СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Том XXVIII И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ Выпуск СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ДОБРУХЦИН Р. Л., КЕЛЬВЕРТ М.Я. 1. Введение В нашей работе [1] задача описания стационарных локальных аддитивных функционалов (СЛАФ) от гауссовского стационарного случайного поля была сведена к задаче описания некоторого класса аддитивных функционалов, значениями которых являются обобщенные функции. В этой статье, продолжая исследование, начатое в [1], мы описываем такие функционалы явно. Основной результат состоит в том, что СЛАФ от гауссовского случайного поля представимы в виде суммы функционалов некоторого стандартного вида и вырожденных функционалов.; В случае обычных (т. е. необобщенных) случайных полей значение вырожденного функционала на параллелепипеде V зависит лишь от значений поля на границе этого параллелепипеда. Стандартные функционалы невырожденны; значением стандартного функционала на параллелепипеде V является интеграл по V от полинома Эрмита от значений поля и его производных, Во введении к работе [1] уже отмечалось, что особый интерес представляет изучение СЛАФ от гауссовских марковских случайных полей. Дело в том, что при помощи СЛАФ от таких полей можно (см* [2, 3]) задавать новые (вообще говоря, негауссовские) стационарные марковские случайные поля. Оказывается, однако, что в применении к свободному марковскому полю (т. е. гауссовскому стационарному полю со спектральной плотностью (1 + К 2 ) -1 ) стандартные функционалы приводят к марковским полям типа Р (ф), интенсивно исследуемым в последние годы в связи с задачами конструктивной теории квантовых полей (см. [3]). Прибавление к СЛАФ вырожденного функционала не меняет конструируемого при помощи этого функционала марковского поля. Таким образом,; основной результат статьи доказывает невозможность в рамках рассматриваемого метода расширить класс известных стационарных полей и в этом смысле его надо трактовать как негативный. Мы будем далее считать известными определения и обозначения, введенные в статье [1]. 2. Описание функционален со ЕШЕЧС-ч х:ями )' (1? пг ) Введем некоторые обозначения. Пусть (см. обозначения 4 из [1]) & совокупность всех З г функций у: / 0 ->- { 1, 0, 1} со значениями 1, О, 1. Положим $~1 = {у е $~: Т (0 = 0, если и только если I е /}, при у е 5~ 1 0 положим а (у) = 0.

2 490 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Гранью Г (у, У), у ЕЕ $~, параллелепипеда 7 ЕЕ 2^ (см. (2.4) из [1]) будем называть множество Г (у, У) = {ж = (ж 1,..., ж г ) ЕЕ К*: а* ^ ж* <; Ь\ если V (0 = 0> я* а1 > если если Т (0 = 1> ^ = &*» 7(0 = 1}. Размерность грани Г (у, V) при у ЕЕ <^Г;г равна, очевидно,; I /. Определим вектор 1 У (у) ЕЕ ВУ, у ЕЕ <^Г, V ЕЕ ^, равенством 2у (V) = = (& (V),., IV (V)), где IV (у) = 0, если у (0 = О, 2 1 (V) = а*,_если У у (г) = 1, 2у (т) = Ь г, если у (1) = 1. Ясно, что совокупность 2^1 параллельных граней Г (у, V), у ЕЕ 5~5> пр и фиксированном / может быть получена сдвигами на вектора /у (у), у ЕЕ ^Г/, из множества Г (/, V) = = {х = (ж 1,..., ж у ) ЕЕ ^: а* < ж { < Ъ\ если г ЕЕ /, я? 0, если I ЕЕ /} Обозначим через Т (/, V) С Д' 1 ' множество Г (/, 7) = {(х\ I ЕЕ /):ЕЕ Д 11 ' : о* < ж* < и*}, которое мы будем называть стандартной гранью для набора индексов /. Дадим теперь несколько определений. Функционал Ф и (Р) со значениями в Р' (Л пг ) такой, что Фп (Р) при всех V ЕЕ 2^ имеет вид (ср. (4.11) в [11) Фп (Р) = Ры(Ъ **) Р (Хх,..., ^), (2,1) где Р = Р (Я,1,..., Я ) симметричный по переменным Я/1,..., Я, ЕЕ ЕЕ Д* полином, постоянный вдоль диагонали, назовем стандартным функционалом, заданным полиномом Р. В системе координат (К 0,......Дп-О (см. [1, формулы (4.6)]) функционал (2.1) имеет вид Ф^(Р) = Р(К 1,...,К п. 1 )Р %у (К 0 ), V ЕЕ Г, и ==2,3,... (2.2) где (ср. (4.7) в [1]) Р некоторый полином. При п = 1 полином тождественно равен некоторой константе. Переходя к обратному преобразованию Фурье, соотношение (2.2) можно записать в виде Р-^ф1(Р} = ^(х й )х 2 я а # а 6 х, х = (*!,..., * _!), (2.3) «^ где ТУ некоторое натуральное число, а а (а ЕЕ А* ) некоторые комплексные числа. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 4.1 у [1], стандартный функционал, заданный полиномом Р, является симметричным диагональным аддитивным функционалом со значениями в )' (К т ),. имеющим Фурье-прообраз инвариантный относительно диагональных сдвигов. Функционал Ф = {Ф^, V ЕЕ ^} со значениями в )' (К ) назовем вырожденным, если при всех V ЕЕ У носитель зирр Р~ г Фп принадлежит 8У 1,, где эу граница множества V й V X... X V С К т - Очевидно, что стандартный функционал (2.1) невырожден. Пусть 7 ЕЕ / и Р 1 (Я,!,..., Х ) симметричный по переменным ^и.,., Я п ЕЕ Д г полином, постоянный вдоль /-диагонали. Ясно, что существует такой полином Р 1, что Аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) === {Ф^ (/, Р 1 ), V ЕЕ ^} со значениями в р' (Д ), у которого при всех V ЕЕ 2*" обобщенная функция

3 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 491 Ф^ (/, Р 1 ) допускает представление вида Ф1(1,Р 1 ) = Р^(1 ((Го^х^'^Д) 2 (-1)^> е^>), (2.4) ' ' ' " уе!г 7 где х^- х у. индикатор стандартной грани для набора индексов 1 Й а К 0 1 У (у) скалярное произведение векторов К 0 и IV (V) ЕЕ -й\, ; назовем I -стандартным] функционалом, заданным полиномом Р 1. В случае / == = 0 мы считаем по определению Р^(1 ((^0)ф) У) = 1- Теорема 2.1 А. Для любых п = 1, 2,..., / ЕЕ /, и любого симметричного по переменным К г,..., К п Е=. К"* [полинома Р 1 = Р 1 (А^,..., К п ) я постоянного вдоль 1-диагонали, существует и единствен такой аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) со значениями в )' (Н т ), что для любого V ЕЕ & выполняется равенство (2.4). Этот функционал является симметричным, диагональным и его Фуръе-прообраз диагонально инвариантен. При всех I Е= ^' этот функционал вырожден* Б. Для любого п = 1, 2,... и любого] симметричного] диагонального аддитивного функционала Ф п {Ф«, V ЕЕ 17'} со значениями в )' (Я т ),~ имеющего диагонально инвариантный Фуръе-прообраз, существует и единствен такой набор 3^п = {Р 1 (Х 15..., Я и ), / 6Е /} полиномов, симметричных 'по переменным Х г,..., К п ЕЕ ВУ и постоянных вдоль 1-диаго* нали, что при всех V Е= 'У' 1(1,Р 1 ). (2.5) Доказательство теоремы 2.1. Сначала докажем утверждение А. Назовем параллелепипеды У ь У 2 ЕЕ 2^ смежными, если множество VI р У 2 является (V 1)-мерной гранью каждого из них, Нетрудно доказать, что функционал со значениями в 9р' (Н т ), заданный на ^ и такой, что для любых смежных параллелепипедов У 15 У 2 6=2^ Ф^ = ФГ' + ФГ', (2.6) может быть однозначно продолжен до аддитивного функционала на кольце множеств V. Для функционалов вида (2.4) равенство (2.6) проверяется простой выкладкой, непосредственно использующей определение (2.4), Из аддитивности функционала Ф (/, Р 1 ) следует, что при проверке его симметричности, диагональности и т. д. достаточно рассматривать лишь случай V ЕЕ V й - Поэтому для доказательства диагональности функционала Ф (/, Р 1 ) достаточно показать, что при всех У ЕЕ 2^ и у ^^1, I ЕЕ /, , - - п (2.7) Соотношение (2.7) также проверяется непосредственной выкладкой. Эта же выкладка показывает, что при / ее /' ж V Е=^ носитель зирр,р~ 1 Фп (/, Р 1 ) принадлежит ду, а это влечет за собой вырожденность функционалов Ф (/, Р 1 ), I ЕЕ /'. Для доказательства того, что Фурьепрообраз функционалов Ф п (/, Р 1 ), I ЕЕ ^, диагонально инвариантен, достаточно показать, что для любых V ЕЕ 2^, Ф ЕЕ ) (Н т ) и I = (*,... Равенство (2.8) нетрудно проверить непосредственно. К1)х (х п)1))) (2-8) (Х]) (^)1)), ф),

4 492 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Докажем] утверждение В. Назовем ^-мерным остовом Г^ (У), /с = = О, 1,..., V, параллелепипеда У ЕЕ??' 0 объединение его граней размерности А. Будем говорить, что функционал Ф п (/с) = (Ф^ (К),- V ЕЕ УУ} сосредоточен на /с-мерном остове, если при всех У ЕЕ ^ зирр г-чьп (и) е';{4 = (*, х) ЕЕ а : х й ЕЕ 1У(У), х = о> е ж - а!а л. (2.9) Возможность разложения обобщенной функции Ф п, ; У ЕЕ ^ вида (2.5) и его единственность непосредственно вытекают из следующей леммы. Лемма 2.1. Пусть Ф (/с) Щ$1 (и), У ЕЕ Г} (и = О, 1,..., V) - функционал, удовлетворяющий условиям, теоремы 2.1 Б и сосредоточенный на ^-мерном остове. Тогда для всех / ЕЕ /& существуют такие полиномы Р 1 = Р 1 (К и......, К п ),] симметричные по переменным А, 15.,.< Х п ЕЕ К* и постоянные вдоль I -диагонали, что при всех УЕЕ^0 выполняется равенство Фп (К)= 51! Фп (I, Р 1 ) + 0# (А - 1), (2.10) г9е Ф п (/, Р 1 ) = (Ф^ (/, Р 1 ), У ЕЕ ( 2У} I -стандартный функционал,, заданный полиномом] Р 1, Ф п (/с 1) = {Ф^ (/с 1), У ЕЕ ^} при /с 5? 1 некоторый функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 2.1 Б \и сосредоточенный на (& \)-мерном остове, а при Ъ = О Ф п (Ъ - 1) = 0. Представление вида (2.10) единственно, Д о к а з а т е л ь с т в о] л е м м ы 2.1. Для каждого / ЕЕ /^ и < Е Д г обозначим Ж/ (I) гиперплоскость размерности / в пространстве Л тау, определяемую равенством X! (I) = (х = ^0, х) ЕЕ Д : (4 0 )? = «г, х = 0} С Ж = <Иа 8. Д ^, и.5?! (4) гиперплоскость размерности 1 / в пространстве ВУ, определяемую равенством ',.;$ %г («) - (ж ЕЕ Д V : х- г = * 3 }; отметим, что Жг (^) = Ж/ (^2)1 если (^ = (^)^. Щусть I ЕЕ Д 41, 7 ЕЕ 3^1, I ЕЕ / й,- /с = О, 1,..., V. Определим суженные спектральные функции Ф^ ( у) ЕЕ 25' (К т ) обобщенные функции, удовлетворяющие условию вирр Ф е (7) ЕЕ %1 (*) при всех 7 ЕЕ &х. (2.11) Фиксируем, для этого произвольную функцию ф ЕЕ 25 (Д'") и обозначим ф функцию из 25 (й у ), задаваемую] соотношением ф (х ) = ф (ж 0, 0). Пусть У ф наименьший из таких параллелепипедов У ЕЕ 2^, что зирр ф ^ У (2.12) (т. е. У ф пересечение всех параллелепипедов У ЕЕ 2^» для которых выполняется соотношение (2.12)). Пусть % ^ * совокупность всех таких параллелепипедов У ЕЕ?7, что Г (V, У) ЕЕ & (*),, У Ф (~ г^ (У) ^ с: Г (7, У), У Ф П Г»:-! (У) = 0 (при /г = 0 последнее условие не нужно). Суженную спектральную функцию Ф г (7) определим равенством (Ф< (V),. Ф) = (^гфп (А), Ф), V ЕЕ С '. (2-13)

5 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 493 В случае /с = V, очевидно, определение (2.13) совпадает с определением (4.1) из [1] спектральной функции Ф ЕЕ 3)' (К ). Нетрудно проверить,; что определение (2.13) корректно в том смысле, что левая часть в (2.13) не зависит от выбора параллелепипеда V ЕЕ %<р' ** Тот факт, что суженные спектральные функции являются линейными непрерывными функционалами над 2) (Н т ), доказывается аналогично тому, ; как такой же факт был доказан в 4, [1] для самих спектральных функций. Пусть у ЕЕ <^~х удовлетворяет условию у 0 (0 = 0 при I ЕЕ /, у 0 (0 1 при г ЕЕ / Положим Ф г (/) = Ф 4 (у 0 ) и покажем, что при всех у ЕЕ ет/ справедливо равенство Ф 4 (-у) = ( 1)о(т) Ф 4 (/). (2.14) Пусть ^и 72 ЕЕ <^~1, / ЕЕ /', таковы, что ^ (I') = у 2 (О при некотором V ЕЕ / и VI (0 Та (О П Р И всех I ЕЕ / \ I'. Нетрудно проверить,; что Ф< (72) = Ф( (?0 Поскольку а (у 2 ) = о (VI), последовательное (не более чем V раз) применение этого соотношения приводит к равенству (2.14). Пусть и ЕЕ К*', будем обозначать через (и, 0) ЕЕ Я т вектор, заданный равенством (и, 0) = {х 0 = и, х = 0}, х = (^1?..., х п _^). Из диагональной инвариантности Фурье-прообраза Ф (/с) легко следует, что при всех * ЕЕ Я 4 Ф г (/) = ^(41 >0)Ф(/), (2.15) где Ф (/) = Ф 0 (/), а С/ ^ сдвиг на вектор (^, 0) в пространстве обобщенных функций 25' (Й ИЛ7 ) (см. (4.3) в [1]). Аналогичным образом доказывается, что обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ / м инвариантны, относительно сдвигов из гиперплоскости и/, т. е. для всех I ЕЕ К* Ф(/) = С7 ((1>0) Ф(/), /ЕЕ/,, (2.16) Таким образом, согласно лемме 4.2 из [1] при некотором натуральном числе N и некоторых комплексных числах а а (/), а ЕЕ ^^/!\> обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ /А, допускают представление вида (2-17) где х (/) обозначен набор переменных (Сг 0 )у, х г,..., х п - г ). Обозначим И 7 (ф) СГ /? Л ', Ф ЕЕ 25 (Д тал1 ), множество ^ (ф) = {*о ЕЕ Л^: (^0, 0) ЕЕ зирр Ф}; (2.18) пусть И^е (ф) замкнутая е-окрестностъ множества \У (ф). Зафиксируем такие параллелепипед V ЕЕ?/' 0, функцию ф ЕЕ 3) (Я т ) и в ^>- 0, что Т^е (Ф) П Г,_! (V) = 0 (2.19) (при /с = 0 условие (2.19) не нужно). Выберем конечный набор параллелепипедов У т, у ЕЕ,<у~1, /ЕЕ /,,, и У ;Ч / = 1,..., 5, принадлежащих ^, : так, чтобы где У 7, У^ внутренние части соответствующих параллелепипедов, и

6 494 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. при этом У 7 П Г, (У) с Г ( Т, У), т <= <Г;, / <= /*, (2.21) У г П IV* (У) = 0, т ЕЕ ^1, / = / (2.22) У, П Г, (У) = 0, У = 1,..., «(2.23) (при Ъ = 0 условие (2.22) не нужно). Пусть функции ф,у, ф, образуют разложение единицы на ТУ Е (ф) (см., например, [4, 1.2]) и носители о о вирр ф,у С Уу> 8 ирр ф ; - С У }. Положим ф т (х) = ф (х) ф 7 (# 0 ), ф; (х) = = ф (х) ф; (х 0). ЯСНО, ЧТО (А), Фт ) + 2 (Р~1 Фп (А), ф^). (2.24) з=1 По построению функций ф? справедливо соотношение У е % Ф ' У.17^ Е ^ / ^ А- Теперь, в силу (2.13), (^-1ФГ (А), ф,) = (Ф 1уМ (V), ф,). (2.25) Поскольку функционал Ф (/с) сосредоточен на й-мерном остове, из (2.13) следует, что (Р-4% (А), ф ; -) = 0, 7 = 1,..., 5. (2.26) Таким образом, применяя равенства (2.24) (2.26), а затем равенства (2.14), (2.15), получаем: (^ФХ(А), Ф )= 2 2 = 22 ( 1) <т(1>) ( г7 (гуад.о)ф(л. Фт)- (2-27) Обозначим Ф (/, У) ЕЕ 3)' (Е т ) обобщенную функцию (ср. (2.17)) В силу условий (2.21), (2.23) получаем равенство (^КуСй, о) Ф СО- Фт) = (#(1у<т>.-о) Ф (Д Ю. Фт) = (^(г у ы, о) Ф (/, У), ф)- (2.29) Заметим теперь, что ох, что совпадает с формулой (2.4). Используя этот факт и (2.27), (2.28), получаем С^Ф^(А)4Ф)= 2 ( 2 (- - 2 (^Ф^/.^.ф) (2.30) для любой функции ф ее 25 (й от ), для которой при некотором е ^> О' выполнено условие (2.19). При Н ^ 1 определим функционал Ф (/с 1) равенством ф^(а-1) = Ф^(А)- 2 Ф«(/,Р'), Уе^. (2.31)

7 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 495 Из (2.30) следует, что (Ф^ (& 1), ф) = 0, т. е. функционал Ф п (/с 1) сосредоточен на (& 1)-мерном остове. Наконец, из симметричности функционала Ф (&) следует симметричность суженных спектральных функций Ф (/), / ЕЕ //с, т. е. полиномы Р 1, I ЕЕ ^т симметричны по переменным Я,!,..., К п ЕЕ ЯУ. Докажем единственность разложения вида (2.10). Действительно, из (2.13) следует, что при замене в этом определении функционала Ф (&) на Ф (/с 1) суженные спектральные функции Ф (/), / ЕЕ /к, обратятся в нуль. Далее, при замене Ф п (К) на /* стандартный функционал Ф (/*, Р 1 '') суженные спектральные функции Ф (/), / ^= /*, также обратятся в нуль. Следовательно, в любом представлении вида (2.10) суженная спектральная функция Ф (/) для функционала Ф п (/с) и аналогичная функция, получающаяся при замене Ф п (/с) на Ф (/, Р 1 ), совпадают,; и этим однозначно задается полином Р*. Из соотношения (2.31) следует,, что однозначно определяется и функционал Ф (/с 1). Лемма 2.1 доказана, что и завершает доказательство теоремы Описание квадратично-интегрируемых функционалов В этом разделе, используя результаты 2, мы исследуем структуру СЛАФ от гауссовского поля ^. Пусть Р 1 = Р 1 (Яц..., Х п ) симметричный по переменным Я ь....., Я п ЕЕ ВУ полином, постоянный вдоль /-диагонали. Квадратично интегрируемый функционал Е п (Р 1 ) степени п назовем I-стандартным функционалом, заданным полиномом Р 1, если п-я компонента его спектрального представления является /-стандартным функционалом со значениями в )' (К ), заданным полиномом Р 1. В частности^ / 0 стандартный функционал будем называть стандартным функционалом. Квадратично интегрируемый функционал 2 назовем вырожденным, если п-я компонента (п = 1, 2,...) его спектрального представления является вырожденным функционалом со значениями в )' (/? пг ). Из предложения 3.1 работы [1] следует, что функционал 3 вырожден, если и только если при каждом V ЕЕ ^ случайная величина Е (У) измерима относительно ст-алгебры ЗЗэу Стандартный функционал Е п (Р 1а ), заданный полиномом Р 1а, невырожден; /-стандартные функционалы Е (Р 1 ) вырождении при всех / ЕЕ /', п = 1, 2,..., Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть ^п = {Р п = РП (^и > ^И)> / ЕЕ /} такой набор полиномов, симметричных по переменным К 1:..., Х ЕЕ, что полином РП, / ЕЕ /,, постоянен вдоль /-диагонали. При V ЕЕ 2^ положим..., Я, п ) = (ЗЛ) ($ п (^1,... Д ) = Е <& (Хх,..., Х ). (3.2) 1^ Нетрудно проверить г что справедливо равенство Оу п (Ъ,..., К п ) = Р п (Ь ь..., К п ) Рху (К К п ), (3.3)

8 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. где р п (к,,...,?д = 2 РП (Ьь -Д п ) = 2 ^ (я«,..., я ) П (ь! +.. +?4). 1(&7 1е^ 1^1 (3.4) Пусть 3 такой квадратично интегрируемый функционал степени п,- что при всех V ЕЕ %У функционал Ф п задается равенством (2.1), где Р = = Р (А, ь..., Х ) некоторый полином. Будем говорить, что Е функционал,; заданный полиномом Р. Из теоремы 2.1, теоремы 3.1 работы [1], соотношений (3.1) (3.4) и условия квадратичной интегрируемости функционала (см. (2.7) из [1]) непосредственно вытекает следующий результат. Теорема 3.1. Пусть ^ стационарное гауссовское случайное поле,, спектральная плотность которого / (Я), К ЕЕ -Й Л), удовлетворяет условию (2.3) из [1]. А. Пусть Е квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Тогда существует и единствен такой набор д 5 = {.Р* = Р 1 п (Х 1(..., К п ), I ЕЕ (= /, п = 1, 2,...} полиномов Р п, симметричных по переменным Х х, ^П ёт -й г и постоянных вдоль 1-диагонали, что а(7)=5,е п (Р,7), 7еЕ^, (3.5) п=1 з9е 3 (Р ) = {Е (Р п, ; V), V е 2^} функционал степени п, заданный полиномом (3.4). При этом при всех V ^77 (*!)-* Су" (Ль.., Я ) И!, 1(Уп ) < оо.. п=1 Б. Ддл. любого набора полиномов 3 й, обладающего свойствами, перечисленными в пункте А и удовлетворяющего условию (3.6), равенство (3.5) определяет квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Вопрос о явном описании условий сходимости рядов (3.6) представляется трудным, и мы ограничимся исследованием условий конечности входящих в (3.6) интегралов А (^, V) = 1 Су" (Ьь,Д ) 1 (^п). (3.7) При этом мы будем в дальнейшем предполагать, что спектральная плотность / (X), Я ё= Л^ при некотором вещественном числе г и положительных постоянных С 0, Сц, 0 <^ С 0 ^ С х < оо, удовлетворяет условию С 0 (1 + I Ь ) г < / (Х)< С 1! (1 + К ) г. (3.8) Отметим, что почти не меняя построений, можно распространить дальнейшие результаты и на случай, когда при некоторых вещественном г и неотрицательном 3 выполняется условие' С (1 + 1п (1 + К ))Р (1 + М )' < / (Я)< С, ( п (1 + \К \ ))Р (1 + К \ )'\ (3.9) более слабое, чем условие (3.8) (ср. [5, 1]). Нам потребуется один специальный вариант известной теоремы «счета степеней» Вейнберга [6]. Для его формулировки введем некоторые обозначения, При фиксированных 7 ЕЕ / и К а N = {!,..., п} положим ) = {Р (К, I, 0), (} <= В. к^1л }, (3.10)

9 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 497 где (? = (д г, I ЕЕ I, <1к, & Е К, / ЕЕ / 0 ) семейство параллельных гиперплоскостей = д ь е к, у ЕЕ / 0 }. Пусть Р = Р (Я ь..., Х ) некоторый полином от переменных 2^,......,' Х ЕЕ /^ Обозначим, через йе р(к,у, о)р степень полинома, являющегося сужением полинома ^, на гиперплоскость?/'' (К, I, <?). (Вырожденный случай / = / 0 и.иг = га 1 исключается). В 4 будет показано (см. лемму 4.2), что 'при п. 'по мере] Лебега на Д1^+ Л степень йеду(л-,1,д)р принимает постоянное * значение; обозначим его Ае^к< х)р. Как нетрудно понять, явный алгоритм определения степени &е%(к, 1)Р состоит в следующем. Считая (что можно делать без ограничения общности), что пе^к, сделаем невырожденную линейную замену переменных, перейдя к переменным Л 1г..., К п ЕЕ таким, что А» г = Х г, г ЕЕ Х', ^п = Я,! А, п, и запишем полином Р(^1,..., Я, п ) в новых переменных как Р (Х,ц..., Х, п ). Тогда йе^(я, 1)Р это степень полинома от переменных Н ) & ЕЕ N \ К, /ЕЕ /в' ^п> * 6= -^о \ I* с коэффициентами, зависящими от <?, возникающего при подстановке значений К& = ^^, /се ^ К, /е /о> ^и = д\ ^ е /, в ^. В случае, когда К = 0 и / = 0, степень с1е (^ 1)Р совпадает с обычной степенью ае Р полинома Р. Предложение 3.1. Пусть $> п {Р РП (А, 1?..., ^ ), / Ег /} набор полиномов Р п, симметричных по переменным К г,..., К п ЕЕ В? и постоянных вдоль 1-диагонали, такой, что Р* п ф 0 при некотором I ЕЕ /. А. Для сходимости при всех V Е: V й интеграла А (У> п, V) необходимо и достаточно, чтобы для любой пары наборов индексов /ЕЕ/, КС2N (кроме пар, для которых I = / 0, К = п 1) 2йв 8к.1Р + (п- К ] ) (V + г) -^ + / < 0. (3.11) Б. В случае V + г ^> 0 условие (3.11) эквивалентно"~ : условию: при всех I С1 /о (кроме случая I = / 0, тг = 1) таких, что РП Ф О, 2ае е^ + и^ +г) _ / <0. (3.12) /7ри га = 1, / = / 0 неравенство (3.12) нужно заменить на условие г < 1«Доказательство предложения 3.1 содержится в 4 этой статьи. Из утверждения Б предложения 3.1 вытекает следующий факт. Теорема 3.2. Пусть Е квадратично интегрируемый СЛАФ от гауссовского случайного поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г ^ V. Тогда существует симметричные по переменным Х 1;..., Х ЕЕ ВУ и постоянные вдоль 1-диагонали полиномы Р П 1 / 6= /, такие, что ос 2 (V) = 2 И 2«(Рп, V), V ЕЕ ^, (3.13) и=1 1е/ з9е 3 (Р^) = {З и (Рй, У), V ЕЕ 2^} / стандартный функционал степени п, заданный полиномом Р п. Представление вида (3.13) единственно. Доказательство. Из утверждения А теоремы 3.1 следует, что интеграл Д ($>, V) сходится при всех V ЕЕ ^, /г = 1, 2,... Условие (3.11), примененное при V + г ;> 0 в случае, когда' полином Р п Ф 0, ; а все остальные полиномы РП = О, Г =/=/,/' сг: / 0, в силу утверждения Б

10 498 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. предложения 3.1 эквивалентно неравенству (3.12), поэтому из сходимости интеграла А (^п, V) следует сходимость при всех / ЕЕ / интегралов &(Р 1,У) = п \\01 (К,...,К )Ц? у 1 п ( п), У^^. (3.14) Таким образом, функционалы Е п (Р п ), / ЕЕ /, ге = 1, 2,..., также оказываются квадратично интегрируемыми. Теперь равенство (3.13) непосредственно следует из (3.5), что и доказывает теорему. Следующая теорема дает полное описание структуры СЛАФ от гауссовского обобщенного поля в случае V + г ^> 0 и полное описание функционалов конечного порядка в случае V + г = 0. Теорема 3.3. А. Для того чтобы квадратично интегрируемый функционал Е был СЛАФ конечного порядка N (Е) от гауссовского поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г^ V, необходимо и достаточно, чтобы при всех V ЕЕ ^ выполнялось равенство ЩЩ Е (7)= 2 2 %п(рп,у), (3.15) где З^ез, = {Р* п = Р* п (Х ь..., Я ), / ЕЕ /, п = 1,..., N (Е)} - такой набор полиномов, симметричных по переменным V. -., ^«ЕЕ и постоянных вдоль 1-диагонали, что Рп (*1,. -., Ч) = 0, если п (V + г) - / 1 > 0, (3.16) 2 дев Рп + п (V + г) \ I < 0, если п (V + г) - / < 0. Б. Если спектральная плотность / (X), Я ЕЕ В. 4, рассматриваемого случайного поля удовлетворяет условию (3.8) при г ^> V, то все СЛАФ от этого поля имеют конечный порядок N (2) ^ [V(V + г)" 1 ] (как и обычно, через [х] обозначена целая часть х). Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.1, 3.2 и предложения 3.1. Остановимся на некоторых примерах. В случае необобщенного случайного поля ^ = {^ (х), х ЕЕ В"} (т. е. \ / (А,) ак<^ оо) стандартный функн^7 ционал, заданный полиномом РП = сопзъ, имеет вид ^ Н п (^ (х)) ах, V где Н п полином Эрмита. Если поле ^ имеет некоторое число производных в среднем квадратичном, СЛАФ будет также ^ фф а^(а:),аее V ЕЕ А) их, где А соответствующее множество мультииндексов. Разлагая функцию ф в ряд по полиномам Эрмита и используя формулу (2.8) из [1], нетрудно записать п-ю компоненту, спектрального представления этого функционала в виде Р п (Я, ь..., Я ) Р% у (Х х Ь п ). г Д е Р п полином, симметричный по переменным Х ь..., Х и ЕЕ Д у. Для того чтобы явно по лучить разложение этого функционала вида (2.5), запишем полином Р п в виде 2 (П и) Рп (&,)!, Я ь..., Сг) (3-17) так, чтобы слагаемое в (3.17) являлось суммой мономов полинома Р п, содержащих переменные Яд, I ЕЕ I, и не содержащих переменные Х^. I

11 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 499 /. Ясно, что полиномы постоянны вдоль /-диагонали; они и являются полиномами, входящими в (2.5). В частности, функционал со спектральным представлением ^1^Ру,у (Ям + А 2 ) (V = 1) является суммой стандартного функционала, заданного полиномом г / 4 (Я г Я 2 ) 2, и /-стандартного функционала при 1 0* заданного полиномом х / 4 (^ + ^) 2 - Простой подсчет (ср. 4) показывает, что эти функционалы являются квадратично интегрируемыми при г < 3, в то время как исходный при г < 5 / 2, т. е. при 3<^ <^ г < 5 /2 он не разлагается в сумму /-стандартных функционалов. Таким образом, теорема 3.2 не может быть перенесена на случай г < V и в предложении 4 заметки [7] нужно внести дополнительное условие г > > V. В применении к обобщенным случайным полям (т. е. в случае г ;> V) переход к спектральным представлениям оказывается единственно известным способом описания СЛАФ. После работы Нелсона [8] этот подход систематически используется (см., например, [2, 3]) для задания функционалов от свободного марковского'поля. Из теоремы 3.3 следует, что для этого поля при V = 2 существуют стандартные функционалы лишь при РП = сопя!. При] V = 2 порядок п может быть произвольным. При V = = 3 порядок п может быть равен лишь 1 и 2, а при V ;> 4 существуют лишь функционалы порядка п = 1. Такие функционалы давно известны и, хотя из теоремы 3.3 следует, что для свободного марковского поля дополнительно существуют вырожденные СЛАФ, это не расширяет возможностей построения новых марковских полей, поскольку добавление вырожденных функционалов не меняет строящихся при помощи СЛАФ (см. г например, [3, 12]) переходных вероятностей марковского поля. Описанный метод задания новых марковских полей может быть применен и к другим марковским гауссовским полям (по поводу их описания, см. [8 12]), поскольку полученные в этой статье результаты показывают существование для этих полей широкого класса СЛАФ. Хотя построенные таким образом негауссовские марковские поля не будут обладать свойствами, нужными для их использования в квантовой теории поля, они интересны с теоретико-вероятностной точки зрения. 4. Доказательство [предложения 3.1 Доказательство достаточности в утверждении А: обозначим А (5 а ) интеграл п) = $... 5 Р п (Ь ь... Д ) Р П X п X П Непосредственные оценки, основанные на явной формуле для/'^у (^ К п ) и условии (3.8), показывают, что при некоторых Су < оо

12 500 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. справедливо неравенство, УЕ^'Ф*. (4.2) Для оценки интеграла Д (У> п ) введем следующие обозначения. Обозначим через X систему из п + V гиперплоскостей Ь г = {(Х 1;..., К п ) ёее ЕЕ В. : К\ К\ = 0},_; ЕЕ /о, и Ь, = {(*!, -. *п) <= Д : Я - = = 0, г ЕЕ / }, /с ЕЕ./V. Через Ж обозначим систему всех гиперплоскостей Р (К, I) = Р (К, I, 0), где 0 начало координат в Д1^+ И г к С_ЛГ а / ЕЕ / (случай / = /о,.иг = тг 1 снова исключается). Ясно, что Ж это система всех не сводящихся к {0} пересечений гиперплоскостей из Ж (пересечение пустого числа элементов из X интерпретируется как все пространство Н т ). Далее обозначим через р ((К 1,..., К п ), Ь).евклидово расстояние от точки (^!*...,; Я, п ) ЕЕ Д ПЛ! до гиперплоскости Ь ЕЕ Ж и рассмотрим класс неотрицательных функций (Я, 1?.», А, ) на.й"\ допускающих представление вида ё (Ъ, Д и) = П ёъ (^ Д ) Р (М, -. -, Х ), (4.3) где Р некоторый неотрицательный полином, а функции ^, Ь непрерывны и таковы, что при р ((Х 1?..., К п ), Ь) -> с» и (Л-г, - -, Л, п ) == (Р ((^1, -, ^), ^)) а(ь) (1 + о (1)), (4.4) а а (Ь), Ь ЕЕ X, вещественные числа. Используя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 3 в [5] и лемму 4.3^ нетрудно показать, что для сходимости интеграла д = \... *} I необходимо и достаточно, чтобы при всех Р ^Е% выполнялось неравенство (4.5) где <Нт Р размерность гиперплоскости Р еее Ж. Очевидно, что интеграл Д (^п) принадлежит к описанному классу и к (Р (К, /)) = 2 ави*, 1>^п + (» - 1^ 1.) (V +.г) --'а» + 1 Г 1, (4.6) что вместе с оценкой (4.2) и доказывает достаточность условий (3.11). Отметим также, что все рассуждения, использованные в работе [13] для доказательства сходимости интеграла близкой структуры, дословно применимы и к интегралу Д (^п)- Доказательство необходимости в утверждении А. Нам потребуются следующие простые леммы.

13 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных полей 501 Лемма 4.1. Пусть в пространстве Н т задана гиперплоскость Н, (Нш Н = I,' I ^ т, проходящая через начало координат, и единичная сфера 3. Рассмотрим систему параллельных гиперплоскостей где Н^- ортогональное дополнение к Н и Н ((2) = {<? + п, п ЕЕ -й г }. каждого (} ЕЕ Я- 1 ц 5 ЕЕ 5 П -^ обозначим через е ($, (?) е (*, (?) = {# + из, 0 < и < оо). (4.7) Пусть (Я), Я 6Е Н т, неотрицательная измеримая функция и ^ (и) 8 +**$) Предположим^ что для почти для всех (? по мере Лебега на Н т ~ 1 равенство о и 1-1 % (и) аи = оо (4.8) справедливо для почти всех з по мере Лебега на 8 ["] Н. Тогда $... ^ (*,)<& = -оо. (4.9) Утверждение этой леммы становится очевидным, если при вычислении интеграла (4.9) по каждой из плоскостей // (()) перейти к сферическим координатам и затем применить теорему Фубини. Лемма 4.2. Пусть Ж система гиперплоскостей такая же, как и в лемме 4.1, и Р = Р (^..., 1 т ), (^,..., (1 т ) ^ К т, некоторый полином. Обозначим через Ае н(/^р степень полинома, являющегося сужением полинома Р на гиперплоскость П ((?). Тогда существует целое неотрицательное, число а = д.е х Р такое, что при почти всех (? по мере Лебега на К - 1. (4.10) Для доказательства этой леммы достаточно заметить, что множество совпадает с множеством нулей многочлена от (?, стоящего коэффициентом при старшей степени сужения многочлена Р на Н ((2), и поэтому является собственным алгебраическим подмножеством К т ~ 1, Лемма 4.3. Пусть 8 единичная сфера в пространстве В 1 и Р = = Р (ц, 1,..., (д, : ), (^А!,..., Ц[) ЕЕ Н 1, некоторый полином. Обозначим через йе 3 Р, 5 = ($!,..., я,) ЕЕ 5, степень полинома от и,, являющегося сужением полинома Р на луч 17 = {(изг,..., ия/), 0 < и < оо}, Тогда 3 при почти всех 5 по мере Лебега на 8 <1е 8 Р = йее Р. (4.11) Для доказательства этой леммы достаточно проверить, что множество {I ЕЕ И 1 : I = из, з (ЕЕ 5, 0<и<оо, йе 3 Р < с1е Р} является собст-

14 502 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. венным алгебраическим подмножеством В. 1 и воспользоваться теоремой Фубини в сферических координатах. Предположим теперь, что при некотором Р(К,1)Е=$ справедливо неравенство к (Р (К, /)) ^ 0. Используя леммы 4.2, 4.3 и оценку (3.8), нетрудно проверить, что сужение подынтегральной функции в интеграле Д (З^п, V) на луч е (я, <?), соответствующий системе гиперплоскостей Ж = Ч- (К, I), имеет вид / 8> <з (и) # 8; д (и), где / 8) <) (и) неотрицательная и не равная тождественно нулю периодическая функция, а функция &, 0 (и) > С 8, д и-м*. ') (4.12) при достаточно больших и, причем константа С в< о отлична от нуля при почти всех <? и 5. Теперь расходимость интеграла А (3^п, V) вытекает из леммы 4.1. Доказательство утверждения Б. Из равенства (4.6) видно, что при V + г > 0 и любых К С Н, Т е /, к (Р (К, Г)) ^к(р(0,1))=2 Деву Р п + п (V + г) - 2ч + \ Т \. Как уже отмечалось, полином Р п не зависит от переменных Яо, I Е= I Поэтому каждый из одночленов полинома РП (см. (3.4)) содержит переменные Хо, г ЕЕ /, и не содержит переменных ^, ге=/, и сокращение одночленов, входящих в разные слагаемые, в (3.4) невозможно. Следовательно,, при любом Т Е= / - шах йе^ Р* = А^Рп- Далее, ясно, что при любом Т ^ / так что <1е 1 Р 1 п = ае ё1^р1 п + \1\Т\, причем при Т = I это неравенство становится равенством, следовательно, тах к (Р(К,1)) = тах (2йе.Р^ + п (V + г) / ), а это и означает, что условия (3.11) и (3.12) эквивалентны. В случае ге = 1, 7 = / 0 предыдущие рассуждения претерпевают очевидные изменения, связанные с тем, что здесь условие (3.11) для случая / = / 0, К = 0 отсутствует. При, отом надо учесть, что &е% Р*-. = 0. ЛИТЕРАТУРА 1. Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. XXVIII, 1, с Саймон Б. Модель Р (ср) 2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, с. 3. Конструктивная теория поля. М.: Мир, 1977, 268 с. 4. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука., 1979, 318 с. 5. Малышев В. А. Асимптотика феймановских интегралов в евклидовой области.' Теор, и матем. физика, 1976, т. XXIX, 2, с

15 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных нолей УРетЪегз 8. Шдп^епегду ЪеЪаушг т диап1шп НеЫ Итогу. РЬуз. Кеу., 1960, V. 118, 3, р Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских обобщенных полей. Успехи матем. наук, 1979, т. 34, 5, с в 8. Ме1$оп Е. Сопз^гасИоп о! диап^шп НеЫз Лгот МаЛоН НеЫв. I. Рипс4. Апа!., 1973, V. 12, 1, р , V 9. Рш Ь. О. МаАоу ргорегъу 1ог С-аиззша ргосевзез шш а ти11;1(11теп81опа1 1;1те рагатегег. АгсЬ. На*. МесЬ. Апа!., 1971, V. 43, р , 10. Молчан Г. М. О характеризации гауссовских полей с марковским свойством. Докл. АН СССР, 1971, т. 197, 4, с Молчан Г. М. 1,-марковские гауссовские поля. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, 5, с Розанов Ю. А. Марковские случайные поля, М.: Наука, 1981, 254с. 13. НаНп У., 21ттегтапп IV. Ап е!етеп1агу ргоол о{ Вувоп'в ролуег сошшпд Шеогет.- Сотпшп. Ма1Ь. РЬув., 1968, V. 10, 4, р Поступила в редакцию ТАТ1СШАКУ ШСАЬ АОО1Т1УЕ Г1ШСТ1(ШАЬ8 ОК 6А^88IАN КАN^ОМ 1)ОВЛ1Г5 IX Я, Ь., КЕЬВЕВТ М.?. (МО8СО1Г) (Зитгпагу) \Уе сопшше Ше шуезцдайопв о^ 1Ье рарег [1] апй йевспье ехрнсшу Ше 1оса1 айй1йуе 1опсиопа18 оп С-аизв1ап гап<1от НеИв ^ = {^ (ф), <р е Ч) (Л у )} 1п *егтз о{ Шеаг гергезепшиоп Ьу теапв о! ти!ир1е в1осьаз11с \У1епег По 1п(;е га18.

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. Н. Бернштейн, Число корней системы уравнений, Функц. анализ и его прил., 1975, том 9, выпуск 3, 1 4 Использование Общероссийского математического портала

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Теоремы Витали и Безиковича.

Теоремы Витали и Безиковича. Тема 1 Теоремы Витали и Безиковича. Детали теории метрических и топологических пространств можно найти в [1], [2], [], [4], [5]. Напомним, что метрическим пространством называется пара (X, d), где X некоторое

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТ-

СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТ- ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ВЕ СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТ- I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением (х,у), и A: H H

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

ЗАМКНУТЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ЗАДАННОЙ УСЛОВНОЙ КРИВИЗНОЙ А. В. ПОГОРЕЛОЕ

ЗАМКНУТЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ЗАДАННОЙ УСЛОВНОЙ КРИВИЗНОЙ А. В. ПОГОРЕЛОЕ ЗАМКНУТЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ С ЗАДАННОЙ УСЛОВНОЙ КРИВИЗНОЙ А. В. ПОГОРЕЛОЕ Обычной кривизной выпуклой гиперповерхности на множестве М называется площадь (мера) сферического изображения гиперповерхности

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении)

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении) ЛЕКЦИЯ 2А Системы множеств. Элементы общей теории меры 1. Системы множеств Как вы помните, в лекции 2 построение общей теории меры велось исходя из алгебры измеримых множеств, а прямоугольники, исходя

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

О.А. Емец ОБ ОБЩЕМ ПОЛИПЕРЕСТАНОВОЧНОМ МНОГОГРАННИКЕ И НЕКОТОРЫХ ЕГО СВОЙСТВАХ. ? Т Спуслашская в?учла- I р.^ 'в а ч е с х а я бвблког.

О.А. Емец ОБ ОБЩЕМ ПОЛИПЕРЕСТАНОВОЧНОМ МНОГОГРАННИКЕ И НЕКОТОРЫХ ЕГО СВОЙСТВАХ. ? Т Спуслашская в?учла- I р.^ 'в а ч е с х а я бвблког. Министерство высшего и среднего специального образования Полтавский инженерно-строительный институт УДК 519.854.2 ", О.А. Емец ОБ ОБЩЕМ ПОЛИПЕРЕСТАНОВОЧНОМ МНОГОГРАННИКЕ И НЕКОТОРЫХ ЕГО СВОЙСТВАХ -< -7

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда ЛЕКЦИЯ 1А Свойства измеримых множеств. Примеры вычисления меры. Отношение эквивалентности 0. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal Math-Net.Ru All Russian mathematical portal A. L. Pavlov, Holomorphic factorization of polynomials, Sibirsk. Mat. Zh., 2016, Volume 57, Number 5, 1102 1108 DOI: http://dx.doi.org/10.17377/smzh.2016.57.515

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Л Е К Ц И Я 14 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал

Л Е К Ц И Я 14 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал Л Е К Ц И Я 4 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод Рассмотрим функционал J(ψ,ψ ) = ψ $ H ψ = dx ψ (x) H $ ψ(x), где x весь набор переменных

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

Подробнее

Тема: Тройной интеграл

Тема: Тройной интеграл Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл Лектор Рожкова С.В. 013 г. 8. Тройной интеграл 1. Задача приводящая к понятию тройного интеграла Пусть V замкнутая ограниченная область

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона *

Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона * Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 40 www.mai.ru/science/trudy/ УДК: 519.6 + 517.586 Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона * И. А. Шилин, В. А. Вестяк

Подробнее

Выпуклые множества и функции

Выпуклые множества и функции Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n ) будем обозначать

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 16 16.1. Спектральный радиус Пусть A унитальная банахова алгебра, a A ее элемент. Определение 16.1. Число r(a) = sup{ λ : λ σ(a)} называется спектральным радиусом

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Занятия - 4 Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Пусть ψ = и ϕ = 3 4 Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ Доказать неравенство Шварца: для любых векторов α и

Подробнее

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение)

Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ. 1. Тождества теории множеств (продолжение) Семинар Лекция 2 СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ 1. Тождества теории множеств (продолжение) Обсудим ещё некоторые утверждения теории множеств. Пусть A P, B P. Тогда Также нам понадобится, что A \ B = A (P

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK FOURIER SERIES M I VISHIK Represetatio of ay periodic fuctio as a sum of correspodig trigoometric series, kow as its Fourier series expasio, is discussed Parseval equatio is preseted: itegral of a squared

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В квантовой механике существует небольшое число задач, которые имеют физический смысл и могут быть решены точно. Физический смысл имеют следующие основные задачи: Задача о движении

Подробнее

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c 2009. О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Получены необходимые

Подробнее

Семинар 1. C*-алгебры.

Семинар 1. C*-алгебры. Семинар 1. C*-алгебры. C*-алгебры. Примеры и простейшие свойства Определение 1. Банаховой алгеброй (над полем C) называется банахово пространство над C, являющееся также ассоциативной алгеброй над C, в

Подробнее

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2000. Том 41, 5 УДК 514.13 ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Приводится пример

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. Г. Николаев, О телесных углах, под которыми виден многомерный эллипсоид, Матем. заметки, 1970, том 8, выпуск 5, 675 679 Использование Общероссийского

Подробнее