Примеры решения задач

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Примеры решения задач"

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки на данную плоскость. На рис. показано расстояние d от точки до плоскости. d Рис.. Расстояние от точки до плоскости Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно нулю. Примеры решения задач Разберём четыре задачи. В них мы проиллюстрируем основные идеи, встречающиеся на ЕГЭ по математике в задачах С, где требуется найти расстояние от точки до плоскости. Задача. Дан равносторонний треугольник со стороной. В пространстве взята точка такая, что = =, =. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Искомое расстояние это высота пирамиды, проведённая из точки. Пусть середина. Проведём перпендикуляр на прямую (рис. ). Покажем, что будет высотой нашей пирамиды. ϕ Рис.. К задаче Поскольку медиана является высотой треугольника, имеем. Точно так же (ведь треугольник тоже равносторонний). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что перпендикулярна плоскости. Значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости в частности, прямой. Итак, (по построению) и. Отсюда получаем, что мы и хотели.

2 Из треугольников и легко находим: = =. Теперь запишем теорему косинусов для стороны треугольника : = + cos ϕ (здесь ϕ = ). Отсюда cos ϕ = /6, sin ϕ = /6 и = sin ϕ = 6. Ответ: 6. Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна, а боковое ребро равно. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Поскольку, прямая параллельна плоскости. Следовательно, искомое расстояние d есть расстояние от любой точки прямой до плоскости (ведь все эти расстояния равны друг другу). Поэтому мы можем выбрать наиболее удобную точку на прямой. Это, несомненно, точка N середина отрезка (рис. ). N d Рис.. К задаче Пусть середина. Проведём N перпендикулярно. Покажем, что N. В равнобедренном треугольнике медиана является одновременно высотой, так что. Кроме того, N, так как призма прямая. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости N и, в частности, прямой N, лежащей в этой плоскости. Итак, N (по построению) и N. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая N перпендикулярна плоскости, что мы и хотели показать. Стало быть, искомое расстояние d равно длине отрезка N. Дальше несложно. Имеем: N =, N = и = N + N =, откуда d = N N =. Ответ:.

3 Повторим ключевую идею данной задачи: от исходной точки перейти к другой точке, находящейся на таком же расстоянии от плоскости, но более удобной для вычислений. В приведённом решении мы из точки сместились параллельно плоскости в точку N. Возможен и другой вариант смещения, который также может оказаться полезным при решении задач. Он основан на следующем простом факте: если плоскость проходит через середину отрезка, то концы отрезка равноудалены от данной плоскости. Так, на рис. 4 мы видим плоскость, проходящую через середину K отрезка P Q. Проведём перпендикуляры P и Q на данную плоскость. Q K P Рис. 4. Концы отрезка равноудалены от плоскости Прямоугольные треугольники P K и QK равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, P = Q, что и требовалось. Вернёмся к задаче. Заметим, что отрезок делится плоскостью пополам (рис. 5). Следовательно, расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до этой плоскости. K Рис. 5. К задаче Итак, из точки переходим в точку. Аналогично доказываем, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведённого к, и далее решение повторяется без каких-либо изменений.

4 Сформулированный выше факт о равноудалённости концов отрезка от плоскости, проходящей через его середину, является частным случаем следующей (тоже очень простой) теоремы. Теорема. Пусть прямая пересекает плоскость в точке O. Возьмём любые две точки X и Y на этой прямой (отличные от O), и пусть x и y соответственно расстояния от данных точек до плоскости. Тогда x : y = OX : OY. Доказательство. Если прямая перпендикулярна плоскости, то доказывать нечего. Пусть прямая является наклонной (рис. 6). Проведём перпендикуляры X и Y к плоскости. Y X x y O Рис. 6. OX : OY = x : y Из подобия треугольников OX и OY получаем OX : OY = X : Y, а последнее отношение как раз и есть x : y. Теорема доказана. Полезность этой теоремы состоит вот в чём. Предположим, что мы ищем расстояние от точки X до плоскости. Тогда, взяв некоторую точку O, можно сместиться вдоль прямой OX в более удобную точку Y с пропорциональным изменением расстояния до нашей плоскости. Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде S (с вершиной S) сторона основания равна и высота равна. Найдите расстояние от точки до плоскости S. Решение. Пусть ST высота пирамиды (рис. 7). Точка T является серединой отрезка. Тогда, согласно нашей теореме, искомое расстояние d от точки до плоскости S равно удвоенному расстоянию от точки T до этой плоскости. S T Рис. 7. К задаче А расстояние от точки T до плоскости S равно высоте T треугольника ST (точка середина ). Действительно, T перпендикулярна также прямой ( T, S ST T ), и потому T перпендикуляр к плоскости S. Из треугольника ST легко находим: T = /. Тогда d = T =. Ответ:. 4

5 Задача 4. Точка середина ребра куба. Ребро куба равно 6. Найдите расстояние от точки до плоскости. Решение. Здесь можно осуществить переход (рис. 8). Рис. 8. К задаче 4 Именно, пусть искомое расстояние от точки до плоскости равно d. Тогда расстояние от точки до этой плоскости равно d. Отрезок делится плоскостью пополам, поэтому расстояние от точки до данной плоскости также равно d. С другой стороны, расстояние от точки до плоскости есть высота треугольной пирамиды. Основанием этой пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 6. Боковые рёбра пирамиды равны 6. Стало быть, данная пирамида является правильной, и точка центр треугольника. Отрезок есть радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Имеем: = 6 = 6. Тогда Следовательно, = ( = 6 6) =. d = =. Ответ:. 5

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИКА 0 класс Ответы и критерии Апрель 202 ОТВЕТЫ Вар/зад В В2 В В В В В7 С 2 2 0 02 2 2 2 72 2 07 2 297 0 2 2-2 2000 0 2 9 07 2 00 0 2 2 7 2000 07 2 2 2 900 02 2 2 9 2 0 02 2 0 2 2 20 02 2 2 При

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им. проф. С.А. Анищенко ОЧНЫЙ ТУР, 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1. На сторона АВ и ВС треугольника АВС взяты точки и Е соответственно, причем / = E/E

Подробнее

Билеты по геометрии 7 класс

Билеты по геометрии 7 класс Билеты по геометрии 7 класс Билет 1. 1.Смежные углы: определение и свойства. Доказательство одного из них. 2.Задача по теме «Равнобедренный треугольник» 3.Построение прямоугольного треугольника по катету

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года.

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года. Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В трапеции стороны и параллельны,

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше

π 7π Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду MDAC Тогда Ответ: ρ=. выше Математика. класс. Вариант 7 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C x x x x а) Решите уравнение sin x + cos sin cos + sin =. 5 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Решения задач 8 9 класс 1. (А. Блинков) В шестиугольнике равны

Подробнее

1 Расстояние от точки до прямой

1 Расстояние от точки до прямой 1 Расстояние от точки до прямой 1 1 1 1 1.1. В единичном кубе 1 1 1 1 найдите расстояние от точки до прямой 1. 1 1.2. В правильной треугольной призме 1 1 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Планиметрия (часть II) Задание 5 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Планиметрия (часть II) Задание 5 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Планиметрия (часть II) Задание 5 для

Подробнее

Подготовлено на основе книги: Гордин Р. К. ЕГЭ Математика. Решение задачи 18. М.: МЦНМО, с.

Подготовлено на основе книги: Гордин Р. К. ЕГЭ Математика. Решение задачи 18. М.: МЦНМО, с. УДК 373:51 ББК.1я7 Г68 Гордин Р. К. ЕГЭ 015. Математика. Решение задачи 18. Электронное издание М.: МЦНМО, 015 447 с. ISN 978-5-4439-14- Пособие содержит решения всех задач книги Р. К. Гордина «ЕГЭ 015.

Подробнее

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см,

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, Тест по теме 62 «Сечения многогранников» 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, 21 см. Высота призмы 18 см. Найти площадь сечения проведенного через боковое ребро и меньшую

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1. а) промежутки возрастания и убывания; 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1. а) промежутки возрастания и убывания; 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 ( 4sin x 3)(sin x 1) 0 в) наибольшее и наименьшее ее значения на промежутке [0; 4].. 4. Площадь осевого сечения цилиндра равна 0 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Подробнее

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г.

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В3 (часть ) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 204 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова Найдите объем параллелепипеда

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт: стр. 1

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт:  стр. 1 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017

Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017 Критерии проверки и оценка решений заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ 2017 Задания 14 являются практически полным аналогом заданий 16 и С2 КИМ ЕГЭ предыдущих лет. Стереометрическая задача

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ МАТЕМАТИКА. Р. К. Гордин. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К.

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ МАТЕМАТИКА. Р. К. Гордин. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К. МАТЕМАТИКА 017 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ Р. К. Гордин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 Задача 16. Профильный уровень ЕГЭ 017 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА 017 ЕГЭ Под редакцией И. В. Ященко профильный уровень ЗАДАЧА 16

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые Скрещивающиеся прямые Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой

Подробнее

Найти площадь треугольника ABC [2]. Решение A. D Рис. 1

Найти площадь треугольника ABC [2]. Решение A. D Рис. 1 геометрических задач с использованием дополнительного построения удвоение медианы Лыхина Ксения Александровна Лесосибирский педагогический институт филиал Сибирского федерального университета При доказательстве

Подробнее

Тринадцатая олимпиада по геометрии

Тринадцатая олимпиада по геометрии Тринадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Нарисуйте на клетчатой бумаге четырехугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого различные простые

Подробнее

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ. Р. К. Гордин МАТЕМАТИКА. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К.

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ. Р. К. Гордин МАТЕМАТИКА. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К. МАТЕМАТИКА 07 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ Р. К. Гордин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6 Задача 6. Профильный уровень ЕГЭ 07 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА 07 ЕГЭ Под редакцией И. В. Ященко профильный уровень ЗАДАЧА 6 Р. К.

Подробнее

ID_9084 1/9 neznaika.pro

ID_9084 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Высота

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ВАРИАНТ 1 Задания первой группы. (Задания 1, 2 оцениваются в 7 баллов, задания 3-9 в 8 баллов).

ВАРИАНТ 1 Задания первой группы. (Задания 1, 2 оцениваются в 7 баллов, задания 3-9 в 8 баллов). ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих на базе полного среднего образования (11 классов) Инструкция по выполнению 1. Экзаменационная работа по математике состоит из 12 заданий, которые

Подробнее

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым Параллелепипед Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллеле» - плоскостное тело. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Подробнее

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Вариант 1 1 81 1. а) Решите уравнение ( ) cos sin = 9. π π;.. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 0, а боковое ребро SA равно 7. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно.

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Geometrické útvary a tělesa

Geometrické útvary a tělesa Geometrické útvary a tělesa Линии. Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года

Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В треугольнике высота

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1 C Математика. класс. Вариант МА-5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение = cos x. 5π б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; π. а)

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

MAO = NAO. Таким образом, если из Рис. 1

MAO = NAO. Таким образом, если из Рис. 1 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II). Вторая часть по планиметрии содержит три параграфа. В 1 подробно обсуждаются свойства касательных, хорд и секущих, доказывается теорема о касательной

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ТРАПЕЦИИ

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ТРАПЕЦИИ МЕТДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВЙСТВ ТРАПЕЦИИ ГИ Ковалева В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний «непрограммных»

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27

Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27 Ответы к заданиям части 1 задания Ответ В1 5 В В 8 В4 90 В5 59 В6 14 В В8 В9 В10 0, 4 В11 58 В1 45 В1 14 В14 Ответы к заданиям части МАТЕМАТИКА, 11 класс (01 - - 1 / ) задания Ответ С1 π а) x = + πk, k

Подробнее

Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК

Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК «Окружность» 3 Вопросы к зачету по главе VIII «О К Р У Ж Н О С Т Ь». Каково взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Геометрия 7 класс. Содержание курса.

Геометрия 7 класс. Содержание курса. Геометрия 7 класс. Содержание курса. Геометрические фигуры Фигуры в геометрии и в окружающем мире Геометрическая фигура. Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура». Точка, линия, отрезок,

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

Подробнее

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С.

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

Подробнее

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1987 год факультет прикладной математики процессов управления, математико-механический факультет,

Подробнее

Билет Задача по теме «Сумма углов треугольника». В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 о основанию. Найдите углы треугольника.

Билет Задача по теме «Сумма углов треугольника». В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27 о основанию. Найдите углы треугольника. Билет 1. 1. Точка, прямая, отрезок. Простейшими фигурами в геометрии являются точка и прямая, они не имеют определения, но их можно описать. Точка след от прикосновения острозаточенного карандаша на бумаге,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Корянов АГ, г Брянск akoyanov@mailu Прокофьев АА, г Москва aapokof@yandexu СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Тренировочная работа 3 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 3 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа 3 по МАТЕМАТИКЕ апреля года класс Вариант Математика. класс. Вариант Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (4 мин). Работа

Подробнее

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия.

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия. Лекция 14 ТЕМА Геометрия. Стереометрия. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Многогранники Определения и свойства

Подробнее

Профиль. Тема: Стереометрия. Пирамиды. Задание 14

Профиль. Тема: Стереометрия. Пирамиды. Задание 14 Тема: Стереометрия. Пирамиды ЕГЭ Профиль Задание 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 3, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N середины ребер CD и AB соответственно,

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В8 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Упростите выражение cos α+ sin α cos α. sin α.. tg α. sin α ctg α. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: Правильный

Подробнее

«ПРИЗМА» площадь. равностороннего треугольника. со стороной а

«ПРИЗМА» площадь. равностороннего треугольника. со стороной а «ПРИЗМА» Призма это многогранник, у которого две грани, называемые основаниями, равные многоугольники, а все остальные боковые грани, состоящие из параллелограммов, плоскости которых параллельны одной

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия Интерактивный комплект 2. Параллельность и перпендикулярность 2.3. Теорема о трех перпендикулярах Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры

Подробнее

параллелепипеда АD=а, АВ=b, АА 1 =с. (Ответ: V a b

параллелепипеда АD=а, АВ=b, АА 1 =с. (Ответ: V a b c Государственное автономное образовательное учреждение общеобразовательная школа-интернат Республики Коми «Коми республиканский лицей-интернат для одаренных детей из сельской местности» Елизарова Н.Г.,

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Изучение геометрии на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: - формирование представлений о

Изучение геометрии на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: - формирование представлений о Изучение геометрии на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: - формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования

Подробнее

Ис ко мое рас сто я ние равно вы со те пря мо уголь но го тре уголь ни ка с пря мым углом

Ис ко мое рас сто я ние равно вы со те пря мо уголь но го тре уголь ни ка с пря мым углом Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (http://математика.решуегэ.рф) Расстояние от точки до пря мой и до плоскости 1. C 2 484570. В кубе все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки до пря мой Про ве дем

Подробнее

Домашнее задание на летние каникулы для учащихся, переведенных в 11 класс.

Домашнее задание на летние каникулы для учащихся, переведенных в 11 класс. Домашнее задание на летние каникулы для учащихся, переведенных в 11 класс. 1. Задание не малого объема, поэтому лучше начать с заданий, с которыми Вы можете справиться быстро. 2. Все задания необходимо

Подробнее

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж).

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). Билет 1 1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). 2. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 9, а диагональ равна 41. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,

Подробнее

Многогранники. Пирамида. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ

Многогранники. Пирамида. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Многогранники. Пирамида Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Подробнее

( ) 1)( t + 1). Возможны три случая. Физтех 2015,11 класс, решения билета Решите неравенство. Ответ. ( 9; 3] ; 0

( ) 1)( t + 1). Возможны три случая. Физтех 2015,11 класс, решения билета Решите неравенство. Ответ. ( 9; 3] ; 0 Решите неравенство log ( x ) log ( x ) + log ( x ) log ( x ) log ( ) x + 6 x Решение Данное неравенство равносильно следующему: Ответ ( 9; ] ; 0 0; [ ; 9) log x Физтех 0, класс, решения билета + 0 ( log

Подробнее

ИСКУС КУ СТВ ССТВ ВО РЕШ О РЕ

ИСКУС КУ СТВ ССТВ ВО РЕШ О РЕ МАТЕМАТИКА ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ: ОТ ПЕРИМЕТРА ДО ПЛОЩАДИ ИСКУССТВО ССТВС РЕШАТЬ ЗАДАЧИ АЧИ Окончание Начало в (7) 0 Пусть,, и середины сторон,, и квадрата, площадь которого равна Найдите

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. 0 класс. Вариант МА00409 (Профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 5 а) Решите уравнение sin x + sin x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики 1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

Подробнее

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Многогранники. Призма Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Подробнее

Стереометрия. Часть 2.

Стереометрия. Часть 2. Белогрудов Александр Николаевич УГАТУ доцент кафедры специальных глав математики Стереометрия. Часть 2. 2016г. Типы рассматриваемых задач: - взаимное расположение элементов фигур в пространстве; - расчетные

Подробнее

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085.

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085. 1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь,

Подробнее

Геометрические построения с помощью ТРЕУГОЛЬНИКА-ШАБЛОНА

Геометрические построения с помощью ТРЕУГОЛЬНИКА-ШАБЛОНА Геометрические построения с помощью ТРЕУГОЛЬНИКА-ШАБЛОНА А.Блинков Несколько лет назад на Турнире Ломоносова была предложена следующая задача (автор И.Ф. Акулич): пользуясь как шаблоном только стандартным

Подробнее

XII Региональная научно-практическая конференция «Колмогоровские чтения»

XII Региональная научно-практическая конференция «Колмогоровские чтения» XII Региональная научно-практическая конференция «Колмогоровские чтения» МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Агоев Лазарь Арсенович, ученик 10 класса МБОУ «СОШ 2 ст. Архонская»

Подробнее

Стереометрия. Часть 2.

Стереометрия. Часть 2. Белогрудов Александр Николаевич УГАТУ доцент кафедры специальных глав математики Стереометрия. Часть 2. 2017г. Типы рассматриваемых задач: - взаимное расположение элементов фигур в пространстве; - расчетные

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Стереометрия: призма.

Стереометрия: призма. А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: призма. 27047. В сосуд, имеющий форму

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту Демонстрационный вариант ЕГЭ 009 г. МАТЕМАТИКА, класс. (009 - ) П Проект Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом

Подробнее

Вопросы и задачи для зачета по математике в 10 А классе. Модуль «Геометрия»

Вопросы и задачи для зачета по математике в 10 А классе. Модуль «Геометрия» Вопросы и задачи для зачета по математике в 0 А классе Модуль «Геометрия».Сформулируйте аксиомы стереометрии А, А, А. Сформулируйте и докажите следствия из аксиом..сформулируйте и докажите теорему о параллельных

Подробнее

Научно-исследовательская работа. Свойства ортоцентрических треугольников

Научно-исследовательская работа. Свойства ортоцентрических треугольников Научно-исследовательская работа Свойства ортоцентрических треугольников Выполнила: Метшина Алина Рафиковна учащаяся класса МБОУ СОШ Руководитель: Морозова Татьяна Николаевна учитель математики Оглавление

Подробнее

Элементы сферической геометрии

Элементы сферической геометрии Дополнения к семинару 6 Элементы сферической геометрии Упражнение 6.1. Опишите все тройки точек сферы, являющиеся вершинами некоторых сферических треугольников. Сколько различных сферических треугольников

Подробнее

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля) 1 I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

Объем пирамиды Теорема. Теорема. : Доказательство.

Объем пирамиды Теорема. Теорема. : Доказательство. Объем пирамиды Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс

Подробнее

Практическое занятие: Шар и сфера. Комбинации многогранников и тел вращения.

Практическое занятие: Шар и сфера. Комбинации многогранников и тел вращения. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Филиал «Молодечненский государственный политехнический колледж» учреждения образования «Республиканский институт профессионального образования» Практическое

Подробнее

Справочные материалы по геометрии в помощь учащимся 9 класса при подготовке к экзамену по математике

Справочные материалы по геометрии в помощь учащимся 9 класса при подготовке к экзамену по математике Справочные материалы по геометрии в помощь учащимся 9 класса при подготовке к экзамену по математике Составитель: уч. математики Молчанова Наталия Львовна а) Сумма смежных углов 180 0 Углы б) Вертикальные

Подробнее

c c

c c Тема: Многогранники Призмы Демонстрационный вариант Решение Задание Стереометрия Задачи 9 и (ЕГЭ профиль) Задача 6 (ЕГЭ база) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны

Подробнее