параллельно плоскости в точку N. Возможен и другой вариант смещения, который также может оказаться полезным при решении задач. Он основан на следующем простом факте: если плоскость проходит через середину отрезка, то концы отрезка равноудалены от данной плоскости. Так, на рис. 4 мы видим плоскость, проходящую через середину K отрезка P Q. Проведём перпендикуляры P и Q на данную плоскость. Q K P Рис. 4. Концы отрезка равноудалены от плоскости Прямоугольные треугольники P K и QK равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, P = Q, что и требовалось. Вернёмся к задаче. Заметим, что отрезок делится плоскостью пополам (рис. 5). Следовательно, расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до этой плоскости. K Рис. 5. К задаче Итак, из точки переходим в точку. Аналогично доказываем, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведённого к, и далее решение повторяется без каких-либо изменений.

4 Сформулированный выше факт о равноудалённости концов отрезка от плоскости, проходящей через его середину, является частным случаем следующей (тоже очень простой) теоремы. Теорема. Пусть прямая пересекает плоскость в точке O. Возьмём любые две точки X и Y на этой прямой (отличные от O), и пусть x и y соответственно расстояния от данных точек до плоскости. Тогда x : y = OX : OY. Доказательство. Если прямая перпендикулярна плоскости, то доказывать нечего. Пусть прямая является наклонной (рис. 6). Проведём перпендикуляры X и Y к плоскости. Y X x y O Рис. 6. OX : OY = x : y Из подобия треугольников OX и OY получаем OX : OY = X : Y, а последнее отношение как раз и есть x : y. Теорема доказана. Полезность этой теоремы состоит вот в чём. Предположим, что мы ищем расстояние от точки X до плоскости. Тогда, взяв некоторую точку O, можно сместиться вдоль прямой OX в более удобную точку Y с пропорциональным изменением расстояния до нашей плоскости. Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде S (с вершиной S) сторона основания равна и высота равна. Найдите расстояние от точки до плоскости S. Решение. Пусть ST высота пирамиды (рис. 7). Точка T является серединой отрезка. Тогда, согласно нашей теореме, искомое расстояние d от точки до плоскости S равно удвоенному расстоянию от точки T до этой плоскости. S T Рис. 7. К задаче А расстояние от точки T до плоскости S равно высоте T треугольника ST (точка середина ). Действительно, T перпендикулярна также прямой ( T, S ST T ), и потому T перпендикуляр к плоскости S. Из треугольника ST легко находим: T = /. Тогда d = T =. Ответ:. 4

5 Задача 4. Точка середина ребра куба. Ребро куба равно 6. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Здесь можно осуществить переход (рис. 8). Рис. 8. К задаче 4 Именно, пусть искомое расстояние от точки до плоскости равно d. Тогда расстояние от точки до этой плоскости равно d. Отрезок делится плоскостью пополам, поэтому расстояние от точки до данной плоскости также равно d. С другой стороны, расстояние от точки до плоскости есть высота треугольной пирамиды. Основанием этой пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 6. Боковые рёбра пирамиды равны 6. Стало быть, данная пирамида является правильной, и точка центр треугольника. Отрезок есть радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Имеем: = 6 = 6. Тогда Следовательно, = ( = 6 6) =. d = =. Ответ:. 5

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют во всех задачах С2, предлагавшихся на ЕГЭ по математике

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ.

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ. ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им проф СА Анищенко ЗАОЧНЫЙ ТУР 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1 С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части Анализ Решение

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 6 00-0, 0 0, 0, 6 0, 0, 0 6 00-8, 0,87 0,9 0, 00,,6-0, 6 6 0,9 7, 0 0, 0, 0 7 00 80 -, 8 0,6 8, 00 7 9 0, 6 8 6 9 9,7 0, 0,8 0 8

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 9,7 0, 0,8 0 90 6 0, 0, 00 80 -, 8 0,6 0,9 0, 0, 6 0, 0, 6 6 0 6 00-8, 0,87 7 9, 0,9-6 0, 8 0 -, 0, 8 9 8 00 700 -, 7, 0,9 0 6 0,9

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК АТЕАТИКА, класс Ответы и критерии, Январь 0 ОТВЕТЫ Вариант/ задания В В В В4 В5 В6 В7 С,5 0 4,5 940 0-5 4 4600 4,5 7 0,65 4,8 50 0 98 0,,4 4 4,5 0,5 4 7,5 5 96 7,5 950 6,5 90 6 97,8 45 0,5 500-0,5 455

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Многогранники в задаче С2

Многогранники в задаче С2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче С Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи С единого госэкзамена по математике.

Подробнее

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой.

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Тема 65 «Сфера и шар» Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Шаром называется тело, которое состоит из

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 5 6 7 5 50 -,5 0, 8 5 5 00,5,6-0,5 5 0,95 0, 5 6 0550-0, 0 0, 5 0 6 0600 7 6-0,875 6 00 80-5, 8 0,6 7 0 90 5 65 0,5 0, 8 8 500 7500

Подробнее

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

Подробнее

1.В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер,,. Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем

1.В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер,,. Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ 1В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер,, Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу: МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С (лекция для учителей в издательстве «Бином» 000) Замечания и пожелания направляйте по адресу: prokof@nderu Различные методы решения задач на определение углов в пространстве

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

КРИТЕРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ С1

КРИТЕРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ С1 МТЕМТИК, класс Критерии, Январь арианты, 4,,, КРИТЕРИИ И РЕШЕНИЯ ЗДНИЙ основании треугольной пирамиды SC лежит прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине, гипотенузой и катетом Найдите расстояние

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИКА 0 класс Ответы и критерии Апрель 202 ОТВЕТЫ Вар/зад В В2 В В В В В7 С 2 2 0 02 2 2 2 72 2 07 2 297 0 2 2-2 2000 0 2 9 07 2 00 0 2 2 7 2000 07 2 2 2 900 02 2 2 9 2 0 02 2 0 2 2 20 02 2 2 При

Подробнее

Все прототипы В года

Все прототипы В года 1. Прототип задания B9 ( 245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. 2. Прототип задания B9 ( 245360) Найдите расстояние

Подробнее

2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3,. Найдите объем пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3,. Найдите объем пирамиды. 1. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка. 2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания

Подробнее

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса (ноябрь 011 года, заочный тур) Задача 1 Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника равны соответственно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Новосибирск I. Проектирование

Подробнее

Стереометрия: комбинации тел.

Стереометрия: комбинации тел. А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: комбинации тел. 27041. Прямоугольный параллелепипед

Подробнее

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности п/п 1. S A K Технологическая карта урока обучающегося Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности О D C Вспомним основные элементы пирамиды. 1. Какой многогранник изображен на рисунке? 2. Назовите вершину

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Тема 69 «Комбинированные задачи»

Тема 69 «Комбинированные задачи» Тема 69 «Комбинированные задачи» Пример 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8. Боковые ребра равны 8/π. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов А Г г Брянск korynov@milru Прокофьев АА

Подробнее

Задачи по с т е р е о м е т р и и

Задачи по с т е р е о м е т р и и Задачи по с т е р е о м е т р и и Ермак Елена Анатольевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа и методики обучения математике Псковского государственного университета

Подробнее

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды. Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Билеты по геометрии 7 класс

Билеты по геометрии 7 класс Билеты по геометрии 7 класс Билет 1. 1.Смежные углы: определение и свойства. Доказательство одного из них. 2.Задача по теме «Равнобедренный треугольник» 3.Построение прямоугольного треугольника по катету

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

Все прототипы задания В9 (2013)

Все прототипы задания В9 (2013) Все прототипы задания В9 (2013) ( 245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. ( 245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

Подробнее

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

Подробнее

Единый Государственный Экзамен. Задание 16

Единый Государственный Экзамен. Задание 16 Единый Государственный Экзамен Задание 16 Пример 1 В треугольнике A медиана и биссектриса K равны соответственно 14 см и 10 см и пересекаются под прямым углом в точке О а) Докажите, что площадь треугольника

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г.

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В3 (часть ) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 204 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова Найдите объем параллелепипеда

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Решение олимпиадных задач по геометрии для 11 класса

Решение олимпиадных задач по геометрии для 11 класса Решение олимпиадных задач по геометрии для 11 класса ноябрь 11 года, заочный тур 1. В четырехугольнике D известны D = 9, D = 9, D =, D = b. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых

Подробнее

Список вопросов и заданий для подготовки к вступительному испытанию по геометрии Если абитуриент учится по учебнику Погорелова А.В.

Список вопросов и заданий для подготовки к вступительному испытанию по геометрии Если абитуриент учится по учебнику Погорелова А.В. Список вопросов и заданий для подготовки к вступительному испытанию по геометрии Если абитуриент учится по учебнику Погорелова А.В.: I. Основные свойства простейших геометрических фигур: 1. Приведите примеры

Подробнее

. Из полученных равенств немедленно следует утверждение теоремы:

. Из полученных равенств немедленно следует утверждение теоремы: Теорема о трех синусах и другие креативные методы нахождения углов и расстояний в стереометрии (К решению задач С ЕГЭ по математике) В задачах группы С ЕГЭ по математике, присутствует стандартный набор

Подробнее

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года.

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года. Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В трапеции стороны и параллельны,

Подробнее

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение:

Решите уравнение sinxcosx. tg2x. Решение: Математика. класс. Вариант C Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Решите уравнение sinxcosx. tgx + = Преобразуем уравнение:. sinx tgx + tgx = sinx =, случай: Решений нет. tgx. tgx + =, tgx

Подробнее

Стереометрия: параллелепипед, куб.

Стереометрия: параллелепипед, куб. А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: параллелепипед, куб. 27054. Два ребра

Подробнее

Стереометрия: пирамиды.

Стереометрия: пирамиды. А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: пирамиды. 27069. Стороны основания правильной

Подробнее

ID_9151 1/10 neznaika.pro

ID_9151 1/10 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В основание

Подробнее

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B,

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B, Треугольники Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами,, C (записываем треугольник C или символически C ), при этом буквы,, C обозначают как точки вершины треугольника, так и величины

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт: стр. 1

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт:  стр. 1 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013 Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: типы задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Многогранники: типы задач и методы их решения (типовые задания С) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз?

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

Подробнее

Метод ключевых задач

Метод ключевых задач Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пример. В четырехугольнике = = 90. Точки и

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин. 1. Параллельное проекция

ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин. 1. Параллельное проекция ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин 1. Параллельное проекция Пусть в пространстве задана плоскость Π и не параллельная ей прямая v. Тогда каждой точке A пространства

Подробнее

Математика 9 класс Задачи с окружностями

Математика 9 класс Задачи с окружностями МИНИТЕРТО ОБРЗОНИЯ И НУКИ РОИЙКОЙ ФЕДЕРЦИИ НООИБИРКИЙ ГОУДРТЕННЫЙ УНИЕРИТЕТ ПЕЦИЛИЗИРОННЫЙ УЧЕБНО-НУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс Задачи с окружностями Новосибирск ведение Одним из самых значительных результатов

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 0-й класс, задание 3. Новосибирск

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

ЕГЭ Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь

ЕГЭ Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь ЕГЭ 2010. Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь Смирнов В.А. (под редакцией А. Л. Семенова и И.В.Ященко) М.: Издательство МЦНМО; 2010, 48 стр. Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2010.Математика»

Подробнее

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом.

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. Тема 67 «Объемы многогранников» Объем величина, сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные дейребро которого равно ствительные числа. За единицу объема принимается куб, единице измерения длины.

Подробнее

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ ВИРыжик ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ УГОЛ ДВУГРАННЫЙ Окончание Начало см в и 3 за 009 г Использование теоремы синусов для трехгранного угла при вычислении угла между плоскостями Настала очередь поработать этой теореме,

Подробнее

Тест по теме 69 «Комбинированные задачи»

Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» 1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 32 128 0 2.

Подробнее

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.»

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.» МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

Подробнее

Тема 66 «Площадь поверхности тел вращения»

Тема 66 «Площадь поверхности тел вращения» Тема 66 «Площадь поверхности тел вращения» Основные формулы Цилиндр S б = 2πRH; S пп = 2πR(R + H) (R радиус основания, H высота) Конус S б = πrl; S пп = πrl + πr 2 (R радиус основания, L образующая) Усеченный

Подробнее

Г Е О М Е Т Р И Я Темы, включенные в рубежные задания 10 класс (поток кл) Темы 1 рубежа 10 класс ПЛАНИМЕТРИЯ

Г Е О М Е Т Р И Я Темы, включенные в рубежные задания 10 класс (поток кл) Темы 1 рубежа 10 класс ПЛАНИМЕТРИЯ 1 Планиметрия. 2 Треугольники 3 Многоугольники Г Е О М Е Т Р И Я Темы, включенные в рубежные задания 10 класс (поток 10-11 кл) Темы 1 рубежа 10 класс ПЛАНИМЕТРИЯ 4 Решение задач по теме «Треугольники»,

Подробнее

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА Т е о р е м а. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. О б р а т н а я т е о р е м а. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Санкт-Петербургский государственный университет, 988 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 10 класс, 1 тур учебного года.

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 10 класс, 1 тур учебного года. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 0 класс, тур 03-04 учебного года. Задача. Вычислите без помощи калькулятора 007 009 0 03 6 Задача. Действительные числа х, у, а таковы, что y a

Подробнее

Задачи группы С2. Задача 1

Задачи группы С2. Задача 1 Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Существует три основных метода решения задач C2. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов».

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Задание Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Задание Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Задание 8. 1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь.

Подробнее

Объем пирамиды. плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем

Объем пирамиды. плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем Объем пирамиды 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 3 дм, ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем 2. Высота правильной четырехугольной

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач по планиметрии (В5 и В8) Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 Необходимо знать все фигуры планиметрии. А также следующие

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B13 ( 27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

Подробнее

целенаправленно рассматривая на уроках наиболее часто встречающиеся геометрические ситуации с последующим решением связанных с ними задач.

целенаправленно рассматривая на уроках наиболее часто встречающиеся геометрические ситуации с последующим решением связанных с ними задач. Е.Г. Ситникова, учитель математики МАОУ лицей 17 г. Калининград Развитие у учащихся 10 11 классов физико-математического профиля пространственного воображения на практических занятиях по геометрии Особенность

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС. Зачеты по геометрии

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС. Зачеты по геометрии ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС Зачеты по геометрии Зачет 1 Начальные геометрические сведения. Зачет 2 Треугольники. Признаки равенства треугольников. Зачет 3 Параллельные прямые. Зачет 4 Соотношения между сторонами

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение:

M середина AD 1, N середина BC 1. Проведем перпендикуляр NH из точки N. C1 Решите уравнение (2sinx 1)( cosx + 1) = 0. Решение: Математика класс Варианты,, 9, (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Решите уравнение (sinx )( cosx + ) Левая часть уравнения имеет смысл при cosx Выражение cosx + положительно

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11

Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Санкт-Петербургский государственный университет, 1994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 994 год математико-механический факультет, факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Глава 4 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 4.1. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4.1.1. Задача Менелая. Задача о пересечении медиан треугольника. Изучение геометрических задач на вычисление мы начнем с задачи

Подробнее

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Определение 1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, но

Подробнее

Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017

Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017 Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017 Задания 14 являются практически полным аналогом заданий 16 и С2 КИМ ЕГЭ предыдущих лет. Стереометрическая задача

Подробнее

2. Вписанные и описанные четырехугольники

2. Вписанные и описанные четырехугольники 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II).. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Подробнее

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство.

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство. 1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Подробнее

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция 1 1.1. Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и

Подробнее