Производная и ее приложения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Производная и ее приложения"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Л.И. Лесняк, В.А. Старенченко Производная и ее приложения Рекомендовано Учебно-методическим объединением РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению Строительство Томск 005

2 УДК 517 (075) Л50 Лесняк Л.И., Старенченко В.А. Производная и ее приложе- Л50 ния: Учебное пособие. Томск: Изд-во НТЛ, с. ISBN Пособие содержит основные теоретические сведения по разделу Производная и ее приложения, изложенные в форме вопросов и ответов, методические рекомендации по решению типовых задач и задач на качественное усвоение теории, банк задач для самостоятельной работы по каждой теме раздела. Пособие предназначено для студентов первого курса строительных специальностей очной и заочной форм обучения. Печатается по решению редакционно-издательского совета ТГАСУ. УДК 517 (075) Рецензенты: профессор Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники Л. И. Магазинников; доктор физико-математических наук, профессор С. В. П а н ь к о ISBN Л.И. Лесняк, В.А. Старенченко, 005

3

4

5 A B A B A B A B A B B A A B B A A B A B A B def = (a b) ( (a, b)=0 ) a b ( [a, b]=0 ) (a b) a b a >0 b >0 n N na > b a b n na > b (f() X) def =(M R : f() M X) y = f() X M f() M X

6 A B C X Y Z R N Q a b c y z r n q X X X /X X X P { X/P } X P { R/a b} = =[a, b] X Y X Y X Y X Y X = Y X Y Y X X Y X Y (Z = X Y ) def =(z/z X z Y ). X Y X Y (Z = X Y ) def =(z/z X z Y ). X Y X \ Y (Z = X \ Y ) def =(z/z X z Y ). Z = X Y Z = X Y Z = X \ Y N

7 Z Q R R N Z Q R N R Z R Q R N Z Z Q ( ) 1 =0.5 ( 3 =0.(6)) = = a = b a>b b>a a>b b>c a>c a>b c a b a + b = b + a, a, b R 0 R a +0=a, a R a a a +(a) =0 a b def = a +(b) (a + b)+c = a +(b + c) a>b a + c>b+ c, c R a b = b a, a, b R 1 R a 1=a, a 0 a 0 a 1 a 1a =1 b a def = b 1a (a b) c = a (b c) a>b c>0 a c>b c (a + b) c = a c + b c a >0, b >0 n N a n>b

8 X M X M M X X m X m m X X =(1, 3] X X sup X X X inf X X X =(1, 3] sup X =3 inf X =1 sup X =3 (1, 3] inf X =1 (1, 3] X = { pq } sup X =1 X inf X =0 X N = {1,, 3,...,...} inf N =1 X

9 X y Y

10 y = f() y = () y = F () X {f()} y = f() {f()} Y X Y X f Y X R Y R y = f() h y t y t y t y t y = h qt. y =0 t = hq t [ 0, h q ] y [0,h] [0,h] y = h qt y t y = a a

11 S = r S = at W k = mv m y = a X y = f() y = [1, 1] y = P n () =a n n + a n1 n a 1 + a 0, n N a i X = (, +)

12 y = k + b y = a + b + c y = P n() Q m () = a n n + a n1 n a 1 + a 0 b m m + b m1 m b 1 + b 0 Q m () =0 y = k (, 0) (0, +) y = R y = X =(, +) Y =[0, +) y = 3 X =(, +) Y =(, +) y = X =[0, +) Y =[0, +) y = 3 X =(, +) Y =(, +) y = 1 X =(0, +) Y =(0, +) y = a a>0 a 1 X =(, +) Y =(0, +) y =log a a>0 a 1 X =(0, +) Y =(, +) y =sin X =(, +) Y =[1, 1] y =cos X =(, +) Y =[1, 1] y =tg + k Y =(, +) y =ctg k Y =(, +) y = arcsin X =[1, 1] Y =[, ] y = arccos X =[1, 1] Y =[0,] y = arctg X =(, +) Y =(, ) y = arctg X =(, +) Y =(0,)

13 y = f() y = f() X Y = {f()} 0 X y 0 y Y y 0 Y X 0 f( 0 )=y 0 y Y f() =y = g(y) y = f() y = f() y 0 [c, d] 0 [a, b] f( 0 )=y 0. y = g(y) Oy = g(y) y = f() O y = g() y = f() y = f() y = g() y = 3 y = 3 y = y =log

14 y 0 Y 0 X f( 0 )=y 0 y = X =(;+) Y = [0; +) y Y = y = y y = [0; +) = y (;0] y = y = y = y = y =

15 y = lg z =lg y = z z y = z z = lg y = lg y = z z 0 y = lg lg 0 [1, +) z = g() X y = f(z) Z y = f(g()) X g() f(z) y = f(g()) z = g() y = f(z) y =sin y = =sin z = y =sinz y = 7 arctg u = v = arctg u y = 7 v y = 7 v v = arctg u y =7 arctg u = [0, +)

16 F F a S =15 A =3 F = m a m m F F S A = F S A =3 S =15 F = 3 15 m = F a = F = 8 45 a = 3 15 :1= 45 8 a U t U = kt + b k b t =0U =1 b =1 t =8 U = =k 8+1 k = 0.7 U =1 0.7t t R V a

17 M 0 M(, y) t = V R t a R =cos = R cos( + ) = arccos R a = V R t ( = R cos arccos R a + V R t ) M t R I I = k sin r, k = r I = f() r sin r = + R, sin = r = + R I = k ( + R ) 3/. R V V = H, H V = f() H H = R V = R, 0 R.

18 a S 0 < S > 0 S ABCD S = AB + CD h, CD = AB +DE. ADE DE = a cos h = a sin S = a +a cos a sin S = a (1 + cos )sin, 0 <. f() = +1, 1. f(0) f(1) f() f() f( ) f () f(0) = =0 f(1) = = 1 f() = +1 f() = +1 f( )= +1 ( ) f () = +1 <0, f() = tg, 0 <, sin,. f(1) f(0) f ( ) f() f(7)

19 = 1 [, 0) f(1) = (1) =1 =0 [0,) f(0) = tg 0 = 0; = ( ) [0,) f =tg 4 =1; = [, ] f() =sin =0 =7 f() f() (, 1) M 1 ( 1,y 1 ) M (,y ) 1 1 = y y 1 y y 1. M 1 (, 0) M (1, 1) y = + [1, 1] f() = (1, +) f() =1 +, <0, f() =, 1 1, 1, >1. y = 5 y =3 =4 y = f(4) f(3) = = = 7 1. y = y =1 =1+ y = f(1 + ) f(1) = =[(1+) 3 +(1+) 5] [ ] = = = =

20 y =sin y =sin ( sin + ) = = 3 y = f( +) f() =sin + sin ( = = + +sin )( sin + sin ) = =sin( + ) 4 cos ( 4 sin 4 cos + ) 4 = =sin ( 4 cos 4 sin + ) ( 4 cos + ) 4 = =sin ( sin + ). ( = = 3 y =sin + ) 6 sin =sin 3 sin = 3 4 1=1 4. y y =sin ( 6 sin + ) 6 =sin 6 sin 7 6 = 1 ( 1 ) = 4 1. y f() f( +1)= ( +1) f( +1)= 3 +=( +1 1) 3( +1 1) + = =( +1) ( +1)+1 3( +1)+3+= =( +1) 5( +1)+6 f() = sh = e e ch = e + e sh =sh ch, ch =ch +sh.

21 1) sh ch = e e e + e = e e ( ) ch +sh = e + e = e ++e + e +e = (e e )(e + e ) =sh; ) ( + e e ) = 4 = e + e =ch. sh = sh ch sin =sin cos ch =ch + +sh cos =cos sin sh ch sin cos sh ch f() = g() = f(f()) g(f()) f(g()) g(g()) f(f()) = f( )=( ) = 4 ; g(f()) = g( )= ; f(g()) = f( )=( ) =4 ; g(g()) = g( )=. f() = 3 g() =sin ( ( )) ( ) f g 1 = f 1 g(f(f(1))) ( ( )) ( f g 1 = f sin ) ( ) 6 = f 1 = = 3 8 ; g(f(f(1))) = g(f(1 1)) = g(f(0)) = g(0 0) = sin 0 = 0. y = 3 sin 5, y = arctg, y =sin 3 (lg( +1)). y = 3 u u =sinv v =5 =

22 y = 3 sin 5 y = u u = arctg v v = y = arctg y = u 3 u =sinv v =lgz z = +1 y =sin 3 (lg( +1)) z = + 1 y =lgz y =lgz Z =(0, +) z = +1 =( 1 ) 3 4 y =lgz y = =lg( + 1) z = + 1 y =lgz f() y = 1 f() y = f() y =log a f() y = 1 y = arcsin f() y = arctg f() log a f() y = f() 1 f() f() 0 y = f() f() 0 y =log a f() f() > 0 y = 1 log a f() f() > 0 f() 1; y = arcsin f() f() [1, 1];

23 y = arctg f() f() y = arctg y = + 1 y = + 1 y =lg(3 9) y = 1 lg(1 ) + + y = arcsin y = sin + 16 y = y = + 1 y = X =(, 1) (1, +) 0 ( +)( 1) 0 1. (, ](1, +) y =lg( 3 9) 3 9 >0 ( 3)( +3)> 0. (3, 0) (3, +) y = 1 lg(1 ) >0, <1, lg(1 ) 0, 0, + 0,. [, 0) (0, 1)

24 y = arcsin =( +)( 1) > 0 (, ](1, +) [3, ) (1, 3] y = sin + 16 { 16 0, { 4 4, sin 0. sin 0, y =sin sin [4, ] [0,] X =[4, ] [0,] y = = P () Q() Q() =0 Q(1) = 0 1 = 1 Q() ( 1 )

25 =0 =, 3 =3. 1 = 1 = 3 =3 (, 1) (1, ) (, 3) (3, +). f() = +3 g() = +3 f(1) g(1) f() g() f(4) g(4) f(t) =t + 1 t f() f( 1 ) f(a) f(1 a ) f() = 3 1 f(b) f(a) a b b a f() =lg 1 1+ ( ) a + b f(a)+f(b) =f 1+ab ch sh =1 sh =ch 1 ch =ch +1 sh = e e ch = e + e

26 cos 3,, f() = tg, <<0, 4, 0. f( 3 ) f( ) f( 4 ) f(0) f(log 9) f() = = f() = 3 3 = =+ y =cos y = sin sin( +) f() = e g() = sin () = = arctg f(g()) g(f()) (g()) f(()) y = 3 y =sin y =ln ( +4) y = e arcsin v = 1 u = v y = arcsin u y y = 5 y = y = y =lg( 5 +) + y = 1 lg(4 ) + 5 y = y = arccos 3 y = arcsin + 9 y =lgsin y = cos sin +lg( + +1) y = 1+

27 y = sin 1 +lg(5 ) y = [5, 5] (, 5) (5, 5) (5, +) (, 0] [4, +) (, 1 ) (, +) [0, 3) (3, 4) (, 6) (6, 3) (3, 3) (3, +) [1, 5] (3, ] [, 3) [3,] [, 7) (, +) [, 1] [1, ] (5, 7 6 ) [ 6, 5 6 ] [4, ) (, 1] (, 4] 1; [1, ] (1, ) (1, ] (, 1] [, +) (, 1) (, +) y =1 3 y = +1 y = 3 +1 y =sin3 y = 1+ y =log ( + +1) y = 1 3 y = 1 y = 3 1 y = 3 1 arcsin y =log 1 y = S t S = t

28 I = 1 3 U 3 3 V t V = t E R E = k ln R k = y y = 5 a b a S = a b 4 tg b h P S P =b +(1 b h ) S = b(1 h ) R V h V = 1 3 h (R h) R S S = R ctg ( 4 4 ) sin

29 y =p A(a, 0) A M(, y) l l M(, y) l = ( a) +p y = 5 A(5, 0) B(3, 4) C(, y) S ABC C(, y) S =

30 y = k + b k>0 y = k + b k<0 y = k k>0 y = k k<0

31 y = a + b + c D = b 4ac a>0 D>0 a>0 D =0 a>0 D<0 a<0 D>0 a<0 D =0 a<0 D<0 y = a y =log a a>1 y = a y =log a 0 <a<1

32 y =sin y =cos y =tg y =ctg y = arcsin y = arccos

33 y = arctg y = arcctg [a, b] [a, b]

34 [a, b] 1, [a, b] 1 < f( 1 ) <f( ). [a, b] 1, [a, b] 1 < f( 1 ) f( ). [a, b] 1, [a, b] 1 < f( 1 ) >f( ). [a, b] 1, [a, b] 1 < f( 1 ) f( ). y = k + b k>0 k<0 y = k k>0 k<0 y = a + b + c a>0 <b/a >b/a y = a + b + c a<0 <b/a >b/a y = a y =log a a>1 0 <a<1 y =sin y =cos y =sin [, ] [, 3 ] y =cos [, 0] [0,] y =tg (, ) (, 3 ) y =ctg (, 0) (0,) y = arcsin [1, 1] y = arccos [1, 1]

35 y = arctg (, +) y = arcctg (, +) y = f() X m M m f() M X y =sin 1 sin 1 (, +); y =cos 1 cos 1 (, +); y = arcsin arcsin [1, 1]; y = arccos 0 arccos [1, 1]; y = arctg < arctg < (, +); y = arcctg 0 arcctg (, +). y = f() X M f() M X m f() m X y = a +b+c a>0 a<0 y = a a 0 (, +) y = k + b y = k y =log a y =tg y =ctg f() =f() f() =f() y = a y =cos y = k

36 y = k y =sin y =tg y =ctg y = arcsin y = arctg y = a + b + c b 0 y = a y =log a y = arccos y = arcctg y = f() T f( + T )=f(). y =sin y =cos T = y =tg y =ctgt = 1) y = ; )y = ; 3)y = 3 + ; 4)y = f( ) f( 1 ) 1 < f( ) >f( 1 ) f( ) <f( 1 ) y = 1 < < 0 f( ) f( 1 )= 1 < 0 y = (, 0] 0 1 < f( ) f( 1 )= 1 > 0 y = [0, +) {, <0, y = = 0, 0.

37 1 < < 0 f( ) f( 1 ) = + 1 = = ( 1 ) < 0 y = (, 0) 0 y = y = (, +) y = < f( ) f( 1 )= = =( )+( 1 )=( 1 )(( ) + 1) = =( 1 )(( + 1 ) ). 1 < f( ) f( 1 ) > 0 y = 3 + (, +) y(0) = 0 y = 3 + y() = 3 = ( 3 +) = = y()

38 y = +3 1 X =(, 1) (1, +) 1 < f( ) f( 1 )= = = = 4( 1 ) ( 1)( 1 1) ( 1)( 1 1) 1 < 1 1 < < 1 f( ) f( 1 ) < 0 y = f() (, 1) 1 < 1 < f( ) f( 1 ) < 0 y = f() (, 1) f() = f() = (( ) + 1) = (( 5) +1). f() 0 R f(0) = 0 f() = f() = = 7 3( +1)+ = = 7 3( 1) +. f() 7 R f(1) = 7

39 f() =3sin +4cos f() =5( 3 5 sin cos ) = 5(cos sin +sin cos ) =5sin(+), cos = 3 5 sin = 4 5 ( 3 5 ) +( 4 5 ) = =1 1 sin( + ) 1 5 f() 5 f() 5 f() =cosa (a >0) T T cos a(+t )=cosa cos a(+t ) cos a =0 cos cos = sin + sin ( cos a( + T ) cos a = sin a + T ) sin at. T sin at =0 T at = k T = k a k = 0, 1,,... T k =1 T = a cos cos a a f() T f(a + b) a>0 T a 1) f() =cos ( ) ; ) f() =sin4; 3) f() =sin ; 4) f() =tg 3 ; 5) f() =ctg ( + 4 )

40 f() =cos ( a = 1 ) T =4 f() =sin4 (a =4) T = 4 = ( f() =sin 4 + ) 8 (a =4) T = f() =tg ( 3 a = 1 ) 3 T = 1/3 ( =3 f() =ctg + ) 4 (a =) T = [0, ] f() = { 1, [0, 1], log, (1, ]. T = [0, ] f() f() [0, ] T = (, +) = k + k [0, 1) 5.3 = = = [] {} =[] +{} y =[] y = {} [1, 0) [] =1 y = {} [0, 1) [] =0 T =1 [1, ) [] =1 { +1} = {}

41 { D() 1,, D() = 0,. O y =1 T T +T { 1,, D( + T )= 0,, D( + T )=D() f() = 6 3 f() = f() = 3 + f() = sin f() = f() =lg 1+ 1

42 f() = 6 3 f() =() 6 3() = 6 3 = f() f() = 6 3 f() = f() =() 5 4() 3 = = ( )=f() f() = f() = 3 + { f() =() 3 +() = 3 + f() f() f() f() = sin f() = sin() = sin = sin = f() f() =sin f() = f() = = = f() f() = f() =lg 1+ 1 f() =lg 1 1+ = lg 1+ 1 = f() f() =lg1+ 1 y = y() = = = y() y = Oy 0 [0, 1] y = =(+1)(1) = [1, +) y = =(+1)+(1) = y =

43 sh = e e ch = e + e y() = e e y() = e e () = e e = e e = y() y = sh f() =sh sh 0 = 0 sh (, +) y() = e + e y() = e + e () e + e = y() y =ch Oy f() =ch ch 0 = 1 ch [0, +) y =ch

44 y = 1 +1 y = +1 y = 4 +5 y = 1 y = y = lg y = cos y =sin y = 1 X =(, +) +1 (, +) f() = 1 +1 = f() y = < y = 1 +1 y(0) = 1 y = +1 X =(, +) y() = () +1 = = = y() y = +1 +1

45 =0 =1 1 y = 4 +5 X =(, +) y() = 4 +5 = y() [0, +) y = 4 +5=( 1) +4. y 4 = 1 [0, 1] y =( 1) +4 [1, +) =0y =5

46 y = D = 4 < 0 y() = 1 () +4()+5 = , y() y() y() y() y = 1 ( +) +1. = (, ] [, +) =0 y = 5 1 O y = 1 +1 y = 3 5 X =(, 3) (3, +) y() = 3 5 = y() y(), y = = y = (, 3) (3, +) y =+ 1 3 =0 y = 5 3 y =0 = 5 y = lg 6 +9=( 3) 0 R lg >0 = a log a =

47 y = 3 + (3) =3 0 < 3 y = ( 3) + = = +3+ =3 >3 y =( 3) + = 3 y = 3 M 1 (3, 3) M (4, 5) y = cos cos 0 +k +k k =0, 1,,... = +k =k k =0, 1,,... y = cos T = y =sin X =(, 0) (0, +) y() =sin ( ) ( = sin ) = y() y =sin (0, +) 1 sin 1

48 O sin =0 = k = k 1 k =1,, 3,... (0, +) O y =sin =0 =0 y = f()

49 f() =0 sh = e e ch = e + e (, 0] [0, +) 1) y = ; ) y = 3 + ; 3) y = +1. y =[ 3 ] 3 y = y = y =cos y = cos( ) y =1 cos y =cos +sin y =5 y = 3 y = 3 +1 y = +1 sin y = 1 y =lg( + 1+ ) f() g() f() () g() () f() () g() ()

50 y =sin ( 4 y =sin 4 + ) 3 y =tg 3 y =sin +cos y = sin { 1 1, f() = 1 1 <. T = 3 [1, ] f() { 3 [0, 1], f() = (1, ]. f() [, 0) [, ] T =4 y = +3 y = 1 +3 y = y = +1 y =sin y = sin +sin y =10 lg( ) y =lglg y =lgsin y = lg sin y = tg 1+tg y = sin(arcsin ) y =ln( + +1) y = =sh = e e 1 >0, y =sign = 0 =0, 1 <0.

51 1 f() > 0, y =signf() = 0 f() =0, 1 f() < 0. y =sign y = sign sin y = sign sin

52 y = f() y = f( + a) y = f() +b y = f(k) y = k f() y = f( + a) y = f() O a a>0 a<0 y = f()+b y = f() Oy b b>0 b<0 y = f(k),k > 0 y = f() Oy k k > 1 k 1 k<1 y = k f(),k > 0 y = f() O k k>1 O 1 k k<1 y = f() y = f( ) y = f() y = f( ) 0 y = f() <0 y = f( ) y = f()

53 { f(), f() 0, y = f() = f(), f() < 0. O y = f() O O y =3sin y =sin O Oy y = +

54 y = k y = + = +4 =1+ 4. y = 4 O Oy y =lg + y = lg + y =lg( +) y =lg y = lg + > y = lg( +) <

55 y =lg( +) = y = lg + y =lg + O O O log 5 ( 3) = 9 y = log 5 ( 3) y = 9 M(8, 1) =8 y =( ) y =( ) +1 y = +4 y = y = +3 y = +1

56 y = 4 1 y = 3 +3 y =log 1/ ( 1) y =log 1/ ( 1) 3 y =3cos y =cos( ) y = 3sin +cos y =ctg y = 4 +3 y = 4 +3 y =lg( ) y = lg 3 y = cos +cos y = y = cos 4cos +4 y =lg( 1) lg( 1) { {, 0, y = log ( +), >0; y =, <1, 1, 1; ( +1), <1, y = 1, 1 1, ( 1), >1. 6) 3 +1 = + 3; 7) cos = ; 8) 3 log ( 1) =.

57 O( 0 ) ( ) 0 O( 0,) ( ) 0 O( 0,) 0 < ( 0,) ( ) 0 ( 0,) 0 < 0 < O(, ) O(, ) >

58 0 0 y = f() f() =A 0 f() =A f() = 0 f() =

59 ) def ( f() =A =( >0 >0: 0 0 < 0 < f() A <). A y = f() 0 ( ) 0 0 < 0 < f() A f() A < ( ) 0 ( ) ( ) 0 f() =A def =( >0 > 0: > f() A <). > f() A f() ( A < ) def f() = =(E >0 >0: 0 0 < 0 < f() >E). 0 0 < 0 < f() >E ( ) f() = def =(E >0 > 0: > f() >E). > f() f() >E y = f() < 0 > 0

60 0 f() 0 0 f() ( 0 +0 ) def =( >0 >0: ( f() =A < 0 < f() A <); ) def =( >0 >0: f() =B < 0 < f() B <). ( ) ( f() =A 0 f() = 0 0 ) f() =A =7. ( < < ) def =7 =( >0 >0: <). >0 > < < < 4( 4 +4 < 4( ) < 0 < 4( ) < 0 < < 4. = 4 0 < < < =7

61 = 4 y = = = 4( )( 1 4 ) = =4 1,. y =4 1 0 = sin 0 =0. ( sin ) 0 =0 def =( >0 >0: 0 < 0 < sin <). sin 1 sin = 0 < < sin < sin 0 =0 y = sin =0 sin 0 sin 0 =0 sin y = sin y = sin y =sin

62 1 < 1 < 1 < > 1. = 1 > 1 < 1 = 1 = y = 9 =0 9 ( ) ( ) =+. ( ) 1) 9 ( ) =0 def =( >0 > 0: > 9 ( ) <). 9 ( ) < ( ) > 9 > 3. ( ) > 3 ( ) < 3 >+ 3 < 3 =+ 3 > 9 < 9 ( ) ( ) =0 ( ) ) 9 ( ) = def =(E >0 >0: 0 < < 9 ( ) >E). 9 ( ) >E 0 < ( ) < E 9 0 < < 3, E = 3 E

63 E y = 9 ( ) ( ) O 9 ( ) =+, 9 =0 = = log =+ + + f() = + ( ) log def =+ =(E >0 > 0:> log >E). + log >E > E E E

64 1 1 =0 1 1 = ( ) 1) 1 def 1 =0 =( >0 >0: 10 0 < 1 < 1 1 <). = () 1 1 < 1 1 < log 1 > log 1 1 < log 1. = log 1 0 <<1 log <0 = log 1 > 0 0 < 1 < 1 1 < 1 =0 ) ( = ) def =(E >0 >0: 0 < 1 < 1 1 >E). ( 1) 1 1 >E 1 1 > log E 1 < log 1 E. = log < 1 < 1 >E E 1 1 =+ 1+0 y = =1

65 y = f() D(y) =(, ) (, ) (, +) f() = f() =+ f(3) = 0 f(0) = 0 f(3) = 0 f() =0 f()= y =f() = = f() =+ y = f() = = f() =0 O f(3) = 0 f(0) = 0 f(3) = 0 O =0 = 3 y = f() f() = f() =+ f() =+ 1+0 f() = f(0) = 0 f() = 10

66 (3 ) = =5 0 sin 1 =0 cos = = = y = 5 +3 ( ) 1 ( ) =0 1 =+ + y = ( 1 ) f() =0 f() = 1 y = f() D(y) =(, 3) (3, +) f() = f() = 3 f() = f(4) = 0 f(0) = 1

67 y = f() D(y) =(, 1) (1, 1) (1, +) 1 f() =+ 1 f() =0 f(0) = 0 f() = y = f() D(y) =(, ) (, ) (, +) 0 f() = +0 f() =+ f() =1 f() =f() f(0) = 0 y = f()

68 y = f(n) N R y 1 y y n y n = f(n) y n = (1)n n 1, 1, 1 3, 4 1,... (1) n y n = 1 n sin n 4., 4 1, 9 1, 0, 5 1, 36 1,... y n y n <y n+1 n N y n y n+1 n N y n >y n+1 n N y n y n+1 n N

69 1, 1, 3 1,..., n 1,... ; 1, 3, 4 3,..., n n +1,.... y n = (1)n n y n = 1 n sin n 4 y n M R y n M n N y n m R y n m n N y n = n 1 y n = n +1 n 0 < n n +1 n < 1 n N n n +1 lg 1 lg 1 lg 3 1 lg n n cos n n f() =A ( ) f() =A def =( >0 > 0: > f() A <). N A y n = f(n) n >0

70 N y n n>n y n A < ( ) y def n = A =( >0 N >0:n>N y n A <). n A y n n n >N A y n A < n 10 n n =. >0 n >N n 10 n <. 10 n < n> 10. n> 10 n 10 n <, n 10 n n =. 10 N = [ ] N = [ ] =0.7 N = =14 = 0.7 = 0.1 N = 100 n>100 N >0

71 y n = n 1 y n = n +1 n 1 n0 n =0 n n0 n +1 =1 ( y n = 1+ n) 1 n. n 1 ( y n = 1+ n 1 ) n y n < 3 ( 1+ 1 n n n) = e, e e =,

72 e e e y = e e y =ln e y = e y =ln y n =lg n n +1. y n y n+1 =lg n n +1 lg n +1 +) n + =lgn(n (n +1) =lg n +n n +n +1. n n +n n +n +1 < 1 lg n +n n +n +1 < 0 y n <y n+1 y n y n = 100n n! = n n! y n+1 y n = 100n+1 n! (n + 1)!100 n = n yn+1 y n = n > 1 n<99 y n+1 y n = n < 1

73 n>99 n<99 n>99 y 99 = ! y n = n( n +1 n) y n = n( n +1 n( n +1 n)( n +1+ n) n)= = n +1+ n n(n +1 n) = = 1. n +1+ n 1+ 1n +1 y n < 1 n y n (+ (1)n ) =. n n (, +) =0.1 =0.01 >0 N n>n + (1) n < 1 n n <. n n > 1 [ ] N = 1 1 n > N y n < y n = =0.1 n N =10 ( 0.1; ) = (1.9;.1) =0.01 N = 100 (1.99;.01) N

74 (, +) 9 10, , , ,... n y n =1 n y n 1 < 10 6? y n = 10n +(1) n 10 n. > 0 N n > N 10n +(1) n 10 n 1 < 10 1 n <. n n>lg 1 [lg N = 1 ] <1 =10 6 N =6 n>6 y n 1 < 10 6 y n = n n 3 n y n 0 = n 3 n n n > 1 3 = 1 n n n 3 = 1 >0 N n>n n n 3 1 < n (n 3) (n < 3 3) (n <. 3)

75 n>1 3 (n 3) < n 3 (n 3) < 3 < (n 3) 3 < (4n 6) 4n > 3 +6 n> [. N = 34 + ] 3 N n n n 3 = 1. n cos n 1 =1 >0 N n>n cos n 1 1 < sin 1 n <. sin n 1 < n 1 sin n 1 < 1 N n 1 n < n > 1 n> 1 [ ] N = 1. y 1 = 6 y = 6+y 1 y n = 6+y n1,... y 1 < 3 y < 3 y n < 3 y k < 3 y k+1 = 6+y k y n < 3 n n y n A y n = 6+y n1 A A = 6+A A 1 =3 A = n y n =3

76 y n = (1)n+1 n y n = n 1 sin n ( y n = 1+ n 1 ) n yn = 1+(1)n n lg 1 lg 3 5 lg 10 4 lg 17 5 y n = n n y n = 1/n. y n = n n +1, y n = n sin n, y n = n( n +1 n) n n n + =1. ( ) 1 n n =0 3+ (1)n n n =3 n +1 n 3 n = n n cos n =0 ( n +1 n)=0 n n y n =. n 3 n =.

77 n y n =0 n y n = y n 1 y n y 1 = 3 8, y = y 1,..., y n = y n1,... n y n = 1 y 1 =sin 0, y =siny 1,..., y n =siny n1,..., 0 a n n n! y n =0 n (a >0) y n+1 = n +1 a y n

78 0 y = f() 0 y = f() 0 f() =f( 0 ) 0 0 f() y = f() 0 f() =f( 0 ) 0 y = f() 0 0 >0 >0 0 < f() f( 0 ) <. 0 = f() f( 0 )=y 0 y = f() 0

79 0 y =0 0 y =0 y y = f( 0 +) f( 0 ) y = f( 0 +) f( 0 ) y y = f() y = f() 0 0 y = f() [a, b] [a, b] f() =f(a), a+0 f() =f(b). b0

80 f() +g() f()g() f() g() 0 f() g() 0 f() g() g( 0 ) 0 0 y = f(g()) 0 y = f(g()) 0 q() 0 y = f(z) z 0 z 0 = g( 0 )

81 f() = 3 R y = f( +) f() =( +) 3 ( +) ( 3 )= = = = y 0 y =0 0 y = 3 f() = 0 =16 0 =16 y = = ( )( ) = = = y = 1 =

82 y = R y = + = ( 1). >0 >0 0 < < 1 <. 1 < < 1 < 1 < < 1+ log (1 ) < <log (1 + ). 0 <<1 log (1 + ) > 0, log (1 ) < 0. log (1 + ) log (1 ) 0 < < 1 <. 0 = 1 y = 0 0 y = y =cos 0 R >0 >0 0 < cos cos 0 <. cos cos 0 0 cos cos 0 = sin 0 0 sin + 0 1= 0 <. 0 < cos cos 0 < y =cos y = 3 0 =1 >0 >0 1 < 3 1 <. 3 1

83 3 1 = ( 3 1)( ) = +1 1 = ( /) <. +3/4 3/4 = < 3 1 < y = 3 0 =1 R { arctg 1 f() =, 0, 0, =0, 0 =0 >0 >0 < arctg 1 <. arctg 1 arctg 1 < = y = cos D(y) =(, +) y = cos y = z z =cos z =cos R y = z z R y = cos y = arcsin ln arcsin(ln ) 0 0 ln 1 1 e. D(y) =[1,e] y = z z = arcsin u u =ln [1,e] [1,e]

84 y = ln + >0 ln 0 0 >0 >0 ln 0 1 D(y) =(0, 1) (1, ]. 0 [0, ] D(y) D(y) y = a + b (, +) y = a + b + c (, +) y = = 1 y = +7 0 = y =sin (, +) y = a (, +) y =ln 0 =1 y = 1 y =53 y = 3 4 +lg(3 ) y =lg(sin)

85 y = 1 ln( +1) y = arccos(1 ) y = arcsin( ) + 1+ y = f() 0 y = f() 0 y = f() [a, +) f() [a, +)

86 f() f() 0 ( ) 0 y = f() 0 f() =f( 0 ). 0 0 lg sin 4 =lgsin =lg1=0, arctg 0 e = arctg e 0 = arctg 1 = 4. y =lgsin 4 0 = y = arctg e 0 =0 0 f()g() 0 (f() +g()) f() 0 g() f() 0 g() 0 f() g()

87 0 (f()+g()) = f( 0 )+g( 0 ), 0 (f() g()) = f( 0 ) g( 0 ), 0 f() 0 g() = f( 0) g( 0 ) g( 0) 0. ( tg ) 1 4 +cos =tg 4 +cos =1 1=0, 0 (esin arccos ) =e sin 0 arccos 0 = e 0 =, = = 7 3. f() 0 () = U() 0 () = f() 0 U() =0 () =0 0 U() f() =C 0 () =0 0 0 U() = 0 ( ) f() C0 = 0 () 0 0 ( ) U() 0 = U() 1 =( )= 0 () 0 () 0 0 ( ) f() C =0 0 U() 0 0 ( ) () 0 = () 1 =(0 0) = 0 0 U() 0 U() 0 0 C 0, 0, C 0, 0 0.

88 () 0 () U() () () 0 V () 0 U() V () 0 () () U() V () 0 ( ) 00 ( ) 3 ( ) 8 00 ln( 1) tg 1+0 ( ) () 00 U() ( ) 0 () 0 V () () f() =0, 0 () 0 f() M 0 cos 1 0 =0 cos 1 0

89 0 0 () U() (0 ) lg 0+ (0 ) (U() +V ()) 0 U() V () 0 U() V () U() V () 0 ( ) () 1 +lg ( ( ) 0+ tg cos 1 ) () y =(f()) g(). f() > 0 f() 1 g() y = e g()lnf(). (f()) g() = e g()lnf(). 0 0

90 f() g() 0 (f()) g() = e g()lnf() = e g()lnf() 0 = 0 0 = e g( 0)lnf( 0 ) =(f( 0 )) g(0) f( 0 ) > 0. ( sin ) cos ( ) = 1 (sin ) cos = 6 = 1 (f()) g() 0 (f()) g() = e g()lnf() 0 g()lnf() 0 g() =0 0 f() =0 0 g() =0 0 f() =+ 0 g() = 0 f() =1 0 (0 0 ) ( 0 ) (1 ) (0 0 ) 0+ ( tg ) 1 ( 0 ) 1 0 (cos ) 1/ (1 ) 0 () =0 () =0 U() = V () =, f() =1. 0 0

91 0 ( ) () 00 U() ( ) U() ()( 0) (()) () V () () (0 0 ) U() V ()() (U()) () ( 0 ) (f()) U() (1 ) ( ) 0 ( ) n =+,n N, + = n = { + >0, 0 <0. { + n, n,

92 + a = a = { + a>1, { 0 0 <a<1, 0 a>1, + 0 <a<1. log a = + log a = 0+0 { + a>1, 0 <a<1, { a>1, + 0 <a<1. y =tg tg = y =ctg ctg =+ tg = ctg = +0 0 y =sin y =cos y =tg y =ctg

93 y = arctg arctg = + arctg = y = arcctg arcctg =0 + arcctg = ( ln tg ) ( 1 4 =ln tg ) 4 =ln1=0 =1 cos e sin = cos 0 e sin 0 =1 e 0 =1. 0 ( 5 +6) = ( +3 4) = 6 0 =0. ( ) =. +3 4

94 4 0+ sin 5 cos sin 5 cos 5 sin = cos = 1 1 = 1. ( ) / 0 =. 5 sin = 4 cos ln ( 0 ) = = ln 0+ 1 ( +) =. ( ) 3 1 tg =0. ( ) tg = = (1 ) 1 1 tg (0 0) = 0. ( ) 1 30 lg(3 ) =0. ( ) lg(3 ) =0. sin 0 =0. 1 cos = 1 (1 cos ) = cos arctg =+. arctg = ( + sin ) = = ( + sin ) 1 +sin 3 sin. sin +sin sin = k

95 ( ) 1 1 lg( 1) =+() = ( ctg 1 sin a = ) ( (+)) =. a =0 a>1 3 + ( ) = = 4 = 1 log ( +3) cos tg 4 lg ln( 1) ln tg tg 1 tg 1 tg cos ln cos ln sin cos 1 sin tg ctg( ) 4 ( (arctg lg ) 1 1 ) lg 1+sin 1 cos 0+0 ln ( + cos ) = (1 + cos )

96 f() = 1 sin 1 0 f() = arctg f() =sin lg + f() =(+sin)lg + ( 0 0 ) ( ) 00 1 P n () P n () =( 1 )Q n1 (). 1 a + b + c =0 a + b + c = a( 1 )( ). ( ) = ( )( 3) 3( )( +/3) = 3 3( +/3) = ( ) =( 1)( + +1). ( 3 +1) ( 1)

97 = ( 1)( + +1) 1 ( 1)( + 1) = 3 1 = ( ()) = = ( +)( = ) ( +) = = 18 0 =. (a b)(a + b) =a b, (a b)(a + ab + b )=a 3 b 3, (a + b)(a ab + b )=a 3 + b 3. ( 00 ) 1 3 = 3 1 ( ) = 3 ( 3)( + 1)(1 + ) = 3 = 1 3 (1 )(1 + ) 3 ( 3)(1 + ) = ( 3) (3)(+1)(1+ ) = ( + 1)(1 + ) = 4 1 = 1 8. ( 1)( + 1)( + 5 ) 1 ( 5 )( + 5 )( +1) = ( 1)( + 5 ) = 1 (4 (5 ))( +1) = 1 ( 1)( + 5 ) ( 1)( +1) =

98 = + 5 = = 4 =. + 3 ( ) 00 ( + = 3 )( ) ( +78)( ) = = 8+ 8 ( 1)( + 8)( ) = = 1 8 ( 1)( ) = = sin sin () 0 =1 =1 0 () () 0 0 sin = / 1 = sin = 0 =0 sin 0 = sin ( ) 0 0 ( 0 0) sin 00 0 =1 sin ==0 =0 sin( ) =1 () =( ) ( ) 00 ( ) sin = 5 sin =5

99 ( ) sin 00 0 sin = 3 0 sin sin 3 3 sin 0 =1 sin 3 0 ( ) 3 1 cos = 3 =6 =1. sin 4 0 = ( ) = sin = 3. 1 cos =sin ( ) sin 6 sin 00 0 = sin cos 4 0 = = 4 sin 0 cos 4 0 =, ( ) sin 0 =1 cos = 1 ( ) cos 00 0 = (1 cos )(1 + cos ) = 0 (1 + cos ) = 0 1 cos (1 + cos ) = sin = 0 (1 + cos ) = sin sin cos = 4 1, sin = cos = 1 ( ) 00 = 0 1 cos 6 0 sin 3 = 1 = 1 0 sin 3 = , 0 3 sin 3 = sin 3 ( ) 0 0 sin 00 sin sin =sin( ) sin( ) 1 + = 1 ( ) sin 00 =.

100 sin( ) =1 () =() ( ) 1 sin 00 ( 1 6 = sin ) 6 6 = 6 sin = 6 sin sin 6 6 = cos = 6 sin 6 = cos +6 1 = 3 6, sin = 1 =1 cos ( ) cos 00 sin( ) = 1, = 3 sin( = ) ( ) = () = tg 0 =1, arcsin arctg 0 =1, 0 =1. ( ) tg 00 tg 0 sin 5 = 0 sin 5 = ( ) 7 arctg 00 7 arctg arcsin 3 = 0 arcsin 3 = 5+ 7 arctg = 0 arcsin 3 = = 8 5. ( 3 ) tg 00 sin 3 = tg( ) = sin(3 3) = tg() ( ) sin(33) 33 3( ) = 1 3. f() 0 = g(t) g(t) = 0 f() = tt0 0 = tt0 f(g(t))

101 ( ) sin 5 00 sin 6 t = = t t 0 sin 5 sin 6 = sin(5 5t) t0 sin(6 6t) = sin 5t t0 sin 6t = 5 6. ctg ( ) t = 1 = t +1 1 t 0 ctg 1 1 = ctg (t +1) ctg( t0 t = + t) t0 t = tg t = tg t t0 t = t t0 =. 3 ( ) 1 t = 1 = t 1 1 t = t1 t 4 1 t 3 1 = t1 (t 1)(t +1)(t +1) (t 1)(t + t +1) =

102 sin sin 0 sin 8 sin 0 cos 8 cos 1 cos cos 0 sin tg 0 3 (1 cos ) 3 + arctg 0 5 arcsin sin 3 sin 6 0+0; 0 0; sin cos ctg tg( ) cos ( ) P n () ( ) Pn () Q Q m () m () k k m n ( )

103 3 + 3 ( ) = =, ( ) = = 0 1 =0. ( 5 ) = = 0 =. P n () Q m () = a n b n n = m, 0 n<m, n>m a n b n n P n () Q n () P n () Q m () ( +1)( 4 =0 3 ) ( 1)( )( 3) 5 3 = =

104 ( +1) 10 +( +) ( + 100) ( ). 10 ( +1) 10 +( +) ( + 100) = = (1 + 1 )10 +(1+ ) ( )10 1+( 10 = 100 )10 1 = ( ) = = = = 1 4 = ( ) = = 1 = = = 1 = () 3 < ( )

105 = 4 6 = = n ( n +1+n) 3 n 6 +1 = 1. ( ) n ( n +1+n) ( n +1+n n 3 = n ) n 6 +1 n 3 ( = n ) n 1+ = 4 1n 1 = n n n n = 1+n n. n n n 3 = n n n 6 +1 n 6 = n(1 + n) n = n (n +)!+(n +1)! (n +3)! 1+n n = 1. n! = n ( ) (n +)!+(n +1)! (n +)! (n +1)! = + = n (n +3)! n (n +3)! (n +3)! ( ) = 1 n n =0. (n +)(n +3) (n +)!+n! ( ) n (n +)! n! (n +)! (n +)!+n! n (n +)! n! = 1+ n! 1 (n+)! 1+ (n+1)(n+) n 1 n! = n 1 =1. 1 (n+)! (n+1)(n+)

106 n +1 ( ) n 3 n 1 3 n n +1 n 3 n 1 = ( 3 )n n n 1 1 =0, ( ) 3 n n =0 (a = ) 3 3 < 1 1 n 3 n = 1 =0 n ( ) = = 1 1 ( ) = =1. 3 =0(a =3> 1). ( ) ( ) 45 ( ) 1+ 1 = = ( 45 ) = ( +1)( +)

107 n n ( + 1)( + 1)(3 +1)...(10 +1) n 3 +1 n + n 7 n! 1 5 (n +1)! n! (n +3)!+(n n (n +3)! (n +1)! ( ) 5n 1 n 3n + n ( ) n + n +1 n n 3n +3n ( ) n 16n 3 n1 n n +1 n +5 n n 3 n +4 n ( ) (0 ) () (0 ) ( ) () ( ) 1 3 = = = 1 ( +)( 1) = 1 ( 1)(1 + + ) = = 1. ( 1 0 sin tg 1 ) ()

108 ( 1 0 sin tg 1 ) ( = 1 0 sin cos sin ) = = 1 cos sin 0 sin = 0 sin. sin 0 sin sin sin 4 = 0 sin = 0 =0. ( +1 1)() ( +1+ 1) ( +1 1) = ( +1) ( 1) = = = = =0. ( )() ( + + )= ( )( ) = = + ( +1 ) 1+ 1 = = ( +1 ) = + ( = +1 )( +1+) =

109 = + ( ) = ( +1 ) = (+) = sin sin sin ( ) ( 0) = 00 =. sin =1 (() = 1 (1 )tg 1 (1 )tg = 1 = 1 ; 0 ). 1 ctg ( 00 ) t =1 1 t ctg = t t0 ctg (1t) = t0 t tg t = t0 t tg t t t = tg t t0 t =1 (lg sin lg tg 10) 0+0 lg sin lg tg 10 = =lg tg sin 10 ( ) (lg sin lg tg 10) =lg sin tg 10 =lg 10 1 = 1. ( ) ( 1 ( ) ( +5 ) ) 1

110 ( +5 ) + ( +5 ) 5 + ( +5 ) + 3/ ( ) ctg 0 (1 )tg 1 n n sin n (lg sin 10 lg ) 0+0 (1 ) (1 ) ( 1+ 1 ) = e (1) (1 + ) 1 = e. () 0 ( 1+ 1 n n n) = e, e , (1 ) (1 + ()) 1 0 () = e, () 0 0. (3) (1 )

111 (1 + 5) 0 (1 + 5) 1 5 = e 0 ) 3 ( 1 3 ) = [ ] = (1 + 5) [ ( 1 3 = e 10 ) ] 3 3 = e 6 (1 3 0 = e () () =5 () = 3 [ (1 sin ) 1 (1 ) = (1 sin ) 1 sin 0 0 ] sin [ ] sin = (1 sin ) 1 sin 0 = e. 0 0 (f()) g() 0 f() =1 0 g() = [ = 0 0 [ ] (f()) g() 1 g()(f()1) = (1 + f() 1) f()1 = 0 0 = e g()(f()1) 0. (cos ) 1 (1 )= 0 (1 + cos 1) cos 1 1 cos 1 ] cos 1 = sin 0 = ( ) +1 ( ) +1 ( ) = = e cos 1 0 sin sin =1 = = e 1 14 = 1 1 (1 )

112 ( ) +1 = [ ( 1+ 3 ) 3 ( +3 + = [ ( ) ] = ( ] 3 ( ) 1 = ( ) = e 6 = e 6. ) ( ) = = ) = e ( ) + = e = { ( ) + ( ) 3 1 = 13 0, +, = +,. ( ) log a (1 + ) 00 0 = ln 1 ( ) a ln(1 + ) 00 0 =1 a ( ) =lna e ( ) =1 log a (1 + ) 0 = log a (1 + ) 1 =loga (1 + ) 1 1 = 0 0 ln a. 0 0

113 ( ) ln(a + ) ln a 00 0 = ln(1 + = a ) 1 0 a = a 1 a a sin ( ) = sin = a sin 1 0 sin sin 0 sin 0 =1 = e 0 =lna 0 ln a+ a 0 = a sin 1 sin 0 = a sin 1 sin =lna ( ) cos 00 = e 1+1 cos 0 = e 1 sin =1+ 1 = 3 e ( ) e 00 e (e 1 1 = 1 1) 1 1 = e e =1 ( 1) 1 1=t e = e t 1 t0 t =1. ( ) log 3 sin 00 log cos = 3 (1 + sin 1) cos = log = 3 (1 + sin 1) sin 1 sin 1 cos = 1 ln3 log 3 (1 + sin 1) sin 1 = ln 1 3 (sin 1) sin 1 cos = sin 1 1 sin = sh 0 0 th sh = e e ch = e + e 1 1+sin = 1.

114 th = ch sh ( ) sh 00 0 = e e e 0 = (e 1) 0 = = e e =1; ( ) th 00 0 = sh 0 ch = sh ch =1 sin 0 =1 sh 0 =1 tg 0 =1 th 0 =1 ( ) ( ) ( ) + +5 e 6 ( ) +1 e 1 ( ) { , + + ; { ( ) 1 + +, +3 0 ; (1 + tg ) ( 1+tg 1+sin (cos ) 1 sin 0 ) 1 sin 0 a ln a e

115 0 e a e b a b 0 e e sin log 3 (1 + ) 1 0 sin ln 3 (ln(a + ) ln ) a ln 1 e e e1 ln cos 0 1 e cos n sin ( n! n sin 6 0 sin 1 cos ) 1 ( 3 +1 n!+1 0 sin ) (n +1)! sin 3 tg sin 3 sin e +1 lg 10 +5

116 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) n n( n +1 n) 1

117 ( ) n! n n sinn 3n n +1 (n +1)! sin ( sin ) sin 7 0 sin 4 sin 7 sin sin sin a a a cos a (sin +1 sin ) + 1+tg 1+sin cos 3 ( ) tg tg (1 sin ) tg (sin ) tg (1 + sin ) ctg e e 0 ( ) + n 1 ( ) n + n 1 n e +1 ln(1 + ) 0 sin ln(1 + e ) ( ) lg

E E. f(x)dx E. f(x)dx f(x)dx. f(x)dx 0

E E. f(x)dx E. f(x)dx f(x)dx. f(x)dx 0 6.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.... 3. 4. 5. Riemann 6.. 6. f() [,] y f().,., E, E. : f()d E E E E [,]., E E, E E, E E. :,., : f()d f()d, f()d,. 94. : f()d f()d f()d : {,,}.. : d,...,.. 6. f() F() : F() f() :

Подробнее

Вычислить (с точностью до трех знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Вычислить (с точностью до трех знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Вариант Вычислить с точностью до трех знаков после ) + ; ) y ln( y ) dy ; + + ) ; + ) ; 6) + / cos ) ) ; / sin Вычислить (с точностью до трех знаков после ) площадь фигуры, ограниченной ) ρ = cos ϕ ) =

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Производная и её свойства

1. Производная и её свойства ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Производная и её свойства Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (a,b) и x 0 точка этого интервала. Пусть x такая величина, что x 0 ± x (a,b),

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник ЕГЭ-15

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник ЕГЭ-15 И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Задачник ЕГЭ-15 Здесь приведены задачи 15 в прошлом С1, которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических, контрольных и тренировочных работах

Подробнее

6) Найти общее решение дифференциального уравнения : y 4y = 32 384x 2. 7) Найти общее решение дифференциального уравнения : y + 6y + 13y =

6) Найти общее решение дифференциального уравнения : y 4y = 32 384x 2. 7) Найти общее решение дифференциального уравнения : y + 6y + 13y = РГР Группа 113 Вариант 1 1) Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 6d ydy = y dy 3y d. ) Найти общий интеграл дифференциального уравнения: y = +y3y 4y 3) Найти решение задачи Коши : y + y cos

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А. БИЛЕТ Факультет Нефтетехнологический специальность МАПП семестр IV Понятие неопределенного интеграла и его основные свойства Найти неопределенный интеграл: + а) d ; sin б) + cos d ; в) 5 arcsin d Вычислить

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

i n t h e r e g i o n i s 1 7 p e o p l e p e r 1 s q. k m.

i n t h e r e g i o n i s 1 7 p e o p l e p e r 1 s q. k m. rgzgsvj wxmlwxpzpq p vxjgup g~pq wmxtyrvjv rxg {gyzuprvi zvxjviv - rvuvtpmyrvq tpyypp U N T E R N E H M E N S K A T A L O G P E R M E R R E G I O N 1 7-2 2 2 0 1 3 1 7-2 2 N o v e m b e r 2 0 1 3 1 wmxtyrpq

Подробнее

Область определения функций нескольких переменных

Область определения функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия Интерактивный комплект 1. Виды углов 1.1. Угол между скрещивающимися прямыми Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры решения множества

Подробнее

Функция Грина и ее применение

Функция Грина и ее применение Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные

Подробнее

Типовой расчет по математике

Типовой расчет по математике Типовой расчет по математике Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Теория поля 5 модуль Учебно методическое пособие roa a = α i + β j γ k a S T a ds div ddydz n R y z ddy (,, ) = S T Санкт Петербург

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение.

Интегрирование. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его применение. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ

ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И ЕЕ РАЗДЕЛЫ Физическая механика или просто механика раздел физики, в котором описывается наиболее простая форма движения материи: механическое движение, состоящее из изменения взаимного

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Условия Коши-Римана.

Условия Коши-Римана. Условия Коши-Римана. ) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера -

Подробнее

«УТВЕРЖДАЮ» Директор АДИ ГВУЗ «ДонНТУ» М. Н. Чальцев 10.07.2012. Кафедра «Высшая математика»

«УТВЕРЖДАЮ» Директор АДИ ГВУЗ «ДонНТУ» М. Н. Чальцев 10.07.2012. Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРТСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра «УТВЕРЖДАЮ» Директор

Подробнее

Лекция 1 Определенный интеграл

Лекция 1 Определенный интеграл Лекция Определенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.. Пусть f(x) действительная функция, определенная на промежутке, b. Функция F (x) называется первообразной для f(x) на,

Подробнее

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ),

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ), 13. Дифференцирование функций многих переменных 13.1. Одним из самых распространенных средств локального изучения функций многих переменных является характеристика ее поведения вдоль координатных прямых

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (5 - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 5 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. В. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного. Многозначные аналитические функции. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебно-методический комплекс для студентов

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 Задача 1 4 1 = 9 2 а) 1 18 б) 3 в) 3 7 7 г) 1 18 Задача 2 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 до десятых? 7 а) 1, 6 б) 1, 7 в) 1, 8 г) 1, 9 Задача 3 10

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 00 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 00 года разработан по заданию Федеральной службы по

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

ОБЩАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИИ 15-16 ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИКИ И ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

ОБЩАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИИ 15-16 ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИКИ И ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ ОБЩАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИИ 15-16 ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИКИ И ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ Закон Ампера Взаимодействие параллельных токов Действие магнитного поля на контур с током

Подробнее

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201 Математика класс Вариант МА Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 4 ноября 3 года класс Вариант МА Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут (35

Подробнее

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО (ОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 8-0 КЛАССОВ 0-04 УЧЕБНОГО ГОДА. ВАРИАНТ (8 класс). Найдите три числа, если первое составляет

Подробнее

, &-$.% & &- / "0& 1 & 1 2-3 &- 45 2 % 6 7 8 + 7 :!#, I & & % L% & M> N $ " /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* +

, &-$.% & &- / 0& 1 & 1 2-3 &- 45 2 % 6 7 8 + 7 :!#, I & & % L% & M> N $  /& ' E M*6& 1 & 0O, - P& I $, 3 Q 2<, &* + МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВПО «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. МОКШИН, Р.М. ЮЛЬМЕТЬЕВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА РАЗДЕЛ

Подробнее

"" &% !"""#""$ %" $&!!#"#!! &!#' % +, #-, #& 01- ##, #!1 2, $3 4 / ##, 5%.& 1 2, $3 6!3 5% 1 2, $3 5% # 7167 #" ##, $" 81 2, % #9

 &% !#$ % $&!!##!! &!#' % +, #-, #& 01- ##, #!1 2, $3 4 / ##, 5%.& 1 2, $3 6!3 5% 1 2, $3 5% # 7167 # ##, $ 81 2, % #9 1 3!"# $% "" &% '( )$ '**(!"""#""$ %" $&!!#"#!! &!#' % +, #-, #& "&./ 01- ##, #!1 2, $3 4 / ##, 5%.& 1 2, $3 6!3 5% 1 2, $3 5% # 7167 #" ##, $" 81 2, % #9 1 3 $" :'; ## "$% $",?' $3 @ - ((;(*

Подробнее

1. Найдите больший угол равнобедренной. AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 4. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, cosa = 0,4. Найдите AB.

1. Найдите больший угол равнобедренной. AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 4. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, cosa = 0,4. Найдите AB. 1. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 2. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8,

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Определенный интеграл в экономических задачах

Определенный интеграл в экономических задачах АЕ Ситун А Е Ситун Определенный интеграл в экономических задачах Определенный интеграл Учебное пособие в экономических задачах Р Учебное пособие Р А P S P P В Q P D Q Q Q Министерство образования и науки

Подробнее

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5»

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5» МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Ноябрь 0 Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В В В В7 С 90, 0 0 0,8 0, arcsi 7, 00 0-0, +, +, ( + +, 0-0, 0, 9 Отрезку принадлежат корни 78,8 79 700 9, - 0, 0, arccos 8 7,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (05 - / 7) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 05 года по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МЕРА ЖОРДАНА. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МЕРА ЖОРДАНА. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МЕРА ЖОРДАНА. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ (теория, примеры, упражнения) 29 2 Предисловие Учебное пособие состоит из четырех глав, отражающих основные теоретические и практические

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

бёпв ПвЁбЄ ;= \б Пв Пвэбп B?ПвЁC?@ПвЁ@?ПвЁDC?ПвЁAПвЁ; @>A B?C бп DПвЁEF> Пв @ПвЁE=< Пв A?A бппвэ!пв ПвЁ BПвЁBC "$#&% BCC '#&бп >BПвЁ; ()Пв *бп BC

Подробнее

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ 1779 УДК 517.977.56 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ Е.П. Кубышкин Ярославский государственный университет

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ 4 г. МАТЕМАТИКА, класс (4 - / 8) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 4 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по

