УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ"

Транскрипт

1 УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа

2 Дан теоретический материал (понятия, определения, формулы, теоремы), необходимый студенту для изучения курса математики и выполнения контрольных работ. Приведены решения типовых задач. Рекомендуется студентам -го курса заочного факультета, а также студентам -го курса очных факультетов. Составители Акмадиева Т.Р., Якубова Д.Ф., Якупов В.М. Рецензент Сахарова Л.А., доц., канд. техн. наук Уфимский государственный нефтяной технический университет,

3 СОДЕРЖАНИЕ. Календарный план курса математики для студентов инженерно-технических специальностей Содержание лекций Содержание практических занятий. 6. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 7.. Числовые ряды. Основные понятия 7.. Ряд геометрической прогрессии со знаменателем q 8.. Остаток ряда Свойства, сходящихся числовых рядов 9.5. Необходимый признак сходимости числового ряда..6. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами..7. Признак Даламбера...8. Признак Коши 5.9. Интегральный признак Коши Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Свойства абсолютно сходящихся рядов..... Знакочередующиеся ряды... Функциональные ряды. Основные понятия. 5.. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 9.5. Степенные ряды. Теорема Абеля...6. Определение радиуса сходимости степенного ряда 6.7. Схема определения интервала сходимости степенного ряда Характер сходимости степенного ряда Интегрирование и дифференцирование степенного ряда Ряды по степеням ( )..... Ряды Тейлора и Маклорена..... Разложение в ряд Маклорена функции f e. 5.. Разложение в ряды Маклорена тригонометрических функций. 6.. Биномиальный ряд Применение биномиального ряда к разложению функций в ряд Маклорена Вычисление значений функций при помощи рядов 5.7. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов. 5

4 .8. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 5.9. Тригонометрический ряд. Постановка задачи Определение коэффициентов ряда по методу Эйлера-Фурье 58.. Разложение функций в ряд Фурье. 6.. Ряды Фурье для четных и нечетных функций Ряды Фурье для функции с периодом l 68.. О разложении в ряд Фурье непериодической функции.. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений. 7.. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах 8.. Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения Линейное дифференциальное уравнение первого порядка Уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах 9.8. Интегрирующий множитель 9.9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши Дифференциальные уравнения второго порядка, интегрируемые понижением порядка 97.. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, свойства их решений... Линейно-зависимые и независимые функции. Определитель Вронского... Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. 5.. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 7.6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго

5 порядка со специальной правой частью.7. Системы дифференциальных уравнений..8. Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.. 6 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 7... КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 8,9 6 Правила выполнения и оформления контрольных работ 89 Образец оформления титульного листа. 9 Список литературы.. 9 5

6 . КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН КУРСА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (III СЕМЕСТР).. Содержание лекций Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Ряд геометрической прогрессии. Необходимое условие сходимости, достаточные признаки сходимости (признаки сравнения, Даламбера, Коши). Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка числового ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, свойства решений. Структура общего решения линейного однородного и неоднородного дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Понятие о системе дифференциальных уравнений. Решение линейной системы дифференциальных уравнений... Содержание практических занятий Числовые ряды с положительными членами. Признаки сходимости сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Разложение в ряд основных элементарных функций. Разложение в ряд Фурье периодических функций. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Решение систем дифференциальных уравнений. 6

7 . ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.. Числовые ряды. Основные понятия Рассмотрим числовую последовательность U, U, K, U, где U f. Построим из этой последовательности выражение U U K K. U ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение U U K K, где U U, U, K, U,K - члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом. Числа U, U, K, U, K называются членами ряда, а U общим членом ряда. Для обозначения ряда применяют следующие записи: или U U K K () U U. () Зная общий член ряда, можно записать любой член ряда. ПРИМЕР. Дан общий член ряда члена ряда и ( ) й член. Решение. Если, U ;, U ; 8, U ; 5 5 K KKKKKKK, U U. Написать первые три ( ) ( ) ( ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма первых членов ряда называется й частичной суммой ряда. S U U K U. () 7

8 Очевидно, первая, вторая, третья и т.д. частичные суммы будут иметь вид S U S U U K KKKKK S U U KU. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называется сходящимися, если существует конечный предел частичной суммы при, то есть lim S S. () Число S называется суммой ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называется расходящимся, если предел частичной суммы не существует или равен бесконечности при. Ряд.. Ряд геометрической прогрессии со знаменателем q a a q a q a q K a q K называется рядом геометрической прогрессии со знаменателем q. Рассмотрим случай, когда a. Определим S : S a a q a q a q K a q q a q (по формуле суммы геометрической прогрессии при q ): a a q q q ) если q <, то q при и, следовательно, a a q a lim q q. q Значит, в случае q < ряд сходится и его сумма равна ) если q >, то q при, то есть lim S ; следовательно, ряд расходится; ) если q, то ряд имеет вид сумма a S ; q S a, lim a ряд расходится; ) если q, то ряд имеет вид a a a a K. a a a K a K; его частичная 8

9 S, a, при при четном, нечетном S не имеет предела, ряд расходится. Пусть дан ряд.. Остаток ряда U U L K () U ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма, членами которой являются члены ряда (), начиная с ( ) го, взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется м остатком ряда и обозначается k U или k U U K Частичная сумма сходящегося ряда отличается от его суммы на величину суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка ряда, тем точнее описывает соответствующая частичная сумма ряда сумму всего ряда. Теорема. Если ряд () сходится, то сумма его го остатка при стремится к нулю. Доказательство. Обозначим й остаток ряда через R k и будем для краткости называть просто остатком ряда, тогда 9 U k S S R. () В () перейдем к пределу при : ( S R ) lim S lim R S lim, так как ряд () по условию сходится, то lim S S lim R. Теорема. Если ряд.. Свойства сходящихся числовых рядов U сходится и его сумма равна S, то ряд C U C U K C K, где C cost, также сходится и его сумма равна U C S. Доказательство. Обозначим S частичную сумму ряда U U L Kи частичную сумму ряда U σ

10 C U C U L C U ; тогда K σ C U а так как ряд ряд C U U сходится, то ( U U K U ) C S K C U C, lim S S. Следовательно, lim σ C S, C U C U K C Kсходится и его сумма равна C S. U Теорема. Если ряды U и V сходятся и их суммы соответственно равны S и σ, то и ряд ( ) ( V ) V U U V. Доказательство. Пусть k k U сходится и его сумма равна S σ : S U ; σ V и S ( U V ), тогда S σ. S По условию ряды lim S lim S k S ( U V ) lim lim и k U и k V сходятся, а это значит, что lim σ σ и предел S существует при ( S σ ) lim S lim σ S σ сходится и его сумма равна сходящихся рядов является сходящимся рядом. Замечание. Разность двух сходящихся рядов сходящийся, так как ряд ( ) U является суммой двух сходящихся рядов U и ( ) V. V k, что S σ. Таким образом, сумма двух U и V есть ряд Теорема. Сходимость ряда не изменится, если отбросить или добавить конечное число членов (без доказательства).

11 .5. Необходимый признак сходимости числового ряда Теорема. Если числовой ряд U сходится, то его общий член при неограниченном возрастании стремится к нулю, то есть lim U. но и Доказательство. Дан сходящийся числовой ряд lim S lim S U, а это значит, что S, () S Вычитая из () (), получим lim S lim S ( S S ), lim, так как ( ) S S или при () но S S U lim U. Замечание. Если для некоторого ряда lim U, то такой ряд расходится (достаточный признак расходимости). ПРИМЕР. Гармонический ряд. Ряд вида K K называется гармоническим. Для этого ряда выполняется необходимое условие сходимости lim U lim. Покажем, что этот ряд расходится. Известно, что возрастающая последовательность { a }, lim a сходится и ее предел равен e: e ; при этом имеем l e l ( l ( ) l ) e >. Логарифмируя это неравенство, > или, деля обе части на, ( ) l > l. При, > l ;

12 , > l l ;, > l l ; K KKKKK, > l ( ) l. Частичная сумма S K гармонического ряда, каждый член которой больше соответствующего члена суммы вида l ( l l ) ( l l ) ( l ( ) l ) l ( ) удовлетворяет неравенству S > l ( ), но lim l ( ), откуда следует, что K, lim S. Из рассмотренного примера следует, что рассмотренный признак не является достаточным признаком сходимости ряда..6. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами Теорема. Если ряд U сходится и V U < (,,K), то и ряд V сходится. Если же ряд U расходится, а < U V, то ряд V расходится. Доказательство. Пусть S частичная сумма ряда lim U, σ час- тичная сумма ряда lim V. Так как ряд сумма ограничена, то есть при всех U сходится, то его частичная S < M, где M некоторое число. Так как U V, то S σ, а это значит, что частичная сумма σ ряда V также ограничена, а этого достаточно для сходимости ряда V с неотрицательными членами.

13 Если же ряд U расходится, то ряд V также расходится, так как предположив, что ряд V сходится и V U, по условию, по выше доказанному должен сходиться и ряд ряд V расходится. U, что противоречит условию. Значит, ПРИМЕР. Пользуясь признаком (), исследовать сходимость ряда. Решение. Проверим, выполняется ли для данного ряда необходимый при- знак сходимости знакоположительных рядов lim U lim, ряд может сходиться. Для доказательства сходимости применим признак (). Для сравнения рассмотрим ряд U lim V, который сходится, так как q <, причем >. Следовательно, сходится и ряд. Следствие. Если существует конечный и отличный от нуля предел k ряда с общим членом V, и из расходимости первого ряда следует расходимость второго., то из сходимости ряда с общим членом U следует сходимость.7. Признак Даламбера Если в ряде с положительными членами U U U K K () U отношение ( ) го члена к му при имеет (конечный) предел l, то есть U lim l, () U

14 ) при l < ряд сходится; ) при l > ряд расходится; ) при l этот признак не решает вопроса о сходимости и расходимости. Доказательство.. Пусть для исследуемого ряда U U U K U K l <. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению l < q <. Тогда, начиная с некоторого номера N из определения предела, для всех N, выполняется неравенство U < q. U U U Действительно, так как U lim U l, то разность между величиной и числом l может быть сделана по абсолютной величине меньше любого положительного числа, в частности, меньше, чем q l, то есть U U l < q l. () Неравенство () может быть записано в виде U l q < < q. () U Запишем правую часть неравенства () для различных, начиная с номера N, получим U U U U U U < q U N < q U < q U N < q U N < q U N < q U N Рассмотрим два ряда N ; < q < q U U U U U K U K (5) N U N N N ;.

15 q U q U K q U K (6) N N Ряд (6) есть ряд геометрической прогрессии со знаменателем q, < q < (см. пример ). Следовательно, он сходится. Так как члены ряда (5) начиная с U N меньше соответствующих членов ряда (6), то на основании признака сравнения ряд (5) сходится.. Пусть > l. Тогда из равенства lim ( l > ) l следует, что, начиная с некоторого номера N (то есть для N) будет иметь место неравен- U ство > или U N U U U > U, а это означает, что члены ряда возрастают и общий член ряда не стремится к нулю при, то есть нарушается необходимый признак сходимости, что приводит к расходимости исследуемого ряда. ПРИМЕР. Исследовать сходимость числового ряда Решение. Запишем признак сходимости lim U lim! член ряда lim U lim ( )! ( )! 9! 6 K!. Проверим необходимый!! Необходимый признак выполняется, ряд может сходиться. Для установления сходимости применим признак Даламбера, для чего запишем член U ( ). Тогда ( )! ( ) ( ) ( )! ( ) lim U!! lim lim lim. U! Значит, в данном случае l < и ряд сходится..8. Признак Коши Если для ряда с положительными членами U U U K U U K, ( U > ) величина U имеет конечный предел p при, то есть 5

16 lim U p, то ) при p < ряд сходится; ) при p > ряд расходится; ) при p этот признак не дает возможности определить сходимость или расходимость ряда. Доказательство.. Пусть p <. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению p < q <. Начиная с некоторого номера N, будет иметь место соотношение U U < q для всех N. Рассмотрим два ряда p < q p, откуда следует, что U < q или U U U K U K () N U N N N q q K () Так как q <, то ряд () сходится. Члены ряда () меньше соответствующих членов ряда (), начиная с U N. Следовательно, ряд () сходится на основании признака сравнения.. Пусть p >. Тогда, начиная с некоторого N, U > или U >, то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда, ряд сходится. ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда 5 K K. 5 7 Решение. Определим lim U lim lim <, ряд сходится. Замечание. Признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении данного ряда с рядом геометрической прогрессии. Эти признаки не являются чувствительными к рядам, сходящимся медленнее, чем геометрическая прогрессия. Для таких рядов рассматривают более сильные признаки, в частности, интегральный признак Коши. 6

17 Пусть члены ряда.9. Интегральный признак Коши U U K K () U положительны и не возрастают, то есть U U U K и f непрерывная невозрастающая функция, причем f U; f U ; K; f U, тогда: ) если несобственный интеграл ) если интеграл f d сходится, то сходится и ряд (); f d расходится, то расходится и ряд (). Доказательство. Для доказательства изобразим члены ряда () геометрически, откладывая по оси X номера,, K,,, K членов ряда, а по оси ординат соответствующие значения членов ряда U K, (рис.)., U,, U На этом же чертеже построим график непрерывной невозрастающей функции f, удовлетворяющей условиям теоремы. Сравнивая U U U U Рис. площади ступенчатых фигур, криволинейной трапеции, из геометрического смысла определенного интеграла имеем f f f < f d < f f K f ( ) K или с учетом, что U, f U,, f K U получим U U < f f K U Так как частичная сумма d < U U K. () S ряда () равна S U U K U, 7

18 то левая часть () есть S U, а правая S, тогда S d < S U < f. (). Предположим, что интеграл d < f f d, то в силу неравенства () будем иметь < S < d U f d сходится. Так как S f, () то есть частичные суммы ограничены при всех значениях, а это значит по признаку сравнения () сходится.. Предположим, что интеграл f d. Из расходимости интеграла f d расходится, то есть f d следует, что интеграл f d неограниченно возрастает при. Тогда в силу правой части неравенства () S также неограниченно возрастает при расходится. p R. ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда, то есть ряд K K, p p p p Решение. Рассмотрим случай, когда p. Тогда U, p так как p. Для данного случая необходимое условие сходимости не выполняется, ряд расходится. Применим интегральный признак для случая p >, положим f. Это функция при непрерывная и монотонно убывающая. Рассмотрим p интеграл 8

19 p d a lim a p lim a p p. > ( ) p, предел конечен, интеграл сходится, следовательно, ряд сходится. a p p ( a ); p, d lim p p a a l l a l l a; p. a lim a p p p. < < ( a ) интеграл расходится, тогда расходится ряд. p, a. p ; lim l a интеграл расходится, тогда расходится ряд. Итак, ряд p сходится при p >, при p расходится. Данный ряд называется обобщенным гармоническим рядом. При p получаем гармонический ряд, который расходится... Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Пусть U U K K () U знакопеременный ряд. Некоторую информацию об этом ряде можно получить, рассматривая ряд U U U K K, () U членами которого являются абсолютные величины членов знакопеременного ряда (). Ряд () является рядом с положительными членами, поэтому его можно изучать на основании приемов, изложенных выше. Между сходимостью ряда () и сходимостью ряда () существует связь, которая устанавливается следующей теоремой. 9

20 Теорема. Если знакопеременный ряд U U K Kтаков, что U ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится. Доказательство. Пусть S частичная сумма ряда U U K K, σ частичная сумма ряда U U U K K, а S сумма всех положительных членов ряда (), U S сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых членов данного ряда: тогда S S S ; σ S S. По условиям теоремы ряд, составленный из абсолютных величин, сходится: значит, σ имеет lim σ σ. Суммы S и S положительные воз- растающие величины, меньше σ. Следовательно, они имеют пределы, то есть lim S S и lim S S. Так как S S S, S имеет предел, то есть lim S Так как lim ( S S ) lim S lim S S S S частичная сумма ряда U U K Kи она имеет U предел, то данный ряд сходится, то есть знакопеременный ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. рядами. Условно сходящиеся ряды называют также неабсолютно сходящимися ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда si α si α si α si α K K, где α любое число. Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, то есть si α si α si α K K. Для доказательства сходи- мости полученного ряда применим признак сравнения. Сравнение данного ряда

21 проведем с рядом si α сходимость ряда K K, который сходится. Члены ряда больше соответствующих членов ряда сходится. Из сходимости ряда si α si α si α K K. si α si α, значит ряд следует по теореме.. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема о перестановке членов ряда (без доказательства). Если ряд сходится абсолютно, то ряд полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов.. Теорема о группировке членов ряда (без доказательства). В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость ряда и величину суммы.. Теорема умножения абсолютно сходящихся рядов (без доказательства). Если ряды U и V сходятся абсолютно и их сумма соответственно равна S и σ, то ряд составленный из всех произведений вида ( i, k,,k) Ui Vk или взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S σ произведению суммы перемноженных рядов. вида.. Знакочередующиеся ряды Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, то есть ряд ( ) K U U U U K U > или ( ) U,,,K, где U. () Теорема Лейбница. Если у знакочередующегося ряда ( ) U,

22 U, абсолютные величины членов ряда убывают > U >, и lim U, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. ( ) U K Доказательство.. Рассмотрим сумму U, то есть S m U U U U m U m Правую часть () запишем в виде S m первых членов ряда K. () ( U U ) ( U U ) ( U ) m m U m > U Из условия теоремы ( >K) U следует, что разность в скобках () положительна. Следовательно, сумма возрастанием m. S mследующим образом: K. () S m положительна S m > и возрастает с Докажем, что она ограничена. Для этого представим ( U U ) ( U U5 ) ( U m U m ) m m U U S K. () В силу условия > U U U > > K каждая разность в скобках () положительна. Поэтому в результате вычитания выражения в скобках из U получим число, меньшее, чем U, то есть S m < U. Таким образом, S m при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной переменной она имеет предел lim S m m S, причем < S < U.. Чтобы доказать сходимость ряда ( ) что «нечетные» частичные суммы также стремятся к первых членов ряда ( ) m S m S m U m U U, нужно доказать еще, S. Рассмотрим сумму. (5) По условию теоремы lim U, следовательно, lim U m,

23 тогда ( S U ) lim S lim U S m m m lim S m lim m m m m m Тем самым доказали, что lim S S (как при четном, так и при нечетном). Следовательно, ряд ( ) U сходится. Замечание. На рис. наглядно показано, что по мере возрастания числа S S S 6 S Рис. S S S 5 членов частичные суммы. S ;S;S6, K возрастают, а частичные суммы S 5 ;S;S,K убывают, приближаясь к сумме ряда S. ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда K ( ) K. Решение. Данный ряд знакопеременный. Для исследования его сходимости составляем ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида ( ) K K. Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий этой теоремы: > > > K >, K, то есть первое условие выполняется. lim второе условие также выполнено. Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то согласно определению этот ряд сходится условно. Замечание. Теорема Лейбница позволяет оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму S частичной суммой S. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с U, то есть получаем ряд вида ( U U U K) R ± K. (6)

24 Здесь R остаток ряда, представляет собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. По теореме Лейбница сумма ряда (6) не превосходит по абсолютной величине члены U, то есть R < U. Таким образом, пользуясь приближенным равенством S S, допускают ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов. ПРИМЕР. Вычислить сумму ряда ( ) K K с точностью. 5 Решение. Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида K K. Полученный ряд гармонический с p >. Поэтому он сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд ( ) K K. Но этот ряд знакочередующийся. 5 Согласно замечанию ошибка, которая получается при замене данного ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине члена U ( ). Чтобы достичь заданной точности, достаточно положить U, откуда находим наименьшее, удовлетворяющее ( ) этому неравенству, то есть 5. Для вычисления суммы ряда с точностью достаточно взять сумму первых пяти слагаемых, то есть,975. 5,975. Сумма данного ряда с точностью равна Замечание. Теорема Лейбница остается в силе, если члены знакочередующегося ряда начинают убывать, начиная с некоторого.

25 .. Функциональные ряды. Основные определения и теоремы Задание числового ряда состоит в задании каждого его члена, а член ряда есть число. Задание функционального ряда от некоторой переменной состоит в задании ряда функций от этой переменной, являющихся членами функционального ряда. Таким образом, мы приходим к следующему определению. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение K K u где u,u, K,u,K, u функции, заданные на одном и том же множестве X, называется функциональным рядом с общим членом u. Если в функциональном ряду u u u K u переменную заменить любым числом K () ( ) u ( ) K u K u X, то получим числовой ряд u () Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений. В зависимости от значения, принимаемого переменной, числовой ряд () может сходиться или расходиться. точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональный ряд () называется сходящимся в X, если сходится числовой ряд u. Подобно числовым рядам в функциональных рядах вводится понятие частичной суммы. функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частичными суммами ряда Итак, если u S. () k k u u называются S частичные суммы ряда (), то определение можно сформулировать следующим образом. 5

26 точке сумм. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функциональный ряд () называется сходящимся в X, если в этой точке сходится последовательность его частичных ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Множество значений переменной X, при которых функциональный ряд u сходится, называется областью сходимости этого ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Предел частичных сумм сходящегося на множестве X ряда () называется его суммой S. S( ) lim S. () ПРИМЕР. Функциональный ряд 6 K K при каждом, < представляет убывающую геометрическую прогрессию. Значит, если <, ряд сходится. Если, то ряд расходится. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех тех значений переменной, для которых <. Для определения области сходимости функционального ряда можно применять известные достаточные признаки сходимости числовых рядов. ПРИМЕР. Определить область сходимости функционального ряда tg tg K tg K tg. Для установления области сходимости применим признак Даламбера lim u u lim tg tg tg α так как lim. α α tg tg lim lim tg tg tg lim tg,

27 Область сходимости ряда < или <, а для всех, > ряд расходится. Остается исследовать сходимость на границе области при ±. Для этого в функциональный ряд вместо подставим и ; в ре- зультате получим числовой ряд при tg tg. Применим необходимый признак сходимости ряда lim u ; тогда tg lim tg lim значит при ряд расходится. При ( ) получаем ряд ( ). Необходимый признак не выполняется, tg ( ) tg, для которого lim u. Тогда областью сходи- мости функционального ряда является интервал ( ;). k ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Ряд u называется м остатком функционального ряда (). k Если сумму остатка обозначить через r, то сумма сходящегося функционального ряда S, есть S S r. lim S Для всех в области сходимости ряда имеет место соотношение S, поэтому lim r lim ( S S ) частичных сумм остатка сходящегося ряда стремится к нулю при ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Ряд u, то есть предел., сходящийся для всех из области X, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа 7

28 S S выполняется одновременно для всех X. ε > существует такой не зависящий от, номер N, что при > N неравенство < ε Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости рядов). Для того, чтобы ряд необходимо и достаточно, чтобы для u равномерно сходился на множестве X, ε > такой номер N, что для всех N всех целых p и всех X выполнялось неравенство p k k < ε u. Практическое применение критерия Коши для исследования ряда на равномерную сходимость затруднительно. Более простым и удобным при исследовании функционального ряда на равномерную сходимость является достаточное условие равномерной сходимости признак Вейерштрасса. Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда: функциональный u, членами которого являются функции u, определенные на множестве X, и числовой ряд a, a,,,k. Если числовой ряд сходится и для X выполняется неравенство u a,,, K, то функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на множестве X. ПРИМЕР.Доказать, что функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси. Решение. Для всех, то есть равномерно сходится на всей числовой оси. cos cos R, а числовой ряд с м членом сходится. Значит ряд cos по теореме Вейерштрасса 8

29 .. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов Теорема. Почленное интегрирование функциональных рядов. Если функции u (,,K) непрерывны на отрезке [,b] a и составленный из них ряд u сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию S, то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке [ β] a α β b. α,, также сходится и имеет суммой функцию S β α d, где Доказательство. В силу равномерной сходимости функционального ряда u функция S u непрерывна на отрезке [ ;b] a и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках α [ a;b] и [ a;b] Функцию S можно представить в виде S S r, где частичная сумма, S r остаток ряда, или u u u r Тогда β S α K. β β d u d u d u d r d α α β α β α β. K () (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Таким образом, сумма членов ряда β α u d отличается от интеграла S d дополнительным членом d. Для доказательства теоремы нужно лишь установить, что lim r d равномерной сходимости ряда u для ε > найдется номер N такой, что при > N r < ε сразу для всех в рассматриваемом промежутке. Поэтому β α β α r β α S. В силу 9

30 β α r β d r d < εd ε ( β α) ε ( b a) Так как при, ε () получим β α β α β и из ε α, то lim r d limε ( b a) β β β d S d u d u d r K α α α α. () В () перейдем к пределу при, получим lim β α S в силу () имеем β α lim β α d u d u d u β α d u d S β K () α β β K d. () α α Сумма, стоящая слева в равенстве (), есть частичная сумма ряда u сумма равна d, она имеет конечный предел. Следовательно, ряд сходится и его β α S d. Тем самым доказаны сходимость ряда β α суммы интегралу S d. β α. u d и равенство его ПРИМЕР. Функциональный ряд K ( ) K S. Проинтегрируем данный ряд от до <, в результате чего получим сходится равномерно при <, так как при < ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше, сумма его равна ряд d d d K ( ) d K

31 5 5 K ( ) K Полученный ряд сходится равномерно при <, согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда. d arctg arctg. Теорема. Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд u сходится на отрезке [ a ;b] и имеет сумму S, а его члены имеют на этом отрезке непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных u, сходится равномерно на [ ;b] a и имеет сумму σ. Тогда функциональный ряд u сходится на отрезке [ a ;b] равномерно и производная его суммы равна сумме ряда u σ S. [ a ;b], где Доказательство. Так как ряд, то есть u сходится равномерно на отрезке, то на основании теоремы () его можно почленно интегрировать от α до α a α β. σ ( ) d u d u d K u d K α α или ( ) d ( u u ( α) ) ( u u ( α) ) K σ α α K K ( u ( α) ) K u u K u Kсходится и его сумма равна S условию и ряд u ( α) u ( α) K ( α) K, его сумма равна S ( α) u. По условию теоремы ряд u сходится и ряд ( u ( α) ) u. Поэтому ; сходится по, тогда

32 α σ d S S( α) d d α σ. Дифференцируя по обе части равенства, получим d ( S S( α) ) σ S Остается доказать, что ряд равномерно сходится на отрезке [ a ;b] β α σ. u при выполнении условий теоремы. Из равенства d u d ( u u ( α) ) α в силу доказанной сходимости рядов ( u ( α) ) и ( α) u u следует, что u u d u ( α), но ряд u α α d сходится на отрезке [ a ;b] на основании теоремы, а ( α) равномерно u сходящийся числовой ряд, то есть ряд u, равномерно сходится на отрезке [ ;b] Таким образом, при выполнении условий ряд a. u равномерно сходится на отрезке [ a ;b] и производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда. ПРИМЕР. Дан сходящийся на всей числовой оси функциональный ряд si, сумма которого S. Ряд, составленный из производных, то есть полученный из данного дифференцированием его членов cos, равномерно сходится на всей числовой оси, согласно признаку Вейерштрасса. ряд Показать, что S σ si и ряд, где σ( ) сумма ряда cos. Данный cos удовлетворяют условиям теоремы.

33 cos Следовательно, по доказанной теореме S, то есть σ..5. Степенные ряды. Теорема Абеля S равна Чаще всего на практике используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические. вида где ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд a a a a K a K, () a,a, K,a,K числа, называемые коэффициентами ряда. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему. Теорема. (теорема Абеля).. Если степенной ряд сходится при некотором значении, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении, для которого < ; если ряд расходится при некотором значении, то он расходится при всяком, для которого >. Доказательство. По условию теоремы числовой ряд сходится, значит при a a a K a K () a, а это значит, что M >, что все члены ряда по абсолютной величине меньше M. Запишем ряд () в виде a a a K a K () и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов a a a K a K ()

34 Члены ряда () меньше соответствующих членов ряда M M M K M K (5) Ряд (5) при < представляет геометрическую прогрессию со зна- менателем < и, следовательно, сходится. По признаку сравнения число- вых рядов из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (). Из сходимости ряда () следует абсолютная сходимость ряда (), а следовательно, и ряда (). Значит, при < ряд () сходится абсолютно.. Докажем вторую часть теоремы. Пусть в некоторой точке ряд () расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке, удовлетворяющей условию >. Действительно, если бы в какой-либо точке, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу доказанного он должен был бы сходиться и в точке, так как <, что противоречит условию. Следовательно, ряд расходится и в точке. Таким образом, теорема полностью доказана. при Теорема Абеля приводит нас к следующему утверждению. Существует такое неотрицательное R, что при R < < R ряд a сходится, а при R > или < R расходится (поведение ряда ± R подлежит дальнейшему анализу). На самом деле: пусть для всех < степенной ряд сходится, а при расходится. > ряд расходится ряд сходится ряд расходится Выберем < <, если при степенной ряд сходится, тогда он будет сходиться при всех < (по теореме Абеля).

35 ряд расходится ряд сходится ряд расходится Выберем > > ; пусть при ряд расходится, тогда по теореме Абеля ряд будет расходиться при всех >. ряд расходится ряд сходится ряд расходится Выбирая последовательно K, получим такое R >, что при,,, всех < R ряд a будет сходиться, а при > R расходится. Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда. Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от R до R, что для всякой точки, лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда ряд сходится ряд расходится R R ряд расходится 5

36 Дан ряд.6. Определение радиуса сходимости степенного ряда a a a K a K. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: a a a K a K. () Для определения сходимости ряда () применим признак Даламбера, то есть определим тогда lim a a lim u u a a a lim lim ; lim L a a a L. Тогда по признаку Даламбера ряд () сходится, если L < < ( L >, так как ряд () с положительными членами), и L расходится, если L > >. L Итак, из сходимости ряда () при < следует абсолютная сходи- L мость ряда a. Из вышеизложенного интервал сходимости ряда a будет иметь вид ;. Значит, L L R a a lim () L lim a a Аналогично для определения радиуса сходимости можно использовать признак Коши R. () L lim a,.7. Схема определения интервала сходимости степенного ряда Дан степенной ряд a. Требуется определить его интервал сходимости. Для решения поставленной задачи поступаем следующим образом: 6

37 () из.; а) определяем радиус сходимости степенного ряда по формулам () или б) записываем интервал сходимости ( R;R) ; в) проверим поведение ряда на концах интервала ( ±R). В ряд вместо подставляем R или R, в результате чего получаем знакоположительные или знакочередующиеся числовые ряды, к которым применяем соответствующие признаки сходимости; г) если при ± R числовые ряды сходятся, то данный степенной ряд сходится на отрезке [ R;R]. R R Если при ± R числовые ряды расходятся, то данный степенной ряд сходится на интервале ( R;R). Если при R числовой ряд сходится, а при R расходится или, наоборот, при R расходится, а при R сходится, то данный степенной ряд сходится на полуинтервале ( R;R] или [ R;R) R R. ( R;R] R R [ R;R) R R ПРИМЕР. Определить интервал сходимости ряда ( ) ( ) 7 ( ) K ( ) K. Решение. Определим радиус сходимости по формуле (), для чего запишем a и a. a ( ) и a ( ), тогда ( ) a R lim lim a Так как R, то интервал сходимости будет иметь вид ;..

38 Проверим поведение ряда на концах интервала. Подставим в данный ряд вместо число:, получим числовой ряд K K. Полученный числовой знакопостоянный ряд является гармоническим рядом и расходится. При получаем числовой знакочередующийся ряд K ( ) K, который сходится, так как для него выполняются условия теоремы Лейбница, а именно: члены ряда убывают по абсолютной величине, то есть > > > K и lim u lim. Следовательно, данный степенной ряд сходится на полуинтервале ;. если Отметим, что если R, то интервал сходимости вырождается в точку, R, то интервал сходимости ( ; ). ПРИМЕР. Определить интервал сходимости ряда K....!! Решение. Вычислим радиус сходимости R lim a a lim ( )!! ( )! lim! lim ( ) Таким образом, интервал сходимости этого ряда состоит из всех вещественных чисел ( ; ) R. ПРИМЕР. Определить интервал сходимости ряда! K! K. Решение. Вычислим радиус сходимости lim! ( )! lim. Итак, R интервал сходимости вырождается в точку, то есть данный ряд сходится лишь при.. 8

39 .8. Характер сходимости степенного ряда Теорема. Степенной ряд сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости. Доказательство. Пусть отрезок [ a ;b] лежит внутри интервала сходимости ( R;R) ряда a. Тогда найдется такое число r, < r < R, что отрезок [ r;r] будет содержать отрезок [ ;b] r, то есть сходится ряд выполняется неравенство a a. Ряд r 9 a абсолютно сходится при a. Но для всех отрезка [ r;r] a r, которое означает, что ряд a на отрезке [ r;r] по признаку Вейерштрасса равномерно сходится на этом отрезке, в частности, он равномерно сходится и на отрезке [ a ;b], что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие. Следствие. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости..9. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов Теорема. Степенной ряд всегда можно интегрировать почленно, то есть где a в промежутке [ ; ] a S d a a a K K, S сумма ряда., где < R, Доказательство. Выберем число r между и R. Тогда ряд a сходится равномерно на отрезке [ r;r], а по теореме о почленном интегрировании функциональных рядов на отрезке [ ; ] ряд можно почленно интегрировать. Теорема. Степенной ряд можно дифференцировать почленно, то есть a внутри его интервала сходимости

40 где a a a K a K S, S сумма ряда. Доказательство. Для любого числа r и r так, чтобы < <, R < R можно выбрать два < r < r R. Ввиду сходимости ряда его общий член ограничен: a r L (,,, L cost) Тогда при r K. a r a a L где L cost. r r a r r r L r r, Члены ряда a для указанных значений, не превосходят соответствующих членов ряда: r r r L L L K L K. () r r r r Принимая во внимание, что <, ряд () по признаку Даламбера схо- r дится. Поэтому ряд a на отрезке [ r;r] сходится равномерно, а по теореме о почленном дифференцировании функциональных рядов ряд a можно почленно дифференцировать на отрезке [ r;r] и, в частности, при. Следствие. Степенной ряд a в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряды, полученные в результате дифференцирования, сходятся в том же интервале.

41 Замечание. В теоремах () и () показано, что ряды a сходятся на интервале ( R;R), следовательно, их радиусы сходимости не меньше R. Но, в свою очередь, ряд a получается почленным дифференцированием ряда и почленным интегрированием ряда a a a, так что R не может быть меньше упомянутых радиусов R. Из сказанного вытекает, что радиусы сходимости рядов и a равны между собой. Функциональный ряд вида a.. Ряды по степеням ( ) ( ) a a ( ) a, a и a ( ) K a ( ) K называется степенным рядом по степеням разности ( ). Нетрудно заметить, что при из ряда () получается известный степенной ряд a. Следовательно, ряд () a является частным случаем ряда (). Для определения интервала сходимости ряда () сделаем в нем замену: X. Тогда ряд () примет вид X a a X a X K a K. () Ряд () по степеням X. Пусть интервал сходимости ряда () R < X < R. Отсюда следует, что ряд () будет сходиться при значениях, удовлетворяющих неравенству R < < R или R < < R и рас-

42 ходиться при ряда будет интервал > R. Следовательно, интервалом сходимости данного R < < R с центром в точке. Замечание. Все сказанное о степенных рядах по степеням остается справедливым и для степенных рядов по степеням разности в соответствующих интервалах сходимости. ПРИМЕР. Найти радиус сходимости ряда Решение. Найдем радиус сходимости ( 8) a ( ) R lim lim lim a.. 8 < < 8 < 9 < < 7 При 7 получим числовой ряд, который сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с α >. ( ) При 9 получим числовой знакочередующийся ряд, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, и он сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок [ 9; 7]. Если функция.. Ряды Тейлора и Маклорена f имеет все производные до ( ) го порядка включительно, в окрестности точки, то можно написать формулу Тейлора для любого значения. f ( ) f ( ) ( ) f f ( ) K! где f ( ) ( ),! r r остаточный член, который вычисляется по формуле ()

43 ( ) ( ) ( ) ( θ( )) < θ r f! < Если f имеет производную любого порядка, то может быть сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности r при. Тогда переходя в () к пределу при называется рядом Тейлора для функции f : f f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( f ) ( ) K.!, получим справа ряд, который!. K Равенство () справедливо лишь в том случае, если r при, то есть () сходится, его сумма равна f. Докажем, что это действительно, что так: где P f P r f ( ), () ( ) ( ) ( f ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) K! В () перейдем к пределу при lim f : lim ( P r ) lim P lim r f lim P, так как r lim!. Но () P есть я частичная сумма ряда (), ее предел равен сумме ряда f. Следовательно, равенство () справедливо, то есть f f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( f ) ( ) K! ( )! f ( ) K

44 Итак, ряд Тейлора представляет данную функцию f только тогда, когда r. Если r lim lim, то ряд не представляет данной функции, хотя может сходиться (к другой функции). На практике чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция f разлагается в ряд непосредственно по степеням. При получается ряд, который называется рядом Маклорена; он имеет вид f!! ( f f f K f ) K Укажем теперь одно достаточное условие разложимости в степенной ряд. Теорема. Пусть функция и все ее производные ограничены в совокупности на интервале ( h, h) M >, что для всех ( h, h) и всех,, Kвыполняется неравенство (), то есть существует такая постоянная ( f ) M. (5) Тогда на интервале ( h, h) функция ряд Тейлора ( ) ( ) ( ) f f, < h.! f раскладывается а Доказательство. Для того, чтобы доказать, что функция f раскладывается в ряд Тейлора, достаточно убедиться, что предел остаточного члена в формуле Тейлора стремится к нулю при. Возьмем r в форме Лагранжа, то есть или r r ( ) ( )! f ( ) ( θ( )) ( ) ( ε) ( ) ( )! где θ( ), < θ f, (6) ε. < Из неравенства (5) следует, что

45 где r ( f ) ( ε) ( ) ( )! ε < h. < M Переходя в неравенстве (7) к пределу при lim r lim M h M lim ( )! ( ) M h ( )! ( )! h, получим h, (7). (8)! Равенство нулю предела, стоящего в правой части (8), следует из того, h что выражение является общим членом сходящегося ряда ( )! ( ) Но в таком случае и r имеет пределом, что и доказывает наше утверждение. f e.. Разложение в ряд Маклорена функции f e,f e,f e, K,f e. ( Так как ) Для любого фиксированного,,,k функция ( ) h f < e или h > при всех ( h;h) ( ) h < f < e. Таким образом, условие теоремы () для h.! и всех f e выполнено, поэтому e раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале, а значит, и на всей действительной оси. Если, то разложение функции в ряд Маклорена, который имеет вид e! f ; получим K K. ()!!! Полученный ряд можно использовать для разложения в ряд Маклорена сложных показательных функций. ПРИМЕР. Разложить функцию f e в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи воспользуемся выражением (), заменив на t : e t Подставим в () t t t t t K K. ()!!!! t ; получим искомый ряд 5

46 e!! K! ( ) K который сходится абсолютно при любых.... Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций cos и si Пусть si f f. Тогда cos si, f si si, K, si, K, f поэтому для всех действительных. Согласно теореме () функция f 6 si раскладывается в степенной ряд по всей действительной оси. Полагая IV, найдем f, f, f, f, f, K. Следовательно, или si! 5 7 5! 7! ( )! Ряд () есть разложение Разложение K ( ) K! ( ) si. () f si в ряд Маклорена. cos в ряд Маклорена можно получить, повторяя предыдущие рассуждения; так как ряд () сходится на всей действительной оси, то на основании теоремы () его можно почленно дифференцировать, в результате чего получим разложение cos в степенной ряд или cos!! 6 K ( ) K 6!! ( ) ( ) ( ) cos. ()!

47 Отметим, что si (нечетная функция) разлагается по нечетным степеням, а cos (четная функция) по четным степеням. где.. Биномиальный ряд Разложим в ряд Маклорена функцию ( ) m f, () m произвольное постоянное число. К разложению данной функции в ряд подойдем иначе в силу трудности оценки остаточного члена. Заметим, что функция m f удовлетворяет дифференциальному уравнению ( ) f m f и условию f. Найдем степенной ряд, сумма которого () S удовлетворяет уравнению () и условию S. a a K a K a m S S () Подставим ряд () в уравнение (), получим ( )( a a K a K) m ( a a K a K) или ( a a ) ( a a ) K ( a ( ) a K) m a m a K m a K K Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, учитывая получим a ( ) a m K m; a a m a ; K; a. a Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражение a a ; m a m; a ( m ) K( m ). K m ( m ) m ( m ) ( m ) ; a ; K Полученные коэффициенты (), которые называются биномиальными, подставим в (), получим () 7

48 S m m ( m ) K( m ) K ( m ) m ( m ) ( m ) m K. 8 K Полученный ряд (5) называется биномиальным рядом. Если m целое положительное число, то, начиная с члена, содержащего m, все коэффициенты равны нулю, и ряд превращается в многочлен. При m дробном или при m целом отрицательном имеем ряд (5). Определим радиус сходимости ряда (5): R lim lim a lim m ( m ) K( m ) ( )!m ( m ) K( m ) a m. Следовательно, в интервале ( ;) ряд сходится и представляет функцию S, удовлетворяющую дифференциальному уравнению () и начальному условию S. Так как дифференциальному уравнению () и условию S! (5) удовлетворяет единственная функция, то, следовательно, сумма ряда (5) тождественно равна функции ( ) m, мы получаем разложение ( ) ( m ) m( m )( m ) m m m K (6)!! Частные случаи биномиального ряда. При m получаем. ( ) K K ( ). (7) При m 5 K (8) При имеем

49 9 K (9).5. Применение биномиального ряда к разложению других функций в ряд Маклорена Пусть дана функция arcsi f. Требуется разложить ее в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи воспользуемся разложением (9) из, заменив в нем на, получим K K K K K K. () Ряд () можно почленно интегрировать при < на основании теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, тогда K arcsi d 7 5 K K K 6 5 () Ряд () сходится в интервале ;. отметим без доказательства, что данный ряд сходится и при ±. Пусть дана функция l. Требуется разложить ее в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи проинтегрируем ряд (7) из. от до, где <. На основании теоремы о почленном интегрировании, получим K K l d () Ряд () сходится в интервале ;, причем он сходится и при (без доказательства). Если в () заменить на, то получим разложение функции l в степенной ряд, то есть

50 l ( ) K K, () где < <..6. Вычисление значений функций при помощи рядов Разложение функций в ряды Маклорена позволяет во многих случаях вычислять с большой точностью значения этих функций. ПРИМЕР. Вычислить с точностью до пяти знаков e e. Решение. Воспользуемся разложением (), положив, e,!,!, e близко к единице. Остаточный член r имеет вид так что, K. Значит,! ( ) ε ε ( ε) e e, 5 ε f r e, где < ε <,!!! ε e близко к единице. Поэтому ненаписанные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой, их можно отбросить.,,, Тогда e,, 57!!!., e Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. ПРИМЕР. Вычислить arctg,. Решение. В разложении (7), заменив на 6 K, получим Ряд () сходится равномерно при <, поэтому его на основании теоремы () можно почленно интегрировать. Выполнение этого интегрирования от до < нам дает d arctg 5 В частности, при, имеем K () () 5

51 (,) (,) 5 arctg,, K () 5 Полученный ряд знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Сохраняя в () два первых члена, получим, что верными знаками. (,) arctg,,,9967 с пятью При помощи биномиального ряда можно вычислить значения корней из чисел, а также значений различных функций. ПРИМЕР. Вычислить 5 5 с точностью до,. Решение. Представим 5 5 в следующем виде: Отсюда разложением (6), тогда, а m. Воспользуемся разложением в ряд, то есть 5 5 K. 5!5 Получили числовой знакочередующийся ряд. По условию 5 5 нужно вычислить с точностью до,, поэтому все члены, которые по абсолютной величине меньше,, можно отбросить. Проверим четвертый член !! 5 <,. Значит, 5 5 9, 6 5! Вычисление определенных интегралов с помощью рядов Вычислениями значений функций приложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы. К вычислениям определенных интегралов с помощью рядов прибегают в 5


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е З А 4 С Е М Е С Т Р Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В Г Ф 2 1-4, 7-8. Май 2011 г. Лектор Лисеев И.А.

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине 3 семестр

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине 3 семестр ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Утверждаю Заведующий кафедрой профессор сентября 6 г АП Господариков КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее