Функция Грина и ее применение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функция Грина и ее применение"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения Харьков 2013

2 УДК / ББК я73 Л 86 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и управления Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина Коробов В. И.; доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики Харьковского национального университета радиоэлектроники Шляхов В. В. Утверждено к печати решением Научно-методического совета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина протокол 3 от Л 86 Луценко А. В. Функция Грина и ее применение : методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения / А. В. Луценко, В. А. Скорик. Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, с. В данном пособии вводятся функции Грина для уравнения и системы уравнений и приводятся необходимые и достаточные условия их существования, дается их аналитическое представление. На этой основе определяется функция Грина краевой задачи, доказывается ее существование и разрешимость краевой задачи. Данное пособие будет полезным студентам при изучении курса Дифференциальные уравнения, а также аспирантам этой специальности. УДК / ББК я73 c Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, 2013 c Луценко А. В., Скорик В. А., 2013 c Дончик И. Н., макет обложки, 2013

3 Содержание Введение 4 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для уравнения n-го порядка Определение краевой задачи и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Функция Грина системы дифференциальных уравнений Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для системы уравнений Краевая задача и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Заключение 27 Список использованной литературы 27 3

4 Введение Методическое пособие посвящено разделу Функция Грина и ее применение курса Дифференциальные уравнения механико-математического факультета. В отличие от традиционной схемы изложения учебного материала по указанному разделу, в методическом пособии впервые в мировой литературе вводится понятие функции Грина линейного дифференциального уравнения и линейной системы дифференциальных уравнений. Приводятся необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дается их аналитическое представление через фундаментальную систему решений, устанавливается их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Функция Грина краевой задачи рассматривается как элемент множества функций Грина уравнения или системы уравнений. В отличие от работ [1] [6], где даются только достаточные условия существования и единственности, здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения, как в [1] [4], функций влияния, δ-функций, проекторов. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами, что значительно повышает качество усвоения студентами учебного материала. 4

5 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка 1.1. Определение и вид функции Грина Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение L n y = ft, n 2, 1.1 где L n y = y n + 1 ty n n 1 tẏ + n ty, 1 t,..., n t, ft определенные на [, b] функции. Обозначим Q = {t, τ : t [, b], τ [, b]}. Определение 1.1. Функцией Грина уравнения 1.1 называется числовая функция Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0. Функция Gt, τ и ее производные по t до n 2 порядка включительно непрерывны по t на [, b] Производные по t n 1-го и n-го порядков непрерывны по t в множестве [, τ τ, b] Производная по t порядка n 1 в точке t = τ терпит скачок, равный единице n 1 Gτ + 0, τ n 1 Gτ 0, τ = 1. t n 1 t n При t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному уравнению L n y = 0. ТЕОРЕМА 1.1.Пусть 1 t,..., n t, ft непрерывные на [, b] функции и пусть ϕ 1 t,... ϕ n t фундаментальная система решения однородного уравнения L n y = 0. Тогда: а функция Грина уравнения 1.1 существует и имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t, 1.2 5

6 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, bτ = b 1 τ,..., b n τ произвольный вектор, Φt матрица Вронского функций ϕ 1 t,..., ϕ n t, e n = 0,..., 0, 1 n-мерный вектор; б при любой непрерывной функции bτ функция yt = b Gt, τfτdt является частным решением уравнения 1.1. Доказательство. а. Поскольку функция Грина в промежутках [, τ и τ, b] является решением уравнения L n y = 0, то ее следует строить в виде ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tcτ, τ < t, 1.3 где bτ, cτ n-мерные вектор-функции, определенные на [, b]. В таком случае функция G и ее производные по t до n 2-го порядка включительно будут непрерывны по t на [, τ τ, b]. Они станут непрерывными на всем [, b], если при t = τ будут выполняться равенства ϕ τcτ bτ = 0, ϕτ cτ bτ = 0,..... ϕ n 2 τ cτ bτ = Согласно свойству 3 0, при переходе через точку t = τ производная по t n 1-го порядка функции Грина терпит скачок, равный единице. Следовательно, имеем ϕ n 1 τ cτ bτ = Систему запишем в виде уравнения Φτcτ bτ = e n. 1.6 Поскольку Φt является невырожденной матрицей, то из 1.6 получаем cτ bτ = Φ 1 τe n

7 Из 1.7 следует, что cτ bτ непрерывная функция. Выразив из 1.7 функцию cτ через bτ и подставив ее в 1.3, получим 1.2. б. Покажем, что при непрерывной функции bτ функция b yt = Gt, τfτdt удовлетворяет уравнению 1.1. Подставив выражение для Gt, τ из 1.2, получаем функцию yt в виде yt = ϕ tgt, 1.8 где вектор-функция gt имеет вид gt = t b bτ + Φ 1 τe n fτdt + bτfτdt. Учитывая, что получаем, что ϕ t ϕ t... ϕ t n 1 Φ 1 te n = e n, t y k t = ϕ t k gt, y n t = ϕ t n gt + ft. k = 1,..., n 1, 1.9 Подставляя выражения для yt, ẏt,..., y n 1 t из равенств 1.8, 1.9 в уравнение 1.1, имеем L n yt = L n ϕ tgt + ft Так как ϕ t вектор-строка, составленная из n функций ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальной системы решений уравнения L n y = 0, то L n ϕ t = L n ϕ 1,..., L n ϕ n = 0,..., На основании равенства 1.11 из равенства 1.10 получаем L n yt = ft. 7

8 1.2. Пример Для уравнения ÿ + y = cos t 1.12 найти функцию Грина и с ее помощью частное решение этого уравнения. Решение. Фундаментальная система решений уравнения 1.12 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского этих функций cos τ sin τ Φτ =. sin τ cos τ Так как Φ 1 τ = cos τ sin τ sin τ cos τ, то Φ 1 τe 2 = sin τ cos τ. Таким образом, в силу 1.2 функция Грина для уравнения 1.1 имеет вид b 1 τ cos t + b 2 τ sin t, t τ, Gt, τ = b 1 τ sin τ cos t + b 2 τ + cos τ sin t, τ < t. Найдем частное решение. Так как функции b 1 τ, b 2 τ являются произвольными, то, для простоты, выберем их равными нулю. Тогда { 0, t τ, Gt, τ = sint τ, τ < t. Тогда частное решение уравнения 1.1 задается формулой yt = b Gt, τ cos τdτ = t sint τ cos τdτ и, например, при = 0 имеет вид yt = t 0 sint τ cos τdτ = 1 2 t sin t. 8

9 1.3. Упражнения для самостоятельного решения 1. Показать, что если Kt, τ функция Коши уравнения 1.1, то { 0, t τ, Gt, τ = Kt, τ, τ t, является функцией Грина уравнения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих уравнений 2.1. ÿ y = 2t π ÿ y = 2t ÿ y = 2e t t ÿ + ẏ 2y = 3te t ÿ 3ẏ + 2y = sin t ÿ 2ẏ + y = 1 t et ÿ 5ẏ + 4y = 4t 2 e 2t ÿ + 3ẏ 4y = e 4t. 2.5 t 2 ÿ + 2tẏ = t t 2 ÿ 2y = t 2 e t t 2 ÿ 2tẏ + 2y = sin t t 2 ÿ + 5tẏ + 3y = 1. 9

10 2. Краевая задача для уравнения n-го порядка В задаче Коши значения неизвестной функции и ее производных задаются в одной фиксированной точке. Многие проблемы физики и механики приводят к задачам, описываемым дифференциальными уравнениями, для которых значения неизвестной функции и ее производных задаются в двух или нескольких точках. Такие задачи получили название краевых Определение краевой задачи и свойства ее решений Рассмотрим дифференциальное уравнение 1.1. Определение 2.1. Равенства n j=1 m ij y j 1 + n ij y j 1 b = 0, i = 1,..., n, 2.1 где m ij, n ij постоянные, называются краевыми условиями. Если ввести матрицы M = m ij n i,j=1, N = n ij n i,j=1 yt xt = ẏt..., y n 1 t и вектор то краевые условия 2.1 можно записать в виде Mx + Nxb = 0. В дальнейшем считаем, что rnkm, N = n. Определение 2.2. Однородной краевой задачей называется задача L n y = 0, 2.2 Mx + Nxb = 0, 2.3 т. е. задача нахождения решения однородного уравнения 2.2, удовлетворяющего краевым условиям

11 Определение 2.3. Неоднородной краевой задачей называется задача L n y = ft, 2.4 Mx + Nxb = 0, 2.5 т. е. задача нахождения решения неоднородного уравнения 2.4, удовлетворяющего краевым условиям 2.5. Например, краевая задача ÿ + 4y = 0, y0 = 0, yπ/2 = 0, состоит в отыскании решений уравнения ÿ + 4y = 0, обращающихся в ноль на концах отрезка [0, π/2]. Легко видеть, что такими решениями является yt = c sin 2t. ЛЕММА Если y 0 t решение однородной краевой задачи, y 1 t решение неоднородной краевой задачи, то их сумма y 0 t+y 1 t является решением неоднородной краевой задачи. б. Если y 1 t, y 2 t решения неоднородной краевой задачи, то их разность y 1 t y 2 t является решением однородной краевой задачи. Доказательство. а. Так как L n y 0 + y 1 = ft, M x 0 + x 1 + N x 0 b + x 1 b = = Mx 0 + Nx 0 b + Mx 1 + Nx 1 b = 0, где y 0 t y 1 t x 0 t = ẏ 0 t..., x 1t = ẏ 1 t..., y n 1 0 t y n 1 1 t то y 0 t + y 1 t есть решение задачи

12 б. Так как L n y 1 y 2 = 0 и M x 1 x 2 + N x 1 b x 2 b = = Mx 1 + Nx 1 b Mx 2 b Nx 2 b = 0, где y 2 t x 2 t = ẏ 2 t..., y n 1 2 t то y 1 t y 2 t есть решение задачи ЛЕММА 2.2. Пусть ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальная система решений уравнения 2.2, Φt матрица Вронского этой системы функций. а. Для того, чтобы однородная краевая задача имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V = M Φ + N Φb была невырожденной. б. Для того, чтобы решение неоднородной краевой задачи было единственным, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. Доказательство. а. Решение однородной краевой задачи может быть записано в виде n yt = c i ϕ i t = ϕ tc, i=1 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, c = c 1,..., c n некоторый постоянный вектор. В силу краевых условий 2.3 получаем ϕ c ϕ bc M ϕ c... + N ϕ bc... = 0, ϕ n 1 c ϕ n 1 bc или MΦc + NΦbc = 0, т. е. V c =

13 Таким образом, вопрос о существовании только тривиального решения краевой задачи сведен к вопросу о существовании только тривиального решения алгебраической системы 2.6. Эта система содержит n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных c 1,..., c n. В силу известной теоремы линейной алгебры для того, чтобы система 2.6 имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. б. Пусть неоднородная краевая задача имеет единственное решение y 1 t, однако матрица V является вырожденной. Тогда, как установлено выше, однородная краевая задача имеет решение y 0 t 0. В силу леммы 2.1 функция y 2 t = y 0 t+y 1 t будет еще одним решением неоднородной задачи, отличным от решения y 1 t, что противоречит предположению. Обратно, пусть V невырожденная матрица. Допустим, что неоднородная краевая задача имеет два решения y 1 t, y 2 t, y 1 t y 2 t. Тогда в силу леммы 2.1 функция y 0 t = y 1 t y 2 t будет ненулевым решением однородной краевой задачи, что невозможно в силу Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 2.4. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина уравнения 2.4, удовлетворяющая краевым условиям 2.5, т. е. для которой G, τ M... G n 1, τ + N Gb, τ... G n 1 b, τ = 0. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в 2.4 функции 1 t,..., n t, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система V bτ = NΦbΦ 1 τe n,

14 т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦ + NΦb; rnk V = rnk V, NΦbΦ 1 τe n, 2.8 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ϕ tf Φ 1 τe n, t τ, Gt, τ = ϕ ti + F Φ 1 τe n, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной функции bτ из 2.7 функция 2.9 yt = b Gt, τfτdτ 2.10 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 1.1 любая функция Грина уравнения 2.4 имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t b, 2.11 где bτ произвольная определенная на [, b] вектор-функция. Подставим 2.11 в краевые условия 2.5. Имеем ϕ bτ ϕ bbτ + Φ 1 τe n 0=M... +N... ϕ n 1 bτ откуда получаем ϕ n 1 b bτ+φ 1 τe n = MΦbτ + NΦbbτ + Φ 1 τe n = = V bτ + NΦbΦ 1 τe n, =

15 Как известно, система 2.7 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.8. б. Из 2.7 получаем, что функция bτ существует и единственная тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае bτ = V 1 NΦbΦ 1 τe n. Подставляя это выражение для bτ в 2.11, получаем 2.9. в. В силу теоремы 1.1 функция 2.10 является решением уравнения 2.4. Убедимся, что она удовлетворяет краевым условиям. Для этого подставим функцию из 2.10 в левую часть краевых условий 2.5. Имеем y yb M... + N... = b M G, τ... y n 1 G n 1, τ + N Gb, τ... y n 1 b G n 1 b, τ fτdτ = 0. Наконец, в силу леммы 2.2 при условии rnk V = n функция yt является единственным решением задачи Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = cos t, y0 = 0, yπ/2 = Решение. Фундаментальная система решений уравнения ÿ+y=0 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =. sin t cos t sin t cos t 15

16 Матрицы M, N из краевых условий 2.5 имеют в данном примере вид M =, N = Теперь вычислим следующие матрицы V = MΦ0 + NΦπ/2 = I + = I, F = V NΦπ/2 = =, F Φ cos τ sin τ 0 0 τe 2 = =, 0 1 sin τ cos τ 1 cos τ I + F Φ sin τ sin τ τe 2 = =. 0 0 cos τ 0 Так как ϕ t = cos t, sin t, то на основании 2.9 получаем sin t cos τ, 0 t τ, Gt, τ = cos t sin τ, τ < t π/2. Искомое решение задачи 2.12 имеет вид yt= π/2 Gt, τ cos τdτ= cos t t sin τ cos τdτ sin t π/2 cos 2 τdτ= 0 = 1 2 cos t sin2 t π 4 t 2 1 sin 2t 4 0 sin t = t t 2 π sin t Упражнения для самостоятельного решения 1. При каких значениях существует функция Грина краевой задачи ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = Построить функцию Грина для каждой из краевых задач: 16

17 2.1. ÿ = ft, y0 + y1 = 0, ẏ0 + ẏ1 = ÿ = ft, y0 = 0, y1 = ÿ = ft, y0 yπ = 0, ẏ0 ẏπ = ÿ = ft, ẏ0 = 0, yπ = ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = ÿ + y = ft, ẏ0 = 0, ẏ2 + y2 = ÿ y = ft, y 1 = y1, ẏ 1 = ẏ tÿ ẏ = ft, ẏ1 = 0, y2 = t 2 ÿ + tẏ y = ft, y1 = 2y2, ẏ1 + 4ẏ2 = t 2 ÿ + 2tẏ = ft, y1 = 0, ẏ3 = t 2 ÿ + 2y = ft, y1 = 0, y2 + 2ẏ2 = Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = 2t π, y0 = 0, yπ = ÿ + y = 1, y0 = 0, yπ = tÿ ẏ = t2, y1 ẏ1 = 0, 3y2 2ẏ2 = 0. 17

18 3. Функция Грина системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную систему ẋ = Atx + ft, 3.1 где At матрица размерности n n, ft n-мерная вектор-функция, которые определены на [, b] Определение и вид функции Грина Обозначим Q = [, b] [, b]. Определение 3.1. Функцией Грина системы 3.1 называется n n- матрица Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0 функции Gt, τ и Gt, τ/ t являются непрерывными по t на [, τ τ, b]; 2 0 в точке t = τ функция Gt, τ терпит скачок, равный единичной матрице: Gτ + 0, τ Gτ 0, τ = I; при t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному матричному уравнению Ẋ = AtX, т. е. Gt, τ t = AtGt, τ при t τ. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть At, ft - непрерывные на [, b] и пусть Φt фундаментальная матрица однородной системы ẋ = Atx. Тогда а функция Грина системы 3.1 существует и имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t, где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица

19 б при любой непрерывной Bτ функция xt = Gt, τfτdτ является частным решением системы 3.1. b Доказательство.. Так как функция Грина при t < τ и τ < t b является решением уравнения Ẋ = AtX, то ее следует строить в виде ΦtBτ, t < τ, Gt, τ = 3.4 ΦtCτ, τ < t b, где Bτ, Cτ n n-матрицы, определенные на [, b]. Очевидно, эта функция Gt, τ будет непрерывной по t на [, τ τ, b]. В силу 3.2, при переходе через точку t = τ функция Грина терпит скачок, равный единичной матрице. Поэтому из 3.4 имеем ΦτCτ ΦτBτ = I, откуда Cτ = Φ 1 τ + Bτ. Подставив найденную матрицу Cτ в 3.4, получим 3.3. б. Теперь покажем, что при непрерывной матрице Bτ функция xt = b Gt, τfτdτ удовлетворяет уравнению 3.1. Подставив сюда Gt, τ из 3.3, имеем эту функцию xt в виде t xt = Φt Bτ + Φ 1 τ fτdτ + b Bτfτdτ. 3.5 Отсюда получаем, что производная ẋt имеет вид ẋt = Φt t Bτ + Φ 1 τ fτdτ + t b Bτfτdτ + +Φt Bt + Φ 1 t Bt ft, t 19

20 откуда на основании равенства Φt = AtΦt и представления 3.5 получаем ẋt = Atxt + ft Пример Для системы вида { ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, найти функцию Грина и с ее помощью определить частное решение этой системы. Решение. Для данной системы имеем At = A =, ft =, 1 0 cos t Φt=e At cos t sin t =, Φ 1 t=e At cos t sin t =. sin t cos t sin t cos t Таким образом, в силу 3.3 функция Грина имеет вид e At Bτ, t τ, Gt, τ = e At Bτ + e Aτ, τ < t, = cos t sin t b 11 τ b 12 τ, sin t cos t b 21 τ b 22 τ t τ cos t sin t b 11 τ + cos τ b 12 τ sin τ sin t cos t b 21 τ + sin τ b 22 τ + cos τ, τ < t. Найдем теперь частное решение. Так как Bτ произвольная матрица, положим, например, Bτ = 0. Тогда 0, t τ, 0 Gt, τ = cost τ sint τ, τ < t. sint τ cost τ 20 =

21 Остается вычислить интеграл b t xt = Gt, τfτdτ = 0 cos τ dτ = Выбрав = 0, получаем xt = 1 2 t cost τ sint τ sint τ cost τ sint τ cos τ dτ. cost τ cos τ t sin t. t cos t + sin t 3.3. Упражнения для самостоятельного решения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих систем: { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + 2e t, 1. ẋ 2 = x 1 + 2x 2 3e 4t. 2. { ẋ1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + 1/t 2 + ln t. 3. { ẋ1 = 3x 1 + 2x 2 + 3e 2t, ẋ 2 = x 1 + 2x 2 e 2t. 4. { ẋ1 = 3x 1 +x 2 +1/t 4 ln t, ẋ 2 = x 1 + x 2 + 1/t. 5. { ẋ1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t { ẋ1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x { ẋ1 = x 1 x sin t, ẋ 2 = 2x 1 x { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + e t, ẋ 2 = 2x 1 + 2t. 9. { ẋ1 = 2x 1 + 4x 2 8, ẋ 2 = 3x 1 + 6x { ẋ1 = x 1 + 2x 2, ẋ 2 = x 1 5 sin t. 21

22 4. Краевая задача для системы уравнений Рассмотрим на [, b] линейную систему 3.1: ẋ = Atx + ft Краевая задача и свойства ее решений Определение 4.1. Соотношение Mx+Nxb=0, где M, N постоянные n n-матрицы, удовлетворяющие условию rnkm, N = n, называется краевыми условиями. Определение 4.2. Задача ẋ = Atx, 4.1 Mx + Nxb = 0, 4.2 называется однородной краевой задачей, а задача ẋ = Atx + ft, 4.3 Mx + Nxb = 0, 4.4 называется неоднородной краевой задачей. ЛЕММА 4.1. а Если x 0 t решение однородной задачи , x 1 t решение неоднородной задачи , то x 0 t+x 1 t решение неоднородной краевой задачи. б Если x 1 t, x 2 t -решения задачи , то x 1 t x 2 t решение однородной краевой задачи. ЛЕММА 4.2. Невырожденность матрицы V = M Φ + N Φb является необходимым и достаточным условием 1 существования только нулевого решения у однородной краевой задачи; 2 единственности решения неоднородной краевой задачи. 22

23 4.2. Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 4.3. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина системы 4.3, удовлетворяющая краевым условиям 4.4, т. е. для которой MG, τ + NGb, τ = 0. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть At, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦA + NΦb; V Bτ = NΦbΦ 1 τ, 4.5 rnk V = rnkv, NΦbΦ 1 τ, 4.6 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ΦtF Φ 1 τ, t τ, Gt, τ = ΦtI + F Φ 1 τ, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной матрице Bτ из 4.5 функция 4.7 xt = b Gt, τfτdτ 4.8 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 3.1 любая функция Грина системы 23

24 4.3 имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t b, 4.9 где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица. Подставим функцию 4.9 в краевые условия 4.4, имеем 0 = MΦBτ + NΦbBτ + Φ 1 τ = V Bτ + NΦbΦ 1 τ, откуда получаем 4.5. Как известно, система 4.5 является совместной тогда и только тогда, когда выполняется условие 4.6. б. Из 4.5 вытекает, что функция Bτ существует и единственна тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае Bτ = V 1 NΦbΦ 1 τ = F Φ 1 τ. Таким образом, подставив выражение для Bτ в 4.9, получаем, что функция Грина неоднородной краевой задачи существует, единственна и имеет вид 4.7. в. В силу теоремы 3.1 функция 4.8 является решением системы 4.3. Чтобы убедиться, что эта функция удовлетворяет краевым условиям, подставим ее в левую часть краевых условий 4.2. Имеем b Mx + Nxb = MG, τ + NGb, τfτdτ = 0. В силу леммы 4.2 функция 4.8 будет единственным решением краевой задачи при условии rnk V = n Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 2 π/2 = 0.

25 Решение. В данной задаче A=, ft=, M=, N= 1 0 cos t cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =, sin t cos t sin t cos t V = MΦ0 + NΦπ/2 = I, V 1 = I. F = V NΦπ/2 =, I + F =, ΦtF Φ 1 sin t sin τ sin t cos τ τ =, cos t sin τ cos t cos τ ΦtI + F Φ 1 cos t cos τ cos t sin τ τ =. sin t cos τ sin t sin τ Таким образом, функция Грина имеет вид sin t sin τ sin t cos τ, 0 t τ, cos t sin τ cos t cos τ Gt, τ = cos t cos τ cos t sin τ, τ < t π/2. sin t cos τ sin t sin τ. Искомое решение xt = π Gt, τ cos τ 0 cos τ dτ = t 0 cos t cos τ sin t cos τ π 2 sin t sin τ sin t cos τ dτ cos t sin τ cos t cos τ t = 1 t π/2 sin t. 2 sin t + t π/2 cos t cos t sin τ sin t sin τ 0 cos τ dτ = 25

26 4.4. Упражнения для самостоятельного решения 1. Доказать лемму Доказать лемму Построить функцию Грина для следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x x 1 1 = 0, x 1 1 = x 1 1, x x 2 1 = 0; x 2 1 = x 2 1; ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x 1 0 = 0, x x 1 1 = 0, x 1 1 = 0. x x 2 1 = 0; 4. Используя функцию Грина, найти решение следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t, ẋ 2 = x 1 + sin t, x 2 0 = 0, x 1 0 x 1 π = 0, x x 2 2 = 0. x 2 0 x 2 π = ẋ 1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t 2, x 1 0 = 0, x 2 1 = ẋ 1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 1 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = 0; 26

27 Заключение В данном методическом пособии впервые в мировой литературе введены понятия функций Грина линейного дифференциального уравнения и системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дано их аналитическое представление через фундаментальную систему решений и установлена их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения функций влияния, δ-функций, проекторов. Список использованной литературы 1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. М. : Высш. шк., с. 2. Валеев К. Г. Построение функций Ляпунова / К. Г. Валеев, Г. С. Финин. К. : Наук. думка, с. 3. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : Изд-во иностр. лит-ры, с. 4. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений / П. И. Лизоркин. М. : Наука, с. 5. Диференщальнi рiвняння / I. I. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, О. Ф. Калайда. К. : Вища школа, с. 6. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. М. : Наука, с. 27

28 Навчальне видання Луценко Анатолiй Васильович Скорик Василь Олександрович Функцiя Грiна та її застосування Методичний посiбник до курсу Диференцiальнi рiвняння Рос. мовою Коректор Ю. В. Лєонт єва Комп ютерне верстання В. О. Скорик Макет обкладинки I. М. Дончик Формат 60 84/16. Ум. друк. арк. 1,0. Тираж 50 пр. Замовлення 235/13. Видавець i виготовлювач Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна, 61022, м. Харкiв, майдан Свободи, 4. Свiдоцтво суб єкта видавничої справи ДК 3367 вiд Видавництво ХНУ iменi В. Н. Каразiна Тел

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. С. Сохин, В. А. Скорик Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Механико-математический

Подробнее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 77 ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

т С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко УДК ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ

т С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко УДК ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ т. 2 2 1999 УДК 517.9 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко Славян. пед. ин-т, Украина, 343206, Донецкая обл., Славянск e-mail: office@sldpi.donetsk.ua

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

УДК 517.926. c 2010 Перов А. И. Сибирский математический журнал Март апрель, 2010. Том 51, 2

УДК 517.926. c 2010 Перов А. И. Сибирский математический журнал Март апрель, 2010. Том 51, 2 Сибирский математический журнал Март апрель, 21. Том 51, 2 УДК 517.926 КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ ДАНЖУА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г.

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г. Асимптотика регуляризованных решений 1 АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1 Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков 1. Постановка задачи Рассматривается

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 2 МОСКВА 28 г. Пособие

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 512.541 О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Аннотация: Установлен ряд свойств вполне транзитивных групп без

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г.

Оглавление. Введение в функциональный анализ: учебное пособие. А. А. Илларионов. 26 декабря 2008 г. Оглавление Введение в функциональный анализ: учебное пособие А. А. Илларионов 26 декабря 2008 г. Г л а в а I. Пространства 3 џ 1 Линейные пространства................... 3 џ 2 Нормированные пространства................

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Май июнь, 23. Том 54, 3 УДК 57.53 О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Аннотация. В элементарных курсах математического анализа обычно приводится

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко

Н. В. Шарай, В. Н. Шинкаренко УДК 57.9 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Н. В. Шарай В. Н. Шинкаренко Одес. нац. ун-т им. И. И. Мелчникова Украина 65 Одесса ул. Дворянская

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

Производная функции. Правила дифференцирования

Производная функции. Правила дифференцирования Производная функции. Правила дифференцирования Примеры решения задач 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции y = х 3 в точке х = 1. Решение. Находим приращение функции y = х 3

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА в примерах и задачах

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА в примерах и задачах МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Харьковский политехнический институт» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА в примерах и задачах Учебное пособие В двух томах

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p

Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем. + e pt f(t)dt. (4.1) f(t) = = lim. = lim p 1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПЛОСКОСТИ Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм

ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПЛОСКОСТИ Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, 3 УДК 57.55 ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПЛОСКОСТИ Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм Аннотация: Рассматривается задача Коши для уравнения

Подробнее