СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Том XXVIII И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ Выпуск СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ДОБРУХЦИН Р. Л., КЕЛЬВЕРТ М.Я. 1. Введение В нашей работе [1] задача описания стационарных локальных аддитивных функционалов (СЛАФ) от гауссовского стационарного случайного поля была сведена к задаче описания некоторого класса аддитивных функционалов, значениями которых являются обобщенные функции. В этой статье, продолжая исследование, начатое в [1], мы описываем такие функционалы явно. Основной результат состоит в том, что СЛАФ от гауссовского случайного поля представимы в виде суммы функционалов некоторого стандартного вида и вырожденных функционалов.; В случае обычных (т. е. необобщенных) случайных полей значение вырожденного функционала на параллелепипеде V зависит лишь от значений поля на границе этого параллелепипеда. Стандартные функционалы невырожденны; значением стандартного функционала на параллелепипеде V является интеграл по V от полинома Эрмита от значений поля и его производных, Во введении к работе [1] уже отмечалось, что особый интерес представляет изучение СЛАФ от гауссовских марковских случайных полей. Дело в том, что при помощи СЛАФ от таких полей можно (см* [2, 3]) задавать новые (вообще говоря, негауссовские) стационарные марковские случайные поля. Оказывается, однако, что в применении к свободному марковскому полю (т. е. гауссовскому стационарному полю со спектральной плотностью (1 + К 2 ) -1 ) стандартные функционалы приводят к марковским полям типа Р (ф), интенсивно исследуемым в последние годы в связи с задачами конструктивной теории квантовых полей (см. [3]). Прибавление к СЛАФ вырожденного функционала не меняет конструируемого при помощи этого функционала марковского поля. Таким образом,; основной результат статьи доказывает невозможность в рамках рассматриваемого метода расширить класс известных стационарных полей и в этом смысле его надо трактовать как негативный. Мы будем далее считать известными определения и обозначения, введенные в статье [1]. 2. Описание функционален со ЕШЕЧС-ч х:ями )' (1? пг ) Введем некоторые обозначения. Пусть (см. обозначения 4 из [1]) & совокупность всех З г функций у: / 0 ->- { 1, 0, 1} со значениями 1, О, 1. Положим $~1 = {у е $~: Т (0 = 0, если и только если I е /}, при у е 5~ 1 0 положим а (у) = 0.

2 490 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Гранью Г (у, У), у ЕЕ $~, параллелепипеда 7 ЕЕ 2^ (см. (2.4) из [1]) будем называть множество Г (у, У) = {ж = (ж 1,..., ж г ) ЕЕ К*: а* ^ ж* <; Ь\ если V (0 = 0> я* а1 > если если Т (0 = 1> ^ = &*» 7(0 = 1}. Размерность грани Г (у, V) при у ЕЕ <^Г;г равна, очевидно,; I /. Определим вектор 1 У (у) ЕЕ ВУ, у ЕЕ <^Г, V ЕЕ ^, равенством 2у (V) = = (& (V),., IV (V)), где IV (у) = 0, если у (0 = О, 2 1 (V) = а*,_если У у (г) = 1, 2у (т) = Ь г, если у (1) = 1. Ясно, что совокупность 2^1 параллельных граней Г (у, V), у ЕЕ 5~5> пр и фиксированном / может быть получена сдвигами на вектора /у (у), у ЕЕ ^Г/, из множества Г (/, V) = = {х = (ж 1,..., ж у ) ЕЕ ^: а* < ж { < Ъ\ если г ЕЕ /, я? 0, если I ЕЕ /} Обозначим через Т (/, V) С Д' 1 ' множество Г (/, 7) = {(х\ I ЕЕ /):ЕЕ Д 11 ' : о* < ж* < и*}, которое мы будем называть стандартной гранью для набора индексов /. Дадим теперь несколько определений. Функционал Ф и (Р) со значениями в Р' (Л пг ) такой, что Фп (Р) при всех V ЕЕ 2^ имеет вид (ср. (4.11) в [11) Фп (Р) = Ры(Ъ **) Р (Хх,..., ^), (2,1) где Р = Р (Я,1,..., Я ) симметричный по переменным Я/1,..., Я, ЕЕ ЕЕ Д* полином, постоянный вдоль диагонали, назовем стандартным функционалом, заданным полиномом Р. В системе координат (К 0,......Дп-О (см. [1, формулы (4.6)]) функционал (2.1) имеет вид Ф^(Р) = Р(К 1,...,К п. 1 )Р %у (К 0 ), V ЕЕ Г, и ==2,3,... (2.2) где (ср. (4.7) в [1]) Р некоторый полином. При п = 1 полином тождественно равен некоторой константе. Переходя к обратному преобразованию Фурье, соотношение (2.2) можно записать в виде Р-^ф1(Р} = ^(х й )х 2 я а # а 6 х, х = (*!,..., * _!), (2.3) «^ где ТУ некоторое натуральное число, а а (а ЕЕ А* ) некоторые комплексные числа. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 4.1 у [1], стандартный функционал, заданный полиномом Р, является симметричным диагональным аддитивным функционалом со значениями в )' (К т ),. имеющим Фурье-прообраз инвариантный относительно диагональных сдвигов. Функционал Ф = {Ф^, V ЕЕ ^} со значениями в )' (К ) назовем вырожденным, если при всех V ЕЕ У носитель зирр Р~ г Фп принадлежит 8У 1,, где эу граница множества V й V X... X V С К т - Очевидно, что стандартный функционал (2.1) невырожден. Пусть 7 ЕЕ / и Р 1 (Я,!,..., Х ) симметричный по переменным ^и.,., Я п ЕЕ Д г полином, постоянный вдоль /-диагонали. Ясно, что существует такой полином Р 1, что Аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) === {Ф^ (/, Р 1 ), V ЕЕ ^} со значениями в р' (Д ), у которого при всех V ЕЕ 2*" обобщенная функция

3 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 491 Ф^ (/, Р 1 ) допускает представление вида Ф1(1,Р 1 ) = Р^(1 ((Го^х^'^Д) 2 (-1)^> е^>), (2.4) ' ' ' " уе!г 7 где х^- х у. индикатор стандартной грани для набора индексов 1 Й а К 0 1 У (у) скалярное произведение векторов К 0 и IV (V) ЕЕ -й\, ; назовем I -стандартным] функционалом, заданным полиномом Р 1. В случае / == = 0 мы считаем по определению Р^(1 ((^0)ф) У) = 1- Теорема 2.1 А. Для любых п = 1, 2,..., / ЕЕ /, и любого симметричного по переменным К г,..., К п Е=. К"* [полинома Р 1 = Р 1 (А^,..., К п ) я постоянного вдоль 1-диагонали, существует и единствен такой аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) со значениями в )' (Н т ), что для любого V ЕЕ & выполняется равенство (2.4). Этот функционал является симметричным, диагональным и его Фуръе-прообраз диагонально инвариантен. При всех I Е= ^' этот функционал вырожден* Б. Для любого п = 1, 2,... и любого] симметричного] диагонального аддитивного функционала Ф п {Ф«, V ЕЕ 17'} со значениями в )' (Я т ),~ имеющего диагонально инвариантный Фуръе-прообраз, существует и единствен такой набор 3^п = {Р 1 (Х 15..., Я и ), / 6Е /} полиномов, симметричных 'по переменным Х г,..., К п ЕЕ ВУ и постоянных вдоль 1-диаго* нали, что при всех V Е= 'У' 1(1,Р 1 ). (2.5) Доказательство теоремы 2.1. Сначала докажем утверждение А. Назовем параллелепипеды У ь У 2 ЕЕ 2^ смежными, если множество VI р У 2 является (V 1)-мерной гранью каждого из них, Нетрудно доказать, что функционал со значениями в 9р' (Н т ), заданный на ^ и такой, что для любых смежных параллелепипедов У 15 У 2 6=2^ Ф^ = ФГ' + ФГ', (2.6) может быть однозначно продолжен до аддитивного функционала на кольце множеств V. Для функционалов вида (2.4) равенство (2.6) проверяется простой выкладкой, непосредственно использующей определение (2.4), Из аддитивности функционала Ф (/, Р 1 ) следует, что при проверке его симметричности, диагональности и т. д. достаточно рассматривать лишь случай V ЕЕ V й - Поэтому для доказательства диагональности функционала Ф (/, Р 1 ) достаточно показать, что при всех У ЕЕ 2^ и у ^^1, I ЕЕ /, , - - п (2.7) Соотношение (2.7) также проверяется непосредственной выкладкой. Эта же выкладка показывает, что при / ее /' ж V Е=^ носитель зирр,р~ 1 Фп (/, Р 1 ) принадлежит ду, а это влечет за собой вырожденность функционалов Ф (/, Р 1 ), I ЕЕ /'. Для доказательства того, что Фурьепрообраз функционалов Ф п (/, Р 1 ), I ЕЕ ^, диагонально инвариантен, достаточно показать, что для любых V ЕЕ 2^, Ф ЕЕ ) (Н т ) и I = (*,... Равенство (2.8) нетрудно проверить непосредственно. К1)х (х п)1))) (2-8) (Х]) (^)1)), ф),

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 492 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Докажем] утверждение В. Назовем ^-мерным остовом Г^ (У), /с = = О, 1,..., V, параллелепипеда У ЕЕ??' 0 объединение его граней размерности А. Будем говорить, что функционал Ф п (/с) = (Ф^ (К),- V ЕЕ УУ} сосредоточен на /с-мерном остове, если при всех У ЕЕ ^ зирр г-чьп (и) е';{4 = (*, х) ЕЕ а : х й ЕЕ 1У(У), х = о> е ж - а!а л. (2.9) Возможность разложения обобщенной функции Ф п, ; У ЕЕ ^ вида (2.5) и его единственность непосредственно вытекают из следующей леммы. Лемма 2.1. Пусть Ф (/с) Щ$1 (и), У ЕЕ Г} (и = О, 1,..., V) - функционал, удовлетворяющий условиям, теоремы 2.1 Б и сосредоточенный на ^-мерном остове. Тогда для всех / ЕЕ /& существуют такие полиномы Р 1 = Р 1 (К и......, К п ),] симметричные по переменным А, 15.,.< Х п ЕЕ К* и постоянные вдоль I -диагонали, что при всех УЕЕ^0 выполняется равенство Фп (К)= 51! Фп (I, Р 1 ) + 0# (А - 1), (2.10) г9е Ф п (/, Р 1 ) = (Ф^ (/, Р 1 ), У ЕЕ ( 2У} I -стандартный функционал,, заданный полиномом] Р 1, Ф п (/с 1) = {Ф^ (/с 1), У ЕЕ ^} при /с 5? 1 некоторый функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 2.1 Б \и сосредоточенный на (& \)-мерном остове, а при Ъ = О Ф п (Ъ - 1) = 0. Представление вида (2.10) единственно, Д о к а з а т е л ь с т в о] л е м м ы 2.1. Для каждого / ЕЕ /^ и < Е Д г обозначим Ж/ (I) гиперплоскость размерности / в пространстве Л тау, определяемую равенством X! (I) = (х = ^0, х) ЕЕ Д : (4 0 )? = «г, х = 0} С Ж = <Иа 8. Д ^, и.5?! (4) гиперплоскость размерности 1 / в пространстве ВУ, определяемую равенством ',.;$ %г («) - (ж ЕЕ Д V : х- г = * 3 }; отметим, что Жг (^) = Ж/ (^2)1 если (^ = (^)^. Щусть I ЕЕ Д 41, 7 ЕЕ 3^1, I ЕЕ / й,- /с = О, 1,..., V. Определим суженные спектральные функции Ф^ ( у) ЕЕ 25' (К т ) обобщенные функции, удовлетворяющие условию вирр Ф е (7) ЕЕ %1 (*) при всех 7 ЕЕ &х. (2.11) Фиксируем, для этого произвольную функцию ф ЕЕ 25 (Д'") и обозначим ф функцию из 25 (й у ), задаваемую] соотношением ф (х ) = ф (ж 0, 0). Пусть У ф наименьший из таких параллелепипедов У ЕЕ 2^, что зирр ф ^ У (2.12) (т. е. У ф пересечение всех параллелепипедов У ЕЕ 2^» для которых выполняется соотношение (2.12)). Пусть % ^ * совокупность всех таких параллелепипедов У ЕЕ?7, что Г (V, У) ЕЕ & (*),, У Ф (~ г^ (У) ^ с: Г (7, У), У Ф П Г»:-! (У) = 0 (при /г = 0 последнее условие не нужно). Суженную спектральную функцию Ф г (7) определим равенством (Ф< (V),. Ф) = (^гфп (А), Ф), V ЕЕ С '. (2-13)

5 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 493 В случае /с = V, очевидно, определение (2.13) совпадает с определением (4.1) из [1] спектральной функции Ф ЕЕ 3)' (К ). Нетрудно проверить,; что определение (2.13) корректно в том смысле, что левая часть в (2.13) не зависит от выбора параллелепипеда V ЕЕ %<р' ** Тот факт, что суженные спектральные функции являются линейными непрерывными функционалами над 2) (Н т ), доказывается аналогично тому, ; как такой же факт был доказан в 4, [1] для самих спектральных функций. Пусть у ЕЕ <^~х удовлетворяет условию у 0 (0 = 0 при I ЕЕ /, у 0 (0 1 при г ЕЕ / Положим Ф г (/) = Ф 4 (у 0 ) и покажем, что при всех у ЕЕ ет/ справедливо равенство Ф 4 (-у) = ( 1)о(т) Ф 4 (/). (2.14) Пусть ^и 72 ЕЕ <^~1, / ЕЕ /', таковы, что ^ (I') = у 2 (О при некотором V ЕЕ / и VI (0 Та (О П Р И всех I ЕЕ / \ I'. Нетрудно проверить,; что Ф< (72) = Ф( (?0 Поскольку а (у 2 ) = о (VI), последовательное (не более чем V раз) применение этого соотношения приводит к равенству (2.14). Пусть и ЕЕ К*', будем обозначать через (и, 0) ЕЕ Я т вектор, заданный равенством (и, 0) = {х 0 = и, х = 0}, х = (^1?..., х п _^). Из диагональной инвариантности Фурье-прообраза Ф (/с) легко следует, что при всех * ЕЕ Я 4 Ф г (/) = ^(41 >0)Ф(/), (2.15) где Ф (/) = Ф 0 (/), а С/ ^ сдвиг на вектор (^, 0) в пространстве обобщенных функций 25' (Й ИЛ7 ) (см. (4.3) в [1]). Аналогичным образом доказывается, что обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ / м инвариантны, относительно сдвигов из гиперплоскости и/, т. е. для всех I ЕЕ К* Ф(/) = С7 ((1>0) Ф(/), /ЕЕ/,, (2.16) Таким образом, согласно лемме 4.2 из [1] при некотором натуральном числе N и некоторых комплексных числах а а (/), а ЕЕ ^^/!\> обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ /А, допускают представление вида (2-17) где х (/) обозначен набор переменных (Сг 0 )у, х г,..., х п - г ). Обозначим И 7 (ф) СГ /? Л ', Ф ЕЕ 25 (Д тал1 ), множество ^ (ф) = {*о ЕЕ Л^: (^0, 0) ЕЕ зирр Ф}; (2.18) пусть И^е (ф) замкнутая е-окрестностъ множества \У (ф). Зафиксируем такие параллелепипед V ЕЕ?/' 0, функцию ф ЕЕ 3) (Я т ) и в ^>- 0, что Т^е (Ф) П Г,_! (V) = 0 (2.19) (при /с = 0 условие (2.19) не нужно). Выберем конечный набор параллелепипедов У т, у ЕЕ,<у~1, /ЕЕ /,,, и У ;Ч / = 1,..., 5, принадлежащих ^, : так, чтобы где У 7, У^ внутренние части соответствующих параллелепипедов, и

6 494 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. при этом У 7 П Г, (У) с Г ( Т, У), т <= <Г;, / <= /*, (2.21) У г П IV* (У) = 0, т ЕЕ ^1, / = / (2.22) У, П Г, (У) = 0, У = 1,..., «(2.23) (при Ъ = 0 условие (2.22) не нужно). Пусть функции ф,у, ф, образуют разложение единицы на ТУ Е (ф) (см., например, [4, 1.2]) и носители о о вирр ф,у С Уу> 8 ирр ф ; - С У }. Положим ф т (х) = ф (х) ф 7 (# 0 ), ф; (х) = = ф (х) ф; (х 0). ЯСНО, ЧТО (А), Фт ) + 2 (Р~1 Фп (А), ф^). (2.24) з=1 По построению функций ф? справедливо соотношение У е % Ф ' У.17^ Е ^ / ^ А- Теперь, в силу (2.13), (^-1ФГ (А), ф,) = (Ф 1уМ (V), ф,). (2.25) Поскольку функционал Ф (/с) сосредоточен на й-мерном остове, из (2.13) следует, что (Р-4% (А), ф ; -) = 0, 7 = 1,..., 5. (2.26) Таким образом, применяя равенства (2.24) (2.26), а затем равенства (2.14), (2.15), получаем: (^ФХ(А), Ф )= 2 2 = 22 ( 1) <т(1>) ( г7 (гуад.о)ф(л. Фт)- (2-27) Обозначим Ф (/, У) ЕЕ 3)' (Е т ) обобщенную функцию (ср. (2.17)) В силу условий (2.21), (2.23) получаем равенство (^КуСй, о) Ф СО- Фт) = (#(1у<т>.-о) Ф (Д Ю. Фт) = (^(г у ы, о) Ф (/, У), ф)- (2.29) Заметим теперь, что ох, что совпадает с формулой (2.4). Используя этот факт и (2.27), (2.28), получаем С^Ф^(А)4Ф)= 2 ( 2 (- - 2 (^Ф^/.^.ф) (2.30) для любой функции ф ее 25 (й от ), для которой при некотором е ^> О' выполнено условие (2.19). При Н ^ 1 определим функционал Ф (/с 1) равенством ф^(а-1) = Ф^(А)- 2 Ф«(/,Р'), Уе^. (2.31)

7 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 495 Из (2.30) следует, что (Ф^ (& 1), ф) = 0, т. е. функционал Ф п (/с 1) сосредоточен на (& 1)-мерном остове. Наконец, из симметричности функционала Ф (&) следует симметричность суженных спектральных функций Ф (/), / ЕЕ //с, т. е. полиномы Р 1, I ЕЕ ^т симметричны по переменным Я,!,..., К п ЕЕ ЯУ. Докажем единственность разложения вида (2.10). Действительно, из (2.13) следует, что при замене в этом определении функционала Ф (&) на Ф (/с 1) суженные спектральные функции Ф (/), / ЕЕ /к, обратятся в нуль. Далее, при замене Ф п (К) на /* стандартный функционал Ф (/*, Р 1 '') суженные спектральные функции Ф (/), / ^= /*, также обратятся в нуль. Следовательно, в любом представлении вида (2.10) суженная спектральная функция Ф (/) для функционала Ф п (/с) и аналогичная функция, получающаяся при замене Ф п (/с) на Ф (/, Р 1 ), совпадают,; и этим однозначно задается полином Р*. Из соотношения (2.31) следует,, что однозначно определяется и функционал Ф (/с 1). Лемма 2.1 доказана, что и завершает доказательство теоремы Описание квадратично-интегрируемых функционалов В этом разделе, используя результаты 2, мы исследуем структуру СЛАФ от гауссовского поля ^. Пусть Р 1 = Р 1 (Яц..., Х п ) симметричный по переменным Я ь....., Я п ЕЕ ВУ полином, постоянный вдоль /-диагонали. Квадратично интегрируемый функционал Е п (Р 1 ) степени п назовем I-стандартным функционалом, заданным полиномом Р 1, если п-я компонента его спектрального представления является /-стандартным функционалом со значениями в )' (К ), заданным полиномом Р 1. В частности^ / 0 стандартный функционал будем называть стандартным функционалом. Квадратично интегрируемый функционал 2 назовем вырожденным, если п-я компонента (п = 1, 2,...) его спектрального представления является вырожденным функционалом со значениями в )' (/? пг ). Из предложения 3.1 работы [1] следует, что функционал 3 вырожден, если и только если при каждом V ЕЕ ^ случайная величина Е (У) измерима относительно ст-алгебры ЗЗэу Стандартный функционал Е п (Р 1а ), заданный полиномом Р 1а, невырожден; /-стандартные функционалы Е (Р 1 ) вырождении при всех / ЕЕ /', п = 1, 2,..., Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть ^п = {Р п = РП (^и > ^И)> / ЕЕ /} такой набор полиномов, симметричных по переменным К 1:..., Х ЕЕ, что полином РП, / ЕЕ /,, постоянен вдоль /-диагонали. При V ЕЕ 2^ положим..., Я, п ) = (ЗЛ) ($ п (^1,... Д ) = Е <& (Хх,..., Х ). (3.2) 1^ Нетрудно проверить г что справедливо равенство Оу п (Ъ,..., К п ) = Р п (Ь ь..., К п ) Рху (К К п ), (3.3)

8 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. где р п (к,,...,?д = 2 РП (Ьь -Д п ) = 2 ^ (я«,..., я ) П (ь! +.. +?4). 1(&7 1е^ 1^1 (3.4) Пусть 3 такой квадратично интегрируемый функционал степени п,- что при всех V ЕЕ %У функционал Ф п задается равенством (2.1), где Р = = Р (А, ь..., Х ) некоторый полином. Будем говорить, что Е функционал,; заданный полиномом Р. Из теоремы 2.1, теоремы 3.1 работы [1], соотношений (3.1) (3.4) и условия квадратичной интегрируемости функционала (см. (2.7) из [1]) непосредственно вытекает следующий результат. Теорема 3.1. Пусть ^ стационарное гауссовское случайное поле,, спектральная плотность которого / (Я), К ЕЕ -Й Л), удовлетворяет условию (2.3) из [1]. А. Пусть Е квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Тогда существует и единствен такой набор д 5 = {.Р* = Р 1 п (Х 1(..., К п ), I ЕЕ (= /, п = 1, 2,...} полиномов Р п, симметричных по переменным Х х, ^П ёт -й г и постоянных вдоль 1-диагонали, что а(7)=5,е п (Р,7), 7еЕ^, (3.5) п=1 з9е 3 (Р ) = {Е (Р п, ; V), V е 2^} функционал степени п, заданный полиномом (3.4). При этом при всех V ^77 (*!)-* Су" (Ль.., Я ) И!, 1(Уп ) < оо.. п=1 Б. Ддл. любого набора полиномов 3 й, обладающего свойствами, перечисленными в пункте А и удовлетворяющего условию (3.6), равенство (3.5) определяет квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Вопрос о явном описании условий сходимости рядов (3.6) представляется трудным, и мы ограничимся исследованием условий конечности входящих в (3.6) интегралов А (^, V) = 1 Су" (Ьь,Д ) 1 (^п). (3.7) При этом мы будем в дальнейшем предполагать, что спектральная плотность / (X), Я ё= Л^ при некотором вещественном числе г и положительных постоянных С 0, Сц, 0 <^ С 0 ^ С х < оо, удовлетворяет условию С 0 (1 + I Ь ) г < / (Х)< С 1! (1 + К ) г. (3.8) Отметим, что почти не меняя построений, можно распространить дальнейшие результаты и на случай, когда при некоторых вещественном г и неотрицательном 3 выполняется условие' С (1 + 1п (1 + К ))Р (1 + М )' < / (Я)< С, ( п (1 + \К \ ))Р (1 + К \ )'\ (3.9) более слабое, чем условие (3.8) (ср. [5, 1]). Нам потребуется один специальный вариант известной теоремы «счета степеней» Вейнберга [6]. Для его формулировки введем некоторые обозначения, При фиксированных 7 ЕЕ / и К а N = {!,..., п} положим ) = {Р (К, I, 0), (} <= В. к^1л }, (3.10)

9 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 497 где (? = (д г, I ЕЕ I, <1к, & Е К, / ЕЕ / 0 ) семейство параллельных гиперплоскостей = д ь е к, у ЕЕ / 0 }. Пусть Р = Р (Я ь..., Х ) некоторый полином от переменных 2^,......,' Х ЕЕ /^ Обозначим, через йе р(к,у, о)р степень полинома, являющегося сужением полинома ^, на гиперплоскость?/'' (К, I, <?). (Вырожденный случай / = / 0 и.иг = га 1 исключается). В 4 будет показано (см. лемму 4.2), что 'при п. 'по мере] Лебега на Д1^+ Л степень йеду(л-,1,д)р принимает постоянное * значение; обозначим его Ае^к< х)р. Как нетрудно понять, явный алгоритм определения степени &е%(к, 1)Р состоит в следующем. Считая (что можно делать без ограничения общности), что пе^к, сделаем невырожденную линейную замену переменных, перейдя к переменным Л 1г..., К п ЕЕ таким, что А» г = Х г, г ЕЕ Х', ^п = Я,! А, п, и запишем полином Р(^1,..., Я, п ) в новых переменных как Р (Х,ц..., Х, п ). Тогда йе^(я, 1)Р это степень полинома от переменных Н ) & ЕЕ N \ К, /ЕЕ /в' ^п> * 6= -^о \ I* с коэффициентами, зависящими от <?, возникающего при подстановке значений К& = ^^, /се ^ К, /е /о> ^и = д\ ^ е /, в ^. В случае, когда К = 0 и / = 0, степень с1е (^ 1)Р совпадает с обычной степенью ае Р полинома Р. Предложение 3.1. Пусть $> п {Р РП (А, 1?..., ^ ), / Ег /} набор полиномов Р п, симметричных по переменным К г,..., К п ЕЕ В? и постоянных вдоль 1-диагонали, такой, что Р* п ф 0 при некотором I ЕЕ /. А. Для сходимости при всех V Е: V й интеграла А (У> п, V) необходимо и достаточно, чтобы для любой пары наборов индексов /ЕЕ/, КС2N (кроме пар, для которых I = / 0, К = п 1) 2йв 8к.1Р + (п- К ] ) (V + г) -^ + / < 0. (3.11) Б. В случае V + г ^> 0 условие (3.11) эквивалентно"~ : условию: при всех I С1 /о (кроме случая I = / 0, тг = 1) таких, что РП Ф О, 2ае е^ + и^ +г) _ / <0. (3.12) /7ри га = 1, / = / 0 неравенство (3.12) нужно заменить на условие г < 1«Доказательство предложения 3.1 содержится в 4 этой статьи. Из утверждения Б предложения 3.1 вытекает следующий факт. Теорема 3.2. Пусть Е квадратично интегрируемый СЛАФ от гауссовского случайного поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г ^ V. Тогда существует симметричные по переменным Х 1;..., Х ЕЕ ВУ и постоянные вдоль 1-диагонали полиномы Р П 1 / 6= /, такие, что ос 2 (V) = 2 И 2«(Рп, V), V ЕЕ ^, (3.13) и=1 1е/ з9е 3 (Р^) = {З и (Рй, У), V ЕЕ 2^} / стандартный функционал степени п, заданный полиномом Р п. Представление вида (3.13) единственно. Доказательство. Из утверждения А теоремы 3.1 следует, что интеграл Д ($>, V) сходится при всех V ЕЕ ^, /г = 1, 2,... Условие (3.11), примененное при V + г ;> 0 в случае, когда' полином Р п Ф 0, ; а все остальные полиномы РП = О, Г =/=/,/' сг: / 0, в силу утверждения Б

10 498 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. предложения 3.1 эквивалентно неравенству (3.12), поэтому из сходимости интеграла А (^п, V) следует сходимость при всех / ЕЕ / интегралов &(Р 1,У) = п \\01 (К,...,К )Ц? у 1 п ( п), У^^. (3.14) Таким образом, функционалы Е п (Р п ), / ЕЕ /, ге = 1, 2,..., также оказываются квадратично интегрируемыми. Теперь равенство (3.13) непосредственно следует из (3.5), что и доказывает теорему. Следующая теорема дает полное описание структуры СЛАФ от гауссовского обобщенного поля в случае V + г ^> 0 и полное описание функционалов конечного порядка в случае V + г = 0. Теорема 3.3. А. Для того чтобы квадратично интегрируемый функционал Е был СЛАФ конечного порядка N (Е) от гауссовского поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г^ V, необходимо и достаточно, чтобы при всех V ЕЕ ^ выполнялось равенство ЩЩ Е (7)= 2 2 %п(рп,у), (3.15) где З^ез, = {Р* п = Р* п (Х ь..., Я ), / ЕЕ /, п = 1,..., N (Е)} - такой набор полиномов, симметричных по переменным V. -., ^«ЕЕ и постоянных вдоль 1-диагонали, что Рп (*1,. -., Ч) = 0, если п (V + г) - / 1 > 0, (3.16) 2 дев Рп + п (V + г) \ I < 0, если п (V + г) - / < 0. Б. Если спектральная плотность / (X), Я ЕЕ В. 4, рассматриваемого случайного поля удовлетворяет условию (3.8) при г ^> V, то все СЛАФ от этого поля имеют конечный порядок N (2) ^ [V(V + г)" 1 ] (как и обычно, через [х] обозначена целая часть х). Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.1, 3.2 и предложения 3.1. Остановимся на некоторых примерах. В случае необобщенного случайного поля ^ = {^ (х), х ЕЕ В"} (т. е. \ / (А,) ак<^ оо) стандартный функн^7 ционал, заданный полиномом РП = сопзъ, имеет вид ^ Н п (^ (х)) ах, V где Н п полином Эрмита. Если поле ^ имеет некоторое число производных в среднем квадратичном, СЛАФ будет также ^ фф а^(а:),аее V ЕЕ А) их, где А соответствующее множество мультииндексов. Разлагая функцию ф в ряд по полиномам Эрмита и используя формулу (2.8) из [1], нетрудно записать п-ю компоненту, спектрального представления этого функционала в виде Р п (Я, ь..., Я ) Р% у (Х х Ь п ). г Д е Р п полином, симметричный по переменным Х ь..., Х и ЕЕ Д у. Для того чтобы явно по лучить разложение этого функционала вида (2.5), запишем полином Р п в виде 2 (П и) Рп (&,)!, Я ь..., Сг) (3-17) так, чтобы слагаемое в (3.17) являлось суммой мономов полинома Р п, содержащих переменные Яд, I ЕЕ I, и не содержащих переменные Х^. I

11 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 499 /. Ясно, что полиномы постоянны вдоль /-диагонали; они и являются полиномами, входящими в (2.5). В частности, функционал со спектральным представлением ^1^Ру,у (Ям + А 2 ) (V = 1) является суммой стандартного функционала, заданного полиномом г / 4 (Я г Я 2 ) 2, и /-стандартного функционала при 1 0* заданного полиномом х / 4 (^ + ^) 2 - Простой подсчет (ср. 4) показывает, что эти функционалы являются квадратично интегрируемыми при г < 3, в то время как исходный при г < 5 / 2, т. е. при 3<^ <^ г < 5 /2 он не разлагается в сумму /-стандартных функционалов. Таким образом, теорема 3.2 не может быть перенесена на случай г < V и в предложении 4 заметки [7] нужно внести дополнительное условие г > > V. В применении к обобщенным случайным полям (т. е. в случае г ;> V) переход к спектральным представлениям оказывается единственно известным способом описания СЛАФ. После работы Нелсона [8] этот подход систематически используется (см., например, [2, 3]) для задания функционалов от свободного марковского'поля. Из теоремы 3.3 следует, что для этого поля при V = 2 существуют стандартные функционалы лишь при РП = сопя!. При] V = 2 порядок п может быть произвольным. При V = = 3 порядок п может быть равен лишь 1 и 2, а при V ;> 4 существуют лишь функционалы порядка п = 1. Такие функционалы давно известны и, хотя из теоремы 3.3 следует, что для свободного марковского поля дополнительно существуют вырожденные СЛАФ, это не расширяет возможностей построения новых марковских полей, поскольку добавление вырожденных функционалов не меняет строящихся при помощи СЛАФ (см. г например, [3, 12]) переходных вероятностей марковского поля. Описанный метод задания новых марковских полей может быть применен и к другим марковским гауссовским полям (по поводу их описания, см. [8 12]), поскольку полученные в этой статье результаты показывают существование для этих полей широкого класса СЛАФ. Хотя построенные таким образом негауссовские марковские поля не будут обладать свойствами, нужными для их использования в квантовой теории поля, они интересны с теоретико-вероятностной точки зрения. 4. Доказательство [предложения 3.1 Доказательство достаточности в утверждении А: обозначим А (5 а ) интеграл п) = $... 5 Р п (Ь ь... Д ) Р П X п X П Непосредственные оценки, основанные на явной формуле для/'^у (^ К п ) и условии (3.8), показывают, что при некоторых Су < оо

12 500 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. справедливо неравенство, УЕ^'Ф*. (4.2) Для оценки интеграла Д (У> п ) введем следующие обозначения. Обозначим через X систему из п + V гиперплоскостей Ь г = {(Х 1;..., К п ) ёее ЕЕ В. : К\ К\ = 0},_; ЕЕ /о, и Ь, = {(*!, -. *п) <= Д : Я - = = 0, г ЕЕ / }, /с ЕЕ./V. Через Ж обозначим систему всех гиперплоскостей Р (К, I) = Р (К, I, 0), где 0 начало координат в Д1^+ И г к С_ЛГ а / ЕЕ / (случай / = /о,.иг = тг 1 снова исключается). Ясно, что Ж это система всех не сводящихся к {0} пересечений гиперплоскостей из Ж (пересечение пустого числа элементов из X интерпретируется как все пространство Н т ). Далее обозначим через р ((К 1,..., К п ), Ь).евклидово расстояние от точки (^!*...,; Я, п ) ЕЕ Д ПЛ! до гиперплоскости Ь ЕЕ Ж и рассмотрим класс неотрицательных функций (Я, 1?.», А, ) на.й"\ допускающих представление вида ё (Ъ, Д и) = П ёъ (^ Д ) Р (М, -. -, Х ), (4.3) где Р некоторый неотрицательный полином, а функции ^, Ь непрерывны и таковы, что при р ((Х 1?..., К п ), Ь) -> с» и (Л-г, - -, Л, п ) == (Р ((^1, -, ^), ^)) а(ь) (1 + о (1)), (4.4) а а (Ь), Ь ЕЕ X, вещественные числа. Используя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 3 в [5] и лемму 4.3^ нетрудно показать, что для сходимости интеграла д = \... *} I необходимо и достаточно, чтобы при всех Р ^Е% выполнялось неравенство (4.5) где <Нт Р размерность гиперплоскости Р еее Ж. Очевидно, что интеграл Д (^п) принадлежит к описанному классу и к (Р (К, /)) = 2 ави*, 1>^п + (» - 1^ 1.) (V +.г) --'а» + 1 Г 1, (4.6) что вместе с оценкой (4.2) и доказывает достаточность условий (3.11). Отметим также, что все рассуждения, использованные в работе [13] для доказательства сходимости интеграла близкой структуры, дословно применимы и к интегралу Д (^п)- Доказательство необходимости в утверждении А. Нам потребуются следующие простые леммы.

13 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных полей 501 Лемма 4.1. Пусть в пространстве Н т задана гиперплоскость Н, (Нш Н = I,' I ^ т, проходящая через начало координат, и единичная сфера 3. Рассмотрим систему параллельных гиперплоскостей где Н^- ортогональное дополнение к Н и Н ((2) = {<? + п, п ЕЕ -й г }. каждого (} ЕЕ Я- 1 ц 5 ЕЕ 5 П -^ обозначим через е ($, (?) е (*, (?) = {# + из, 0 < и < оо). (4.7) Пусть (Я), Я 6Е Н т, неотрицательная измеримая функция и ^ (и) 8 +**$) Предположим^ что для почти для всех (? по мере Лебега на Н т ~ 1 равенство о и 1-1 % (и) аи = оо (4.8) справедливо для почти всех з по мере Лебега на 8 ["] Н. Тогда $... ^ (*,)<& = -оо. (4.9) Утверждение этой леммы становится очевидным, если при вычислении интеграла (4.9) по каждой из плоскостей // (()) перейти к сферическим координатам и затем применить теорему Фубини. Лемма 4.2. Пусть Ж система гиперплоскостей такая же, как и в лемме 4.1, и Р = Р (^..., 1 т ), (^,..., (1 т ) ^ К т, некоторый полином. Обозначим через Ае н(/^р степень полинома, являющегося сужением полинома Р на гиперплоскость П ((?). Тогда существует целое неотрицательное, число а = д.е х Р такое, что при почти всех (? по мере Лебега на К - 1. (4.10) Для доказательства этой леммы достаточно заметить, что множество совпадает с множеством нулей многочлена от (?, стоящего коэффициентом при старшей степени сужения многочлена Р на Н ((2), и поэтому является собственным алгебраическим подмножеством К т ~ 1, Лемма 4.3. Пусть 8 единичная сфера в пространстве В 1 и Р = = Р (ц, 1,..., (д, : ), (^А!,..., Ц[) ЕЕ Н 1, некоторый полином. Обозначим через йе 3 Р, 5 = ($!,..., я,) ЕЕ 5, степень полинома от и,, являющегося сужением полинома Р на луч 17 = {(изг,..., ия/), 0 < и < оо}, Тогда 3 при почти всех 5 по мере Лебега на 8 <1е 8 Р = йее Р. (4.11) Для доказательства этой леммы достаточно проверить, что множество {I ЕЕ И 1 : I = из, з (ЕЕ 5, 0<и<оо, йе 3 Р < с1е Р} является собст-

14 502 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. венным алгебраическим подмножеством В. 1 и воспользоваться теоремой Фубини в сферических координатах. Предположим теперь, что при некотором Р(К,1)Е=$ справедливо неравенство к (Р (К, /)) ^ 0. Используя леммы 4.2, 4.3 и оценку (3.8), нетрудно проверить, что сужение подынтегральной функции в интеграле Д (З^п, V) на луч е (я, <?), соответствующий системе гиперплоскостей Ж = Ч- (К, I), имеет вид / 8> <з (и) # 8; д (и), где / 8) <) (и) неотрицательная и не равная тождественно нулю периодическая функция, а функция &, 0 (и) > С 8, д и-м*. ') (4.12) при достаточно больших и, причем константа С в< о отлична от нуля при почти всех <? и 5. Теперь расходимость интеграла А (3^п, V) вытекает из леммы 4.1. Доказательство утверждения Б. Из равенства (4.6) видно, что при V + г > 0 и любых К С Н, Т е /, к (Р (К, Г)) ^к(р(0,1))=2 Деву Р п + п (V + г) - 2ч + \ Т \. Как уже отмечалось, полином Р п не зависит от переменных Яо, I Е= I Поэтому каждый из одночленов полинома РП (см. (3.4)) содержит переменные Хо, г ЕЕ /, и не содержит переменных ^, ге=/, и сокращение одночленов, входящих в разные слагаемые, в (3.4) невозможно. Следовательно,, при любом Т Е= / - шах йе^ Р* = А^Рп- Далее, ясно, что при любом Т ^ / так что <1е 1 Р 1 п = ае ё1^р1 п + \1\Т\, причем при Т = I это неравенство становится равенством, следовательно, тах к (Р(К,1)) = тах (2йе.Р^ + п (V + г) / ), а это и означает, что условия (3.11) и (3.12) эквивалентны. В случае ге = 1, 7 = / 0 предыдущие рассуждения претерпевают очевидные изменения, связанные с тем, что здесь условие (3.11) для случая / = / 0, К = 0 отсутствует. При, отом надо учесть, что &е% Р*-. = 0. ЛИТЕРАТУРА 1. Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. XXVIII, 1, с Саймон Б. Модель Р (ср) 2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, с. 3. Конструктивная теория поля. М.: Мир, 1977, 268 с. 4. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука., 1979, 318 с. 5. Малышев В. А. Асимптотика феймановских интегралов в евклидовой области.' Теор, и матем. физика, 1976, т. XXIX, 2, с

15 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных нолей УРетЪегз 8. Шдп^епегду ЪеЪаушг т диап1шп НеЫ Итогу. РЬуз. Кеу., 1960, V. 118, 3, р Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских обобщенных полей. Успехи матем. наук, 1979, т. 34, 5, с в 8. Ме1$оп Е. Сопз^гасИоп о! диап^шп НеЫз Лгот МаЛоН НеЫв. I. Рипс4. Апа!., 1973, V. 12, 1, р , V 9. Рш Ь. О. МаАоу ргорегъу 1ог С-аиззша ргосевзез шш а ти11;1(11теп81опа1 1;1те рагатегег. АгсЬ. На*. МесЬ. Апа!., 1971, V. 43, р , 10. Молчан Г. М. О характеризации гауссовских полей с марковским свойством. Докл. АН СССР, 1971, т. 197, 4, с Молчан Г. М. 1,-марковские гауссовские поля. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, 5, с Розанов Ю. А. Марковские случайные поля, М.: Наука, 1981, 254с. 13. НаНп У., 21ттегтапп IV. Ап е!етеп1агу ргоол о{ Вувоп'в ролуег сошшпд Шеогет.- Сотпшп. Ма1Ь. РЬув., 1968, V. 10, 4, р Поступила в редакцию ТАТ1СШАКУ ШСАЬ АОО1Т1УЕ Г1ШСТ1(ШАЬ8 ОК 6А^88IАN КАN^ОМ 1)ОВЛ1Г5 IX Я, Ь., КЕЬВЕВТ М.?. (МО8СО1Г) (Зитгпагу) \Уе сопшше Ше шуезцдайопв о^ 1Ье рарег [1] апй йевспье ехрнсшу Ше 1оса1 айй1йуе 1опсиопа18 оп С-аизв1ап гап<1от НеИв ^ = {^ (ф), <р е Ч) (Л у )} 1п *егтз о{ Шеаг гергезепшиоп Ьу теапв о! ти!ир1е в1осьаз11с \У1епег По 1п(;е га18.

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION

СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION СХОДИМОСТЬ СХЕМЫ SUBDIVISION Н. В. Чашников nioay.chashniov@gmai.com 3 декабря 011 г. Данный доклад основан на книге [1]. Приведены необходимые и достаточные условия сходимости стационарной схемы subdivision

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ

2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ 3 2.2 Теоремы сравнения для ПОСДУ Рассмотрим пару скалярных ПОСДУ с параметрами a i, σ i, ζ i, f i, i = 1, 2. ξ i (θ) = x + θ y i () = ζ i + a i (, ξ i (), y i (), z i ())d + θ f i (θ, ξ i (θ), y i (θ),

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Журнал технической физики, том XVIII, вып 7, 1948 А Н Тихонов, А А Самарский О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Г. Ш. Рубинштейн, Общее решение конечной системы линейных неравенств, УМН, 1954, том 9, выпуск 2(60), 171 177 Использование Общероссийского математического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

14. Компактные топологические пространства

14. Компактные топологические пространства 63 4. Компактные топологические пространства Известно что многие факты математического анализа основаны на одном свойстве отрезка числовой прямой которое называется леммой Гейне - Бореля -Лебега и заключается

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ 84 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 23. Специальный выпуск. УДК 517.928 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ c 23 О.П. Филатов 1 Приводятся условия, которые позволяют приближенно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда ЛЕКЦИЯ 1А Свойства измеримых множеств. Примеры вычисления меры. Отношение эквивалентности 0. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Подробнее

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ГЕГЕНБАУЭРА Н. О. Котелина nad775@yandex.ru 3 ноября 200 г. Выводится формула сложения для полиномов Гегенбауэра из формулы Грина для гармонических функций.. Обозначения

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр)

Московский физико-технический институт. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Московский физико-технический институт РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (II курс, I семестр) Москва 2002 Составитель Л.Д. Кудрявцев УДК 517 Рекомендуемые вопросы по курсу математического

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Занятия - 4 Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Пусть ψ = и ϕ = 3 4 Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ Доказать неравенство Шварца: для любых векторов α и

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок

О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок О конструктивной характеризации пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок А.П. Соколов В работе рассматриваются классы пороговых функций, инвариантных относительно групп перестановок.

Подробнее