Функция Грина и ее применение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функция Грина и ее применение"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения Харьков 2013

2 УДК / ББК я73 Л 86 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и управления Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина Коробов В. И.; доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики Харьковского национального университета радиоэлектроники Шляхов В. В. Утверждено к печати решением Научно-методического совета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина протокол 3 от Л 86 Луценко А. В. Функция Грина и ее применение : методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения / А. В. Луценко, В. А. Скорик. Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, с. В данном пособии вводятся функции Грина для уравнения и системы уравнений и приводятся необходимые и достаточные условия их существования, дается их аналитическое представление. На этой основе определяется функция Грина краевой задачи, доказывается ее существование и разрешимость краевой задачи. Данное пособие будет полезным студентам при изучении курса Дифференциальные уравнения, а также аспирантам этой специальности. УДК / ББК я73 c Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, 2013 c Луценко А. В., Скорик В. А., 2013 c Дончик И. Н., макет обложки, 2013

3 Содержание Введение 4 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для уравнения n-го порядка Определение краевой задачи и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Функция Грина системы дифференциальных уравнений Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для системы уравнений Краевая задача и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Заключение 27 Список использованной литературы 27 3

4 Введение Методическое пособие посвящено разделу Функция Грина и ее применение курса Дифференциальные уравнения механико-математического факультета. В отличие от традиционной схемы изложения учебного материала по указанному разделу, в методическом пособии впервые в мировой литературе вводится понятие функции Грина линейного дифференциального уравнения и линейной системы дифференциальных уравнений. Приводятся необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дается их аналитическое представление через фундаментальную систему решений, устанавливается их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Функция Грина краевой задачи рассматривается как элемент множества функций Грина уравнения или системы уравнений. В отличие от работ [1] [6], где даются только достаточные условия существования и единственности, здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения, как в [1] [4], функций влияния, δ-функций, проекторов. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами, что значительно повышает качество усвоения студентами учебного материала. 4

5 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка 1.1. Определение и вид функции Грина Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение L n y = ft, n 2, 1.1 где L n y = y n + 1 ty n n 1 tẏ + n ty, 1 t,..., n t, ft определенные на [, b] функции. Обозначим Q = {t, τ : t [, b], τ [, b]}. Определение 1.1. Функцией Грина уравнения 1.1 называется числовая функция Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0. Функция Gt, τ и ее производные по t до n 2 порядка включительно непрерывны по t на [, b] Производные по t n 1-го и n-го порядков непрерывны по t в множестве [, τ τ, b] Производная по t порядка n 1 в точке t = τ терпит скачок, равный единице n 1 Gτ + 0, τ n 1 Gτ 0, τ = 1. t n 1 t n При t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному уравнению L n y = 0. ТЕОРЕМА 1.1.Пусть 1 t,..., n t, ft непрерывные на [, b] функции и пусть ϕ 1 t,... ϕ n t фундаментальная система решения однородного уравнения L n y = 0. Тогда: а функция Грина уравнения 1.1 существует и имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t, 1.2 5

6 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, bτ = b 1 τ,..., b n τ произвольный вектор, Φt матрица Вронского функций ϕ 1 t,..., ϕ n t, e n = 0,..., 0, 1 n-мерный вектор; б при любой непрерывной функции bτ функция yt = b Gt, τfτdt является частным решением уравнения 1.1. Доказательство. а. Поскольку функция Грина в промежутках [, τ и τ, b] является решением уравнения L n y = 0, то ее следует строить в виде ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tcτ, τ < t, 1.3 где bτ, cτ n-мерные вектор-функции, определенные на [, b]. В таком случае функция G и ее производные по t до n 2-го порядка включительно будут непрерывны по t на [, τ τ, b]. Они станут непрерывными на всем [, b], если при t = τ будут выполняться равенства ϕ τcτ bτ = 0, ϕτ cτ bτ = 0,..... ϕ n 2 τ cτ bτ = Согласно свойству 3 0, при переходе через точку t = τ производная по t n 1-го порядка функции Грина терпит скачок, равный единице. Следовательно, имеем ϕ n 1 τ cτ bτ = Систему запишем в виде уравнения Φτcτ bτ = e n. 1.6 Поскольку Φt является невырожденной матрицей, то из 1.6 получаем cτ bτ = Φ 1 τe n

7 Из 1.7 следует, что cτ bτ непрерывная функция. Выразив из 1.7 функцию cτ через bτ и подставив ее в 1.3, получим 1.2. б. Покажем, что при непрерывной функции bτ функция b yt = Gt, τfτdt удовлетворяет уравнению 1.1. Подставив выражение для Gt, τ из 1.2, получаем функцию yt в виде yt = ϕ tgt, 1.8 где вектор-функция gt имеет вид gt = t b bτ + Φ 1 τe n fτdt + bτfτdt. Учитывая, что получаем, что ϕ t ϕ t... ϕ t n 1 Φ 1 te n = e n, t y k t = ϕ t k gt, y n t = ϕ t n gt + ft. k = 1,..., n 1, 1.9 Подставляя выражения для yt, ẏt,..., y n 1 t из равенств 1.8, 1.9 в уравнение 1.1, имеем L n yt = L n ϕ tgt + ft Так как ϕ t вектор-строка, составленная из n функций ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальной системы решений уравнения L n y = 0, то L n ϕ t = L n ϕ 1,..., L n ϕ n = 0,..., На основании равенства 1.11 из равенства 1.10 получаем L n yt = ft. 7

8 1.2. Пример Для уравнения ÿ + y = cos t 1.12 найти функцию Грина и с ее помощью частное решение этого уравнения. Решение. Фундаментальная система решений уравнения 1.12 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского этих функций cos τ sin τ Φτ =. sin τ cos τ Так как Φ 1 τ = cos τ sin τ sin τ cos τ, то Φ 1 τe 2 = sin τ cos τ. Таким образом, в силу 1.2 функция Грина для уравнения 1.1 имеет вид b 1 τ cos t + b 2 τ sin t, t τ, Gt, τ = b 1 τ sin τ cos t + b 2 τ + cos τ sin t, τ < t. Найдем частное решение. Так как функции b 1 τ, b 2 τ являются произвольными, то, для простоты, выберем их равными нулю. Тогда { 0, t τ, Gt, τ = sint τ, τ < t. Тогда частное решение уравнения 1.1 задается формулой yt = b Gt, τ cos τdτ = t sint τ cos τdτ и, например, при = 0 имеет вид yt = t 0 sint τ cos τdτ = 1 2 t sin t. 8

9 1.3. Упражнения для самостоятельного решения 1. Показать, что если Kt, τ функция Коши уравнения 1.1, то { 0, t τ, Gt, τ = Kt, τ, τ t, является функцией Грина уравнения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих уравнений 2.1. ÿ y = 2t π ÿ y = 2t ÿ y = 2e t t ÿ + ẏ 2y = 3te t ÿ 3ẏ + 2y = sin t ÿ 2ẏ + y = 1 t et ÿ 5ẏ + 4y = 4t 2 e 2t ÿ + 3ẏ 4y = e 4t. 2.5 t 2 ÿ + 2tẏ = t t 2 ÿ 2y = t 2 e t t 2 ÿ 2tẏ + 2y = sin t t 2 ÿ + 5tẏ + 3y = 1. 9

10 2. Краевая задача для уравнения n-го порядка В задаче Коши значения неизвестной функции и ее производных задаются в одной фиксированной точке. Многие проблемы физики и механики приводят к задачам, описываемым дифференциальными уравнениями, для которых значения неизвестной функции и ее производных задаются в двух или нескольких точках. Такие задачи получили название краевых Определение краевой задачи и свойства ее решений Рассмотрим дифференциальное уравнение 1.1. Определение 2.1. Равенства n j=1 m ij y j 1 + n ij y j 1 b = 0, i = 1,..., n, 2.1 где m ij, n ij постоянные, называются краевыми условиями. Если ввести матрицы M = m ij n i,j=1, N = n ij n i,j=1 yt xt = ẏt..., y n 1 t и вектор то краевые условия 2.1 можно записать в виде Mx + Nxb = 0. В дальнейшем считаем, что rnkm, N = n. Определение 2.2. Однородной краевой задачей называется задача L n y = 0, 2.2 Mx + Nxb = 0, 2.3 т. е. задача нахождения решения однородного уравнения 2.2, удовлетворяющего краевым условиям

11 Определение 2.3. Неоднородной краевой задачей называется задача L n y = ft, 2.4 Mx + Nxb = 0, 2.5 т. е. задача нахождения решения неоднородного уравнения 2.4, удовлетворяющего краевым условиям 2.5. Например, краевая задача ÿ + 4y = 0, y0 = 0, yπ/2 = 0, состоит в отыскании решений уравнения ÿ + 4y = 0, обращающихся в ноль на концах отрезка [0, π/2]. Легко видеть, что такими решениями является yt = c sin 2t. ЛЕММА Если y 0 t решение однородной краевой задачи, y 1 t решение неоднородной краевой задачи, то их сумма y 0 t+y 1 t является решением неоднородной краевой задачи. б. Если y 1 t, y 2 t решения неоднородной краевой задачи, то их разность y 1 t y 2 t является решением однородной краевой задачи. Доказательство. а. Так как L n y 0 + y 1 = ft, M x 0 + x 1 + N x 0 b + x 1 b = = Mx 0 + Nx 0 b + Mx 1 + Nx 1 b = 0, где y 0 t y 1 t x 0 t = ẏ 0 t..., x 1t = ẏ 1 t..., y n 1 0 t y n 1 1 t то y 0 t + y 1 t есть решение задачи

12 б. Так как L n y 1 y 2 = 0 и M x 1 x 2 + N x 1 b x 2 b = = Mx 1 + Nx 1 b Mx 2 b Nx 2 b = 0, где y 2 t x 2 t = ẏ 2 t..., y n 1 2 t то y 1 t y 2 t есть решение задачи ЛЕММА 2.2. Пусть ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальная система решений уравнения 2.2, Φt матрица Вронского этой системы функций. а. Для того, чтобы однородная краевая задача имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V = M Φ + N Φb была невырожденной. б. Для того, чтобы решение неоднородной краевой задачи было единственным, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. Доказательство. а. Решение однородной краевой задачи может быть записано в виде n yt = c i ϕ i t = ϕ tc, i=1 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, c = c 1,..., c n некоторый постоянный вектор. В силу краевых условий 2.3 получаем ϕ c ϕ bc M ϕ c... + N ϕ bc... = 0, ϕ n 1 c ϕ n 1 bc или MΦc + NΦbc = 0, т. е. V c =

13 Таким образом, вопрос о существовании только тривиального решения краевой задачи сведен к вопросу о существовании только тривиального решения алгебраической системы 2.6. Эта система содержит n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных c 1,..., c n. В силу известной теоремы линейной алгебры для того, чтобы система 2.6 имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. б. Пусть неоднородная краевая задача имеет единственное решение y 1 t, однако матрица V является вырожденной. Тогда, как установлено выше, однородная краевая задача имеет решение y 0 t 0. В силу леммы 2.1 функция y 2 t = y 0 t+y 1 t будет еще одним решением неоднородной задачи, отличным от решения y 1 t, что противоречит предположению. Обратно, пусть V невырожденная матрица. Допустим, что неоднородная краевая задача имеет два решения y 1 t, y 2 t, y 1 t y 2 t. Тогда в силу леммы 2.1 функция y 0 t = y 1 t y 2 t будет ненулевым решением однородной краевой задачи, что невозможно в силу Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 2.4. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина уравнения 2.4, удовлетворяющая краевым условиям 2.5, т. е. для которой G, τ M... G n 1, τ + N Gb, τ... G n 1 b, τ = 0. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в 2.4 функции 1 t,..., n t, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система V bτ = NΦbΦ 1 τe n,

14 т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦ + NΦb; rnk V = rnk V, NΦbΦ 1 τe n, 2.8 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ϕ tf Φ 1 τe n, t τ, Gt, τ = ϕ ti + F Φ 1 τe n, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной функции bτ из 2.7 функция 2.9 yt = b Gt, τfτdτ 2.10 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 1.1 любая функция Грина уравнения 2.4 имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t b, 2.11 где bτ произвольная определенная на [, b] вектор-функция. Подставим 2.11 в краевые условия 2.5. Имеем ϕ bτ ϕ bbτ + Φ 1 τe n 0=M... +N... ϕ n 1 bτ откуда получаем ϕ n 1 b bτ+φ 1 τe n = MΦbτ + NΦbbτ + Φ 1 τe n = = V bτ + NΦbΦ 1 τe n, =

15 Как известно, система 2.7 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.8. б. Из 2.7 получаем, что функция bτ существует и единственная тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае bτ = V 1 NΦbΦ 1 τe n. Подставляя это выражение для bτ в 2.11, получаем 2.9. в. В силу теоремы 1.1 функция 2.10 является решением уравнения 2.4. Убедимся, что она удовлетворяет краевым условиям. Для этого подставим функцию из 2.10 в левую часть краевых условий 2.5. Имеем y yb M... + N... = b M G, τ... y n 1 G n 1, τ + N Gb, τ... y n 1 b G n 1 b, τ fτdτ = 0. Наконец, в силу леммы 2.2 при условии rnk V = n функция yt является единственным решением задачи Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = cos t, y0 = 0, yπ/2 = Решение. Фундаментальная система решений уравнения ÿ+y=0 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =. sin t cos t sin t cos t 15

16 Матрицы M, N из краевых условий 2.5 имеют в данном примере вид M =, N = Теперь вычислим следующие матрицы V = MΦ0 + NΦπ/2 = I + = I, F = V NΦπ/2 = =, F Φ cos τ sin τ 0 0 τe 2 = =, 0 1 sin τ cos τ 1 cos τ I + F Φ sin τ sin τ τe 2 = =. 0 0 cos τ 0 Так как ϕ t = cos t, sin t, то на основании 2.9 получаем sin t cos τ, 0 t τ, Gt, τ = cos t sin τ, τ < t π/2. Искомое решение задачи 2.12 имеет вид yt= π/2 Gt, τ cos τdτ= cos t t sin τ cos τdτ sin t π/2 cos 2 τdτ= 0 = 1 2 cos t sin2 t π 4 t 2 1 sin 2t 4 0 sin t = t t 2 π sin t Упражнения для самостоятельного решения 1. При каких значениях существует функция Грина краевой задачи ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = Построить функцию Грина для каждой из краевых задач: 16

17 2.1. ÿ = ft, y0 + y1 = 0, ẏ0 + ẏ1 = ÿ = ft, y0 = 0, y1 = ÿ = ft, y0 yπ = 0, ẏ0 ẏπ = ÿ = ft, ẏ0 = 0, yπ = ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = ÿ + y = ft, ẏ0 = 0, ẏ2 + y2 = ÿ y = ft, y 1 = y1, ẏ 1 = ẏ tÿ ẏ = ft, ẏ1 = 0, y2 = t 2 ÿ + tẏ y = ft, y1 = 2y2, ẏ1 + 4ẏ2 = t 2 ÿ + 2tẏ = ft, y1 = 0, ẏ3 = t 2 ÿ + 2y = ft, y1 = 0, y2 + 2ẏ2 = Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = 2t π, y0 = 0, yπ = ÿ + y = 1, y0 = 0, yπ = tÿ ẏ = t2, y1 ẏ1 = 0, 3y2 2ẏ2 = 0. 17

18 3. Функция Грина системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную систему ẋ = Atx + ft, 3.1 где At матрица размерности n n, ft n-мерная вектор-функция, которые определены на [, b] Определение и вид функции Грина Обозначим Q = [, b] [, b]. Определение 3.1. Функцией Грина системы 3.1 называется n n- матрица Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0 функции Gt, τ и Gt, τ/ t являются непрерывными по t на [, τ τ, b]; 2 0 в точке t = τ функция Gt, τ терпит скачок, равный единичной матрице: Gτ + 0, τ Gτ 0, τ = I; при t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному матричному уравнению Ẋ = AtX, т. е. Gt, τ t = AtGt, τ при t τ. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть At, ft - непрерывные на [, b] и пусть Φt фундаментальная матрица однородной системы ẋ = Atx. Тогда а функция Грина системы 3.1 существует и имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t, где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица

19 б при любой непрерывной Bτ функция xt = Gt, τfτdτ является частным решением системы 3.1. b Доказательство.. Так как функция Грина при t < τ и τ < t b является решением уравнения Ẋ = AtX, то ее следует строить в виде ΦtBτ, t < τ, Gt, τ = 3.4 ΦtCτ, τ < t b, где Bτ, Cτ n n-матрицы, определенные на [, b]. Очевидно, эта функция Gt, τ будет непрерывной по t на [, τ τ, b]. В силу 3.2, при переходе через точку t = τ функция Грина терпит скачок, равный единичной матрице. Поэтому из 3.4 имеем ΦτCτ ΦτBτ = I, откуда Cτ = Φ 1 τ + Bτ. Подставив найденную матрицу Cτ в 3.4, получим 3.3. б. Теперь покажем, что при непрерывной матрице Bτ функция xt = b Gt, τfτdτ удовлетворяет уравнению 3.1. Подставив сюда Gt, τ из 3.3, имеем эту функцию xt в виде t xt = Φt Bτ + Φ 1 τ fτdτ + b Bτfτdτ. 3.5 Отсюда получаем, что производная ẋt имеет вид ẋt = Φt t Bτ + Φ 1 τ fτdτ + t b Bτfτdτ + +Φt Bt + Φ 1 t Bt ft, t 19

20 откуда на основании равенства Φt = AtΦt и представления 3.5 получаем ẋt = Atxt + ft Пример Для системы вида { ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, найти функцию Грина и с ее помощью определить частное решение этой системы. Решение. Для данной системы имеем At = A =, ft =, 1 0 cos t Φt=e At cos t sin t =, Φ 1 t=e At cos t sin t =. sin t cos t sin t cos t Таким образом, в силу 3.3 функция Грина имеет вид e At Bτ, t τ, Gt, τ = e At Bτ + e Aτ, τ < t, = cos t sin t b 11 τ b 12 τ, sin t cos t b 21 τ b 22 τ t τ cos t sin t b 11 τ + cos τ b 12 τ sin τ sin t cos t b 21 τ + sin τ b 22 τ + cos τ, τ < t. Найдем теперь частное решение. Так как Bτ произвольная матрица, положим, например, Bτ = 0. Тогда 0, t τ, 0 Gt, τ = cost τ sint τ, τ < t. sint τ cost τ 20 =

21 Остается вычислить интеграл b t xt = Gt, τfτdτ = 0 cos τ dτ = Выбрав = 0, получаем xt = 1 2 t cost τ sint τ sint τ cost τ sint τ cos τ dτ. cost τ cos τ t sin t. t cos t + sin t 3.3. Упражнения для самостоятельного решения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих систем: { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + 2e t, 1. ẋ 2 = x 1 + 2x 2 3e 4t. 2. { ẋ1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + 1/t 2 + ln t. 3. { ẋ1 = 3x 1 + 2x 2 + 3e 2t, ẋ 2 = x 1 + 2x 2 e 2t. 4. { ẋ1 = 3x 1 +x 2 +1/t 4 ln t, ẋ 2 = x 1 + x 2 + 1/t. 5. { ẋ1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t { ẋ1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x { ẋ1 = x 1 x sin t, ẋ 2 = 2x 1 x { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + e t, ẋ 2 = 2x 1 + 2t. 9. { ẋ1 = 2x 1 + 4x 2 8, ẋ 2 = 3x 1 + 6x { ẋ1 = x 1 + 2x 2, ẋ 2 = x 1 5 sin t. 21

22 4. Краевая задача для системы уравнений Рассмотрим на [, b] линейную систему 3.1: ẋ = Atx + ft Краевая задача и свойства ее решений Определение 4.1. Соотношение Mx+Nxb=0, где M, N постоянные n n-матрицы, удовлетворяющие условию rnkm, N = n, называется краевыми условиями. Определение 4.2. Задача ẋ = Atx, 4.1 Mx + Nxb = 0, 4.2 называется однородной краевой задачей, а задача ẋ = Atx + ft, 4.3 Mx + Nxb = 0, 4.4 называется неоднородной краевой задачей. ЛЕММА 4.1. а Если x 0 t решение однородной задачи , x 1 t решение неоднородной задачи , то x 0 t+x 1 t решение неоднородной краевой задачи. б Если x 1 t, x 2 t -решения задачи , то x 1 t x 2 t решение однородной краевой задачи. ЛЕММА 4.2. Невырожденность матрицы V = M Φ + N Φb является необходимым и достаточным условием 1 существования только нулевого решения у однородной краевой задачи; 2 единственности решения неоднородной краевой задачи. 22

23 4.2. Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 4.3. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина системы 4.3, удовлетворяющая краевым условиям 4.4, т. е. для которой MG, τ + NGb, τ = 0. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть At, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦA + NΦb; V Bτ = NΦbΦ 1 τ, 4.5 rnk V = rnkv, NΦbΦ 1 τ, 4.6 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ΦtF Φ 1 τ, t τ, Gt, τ = ΦtI + F Φ 1 τ, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной матрице Bτ из 4.5 функция 4.7 xt = b Gt, τfτdτ 4.8 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 3.1 любая функция Грина системы 23

24 4.3 имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t b, 4.9 где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица. Подставим функцию 4.9 в краевые условия 4.4, имеем 0 = MΦBτ + NΦbBτ + Φ 1 τ = V Bτ + NΦbΦ 1 τ, откуда получаем 4.5. Как известно, система 4.5 является совместной тогда и только тогда, когда выполняется условие 4.6. б. Из 4.5 вытекает, что функция Bτ существует и единственна тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае Bτ = V 1 NΦbΦ 1 τ = F Φ 1 τ. Таким образом, подставив выражение для Bτ в 4.9, получаем, что функция Грина неоднородной краевой задачи существует, единственна и имеет вид 4.7. в. В силу теоремы 3.1 функция 4.8 является решением системы 4.3. Чтобы убедиться, что эта функция удовлетворяет краевым условиям, подставим ее в левую часть краевых условий 4.2. Имеем b Mx + Nxb = MG, τ + NGb, τfτdτ = 0. В силу леммы 4.2 функция 4.8 будет единственным решением краевой задачи при условии rnk V = n Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 2 π/2 = 0.

25 Решение. В данной задаче A=, ft=, M=, N= 1 0 cos t cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =, sin t cos t sin t cos t V = MΦ0 + NΦπ/2 = I, V 1 = I. F = V NΦπ/2 =, I + F =, ΦtF Φ 1 sin t sin τ sin t cos τ τ =, cos t sin τ cos t cos τ ΦtI + F Φ 1 cos t cos τ cos t sin τ τ =. sin t cos τ sin t sin τ Таким образом, функция Грина имеет вид sin t sin τ sin t cos τ, 0 t τ, cos t sin τ cos t cos τ Gt, τ = cos t cos τ cos t sin τ, τ < t π/2. sin t cos τ sin t sin τ. Искомое решение xt = π Gt, τ cos τ 0 cos τ dτ = t 0 cos t cos τ sin t cos τ π 2 sin t sin τ sin t cos τ dτ cos t sin τ cos t cos τ t = 1 t π/2 sin t. 2 sin t + t π/2 cos t cos t sin τ sin t sin τ 0 cos τ dτ = 25

26 4.4. Упражнения для самостоятельного решения 1. Доказать лемму Доказать лемму Построить функцию Грина для следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x x 1 1 = 0, x 1 1 = x 1 1, x x 2 1 = 0; x 2 1 = x 2 1; ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x 1 0 = 0, x x 1 1 = 0, x 1 1 = 0. x x 2 1 = 0; 4. Используя функцию Грина, найти решение следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t, ẋ 2 = x 1 + sin t, x 2 0 = 0, x 1 0 x 1 π = 0, x x 2 2 = 0. x 2 0 x 2 π = ẋ 1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t 2, x 1 0 = 0, x 2 1 = ẋ 1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 1 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = 0; 26

27 Заключение В данном методическом пособии впервые в мировой литературе введены понятия функций Грина линейного дифференциального уравнения и системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дано их аналитическое представление через фундаментальную систему решений и установлена их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения функций влияния, δ-функций, проекторов. Список использованной литературы 1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. М. : Высш. шк., с. 2. Валеев К. Г. Построение функций Ляпунова / К. Г. Валеев, Г. С. Финин. К. : Наук. думка, с. 3. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : Изд-во иностр. лит-ры, с. 4. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений / П. И. Лизоркин. М. : Наука, с. 5. Диференщальнi рiвняння / I. I. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, О. Ф. Калайда. К. : Вища школа, с. 6. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. М. : Наука, с. 27

28 Навчальне видання Луценко Анатолiй Васильович Скорик Василь Олександрович Функцiя Грiна та її застосування Методичний посiбник до курсу Диференцiальнi рiвняння Рос. мовою Коректор Ю. В. Лєонт єва Комп ютерне верстання В. О. Скорик Макет обкладинки I. М. Дончик Формат 60 84/16. Ум. друк. арк. 1,0. Тираж 50 пр. Замовлення 235/13. Видавець i виготовлювач Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна, 61022, м. Харкiв, майдан Свободи, 4. Свiдоцтво суб єкта видавничої справи ДК 3367 вiд Видавництво ХНУ iменi В. Н. Каразiна Тел

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. С. Сохин, В. А. Скорик Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

1 Организационно-методический раздел

1 Организационно-методический раздел Программа курса Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры, 2012-2013 учебный год Основной курс для студентов II курса, I потока Составил доцент, к.ф.-м.н. Г. А. Чумаков 1 Организационно-методический

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Том X, 1 Январь Февраль 1969 г. В. М. МИЛЛИОНЩИКОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТИЖИМОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Том X, 1 Январь Февраль 1969 г. В. М. МИЛЛИОНЩИКОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТИЖИМОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Том X, Январь Февраль 969 г В М МИЛЛИОНЩИКОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТИЖИМОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УДК 579 С постановкой вопроса, который решается в настоящей

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина.

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина. 6 Раздел ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Тема Существование и единственность решения краевой задачи Матричные функции Грина Рассмотрим на отрезке по линейную краевую задачу для системы из обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

4 Задача со старшими производными

4 Задача со старшими производными 4 Задача со старшими производными 4.1 Постановка задачи Рассмотрим задачу со старшими производными (для определенности задачу на минимум) в пространствах C n ([, t 1 ], R) и P C n ([, t 1 ], R) J(x( ))

Подробнее

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ М.С. Никольский ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ * Введение Задачам управления с неполной информацией о значениях начального состояния и текущего состояния фазового

Подробнее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 77 ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Механико-математический

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 2

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 2 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА Вычислительные технологии Том 5, 4, 2 О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА М.В. Булатов Институт динамики систем и теории управления СО РАН Иркутск, Россия e-mail:

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Оригиналы и их изображения

Оригиналы и их изображения Занятие 18 Оригиналы и их изображения Операционное исчисление один из методов математического анализа, который мы будем применять к решению дифференциальных уравнений и систем. Суть применения этого метода

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

т С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко УДК ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ

т С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко УДК ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ т. 2 2 1999 УДК 517.9 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко Славян. пед. ин-т, Украина, 343206, Донецкая обл., Славянск e-mail: office@sldpi.donetsk.ua

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ IN 2074-863 Уфимский математический журнал. Том 2. 2 (200). С. 4-52. УДК 57.95 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ Б.Е. КАНГУЖИН,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

О приближенном решении периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов 1

О приближенном решении периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов 1 Динамические системы, вып. 28 (21), 133 14 УДК 517.9 О приближенном решении периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов 1 С. М. Чуйко, Ан. С. Чуйко Славянский государственный

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 8 12. Линейные системы. Спектральный и временной подходы. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее