СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. 1. Введение"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Том XXVIII И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ Выпуск СТАЦИОНАРНЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ГАУССОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ДОБРУХЦИН Р. Л., КЕЛЬВЕРТ М.Я. 1. Введение В нашей работе [1] задача описания стационарных локальных аддитивных функционалов (СЛАФ) от гауссовского стационарного случайного поля была сведена к задаче описания некоторого класса аддитивных функционалов, значениями которых являются обобщенные функции. В этой статье, продолжая исследование, начатое в [1], мы описываем такие функционалы явно. Основной результат состоит в том, что СЛАФ от гауссовского случайного поля представимы в виде суммы функционалов некоторого стандартного вида и вырожденных функционалов.; В случае обычных (т. е. необобщенных) случайных полей значение вырожденного функционала на параллелепипеде V зависит лишь от значений поля на границе этого параллелепипеда. Стандартные функционалы невырожденны; значением стандартного функционала на параллелепипеде V является интеграл по V от полинома Эрмита от значений поля и его производных, Во введении к работе [1] уже отмечалось, что особый интерес представляет изучение СЛАФ от гауссовских марковских случайных полей. Дело в том, что при помощи СЛАФ от таких полей можно (см* [2, 3]) задавать новые (вообще говоря, негауссовские) стационарные марковские случайные поля. Оказывается, однако, что в применении к свободному марковскому полю (т. е. гауссовскому стационарному полю со спектральной плотностью (1 + К 2 ) -1 ) стандартные функционалы приводят к марковским полям типа Р (ф), интенсивно исследуемым в последние годы в связи с задачами конструктивной теории квантовых полей (см. [3]). Прибавление к СЛАФ вырожденного функционала не меняет конструируемого при помощи этого функционала марковского поля. Таким образом,; основной результат статьи доказывает невозможность в рамках рассматриваемого метода расширить класс известных стационарных полей и в этом смысле его надо трактовать как негативный. Мы будем далее считать известными определения и обозначения, введенные в статье [1]. 2. Описание функционален со ЕШЕЧС-ч х:ями )' (1? пг ) Введем некоторые обозначения. Пусть (см. обозначения 4 из [1]) & совокупность всех З г функций у: / 0 ->- { 1, 0, 1} со значениями 1, О, 1. Положим $~1 = {у е $~: Т (0 = 0, если и только если I е /}, при у е 5~ 1 0 положим а (у) = 0.

2 490 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Гранью Г (у, У), у ЕЕ $~, параллелепипеда 7 ЕЕ 2^ (см. (2.4) из [1]) будем называть множество Г (у, У) = {ж = (ж 1,..., ж г ) ЕЕ К*: а* ^ ж* <; Ь\ если V (0 = 0> я* а1 > если если Т (0 = 1> ^ = &*» 7(0 = 1}. Размерность грани Г (у, V) при у ЕЕ <^Г;г равна, очевидно,; I /. Определим вектор 1 У (у) ЕЕ ВУ, у ЕЕ <^Г, V ЕЕ ^, равенством 2у (V) = = (& (V),., IV (V)), где IV (у) = 0, если у (0 = О, 2 1 (V) = а*,_если У у (г) = 1, 2у (т) = Ь г, если у (1) = 1. Ясно, что совокупность 2^1 параллельных граней Г (у, V), у ЕЕ 5~5> пр и фиксированном / может быть получена сдвигами на вектора /у (у), у ЕЕ ^Г/, из множества Г (/, V) = = {х = (ж 1,..., ж у ) ЕЕ ^: а* < ж { < Ъ\ если г ЕЕ /, я? 0, если I ЕЕ /} Обозначим через Т (/, V) С Д' 1 ' множество Г (/, 7) = {(х\ I ЕЕ /):ЕЕ Д 11 ' : о* < ж* < и*}, которое мы будем называть стандартной гранью для набора индексов /. Дадим теперь несколько определений. Функционал Ф и (Р) со значениями в Р' (Л пг ) такой, что Фп (Р) при всех V ЕЕ 2^ имеет вид (ср. (4.11) в [11) Фп (Р) = Ры(Ъ **) Р (Хх,..., ^), (2,1) где Р = Р (Я,1,..., Я ) симметричный по переменным Я/1,..., Я, ЕЕ ЕЕ Д* полином, постоянный вдоль диагонали, назовем стандартным функционалом, заданным полиномом Р. В системе координат (К 0,......Дп-О (см. [1, формулы (4.6)]) функционал (2.1) имеет вид Ф^(Р) = Р(К 1,...,К п. 1 )Р %у (К 0 ), V ЕЕ Г, и ==2,3,... (2.2) где (ср. (4.7) в [1]) Р некоторый полином. При п = 1 полином тождественно равен некоторой константе. Переходя к обратному преобразованию Фурье, соотношение (2.2) можно записать в виде Р-^ф1(Р} = ^(х й )х 2 я а # а 6 х, х = (*!,..., * _!), (2.3) «^ где ТУ некоторое натуральное число, а а (а ЕЕ А* ) некоторые комплексные числа. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 4.1 у [1], стандартный функционал, заданный полиномом Р, является симметричным диагональным аддитивным функционалом со значениями в )' (К т ),. имеющим Фурье-прообраз инвариантный относительно диагональных сдвигов. Функционал Ф = {Ф^, V ЕЕ ^} со значениями в )' (К ) назовем вырожденным, если при всех V ЕЕ У носитель зирр Р~ г Фп принадлежит 8У 1,, где эу граница множества V й V X... X V С К т - Очевидно, что стандартный функционал (2.1) невырожден. Пусть 7 ЕЕ / и Р 1 (Я,!,..., Х ) симметричный по переменным ^и.,., Я п ЕЕ Д г полином, постоянный вдоль /-диагонали. Ясно, что существует такой полином Р 1, что Аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) === {Ф^ (/, Р 1 ), V ЕЕ ^} со значениями в р' (Д ), у которого при всех V ЕЕ 2*" обобщенная функция

3 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 491 Ф^ (/, Р 1 ) допускает представление вида Ф1(1,Р 1 ) = Р^(1 ((Го^х^'^Д) 2 (-1)^> е^>), (2.4) ' ' ' " уе!г 7 где х^- х у. индикатор стандартной грани для набора индексов 1 Й а К 0 1 У (у) скалярное произведение векторов К 0 и IV (V) ЕЕ -й\, ; назовем I -стандартным] функционалом, заданным полиномом Р 1. В случае / == = 0 мы считаем по определению Р^(1 ((^0)ф) У) = 1- Теорема 2.1 А. Для любых п = 1, 2,..., / ЕЕ /, и любого симметричного по переменным К г,..., К п Е=. К"* [полинома Р 1 = Р 1 (А^,..., К п ) я постоянного вдоль 1-диагонали, существует и единствен такой аддитивный функционал Ф п (/, Р 1 ) со значениями в )' (Н т ), что для любого V ЕЕ & выполняется равенство (2.4). Этот функционал является симметричным, диагональным и его Фуръе-прообраз диагонально инвариантен. При всех I Е= ^' этот функционал вырожден* Б. Для любого п = 1, 2,... и любого] симметричного] диагонального аддитивного функционала Ф п {Ф«, V ЕЕ 17'} со значениями в )' (Я т ),~ имеющего диагонально инвариантный Фуръе-прообраз, существует и единствен такой набор 3^п = {Р 1 (Х 15..., Я и ), / 6Е /} полиномов, симметричных 'по переменным Х г,..., К п ЕЕ ВУ и постоянных вдоль 1-диаго* нали, что при всех V Е= 'У' 1(1,Р 1 ). (2.5) Доказательство теоремы 2.1. Сначала докажем утверждение А. Назовем параллелепипеды У ь У 2 ЕЕ 2^ смежными, если множество VI р У 2 является (V 1)-мерной гранью каждого из них, Нетрудно доказать, что функционал со значениями в 9р' (Н т ), заданный на ^ и такой, что для любых смежных параллелепипедов У 15 У 2 6=2^ Ф^ = ФГ' + ФГ', (2.6) может быть однозначно продолжен до аддитивного функционала на кольце множеств V. Для функционалов вида (2.4) равенство (2.6) проверяется простой выкладкой, непосредственно использующей определение (2.4), Из аддитивности функционала Ф (/, Р 1 ) следует, что при проверке его симметричности, диагональности и т. д. достаточно рассматривать лишь случай V ЕЕ V й - Поэтому для доказательства диагональности функционала Ф (/, Р 1 ) достаточно показать, что при всех У ЕЕ 2^ и у ^^1, I ЕЕ /, , - - п (2.7) Соотношение (2.7) также проверяется непосредственной выкладкой. Эта же выкладка показывает, что при / ее /' ж V Е=^ носитель зирр,р~ 1 Фп (/, Р 1 ) принадлежит ду, а это влечет за собой вырожденность функционалов Ф (/, Р 1 ), I ЕЕ /'. Для доказательства того, что Фурьепрообраз функционалов Ф п (/, Р 1 ), I ЕЕ ^, диагонально инвариантен, достаточно показать, что для любых V ЕЕ 2^, Ф ЕЕ ) (Н т ) и I = (*,... Равенство (2.8) нетрудно проверить непосредственно. К1)х (х п)1))) (2-8) (Х]) (^)1)), ф),

4 492 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Докажем] утверждение В. Назовем ^-мерным остовом Г^ (У), /с = = О, 1,..., V, параллелепипеда У ЕЕ??' 0 объединение его граней размерности А. Будем говорить, что функционал Ф п (/с) = (Ф^ (К),- V ЕЕ УУ} сосредоточен на /с-мерном остове, если при всех У ЕЕ ^ зирр г-чьп (и) е';{4 = (*, х) ЕЕ а : х й ЕЕ 1У(У), х = о> е ж - а!а л. (2.9) Возможность разложения обобщенной функции Ф п, ; У ЕЕ ^ вида (2.5) и его единственность непосредственно вытекают из следующей леммы. Лемма 2.1. Пусть Ф (/с) Щ$1 (и), У ЕЕ Г} (и = О, 1,..., V) - функционал, удовлетворяющий условиям, теоремы 2.1 Б и сосредоточенный на ^-мерном остове. Тогда для всех / ЕЕ /& существуют такие полиномы Р 1 = Р 1 (К и......, К п ),] симметричные по переменным А, 15.,.< Х п ЕЕ К* и постоянные вдоль I -диагонали, что при всех УЕЕ^0 выполняется равенство Фп (К)= 51! Фп (I, Р 1 ) + 0# (А - 1), (2.10) г9е Ф п (/, Р 1 ) = (Ф^ (/, Р 1 ), У ЕЕ ( 2У} I -стандартный функционал,, заданный полиномом] Р 1, Ф п (/с 1) = {Ф^ (/с 1), У ЕЕ ^} при /с 5? 1 некоторый функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 2.1 Б \и сосредоточенный на (& \)-мерном остове, а при Ъ = О Ф п (Ъ - 1) = 0. Представление вида (2.10) единственно, Д о к а з а т е л ь с т в о] л е м м ы 2.1. Для каждого / ЕЕ /^ и < Е Д г обозначим Ж/ (I) гиперплоскость размерности / в пространстве Л тау, определяемую равенством X! (I) = (х = ^0, х) ЕЕ Д : (4 0 )? = «г, х = 0} С Ж = <Иа 8. Д ^, и.5?! (4) гиперплоскость размерности 1 / в пространстве ВУ, определяемую равенством ',.;$ %г («) - (ж ЕЕ Д V : х- г = * 3 }; отметим, что Жг (^) = Ж/ (^2)1 если (^ = (^)^. Щусть I ЕЕ Д 41, 7 ЕЕ 3^1, I ЕЕ / й,- /с = О, 1,..., V. Определим суженные спектральные функции Ф^ ( у) ЕЕ 25' (К т ) обобщенные функции, удовлетворяющие условию вирр Ф е (7) ЕЕ %1 (*) при всех 7 ЕЕ &х. (2.11) Фиксируем, для этого произвольную функцию ф ЕЕ 25 (Д'") и обозначим ф функцию из 25 (й у ), задаваемую] соотношением ф (х ) = ф (ж 0, 0). Пусть У ф наименьший из таких параллелепипедов У ЕЕ 2^, что зирр ф ^ У (2.12) (т. е. У ф пересечение всех параллелепипедов У ЕЕ 2^» для которых выполняется соотношение (2.12)). Пусть % ^ * совокупность всех таких параллелепипедов У ЕЕ?7, что Г (V, У) ЕЕ & (*),, У Ф (~ г^ (У) ^ с: Г (7, У), У Ф П Г»:-! (У) = 0 (при /г = 0 последнее условие не нужно). Суженную спектральную функцию Ф г (7) определим равенством (Ф< (V),. Ф) = (^гфп (А), Ф), V ЕЕ С '. (2-13)

5 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 493 В случае /с = V, очевидно, определение (2.13) совпадает с определением (4.1) из [1] спектральной функции Ф ЕЕ 3)' (К ). Нетрудно проверить,; что определение (2.13) корректно в том смысле, что левая часть в (2.13) не зависит от выбора параллелепипеда V ЕЕ %<р' ** Тот факт, что суженные спектральные функции являются линейными непрерывными функционалами над 2) (Н т ), доказывается аналогично тому, ; как такой же факт был доказан в 4, [1] для самих спектральных функций. Пусть у ЕЕ <^~х удовлетворяет условию у 0 (0 = 0 при I ЕЕ /, у 0 (0 1 при г ЕЕ / Положим Ф г (/) = Ф 4 (у 0 ) и покажем, что при всех у ЕЕ ет/ справедливо равенство Ф 4 (-у) = ( 1)о(т) Ф 4 (/). (2.14) Пусть ^и 72 ЕЕ <^~1, / ЕЕ /', таковы, что ^ (I') = у 2 (О при некотором V ЕЕ / и VI (0 Та (О П Р И всех I ЕЕ / \ I'. Нетрудно проверить,; что Ф< (72) = Ф( (?0 Поскольку а (у 2 ) = о (VI), последовательное (не более чем V раз) применение этого соотношения приводит к равенству (2.14). Пусть и ЕЕ К*', будем обозначать через (и, 0) ЕЕ Я т вектор, заданный равенством (и, 0) = {х 0 = и, х = 0}, х = (^1?..., х п _^). Из диагональной инвариантности Фурье-прообраза Ф (/с) легко следует, что при всех * ЕЕ Я 4 Ф г (/) = ^(41 >0)Ф(/), (2.15) где Ф (/) = Ф 0 (/), а С/ ^ сдвиг на вектор (^, 0) в пространстве обобщенных функций 25' (Й ИЛ7 ) (см. (4.3) в [1]). Аналогичным образом доказывается, что обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ / м инвариантны, относительно сдвигов из гиперплоскости и/, т. е. для всех I ЕЕ К* Ф(/) = С7 ((1>0) Ф(/), /ЕЕ/,, (2.16) Таким образом, согласно лемме 4.2 из [1] при некотором натуральном числе N и некоторых комплексных числах а а (/), а ЕЕ ^^/!\> обобщенные функции Ф (/), /ЕЕ /А, допускают представление вида (2-17) где х (/) обозначен набор переменных (Сг 0 )у, х г,..., х п - г ). Обозначим И 7 (ф) СГ /? Л ', Ф ЕЕ 25 (Д тал1 ), множество ^ (ф) = {*о ЕЕ Л^: (^0, 0) ЕЕ зирр Ф}; (2.18) пусть И^е (ф) замкнутая е-окрестностъ множества \У (ф). Зафиксируем такие параллелепипед V ЕЕ?/' 0, функцию ф ЕЕ 3) (Я т ) и в ^>- 0, что Т^е (Ф) П Г,_! (V) = 0 (2.19) (при /с = 0 условие (2.19) не нужно). Выберем конечный набор параллелепипедов У т, у ЕЕ,<у~1, /ЕЕ /,,, и У ;Ч / = 1,..., 5, принадлежащих ^, : так, чтобы где У 7, У^ внутренние части соответствующих параллелепипедов, и

6 494 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. при этом У 7 П Г, (У) с Г ( Т, У), т <= <Г;, / <= /*, (2.21) У г П IV* (У) = 0, т ЕЕ ^1, / = / (2.22) У, П Г, (У) = 0, У = 1,..., «(2.23) (при Ъ = 0 условие (2.22) не нужно). Пусть функции ф,у, ф, образуют разложение единицы на ТУ Е (ф) (см., например, [4, 1.2]) и носители о о вирр ф,у С Уу> 8 ирр ф ; - С У }. Положим ф т (х) = ф (х) ф 7 (# 0 ), ф; (х) = = ф (х) ф; (х 0). ЯСНО, ЧТО (А), Фт ) + 2 (Р~1 Фп (А), ф^). (2.24) з=1 По построению функций ф? справедливо соотношение У е % Ф ' У.17^ Е ^ / ^ А- Теперь, в силу (2.13), (^-1ФГ (А), ф,) = (Ф 1уМ (V), ф,). (2.25) Поскольку функционал Ф (/с) сосредоточен на й-мерном остове, из (2.13) следует, что (Р-4% (А), ф ; -) = 0, 7 = 1,..., 5. (2.26) Таким образом, применяя равенства (2.24) (2.26), а затем равенства (2.14), (2.15), получаем: (^ФХ(А), Ф )= 2 2 = 22 ( 1) <т(1>) ( г7 (гуад.о)ф(л. Фт)- (2-27) Обозначим Ф (/, У) ЕЕ 3)' (Е т ) обобщенную функцию (ср. (2.17)) В силу условий (2.21), (2.23) получаем равенство (^КуСй, о) Ф СО- Фт) = (#(1у<т>.-о) Ф (Д Ю. Фт) = (^(г у ы, о) Ф (/, У), ф)- (2.29) Заметим теперь, что ох, что совпадает с формулой (2.4). Используя этот факт и (2.27), (2.28), получаем С^Ф^(А)4Ф)= 2 ( 2 (- - 2 (^Ф^/.^.ф) (2.30) для любой функции ф ее 25 (й от ), для которой при некотором е ^> О' выполнено условие (2.19). При Н ^ 1 определим функционал Ф (/с 1) равенством ф^(а-1) = Ф^(А)- 2 Ф«(/,Р'), Уе^. (2.31)

