ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ"

Транскрипт

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 1 / 21

2 Рассмотрим систему N материальных точек P ν, положение которых в инерциальной системе отсчёта определяется радиус-векторами r ν (t) (ν = 1,..., N). Если система несвободна, тогда наложенные на неё связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть δ r ν виртуальное перемещение точки P ν, m ν масса, ā ν ускорение, F ν равнодействующая всех активных сил, приложенных к P ν. Тогда имеет место общее уравнение динамики системы N ( F ν m ν ā ν ) δ r ν = 0 (1) В том случае, когда все или некоторые из связей не идеальны, к активным силам F ν следует добавить часть Ḡ ν равнодействующей реакций связей, действующей на P ν, которая не удовлетворяет условию идеальности. После этого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему с идеальными связями. Общее уравнение динамики мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики. Фактически все изучаемые дальше уравнения движения материальных систем являются только разными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположениях о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на неё связях. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 2 / 21

3 Пусть система голономная, т.е. имеются только геометрические связи в количестве g штук: f α (t, r ν ) = 0 (α = 1,..., g) Пусть q 1,..., q n - обобщённые координаты, где n = 3N g число степеней свободы системы. Тогда радиус-векторы r ν точек P ν системы относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов {q 1,..., q n, t}, которые предполагаются трижды непрерывно дифференцируемыми: r ν = r ν (t, q 1,..., q n ). Если система склерономная (связи стационарные), то обобщённые координаты q σ (t) можно выбрать так, чтобы r ν не зависели явно от t. В общем случае имеем: v ν = d r ν dt = r ν q σ + r ν t, δ r ν = r ν δq σ Запишем общее уравнение динамики в обобщённых координатах. Для работы активных сил на виртуальном перемещении имеем выражение: N δa = F ν δ r ν = Q σ δq σ где Q σ = N F ν r ν обобщённая сила, соответствующая обобщённой координате q σ. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 3 / 21

4 Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции системы на виртуальном перемещении. Пользуясь указанными выше формулами, имеем ( N N r ν N ) d v ν m ν ā ν δ r ν = m ν ā ν δq σ = m ν dt r ν δq σ Но выражение в скобках преобразуется к виду: ( N d v ν m ν dt r ν = d N ) r ν m ν v ν dt N d r ν m ν v ν (2) dt Учитывая линейную зависимость приведенного выше выражения скорости v ν от q σ легко установить: Кроме того т.е. v ν = ( n ρ=1 v ν q σ r ν q ρ + r ν q ρ t v ν ) = r ν = ρ=1 = d r ν dt 2 r ν q ρ + 2 r ν q ρ t = d r ν dt Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 4 / 21

5 После подстановки двух последних равенств в (2) получим: ( N d v ν m ν dt r ν = d N ) v ν N v ν m ν v ν m ν v ν = d T T dt q σ dt q σ где обозначено T = 1 2 N m ν v 2 ν кинетическая энергия системы. Таким образом получили выражение для элементарной работы сил инерции системы в виде: N ( d T m ν ā ν δ r ν = T ) δq σ dt q σ Тогда подставляя выражения работ активных сил и сил инерции в обобщённых координатах в общее уравнение динамики получим (умножая на 1): ( d T T ) Q σ δq σ = 0 dt q σ общее уравнение динамики в обобщённых координатах Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 5 / 21

6 Т.к. q σ независимые координаты, поэтому δq σ совершенно любые вариации координат независящие друг от друга (σ = 1,..., n). Значит, в силу произвольности δq σ это уравнение будет выполняться только тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех δq σ. Поэтому общее уравнение динамики в обобщённых координатах эквивалентно системе уравнений: d T T = Q σ (σ = 1,..., n) dt q σ Уравнения Лагранжа второго рода Величины q σ называются обобщённые скорости. Аналогично q σ обобщённые ускорения. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 6 / 21

7 d T T = Q σ (σ = 1,..., n) dt q σ Скорости точек v ν, в выражении кинетической энергии системы, являются линейными функциями по обобщённым скоростям q σ и конечно ещё зависят от времени t и обобщённых координат q σ, т.е. v ν = v ν (t, q σ, q σ ), следовательно T = T (t, q σ, q σ ). В левые части уравнений Лагранжа после выполнения операции дифференцирования по времени (d/dt) входят t, q σ, q σ, q σ. Обобщённые силы, стоящие в правых частях уравнений Лагранжа обычно задаются как функции t, q σ, q σ : Q σ = Q σ (t, q ρ, q ρ ) Q σ = N F ν r ν, F ν = F ν (t, r µ, v µ ), r ν = r ν (t, q ρ ), v ν = v ν (t, q ρ, q ρ ) Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 7 / 21

8 Преимущества уравнений Лагранжа второго рода Уравнения Лагранжа II рода образуют систему из n обычных дифференциальных уравнений второго порядка относительно n неизвестных функций q σ (t). Порядок этой системы равен 2n. И это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы с n степенями свободы, так как в силу произвольности начальных значений величин q σ, q σ решение системы должно содержать, по крайней мере, 2n произвольных констант. Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию системы через обобщённые координаты и скорости T, найти обобщённые силы Q σ и произвести последовательно все указанные дифференцирования. Общее же количество получаемых уравнений движения системы не зависит от числа материальных точек системы, а определяется только числом степеней свободы. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 8 / 21

9 Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат q 1,..., q n При другом их выборе изменяются только функции T и Q σ, а сам вид уравнений остаётся тот же. В этой связи говорят, что уравнения Лагранжа II рода обладают свойством универсальности. Однако, главным преимуществом уравнений является то, что уравнения не содержат реакций идеальных связей и служат для определения только лишь движения системы: q σ = q σ (t). Если же нужно найти реакции, то после интегрирования уравнений Лагранжа надо подставить найденные функции q σ (t) в выражения r ν = r ν (t, q 1 (t),..., q n (t)) = r ν (t) и определить ускорения: ā ν = d2 r ν dt 2. Тогда равнодействующая реакций R ν, приложенных к точке P ν определится из соотношений: R ν = m ν ā ν F ν. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 9 / 21

10 Анализ выражения кинетической энергии (в обобщённых координатах) Рассмотрим структуру выражения для кинетической энергии системы, записанной через обобщённые координаты и скорости: T = 1 N m ν v 2 ν = 1 N ( ) ( 2 d rν m ν = 1 N n m ν 2 2 dt 2 ( = 1 N n ) 2 m ν r ν q σ + 2 r ν r ν q σ + 2 t или в сокращённой записи: T = 1 2 σ,ρ=1 a σρ q σ q ρ + ) 2 r ν q σ + r ν = t a σ q σ + a 0 ( ) 2 rν t где введены обозначения для коэффициентов a σρ, a σ, a 0 функций от {t, q 1,..., q n } N r ν r ν N r ν r ν a σρ = m ν, a σ = m ν q ρ t, a 0 = 1 N ( ) 2 rν m ν 2 t Причём видно, что: a σρ = a ρσ, т.е. симметричные по нижним индексам. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 10 / 21

11 Данная формула T показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщённых скоростей q σ и представима в виде: T = T 2 + T 1 + T 0 где T 2 = 1 a σρ q σ q ρ, T 1 = 2 σ,ρ=1 a σ q σ, T 0 = a 0 однородные функции относительно обобщённых скоростей q σ T 2 квадратичная форма, T 1 линейная форма, T 0 нулевой степени форма В случае склерономной системы (стационарные связи) время не входит в уравнение связи и в выражение r ν = r ν (q 1,..., q n ) тогда r ν t = 0 a σ = a 0 = 0 T 1 = T 0 = 0 T = T 2 = 1 2 σ,ρ=1 a σρ q σ q ρ т.е. кинетическая энергия склерономной системы является однородной функцией второй степени (квадратичной формой) от обобщённых скоростей. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 11 / 21

12 Заметим, что у произвольной (склерономной или реаномной) голономной системы форма T 2 является всегда невырожденной, т.е. определитель, составленный из её коэффициентов, отличен от нуля: det a σρ n σ,ρ=1 0 В самом деле, так как квадратичная форма T 2 может быть записана в виде: T 2 = 1 2 ( N n r ν m ν q σ сразу следует, что T 2 0, т.е. неотрицательна. Докажем теперь, что она может обратиться в ноль только тогда когда все q σ = 0, т.е. в покое. Допустим, что это не так, т.е. что T 2 может равняться нулю при некоторых значениях обобщённых скоростей q σ среди которых есть отличные от нуля. Тогда очевидно каждое выражение в скобках в этой форме в этой формуле должно обратиться в ноль, т.е. ) 2 r ν q σ = 0 (ν = 1,..., N) Или в скалярной форме N векторных равенств запишутся в виде 3N равенств: Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 12 / 21

13 x ν q σ = 0, y ν q σ = 0, z ν q σ = 0 Эти равенства показывают, что в якобиевой функциональной матрице размерами 3N n (где n = 3N g 3N) A = x 1 / q 1... x 1 / q n y 1 / q 1... y 1 / q n z 1 / q 1... z 1 / q n... z N / q 1... z N / q n столбцы линейно зависимы, т.е. ранг этой матрицы меньше n: rang A = m < n. В противном случае однородная система линейных алгебраических уравнений имела бы единственное решение q σ 0. Но тогда среди 3N функций x 1, y 1, z 1,...,x N, y N, z N от n аргументов q 1,..., q n (время t рассматривается как параметр) имеется m независимых, через которое могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, т.к. минимальное число независимых координат системы равно n (в предыдущей лекции), а n > m. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 13 / 21

14 Таким образом квадратичная форма T 2 является положительно-определённой: T 2 0, что будет ещё неоднократно использоваться в дальнейшем, причём равенство нулю (T 2 = 0) может быть только когда все q σ = 0. Можно ещё сказать, что T 2 это кинетическая энергия при «замороженных» («остановленных») связях. Тогда из критерия Сильвестра следуют детерминантные неравенства: положительность всех ведущих миноров формы T 2 = 1 a σρ q σ q ρ 2 т.е. a 11 > 0, det a σρ l σ,ρ=1> 0 a 11 a 12 a 21 a 22 > 0,..., σ,ρ=1 l 1,..., n a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... > 0. a n1 a n2... a nn Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 14 / 21

15 Разрешимость уравнений Лагранжа второго рода Используя структуру выражения кинетической энергии: T = 1 a σρ q σ q ρ + n a σ q σ + a 0, после подстановки в уравнения 2 σ,ρ=1 Лагранжа получим: a σρ q σ + ( ) = Q ρ (t, q i, q i ) (ρ = 1,..., n) где через ( ) обозначена сумма членов не содержащих обобщённых ускорений q σ. Правые части, т.е. обобщённые силы также не содержат обобщённых ускорений, т.е. являются функциями t, q i, q i. Перенося ( ) вправо получим a σρ q σ = g ρ (t, q i, q i ) (ρ = 1,..., n) т.к. det a σρ n σρ=1 > 0, то эти уравнения можно разрешить относительно q σ, т.е. выразить их в виде q σ (t) = d q σ(t) dt = G σ (t, q i, q i ) (σ = 1,..., n) Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 15 / 21

16 d q σ (t) = G σ (t, q i, q i ) (σ = 1,..., n) dt Добавим к ним ещё формальные уравнения dq σ (t) = q σ (t) (σ = 1,..., n) dt для получения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. дифференциальных уравнений первой степени на q σ, q σ ). Тогда при ограничениях относительно G σ (t, q i, q i ) (существование всех непрерывных частных производных первого порядка у функций G σ ), по теореме о разрешимости нормальной системы уравнений она имеет единственное решение при произвольных заданных начальных данных: q σ = q 0 σ, q σ = q 0 σ при t = t 0 (σ = 1,..., n) Т.е. если активные силы Q σ имеют непрерывные производные первого порядка, а зависимости между декартовыми и обобщёнными координатами непрерывные производные вплоть до третьего порядка, то указанная задача Коши имеет единственное решение. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 16 / 21

17 Теорема об изменении полной механической энергии (голономной системы) Ранее мы рассмотривали частный случай сил, действующих на систему потенциальных. Напомним, если обобщённые силы не зависят от обобщённых скоростей: Q σ = Q σ (t, q 1,..., q n ) и существует (скалярная) функция Π(t, q 1,..., q n ) такая, что Q σ = Π, то силы Q σ потенциальны, и Π потенциал или потенциальная энергия. Работа потенциальных сил на виртуальном перемещении определялась как: δa = Q σ δq σ = Π δq σ = δπ где δπ виртуальный дифференциал. Рассмотрим теперь более общий случай, когда кроме потенциальных сил, определяемых потенциалом Π(t, q i ), на систему действуют ещё и непотенциальные силы: Q σ = Q σ(t, q i, q i ) (σ = 1,..., n), тогда Q σ = Π + Q σ и уравнения Лагранжа принимают форму: d T T = Π + Q σ dt q σ Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 17 / 21

18 Рассмотрим величину полная механическая энергия системы: E = T + Π и найдём её изменение с течением времени. Для начала найдём d ( T dt T (t, q i, q i ) = q σ + T ) q σ + T q σ q σ t = ( ) = d T ( d T q σ T ) dt q σ dt q σ q σ + T t Далее воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях, согласно которой для однородной функции n переменных f(x 1,..., x n ) k-ой степени (k n) вида: f(x 1,..., x n ) = a σ1,...,σ k (x σ1 x σ2... x σk ) где a σ1,...,σ k σ 1,...,σ k =1 коэффициенты, справедливо равенство: f x σ x σ = kf Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 18 / 21

19 Применяя эту формулу к линейной T 1 и квадратичной T 2 формам по обобщённым скоростям в кинетической энергии системы определяем: T 1 T 2 q σ = T 1, q σ = 2T 2 q σ q σ T q σ q σ = Используя ещё уравнения Лагранжа имеем: dt dt = d dt (2T 2 + T 1 ) = d dt (2T 2 + 2T 1 + 2T 0 ) d dt (T 1 + 2T 0 ) + (T 2 + T 1 + T 0 ) q σ q σ = 2T 2 + T 1 ( Π ) + Q σ q σ + T t = Π q σ = 2 dt dt d dt (T 1 + 2T 0 ) + dπ dt Π t Q σ q σ + T t = Q σ q σ + T t Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 19 / 21

20 dt dt 2dT dt dπ dt = d dt (T 1 + 2T 0 ) Π t Q σ q σ + T t Отсюда окончательно имеем Теорема (формула) об изменении полной механической энергии при движении произвольной голономной системы: где N = n de dt = N + d dt (T 1 + 2T 0 ) T t + Π t Q σ q σ называется мощность непотенциальных сил Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 20 / 21

21 Важные частные случаи теоремы об изменении полной механической энергии голономной системы 1. Система склерономна T 1 = T 0 = 0 и T t = 0 de dt = N + Π t 2. Система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени Π t = 0 de dt = N 3. Система (голономная) консервативная: склерономна все силы потенциальны N = Q σ = 0 de dt = 0 потенциал не зависит явно от t т.е. полная механическая энергия консервативной системы не изменяется при движении системы. Отсюда вытекает интеграл энергии или закон сохранения энергии (полной механической энергии E = T + Π для консервативной системы) E = T + Π = const = h Данное равенство не содержит ускорений q σ и включает произвольную постоянную h, следовательно, определяет первый интеграл уравнений движения. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 21 / 21


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 12 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 12 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 1 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ

Подробнее

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные коодинаты и их ваиации. Общее уавнение механики Связями называют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 1. Общее уравнение динамики в обобщённых координатах Продолжим изучать общее уравнение динамики и получать с

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 13 ПРИВЕДЁННАЯ СИСТЕМА ПОТЕНЦИАЛ РАУСА СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕОРЕМА РАУСА Лектор: Батяев Евгений

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 4 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Материальная

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 10 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 10 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА (ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ) СКОБКИ ПУАССОНА КРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Глава 1. Аналитическая динамика голономных механических систем

Глава 1. Аналитическая динамика голономных механических систем АД гл Аналит дин-ка голоном мех систем с-4 с4-5 с5-4 с- 5 с-6 6 с6-4 7 с4-4 4г Глава Аналитическая динамика голономных механических систем В этой главе рассматриваются только голономные механические системы

Подробнее

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9 Содержание 1 Связи и ограничения на движение твердых тел 2 1.1 Пример 1.................................................. 2 1.2 Пример 2.................................................. 3 1.3 Пример стационарной

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 11 ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЁ ЦЕНТРА МАСС. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 11 ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЁ ЦЕНТРА МАСС. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 11 ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЁ ЦЕНТРА МАСС Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 11 Новосибирск,

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ 1. Дифференциальные уравнения аналитической динамики Начнём эту лекцию с темы,

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Лекция Уравнения динамики.

Лекция Уравнения динамики. Лекция Уравнения динамики 6 онятие о механических связях Механической системой будем называть выделенное каким-либо способом множество материальных точек и твердых тел Всем возможным положениям системы

Подробнее

и для вывода критерия каноничности не используются.

и для вывода критерия каноничности не используются. Предисловие В предлагаемом учебном пособии приводятся основные сведения из курса аналитической механики по уравнениям Лагранжа и Гамильтона. Перечень рассматриваемых здесь вопросов и объем излагаемого

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 20

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 20 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 20 ДЕЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО (ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ) ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ 1. Перемещения точек несвободной системы Рис. 5.1 Предположим, что имеется система материальных точек P, ν = 1, 2,, N. Начало

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ Математические модели механических движений

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ Математические модели механических движений АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ Математические модели механических движений ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович d.shimanchuk@spbu.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

α = q q обращает условие = 1 в

α = q q обращает условие = 1 в Лекция 7 Канонические уравнения Гамильтона Скобки Пуассона Вариационные принципы Пример Уравнения динамики материальной точки в потенциальном поле Параметризация направляющих косинусов радиус-вектора точки

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА

ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА Продолжаем изучать уравнения гамильтоновой механики. На прошлой лекции с помощью преобразования Лежандра были получены центральные

Подробнее

Вычисление элементарной работы пары сил (момента) Элементарная работа системы сил Потенциальные силы Примеры потенциальных сил...

Вычисление элементарной работы пары сил (момента) Элементарная работа системы сил Потенциальные силы Примеры потенциальных сил... Оглавление Динамика материальной точки... 4 Законы Ньютона... 4 Дифференциальные уравнения движения точки... 5 Относительное движение точки... 6 Динамика системы... 7 Основные понятия... 7 Теорема об изменении

Подробнее

ϕ можно считать одним из параметров

ϕ можно считать одним из параметров Лекция 7 Канонические уравнения Гамильтона Скобки уассона Вариационные принципы ример Уравнения динамики материальной точки в потенциальном поле араметризация направляющих косинусов радиус-вектора точки

Подробнее

1.6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

1.6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 6 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Пространственные координаты и момент времени некоторого события отнесенные к инерциальным системам отсчета K и K с параллельными координатными осями связаны преобразованиями Лоренца:

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

УДК УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ. Ф.Ф. Прохоренко

УДК УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ. Ф.Ф. Прохоренко УДК 531.011 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ Санкт - Петербургский государственный политехнический университет. Санкт Петербург Россия ff.hunt@mail.ru Аннотация. Предлагается получать уравнения Лагранжа

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера Лагранжа В механике рассматриваются

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 3 Новосибирск, 2016 г. 1 / 17 До сих пор мы рассматривали точку и её движение с геометрической

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ Математические модели механических движений 1. Задачи динамики. Аксиомы динамики 1.1. Основные задачи динамики

ВВЕДЕНИЕ Математические модели механических движений 1. Задачи динамики. Аксиомы динамики 1.1. Основные задачи динамики АДУС Введение Математические модели механических движений -6 с-45 04г ВВЕДЕНИЕ Математические модели механических движений Задачи динамики Аксиомы динамики Основные задачи динамики Раздел «Динамика» ставит

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

q (2) = B(q) q (1). (3)

q (2) = B(q) q (1). (3) ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2002. Вып. 32 УДК 517.93, 518:512.3 c 2002. Р.Г. Мухарлямов УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ ЧАПЛЫГИНА Исследуется задача моделирования динамики неголономных систем Чаплыгина

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 16 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 16 Новосибирск, 2016 г. 1 / 20 Предположим, что на материальную

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

) 0. Это условие может быть выполнено и при введении избыточных параметров. Для этого достаточно дополнить скалярную меру слагаемыми X

) 0. Это условие может быть выполнено и при введении избыточных параметров. Для этого достаточно дополнить скалярную меру слагаемыми X О ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКЕ В ИЗБЫТОЧНЫХ КООРДИНАТАХ И НЕЗАВИСИМЫХ ИМПУЛЬСАХ ЮИХанукаев (ha@yurgac) При анализе динамики механической системы большое значение имеет выбор параметров определяющих её текущее

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

степенями свободы уравнения движения, записанные в векторно-матричной форме, имеют вид H x J ; J J J вектор-столбец фазовых переменных, H ( x, t), J

степенями свободы уравнения движения, записанные в векторно-матричной форме, имеют вид H x J ; J J J вектор-столбец фазовых переменных, H ( x, t), J Амелькин Н И 1 Канонические преобразования в гамильтоновых системах Для гамильтоновой системы с n степенями свободы уравнения движения записанные в векторно-матричной форме имеют вид Здесь q H p p H q

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mal.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Санкт-Петербург

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 17 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 В природе и технике существует широкий

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее