Хейло Сергей Валерьевич

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Хейло Сергей Валерьевич"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ» На правах рукописи Хейло Сергей Валерьевич РАЗРАБОТКА НАУЧНЫХ ОСНОВ СОЗДАНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРЕДПРИЯТИЙ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Специальность Машины, агрегаты и процессы (лёгкая промышленность) Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук Научный консультант доктор технических наук профессор Глазунов В.А. Москва 4

2 СОДЕРЖАНИЕ Введение. 5 Глава. Робототехника в текстильной и легкой промышленности и перспективы использования механизмов параллельной структуры Промышленные роботы и манипуляционные механизмы в системах технологического транспорта предприятий текстильной и легкой промышленности.... Механизмы параллельной структуры 7.. Практическое применение роботов параллельной структуры 9.4. Методы исследования механизмов параллельной структуры Классификация механизмов параллельной структуры для плоских, вращательных и поступательных движений. 5 Выводы по главе 5 Глава. Структурно-параметрический синтез, кинематический анализ плоских манипуляционных механизмов параллельной структуры Синтез плоских механизмов Решение задачи о положениях Решение задачи о скоростях Решение задачи о скоростях методом винтового исчисления Решение задачи о скоростях методом дифференцирования уравнений связей Решение задачи по определению особых положений механизма Определение рабочей зоны механизма.. 79 Выводы по главе.. 8 Глава. Синтез и анализ поступательно-направляющих манипуляционных механизмов параллельной структуры Синтез поступательно-направляющих механизмов Решение задачи о положении Решение задач о скоростях и особых положениях Решение задачи о скоростях на основе уравнений связей. 97

3 ... Решение прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления... Решение обратной задачи о скоростях методом винтового исчисления и определение особых положений Решение задачи об ускорении....4.кинематическая точность поступательно-направляющего механизма 6 Выводы по главе.... Глава 4. Синтез и анализ сферических механизмов параллельной структуры Синтез сферических механизмов 4.. Решение задачи о положении Решение задач о скоростях и особых положениях Расчет скоростей механизма методом дифференцирования уравнений связи Решение задачи о скоростях методом винтового исчисления Решение задачи об особых положениях методом винтового исчисления Решение задачи об ускорении Кинематическая точность сферического механизма. 6 Выводы по главе Глава 5. Динамический анализ манипуляционных механизмов параллельной структуры Собственные частоты колебаний механизмов параллельной структуры Частотный критерий особых положений Нелинейные колебания манипуляционных механизмов.. Вывод по главе 5.. Глава 6. Управление механизмами параллельной структуры Управление движением манипуляционных роботов по назначен-

4 4 ным траекториям на основе обратных задач динамики 6. Управление поступательно-направляющим механизмом Управление сферическим механизмом Управление механизмом при переходе через особое положение Выводы по главе 6 6 Глава 7. Экспериментальная проверка работоспособности разработанных манипуляторов и перспективы их внедрения Конструирование экспериментальных образцов Экспериментальное исследование механизмов Применения механизмов.. 56 Выводы по главе 7 6 Заключение. 6 Список литературы Приложения 89

5 5 Введение Актуальность темы диссертации. Качественное изменение технологических процессов и продукции предприятий текстильной и легкой промышленности, востребованной рынком, обеспечивается внедрением новых средств автоматизации технологических и вспомогательных операций, транспортно-складских систем. Комплексная автоматизация производства основана на создании и внедрении робототехнических систем и комплексов технологического транспорта. При этом автоматизация транспортных операций, должна охватывать связи не только между оборудованием, но и между технологическими комплексами и переходами. При этом необходимо учитывать, чтобы уровень автоматизации основных технологических процессов соответствовал уровню автоматизации вспомогательных и транспортных операций. На предприятиях текстильной и легкой промышленности на одну технологическую операцию приходится 6 транспортных, при этом на операциях по перемещению грузов на транспортных и складских работах занято -% работающих на предприятии, а доля затрат труда составляет -4%. В текстильной промышленности наиболее полно механизированы и автоматизированы технологические операции прядильного и ткацкого производства. Ручными в этих производствах являются вспомогательные операции. В производстве легкой промышленности общим является большое количество складских операций, транспортировка сырья со склада в цеха и готовых изделий на склад. При создании роботизированных систем и комплексов в текстильной и легкой промышленности необходимо учитывать максимальную гибкость производства, быструю перенастраиваемость на выпуск различных видов продукции на одном и том же оборудовании. В настоящее время в состав большинства робототехнических комплексов на предприятиях текстильной и легкой промышленности входят промышленные роботы последовательной структуры с различным числом степеней свободы.

6 6 Одной из основных мировых тенденций современной робототехники является создание пространственных манипуляционных механизмов параллельной структуры. Об этом свидетельствуют большое количество научных публикаций и выступлений на международных и всероссийских конференциях. Данный класс манипуляционных механизмов широко применяется в различных отраслях промышленности в измерительных, технологических, обрабатывающих, ориентирующих устройствах. Эти механизмы имеют особые свойства, отличающиеся от механизмов последовательной структуры. В манипуляционных механизмах параллельной структуры выходное звено соединено с основанием несколькими кинематическими цепями. Многоподвижная замкнутая кинематическая цепь механизма обеспечивает большую жесткость его конструкции, грузоподъемность и точность, что приводит к уменьшению размеров и масс подвижных звеньев. Кроме того, в таких механизмах приводы располагаются на внешней поверхности по отношению к выходному звену и кинематическим цепям, что позволяет использовать их в экстремальных средах. Несмотря на широкое развитие манипуляционных механизмов параллельной структуры, они не применяются на предприятиях текстильной и легкой промышленности. Исходя из изложенного, можно утверждать, что разработка комплексного подхода к созданию механизмов параллельной структуры различных классов для использования на предприятиях текстильной и легкой промышленности является актуальной проблемой. Целью диссертации является разработка научных и методологических основ конструирования манипуляционных механизмов параллельной структуры для плоских, вращательных, поступательных движений на основе комплексного решения проблем структурно-параметрического синтеза, кинематического и динамического анализа, разработки алгоритмов управления и анализа точности. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

7 7. Анализ возможного применения механизмов параллельной структуры в текстильной и легкой на основе исследования операций, проведение классификации механизмов параллельной структуры для плоских, поступательных и вращательных движений с точки зрения их применимости для легкой промышленности.. Формирование принципов структурно-параметрического синтеза плоских, поступательно-направляющих и сферических механизмов параллельной структуры для механизмов с тремя степенями свободы и их классификация.. Разработка методологии комплексного решения задачи кинематики с учетом сингулярностей и точности. 4. Исследование динамических свойств механизмов с учетом взаимного влияния между степенями свободы на основе анализа нелинейных колебаний. 5. Разработка критериев особых положений и определение собственных частот вблизи вырожденных конфигураций. 6. Разработка алгоритма управления механизмом на основе динамических свойств, в том числе при переходе через области особых положений. 7. Разработка конструкций и физических моделей механизмов и экспериментальное исследование их свойств. Научная новизна. Впервые разработаны научные и методологические основы проектирования механизмов параллельной структуры, базирующиеся на структурногеометрическом синтезе и анализе связей, налагаемых кинематическими цепями.. Впервые разработаны ряды механизмов на основе кинематического анализа манипуляционных механизмов параллельной структуры. Сопоставлены результаты, полученные на основе дифференцирования уравнений связей и анализа кинематических и силовых винтов. Показано соответствие этих подходов.. Впервые проведены теоретические и экспериментальные исследования параметров механизмов параллельной структуры на основе критериев особых положений. Сопоставлены результаты определении особых положений, полученные на основе динамического и кинематического критериев.

8 8 4. Впервые разработаны методологические основы формирования количественной и качественной характеристик механизмов параллельной структуры в зависимости от функционального назначения на основе разработанной методологии анализа кинематической и динамической точности движения по заданному закону. 5. Впервые разработаны научные основы повышения производительности механизмов параллельной структуры на основе сформированных алгоритмов управления манипулятором параллельной структуры, основанные на минимизации ошибок по положению, скорости и ускорению. Этот алгоритм проанализирован с точки зрения устойчивости и точности движения по заданному закону. 6. Впервые исследованы процессы динамики манипуляционных механизмов параллельной структуры, связанные с взаимным влиянием между степенями свободы. Эти динамические свойства проанализированы применительно к нелинейным колебаниям. 7. Разработаны конструкции действующих моделей механизмов параллельной структуры и проведено экспериментальное исследование их характеристик. Теоретическая значимость определена тем, что в работе создан комплексный подход к созданию манипуляционных механизмов параллельной структуры для плоских, вращательных, поступательно-направляющих механизмов. Практическая значимость обусловлена тем, что: - синтезированы механизмы для конкретных технических задач, выполняемых в текстильной и легкой промышленности, а также в других отраслях; - разработан комплекс алгоритмов и программ для решения задач кинематики и динамики, на основании которых получены алгоритмы и программы управления этими манипуляционными механизмами; - приведены анализы функциональных возможностей с учетом особых положений, точности данных механизмов; - разработаны конструкции и проведены исследования натурных образцов механизмов параллельной структуры различных классов; - приведены рекомендации по проектированию механизмов.

9 9 Полученные результаты расширяют области применения данных механизмов и предназначены для их использования в текстильной легкой промышленности, а также в медицинской, космической, транспортной, обучающей, металлообрабатывающей робототехнике. Методология и методы исследования. При решении поставленных задач были использованы методы теории машин и механизмов, теоретической механики, дифференциального исчисления, матричного исчисления, аналитической и численной геометрии, методы классификации, теории автоматического управления, теории колебаний, аппарата винтового исчисления, теории точности, математического и компьютерного моделирования. Положения, выносимые на защиту: - классификация механизмов параллельной структуры для плоских, поступательных и вращательных движений с тремя степенями свободы на основе структурно-геометрического синтеза; - создание рядов механизмов различных классов плоских, поступательнонаправляющих, сферических; - методика и результаты расчетов кинематических характеристик механизмов различных классов, включающие решение задач о положении, скоростях, ускорениях, точности, определение сингулярностей. - результаты анализа динамических свойств механизмов, в том числе параметры нелинейных колебаний механизмов параллельной структуры; - динамический критерий особых положений; - алгоритмы управления механизмами параллельной структуры, в том числе в области особых положений; - параметры экспериментальных моделей механизмов, их конструкций и свойств. Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием общепринятых допущений, корректностью математических выкладок и доказа-

10 тельств, частичной проверкой аналитических результатов путем численного и натурного экспериментов. Апробация результатов. Основные положения доложены и обсуждены на конференциях: - международная научно-техническая конференция «ТЕКСТИЛЬ», (, Москва, МГТУ им А.Н. Косыгина), - международная научно-техническая конференция «ТЕКСТИЛЬ» (, Москва, МГТУ им А.Н. Косыгина), - международная научно-техническая конференция «ТЕКСТИЛЬ» (, Москва, МГТУ им А.Н. Косыгина), - XXII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и аспирантов (МИКМУС-) (Москва, ИМАШ РАН, ), - XVII международный семинар «Технологические проблемы прочности» (, Подольск, МГОУ), - XXIII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и аспирантов (МИКМУС-) (Москва, ИМАШ РАН, ), - Международная научно-практическая конференция «Современные наукоемкие технологии и перспективные материалы текстильной и легкой промышленности» Прогресс- (Иваново, ИГТА, ), - Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н. Новгород, НГУ им Н.И. Лобачевского, ), - XVII симпозиум «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Клин, ), - IX Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, НГУ им Н.И. Лобачевского, ), - th Word Congress n Mechansm and Machne Scence, (Guanajuato, Меco, ), - EUCOMES 4th European conference on mechansm scence (Santander, Span, ),

11 - th ITOMM Internatona Smposum on Robotcs and Mechatroncs. (Sngapore, ), - ROMANSY 4 ХХ CISM-IToMM Smposum on theor and practce of robots and manpuators. (Russa, Moscow, 4) Практическая значимость работы подтверждена актами апробации на текстильном предприятии ООО «Тексфо», обувной фабрики ЗАО «Парижская коммуна». Также результаты в области проектирования, синтеза и разработанные алгоритмы решения задач кинематики, динамики и управления манипуляционными механизмами параллельной структуры использованы в проектах ФГБУН ФИАН им П.Н.Лебедева РАН. Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 4 работы, в том числе 7 статей в журналах, входящих в перечень рецензируемых журналов ВАК, 6 статей в зарубежных журналах, патента на изобретение, патента на полезную модель, монография. Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы из 44 наименований. Объем диссертации составляет 9 страницы, включая 4 рисунок и 8 таблиц.

12 ГЛАВА. РОБОТОТЕХНИКА В ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В настоящей главе показаны примеры использования промышленных роботов в текстильной и легкой промышленности. Рассмотрены манипуляционные механизмы параллельной структуры для поступательных, вращательных и сферических движений, а также примеры их применения в различных отраслях промышленности. Приведены методы исследования пространственных механизмов параллельной структур.... Промышленные роботы и манипуляционные механизмы в системах технологического транспорта предприятий текстильной и легкой промышленности На предприятиях текстильной и легкой промышленности применяются различные средства автоматизации на технологических процессах и операциях [, 4,, 5, 97, 98]. На одну технологическую операцию приходятся 6 транспортных операций. Эти операции выполняют технологические и транспортные роботы. В текстильной промышленности применяются разнообразные промышленные роботы-манипуляторы. В прядильном производстве, роботы применяются для съема бобин с прядильных машин. Они обладают некоторыми особенностями. Движения робота должны быть плавными и точными, с невысокой грузоподъемностью. Исполнительный орган должен взаимодействовать с технологическим оборудованием, а для обслуживания нескольких машин для него создают транспортную линию. Робот типа ЭМУ применяется в прядильном производстве [5]. Робот ЭМУ- Э обладает шестью степенями свободы при грузоподъемности до,5 кг и универсальной системой управления (рис..). Этот робот может работать в сложной

13 пространственной зоне, обходить препятствия, обеспечивать доступ к объекту манипулирования с различных сторон. Используется этот манипулятор для съема поковок на прядильном производстве. а) б) Рис... Кинематическая схема ЭМУ-Э а компоновочная схема, б кинематическая схема Робот ЭМУ-Э предназначен для манипулирования с крупногабаритными объектами цилиндрической формы (тазами для пряжи в прядильном производстве) и имеет четыре степени свободы при грузоподъемности до 5 кг (рис..). Применяется данный робот для смены наработанных тазов с лентой на лентоукладчиках чесальной машины, их дальнейшей транспортировки.

14 4 а) б) Рис... Кинематическая схема ЭМУ-Э а компоновочная схема, б кинематическая схема В состав робототехнического комплекса для участка упаковки и пакетирования бобин с нитями и пряжей (рис..) входят промышленный робот ТУР- (поз.), промышленные робот МУП- (поз.) (модульный универсальный пакетировщик), МУП- (поз.4) []. Промышленный робот ТУР- (рис..4) предназначен для съема бобин с нитями с транспортной тележки и укладки в поддон тары обладает тремя степенями свободы. Промышленный робот МУП- для подачи на стол поддонов, МУП- (рис..5) для съема ящика тары со стола и создание блоков из тары.

15 5 Рис.. РТК упаковки и пакетирования бобин Рис..4. Промышленный робот ТУР-. Промышленный робот МУП- предназначен для подачи на поворотный стол поддонов и крышек полимерной тары, оснащенные вакуумными захватными присосками. МУП- предназначен для съема тары с продукцией с поворотного стола и формирования пакетов из полимерной тары, оснащенной клещевыми устройствами для захвата ящика.

16 6 а) Рис..5 Промышленный робот МУП- а компоновочная схема, б кинематическая схема б) В робототехническом комплексе для съема и укладки чулочно-носочных изделий входит промышленный манипулятор (рис..6). Этот манипулятор предназначен для съема чулочно-носочных изделий после отделки и переноса их в зону действия приемного устройства. Манипулятор состоит из руки, захватного устройства и опорной стойки. Рука манипулятора совершает возвратнопоступательное перемещение по наклонной траектории.

17 7 а) б) Рис..6 Робот для съема чулочно-носочных изделий а компоновочная схема, б кинематическая схема В робототехническом комплексе для обжима бобин в крашении применяется промышленный манипулятор, предназначенный для автоматического съема бобин с транспортного средства, перемещения бобин с поворотом в зону механического обжима и возврата обработанных бобин на транспортное средство. Манипулятор имеет три степени свободы: вертикальный подъем, горизонтальное перемещение и поворот (рис..7). Каждая степень свободы обеспечивается независимым приводом. Тип привода пневматический.

18 8 а) б) Рис..7 Робот для обжима бобин а компоновочная схема, б кинематическая схема В швейном производстве роботы применяются в вспомогательных операциях (ориентацию и укладывание пошиваемых заготовок), в технологических операциях (перемещение пошиваемых тканей, раскрой тканей, сборка и отделка готовой одежды), в складских операциях.

19 9 Рассмотрим особенности роботов в швейном производстве. Рулоны тканей доставляются внешним транспортом с ткацких предприятий. Погрузочные операции осуществляются транспортными автоматизированными средствами с помощью манипуляторов с ручным управлением, например, ШБМ-5 (рис..8). Межцеховая транспортировка контейнеров на участок разбраковки осуществляется напольными транспортными роботами грузонесущего либо грузотянущего типа. Рис..8 Манипуляторов с ручным управлением ШБМ-5 Раскройный комплекс является основным комплексом робототехнических систем. Работы по техническому размножению, вырезке и маркировке лекал объемны и трудоемки. Робототехнический комплексы «Силуэт-К», «Силуэт-С» предназначены для вычерчивания раскладок лекал и их вырезки. Конструктивно «Силуэт» имеет рабочий планшет, представляющий двухкоординатную систему, состоящую из неподвижного стола, где размещен материал или лекало и исполнительный механизм. Исполнительный механизм является конструкцией портально-

20 го типа, состоящий из двух тележек, соединенных несущей балкой. По направляющей балке перемещается исполнительный орган. Портал перемещается с помощью двух независимых приводов (рис..9). а) б) в) г) Рис..9 Схема раскройного комплекса а фотография комплекса, б схема расположения выкроек в компоновочная схема, г кинематическая схема Автоматизация раскроя позволяет сократить затраты труда. В качестве режущих инструментов может использоваться нож, лазерный луч, струя воды, плазма и т.п. В робототехническом комплексе обметывания петель ОП- предназначен для обметывания петель на сорочках (рис..). Кроме швейного полуавтомата в комплекс входит робот ПР-5 с системой управления, с двумя степенями свободы. Рабочий орган совершает подъем и поворот. Робот захватным устройством отде-

21 ляет манжету, поворачивается на 6 и укладывает ее в швейный автомат. После окончания обработки захватным устройством переносит в кассету-накопитель. а) б) Рис.. Промышленный робот, применяемый в швейном производстве а компоновочная схема, б кинематическая схема Обувное производство характеризуется сложными технологическими процессами, большим выпуском разнообразной продукции. Основные технологические процессы высоко автоматизированы. Однако доля ручного труда приходится на подготовительное производство, вспомогательные операции (перекладка обуви, загрузка обуви в сушильные камеры) Анализ ручных операций показывает, что вариабельность характеристик обувного производства, большой разброс в требованиях точности, зон обслуживания затрудняет использование стандартных промышленных роботов. Для съема обуви с технологического оборудования нужен робот небольшой грузоподъемности, имеющей одну-две степени свободы.

22 Для загрузки обуви с колодками в сушильную камеру требуется робот с грузоподъемностью до -5 кг, с перемещением до нескольких метров с тремячетырьмя степенями свободы. Для выполнения основных технологических операций (взъерошивание, нанесение клея) требуется робот с обратной связью, с грузоподъемностью до 5 кг и пятью-шестью степенями свободы. Разработаны образцы модульных промышленных роботов с различным число степеней свободы типа МО (модульный, обувной). Эти манипуляционные механизмы выполнены в виде открытых кинематических цепей (рис..). а) б) в) Рис.. Кинематические схемы роботов в обувной промышленности а с двумя степенями свободы, б с четырьмя степенями свободы Промышленные роботы работают в цилиндрической системе координат и предназначены для выполнения в робототехнических системах перегрузочные операции на межоперационных складах, технологическом оборудовании и в транспортных системах. Также робот МО- может применяться в робототехниче-

23 ском комплексе по влажно-вакуумной тепловой обработке. Исполнительный орган снимает и переносит колодки с обувью в камеру. Для выполнения основных технологических операций (взъерошивание, нанесение клея на затяжную кромку) может быть использован промышленный робот МО- (рис..). Исполнительный орган перемещается по замкнутой траектории, причем важными параметрами являются угловая и линейная скорость движения инструмента, а также усилие, действующее на кромку верха обуви. Рис.. Робот МО- Промышленный робот МО- обладает пятью степенями свободы. В литьевых агрегатах обувного производства применяются специализированные промышленные роботы типа ПУМ-Э (пневматический универсальный манипулятор с электрическим управлением) (рис..).

24 4 а) б) Рис.. Промышленный робот ПУМ-Э а компоновочная схема, б кинематическая схема В кожевенном производстве применятся роботы для простых перемещений типа «взять» и «положить» обрабатываемых кож с точностью позиционирования мм, со схватами вакуумного и клещевого типов []. В процессе производства кожи перемещают из горизонтального положения в вертикальное и наоборот. Применяемые роботы могут осуществлять либо только одну операцию по загрузке (выгрузке) кож, либо, обладая большим числом степеней свободы, выполнять операции по загрузке-выгрузке и ориентации мягких и жестких кож, совершая две-три операции. Специализированный манипулятор МВ- предназначен для подачи, приема и укладки мягких и жестких кож (рис..4). Манипулятор имеет две руки с схватами, выполненных в виде вакуумных присосок. В рабочем положении руки расположены горизонтальном положении. В первой руке в присосках создается вакуум, соприкоснувшись с кожей и захватывая ее. Затем руки возвращается в вер-

25 5 тикальное положение, поворачивается на 8, т.е. руки меняются местами. После поворота вторая рука принимает горизонтальное положение и схватывает следующую кожу из пачки, а первая укладывает кожу. а) б) Рис..4 Манипулятор МВ- а компоновочная схема, б кинематическая схема Технологический процесс отделки жестких кож (чепраков) связан с необходимостью перекладки чепраков с одного технологического оборудования на дру-

26 6 гое. Промышленные роботы используют для перекладки кож после их сушки с транспортных средств на технологическое оборудование и обратно. Чепрак представляет собой полуфабрикат сложной конфигурацией, толщиной от 5 до мм, шириной от,8 м до,5 м, длиной до м. Масса составляет до кг. В робототехническом комплексе на отделочном участке жестких кож применяется робот с тремя степенями свободы (рис..5). Рабочий орган представляет конструкцию из вакуумных присосок. а) б) Рис..5 Схема манипулятора ПР а компоновочная схема, б кинематическая схема Для погрузочно-разгрузочных работ большое применение находят манипуляционные механизмы, заменяющие машины подвесного монорельсового и самоходного напольного транспорта, управляемые вручную оператором.

27 7 Таким образом, приведены примеры использования манипуляционных механизмов на предприятиях текстильной и легкой промышленности. В основном применяются механизмы с открытой кинематической цепью, т.е. представляют последовательную структуру... Механизмы параллельной структуры Одной из мировых тенденций развития робототехники является создание пространственных манипуляционных механизмов параллельной структуры. Пространственные механизмы параллельной структуры манипуляторы параллельной структуры имеют ряд преимуществ по сравнению с традиционными механизмами роботов. Эти механизмы обладают повышенными показателями по точности, жесткости и грузоподъемности, а приводы могут быть расположены на основании. В данных механизмах выходное звено соединено с основанием несколькими кинематическими цепями, каждая из которых либо содержит привод, либо налагает некоторое число связей на движение выходного звена. Многоподвижная замкнутая кинематическая цепь механизма приводит к уменьшению размеров и масс подвижных звеньев. Интерес к этим объектам объясняется не только их функциональными возможностями, но и самой логикой развития теории механизмов. Если в начале объектом исследования были в основном плоские механизмы с замкнутой кинематической цепью и одной степенью свободы, то затем внимание стали привлекать пространственные механизмы. После этого получили развитие характерные для роботов механизмы с незамкнутой цепью, а затем развитие вновь пришло к замкнутым цепям, имеющим большое число степеней свободы. Исследования данного класса механизмов достаточно подробно описано в монографиях: Ж.-П. Мерле [8], К. Конга и К. Гослена [94], М. Чекарелли [54], В.А. Глазунова, А. Ш. Колискора и А.Ф. Крайнева [7], в работах В.А. Глазунова [4, 5, 6, 6, 6], А.Ф. Крайнева [6], Р.И. Ализаде [], К.С. Арзуманян [4],

28 8 Ю.Л.Саркисян, Т.Ф.Парикян [, ], К.Х. Хант [8], В. Аракелян, С. Брио [, 9, 4, 4], М. Чериккато, В. Паренти-Кастелли [5, 5], Д. Денавит, Р. Хартенберг [6], Г. Гогу [7, 7, 74, 75], С.М. Госслен [77 79], Л.М. Лии [], Л.В. Цай [], Д. Рай [9], П.А. Лебедева, П.О. Мардер [79], А.Г. Овакимова [8] и ряда других авторов. Необходимо отметить, что у манипуляционных механизмов параллельной структуры существенно уменьшается рабочее пространство манипулятора по сравнению с механизмами последовательной структуры. Еще одной особенностью механизмов параллельной структуры является наличие особых (сингулярных) положений, в которых возможна потеря степени свободы либо управляемости выходного звена [4, 5, 7, 78, 8, 97,, 6,, 4, 44]. Взаимовлияние степеней свободы усложняет задачу управления такими механизмами Исторически первой публикацией в этой области стала известная статья Д. Стюарта [4], в которой описывался механизм тренажера для подготовки летчиков (рис..6). Однако более ранним устройством была платформа В. Гофа [8], использовавшаяся для испытаний колесно-ступичного узла автомобилей. Этот механизм был подробно исследован в работах [6, 9,, 6, 5, 4] и трудах других авторов. Большое количество изобретений, связанных с использованием двигательных и измерительных устройств параллельной структуры было предложено А.Ш. Колискором с соавторами [4, 7, 56]. Существуют парадоксальные механизмы с избыточными связями, описанные в работах Д. Беннета [45]. На основе соотношений между длинами звеньев и углами разработаны пятизвенные и шестизвенные механизмы (комбинации механизмов Беннета), описанные в работах П.Г. Мудрова [8], М. Голделберг [76]. Также механизмом с особыми свойствами является механизм Брикара, описанный Д. Бейкером [4, 4].

29 9 Рис..6 Платформа Гауфа-Стюарта Большое внимание имеет вопрос влияния налагаемых связей на возможные движения выходного звена (платформы) данных механизмов. Например, как должны быть сформированы кинематические цепи механизмов параллельной структуры, чтобы выходное звено имело лишь поступательные движения. Одним из первых исследований в данной области была работа Ю.Л. Саркисяна и Т.Ф. Парикяна [], в дальнейшем большой ряд решений был представлен К.Конгом и К.Госленом [94], Г. Гогу [7, 7], В.А. Глазуновым [86] Наибольшее применение имеют механизмы, обладающие меньшей степенью свободы, пятью, четырьмя, тремя. Одним из самых известных механизмов, обладающих упомянутым свойством сохранения постоянной ориентации, является робот Deta (рис..7), предложенный Р. Клавелем [58]. Данный тип манипулятора имеет три одинаковых цепи, состоящих из трех вращательных кинематических пар, оси которых параллельны, и шарнирного параллелограмма, оси вращательных пар которого перпендикулярны оси приводной вращательной пары. Такая конфигурация параллелограмма эквивалентна поступательной кинематической паре. В этом механизме возможно введение дополнительного вращения выходного звена за счет еще одного враща-

30 тельного двигателя, движение которого передается четвертой кинематической цепью, выполненной наподобие карданного вала. Рис..7 Манипулятор Deta Еще один механизм параллельной структуры с тремя поступательными степенями свободы, названный Orthogde [57, 6], в котором приводы выполнены в виде линейных двигателей (рис..8) Рис..8 Манипулятор Orthogde

31 В данном механизме призматические пары являются входными, а движение на конечно звено передается через параллелограммы, включающие вращательные звенья. Это упрощает управление механизмом и положительно влияет на точность позиционирования. Наличие параллелограммов в механизмах Deta и Orthogde в конструкции кинематических цепей является общим свойством. Наличие параллелограммов ограничивает нежелательные степени свободы, однако дополнительное число кинематических пар усложняет конструкцию. К. Конгом и К. Госленом [94] предложены манипуляторы, в которых достигнута «изоморфность», т.е. каждый линейный двигатель перемещает выходное звено лишь по одной декартовой координате с передаточным соотношением, равным единице (рис..9). Механизмы, представленные на рисунках (рис.. а, б), имеют свойство изоморфности. Они разработаны М. Чаррикато и В. Паренти-Кастелли [5]. Рис..9 Манипуляторы Конга и Гослена

32 а б Рис... Поступательно-направляющие механизмы: а механизм Чаррикато с поступательными двигателями; б механизм Паренти-Кастелли с вращательными двигателями Постоянство ориентации выходного звена можно достичь за счет того, что в каждой из трех кинематических цепей установлены два карданных шарнира [7]. Таким образом, три кинематические цепи «отбирают» три возможных вращения. В сферических механизмах передача движения осуществляется между взаимопересекающимися осями [8, 44, 45]. Предметом исследований сферических механизмов были рабочие зоны [8], вопросы синтеза [8, 87, 9,,, 5], сингулярностей [8, 4]. Выходное звено представляет собой вращающуюся вокруг трех осей платформу [78, 88] (рис..). Рис.. Сферический механизм

33 Он состоит из основания, выходного звена, трех кинематических цепей с совпадающими осями приводных и неприводных пар различных кинематических цепей, что упрощает решение задач о положениях, но усложняет конструкцию. В сферическом механизме (рис... а) приводы расположены на цилиндрическом основании, могут совершать поступательное движение по направляющим. Каждая цепь содержит по одному промежуточному звену 4, соединенному с приводом цилиндрической парой, а с выходным звеном сферической []. Другой сферический механизм (рис.. б) состоит из трех кинематических цепей, с тремя кинематическими парами, а приводы расположены на одной оси. а) б) Рис.. Сферический механизм а схема механизма, с расположенными приводами на цилиндрических направляющих, б схема механизма с расположенными входными парами на одной оси Также сферический механизм (рис..) может содержать по три вращательные пары, оси которых пересекаются в одной точке, причем оси неприводных пар лежат на несовпадающих осях. Указанные манипуляторы применяются в устройствах для ориентирования антенн, телескопов, в испытательных стендах, для обработки сферических поверхностей, в смесителях [8, 8].

34 4 Рис.. Схема сферического механизма Особенностью пространственных механизмов параллельной структуры может являться частичная или полная кинематическая развязка, что позволяет исследовать механизмы с большим число степеней свободы [9, 7, 48, 5, 65, 66, 7,, 8]. Интерес представляют механизмы с четырьмя степенями свободы, у которых выходное звено совершает поступательные движения, а также вращения вокруг параллельных осей, например, расположенных вертикально. Такие движения иногда называют движениями Шенфлиса [5]. Причем такой механизм обладает свойством частичной кинематической развязки, что позволяет исследовать свойства механизма не с четырьмя, а тремя степенями свободы. Робот Pamnsa, предложенный В. Аракеляном с соавторами, содержит три соединительные кинематические цепи [9, 5], в каждой из которых имеют место механизмы пантографов (рис..4 а). Эту же задачу решает манипулятор с двумя кинематическими цепями, предложенный Д. Анджелесом с соавторами [5]. В данном манипуляторе каждая кинематическая цепь содержит по два привода (рис..4, б).

35 5 а) б) Рис..4 Манипуляторы с четырьмя степенями свободы: а - манипулятор Pamnsa, б - манипулятор Анджелеса Ряд манипуляторов с тремя и четырьмя степенями свободы были разработаны Г. Гогу [7]. В этой работе большое внимание уделено проблеме развязки движений в механизмах параллельной структуры. Движения в данных механизмах требуют согласованного действия целой группы приводов, что усложняет управление. Для решения вопроса были предложены разные решения. В частности, в манипуляторе Deta (с четырьмя степенями свободы) разделены поступательные и вращательное движения, в манипуляторе Pamnsa с тремя кинематическими цепями вертикальное перемещение и уравновешивание веса выполняется одним приводом, а остальные приводы выполняют движения в плоскости. Развязка движений может быть осуществлена на основе использования шарнирных параллелограммов, обеспечивающих взаимные поступательные движения звеньев [89]. При синтезе механизмов с шестью степенями свободы проблема развязки приобретает особое значение. К. Миановски использовал подход, когда вращательные и поступательные двигатели установлены на основании с совмещением их осей (рис..5) []. Таким образом, получены две схемы механизмов с тремя степенями свободы в каждом. Другим решением является манипулятор, предложенный И-Минг Ченом с соавторами [8]. В нем поступательные и вращательные

36 6 приводы с совмещенными осями также размещены на основании (рис..6). В данном решении использованы поступательные неприводные пары. Рис..5 Манипулятор Миановского с развязкой движений: Рис..6 Манипулятор И. Минг Чена с развязкой движений В механизме (рис..7) с четырьмя степенями свободы также можно провести развязку движений, при которой вертикальные перемещения независимы от плоских движений [9]. Используя ту же конструкцию манипулятора и вводя поступательные пары в две цепи, получаем механизмы с пятью и с шестью степенями свободы [87, 88]. В механизме, предложенном В.А. Глазуновым с соавторами, вращательные движения развязаны относительно поступательных движений [9] Механизмы параллельной структуры в силу взаимного положения соединительных кинематических цепей могут иметь нелинейные динамические характери-

37 7 стики. Методы решения соответствующих задач представлены в работе Р.Ф. Ганиева и В.О. Кононенко []. Рис..7 Схема механизма с четырьмя степенями свободы с частичной развязкой С развитием инфраструктуры наноиндустрии возникает необходимость создания механизмов, устройств и приборов, обеспечивающих перемещение выходного звена в микро- и нанометровом диапазоне [7,, 6, 84, 85]. Например, конструктивным узлом измерительного оборудования является двух-трех координатный столик, дающий возможность менять положение образца при исследовании. Обеспечить высокую точность перемещения стола позволяют манипуляторы параллельной структуры, примером которых может служить поступательный механизм (рис..8, а). Данный манипулятор имеет три замкнутые кинематические цепи, обладает тремя степенями свободы: перемещения вдоль осей,,. Каждая кинематическая цепь содержит одну поступательную и две вращательных кинематических пары. Все кинематические пары являются изгибными, т.е. изготовлены с применением

38 8 пластичных материалов, и имеют специфическую геометрическую форму (рис..8 б). При реверсивном движении выходного звена точность возврата составляет около 4 нм. а) б) Рис..8 Манипулятор с тремя степенями свободы: а кинематическая схема; б - изгибные кинематические пары Точность обеспечивается применением кинематической цепи параллельной структуры с использованием изгибных кинематических пар наряду с жесткими звеньями. Кинематические пары выполнены в виде изгибных упругих элементов, чтобы исключить возможные люфты и адгезию в агрессивных средах [85]. Механизмы параллельной структуры в силу высоких показателей по грузоподъемности и точности нашли достаточно широкое применение в устройствах для относительного манипулирования инструментом и обрабатываемым изделием (рис..9) [9,, 6, 65, 7]. Например, при обработке заготовки детали на станке один из механизмов перемещает рабочий инструмент. Другой механизм, удерживающий заготовку, обеспечивает ему дополнительные движения. Одним из направлений развития механизмов параллельной структуры является создание механизмов с параллельно-переменной структурой, разработанные В.А. Глазуновым, В. Аракеляном, С. Брио [4, 4, 68]. В этих механизмах при приближении к особым положениям, происходит переключение приводов хотя бы одной кинематической пары.

39 9 Рис..9 Механизм относительного манипулирования Таким образом, механизмы параллельной структуры образуют обширный класс механизмов с уникальными свойствами... Практическое применение роботов параллельной структуры Механизмы параллельной структуры находят все более широкое применение в качестве исполнительных органов разнообразных машин, автоматов, станков и устройств в различных отраслях промышленности (машиностроение, приборостроение, полиграфическая промышленность, медицинская техника, сельское хозяйство и др.). Так, известный механизм Deta (рис..) впервые был применен в установке для упаковки кондитерских изделий, хлебобулочных изделий и лекарств [46].

40 4 а) б) Рис.. Установки на базе механизма Deta для упаковки: а хлебобулочных изделий, б - кондитерских изделий Робот больших размеров (длиной звеньев более 8 мм) нашел применение для ориентирующих движений, например, хирургического оборудования (массой до кг) (рис..).главным преимуществом предложенной схемы является её повышенная маневренность и расширенная граница рабочей зоны [46]. На базе механизма Deta создан манипулятор, позволяющий работать в качестве аппарата искусственного дыхания с частотой ударов в минуту и амплитудой 4-5 см [9]. В таком роботе реализована функция не перемещения, а силового и вибрационного действия. Параллельные механизмы используют в стендах на базе механизма «трипод» для тренировки пилотов. Стенды могут иметь три степени свободы (рис.. а) и четыре степени свободы (рис.. б) [9, 98]. В схеме с тремя степенями свободы ведущие двигатели расположены в поворотных шарнирах основания, а штанги имеют постоянную длину. Этим обеспечивается относительно меньшая масса самого устройства и большая скорость перемещения исполнительного узла, чем у механизма, выполненного по схеме гексапод

41 4 Рис... Манипулятор Deta для перемещения медицинского оборудования а) б) Рис.. Стенды для тренировки пилотов: а - стенд с тремя степенями свободы, б - стенд с четырьмя степенями свободы Гексапод является примером параллельного механизма с шестью степенями. Он выполнен на базе шести механизмов поступательного перемещения. Одним концом штанга шарнирно соединена с основанием, а другим (также шарнирно) - с подвижной платформой, на которой установлен рабочий орган. Управляя вылетом штанг по программе, можно управлять положением выходного звена. На практике схема гексапода реализована в виде многоцелевого фрезерного станка OKUMA PM-6 (рис.) [8].

42 4 Рис... Обрабатывающий центр OKUMA PM-6 Гексапод с шестью степенями свободы используется в механизме медицинской кушетки для ориентации пациента при лучевой терапии. Грузоподъемность механизма составляет 85 кг, а точность позиционирования равна, мм []. Параллельные роботы на базе гексапода используются для контроля ориентации антенны (рис..4), их особенностью в данном случае является небольшой размер привода по сравнению с размером тарелки антенны [6, 8]. Кроме того подобные роботы широко применяются в качестве базовых механизмов хирургического инструмента [] при проведении операций на позвоночнике (рис..5, а, б), в нейрохирургии (рис..6) [5]. Точность позиционирования хирургического инструмента составляет мкм. Рис..4. Механизмы контроля ориентации антенны на базе гексапода

43 4 а б Рис..5 Хирургический нож для операций на позвоночнике: а - общий вид; б - в работе Рис..6 Операционный стол на базе гексапода Пространственные сферические механизмы с двумя и более степенями свободы широко применяются в смесительных машинах (рис..7) и в целом ряде аналогичных устройств [8]. Учитывая, что приводы расположены на основании, а выходное звено может работать в рабочей области, например в агрессивной среде, был разработан механизм для испытаний моделей летательных аппаратов в аэродинамической трубе (рис..8). Такой механизм имеет шесть степеней свободы и два стержня-ввода в рабочую область. Кроме того, здесь возможна частичная кинематическая развязка три привода управляют положением выходного звена, а три его ориентацией.

44 44 Рис..7 Схема смесителя Рис..8 Манипулятор для испытаний моделей летательных аппаратов Плоские механизмы находят применение в машиностроении для сварки и резки сложных профилей, в пищевой промышленности для оформления кондитерских изделий (рис..9) [67, 9].

45 45 Рис..9 Плоский механизм (для лазерной резки) Также механизмы с шестью степенями свободы могут найти применение в механизмах с гибкой связью (рис..4) [8]. Рис..4 Механизм с гибкими звеньями Механизмы параллельной структуры используются при моделировании биологических конструктивных систем, в частности при моделировании протеза руки (рис..4 а) [8, ], работы челюстных мышц (рис..4 б) [5].

46 46 а) б) Рис..4 Модель биологических систем а протез руки, б моделирование мышц челюсти Многоконтурные пространственные кинематические цепи могут иммитироровать модели кристаллических структур [4]. Приведенные примеры показывают широкое практическое применение манипуляторов параллельной структуры в различных отраслях промышленности. При решении вопросов модернизации производства за счёт автоматизации технологических процессов, особенно требующих полной замены человеческого труда в недоступных местах, необходимость создания механизмов, рабочий орган которых совершает сложные пространственные движения, резко возрастает. Внедрение манипуляторов параллельной структуры является перспективным и актуальным с точки зрения модернизации предприятий текстильной и легкой промышленности..4 Методы исследования механизмов параллельной структуры Исследования пространственных механизмов параллельной структуры строится на общих методах теории механизмов и машин, что нашло отражение в трудах таких классиков как И.И. Артоболевского [5, 6, 7], Н.Г. Бруевича [5], А.П. Бессо-

47 47 нова [], Ф.М. Диментберга [4 4], Е.И. Воробьева [9], В.В. Добровольского [44], В.А. Зиновьева [49], К.В. Фролова [59, 5], А.Ф. Крайнева [64 66], П.А. Лебедева [74], Н.И. Левитского [75], А.П. Малышева [78], П.Н. Белянина [9], К. Ханта [89], Б. Росс [7, 6, 7], К. Уолдрон [4], Д. Даффи [], Ж. Эрве [86], К. Вольхарт [7], Р. Войня и М. Атанасиу [9], И.М. Соболь, Р.Б. Статникова [], П.Г. Мудрова [8], Решетова Л.Н [99], М. Шахинпура [8], Ф.Л. Черноусько, Н.А. Болотник [7], Г.В. Крейнина [5], Г.Б. Иосилевича [5] и многих других. Значительный вклад в теорию разработки и практику применения манипуляционных механизмов параллельной структуры внесли такие отечественные и зарубежные ученые как Ф.М. Диментберг [4], В.А. Глазунов, А.Ф. Крайнев [4, 7, 8], С.Г. Кислицын [5], Ж.П. Мерле [9], Д. Анджелес [8], К. Госслен, Д.Анджлесес [78], Хант [89, 9], X. Kong [94], Ж.Эрве [86], Д. Гогу [7, 7], Л. Цай [, ], Л. Бонев [47], В. Аракелян [4, 49 ] и другие. Вопросы синтеза механизмов параллельной структуры рассмотрены в трудах В.А.Глазунова [, 67, ], Д. Анджелеса [6, 8, 9], М. Черрикато, В. Паренти-Кастелли [5], О. Компани [59], Г. Гогу [74], К. Госслена [79], А, Хара [84], С. Худа, Ю. Такеда [88], К. Конг, К. Гослена [94, 95, 96], Р. Вишер, [], К.И. Заблонского [46]. Исследование механизмов неразрывно связано с вопросами управления. К чилу трудов по этой проблематике относятся работы Р.Пола [94], К Ханта [8], Д. Анджелеса [8, 78], М. Чекарелли [54], А.А. и А.Е. Кобринских [54], М.З. Коловского и А.В. Слоуща [57], А.И. Корендясева, Б.Л. Саламандры и Л.И. Тывеса [69], В.С. Медведева, А.Г. Лескова и А.С. Ющенко [8], Е.П. Попова, А.Ф. Верещагина и С.П. Зенкевича [95], Зенкевича С.Л., Ющенко А.С. [6], Д. Крэг [6], Л.П. Леонова [76] и ряда других авторов. Основными задачами при исследовании пространственных механизмов параллельной структуры являются: - структурный синтез т.е. разработка кинематической схемы. При этом определяют его структуру и количество кинематических цепей, тип кинематических пар и конфигурацию соединительных звеньев. Синтез параллельных механизмов

48 48 проводят на основе использования структурных формул для расчета подвижности выходного звена [7, 4,77]. - вывод уравнений связи между абсолютными координатами выходного звена и обобщенными (независимыми) координатами; - решение задачи о положениях на базе полученных уравнений связи, показывающее взаимосвязь между входными и выходными координатами. - определение рабочего пространства манипулятора на основе анализа уравнений связей. - определение скоростей, ускорений и особых положений механизма. В данных положениях структура механизмов нарушается, они могут потерять одну или несколько степеней свободы, либо может быть потеряна управляемость; - динамический анализ механизма позволяет на основе уравнения движения механизма определить усилия в приводах; - расчетное обоснование точности; - задачи управления обеспечение движения выходного звена по заданному закону. При решении задач кинематического анализа как правило составляются уравнения связей. Для определения скоростей, ускорений и особых положений используют дифференцирование уравнений связей. Однако, эти же задачи можно решить и методом винтового исчисления. Винтовой метод исследования пространственных механизмов является одним из наиболее эффективных методов в данной области. Начало теории винтов положила работа Р. Болла [44]. В работе показано, что все возможные движения относятся к винтовым перемещениям или представляют собой комбинации этих винтов. Подобную задачу приходится решать для различных пространственных механизмов, имеющих в том числе и параллельную структуру. Теория винтов была развита в трудах таких исследователей, как А.П. Котельников [6], Д.Н. Зейлигер [47], П.О. Сомов [4], Ф.М. Диментберг [4 4], Е.И. Воробьев [9].

49 49 Винт это геометрический образ, к которому приводится произвольная система скользящих векторов. Винт R характеризуется вектором r и моментом r, а также осью винта, для всех точек которой направления вектора и момента совпадают. Любой винт может быть определен шестью плюккеровыми координатами, три из которых проекции вектора на координатные оси, три других проекции момента винта относительно начала координат на те же самые оси координат. Одним из первых в теории механизмов винтовой метод применил Ф.М. Диментберг. В дальнейшем теорию винтов в разных аспектах применяли многие исследователи. К. Хант [8, 9] рассматривал винтовые движения звеньев механизмов и одним из первых обратил внимание на механизмы параллельной структуры. Б. Росс с соавторами [, 7] исследовал винтовые параметры конечных перемещений твердого тела, критерии передачи движения, решения задач о положениях, избыточные связи. К. Уолдрон [4] использовал винтовой подход, а также свойства симметрии для отыскания механизмов с избыточными связями. К. Вольхарт [7], используя винтовой метод, получил многоконтурные механизмы с избыточными связями. Ж. Эрве [86], Л. Цай [], Д. Анджелес [8], К. Гослен и К. Конг [94, 95, 96, 97], И Минг Чен с соавторами [4], К Сугимото [5, 6], К. Фуджимото [64], Чекарелли [55, 56], Д. Златанов [44] использовали аппарат групп винтов для синтеза механизмов параллельной структуры. М. Мохаммед и Д. Даффи [], а также Хуан Зен [4] с использованием винтового подхода определяли возможные движения таких механизмов. В работах В.А. Глазунова и его коллег [8, 4, 5,, 4] были применены группы винтов для синтеза и анализа пространственных механизмов, для отыскания механизмов с избыточными связями, для определения особых положений. В частности был разработан алгоритм, позволяющий найти движения выходного звена внутри зоны особых положений. Установлено, что размерность этих зон на единицу меньше, чем число степеней свободы механизма. Таким образом, можно утверждать, что винтовой метод является одним из самых эффективных подходов в исследовании пространственных механизмов и

50 5 его значение постоянно возрастает. Этот метод позволяет при анализе особых положений, получить результат, не прибегая к сложным выкладкам. На основе концепции структурных групп может быть исследована структура пространственных механизмов..5. Классификация механизмов параллельной структуры для плоских, вращательных и поступательных движений. Важным этапом исследования механизмов параллельной структуры является их классификация. Классификация механизмов проводилась в работах К. Ханта [8], А. Ш. Колискора, А.Ф.Крайнева, В.А.Глазунова [7, 8], В.А. Глазунова [4, ], позволяющая синтезировать новые схемы. В результате изучения операций, связанных с применением роботов в текстильной и легкой промышленности удалось выяснить, что, как правило, данные роботы не нуждаются в шести степенях свободы. Наиболее востребованными являются плоские, поступательно-направляющие и сферические механизмы. Плоские могут примеряться при раскрое, шитье и т.д., когда инструмент перемещается относительно материала, либо имеет передвижение рабочего стола. Поступательно-направляющие робототехнические системы применяются в операциях переноса и манипулирования объекта. При этом зачастую не требуется ориентирующие движения, если же они необходимы, то можно добавить одну степень свободы, не меняя общую конструкцию манипулятора. Сферические робототехнические системы востребованы в операциях обработки объемных криволинейных поверхностей (шитье и нанесение узоров на головные уборы, кожевенно-обувные изделия и т.п.). Если необходима дополнительная линейная степень свободы, ее можно добавить, не меняя общую конструкцию механизма. Классификация механизмов для плоских, поступательных и вращательных движений проведена с использованием разных групп винтов [7, 8]. Для этого используем формулу:

51 5 W к 6 D (.) где W число степеней свободы D число связей, налагаемых -й кинематической цепью к число кинематических цепей,,.,k. D 6 n 5 p 4 p p p p (.) 5 4 где n число промежуточных звеньев, расположенных между основанием и выходным звеном, p 5, p 4, p, p, p число кинематических пар с,,, 4, 5 подвижностями в -й кинематической цепи. Классификацию и синтез механизмов параллельной структуры можно проводить на основании формул (.), (.). Каждая кинематическая цепь содержит привод или накладывает связи на движения выходного звена. Классификация механизмов представлена в таблице.. (подчеркивание означает, в цепи все пары соответствуют винтам замкнутой группы). Классификация проведена по следующим признакам: числу степеней свободы W, числу кинематических пар, число налагаемых связей каждой цепью. В первой строке обозначено количество кинематических цепей и число налагаемых связей этой цепью, цифра в скобках указывает число приводных пар в кинематических цепях, под которыми эти цифры расположены). Подчеркнутые цифры обозначают цепи с общими связями (для сферических все вращательные пары пересекаются в одной точке, для плоского три вращательные; одна поступательная две вращательные; две поступательные и одна вращательная, все вращательные параллельны, все поступательные). Отметим, что плоские, поступательно-направляющие и сферические механизмы соответствуют замкнутым трехчленным группам винтов. В связи с этим, для них могут применяться редуцированные формулы, соответствующие пространству равным трем. Для рассматриваемой группы это можно выразить структурной формулой: D W (.)

52 5 где W число степеней свободы, D число связей, налагаемых -й кинематической цепью; k; k число кинематических цепей. Величину D определяют как D n p5 (.4) где n число промежуточных звеньев, расположенных между основанием и выходным звеном, W Классификация механизмов параллельной структуры, соответствующих трехчленным группам Число соединительных цепей k Таблица.. () 66 () () 56 () () () () 56 () () () () 6 () () () 5 () () () () () () () () 6 () 66 () 6 () () 6 () 65 () 65 () 5 () () 5 () 55 () 55 () () 555 () () () 6 () () () 5 () () ()

53 5 Однако, механизм может содержать кинематические цепи, которые соответствуют, либо не соответствуют замкнутым группам винтов. В связи с этим, для разных цепей могут быть использованы разные структурные формулы. Классификация может быть дополнена случаями, когда механизм добавлена четвертая (пятая) цепь кинематические цепи, содержащая приводы, остальные цепи при этом будут лишь налагать связи (таблица.). Классификация механизмов параллельной структуры, W с четырьмя кинематическими цепями 666 () Число соединительных цепей k 665 () () 555 () 6555 () () () Таблица.. Таким образом, проведенная классификация позволяет синтезировать механизмы параллельной структуры, учитывая степени свободы, количество приводных пар и кинематических цепей. Выводы по главе. На предприятиях текстильной и легкой промышленности в технологических процессах и операциях применяются разнообразные манипуляционные механизмы в основном последовательной структуры. Наиболее востребованными являются плоские, поступательно-направляющие и сферические механизмы.. Современной тенденцией развития робототехники является создание пространственных манипуляционных механизмов параллельной структуры с различным числом степеней свободы. Манипуляционные механизмы параллельной структуры компактнее, проще по конструкции и дешевле аналогичных механизмов по сравнению с механизмами последовательной структуры. Они находят широкое

54 54 применение в различных отраслях. При решении вопросов модернизации производства, требующего замену ручного труда, осуществления операций в труднодоступных местах, необходимость создания механизмов, исполнительный орган которых совершает сложные движения, возрастает.. Для выполнения технологических операций с полуфабрикатами и изделиями в текстильной и лёгкой промышленности достаточно манипуляторов с тремя степенями свободы. 4. В связи с этим целью настоящей работы является разработка методов создания механизмов параллельной структуры с тремя степенями свободы для поступательных, вращательных, плоских движений с учетом кинематических, динамических свойств, управления и сингулярностей. При исследовании манипуляционных механизмов параллельной структуры наиболее эффективным является метод винтового исчисления. Он позволяет решать вопросы кинематического и динамического анализа, не прибегая к сложным расчетам. 5. Предложена классификация механизмов, позволяющая синтезировать манипуляционные механизмы параллельной структуры для плоских, вращательных и поступательных движений с различным числом кинематических пар и цепей.

55 55 ГЛАВА. СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ, КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В главе рассматриваются вопросы структурно-параметрического синтеза, а также кинематический и динамический анализ плоских манипуляционных механизмов параллельной структуры. Структурно-параметрический синтез проводится на основе структурных формул разных размерностей. Кинематический и динамический анализ проводится на основе связей, налагаемых кинематическими цепями, а также на основе винтового исчисления.. Синтез плоских механизмов В параграфе рассмотрен структурно-параметрический синтез плоских механизмов с тремя степенями свободы и тремя кинематическими цепями. Такие механизмы содержат три привода в каждой кинематической цепи и могут совершать два поступательных движения и одно вращательное [5, 4]. Кинематические цепи могут состоять: - из одной вращательной пары и двух поступательных (рис.. а, б, в), причем оси вращательной пары перпендикулярны осям поступательных, из двух вращательных пар и одной поступательной (рис.. а, б, в), где оси вращательных пар перпендикулярны оси поступательной, - из трех вращательных пар (рис..) и их оси параллельны. а)

56 56 б) в) Рис... Кинематическая цепь с одной поступательной и двумя вращательными парами с разной последовательностью кинематических пар а) б) в) Рис... Кинематическая цепь с одной вращательной и двумя поступательными парами с разной последовательность кинематических пар Рис... Кинематическая цепь с тремя вращательными парами

57 57 Поступательная пара может быть выполнены в виде шарнирного параллелограмма (рис..4). В отличие от обычной поступательной пары шарнирный параллелограмм не характеризуется постоянным направлением поступательного перемещения. Рассматриваемые механизмы могут строиться по двум принципам: - все кинематические цепи налагают по три одинаковые связи - каждая кинематическая цепь налагает по одной связи. а) б) Рис..4. Поступательная пара, выполненная в виде а одного шарнирного параллелограмма б двух шарнирных параллелограммов Рассмотрим схемы механизмов построенных по принципу, когда каждая кинематическая цепь накладывает по три одинаковых связи. а) б)

58 58 в) г) Рис..5. Кинематические схемы, в которых кинематические цепи налагают по три одинаковые связи а PPR, б RPR, PRR, PPR, в PPR, RRR, RPR, г PPR, RRR, PRR Эти кинематические цепи налагают три связи: два момента М х, М у и силу R (рис.6.). Так как все три кинематические цепи налагают одинаковые связи, так что между выходным звеном и основанием можно установить еще любое количество таких цепей, и число степеней свободы останется равным трем. Рис..6. Связи, накладываемые кинематическими цепями Для определения числа степеней свободы используем структурную формулу П.Л. Чебышева для плоского механизма: где n число звеньев; W ( n ) p p (.) 5 4

59 59 p 5 число пар пятого класса (одноподвижных пар); p 4 число пар четвертого класса (двухподвижных пар). Согласно уравнению (.) число степеней свободы плоского механизма равно : W (8 ) 9 Подсчитаем число степеней свободы для плоского механизма на рис..5 по формуле Сомова Малышева: W 6 ( n ) 5 p p p (.) 5 4 p4 p где p число кинематических пар -го класса с (6 ) степенями подвижности (,...,5). Число степеней свободы равно: W 6 (8 ) 5 9. Однако, рассматриваемый механизм обладает тремя степенями свободы. Для устранения избыточных связей заменим вращательные пары, соединенные с выходным звеном сферическими (рис..7). В этом случае каждая цепь налагает по одной связи. Реакция связи направлена вдоль оси сферической пары, параллельной оси. Такие три кинематические цепи налагают три связи три силы, параллельные оси. Эти три силы создают моменты вокруг осей,. Таким образом, реакциями связей являются два момента и сила. а)

60 6 б) Рис..7. Схемы механизма, в которых кинематические цепи содержат сферические пары а ЗPS, PPS, PPS, б RPS, PPS, PRS Если воспользоваться формулой Сомова-Малышева (..), то число степеней свободы будет равно: W 6 (8 ) 5 6 Элементы параметрического синтеза определяются углами между осями кинематических пар. Если оси поступательных пар параллельны, то такое расположение осей дает внутреннюю подвижность и внутренняя степень свободы не связана с выходным звеном (рис..8). Рис..8. Схема кинематической цепи с параллельным расположением осей двух поступательных пар.

61 6 Таким образом, показана методика синтеза и анализа плоского механизма параллельной структуры с тремя степенями свободы на основе связей налагаемых кинематическими цепями. Связи, налагаемые кинематическими цепями могут быть повторяющимися (одинаковые в каждой), либо неповторяющимися, при этом характер движения не меняется... Решение задачи о положениях В параграфе рассматривается решение задачи о положении плоского механизма с тремя степенями свободы (рис..9) [9, ]. Задача о положении является главной задачей [48, 77, 79]. Рис..9. Схема рассматриваемого плоского механизма параллельной структуры с тремя степенями свободы

62 6 Задача о положениях определяет координаты входных звеньев механизма (координаты точек А, В, С ), описываемых углами,, и положение центра платформы А (, ) и угла поворота платформы φ вокруг этого центра. Выходное звено может перемещаться только в горизонтальной плоскости o. Зададим значения радиусов R, R, окружностей описанных соответственно вокруг треугольников А А А и B B B, а также значения длин звеньев B C B C B C,5 и A C A C A C,5. Определим координаты точек C C C. Координаты точек A (х А, А ), В (х В, В ) в неподвижной системе координат равны: A R sn ; A R ; B ; B. Составим следующие уравнения для первого звена: ( ) ( ) ; (.) C A C A ( B C) ( B C). (.4) Для решения системы уравнений введем коэффициенты: S A B A B S S B A ; B A Решая уравнения (.), (.4), получим C, 5, а затем определяем значе- ния, 4 и, 4. Таким образом, определены координаты точек С С C (,4;,5) и C (,4;,5). Для второй цепи аналогичным образом составляются системы уравнений:. ; ( ) ( ) ; (.5) С A C A ( ) ( ), (.6) B C B C где координаты точки A (х А, А ), В (х В, В ) sn A R R,866 ;

63 6 и для третьей цепи: A R R sn,5 ;,7 B,, B ( C A) ( C A) ; (.7) ( B C ) ( B C ) где координаты точки А, ), B (, ):, (.8) ( A A B B sn A R R,866 ; A R R sn,5, B,7, B. Далее решая уравнения (.5), (.6), (.7), (.8) определяются координаты точек C ; C, равные в нашем случае: С (,59;,975 ), C (,6;,474), C ; C; C (,6;,474), C (,59;,975 ). Координаты шарниров можно найти, используя следующий подход. Взаимное положение двух систем координат подвижной p p p и неподвижной описывается матрицей A(n), равной произведению двух матриц: A() - матрицы линейных перемещений и A(φ) матрицы поворота вокруг оси o: A() ; sn sn A( ) ; sn n sn n A(n). Для определения координат точек А, А, А, А в неподвижной системе координат необходимо умножить матрицу А(n) на координаты точек в подвиж-

64 64 ной системе координат: Ab A(n) A Ab где A(n). Таким образом, получаем: A Ab ; sn Ab ; ; Ab A(n) A ; Ab A(n) A ; sn sn Ab ; sn sn Ab. Условие связей в общем виде представлено уравнением: C B ; C B sn ( A C ) ( A C ),. Для упрощения решения квадратного уравнения произведем замену некоторых выражений: K A A B N В итоге получаем уравнение: B A ( ) ; B A P ( ). B A K N ± ( K N ) 4 ( N ( N P ) Отсюда находим значения,, B A P ) ( K B ; P ). при конкретных заданных значениях координат положения центра платформы А А А (; ), угла поворота φ платформы вокруг этого центра и длин звеньев B C и C A. Неявная функция между обобщенными и абсолютными координатами будет иметь вид: (,,, ). В общем виде неявную функцию можно записать в виде:

65 65 ( A B ) ( A B sn ). Для манипулятора с тремя кинематическими цепями имеем: ( A B ) ( A B sn ) ( A B ) ( A B sn ) (.9) ( A B ) ( A B sn ) Таким образом, составлены уравнения связей плоского механизма... Решение задачи о скоростях В параграфе дается решение задач о скоростях и особых положениях двумя метода: аппаратом винтового исчисления и дифференцированием уравнений связи.... Решение задачи о скоростях методом винтового исчисления Угловая скорость выходного звена равна сумме угловых скоростей шарниров звеньев одной цепи []: ω ω, (.) ω ω а линейная скорость выходного звена равна сумме скоростей шарниров звеньев одной цепи: V V V V ; (.) V V V V, (.) j k где V ρ ω ρ ρ ρ ( ρ ω ρ ω ) j( ρ ω ρ ω) k( ρ ω ρ ω ) ω ω ω

66 66 Рассмотрим первое звено с положением второго шарнира в точке C (,4;,5). Зная координаты радиус-векторов: ρ, ρ, ρ, 5, ρ,4, ρ и ρ, можно определить скорости : V ρω ; ρ ω ρ ω V ; V ; V ; V ρ ω ; V ; ρ ω при ρ, ω, ω. V ; V ρ ω ; V. Решив систему уравнений (.), (.), (.) получаем: ω ω ; ω ω V ; (.) ρ ω ρ ω ρ ω V. ρ ω ρ ω ρ ω Рассмотрим обратную задачу о скоростях. Задав значения скоростей выходного звена: ω рад/c, V м/c, V у м/c, определим значения радиусов-векторов. Систему уравнений скоростей (.) можно записать в виде: ω ω ω ; ω ω ;,5 ω ω ω,4 ω Для расчета скоростей ω, ω, ω применим правило Крамера. Составим матрицу А,5, определитель которой A, 4. Заменив первый,4 столбец матрицы А свободными членами A,5, определитель которой det(a ),6.,4, имеем новую матрицу

67 67 Меняя второй и третий столбцы на столбец свободных членов соответственно матрицы A и A, для которых det(a ) и det(a ) 4,79, получаем Тогда угловые скорости всех шарниров первой цепи (с координатами точки C (,4;,5) можно рассчитать как ω det( A ) det( A) рад/c. det( A ),646рад/c; ω det( A ), 78рад/c; ω, 54 det( A) det( A) Рассмотрим положение первого звена при положении второго шарнира в точке C (,4;,5). Значения радиус-векторов составляют: ρ ; ρ ; ρ, 5 ; ρ, 4 ; ρ ; ρ. Решив уравнения (.7), (.8), (.9) с учётом новых значений радиусвекторов, получаем матрицу, состоящую из значений радиусов-векторов / А,5, определитель которой det(a / ),4.,4 Заменив первый столбец матрицы, имеем но- вую матрицу / A свободными членами / A.5, определитель которой det(a / ),6.,4 Меняя второй и третий столбцы на столбец свободных членов, получаем соответственно матрицы / det(a / ),79. / A и A, для которых определители равны det(a / ) и Тогда угловые скорости всех шарниров первой цепи (с координатами точки C ) будут равны: / / / ω,54 рад/c; ω, 78 рад/c; ω, 646 рад/c. Аналогичным образом определяются и угловые скорости шарниров:

68 второй цепи с координатами точки С (,59;,975 ), : ω,88 рад/c; ω,966 рад/c; ω,848 рад/c; второй цепи, с координатами C (,6;,474) : / / / ω,849 рад/c; ω, 966 рад/c; ω, 884 рад/c; третей цепи с координатами точки C (,6;,474) : 68 ω,7 рад/c; ω,59 рад/c; ω,55 рад/c; третей цепи с координатами точки C (,59;,975 ) : / / ω,496 рад/c; ω, 59 рад/c; ω, 764 рад/c. / Получено решение обратной задачи о скоростях с использованием винтового исчисления. При решении прямой задачи о скоростях необходимо определить силовые и кинематические винты []. Под силовым винтом понимается винт, к которому приводится система сил, действующая на тело, причем вектором винта является равнодействующая сила, а моментом момент всех сил относительно некоторой точки приведения. Кинематический винт характеризует общий вид бесконечно малого движения твердого тела. Винт можно определить шестью плюккеровыми координатами, причем три из них проекции вектора на координатные оси, а три другие проекции момента винта относительно начала координат на координатные оси. Относительный момент mom сумма скалярных произведений вектора первого винта на момент второго относительно некоторой точки и вектора второго винта на момент первого относительно той же точки. Обозначим через f силу, действующую на выходное звено. Тогда ( f Ω) mom( f,ω ) mom, (.4), где Ω - кинематический винт выходного звена с координатами V, V, V, ω, ω, ω ; Ω кинематический винт входного звена с координатами V, V, V,, ω, ω ω ; V, V, V, ω, ω, ω скорости выходного звена;

69 69 V, V, V,, ω, ω ω скорости входного звена. Тогда можно записать уравнения относительных моментов в виде: ( f, Ω ) f V f V f V m ω m ω m ω mom ( f, Ω ) f V f V f V m ω m ω m ω mom Решив уравнение (.4), получаем: V ρ ω, ρ ω V, V, ω, ω, ω ω. Тогда уравнения относительных моментов приобретают вид: mom ( f, ) f V f V m ω Ω, ( f, ) f V f V m ω mom Ω. Составим систему уравнений для трех звеньев: e V e V e ω e V e V e ω ; e V e V e ω e V e V e ω ; (.5) e V e V e ω e V e V e ω где e, e, e, e, e, e плюккеровы координаты единичных векторов, которые рассчитываются следующим образом: e С А, e С А, e С А, e С А, e С А, e С А. С учётом e e моментная часть плюккеровых координат вычисляется по следующим зависимостям: e j k ρ ρ ρ (ρ e ρ e ) j(ρ e ρ e ) k(ρ e e e e ρ e ),

70 e ( 7 ( ( k ρ e ρ e ) ; e k ρ e ρ e ) ; e k ρ e ρ e ). Для звеньев А СВ ; А СВ ; А СВ плюккеровые координаты составляют: e,94 ; e, ; e, 94 ; e,8 ; e, 98; e, 94 ; e,76 ; e, 649 ; e, 94. Значения радиусов векторов равны: ρ ; ρ ; ρ ; ρ, 7 ; ρ ; ρ, 7. Задавая входные скорости равными ω рад/c, V м/c, V у м/c, и подставив найденные плюккеровы координаты в (.5), получаем систему уравнений: e e e e e ( e ω ; ρ ω ρ ω ) e e e e e ( e ω ; (.6) ρ ω ρ ω ) e e e e e ( e ω. ρ ω ρ ω ) Составив соответствующую матрицу и используя правило Крамера, получаем скорости входного звена: ω,646 рад/c; ω,846 рад/с; ω,496 рад/с. Для звеньев А СВ ; А СВ ; А СВ плюккеровы координаты составляют: e,94 ; e, ; e, 94 ; e,76 ; e, 649 ; e, 94 ; e,8 ; e, 98; e, 94. Задавая выходные скорости, равными ω рад/c, V м/c, V у м/c, и подставив найденные плюккеровы координаты в выражения (.654), составляем соответствующую матрицу и, используя правило Крамера, получаем скорости входного звена: ω,54 рад/c; ω,88 рад/с; ω,7 рад/с. Теперь решим прямую задачу. т.е. определим скорости выходного звена при известных обобщенных скоростях.

71 7 Задав обобщенные скорости ω рад/c, ω рад/c, ω рад/с и подставив их в уравнения (.5), составляем систему уравнений для положения механизма с координатами А С В ; А С В ; А С В :,94 V,,94 ω,94 ; V,8 V,98,94 ω,94 ; V,76 V,649,94 ω,94. V Решив систему уравнений, составляем соответствующую матрицу и, используя правило Крамера, получаем: ω рад/c; V м/c; V у м/c. Таким образом, решены прямая и обратная задача о скоростях с использованием аппарата винтового исчисления.... Решение задачи о скоростях методом дифференцирования уравнений связей Найдем скорость, используя метод, предложенный Анджелесом и Госсленом и основанный на дифференцировании уравнений связей (.9) [9,, 78]. Для решения задачи о скоростях будем использовать аналитический подход, основанный на изучении свойств матрицы Якоби, представленных в общем виде: где А ; А V ( B) ω, (.7) B ; & V & ; & & ω &. & Здесь: А матрица частных производных от неявной функции по,, φ; В матрица частных производных от неявной функции по обобщенным координатам ;

72 7 V абсолютные скорости центра выходного звена; ω обобщенные скорости во вращательных шарнирах B, B и B. Нужно найти частные производные от неявной функции между обобщенными и абсолютными координатами и составить две матрицы. Для этого запишем матрицы Якоби (.7) в виде: & & & & & & (.8) Тогда частные производные от неявной функции по обобщенным и абсолютным координатам составят: sn B ; sn B ); sn ( sn ) sn ( B B B ; sn B ; ; sn sn sn sn sn θ B B sn B ; sn B ;

73 7 ; sn sn sn sn sn B B ); sn ( ) sn ( sn B B ; sn sn sn sn sn B B. sn sn B B Приведем пример решения данной задачи при известных параметрах:,5; ; ; φ. Подставив исходные данные, получим значения обобщенных координат θ при расположении центра подвижной платформы в начале координат:,4рад9,5 ;,4рад9, ;,75рад,6 ; С учётом найденных значений имеем матрицы:,89,949,8,89,95,548,88,88 А и,89,89,88 В. Подставив в уравнение (.7) значения матриц А и В, получаем выражение:,89,89,88,89,949,8,89,95,548,88,88 & & & & & & (.9)

74 74 Приняв, что компоненты скорости выходного звена в абсолютной системе координат равны & &, имеем: & 4,656,88 5,,4 Откуда значения скоростей:,89 & &,89 & &,646 рад/c; &, 849 рад/c; &, 496 рад/c. Для решения обратной задачи примем: Тогда уравнение (.8) примет вид:,88,548,8 & &. &,95,949.,88 &,88,89 &,89,89 &,89 Решив (.) получаем & м/c, & м/c, & рад/c. (.) Таким образом, дифференцированием уравнений связей решены прямая и обратная задача о скоростях. Полученные значения скоростей совпадают с решениями, полученными аппаратом винтового исчисления..4. Решение задачи по определению особых положений механизма У механизмов параллельной структуры могут проявляться особые положения в рабочей зоне обслуживания, то есть положения, в которых либо теряется степень свободы, либо механизм становится неуправляемым. В связи с этим воз-

75 75 никает задача по определению указанных положений и поиску возможностей вывода данного механизм из особого положения. Полученные матрицы можно использовать для определения особых положений. При особом положении манипулятора определитель матрицы, составленной из относительных моментов единичных силовых винтов, передаваемых со всех кинематических цепей, равен нулю. Для определения этого положения манипулятора будем поворачивать выходное звено против часовой стрелки вокруг оси. Используя уравнение связей, определим координаты точек, соответствующих особому положению, в котором звенья А C, А C, А C пересекутся в одной точке (рис..). В рассматриваемом случае это точка начала координат. В этом случае координаты точек звеньев равны: A (,6;,8), A (,9;,9 ), A (,99;,) ; C (,5;,), C (,98;,99), C (,48;,99). Особое положение соответствует повороту на угол 6,8697. Подставив значения плюккеровых координат в уравнение (.5) имеем:,6 V,8 V ω,6 ( ) ω,8 ω ω, ω,9v,9 V ω,9 ω,9,7 ω ω, ω,99v, V ω,99 ω,,7 ω ω, ω ; ;. Отсюда получаем:,6 V,8 ω, ω, V,9V,9 ω, ω, V,99V, ω, ω. V Определитель матрицы, составленной из плюккеровых координат, стоящих при скоростях, равен нулю:,6,8,9,9,99,

76 76 В этом случае обобщенные скорости могут быть равны нулю ω рад/c, ω рад/c, ω рад/c (т.е. привод заторможен), а выходное звено имеет движение. Составим систему уравнений согласно уравнению (.5):,6 V,8 ω ; V,9V,9 ω ; V,99V, ω. V Скорости V м/c, V у м/c, а ω - любая величина. Т.е. с точностью до множителя определен кинематический винт, который имеет мгновенное вращение вокруг оси. Рис... Особое положение механизма при пересечении звеньев всех цепей в точке О Далее рассмотрим случай особого положения, при котором одна цепь выстраивается вдоль одной линии (рис..). Координаты точек А (;); В (;-);

77 77 С (;-,5). Значения радиус-векторов составляют ρ, ρ, ρ, 5, ρ, ρ, ρ. В этом случае система уравнений (.), (.),.) примет вид: ω ω ; ω ω V ρ ω ρ ω ρ ω ω,5 ω ω ; V ρ ω ρ ω ρ ω ω ω Найдем определитель матрицы, составленной из плюккеровых координат, стоящих при значениях скоростей равен нулю: ω..,5 Таким образом, определены особые положения с использованием аппарата винтового исчисления. Рис... Особое положение манипулятора, при котором звенья одной цепи выстраиваются в одну линию и линии всех звеньев пересекают точку В

78 78 Решим эту же задачу на базе метода, предложенного Анджелесом и Госсленом [8] и основанного на изучении свойств матриц, составленных из дифференциальных уравнений. Эти выражения получены из уравнений связей. В нашем случае имеем две матрицы Якоби: - матрицу частных производных от неявной функции по n, n, φ (матрица А) для перемещения выходного звена; - матрицу частных производных от неявной функции по обобщенным координатам (матрица В) перемещение входного звена. Манипуляционный механизм находится в особом положении, если определитель одной из матриц Якоби равен нулю. Полученные матрицы позволяют определить особые положения манипулятора. Если хотя бы одна из матриц Якоби вырождена (сингулярна), то манипулятор находится в особом положении. Если определитель матрицы А равен нулю, то это соответствует положению манипулятора, в котором звенья всех цепей пересекаются в одной точке (рис..), что соответствует неуправляемой подвижности. Если определитель матрицы В равен нулю, то это соответствует положению манипулятора, в котором звенья одной цепи выстраиваются в одну линию (рис..), при этом теряется одна степень свободы. Рассмотрим случай неуправляемой подвижности. В этом случае центр вращения подвижной платформы (т. О) находится в нулевой точке неподвижной системы координат (рис..). Найдем особое положение при вращении платформы вокруг точки О и определим угол φ, при котором звенья С А, С А, С А пересекаются в одной точке начале координат. Такому особому положению соответствует поворот выходного звена-платформы на угол &, &. 4 Определители матриц А и В будут равны:,8 A,79,76,,977,4,6 6,87, при этом углы

79 79,6 B,6 46,656.,59 Рассмотрим случай, при котором происходит потеря одной степени свободы, т.е. определитель матрицы В равен нулю (рис..). При смещении центра платформы точки О из начала координат в точку (; ; ) и угле поворота определители матрицы В и А будут равны нулю: B 4,4 ; A,987,75,7. 4,,987,75,7 Обобщенные координаты составляют: 9, 65,5, 4,, что является особым положением, в котором присутствует потеря степени свободы и имеется неуправляемая подвижность. Особые положения плоского механизма встречаются как в рабочей зоне (рис..), так и ее границе (рис..). Показано, что особые положения можно определить с применением аппарата винтового исчисления, так и исследованием свойств матриц Якоби. Приведенные примеры показали идентичность результатов..5. Определение рабочей зоны механизма Одной из основных характеристик манипуляторов является рабочая зона, т.е. пространство определяемое множеством точек, которых достигает выходное звено. Знание рабочего пространства определяет организацию гибкой производственной ячейки, в которую включен робот и эффективность производственной линии. При оценки рабочего пространства решают два вопроса: - при известной кинематической схеме механизма определить рабочее пространство,

80 8 - при известном рабочем пространстве определить кинематическую схему. Решение прямой задачи о положении позволяет определить положение и ориентацию в пространстве рабочего органа. Значения обобщенных координат манипулятора,,.., N находятся в пределах, обусловленных конструкцией механизма: mn. Эти условия показывают область изменения обобщенных координат. Каждому значению обобщенных координат соответствует определенное положение выходного звена. Таким образом, области изменения обобщенных координат соответствует область изменения области V рабочего пространства [48, 8]. Также, граница рабочего пространства определяется кинематической схемой механизма. Оценить непосредственно размер и форму рабочей зоны можно путем исследования решений обратной задачи о положениях. При этом в большинстве случаев необходимо использовать итерационные алгоритмы [, ]. Для любого параллельного манипулятора в любой точке его рабочего пространства уравнения связи должны обращаться в тождества. В каждой точке рабочей зоны манипулятора существуют решения прямой и обратной задачи о положениях. Вне рабочей зоны, соответственно, решить уравнения связи невозможно. Определить рабочий объем и его геометрическую форму можно, рассчитав границы изменения абсолютных координат и решив обратную задачу о положении в каждой точке объема. Формирование рабочего пространства осуществляется численными методами по разработанному алгоритму (рис..). ma

81 8 Рис.. Алгоритм определения рабочей зоны

82 8 Для рассматриваемого плоского манипулятора рабочая зона будет иметь следующий вид (рис..). Рис.. Рабочая зона плоского механизма Таким образом, представлен алгоритм моделирования рабочей зоны механизма параллельной структуры и проведен расчет при известных длинах звеньев. Выводы по главе. В главе рассмотрены вопросы структурно-параметрического синтеза плоских манипуляционных механизмов параллельной структуры с тремя степенями свободы, тремя кинематическими цепями на основе структурных формул. Показаны принципы построения таких механизмов.. Исследован плоский механизм с тремя степенями свободы. Для данной кинематической схемы манипулятора получены уравнения связи между обобщенными (независимыми) координатами, описывающими изменение положения входных звеньев механизма, и абсолютными координатами его выходного звена, разработаны математические модели для решения прямой и обратной задачи о положени-

83 8 ях. Полученное решение обратной задачи о положениях позволяет проводить дальнейшие кинематические и динамические исследования манипулятора, а также решать задачи управления.. Решены задачи о скоростях методами дифференцирования уравнений связей и аппаратом винтового исчисления. Полученные решения прямой и обратной задачи разными методами совпали. 4. Решена задача определения особых положений механизма двумя способами: исследованием свойств матриц Якоби и теории винтового исчисления. 5. В результате проведённого компьютерного моделирования получено решение определения рабочего пространства манипулятора. Показано, что размеры рабочего пространства зависят от длин всех промежуточных звеньев каждой кинематической цепи. Разработанные программы по определению рабочего пространства позволяют оценить его габариты, что необходимого для его установки в производственном помещении.

84 84 ГЛАВА. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ ПОСТУПАТЕЛЬНО-НАПРАВЛЯЮЩИХ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В главе рассматривается синтез, кинематический анализ поступательнонаправляющих механизмов с тремя степенями свободы. Показаны принципы построения механизмов данного класса. Кинематический анализ, определение особых положений проводится на основе связей, налагаемых кинематическими цепями, а также на основе винтового исчисления. Точность механизмов показана на основе линейной теории точности... Синтез поступательно-направляющих механизмов В параграфе рассмотрен структурно-параметрический синтез поступательно-направляющих механизмов с тремя степенями свободы с тремя кинематическими цепями. В таких механизмах выходное звено имеет только поступательное движение. Каждая кинематическая цепь состоит из одной приводной поступательной пары [4, 74, 95, 4, ]. Приводы могут быть с вращательными двигателями либо поступательными. В основе построения таких манипуляторов положены две концепции синтеза поступательно-направляющих механизмов либо каждая кинематическая цепь налагает одинаковые связи либо каждая цепь налагает по одной связи момент. Кинематическая цепь в поступательно-направляющем механизме может содержать вращательные пары, поступательные или поступательные и вращательные. Поступательная пара может быть выполнена в виде шарнирного параллелограмма. Кинематическая цепь может содержать: - три кинематические пары PPP, PaPP. (рис..) - четыре кинематические пары PaPaRR, RPPR, RRRP (рис..) - пять кинематических пар RPRRR, RRRRR, UPU (рис..)

85 85 а) б) Рис.. Кинематическая цепь с тремя кинематическими парами а PPP, б PаPP В кинематических цепях с тремя поступательными парами их оси не должны быть компланарны. Цепь с поступательными парами налагает три связи. а) б)

86 86 в) г) Рис.. Кинематическая цепь в четырьмя кинематическими парами а RPRR, б RRRP, в PаPaRR, г PRPR Рассмотрим кинематические цепи с пятью кинематическими парами (рис..5). В таких цепях оси входных и выходных пар должны быть параллельны. а)

87 87 б) в) г) Рис... Кинематическая цепь с пятью кинематическими парами а RRRRR б RRRRR, в RRRRR, г UPU Такие цепи налагают по три связи три момента (рис..4) Рис..4 Связи, налагаемые кинематическими цепями

88 88 Одним из наиболее известных механизмов является Дельта (рис..5 а) [46, 58,, ]. Этот механизм состоит из трех цепей. Каждая цепь содержит вращательный двигатель, три вращательные кинематические пары, оси которых параллельны и шарнирный параллелограмм. Оси параллелограммы перпендикулярны оси приводной вращательной пары. Схему механизма можно записать в виде RRPaR. Применив формулу Сомова-Малышева (.), получаем число степеней свободы равным нулю: W 6 ( n ) 5 p5 6 ( ) 5 4. Для определения числа степеней свободы уберем промежуточное звено параллелограмма (рис.5.б) и по формуле Сомова-Малышева рассчитаем число степеней свободы равно: W 6 ( n ) 5 p5 6 (4 ) 5 5. а) б) Рис..5. Механизм Дельта а RRPaR, б RRRRR Восстановив убранное звено, добавляем связь, причем она повторяющаяся. Таким образом, число степеней свободы механизма равно трем.

89 89 Если установить линейные двигатели, то кинематическая схема будет представлена в виде PRPaR [6]. Это известный механизм называемый ортогляйд (рис..6). Число степеней свободы также равно трем. Рассмотрим механизм с пятью вращательными парами RRRRR (рис..7) [7, 7, 86]. Число степеней свободы определяем по формуле (.): W 6 ( n ) 5 p5 6 (4 ) 5 5. Рис..6. Механизм ортогляйд PRPaR Рис..7. Механизм RRRRR

90 9 Поступательно-направляющий механизм, в котором достигнута изотропность, представлен схемой (рис..8). Каждый двигатель в механизме соответствует перемещению выходного звена только по одной координате, а передаточное отношение равно единице. Число степеней свободы в этом механизме определим по формуле (.): W 6 ( n ) 5 p5 6 ( ) 5. Однако механизм имеет три степени свободы, что объясняется повторяющимися связями двумя моментами в каждой цепи. Рис..8 Изотропный механизм PRRR В механизме (рис..9) постоянство ориентации выходного звена достигается за счет того, что в каждой из трех кинематических цепей имеют место два карданных шарнира. Таким образом, три кинематические цепи «отбирают» три возможных вращения. Число степеней свободы определяются по формуле (.): W 6 ( n ) 5 p5 6 (4 ) 5 5.

91 9 Для обеспечения поступательного движения необходимо, чтобы входное звено первого шарнира Гука и выходное звено второго шарнира Гука были параллельны. Рис..9. Механизм UPU Таким образом, показана методика синтеза и анализа поступательнонаправляющего механизма параллельной структуры с тремя степенями свободы на основе связей налагаемых кинематическими цепями. Представлены кинематические цепи с различными кинематическими парами. Показано, что оси первой и последней пар параллельны. Связи, налагаемые кинематическими цепями могут быть повторяющимися (одинаковые в каждой), либо неповторяющимися, при этом характер движения не меняется.

92 9.. Решение задачи о положении Рассмотрим манипулятор параллельной структуры, в котором для обеспечения поступательных перемещений в каждой кинематической цепи содержится по три поступательные пары, причем две из трех пар выполнены в виде шарнирного параллелограмма [7]. Данный манипулятор имеет три замкнутые кинематические цепи, обладает тремя степенями свободы: перемещение вдоль осей,, (рис..). Для структурного анализа параллельных механизмов существует формула Сомова Малышева. Для поступательной направляющей кинематической структуры запрещены изначально все вращения вокруг осей, поэтому возможно применение следующей формулы (.). Согласно этому выражению число степеней свободы рассматриваемого механизма равно: W ( n ) p5 p4 (8 ) 9 8. Таким образом, данный манипулятор имеет три замкнутые кинематические цепи, обладает тремя степенями свободы: перемещение вдоль осей,,. Рассмотрим перемещения в первой кинематической цепи. Точка В перемещается вдоль оси х. Точка С перемещается по окружности радиуса на угол φ в плоскости o. Точка А будет перемещаться также по окружности радиуса в плоскости, параллельной плоскости o, на угол φ. При этом расстояние от точки А до центра платформы (до точки О) равно длине (рис..). Перемещения по окружности направлены против часовой стрелки, при взгляде со стороны положительно направленной оси вращения.

93 9 Рис.. Поступательно-направляющий манипулятор параллельной структуры с тремя степенями свободы Запишем уравнения для описанных перемещений (идем от точки В к С, далее к А ). где Координаты точки C ; ; ) определяются как: ( C C C C B ; (.) C ; (.) C. (.) sn Координаты точки A ; ; ) составляют: ( A A A, длины сторон параллелограммов; A C ; (.4) A ; (.5) sn, (.6) A C φ, φ углы поворотов в первом и втором параллелограммах.

94 94 Рис.. Перемещения в трех кинематических цепях Координаты точки B ; ; ) B и B находятся на осях o и o соответственно, т.е. B, B ( B B B Предполагаем, что известно перемещение платформы. Для нахождения перемещения в приводах задаём координаты O( O ; O; O ) и фактически, учитывая длину, имеем координаты точки A ( A ; A ; A). Выражаем координаты точки В через координаты А. Из уравнения (.6) найдем угол поворота в первом параллелограмме: С учетом равенств (.6) и (.) из уравнения: arcsn A. (.7) A C sn вычисляем угол поворота во втором параллелограмме:

95 95 Перепишем равенства (.) и (.4) в виде: A arcsn. (.8) B C ; (.9) C A. (.) После подстановки уравнения (.) в уравнение (.9) имеем: B A. (.) Заменив в уравнении (.) углы согласно уравнениям (.7), (.8), получаем: A A B A arcsn arcsn. (.) Из уравнения (.) следует, что данная кинематическая цепь характеризует перемещение только вдоль оси. Аналогично строим схемы перемещения для второй и третьей кинематических цепей и вычисляем зависимости координат точек В от координат точки А (,); координаты точки C ; ; ) : ( C C C С sn ; B координаты точки A ; ; ) : ( A A A C ; C (.) A C, A C, sn Координаты точки B ; ; ): ( B B B A (.4) B ; A A A arcsn arcsn B B координаты точки C ; ; ) : ( C C C (.5) С ; C sn ; C B (.6) координаты точки A ; ; ) : ( A A A A sn ; A C координаты точки B ; ; ) : ( B B B ; A C (.7) B ; B ;

96 96 arcsn arcsn A A A B (.8) В дальнейших расчетах обозначим входные координаты механизма в точках ( ;;) B ) ; ; ( B ) ;; ( B Решая уравнения (.), (.4), (.5), (.6), (.7) запишем систему уравнений, показывающих зависимость между координатами точек В и А :. arcsn arcsn ; arcsn arcsn ; arcsn arcsn A A A A A A A A A (.9) Задача о положениях манипулятора описывается функцией положения механизма, которая в неявном виде выражается уравнением: ),,,,, (. Уравнение связи для поступательно направляющего манипулятора с тремя кинематическими парами можно представить системой уравнений в общем виде:. ),,, ( ; ),,, ( ; ),,, ( (.) Подставив в уравнения (.) выражения (.9) получаем функцию положения:. arcsn arcsn ; arcsn arcsn ; arcsn arcsn (.) Используя обратную задачу о положении можно определить рабочую зону механизма, показанную на рис... [, ].

97 97 Рис.. Рабочая зона механизма Итак, на основе структурных формул исследован поступательнонаправляющий механизм, получены уравнения связей, решена задача о положении. Определена рабочая зона механизма. Она представляет куб... Решение задач о скоростях и особых положениях В параграфе рассмотрено решение задачи о скоростях, определение особых положений двумя подходами: дифференцированием уравнений связей и методом винтового исчисления.... Решение задачи о скоростях на основе уравнений связей Для решения задачи о скоростях будем использовать аналитический подход, основанный на изучении свойств матрицы Якоби, представленной в общем виде [78]: A V ( B), (.) V

98 98 где A ; B ; V V V V ; V V V V. Здесь: А матрица частных производных от неявной функции по,, ; В матрица частных производных от неявной функции по обобщенным координатам,, ; V вектор скорости выходного звена, разложенный на оси,, V, V, V ; V обобщенные скорости во входных звеньях (входные скорости). Запишем уравнение (.) в виде: V V V V V V (.) и найдем частные производные от неявной функции по обобщенным и абсолютным координатам: ; ; ; ; ; 4 ; ; ; ; ;.

99 99 После подстановки значений частных производных в уравнение (.) уравнение скоростей примет вид: V V V V V V (.4) Полученные уравнения позволяют решить прямую и обратную задачи о скоростях. Пример решения задачи о скоростях. Решим обратную задачу о скоростях, т.е. определим скорость входного звена. Зададим скорости входного звена V м/c, V,5 м/с, V м/с и положение выходного звена в точке О (,5;,5;,5). После дифференцирования уравнения связей уравнение скоростей (.4) будет иметь вид:,5,577,577,577,577,577,577 V V V. Откуда находим значения обобщенных скоростей: V, м/c, V 9,696 м/c, V 9,79м/c. Таким образом, используя уравнения дифференцирования связей получено решение обратной задачи о скоростях. Задавая обобщенные скорости, можно определить скорости абсолютные (выходного звена).

100 ... Решение прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления Для решения прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления необходимо найти силовые и кинематические винты. Относительный момент mom (R, Ω) сумма скалярных произведений вектора первого винта на момент второго относительно некоторой точки и вектора второго винта на момент первого относительно той же точки. Обозначив R силовой винт, действующий на выходное звено со стороны -й кинематической цепи ( ), имеем: mom (R, Ω) mom (R, Ω ), где Ω - кинематический винт выходного звена; Ω кинематический винт входного звена, или: ( Ω) V r V r V r mom R, ; ( f ) V ( r r r ) mom, Ω ; где r, r, r - плюккеровы координаты силового винта. Составим систему уравнений для трех кинематических цепей: V r V r V r V r r r ) ; ( V r V r V r V r r r ) ; (.5) ( V r V r V r V r r r ). ( Для решения задачи о скоростях определим плюккеровы координаты четвертого силового винта, который появляется при торможении входного звена. Три момента, создаваемые тремя силами, запрещают вращение. Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o), представляет собой:

101 j k E e e e, B C B C где e ; e или: E B C ; e sn j k sn (sn ) j () k ( ). Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o), представляет собой: j k E e e e, С А где e или: С А ; E С А e sn ; e j k sn (sn ) j ( ) k (). Силовой винт R будет перпендикулярен плоскости, образованной единичными векторами E и E, и равен: или: j k R E E E, E E E

102 R sn sn j (sn j k ( ) k ( sn ) Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси параллельной o), представляет собой: j k E e e e, B C где e sn или B C ; E ) B C e ; e j k sn ( ) j (sn ) k, (). Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси параллельной o), представляет собой: j k E e e e, С А где e или : С А С А ; e ; e, E sn j k sn () j (sn ) k ( ).

103 Силовой винт R будет перпендикулярен плоскости, образованной единичными векторами E и E, и равен R E E ч E E j н E E k, или: j k R sn ( sn sn j( ) k ( sn ). Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o), представляет собой j k E e e e, B C Где e или: ). B C B C ; e sn ; e, E j k sn () j () k (sn ). Единичный вектор E, перпендикулярный плоскости, которая образована двумя векторами: вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o), представляет собой: j k E e e e, С А С А где e sn ; e С А ; e,

104 4 или: E j k sn ( ) j () k (sn ). Силовой винт R будет перпендикулярен плоскости, образованной единичными векторами E и E, и равен R E E ч E E j н E E k, или: Плюккеровы координаты силового винта можно определить и другим способом. j k R sn sn j (sn ) k ( ( ). sn Рассмотрим первую кинематическую цепь. Во втором шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая первому параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты ). При повороте вокруг оси o ее координаты будут определяться произведением координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o: sn sn sn В третьем шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая второму параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты. При повороте вокруг оси o ее координаты будут определяться произведени- ем координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o:.

105 R ( sn sn j k sn sn ) j (sn 5 sn j r ; sn k ) k ( ; sn r ; (.6) r. sn Рассмотрим вторую кинематическую цепь. Во втором шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая первому параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты. При повороте вокруг оси o ее координаты будут определяться произведением координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o: sn sn sn В третьем шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая второму параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты. При повороте вокруг оси o ее координаты будут определяться произ- ведением координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o: sn sn sn. ; );

106 6 j k j R sn sn ( sn ) j ( sn k ) k ( r ; sn r (.7) r. sn Рассмотрим третью кинематическую цепь. Во втором шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая первому параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты. При повороте вокруг оси o, ее координаты будут определяться произведением координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o: sn sn sn В третьем шарнире в начальном положении ось поступательной пары, соответствующая второму параллелограмму, направлена вдоль оси o и имеет координаты. При повороте вокруг оси o ее координаты будут определяться про- изведением координат в начальном положении на матрицу поворота вокруг оси o: sn j k R ( sn ) j (sn sn sn j k sn sn ) k (. ; ); );

107 7 r ; sn sn r (.8) r. Задав координаты выходного звена точки О (,5;,5;,5) и длины звеньев ;, координаты точки А : A A A,5,5,,5 согласно уравнениям (.), (.7) углы поворота в параллелограммах равны: координаты точки А :,5 A ; arcsn arcsn,5 A ; arcsn arcsn arcsn A A arcsn,5 ( ),; A A A,5,5 ;,5,5 A ; arcsn arcsn A координаты точки А :,5 arcsn A arcsn ; arcsn A A arcsn,5 ( ),; A

108 A A A 8,5,5 ;,5,5 A ; arcsn arcsn,5 A ; arcsn arcsn A arcsn A arcsn,5 ( ),. Пример решения прямой задачи о скоростях. Зададим скорости входных звеньев V м/c, V,5 м/с, V м/с, тогда плюккеровы координаты силового винта будут равны согласно уравнениям (.6), (.7), (.8): A r ( ),75 ; r sn sn( ) (,5),866 r sn ( ) sn,4; r sn ( ) sn,4; r ( ),75; r sn sn( ),4; r sn sn( ),4; r sn sn ( ),4 ; r ( ),75.,4; Подставив в уравнения (.5) найденные значения плюккеровых координат силовых винтов, получаем систему уравнений скоростей манипулятора: V V V (,75) V,4 V,4 V (,75) ;,4 V (,75) V (,4) V (,75) ;,4 V (,4) V (,75) V (,75).

109 Для решения системы уравнений составляем матрицу из плюккеровых координат: 9 r r r r r r r r r,75,4,4,4,75,4,4,4,75 и, применяя правило Крамера, определяем значения скоростей выходного звена: V, м/c, V 9,696 м/c, V 9,79м/c. Получено решение прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления, расчеты совпадают с решением задачи с использованием уравнений связей... Решение обратной задачи о скоростях методом винтового исчисления и определение особых положений. Рассмотрим решение обратной задачи о скоростях. Линейная скорость выходного звена равна сумме линейных скоростей шарниров звеньев одной цепи. Задаём скорости выходного звена V, м/c, V 9,696 м/c, V 9,79м/c и составляем уравнения скоростей для первой кинематической цепи: V VB VC VA ; V V V V B C C ; (.9) V VB VC VC, где V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси х; V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси ; V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси. Подставив значения плюккеровых координат в уравнения (.9), получаем: V V E V E V E V ; B C A E V E V E V ; B C C V E V E V E V, B C C

110 где E, E, E плюккеровые координаты единичного вектора; E, E, E плюккеровы координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси параллельной o); E, E, E координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o). Для второй кинематической пары уравнения скоростей имеют вид: V VB VC VA ; V V V V B C C ; (.) V VB VC VC, где V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси х; V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси ; V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси. Подставляя значения плюккеровых координат в уравнения (.), получаем: V V E V E V E V ; B C A E V E V E V ; B C C V E V E V E V, B C C где E, E, E плюккеровы координаты единичного вектора, E, E, E плюккеровы координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси параллельной o); E, E, E координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o). Для третьей кинематической пары уравнения скоростей имеет вид:

111 V VB VC VA ; V V V V B C C ; (.) V VB VC VC, где V B, V C, V A проекции скоростей точек В, С, А на оси х; V B, V С, V А проекции скоростей точек В, С, А на оси ; V B, V C V A проекции скоростей точек В, С, А на оси. Подставляя значения плюккеровых координат в уравнения (.), получаем: V V E V E V E V ; B C A E V E V E V ; B C C V E V E V E V, B C C где E, E, E плюккеровы координаты единичного вектора, E, E, E плюккеровы координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена первого параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o); E, E, E координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, образованной вектором, расположенным вдоль оси промежуточного звена второго параллелограмма, и вектором направления оси вращения кинематической пары (оси, параллельной o). Плюккеровы координаты, стоящие при скоростях, для первой кинематической цепи можно записать в виде: E E E E E E E E E sn sn Применяя правило Крамера, определяем скорости: V B м/с; V C,8 м/с; V A,96 м/с.,5,866,5,866 Плюккеровы координаты, стоящие при скоростях, для второй кинематической цепи можно записать в виде:.

112 E E E E E E E E E sn sn Применяя правило Крамера, определяем скорости: V B,5 м/с; V C,56 м/с; V A 7,55 м/с.,866,5,5,866 Плюккеровы координаты, стоящие при скоростях, для третьей кинематической цепи можно записать в виде: E E E E E E E E E sn sn Применяя правило Крамера, определяем скорости: V B м/с; V C 7,498 м/с; V A,577 м/с.,866,5,866,5 Для определения особых положений рассмотрим одну из кинематических цепей манипулятора, например первую цепь. Рассмотрим матрицу, составленную из плюккеровых координат кинематических винтов: sn sn Особое положение соответствует такому положению звеньев кинематической цепи, при котором матрица, составленная из плюккеровых координат, становится вырожденной, т.е. ее определитель равен нулю. Определитель матрицы равен нулю при следующих значениях углов: ;, 9., 9 Такое положение соответствует сложенному параллелограмму. Рассматривая механизм в целом, исследуем матрицу, составленную из плюккеровых координат силовых винтов из уравнения (.5): r r r H r r r. r r r Матрица вырождается при следующих значениях углов:...

113 ; ; ; ; 9 ;. Таким образом, получено решение обратной задачи о скоростях методом винтового исчисления, расчеты совпадают с решением задачи с использованием уравнений связей. А также используя аппарат винтового исчисления, определены особые положения механизма...4 Решение задачи об ускорении Дифференцируя уравнения связей ),,, (, по t, получаем систему уравнений, связывающие скорости входных и выходных звеньев : & & & &,, Дифференцируя уравнения связей второй раз по t, получаем кинематические уравнения, связывающие ускорения входных и выходных звеньев [4]: && & & & & & && & & & & & && & & & & & && & & & & & (.) Упростив полученное выражение, получаем значения частных производных для первой цепи: && && && && & & && & & && & && && && & Для решения задачи об ускорении введем следующие замены: - a ; - b ; - c,

114 4 где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; a ; b ; b b ; a a. Значения частных производных для второй цепи: где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; c ; c ; c c ; b b. Значения частных производных для третьей цепи: где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; c ; a ; c c a a. Уравнения ускорений (.) можно записать в следующем виде, принимая : a a b b b a & & && && && & & c c b b c b & & && && && & & (.) a a c c c a & & && && && & & Для решения задачи ускорения в приводах зададим уравнение движения выходного звена: ( ) t ; ( ) t ; ( ) t.

115 5 Это прямолинейное движение выходного звена, причем в начальный момент времени t и конечный момент времени tπ его остановка. Такой закон движения соответствует технологической операции, например, погрузкавыгрузка, съем-укладка. Подставив исходные уравнения движения выходного звена, получаем значения ускорений в приводах (рис..). Рис.. График изменения ускорений в приводах ускорение в приводе -й цепи, ускорение в приводе -й цепи, ускорение в приводе -й цепи Таким образом, полученные уравнения ускорений в дальнейшем можно использовать для решения задач динамики и управления.

116 6.4. Кинематическая точность поступательно-направляющего механизма Применение промышленных роботов определяется точностью воспроизведения движения исполнительного органа и позиционирования [6, 7]. Погрешность позиционирования зависит от многих системных и случайных составляющих. К системным относят отклонения звеньев от номинальной длины, неточность работы системы управления. Системные погрешности могут быть учтены или скомпенсированы полностью или частично. В параграфе рассмотрено влияние отклонения линейных размеров звеньев от заданных. Решение задачи о положении определяет взаимосвязь между входными и выходными координатами. В общем виде задача о положении задается в виде неявных функций: ) (,,,,,L,L L (.4) Полный дифференциал функции (.4) можно записать в виде: δ δ δ δ δ δ δ L L L L L L (.5) где L, L, L длины звеньев -й цепи. Согласно линейной теории точности приращение в приводах равны нулю,, δ δ δ. Тогда уравнения для трех кинематических цепей (.5) можно записать в виде системы уравнений: δ δ δ δ δ δ L L L L L L ; δ δ δ δ δ δ L L L L L L ; (.6) δ δ δ δ δ δ L L L L L L. Частые производные будут равны:

117 7 L ; L ; L ; L L L L ; L L L L ; L L L L ; L L L L ; L L L L ; L L L L. Выразим из уравнения (.5) приращения δ, δ, δ: B A C C B A δ B A C A C B δ (.7) A B A C B C δ где δ δ δ L L L L L L A ; δ δ δ L L L L L L B δ δ δ L L L L L L C. Рассмотрим пример идеального механизма с длинами звеньев мм L L L L L L, мм L L L, координаты выходного звена в начальном положении (; ; ), а отклонения длины звеньев

118 8 δ L, мм, L, мм, L δ δ мм. Отклонения выходного звена δ, δ, δ определяется формулой (.7), общее отклонение равно: δ δ δ,45 мм. Для исследования ошибок положения выберем несколько точек в рабочей зоне. Значения отклонения входного звена представлено в таблице.. Значения отклонений выходного звена, рассчитанное Координаты выходного звена,,,, мм на основе линейной теории точности δ,мм δ,мм δ, мм Общее отклонение,, мм ; ; -, -, -,,45 ; 4; -,48 -,54 -,75,46 98; 4;,44,64,6,48 7; 8;,87,696,74,8 ; ;,67, 55, 55,975 7; 8; 8,68,5,5,6 5; 8; -, 469 -, -,687,499 Таблица.. Механизмы параллельной структуры являются многозвенными, с взаимовлиянием приводов, что усложняет решение задачи, связанной с оценкой точности функционирования роботов. При определении ошибок скорости использование линейной теории точности возможно в условиях малых перемещений, что ограничивает круг задач. Это заставляет исследовать механизмы в рамках нелинейной теории точности. Для проверки применимости линейной теории точности сравним результаты расчетов с фактическим отклонением. Зависимости между входными и выходными координатами можно записать в виде:

119 9 f L, L, L,,, ) ; ( f L, L, L,,, ), (.8) ( f ( L, L, L,,, ) где,, значения координат выходного звена идеального механизма, рассчитываемые из задачи о положении. Тогда фактическое отклонение можно записать в виде: где,, f L L, L L, L L,,, ) ; ( f L L, L L, L L,,, ) ; (.9) ( f L L, L L, L L,,, ). ( значения координат выходного звена при наличии отклонений в длинах звеньев механизма. Разность уравнений (.8), (.7) характеризует общую ошибку положения: ; ; Расчеты по определению фактической ошибки положения координат представлены в таблице.. Координаты выходного звена, мм,, Значения отклонений выходного звена, рассчитанное на основе нелинейной теории точности,мм,мм, мм Общее отклонение, мм Таблица.. Отклонение от линейной зависимости, % ; ; -, -, -,,45 ; 4;,476,5,7,49,6 98; 4;,4,6,6,44, 7; 8;,85,694,7,76, ; ;,6,548,55,966,89 7; 8; 8,67,499,49,6 5; 8; -,46, 6, 67, 497,5

120 Как видно из таблицы 7.. ошибка положения выходного звена, полученная с использованием линейной теории точности, совпадает с результатами, полученными с расчетами, основанными на нелинейной теории точности. Отклонение не превышает более %. Выводы по главе. Проведен структурно-параметрический синтез поступательно-направляющих механизмов с тремя степенями свободы с использованием структурных формул. Показано, что в основе построения таких механизмов лежит две концепции синтеза либо каждая цепь налагает одинаковые связи, либо каждая цепь налагает по одной связи (момент). Приведены примеры построения цепей с различным числом кинематических пар. На основе предложенных кинематических цепей синтезированы механизмы.. Синтезирован новый поступательно-направляющий механизм с тремя кинематическими цепями, содержащие по два шарнирных параллелограмма, получены уравнения связей.. Решены прямые и обратные задачи о положении, о скоростях, об ускорениях, определены особые положения на основе уравнения связей и винтовом исчислении. Показана применимость двух методов решения. 4. Исследованы вопросы геометрической точности механизма с применением линейной теории точности. Сопоставлены результаты расчетов, полученные с применением нелинейной точности. Показано совпадение результатов. 5. Определена рабочая зона механизма на основе задачи о положении, что позволяет оценить габариты манипулятора, для установки его в производственных помещениях.

121 ГЛАВА 4. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ СФЕРИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В главе рассматриваются вопросы структурно-параметрического синтеза. Структурно-параметрический синтез проводится на основе структурных формул. Решены задачи кинематического анализа для нескольких сферических механизмов. В частности, решены задачи о положении, о скоростях, ускорениях, определены особые положения. Кинематический анализ проводится на основе связей, налагаемых кинематическими цепями, а также на основе винтового исчисления. Исследованы вопросы кинематической точности механизма. 4.. Синтез сферических механизмов. В параграфе рассмотрен структурно-параметрический синтез сферических механизмов с тремя степенями свободы с тремя кинематическими цепями. Задача осуществления передачи движения между взаимопересекающимися осями может быть решена с использованием сферических манипуляторов. Такие манипуляторы применяются в устройствах для ориентирования антенн, телескопов, в испытательных стендах, для обработки сферических поверхностей, в смесителях, тестомесильных машинах, в устройствах для оформления кондитерских изделий. Манипуляторы, выполняющие сферические движения, могут быть построены на основе различных конструктивных решений, однако все они обладают одним свойством их можно представить схемами, в которых оси входных и выходных кинематических пар пересекаются в одной точке. Сферические механизмы строятся по принципам, когда каждая кинематическая цепь налагает одинаковые связи либо каждая цепь налагает по одной связи момент. Кинематическая цепь может содержать: - три вращательные пары, налагающие по три связи: RRR, RU (рис.4.)

122 (рис.4.) - пять вращательных пар, налагающих по одной связи: RRRRR, URU а) б) Рис. 4. Кинематическая цепь с тремя вращательными парами с пересекающимися осями а RRR, б RU а)

123 б) в) г) Рис. 4. Кинематическая цепь с пятью парами а RRRRR, б RRRU, в URU, г UPU

124 4 Рассмотрим механизм с тремя цепями, содержащими по три вращательные пары (рис.4.). Этот механизм состоит из трех кинематических цепей с пересекающимися осями пар. Оси вращательных пар пересекаются в одной точке начале координат под углом 9. Выходное звено представляет собой вращающуюся вокруг трех осей платформу. Каждое входное звено цепи соединено с вращательным двигателем. В этом механизме каждая цепь налагает по три одинаковых связи. Рис.4. Сферический механизм RRR Согласно формуле Сомова Малышева число степеней W свободы механизма для пространственной кинематической структуры определяется следующим образом: W 6 ( n ) 5 p5 6 (8 ) 5 9 (4.) Применение этой формулы возможно в том случае, если на движения звеньев, входящих в состав механизма, не наложено каких-либо дополнительных условий (оси всех вращательных пар были параллельны, пересекались в одной точке и т.д.). Эти дополнительные требования изменяют характер движений механизма и соответственно изменяют вид его структурной формулы.

125 5 В сферическом механизме все три кинематические цепи налагают одинаковые связи и оси всех пар пересекаются в одной точке. Имеются три силовых винта и взаимные им три кинематические. Это винты нулевого параметра. Для определения числа степеней свободы применим формулу Добровольского: W ( n ) p p (8 ) 9 (4.) 5 4 Если последние вращательные пары заменить сферическими, то в этом случае каждая цепь налагает по одной связи (рис.4.4.). Число степеней свободы определим по формуле Сомова-Малышева: W 6 ( n ) 5 p5 4 p4 p 6 (8 ) 5 6 Рис.4.4 Сферический механизм RRS Сферический механизм, построенный по принципу отбора каждой цепью по одной степени свободы. Эта степень свободы является поступательным движением (рис. 4.5). В этом механизме начальная вращательная кинематическая пара, расположена перпендикулярно оси двигателя, а две промежуточные вращательные пары, расположены параллельно оси начальной пары. Конечная вращательная пара, расположена перпендикулярно оси второй промежуточной пары и сопряжена с выходным звеном.

126 6 Так как на движение не наложено дополнительных условий, то число степеней свободы можно определить по формуле (4.), соответствующей пространственному механизму: W 6 ( n ) 5 p5 6 (4 ) 5 5 Рис Сферический механизм RRRRR Применение разных формул по определению числа степеней свободы можно объяснить на основе замкнутых групп винтов. Пусть выходное звено соединено с основанием кинематической цепью, в которой кинематические пары расположены таким образом, что кинематические винты, определяемые соответствующей парой, образуют замкнутую группу винтов. Соединение выходного звена и основания другой кинематической цепью, винты которой входят в ту же группу винтов, подвижности не изменят. Замкнутые группы винтов могут быть одно, двух, трех четырех и шестичленные группы. Шестичленной группе соответствует общая формула Сомова Малышева.

127 7 К трехчленной группе винтов относят винты с параметром р, оси которых пересекаются в одной точке, что соответствует сферическим механизмам (рис.4.). Для построения механизмов, в которых выходное звено совершает движения, соответствующие трехчленной группе винтов, используется формула, соответствующая плоским механизмам. При проектировании механизмов параллельной структуры присоединение другой цепи, соответствующей той же группе винтов, не изменит числа степеней свободы. Если присоединяемая группа содержит меньшее число винтов, то число степеней свободы уменьшится. Сферический механизм (рис 4.6) обладает частичной развязкой. Первая и вторая цепь, у которых оси приводных вращательных пар расположены вдоль осей и, налагают по одной связи (P, P ). Две цепи, у которых входные звенья расположены вдоль осей и. Эти две кинематические цепи налагают по одной связи. Рис.4.6 Сферический механизм с тремя кинематическими цепями RRRU, RU Применим формулу для определения числа степеней свободы: ( 6 p5 ) W 6 (4.)

128 8 Таким образом, число степеней свободы будет равно: ( 6 5) ( 6 5) 4 W 6 Первая и вторая кинематические цепи имеют четыре степени свободы. Третья цепь, входная ось которой расположена вдоль оси, отбирает три движения поступательные. Применим для расчета формулу (4.): ( 6 ) W 6 Выходное звено соединено с основанием кинематической цепью, в которой кинематические пары расположены таким образом, что кинематические винты, определяемые соответствующей парой, образуют замкнутую трехчленную группу винтов с параметром р. Также, для определения числа степеней свободы третьей кинематической цепи можно применить формулу (4.): W ( n ) p5 p4 (4 ) Третья цепь отбирает те же движения (т.е. налагает такие же связи P, P ), что и первые две цепи (рис.4.7). Три вектора выходят из одной точки и имеется трехчленная группа винтов, остальные два вектора описываются той же трехчленной группой винтов. Связи являются повторяющимися. Поэтому механизм обладает тремя степенями свободы. Рассмотрим сферические механизмы URU, UPU построенные по принципу наложения каждой цепью по одной связи (рис. 4.8) Для определения числа степеней свободы применим формулу (4.): ( 6 5) ( 6 5) (6 5) W 6 Рис.4.7. Связи, налагаемые кинематическими цепями

129 9 а) б) Рис.4.8. Сферический механизм а URU, б UPU Механизм с четырьмя цепями состоит из трех приводных цепей и одной цепи содержащей сферическую пару (рис. 4.9). Сферическая пара может быть заменена тремя парами, оси которых пересекаются. Все связи налагаются одной цепью, а три другие являются приводными. Рис.4.9. Сферический механизм с четырьмя цепями S, SPS

130 Таким образом, показаны кинематические цепи сферических механизмов, кинематические схемы механизмов, принципы их построения. Показана применимость формул определения числа степеней свободы, используя принцип наложения связей и винтовое исчисление. 4.. Решение задачи о положении Рассмотрим сферический манипулятор, в котором оси вращательных пар пересекаются в одной точке начале координат под углом 9 (рис.4.) [8, 4]. Каждое входное звено цепи соединено с вращательным двигателем. Выходное звено представляет собой платформу, вращающуюся в точке О вокруг трех осей координат. Выходными координатами являются углы поворота платформы: угол α поворота вокруг оси, угол β поворота вокруг оси и угол γ поворота вокруг оси. Обобщенными координатами являются углы φ, φ, φ. поворота входных звеньев соответственно первой, второй и третьей кинематической цепи. Рис.4.. Кинематическая схема сферического манипулятора с тремя кинематическими парами Запишем матрицу, описывающую переход от подвижной системы координат к неподвижной системе координат выходного звена. Выходное звено повора-

131 чивается в следующем порядке: сначала поворот вокруг оси, затем вокруг оси и наконец вокруг оси. Матрицы поворота А вокруг осей,, имеют следующий вид: вокруг оси х вокруг оси вокруг оси A α sn α ; sn α α β snβ A ; snβ β γ sn γ A sn γ γ. Тогда матрица, описывающая переход от подвижной системы координат к неподвижной системе координат выходного звена, будет вид АА А А (4.4) или после подстановки, получаем значение матрицы А : γ β γ snβ sn α α sn γ sn α sn γ α γ snβ A β sn γ α γ sn α snβ sn γ α sn γ snβ γ sn α. sn sn β β α β α При рассмотрении движения выходного звена для наглядности вводится фиктивная кинематическая цепь определения его поворота вокруг осей в следующей последовательности: (γ); (β); (α) (рис.4.). Рис. 4.. Схема фиктивной кинематической цепи в неподвижной системе координат

132 В первой кинематической цепи входное звено осуществляет поворот вокруг осей в последовательности:,,. Матрицы поворота В / вокруг осей,, имеют следующий вид: вокруг оси х вокруг оси вокруг оси / B sn ; sn sn / B ; sn sn / B sn. Тогда матрица, описывающая переход от подвижной системы координат к неподвижной системе координат выходного звена, будет иметь вид: / B Единичный вектор оси пары выходного звена первой цепи имеет координаты или: sn sn sn sn sn sn B / B B B (4.5) / sn / / sn sn sn sn sn sn sn sn.. Подставив в уравнение связи / А В найденные значения мат- риц А и В /, получаем уравнение из которого можно выразить угол φ через углы α, β, γ. sn γ sn α α γ sn β sn α sn γ sn β γ sn α sn β α Во второй кинематической цепи единичный вектор оси выходного звена имеет координаты. Входное звено осуществляет поворот вокруг осей в после-,

133 довательности:,,. Матрицы поворота В // вокруг осей,, имеют следующий вид: вокруг оси вокруг оси вокруг оси х sn // B ; sn sn // B sn ; // B sn. sn Матрица перехода от подвижной системы координат к неподвижной системе координат входного звена будет иметь вид: или: // B sn sn sn sn sn Подставив в уравнение связи уравнение φ через углы α, β, γ. B // B B B (4.6) // // sn α β β sn α sn snβ sn // sn sn sn sn sn sn sn sn sn // А В значения матриц А и В //, получаем, из которого можно выразить угол В третьей кинематической цепи единичный вектор оси пары выходного звена имеет координаты. Входное звено осуществляет поворот в следующей по- следовательности: вокруг осей,,. Матрицы поворота В /// вокруг осей,, имеют следующий вид:.

134 вокруг оси вокруг оси х вокруг оси 4 sn /// B sn ; /// B sn ; sn sn /// B. sn Матрица, описывающая переход от подвижной системы координат к неподвижной системе координат входного звена выглядит как: или: /// B А sn sn sn B sn sn /// B B B (4.7) /// /// sn /// sn sn sn sn Подставив найденных значений матриц А и В /// /// В, получаем уравнение: α snβ sn γ γ sn α sn α γ sn α snβ sn γ β sn γ sn Из уравнения (4.8) можно выразить угол φ через углы α, β, γ. sn sn sn. в уравнение связи. (4.8) Задача о положениях показывает взаимосвязь между координатами выходного звена и обобщенными координатами. Задача о положениях описывается функцией положения. В неявном виде функция положения механизма выражается уравнением: α, β, γ,,, ) (4.9) (

135 5 Уравнение связи для сферического манипулятора с тремя кинематическими парами можно представить системой уравнений: ( α, β, γ, ( α, β, γ, ( α, β, γ, ) ; ) ; ). (4.) После подстановки в уравнения связей (4.9) углов φ, φ, φ выраженных через α, β, γ имеем: tg γ sn γ snβ γ sn α ; α β snβ tg γ β ; γ snβ snα α sn γ tg α γ sn α snβ sn γ (4.). Таким образом, составлены уравнения связи между углами поворота входных звеньев и углами поворота выходного звена. Теперь рассмотрим сферический механизм, построенный по принципу, когда каждая цепь отбирает по одной степени свободы (рис.4.) [85,, 67]. В этом механизме начальная вращательная кинематическая пара, расположена перпендикулярно оси двигателя, а две промежуточные вращательные пары, расположены параллельно оси начальной пары. Конечная вращательная пара, расположена перпендикулярно оси второй промежуточной пары и сопряжена с выходным звеном. В первой цепи ось вращательного двигателя расположена вдоль оси х, ось начальной вращательной пары расположена параллельно оси у, ось конечной вращательной пары рас положена вдоль оси. Во второй кинематической цепи ось вращательного двигателя расположена вдоль оси у, ось начальной вращательной пары расположена вдоль оси, ось конечной вращательной пары расположена вдоль оси х. В третьей кинематической цепи ось вращательного двигателя расположена вдоль оси, ось начальной вращательной пары расположена параллельно оси х, ось конечной вращательной пары расположена вдоль оси у.

136 6 Рис.4.. Сферический механизм в пятью кинематическими парами в цепях Первая цепь совершает следующие перемещения: поворот вокруг оси х на угол φ, поворот вокруг оси у на угол φ, перенос по оси на расстояние, перенос по оси х на расстояние, поворот вокруг на угол φ. Эти перемещения описываются соответствующими матрицами в случае использования представления Денавитта-Хартенберга: sn sn / B, sn sn / B, / B, / 4 B, sn sn / 5 B Матрица перехода входного звена первой цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна:

137 7 B / B B B B B. (4.) / / / / 4 / 5 Единичный вектор оси входной пары равен Р. Выходное звено совершает последовательный поворот вокруг осей,, соответственно на углы поворота γ, β, α. Матрицы, описывающие поворот вокруг осей,, соответственно выглядят следующим образом: α sn α A sn α α, A γ sn γ β sn β A sn β β, sn γ γ Матрица, описывающая переход выходного звена от подвижной системы координат к неподвижной, будет иметь вид: A A A A (4.) γ β γ sn β sn α sn γ α sn γ sn α γ α sn β sn γ β γ α sn γ sn β sn α sn γ α sn β γ sn α А sn β β sn α β α / Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В /, получим выражение: sn γ sn α γ α sn β sn sn γ α sn β γ sn α sn β α sn ( ) sn ( sn ) Из полученного уравнения (4.4) выражаем угол φ через α, β, γ: (4.4) sn γ α sn β γ sn α tg (4.5) β α

138 8 Аналогичным образом составим уравнения связи для второй и третьей цепей. Единичный вектор оси выходного звена второй кинематической цепи имеет координаты P. Входное звено второй цепи совершает следующие переме- щения: поворот вокруг оси у на угол φ, поворот вокруг оси на угол φ, перенос по оси х на расстояние, перенос по оси у на расстояние, поворот вокруг х на угол φ, которые описываются соответствующими матрицами: sn // B sn, // B, // B 4, sn sn // B, sn // B 5 sn. Матрица перехода входного звена второй цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна: B // B B B B B (4.6) // // // Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В //, получим выражение: γ β sn γ β sn snβ sn // // 4 ( sn ) ( sn ) Из уравнения (4.4) выразим угол φ через α, β, γ: // 5 sn (4.7) sn β tg (4.8) γ β

139 9 В третьей кинематической цепи единичный вектор оси выходного звена имеет координаты P. Входное звено третьей цепи совершает перемещения в следующей последовательности: поворот вокруг оси на угол φ, поворот вокруг оси х на угол φ, перенос по оси у на расстояние, перенос по оси на расстояние, поворот вокруг х на угол φ. Этим перемещениям соответствует матрицы: /// B sn sn /// B 4 sn /// sn B sn /// B 5. sn /// B Матрица перехода входного звена третьей цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна: B /// /// /// /// /// 4 /// 5 B B B B B (4.9) /// Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В ///, получим выражение γ sn β sn α sn γ α sn α γ sn γ sn β sn α β sn α sn ( sn ) ( sn ) sn (4.) Выразим угол φ через α, β, γ, разделив вторую строчку на первую и приравняв строки матриц уравнения (4.) получаем выражение: γ snβ sn α α sn γ tg (4.) α γ sn α snβ sn γ

140 4 Таким образом, полученные уравнения связей для двух рассмотренных механизмов совпали. Теперь рассмотрим механизм с повторяющимися связями (рис.4.) [84,, ]. Рис. 4. Сферический механизм с повторяющимися связями Первая цепь совершает следующие перемещения: поворот вокруг оси х на угол φ, поворот вокруг оси у на угол φ, перенос по оси на расстояние, перенос по оси х на расстояние, поворот вокруг на угол φ. Эти перемещения описываются соответствующими матрицами в случае использования представления Денавитта-Хартенберга:

141 sn / B sn, / B, / B 4, 4 / B 5 sn sn / B sn, sn Матрица перехода входного звена первой цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна: / / / / / / B B B B B 4 B 5 (4.) Единичный вектор оси входной пары равен Р. Выходное звено совершает последовательный поворот вокруг осей,, соответственно на углы поворота γ, β, α. Матрицы, описывающие поворот вокруг осей,, соответственно выглядят следующим образом: α sn α A, sn α α β snβ A, snβ β A γ sn γ γ sn γ Матрица, описывающая переход выходного звена от подвижной системы координат к неподвижной, будет иметь вид: γ β sn γ β А sn β β sn α A A A A γ sn β sn α sn γ α γ α sn γ sn β sn α (4.) sn γ sn α γ α sn β sn γ α sn β γ sn α β α / Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В /, получим выражение:

142 4 sn γ sn α γ α snβ sn sn γ α snβ γ sn α sn β α sn ( sn ) ( sn ) Из полученного уравнения (4.4) выражаем угол φ через α, β, γ: (4.4) sn γ α sn β γ sn α tg (4.5) β α Вторая кинематическая цепь совершает следующие перемещения: поворот вокруг оси у на угол φ, поворот вокруг оси х на угол φ, перенос по оси на расстояние, перенос по оси у на расстояние, поворот вокруг на угол φ. Единичный вектор оси выходного звена второй кинематической цепи имеет координаты. Эти перемещения описываются соответствующими матри- цами: P sn // sn // B sn, B, sn sn // // B, sn // B 4, B 5. Матрица перехода входного звена второй цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна: B // B B B B B (4.6) // // // // Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В //, получим выражение: sn γ sn α γ α snβ sn γ α snβ γ sn α sn β α sn // 4 // 5 ( sn ) ( ) (4.7)

143 4 Выразим угол φ через α, β, γ из уравнения (4.7): β α tg (4.8) sn γ sn α γ α snβ В третьей кинематической цепи единичный вектор оси выходного звена имеет координаты P. Третья кинематическая цепь цепь совершает переме- щения в следующей последовательности: поворот вокруг оси на угол φ, поворот вокруг оси х на угол φ, поворот вокруг оси у на угол φ. Этим перемещениям соответствует матрицы: sn sn /// B, sn /// B. sn sn /// B, sn Матрица перехода входного звена третьей цепи от подвижной системы координат к неподвижной равна: B /// B B B (4.9) /// /// Подставив в уравнение связи А P В P найденные значения матриц А и В ///, получим выражение : γ snβ sn α sn γ α sn α γ sn γ snβ sn α β sn α sn /// /// (4.) Выразим из уравнения (4.) угол φ через α, β, γ, разделив вторую строчку на первую и приравняв строки матриц получаем выражение:

144 44 γ sn β sn α sn γ α tg (4.) α γ sn γ sn β sn α Задача о положениях показывает взаимосвязь между координатами выходного звена и входного. Задача о положениях описывается функцией положения. В неявном виде функция положения механизма выражается уравнением ( α, β, γ,,, ). Уравнение связи для сферического манипулятора с тремя кинематическими парами можно представить системой уравнений: ( α, β, γ, ( α, β, γ, ( α, β, γ, ) ) ) Углы φ, φ, φ выраженные через α, β, γ подставим в уравнения связей (4.): tg tg tg sn γ α snβ γ sn α β α (4.) β α (4.) sn γ sn α γ α sn β γ snβ sn α sn γ α α γ sn γ sn β sn α Полученные уравнения связи устанавливают соотношения между углами поворота входных и выходных звеньев. Таким образом, рассмотрены сферические механизмы параллельной структуры, строящиеся по различным принципам. Для исследуемых механизмов выведены уравнения связей. Показано, что при различных кинематических схемах механизмы могут совершать одинаковые движения. 4.. Решение задач о скоростях и особых положениях В параграфе приведено решение кинематических задач прямые и обратные задачи о скоростях, определение особых положений сферического механизма с тремя кинематическими парами в каждой цепи. Задачи о скоростях решаются двумя методами с использованием уравнений связей и методом винтового исчисления.

145 Расчет скоростей механизма методом дифференцирования уравнений связи Для решения задачи о скоростях будем использовать аналитический подход, основанный на изучении свойств матрицы Якоби [8]. Уравнения скоростей можно представить с следующем виде: где α α α β β β γ γ γ A ; A V ( B), (4.4) ω B ; α& β& γ& V ; & & & ω, А матрица частных производных от неявной функции по α, β, γ; В матрица частных производных от неявной функции по обобщенным координатам φ, φ, φ ; V скорости изменения углов ориентации выходного звена, разложенные на базис не перпендикулярных друг другу осей, которые определяются углами α, β, γ; ω обобщенные скорости во вращательных шарнирах (входные скорости). Скорость выходного звена может быть разложена на оси,, и на оси, определяемые углами α, β, γ. Для решения задачи о скоростях необходимо найти соотношение проекций скоростей на оси α, β, γ и оси,,. Обозначив скорости α &, β&, γ& вокруг осей α, β, γ, а скорости ω, ω, ω вокруг осей,,, можно получитьих соотношение: ω ω α& α β& β γ& γ ; α& β& γ& ; (4.5) α β γ ω α& β& γ&. α β γ

146 46 где,, координаты единичного вектора оси первой кинематической пары γ γ γ фиктивной кинематической цепи, расположенной вдоль оси β β β γ γ ; γ,, координаты единичного вектора второй кинематической пары фиктивной кинематической цепи, равные произведению матрицы поворота на угол γ вокруг оси и умноженные на координаты единичного вектора второй пары в на- β γ чальном положении β sn γ β α α α sn γ γ sn γ γ,, координаты единичного вектора третьей кинематической пары фиктивной кинематической цепи, равные произведению матрицы поворота выходного звена на координаты единичного вектора третьей пары в начальном положении α α α ( A) γ β sn γ β snβ Запишем уравнение скоростей (4.4) виде: α α α β β β γ α& β& γ γ& γ ; & & & (4.6) находим частные производные от неявной функции по обобщенным и абсолютным координатам: γ α sn γ snβ sn α sn α γ sn α sn γ α sn β ; α β α β α β sn β ( γ sn α sn γ α sn β) sn γ ; β α

147 47 γ sn γ sn α γ α sn β ; ; β α α β γ sn β γ ; β γ sn γ snβ ; γ β sn γ sn α γ α snβ α γ α sn γ snβ sn α ( γ sn α sn γ α snβ) (sn γ α γ snβ sn α) ; γ α sn γ snβ sn α γ β sn α β γ α sn γ sn β sn α sn γ β sn α (sn γ α γ sn β sn α) ; γ α sn γ sn β sn α (sn γ α γ sn β sn α) ; tg ; tg ; γ ( γ α sn γ sn β sn α) tg. Полученные уравнения позволяют решить прямую задачу о скоростях, т.е. определение скоростей выходного звена при известных скоростях входного звена, и обратную задачу о скоростях, когда рассчитывается скорость входного звена при известных скоростях выходного звена. Пример решения задач о скоростях. Решим обратную задачу о скоростях, т.е. определим скорость входного звена. Зададим скорости выходного звена: ω рад/c; ω рад/c; ω рад/c, и положения выходного звена: α рад, β рад, γ рад. Рассчитаем определяемые углами α, β и γ скорости изменения углов ориентации выходного звена, разложенные на базис неперпендикулярных друг другу осей. Координаты кинематических пар будут равны: β sn γ,854 β γ,54 ; β α α α γ β,9 sn γ β,454 ; sn,84 β γ γ γ. Тогда, подставляя найденные значения в уравнения (4.5), имеем:

148 ω 48 α& β& γ&,9 α&,854 β & γ& α β γ ω α& β& α γ& β γ,454 α &,54 β & γ& (4.7) ω α& β& γ&,84 α & β & γ& α β γ Решив найденную систему уравнений, вычисляем значения скоростей: α&,556 рад/c; β &, рад/c; γ&, 5 рад/c. виде: После дифференцирования уравнения скоростей (4.6) можно записать в,45,68,457 6,4,,67,556,6 4,489,,7,5 и находим значения обобщенных скоростей: 9,6 & &,7 & &,8 рад/c, &, 6 рад/c, &, 5 рад/c. (4.8) Получено решение прямой задачи о скоростях с использованием уравнений связей Решение задачи о скоростях методом винтового исчисления Рассмотрим решение обратной задачи о скоростях с применением теории винтов. Под обратной задачей понимается определение скоростей звеньев входного звена при известных скоростях выходного звена. Можно записать, что угловая скорость выходного звена равна сумме угловых скоростей шарниров звеньев одной цепи. Зададим ω рад/c, ω рад/c, ω рад/c. Для первой кинематической цепи составляем уравнения: ω ω ω ω ω ω (4.9) ω ω ω ω ω ω

149 где (,, ) координаты единичного вектора оси первой пары, 49 (,, ) координаты единичного вектора оси второй пары, которые определяются произведением матрицы поворота вокруг оси на координаты единичного вектора оси второй пары в ее начальном положении sn sn sn,97,4 (,, ) координаты оси третьей пары, которые определяются произведением матрицы поворота выходного звена на координаты единичного вектора оси третьей пары в ее начальном положении ( А) sn α sn γ α γ sn β,954 γ sn α sn β α sn γ,7 β γ,9 Запишем уравнения (4.8) скоростей в следующем виде: ω ω ω sn sn α sn γ α γ sn β ω γ sn α sn β α sn γ ω β γ ω ;. ; (4.4) Скорости шарниров в кинематической цепи определяем, решив полученное уравнение с учётом правила Крамера. Находим значение определителя матрицы С, составленной из координат осей первой, второй и третьей пар, а также матриц С, С, С, в которых последовательно заменены столбцы матрицы С на заданные значения скоростей:,954 det ( С),97,7,;,4,9,954 det ( С ),97,7,96;,4,9

150 5,954 det ( С ),7,64;,9 det ( С ),97,7.,4 Соответственно скорости шарниров составляют: ω det( С ) det( С) det( С ),8рад/c, ω, det( С) рад/c, ω det( С ) det( С),4 рад/c. Для второй кинематической цепи составим уравнение скоростей: ω ω ω ω ω ω (4.4) ω ω ω ω ω ω где (,, ) координаты единичного вектора оси первой пары (,, ) координаты единичного вектора оси второй пары, которые определяются произведением матрицы поворота вокруг оси на координаты единичного вектора оси второй пары в ее начальном положении sn sn sn,944,7 (,, ) координаты единичного вектора оси третьей пары, которые определяются произведением матрицы поворота выходного звена на координаты единичного вектора оси третьей пары в ее начальном положении ( А) α β,9 β sn α,454 sn β,84. ; ;

151 5 Уравнения скоростей (4.4) представим в виде: ω ω ω sn α β ω β sn α ω sn β ω (4.4) Решив полученное уравнение с учётом правила Крамера, определяем скорости шарниров в кинематической цепи: ω,6 рад/c, ω,74 рад/c, ω,785 рад/c. Для третьей кинематической цепи уравнения скоростей имеют вид: ω ω ω ω ω ω (4.4) ω ω ω ω ω ω где (,, ) координаты единичного вектора оси первой пары, (,, ) координаты единичного вектора оси второй пары, которые определяются произведением матрицы поворота вокруг оси на координаты единичного вектора оси второй пары в ее начальном положении sn sn sn,996,89 (,, ) координаты единичного вектора оси третьей пары, которые определяются произведением матрицы поворота выходного звена на координаты единичного вектора оси третьей пары в ее начальном положении ( А) α snβ sn γ γ sn α,7 α γ sn α snβ sn γ,888 β sn γ,455 Уравнения скоростей (4.4) представим в виде: ω ω ω sn α snβ sn γ γ sn α ω α γ snα snβ sn γ ω β sn γ ω ;. ; (4.44)

152 5 Решив полученное уравнение с учётом правила Крамера, определяем скорости шарниров в кинематической цепи: ω,5 рад/c, ω,78 рад/c, ω,9 рад/c. Теперь рассмотрим решение прямой задачи о скоростях, т.е. определение скорости выходного звена при известных скоростях входного звена. При рассмотрении прямой задачи о скоростях необходимо определить силовые и кинематиче- ские винты [5]. Силовой винт R с координатами ( r, r, r, r, r ) r взаимен двум, ортам осей e, e неприводных пар. Этот винт R уравновешен совокупностью винтов реакций в парах, соответствующих ортам e, e. Относительный момент mom(r,ω ) сумма скалярных произведений вектора первого винта на момент второго относительно некоторой точки и вектора второго винта на момент первого относительно той же точки, где Ω кинематический винт выходного звена с координатами (V,V,V,ω,ω,ω ); V,V,V линейные скорости выходного звена, м/с. Кинематический винт выходного звена равен сумме кинематических винтов звеньев цепи Ω Ω Ω Ω, где Ω,Ω,Ω кинематические винты в первой, второй, третьей парах -го,,,,, ω звена с координатами соответственно ( ) (,,,,, ) ω, (,,,,, ) ω. Тогда mom(r,ω ) mom(r,ω R,Ω R,Ω )., Так как силовой винт взаимен ортам неприводных пар, то относительные моменты mom(r,ω ), mom(r,ω ). Поэтому можно записать, что mom(r,ω )mom(r,ω ). Подставив значения координат силовых и кинематических винтов, получим уравнения относительных моментов: mom mom ( R,Ω ) ω r ω r ω r ( R, Ω ) ω ( r r r ) где (,, ) плюккеровы координаты единичных векторов e, расположенных вдоль осей первых пар; r., r, r r моментная часть силового винта с координатами Составляем систему уравнений для трех кинематических цепей:

153 5 ω r ω r ω r ω ( r r r ) ; ω r ω r ω r ω ( r r r ) ; (4.45) ω r ω r ω r ω ( r r r ), где (,, ) координаты оси первой пары; (,, ) координаты оси второй пары, равные произведению матрицы, описывающей поворот вокруг первой оси, на координаты второй пары в начальном положении; (,, ) координаты оси третьей пары, равные произведению матрицы, описывающей поворот выходного звена, на координаты третьей пары в начальном положении. Для первой кинематической цепи координаты моментной части силового винта можно рассчитать как: r e e j k ( ) j( ) k ( ). Подставляя значения координат единичных векторов, получаем значения координат силового винта: r,, r,9, r,96 Составив и решив уравнение (4.45) для первой цепи ω r ω r ω r ω ( r r r ) с учётом найденных значений координат единичных векторов, имеем ω,8 рад/c. Для второй и третьей кинематических цепей координаты моментной части силовых винтов r и r определяются как:. r r e e e e j k ( ) j( ) k ( ), k ( ) j( ) k ( ). j

154 54 Подставляя значения единичных векторов, получаем для второй и третьей цепей значения координат силовых винтов: r,49 ; r,889 ; r,4 ; r,7 ; r,454 ; r,89. Составив и решив с уравнения (4.45) для второй и третьей цепей с учётом найденных значений координат силовых винтов, получаем значения скоростей ω,6 рад/c и ω,5 рад/c. Таким образом, представлено решение задачи о скоростях с использованием винтового исчисления. Результаты совпали с результатами расчетов, полученных дифференцированием уравнений связей Решение задачи об особых положениях методом винтового исчисления Особое положение механизма возможно в случае когда любая из цепи теряет степень свободы. Для определения особого положения в первой кинематической цепи запишем плюккеровы координаты (,, ) единичного вектора e, определяемые произведением матрицы поворота выходного звена вокруг сначала первой оси o, затем второй оси o на координаты вектора, расположенного вдоль оси третьей пары в ее начальном положении: / sn sn sn sn sn sn Подставим найденные плюккеровы координаты в уравнение скоростей первой кинематической цепи (4.9): ω ω ω sn sn sn ω ω ω. (4.46) и исследуем матрицу, составленную из плюккеровых координат. Найдем значение угла, при котором определитель матрицы становится равным нулю. Определи-

155 55 тель матрицы не зависит от угла, а определяется углом. Определитель равен нулю при 9 и 8, в этом случае плоскости расположения первой и второй цепей совпадают (рис. 4.4). Особое положение механизма определяется потерей степени свободы. Так как три кинематических пары лежат в одной плоскости, то все вращения могут происходить вокруг оси, лежащей в одной плоскости, а все вращения вокруг оси, перпендикулярной это плоскости, невозможны. Аналогично определяются особые положения для второй и третьей кинематических цепей. Для определения особых положений во второй кинематической цепи запишем плюккеровы координаты единичного вектора e (,, ). Они определяются произведением матрицы поворота выходного звена вокруг сначала первой оси o, затем второй оси o на координаты вектора, расположенного вдоль оси третьей пары в ее начальном положении: / sn sn sn sn sn sn Подставим найденные плюккеровы координаты в уравнение скоростей второй цепи (4.4): ω ω ω sn sn sn ω ω ω. (4.47) Для определения особых положений исследуем матрицу, составленную из плюккеровых координат. Определитель матрицы не зависит от угла, а определяется углом. Определитель равен нулю при 9 и 8, в этом случае плоскости расположения первой и второй цепей совпадают. Для определения особых положений в третьей кинематической цепи найдем плюккеровы координаты (,, ) единичного вектора e. Они определяются произведением матрицы поворота выходного звена вокруг: сначала первой оси o,

156 56 затем второй оси o и на координаты вектора, расположенного вдоль оси третьей пары в ее начальном положении: / sn sn sn sn sn sn Подставим найденные плюккеровы координаты в уравнение скоростей третьей цепи (4.4). Матрица, составленная из плюккеровых координат имеет вид: sn sn sn.. Рис Особое положение в первой кинематической цепи Определитель матрицы не зависит от угла, а определяется углом. Определитель равен нулю при 9 и 8, в этом случае плоскости расположения первой и второй цепей совпадают. Для определения особых положений механизма, связанное с потерей управляемости, необходимо исследовать систему уравнений (4.45) для трех кинематических цепей.

157 57 Для первой кинематической цепи координаты моментной части силового винта имеют следующие значения: r ; sn sn r ; r sn. Для второй и третьей кинематических цепей моментные части координат силовых винтов определяются как: винтов: r sn ; r sn sn ; sn r ; r sn sn ; r ; r. Составим матрицу R из моментной части плюккеровых координат силовых r R r r r r r r r r sn sn sn sn sn sn sn sn sn Матрица, составленная из плюккеровых координат вырождается, т.е. определитель матрицы равен нулю при следующих комбинациях значений углов: ), 9, 9 ; ) 9, 9, ; ) 9,, 9 ; 4) 9, 9, ; 5) 9,, 9. Это соответствует таким положениям, в которых плоскости имеют хотя бы две параллельные нормали (рис. 4.5) Потеря управляемости манипулятора определяется тем, что три силовых винта стали компланарны, т.е. параллельны одной плоскости, и вращение вокруг вектора, перпендикулярного силовым винтам, становится неуправляемым..

158 58 Рис.4.5. Особое положение сферического манипулятора, в которым плоскости имеют хотя бы две параллельные нормали 4.4. Решение задачи об ускорении Рассмотрим задачу об ускорениях, которая может иметь значение при анализе динамики механизма [9]. Дифференцируя уравнения связей (4.) по t, получаем систему уравнений, связывающих скорости входных и выходных звеньев: & α & β γ α β γ α & & β α β γ & γ & & & (4.48) α α β & & β γ γ& &

159 59 Дифференцируя уравнения (4.48) второй раз по t, получаем уравнения связывающие ускорения входных и выходных звеньев: α β & & γ& α αβ αγ α α & α && α α β & & γ& & β & αβ β βγ β β & α & β & γ& & β αγ βγ γ γ α α & β β & γ & γ& & & γ & && γ γ После упрощения получаем уравнение ускорений: α α& β αβ & & αγ && αβ αγ α β & & γ γ && γ γ& α & & && β β& βγ && βγ α && β && && γ α β γ Эти уравнения (4.5) можно записать в следующем виде: && (4.49) (4.5) && α α& α β && && && γ; α β γ αβ & & αγ && β& αβ αγ β βγ & & γ& βγ γ & β β& βγ & & βγ γ β && && γ β γ & γ& & (4.5) && α α αβ & αγ β& βγ & & & && & γ& αβ αγ β βγ γ α β && && && γ. α β γ Приведем численный пример, для этого зададим закон движения выходного звена: α, t, 76 t 5 ; β, t, 76 t 5 ; γ, &, 76 t 5 t Этому закону движения соответствуют значения ускорений в приводах (рис.4.6).

160 6 Рис. 4.6 График ускорений входных звеньев & && & ). (,, Таким образом, полученные уравнения ускорений в дальнейшем можно использовать для решения задач динамики и правления Кинематическая точность сферического механизма Применимость сферических механизмов определяется точность положения исполнительного звена. Многозвенность, взаимовлияние приводов усложняет решение задач определения задач точности функционирования механизма. Погрешность позиционирования зависит от многих составляющих. В данном параграфе рассмотрено решение задачи геометрической точности сферического механизма. На положение выходного звена в сферическом механизме влияние отклонения угловых размеров механизма от заданных. Решение задачи о положении определяет взаимосвязь между входными и выходными координатами. В общем виде задача о положении задается в виде неявных функций:

161 6 α, β, γ, θ, θ, ) (4.5) ( где θ, θ угол между осями кинематических пар (рис.4.7). Рис. 4.7 Углы между осями кинематических пар θ, θ в первой кинематической цепи δ Полный дифференциал функции (4.5) можно записать в виде: δα δβ δγ δθ α β γ θ θ δθ δ (4.5) Согласно линейной теории точности приращение в приводах равно нулю, δ δ. Уравнения (4.5) можно записать в следующем виде: δα δβ δγ δθ α β γ θ θ δθ ; δα δβ δγ δθ α β γ θ θ δθ (4.54) δα δβ δγ δθ α β γ θ θ В рассматриваемом механизме углы между осями кинематических пар θ, θ не равны 9. Последовательность поворотов выходного звена от подвижно системы координат к неподвижной представлена на рис δθ.

162 6 Рис.4.8 Последовательность поворотов выходного звена Матрица перехода от подвижной системы координат к неподвижной будет иметь вид: где B sn / B sn, / / / / / B C B C B (4.55) sn / B sn ; sn / B sn матрицы поворотов первой, второй и третьей кине- матических пар вокруг подвижной оси на углы φ, φ, φ соответственно; / С θ snθ ; snθ θ / С θ snθ snθ матрицы поворотов во- круг осей, на углы θ, θ соответственно; θ, θ углы между соседними парами;

163 ξ snξ / snξ ξ ; / 6 ξ snξ snξ ξ матрицы дополнительных поворотов для совмещения подвижной и неподвижной системы координат вокруг осей, на углы ξ, ξ соответственно, причем ξ 9, ξ 9. Единичный вектор оси пары выходного звена первой цепи имеет координаты. Подставив в уравнение связи А и В /, получаем уравнение: snγ snα α γ snβ α snγ snβ γ snα β α snθ А В найденные значения матриц sn θsnθ snθ ( sn θsnθ ) ( ) θ sn sn θ sn snθ Для второй кинематической цепи матрица перехода от подвижной системы координат к неподвижной будет иметь вид: где - B // B sn ; sn θ θ // // // // // B C B C B snθ snθ (4.56) // B sn ; sn // B sn матрицы поворотов первой, второй и третьей ки- sn нематических пар вокруг подвижной оси на углы φ, φ, φ соответственно; θ - snθ / С θ snθ ; / С θ - snθ матрицы поворотов во- круг осей, на углы θ, θ соответственно; θ, θ углы между соседними парами; snθ

164 ξ snξ // ; snξ ξ 64 // ξ snξ матрицы дополнительных snξ ξ поворотов для совмещения подвижной и неподвижной системы координат вокруг осей, на углы ξ, ξ соответственно, причем ξ 9, ξ 9. Для третьей кинематической цепи матрица перехода от подвижной системы координат к неподвижной будет иметь вид: B sn /// B ; - sn /// /// /// /// /// /// /// B C B C B (4.57) sn /// B ; - sn sn /// B матрицы поворотов первой, второй и третьей ки- - sn нематических пар вокруг подвижной оси на углы φ, φ, φ соответственно; θ - snθ /// С θ snθ ; /// С θ - snθ snθ θ матрицы поворотов во- круг осей, на углы θ, θ соответственно; θ, θ углы между соседними парами; ξ - snξ /// ; snξ ξ ξ snξ /// snξ ξ матрицы дополнитель- ных поворотов для совмещения подвижной и неподвижной системы координат вокруг осей, на углы ξ, ξ соответственно причем ξ 9, ξ 9. Функция положения будет иметь вид: α sn γ sn β γ sn α β α snθ θ ( ) snθ snθ sn θ snθ ( θ sn sn ) θ sn snθ ;

165 65 ( ) ( ) snθ sn θ sn sn θ snθ sn θ sn snθ snθ θ sn β γ β ; (4.58) ( ) ( ) snθ sn θ sn sn θ snθ snθ θ sn snθ snθ θ sn sn sn sn sn sn α β γ α γ γ α α β γ ; Частные производные будут равны: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ θ sn θ sn snθ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ snθ sn sn sn θ θ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ snθ sn θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ snθ sn sn θ sn θ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ θ θ sn sn θ snθ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ snθ sn θ sn θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ snθ sn sn θ sn θ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ θ sn sn sn snθ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ snθ sn θ sn θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ θ sn θ sn snθ snθ sn θ sn sn θ snθ sn snθ snθ sn sn θ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ sn snθ θ θ θ θ

166 66 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ snθ sn sn θ sn θ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ θ sn sn snθ snθ sn θ sn sn θ snθ snθ snθ sn θ sn θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) snθ θ θ sn sn sn snθ sn θ sn sn θ snθ sn θ snθ sn sn θ θ snθ sn θ sn sn θ snθ sn snθ snθ θ θ θ θ Значения остальных частных производных известны из решения задачи о положении. Определим ошибку положения выходного звена в различных положениях при отклонениях углов между осями равными 5, θ θ θ θ θ θ. Отклонения углов выходного звена выражаются из уравнения (4.4): α β γ β γ α γ α β γ α β β γ β γ β α β γ γ β β γ β γ γ β γ β δα W W W W W W ; α β γ β γ α γ α β γ α β β γ β γ β α γ α α γ γ α γ α γ α γ α δβ W W W W W W ; (4.59) α β γ β γ α γ α β γ α β β γ β γ β α α β χ α α β α β β α β α δα W W W W W W ; где δθ θ δθ θ W ; δθ θ δθ θ W ; δθ θ δθ θ W.

167 67 Рассмотрено отклонение выходного звена для различных положений. Значения отклонения координат выходного звена при заданном отклонении между осями представлено в таблице 4.. Значения отклонения углов выходного звена Таблица 4. Координаты выходного звена α, β, γ, рад α, град. β, град γ, град 5; 5; 5,6,,4 ; ;,7,5,48 ; ;,,7,4 ; ;,,6,4 5; 5; 5,6,8,46 Таким образом, представлено решение задачи определения кинематической точности механизма с применением линейной теории точности. Приведены примеры расчетов ошибки положения исполнительного звена. Выводы по главе 4. Проведен структурно-параметрический синтез сферических механизмов с тремя степенями свободы. Синтез проведен с использованием структурных формул. Показаны примеры двух принципов построения механизмов, когда каждая цепь налагает одинаковые связи и каждая цепь налагает по одной связи (силы). Приведены примеры построения цепей с различным числом кинематических пар. На основе предложенных кинематических цепей синтезированы механизмы.. Синтезированы новые сферические механизмы с тремя кинематическими цепями. Получены уравнения связей. Показано, что предложенный сферический меха-

168 68 низм с пятью кинематическими парами в каждой цепи может быть в дальнейших расчетах заменен эквивалентным механизмом с тремя кинематичсекими парами в цепи, удобным для решения задач динамики и управления.. Решены прямые и обратные задачи о положении, о скоростях, об ускорениях, определены особые положения на основе уравнения связей и винтовом исчислении. Показана применимость двух методов решения. 4. Представлено решение задачи геометрической точности сферического механизма с применением линейной теории точности.

169 69 ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В главе рассматриваются вопросы динамического анализа плоского, поступательно-направляющего и сферического манипуляционных механизмов параллельной структуры. Показана методика определения собственных частот механизмов параллельной структуры, выявлен динамический критерий особых положений. Представлено решение задачи о нелинейных колебаниях. 5.. Собственные частоты колебаний механизмов параллельной структуры В параграфе предложен аналитический метод и алгоритм для определения собственных частот колебаний манипулятора параллельной структуры [7, 6]. Обеспечение устойчивости равновесия и несущей способности манипуляторов параллельной структуры является одной из важнейших задач, решаемых при проектировании грузоподъемных механизмов данного класса. Теории колебаний посвящено значительное количество монографий [8,, ]. В то же время в литературе практически отсутствуют работы по исследованию устойчивости и колебаний манипуляторов параллельной структуры. Собственные колебания происходят в изолированной системе после внешнего воздействия или, например, после окончания процесса позиционирования, которые вызываются упругими деформациями. Характер колебательного процесса определяется только внутренними силами системы, зависящими от её физического строения. Внешние силы весьма разнообразны по своей природе. Источниками возникновения внешней силы могут быть инерционные эффекты, притяжение электромагнитов, кратковременный

170 7 импульс (удар) и т.п. В некоторых случаях возмущающие силы представляют случайный процесс (сейсмические нагрузки, волнение, качка корабля и т.п.). Рассмотрим плоский механизм с тремя степенями свободы (рис..) с координатами точек О, А, А, А подвижной платформы соответственно (; ), (; ), ( ;,5), ( ;,5); координаты точек соответственно В, В, В (; ), ( ; ), ( ; ). Формой уравнений движения являются уравнения Лагранжа [8]: d dt T T & П, (5.) где T - кинетическая энергия системы; П - потенциальная энергия системы. Потенциальная энергия системы определяется как: где с жесткость цепи. Кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей: П n с (5.) где m- масса; J- момент инерции выходного звена. T m ( & & ) J & (5.) Уравнения движения манипулятора с тремя степенями свободы будет описываться системой дифференциальных уравнений: d dt T & T П ; d dt T & T П ; (5.4) d dt T & T П Выразим выходные скорости через обобщенные скорости:

171 7 θ θ θ & & & & ; θ θ θ & & & & ; (5.5) θ θ θ & & & &. Коэффициенты, стоящие при обобщенных скоростях, определяются из задачи о положениях. Рассмотрим положение манипулятора (рис..) с расположением точек С, С, С соответственно с координатами (,4;,5), (,59;,975); (-,6;,474). Выходные и входные скорости связаны между собой соотношением ( ) ) ( & & & & & & B А (5.6) Умножим левую и правую части уравнения (5.6) на матрицу А -, обратную матрице А: ( ) ( ) ( ) & & & & & & B) ( А А А или упростив уравнение получаем зависимость: ( ) ) & & & & & & B ( А (5.8) Для исходного положения задачи матрицы А и В имеют вид,89,949,8,89,95,548,88,88 A ;,89,89,88 B. Обратная матрица А - будет имеет вид:

172 7,9,4,68 A,74,8,44,,7,7,7 а произведение матриц А - и В будет равно:,59,4,477 A B,,68,48.,,, Выразим значения скоростей из уравнения (5.8): & &,59 & (,4) & (,477) ; & &,) &,68 & (,48) (5.9) ( & &, &, &,. Запишем уравнение (5.) кинетической энергии в виде: T (. &.. ) 8 ( ) 4 ( ). Частные производные уравнения (5.4) равны: T & 4, &,96 &,96 & ; (5.) T & T &,96 &, &,96 &,96 &,96 &, & (5.) После дифференцирования выражения (5.) получаем систему уравнений:

173 7 d dt T &, &&,96 &&,96 && d dt T &,96 &&, &&,96 && (5.) d dt T &,96 &&,96 &&, && П с П, с, с П Дифференциальное уравнение движения (5.4) имеет вид:, & && & с,96, 96,, 96,96 & && & c (5.),96 & && & c,96, Система дифференциальных уравнений (5.) имеет частное решение: ω A sn ωt ; & A ω ωt ; & A snωt ω A sn ωt ; & A ω ωt ; & A snωt (5.4) ω A sn ωt ; & A ω ωt ; & A snωt где А, А, А амплитуды колебаний, мм Зададим массу выходного звена m,5 кг, момент инерции J,5 кг м и жесткость c c c Н/мм. Тогда, подставив значения частных решений и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.) и сократив множитель sn ωt, получаем A A A (, ω ) A,96 ω A,96 ω,96 ω A (, ω ) A,96 ω,96 ω A,96 ω A (, ω ) ; ;. (5.5) Движения возможны только в том случае, если уравнения системы (5.5) совместны друг с другом. Условием совместности уравнений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов А, А, А. Раскрыв этот оп-

174 74 ределитель, мы получаем уравнение для определения частот возможных колебаний:, ω,96 ω,96 ω 7 4 ω 6,96 ω, ω,96 ω 9, ω 4 6 5,96 ω, ω ω 9,96 ω Круговые частоты ω 8,7 рад/c, ω 8,8 рад/c, ω 8,4 рад/c, а соответствующие им собственные частоты колебаний ν 9, Гц, ν 9, Гц, ν 77, Гц. Проведем численное моделирование движения манипуляционного плоского механизма на основе уравнений Даламбера-Лагранжа. Примем положение равновесия, в котором обобщенные силы (усилия в приводах) равны нулю. При перемещении из этого положения появляются упругие силы, которые пропорциональны углам поворота в приводах. Уравнения динамики с учетом массы только выходного звена имеют следующий вид: m& J& & M где m масса; m& (5.6) &, & ускорения центра масс; J момент инерции выходного звена; & & угловое ускорение выходного звена;, проекция внешней силы на оси,, приложенная к выходному звену; M момент, приложенный к выходному звену. На входные звенья механизма действуют крутящие моменты двигателя (обобщенные силы). Крутящие моменты (обобщенные силы), действующие на входные звенья, будут определяться по формуле: где с жесткость привод, M c (5.7)

175 75 отклонения в приводах, мм. Необходимо определить скорости и ускорения выходного звена в определенном положении. Для решения данной задачи используем принцип возможных перемещений. Система из трех уравнений будет иметь вид: δ δ δ δ M M M m& & δ δ δ δ M M M m& & (5.8) δ δ δ δ M M M J& & где: δ, δу, δφ элементарные перемещение вдоль осей х, у и вокруг, мм; m масса выходного звена, кг; М, М, М крутящие моменты двигателей, действующие на начальные звенья, Н м. После преобразования уравнения (5.8) примут вид: m M M M & & ; m M M M & & (5.9) J M M M & & Уравнения содержат частные производные уравнений связей (.9): ; ; Рассмотрим положение манипулятора с координатами входных звеньев,4 рад;,4 рад;,75 рад и координатами выходных звеньев. ; ; (рис..4). Матрицы А и В имеют следующие значения:

176 ,88,88 А,548,95,89 ;,8,949,89 76,88 В,89.,89 Для данного положения значения частных производных равны: ;, 5,5 ;, 4,86 ;, 686 ; ; ;. Поскольку колебания считаются малыми, то можно линеаризовать уравнения колебаний. Дадим выходному звену малое колебание вокруг оси на угол φ,. В результате численного решения получаем значения частот колебаний координат (,, φ): ν Гц, ν Гц, ν 75 Гц (рис.5. а, б, в) а) б)

177 77 и соответствующие им частота и амплитуда скоростей (V, V у, ω) (рис.5. г, д, е) в) г) д)

178 78 е) Рис. 5. Графики изменения а, б, в координат,, φ г, д, е скоростей V, V, ω Так, значения частоты собственных колебаний, полученные аналитическим путем совпадают с численными значениями. Теперь рассмотрим поступательно-направляющий механизм (рис..9), где входными координатами являются координаты входных звеньев B, B, B. Формой уравнений движения являются уравнения Лагранжа (5.), в котором обозначим через обобщенные координаты ( B, B, B ), а & обобщенные скорости ( V ; V; V). Кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей: где m - масса выходного звена, кг T m ( V ) V V (5.) Уравнения движения манипулятора с тремя степенями свободы будет описываться системой дифференциальных уравнений (5.4). Выходные и входные скорости связаны между собой соотношением: V А V ( B) (5.) V где А и В матрицы частных производных, полученных из уравнения (.).

179 79 Умножив левую и правую части уравнения на матрицу А -, обратную матрице А, после упрощения уравнения (5.) имеем: V V V A ( B) (5.) Рассмотрим положение манипулятора с координатами точки О (,5;,5;,5) и длинами звеньев м, м, м. Для данного положения манипулятора матрицы А и В имеют вид,577,577 A,577,577,,577,577 Обратная матрица А - будет иметь вид: Произведение матриц B.,74,76,76 A,76,74,76.,76,76,74 A A B,74 B,76,76 будет равно:,76,74,76,76,76.,74 Решая уравнение (5.) получаем уравнения скоростей: V,74,76,76; V,76,74,76; (5.) V,76,76,74. Частные решения системы дифференциальных уравнений (5.4) имеют вид A sn ωt ; A sn ωt ; A sn ωt (5.4) где А, А, А амплитуды колебания, мм Зададим для выходного звена массу m,5 кг и жесткость c с с Н/мм. Тогда, подставив значения частных решения и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.4) и сократив множитель sn ωt, получаем

180 A A A 8 ( 7,6 ω ) A 6,969 ω A 6,96 ω 6,969 ω A ( 7,6 ω ) A 6,96 ω 6,96 ω A 6,96 ω A ( 7,6 ω ) ; ;. (5.5) Движения &, &, & возможны только в том случае, если уравнения системы (5.5) совместны друг с другом. Условием совместности уравнений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов А, А, А. Раскрыв этот определитель, мы получаем уравнение для определения частот возможных колебаний 7,6 ω 6,969 ω 6,96 ω,84 ω ,4 ω 6,969 ω 7,6 ω 6,96 ω 4,4 9 6,96 ω 6,96 ω 7,6 ω ω Решение уравнения даёт следующие значения круговых частот: ω,7 рад/c, ω,9 рад/c, ω,9 рад/c, которым соответствуют собственные частоты колебаний ν,5 Гц, ν 5,5 Гц, ν 5,5 Гц. Рассмотрим начальное положение манипулятора (см. рис..), для которого матрицы А и В равны: A, B. При этом положении выходные скорости связаны с входными скоростями следующими соотношениями: V ; V ; V. Подставив значения частных решений и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.4) и сократив множитель A A A (,5 ω ) (,5 ω ) (,5 ω ) ; ;.. sn ωt, получаем: (5.6)

181 8 Решение системы уравнений (5.6) даёт следующие значения круговых частот: ω ω ω 4,7 рад/c, которым соответствуют собственные частоты колебаний ν ν ν,5 Гц При этом силовые винты будут иметь координаты: R (,75;,4; -,4), R (-,4;,75;,4), R (,4; -,4;,75). Рассмотрим численное моделирование движения механизма на основе уравнений Даламбера-Лагранжа Уравнение движения механизма с тремя степенями свободы имеет вид: m m m m P P P & & m m m m P P P & & (5.7) m mg m m m P P P & & где m масса входных звеньев соответствующих цепей, кг; m масса выходного звена, кг; & & && & &,, ускорения выходного звена, м/с ; P усилия в приводе, Н; δ, δу, δ элементарные перемещение вдоль осей х, у,, мм; переменные коэффициенты, составленных из частных производных, определяемые из уравнения скоростей. P, P, P силы, действующие в приводе, Н. Силы в приводах пропорциональны его жесткости: c P c P c P (5.8) где отклонения в приводах, мм.

182 8 Рассмотрим положение манипулятора с координатами входных звеньев. Рассмотрим положение манипулятора с координатами точки О (,5;,5;,5). Примем массу выходного звена m,5 кг, а жесткость приводов с Н/мм. Для данного положения манипулятора матрицы А и В имеют вид,577,577,577,577,577,577 A, B. Для данного положения значения частных производных равны: ; 577, ; 577,,577 ; ; 577,,577 ; 577, ;. Поскольку колебания считаются малыми, то можно линеаризовать уравнения колебаний. Подставим выражения моментов (5.) в уравнение движения (5.9). Отклоним выходное звено вдоль осей х,, соответственно на,мм,,5мм,,мм. В результате численного решения получаем значения частот колебаний координат (,, ) (рис. 5. а, б, в) и соответствующие им скорости (рис.5. г, д, е). а)

183 8 б) b соответствующие скорости (рис. 5. г, д, е) в) г) д)

184 84 е) Рис. 5. График изменения а, б, в координат выходного звена,,, г, д, е скоростей выходного звена V, V, V Рассмотрим сферический манипулятор в начальном положении (рис. 4.). Входными координатами являются углы,, соответственно углы поворота входных звеньев первой, второй и третьей кинематических цепей. Выходными координатами являются углы поворота платформы α, β, γ вокруг осей,, соответственно. Формой уравнений движения являются уравнения Лагранжа (5.), потенциальная энергия манипулятора определяется уравнением (5.). Кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей: T J ω J ω J ω (5.9) где ω, ω, ω, угловые скорости выходного звена вокруг осей,, соответственно; J m r ; J J m r моменты инерции выходного звена вокруг осей соответственно,,, кг мм ; m масса выходного звена, кг (примем m,5 кг, r, м); r радиус платформы выходного звена, м. Тогда уравнение (5.) примет вид:

185 85 T m r ω m r ω m r ω (5.) Уравнения движения манипулятора с тремя степенями свободы будет описываться системой дифференциальных уравнений: d dt T & T П ; d dt d dt T & T & T T П ; (5.) П Рассмотрим произвольное положение выходного звена манипулятора с углами α рад, β рад, γ рад. Такому положению соответствуют углы поворота входных звеньев:,4 рад;,65 рад;,7 рад;,47 рад;,8 рад;,47 рад. Входные и выходные скорости связаны соотношением (4.4): α& & А β& ( B) & (5.) γ& & ( ) Матрицы А и В, входящие в эти уравнения, имеют вид:,45,456,66 A 6,4 4,489 ;,67,,6 Обратная матрица А - имет вид: Произведение матриц А - и В равно:,6 B 9,5.,6,56,9,77 A,7,6,85.,6,,7,6,46,79 A B,755,55,.,67,5,48

186 86 Выразим значения скоростей из уравнения (5.): ω & (,6) & (,46) & (,79); ω &, 755 &, 55 &, ; ω &,67) & (,5) & (,48). ( Тогда частные производные уравнения (5.) будут равны: d dt d dt d dt T & T & T &,7 &&,46 &&,49 &&,49 &&,64 &&.96 &&,49 &&,96 && 6,7 && Система дифференциальных уравнений (5.) имеет частные решения: A sn ωt ; ;. ; (5.) A sn ωt ; (5.4) A sn ωt. Задав жесткости с с с Н м/рад и подставив значения частных решений (5.4), а также их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.), после сокращения их на множитель A A A sn ωt, имеем (,7 ω ) A,49 ω A,49 ω,46 ω A (,64 ω ) A,96 ω,49 ω A,96 ω A ( 6,7 ω ) ; ;. (5.5) Движения возможны только в том случае, если уравнения системы (5.5) совместны друг с другом. Условием совместности уравнений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов А, А, А. Составив и раскрыв этот определитель, имеем уравнение для определения частот возможных колебаний

187 87,7 ω,46 ω,49 ω 46,9 ω 6,49 ω,64 ω,96 ω 8 ω 4 6,7 ω 9,74,49 ω,96 ω 9 ω Решив уравнение, получаем значения круговых частот ω рад/c, ω 9 рад/c, ω рад/c, которым соответствуют собственные частоты колебаний ν 5, Гц, ν 4, Гц, ν 7,5 Гц. Теперь рассмотрим положение манипулятора в начальном положении при α рад, β рад, γ рад. Такому положению соответствуют углы поворота входных звеньев: рад; рад; рад; рад; рад; рад (рис.5.). Матрицы А и В имеют вид: A ; Обратная матрица имеет вид: Произведение матриц А - и В равно: B. A. A B. Подставив в уравнение (5.) коэффициенты, стоящие при обобщенных скоростях: ω & ( ), ω & ( ), ω & ( ), имеем:. d dt d dt d dt T & T & T & m r && m r && m r && ; ;. (5.6)

188 88 Подставив значения частных решения и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.5), после сокращения на множитель получаем A A A (, 8 ω ) (, 8 ω ) (, 5 ω ) ; ;. sn ωt (5.7) Решив уравнения (5.7), получаем значения круговых частот ω 45 рад/c, ω рад/c, ω рад/c, которым соответствуют собственные частоты колебаний ν 7, Гц, ν 7,7 Гц, ν 7,7 Гц (рис. 5. а, б, в) и соответствующие им скорости (рис. 5.. г, д, е) а) б) в)

189 89 г) д) е) Рис. 5. График изменения а, б, в координат выходного звена α, β, γ; г, д, е скоростей выходного звена ω,ω, ω Таким образом, в параграфе показана методика определения собственных частот колебаний механизмов параллельной структуры с тремя степенями свободы различных классов.

190 9 5.. Частотный критерий особых положений В механизмах параллельной структуры могут проявляться особые положения в рабочей зоне, в которых или теряется степень свободы, или появляется неуправляемая подвижность. Вблизи особых положений у манипуляторов параллельной структуры снижается нагрузочная способность. Эти положения определяются с использованием аппарата винтового исчисления, исследованием свойств матриц Якоби, составленных из уравнений связей, а также по величине угла давления [4, 5, 6, 4, 8, 9]. Одной из задач является установление критериев положений близких к особым. В параграфе для решения данной проблемы разработан подход, основанный на анализе собственных частот колебаний манипулятора [6, ]. Известно, что условием особого положения является выроженность матриц, составленных из плюккеровых координат силовых винтов, или матриц Якоби, полученных дифференцированием неявной функции, а также при угле давления равном 9. В параграфе показана зависимость частоты колебаний от положения манипулятора вблизи особых положения. Собственные частоты колебаний исследуются на плоском и поступательно-направляющем манипуляторах параллельной структуры. Рассмотрим положение плоского механизма близкое к особому положению, в котором теряется управляемость механизма (рис..). В особом положении входные координаты имеют значения,,. Рассмотрим положение близкое к особому с координатами,5,,. При таком положении звеньев матрицы А и В имеют вид:,799,98,6 A,75,759,6 ;,978,6,6,597 B,597.,597 Определитель матрицы А равен,4, т.е. стремится к нулю. Выразим выходные скорости через входные скорости:

191 9 & &,48 & (,) & (,79) & &,6) &,7 & (,9) (5.8) & & ( 96,59 & 96,59 & 96,59 и подставим значения частных решений и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.4), сократив которые на множитель sn ωt, получим A A A ( 966,6 ω ) A 966,6 ω A 966, ω 966,6 ω A ( 966,6 ω ) A 966,7 ω 966, ω A 966,7 ω A ( 966,499 ω ) ; ;. (5.9) Раскрыв определитель матрицы, составленной из коэффициентов при А, А, А, в уравнениях (5.9) получаем выражение для определения частот возможных колебаний: 966,6 ω 966,6 ω 966, ω 4,68 ω 6,5 966,6 ω 966,6 ω 966,7 ω 9 ω 4, , ω 966,7 ω 966,499 ω ω Круговые частоты равны ω,8 рад/c, ω 46,8 рад/c, ω 687, рад/c, а соответствующие им собственные частоты колебаний ν,9 Гц, ν, Гц, ν 69 Гц. Рассмотрим положение механизма, при котором определитель матрицы В равен нулю. При смещении центра платформы из начала координат в точку с координатами (;,99) и угле поворота φ определители матриц А и В будут равны соответственно,6 и 4,78, что соответствует входным углам 88,5, 65,6, 4,79. При этом уравнения скоростей имеют вид: &,9 & & ( 9,77) &,6 ; & & 7,77) & 7,77 ; (5.4) ( &,89 & & ( 9,7) & 89,8..

192 9 Подставив значения частных решений и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (.9) и, сократив на множитель sn ωt, получаем соответствующую систему уравнений. Раскрыв определитель матрицы, составленной из коэффициентов при А, А, А, получаем уравнение для определения частот возможных колебаний,68 ω 68,84 ω 69,7 ω,7 9 ω ω 5, 68,84 ω 75 ω 9 ω 4,4 69,7 ω 75 ω 747 ω ω. (5.4) Круговые частоты равны ω,8 рад/c, ω 6,4 рад/c, ω 8,7 рад/c, а соответствующие им собственные частоты колебаний ν, Гц, ν, Гц. ν 5,5 Гц, При дальнейшем приближении выходного звена к особому положению в точку с координатами (;,999) и угле поворота φ матриц А и В будут равны соответственно, и,, что соответствует входным углам 89,5, 65,64, 4,76. При этом уравнения скоростей можно записать: &,9 & & ( 9,7) & 4,; & & 7,77) & 7,77; (5.4) ( &,89 & & ( 586,) & 585,. Подставив значения частных решений и их вторые производные в дифференциальные уравнения движения (5.4) и сократив на множитель sn ωt, получаем систему уравнений. Раскрыв определитель матрицы, составленной из коэффициентов при А, А, А, получаем уравнение для определения частот возможных колебаний:,68 ω,7 ω, ω 7, ω ω,7,7 ω 666 ω ω 4, 4, ω 666 ω ω ω.

193 9 Круговые частоты равны ω,84 рад/c, ω 98 рад/c, ω 9 рад/c, соответствующие им собственные частоты колебаний ν,4 Гц, ν 47,7 Гц, ν 698, Гц. При смещении центра платформы из начала координат в точку с координатами (;,9999) круговые частоты равны ω,84 рад/c, ω 98 рад/c, ω 68 рад/c. Им соответствуют собственные частоты колебаний ν, Гц, ν 47,7 Гц, ν 9 Гц. Для исследования частотного критерия особых положений будем изучать окрестность сингулярности, где угол давления больше 85. Указанный угол определяется коэффициентом трения. Силы, действующие внутри конуса трения не вызывают движения. Стремление одной из частот к нулю свидетельствует о присутствии особого положения второго типа, а рост другой частоты особое положение первого типа. Рассмотрим поступательно-направляющий вблизи особых положений. Например, положение механизма с координатой выходного звена в точке О / (,999;,; ), а особым является положение с координатами в точке О (; ; ) (рис.5.4). Для такого положения манипулятора определим угол давления. Угол давления определяется как α arc где V скорость последней точки в первой цепи; V V R R, (5.4) R силовой винт, который появляется при торможении входного звена. Для решения задачи о скоростях определяем плюккеровы координаты четвертого силового винта, который появляется при торможении входного звена. Три момента, создаваемые тремя силами, запрещают вращение.

194 94 Рис Положение звеньев манипулятора при положении выходного звена с координатами точки О (; ; ) и положение точки О в рабочей зоне Силовой винт R будет перпендикулярен плоскости, образованной единичными векторами E и E, имеет согласно уравнения (.6) координаты: r ; sn r ; sn r. Координаты вектора скорости выходного звена взаимны координатам двух силовых винтов второй цепи R и третьей цепи R и составляют:

195 95 j k V r r r. A r r r Тогда проекции скоростей на оси,, будут равны:: V r r r r A ; V r r r r A ; (5.44) V r r r r A. Подставляя найденные значения скоростей (5.44) в уравнение (5.4) угол давления будет равен: α arc V A V V A A V A V A sn sn V A sn sn (5.45) Или после упрощения V α arc A V A V A sn sn V A sn (5.46) Рассчитаем угол давления для положения выходного звена с координатами точки О (,999;,; ) и длинами звеньев м; м; м. Согласно уравнению (.7) координаты силовых винтов R и R будут равны: r sn sn88 ; r sn sn 88 ; (5.47) r 88,. Координаты вектора скорости в точке А: 4 V r r r r,46 ; A V r r r r,7; (5.48) A V r r r r,7. A После подстановки выражений (5.48), (5.47) в уравнение (5.46) получаем угол давления равным α87 5. Этому положению соответствуют уравнения скоростей (5.):

196 96 V ( ) ; V ) ( ) ; ( V ) ( ). ( В точке О // (,9999;,; ) угол давления равен α89. Этому положению будут соответствовать уравнения скоростей: V ( ) ; V 7) ( ) ; ( V 7) ( ). ( Значения собственных частот колебаний приведены в табл. 5.. Таким образом, найдено положение, в котором две матрицы выродились (матрица плюккеровых координат двух кинематических цепей и матрица, составленная из координат силовых винтов). Силовые винты имеют следующие координаты: R (; ; ), R (-; ; ), R (; ; ). / Собственные частоты колебаний манипулятора в точках О Собственные Угол давления α, град. частоты колебаний ν, Гц 87,5 89 ν,8,5 ν 5,5 4, ν 6, 8, Таблица 5. и О // Теперь рассмотрим другое положение выходного звена механизма с координатами точки О / (,999;,999; ), особым является положение с координатами в точке О (; ; ) (рис.5.5).

197 97 Рис Положение звеньев манипулятора при положении выходного звена с координатами точки О (; ; ) и положение точки О в рабочей зоне Этому положению соответствуют угол давления α87,5 и уравнения скоростей: V, 46 ; V, 46 ; V,48,48 ( ). Положению в точке О // (,9999;,9999; ) соответствует угол давления α89. Этому положению будет соответствовать уравнения скоростей: V,4 ; V, 4 ;,4,4 ( ) V Значения собственных частот колебаний для рассматриваемого случая приведены в табл. 5..

198 98 Таблица 5. Собственные частоты колебаний манипулятора в точках О / // и О Собственные Угол давления α, град частоты колебаний ν, Гц 87,5 89 ν,8,7 ν 4,7 8, ν 6,8,4 Силовые винты имеют следующие координаты: R (; ; ), R (-; ; ), R (; ; ). Теперь рассмотрим положение выходного звена механизма (рис.5.6) с координатами точки О (,999;,999;,999), которому соответствует угол давления / α87,5. Особым является положение выходного звена с координатами (; ; ). В этом случае имеем уравнения скоростей в виде V,),, ; V (, (,), V,, (,). // Положению в точке О (,9999;,9999; ) соответствует угол давления α89. Этому положению будет соответствовать уравнения скоростей: V,69),7,7 ; ( V,7 (,69),7 ; V,7,7 (,68). Значения собственных частот колебаний для рассматриваемого случая приведены в табл. 5.. Силовые винты имеют следующие координаты: R (; ; ), R (; ; ), R (; ; ).

199 99 Рис Положение звеньев манипулятора при положении выходного звена с координатами точки О (; ; ) и положение точки О в рабочей зоне Собственные частоты колебаний манипулятора в точках О / Таблица 5. // и О Собственные Угол давления α, град частоты колебаний ν, Гц 87,5 89 ν,5,7 ν 5, 6,5 ν 6,,5

200 Таким образом, при приближении к особому положению, связанному с потерей управляемости одна собственная частота колебаний стремится к нулю, что связано с уменьшением жесткости. Рассмотрим сферический механизм (рис.4.) в положении, близком к особому, при α, β, γ9,. Такому положению соответствуют углы поворота входных звеньев: 9, ; ; ; 89,8 ; 9,. Механизм в целом находится в особом положении и при этом теряется одна степень свободы. Матрицы А и В имеют вид:, А 6 ;, Произведение матриц А - и В равно: 87 B ,6 7,6 5,8 5 A B 7, ,6 7,6 7,6 Подставим в уравнения (5.5) коэффициенты, стоящие при обобщенных скоростях: 7 ω & (,5 ) & ( ), ω & (,5 ), (5.49) ω &. Решая систему уравнений (5.), подставив уравнения (5.49) имеем следующие значения круговых частот: ω, - рад/c, ω,8 рад/c, ω 8 рад/c, и соответствующих им собственных частот колебаний ν 5, - Гц, ν, Гц, ν 6, Гц. При приближении к особому положению второго типа одна собственная частота стремится к нулю, что связано с уменьшением жесткости механизма.

201 5.. Нелинейные колебания манипуляционных механизмов Проведем анализ нелинейных колебаний механизмов. Нелинейность механической системы обусловлена ее геометрией и взаимосвязанностью приводов []. Рассмотрим положение равновесия, в котором обобщенные силы (усилия в приводах) равны нулю. При перемещении из положения равновесия появляются упругие силы, которые пропорциональны перемещению (углу поворота) в приводах. Рассмотрим поступательно-направляющий механизм. При перемещении выходного звена на элементарное расстояние соответственно δ, δ, δ имеем следующие уравнения движения: δ δ δ δ δ δ δ m m m P P P m && && && & & δ δ δ δ δ δ δ m m m P P P m && && && & & (5.5) δ δ δ δ δ δ δ δ mg m m m P P P m && && && & & Механизм находится в положении равновесия с координатами выходного звена ; ;. Коэффициенты, составленные из частных производных, определяются дифференцированием уравнений связей и в рассматриваемой задаче не являются постоянными величинами. Зададим массу выходного звена m,5 кг, массы входных звеньев m, кг, жесткость приводов с Н/мм. Используя программы для численного интегрирование, а также решение задачи об ускорении, найдем изменения координат выходного звена при следующих начальных условиях:,5;,;,. На рис.5.7 представлены законы изменения,, для нелинейных колебаний выходного звена. Нелинейность механической системы обусловлена нелинейностями упругих характеристик привода

202 а) б) в) Рис Графики изменения координат выходного звена а, б, в Теперь рассмотрим другие начальные условия координаты выходного звена,5; ;,5. В этом случае график изменения координат представлен на рис. 5.8.

203 а) б) Рис.5.8 Графики изменения координат выходного звена,, а Масштаб t.., б Масштаб t... Проведем анализ нелинейных колебаний сферического механизма с тремя степенями свободы [9, 9]. Уравнение движения сферического механизма с тремя степенями свободы имеет вид: J J J ξ η ζ && ξ && && η ζ M M M ξ η ζ M M M ξ η ζ M M M ξ η ζ & & & η ξ ξ & & & ζ ζ η ( J J ) ζ ( J J ) ξ ( J J ) η η ζ ξ (5.5)

204 где 4 J ξ J η, J ζ моменты инерции относительно осей ξ, η, ζ M, M моменты в приводах, Н мм; M, j ξ переменные коэффициенты. & & ξ, & ξ, & & η, η & & & ζ, & ζ проекции ускорений и скоростей на оси ξ, η, ζ. Переменные коэффициенты можно определить из уравнений прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления. При этом требуется найти силовой винт R с координатами ( r r, r, r, r, r ),, взаимный двум ортам осей e, e 5 неприводных пар. Как отмечалось, в данном случае кинематическая пара e, входящая в эквивалентный механизм (рис.), заменяет три пары e, e, e 4 исходного механизма. Кинематический винт выходного звена равен сумме кинематических винтов в парах цепи Ω Ω Ω Ω, где Ω кинематический винт выходного звена с координатами (V,V, V, ω, ω, ω ). Отметим, что в данном случае V V V, Ω, Ω, Ω кинематические винты первой, второй, третьей кинематических пар с координатами соответственно (,,,,, ) ω, (,,,,, ) ω (,,,,, ) ω. Можно записать, что относительный момент двух винтов равен mom(r,ω ) mom(r,ω R,Ω R,Ω )., Так как силовой винт взаимен ортам неприводных пар, то относительные моменты mom(r,ω ), mom(r,ω ), таким образом mom(r,ω )mom(r,ω ). Подставив значения координат силовых и кинематических винтов, получим уравнения относительных моментов: ( Ω ) ω r ω r ω r mom R, ; ξ ξ η η ζ ζ ( Ω ) ω ( r r r ) mom R,, где (,, ) плюккеровы координаты единичных векторов e, расположенных вдоль осей приводных пар;

205 5 r моментная часть силового винта с координатами r., r, r Система уравнений для трех кинематических цепей имеет вид: ωξ r ξ ωη r η ωζ r ζ ω ( r r r ); ωξ r ξ ωη r η ωζ r ζ ω ( r r r ) ; (5.5) ω ξ r ω r ω r ω ( r r ξ η η ζ ζ r ) где ω, ω, ω угловые скорости выходного звена вокруг осей ξ, η, ζ ξ η ζ r координаты моментной части -го силового винта. ξ, r η, r ζ Тогда переменные коэффициенты, стоящие перед значениями моментов М, можно определить следующим образом: ξ ω ω ξ r r ω ξ η ; η ωη r r r ω η ; ω r Остальные коэффициенты имеют сходный вид. η η ω r ; ζ ζ ωζ r Координаты ортов второй (,, ) и третьей (,, ) пар первой цепи в неподвижной системе координат рассчитываются следующим образом: для второй пары координаты ортов определяются произведением матрицы поворота вокруг оси на координаты второй пары в ее начальном положении sn sn sn координаты ортов третьей пары первой цепи определяются произведением матрицы А, описывающей переход от подвижной координатной системы к неподвижной, на координаты указанного орта в ее начальном положении: ( А) Матрица А имеет вид АА А А ; где А матрица поворота вокруг оси х, А матрица поворота вокруг оси, А матрица поворота вокруг оси. ; sn α sn γ α γ sn β γ sn α sn β α sn γ. β γ.

206 Для второй цепи координаты ортов второй и третьей пар равны: sn ( А) 6 sn sn sn α β β sn α. sn β Для третьей цепи координаты ортов второй и третьей пар равны: ; sn sn sn α sn β sn γ γ sn α ( ) А α γ sn α sn β sn γ. β sn γ Координаты ортов вторых пар первой, второй и третьей цепей в подвижной системе координат определяются матрицей А -, обратной матрице А. e e e e e e ξ η ζ ξ η ζ - ( A) ( γ α sn γ sn β sn α) β sn α sn β α sn ( γ sn α sn γ α sn β) e e e ξ ( A ), ( A ) η ζ - sn γ β sn β sn Координаты ортов третьих пар первой, второй и третьей цепей равны: e e e ξ η ζ e, e e ξ η ζ e, e e ξ η ζ Моментная часть силового винта для первой кинематической цепи в подвижной системе координат равна:

207 7 ξ e e ξ ( e r ξ ξ η e e η η η e ζ ζ ξ e ζ eξ e ζ ) η ( e ζ e η η e ζ e ζ ξ ) ρ ( e ξ e η ), r η sn γ β snβ sn r ( γ α sn γ snβ sn α) β sn α ξ sn r ζ Аналогичным образом рассчитываются моментные части силовых винтов для второй и третьей цепей: r ξ η ( snγ α γ α snβ) β sn α r sn r ζ β sn α sn ( sn γ α γ snβ sn α) ( sn γ sn α γ α snβ) sn ( γ sn α sn γ α snβ) rξ r η r ζ γ β sn γ β sn Для определения углов α, β, γ необходимо соотношение между угловыми скоростями в подвижной системе координат ω ξ, ω η, ω ζ и скоростями изменения углов α&, β &, γ&. Эти соотношения можно записать в следующем виде: где α α α ξ η ζ ω ω ω η ζ ξ α& α ξ ββ & ξ γ& γ ξ; α& α η β& βη γ& γ η; (5.5) α& α ζ β& β ζ γ& γ проекции орта третьей пары фиктивной кинематической цепи, соответствующей скорости изменения угла α на оси ξ, η, ζ ; ζ

208 8 β β β ξ η ζ проекции орта второй пары фиктивной кинематической цепи, соответствующей скорости изменения угла β, на оси ξ, η, ζ: β β β γ γ γ ξ η ξ ξ η ς α - snα snα α, α sn α проекции орта первой пары фиктивной цепи, соответствующей скорости изменения γ на оси ξ, η, ζ: γ ξ β γ η α snα γ - snα α snβ ξ Выразим α&, β &, γ& через ω ξ, ω η, ω ζ : ω α & ξ β ω η snβ γ sn γ β sn α sn β ω β ζ sn γ γ sn β α snβ β sn α β α β & ω α ω sn α (5.54) η ω γ& η ζ sn α ω β ζ α Моментная часть силового винта в неподвижной системе координат равна [8]: r r r sn sn sn r, r r sn sn sn r, r r sn sn sn Зависимость углов поворота промежуточных φ определяются из решения задачи о положении [4]: sn snγ snα α γ snβ ; sn β snγ ; (5.55) sn β snα

209 9 Моменты в приводах равны: M M M c c c где с жесткость привода, Н м/рад; Сферический механизм находится в равновесии при следующих углах: ; ; ; α β γ. (5.56) Используя численное интегрирование, найдем изменения координат выходного звена при следующих начальных условиях: α, рад ; β,5 рад; γ,5 рад. Примем массу выходного звена m,5 кг, радиус платформы выходного звена r, м. Законы изменения α, β, γ для нелинейных колебаний выходного звена показан на (рис 5.9.а, б, в). а) б)

210 в) г) д) е) Рис Графики изменения а, б, в координат выходного звена α, β, γ; г, д, е скоростей выходного звена ω,ω, ω

211 Вывод по главе 5. Разработана методика определения близости к сингулярности на основе анализа собственных частот колебаний манипуляционных механизмов параллельной структуры с тремя степенями свободы для плоских, поступательнонаправляющих, вращательных движений.. Использование методики определения собственных частот позволяет предложить динамический критерий особых положений через частотные характеристики. При приближении к особым положениям, когда угол давления приближается к 9, первая собственная частота уменьшается в десятки раз, а по крайней мере одна их двух других увеличивается. Это связано с тем, что жесткость по одной степени свободы уменьшается, а по другой увеличиваются.. Влияние между степенями свободы и приводов приводит к появлению нелинейных явлений в динамики механизмов. Получены законы изменения координат выходного звена для нелинейных колебаний. Это может быть учтено при управлении устройством. 4. Возбуждение колебаний по одно, из координат приводит к появлению колебаний по другим координатам, что связано с взаимным влиянием степеней свободы. Собственные колебания нелинейной системы описываются процессами типа биения, это связано с тем, что энергия переходит от одной координаты к другой.

212 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЗМАМИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ В данной главе рассмотрены алгоритмы управления механизмами параллельной структуры. Предложенные алгоритмы реализованы на плоском, поступательно-направляющем и сферических механизмах. Кроме того, для плоского механизма рассмотрена задача управления при переходе через особые положения. 6.. Управление движением манипуляционных роботов по назначенным траекториям на основе обратных задач динамики Важной функциональной частью промышленного манипулятора является система его управления. Основными задачами системы управления являются: - осуществление движения исполнительного органа по заданной траектории, определяемой уравнениями; - обеспечение заданных законов изменения координат во времени. Исполнительная система должна удовлетворять техническим требованиям, быть устойчивой, переходные процессы соответствовать заданным показателям качества. В настоящее время задачи управления приводными системами получили значительное развитие разработаны приемы, методы и алгоритмы их проектирования [,, 55, 58, 68, 69, 7, 8, 94, 95, 6]. Приводы являются следящими системами и имеют обратные связи по координате выхода, скорости, ускорения или силе. Задачи управления решаются с использованием методов теории автоматического регулирования. При этом рассматривались только механизмы роботов последовательной структуры [48, 7, 7, 4, 6]. Наряду с этим, трудности вызывают задачи управления механизмами параллельной структуры с изменяющимися моментами инерции, нелинейностью уравнений связей, взаимовлиянием между степенями свободы, непостоянным передаточным отношением между

213 входными (обобщенными) и выходными (абсолютными) координатами выходного звена (рабочего органа). Известно решение задачи управления механизмом параллельной структуры с -мя степенями свободы [6, 69] при переходе через особое положение, связанное с потерей управляемости. Оно основано на решении обратной задачи динамики и связано с вычислением сил по заданному движению [7, 6]. Метод обратных задач динамики позволяет строить алгоритмы управления на основе математических моделей управляемых процессов [, 48, 96]. Предлагаемый алгоритм управления основан на минимизации отклонения от заданного закона движения. Рассмотрим механизм с тремя степенями свободы и тремя приводами. Пусть задано требуемое движение выходного звена в виде закона изменения координат: ( t), ( t), ( t). После дифференцирования получаем T требуемые скорости & ( t), & ( t), & ( t) и ускорения & ( t), && ( t), & ( t) T T T T T &. Задача управления формулируется следующим образом, что требуется найти силы (моменты) в приводах, при которых исполнительный механизм перемещается по заданному закону. При этом задача состоит в минимизации ошибки по координате: ( t) T ( t) ( t), ( t) T ( t) ( t), ( t) T ( t) ( t), T T T по скорости : & ( t) & T ( t) & ( t), & ( t) & T ( t) & ( t), & ( t) & T ( t) & ( t), по ускорению: & ( t) && T ( t) & ( t), & ( t) && T ( t) & ( t), & ( t) && T ( t) & ( t), где ( t), ( t), ( t), & ( t), & ( t), & ( t), & & ( t), & & ( t), & & ( t) фактические значения координат, скоростей, ускорений выходного звена. Для оценки быстроты затухания и величины отклонения используем квадратичную интегральную оценку переходного процесса T G k k ( & & t ) d t. Значение этого интеграла должно принимать минимальное значение,

214 Интеграл 4 где k,k - постоянные числовые параметры. Gможно представить в виде: T t ( k & && k ) dt ( && γ & γ ) ( & ) dt C, где С, & ) некоторые постоянные зависящие от начального состояния ( управляемого механизма. Минимум функционала реализуется на траекториях, на которых выполняется условие: & γ & γ (6.) где γ, γ постоянные коэффициенты Для построения управляющих сил Р необходимо выполнение условия, чтобы ошибки в переходном процессе являлись решением уравнения (6.). Для нахождения коэффициентов уравнения (6.) перепишем выражение форме, соответствующей колебательному звену: где τ постоянные времени, τ & ζ τ & (6.) γ τ, ζ τ, γ γ ζ коэффициент затухания (демпфирования) собственных колебаний. В технике автоматических систем наиболее предпочтительным режимом является режим с коэффициентом затухания собственных колебаний. При этом величина перерегулирования σ 5 составляет ζ. Длительность переходных процессов при этом τ t с. В установившемся движении при t выполняются соот- ξ ношения для абсолютных координат: T ( t) ( t), ( t) ( t) T, ( t) ( t) T. Таким образом, начиная с некоторого заданного момента времени t, при соответствующем подборе коэффициентов обратной связи произойдет затухание,

215 5 переходных процессов ( t ). В таком случае в процессе управления движение исполнительного механизма осуществляется по назначенной траектории c момента времени t. Закон изменения ошибки должен соответствовать колебательному звену, при этом обеспечивается устойчивость и минимизации ошибки по положению, скорости и ускорения. Закон изменения ускорения имеет вид: & && T γ ( & T & ) γ ( T ) & && γ & & ) γ ( ) (6.) T ( T T & && T γ ( & T & ) γ ( T ) Тогда, искомые законы управления могут быть найдены подстановкой ускорений в уравнения движения: M ( & & &,, n A ) B(,) Эти соотношения определяют искомые законы формирования управляющих сил и моментов, реализующих движение по назначенной траектории. Анализ развития робототехники показывает, что в последние годы активно в промышленных роботах используются электроприводы. Нагрузкой всех приводов является механизм манипулятора. На вход каждого из приводов подается управляющий сигнал. Выходом системы является вектор обобщенных координат манипулятора, или вектор перемещений выходного звена. Рассмотрим привод на базе электродвигателя постоянного тока. Уравнение двигателя имеет следующий вид: U k ω ω R I L di dt I M k m где R сопротивление якоря двигателя, k m коэффициент пропорциональности, k ω, коэффициент противоэдс, L индуктивность якоря, I ток в цепи якоря,

216 6 U управляющее напряжение. При проектировании привода механизма следует учитывать мощность и момент для обеспечения требуемых динамических свойств управления при быстром изменении их параметров. Также постоянная времени τ должна быть больше постоянной двигателя τ m, рассчитываемой по формуле: τ m JR k k где J момент инерции двигателя. Так как двигатели стоят на основании, то это позволяет выбирать двигатели с запасом по мощности. Таким образом, предложен алгоритм управления механизмом параллельной структуры, минимизирующий ошибку по положению, скорости, ускорения. m ω 6. Управление поступательно-направляющим механизмом Рассмотрим задачу управления поступательно-направляющим механизмом параллельной структуры с тремя степенями свободы [5, 4]. Математическая модель исполнительной системы состоит из уравнения движения механизма. При перемещениях в приводах на элементарные расстояния соответственно δ, δ используя принцип возможных перемещений имеем следующие δ, уравнения: m & δ m && δ δ δ m Pδ m && mg && m && δ m && δ δ δ m P δ m && mg && ; (6.4) m & δ m && δ δ δ m P δ m && mg где m, m, m масса входных звеньев соответствующих цепей, m масса выходного звена, &&

217 P, P, P силы в приводах, 7 &, &&, & ускорения выходного звена, &, && & ускорения в приводах,,,, переменные коэффициенты. Переменные коэффициенты,, определяются из уравнений свя- зей, записанных в виде неявных функций от абсолютных и обобщенных координат (,,, ). В этих функциях переменная в свою очередь представлена как функция переменных,,. Дифференцируя каждую из этих неявных функций по переменным,, получаем систему уравнений, связывающие скорости входных и выходных звеньев: & & & &,,, Из полученных выражений получаем формулы для определения искомых переменных коэффициентов:,,. В уравнения движения входят значения ускорений входных и выходных звеньев. Из уравнения ускорений необходимо выразить ускорения входных звеньев через ускорения выходных. Проведем численное моделирование движения выходного звена механизма параллельной структуры по заданной траектории с помощью разработанного алгоритма оптимального управления движением. Для моделирования оптимального алгоритма управления запишем уравнения движения в абсолютной системе координат, т.е. выходное звено перемещается на расстояния δ, δ, δ, что соответствует соотношениям:

218 m && δ P && && && m && δ P δ P δ P δ m&& δ m&& δ m&& m && δ P δ P δ P δ m && δ m && δ m&& δ mgδ 8 δ P δ P δ m δ m δ m δ δ Ускорения в приводах рассчитывается следующим образом: & && T γ ( & T & ) γ ( T ) (6.5) & && γ ( & ) γ ( ); (6.6) & T T & && T γ ( & T & ) γ ( T T ) Силы Р могут быть найдены подстановкой ускорений &,&&, & из уравнений (6.6) в уравнения движения (6.5) и реализуют движение по заданному закону: P m m (&& γ ( & & ) γ ( )) m( && γ ( & & ) γ ( ) ) T T (&& T γ ( & T & ) γ ( T ) ) mg m&& T Зададим закон движения исполнительного звена: T ( t), sn( ωt), ( t), sn( ωt), (t),5 sn( ωt). T T T T T (6.7) Зададим массу выходного звена с грузом 5 кг, массу входных звеньев кг, при частоте ω5 рад/c. В результате численного моделирования движения механизма по заданному закону без учета обратных связей ( γ, γ ) показано изменение ошибки по положению. Графики изменения ошибки показан на рис.6., 6.. Управление, не учитывающее обратные связи системы, не удовлетворяет требованиям осуществления назначенного закона изменения координат и скорости с заданной точностью, так как неизбежные погрешности в вычислении силы приведут в результате интегрирования дифференциального уравнения второго порядка к быстрому накоплению ошибок. Следовательно, возникает необходимость построения управления движением механизма с введением обратных связей по поло-

219 жению и скорости. Рассмотрим движение с обратной связью. Зададим коэффициент демпфирования 9 ζ и время переходного процесса t,5 с. При этом постоянная вре- мени будет равна τ, с, а коэффициенты обратной связи будут равны γ 7, γ. Здесь не рассматриваем параметры двигателя и предельно допустимые значения обобщенных сил. В этом случае закон изменения ускорения (6.6) принимает вид: & && ( & & ) 7 ( ) T T & ( & & ) 7 ( ) ; (6.8) T T & && ( & & ) 7 ( ), T T При движении с обратной связью график изменения ошибки, координаты, скорости и силы в приводе показаны на рис. 6., 6.4, 6.5. T T T Рис.6.. График изменения теоретической T координаты, фактической координаты, ошибки положения при управлении механизмом без обратной связи

220 Рис.6.. График изменения ошибки,, при управлении механизмом без обратной связи Рис.6.. График изменения ошибки координаты. Рис.6.4 График изменения фактической координаты,,

221 Рис. 6.5 График изменения скорости выходного звена Рис.6.6 График изменения силы в приводе Рассмотрим влияние частоты в законе движения на величину ошибки положения выходного звена. При выбранных коэффициентов обратной связи собственная частота системы управления равна: γ ω γ 6 рад/с. 4 При частотах закона движения ω рад/c, ω рад/c, ω4 рад/c, ω6 рад/c ошибка положения показана на рис.6.7, а закон изменения силы в приводах на рис.6.8. Таким образом, показано, что увеличение частоты в законах движения выходного звена приводит к возрастанию ошибки и усилия в приводах.

222 а) б) в) г) Рис График изменения ошибки положения а ω рад/c, б ω рад/c, в ω4 рад/c, г ω6 рад/c а) б)

223 в) г) Рис График изменения сил в приводе а ω рад/c, б ω рад/c, в ω4 рад/c, г ω6 рад/c Важным является вопрос, как влияет отклонение массы входного звена от массы входного звена модели. Рассмотрим два случая, когда массой входного звена в модели пренебрегали, т.е. принимали равной нулю и равной фактического массе. Графики отклонения выходного звена соответственно представлены на рис Как видно из полученных зависимостей, в предложенном алгоритме возможно пренебречь массой входного звена, т.к. разность в отклонениях в ошибке положения выходного звена не превышает 5%. а) б) Рис График изменения ошибки а масса входных звеньев равна массе входных звеньев в модели б масса входных звеньев равна нулю

224 4 Рассмотрим случай, когда масса выходного звена не равна массе выходного звена в модели. Зададим массу выходного звена на % отличающуюся от массы выходного звена модели (рис.6.). а) б) Рис.6.. График изменения ошибки а масса выходного звена равна массе выходного звена модели, б масса выходного звена превышает массу выходного звена модели % Как видно из полученных зависимостей, при отклонении массы выходного звена робота от массы выходного звена модели в пределах % отклонение в ошибке положения не превышает %. Рассмотрим движение выходного звена по окружности, описываемое следующим законом движения: T ( t), sn( ωt), T ( t), ( ωt), T ( t). Длительность цикла составляет, с, при частоте ω45 рад/c. На графиках показано изменение ошибки положения (рис.6. а), траектория движения выходного звена (рис.6. б), изменение сил в приводе (6. в)

225 5 а) б) в) Рис. 6. График изменения: а ошибки положения выходного звена, б траектории движения выходного звена, в сил в приводах Таким образом, представлена модель управления поступательнонаправляющим механизмом. Показано, что одним из важных критериев является абсолютная величина ошибки положения выходного звена. Рассмотрены примеры влияния точности при отклонения механизма от модели, а также влияние собственной частоты ошибки от частоты закона движения.

226 6 6.. Управление сферическим механизмом В рассматриваемом механизме (рис.4.) каждое входное звено цепи соединено с двигателем. Выходное звено представляет собой платформу, которая вращается вокруг трех осей, пересекающихся в точке О. Выходному звену механизма поставим в соответствие подвижную систему координат ξ, η, ζ, оси которой расположены по главным центральным осям инерции этого звена. При нулевых значениях углов ориентации (αβγ) направление осей ξ, η, ζ совпадают с направлениями осей соответственно х, у,. Кроме того, в данном случае одна кинематическая пара e, входящая в эквивалентный механизм (рис.4.), заменяет три вращательные пары e e e 4, входящие в исходный механизм. Отметим, что при нулевых углах ориентации имеет место соотношение e e e. Для остальных кинематических цепей имеются аналогичные соотношения. Уравнение движения сферического механизма с тремя степенями свободы имеет вид: где J J J ξ η ζ && && && ξ η ζ M M M ξ η ζ M M M ξ η ζ M M M ξ η ζ & & & η ξ ξ & & & ζ ζ η ( J J ) ζ ( J J ) ξ ( J J ) J ξ J η, J ζ моменты инерции относительно осей ξ, η, ζ M, M моменты в приводах; M, η η ζ ξ (6.9) j ξ переменные коэффициенты; & & ξ, & ξ, & & η, η & & & ζ, & ζ проекции ускорений и скоростей на оси ξ, η, ζ.

227 7 Рис.6. Сферический механизм с тремя степенями свободы и тремя кинематическими парами Система уравнений для трех кинематических цепей имеет вид: ωξ r ξ ωη r η ωζ r ζ ω ( r r r ); ωξ r ξ ωη r η ωζ r ζ ω ( r r r ) ; (6.) ω ξ r ω r ω r ω ( r r ξ η η ζ ζ r ) где ω, ω, ω угловые скорости выходного звена вокруг осей ξ, η, ζ ξ η ζ r ξ, r η, r ζ координаты моментной части -го силового винта. Тогда переменные коэффициенты, стоящие перед значениями моментов М, можно определить из уравнения (6.) следующим образом: ξ ω ω ξ r ξ r ω η ; η ωη r r r ω ζ ; ω r ζ ζ r r ω ξ ξ ωξ ω η ; η ωη r r ω r ; ζ ζ ωζ r r ω ξ ξ ωξ r r ω η ; ω r η η ω r ; ζ ζ ωζ r Соотношение между угловыми скоростями в подвижной системе координат ω η, ω ζ и скоростями изменения углов α&, β &, γ& равны: ω ξ,

228 8 ωξ β ωη sn α sn β ωζ sn β α α & ; β β & ω α ω sn α ; (6.) η ω sn α ω α η ζ γ&. β Зададим требуемое движение выходного звена в виде закона изменения координат: α ( t), β ( t), γ ( t). Требуемые скорости α & ( t), β& ( t), γ& ( t) и ускорения T T T T T T α & ( t), β&& ( t), & γ ( t) получаем после дифференцирования. Задача управления состоит в минимизации ошибки по координате: по скорости: ( t) αt ( t) α( t), ( t) βt ( t) β( t), ( t) γt ( t) γ( t), & ( t) α& T ( t) α& ( t), & ( t) β& ( t) ( t ) T β&, & (t) γ& ( t) γ& ( t ), по ускорению: & ( t) α&& T ( t) α& ( t), & ( t) β&& ( t) ( t ) T β&, & ( t) && γ ( t) ( t ) T & γ где α ( t), β ( t), ( t) γ фактические значения координат выходного звена. Проведем численное моделирование движения выходного звена механизма параллельной структуры по заданной траектории с помощью разработанного алгоритма оптимального управления движением.зададим коэффициент демпфирования ζ и время переходного процесса t,5 с. При этом постоянная вре- мени будет равна τ, с, а коэффициенты обратной связи будут равны γ 7, γ. Для упрощения пренебрегаем массой входных звеньев и силой веса. Здесь не рассматриваем параметры двигателя и предельно допустимые значения обобщенных сил. Закон изменения ускорения соответствует колебательному звену: ζ & α && α γ (α& α) & γ (α α) ; T T T T & β && β γ (β& β) & γ (β β) ; (6.) T T & γ && γ γ (γ& γ) & γ (γ γ). T T T T T T T

229 9 Из уравнений (6.9) выразим моменты М. В полученные выражения моментов подставляем значения ускорений α &, β&&,& γ из уравнений (6.). Зададим закон движения исполнительного звена: α ( t), sn( ωt) ; β ( t), sn( ωt) ; γ ( t),5 sn(ωt) T T Дифференциальные уравнения ускорения (6.) принимают вид: α& α&& T ( α& α& T ) 7 ( αt α ) β& β&& T ( β& β& T ) 7( βt β ) (6.) & γ && γ T ( γ& T γ& ) 7 ( γ T γ) При движении с обратной связью графики изменений ошибки положения, момента в приводе показаны на рис. 6., 6.4. T Рис.6.. График изменения ошибки положения α, β, γ выходного звена Рис.6.4 График изменения моментов в приводе

230 Таким образом, представлен алгоритм управления сферическим механизмом параллельной структуры с тремя степенями свободы, обеспечивающий минимизацию ошибки по координате, скорости ускорению 6.4. Управление механизмом при переходе через особое положение В механизмах параллельной структуры могут проявляться особые положения внутри рабочей зоны, в которых или теряется степень свободы, или происходит потеря управляемости. Вблизи особых положений у манипуляторов параллельной структуры снижается нагрузочная способность. Для избежания потери управляемости можно предусмотреть дополнительные приводы, включающиеся при приближении к особому положению. Рассмотрим плоский механизм с двумя степенями свободы. Этот механизм предусмотрен в качестве устройства лазерной сварки и резки, где луч отклоняется системой двух зеркал (рис. ) [6, 9]. Рис.6.5 Схема механизма лазерной резки В механизме ведущие звенья BD и CE (длинами L ) соединены с приводами, установленными на основании, а два других звена AB и AE (длиной L ) связаны шарнирно между собой, которые перемещают цепь, сопряженную с лазером. Эти

231 звенья перемещают кинематическую цепь A, которая сопряжена с лазером, установленным на основании. Вдоль оси вращательной пары расположена оптическая ось лазера. Луч отклоняется двумя зеркалами, расположенными в точках A,. Рассматриваемый механизм состоит из пяти кинематических цепей. При перемещении в приводах на элементарное расстояние соответственно, δ δ имеем следующие уравнения динамики: δ δ δ δ М J m m & & && & & ; δ δ δ δ М J m m & & && & & ; (6.4) где J моменты инерции входных звеньев соответствующих цепей, m масса выходного звена; переменные коэффициенты. Для численного моделирования движения составим также уравнение движение в следующем виде (при перемещении выходного звена на расстояния δ δ, ): δ δ δ δ δ m m P P m & & && && ; δ δ δ δ δ m m P P m & & && & & (6.5) Уравнения связей можно представить системой уравнений в общем виде: ( ) ( ) ) sn( ) ( L L L c c ( ) ( ) ) sn( ) ( L L L D D ; (6.6) где ( D, D ), ( C, C ) координаты точек D, C, в которых расположены приводы; L, L длины звеньев;, углы в приводах; (, ) координаты выходного звена. Из кинематического уравнения выразим, : ) )( - - ( arctg L L L L L L L L L L L L L c c c c c c c ±

232 ) )( - - ( arctg L L L L L L L L L L L L L d d d d d d d ± Особые положения могут быть определены исследованием свойств матриц Якоби, составленных из уравнений связи. Уравнение скоростей запишем в виде: () (B) (V) A) & ( (6.7) где V скорости выходного звена, & скорости входных звеньев. A, & & V, B, & & & ) ( sn ) sn ( L L L L d ; ; ) ( sn ) sn ( L L L L c ; ; d L ; L sn ; c L ; L sn. В особых положениях определитель одной из матриц А или В равен нулю. Так например, одним из особых положений является точка с координатами (; sn L L L D ). В этой точке звенья механизма выстраиваются в одну линию (рис. ), а определитель матрицы А равен нулю. Зададим коэффициент демпфирования ζ и время переходного процесса t,5 с. При этом постоянная времени будет равна τ, с, а коэффициенты обратной связи будут равны γ 7, γ. Для упрощения пренебрегаем массой входных звеньев и силой веса. Здесь не рассматриваем параметры двигателя и предельно допустимые значения обобщенных сил. Закон изменения ускорения описывается системой уравнений:

233 & && γ & & ) γ ( ) ; T ( T T & && γ & & ) γ ( ) (6.8) T ( T T Рис. 6.6 Особое положение механизма Моменты М могут быть найдены подстановкой ускорений &,& из уравнений (6.6) в уравнения движения (6.) и реализуют движение по заданному закону: М m( & γ ( & & ) γ ( ) ) m( && γ ( & & ) γ ( ) ) J && (6.9) T T T T T T Зададим закон движения ;,5 sn( t) ; массу выходного звена m кг, длины звеньев L L, м, координаты точек D, C соответственно (-,; ), (,; ). В результате численного моделирования движения механизма по заданному закону получены значения моментов в приводах (рис. а,б). а)

234 4 б) Рис.6.7 График изменения сил в приводе в первом особом положении а при t c, б при t, c Точка особого положения имеет координаты (;,44 м). При приближении к особому положению происходит резкое увеличение момента в приводе, поэтому необходимо предусмотреть перераспределение нагрузки с учетом дополнительных приводов. Дополнительный привод располагаем в точках В, Е. В этом случае задача о положении записывается следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) D D L L L L ; ( ) ( ) ( ) ( ) c c L L L L (6.) Выразим, из уравнения задачи о положении: ± ) ( arc L L L L d ± ) ( arc L L L L с При перемещении в приводах на элементарное расстояние соответственно,δ δ имеем следующие уравнения движения:

235 5 * m & δ m && δ J& δ М δ ; (6.) * m & δ m && δ J& δ М δ ; где J моменты инерции входных звеньев соответствующих цепей, m масса выходного звена, ; переменные коэффициенты, * * M, M моменты в дополнительных приводах, Н м Переменные коэффициенты можно определить следующим образом: * * ; * *. Используя принцип возможных перемещений (перемещения на расстояния δ, δ ) соответственно имеем уравнения движения: m Переменные коэффициенты & δ M δ δ M J J m & δ M δ M δ && & J J (6.) * * дифференцирования уравнения связей (6.5): LL sn ; L ; L sn ; ; c. ; && * ; & * определяются из ; ; d Моменты в дополнительных приводах могут быть найдены подстановкой ускорений &,& из уравнений (6.8) в уравнения движения (6.). В рассматриваемом примере при приближении к особому положению при t,4 с происходит резкое увеличение момента в основном приводе, а при t,6 с происходит резкое уменьшение момента до допустимой величины. На этом ин-

236 6 тервале времени происходит отключение основного привода и включение дополнительного. Значения моментов в дополнительном приводе показаны на рис 6.8. Рис. 6.8 График изменения моментов дополнительного привода * М, * M Таким образом, показано, что при приближении к особому положению механизма должно происходить отключение двух основных приводов и включение двух дополнительных. После выхода из особого положения происходит выключение дополнительных приводов и включение основных. Таким образом, дополнительные приводы позволяют избежать перегрузок двигателей и избежать потерю управляемости. Выводы по главе 6. Предложен алгоритм управления манипуляционными механизмами параллельной структуры с тремя степенями свободы. Этот алгоритм основан на минимизации ошибки по положению, скорости, ускорению.

237 7. Показано, что одним из важных критериев является абсолютная величина ошибки положения выходного звена. Без учета обратных связей происходит нарастание ошибки по положению. Поэтому необходимо построение управления движением механизма с введением обратных связей по положению и скорости. Отклонения значений обобщенных координат, зависят от начальных возмущений и обусловливают высокую погрешность отслеживания назначенной траектории. 4. Выбор коэффициентов обратной связи основан на решении дифференциального уравнения динамической ошибки и параметров переходного процесса, что обеспечивает устойчивость и минимизации ошибки по положению, скорости и ускорения 5. Закон управления, построенный на основе решения обратной задачи динамики и учитывающий обратные связи по положению и скорости, отвечает требованиям оптимального управления движения механизма по заданной траектории. Закон ошибки описывается колебательным звеном. На основе численного моделирования движения механизма параллельной структуры по заданной траектории проверена эффективность разработанного алгоритма оптимального управления для механизмов различных классов. 6. Этот алгоритм апробирован также на плоском механизме параллельной структуры при пересечении особых положений. В механизмах параллельной структуры, имеющих в рабочей зоне особые положения, необходимо предусматривать дополнительные приводы для вывода из особых положений. Момент включения дополнительного двигателя не оказывает существенного влияния на характер поведения динамической ошибки. 7. Исследовано влияние точности при отклонении механизма от модели, а также влияние собственной частоты уравнения ошибки от частоты закона движения. При решении задачи управления можно пренебречь массой входных звеньев (при условии, что масса входных звеньев составляет не более % от массы выходных). Ошибка положения в этом случае не превышает 5% от точности управления модели.

238 8 ГЛАВА 7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА РАБОТОСПОСОБНОСТИ РАЗРАБОТАННЫХ МАНИПУЛЯТОРОВ И ПЕРСПЕКТИВЫ ИХ ВНЕДРЕНИЯ. В данной главе рассмотрены экспериментальные модели манипуляционных механизмов, их конструкции, а также исследованы свойства. Представлены возможные их применения в различных отраслях промышленности. 7.. Конструирование экспериментальных образцов При создании физической модели за прототип взят механизм с тремя кинематическими цепями и с тремя приводами. Промежуточные звенья соединены вращательными парами, а с выходным звеном соединены сферическими парами. Рис. 7. Кинематическая схема плоского механизма Модель выполнена из неподвижной рамной конструкции, подвижной платформы и трех кинематических цепей (рис.7.). Для управления перемещением подвижной платформы в плоскости установлены три вращательных двигателя на

239 9 неподвижном основании, что уменьшает массу и размер подвижных звеньев [9,, ]. В представленной модели выходное звено представляет собой цилиндрическую пластину из алюминиевого сплава диаметром 55 мм и толщиной 4 мм, выполненной из алюминиевого сплава. Конструкция выходного звена манипуляционного механизма представлена на (рис. 7.). Соединенные с ним промежуточные звенья выполнены из алюминиевого прутка круглого сечения диаметром 8 мм и длиной мм. Вертикально расположенные направляющие стержни сделаны из стального прутка квадратного сечения 8х8 и длиной 5 мм и расположены на расстоянии 5 мм друг от друга. Рис. 7. Общий вид модели плоского механизма Рис. 7. Конструкция выходного звена Выходное звено соединено тремя промежуточными звеньями посредством вращательных кинематических пар. Выходной вал каждого из трех двигателей

240 4 вращательного перемещения сопряжен посредством зубчатой передачи с соответствующей штангой (рис.7.4). Цилиндрическая передача состоит из двух зубчатых колес с модулем m мм, числом зубьев 5, 67. Рис.7.4 Зубчатая передача Выходное звено соединено с промежуточными звеньями с помощью сферических пар (рис. 7.5). Рис Сферическая пара, соединяющая выходное и промежуточные звенья Промежуточные звенья соединены с выходным звеном сферическими шарнирными парами. Конструкция таких пар представлена на рис.7.6. Чертеж выходной платформы показан на рис.7.7. Общий вид промежуточного звена изображен на рис. 7.8.

241 4 Рис.7.6. Корпус сферического шарнира Рис.7.7. Платформа выходного звена

242 4 к приводу х Ø Соединение промежуточного звена и выходной платформы шарниру Промежуточное звено L мм Направляющий стержень L мм Ø 5 Контргайка Рис.7.8 Общий вид промежуточного звена При создании физических моделей поступательно-направляющих механизмов прототипами являлись механизм с пятью вращательными парами RRRRR (рис.7.9 а) и механизм с параллелограммами в каждой цепи PPaPa (рис. 7.9.б). а) б) Рис. 7.9 Кинематическая схема поступательно-направляющего механизма а RRRRR, б PPaPa

243 4 Звенья механизма изготовлены из алюминиевого стрежня диаметром 6 мм и следующими длинами: входное звено,65 м, промежуточные звенья,5 м. (рис.7.) [7]. Массы звеньев механизма составляют: масса входного звена m,5 кг, массы промежуточных звеньев m,5 кг. Общая масса металлоконструкции механизма без масс опорной стойки, приводных двигателей и деталей зубчатых передач составила примерно m M, 4 кг. В качестве приводов в физической модели используются шаговые двигатели PL4H с номинальным паспортным моментом удержания,54 Н м и угловым шагом,8 градуса, соединенные с входными звеньями цилиндрической передачи, состоящей из колес с модулем m мм, числом зубьев 5, 67. Выходное звено выполнено в виде платформы. Рис. 7. Физическая демонстрационная модель манипулятора Конструкция поступательно-направляющего механизма РРаРа с шарнирными параллелограммами представлена на рис. 7..

244 44 Рис. 7. Поступательно-направляющий механизм Шарнирное соединение звеньев параллелограмма показано на рис. 7.. Конструктивное решение кинематических цепей, звеньев параллелограмма, соединения входного звена показаны на рис. 7., 7.4, 7.5. Рис.7. Шарнирное соединение звеньев параллелограмма

245 45 РАМА основания (верхний уголок) ± см поступательная подача перемещения вдоль оси Z см см Параллелограмм- Звено III РАМА основания механизма Рама роликовые элементы расположены внутри блока * см Звено II червячная передача Звено I подшипник на корпусе блока* винтовая ось Гайка шаговый двигатель Звенья оси X-цепи (65 см) Схема блока* Рис.7. Конструкция кинематической цепи Ø Ø 5, мм мм сварной шов ось звена 4 упорный подшипник D,d6,h8 мм стальной пруток Ø 8 мм Рис.7.4 Промежуточное звено параллелограмма 4 мм 5мм

246 46 5 Параллелограмм Гровер-гайка Ø 8 6 Ø 8 4, Гайка c уплотнительным кольцом Ø 5 Винт Ø 5 Выходное звено Выходное звено,5 Шпилька Ø 8 мм упорный подшипник D,d6,h8 Сварное соединение Стальной пруток Ø 8 Ø Параллелограмм Рис.7.5 Соединение выходного звена с параллелограммами При создании физической модели сферического механизма прототипом является сферический механизм с тремя степенями свободы, с тремя приводами RRRU, RU (рис.7.6). Первая и вторая кинематические цепи содержат по два звена, соединенных вращательными парами, а с выходным звеном соединены универсальным шарниром. Третья кинематическая цепь соединена с приводом универсальным шарниром.

247 47 Рис.7.6. Кинематическая схема сферического механизма В представленном прототипе входные звенья первой и второй кинематической цепей, соединены с валом двигателя, и выполнены из алюминиевого стержня диаметром 6 мм. Два промежуточных звена первой и второй цепей выполнены из стержня диаметром 4 мм (шпилька) длинной 5-7 мм, что позволяет подобрать нужную длину (рис. 7.7). Рис.7.7. Конструкция сферического механизма

248 48 Промежуточные звенья соединены между собой подшипниковыми узлами, выполненных в виде шестигранников (рис.7.8). В этом узле использован однорядный упорный подшипник (внутренний диаметр мм, наружный диаметр мм, толщина 4 мм) (рис.7.9). Корпус узла выполнен из латунных шестигранников. Рис Промежуточные вращательные пары Рис Конструкция подшипникового узла В каждом шестиграннике также имеется боковая резьба для соединения с элементами звеньев диаметром 4 мм, которые при фиксации затягиваются гровергайкой диаметром 4 мм. На оси третьей кинематической цепи расположены перпендикулярно относительно оси Z два универсальных шарнира (рис.7.).

249 49 Рис. 7.. Выходное звено В универсальном шарнире использован шариковый однорядный подшипник внутренним диаметром 8 мм, наружным диаметром 6 мм, толщиной 5 мм. Входное звено третьей кинематической цепи соединено с приводом с помощью универсального шарнира (рис. 7.). Он представляет собой куб с длиной 9 мм со сквозной резьбой диаметром мм и две полукруглые скобы наружным диаметром 5 мм с боковыми отверстиями диаметрами мм под полые винты и отверстием с резьбой диаметром 4 мм для возможности крепления с валом и фиксацией гровергайкой. Чертеж первой и второй кинематических цепей представлен на рис. 7., чертеж третьей кинематической цепи показан на рис. 7..

250 5 Рис. 7. Привод третьей кинематической цепи Универсальный Шарнир (вид сверху) скоба (латунная) Звено L 5..7 мм латунный корпус 7mm II -й коленный узел (вид сбоку) 4 упорный подшипник (D d h4) Ø 4 мм I-й коленный узел (вид сверху) к приводу механизма Рис. 7. Чертеж первой и второй кинематических цепей

251 5 Рис. 7. Чертеж третьей кинематической цепи

252 5 7.. Экспериментальное исследование механизмов При исследовании механизмов были определены некоторые свойства механизмов. Так, для плоского механизма были определены рабочая зона, углы поворота платформы, особые положения, повторяемость. В ходе проведенных экспериментов были получены следующие технические характеристики манипулятора: - Повторяемость, мм..,5 - Максимальное расстояние от центра платформы, мм 8 - Максимальный угол поворота подвижной платформы вокруг оси вращения, град. - Габаритные размеры макета вместе с блоком управления, мм: - длина..4 - ширина высота 8 - Общая масса, кг, - Тип электродвигателей: три шаговых электродвигателя PL4H Число одновременно управляемых координат - Напряжение, В Особые положения механизма представлены на рис.7.4.

253 5 Рис. 7.4 Особые положение При определении повторяемости, которая в робототехнике является одной из наиболее важных характеристик, была применена следующая методика. Были использованы индикаторы перемещения механического типа с ценой деления, мм. Затем выходное звено выводится в другую позицию и приводам дается команда возвращения в исходное положение. Отклонение между первоначальным положением и тем, что достигнуто после указанных движений регистрируется. Этот эксперимент проводится многократно. На основании указанного подхода можно определить максимальное отклонение от заданного положения и среднюю ошибку. Для исследованного робота параллельной структуры повторяемость составила около,5 мм.

254 54 При определении точности движения по траектории использовалась следующий подход. Траектория была задана в виде прямой линии, вдоль которой должно двигаться выходное звено, сохраняя постоянную ориентацию. На выходном звене перпендикулярно прямой линии устанавливался индикатор перемещения, выполненный таким образом, чтобы он не сбрасывал максимальное отклонение. Таким образом, можно определить максимум отклонения от траектории. Можно воспользоваться также индикатором с цифровой индикацией, тогда можно вывести график изменения ошибки по траектории. Для данного робота максимальное отклонение составило,7 мм. Отметим, что все натурные образцы роботов параллельной структуры были выполнены в лаборатории МГУДТ с соблюдением невысоких требований по точности изготовления деталей. При усилении требований изготовления деталей точность роботов существенно возрастет. Для поступательно-направляющих механизмов была определена грузоподъемность, исследована рабочая зона (рис. 7.5, 7.6). Рис Положения выходного звена в различных положениях рабочей зоны

255 55 Рис Оценка грузоподъёмности манипулятора с грузом массой кг Экспериментальные исследования физической модели показали: - выходное звено совершает поступательные движения. - при определении границ рабочего пространства модели манипулятора максимальные значения перемещения вдоль горизонтальных осей составили 7 мм, а максимальное вертикальное перемещение 6 мм. Для поступательно-направляющего механизма РРаРа были определены размеры рабочей зоны и исследованы особые положения (рис. 7.7). Экспериментальные исследования физической модели показали, что выходное звено совершает поступательные движения. При определении границ рабочего пространства модели манипулятора максимальные значения перемещений центра её грузовой платформы вдоль осей координат составили 7 мм, а максимальные значение перемещения вдоль вертикальной оси 7 мм.

256 56 Рис. 7.7 Особые положения механизма Таким образом, результаты экспериментальных исследований физической модели манипулятора в целом подтверждают работоспособность предложенной конструкции. 7.. Применения механизмов Синтезированные механизмы в силу их преимуществ могут иметь широкие возможности применения в текстильной и легкой промышленности [,, 5, 9]. Так, например, в прядильном производстве робот должен не только транспортировать бобины, но и взаимодействовать с технологическим оборудованием, что накладывает ограничения на конструкцию и его габариты. Робот должен быть компактным, легко и быстро перемещаться в рабочей зоне, а для обслуживания нескольких машин иметь возможность перемещения по транспортной линии, т.е. совершать операции погрузки-выгрузки (съема-установки) и транспортировки объектов. В прядильном производстве это операции упаковки и пакетирования

257 57 бобин с нитями и пряжей, смены наработанных тазов с лентой. В зависимости от требований схват может быть выполнен в различных исполнениях. На пневмомеханических прядильных машинах наполненные бобины находятся сверху машины. Поэтому робот должен перемещается по транспортным линиям, проложенным под потолком. Например, для транспортировки грузов основание манипуляционного механизма можно установить на рельсовых путях (рис. 7.8). Предлагаемый плоский механизм с тремя степенями свободы может применяться для обеспечения связи между оборудованием, технологическими комплексами и технологическими переходами, а также для обслуживания автоматизированных складов, что очень важно в гибких производственных системах.. Рис. 7.8 Плоский механизм в различных исполнениях Также одним из возможных применений плоского механизма с тремя степенями свободы могут быть раскройные операции в швейном производстве (рис. 7.9). Учитывая возможность поворота режущего инструмента вокруг оси, можно осуществлять раскрой по криволинейной траектории. Режущим инструментом может быть ножи, резаки, фрезы

258 58 Рис. 7.9 Раскройные операции с применением плоского механизма. Плоский механизм (рис. 7.) с двумя степенями свободы может применяться в оборудовании контроля качества текстильных материалов, в установках нанесения текстур и объемных изображений. Объемные изображения могут наноситься по принципу удаления вещества с поверхности лазерным импульсом. Рис. 7. Плоский лазерный механизм для нанесения объемных изображений Поступательно-направляющие механизмы могут использоваться в качестве устройства для перемещения измерительного щупа, сварочного электрода, для

259 59 обработки плоских объектов, а также в иглопробивных машинах для соединения нетканых материалов (рис. 7.). Рис. 7. Механизм для обработки плоских объектов. На предприятиях кожевенно-обувной промышленности одним из применений может быть операция обработки низа обуви, его шершевания, где исполнительный орган перемещается по сложной пространственной траектории (рис.7.)., для перекладки обувных изделий с транспортера на рабочий стол оператора в робототехническом комплексе для литья низа обуви, а также ряде вспомогательных операций. Учитывая, что приводы расположены на внешней поверхности по отношению к конструкции механизма и выходного звена, т.е. отделены от агрессивной и токсичной среды, возможно применение в красильно-отделочном производстве и производстве химических волокон.

260 6 Рис. 7. Обработка низа обуви В шелкографии необходимо использовать два манипуляционных механизма (рис. 7.). Один поступательно-направляющий механизм обеспечивает продавливания краски на запечатываемый материал, другой обеспечивает перемещение стола с материалом. Это представляет собой механизмы относительного манипулирования. Рис.7. Операция шелкографии

261 6 Механизмы параллельной структуры могут быть применены в устройствах телескопов в качестве механизма поворота для наведения и вращения радиолокационных антенн. Причем могут быть использованы как сферические механизмы, так и механизмы с шестью степенями свободы (рис. 7.4). а) б) в) Рис.7.4 Устройства ориентации антенны. а механизм с шестью степенями свободы, б, в сферический механизм в различных исполнениях При модернизации производства возрастает необходимость создания устройств, обладающих высокой скоростью точность, низкой себестоимостью, надежностью, возможностью полной замены человеческого труда в недоступных местах, какими обладают манипуляционные механизмы параллельной структуры. Приведенные примеры показывают возможное широкое применение манипуляторов параллельной структуры на предприятиях текстильной и легкой промышленности и других отраслях.

262 6 Выводы по главе 7. В данной главе представлены экспериментальные конструкции исследуемых механизмов параллельной структуры с тремя степенями свободы различных классов, чертежи узлов и отдельных элементов.. Показано, что механизмы параллельной структуры являются простыми конструкциями, с возможностями унификации, приводы расположены на основании, что позволяет выбирать двигатели с большой мощностью.. Были проведены исследования свойств механизмов рабочая зона, особые положения, повторяемость, грузоподъемность Результаты экспериментальных исследований физических моделей манипуляторов в целом подтвердили работоспособность предложенных конструкций. Результаты экспериментов совпадают с результатами расчетов, что позволяет разработать рекомендации по проектированию механизмов.

263 6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате анализа парка роботов, применяемых в текстильной и легкой промышленности и выполняемых ими операций, установлено, что наиболее востребованными являются устройства, выполняющие плоские, поступательные и вращательные движения. На основе принципов структурно-параметрического синтеза предложены схемы механизмов различных классов: плоских, поступательно-направляющих и сферических. Установлено, что механизмы параллельной структуры могут быть получены либо путем присоединения кинематических цепей, налагающих повторяющиеся связи, либо путем присоединения кинематических цепей, налагающих различные связи и отбирающие по одной степени свободы. Разработана методика комплексного решения задачи кинематики с учетом сингулярностей и точности. Установлено, что методика линейной теории точности позволяет определить ошибки положения выходного звена механизмов параллельной структуры с учетом неточностей изготовления звеньев. Данный вывод был проверен на основе нелинейной теории точности. Установлено, что при проведении кинематического и динамического анализа плоские, поступательно-направляющие и сферические механизмы с пятью кинематическими парами в каждой кинематической цепи могут быть заменены эквивалентными с тремя кинематическими парами в каждой цепи. Предложен новый динамический критерий близости к особым положениям механизмов через частотные характеристики. При приближении к особым положениям первая собственная частота уменьшается в десятки и сотни раз, что связано с уменьшением жесткости по одной степени свободы. Разработан алгоритм управления механизмами параллельной структуры, обеспечивающий минимизацию ошибки по координате, скорости и ускорению, а также устойчивое движение по заданному закону. При управлении механизмом в области особых положений предложено использовать дополнительные приводы. При приближении к особым положениям основные приводы отключаются и

264 64 включаются дополнительные. После выхода из особого положения происходит выключение дополнительных приводов и включение основных. Таким образом, дополнительные приводы позволяют избежать перегрузок основных приводов и исключить потерю управляемости. Показано, что в механизмах параллельной структуры существует динамическое взаимовлияние между степенями свободы. Усилие в каждом приводе зависит от положения, скорости и ускорения движения по другим координатам. Этот эффект был проверен на примере нелинейных колебаний. Показано, что конструкция механизмов параллельной структуры обладает простотой и возможностями унификации. Это повышает надежность эксплуатации данных технических систем и обеспечивает их ремонтопригодность.

265 65 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Абрамов В.Ф. Технологические процессы производства изделий легкой промышленности / В.Ф. Абрамов, В.В. Костылева, Е.В. Литвин, В.Н. Соколов, И.В. Соколов. Часть I под общей редакцией проф., д.т.н. Фукина В.А. М.: Московский государственный университет дизайна и технологии,. 57 с.. Ализаде Р.И. Функциональный синтез пространственных трехстепенных манипуляторов. / Р.И. Ализаде // Проблемы машиностроения и надежности машин С.9.. Аракелян В. Исследование особых положений манипулятора с параллельной структурой "Паминса" /В. Аракелян, С. Брио, В.А. Глазунов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 6.. С Арзуманян К.С. Синтез структур -координатных систем для исследования и диагностирования промышленных роботов / К.С. Арзуманян, А.Ш. Колискор// Испытания, контроль и диагностирование гибких производственных систем С Артоболевский И.И. Синтез плоских механизмов. /И.И. Артоболевский, Н.И. Левитский, С.А. Черкудинов М.: Физматгиз, с. 6. Артоболевский И.И. Роботы /И.И. Артоболевский, А.Е. Кобринский // Машиноведение С.. 7. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: учеб. для втузов. / И.И Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, с. 8. Бабаков И.М. Теория колебаний. /И.М. Бабаков. М.:Гос. изд-во техникотеоретической литературы, с. 9. Белянин П.Н. Роботтехнические системы для машиностроения. / П.Н. Белянин. М.:Машиностроение, с..бессекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования. /В.А. Бессекерский, Е.П. Попов. М.: Наука, с.. Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой. / А.П. Бессонов М.: Наука, с.

266 66. Биргер И.А. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Т. / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. М.:Машиностроение, с.. Боголюбов Н.Н. Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний. / Н.Н. Боголюбов Н.Н., Ю.А. Митропольский. Гос. Изд. техн-теор. лит., с. 4. Брагинский М.А. Промышленные роботы-манипуляторы в кожевенном производстве./ М.А. Брагинский. М.:Легпромбытиздат, с. 5. Бруевич Н.Г. Кинетостатика пространственных механизмов. / Н.Г. Бруевич //. Тр. Военно-возд. акад. им. Н.Е.Жуковского. 97. Вып.. С Бруевич Н.Г., Правоторова Е.А., Сергеев В.И. Основы теории точности механизмов / Н.Г. Бруевич, Е.А. Правоторова, В.И. Сергеев. М.: Наука, с. 7. Бруевич Н.Г., Сергеев В.И. Основы нелинейной теории точности и надежности устройств /Н.Г. Бруевич, В.И. Сергеев М.: Наука, с. 8. Быков Р.Э. Моделирование модулей кристаллических структур с помощью механизмов с избыточными связями./р.э. Быков, В.А. Глазунов, Д.Л. Тытик, Н.Н. Новикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. Машиноведение... С Воробьев Е.И. Теория пространственных шарнирных механизмов. / Е.И. Воробьев, Ф.М. Диментберг. М.: Наука, с.. Вукобратович М. Управление манипуляционными роботами: Пер. с англ. / М. Вукобратович, Д.М. Стокич. М. Наука, с.. Вульфсон И.Л. Динамические расчеты цикловых механизмов. / И.Л. Вульфсон. Л.:Машиностроение, с.. Ганиев Р. Ф. Кононенко В. О. Колебания твердых тел. / Р.Ф. Ганиев Р.Ф., В.О. Кононенко. М.: Главная редакция физико-математической литературы, с.. Ганулич А.А. Роботизированная технология швейных изделий. /А.А. Ганулич. М.: Легпромбытиздат, 99. с.

267 67 4. Глазунов В.А. Cтруктура пространственных механизмов. Группы винтов и структурные группы / В.А. Глазунов // Инженерный журнал. Справочник... С Глазунов В.А. Об особом положении пространственного пятизвенника, образованного из двух механизмов Беннета / В.А. Глазунов, Ф.М. Диментберг // Машиноведение Глазунов В.А. Управление механизмами параллельной структуры при переходе через особые положения. / В.А. Глазунов, М.Г. Есина, Р.Э. Быков // Проблемы машиностроения и надежности машин. 4.. С Глазунов В.А. Пространственные механизмы параллельной структуры / В.А. Глазунов, А.Ш. Колискор, А.Ф. Крайнев М.: Наука, с 8. Глазунов В.А. Принципы классификации и методы анализа пространственных механизмов с параллельной структурой / В.А. Глазунов, А.Ш. Колискор, А.Ф. Крайнев, Б.И. Модель // Проблемы машиностроения и надежности машин С Глазунов В.А. Об особенностях устройств относительного манипулирования. / В.А. Глазунов, А.Б. Ласточкин, А.Н. Терехова, Ву Нгок Бик // Проблемы машиностроения и надежности машин. 7.. С Глазунов В.А. К анализу и классификации устройств относительного манипулирования / В.А. Глазунов, А.Б. Ласточкин, К.А. Шалюхин, П.О. Данилин // Проблемы машиностроения и надежности машин, С Глазунов В.А. Решение задачи о скоростях манипулятора параллельной структуры с тремя степенями свободы. / В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, М.А. Ширинкин, С.В. Хейло //Технологические проблемы прочности: Cб. Материалы XVII международного семинара. Подольск.. С Глазунов В.А. Манипулятор параллельной структуры с четырьмя степенями свободы / В.А. Глазунов, С.В. Хейло, М.А. Ширинкин, П.А. Ларюшкин, А.В. Ковальчук // Вестник нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.. Часть, 4. С

268 68. Глазунов В.А. Применение манипуляторов параллельной структуры в измерительном оборудовании для объектов наноиндустрии/ В.А. Глазунов, С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин // Тезисы докладов II-й научно-практической конференции и каталог выставки "Нанотехнологии в текстильной и легкой промышленности" М.: ГОУВПО МГТУ им. А.Н. Косыгина,. С Глазунов В.А., Хейло С.В., Ларюшкин П.А. Бифуркация манипулятора параллельной структуры / В.А. Глазунов, С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин// Россия: тенденции и перспективы развития. Ежегодник. Вып. 6. Часть М.:ИНИОН РАН,. С Глазунов В.А. Роботы параллельной структуры альтернатива антропоморфным роботам / В.А. Глазунов, С.В. Хейло // Естественный и искусственный интеллект: методологические и социальные проблемы. Под ред. Д.И. Дубровского и В.А. Лекторского М. «Канон» РООИ «Реабилитация»,. С.. 6. Глазунов В.А. Частотный критерий особых положений сферического манипулятора параллельной структуры / В.А.Глазунов, С.В. Хейло // Сб. трудов XVII Симпозиум «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» DYVIS.. С Глазунов В.А. Определение особых положений манипулятора с параллельной структурой / В.А. Глазунов, С.В. Хейло, М.А. Ширинкин // Сб. Тезисы докладов Международной научно технической конференции "Современные технологии и оборудование текстильной промышленности" (ТЕКСТИЛЬ-) М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина.. С Давиташвили Н.С. Динамика сферических механизмов./ Н.С. Давиташвили. М.: Наука, с. 9. Данилин П.О. Разработка и анализ механизмов параллельной структуры с групповой кинематической развязкой: дис. канд. техн. наук: М.,. 4 с. 4. Демидов С.М. Анализ углов давления и особых положений модулей параллельной структуры, предназначенных для механизмов относительного манипулирования / С.М. Демидов, В.А. Глазунов, А.Б. Ласточкин, Ю.Н. Артеменко // Проблемы машиностроения и надежности машин,. 5. С. -.

269 69 4. Диментберг Ф.М. Об особенных положениях пространственных механизмов./ Ф.М. Диментберг // Машиноведение С Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. /Ф.М. Диментберг. М.: Наука, 978, 7 с. 4. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. /Ф.М. Диментберг. М.: Наука, с. 44. Добровольский В.В. Построение относительных положений звеньев пространственного семизвенника по методу сферических изображений. / В.В. Добровольский В.В. // Тр. семинара по TММ.: Изд-во АН СССР. 95. Т.. Вып. 4. С Добровольский В.В. Теория сферических механизмов. / В.В. Добровольский. М., 947 с. 46.Заблонский К.И. Оптимальный синтез схем манипуляторов промышленных роботов /К.И. Заблонский, Н.Т. Монашко, Б.Н. Щекин Киев: Техника, с. 47. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. М.: Гостехиздат, с. 48. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Основы управления манипуляционными роботами: Учебник для втузов. / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. М.:Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 4. 48с. 49. Зиновьев В.А. Кинематический анализ пространственных механизмов. /В.А. Зиновьев// Тр.семинара по ТММ.: Изд-во АН СССР. 95. Т.. Вып. 4. С Иосилевич Г.Б. Прикладная механика. /Г.Б. Иосилевич, П.А. Лебедев, В.С. Стреляев. М.: Машиностроение, с. 5. Кислицын С.Г. Тензорный метод в теории пространственных механизмов. / С.Г. Кислицын // Тр. семинара по ТММ.: Изд-во АН СССР Т. 4, Вып. 54. С Кинематика, динамика и точность механизмов: Справочник / Под ред. Г.В. Крейнина. М.: Машиностроение, с.

270 7 5. Климов В. А. Робототехнические системы в текстильной и легкой промышленности / В.А. Климов, В.Н. Гончаренко, А.А. Ганулич М.: Легпромбытиздат, 99. с. 54. Кобринский А.А. Манипуляционные системы роботов: основы устройства, элементы теории./ А.А. Кобринский, А.Е. Кобринский. М.: Наука, с. 55. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев А.В., Юрьевич Е.И. Динамика промышленных роботов / В.В. Козлов, В.П. Макарычев, А.В. Тимофеев, Е.И. Юрьевич. М.:Наука, с. 56. Колискор А.Ш. Разработка и исследование промышленных роботов на основе -координат. / А.Ш. Колискор // Станки и инструмент. 98. С Коловский М.З. Основы динамики промышленных роботов /М.З. Коловский, А.В. Слоущ. М.: Наука, с. 58.Коловский М.З. Динамика машин. / М.З. Коловский. Л.: Машиностроение, с. 59. Конструирование машин: справочно-методическое пособие, т. I. / Под общ. ред. К.В.Фролова. М.: Машиностроение, с. 6. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. /А.П. Котельников. Казань, с. 6. Крайнев А.Ф. Функциональная классификация механизмов. /А.Ф. Крайнев// Проблемы машиностроения и надежности машин С.. 6. Крайнев А.Ф. Новые механизмы относительного манипулирования / А.Ф. Крайнев, В.А. Глазунов // Проблемы машиностроения и надежности машин С Крайнев А.Ф. Разработка механизмов параллельной структуры для малых перемещений с упругими изгибными кинематическими парами / А.Ф. Крайнев, В.А. Глазунов, В.И. Нагорных // Проблемы машиностроения и надежности машин С Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам /А.Ф. Крайнев. М.:Машиностроение, с.

271 7 65. Крайнев А. Ф. Механика от греческого mechance (teche) искусство построения машин. Фундаментальный словарь /А.Ф. Крайнев. М.: Машиностроение,. 94 с. 66. Крайнев А. Ф. Идеология конструирования /А.Ф. Крайнев. М.: Машиностроение,. 84 с. 67. Крайнев А.Ф. Разработка установок для лазерной резки на основе механизмов параллельной структуры / А.Ф. Крайнев, Л.К. Ковалев, В.Г. Васецкий, В.А. Глазунов // Проблемы машиностроения и надежности машин С Красовский А.А. Основы автоматики и технической кибернетики / А.А. Красовский, Г.С. Поспелов. Л.:Госэнергоиздат, с. 69. Корендясев А.И. Манипуляционные системы роботов / А.И. Корендясев, Б.Л. Саламандра, Л.И. Тывес и др. Под ред. А.И. Корендясева. М.: Машиноcтроение, с. 7. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели / П.Д. Крутько. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., с. 7. Ларюшкин П.А. Решение задачи о положениях параллельного манипулятора с тремя степенями свободы / П.А. Ларюшкин, В.А. Глазунов, С.В. Хейло // Справочник. Инженерный журнал с приложением... С Ларюшкин П.А. Разработка и исследование пространственного манипулятора параллельной структуры с тремя поступательными срепенями свободы для робототехнических систем предприятий текстильной и легкой промышленности: дис. канд. техн. наук: М.,. 69 с. 7. Ласточкин А.Б. Разработка и исследование систем механизмов параллельной структуры для их совместного относительного манипулирования. дис. канд. техн. наук: М., 9. с. 74. Лебедев П.А. Кинематика пространственных механизмов / П.А. Лебедев. М.: Машиностроение, с. 75. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: учеб. пособие для вузов / Н.И. Левитский. -е изд., перераб. и доп. М.: Наука, с.

272 7 76. Леонов Л.П. Роботехнические производственные комплексы в лесной и деревообрабатывающей промышленности / Л.П. Леонов, А.А. Кудинов. М.:ГОУ ВПО МГУЛ, 9 9 с. 77. Лунев В.В. Решение задач о положениях механизма методом многоугольников Ньютона. / В.В. Лунев, С.Ю. Мисюрин // Проблемы машиностроения и надежности машин С Малышев А.П. Анализ и синтез механизмов с точки зрения их структуры / А.П. Малышев // Изв. Томского технолог. ин-та. 9. Т. 44. Вып.. С Мардер Б.О. О ветвлении функции положения выходного звена пространственного двухкривошипного двухконтурного механизма BBCnCnCnCC. / Б.О. Мардер, П.А. Лебедев // Машиноведение С Медведев В.С. Системы управления манипуляционных роботов / В.С. Медведев, А.Г. Лесков, А.С. Ющенко. М.: Наука, с. 8. Мудров П. Г. Пространственные механизмы с вращательными парами / П.Г. Мудров. Казань: Казанский сельскохозяйственный институт им. М. Горького, с. 8. Овакимов А.Г. Об особых положениях одноконтурных пространственных механизмов с несколькими степенями свободы /А.Г. Овакимов // Машиноведение С Палочкин С.В. Решение задачи о положениях сферического манипулятора параллельной структуры / С.В. Палочкин, В.А. Глазунов, С.В. Хейло // Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности. г. 7 С Патент РФ на изобретение / В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, А.В. Ковальчук. Пространственный сферический механизм с тремя степенями свободы. 569/, с. 85. Патент РФ на полезную модель 6. /В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, А.В. Ковальчук. Пространственный сферический механизм с тремя степенями свободы. 576/, с.

273 7 86. Патент РФ на изобретение 466 / В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин. Пространственный механизм с тремя поступательными степенями свободы. 8/, с. 87. Патент РФ на изобретение 4664 / В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин, М.А. Ширинкин, Ю.Н. Артеменко, Ю.Т. Каганов. Пространственный механизм с пятью степенями свободы. 9/, с. 88. Патент РФ на полезную модель 9 / В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин, М.А. Ширинкин, Ю.Н. Артеменко, Ю.Т. Каганов. Пространственный механизм с шестью степенями свободы. 6/, с. 89. Патент РФ на полезную модель 58 /Н.Ю. Носова, В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло. Пространственный механизм с пятью степенями свободы. /,.7.. с. 9. Патент РФ на полезную модель 9 / А.В. Календарев, В.А. Глазунов, А.Е. Лысогорский, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, Л.В. Комиссарук. Пространственный механизм с четырьмя степенями свободы. 759/,.7.. с. 9. Патент на полезную модель 886 Российская Федерация. /В.А. Глазунов, М.А.Ширинкин, С.В. Палочкин. Пространственный механизм с четырьмя степенями свободы 99/,..9; бюл.. с. 9. Патент РФ 65. / А.Ф. Крайнев, Б.Г. Васецкий, П.К. Ковалев, В.А. Глазунов, А.К. Алешин. Установка для лащерной резки 99/8, Пейсах Э.Е. Критерии передачи движения для рычажных механизмов. /Пейсах Э.Е. // Машиноведение С Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора / Р. Пол. М.: Наука, с. 95. Попов Е.П. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы / Е.П. Попов, А.Ф. Верещагин, С.П. Зенкевич. М.: Наука, с. 96. Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. М.: Наука., 989. с.

274 Подъемно-транспортные системы для комплексной механизации текстильных предприятий: Учебное пособие для вузов. / Под ред. Сыромятникова В.С. М.:МГТУ им А.Н. Косыгина, с. 98. Рекомендации по основным направлениям механизации погрузочноразгрузочный, транспортных и складских работ на предприятиях шелковой, трикотажной и текстильно-галантерейной промышленности и автоматизации химических станций красильно-отделочных производств. М.: ЦПКТБтекстильпром Минтекстильпрома РСФСР, с. 99. Решетов Л.Н. Самоустанавливающиеся механизмы. Справочник / Л.Н. Решетов. М.: Машиностроение, с.. Росс Б. О винтовых осях и других особых линиях, связанных с пространственным перемещением твердого тела. /Б. Росс// Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения С... Саркисян Ю.Л. Аппроксимационный синтез механизмов / Ю.Л. Саркисян. М.:Наука, с.. Саркисян Ю.Л., Парикян Т.Ф. Принципы построения пространственных поступательно-направляющих механизмов. / Ю.Л. Саркисян, Т.Ф. Парикян// Машиноведение С... Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями /И.М. Соболь, Р.Б. Статников. М.: Наука, 98. с. 4. Сомов П.О. Векториальный анализ и его приложения /П.О. Сомов. С.-Пб.: Тип. Стасюлевича, с. 5. Теория механизмов и механика машин: учеб. для втузов./ К. В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др; под ред. К. В. Фролова. -е изд. перераб. и доп. М.: Высш. шк., с. 6. Тимофеев А.В. Управление роботами. Учеб. Пособие/ А.В. Тимофеев. Л.Издво Ленинградского ун-та, с. 7. Тывес Л.И., Маркевич С.В. Оптимальное по быстродействию управление движением робота по собственной траектории / Л.И. Тывес, С.В. Маркевич// Проблемы машиностроения и надежности машин С

275 75 8. Хант К.Х. Кинематические структуры манипуляторов с параллельным приводом / К.Х. Хант // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения С.. 9. Хейло С.В. Решение задачи о скоростях манипулятора с тремя степенями свободы с применением теории винтов /С.В. Хейло // Проблемы машиностроения и автоматизациии... С Хейло С.В. Частотный критерий особых положений манипулятора параллельной структуры /С.В. Хейло // Проблемы машиностроения и автоматизациии... С Хейло С.В. Синтез сферических манипуляторов параллельной структуры /С.В. Хейло // Справочник. Инженерный журнал.. 6. С. 8.. Хейло С.В. Структурно-геометрический анализ сферического манипулятора параллельной структуры /С.В. Хейло // Справочник. Инженерный журнал... С Хейло С.В. Колебания манипулятора параллельной структуры с тремя степенями свободы /С.В. Хейло// Сб. IX всероссийская научная конференция им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, С Хейло С.В. Решение задачи кинематики сферического манипулятора параллельной структуры /С.В. Хейло // Машиностроение и инженерное образование.. 4. С Хейло С.В. Решение задачи об управлении поступательно-направляющим механизмом параллельной структуры /С.В. Хейло, В.А. Глазунов// Справочник. Инженерный журнал... С Хейло С.В. Манипуляционные механизмы параллельной структуры. Структурный синтез. Кинематический и силовой анализ: монография /С.В. Хейло, В.А. Глазунов, С.В. Палочкин М.: ФГБОУ ВПО МГТУ им. А.Н. Косыгина,. 5с.

276 76 7. Хейло С.В. Решение задачи кинематики поступательно-направляющего манипулятора /С.В. Хейло, В.А. Глазунов, Р.Ю. Сухоруков// Машиностроение и инженерное образование.. 4. С Хейло С.В. Решение задачи о скоростях и особых положениях сферического манипулятора параллельной структуры /С.В. Хейло, В.А. Глазунов, Во Динь Тунг// Машиностроение и инженерное образование... С Хейло С.В. Анализ ускорений и нелинейных колебаний механизма параллельной структуры /С.В. Хейло, В.А. Глазунов, Ю.В. Кулемкин, В.Л. Эфрос // Проблемы машиностроения и надежности машин.. С Хейло С.В. Возможные применения маханизмов параллельной структуры /С.В. Хейло, В.А. Глазунов, М.А. Ширинкин, А.В. Календарев// Проблемы машиностроения и надежности машин.. 5 С Хейло С.В. Манипуляционные механизмы параллельной структуры для робототехнических комплексов предприятий текстильной промышленности /С.В. Хейло, В.А. Глазунов// Вестник Московского государственного текстильного университета: Тематический сборник научных трудов «Инновационные технологии и материалы».. С Хейло С.В., Ларюшкин П.А. Определение рабочей зоны манипуляторов параллельной структуры /С.В. Хейло, П.А. Ларюшкин // Справочник. Инженерный журнал... С Хейло С.В. Определение рабочего пространства манипуляторов /С.В. Хейло П.А. Ларюшкин // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Современные технологии и оборудование текстильной промышленности" (ТЕКСТИЛЬ-). М.: ФГБОУ ВПО МГТУ им. А.Н. Косыгина,. С Хейло С.В. Задача об ускорении поступательно-направляющего механизма параллельной структуры /С.В. Хейло, М.Г. Лукашова// Современные наукоемкие технологии и перспективные материалы текстильной и легкой промышленности (Прогресс ): сборник материалов международной научно-практической конференции. Часть. Иваново:ИГТА,. С

277 77 5. Хейло С.В. Повышение технической и эксплуатационной эффективности устройств манипулирования /С.В. Хейло, А.Е. Лысогорский // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Современные технологии и оборудование текстильной промышленности" (ТЕКСТИЛЬ-): тезисы докладов. Часть. М.: ФГБОУ ВПО МГТУ им. А.Н. Косыгина,. С Хейло С.В. Определение собственных частот колебаний манипулятора параллельной структуры /С.В. Хейло, М.А. Ширинкин, В.А. Глазунов// Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности. г. 4 С Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы / Ф.Л.Черноусько, Н.А. Болотник, В.Г. Градецкий. М.:Наука, с. 8. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер. с англ./ М. Шахинпур. М.:Мир, с. 9. Ширинкин М.А. Исследование и разработка манипуляционных механизмов параллельной структуры для подъёмно-транспортных систем предприятий текстильной промышленности: дис. канд. техн. наук: М.,. с.. Ширинкин М.А. Решение задачи о скоростях и особых положениях манипулятора параллельной структуры / М.А. Ширинкин, В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло// Известия высших учебных заведений. Технология текстильной промышленности. г. С.95.. Ширинкин М.А. Структурный синтез робота параллельной структуры с четырьмя степенями свободы /М.А. Ширинкин, В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло, А.В. Ковальчук// Искусственный интеллект: философия, методология, инновации. Материалы IV Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Часть М. МИРЭА,. С Ширинкин М.А. Исследование подвижностей в механизмах параллельной структуры /М.А. Ширинкин, В.А. Глазунов, С.В. Палочкин, С.В. Хейло// XXII Международная Иновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС-) «Будущее машиностроения России»: сборник материалов конференции с элементами научной школы для молодежи (Москва, 6-9

278 78 ноября г.). М: Цифровичок, г. с.. Ширинкин М.А. Управление эксперимнетальным роботом с четырьмя степенями свободы / М.А. Ширинкин, С.В. Хейло, В.А. Глазунов, Во Динь Тунг // Искусственный интеллект: философия, методология, инновации. Материалы V Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, М.МИРЭА,. С Щербаков В.С. Автоматизация процесса моделирования траектории движения рабочего органа робота-манипулятора:монография / В.С. Щербаков, И.А. Реброва, М.С. Корытов, Е.И. Пастухова. Омск: Филиал ГОУ ВПО РЗИТиЛП, 9. с. 5. Aadeh D. On the Computaton of the Home Posture of the McG Schoenfes- Moton Generator. // D. Aadeh, J. Angees, S. Nokeb // Computaton Knematcs. Proceedngs of the 5 th Internatona Workshop. Sprnger. 9. Р Aadeh D. Structura Snthess of New Parae and Sera Patform Manpuators /D. Aadeh,. Can, E. Gegn, O. Sev // Proceedngs of th IToMM Word Congress n Mechansm and Machne Scence. Besançon, rance, June 8-7 P Atuarra O. Parta Decouped Parae Manpuators Based on Mutpe Patforms / O. Atuarra, M. Loaga, V. Petua, E. Ameua // Proceedngs of th IToMM Word Congress on the Theor of Machnes and Mechansms. Besançon, rance, June 8-, 7. P Angees J. The Quatatve Snthess of Parae Manpuators. / J. Angees // Journa of Mechanca Desgn. 4. Vo. 6. Р Arakean V. Statc and Dnamc Anass of the PAMINSA /V. Arakean, S. Guegan, S. Brot // ASME 5. Internatona Desgn Engneerng Technca Conferences & Computers and Informaton n Engneerng Conference. Long Beach. Caforna. USA. 5. Р Arakean V. Increase of snguart-free ones n the workspace of parae manpuators usng mechansms of varabe structure /V. Arakean, S. Brot, V. Gaunov // Mechansm and Machne Theor. 8, Vo. 4, Р. 9 4.

279 79 4. Arakean V. Improvement of functona performance of spata parae manpuators usng mechansms of varabe structure / V. Arakean, S. Brot, V. Gaunov// Proceedngs of the Twefth Word Congress n Mechansm and Machne Scence. (IToMM), Besancon, rance. 7, Vo. 5. Р Baker J. E. Overconstraned 5-Bars wth Parae Adjacent jont aes. Pt.. Method of Anass /J.E. Baker // Mechansm and Machne Theor Vo., N. Р Baker J.E. An Anass Of the Brcard Lnkages /J.E. Baker // Mechansm and Machne Theor. 98. Vo. 5, N 4. Р Ba R.S. A Treatse on the Theor of Screws / R.S. Ba. Cambrdge: Cambrdge Unverst Press, p. 45. Bennet G.T. A New Mechansm / G.T. Bennet // Engneerng. 9. Р Bonev I.A. Deta Robot The Stor of Success,. Режим доступа: Bonev I.A. Snguart Anass of -DO Panar Parae Mechansms va Screw Theor / I.A. Bonev, D. Zatanov, C.M. Gossen // Journa of Mechanca Desgn,. Vo. 5,. P Brot S. Anase et Optmsaton d une Nouvee ame de Manpuateurs Paraèes au Mouvements Découpés /S. Brot. These en vue de obtenton du Doctorat de Gene Mecanue p. 49. Brot, S. Desgn and anass of the propertes of the deta nverse robot / S.Brot, V. Arakean, V. Gaunov // Proceedngs of the X Internatona Conference on the Theor of Machnes and Mechansms. Lberec, Cech Repubc. 8 P Brot S. Snguart Anass of PAMINSA Manpuators / S. Brot, V. Arakean // Proceedngs of th IToMM Word Congress on the Theor of Machnes and Mechansms. Besançon, rance, June P Carrcato M. On the topoogca and geometrca snthess and cassfcaton of transatona parae mechansms. /M. Carrcato, V. Parent-Caste // Pr. of the XI Word Congress n Mechansm and Machne Scence. Tanjn, Chna. 4. Р

280 8 5. Carrcato M. u Isotropc our-degrees-of-reedom Parae Mechansms for Schoenfes Moton /M. Carrcato// Internatona Journa of Robotcs Research. 5. Vo. 4, 5. P Chen W-J. A Nove 4-DO Parae Manpuator and ts Knematc Modeng /W-J. Chen // Proceedngs of the IEEE Internatona Conference on Robotcs and Automaton. Seou, Korea, Ma -5.. P Ceccare M. undamentas of Mechancs of Robotc Manpuatons / M. Ceccare. Kuwer Academc Pubshers, 4. 4 p. 55. Ceccare M. A Stud of easbt for a New Wrst / M. Ceccare // Proceedngs of the Word Automaton Congress. Montpeer, rance, Ma p Ceccare M. A new d.o.f. spata parae mechansm. / M. Ceccare // Mechansm and Machne Theor N (8). P Chabat D. Archtecture Optmaton of a -dof parae mechansm for machnng appcatons the ortogde // D. Chabat, P. Wenger // IEEE Trans. On Robotcs and automaton 9.. P Cave R. Devce for dspacng and postonng an eement n space. / Brevet N WO 87/58. Cassfcaton Internatonae de brevets: B5J 7/. Date de pubcaton nternatonae: Compan O. A New Hgh Speed 4-DO Parae Robot. Snthess and Modeng Issues / O. Compan,. Maruet,. Perrot // IEEE Transactons on Robotcs and Automaton.. Vo. 9,. P Crag J.J. Introducton to Robotcs: Mechancs and Contro / J.J. Crag. nd ed. Readng. MA: Addsson-Wese, p. 6. Denavt J. Knematc Notaton for Lower Par Mechansms Based on Matrces. / J. Denavt, R.S. Hartenberg // Tr. ASME: Ser.E, J. App. Mech Vo., N. Р Dunop G.R. Poston anass of a two DO parae mechansm the Canterbur tracker / G.R. Dunop, T.P. Jones // Mechansm and Machne Theor Vo. 4(4) P

281 8 6. chter E.. A Stewart Patform-Based Manpuator: Genera Theor and Practca Constructon / E.. chter // Internatona Journa of Robotcs Research. 986., P ujmoto K. Dervaton and Anass of Euatons of Moton for a 6 d.o.f. Drect Drve Wrst Jont / K. ujmoto // IEEE Internatona Workshop on Integent Robots and Sstems (IROS). Osaka, Japan, November -5, 99. P Gaardo J. A Nove ve-degrees of reedom Decouped Robot / J. Gaardo, H. Oroco-Mendoa, J.M. Rco-Martne // Robotca.. Vo. 8, 6. P Gaunov V. On 4-DO Partcuar Decouped Parae Mechansms / V. Gaunov, S. Paochkn, S. Kheo, M. Shrnkn, Nguen Mnh // Proceedngs of the th Word Congress n Mechansm and Machne Scence. June 9 -, Guanajuato, Meco Unversdad de Guanajuato (UCEA), Meco.. 8 Р. 67. Gaunov V. -DO Transatona and Rotatona Parae Manpuators / V. Gaunov, P. Larushkn, S. Kheo // New Trends n Mechansm and Machne Scence: Theor and Appcatons n Engneerng.. P Gaunov V. On New Cass of Parae-Cross Mechansms /V. Gaunov, S. Brot, V. Arakean, Nguen Mnh Thanh // Proceedngs of the 5th Internatona Workshop on Computatona Knematcs. Hedeberg, German, Ma P Gaunov V. Parae manpuator contro whe ntersectng snguar ones. /V. Gaunov, A. Kranev, R. Bkov, G. Rashoan, N. Novkova//Theor and Practce of Robots and Manpuators. (RoManS), Proceedngs of XV CISM-IToMM Smposum, Montrea. 4. P Gaunov V. Desgn of Decouped Parae Manpuators b Means of the Theor of Screws / V. Gaunov // Mechansm and Machne Theor.. Vo.45,. P Gaunov V. Representatons of constrants mposed b knematc chans of parae mechansms. / V. Gaunov, R. Gruntovch, A. Lastochkn, Nguen Mngh Than // Proceedngs of the th Word Congress n Mechansm and Machne Scence IToMM.- Besancon, rance. 7. Vo.. P

282 8 7.Gogu G. Structura Snthess of Parae Robots, Part : Methodoog (Sod Mechancs and Its Appcatons) / G. Gogu. Sprnger, 7 76 p. 7. Gogu G. Structura Snthess of Parae Robots, Part : Transatona Topooges wth Two and Three Degrees of reedom / G. Gogu. Sprnger, 9 78 p. 74. Gogu G. Structura snthess of fu-sotropc transatona parae robots va theor of near transformatons / G. Gogu // European Journa of Mechancs, A/Sods. 4. Vo.. Р Gogu G. u-sotropc Parae Manpuators Wth ve Degrees of reedom /G.Gogu // Proceedngs of the IEEE Internatona Conference on Robotcs and Automaton. Orando, Ma P Godberg M. New ve-bar and S-Bar Lnkages n Three Dmensons / M. Godberg // Transactons of the ASME. 94. Vo.46, N 6. Р Gossen C.M. A fu decouped -dof transatona parae mechansm /C.M. Gossen, X. Kong X, S. oucaut, I. Bonev // Parae Knematc Machnes Internatona Conference. Chemnt. German. 4. Р Gossen C.M., Angees J. Snguart anass of cosed-oop knematc chans/ C.M. Gossen, J. Angees // IEEE Transactons on Robotcs and Automatcs. 99. Vo.6(). Р Gossen C. The optmum knematc desgn of a spherca three-degree-of-freedom parae manpuator / C.M. Gossen, J. Angees // Trans. ASME. J. Mech., Trans., and Automat. Desgn N. P Gossen C.M. Snguart of a speca cass of spherca three-degree-of-freedom parae mechansms wth revoute actuators / C.M. Gossen CM, J.Wang // Int. J. of Robotcs Research.. Vo.(7). P Gossen C.Tpe snthess of three-degree-of-freedom spherca parae manpuator /C. Gossen, X. Kong // Int. J. of Robotcs Research, 4. Vo.(). P Gough V.E. Contrbuton to Dscusson of Papers on Research n Automobe Stabt, Contro and n Tre Performance /V.E. Gough // Pr. Autom. Dv. Inst. Mech. Eng. 956/57. Р

283 8 8. Gregoro R.D. A new fam of spherca parae manpuators /R.D. Gregoro // Robotca.. Vo., 4. P Hara A. Snthess of Parae Mcromanpuators / A. Hara, K. Sugmoto // Transactons of ASME Journa of Mechansms, Transmssons and Automaton n Desgn, P Havk S. Anass and Modeng ebe Robotc (Mcro) Mechansms / S.Havk // th IToMM Word Congress, Tanjn. 4. P Herve J. The Le group of rgd bod dspacements, a fundamenta too for mechansm desgn / J.Herve // Mechansm and Machne Theor. 99. Vo. 4. N 8. Р Herve J.M. The nove -RUU wrst wth no de par /J.M. Herve, M. Karoua// Workshop on undamenta Issues and uture Research Drectons for Parae Mechansms and Manpuators. Quebec.. P Huda S. Dmenson Sntess of -URU Pure Rotaton Parae Mechansm wth Respect to Snguart and Workspace / S. Huda, Y. Takeda // th IToMM Word Congress, Becasson. 7. P Hunt K.H. Knematc Geometr of Mechansms / K.H. Hunt Oford.: Caredon Press, p. 9. Hunt K.H. Structura knematcs of n parae actuated robot arms /K.H. Hunt // Journa of Mechansms, Transmssons and Automaton n Desgn. 98. Vo. 5(4). P Kerr D.R. Anass, Propertes and Desgn of a Stewart-Patform Transducer /D.R. Kerr // Transactons of ASME Journa of Mechansms, Transmssons and Automaton n Desgn P Karoua M. A smmetrca -dof spherca parae mechansm / M. Karoua, J.M. Herve // European journa of mechanc A/sod. 5 P Kheo S. Acceeratons and nonnear oscatons of parae spherca mechansm / S. Kheo, Nguen Mnh Thanh, V.Gaunov // The -rd ITOM nternatona smposum on robotcs and mechatroncs, Sngapore.. P.54 5.

284 Kong X., Gossen C. Tpe Snthess of Parae Mechansms /X. Kong, C. Gossen. Sprnger p. 95. Kong X. Tpe snthess of near transatona parae manpuators. /X. Kong, C. Gossen // Advances n Robot Knematcs Theor and Appcatons, Boston: Kuwer Academc Pubshers.. Р Kong X. Tpe Snthess of TR 4-DO Parae Manpuators Based on a Screw Theor /X. Kong, C. Gossen // IEEE Transactons on Robotcs and Automaton, 4. Vo.,. P Kong X. Knematcs and snguart anass of a nove tpe of -CRR -DO transatona parae manpuator /X. Kong, C. Gossen // The Internatona Journa of Robotcs Research.. N (9). P Koevermans W.P. Desgn and performance of the four d.o.f. moton sstem of the NLR research fght smuator / W.P. Koevermans //In AGARD Conf. Proc N 98 P Larochee P.M. Desgn of -DO spherca robotc mechansm / P.M. Larochee // In 9 th IToMM Word Congress on the Theor of Machnes and Mechansm, Man, Ita. 995 P Larushkn P. New -DO Transatona Parae Manpuator: Knematcs, Dnamcs and Workspace Anass /P. Larushkn, V. Gaunov // Romans 9 Robot Desgn, Dnamcs and Contro. Proceedngs of the 9th CISM-IToMM Smposum. Pars, rance. June, -5.. P. 8.. Lee K.-M. Knematc anass of a three-degrees-of freedom n-parae actuated manpuator / K.-M. Lee, D.K.Shah // IEEE J. of Robotcs and Automaton Vo. 4(). Р Legua Durand S. Optma desgn of a redundant spherca parae manpuator /S. Legua Durand, C. Rebouet // Robotca Vo.5(4) P L Y. Knematcs and nverse dnamcs anass for a genera -PRS spata parae mechansm / Y. L Y, Q. Xu // Robotca. 5. Vo.,.. P L Y. Knematc anass and desgn of a new -DO transatona parae manpuator / Y. L Y, Q. Xu // ASME J. Mech. Des., 6. Vo.8, 4. P

285 85 5. Lu X.J. Optmum desgn of -DO spherca parae mechansm wth respect to the condtonng and stffness ndces /X.J. Lu, Z.L. Jn,. Gao // Mechansm and machne Theor.. Vo. 5(9) P Lu K. The Snguartes and Dnamcs of a Stewart Patform Manpuator / K. Lu,. Lews, G. Lebret, D. Taor // Journa of Integent & Robotc Sstems. 99. Vo. 8,. P Mavrods C. Anass of Overconsraned Mechansms / C. Mavrods, B. Roth // Transactons of the ASME, Journa of Mechanca Desgn Vo. 7. Р Mendoa-Váue J.R. Smuaton of a Parae Mechanca Ebow wth DO /J.R. Mendoa-Váue// Journa of Apped Re- search and Technoog. 9. Vo. 7, No.. P Meret J. P. Parae robots / J.P. Meret Kuwer Academc Pubshers,. 7p.. Manovsk K. Snguart anass of parae manpuator POLMAN wth s degrees of freedom / K. Manovsk // th IToMM Word Congress, Besançon (rance), June P. 6.. Mohamed M.G. A Drect Determnaton of the Instantaneous Knematcs of u Parae Robot Manpuators / M.G. Mohamed, J. Duff // Trans. ASME: Jour. of Mechansms, Transmsson and Automaton n Desgn Vo. 7. Р Mustafa M. orward Knematcs of Degree of reedom Deta Robot /M. Mustafa, R. Msuar, H. Dana // Proceedngs of 5th Student Conference on Research and Deveopment (SCOReD). Seangor, Maasa, 7. P... Nguen Mnh Thanh On Transatona and Spherca Parae Manpuators wth Three Degrees of reedom / Nguen Mnh Thanh, V. Gaunov, P. Larushkn, S. Kheo// Probems of Mechancs... p Nguen Mnh Thanh Contro of -dof panar parae robot / Nguen Mnh Thanh, V. Gaunov, S. Kheo/// Probems of Mechancs... P Pap J-S. A robotc human mastcator sstem: knematcs smuatons /J-S. Pap, W.L. Xu, J. Bronund // Journa Integent Sstems Technooges and Appcatons, 5. Vo., N. /, P. 6.

286 86 6. Peper D.L. The knematcs of manpuators under computer contro / D.L. Peper, B. Roth // Proc. II Intern. Congr. on Theor of Mach. and Mech Vo.. Р Pernette E. Desgn of parae robots n mcrorobotcs / E. Pernette// Robotca N 5(4). P Rosat G. Performance of Cabe Suspended Robots for upper Lmb Rehabtaton / G. Rosat, M. Andreo, A. Bond, P. Gana // Proceedngs of the IEEE th Internatona Conference on Rehabtaton Robotcs ICORR7, Noordwjk, -5 June. 7. P Ru J-H. Parae Manpuators, New Deveopments /J-H. Ru I-Tech Educaton and Pubshng p.. Shaopng Ba Optmum desgn of spherca parae manpuators for a prescrbed workspace / Shaopng Ba // Mechansm and Machne Theor.. Vo.45,, P... Shoham M. Bone-mounted mnature robot for surgca procedures: concept and cnca appcatons / M. Shoham //IEEE Trans. On Robotcs and Automaton.. Vo. 9, 5 P Stamper R.E. A Three Degree of reedom Parae Manpuators wth On Transatona Degrees of reedom. Ph.D. Thess, Unverst of Marand, MD, USA p.. Stan S., Manc M., Sep C., Baan R. Performance Anass of DO Deta Parae Robot / S.Stan, M. Manc, C. Sep, R. Baan //Proceedngs of the 4th Internatona Conference on Human Sstem Interactons (HSI), Yokohama, Japan, Ma 9-.. P Stewart D. A patform wth 6 degrees of freedom / D. Stewart // Proc. of the Insttuton of mechanca engneers Vo. 8. Р Sugmoto K. Knematc and Dnamc Anass of Parae Manpuators b Means of Motor Agebra / K. Sugmoto // Trans. ASME: Jour. of Mechansms, Transmsson and Automaton n Desgn Vo. 9, N. Р. 7.

287 87 6. Sugmoto K. Estence Crtera for Overconstraned Mechansms Desgn / K. Sugmoto// Trans ASME: Journa of Mechansms, Transmssons, and Automaton n Desgn. 99. Vo. 7, N. Р Sutherand G. A transmsson nde for spata mechansms / G. Sutherand, B. Roth // Trans. ASME: Journa of Engneerng for Industr. 97. Р Tves L. Thanh Decouped Parae Manpuator wth Unversa Jonts and Addtona Constrants / L. Tves, V. Gaunov, P. Dann, Nguen Mnh Thanh // RO- MANSY 8. Robot Desgn, Dnamcs and Contro. Proceedngs of the Eghteenth CISM-IToMM Smposum. Udne, Ita, Ju 5 8,. P Teng C.P. Shape snthess n mechanca desng / C.P.Teng, S. Ba, J. Angees //Acta Potechnca, 7. Vo. 47, 6. P Tsa L.-W. Knematcs of a three-dof patform wth three etensbe mbs / L.-W. Tsa // ARK, Portoro-Bernadn Р Tsa L.-W. Robot anass: the mechancs of sera and parae manpuators/ L.-W. Tsa // John We & Sons, p.. Vscher P. Argos: A Nove -DO Parae Wrst Mechansm / P. Vscher, R. Cave // Internatona Journa of Robotcs Research,. Vo. 9,. P. 5.. Vonea R. Contrbutons a a Teore geometrue des Vs / R. Vonea, M.Atanasu// Buetnu Insttutuu Potchnc. Bucurest N, f.. Р Wadron K. J. A am of Overconstraned Lnkages / K.J. Wadron // Journa of Mechansms Vo., N. Р.. 5. Waper M. A Stewart Patform for Pre cson Surger / M. Waper, V. Urban // Transactons of the Insttute of Measurement and Contro.. Vo.5, N. 4. P Wenger P. Knematc anass of a new parae machne too: The orthogde / P. Wenger, D. Chabat // Proceedngs 7th Internatona Smposum on Advances n Robot Knematcs. Portoro, Sovena P Wohhart K. Irreguar Pohedra Lnkages / K. Wohhart // Pr. of the XI Word Congress n Mechansm and Machne Scence. Tanjn, Chna. 4. Р

288 88 8. Yan Jn. Structure Snthess and Snguart Anass of a Parae Manpuator Based on Seectve Actuaton / Yan Jn, I-Mng Chen, Gun Yang // Proceedngs of the 4 IEEE Internatona Conference on Robotcs and Automaton, New Oreans. 4. Р Yangmn L. Desgn and Deveopment of a Medca Parae Robot for Cardopumonar Resusctaton / L Yangmn, Xu Qngsong // IEEE, ASME TRANSACTIONS ON MECHATRONICS. 7. Vo., N.. P Zhao Y. Dnamcs Anass of a 5-UPS/PRPU Parae Machne Too / Y. Zhao // Proceedngs of th IToMM Word Congress on the Theor of Machnes and Mechansms. Besançon, rance, June 8-, 7. 8 p. 4. Zhu S.J. Snguart Anass for S Practcabe 5-DO u-smmetrca Parae Manpuators / S.J. Zhu, Z. Huang, M.Y. Zhao // Mechansm and Machne Theor, 9. Vo. 44, 4. p Zhen Huang. The Knematcs and Tpe Snthess of Lower-Mobt Parae Robot Manpuators / Zhen Huang. // Pr. of the XI Word Congress n Mechansm and Machne Scence. Tanjn, Chna. 4. Р Zatanov D. Constrant snguartes of parae mechansms /D. Zatanov, I.A. Bonev, C.M. Gossen// Proc. IEEE Int. Conf. Robot. Autom., Washngton, DC,, P Zatanov D. Characteraton of the subsstems n the speca three-sstems of screws /D. Zatanov, M. Carrcato// Pr. of Romans ХХ CISM-IToMM Smposum on theor and practce of robots and manpuators. Moscow. 4. P

289 89 ПРИЛОЖЕНИЯ

290 9

291 9

292 9