Функция Грина и ее применение

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функция Грина и ее применение"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения Харьков 2013

2 УДК / ББК я73 Л 86 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и управления Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина Коробов В. И.; доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики Харьковского национального университета радиоэлектроники Шляхов В. В. Утверждено к печати решением Научно-методического совета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина протокол 3 от Л 86 Луценко А. В. Функция Грина и ее применение : методическое пособие по курсу Дифференциальные уравнения / А. В. Луценко, В. А. Скорик. Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, с. В данном пособии вводятся функции Грина для уравнения и системы уравнений и приводятся необходимые и достаточные условия их существования, дается их аналитическое представление. На этой основе определяется функция Грина краевой задачи, доказывается ее существование и разрешимость краевой задачи. Данное пособие будет полезным студентам при изучении курса Дифференциальные уравнения, а также аспирантам этой специальности. УДК / ББК я73 c Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, 2013 c Луценко А. В., Скорик В. А., 2013 c Дончик И. Н., макет обложки, 2013

3 Содержание Введение 4 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для уравнения n-го порядка Определение краевой задачи и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Функция Грина системы дифференциальных уравнений Определение и вид функции Грина Пример Упражнения для самостоятельного решения Краевая задача для системы уравнений Краевая задача и свойства ее решений Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Пример Упражнения для самостоятельного решения Заключение 27 Список использованной литературы 27 3

4 Введение Методическое пособие посвящено разделу Функция Грина и ее применение курса Дифференциальные уравнения механико-математического факультета. В отличие от традиционной схемы изложения учебного материала по указанному разделу, в методическом пособии впервые в мировой литературе вводится понятие функции Грина линейного дифференциального уравнения и линейной системы дифференциальных уравнений. Приводятся необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дается их аналитическое представление через фундаментальную систему решений, устанавливается их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Функция Грина краевой задачи рассматривается как элемент множества функций Грина уравнения или системы уравнений. В отличие от работ [1] [6], где даются только достаточные условия существования и единственности, здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения, как в [1] [4], функций влияния, δ-функций, проекторов. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами, что значительно повышает качество усвоения студентами учебного материала. 4

5 1. Функция Грина линейного дифференциального уравнения n-го порядка 1.1. Определение и вид функции Грина Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение L n y = ft, n 2, 1.1 где L n y = y n + 1 ty n n 1 tẏ + n ty, 1 t,..., n t, ft определенные на [, b] функции. Обозначим Q = {t, τ : t [, b], τ [, b]}. Определение 1.1. Функцией Грина уравнения 1.1 называется числовая функция Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0. Функция Gt, τ и ее производные по t до n 2 порядка включительно непрерывны по t на [, b] Производные по t n 1-го и n-го порядков непрерывны по t в множестве [, τ τ, b] Производная по t порядка n 1 в точке t = τ терпит скачок, равный единице n 1 Gτ + 0, τ n 1 Gτ 0, τ = 1. t n 1 t n При t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному уравнению L n y = 0. ТЕОРЕМА 1.1.Пусть 1 t,..., n t, ft непрерывные на [, b] функции и пусть ϕ 1 t,... ϕ n t фундаментальная система решения однородного уравнения L n y = 0. Тогда: а функция Грина уравнения 1.1 существует и имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t, 1.2 5

6 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, bτ = b 1 τ,..., b n τ произвольный вектор, Φt матрица Вронского функций ϕ 1 t,..., ϕ n t, e n = 0,..., 0, 1 n-мерный вектор; б при любой непрерывной функции bτ функция yt = b Gt, τfτdt является частным решением уравнения 1.1. Доказательство. а. Поскольку функция Грина в промежутках [, τ и τ, b] является решением уравнения L n y = 0, то ее следует строить в виде ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tcτ, τ < t, 1.3 где bτ, cτ n-мерные вектор-функции, определенные на [, b]. В таком случае функция G и ее производные по t до n 2-го порядка включительно будут непрерывны по t на [, τ τ, b]. Они станут непрерывными на всем [, b], если при t = τ будут выполняться равенства ϕ τcτ bτ = 0, ϕτ cτ bτ = 0,..... ϕ n 2 τ cτ bτ = Согласно свойству 3 0, при переходе через точку t = τ производная по t n 1-го порядка функции Грина терпит скачок, равный единице. Следовательно, имеем ϕ n 1 τ cτ bτ = Систему запишем в виде уравнения Φτcτ bτ = e n. 1.6 Поскольку Φt является невырожденной матрицей, то из 1.6 получаем cτ bτ = Φ 1 τe n

7 Из 1.7 следует, что cτ bτ непрерывная функция. Выразив из 1.7 функцию cτ через bτ и подставив ее в 1.3, получим 1.2. б. Покажем, что при непрерывной функции bτ функция b yt = Gt, τfτdt удовлетворяет уравнению 1.1. Подставив выражение для Gt, τ из 1.2, получаем функцию yt в виде yt = ϕ tgt, 1.8 где вектор-функция gt имеет вид gt = t b bτ + Φ 1 τe n fτdt + bτfτdt. Учитывая, что получаем, что ϕ t ϕ t... ϕ t n 1 Φ 1 te n = e n, t y k t = ϕ t k gt, y n t = ϕ t n gt + ft. k = 1,..., n 1, 1.9 Подставляя выражения для yt, ẏt,..., y n 1 t из равенств 1.8, 1.9 в уравнение 1.1, имеем L n yt = L n ϕ tgt + ft Так как ϕ t вектор-строка, составленная из n функций ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальной системы решений уравнения L n y = 0, то L n ϕ t = L n ϕ 1,..., L n ϕ n = 0,..., На основании равенства 1.11 из равенства 1.10 получаем L n yt = ft. 7

8 1.2. Пример Для уравнения ÿ + y = cos t 1.12 найти функцию Грина и с ее помощью частное решение этого уравнения. Решение. Фундаментальная система решений уравнения 1.12 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского этих функций cos τ sin τ Φτ =. sin τ cos τ Так как Φ 1 τ = cos τ sin τ sin τ cos τ, то Φ 1 τe 2 = sin τ cos τ. Таким образом, в силу 1.2 функция Грина для уравнения 1.1 имеет вид b 1 τ cos t + b 2 τ sin t, t τ, Gt, τ = b 1 τ sin τ cos t + b 2 τ + cos τ sin t, τ < t. Найдем частное решение. Так как функции b 1 τ, b 2 τ являются произвольными, то, для простоты, выберем их равными нулю. Тогда { 0, t τ, Gt, τ = sint τ, τ < t. Тогда частное решение уравнения 1.1 задается формулой yt = b Gt, τ cos τdτ = t sint τ cos τdτ и, например, при = 0 имеет вид yt = t 0 sint τ cos τdτ = 1 2 t sin t. 8

9 1.3. Упражнения для самостоятельного решения 1. Показать, что если Kt, τ функция Коши уравнения 1.1, то { 0, t τ, Gt, τ = Kt, τ, τ t, является функцией Грина уравнения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих уравнений 2.1. ÿ y = 2t π ÿ y = 2t ÿ y = 2e t t ÿ + ẏ 2y = 3te t ÿ 3ẏ + 2y = sin t ÿ 2ẏ + y = 1 t et ÿ 5ẏ + 4y = 4t 2 e 2t ÿ + 3ẏ 4y = e 4t. 2.5 t 2 ÿ + 2tẏ = t t 2 ÿ 2y = t 2 e t t 2 ÿ 2tẏ + 2y = sin t t 2 ÿ + 5tẏ + 3y = 1. 9

10 2. Краевая задача для уравнения n-го порядка В задаче Коши значения неизвестной функции и ее производных задаются в одной фиксированной точке. Многие проблемы физики и механики приводят к задачам, описываемым дифференциальными уравнениями, для которых значения неизвестной функции и ее производных задаются в двух или нескольких точках. Такие задачи получили название краевых Определение краевой задачи и свойства ее решений Рассмотрим дифференциальное уравнение 1.1. Определение 2.1. Равенства n j=1 m ij y j 1 + n ij y j 1 b = 0, i = 1,..., n, 2.1 где m ij, n ij постоянные, называются краевыми условиями. Если ввести матрицы M = m ij n i,j=1, N = n ij n i,j=1 yt xt = ẏt..., y n 1 t и вектор то краевые условия 2.1 можно записать в виде Mx + Nxb = 0. В дальнейшем считаем, что rnkm, N = n. Определение 2.2. Однородной краевой задачей называется задача L n y = 0, 2.2 Mx + Nxb = 0, 2.3 т. е. задача нахождения решения однородного уравнения 2.2, удовлетворяющего краевым условиям

11 Определение 2.3. Неоднородной краевой задачей называется задача L n y = ft, 2.4 Mx + Nxb = 0, 2.5 т. е. задача нахождения решения неоднородного уравнения 2.4, удовлетворяющего краевым условиям 2.5. Например, краевая задача ÿ + 4y = 0, y0 = 0, yπ/2 = 0, состоит в отыскании решений уравнения ÿ + 4y = 0, обращающихся в ноль на концах отрезка [0, π/2]. Легко видеть, что такими решениями является yt = c sin 2t. ЛЕММА Если y 0 t решение однородной краевой задачи, y 1 t решение неоднородной краевой задачи, то их сумма y 0 t+y 1 t является решением неоднородной краевой задачи. б. Если y 1 t, y 2 t решения неоднородной краевой задачи, то их разность y 1 t y 2 t является решением однородной краевой задачи. Доказательство. а. Так как L n y 0 + y 1 = ft, M x 0 + x 1 + N x 0 b + x 1 b = = Mx 0 + Nx 0 b + Mx 1 + Nx 1 b = 0, где y 0 t y 1 t x 0 t = ẏ 0 t..., x 1t = ẏ 1 t..., y n 1 0 t y n 1 1 t то y 0 t + y 1 t есть решение задачи

12 б. Так как L n y 1 y 2 = 0 и M x 1 x 2 + N x 1 b x 2 b = = Mx 1 + Nx 1 b Mx 2 b Nx 2 b = 0, где y 2 t x 2 t = ẏ 2 t..., y n 1 2 t то y 1 t y 2 t есть решение задачи ЛЕММА 2.2. Пусть ϕ 1 t,..., ϕ n t фундаментальная система решений уравнения 2.2, Φt матрица Вронского этой системы функций. а. Для того, чтобы однородная краевая задача имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V = M Φ + N Φb была невырожденной. б. Для того, чтобы решение неоднородной краевой задачи было единственным, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. Доказательство. а. Решение однородной краевой задачи может быть записано в виде n yt = c i ϕ i t = ϕ tc, i=1 где ϕ t = ϕ 1 t,..., ϕ n t, c = c 1,..., c n некоторый постоянный вектор. В силу краевых условий 2.3 получаем ϕ c ϕ bc M ϕ c... + N ϕ bc... = 0, ϕ n 1 c ϕ n 1 bc или MΦc + NΦbc = 0, т. е. V c =

13 Таким образом, вопрос о существовании только тривиального решения краевой задачи сведен к вопросу о существовании только тривиального решения алгебраической системы 2.6. Эта система содержит n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных c 1,..., c n. В силу известной теоремы линейной алгебры для того, чтобы система 2.6 имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица V была невырожденной. б. Пусть неоднородная краевая задача имеет единственное решение y 1 t, однако матрица V является вырожденной. Тогда, как установлено выше, однородная краевая задача имеет решение y 0 t 0. В силу леммы 2.1 функция y 2 t = y 0 t+y 1 t будет еще одним решением неоднородной задачи, отличным от решения y 1 t, что противоречит предположению. Обратно, пусть V невырожденная матрица. Допустим, что неоднородная краевая задача имеет два решения y 1 t, y 2 t, y 1 t y 2 t. Тогда в силу леммы 2.1 функция y 0 t = y 1 t y 2 t будет ненулевым решением однородной краевой задачи, что невозможно в силу Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 2.4. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина уравнения 2.4, удовлетворяющая краевым условиям 2.5, т. е. для которой G, τ M... G n 1, τ + N Gb, τ... G n 1 b, τ = 0. ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в 2.4 функции 1 t,..., n t, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система V bτ = NΦbΦ 1 τe n,

14 т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦ + NΦb; rnk V = rnk V, NΦbΦ 1 τe n, 2.8 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ϕ tf Φ 1 τe n, t τ, Gt, τ = ϕ ti + F Φ 1 τe n, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной функции bτ из 2.7 функция 2.9 yt = b Gt, τfτdτ 2.10 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 1.1 любая функция Грина уравнения 2.4 имеет вид ϕ tbτ, t τ, Gt, τ = ϕ tbτ + Φ 1 τe n, τ < t b, 2.11 где bτ произвольная определенная на [, b] вектор-функция. Подставим 2.11 в краевые условия 2.5. Имеем ϕ bτ ϕ bbτ + Φ 1 τe n 0=M... +N... ϕ n 1 bτ откуда получаем ϕ n 1 b bτ+φ 1 τe n = MΦbτ + NΦbbτ + Φ 1 τe n = = V bτ + NΦbΦ 1 τe n, =

15 Как известно, система 2.7 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие 2.8. б. Из 2.7 получаем, что функция bτ существует и единственная тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае bτ = V 1 NΦbΦ 1 τe n. Подставляя это выражение для bτ в 2.11, получаем 2.9. в. В силу теоремы 1.1 функция 2.10 является решением уравнения 2.4. Убедимся, что она удовлетворяет краевым условиям. Для этого подставим функцию из 2.10 в левую часть краевых условий 2.5. Имеем y yb M... + N... = b M G, τ... y n 1 G n 1, τ + N Gb, τ... y n 1 b G n 1 b, τ fτdτ = 0. Наконец, в силу леммы 2.2 при условии rnk V = n функция yt является единственным решением задачи Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = cos t, y0 = 0, yπ/2 = Решение. Фундаментальная система решений уравнения ÿ+y=0 имеет вид ϕ 1 t = cos t, ϕ 2 t = sin t. Матрица Вронского cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =. sin t cos t sin t cos t 15

16 Матрицы M, N из краевых условий 2.5 имеют в данном примере вид M =, N = Теперь вычислим следующие матрицы V = MΦ0 + NΦπ/2 = I + = I, F = V NΦπ/2 = =, F Φ cos τ sin τ 0 0 τe 2 = =, 0 1 sin τ cos τ 1 cos τ I + F Φ sin τ sin τ τe 2 = =. 0 0 cos τ 0 Так как ϕ t = cos t, sin t, то на основании 2.9 получаем sin t cos τ, 0 t τ, Gt, τ = cos t sin τ, τ < t π/2. Искомое решение задачи 2.12 имеет вид yt= π/2 Gt, τ cos τdτ= cos t t sin τ cos τdτ sin t π/2 cos 2 τdτ= 0 = 1 2 cos t sin2 t π 4 t 2 1 sin 2t 4 0 sin t = t t 2 π sin t Упражнения для самостоятельного решения 1. При каких значениях существует функция Грина краевой задачи ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = Построить функцию Грина для каждой из краевых задач: 16

17 2.1. ÿ = ft, y0 + y1 = 0, ẏ0 + ẏ1 = ÿ = ft, y0 = 0, y1 = ÿ = ft, y0 yπ = 0, ẏ0 ẏπ = ÿ = ft, ẏ0 = 0, yπ = ÿ + y = ft, y0 = 0, y1 = ÿ + y = ft, ẏ0 = 0, ẏ2 + y2 = ÿ y = ft, y 1 = y1, ẏ 1 = ẏ tÿ ẏ = ft, ẏ1 = 0, y2 = t 2 ÿ + tẏ y = ft, y1 = 2y2, ẏ1 + 4ẏ2 = t 2 ÿ + 2tẏ = ft, y1 = 0, ẏ3 = t 2 ÿ + 2y = ft, y1 = 0, y2 + 2ẏ2 = Построив функцию Грина, решить краевую задачу ÿ + y = 2t π, y0 = 0, yπ = ÿ + y = 1, y0 = 0, yπ = tÿ ẏ = t2, y1 ẏ1 = 0, 3y2 2ẏ2 = 0. 17

18 3. Функция Грина системы дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную систему ẋ = Atx + ft, 3.1 где At матрица размерности n n, ft n-мерная вектор-функция, которые определены на [, b] Определение и вид функции Грина Обозначим Q = [, b] [, b]. Определение 3.1. Функцией Грина системы 3.1 называется n n- матрица Gt, τ, определенная в квадрате Q и обладающая следующими свойствами: 1 0 функции Gt, τ и Gt, τ/ t являются непрерывными по t на [, τ τ, b]; 2 0 в точке t = τ функция Gt, τ терпит скачок, равный единичной матрице: Gτ + 0, τ Gτ 0, τ = I; при t τ функция Gt, τ, как функция t, удовлетворяет однородному матричному уравнению Ẋ = AtX, т. е. Gt, τ t = AtGt, τ при t τ. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть At, ft - непрерывные на [, b] и пусть Φt фундаментальная матрица однородной системы ẋ = Atx. Тогда а функция Грина системы 3.1 существует и имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t, где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица

19 б при любой непрерывной Bτ функция xt = Gt, τfτdτ является частным решением системы 3.1. b Доказательство.. Так как функция Грина при t < τ и τ < t b является решением уравнения Ẋ = AtX, то ее следует строить в виде ΦtBτ, t < τ, Gt, τ = 3.4 ΦtCτ, τ < t b, где Bτ, Cτ n n-матрицы, определенные на [, b]. Очевидно, эта функция Gt, τ будет непрерывной по t на [, τ τ, b]. В силу 3.2, при переходе через точку t = τ функция Грина терпит скачок, равный единичной матрице. Поэтому из 3.4 имеем ΦτCτ ΦτBτ = I, откуда Cτ = Φ 1 τ + Bτ. Подставив найденную матрицу Cτ в 3.4, получим 3.3. б. Теперь покажем, что при непрерывной матрице Bτ функция xt = b Gt, τfτdτ удовлетворяет уравнению 3.1. Подставив сюда Gt, τ из 3.3, имеем эту функцию xt в виде t xt = Φt Bτ + Φ 1 τ fτdτ + b Bτfτdτ. 3.5 Отсюда получаем, что производная ẋt имеет вид ẋt = Φt t Bτ + Φ 1 τ fτdτ + t b Bτfτdτ + +Φt Bt + Φ 1 t Bt ft, t 19

20 откуда на основании равенства Φt = AtΦt и представления 3.5 получаем ẋt = Atxt + ft Пример Для системы вида { ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, найти функцию Грина и с ее помощью определить частное решение этой системы. Решение. Для данной системы имеем At = A =, ft =, 1 0 cos t Φt=e At cos t sin t =, Φ 1 t=e At cos t sin t =. sin t cos t sin t cos t Таким образом, в силу 3.3 функция Грина имеет вид e At Bτ, t τ, Gt, τ = e At Bτ + e Aτ, τ < t, = cos t sin t b 11 τ b 12 τ, sin t cos t b 21 τ b 22 τ t τ cos t sin t b 11 τ + cos τ b 12 τ sin τ sin t cos t b 21 τ + sin τ b 22 τ + cos τ, τ < t. Найдем теперь частное решение. Так как Bτ произвольная матрица, положим, например, Bτ = 0. Тогда 0, t τ, 0 Gt, τ = cost τ sint τ, τ < t. sint τ cost τ 20 =

21 Остается вычислить интеграл b t xt = Gt, τfτdτ = 0 cos τ dτ = Выбрав = 0, получаем xt = 1 2 t cost τ sint τ sint τ cost τ sint τ cos τ dτ. cost τ cos τ t sin t. t cos t + sin t 3.3. Упражнения для самостоятельного решения Найти функцию Грина и с ее помощью частное решение следующих систем: { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + 2e t, 1. ẋ 2 = x 1 + 2x 2 3e 4t. 2. { ẋ1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + 1/t 2 + ln t. 3. { ẋ1 = 3x 1 + 2x 2 + 3e 2t, ẋ 2 = x 1 + 2x 2 e 2t. 4. { ẋ1 = 3x 1 +x 2 +1/t 4 ln t, ẋ 2 = x 1 + x 2 + 1/t. 5. { ẋ1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t { ẋ1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x { ẋ1 = x 1 x sin t, ẋ 2 = 2x 1 x { ẋ1 = 2x 1 + x 2 + e t, ẋ 2 = 2x 1 + 2t. 9. { ẋ1 = 2x 1 + 4x 2 8, ẋ 2 = 3x 1 + 6x { ẋ1 = x 1 + 2x 2, ẋ 2 = x 1 5 sin t. 21

22 4. Краевая задача для системы уравнений Рассмотрим на [, b] линейную систему 3.1: ẋ = Atx + ft Краевая задача и свойства ее решений Определение 4.1. Соотношение Mx+Nxb=0, где M, N постоянные n n-матрицы, удовлетворяющие условию rnkm, N = n, называется краевыми условиями. Определение 4.2. Задача ẋ = Atx, 4.1 Mx + Nxb = 0, 4.2 называется однородной краевой задачей, а задача ẋ = Atx + ft, 4.3 Mx + Nxb = 0, 4.4 называется неоднородной краевой задачей. ЛЕММА 4.1. а Если x 0 t решение однородной задачи , x 1 t решение неоднородной задачи , то x 0 t+x 1 t решение неоднородной краевой задачи. б Если x 1 t, x 2 t -решения задачи , то x 1 t x 2 t решение однородной краевой задачи. ЛЕММА 4.2. Невырожденность матрицы V = M Φ + N Φb является необходимым и достаточным условием 1 существования только нулевого решения у однородной краевой задачи; 2 единственности решения неоднородной краевой задачи. 22

23 4.2. Функция Грина и решение неоднородной краевой задачи Определение 4.3. Функцией Грина неоднородной краевой задачи называется функция Грина системы 4.3, удовлетворяющая краевым условиям 4.4, т. е. для которой MG, τ + NGb, τ = 0. ТЕОРЕМА 4.1. Пусть At, ft непрерывны на [, b]. Тогда: а для существования функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы для любого τ [, b] была совместной система т. е. чтобы выполнялось условие где V = MΦA + NΦb; V Bτ = NΦbΦ 1 τ, 4.5 rnk V = rnkv, NΦbΦ 1 τ, 4.6 б для существования и единственности функции Грина неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы rnk V = n. В этом случае функция Грина имеет вид ΦtF Φ 1 τ, t τ, Gt, τ = ΦtI + F Φ 1 τ, τ < t, где F = V 1 NΦb; в при непрерывной матрице Bτ из 4.5 функция 4.7 xt = b Gt, τfτdτ 4.8 является решением неоднородной краевой задачи , причем в случае rnk V = n это решение единственное. Доказательство. а. В силу теоремы 3.1 любая функция Грина системы 23

24 4.3 имеет вид ΦtBτ, t τ, Gt, τ = ΦtBτ + Φ 1 τ, τ < t b, 4.9 где Bτ произвольная определенная на [, b] n n-матрица. Подставим функцию 4.9 в краевые условия 4.4, имеем 0 = MΦBτ + NΦbBτ + Φ 1 τ = V Bτ + NΦbΦ 1 τ, откуда получаем 4.5. Как известно, система 4.5 является совместной тогда и только тогда, когда выполняется условие 4.6. б. Из 4.5 вытекает, что функция Bτ существует и единственна тогда и только тогда, когда rnk V = n. В этом случае Bτ = V 1 NΦbΦ 1 τ = F Φ 1 τ. Таким образом, подставив выражение для Bτ в 4.9, получаем, что функция Грина неоднородной краевой задачи существует, единственна и имеет вид 4.7. в. В силу теоремы 3.1 функция 4.8 является решением системы 4.3. Чтобы убедиться, что эта функция удовлетворяет краевым условиям, подставим ее в левую часть краевых условий 4.2. Имеем b Mx + Nxb = MG, τ + NGb, τfτdτ = 0. В силу леммы 4.2 функция 4.8 будет единственным решением краевой задачи при условии rnk V = n Пример Построив функцию Грина, решить краевую задачу ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 2 π/2 = 0.

25 Решение. В данной задаче A=, ft=, M=, N= 1 0 cos t cos t sin t Φt =, Φ 1 cos t sin t t =, sin t cos t sin t cos t V = MΦ0 + NΦπ/2 = I, V 1 = I. F = V NΦπ/2 =, I + F =, ΦtF Φ 1 sin t sin τ sin t cos τ τ =, cos t sin τ cos t cos τ ΦtI + F Φ 1 cos t cos τ cos t sin τ τ =. sin t cos τ sin t sin τ Таким образом, функция Грина имеет вид sin t sin τ sin t cos τ, 0 t τ, cos t sin τ cos t cos τ Gt, τ = cos t cos τ cos t sin τ, τ < t π/2. sin t cos τ sin t sin τ. Искомое решение xt = π Gt, τ cos τ 0 cos τ dτ = t 0 cos t cos τ sin t cos τ π 2 sin t sin τ sin t cos τ dτ cos t sin τ cos t cos τ t = 1 t π/2 sin t. 2 sin t + t π/2 cos t cos t sin τ sin t sin τ 0 cos τ dτ = 25

26 4.4. Упражнения для самостоятельного решения 1. Доказать лемму Доказать лемму Построить функцию Грина для следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x x 1 1 = 0, x 1 1 = x 1 1, x x 2 1 = 0; x 2 1 = x 2 1; ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + ft, ẋ 2 = x 1 + ft, x 1 0 = 0, x x 1 1 = 0, x 1 1 = 0. x x 2 1 = 0; 4. Используя функцию Грина, найти решение следующих краевых задач: ẋ 1 = x 2, ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t, ẋ 2 = x 1 + sin t, x 2 0 = 0, x 1 0 x 1 π = 0, x x 2 2 = 0. x 2 0 x 2 π = ẋ 1 = x 2 + 2e t, ẋ 2 = x 1 + t 2, x 1 0 = 0, x 2 1 = ẋ 1 = x 2 5 cos t, ẋ 2 = 2x 1 + x 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + cos t, x 1 0 = 0, x 1 1 = ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 1 + t 2, x x 1 1 = 0, x x 2 1 = 0; 26

27 Заключение В данном методическом пособии впервые в мировой литературе введены понятия функций Грина линейного дифференциального уравнения и системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия существования функций Грина, дано их аналитическое представление через фундаментальную систему решений и установлена их связь с решениями неоднородного уравнения и неоднородной системы. На базе введенной функции Грина дифференциального уравнения определяется функция Грина краевой задачи. Приведены необходимые и достаточные условия существования и единственности функции Грина краевой задачи и дается ее аналитическое представление через фундаментальную систему решений и краевые условия. При таком подходе отпадает необходимость привлечения функций влияния, δ-функций, проекторов. Список использованной литературы 1. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. М. : Высш. шк., с. 2. Валеев К. Г. Построение функций Ляпунова / К. Г. Валеев, Г. С. Финин. К. : Наук. думка, с. 3. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : Изд-во иностр. лит-ры, с. 4. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений / П. И. Лизоркин. М. : Наука, с. 5. Диференщальнi рiвняння / I. I. Ляшко, О. К. Боярчук, Я. Г. Гай, О. Ф. Калайда. К. : Вища школа, с. 6. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. М. : Наука, с. 27

28 Навчальне видання Луценко Анатолiй Васильович Скорик Василь Олександрович Функцiя Грiна та її застосування Методичний посiбник до курсу Диференцiальнi рiвняння Рос. мовою Коректор Ю. В. Лєонт єва Комп ютерне верстання В. О. Скорик Макет обкладинки I. М. Дончик Формат 60 84/16. Ум. друк. арк. 1,0. Тираж 50 пр. Замовлення 235/13. Видавець i виготовлювач Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна, 61022, м. Харкiв, майдан Свободи, 4. Свiдоцтво суб єкта видавничої справи ДК 3367 вiд Видавництво ХНУ iменi В. Н. Каразiна Тел

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев, К.И. Усманов Об одном подходе к исследованию линейной... 42 Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов УДК 517.946 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 13. Вып. 1. С. 43 55 Математика Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения -го рода с параметром

Подробнее

Обобщенное матричное дифференциально-алгебраическое уравнение

Обобщенное матричное дифференциально-алгебраическое уравнение Український математичний вiсник Том 2 (25,, 26 Обобщенное матричное дифференциально-алгебраическое уравнение Сергей М. Чуйко (Представлена В. Я. Гутлянским Аннотация. Найдены условия разрешимости, а также

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

О ПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЧЕТНОЙ МАТРИЦЕЙ

О ПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЧЕТНОЙ МАТРИЦЕЙ Национальная академия наук Беларуси Труды Института математики. 2010. Том 18. 2. С. 93 98 УДК 517.926.7 О ПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЧЕТНОЙ МАТРИЦЕЙ Э. В. Мусафиров Полесский государственный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения

О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения Доклады Академии наук СССР965 Том 63 3 А Н Тихонов О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений i m; j a ij Подобная система

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ 88 УДК 517.977 ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ Л.Н. Кривдина Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65 E-mail:

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой Вісник Харківського національного університету 89, УДК 539.3:533.6 Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой И. Ю. Кононенко, Е. А. Стрельникова Харьковский

Подробнее

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS V. A. BRUSIN The paper is a continuation of

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ISSN 2079-8490 Электронное научное издание «Ученые заметки ТОГУ» 2014, Том 5, 4, С. 1357 1363 Свидетельство Эл ФС 77-39676 от 05.05.2010 http://pnu.edu.ru/ru/ejournal/about/ ejournal@pnu.edu.ru УДК 517.95

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 212. Том 53, 6 УДК 517.925.5+517.929 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко Аннотация.

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина В. А. Катрич, Д. В. Майборода, С. А. Погарский, С. Л. Просвирнин ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКЕ

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка На правах рукописи БЫСТРЕЦКИЙ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 01.01.02

Подробнее

Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями

Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями arxiv:11111848v [mathpr] 9 Nov 011 Е В Карачанская Тихоокеанский государственный университет Россия

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях Министерство образования и науки Украины Государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет» А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В трех частях Часть ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 24. Том 45, 6 УДК 57.925.5 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева Аннотация:

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Матрицы Ляпунова для класса уравнений с распределённым запаздыванием

Матрицы Ляпунова для класса уравнений с распределённым запаздыванием УДК 517.929 Алисейко А. Н. Матрицы Ляпунова для класса уравнений с распределённым запаздыванием Рекомендовано к публикации профессором Харитоновым В. Л. 1. Введение. Матрицы Ляпунова возникают при построении

Подробнее

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами УДК 513.83 Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами Поликанова И.В. Алтайский государственный педагогический университет anirix1@yandex.ru Аннотация В статье продолжается изучение линий

Подробнее

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА. Е.А. Барова

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА. Е.А. Барова 517.956 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТИПА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА Е.А. Барова В статье рассматривается краевая задача типа Трикоми для уравнения смешанного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА В ОСОБОМ СЛУЧАЕ Лукьяненко В. А.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА В ОСОБОМ СЛУЧАЕ Лукьяненко В. А. УДК 517.94 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА В ОСОБОМ СЛУЧАЕ Лукьяненко В. А. Таврический национальный университет, факультет математики и информатики ул. Ялтинская, 4, Симферополь,

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ УДК 517956 ИБ Кошмурзаев kisb62@gmailcom Ошский государственный университет, гош, Кыргызстан О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Шамин Роман Вячеславович. Курс лекций по дифференциальным уравнениям

Шамин Роман Вячеславович. Курс лекций по дифференциальным уравнениям Шамин Роман Вячеславович Курс лекций по дифференциальным уравнениям Москва 2017 УДК 517.98 ББК 22.16 Ш19 Шамин Р.В. Курс лекции по дифференциальным уравнениям. М.: 2017. Книга представляет собой конспект

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства 1 Метрические пространства Многие важные понятия и утверждения математического анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывностью, опираются на понятие расстояния. Причем сами определения этих

Подробнее