7 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 495 Из (2.30) следует, что (Ф^ (& 1), ф) = 0, т. е. функционал Ф п (/с 1) сосредоточен на (& 1)-мерном остове. Наконец, из симметричности функционала Ф (&) следует симметричность суженных спектральных функций Ф (/), / ЕЕ //с, т. е. полиномы Р 1, I ЕЕ ^т симметричны по переменным Я,!,..., К п ЕЕ ЯУ. Докажем единственность разложения вида (2.10). Действительно, из (2.13) следует, что при замене в этом определении функционала Ф (&) на Ф (/с 1) суженные спектральные функции Ф (/), / ЕЕ /к, обратятся в нуль. Далее, при замене Ф п (К) на /* стандартный функционал Ф (/*, Р 1 '') суженные спектральные функции Ф (/), / ^= /*, также обратятся в нуль. Следовательно, в любом представлении вида (2.10) суженная спектральная функция Ф (/) для функционала Ф п (/с) и аналогичная функция, получающаяся при замене Ф п (/с) на Ф (/, Р 1 ), совпадают,; и этим однозначно задается полином Р*. Из соотношения (2.31) следует,, что однозначно определяется и функционал Ф (/с 1). Лемма 2.1 доказана, что и завершает доказательство теоремы Описание квадратично-интегрируемых функционалов В этом разделе, используя результаты 2, мы исследуем структуру СЛАФ от гауссовского поля ^. Пусть Р 1 = Р 1 (Яц..., Х п ) симметричный по переменным Я ь....., Я п ЕЕ ВУ полином, постоянный вдоль /-диагонали. Квадратично интегрируемый функционал Е п (Р 1 ) степени п назовем I-стандартным функционалом, заданным полиномом Р 1, если п-я компонента его спектрального представления является /-стандартным функционалом со значениями в )' (К ), заданным полиномом Р 1. В частности^ / 0 стандартный функционал будем называть стандартным функционалом. Квадратично интегрируемый функционал 2 назовем вырожденным, если п-я компонента (п = 1, 2,...) его спектрального представления является вырожденным функционалом со значениями в )' (/? пг ). Из предложения 3.1 работы [1] следует, что функционал 3 вырожден, если и только если при каждом V ЕЕ ^ случайная величина Е (У) измерима относительно ст-алгебры ЗЗэу Стандартный функционал Е п (Р 1а ), заданный полиномом Р 1а, невырожден; /-стандартные функционалы Е (Р 1 ) вырождении при всех / ЕЕ /', п = 1, 2,..., Нам понадобятся следующие обозначения. Пусть ^п = {Р п = РП (^и > ^И)> / ЕЕ /} такой набор полиномов, симметричных по переменным К 1:..., Х ЕЕ, что полином РП, / ЕЕ /,, постоянен вдоль /-диагонали. При V ЕЕ 2^ положим..., Я, п ) = (ЗЛ) ($ п (^1,... Д ) = Е <& (Хх,..., Х ). (3.2) 1^ Нетрудно проверить г что справедливо равенство Оу п (Ъ,..., К п ) = Р п (Ь ь..., К п ) Рху (К К п ), (3.3)

8 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. где р п (к,,...,?д = 2 РП (Ьь -Д п ) = 2 ^ (я«,..., я ) П (ь! +.. +?4). 1(&7 1е^ 1^1 (3.4) Пусть 3 такой квадратично интегрируемый функционал степени п,- что при всех V ЕЕ %У функционал Ф п задается равенством (2.1), где Р = = Р (А, ь..., Х ) некоторый полином. Будем говорить, что Е функционал,; заданный полиномом Р. Из теоремы 2.1, теоремы 3.1 работы [1], соотношений (3.1) (3.4) и условия квадратичной интегрируемости функционала (см. (2.7) из [1]) непосредственно вытекает следующий результат. Теорема 3.1. Пусть ^ стационарное гауссовское случайное поле,, спектральная плотность которого / (Я), К ЕЕ -Й Л), удовлетворяет условию (2.3) из [1]. А. Пусть Е квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Тогда существует и единствен такой набор д 5 = {.Р* = Р 1 п (Х 1(..., К п ), I ЕЕ (= /, п = 1, 2,...} полиномов Р п, симметричных по переменным Х х, ^П ёт -й г и постоянных вдоль 1-диагонали, что а(7)=5,е п (Р,7), 7еЕ^, (3.5) п=1 з9е 3 (Р ) = {Е (Р п, ; V), V е 2^} функционал степени п, заданный полиномом (3.4). При этом при всех V ^77 (*!)-* Су" (Ль.., Я ) И!, 1(Уп ) < оо.. п=1 Б. Ддл. любого набора полиномов 3 й, обладающего свойствами, перечисленными в пункте А и удовлетворяющего условию (3.6), равенство (3.5) определяет квадратично-интегрируемый СЛАФ от поля I,. Вопрос о явном описании условий сходимости рядов (3.6) представляется трудным, и мы ограничимся исследованием условий конечности входящих в (3.6) интегралов А (^, V) = 1 Су" (Ьь,Д ) 1 (^п). (3.7) При этом мы будем в дальнейшем предполагать, что спектральная плотность / (X), Я ё= Л^ при некотором вещественном числе г и положительных постоянных С 0, Сц, 0 <^ С 0 ^ С х < оо, удовлетворяет условию С 0 (1 + I Ь ) г < / (Х)< С 1! (1 + К ) г. (3.8) Отметим, что почти не меняя построений, можно распространить дальнейшие результаты и на случай, когда при некоторых вещественном г и неотрицательном 3 выполняется условие' С (1 + 1п (1 + К ))Р (1 + М )' < / (Я)< С, ( п (1 + \К \ ))Р (1 + К \ )'\ (3.9) более слабое, чем условие (3.8) (ср. [5, 1]). Нам потребуется один специальный вариант известной теоремы «счета степеней» Вейнберга [6]. Для его формулировки введем некоторые обозначения, При фиксированных 7 ЕЕ / и К а N = {!,..., п} положим ) = {Р (К, I, 0), (} <= В. к^1л }, (3.10)

9 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 497 где (? = (д г, I ЕЕ I, <1к, & Е К, / ЕЕ / 0 ) семейство параллельных гиперплоскостей = д ь е к, у ЕЕ / 0 }. Пусть Р = Р (Я ь..., Х ) некоторый полином от переменных 2^,......,' Х ЕЕ /^ Обозначим, через йе р(к,у, о)р степень полинома, являющегося сужением полинома ^, на гиперплоскость?/'' (К, I, <?). (Вырожденный случай / = / 0 и.иг = га 1 исключается). В 4 будет показано (см. лемму 4.2), что 'при п. 'по мере] Лебега на Д1^+ Л степень йеду(л-,1,д)р принимает постоянное * значение; обозначим его Ае^к< х)р. Как нетрудно понять, явный алгоритм определения степени &е%(к, 1)Р состоит в следующем. Считая (что можно делать без ограничения общности), что пе^к, сделаем невырожденную линейную замену переменных, перейдя к переменным Л 1г..., К п ЕЕ таким, что А» г = Х г, г ЕЕ Х', ^п = Я,! А, п, и запишем полином Р(^1,..., Я, п ) в новых переменных как Р (Х,ц..., Х, п ). Тогда йе^(я, 1)Р это степень полинома от переменных Н ) & ЕЕ N \ К, /ЕЕ /в' ^п> * 6= -^о \ I* с коэффициентами, зависящими от <?, возникающего при подстановке значений К& = ^^, /се ^ К, /е /о> ^и = д\ ^ е /, в ^. В случае, когда К = 0 и / = 0, степень с1е (^ 1)Р совпадает с обычной степенью ае Р полинома Р. Предложение 3.1. Пусть $> п {Р РП (А, 1?..., ^ ), / Ег /} набор полиномов Р п, симметричных по переменным К г,..., К п ЕЕ В? и постоянных вдоль 1-диагонали, такой, что Р* п ф 0 при некотором I ЕЕ /. А. Для сходимости при всех V Е: V й интеграла А (У> п, V) необходимо и достаточно, чтобы для любой пары наборов индексов /ЕЕ/, КС2N (кроме пар, для которых I = / 0, К = п 1) 2йв 8к.1Р + (п- К ] ) (V + г) -^ + / < 0. (3.11) Б. В случае V + г ^> 0 условие (3.11) эквивалентно"~ : условию: при всех I С1 /о (кроме случая I = / 0, тг = 1) таких, что РП Ф О, 2ае е^ + и^ +г) _ / <0. (3.12) /7ри га = 1, / = / 0 неравенство (3.12) нужно заменить на условие г < 1«Доказательство предложения 3.1 содержится в 4 этой статьи. Из утверждения Б предложения 3.1 вытекает следующий факт. Теорема 3.2. Пусть Е квадратично интегрируемый СЛАФ от гауссовского случайного поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г ^ V. Тогда существует симметричные по переменным Х 1;..., Х ЕЕ ВУ и постоянные вдоль 1-диагонали полиномы Р П 1 / 6= /, такие, что ос 2 (V) = 2 И 2«(Рп, V), V ЕЕ ^, (3.13) и=1 1е/ з9е 3 (Р^) = {З и (Рй, У), V ЕЕ 2^} / стандартный функционал степени п, заданный полиномом Р п. Представление вида (3.13) единственно. Доказательство. Из утверждения А теоремы 3.1 следует, что интеграл Д ($>, V) сходится при всех V ЕЕ ^, /г = 1, 2,... Условие (3.11), примененное при V + г ;> 0 в случае, когда' полином Р п Ф 0, ; а все остальные полиномы РП = О, Г =/=/,/' сг: / 0, в силу утверждения Б

10 498 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. предложения 3.1 эквивалентно неравенству (3.12), поэтому из сходимости интеграла А (^п, V) следует сходимость при всех / ЕЕ / интегралов &(Р 1,У) = п \\01 (К,...,К )Ц? у 1 п ( п), У^^. (3.14) Таким образом, функционалы Е п (Р п ), / ЕЕ /, ге = 1, 2,..., также оказываются квадратично интегрируемыми. Теперь равенство (3.13) непосредственно следует из (3.5), что и доказывает теорему. Следующая теорема дает полное описание структуры СЛАФ от гауссовского обобщенного поля в случае V + г ^> 0 и полное описание функционалов конечного порядка в случае V + г = 0. Теорема 3.3. А. Для того чтобы квадратично интегрируемый функционал Е был СЛАФ конечного порядка N (Е) от гауссовского поля ^, спектральная плотность которого удовлетворяет условию (3.8) при г^ V, необходимо и достаточно, чтобы при всех V ЕЕ ^ выполнялось равенство ЩЩ Е (7)= 2 2 %п(рп,у), (3.15) где З^ез, = {Р* п = Р* п (Х ь..., Я ), / ЕЕ /, п = 1,..., N (Е)} - такой набор полиномов, симметричных по переменным V. -., ^«ЕЕ и постоянных вдоль 1-диагонали, что Рп (*1,. -., Ч) = 0, если п (V + г) - / 1 > 0, (3.16) 2 дев Рп + п (V + г) \ I < 0, если п (V + г) - / < 0. Б. Если спектральная плотность / (X), Я ЕЕ В. 4, рассматриваемого случайного поля удовлетворяет условию (3.8) при г ^> V, то все СЛАФ от этого поля имеют конечный порядок N (2) ^ [V(V + г)" 1 ] (как и обычно, через [х] обозначена целая часть х). Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.1, 3.2 и предложения 3.1. Остановимся на некоторых примерах. В случае необобщенного случайного поля ^ = {^ (х), х ЕЕ В"} (т. е. \ / (А,) ак<^ оо) стандартный функн^7 ционал, заданный полиномом РП = сопзъ, имеет вид ^ Н п (^ (х)) ах, V где Н п полином Эрмита. Если поле ^ имеет некоторое число производных в среднем квадратичном, СЛАФ будет также ^ фф а^(а:),аее V ЕЕ А) их, где А соответствующее множество мультииндексов. Разлагая функцию ф в ряд по полиномам Эрмита и используя формулу (2.8) из [1], нетрудно записать п-ю компоненту, спектрального представления этого функционала в виде Р п (Я, ь..., Я ) Р% у (Х х Ь п ). г Д е Р п полином, симметричный по переменным Х ь..., Х и ЕЕ Д у. Для того чтобы явно по лучить разложение этого функционала вида (2.5), запишем полином Р п в виде 2 (П и) Рп (&,)!, Я ь..., Сг) (3-17) так, чтобы слагаемое в (3.17) являлось суммой мономов полинома Р п, содержащих переменные Яд, I ЕЕ I, и не содержащих переменные Х^. I

11 Аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей 499 /. Ясно, что полиномы постоянны вдоль /-диагонали; они и являются полиномами, входящими в (2.5). В частности, функционал со спектральным представлением ^1^Ру,у (Ям + А 2 ) (V = 1) является суммой стандартного функционала, заданного полиномом г / 4 (Я г Я 2 ) 2, и /-стандартного функционала при 1 0* заданного полиномом х / 4 (^ + ^) 2 - Простой подсчет (ср. 4) показывает, что эти функционалы являются квадратично интегрируемыми при г < 3, в то время как исходный при г < 5 / 2, т. е. при 3<^ <^ г < 5 /2 он не разлагается в сумму /-стандартных функционалов. Таким образом, теорема 3.2 не может быть перенесена на случай г < V и в предложении 4 заметки [7] нужно внести дополнительное условие г > > V. В применении к обобщенным случайным полям (т. е. в случае г ;> V) переход к спектральным представлениям оказывается единственно известным способом описания СЛАФ. После работы Нелсона [8] этот подход систематически используется (см., например, [2, 3]) для задания функционалов от свободного марковского'поля. Из теоремы 3.3 следует, что для этого поля при V = 2 существуют стандартные функционалы лишь при РП = сопя!. При] V = 2 порядок п может быть произвольным. При V = = 3 порядок п может быть равен лишь 1 и 2, а при V ;> 4 существуют лишь функционалы порядка п = 1. Такие функционалы давно известны и, хотя из теоремы 3.3 следует, что для свободного марковского поля дополнительно существуют вырожденные СЛАФ, это не расширяет возможностей построения новых марковских полей, поскольку добавление вырожденных функционалов не меняет строящихся при помощи СЛАФ (см. г например, [3, 12]) переходных вероятностей марковского поля. Описанный метод задания новых марковских полей может быть применен и к другим марковским гауссовским полям (по поводу их описания, см. [8 12]), поскольку полученные в этой статье результаты показывают существование для этих полей широкого класса СЛАФ. Хотя построенные таким образом негауссовские марковские поля не будут обладать свойствами, нужными для их использования в квантовой теории поля, они интересны с теоретико-вероятностной точки зрения. 4. Доказательство [предложения 3.1 Доказательство достаточности в утверждении А: обозначим А (5 а ) интеграл п) = $... 5 Р п (Ь ь... Д ) Р П X п X П Непосредственные оценки, основанные на явной формуле для/'^у (^ К п ) и условии (3.8), показывают, что при некоторых Су < оо

12 500 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. справедливо неравенство, УЕ^'Ф*. (4.2) Для оценки интеграла Д (У> п ) введем следующие обозначения. Обозначим через X систему из п + V гиперплоскостей Ь г = {(Х 1;..., К п ) ёее ЕЕ В. : К\ К\ = 0},_; ЕЕ /о, и Ь, = {(*!, -. *п) <= Д : Я - = = 0, г ЕЕ / }, /с ЕЕ./V. Через Ж обозначим систему всех гиперплоскостей Р (К, I) = Р (К, I, 0), где 0 начало координат в Д1^+ И г к С_ЛГ а / ЕЕ / (случай / = /о,.иг = тг 1 снова исключается). Ясно, что Ж это система всех не сводящихся к {0} пересечений гиперплоскостей из Ж (пересечение пустого числа элементов из X интерпретируется как все пространство Н т ). Далее обозначим через р ((К 1,..., К п ), Ь).евклидово расстояние от точки (^!*...,; Я, п ) ЕЕ Д ПЛ! до гиперплоскости Ь ЕЕ Ж и рассмотрим класс неотрицательных функций (Я, 1?.», А, ) на.й"\ допускающих представление вида ё (Ъ, Д и) = П ёъ (^ Д ) Р (М, -. -, Х ), (4.3) где Р некоторый неотрицательный полином, а функции ^, Ь непрерывны и таковы, что при р ((Х 1?..., К п ), Ь) -> с» и (Л-г, - -, Л, п ) == (Р ((^1, -, ^), ^)) а(ь) (1 + о (1)), (4.4) а а (Ь), Ь ЕЕ X, вещественные числа. Используя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве теоремы 3 в [5] и лемму 4.3^ нетрудно показать, что для сходимости интеграла д = \... *} I необходимо и достаточно, чтобы при всех Р ^Е% выполнялось неравенство (4.5) где <Нт Р размерность гиперплоскости Р еее Ж. Очевидно, что интеграл Д (^п) принадлежит к описанному классу и к (Р (К, /)) = 2 ави*, 1>^п + (» - 1^ 1.) (V +.г) --'а» + 1 Г 1, (4.6) что вместе с оценкой (4.2) и доказывает достаточность условий (3.11). Отметим также, что все рассуждения, использованные в работе [13] для доказательства сходимости интеграла близкой структуры, дословно применимы и к интегралу Д (^п)- Доказательство необходимости в утверждении А. Нам потребуются следующие простые леммы.

13 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных полей 501 Лемма 4.1. Пусть в пространстве Н т задана гиперплоскость Н, (Нш Н = I,' I ^ т, проходящая через начало координат, и единичная сфера 3. Рассмотрим систему параллельных гиперплоскостей где Н^- ортогональное дополнение к Н и Н ((2) = {<? + п, п ЕЕ -й г }. каждого (} ЕЕ Я- 1 ц 5 ЕЕ 5 П -^ обозначим через е ($, (?) е (*, (?) = {# + из, 0 < и < оо). (4.7) Пусть (Я), Я 6Е Н т, неотрицательная измеримая функция и ^ (и) 8 +**$) Предположим^ что для почти для всех (? по мере Лебега на Н т ~ 1 равенство о и 1-1 % (и) аи = оо (4.8) справедливо для почти всех з по мере Лебега на 8 ["] Н. Тогда $... ^ (*,)<& = -оо. (4.9) Утверждение этой леммы становится очевидным, если при вычислении интеграла (4.9) по каждой из плоскостей // (()) перейти к сферическим координатам и затем применить теорему Фубини. Лемма 4.2. Пусть Ж система гиперплоскостей такая же, как и в лемме 4.1, и Р = Р (^..., 1 т ), (^,..., (1 т ) ^ К т, некоторый полином. Обозначим через Ае н(/^р степень полинома, являющегося сужением полинома Р на гиперплоскость П ((?). Тогда существует целое неотрицательное, число а = д.е х Р такое, что при почти всех (? по мере Лебега на К - 1. (4.10) Для доказательства этой леммы достаточно заметить, что множество совпадает с множеством нулей многочлена от (?, стоящего коэффициентом при старшей степени сужения многочлена Р на Н ((2), и поэтому является собственным алгебраическим подмножеством К т ~ 1, Лемма 4.3. Пусть 8 единичная сфера в пространстве В 1 и Р = = Р (ц, 1,..., (д, : ), (^А!,..., Ц[) ЕЕ Н 1, некоторый полином. Обозначим через йе 3 Р, 5 = ($!,..., я,) ЕЕ 5, степень полинома от и,, являющегося сужением полинома Р на луч 17 = {(изг,..., ия/), 0 < и < оо}, Тогда 3 при почти всех 5 по мере Лебега на 8 <1е 8 Р = йее Р. (4.11) Для доказательства этой леммы достаточно проверить, что множество {I ЕЕ И 1 : I = из, з (ЕЕ 5, 0<и<оо, йе 3 Р < с1е Р} является собст-

14 502 Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. венным алгебраическим подмножеством В. 1 и воспользоваться теоремой Фубини в сферических координатах. Предположим теперь, что при некотором Р(К,1)Е=$ справедливо неравенство к (Р (К, /)) ^ 0. Используя леммы 4.2, 4.3 и оценку (3.8), нетрудно проверить, что сужение подынтегральной функции в интеграле Д (З^п, V) на луч е (я, <?), соответствующий системе гиперплоскостей Ж = Ч- (К, I), имеет вид / 8> <з (и) # 8; д (и), где / 8) <) (и) неотрицательная и не равная тождественно нулю периодическая функция, а функция &, 0 (и) > С 8, д и-м*. ') (4.12) при достаточно больших и, причем константа С в< о отлична от нуля при почти всех <? и 5. Теперь расходимость интеграла А (3^п, V) вытекает из леммы 4.1. Доказательство утверждения Б. Из равенства (4.6) видно, что при V + г > 0 и любых К С Н, Т е /, к (Р (К, Г)) ^к(р(0,1))=2 Деву Р п + п (V + г) - 2ч + \ Т \. Как уже отмечалось, полином Р п не зависит от переменных Яо, I Е= I Поэтому каждый из одночленов полинома РП (см. (3.4)) содержит переменные Хо, г ЕЕ /, и не содержит переменных ^, ге=/, и сокращение одночленов, входящих в разные слагаемые, в (3.4) невозможно. Следовательно,, при любом Т Е= / - шах йе^ Р* = А^Рп- Далее, ясно, что при любом Т ^ / так что <1е 1 Р 1 п = ае ё1^р1 п + \1\Т\, причем при Т = I это неравенство становится равенством, следовательно, тах к (Р(К,1)) = тах (2йе.Р^ + п (V + г) / ), а это и означает, что условия (3.11) и (3.12) эквивалентны. В случае ге = 1, 7 = / 0 предыдущие рассуждения претерпевают очевидные изменения, связанные с тем, что здесь условие (3.11) для случая / = / 0, К = 0 отсутствует. При, отом надо учесть, что &е% Р*-. = 0. ЛИТЕРАТУРА 1. Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских случайных полей. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. XXVIII, 1, с Саймон Б. Модель Р (ср) 2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, с. 3. Конструктивная теория поля. М.: Мир, 1977, 268 с. 4. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука., 1979, 318 с. 5. Малышев В. А. Асимптотика феймановских интегралов в евклидовой области.' Теор, и матем. физика, 1976, т. XXIX, 2, с

15 Аддитивные функционалы от гауссоеских случайных нолей УРетЪегз 8. Шдп^епегду ЪеЪаушг т диап1шп НеЫ Итогу. РЬуз. Кеу., 1960, V. 118, 3, р Добрушин Р. Л., Келъберт М. Я. Локальные аддитивные функционалы от гауссовских обобщенных полей. Успехи матем. наук, 1979, т. 34, 5, с в 8. Ме1$оп Е. Сопз^гасИоп о! диап^шп НеЫз Лгот МаЛоН НеЫв. I. Рипс4. Апа!., 1973, V. 12, 1, р , V 9. Рш Ь. О. МаАоу ргорегъу 1ог С-аиззша ргосевзез шш а ти11;1(11теп81опа1 1;1те рагатегег. АгсЬ. На*. МесЬ. Апа!., 1971, V. 43, р , 10. Молчан Г. М. О характеризации гауссовских полей с марковским свойством. Докл. АН СССР, 1971, т. 197, 4, с Молчан Г. М. 1,-марковские гауссовские поля. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, 5, с Розанов Ю. А. Марковские случайные поля, М.: Наука, 1981, 254с. 13. НаНп У., 21ттегтапп IV. Ап е!етеп1агу ргоол о{ Вувоп'в ролуег сошшпд Шеогет.- Сотпшп. Ма1Ь. РЬув., 1968, V. 10, 4, р Поступила в редакцию ТАТ1СШАКУ ШСАЬ АОО1Т1УЕ Г1ШСТ1(ШАЬ8 ОК 6А^88IАN КАN^ОМ 1)ОВЛ1Г5 IX Я, Ь., КЕЬВЕВТ М.?. (МО8СО1Г) (Зитгпагу) \Уе сопшше Ше шуезцдайопв о^ 1Ье рарег [1] апй йевспье ехрнсшу Ше 1оса1 айй1йуе 1опсиопа18 оп С-аизв1ап гап<1от НеИв ^ = {^ (ф), <р е Ч) (Л у )} 1п *егтз о{ Шеаг гергезепшиоп Ьу теапв о! ти!ир1е в1осьаз11с \У1епег По 1п(;е га18.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 15 ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник)

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 15: теорема Чжоу НМУ/ВШЭ, Москва 6 июня 2014 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) 1 Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга.

Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга. Гамильтоновы действия тора и теорема Атьи-Гийемина-Стернберга. 1. Симплектические многообразия Определение 1. Гладкое многообразие M называется симплектическим многообразием, если на M задана 2-форма ω,

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат

15 Степень отображения. Определение Говорят, что на многообразии М n задана ориентация, если оно разбито на области действия локальных координат 87 Теорема Фундаментальная группа окружности S является бесконечной циклической группой с образующей α, где α - гомотопический класс петли l: I S, где l () t = ( os πt,sin π t ), t [ 0 ; ] 5 Степень отображения

Подробнее

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия,

Комплексная алгебраическая геометрия, Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 13: ростки многообразий НМУ/ВШЭ, Москва 23 мая 2014 1 Кольцо ростков комплексно-аналитических функций УПРАЖНЕНИЕ: Пусть U U открытые, связные подмножества комплексного

Подробнее

ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ, ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КО- ЛЕЦ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ

ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ, ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КО- ЛЕЦ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЛЕКЦИЯ 13 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ, ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КО- ЛЕЦ МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ 1 ПРИМЕРЫ ИДЕАЛОВ 3. Кольцо многочленов от одной переменной над полем является

Подробнее

Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ

Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ В работах [1]-[3] были найдены достаточные условия устойчивости и получены

Подробнее

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ *

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ * Раздел 1. Математическая физика 63 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ * Член-корреспондент АН СССР А.Н. ТИХОНОВ и А.А. САМАРСКИЙ Как известно, всякий линейный функционал A[f],

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Авдошин С.М., Савельева А.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Разработан эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов [], эквивалентный по сложности

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Сибирский математический журнал Март апрель, 211. Том 52, 2 УДК 517.983 ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Аннотация. Приводится критерий принадлежности оператора в L p множеству

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 20 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная функция на конечной группе G, φ : G GL (V ) неприводимое

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы

Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы Рассмотрим другую модель классической статистической механики шестивершинную модель или модель льда Пусть на ребрах квадратной решетки живут «спины»

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Жорданова форма нормальная Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

О группах ограниченных подстановок

О группах ограниченных подстановок Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 200, 3(2), 262 266 УДК 59.45 Николай М. Сучков Надежда Г. Сучкова Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Свободный

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара

Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара 26 Высшая и прикладная математика ТРУДЫ МФТИ. 2014. Том 6, 2 УДК 517.982.252 Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански Московский физико-технический институт (государственный университет) Исчисление параметров выпуклости

Подробнее

Обучение учащихся решению иррациональных неравенств

Обучение учащихся решению иррациональных неравенств Выпуск 007 www.omsk.edu Р.Ю. Костюченко Омский государственный педагогический университет Обучение учащихся решению иррациональных неравенств 13.00.0 теория и методика обучения и воспитания (математика)

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

Решение. 1 = 10 ребер и 6 вершин (по числу m ребер графа G).

Решение. 1 = 10 ребер и 6 вершин (по числу m ребер графа G). Неориентированные графы Раздел... Пример. Построить реберный граф для графа на рис., c. 0. Решение Задачу решим графически, с помощью прямого построения реберного графа по определению. В центре каждого

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Аменабельные группы. лекция 1. Миша Вербицкий. 1 августа 2011

Аменабельные группы. лекция 1. Миша Вербицкий. 1 августа 2011 Аменабельные группы лекция 1 1 августа 2011 Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 1-7 августа, 2011, ЯГПУ, Ярославль, Россия 1 Конечно-аддитивные меры на множествах Для любого множества S,

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

2 Сильно непрерывные полугруппы

2 Сильно непрерывные полугруппы 2 Сильно непрерывные полугруппы Определение 1 Полугруппа линейных ограниченных операторов T), действующих в банаховом пространстве, называется сильно непрерывной или C -полугруппой), если lim T)x = x x

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Многодольные графы с двумя вершинами в каждой доле

Многодольные графы с двумя вершинами в каждой доле Информационные процессы, Том 4,, 004, стр. 17 13. c 004 Любецкий, Селиверстов. ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Многодольные графы с двумя вершинами в каждой доле В.А. Любецкий, А.В. Селиверстов Институт

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

18. Отображения, отношения и лемма Цорна

18. Отображения, отношения и лемма Цорна 18. Отображения, отношения и лемма Цорна Вернемся еще раз к теории множеств будем надеяться, что последний раз в курсе анализа. Вы уже знакомы с понятием отображения множеств. Именно, отображение f : X

Подробнее

m (V ) = dim V = dim U ;

m (V ) = dim V = dim U ; 9. Линейные представления конечных групп Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через G обозначается конечная группа, а через k алгебраически замкнутое поле, причём char(k) G.

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

Тема 2-2: Линейная зависимость

Тема 2-2: Линейная зависимость Тема 2-2: Линейная зависимость А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее