Решение систем линейных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение систем линейных уравнений"

Транскрипт

1 Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский

2 Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области Университет «Дубна» Кафедра высшей математики Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Решение систем линейных уравнений Рекомендовано учебно-методическим советом университета «Дубна» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки ИСАУ Дубна, 2016 г.

3 Оглавление 1 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Общие понятия Теорема Крамера Метод последовательного исключения неизвестных 13 2 Решение систем линейных уравнений Решение системы уравнений Решение системы уравнений Решение системы уравнений Метод подстановки Метод приравнивания коэффициентов при неизвестных Графический метод Правило Крамера Метод обратной матрицы

4 4 2.4 Решение системы уравнений Правило Крамера Метод обратной матрицы Метод Гаусса Решение системы уравнений m n 49

5 Системы линейных уравнений. Общие понятия Теорема Крамера Метод последовательного исключения неизвестных 1 Системы линейных уравнений 1.1 Системы линейных уравнений. Общие понятия Определение 1.1 Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных (система уравнений m n), называется система следующего вида: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (1.1)... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, где x 1,x 2,...,x n неизвестные переменные, a ij коэффициенты при неизвестных, b 1,b 2,...,b m свободные члены системы.

6 6 Системы линейных уравнений Пример 1.1 Уравнение 2x 1 = 8 (1.2) представляет собой систему линейных уравнений, содержащую одно уравнение и одну неизвестную величину x: система уравнений 1 1. Пример 1.2 Система уравнений 1 2 (одно уравнение и две неизвестных величины x 1 и x 2 ): x 1 4x 2 = 5. (1.3) Пример 1.3 Система уравнений 2 2 (два уравнения и две неизвестных величины x 1 и x 2 ): { x1 4x 2 = 5, (1.4) 2x 1 + x 2 = 8. Пример 1.4 Система уравнений 2 3 (два уравнения и три неизвестных величины x 1, x 2 и x 3 ): { x1 4x 2 + 5x 3 = 5, (1.5) 2x 1 + x 2 9x 3 = 8. Пример 1.5 Система уравнений 3 2 (три уравнения и две неизвестных величины x 1 и x 2 ): x 1 4x 2 = 5, 2x 1 + x 2 = 8, x 1 + 3x 2 = 15.. (1.6)

7 1.1 Системы линейных уравнений. Общие понятия 7 Пример 1.6 Система уравнений 3 3 (три уравнения и три неизвестных величины x 1, x 2 и x 3 ): x 1 4x 2 + x 3 = 4, 2x 1 + x 2 2x 3 = 2, x 1 + 3x 2 3x 3 = 2. (1.7) Определение 1.2 Система (1.1) называется квадратной, если число уравнений системы (m) равно числу неизвестных (n): m = n. Системы уравнений (1.2), (1.4), (1.7) квадратные системы уравнений. Определение 1.3 Любой числовой набор α 1,α 2,...,α n называется решением системы (1.1), если после подстановки этих чисел в систему вместо соответствующих неизвестных все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства (тождества): b 1 = b 1, b 2 = b 2,..., b m = b m. Определение 1.4 Система линейных уравнений (1.1) называется совместной, если существует хотя бы одно ее решение, в противном случае система несовместна. Система линейных уравнений (1.1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если ее решений больше одного. Пример 1.7 Системы (1.2), (1.4), (1.7) определенные системы уравнений.

8 8 Системы линейных уравнений Пример 1.8 Системы (1.3), (1.5) неопределенные системы уравнений. Пример 1.9 Система (1.6) несовместная система уравнений. Системы линейных уравнений Совместная система Хотя бы одно решение Несовместная система Нет решений Определенная система Tолько одно решение Неопределенная система Решений больше одного Определение 1.5 Решить систему линейных уравнений - это значит найти все ее решения или доказать несовместность системы. Часто бывает целесообразно заменить систему линейных уравнений (1.1) эквивалентным матричным уравнением. Для этого введем матрицы: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn,x = x 1 x 2... x n,b = b 1 b 2... b m. (1.8) Определение 1.6 Матрица A, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется основной матрицей системы.

9 1.1 Системы линейных уравнений. Общие понятия 9 Матрица-столбец X, составленная из неизвестных системы, называется столбцом неизвестных. Матрица-столбец B, составленная из свободных членов системы, называется столбцом свободных членов системы. Запишем матричное уравнение: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x n = b 1 b 2... b m. (1.9) Используя правила умножения и сравнения матриц, нетрудно получить из матричного уравнения (1.9) систему линейных уравнений (1.1). Пример 1.10 Система (1.4) в матричной форме имеет вид ( )( ) ( ) 1 4 x1 5 =. (1.10) 2 1 x 2 8 Пример 1.11 Система (1.5) в матричной форме имеет вид ( ) x ( ) x =. (1.11) 8 x 3 Пример 1.12 Система (1.6) в матричной форме имеет вид 1 2 ( ) 5 x1 2 1 = 8. (1.12) x

10 10 Системы линейных уравнений Решая матричное уравнение (1.9), мы тем самым решаем систему (1.1). Рассмотрим теперь квадратную систему линейных уравнений: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (1.13)... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. Квадратные системы, в которых основная матрица является невырожденной (определитель матрицы A не равен нулю), играют особую роль в математике: имеется метод решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей. 1.2 Теорема Крамера home При решения квадратных систем линейных уравнений используется следующая теорема. Теорема 1.1 (Теорема Крамера) Если основная матрица квадратной системы линейных уравнений невырожденная, то такая система имеет единственное решение. Доказательство. Пусть A основная матрица системы (1.13), а ее определитель (главный определитель системы), X столбец из ее неизвестных и B столбец свободных членов системы. Тогда уравнение AX = B (1.14) представляет собой матричную запись системы (1.13). Так как по условию теоремы A невырожденная матрица, то она имеет обратную A 1 : A A 1 = A 1 A = E, где E E n n единичная матрица размера n n (матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные матричные элементы равны нулю). Умножим обе части равенства (1.14) слева на A 1 : A 1 (AX) = A 1 B. (1.15)

11 1.2 Теорема Крамера 11 Используя ассоциативность умножения матриц, получаем Таким образом, (A 1 A)X = EX = X = A 1 B. (1.16) X = A 1 B. (1.17) Произведение, стоящее справа, будет матрицей, состоящей из одного столбца. Ее j-й элемент равен сумме произведений j-й строки матрицы A 1 на соответствующие элементы матрицы B, т. е. равен числу A 1j b 1 + A 2j b A nj b n = A 1jb 1 + A 2j b A nj b n. (1.18) Сумма, стоящая в числителе справа, является разложением по j-му столбцу определителя j, получающегося заменой j-гo столбца определителя столбцом B. Покажем, что полученные значения неизвестных действительно составляют решение системы (1.13). Для этого подставим вместо X в матричное уравнение (1.14) правую часть уравнения (1.17), A(A 1 B) = (AA 1 )B = B, (1.19) что приводит к тождеству B = B. Единственность решения системы (1.13) следует из единственности обратной матрицы A 1 и однозначности произведения матриц A 1 B. Учитывая (1.18), запишем равенства соответствующих элементов матриц столбцов, расположенных в левой и правой частях матричного равенства (1.14) Формулы Крамера x j = j, j = 1,2,...,n, (1.20)

12 12 Системы линейных уравнений где j определители, получающиеся из заменой j-гo столбца определителя столбцом B. Равенства (1.20) называются формулами Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений, основная матрица которых невырожденная. Если определитель основной матрицы квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то теорему Крамера для нахождения решений системы применять нельзя. Если правая часть системы (1.13) равна нулю a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0,... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = 0,, (1.21) то такая система называется квадратной однородной системой линейных уравнений. Такая система всегда имеет нулевое решение (система (1.21) всегда совместная) x 1 = 0,x 2 = 0,...,x n = 0, (1.22) и, следовательно, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля, то система (1.21), по теореме Крамера, имеет только нулевое решение. Можно показать, что если квадратная однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то определитель ее основной матрицы равен нулю. Под ненулевыми решениями системы понимаются такие решения, в которых хотя бы одно из значений неизвестных отлично от нуля. Можно также показать, что если определитель основной матрицы квадратной однородной системы линейных уравнений равен нулю, то такая система будет иметь (помимо нулевого) и ненулевые решения. Практическое применение метода Крамера к нахождению решений квадратных систем связано с громоздкими вычислениями: в случае решения n линейных уравнений с n неизвестными приходится вычислить (n + 1) определителей n-го порядка. Существует эффективный метод решения систем линейных уравнений: метод последовательного исключения неизвестных.

13 1.3 Метод последовательного исключения неизвестных Метод последовательного исключения неизвестных la Самый распространенный метод решения любых систем линейных уравнений это метод последовательного исключения неизвестных из системы и называется он методом Гаусса. Преобразуя систему в процессе ее решения, мы должны быть уверены, что каждое преобразование не искажает множества решений исходной системы, т. е. система, полученная после применения очередного преобразования, имеет те и только те решения, которые имеет исходная система. Определение 1.7 Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, или равносильными, если они обе несовместны либо обладают одними и теми же решениями, т. е. всякое решение одной системы является решением другой и наоборот. Применяя метод Гаусса, мы будем использовать четыре вида преобразований линейных систем. Определим их и докажем, что применение этих преобразований к любой линейной системе всегда приводит к эквивалентной системе. Определение 1.8 Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными: перемена местами (транспозиция) любых двух уравнений системы; умножение обеих частей любого уравнения системы на число, отличное от нуля; прибавление к любому уравнению системы любого уравнения этой системы, умноженного на число; удаление из системы уравнений, у которых все коэффициенты и свободный член равны нулю. Когда мы говорим о сложении двух уравнений системы, то имеем в виду, что к каждой части одного уравнения прибавляется

14 14 Системы линейных уравнений соответствующая часть другого. Теорема 1.2 Применение любого элементарного преобразования к системе линейных уравнений приводит к эквивалентной системе. Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,... a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i, (1.23)... a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j,... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. Переставим местами i-е и j-e уравнения: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,... a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j,... a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i,... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1.24) Пусть (α 1,α 2,...,α n ) решение системы (1.23), т. е. после подстановки этих чисел вместо соответствующих неизвестных в систему (1.23) каждое уравнение системы обратится в верное числовое равенство. Очевидно, то же самое произойдет и с системой (1.24) после подстановки вместо ее неизвестных соответствующих чисел (α 1,α 2,...,α n ). Следовательно, эта числовая строка является решением системы (1.24). Обратные рассуждения проводятся аналогично. Доказательство утверждения теоремы для остальных преобразований проводится аналогично.

15 1.3 Метод последовательного исключения неизвестных 15 Итак, пусть дана произвольная система линейных уравнений a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a 31 x 1 + a 32 x a 3n x n = b 3, (1.25)... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. Считаем, что в системе n неизвестных, а потому для каждого неизвестного в системе (1.25) имеется хотя бы один коэффициент, отличный от нуля. Тогда, если надо, переставив уравнения в системе и переобозначив соответствующим образом коэффициенты, добьемся, чтобы a Затем исключим последовательно неизвестное x 1 из всех уравнений системы (1.25), начиная со второго. Для этого сначала обе части первого уравнения умножим на число a 21 и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, a 11 затем обе части первого уравнения, умноженные на a 31, вычтем a 11 из соответствующих частей третьего уравнения и т. д. В результате этих операций мы получим новую систему из m уравнений с n неизвестными: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1, a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2, a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3, (1.26)... a m2 x 2 + a m3 x a mnx n = b m. Здесь a ij и b k получившиеся после описанных преобразований новые коэффициенты и свободные члены. Так как все примененные преобразования являются элементарными, системы (1.25) и (1.26) эквивалентны. В результате проведенных преобразований в системе (1.26) среди уравнений, начиная со второго, могут получиться такие: в которых все коэффициенты при неизвестных окажутся равными нулю. Если при этом и свободные члены таких уравнений равны нулю, то эти уравнения следует отбросить,

16 16 Системы линейных уравнений учитывая, что это одно из элементарных преобразований системы. 0 x x x n = 0 Если же получится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член нулю не равен, то это уравнение не может обращаться в тождество ни при каких значениях неизвестных, поэтому система (1.26), а значит, и (1.25) решений не имеют, т. е. они обе несовместны. 0 x x x n = b j. В этом случае процесс решения закачивается. Процесс решения завершится также и на этапе исключения x 1 в том случае, когда все коэффициенты a ij и свободные члены b k системы (1.26) окажутся равными нулю. В этом случае система (1.25) будет эквивалентна своему первому уравнению. В силу сделанного выше замечания, можем считать, что среди коэффициентов a ij имеются ненулевые; однако может случиться, что a i2 = 0 для всех i = 2,3,...,m. Тогда следует изменить соответствующим образом порядок следования неизвестных, мы можем без ограничения общности считать, что a На следующем этапе преобразования системы (1.25) первое уравнение останется неизменным; неизвестное x 2 исключим из всех уравнений эквивалентной системы (1.26), начиная с третьего. Для этого вычтем из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженного соответственно на числа: a 32 a 22, a 42 a 22,..., a m2 a. (1.27) 22 По окончании этого этапа преобразования системы следует сделать такой же анализ, который был проведен после исключения x 1.

17 1.3 Метод последовательного исключения неизвестных 17 Отбрасывая те уравнения, в которых после выполненных преобразований все коэффициенты левых частей и соответствующие свободные члены равны нулю, получим a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1, a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2, a 33 x a 3n x n = b 3,... a l3 x a ln x n = b l. (1.28) Здесь l m. Число уравнений в системе могло уменьшиться уже после исключения x 1. Затем в (1.28) будем исключать неизвестное x 3 из всех уравнений, начиная с третьего, и т. д. Проанализируем все возможности завершения этого процесса. Если мы придем к такой системе, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то, как уже отмечалось выше, исходная система (1.25) будет несовместной. Если таких уравнений в преобразованной системе нет, то в результате получим следующую систему уравнений, эквивалентную системе (1.25): a 11 x 1 + a 12 x a 1,k 1 x k 1 + a 1,k x k a 1n x n = b 1, a 22 x a 2,k 1 x k 1 + a 2,k x k a 2n x n = b 2,... a (k 2) k 1,k 1 x k 1 + a (k 2) k 1,k x k a (k 2) k 1,n x n = b (k 2) k 1, a (k 1) k,k x k +...a (k 1) k,n x n = b (k 1) k, (1.29) где a (k 1) k,k 0. Система (1.29) будет совместной; при этом, если k = n, она будет определенной, а если k < n неопределенной.

18 18 Системы линейных уравнений Пусть k = n. Тогда система (1.29) будет иметь вид: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 22 x a 2n x n = b 2,... a (n 1) nn x n = b (n 1) n. (1.30) Из последнего уравнения системы (1.30) находим определенное значение неизвестного x n. Подставляя найденное значение для неизвестного x n в предпоследнее уравнение системы (1.30), найдем определенное значение неизвестного x n 1. Продолжая процесс нахождения значений следующих неизвестных, мы найдем, что система (1.30), а поэтому и система (1.25) обладают единственным решением, т. е. система уравнений - совместная и определенная. Если в результате применения метода Гаусса система принимает вид (1.30), то говорят, что она приводится к треугольному виду. Пусть теперь k < n. Выделим k неизвестных x 1,x 2,...,x k, оставим слагаемые всех уравнений системы (1.29), содержащие эти неизвестные в левых частях уравнений, а все остальные перенесем в правые части: a 11 x 1 + a 12 x a 1k x k = a 1k+1 x k+1...a 1n x n + b 1, a 22 x a 2k x k = a 2k+1 x k+1...a 2n x n + b 2,... a (k 1) k,k x k = a (k 1) k,k+1 x k+1...a (k 1) kn x n + b (k 1) k. (1.31) Относительно неизвестных x 1,x 2,...,x k система приняла треугольный вид. Из последнего уравнения найдем значение неизвестного x k, выраженное через свободные неизвестные x k+1,x k+2...,x n. Двигаясь по системе (1.31) снизу вверх, мы, как и в случае треугольного вида, найдем для неизвестных x k,x k 1,...,x 2,x 1

19 1.3 Метод последовательного исключения неизвестных 19 значения, выраженные через свободные неизвестные x k+1,x k+2...,x n. Общее решение системы (1.31), а значит, и эквивалентной ей системы (1.25) тогда будет иметь вид ( f1 (x k+1,x k+2...,x n ),f 2 (x k+1,x k+2...,x n ),...,...,f k (x k+1,x k+2...,x n ),x k+1,x k+2,...,x n ), (1.32) где f i (x k+1,x k+2...,x n ) формулы, которые получены в результате процедуры нахождения значений для неизвестных x 1,x 2,...,x k. Эти формулы связывают между собой неизвестные x k+1, x k+2..., x n. Подставляя теперь в (1.32) вместо свободных неизвестных конкретные числовые значения: x k+1 = c k+1, x k+2 = c k+2,..., x n = c n, получим конкретные частные решения ( f1 (c k+1,c k+2...,c n ),f 2 (c k+1,c k+2...,c n ),...,...,f k (c k+1,c k+2...,c n ),c k+1,c k+2,...,c n ) (1.33) для системы (1.31) и, значит, для исходной (1.25). Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом способов, то система (1.31) и эквивалентная ей (1.25) будут совместными, но неопределенными. Выражение (1.32) содержит все решения систем (1.31) и (1.25). Если в результате применения метода Гаусса система принимает вид (1.30), то говорят, что она приводится к трапецеидальному виду.

20 20 Системы линейных уравнений Метод Гаусса Система уравнений 1) по завершении всех преобразований система содержит такое уравнение, в левой части которого все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член нулю не равен, - в этом случае исходная система несовместна; 2) система преобразовалась к треугольному виду - тогда исходная система совместна и определенна, т. е. имеет единственное решение; 3) система преобразовалась к трапецеидальному виду - в этом случае исходная система также совместна, но неопределенна, т. е. имеет бесчисленное множество решений. Однородная система уравнений 1) система преобразовалась к треугольному виду - тогда исходная система имеет только нулевое решение; 2) система преобразовалась к трапецеидальному виду - в этом случае исходная система имеет, кроме нулевого, еще бесчисленное множество ненулевых решений.; 3) если в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа ее неизвестных, то такая система, кроме нулевого, будет иметь бесчисленное множество ненулевых решений. При практическом использовании метода Гаусса для решения систем линейных уравнений удобно проводить элементарные преобразования для строк расширенной матрицы системы Ā = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m. (1.34)

21 1.3 Метод последовательного исключения неизвестных 21 которая получается приписыванием к основной матрице системы через черту столбца свободных членов. С применением расширенной матрицы схема элементарных преобразований системы, выглядит так Ā = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m a 11 a a 1n b 1 0 a a 2n b a m2... a mn b m... (1.35) Пример 1.13 С помощью метода последовательных исключений решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее 2x 1 + 3x x 3 + 5x 4 = 2, x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 1, 3x 1 + 3x 2 + 9x 3 + 5x 4 = 2, 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3, x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 3. (1.36) Решение. Составим расширенную матрицу Ā и проведем необходимые элементарные преобразования строк. 1. Переставим строки местами Ā = (1.37) 2. Из второй строки вычтем первую; из второй строки вычтем первую, умноженную на два; из третьей строки вычтем первую,

22 22 Системы линейных уравнений умноженную на два; из третьей строки вычтем первую, умноженную на три. Затем переставим вторую и третью строки местами; сложим четвертую и вторую строки; из полученной четвертой строки вычтем пятую. Ā (1.38) 3. Третью строку умножим на 6 и сложим с пятой; полученную пятую переставим с четвертой. Сложив пятую строку с умноженной на 7 четвертой строкой, окончательно получим Ā (1.39) Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной: x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 1, x 2 + x 3 + x 4 = 0, x 3 x 4 = 2, x 4 = 1. (1.40) Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x 4 = 1,x 3 = 2 + x 4 = 2 1 = 1,x 2 = x 3 x 4 = = 0,x 1 = 1 x 2 5x 3 2x 4 = = 2. Ответ. Система совместна, ее решение единственно (ранг матрицы системы равен числу неизвестных системы и равен четырем). x 1 = 2,x 2 = 0,x 3 = 1,x 4 = 1.

23 Решение системы уравнений 1 1 Решение системы уравнений 1 2 Решение системы уравнений 2 2 Метод подстановки Метод приравнивания коэффициентов при неизвестных Графический метод Правило Крамера Метод обратной матрицы Решение системы уравнений 3 3 Правило Крамера Метод обратной матрицы Метод Гаусса Решение системы уравнений m n 2 Решение систем линейных уравнений В этой главе рассмотрим практические приемы для решения различных систем уравнений. 2.1 Решение системы уравнений 1 1 Система уравнений 1 1 это одно уравнение с одной неизвестной величиной. Это уравнение имеет вид и решение записывается в виде Ax = B (2.1) x = B A. (2.2) Если B 0, то данное уравнение (2.1) имеет единственное решение (2.2). Если B = 0, то x = 0.

24 24 Решение систем линейных уравнений Задача 2.1 Решить уравнение 2x = 9. (2.3) Решение. x = 9 2. (2.4) Ответ. x = 9 2. Задача 2.2 Решить уравнение x 6 = 2x 10. (2.5) Решение. 2x x = 10 6 = x = 4. (2.6) Ответ. x = 4. Задача 2.3 Решить уравнение x + 1 x 4 = 2 7. (2.7) Решение. 2(x 4) = 7(x + 1) = 7x 2x = 8 7 = x = 3. (2.8) Ответ. x = 3.

25 2.2 Решение системы уравнений Задача 2.4 Решить уравнение x Решение. = 2x (x + 1) = 3(2x 1) = 6x 5x = = x = 8. (2.9) Ответ. x = 8. Задача 2.5 Решить уравнение x + 2 2x 3 = x 2x 6. (2.10) Решение. Ответ. x = 12. (2x 6)(x + 2) = x(2x 3) = 2x 2 6x + 4x 12 = = 2x 2 3x = 3x 2x = 12 = x = 12. (2.11) 2.2 Решение системы уравнений 1 2 Система уравнений 1 2 это одно уравнение с двумя неизвестными величинами. Это уравнение имеет вид Ax + By = C. (2.12) Если все коэффициенты A,B,C отличны от нуля, то уравнение называется полным. В этом случае решение записывается в виде y = A B x + C B. (2.13) Переменная величина x может принимать любые значения. Уравнение (2.12) имеет бесчисленное множество решений, которое запишем как (x,y) = (x, A B x + C ), x. (2.14) B

26 26 Решение систем линейных уравнений Если A = 0, то (x,y) = (x, C ), x. (2.15) B Если B = 0, то (x,y) = ( C,y), y. (2.16) A Если C = 0, то (x,y) = (x, B x), x. (2.17) A Поскольку уравнение (2.12) представляет собой уравнение прямой на плоскости, то множество решений (2.12) это множество точек прямой, удовлетворяющей уравнению прямой Ax + By = C на плоскости XOY. Рис Различные виды уравнений прямой на плоскости

27 2.3 Решение системы уравнений Решение системы уравнений 2 2 Рассмотрим на примерах решение систем 2 уравнений с 2 неизвестными. В общем случае такая система имеет вид { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2, (2.18) или { a11 x + a 12 y = b 1, a 21 x + a 22 y = b 2. (2.19) Существует несколько способов решения систем (2.18) Метод подстановки Суть метода состоит в том, что из одного уравнения выражаем x(y) через y(x) и подставляем во второе уравнение. Это уравнение будет уравнением с одной неизвестной величиной y(x), которую и находим. Подставляя найденное значение y(x) в первое уравнение, находим вторую неизвестную величину x(y). Задача 2.6 Решить систему уравнений { 2x 3y = 5, 3x + y = 9. (2.20) Решение. Из второго уравнения выразим y: y = 9 3x,

28 28 Решение систем линейных уравнений и подставим в первое уравнение 2x 3(9 3x) = 5 2x x = 5 11x = 22 = x = 2. Из уравнения y = 9 3x: y = = 3. Ответ. x = 2, y = 3. Задача 2.7 Решить систему уравнений { 2x + 3y = 7, 3x + 5y = 10. (2.21) Решение. Из первого уравнения выразим x: x = 1 2 (7 3y) = y, и подставим во второе уравнение y + 5y = y + 10y = y = 20 = y = 1. Из уравнения x = 1 2 (7 3y): x = = 5. Ответ. x = 5, y = Метод приравнивания коэффициентов при неизвестных Суть метода заключается в том, что первое и второе уравнения умножаются на некоторые числа так, чтобы коэффициенты при какой-либо неизвестной величине совпадали по величине. Затем,

29 2.3 Решение системы уравнений вычитая или складывая уравнения, исключаем эту неизвестную величину. В результате получится уравнение с одной неизвестной величиной. Вычислив эту неизвестную величину и подставляя ее в любое уравнение, получим значение второй неизвестной величины. Задача 2.8 Решить систему уравнений { 2x 3y = 5, 3x + y = 9. (2.22) Решение. Умножим второе уравнение на 3: { 2x 3y = 5, 9x + 3y = 27. Сложим эти уравнения 11x = 22 = x = 2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим Ответ. x = 2, y = y = 9 = y = 3. Задача 2.9 Решить систему уравнений { 2x 5y = 19, x + 4y = 10. (2.23) Решение. Умножим второе уравнение на 2: { 2x 5y = 19, 2x + 8y = 20.

30 30 Решение систем линейных уравнений Вычитая из первого уравнения второе 13y = 39 = y = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, получим x + 4 ( 3) = 10 = x = 2. Ответ. x = 2, y = 3. Задача 2.10 Решить систему уравнений { 2x y = 0, x + 6y = 0. (2.24) Решение. Это однородная система уравнений. Умножим второе уравнение на 2: { 2x y = 0, 2x + 12y = 0. Вычитая из первого уравнения второе 13y = 0 = y = 0. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x = 0. Ответ. x = 0, y = 0. Задача 2.11 Решить систему уравнений { 2x y = 3, 6x 3y = 7. (2.25) Решение.

31 2.3 Решение системы уравнений Умножим первое уравнение на 3: { 6x 3y = 9, 6x 3y = 7. Вычитая из первого уравнения второе, получаем 0 = 2, что быть не может. Это означает, что данная система является несовместной. Ответ. Решений нет Графический метод Иногда для решения системы 2 уравнений с 2 неизвестными можно использовать графический способ решения. Каждое из уравнений системы представляет собой уравнение прямой на плоскости XOY. Точка пересечения этих прямых и есть решение данной системы уравнений. Возможны следующие случаи. Прямые пересекаются в одной точке. В этом случае система уравнений имеет единственное решение. Задача 2.12 Решить систему графически { x + y = 4, 2x y = 2. (2.26) Решение. Графики функций x + y = 4 и 2x y = 2 представлены на Рис Точка пересечения имеет координаты x = 2, y = 2. Ответ: x = 2, y = 2.

32 32 Решение систем линейных уравнений Рис К решению системы (2.26) Задача 2.13 Решить систему графически { x y = 2, x + y = 1. (2.27) Решение. Графики функций x y = 2 и x+y = 1 представлены на Рис Точка пересечения имеет координаты x = 3 2, y = 1 2. Ответ: x = 3 2, y = 1 2. Прямые параллельны. В этом случае точки пересечения прямых нет. Система уравнений будет несовместной.

33 2.3 Решение системы уравнений Рис К решению системы (2.27) Задача 2.14 Решить систему графически { x y = 2, 2x 2y = 7. (2.28) Решение. Графики функций x y = 2 и 2x 2y = 7 представлены на Рис Прямые параллельны: точки пересечения нет. Ответ: Решений нет. Прямые совпадают. В этом случае система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Она эквивалентна одному из уравнений системы.

34 34 Решение систем линейных уравнений Рис К решению системы (2.28) Правило Крамера Правило Крамера для системы 2 2: { a11 x + a 12 y = b 1, a 21 x + a 22 y = b 2 (2.29) записывается как где x = x, y = y, (2.30) = a 11 a 12 a 21 a 22, (2.31) x = b 1 a 12 b 2 a 22, y = a 11 b 1 a 21 b 2. (2.32)

35 2.3 Решение системы уравнений Задача 2.15 Решить систему по формулам Крамера { 2x + 6y = 1, 5x + 3y = 0. (2.33) Решение. Определители матриц системы: 2 6 = = 6 30 = 24, x = 0 3 = 3 0 = 3, 2 1 y = 5 0 = 0 5 = 5. По правилу Крамера x = x = 3 24 = 1 8, y = y = 5 24 = (2.34) Ответ. x = 1 8, y = Задача 2.16 Решить систему по формулам Крамера { 3x + 2y = 1, x + 4y = 1. (2.35) Решение. Определители матриц системы: 3 2 = 1 4 = 10, 1 2 x = 1 4 = 6, y = По правилу Крамера = 4. Ответ: x = 3 5, y = 2 5. x = x = 6 10 = 3 5, y = y = 4 10 = 2 5. (2.36)

36 36 Решение систем линейных уравнений Метод обратной матрицы privet Метод обратной матрицы для решения систем 2 2 это частный случай решения матричного уравнения. Для применения данного метода нужно уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Матричное уравнение для системы { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, (2.37) a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 имеет вид A X = B, (2.38) где ( a11 a 12 ) ( x1 ) ( b1 ) A = a 21 a 22, X = x 2, B = b 2. (2.39) Умножим левую и правую часть (2.38) на A 1, где A 1 обратная матрица A} 1 {{ A} X = A 1 B = X = A 1 B. (2.40) A 1 A=1 Таким образом, нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Обратная матрица находится по формуле: A 1 = 1 A = 1 ( ) A11 A 21, (2.41) A 12 A 22 где определитель матрицы A. A ij алгебраические дополнения элементов a ij матрицы системы A. Матрица A называется присоединенной матрицей. Если определитель матрицы A равен нулю, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных.

37 2.3 Решение системы уравнений Задача 2.17 Решить систему методом обратной матрицы { 3x + 2y = 1, 2x + y = 1. (2.42) Решение. Определитель матрицы системы = 1. Обратная матрица ( ) A = (2.43) 2 3 и ( x y ) = ( ) ( 1 1 ) = ( 3 5 ). (2.44) Ответ: x = 3, y = 5. Задача 2.18 Решить систему методом обратной матрицы { 2x + 6y = 1, (2.45) 5x + 3y = 0. Решение. Определители матриц системы равен = 24. Обратная матрица A 1 = 1 ( ) 3 6 (2.46) и ( x y ) = 1 24 ( ) ( 1 0 ) = 1 24 ( 3 5 ). (2.47) Ответ: x = 1 8, y = 5 24.

38 38 Решение систем линейных уравнений 2.4 Решение системы уравнений Правило Крамера Правило Крамера для системы 3 3: записывается как a 11 x + a 12 y + a 13 = b 1, a 21 x + a 22 y + a 23 = b 2, a 31 x + a 32 y + a 33 = b 3 (2.48) где и x = z = x = x, y = y, z = z, (2.49) = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (2.50) a 11 b 1 a 13, y = a 21 b 2 a 23, a 31 b 3 a 33. (2.51) Задача 2.19 Решить систему по формулам Крамера 2x + 6y + 5z = 1, 5x + 3y 2z = 0, 7x + 4y 3z = 2. (2.52)

39 2.4 Решение системы уравнений Решение. Определители матриц системы: = x = y = z = = = = 2( 9 + 8) 6( ) + 5(20 21) = = 1, = = = 1( 9 + 8) 6(0 + 4) + 5(0 6) = = 55, = = = 2(0 + 4) 1( ) + 5(10 0) = = 59, = = = 2(6 0) 6(10 0) + (20 21) = = 49. По правилу Крамера x = x = 55 1 = 55, y = y = 59 1 = 59, z = z = 49 1 = 49. Ответ: x = 55, y = 59, z = 49. Задача 2.20 Решить систему по формулам Крамера 3x + 2y + z = 1, x + 4z = 1, 5x + 2y + 6z = 0. (2.53)

40 40 Решение систем линейных уравнений Решение. Определители матриц системы: = = 6, x = = 2, y = = 1, z = = По правилу Крамера x = x = 2 6 = 1 3, y = y = 1 6 = 1 6, z = z = 2 6 = 1 3. (2.54) Ответ: x = 1 3, y = 1 6, z = Метод обратной матрицы Метод обратной матрицы для решения систем 3 3 это частный случай решения матричного уравнения. Для применения метода обратной матрицы нужно уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Матричное уравнение для системы имеет вид a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (2.55) A X = B, (2.56) где A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, X = x 1 x 2 x 3, B = b 1 b 2 b 3. (2.57)

41 2.4 Решение системы уравнений Умножим левую и правую часть (2.56) на A 1, где A 1 обратная матрица A} 1 {{ A} X = A 1 B = X = A 1 B. (2.58) A 1 A=E Таким образом, нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Обратная матрица находится по формуле: A 1 = 1 A = 1 определитель матрицы A. A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33. (2.59) Определение 2.1 Матрица A = A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 называется присоединенной матрицей. Определение 2.2 Минором M ij к элементу a ij определителя n-го порядка называется определитель (n 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца (получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент). Определение 2.3 Алгебраическим дополнением A ij к элементу a ij определителя n-го порядка называется величина A ij = ( 1) i+j M ij.

42 42 Решение систем линейных уравнений Присоединенная матрица A составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, причем алгебраические дополнения к элементам i-й строки матрицы A расположены на местах с такими же номерами i-гo столбца матрицы A. Если определитель матрицы A равен нулю, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Задача 2.21 Решить систему методом обратной матрицы 3x + 2y + 5z = 19, 2y + z = 1, (2.60) 7x + 4y + 3z = 19. Решение. Определитель матрицы системы = 50. Обратная матрица A 1 = (2.61) и x y z = Ответ: x = 2, y = 1, z = = (2.62)

43 2.4 Решение системы уравнений Задача 2.22 Решить систему методом обратной матрицы 2x + 6y + 5z = 1, 5x + 3y 2z = 0, (2.63) 7x + 4y 3z = 2. Решение. Определитель матрицы системы равен = 1. Обратная матрица A 1 = (2.64) и x y z = = (2.65) Ответ: x = 55, y = 59, z = 49. Задача 2.23 Решить систему методом обратной матрицы 3x + 4y + z = 2, 2x + y + 5z = 4, (2.66) x 2y + 9z = 6. Решение. Определитель матрицы системы равен = 0. Обратной матрицы не существует. Ответ: Решить систему матричным методом невозможно Метод Гаусса Метод Гаусса классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного

44 44 Решение систем линейных уравнений исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Задача 2.24 Решить систему методом Гаусса 3x + 2y + z = 1, x + 4z = 1, 5x + 2y + 6z = 0. (2.67) Решение. Составим расширенную матрицу системы (2.68) Умножим вторую строку матрицы на 3 и сложим с первой: (2.69) Умножим первую строчку на 5 и сложим с третьей, умноженной на 3: (2.70) Умножим вторую строку на ( 2) и сложим с третьей (2.71)

45 2.4 Решение системы уравнений Из третьей строки получаем 9z = 3. Отсюда z = 1 3. Подставляя это значение во вторую строку 2y 11z = 4, получим 2y = = 1 3, или y = 1 6. Подставляя полученные x и y в первую строку 3x = 1, найдем, что x = 1 3. Ответ: x = 1 3, y = 1 6, z = 1 3. Задача 2.25 Решить систему методом Гаусса 3x + 4y + z = 2, 2x + y + 5z = 4, x 2y + 9z = 6. (2.72) Решение. Составим расширенную матрицу системы (2.73) Умножим первую строку на (2), вторую на ( 3) и сложим Третью строку умножим на ( 3) и сложим с первой (2.74). (2.75)

46 46 Решение систем линейных уравнений Вторую строку умножим на ( 2) и сложим с третьей (2.76) Из вида полученной матрицы следует, что одно из уравнений системы линейная комбинация двух других уравнений. Из второго уравнения получаем, что 5y 13z = 8. Отсюда можно выразить y через z. В этом случае z свободная переменная, принимающая любые значения. y = 13 5 z 8 5. Подставляя y в первое уравнение, получим ( 13 3x z 8 ) + z = 2, 5 x = 19 5 z Ответ. Запишем ответ в виде: (x,y,z) = ( 19 5 z , 13 5 z 8 5,z), z. Система имеет бесчисленное множество решений. Система совместная и неопределенная. Задача 2.26 Решить систему методом Гаусса x + y + z = 3, 2x y + 5z = 1, y z = 2. (2.77) Решение. Составим расширенную матрицу системы (2.78) Умножим первую строку на ( 2) и сложим со второй (2.79)

47 2.4 Решение системы уравнений Умножим третью строку на (3) и сложим во второй (2.80) Из третьей строки матрицы видим, что данная система решений не имеет. Ответ. Решений нет. Система уравнений несовместная система. Задача 2.27 Решить систему методом Гаусса x + y + z = 0, 2x y + 5z = 0, y z = 0. (2.81) Решение. Это однородная система уравнений. Составим матрицу системы (2.82) Умножим первую строку на ( 2) и сложим со второй (2.83)

48 48 Решение систем линейных уравнений Умножим третью строку на (3) и сложим во второй (2.84) В данном случае видим, что одно из уравнений линейная комбинация двух остальных уравнений. Из второй строки получаем, что 3y + 3z = 0, или y = z. Из первой строки следует, что x + y + z = x + z + z = 0, или x = 2z. Ответ. Запишем ответ в виде: (x,y,z) = ( 2z,z,z) = ( 2,1,1)z, z. Система имеет бесчисленное множество решений. Система совместная и неопределенная. Задача 2.28 Решить систему методом Гаусса x + y + z = 0, 2x y + 5z = 0, y + z = 0. (2.85) Решение. Это однородная система уравнений. Составим матрицу системы (2.86) Умножим первую строку на ( 2) и сложим со второй (2.87)

49 2.5 Решение системы уравнений m n 49 Умножим третью строку на (3) и сложим во второй (2.88) Последняя строка соответствует уравнению 6z = 0, или z = 0. Подставляя это значение во вторую и первую строки, получим, что x = y = z = 0. Ответ. x = y = z = 0. Система совместная и определенная, имеет только тривиальное решение. 2.5 Решение системы уравнений m n Система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n неизвестных (система уравнений m n) имеет вид: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2..., (2.89) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1,x 2,...,x n неизвестные переменные, a ij коэффициенты при неизвестных, b 1,b 2,...,b m свободные члены системы. Такие системы решаются методом Гаусса. При этом возможны следующие случаи. 1. Число уравнений совпадает с числом неизвестных: m = n.

50 50 Решение систем линейных уравнений 1.1 Система имеет точную треугольную форму. Тогда из последнего уравнения, содержащего только одно неизвестное с отличным от нуля коэффициентом, находим это неизвестное. Подставив найденное значение в предпоследнее уравнение, находим еще одно неизвестное и т. д. Так, переходя каждый раз от решенного уравнения к соседнему и подставляя значения всех ранее найденных неизвестных, каждый раз будем получать уравнение с одним неизвестным, коэффициент при котором отличен от нуля. Все уравнения будут разрешимыми, имеющими единственное решение. Система в этом случае будет определенной. Пример 2.1 У системы 2x 1 x 2 + x 3 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 = 4, x 1 x 3 = 0 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = Система имеет вырожденную треугольную форму. Это означает, что по крайней мере в последнем из уравнений системы диагональный коэффициент равен нулю, и следовательно, это уравнение примет после упрощений либо вид 0 x n = C, где C некоторое число, либо вид 0 x n = 0. Уравнению вида 0 x n = C не может удовлетворить

51 2.5 Решение системы уравнений m n 51 никакое значение x n. Это означает, что решения у этого уравнения, а следовательно, и у всей системы нет. Система в этом случае несовместная. Пример 2.2 У системы 2x 1 x 2 + x 3 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 = 4, 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду Последняя строчка соответствует уравнению 0 x 3 = 2, а это означает, что система решения не имеет. Уравнению вида 0 x n = 0 удовлетворяет любое значение x n. Если все те уравнения системы, которые имеют нулевые диагональные коэффициенты, приводятся к уравнениям вида 0 x n = 0, то система в этом случае будет совместной и неопределенной. Система имеет бесчисленное множество решений (одному или нескольким неизвестным можно приписать какие угодно значения). Пример 2.3 У системы 2x 1 x 2 + x 3 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 = 4, 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 6 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду

52 52 Решение систем линейных уравнений Отсюда x 3 = 6 5x 2 и x 1 = 3x 2 2, a x Число уравнений меньше числа неизвестных: m < n. В этот случае имеется n m свободных неизвестных. Если все диагональные коэффициенты отличны от нуля, то система решается, как и в случае системы с m = n, с той лишь разницей, что свободным неизвестным приписываются произвольные значения. Если среди диагональных коэффициентов имеются нули, то система исследуется и решается, как в случае 1.2. В случае совместности системы свободным неизвестным приписываются произвольные значения. В рассматриваемом случае система может быть либо несовместной, либо неопределенной. Пример 2.4 У системы { x1 + x 2 x 3 + x 4 = 2, x 1 x 2 + x 3 x 4 = 4 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду ( ) ( ), и x 1 = 3, x 2 = x 3 x 4 1, а x 3,x 4. Пример 2.5 У системы x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 2, x 1 x 2 + x 3 x 4 = 4, 3x 1 x 2 + x 3 x 4 = 7 расширенная матрица с помощью элементарных преобразо-

53 2.5 Решение системы уравнений m n 53 ваний может быть приведена к виду Решения нет. 3. Число уравнений больше числа неизвестных: m > n. Такая система отличается от рассмотренных, содержит избыточные уравнения. После приведения системы к треугольному виду во всех избыточных уравнениях все коэффициенты при неизвестных должны равняться нулю. Пример 2.6 У системы x 1 + x 2 = 3, 2x 1 x 2 = 3, x 1 + 5x 2 = 7, x 1 + 4x 2 = 2 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду x 1 = 1 x 2 = 1. Если среди избыточных уравнений имеется хотя бы одно, левая часть которого есть нуль, а правая часть отлична от нуля, то система будет несовместной.

54 54 Решение систем линейных уравнений Пример 2.7 У системы x 1 + x 2 = 3, 2x 1 x 2 = 3, x 1 + 5x 2 = 8, x 1 + 4x 2 = 2 расширенная матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду Решения нет. Если же все они имеют вид тождеств 0 x k = 0, то они могут быть отброшены, а оставшуюся систему уравнений нужно исследовать так, как в случаях 1.1 или 1.2. Система может в этом случае принадлежать к любому из трех видов: быть определенной, неопределенной, несовместной. Задача 2.29 Решить систему уравнений 3x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 0, 3x 1 2x 2 x 3 + x 4 = 0, x 1 x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 0. (2.90) Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы

55 2.5 Решение системы уравнений m n 55 Последняя строка матрицы эквивалентна уравнению 2x 3 2x 4 = 0. Отсюда получаем, что x 3 = x 4. Подставляя это значение во вторую строку, получим x 2 5x 3 16x 4 = 0 = x 2 = 21x 4. Подставляя полученные значения в первое уравнение, получим 3x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 0 = x 1 = 14x 4. Ответ. (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (14x 4,21x 4,x 4,x 4 ), x 4. Задача 2.30 Решить систему уравнений 4x 1 + 2x 2 3x 3 + 2x 4 = 3, 2x 1 + 3x 2 2x 3 + 3x 4 = 2, 3x 1 + 2x 2 3x 3 + 4x 4 = 1 (2.91) Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы Последняя строка матрицы эквивалентна уравнению 5x x 4 = 11. Отсюда получаем, что x 3 = 16 5 x Подставляя это значение во вторую строку, получим 4x 2 + x 3 4x 4 = 1 = x 2 = 1 5 x Подставляя полученные значения в первое уравнение, получим 4x 1 + 2x 2 3x 3 + 2x 4 = 1 = x 1 = 4 5 x Ответ. (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = ( 4 5 x 4 4 5, 1 5 x , 16 5 x ,x 4), x 4.

56 56 Решение систем линейных уравнений Задача 2.31 Решить систему уравнений 2x 1 + 5x 2 8x 3 = 8, 4x 1 + 3x 2 9x 3 = 9, 2x 1 + 3x 2 5x 3 = 7, x 1 + 8x 2 7x 3 = 12 (2.92) Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы Последнюю строку матрицы можно отбросить. Предпоследняя строка матрицы эквивалентна уравнению x 3 = 1. Отсюда получаем, что x 3 = 1. Подставляя это значение во вторую строку, получим x 2 + x 3 = 1 = x 2 = 2. Подставляя полученные значения в первое уравнение, получим 2x 1 + 5x 2 8x 3 = 8 = x 1 = 3. Ответ. (x 1,x 2,x 3 ) = (3,2,1).

57 2.5 Решение системы уравнений m n 57 Задача 2.32 Решить систему уравнений x 1 + 2x 2 + 4x 3 3x 4 = 0, 3x 1 + 5x 2 + 6x 3 4x 4 = 0, 4x 1 + 5x 2 2x 3 + 3x 4 = 0, 3x 1 + 8x x 3 19x 4 = 0. (2.93) Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы Последние две строки матрицы можно отбросить. Вторая строка матрицы эквивалентна уравнению x 2 + 6x 3 5x 4 = 0. Отсюда получаем, что x 2 = 6x 3 + 5x 4. Подставляя это значение в первую строку, получим x 1 + 2x 2 + 4x 3 3x 4 = 0 = x 1 = 8x 3 7x 4. Ответ. (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (8x 3 7x 4, 6x 3 + 5x 4,x 3,x 4 ). x 3,x 4.

58 58 Решение систем линейных уравнений Список рекомендуемой литературы 1. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - Москва : Физматлит, Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - Москва : Физматлит, Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. - Москва : Айрис-Пресс, Просветов, Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения / Г.И. Просветов. - Москва : Альфа-Пресс, Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - Москва : Высшая школа, Лизунова, Н. А. Матрицы и системы линейных уравнений. Руководство к решению задач / Н.А. Лизунова, С.П. Шкроба. - Москва : Физматлит, 2007.

59 2.5 Решение системы уравнений m n 59 Аннотация Учебно-методическое пособие содержит один из разделов курса линейной алгебры и аналитической геометрии "Решение систем линейных уравнений". Содержание учебного материала данного пособия соответствует федеральному государственному образовательному стандарту и рабочей программе по линейной алгебры и аналитической геометрии. Рассматриваются основные понятия, общие приёмы и методы решения систем линейных уравнений методом Гаусса, по правилу Крамера. Приводится большое число задач с подробным анализом решений систем. В каждом разделе приводится необходимый теоретический материал, и разбираются типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. Пособие предназначено для студентов 1-го курса различных направлений и специальностей, которым требуется глубокое изучение курса линейной алгебры, и может помочь активному усвоению студентами данного курса.


Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ СЛАУ В ШКОЛЕ. Ключевые слова: СЛАУ, метод Гаусса, матрица, ступенчатый вид.

МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ СЛАУ В ШКОЛЕ. Ключевые слова: СЛАУ, метод Гаусса, матрица, ступенчатый вид. Автор: Мамедалина Любовь Александровна ученица 9 «Б» класса Руководитель: Шонин Максим Юрьевич учитель математики МОУ «Петропавловская СОШ» п. Петропавловский, Челябинская область МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Елабужский институт Казанского Федерального Университета Инженерно-технологический факультет Научный руководитель: Миронова Ю.Н. Ведение: Многие,

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Присоединенная матрица Обратная матрица и ее свойства Вычисление обратной матрицы

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее