СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Том XXVIII И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ Выпуск СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ДОБРУХЦИН Р. Л., КЕЛЬВЕРТ М.Я. 1. Введение В нашей работе [1] задача описания стационарных локальных аддитивных функционалов (СЛАФ) от гауссовского стационарного случайного поля была сведена к задаче описания некоторого класса аддитивных функционалов, значениями которых являются обобщенные функции. В этой статье, продолжая исследование, начатое в [1], мы описываем такие функционалы явно. Основной результат состоит в том, что СЛАФ от гауссовского случайного поля представимы в виде суммы функционалов некоторого стандартного вида и вырожденных функционалов.; В случае обычных (т. е. необобщенных) случайных полей значение вырожденного функционала на параллелепипеде V зависит лишь от значений поля на границе этого параллелепипеда. Стандартные функционалы невырожденны; значением стандартного функционала на параллелепипеде V является интеграл по V от полинома Эрмита от значений поля и его производных, Во введении к работе [1] уже отмечалось, что особый интерес представляет изучение СЛАФ от гауссовских марковских случайных полей. Дело в том, что при помощи СЛАФ от таких полей можно (см* [2, 3]) задавать новые (вообще говоря, негауссовские) стационарные марковские случайные поля. Оказывается, однако, что в применении к свободному марковскому полю (т. е. гауссовскому стационарному полю со спектральной плотностью (1 + К 2 ) -1 ) стандартные функционалы приводят к марковским полям типа Р (ф), интенсивно исследуемым в последние годы в связи с задачами конструктивной теории квантовых полей (см. [3]). Прибавление к СЛАФ вырожденного функционала не меняет конструируемого при помощи этого функционала марковского поля. Таким образом,; основной результат статьи доказывает невозможность в рамках рассматриваемого метода расширить класс известных стационарных полей и в этом смысле его надо трактовать как негативный. Мы будем далее считать известными определения и обозначения, введенные в статье [1]. 2. Описание функционален со ЕШЕЧС-ч х:ями )' (1? пг ) Введем некоторые обозначения. Пусть (см. обозначения 4 из [1]) & совокупность всех З г функций у: / 0 ->- { 1, 0, 1} со значениями 1, О, 1. Положим $~1 = {у е $~: Т (0 = 0, если и только если I е /}, при у е 5~ 1 0 положим а (у) = 0.

2 490 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Гранью Г (у, У), у ЕЕ $~, параллелепипеда 7 ЕЕ 2^ (см. (2.4) из [1]) будем называть множество Г (у, У) = {ж = (ж 1,..., ж г ) ЕЕ К*: а* ^ ж* <; Ь\ если V (0 = 0> я* а1 > если если Т (0 = 1> ^ = &*» 7(0 = 1}. Размерность грани Г (у, V) при у ЕЕ <^Г;г равна, очевидно,; I /. Определим вектор 1 У (у) ЕЕ ВУ, у ЕЕ <^Г, V ЕЕ ^, равенством 2у (V) = = (& (V),., IV (V)), где IV (у) = 0, если у (0 = О, 2 1 (V) = а*,_если У у (г) = 1, 2у (т) = Ь г, если у (1) = 1. Ясно, что совокупность 2^1 параллельных граней Г (у, V), у ЕЕ 5~5> пр и фиксированном / может быть получена сдвигами на вектора /у (у), у ЕЕ ^Г/, из множества Г (/, V) = = {х = (ж 1,..., ж у ) ЕЕ ^: а* < ж { < Ъ\ если г ЕЕ /, я? 0, если I ЕЕ /} Обозначим через Т (/, V) С Д' 1 ' множество Г (/, 7) = {(х\ I ЕЕ /):ЕЕ Д 11 ' : о* < ж* < и*}, которое мы будем называть стандартной гранью для набора индексов /. Дадим теперь несколько определений. Функционал Ф и (Р) со значениями в Р' (Л пг ) такой, что Фп (Р) при всех V ЕЕ 2^ имеет вид (ср. (4.11) в [11) Фп (Р) = Ры(Ъ **) Р (Хх,..., ^), (2,1) где Р = Р (Я,1,..., Я ) симметричный по переменным Я/1,..., Я, ЕЕ ЕЕ Д* полином, постоянный вдоль диагонали, назовем стандартным функционалом, заданным полиномом Р. В системе координат (К 0,......Дп-О (см. [1, формулы (4.6)]) функционал (2.1) имеет вид Ф^(Р) = Р(К 1,...,К п. 1 )Р %у (К 0 ), V ЕЕ Г, и ==2,3,... (2.2) где (ср. (4.7) в [1]) Р некоторый полином. При п = 1 полином тождественно равен некоторой константе. Переходя к обратному преобразованию Фурье, соотношение (2.2) можно записать в виде Р-^ф1(Р} = ^(х й )х 2 я а # а 6 х, х = (*!,..., * _!), (2.3) «^ где ТУ некоторое натуральное число, а а (а ЕЕ А* ) некоторые комплексные числа. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 4.1 у [1], стандартный функционал, заданный полиномом Р, является симметричным диагональным аддитивным функционалом со значениями в )' (К т ),. имеющим Фурье-прообраз инвариантный относительно диагональных сдвигов. Функционал Ф = {Ф^, V ЕЕ ^} со значениями в )' (К ) назовем вырожденным, если при всех V ЕЕ У носитель зирр Р~ г Фп принадлежит 8У 1,, где эу граница множества V й V X... X V С К т - Очевидно, что стандартный функционал (2.1) невырожден. Пусть 7 ЕЕ / и Р 1 (Я,!,..., Х ) симметричный по переменным ^и.,., Я п ЕЕ Д г полином, постоянный вдоль /-диагонали. Ясно, что существует такой полином Р 1, что Аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) === {Ф^ (/, Р 1 ), V ЕЕ ^} со значениями в р' (Д ), у которого при всех V ЕЕ 2*" обобщенная функция

