Функция Грина и ее применение

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функция Грина и ее применение"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения Харьков 2013

2 УДК / ББК я73 Л 86 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и управления Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина Коробов В. И.; доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики Харьковского национального университета радиоэлектроники Шляхов В. В. Утверждено к печати решением Научно-методического совета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина протокол 3 от Л 86 Луценко А. В. Функция Грина и ее применение : методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения / А. В. Луценко, В. А. Скорик. Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, с. В данном пособии вводятся функции Грина для уравнения и системы уравнений и приводятся необходимые и достаточные условия их существования, дается их аналитическое представление. На этой основе определяется функция Грина краевой задачи, доказывается ее существование и разрешимость краевой задачи. Данное пособие будет полезным студентам при изучении курса Дифференциальные уравнения, а также аспирантам этой специальности. УДК / ББК я73 c Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, 2013 c Луценко А. В., Скорик В. А., 2013 c Дончик И. Н., макет обложки, 2013

3 Содержание Введение 4 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для уравнения n-го порядка Определение краевой задачи и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Функция Грина системы дифференциальных уравнений Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для системы уравнений Краевая задача и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Заключение 27 Список использованной литературы 27 3

4 Введение Методическое пособие посвящено разделу Функция Грина и ее применение курса Дифференциальные уравнения механико-математического факультета. В отличие от традиционной схемы изложения учебного материала по указанному разделу, в методическом пособии впервые в мировой литературе вводится понятие функции Грина линейного дифференциального уравнения и линейной системы дифференциальных уравнений. Приводятся необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дается их аналитическое представление через фундаментальную систему решений, устанавливается их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Функция Грина краевой задачи рассматривается как элемент множества функций Грина уравнения или системы уравнений. В отличие от работ [1] [6], где даются только достаточные условия существования и единственности, здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения, как в [1] [4], функций влияния, δ-функций, проекторов. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами, что значительно повышает качество усвоения студентами учебного материала. 4

5 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка 1.1. Определение и вид функции Грина Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение L n y = ft, n 2, 1.1 где L n y = y n + 1 ty n n 1 tẏ + n ty, 1 t,..., n t, ft определенные на [, b] функции. Обозначим Q = {t, τ : t [, b], τ [, b]}. Определение 1.1. Функцией Грина уравнения 1.1 называется числовая функция Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0. Функция Gt, τ и ее производные по t до n 2 порядка включительно непрерывны по t на [, b] Производные по t n 1-го и n-го порядков непрерывны по t в множестве [, τ τ, b] Производная по t порядка n 1 в точке t = τ терпит скачок, равный единице n 1 Gτ + 0, τ n 1 Gτ 0, τ = 1. t n 1 t n При t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному уравнению L n y = 0. ТЕОРЕМА 1.1.Пусть 1 t,..., n t, ft непрерывные на [, b] функции и пусть ϕ 1 t,... ϕ n t фундаментальная система решения однородного уравнения L n y = 0. Тогда: а функция Грина уравнения 1.1 существует и имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t, 1.2 5

6 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, bτ = b 1 τ,..., b n τ произвольный вектор, Φt матрица Вронского функций ϕ 1 t,..., ϕ n t, e n = 0,..., 0, 1 n-мерный вектор; б при любой непрерывной функции bτ функция yt = b Gt, τfτdt является частным решением уравнения 1.1. Доказательство. а. Поскольку функция Грина в промежутках [, τ и τ, b] является решением уравнения L n y = 0, то ее следует строить в виде ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tcτ, τ < t, 1.3 где bτ, cτ n-мерные вектор-функции, определенные на [, b]. В таком случае функция G и ее производные по t до n 2-го порядка включительно будут непрерывны по t на [, τ τ, b]. Они станут непрерывными на всем [, b], если при t = τ будут выполняться равенства ϕ τcτ bτ = 0, ϕτ cτ bτ = 0,..... ϕ n 2 τ cτ bτ = Согласно свойству 3 0, при переходе через точку t = τ производная по t n 1-го порядка функции Грина терпит скачок, равный единице. Следовательно, имеем ϕ n 1 τ cτ bτ = Систему запишем в виде уравнения Φτcτ bτ = e n. 1.6 Поскольку Φt является невырожденной матрицей, то из 1.6 получаем cτ bτ = Φ 1 τe n

7 Из 1.7 следует, что cτ bτ непрерывная функция. Выразив из 1.7 функцию cτ через bτ и подставив ее в 1.3, получим 1.2. б. Покажем, что при непрерывной функции bτ функция b yt = Gt, τfτdt удовлетворяет уравнению 1.1. Подставив выражение для Gt, τ из 1.2, получаем функцию yt в виде yt = ϕ tgt, 1.8 где вектор-функция gt имеет вид gt = t b bτ + Φ 1 τe n fτdt + bτfτdt. Учитывая, что получаем, что ϕ t ϕ t... ϕ t n 1 Φ 1 te n = e n, t y k t = ϕ t k gt, y n t = ϕ t n gt + ft. k = 1,..., n 1, 1.9 Подставляя выражения для yt, ẏt,..., y n 1 t из равенств 1.8, 1.9 в уравнение 1.1, имеем L n yt = L n ϕ tgt + ft Так как ϕ t вектор-строка, составленная из n функций ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальной системы решений уравнения L n y = 0, то L n ϕ t = L n ϕ 1,..., L n ϕ n = 0,..., На основании равенства 1.11 из равенства 1.10 получаем L n yt = ft. 7

8 1.2. Пример Для уравнения ÿ + y = cos t 1.12 найти функцию Грина и с ее помощью частное решение этого уравнения. Решение. Фундаментальная система решений уравнения 1.12 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского этих функций cos τ sin τ Φτ =. sin τ cos τ Так как Φ 1 τ = cos τ sin τ sin τ cos τ, то Φ 1 τe 2 = sin τ cos τ. Таким образом, в силу 1.2 функция Грина для уравнения 1.1 имеет вид b 1 τ cos t + b 2 τ sin t, t τ, Gt, τ = b 1 τ sin τ cos t + b 2 τ + cos τ sin t, τ < t. Найдем частное решение. Так как функции b 1 τ, b 2 τ являются произвольными, то, для простоты, выберем их равными нулю. Тогда { 0, t τ, Gt, τ = sint τ, τ < t. Тогда частное решение уравнения 1.1 задается формулой yt = b Gt, τ cos τdτ = t sint τ cos τdτ и, например, при = 0 имеет вид yt = t 0 sint τ cos τdτ = 1 2 t sin t. 8

9 1.3. Упражнения для самостоятельного решения 1. Показать, что если Kt, τ функция Коши уравнения 1.1, то { 0, t τ, Gt, τ = Kt, τ, τ t, является функцией Грина уравнения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих уравнений 2.1. ÿ y = 2t π ÿ y = 2t ÿ y = 2e t t ÿ + ẏ 2y = 3te t ÿ 3ẏ + 2y = sin t ÿ 2ẏ + y = 1 t et ÿ 5ẏ + 4y = 4t 2 e 2t ÿ + 3ẏ 4y = e 4t. 2.5 t 2 ÿ + 2tẏ = t t 2 ÿ 2y = t 2 e t t 2 ÿ 2tẏ + 2y = sin t t 2 ÿ + 5tẏ + 3y = 1. 9

10 2. Краевая задача для уравнения n-го порядка В задаче Коши значения неизвестной функции и ее производных задаются в одной фиксированной точке. Многие проблемы физики и механики приводят к задачам, описываемым дифференциальными уравнениями, для которых значения неизвестной функции и ее производных задаются в двух или нескольких точках. Такие задачи получили название краевых Определение краевой задачи и свойства ее решений Рассмотрим дифференциальное уравнение 1.1. Определение 2.1. Равенства n j=1 m ij y j 1 + n ij y j 1 b = 0, i = 1,..., n, 2.1 где m ij, n ij постоянные, называются краевыми условиями. Если ввести матрицы M = m ij n i,j=1, N = n ij n i,j=1 yt xt = ẏt..., y n 1 t и вектор то краевые условия 2.1 можно записать в виде Mx + Nxb = 0. В дальнейшем считаем, что rnkm, N = n. Определение 2.2. Однородной краевой задачей называется задача L n y = 0, 2.2 Mx + Nxb = 0, 2.3 т. е. задача нахождения решения однородного уравнения 2.2, удовлетворяющего краевым условиям

11 Определение 2.3. Неоднородной краевой задачей называется задача L n y = ft, 2.4 Mx + Nxb = 0, 2.5 т. е. задача нахождения решения неоднородного уравнения 2.4, удовлетворяющего краевым условиям 2.5. Например, краевая задача ÿ + 4y = 0, y0 = 0, yπ/2 = 0, состоит в отыскании решений уравнения ÿ + 4y = 0, обращающихся в ноль на концах отрезка [0, π/2]. Легко видеть, что такими решениями является yt = c sin 2t. ЛЕММА Если y 0 t решение однородной краевой задачи, y 1 t решение неоднородной краевой задачи, то их сумма y 0 t+y 1 t является решением неоднородной краевой задачи. б. Если y 1 t, y 2 t решения неоднородной краевой задачи, то их разность y 1 t y 2 t является решением однородной краевой задачи. Доказательство. а. Так как L n y 0 + y 1 = ft, M x 0 + x 1 + N x 0 b + x 1 b = = Mx 0 + Nx 0 b + Mx 1 + Nx 1 b = 0, где y 0 t y 1 t x 0 t = ẏ 0 t..., x 1t = ẏ 1 t..., y n 1 0 t y n 1 1 t то y 0 t + y 1 t есть решение задачи

12 б. Так как L n y 1 y 2 = 0 и M x 1 x 2 + N x 1 b x 2 b = = Mx 1 + Nx 1 b Mx 2 b Nx 2 b = 0, где y 2 t x 2 t = ẏ 2 t..., y n 1 2 t то y 1 t y 2 t есть решение задачи ЛЕММА 2.2. Пусть ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальная система решений уравнения 2.2, Φt матрица Вронского этой системы функций. а. Для того, чтобы однородная краевая задача имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V = M Φ + N Φb была невырожденной. б. Для того, чтобы решение неоднородной краевой задачи было единственным, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. Доказательство. а. Решение однородной краевой задачи может быть записано в виде n yt = c i ϕ i t = ϕ tc, i=1 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, c = c 1,..., c n некоторый постоянный вектор. В силу краевых условий 2.3 получаем ϕ c ϕ bc M ϕ c... + N ϕ bc... = 0, ϕ n 1 c ϕ n 1 bc или MΦc + NΦbc = 0, т. е. V c =

13 Таким образом, вопрос о существовании только тривиального решения краевой задачи сведен к вопросу о существовании только тривиального решения алгебраической системы 2.6. Эта система содержит n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных c 1,..., c n. В силу известной теоремы линейной алгебры для того, чтобы система 2.6 имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. б. Пусть неоднородная краевая задача имеет единственное решение y 1 t, однако матрица V является вырожденной. Тогда, как установлено выше, однородная краевая задача имеет решение y 0 t 0. В силу леммы 2.1 функция y 2 t = y 0 t+y 1 t будет еще одним решением неоднородной задачи, отличным от решения y 1 t, что противоречит предположению. Обратно, пусть V невырожденная матрица. Допустим, что неоднородная краевая задача имеет два решения y 1 t, y 2 t, y 1 t y 2 t. Тогда в силу леммы 2.1 функция y 0 t = y 1 t y 2 t будет ненулевым решением однородной краевой задачи, что невозможно в силу Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 2.4. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина уравнения 2.4, удовлетворяющая краевым условиям 2.5, т. е. для которой G, τ M... G n 1, τ + N Gb, τ... G n 1 b, τ = 0. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в 2.4 функции 1 t,..., n t, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система V bτ = NΦbΦ 1 τe n,

14 т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦ + NΦb; rnk V = rnk V, NΦbΦ 1 τe n, 2.8 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ϕ tf Φ 1 τe n, t τ, Gt, τ = ϕ ti + F Φ 1 τe n, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной функции bτ из 2.7 функция 2.9 yt = b Gt, τfτdτ 2.10 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 1.1 любая функция Грина уравнения 2.4 имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t b, 2.11 где bτ произвольная определенная на [, b] вектор-функция. Подставим 2.11 в краевые условия 2.5. Имеем ϕ bτ ϕ bbτ + Φ 1 τe n 0=M... +N... ϕ n 1 bτ откуда получаем ϕ n 1 b bτ+φ 1 τe n = MΦbτ + NΦbbτ + Φ 1 τe n = = V bτ + NΦbΦ 1 τe n, =

15 Как известно, система 2.7 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.8. б. Из 2.7 получаем, что функция bτ существует и единственная тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае bτ = V 1 NΦbΦ 1 τe n. Подставляя это выражение для bτ в 2.11, получаем 2.9. в. В силу теоремы 1.1 функция 2.10 является решением уравнения 2.4. Убедимся, что она удовлетворяет краевым условиям. Для этого подставим функцию из 2.10 в левую часть краевых условий 2.5. Имеем y yb M... + N... = b M G, τ... y n 1 G n 1, τ + N Gb, τ... y n 1 b G n 1 b, τ fτdτ = 0. Наконец, в силу леммы 2.2 при условии rnk V = n функция yt является единственным решением задачи Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = cos t, y0 = 0, yπ/2 = Решение. Фундаментальная система решений уравнения ÿ+y=0 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =. sin t cos t sin t cos t 15

16 Матрицы M, N из краевых условий 2.5 имеют в данном примере вид M =, N = Теперь вычислим следующие матрицы V = MΦ0 + NΦπ/2 = I + = I, F = V NΦπ/2 = =, F Φ cos τ sin τ 0 0 τe 2 = =, 0 1 sin τ cos τ 1 cos τ I + F Φ sin τ sin τ τe 2 = =. 0 0 cos τ 0 Так как ϕ t = cos t, sin t, то на основании 2.9 получаем sin t cos τ, 0 t τ, Gt, τ = cos t sin τ, τ < t π/2. Искомое решение задачи 2.12 имеет вид yt= π/2 Gt, τ cos τdτ= cos t t sin τ cos τdτ sin t π/2 cos 2 τdτ= 0 = 1 2 cos t sin2 t π 4 t 2 1 sin 2t 4 0 sin t = t t 2 π sin t Упражнения для самостоятельного решения 1. При каких значениях существует функция Грина краевой задачи ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = Построить функцию Грина для каждой из краевых задач: 16

17 2.1. ÿ = ft, y0 + y1 = 0, ẏ0 + ẏ1 = ÿ = ft, y0 = 0, y1 = ÿ = ft, y0 yπ = 0, ẏ0 ẏπ = ÿ = ft, ẏ0 = 0, yπ = ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = ÿ + y = ft, ẏ0 = 0, ẏ2 + y2 = ÿ y = ft, y 1 = y1, ẏ 1 = ẏ tÿ ẏ = ft, ẏ1 = 0, y2 = t 2 ÿ + tẏ y = ft, y1 = 2y2, ẏ1 + 4ẏ2 = t 2 ÿ + 2tẏ = ft, y1 = 0, ẏ3 = t 2 ÿ + 2y = ft, y1 = 0, y2 + 2ẏ2 = Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = 2t π, y0 = 0, yπ = ÿ + y = 1, y0 = 0, yπ = tÿ ẏ = t2, y1 ẏ1 = 0, 3y2 2ẏ2 = 0. 17

18 3. Функция Грина системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную систему ẋ = Atx + ft, 3.1 где At матрица размерности n n, ft n-мерная вектор-функция, которые определены на [, b] Определение и вид функции Грина Обозначим Q = [, b] [, b]. Определение 3.1. Функцией Грина системы 3.1 называется n n- матрица Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0 функции Gt, τ и Gt, τ/ t являются непрерывными по t на [, τ τ, b]; 2 0 в точке t = τ функция Gt, τ терпит скачок, равный единичной матрице: Gτ + 0, τ Gτ 0, τ = I; при t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному матричному уравнению Ẋ = AtX, т. е. Gt, τ t = AtGt, τ при t τ. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть At, ft - непрерывные на [, b] и пусть Φt фундаментальная матрица однородной системы ẋ = Atx. Тогда а функция Грина системы 3.1 существует и имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t, где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица

19 б при любой непрерывной Bτ функция xt = Gt, τfτdτ является частным решением системы 3.1. b Доказательство.. Так как функция Грина при t < τ и τ < t b является решением уравнения Ẋ = AtX, то ее следует строить в виде ΦtBτ, t < τ, Gt, τ = 3.4 ΦtCτ, τ < t b, где Bτ, Cτ n n-матрицы, определенные на [, b]. Очевидно, эта функция Gt, τ будет непрерывной по t на [, τ τ, b]. В силу 3.2, при переходе через точку t = τ функция Грина терпит скачок, равный единичной матрице. Поэтому из 3.4 имеем ΦτCτ ΦτBτ = I, откуда Cτ = Φ 1 τ + Bτ. Подставив найденную матрицу Cτ в 3.4, получим 3.3. б. Теперь покажем, что при непрерывной матрице Bτ функция xt = b Gt, τfτdτ удовлетворяет уравнению 3.1. Подставив сюда Gt, τ из 3.3, имеем эту функцию xt в виде t xt = Φt Bτ + Φ 1 τ fτdτ + b Bτfτdτ. 3.5 Отсюда получаем, что производная ẋt имеет вид ẋt = Φt t Bτ + Φ 1 τ fτdτ + t b Bτfτdτ + +Φt Bt + Φ 1 t Bt ft, t 19

20 откуда на основании равенства Φt = AtΦt и представления 3.5 получаем ẋt = Atxt + ft Пример Для системы вида { ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, найти функцию Грина и с ее помощью определить частное решение этой системы. Решение. Для данной системы имеем At = A =, ft =, 1 0 cos t Φt=e At cos t sin t =, Φ 1 t=e At cos t sin t =. sin t cos t sin t cos t Таким образом, в силу 3.3 функция Грина имеет вид e At Bτ, t τ, Gt, τ = e At Bτ + e Aτ, τ < t, = cos t sin t b 11 τ b 12 τ, sin t cos t b 21 τ b 22 τ t τ cos t sin t b 11 τ + cos τ b 12 τ sin τ sin t cos t b 21 τ + sin τ b 22 τ + cos τ, τ < t. Найдем теперь частное решение. Так как Bτ произвольная матрица, положим, например, Bτ = 0. Тогда 0, t τ, 0 Gt, τ = cost τ sint τ, τ < t. sint τ cost τ 20 =

21 Остается вычислить интеграл b t xt = Gt, τfτdτ = 0 cos τ dτ = Выбрав = 0, получаем xt = 1 2 t cost τ sint τ sint τ cost τ sint τ cos τ dτ. cost τ cos τ t sin t. t cos t + sin t 3.3. Упражнения для самостоятельного решения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих систем: { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + 2e t, 1. ẋ 2 = x 1 + 2x 2 3e 4t. 2. { ẋ1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + 1/t 2 + ln t. 3. { ẋ1 = 3x 1 + 2x 2 + 3e 2t, ẋ 2 = x 1 + 2x 2 e 2t. 4. { ẋ1 = 3x 1 +x 2 +1/t 4 ln t, ẋ 2 = x 1 + x 2 + 1/t. 5. { ẋ1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t { ẋ1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x { ẋ1 = x 1 x sin t, ẋ 2 = 2x 1 x { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + e t, ẋ 2 = 2x 1 + 2t. 9. { ẋ1 = 2x 1 + 4x 2 8, ẋ 2 = 3x 1 + 6x { ẋ1 = x 1 + 2x 2, ẋ 2 = x 1 5 sin t. 21

22 4. Краевая задача для системы уравнений Рассмотрим на [, b] линейную систему 3.1: ẋ = Atx + ft Краевая задача и свойства ее решений Определение 4.1. Соотношение Mx+Nxb=0, где M, N постоянные n n-матрицы, удовлетворяющие условию rnkm, N = n, называется краевыми условиями. Определение 4.2. Задача ẋ = Atx, 4.1 Mx + Nxb = 0, 4.2 называется однородной краевой задачей, а задача ẋ = Atx + ft, 4.3 Mx + Nxb = 0, 4.4 называется неоднородной краевой задачей. ЛЕММА 4.1. а Если x 0 t решение однородной задачи , x 1 t решение неоднородной задачи , то x 0 t+x 1 t решение неоднородной краевой задачи. б Если x 1 t, x 2 t -решения задачи , то x 1 t x 2 t решение однородной краевой задачи. ЛЕММА 4.2. Невырожденность матрицы V = M Φ + N Φb является необходимым и достаточным условием 1 существования только нулевого решения у однородной краевой задачи; 2 единственности решения неоднородной краевой задачи. 22

23 4.2. Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 4.3. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина системы 4.3, удовлетворяющая краевым условиям 4.4, т. е. для которой MG, τ + NGb, τ = 0. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть At, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦA + NΦb; V Bτ = NΦbΦ 1 τ, 4.5 rnk V = rnkv, NΦbΦ 1 τ, 4.6 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ΦtF Φ 1 τ, t τ, Gt, τ = ΦtI + F Φ 1 τ, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной матрице Bτ из 4.5 функция 4.7 xt = b Gt, τfτdτ 4.8 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 3.1 любая функция Грина системы 23

24 4.3 имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t b, 4.9 где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица. Подставим функцию 4.9 в краевые условия 4.4, имеем 0 = MΦBτ + NΦbBτ + Φ 1 τ = V Bτ + NΦbΦ 1 τ, откуда получаем 4.5. Как известно, система 4.5 является совместной тогда и только тогда, когда выполняется условие 4.6. б. Из 4.5 вытекает, что функция Bτ существует и единственна тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае Bτ = V 1 NΦbΦ 1 τ = F Φ 1 τ. Таким образом, подставив выражение для Bτ в 4.9, получаем, что функция Грина неоднородной краевой задачи существует, единственна и имеет вид 4.7. в. В силу теоремы 3.1 функция 4.8 является решением системы 4.3. Чтобы убедиться, что эта функция удовлетворяет краевым условиям, подставим ее в левую часть краевых условий 4.2. Имеем b Mx + Nxb = MG, τ + NGb, τfτdτ = 0. В силу леммы 4.2 функция 4.8 будет единственным решением краевой задачи при условии rnk V = n Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 2 π/2 = 0.

25 Решение. В данной задаче A=, ft=, M=, N= 1 0 cos t cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =, sin t cos t sin t cos t V = MΦ0 + NΦπ/2 = I, V 1 = I. F = V NΦπ/2 =, I + F =, ΦtF Φ 1 sin t sin τ sin t cos τ τ =, cos t sin τ cos t cos τ ΦtI + F Φ 1 cos t cos τ cos t sin τ τ =. sin t cos τ sin t sin τ Таким образом, функция Грина имеет вид sin t sin τ sin t cos τ, 0 t τ, cos t sin τ cos t cos τ Gt, τ = cos t cos τ cos t sin τ, τ < t π/2. sin t cos τ sin t sin τ. Искомое решение xt = π Gt, τ cos τ 0 cos τ dτ = t 0 cos t cos τ sin t cos τ π 2 sin t sin τ sin t cos τ dτ cos t sin τ cos t cos τ t = 1 t π/2 sin t. 2 sin t + t π/2 cos t cos t sin τ sin t sin τ 0 cos τ dτ = 25

26 4.4. Упражнения для самостоятельного решения 1. Доказать лемму Доказать лемму Построить функцию Грина для следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x x 1 1 = 0, x 1 1 = x 1 1, x x 2 1 = 0; x 2 1 = x 2 1; ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x 1 0 = 0, x x 1 1 = 0, x 1 1 = 0. x x 2 1 = 0; 4. Используя функцию Грина, найти решение следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t, ẋ 2 = x 1 + sin t, x 2 0 = 0, x 1 0 x 1 π = 0, x x 2 2 = 0. x 2 0 x 2 π = ẋ 1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t 2, x 1 0 = 0, x 2 1 = ẋ 1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 1 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = 0; 26

27 Заключение В данном методическом пособии впервые в мировой литературе введены понятия функций Грина линейного дифференциального уравнения и системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дано их аналитическое представление через фундаментальную систему решений и установлена их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения функций влияния, δ-функций, проекторов. Список использованной литературы 1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. М. : Высш. шк., с. 2. Валеев К. Г. Построение функций Ляпунова / К. Г. Валеев, Г. С. Финин. К. : Наук. думка, с. 3. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : Изд-во иностр. лит-ры, с. 4. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений / П. И. Лизоркин. М. : Наука, с. 5. Диференщальнi рiвняння / I. I. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, О. Ф. Калайда. К. : Вища школа, с. 6. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. М. : Наука, с. 27

28 Навчальне видання Луценко Анатолiй Васильович Скорик Василь Олександрович Функцiя Грiна та її застосування Методичний посiбник до курсу Диференцiальнi рiвняння Рос. мовою Коректор Ю. В. Лєонт єва Комп ютерне верстання В. О. Скорик Макет обкладинки I. М. Дончик Формат 60 84/16. Ум. друк. арк. 1,0. Тираж 50 пр. Замовлення 235/13. Видавець i виготовлювач Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна, 61022, м. Харкiв, майдан Свободи, 4. Свiдоцтво суб єкта видавничої справи ДК 3367 вiд Видавництво ХНУ iменi В. Н. Каразiна Тел

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

А. С. Сохин, В. А. Скорик. Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. С. Сохин, В. А. Скорик Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Тема 2-2: Линейная зависимость

Тема 2-2: Линейная зависимость Тема 2-2: Линейная зависимость А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

УДК 517.926. c 2010 Перов А. И. Сибирский математический журнал Март апрель, 2010. Том 51, 2

УДК 517.926. c 2010 Перов А. И. Сибирский математический журнал Март апрель, 2010. Том 51, 2 Сибирский математический журнал Март апрель, 21. Том 51, 2 УДК 517.926 КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ ДАНЖУА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 512.541 О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Аннотация: Установлен ряд свойств вполне транзитивных групп без

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет Кафедра алгебры

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

3 Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена.

3 Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена. В.В. Жук, А.М. Камачкин 3 Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена. 3.1 Формула Тейлора для многочленов. Пусть P - многочлен степени не выше n: a 0 + a 1 x +... + a n x n. Дифференцируя

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 15 ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А.

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А. УДК 517.98 О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А. ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.И. ВЕРНАДСКОГО, ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ и ИНФОРМАТИКИ ПР-Т ВЕРНАДСКОГО,

Подробнее

ЧИСЛО ВРАЩЕНИЯ КАК ПОЛНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА

ЧИСЛО ВРАЩЕНИЯ КАК ПОЛНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА 26 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2009. 2(68) УДК 519.923.52 ЧИСЛО ВРАЩЕНИЯ КАК ПОЛНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА c 2009 А.А. Жукова 1 Рассматривается уравнение Хилла. После перехода

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Жорданова форма нормальная Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Г л а в а 6 Плоское движение тела

Г л а в а 6 Плоское движение тела Плоское движение тела 53 Аналогичные соотношения имеем из контакта колес 3 и 4, 4 и 5: ω 3 r 3 = ω 4 r 4, ω 4 R 4 = ω 5 R 5. (5.8) Кроме того, имеем уравнение, выражающее расстояние между крайними осями

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А. БИЛЕТ Факультет Нефтетехнологический специальность МАПП семестр IV Понятие неопределенного интеграла и его основные свойства Найти неопределенный интеграл: + а) d ; sin б) + cos d ; в) 5 arcsin d Вычислить

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы

Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы Лекция 8 Модель льда и коммутирующие трансфер-матрицы Рассмотрим другую модель классической статистической механики шестивершинную модель или модель льда Пусть на ребрах квадратной решетки живут «спины»

Подробнее

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента.

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента. Понятие о геометрических характеристиках однородных поперечных сечений Центр тяжести; статические моменты; моменты инерции осевые, центробежный, полярный; моменты сопротивления; радиусы инерции Главные

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

2 Сильно непрерывные полугруппы

2 Сильно непрерывные полугруппы 2 Сильно непрерывные полугруппы Определение 1 Полугруппа линейных ограниченных операторов T), действующих в банаховом пространстве, называется сильно непрерывной или C -полугруппой), если lim T)x = x x

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

1. Основные уравнения математической физики

1. Основные уравнения математической физики 1. Основные уравнения математической физики В математической физике возникают самые разнообразные дифференциальные уравнения, описывающие различные физические процессы. Целью нашего курса является изучение

Подробнее

1. Производная и её свойства

1. Производная и её свойства ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Производная и её свойства Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a,b) и x 0 точка этого интервала. Пусть x такая величина, что x 0 ± x (a,b),

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее