Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы"

Транскрипт

1 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

2 Теорема 2. (первая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на [a, b], то она ограничена на нем, т.е. существует такое число M, что f(x) M, при всех x [a, b]. Доказательство. Допустим противное, что f неограничена на [a, b]. Тогда для n N найдется на [a, b] точка x n такая, что f(x n ) n. (4) По теореме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {x n } можно выделить подпоследовательность {x nk }, имеющую конечный предел lim x n n k = x 0, причем очевидно a x 0 b. В силу непрерывности функции f имеем lim n x n k = f(x 0 ), а это невозможно, так как из (4) следует, что f(x nk ) k. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 3. (вторая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани. Доказательство. Пусть M = sup f. [a,b] В силу предыдущей теоремы M - конечное число. Допустим, что f(x) < M при всех x [a, b], т.е. верхняя грань не достигается. Тогда рассмотрим вспомогательную функцию ϕ(x) = 1 M f(x). Так как знаменатель в ноль не обращается, то ϕ будет непрерывной на [a, b] функцией, а значит, по предыдущей теореме она будет ограничена на [a, b]: ϕ(x) γ, где γ R, γ > 0. Но отсюда находим, что 1 M ϕ(x) γ, M f(x) 1 γ, f(x) M 1 γ для всех x [a, b], т.е. число M 1 γ оказывается верхней границей для f чего быть не может, ибо M есть наименьшая из верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что в [a, b] находится точка x 0 такая, что f(x) 0 = M. Аналогично доказывается утверждение о достигаемости нижней грани. 2

3 1.3 Теорема Кантора Определение 1. Функция f называется равномерно-непрерывной на промежутке X, если для любого ε > 0 найдется такая δ = δ(ε) > 0, что для любых двух точек x и x 0 из X, удовлетворяющих условию x x 0 < δ выполняется неравенство f(x) f(x 0 ) < ε Теорема 4. (Кантора) Непрерывная на отрезке [a, b] функция f равномерно непрерывна на этом отрезке. Доказательство. Предположим противное, т.е. функция f не является равномерно непрерывной на [a, b]. Это значит, что для некоторого ε > 0 и любого δ > 0 найдутся такие точки x и x [a, b], x x < δ, что f(x) f(x ) ε. Построим две последовательности {x n } и {x n} точек [a, b] такие, что но x n x n < 1 n, (5) f(x n ) f(x n) ε. (6) Из ограниченной последовательности {x n } в силу теоремы Больцано- Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся последовательность {x nk }. Пусть x nk x 0. Ясно, что x 0 [a, b] (т.к. a x nk b при всех k = 1, 2,...). Из неравенства (5) следует, что x nk 1 n k < x n k < x nk + 1 n k. Переходя в последних неравенствах к пределу при k, получаем x n k x 0. Итак, последовательности {x nk } и {x n k } сходятся к одному и тому же пределу x 0 [a, b]. В силу непрерывности функции f в точке x 0 последовательности {f(x nk )} и {f(x n k )} также должны сходиться к одному и тому же пределу f(x 0 ). Однако, это невозможно, т.к. из неравенства (6) следует, что f(x nk ) f (x nk ) ε. Полученное противоречие доказывает теорему. 1.4 Непустое множество X элементов произвольной природы называется метрическим пространством, если каждой паре элементов x, y X соотнесено вещественное число ρ(x, y) - расстояние между элементами x, y, удовлетворяющее условиям: 1. ρ(x, y) 0; ρ(x, x) = 0 и, если ρ(x, y) = 0, то x = y; 2. ρ(x, y) = ρ(y, x); 3

4 3. ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника). Множество E в метрическом пространстве X называется компактом в X, если из любой подпоследовательности точек x n E можно выделить последовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству E. Пусть X и Y - метрические пространства, D X. Если каждой точке x D по определенному правилу сопоставлена некоторая точка y Y, то говорят, что на множестве D задан оператор со значениями в Y. Оператор U, отображающий множество D X в Y называется непрерывным в точке x 0 D, если для любой последовательности точек x n D такой, что x n x 0, имеет место соотношение U(x n ) U(x 0 ). Оператор называется просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке того множества, на котором он задан. Оператор, заданный на некотором множестве в метрическом пространстве, значения которого суть вещественные или комплексные числа, называется функционалом. Мы будем рассматривать только функционалы с вещественными значениями. Теорема 5. Если f функционал, заданный и непрерывный на компакте E X, то sup f(x) < x E и среди его значений есть наибольшее и наименьшее. Доказательство. Докажем, что inf x E f(x) > и f на E принимает наименьшее значение. Допустим, что inf x E f(x) =. Тогда для любого n N существует точка x n E, в которой f(x n ) < n. Отсюда следует, что f(x n ). Множество E является компактом. Поэтому из {x n } можно выделить подпоследовательность {x nk }, сходящуюся к некоторому пределу x 0 E. По непрерывности функционала f(x nk ) f(x 0 ) при k. Но, с другой стороны, f(x nk ) и, т.к. f(x 0 ) число, а не, то мы пришли к противоречию. Тем самым доказано, что inf x E f(x) >. Теперь обозначим через m нижнюю грань множество значений f(x) и докажем, что f(x 0 ) = m в некоторой точке x 0 E. Так как при n N число m + 1 n уже не является нижней гранью, то для каждого n можно подобрать точку x n E, в которой f(x n ) < m + 1 n. Из последовательности {x n } выделяем подпоследовательность x nk x 0, где x 0 E. В неравенстве m f(x nk ) < m + 1 n переходим к пределу и получаем, что lim k f(x nk ) = m. Но тогда, вследствие непрерывности функционала, f(x 0 ) = m. 1.5 Функционалы непрерывные на компакте Говорят, что функционал f равномерно непрерывен на множестве D метрического пространства X, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, 4

5 что для любых x и x D и таких, что ρ(x, x ) < δ, выполнено неравенство f(x) f(x ) < ε. Теорема 6. Функционал f, непрерывный на компакте E метрического пространства, равномерно непрерывен на E. Доказательство. Пусть f не равномерно непрерывен на E. Это значит, что существует ε > 0 такое, что для любого n N найдутся точки x n и x n принадлежащие E, такие что ρ(x n, x n) < 1 n, но f(x n ) f(x n) > ε. (7) Из последовательности {x n } выделим подпоследовательность {x nk }, сходящуюся к некоторой точке x 0 E. Используя неравенство треугольника, получаем 0 ρ(x n k, x 0 ) ρ(x n k, x nk ) + ρ(x nk, x 0 ) < 1 + ρ(x nk, x 0 ) n k k 0. Следовательно, lim k x n k = x 0. Поэтому lim f(x nk ) = lim f(x n k ) = f(x 0 ). Теперь, полагая в (7) n = n k, получаем Переходя в (8) к пределу, имеем f(x nk ) f(x n k ) > ε. (8) f(x 0 ) f(x 0 ) ε > 0. Полученное противоречие доказывает, что f должен быть равномерно непрерывен на E. 5

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение

Скачано с antigtu.ru. Скачано с http://antigtu.ru. Задача Кузнецов Пределы 1-22. Условие задачи. Доказать, что (указать ). Решение Скачано с http://antigtu.ru Задача Кузнецов Пределы 1-22 Доказать, что (указать ). По определению предела: Проведем преобразования: (*) Очевидно, что предел существует и равен 2. Из (*) легко посчитать

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Жорданова форма нормальная Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

1. Производная и её свойства

1. Производная и её свойства ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Производная и её свойства Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a,b) и x 0 точка этого интервала. Пусть x такая величина, что x 0 ± x (a,b),

Подробнее

Задачи с зачётов по теории вероятностей

Задачи с зачётов по теории вероятностей Задачи с зачётов по теории вероятностей Преподаватель Александр Евгеньевич Кондратенко 4 семестр, архив за 4 8 г Издание -е, исправленное и дополненное Предисловие ко второму изданию В прошлом семестре

Подробнее