3 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 491 Ф^ (/, Р 1 ) допускает представление вида Ф1(1,Р 1 ) = Р^(1 ((Го^х^'^Д) 2 (-1)^> е^>), (2.4) ' ' ' " уе!г 7 где х^- х у. индикатор стандартной грани для набора индексов 1 Й а К 0 1 У (у) скалярное произведение векторов К 0 и IV (V) ЕЕ -й\, ; назовем I -стандартным] функционалом, заданным полиномом Р 1. В случае / == = 0 мы считаем по определению Р^(1 ((^0)ф) У) = 1- Теорема 2.1 А. Для любых п = 1, 2,..., / ЕЕ /, и любого симметричного по переменным К г,..., К п Е=. К"* [полинома Р 1 = Р 1 (А^,..., К п ) я постоянного вдоль 1-диагонали, существует и единствен такой аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) со значениями в )' (Н т ), что для любого V ЕЕ & выполняется равенство (2.4). Этот функционал является симметричным, диагональным и его Фуръе-прообраз диагонально инвариантен. При всех I Е= ^' этот функционал вырожден* Б. Для любого п = 1, 2,... и любого] симметричного] диагонального аддитивного функционала Ф п {Ф«, V ЕЕ 17'} со значениями в )' (Я т ),~ имеющего диагонально инвариантный Фуръе-прообраз, существует и единствен такой набор 3^п = {Р 1 (Х 15..., Я и ), / 6Е /} полиномов, симметричных 'по переменным Х г,..., К п ЕЕ ВУ и постоянных вдоль 1-диаго* нали, что при всех V Е= 'У' 1(1,Р 1 ). (2.5) Доказательство теоремы 2.1. Сначала докажем утверждение А. Назовем параллелепипеды У ь У 2 ЕЕ 2^ смежными, если множество VI р У 2 является (V 1)-мерной гранью каждого из них, Нетрудно доказать, что функционал со значениями в 9р' (Н т ), заданный на ^ и такой, что для любых смежных параллелепипедов У 15 У 2 6=2^ Ф^ = ФГ' + ФГ', (2.6) может быть однозначно продолжен до аддитивного функционала на кольце множеств V. Для функционалов вида (2.4) равенство (2.6) проверяется простой выкладкой, непосредственно использующей определение (2.4), Из аддитивности функционала Ф (/, Р 1 ) следует, что при проверке его симметричности, диагональности и т. д. достаточно рассматривать лишь случай V ЕЕ V й - Поэтому для доказательства диагональности функционала Ф (/, Р 1 ) достаточно показать, что при всех У ЕЕ 2^ и у ^^1, I ЕЕ /, , - - п (2.7) Соотношение (2.7) также проверяется непосредственной выкладкой. Эта же выкладка показывает, что при / ее /' ж V Е=^ носитель зирр,р~ 1 Фп (/, Р 1 ) принадлежит ду, а это влечет за собой вырожденность функционалов Ф (/, Р 1 ), I ЕЕ /'. Для доказательства того, что Фурьепрообраз функционалов Ф п (/, Р 1 ), I ЕЕ ^, диагонально инвариантен, достаточно показать, что для любых V ЕЕ 2^, Ф ЕЕ ) (Н т ) и I = (*,... Равенство (2.8) нетрудно проверить непосредственно. К1)х (х п)1))) (2-8) (Х]) (^)1)), ф),

4 492 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Докажем] утверждение В. Назовем ^-мерным остовом Г^ (У), /с = = О, 1,..., V, параллелепипеда У ЕЕ??' 0 объединение его граней размерности А. Будем говорить, что функционал Ф п (/с) = (Ф^ (К),- V ЕЕ УУ} сосредоточен на /с-мерном остове, если при всех У ЕЕ ^ зирр г-чьп (и) е';{4 = (*, х) ЕЕ а : х й ЕЕ 1У(У), х = о> е ж - а!а л. (2.9) Возможность разложения обобщенной функции Ф п, ; У ЕЕ ^ вида (2.5) и его единственность непосредственно вытекают из следующей леммы. Лемма 2.1. Пусть Ф (/с) Щ$1 (и), У ЕЕ Г} (и = О, 1,..., V) - функционал, удовлетворяющий условиям, теоремы 2.1 Б и сосредоточенный на ^-мерном остове. Тогда для всех / ЕЕ /& существуют такие полиномы Р 1 = Р 1 (К и......, К п ),] симметричные по переменным А, 15.,.< Х п ЕЕ К* и постоянные вдоль I -диагонали, что при всех УЕЕ^0 выполняется равенство Фп (К)= 51! Фп (I, Р 1 ) + 0# (А - 1), (2.10) г9е Ф п (/, Р 1 ) = (Ф^ (/, Р 1 ), У ЕЕ ( 2У} I -стандартный функционал,, заданный полиномом] Р 1, Ф п (/с 1) = {Ф^ (/с 1), У ЕЕ ^} при /с 5? 1 некоторый функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 2.1 Б \и сосредоточенный на (& \)-мерном остове, а при Ъ = О Ф п (Ъ - 1) = 0. Представление вида (2.10) единственно, Д о к а з а т е л ь с т в о] л е м м ы 2.1. Для каждого / ЕЕ /^ и < Е Д г обозначим Ж/ (I) гиперплоскость размерности / в пространстве Л тау, определяемую равенством X! (I) = (х = ^0, х) ЕЕ Д : (4 0 )? = «г, х = 0} С Ж = <Иа 8. Д ^, и.5?! (4) гиперплоскость размерности 1 / в пространстве ВУ, определяемую равенством ',.;$ %г («) - (ж ЕЕ Д V : х- г = * 3 }; отметим, что Жг (^) = Ж/ (^2)1 если (^ = (^)^. Щусть I ЕЕ Д 41, 7 ЕЕ 3^1, I ЕЕ / й,- /с = О, 1,..., V. Определим суженные спектральные функции Ф^ ( у) ЕЕ 25' (К т ) обобщенные функции, удовлетворяющие условию вирр Ф е (7) ЕЕ %1 (*) при всех 7 ЕЕ &х. (2.11) Фиксируем, для этого произвольную функцию ф ЕЕ 25 (Д'") и обозначим ф функцию из 25 (й у ), задаваемую] соотношением ф (х ) = ф (ж 0, 0). Пусть У ф наименьший из таких параллелепипедов У ЕЕ 2^, что зирр ф ^ У (2.12) (т. е. У ф пересечение всех параллелепипедов У ЕЕ 2^» для которых выполняется соотношение (2.12)). Пусть % ^ * совокупность всех таких параллелепипедов У ЕЕ?7, что Г (V, У) ЕЕ & (*),, У Ф (~ г^ (У) ^ с: Г (7, У), У Ф П Г»:-! (У) = 0 (при /г = 0 последнее условие не нужно). Суженную спектральную функцию Ф г (7) определим равенством (Ф< (V),. Ф) = (^гфп (А), Ф), V ЕЕ С '. (2-13)

5 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 493 В случае /с = V, очевидно, определение (2.13) совпадает с определением (4.1) из [1] спектральной функции Ф ЕЕ 3)' (К ). Нетрудно проверить,; что определение (2.13) корректно в том смысле, что левая часть в (2.13) не зависит от выбора параллелепипеда V ЕЕ %<р' ** Тот факт, что суженные спектральные функции являются линейными непрерывными функционалами над 2) (Н т ), доказывается аналогично тому, ; как такой же факт был доказан в 4, [1] для самих спектральных функций. Пусть у ЕЕ <^~х удовлетворяет условию у 0 (0 = 0 при I ЕЕ /, у 0 (0 1 при г ЕЕ / Положим Ф г (/) = Ф 4 (у 0 ) и покажем, что при всех у ЕЕ ет/ справедливо равенство Ф 4 (-у) = ( 1)о(т) Ф 4 (/). (2.14) Пусть ^и 72 ЕЕ <^~1, / ЕЕ /', таковы, что ^ (I') = у 2 (О при некотором V ЕЕ / и VI (0 Та (О П Р И всех I ЕЕ / \ I'. Нетрудно проверить,; что Ф< (72) = Ф( (?0 Поскольку а (у 2 ) = о (VI), последовательное (не более чем V раз) применение этого соотношения приводит к равенству (2.14). Пусть и ЕЕ К*', будем обозначать через (и, 0) ЕЕ Я т вектор, заданный равенством (и, 0) = {х 0 = и, х = 0}, х = (^1?..., х п _^). Из диагональной инвариантности Фурье-прообраза Ф (/с) легко следует, что при всех * ЕЕ Я 4 Ф г (/) = ^(41 >0)Ф(/), (2.15) где Ф (/) = Ф 0 (/), а С/ ^ сдвиг на вектор (^, 0) в пространстве обобщенных функций 25' (Й ИЛ7 ) (см. (4.3) в [1]). Аналогичным образом доказывается, что обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ / м инвариантны, относительно сдвигов из гиперплоскости и/, т. е. для всех I ЕЕ К* Ф(/) = С7 ((1>0) Ф(/), /ЕЕ/,, (2.16) Таким образом, согласно лемме 4.2 из [1] при некотором натуральном числе N и некоторых комплексных числах а а (/), а ЕЕ ^^/!\> обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ /А, допускают представление вида (2-17) где х (/) обозначен набор переменных (Сг 0 )у, х г,..., х п - г ). Обозначим И 7 (ф) СГ /? Л ', Ф ЕЕ 25 (Д тал1 ), множество ^ (ф) = {*о ЕЕ Л^: (^0, 0) ЕЕ зирр Ф}; (2.18) пусть И^е (ф) замкнутая е-окрестностъ множества \У (ф). Зафиксируем такие параллелепипед V ЕЕ?/' 0, функцию ф ЕЕ 3) (Я т ) и в ^>- 0, что Т^е (Ф) П Г,_! (V) = 0 (2.19) (при /с = 0 условие (2.19) не нужно). Выберем конечный набор параллелепипедов У т, у ЕЕ,<у~1, /ЕЕ /,,, и У ;Ч / = 1,..., 5, принадлежащих ^, : так, чтобы где У 7, У^ внутренние части соответствующих параллелепипедов, и

6 494 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. при этом У 7 П Г, (У) с Г ( Т, У), т <= <Г;, / <= /*, (2.21) У г П IV* (У) = 0, т ЕЕ ^1, / = / (2.22) У, П Г, (У) = 0, У = 1,..., «(2.23) (при Ъ = 0 условие (2.22) не нужно). Пусть функции ф,у, ф, образуют разложение единицы на ТУ Е (ф) (см., например, [4, 1.2]) и носители о о вирр ф,у С Уу> 8 ирр ф ; - С У }. Положим ф т (х) = ф (х) ф 7 (# 0 ), ф; (х) = = ф (х) ф; (х 0). ЯСНО, ЧТО (А), Фт ) + 2 (Р~1 Фп (А), ф^). (2.24) з=1 По построению функций ф? справедливо соотношение У е % Ф ' У.17^ Е ^ / ^ А- Теперь, в силу (2.13), (^-1ФГ (А), ф,) = (Ф 1уМ (V), ф,). (2.25) Поскольку функционал Ф (/с) сосредоточен на й-мерном остове, из (2.13) следует, что (Р-4% (А), ф ; -) = 0, 7 = 1,..., 5. (2.26) Таким образом, применяя равенства (2.24) (2.26), а затем равенства (2.14), (2.15), получаем: (^ФХ(А), Ф )= 2 2 = 22 ( 1) <т(1>) ( г7 (гуад.о)ф(л. Фт)- (2-27) Обозначим Ф (/, У) ЕЕ 3)' (Е т ) обобщенную функцию (ср. (2.17)) В силу условий (2.21), (2.23) получаем равенство (^КуСй, о) Ф СО- Фт) = (#(1у<т>.-о) Ф (Д Ю. Фт) = (^(г у ы, о) Ф (/, У), ф)- (2.29) Заметим теперь, что ох, что совпадает с формулой (2.4). Используя этот факт и (2.27), (2.28), получаем С^Ф^(А)4Ф)= 2 ( 2 (- - 2 (^Ф^/.^.ф) (2.30) для любой функции ф ее 25 (й от ), для которой при некотором е ^> О' выполнено условие (2.19). При Н ^ 1 определим функционал Ф (/с 1) равенством ф^(а-1) = Ф^(А)- 2 Ф«(/,Р'), Уе^. (2.31)

7 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 495 Из (2.30) следует, что (Ф^ (& 1), ф) = 0, т. е. функционал Ф п (/с 1) сосредоточен на (& 1)-мерном остове. Наконец, из симметричности функционала Ф (&) следует симметричность суженных спектральных функций Ф (/), / ЕЕ //с, т. е. полиномы Р 1, I ЕЕ ^т симметричны по переменным Я,!,..., К п ЕЕ ЯУ. Докажем единственность разложения вида (2.10). Действительно, из (2.13) следует, что при замене в этом определении функционала Ф (&) на Ф (/с 1) суженные спектральные функции Ф (/), / ЕЕ /к, обратятся в нуль. Далее, при замене Ф п (К) на /* стандартный функционал Ф (/*, Р 1 '') суженные спектральные функции Ф (/), / ^= /*, также обратятся в нуль. Следовательно, в любом представлении вида (2.10) суженная спектральная функция Ф (/) для функционала Ф п (/с) и аналогичная функция, получающаяся при замене Ф п (/с) на Ф (/, Р 1 ), совпадают,; и этим однозначно задается полином Р*. Из соотношения (2.31) следует,, что однозначно определяется и функционал Ф (/с 1). Лемма 2.1 доказана, что и завершает доказательство теоремы Описание квадратично-интегрируемых функционалов В этом разделе, используя результаты 2, мы исследуем структуру СЛАФ от гауссовского поля ^. Пусть Р 1 = Р 1 (Яц..., Х п ) симметричный по переменным Я ь....., Я п ЕЕ ВУ полином, постоянный вдоль /-диагонали. Квадратично интегрируемый функционал Е п (Р 1 ) степени п назовем I-стандартным функционалом, заданным полиномом Р 1, если п-я компонента его спектрального представления является /-стандартным функционалом со значениями в )' (К ), заданным полиномом Р 1. В частности^ / 0 стандартный функционал будем называть стандартным функционалом. Квадратично интегрируемый функционал 2 назовем вырожденным, если п-я компонента (п = 1, 2,...) его спектрального представления является вырожденным функционалом со значениями в )' (/? пг ). Из предложения 3.1 работы [1] следует, что функционал 3 вырожден, если и только если при каждом V ЕЕ ^ случайная величина Е (У) измерима относительно ст-алгебры ЗЗэу Стандартный функционал Е п (Р 1а ), заданный полиномом Р 1а, невырожден; /-стандартные функционалы Е (Р 1 ) вырождении при всех / ЕЕ /', п = 1, 2,..., Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть ^п = {Р п = РП (^и > ^И)> / ЕЕ /} такой набор полиномов, симметричных по переменным К 1:..., Х ЕЕ, что полином РП, / ЕЕ /,, постоянен вдоль /-диагонали. При V ЕЕ 2^ положим..., Я, п ) = (ЗЛ) ($ п (^1,... Д ) = Е <& (Хх,..., Х ). (3.2) 1^ Нетрудно проверить г что справедливо равенство Оу п (Ъ,..., К п ) = Р п (Ь ь..., К п ) Рху (К К п ), (3.3)

8 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. где р п (к,,...,?д = 2 РП (Ьь -Д п ) = 2 ^ (я«,..., я ) П (ь! +.. +?4). 1(&7 1е^ 1^1 (3.4) Пусть 3 такой квадратично интегрируемый функционал степени п,- что при всех V ЕЕ %У функционал Ф п задается равенством (2.1), где Р = = Р (А, ь..., Х ) некоторый полином. Будем говорить, что Е функционал,; заданный полиномом Р. Из теоремы 2.1, теоремы 3.1 работы [1], соотношений (3.1) (3.4) и условия квадратичной интегрируемости функционала (см. (2.7) из [1]) непосредственно вытекает следующий результат. Теорема 3.1. Пусть ^ стационарное гауссовское случайное поле,, спектральная плотность которого / (Я), К ЕЕ -Й Л), удовлетворяет условию (2.3) из [1]. А. Пусть Е квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Тогда существует и единствен такой набор д 5 = {.Р* = Р 1 п (Х 1(..., К п ), I ЕЕ (= /, п = 1, 2,...} полиномов Р п, симметричных по переменным Х х, ^П ёт -й г и постоянных вдоль 1-диагонали, что а(7)=5,е п (Р,7), 7еЕ^, (3.5) п=1 з9е 3 (Р ) = {Е (Р п, ; V), V е 2^} функционал степени п, заданный полиномом (3.4). При этом при всех V ^77 (*!)-* Су" (Ль.., Я ) И!, 1(Уп ) < оо.. п=1 Б. Ддл. любого набора полиномов 3 й, обладающего свойствами, перечисленными в пункте А и удовлетворяющего условию (3.6), равенство (3.5) определяет квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Вопрос о явном описании условий сходимости рядов (3.6) представляется трудным, и мы ограничимся исследованием условий конечности входящих в (3.6) интегралов А (^, V) = 1 Су" (Ьь,Д ) 1 (^п). (3.7) При этом мы будем в дальнейшем предполагать, что спектральная плотность / (X), Я ё= Л^ при некотором вещественном числе г и положительных постоянных С 0, Сц, 0 <^ С 0 ^ С х < оо, удовлетворяет условию С 0 (1 + I Ь ) г < / (Х)< С 1! (1 + К ) г. (3.8) Отметим, что почти не меняя построений, можно распространить дальнейшие результаты и на случай, когда при некоторых вещественном г и неотрицательном 3 выполняется условие' С (1 + 1п (1 + К ))Р (1 + М )' < / (Я)< С, ( п (1 + \К \ ))Р (1 + К \ )'\ (3.9) более слабое, чем условие (3.8) (ср. [5, 1]). Нам потребуется один специальный вариант известной теоремы «счета степеней» Вейнберга [6]. Для его формулировки введем некоторые обозначения, При фиксированных 7 ЕЕ / и К а N = {!,..., п} положим ) = {Р (К, I, 0), (} <= В. к^1л }, (3.10)

9 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 497 где (? = (д г, I ЕЕ I, <1к, & Е К, / ЕЕ / 0 ) семейство параллельных гиперплоскостей = д ь е к, у ЕЕ / 0 }. Пусть Р = Р (Я ь..., Х ) некоторый полином от переменных 2^,......,' Х ЕЕ /^ Обозначим, через йе р(к,у, о)р степень полинома, являющегося сужением полинома ^, на гиперплоскость?/'' (К, I, <?). (Вырожденный случай / = / 0 и.иг = га 1 исключается). В 4 будет показано (см. лемму 4.2), что 'при п. 'по мере] Лебега на Д1^+ Л степень йеду(л-,1,д)р принимает постоянное * значение; обозначим его Ае^к< х)р. Как нетрудно понять, явный алгоритм определения степени &е%(к, 1)Р состоит в следующем. Считая (что можно делать без ограничения общности), что пе^к, сделаем невырожденную линейную замену переменных, перейдя к переменным Л 1г..., К п ЕЕ таким, что А» г = Х г, г ЕЕ Х', ^п = Я,! А, п, и запишем полином Р(^1,..., Я, п ) в новых переменных как Р (Х,ц..., Х, п ). Тогда йе^(я, 1)Р это степень полинома от переменных Н ) & ЕЕ N \ К, /ЕЕ /в' ^п> * 6= -^о \ I* с коэффициентами, зависящими от <?, возникающего при подстановке значений К& = ^^, /се ^ К, /е /о> ^и = д\ ^ е /, в ^. В случае, когда К = 0 и / = 0, степень с1е (^ 1)Р совпадает с обычной степенью ае Р полинома Р. Предложение 3.1. Пусть $> п {Р РП (А, 1?..., ^ ), / Ег /} набор полиномов Р п, симметричных по переменным К г,..., К п ЕЕ В? и постоянных вдоль 1-диагонали, такой, что Р* п ф 0 при некотором I ЕЕ /. А. Для сходимости при всех V Е: V й интеграла А (У> п, V) необходимо и достаточно, чтобы для любой пары наборов индексов /ЕЕ/, КС2N (кроме пар, для которых I = / 0, К = п 1) 2йв 8к.1Р + (п- К ] ) (V + г) -^ + / < 0. (3.11) Б. В случае V + г ^> 0 условие (3.11) эквивалентно"~ : условию: при всех I С1 /о (кроме случая I = / 0, тг = 1) таких, что РП Ф О, 2ае е^ + и^ +г) _ / <0. (3.12) /7ри га = 1, / = / 0 неравенство (3.12) нужно заменить на условие г < 1«Доказательство предложения 3.1 содержится в 4 этой статьи. Из утверждения Б предложения 3.1 вытекает следующий факт. Теорема 3.2. Пусть Е квадратично интегрируемый СЛАФ от гауссовского случайного поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г ^ V. Тогда существует симметричные по переменным Х 1;..., Х ЕЕ ВУ и постоянные вдоль 1-диагонали полиномы Р П 1 / 6= /, такие, что ос 2 (V) = 2 И 2«(Рп, V), V ЕЕ ^, (3.13) и=1 1е/ з9е 3 (Р^) = {З и (Рй, У), V ЕЕ 2^} / стандартный функционал степени п, заданный полиномом Р п. Представление вида (3.13) единственно. Доказательство. Из утверждения А теоремы 3.1 следует, что интеграл Д ($>, V) сходится при всех V ЕЕ ^, /г = 1, 2,... Условие (3.11), примененное при V + г ;> 0 в случае, когда' полином Р п Ф 0, ; а все остальные полиномы РП = О, Г =/=/,/' сг: / 0, в силу утверждения Б

10 498 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. предложения 3.1 эквивалентно неравенству (3.12), поэтому из сходимости интеграла А (^п, V) следует сходимость при всех / ЕЕ / интегралов &(Р 1,У) = п \\01 (К,...,К )Ц? у 1 п ( п), У^^. (3.14) Таким образом, функционалы Е п (Р п ), / ЕЕ /, ге = 1, 2,..., также оказываются квадратично интегрируемыми. Теперь равенство (3.13) непосредственно следует из (3.5), что и доказывает теорему. Следующая теорема дает полное описание структуры СЛАФ от гауссовского обобщенного поля в случае V + г ^> 0 и полное описание функционалов конечного порядка в случае V + г = 0. Теорема 3.3. А. Для того чтобы квадратично интегрируемый функционал Е был СЛАФ конечного порядка N (Е) от гауссовского поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г^ V, необходимо и достаточно, чтобы при всех V ЕЕ ^ выполнялось равенство ЩЩ Е (7)= 2 2 %п(рп,у), (3.15) где З^ез, = {Р* п = Р* п (Х ь..., Я ), / ЕЕ /, п = 1,..., N (Е)} - такой набор полиномов, симметричных по переменным V. -., ^«ЕЕ и постоянных вдоль 1-диагонали, что Рп (*1,. -., Ч) = 0, если п (V + г) - / 1 > 0, (3.16) 2 дев Рп + п (V + г) \ I < 0, если п (V + г) - / < 0. Б. Если спектральная плотность / (X), Я ЕЕ В. 4, рассматриваемого случайного поля удовлетворяет условию (3.8) при г ^> V, то все СЛАФ от этого поля имеют конечный порядок N (2) ^ [V(V + г)" 1 ] (как и обычно, через [х] обозначена целая часть х). Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.1, 3.2 и предложения 3.1. Остановимся на некоторых примерах. В случае необобщенного случайного поля ^ = {^ (х), х ЕЕ В"} (т. е. \ / (А,) ак<^ оо) стандартный функн^7 ционал, заданный полиномом РП = сопзъ, имеет вид ^ Н п (^ (х)) ах, V где Н п полином Эрмита. Если поле ^ имеет некоторое число производных в среднем квадратичном, СЛАФ будет также ^ фф а^(а:),аее V ЕЕ А) их, где А соответствующее множество мультииндексов. Разлагая функцию ф в ряд по полиномам Эрмита и используя формулу (2.8) из [1], нетрудно записать п-ю компоненту, спектрального представления этого функционала в виде Р п (Я, ь..., Я ) Р% у (Х х Ь п ). г Д е Р п полином, симметричный по переменным Х ь..., Х и ЕЕ Д у. Для того чтобы явно по лучить разложение этого функционала вида (2.5), запишем полином Р п в виде 2 (П и) Рп (&,)!, Я ь..., Сг) (3-17) так, чтобы слагаемое в (3.17) являлось суммой мономов полинома Р п, содержащих переменные Яд, I ЕЕ I, и не содержащих переменные Х^. I

11 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 499 /. Ясно, что полиномы постоянны вдоль /-диагонали; они и являются полиномами, входящими в (2.5). В частности, функционал со спектральным представлением ^1^Ру,у (Ям + А 2 ) (V = 1) является суммой стандартного функционала, заданного полиномом г / 4 (Я г Я 2 ) 2, и /-стандартного функционала при 1 0* заданного полиномом х / 4 (^ + ^) 2 - Простой подсчет (ср. 4) показывает, что эти функционалы являются квадратично интегрируемыми при г < 3, в то время как исходный при г < 5 / 2, т. е. при 3<^ <^ г < 5 /2 он не разлагается в сумму /-стандартных функционалов. Таким образом, теорема 3.2 не может быть перенесена на случай г < V и в предложении 4 заметки [7] нужно внести дополнительное условие г > > V. В применении к обобщенным случайным полям (т. е. в случае г ;> V) переход к спектральным представлениям оказывается единственно известным способом описания СЛАФ. После работы Нелсона [8] этот подход систематически используется (см., например, [2, 3]) для задания функционалов от свободного марковского'поля. Из теоремы 3.3 следует, что для этого поля при V = 2 существуют стандартные функционалы лишь при РП = сопя!. При] V = 2 порядок п может быть произвольным. При V = = 3 порядок п может быть равен лишь 1 и 2, а при V ;> 4 существуют лишь функционалы порядка п = 1. Такие функционалы давно известны и, хотя из теоремы 3.3 следует, что для свободного марковского поля дополнительно существуют вырожденные СЛАФ, это не расширяет возможностей построения новых марковских полей, поскольку добавление вырожденных функционалов не меняет строящихся при помощи СЛАФ (см. г например, [3, 12]) переходных вероятностей марковского поля. Описанный метод задания новых марковских полей может быть применен и к другим марковским гауссовским полям (по поводу их описания, см. [8 12]), поскольку полученные в этой статье результаты показывают существование для этих полей широкого класса СЛАФ. Хотя построенные таким образом негауссовские марковские поля не будут обладать свойствами, нужными для их использования в квантовой теории поля, они интересны с теоретико-вероятностной точки зрения. 4. Доказательство [предложения 3.1 Доказательство достаточности в утверждении А: обозначим А (5 а ) интеграл п) = $... 5 Р п (Ь ь... Д ) Р П X п X П Непосредственные оценки, основанные на явной формуле для/'^у (^ К п ) и условии (3.8), показывают, что при некоторых Су < оо

12 500 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. справедливо неравенство, УЕ^'Ф*. (4.2) Для оценки интеграла Д (У> п ) введем следующие обозначения. Обозначим через X систему из п + V гиперплоскостей Ь г = {(Х 1;..., К п ) ёее ЕЕ В. : К\ К\ = 0},_; ЕЕ /о, и Ь, = {(*!, -. *п) <= Д : Я - = = 0, г ЕЕ / }, /с ЕЕ./V. Через Ж обозначим систему всех гиперплоскостей Р (К, I) = Р (К, I, 0), где 0 начало координат в Д1^+ И г к С_ЛГ а / ЕЕ / (случай / = /о,.иг = тг 1 снова исключается). Ясно, что Ж это система всех не сводящихся к {0} пересечений гиперплоскостей из Ж (пересечение пустого числа элементов из X интерпретируется как все пространство Н т ). Далее обозначим через р ((К 1,..., К п ), Ь).евклидово расстояние от точки (^!*...,; Я, п ) ЕЕ Д ПЛ! до гиперплоскости Ь ЕЕ Ж и рассмотрим класс неотрицательных функций (Я, 1?.», А, ) на.й"\ допускающих представление вида ё (Ъ, Д и) = П ёъ (^ Д ) Р (М, -. -, Х ), (4.3) где Р некоторый неотрицательный полином, а функции ^, Ь непрерывны и таковы, что при р ((Х 1?..., К п ), Ь) -> с» и (Л-г, - -, Л, п ) == (Р ((^1, -, ^), ^)) а(ь) (1 + о (1)), (4.4) а а (Ь), Ь ЕЕ X, вещественные числа. Используя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 3 в [5] и лемму 4.3^ нетрудно показать, что для сходимости интеграла д = \... *} I необходимо и достаточно, чтобы при всех Р ^Е% выполнялось неравенство (4.5) где <Нт Р размерность гиперплоскости Р еее Ж. Очевидно, что интеграл Д (^п) принадлежит к описанному классу и к (Р (К, /)) = 2 ави*, 1>^п + (» - 1^ 1.) (V +.г) --'а» + 1 Г 1, (4.6) что вместе с оценкой (4.2) и доказывает достаточность условий (3.11). Отметим также, что все рассуждения, использованные в работе [13] для доказательства сходимости интеграла близкой структуры, дословно применимы и к интегралу Д (^п)- Доказательство необходимости в утверждении А. Нам потребуются следующие простые леммы.

13 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных полей 501 Лемма 4.1. Пусть в пространстве Н т задана гиперплоскость Н, (Нш Н = I,' I ^ т, проходящая через начало координат, и единичная сфера 3. Рассмотрим систему параллельных гиперплоскостей где Н^- ортогональное дополнение к Н и Н ((2) = {<? + п, п ЕЕ -й г }. каждого (} ЕЕ Я- 1 ц 5 ЕЕ 5 П -^ обозначим через е ($, (?) е (*, (?) = {# + из, 0 < и < оо). (4.7) Пусть (Я), Я 6Е Н т, неотрицательная измеримая функция и ^ (и) 8 +**$) Предположим^ что для почти для всех (? по мере Лебега на Н т ~ 1 равенство о и 1-1 % (и) аи = оо (4.8) справедливо для почти всех з по мере Лебега на 8 ["] Н. Тогда $... ^ (*,)<& = -оо. (4.9) Утверждение этой леммы становится очевидным, если при вычислении интеграла (4.9) по каждой из плоскостей // (()) перейти к сферическим координатам и затем применить теорему Фубини. Лемма 4.2. Пусть Ж система гиперплоскостей такая же, как и в лемме 4.1, и Р = Р (^..., 1 т ), (^,..., (1 т ) ^ К т, некоторый полином. Обозначим через Ае н(/^р степень полинома, являющегося сужением полинома Р на гиперплоскость П ((?). Тогда существует целое неотрицательное, число а = д.е х Р такое, что при почти всех (? по мере Лебега на К - 1. (4.10) Для доказательства этой леммы достаточно заметить, что множество совпадает с множеством нулей многочлена от (?, стоящего коэффициентом при старшей степени сужения многочлена Р на Н ((2), и поэтому является собственным алгебраическим подмножеством К т ~ 1, Лемма 4.3. Пусть 8 единичная сфера в пространстве В 1 и Р = = Р (ц, 1,..., (д, : ), (^А!,..., Ц[) ЕЕ Н 1, некоторый полином. Обозначим через йе 3 Р, 5 = ($!,..., я,) ЕЕ 5, степень полинома от и,, являющегося сужением полинома Р на луч 17 = {(изг,..., ия/), 0 < и < оо}, Тогда 3 при почти всех 5 по мере Лебега на 8 <1е 8 Р = йее Р. (4.11) Для доказательства этой леммы достаточно проверить, что множество {I ЕЕ И 1 : I = из, з (ЕЕ 5, 0<и<оо, йе 3 Р < с1е Р} является собст-

14 502 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. венным алгебраическим подмножеством В. 1 и воспользоваться теоремой Фубини в сферических координатах. Предположим теперь, что при некотором Р(К,1)Е=$ справедливо неравенство к (Р (К, /)) ^ 0. Используя леммы 4.2, 4.3 и оценку (3.8), нетрудно проверить, что сужение подынтегральной функции в интеграле Д (З^п, V) на луч е (я, <?), соответствующий системе гиперплоскостей Ж = Ч- (К, I), имеет вид / 8> <з (и) # 8; д (и), где / 8) <) (и) неотрицательная и не равная тождественно нулю периодическая функция, а функция &, 0 (и) > С 8, д и-м*. ') (4.12) при достаточно больших и, причем константа С в< о отлична от нуля при почти всех <? и 5. Теперь расходимость интеграла А (3^п, V) вытекает из леммы 4.1. Доказательство утверждения Б. Из равенства (4.6) видно, что при V + г > 0 и любых К С Н, Т е /, к (Р (К, Г)) ^к(р(0,1))=2 Деву Р п + п (V + г) - 2ч + \ Т \. Как уже отмечалось, полином Р п не зависит от переменных Яо, I Е= I Поэтому каждый из одночленов полинома РП (см. (3.4)) содержит переменные Хо, г ЕЕ /, и не содержит переменных ^, ге=/, и сокращение одночленов, входящих в разные слагаемые, в (3.4) невозможно. Следовательно,, при любом Т Е= / - шах йе^ Р* = А^Рп- Далее, ясно, что при любом Т ^ / так что <1е 1 Р 1 п = ае ё1^р1 п + \1\Т\, причем при Т = I это неравенство становится равенством, следовательно, тах к (Р(К,1)) = тах (2йе.Р^ + п (V + г) / ), а это и означает, что условия (3.11) и (3.12) эквивалентны. В случае ге = 1, 7 = / 0 предыдущие рассуждения претерпевают очевидные изменения, связанные с тем, что здесь условие (3.11) для случая / = / 0, К = 0 отсутствует. При, отом надо учесть, что &е% Р*-. = 0. ЛИТЕРАТУРА 1. Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. XXVIII, 1, с Саймон Б. Модель Р (ср) 2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, с. 3. Конструктивная теория поля. М.: Мир, 1977, 268 с. 4. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука., 1979, 318 с. 5. Малышев В. А. Асимптотика феймановских интегралов в евклидовой области.' Теор, и матем. физика, 1976, т. XXIX, 2, с

15 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных нолей УРетЪегз 8. Шдп^епегду ЪеЪаушг т диап1шп НеЫ Итогу. РЬуз. Кеу., 1960, V. 118, 3, р Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских обобщенных полей. Успехи матем. наук, 1979, т. 34, 5, с в 8. Ме1$оп Е. Сопз^гасИоп о! диап^шп НеЫз Лгот МаЛоН НеЫв. I. Рипс4. Апа!., 1973, V. 12, 1, р , V 9. Рш Ь. О. МаАоу ргорегъу 1ог С-аиззша ргосевзез шш а ти11;1(11теп81опа1 1;1те рагатегег. АгсЬ. На*. МесЬ. Апа!., 1971, V. 43, р , 10. Молчан Г. М. О характеризации гауссовских полей с марковским свойством. Докл. АН СССР, 1971, т. 197, 4, с Молчан Г. М. 1,-марковские гауссовские поля. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, 5, с Розанов Ю. А. Марковские случайные поля, М.: Наука, 1981, 254с. 13. НаНп У., 21ттегтапп IV. Ап е!етеп1агу ргоол о{ Вувоп'в ролуег сошшпд Шеогет.- Сотпшп. Ма1Ь. РЬув., 1968, V. 10, 4, р Поступила в редакцию ТАТ1СШАКУ ШСАЬ АОО1Т1УЕ Г1ШСТ1(ШАЬ8 ОК 6А^88IАN КАN^ОМ 1)ОВЛ1Г5 IX Я, Ь., КЕЬВЕВТ М.?. (МО8СО1Г) (Зитгпагу) \Уе сопшше Ше шуезцдайопв о^ 1Ье рарег [1] апй йевспье ехрнсшу Ше 1оса1 айй1йуе 1опсиопа18 оп С-аизв1ап гап<1от НеИв ^ = {^ (ф), <р е Ч) (Л у )} 1п *егтз о{ Шеаг гергезепшиоп Ьу теапв о! ти!ир1е в1осьаз11с \У1епег По 1п(;е га18.

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION Н. В. Чашников nioay.chashniov@gmai.com 3 декабря 011 г. Данный доклад основан на книге [1]. Приведены необходимые и достаточные условия сходимости стационарной схемы subdivision

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ 3 2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ Рассмотрим пару скалярных ПОСДУ с параметрами a i, σ i, ζ i, f i, i = 1, 2. ξ i (θ) = x + θ y i () = ζ i + a i (, ξ i (), y i (), z i ())d + θ f i (θ, ξ i (θ), y i (θ),

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк

СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Июль август, 2004. Том 45, 4 УДК 517.54 СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II Ю. Г. Решетняк Аннотация: Доказывается эквивалентность определений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx С. С. Платонов Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

Лекция 1. Вероятностное пространство

Лекция 1. Вероятностное пространство Лекция 1. Вероятностное пространство Введение (Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, К.Гаусс, П-С.Лаплас, С.Пуассон, П.Л.Чебышев, А.Н.Колмогоров и другие корифеи). Случайные эксперименты. Пространство

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита . СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Многочлены Чебышева - Эрмита Вводные замечания При решении многих важных задач математической физики, квантовой механики, теоретической физики приходится

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Май июнь, 23. Том 54, 3 УДК 57.53 О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Аннотация. В элементарных курсах математического анализа обычно приводится

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне утверждает, что среднее значение гауссовой (или скалярной) кривизны на двумерном многообразии не зависит от выбора метрики и определяется исключительно топологией

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1

Обновлено 4 сентября 2014 г. Лекция 1 Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Групповой анализ дифференциальных

Подробнее

Теоремы единственности для уравнения теплопроводности

Теоремы единственности для уравнения теплопроводности Доклады академии Наук СССР. 935, т. (VI), в. 5 А. Тихонов Теоремы единственности для уравнения теплопроводности (Представлено академиком Н. Н. Лузиным..935) Мы предлагаем здесь исследование вопроса о единственности

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ. ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Дополнительные главы алгебры и анализа. Бакалавр

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ. ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Дополнительные главы алгебры и анализа. Бакалавр Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д.Алиева» Кафедра алгебры и геометрии ФОНД

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Условные математические ожидания. Лекции по курсу «Статистическое моделировние»

Условные математические ожидания. Лекции по курсу «Статистическое моделировние» Условные математические ожидания. Лекции по курсу «Статистическое моделировние» В.В. Некруткин, 2012 Содержание 1 Определение и простейшие свойства 1 2 УМО относительно отображений и функция регрессии

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов.

С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. С.М.Никольский КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОМ 2 Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов. Написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A.

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A. àî ËÌ ÇÄ, 1998 BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES V A IL'IN A ide of costructig bsis, with respect to which oe c expd y vector of fiitedimesiol (eg, threedimesiol) spce, is pplied i the cse of

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ Ю. Ю. Линке, А. И.

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ Ю. Ю. Линке, А. И. Сибирский математический журнал Март апрель, 2009. Том 50, 2 УДК 519.237.5 АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ НЕВЫПОЛНЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ Ю. Ю.

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Теория меры, лекция 4: мера Лебега

Теория меры, лекция 4: мера Лебега Теория меры, лекция 4: мера Лебега Миша Вербицкий 14 марта 2015 НМУ 1 Булевы кольца (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булево кольцо есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. ЗАМЕЧАНИЕ: В булевом кольце

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Подробнее

Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Приложение к программе курса Теория вероятностей, прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Приложение к программе курса "Теория вероятностей", прочитанного В.В.Сенатовым весной 2009 г. О СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В данном приложении рассматриваются некоторые виды сходимости. В теории вероятностей

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

arxiv: v1 [math.fa] 22 Feb 2016

arxiv: v1 [math.fa] 22 Feb 2016 arxiv:1602.06738v1 [math.fa] 22 Feb 2016 Приближение линейных функционалов на пространстве с выпуклой мерой Д.В. Фуфаев Пусть (X, µ) - топологическое векторное пространство с заданной на нем вероятностной

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее