ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ"

Транскрипт

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 1 / 21

2 Рассмотрим систему N материальных точек P ν, положение которых в инерциальной системе отсчёта определяется радиус-векторами r ν (t) (ν = 1,..., N). Если система несвободна, тогда наложенные на неё связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть δ r ν виртуальное перемещение точки P ν, m ν масса, ā ν ускорение, F ν равнодействующая всех активных сил, приложенных к P ν. Тогда имеет место общее уравнение динамики системы N ( F ν m ν ā ν ) δ r ν = 0 (1) В том случае, когда все или некоторые из связей не идеальны, к активным силам F ν следует добавить часть Ḡ ν равнодействующей реакций связей, действующей на P ν, которая не удовлетворяет условию идеальности. После этого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему с идеальными связями. Общее уравнение динамики мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики. Фактически все изучаемые дальше уравнения движения материальных систем являются только разными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположениях о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на неё связях. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 2 / 21

3 Пусть система голономная, т.е. имеются только геометрические связи в количестве g штук: f α (t, r ν ) = 0 (α = 1,..., g) Пусть q 1,..., q n - обобщённые координаты, где n = 3N g число степеней свободы системы. Тогда радиус-векторы r ν точек P ν системы относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов {q 1,..., q n, t}, которые предполагаются трижды непрерывно дифференцируемыми: r ν = r ν (t, q 1,..., q n ). Если система склерономная (связи стационарные), то обобщённые координаты q σ (t) можно выбрать так, чтобы r ν не зависели явно от t. В общем случае имеем: v ν = d r ν dt = r ν q σ + r ν t, δ r ν = r ν δq σ Запишем общее уравнение динамики в обобщённых координатах. Для работы активных сил на виртуальном перемещении имеем выражение: N δa = F ν δ r ν = Q σ δq σ где Q σ = N F ν r ν обобщённая сила, соответствующая обобщённой координате q σ. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 3 / 21

4 Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции системы на виртуальном перемещении. Пользуясь указанными выше формулами, имеем ( N N r ν N ) d v ν m ν ā ν δ r ν = m ν ā ν δq σ = m ν dt r ν δq σ Но выражение в скобках преобразуется к виду: ( N d v ν m ν dt r ν = d N ) r ν m ν v ν dt N d r ν m ν v ν (2) dt Учитывая линейную зависимость приведенного выше выражения скорости v ν от q σ легко установить: Кроме того т.е. v ν = ( n ρ=1 v ν q σ r ν q ρ + r ν q ρ t v ν ) = r ν = ρ=1 = d r ν dt 2 r ν q ρ + 2 r ν q ρ t = d r ν dt Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 4 / 21

5 После подстановки двух последних равенств в (2) получим: ( N d v ν m ν dt r ν = d N ) v ν N v ν m ν v ν m ν v ν = d T T dt q σ dt q σ где обозначено T = 1 2 N m ν v 2 ν кинетическая энергия системы. Таким образом получили выражение для элементарной работы сил инерции системы в виде: N ( d T m ν ā ν δ r ν = T ) δq σ dt q σ Тогда подставляя выражения работ активных сил и сил инерции в обобщённых координатах в общее уравнение динамики получим (умножая на 1): ( d T T ) Q σ δq σ = 0 dt q σ общее уравнение динамики в обобщённых координатах Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 5 / 21

6 Т.к. q σ независимые координаты, поэтому δq σ совершенно любые вариации координат независящие друг от друга (σ = 1,..., n). Значит, в силу произвольности δq σ это уравнение будет выполняться только тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех δq σ. Поэтому общее уравнение динамики в обобщённых координатах эквивалентно системе уравнений: d T T = Q σ (σ = 1,..., n) dt q σ Уравнения Лагранжа второго рода Величины q σ называются обобщённые скорости. Аналогично q σ обобщённые ускорения. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 6 / 21

7 d T T = Q σ (σ = 1,..., n) dt q σ Скорости точек v ν, в выражении кинетической энергии системы, являются линейными функциями по обобщённым скоростям q σ и конечно ещё зависят от времени t и обобщённых координат q σ, т.е. v ν = v ν (t, q σ, q σ ), следовательно T = T (t, q σ, q σ ). В левые части уравнений Лагранжа после выполнения операции дифференцирования по времени (d/dt) входят t, q σ, q σ, q σ. Обобщённые силы, стоящие в правых частях уравнений Лагранжа обычно задаются как функции t, q σ, q σ : Q σ = Q σ (t, q ρ, q ρ ) Q σ = N F ν r ν, F ν = F ν (t, r µ, v µ ), r ν = r ν (t, q ρ ), v ν = v ν (t, q ρ, q ρ ) Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 7 / 21

8 Преимущества уравнений Лагранжа второго рода Уравнения Лагранжа II рода образуют систему из n обычных дифференциальных уравнений второго порядка относительно n неизвестных функций q σ (t). Порядок этой системы равен 2n. И это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы с n степенями свободы, так как в силу произвольности начальных значений величин q σ, q σ решение системы должно содержать, по крайней мере, 2n произвольных констант. Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию системы через обобщённые координаты и скорости T, найти обобщённые силы Q σ и произвести последовательно все указанные дифференцирования. Общее же количество получаемых уравнений движения системы не зависит от числа материальных точек системы, а определяется только числом степеней свободы. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 8 / 21

9 Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат q 1,..., q n При другом их выборе изменяются только функции T и Q σ, а сам вид уравнений остаётся тот же. В этой связи говорят, что уравнения Лагранжа II рода обладают свойством универсальности. Однако, главным преимуществом уравнений является то, что уравнения не содержат реакций идеальных связей и служат для определения только лишь движения системы: q σ = q σ (t). Если же нужно найти реакции, то после интегрирования уравнений Лагранжа надо подставить найденные функции q σ (t) в выражения r ν = r ν (t, q 1 (t),..., q n (t)) = r ν (t) и определить ускорения: ā ν = d2 r ν dt 2. Тогда равнодействующая реакций R ν, приложенных к точке P ν определится из соотношений: R ν = m ν ā ν F ν. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 9 / 21

10 Анализ выражения кинетической энергии (в обобщённых координатах) Рассмотрим структуру выражения для кинетической энергии системы, записанной через обобщённые координаты и скорости: T = 1 N m ν v 2 ν = 1 N ( ) ( 2 d rν m ν = 1 N n m ν 2 2 dt 2 ( = 1 N n ) 2 m ν r ν q σ + 2 r ν r ν q σ + 2 t или в сокращённой записи: T = 1 2 σ,ρ=1 a σρ q σ q ρ + ) 2 r ν q σ + r ν = t a σ q σ + a 0 ( ) 2 rν t где введены обозначения для коэффициентов a σρ, a σ, a 0 функций от {t, q 1,..., q n } N r ν r ν N r ν r ν a σρ = m ν, a σ = m ν q ρ t, a 0 = 1 N ( ) 2 rν m ν 2 t Причём видно, что: a σρ = a ρσ, т.е. симметричные по нижним индексам. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 10 / 21

11 Данная формула T показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщённых скоростей q σ и представима в виде: T = T 2 + T 1 + T 0 где T 2 = 1 a σρ q σ q ρ, T 1 = 2 σ,ρ=1 a σ q σ, T 0 = a 0 однородные функции относительно обобщённых скоростей q σ T 2 квадратичная форма, T 1 линейная форма, T 0 нулевой степени форма В случае склерономной системы (стационарные связи) время не входит в уравнение связи и в выражение r ν = r ν (q 1,..., q n ) тогда r ν t = 0 a σ = a 0 = 0 T 1 = T 0 = 0 T = T 2 = 1 2 σ,ρ=1 a σρ q σ q ρ т.е. кинетическая энергия склерономной системы является однородной функцией второй степени (квадратичной формой) от обобщённых скоростей. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 11 / 21

12 Заметим, что у произвольной (склерономной или реаномной) голономной системы форма T 2 является всегда невырожденной, т.е. определитель, составленный из её коэффициентов, отличен от нуля: det a σρ n σ,ρ=1 0 В самом деле, так как квадратичная форма T 2 может быть записана в виде: T 2 = 1 2 ( N n r ν m ν q σ сразу следует, что T 2 0, т.е. неотрицательна. Докажем теперь, что она может обратиться в ноль только тогда когда все q σ = 0, т.е. в покое. Допустим, что это не так, т.е. что T 2 может равняться нулю при некоторых значениях обобщённых скоростей q σ среди которых есть отличные от нуля. Тогда очевидно каждое выражение в скобках в этой форме в этой формуле должно обратиться в ноль, т.е. ) 2 r ν q σ = 0 (ν = 1,..., N) Или в скалярной форме N векторных равенств запишутся в виде 3N равенств: Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 12 / 21

13 x ν q σ = 0, y ν q σ = 0, z ν q σ = 0 Эти равенства показывают, что в якобиевой функциональной матрице размерами 3N n (где n = 3N g 3N) A = x 1 / q 1... x 1 / q n y 1 / q 1... y 1 / q n z 1 / q 1... z 1 / q n... z N / q 1... z N / q n столбцы линейно зависимы, т.е. ранг этой матрицы меньше n: rang A = m < n. В противном случае однородная система линейных алгебраических уравнений имела бы единственное решение q σ 0. Но тогда среди 3N функций x 1, y 1, z 1,...,x N, y N, z N от n аргументов q 1,..., q n (время t рассматривается как параметр) имеется m независимых, через которое могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, т.к. минимальное число независимых координат системы равно n (в предыдущей лекции), а n > m. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 13 / 21

14 Таким образом квадратичная форма T 2 является положительно-определённой: T 2 0, что будет ещё неоднократно использоваться в дальнейшем, причём равенство нулю (T 2 = 0) может быть только когда все q σ = 0. Можно ещё сказать, что T 2 это кинетическая энергия при «замороженных» («остановленных») связях. Тогда из критерия Сильвестра следуют детерминантные неравенства: положительность всех ведущих миноров формы T 2 = 1 a σρ q σ q ρ 2 т.е. a 11 > 0, det a σρ l σ,ρ=1> 0 a 11 a 12 a 21 a 22 > 0,..., σ,ρ=1 l 1,..., n a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... > 0. a n1 a n2... a nn Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 14 / 21

15 Разрешимость уравнений Лагранжа второго рода Используя структуру выражения кинетической энергии: T = 1 a σρ q σ q ρ + n a σ q σ + a 0, после подстановки в уравнения 2 σ,ρ=1 Лагранжа получим: a σρ q σ + ( ) = Q ρ (t, q i, q i ) (ρ = 1,..., n) где через ( ) обозначена сумма членов не содержащих обобщённых ускорений q σ. Правые части, т.е. обобщённые силы также не содержат обобщённых ускорений, т.е. являются функциями t, q i, q i. Перенося ( ) вправо получим a σρ q σ = g ρ (t, q i, q i ) (ρ = 1,..., n) т.к. det a σρ n σρ=1 > 0, то эти уравнения можно разрешить относительно q σ, т.е. выразить их в виде q σ (t) = d q σ(t) dt = G σ (t, q i, q i ) (σ = 1,..., n) Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 15 / 21

16 d q σ (t) = G σ (t, q i, q i ) (σ = 1,..., n) dt Добавим к ним ещё формальные уравнения dq σ (t) = q σ (t) (σ = 1,..., n) dt для получения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. дифференциальных уравнений первой степени на q σ, q σ ). Тогда при ограничениях относительно G σ (t, q i, q i ) (существование всех непрерывных частных производных первого порядка у функций G σ ), по теореме о разрешимости нормальной системы уравнений она имеет единственное решение при произвольных заданных начальных данных: q σ = q 0 σ, q σ = q 0 σ при t = t 0 (σ = 1,..., n) Т.е. если активные силы Q σ имеют непрерывные производные первого порядка, а зависимости между декартовыми и обобщёнными координатами непрерывные производные вплоть до третьего порядка, то указанная задача Коши имеет единственное решение. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 16 / 21

17 Теорема об изменении полной механической энергии (голономной системы) Ранее мы рассмотривали частный случай сил, действующих на систему потенциальных. Напомним, если обобщённые силы не зависят от обобщённых скоростей: Q σ = Q σ (t, q 1,..., q n ) и существует (скалярная) функция Π(t, q 1,..., q n ) такая, что Q σ = Π, то силы Q σ потенциальны, и Π потенциал или потенциальная энергия. Работа потенциальных сил на виртуальном перемещении определялась как: δa = Q σ δq σ = Π δq σ = δπ где δπ виртуальный дифференциал. Рассмотрим теперь более общий случай, когда кроме потенциальных сил, определяемых потенциалом Π(t, q i ), на систему действуют ещё и непотенциальные силы: Q σ = Q σ(t, q i, q i ) (σ = 1,..., n), тогда Q σ = Π + Q σ и уравнения Лагранжа принимают форму: d T T = Π + Q σ dt q σ Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 17 / 21

18 Рассмотрим величину полная механическая энергия системы: E = T + Π и найдём её изменение с течением времени. Для начала найдём d ( T dt T (t, q i, q i ) = q σ + T ) q σ + T q σ q σ t = ( ) = d T ( d T q σ T ) dt q σ dt q σ q σ + T t Далее воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях, согласно которой для однородной функции n переменных f(x 1,..., x n ) k-ой степени (k n) вида: f(x 1,..., x n ) = a σ1,...,σ k (x σ1 x σ2... x σk ) где a σ1,...,σ k σ 1,...,σ k =1 коэффициенты, справедливо равенство: f x σ x σ = kf Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 18 / 21

19 Применяя эту формулу к линейной T 1 и квадратичной T 2 формам по обобщённым скоростям в кинетической энергии системы определяем: T 1 T 2 q σ = T 1, q σ = 2T 2 q σ q σ T q σ q σ = Используя ещё уравнения Лагранжа имеем: dt dt = d dt (2T 2 + T 1 ) = d dt (2T 2 + 2T 1 + 2T 0 ) d dt (T 1 + 2T 0 ) + (T 2 + T 1 + T 0 ) q σ q σ = 2T 2 + T 1 ( Π ) + Q σ q σ + T t = Π q σ = 2 dt dt d dt (T 1 + 2T 0 ) + dπ dt Π t Q σ q σ + T t = Q σ q σ + T t Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 19 / 21

20 dt dt 2dT dt dπ dt = d dt (T 1 + 2T 0 ) Π t Q σ q σ + T t Отсюда окончательно имеем Теорема (формула) об изменении полной механической энергии при движении произвольной голономной системы: где N = n de dt = N + d dt (T 1 + 2T 0 ) T t + Π t Q σ q σ называется мощность непотенциальных сил Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 20 / 21

21 Важные частные случаи теоремы об изменении полной механической энергии голономной системы 1. Система склерономна T 1 = T 0 = 0 и T t = 0 de dt = N + Π t 2. Система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени Π t = 0 de dt = N 3. Система (голономная) консервативная: склерономна все силы потенциальны N = Q σ = 0 de dt = 0 потенциал не зависит явно от t т.е. полная механическая энергия консервативной системы не изменяется при движении системы. Отсюда вытекает интеграл энергии или закон сохранения энергии (полной механической энергии E = T + Π для консервативной системы) E = T + Π = const = h Данное равенство не содержит ускорений q σ и включает произвольную постоянную h, следовательно, определяет первый интеграл уравнений движения. Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2017 г. 21 / 21

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 12 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 12 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 1 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНО ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 6 ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ

Подробнее

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные коодинаты и их ваиации. Общее уавнение механики Связями называют

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 13 ПРИВЕДЁННАЯ СИСТЕМА ПОТЕНЦИАЛ РАУСА СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕОРЕМА РАУСА Лектор: Батяев Евгений

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 4 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Материальная

Подробнее

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9

2 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) 5. 3 Обобщенные координаты механической системы 6. 4 Тождества Лагранжа 9 Содержание 1 Связи и ограничения на движение твердых тел 2 1.1 Пример 1.................................................. 2 1.2 Пример 2.................................................. 3 1.3 Пример стационарной

Подробнее

Лекция Уравнения динамики.

Лекция Уравнения динамики. Лекция Уравнения динамики 6 онятие о механических связях Механической системой будем называть выделенное каким-либо способом множество материальных точек и твердых тел Всем возможным положениям системы

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ 1. Дифференциальные уравнения аналитической динамики Начнём эту лекцию с темы,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

и для вывода критерия каноничности не используются.

и для вывода критерия каноничности не используются. Предисловие В предлагаемом учебном пособии приводятся основные сведения из курса аналитической механики по уравнениям Лагранжа и Гамильтона. Перечень рассматриваемых здесь вопросов и объем излагаемого

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ 1. Перемещения точек несвободной системы Рис. 5.1 Предположим, что имеется система материальных точек P, ν = 1, 2,, N. Начало

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА

ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА ЛЕКЦИЯ 20 УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ РАУСА. СКОБКИ ЛАГРАНЖА Продолжаем изучать уравнения гамильтоновой механики. На прошлой лекции с помощью преобразования Лежандра были получены центральные

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Вычисление элементарной работы пары сил (момента) Элементарная работа системы сил Потенциальные силы Примеры потенциальных сил...

Вычисление элементарной работы пары сил (момента) Элементарная работа системы сил Потенциальные силы Примеры потенциальных сил... Оглавление Динамика материальной точки... 4 Законы Ньютона... 4 Дифференциальные уравнения движения точки... 5 Относительное движение точки... 6 Динамика системы... 7 Основные понятия... 7 Теорема об изменении

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера Лагранжа В механике рассматриваются

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

УДК УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ. Ф.Ф. Прохоренко

УДК УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ. Ф.Ф. Прохоренко УДК 531.011 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В КУРСЕ МЕХАНИКИ Санкт - Петербургский государственный политехнический университет. Санкт Петербург Россия ff.hunt@mail.ru Аннотация. Предлагается получать уравнения Лагранжа

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 ДИНАМИКА ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 3 Новосибирск, 2016 г. 1 / 17 До сих пор мы рассматривали точку и её движение с геометрической

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 17 ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 17 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 В природе и технике существует широкий

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА динамика механической системы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mal.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Санкт-Петербург

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Издательство ГОУ ВПО ТГТУ

Издательство ГОУ ВПО ТГТУ Издательство ГОУ ВПО ТГТУ Учебное издание ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Методические указания Составители: ЛОМАКИНА Ольга Владимировна ГАЛАЕВ Валентин Иванович Редактор

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2016 г. 1 / 19 Задача кинематики твёрдого тела состоит в

Подробнее

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Наиболее общим разделом механики является динамика, имеющая особое значение для решения многих важных задач в различных областях техники Динамика

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Ковалев Л.А.

ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Ковалев Л.А. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Лекция Аналитическая механика это раздел теоретической механики, в котором изучение равновесия и движения механических систем основано на дифференциальных и интегральных принципах

Подробнее

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО ГЛАВА 3 Лагранжев формализм в СТО 3.. О вариационном методе в механике В данной главе уравнения движения, импульс и энергия релятивистской частицы будут получены вариационным методом. Общим принципом,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

1. Уравнения Гамильтона

1. Уравнения Гамильтона . Уравнения Гамильтона Понижение порядка системы уравнений Лагранжа Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные геометрические (голономные) связи. Пусть система обладает степенями свободы.

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина.

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина. 6 Раздел ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Тема Существование и единственность решения краевой задачи Матричные функции Грина Рассмотрим на отрезке по линейную краевую задачу для системы из обыкновенных дифференциальных

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее