Электронная библиотека

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Электронная библиотека"

Транскрипт

1 ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Могилев 0

2 УДК 57 ББК я7 В 9 Рекомендовано к опубликованию учебно-методическим управлением ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет» Одобрено кафедрой «Высшая математика» октября 0 г протокол Составители: Е Г Галуза; М Н Зубова; В А Карпенко; В В Пугин; А А Романенко Рецензент канд техн наук доц Д М Макаревич В методических указаниях изложен материал по теме «Системы дифференциальных уравнений» который могут использовать студенты всех специальностей как дневной так и заочной форм обучения при самостоятельной работе а также преподаватели для проведения практических занятий Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Ответственный за выпуск Технический редактор Компьютерная верстка Л В Плетнёв А А Подошевко Н П Полевничая Подписано в печать Формат 60 84/6 Бумага офсетная Гарнитура Таймс Печать трафаретная Усл-печ л Уч-изд л Тираж 56 экз Заказ Издатель и полиграфическое исполнение Государственное учреждение высшего профессионального образования «Белорусско-Российский университет» ЛИ 00/ от Пр Мира Могилев ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет» 0

3 Содержание Общие сведения о системах дифференциальных уравнений 4 Метод исключения для нормальных систем дифференциальных уравнений 8 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 4 4 Метод интегрируемых комбинаций для нормальных систем 9 5 Упражнения Список литературы 8

4 4 Общие сведения о системах дифференциальных уравнений В приложениях математики к изучению технических дисциплин химии биологии технологии производств финансово-экономических дисциплин важную роль играют математические модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений вида F( () ) 0 для одной исследуемой функции () функции одной переменной х На практике встречаются процессы для описания которых (для изучения которых) одной функции недостаточно Они эти функции зависят от одного и того же аргумента и связаны между собой системой дифференциальных уравнений Рассмотрим основные понятия задачи и теоремы для системы дифференциальных уравнений Совокупность соотношений F ( ) 0 F ( ) 0 F ( ) 0 где х независимая переменная; искомые функции зависящие от х называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Решением системы () называется всякая система из функций подстановка которых в уравнения () обращает все эти уравнения в тождества Например система z (4 ) z + 0 z 6z состоящая из двух уравнений с двумя неизвестными (искомыми) функциями и z имеет решение z Следовательно 6 z и значит 6 (4 ) ( ) 6( ) () ()

5 5 Следовательно решение системы () найдено верно Система () дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производных от независимых функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений с неизвестными функциями и имеет вид: d f( ) d f ( ) d f ( ) Эту систему можно рассматривать как обобщение одного дифференциального уравнения первого порядка (с одной неизвестной функцией) разрешенного относительно производной: () d f ( ) (4) т е систему () можно записать в более компактном виде если пользоваться векторной записью а именно d f ( ) где f ) ( f ( ) f ( ) f ( )) ( ( ) ( ( ) ( ) ( )) Как известно решение ϕ() уравнения (4) геометрически представляет собой некоторую кривую (интегральную кривую уравнения) лежащую на плоскости o Аналогичным образом решение нормальной системы d dz f( z) f ( ) z т е пару функций () и z() можно рассматривать как некоторую кривую в трехмерном пространстве XYZ Эту кривую называют интегральной кривой системы (5) в этом пространстве (5)

6 6 В случае > решение ϕ( ) ϕ( ) ( ϕ ) нормальной системы () нельзя аналогичным образом изобразить кривой не выходя за пределы трехмерного пространства Однако обобщая геометрическую терминологию по-прежнему будем считать что решение ( ϕ ) ϕ ( ) ϕ ( ) (6) системы () определяет собой интегральную кривую системы () лежащую в ( + )-мерном пространстве переменных х Задание нормальной системы уравнений () можно по аналогии с двумерным случаем геометрически толковать как задание поля направлений в некоторой области ( + )-мерного пространства Говорят что решение (6) системы () удовлетворяет начальным данным х если ϕ ( 0 ) 0 ϕ ( 0) 0 ϕ ( ) 0 0 Геометрически это значит что интегральная кривая (6) проходит через точку (х ) ( + )-мерного пространства Задача Коши для нормальной системы () и начальных данных х ставится следующим образом: найти решение системы () удовлетворяющее начальным данным х Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши даются следующей теоремой Теорема Коши Если в некоторой области D ( + )-мерного пространства функции f (х ) f (х ) f (х ) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по то для любой точки (х ) области D существует и при том единственное решение ϕ ( ) ϕ( ) ϕ ( ) системы () определенное в некоторой окрестности точки х 0 и удовлетворяющее начальным условиям х Из теоремы Коши следует что в указанной области D система () имеет бесчисленное множество решений Действительно изменяя значения в некоторых пределах для каждой системы чисел х получим «свое» решение системы: ϕ ( 0 0 0) ϕ( 0 0 0) ϕ ( 0 0 0) Общим решением системы () в некоторой области D ( + )-мерного пространства называются функций ( ϕ С С С ) ϕ ( С С С ) ϕ ( С С С ) (7) зависящих от х и произвольных постоянных С С С если эти функции (7) являются решением системы () и если любое решение этой системы лежащее в указанной области D может быть записано в виде (7) при

7 7 некоторых значениях постоянных С С С Частным решением системы () называется решение которое получается из общего решения системы при конкретных значениях постоянных С С С Если в области D выполнены условия теоремы Коши то для нахождения частного решения «проходящего через заданную точку (х ) области» достаточно разрешить уравнения ϕ ( 0 ϕ ( 0 ϕ ( C C 0 C C C C C C C ) 0 ) ) относительно С С С и подставить полученные значения постоянных в (7) Нормальная система уравнений () в случае допускает простую механическую интерпретацию Обозначим независимую переменную через t а искомые функции через и z и будем рассматривать t как время а и z как координаты движущейся частицы При этом решение ϕ t) ϕ ( t) z ϕ ( ) системы 0 0 ( t dt d dt dz dt f( t z) f ( t z) f( t z) определяет положение движущейся частицы в любой момент времени t т е определяет закон движения частицы Кривая пространства XYZ задаваемая уравнениями ϕ ( t) ϕ( t) z ϕ ( t) будет траекторией движения а производные d dz координатами вектора скорости движущейся частицы dt dt dt Решить для системы (8) задачу Коши с начальными данными t z 0 значит найти закон движения той частицы которая в момент времени t 0 находилась в точке ( 0 0 z 0 ) При такой интерпретации система (8) называется динамической пространство XYZ фазовым а решения системы (8) движениями (8)

8 8 Если функции f f f системы (8) не зависят от времени то движение частиц называется стационарным (скорости движения частиц в каждой точке пространства XYZ не зависят от времени т е являются постоянными в течение всего времени) Если при этом функции f f f удовлетворяют условиям теоремы Коши то через каждую точку фазового пространства будет проходить только одна траектория т к в любой момент времени в этой точке вектор скорости имеет одну и ту же величину и направление Метод исключения для нормальных систем дифференциальных уравнений Изучение нормальных систем дифференциальных уравнений и их свойств тесно связано с изучением дифференциальных уравнений высших порядков от одной неизвестной функции Пусть дано например уравнение f ( ) (9) из которого можно получить нормальную систему трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями: обозначим Тогда ( ) ( ) Итак вместо уравнения (9) имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (0) ( ) f Если решение системы (0) то решение уравнения (9) и наоборот если решение уравнения (9) то у и у есть решение системы (0) При определенных условиях справедливо и обратное утверждение: всякая нормальная система дифференциальных уравнений () эквивалентна некоторому дифференциальному уравнению -го порядка с одной неизвестной функцией разрешенному относительно производной Сведение интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений к интегрированию одного дифференциального уравнения высшего порядка является одним из основных методов интегрирования нормальных систем Приведем доказательство этого утверждения

9 9 Дифференцируем по х обе части первого уравнения системы (): d df df + d d df + + d d d d d Заменяя производные системы () будем иметь уравнение d F ( их выражениями f f f из Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему найдем d F ( ) Продолжая далее таким же образом получим наконец уравнение d ) F ( ) Итак получаем следующую систему: d f( ) d F ( ) d F ( ) () Из первых уравнений определим выразив их через и производные d d d (предполагается что эти операции выполнимы): ( ) ϕ( ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ) ϕ () Подставляя в последнее уравнение системы () вместо их значения из системы () получим уравнение

10 0 d Решая это уравнение определим : Ф( ) () ( ) ( ψ C C C ) (4) Дифференцируя равенство (4) раз найдем (-) как функции от х и С С С Подставляя затем эти функции ( ) ( ) ψ ( C C C) ψ ( C C C) ψ ( C C C) в систему () получим ψ ( C C C ψ ( C C C ) ) (5) Функции (4) и (5) являются общим решением нормальной системы () Для отыскания частного решения нормальной системы () при наличии начальных данных х нужно в систему функций (4) и (5) подставить начальные данные и затем из нее найти C i (х ) C i0 ( i ) Найденные C i0 подставляем в систему функций из уравнений (4) и (5) и получим искомое частное решение т е решение задачи Коши для системы () при известных начальных данных х Замечание Если система () линейна относительно искомых функций то и уравнение () будет линейным Пример Решить систему дифференциальных уравнений d + z dz + z+ Решение Данная система нормальная система двух уравнений с двумя неизвестными (искомыми) функциями и z Продифференцируем первое уравнение по х: d d dz и заменим его значением из системы + dz

11 Получим d d + + z + Подставляя d вместо + z из первого уравнения системы приходим к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка d d (6) Решаем это уравнение: C + Ce общее решение однородного уравнения С С произ- вольные постоянные 0 к к 0 к 0 к A ( + B) A + B ч A+ B A ч A ( A+ B) A 4 B ч ( + ) C+ Ce ( + ) 4 где С С произвольные постоянные общее решение вспомогательного уравнения (6) Подставляя найденное значение и Ce в первое уравнение системы 4 находим т е z C C 4 ч C e e z C + Ce + ( 4 Семейство решений исходной (данной) системы уравнений определяется функциями )

12 C + Ce ( + ) 4 z C + Ce + ( 4 где С С произвольные постоянные Замечание Из первых уравнений системы () находим функции Может иногда оказаться что их можно найти из меньшего числа уравнений Тогда для определения (см формулу ()) получим дифференциальное уравнение порядок которого ниже т е Пример Проинтегрировать (решить) систему dt ) d dz + z + z + dt dt Решение Дифференцируя по t первое уравнение находим следующее: d dt d dz + ( + z) + ( + ) dt dt d dt + + z Исключая переменные и z из уравнений dt + z d dt и будем иметь уравнение второго порядка d 0 dt dt + + z Для него характеристическое уравнение к к 0 к к и общее решение t t C e + C e Тогда dt C e t + C e Следовательно из первого уравнения системы имеем t

13 t t z Ce + Ce z dt (7) Подставляя в третье уравнение системы вместо и их значения получим для определения z уравнение dz dt + z C e Интегрируя это уравнение находим t z Ce + Следовательно на основании формул (7) и (8) имеем что Итак t t t t t t C e + C e C e C e ( C + C ) e + C e t функции C e t t t t Ce + Ce t t (8) t ( C + C ) e + C e z Ce + Ce являются общим решением заданной системы Примечание После нахождения одной из функций дифференциальной системы () остальные функции находят не используя операцию интегрирования а только дифференцирование и метод исключения Пример Решить систему дифференциальных уравнений d dz Решение Дифференцируем второе уравнение системы по х Получаем d z z d d Вместо из первого уравнения системы подставляем значения получаем уравнение d z z в которое вместо подставим его значение z' из второго уравнения систе-

14 4 ( z ) мы Получаем уравнение второго порядка z т е z z ( z ) 0 z которое не содержит явно аргумент х и поэтому допускает понижение порядка Разделив обе части последнего равенства на z получим zz ( z ) z 0 z z откуда имеем интегрируя или z С z z C z Из последнего уравнения получаем (интегрированием) Так как z C e C dz что видно из второго уравнения системы получаем C C e C C Таким образом CC e z C e общее решение исходной системы Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Метод Эйлера применим для случая Обозначая неизвестные функции независимой переменной х через у z w запишем линейную однородную систему с постоянными коэффициентами в виде d a dz a dw a + a + a + a C z + a z + a z + a w w w (9)

15 5 виде Согласно методу Эйлера ненулевые решения системы (9) ищут в k k k αe z βe w γe (0) где α β γ k некоторые числа которые надо подобрать так чтобы функции (0) удовлетворяли системе (9) Подставляя функции (0) и их производные в уравнения системы (9) получим ( a k ) α + aβ + a γ 0 a α + ( a k ) β + a γ 0 () aα + aβ + ( a k ) γ 0 Для того чтобы система () имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы определитель системы был равен нулю Таким образом число k должно удовлетворять уравнению a a a k a a a k a a a k 0 () Уравнение () называется характеристическим (или вековым) По основной теореме алгебры оно имеет три корня: k k k Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы () Обозначим эти решения α β γ α β γ α β γ Тогда ненулевые решения системы (9) имеют вид: k k k α e z β e w γ e α α e e k k z z β β Линейная комбинация этих решений (с произвольными постоянными коэффициентами) e e k k w w C + C + C z Cz + Cz + Cz w C w + C w + C w γ γ e e k k () также будет решением системы (9) Если корни k k k различны то решение () будет общим решением системы (9) в области { < < + < < + < w < + }

16 6 Для случая кратных корней вопрос рассматривать не будем Если u + iv z s + it w p + iq комплексное решение системы (9) то действительные и мнимые части их также составляют решения системы (9) В случае если k α ± iβ корни характеристического уравнения то найденные комплексные решения можно заменить действительными решениями отделяя действительные и мнимые части составляющих их функций Пример Найти общее решение системы d + z + w dz z + w dw + z + w (4) Решение Ищем решение системы (4) в виде k αe k z βe k w γe Подставляя эти функции в уравнения после сокращения на е k k ( e 0) получаем ( + k ) α + β + γ 0 α + ( k ) β + γ 0 (5) α + β + ( k ) γ 0 Характеристическое уравнение имеет вид: k k k 0 или ( + k )(4 k ) 0 Его корни k k k Подставляем k в систему (5) и получим 0 α + β + γ 0 α + 0 β + γ 0 α + β + γ 0 Третье уравнение отбрасываем (оно следует из первых двух) и находим α γ β γ где γ любое число Задав γ какое-нибудь конкретное значение например γ находим решение системы (4):

17 7 e z e w e Теперь подставим k в систему (5) и получим α α α + β + γ 0 + β + γ 0 + β + γ Решая систему из двух последних уравнений с тремя неизвестными получаем β α γ 0 где α любое число Полагая α находим второе решение системы (4): e z e Подставляя k в систему (5) получим 0 w α + β + γ 0 α β + γ 0 α + β γ 0 γ γ Отбрасывая третье уравнение получаем β α где γ любое число Положив γ находим α β γ Тогда третье решение системы будет иметь вид: e e z e w e Общее решение системы имеет вид: C e z C e w C e + C + C e e + C e + C e + C e где С С С произвольные постоянные Пример Найти решение системы d z dz (6) + z удовлетворяющее начальным условиям у(0) z(0) l

18 8 Решение k k Ищем решение системы (6) в виде αe z βe При этом получаем ( k) α β 0 (7) α + ( k) β + γ 0 Запишем характеристическое уравнение: k k 0 или k 4k Корни k ± i комплексно-сопряженные Подставляя k + i в систему (7) получим ( i) α + β 0 α + ( i) β 0 Из первого уравнения (второе следствие первого) находим + i β α Взяв α имеем β + i т е первое решение системы (6) будет иметь вид: (+ i) (+ i) e z ( + i) e Подставляя k i в систему (7) получим ( + i) α β 0 α + ( + i) β 0 + i Из первого уравнения находим β α Взяв α имеем β + i Тогда второе решение системы (6) будет иметь вид: e ( i) z ( + i) e ( i) Найдем действительные и мнимые части функций: ( + i) e e (cos+ isi ) e cos+ ie si ( i) e e (cos isi ) e cos ie si ( + i) z ( + ie ) ( + ie ) (cos + isi ) e (cos si ) + ie (cos + si )

19 9 ( i) z ( + ie ) ( + ie ) (cos isi ) e (cos si ) + ie (cos + si ) Действительные решения системы имеют вид: ~ ~ e e cos si ~ z ~ z e e (cos si ) (cos + si ) Тогда общее решение системы запишется в виде z e e ( C cos + C ( C (cos si ) + C si ) (cos + si )) где С C произвольные постоянные Теперь решим задачу Коши Подставляя в общее решение системы вместо х у z их начальные значения 0 имеем С + 0 С С + С Отсюда получаем С С Ответ: Искомое решение системы имеет вид: e ( cos + si ) z e (cos + si ) 4 Метод интегрируемых комбинаций для нормальных систем Другой способ решения нормальных систем дифференциальных уравнений основан на подборе так называемых интегрируемых комбинаций Познакомимся с ним на примере Пример z dt d z dt dz dt (8)

20 0 Решение Обозначив производные функций z символами z и сложив уравнения системы (8) получим т е откуда + + z 0 d ( + + z ) 0 dt + + z С (9) Аналогично умножив первые уравнения системы (8) на х второе на и третье на z и сложив получим т е откуда + + zz 0 d ( + + z ) 0 dt + + z С (0) Выражения вида (9) и (0) представляющие конечные соотношения между искомыми функциями и независимой переменной называют первыми интегралами системы В нашем частном случае независимая переменная t в соотношения (9) и (0) не входит Если бы удалось получить еще один первый интеграл выражаемый через z то задача (8) была бы решена Заметим что знание каждого первого интеграла для системы позволяет понизить порядок уравнения () к которому сводится система () на единицу Действительно система трех уравнений (8) должна приводиться к одному дифференциальному уравнению -го порядка Продифференцируем по t третье уравнение системы (8) Это дает z + z () Воспользовавшись первым интегралом (9) имеем + С z и от уравнения () приходим к уравнению -го порядка

21 z + z С для отыскания функции z системы (8) 5 Упражнения 5 Найти общие и частные решения (там где заданы начальные условия) для следующих систем дифференциальных уравнений d dz 5 z 5 z если z z при z t + + e t + 4 e + z + z z + z t + t 59 t + t + z+ 50 z 4 z + если (0) z(0) 0 5 z z z z z z z + z z z 0 z z + z z z z + z z z z z

22 + 4z 0 57 z + z 6u u 7v+ 5w 0 e 58 v + u+ v w 0 w u+ v w e + + si t 59 4 cos t если ( π) ( π) z z + 4 z z z + z z 6 6 z z z z+ z + z z z 4 + z если х (0) 6 х (0) 6 х (0) t 59 t + e если (0) (0) + + e если (0) 0 (0) 06 (0) если (0) (0) (0)

23 если (0) (0) (0) dt 56 d + dt если х(0) (0) 0 Ответы если (0) 6 (0) 6 (0) 4 5 Общее решение данной системы определяется формулами e ( C cos+ C si ) [ ] z e ( C C )cos + ( C + C )si Частное решение получается при С С 0 и имеет вид: e cos z e (cos + si ) 5t 5t t t 5 () t C e + C e 5e + e 5t 5t t t ( t) C ( 5 ) e ( 5+ ) C e + 5e e 5 t t t t t t t z Ce + Ce + Ce Ce + Ce Ce + Ce 54 z ( C l ) + C t t C t 55 z Ce ( Ct C) e + t + Ct+ Ce

24 4 t 56 Ce + Ccost+ Csi t t C e C si t+ C cos t 57 t Ce C cost C si t t t t t t t Ce + Ce + Ce C e 4C e 4 C e t t t Ce Ce + Ce t t t t 58 Ce + Ce Ce Ce C 59 C+ Ct + C t 0 t 50 Общее решение системы имеет вид: ( C + C ) e z ( C C C ) e 6+ 4 Частное решение системы имеет вид: (0 + 6 ) e z ( 4 ) e 6+ 4 t t t t t t Ce + Ce z Ce + Ce ( C + C ) e + Ce t 4t t 4t Ce + Ce Ce + Ce 6t 6t cos + si 6t 6t C e t C e t C e (cost si t) + C e (cost+ si t) C Ce + Ce + + z Ce + e 4 55 Ce Ce + z Ce Ce 56 Ce + Ce z Ce Ce 57 Ce + Ce z Ce + Ce 4

25 5 58 u C+ Ccos + Csi + e v C+ ( C C)cos ( C + C)si w C ( C + C)cos + ( C C)si + e 59 ( t π ) + si t 4( t π) cost si t e e z e + e e ( С cos + C si ) z e ( С si C cos ) t t t Ce + ( Ct+ C + C ) e C e + C e t z C e + ( C t+ C ) e 5 e + Сe + Ce z e Сe Ce t t 54 Ccost+ Csi t Csit Ccos t 55 C e + C e z C e C e t 5t t 5t t 4t 5t 56 e + e 9e + e 7e + e + 5e t ( C cost+ C si t) e t (( C + C )cos t+ ( C C )si t) e t + + ( C C ) e ( ( C C ) C ) e t t t e t + e Ce Ce Ce C e C e C e C e C e 4t

26 6 5 () () () () + ( C C ) e C C e C () () ( C C ) e C e e + ( ) (+ ) 4 4 e e + ( ) (+ ) Ce + Ce + Ce + e Ce Ce + Ce e + e Ce Ce + Ce + e Учитывая начальные условия получим С С С 0 Частное решение имеет вид: 54 e 55 e - e e e e e + e d( + ) 56 dt t + C ; ( + ) C d + C ( t+ C )( C + ) ( t+ C )( C + )

27 t 9 t t 9 t () t e + e () t e + e 4t 4t + e ( C cost C si t) e ( C sit C cos t) 59 Решение Пусть 4 0 X A 0 4 В матричной форме система имеет вид: X AX Характеристическое уравнение для этой системы 4 λ 0 λ 0 0 λ Его корни λ λ 4 λ 5 Собственные векторы матрицы А таковы: 0 ( ) ( ) ( ) Y 9 Y 0 Y λ 7 5 Поэтому 0 ( λ) t ( λ) 4t ( λ ) 5t X 9 e X 0 e X e 7 5 Следовательно общее решение системы имеет вид: 0 t 4t 5t X () t C 9 e + C 0 e + C e 7 5 Для нахождения частного решения из данной системы при t 0 0 постоянные C C C определяют из системы 6 0 С+ С X(0) 6 C 9 + C 0 + C 9 С+ С С + С + С

28 8 откуда C C C Окончательно для искомого частного решения получаем что () t 0 t 4t 5t X () t () t 9 e + 0 e + e () t 7 5 Список литературы Бугров Я С Дифференциальные уравнения Кратные интегралы Ряды Функции комплексного переменного / Я С Бугров С М Никольский М : Наука 98 0 с Герасимович А И Математический анализ / А И Герасимович Н П Кеда М Б Сугак Минск : Выш шк с Мышкис А Д Лекции по высшей математике / А Д Мышкис М : Наука с 4 Пискунов Н С Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н С Пискунов М : Наука 985 Т 86 с 5 Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред Г И Кручковича М : Высш шк с 6 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под общ ред А П Рябушко Минск : Выш шк 99 Ч 64 с 7 Фихтенгольц Г М Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г М Фихтенгольц М : ФИЗМАТЛИТ 00 Ч 546 с


ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические рекомендации

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям для студентов

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных заданий

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИК А Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов,

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ОА Кононова НИ Ильинкова НС Романова НК Филиппова Линейные системы дифференциальных уравнений Минск 0 УДК 57955(0758)(076)

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Издательство ТГТУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рецензент: к.ф-м.н., и.о. доц. Васильева Е.Г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методическое пособие Составители: МДУлымжиев ЛИИнхеева ИБЮмов СЖЮмова Рецензия На методическое пособие по теории функций

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Лекция 13. Задачи оптимального управления

Лекция 13. Задачи оптимального управления Лекция 13 Задачи оптимального управления 1 мая 014 Содержательная постановка задачи оптимального управления закон движения фазовой точки (самолета или объекта управления) и закон воздействия управления

Подробнее