Подробнее

.. ЎЄЊЎрытЎЂ. ЉЄЅ Ў Ќ тѕќ тјчѕсњўѕ ЎІЈЄ ЈЅ эљћѕрўђўљ х р ЊтЅрЈстЈЊЈ ЃЈ-

.. ЎЄЊЎрытЎЂ. ЉЄЅ Ў Ќ тѕќ тјчѕсњўѕ ЎІЈЄ ЈЅ эљћѕрўђўљ х р ЊтЅрЈстЈЊЈ ЃЈ- ЎЄЊЎрытЎЂ ЉЄЅ Ў Ќ тѕќ тјчѕсњўѕ ЎІЈЄ ЈЅ эљћѕрўђўљ х р ЊтЅрЈстЈЊЈ ЃЈ- ЏЅрЏЎЂЅрх ЎстЈ ЏрЎстр стђ RP ( Ѕчёт Ў), ЎЏрЅЄЅЋяЅЌЎЉ сћуч Љ ыќ Ќ ЎЃЎчЋЅ ЎЌ стѕџѕ Ј m, ЈЌЅющЈЌ ЎрЌ Ћь ЎЅ р сџрѕєѕћѕ- ЈЅ сў срѕє ЈЌ 0,

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 3 1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики

СОДЕРЖАНИЕ Введение.. 3 1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики СОДЕРЖАНИЕ Введение Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики Изучение теоретического материала Решение задач Самопроверка 5 5 Консультации 5 6 Контрольные работы 6 7

Подробнее

Лекция 4 Прямые и плоскости

Лекция 4 Прямые и плоскости Лекция 4 Прямые и плоскости 1 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Сначала получим разные виды уравнения прямой на плоскости в произвольной косоугольной системе координат e 1 e 2 11 Параметрическое уравнение прямой на

Подробнее

Z, RU RD, RS N NR DB, DF DT R, RR RH, RHR RHA

Z, RU RD, RS N NR DB, DF DT R, RR RH, RHR RHA 8 Z, RU R, RS 20 N NR 32 56 B, F T 88 132 140 NU NJ NUP N NF 152 178 196 228 272 R, RR RH, RHR RHA 296 342 352 368 376 38, 50, 52 120 126 144 146 NN NNU 188 288 320 328 358 CAT. NO. B2001RUS KOYO eutschlan

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим

Подробнее

0DQDYJDW785WK0DUF 6SRUW0HQ)LQDO5DQNLQJ -XQLRU0HQ

0DQDYJDW785WK0DUF 6SRUW0HQ)LQDO5DQNLQJ -XQLRU0HQ -XQLRU0HQ "!$#&%(')+*ПвЁ*$,ПвЁ,ПвЁ-/.ПвЁ. 01'2ПвЁ'3547698 ):;=< %(')>+*ПвЁ*$,&;=

Подробнее

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла VII Определенный интеграл и его приложения Некоторые задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача Вычисление пройденного пути при неравномерном движении Пусть точка движется по прямолинейной

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Домашняя работа по геометрии за 11 класс

Домашняя работа по геометрии за 11 класс АА Кадеев Домашняя работа по геометрии за класс к учебнику «Геометрия 0- класс: Учеб для общеобразоват учреждений / ЛС Атанасян и др -е изд М: Просвещение, 00 г» Глава V Метод координат в пространстве

Подробнее

Метод комплексного интегрирования

Метод комплексного интегрирования Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск Издание выходит с 6 года М. Е. Чанга Метод комплексного интегрирования Москва 6 УДК 5 ББК В.3 Л43 Редакционный

Подробнее

3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия

3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия 3. Нечеткие бинарные отношения и соответствия 3.1. Бинарные отношения Бинарные отношения 1 наобычныхмножествахизчаютсяврсе дисретной математии. Напомним основные положения теории бинарныхотношений. ПстьA

Подробнее

!"# $%&'() ) *"+%'%',+"

!# $%&'() ) *+%'%',+ !# $%&'() ) *+%'%',+ Официальный представитель LPGN в РОССИИ: -*-./ 01.23 4(5: 8 (916) 674-8568 6789: lenamynko Ламинин универсальный продукт компании LPGN: Made in USA, :),5;

Подробнее

Практикум по высшей математике

Практикум по высшей математике МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Практикум по высшей математике Часть II Функции нескольких

Подробнее

Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Методические указания к решению простейшей задачи вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 2013 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины В.С.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины В.С. Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины В.С.МОНАХОВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОНЕЧНЫХ ГРУПП И ИХ КЛАССОВ Учебное пособие

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО "ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ПАКЕТЕ MAPLE

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ПАКЕТЕ MAPLE Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО "ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ПАКЕТЕ MAPLE Методические указания к практическим занятиям Иркутск

Подробнее

Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах?

Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Лекция 5 Е. стр. 308-33, стр.39-35 Термодинамика необратимых процессов. Что мы уже знаем о равновесных и неравновесных состояниях, равновесных и неравновесных процессах? Равновесие. Состояние равновесия

Подробнее

СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГИМНАЗИЯ 1 г. ВИТЕБСКА Научно-исследовательская работа по математике на тему СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ Выполнил: ученик 9

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

2.Определенный интеграл К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи.

2.Определенный интеграл К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи. Лекция Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛАХ 1.Первообразная функция и неопределенный интеграл В элементарной математике сложение и вычитание, умножение и деление, возведение

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

В этих условиях для фиксированного момента времени T требуется найти максимальное по всем возможным возмущениям v(t) V значения модуля решения:

В этих условиях для фиксированного момента времени T требуется найти максимальное по всем возможным возмущениям v(t) V значения модуля решения: Введение. ЗАДАЧА Б.В. БУЛГАКОВА О НАКОПЛЕНИИ ВОЗ- МУЩЕНИЙ (МАКСИМАЛЬНОМ ОТКЛОНЕНИИ). Рассматривалась линейная стационарная устойчивая система L(x) a n x(t) (n) +a n 1 x(t) (n 1) +...+a 0 x(t) = v(t), x

Подробнее

Задачи с тремя равными окружностями.

Задачи с тремя равными окружностями. Задачи с тремя равными окружностями. А.Карлюченко Г.Филипповский Как здорово сказано: «Окружность это душа геометрии!» (И.Ф.Шарыгин). А если речь идет о трех окружностях? Да еще равных? Ну, тогда душа

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

a n a n 0 X ([X = n]) nn a n = P [X = n] = P () = 1. a n a n 1 xn 1 x = 1 + x k 0 1 = f (1).

a n a n 0 X ([X = n]) nn a n = P [X = n] = P () = 1. a n a n 1 xn 1 x = 1 + x k 0 1 = f (1). ўў ЈўҐ Ё "#Ё%$ &'*,-. /0-!5 67 8:9; ў Јў?! @BADCECGF!HJIKLADMO POQ:F!RўADKSC*TVU KLWAўMXMY%Z\[ ]_^a` @cbdўdde,fgadhi>ksaўmxi!hadm AўjkKSlP F m npo 006rqs.tu-v5q\6Jwxys {z77_-v6r7 5B}~GЂў} ѓ S~GЂDwE7

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

Ветвящиеся процессы и их применения

Ветвящиеся процессы и их применения Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 8 Издание выходит с 26 года В. А. Ватутин Ветвящиеся процессы и их применения Москва 28 УДК 519.218.23 ББК

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

4) Как представлено число 25 в двоичной системе счисления? 1) 1001 2 2) 11001 2 3) 10011 2 4) 11010 2

4) Как представлено число 25 в двоичной системе счисления? 1) 1001 2 2) 11001 2 3) 10011 2 4) 11010 2 1) Как представлено число 83 10 в двоичной системе счисления? 1) 1001011 2 2) 1100101 2 3) 1010011 2 4) 101001 2 2) Сколько единиц в двоичной записи числа 195? 3) Сколько единиц в двоичной записи числа

Подробнее

EJC B12/B14/B16 04.11 - 07.15 EJC B12 EJC B14 EJC B16

EJC B12/B14/B16 04.11 - 07.15 EJC B12 EJC B14 EJC B16 EJC B12/B14/B16 0411-51209538 0715 EJC B12 EJC B14 EJC B16 g Jungheinrich AG Am Stadtrand 35 D-22047 Hamburg EJC B12 EJC B14 EJC B16 ' g 2006/42/ ( ) 2004/108/ ( -) 0715 EL 3 4 0715 EL :!!! 0715 EL t o

Подробнее

ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ

ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ Московский государственный технический университет имени Н Э Баумана Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» Кафедра «Теория механизмов и машин» ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее