... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член"

Транскрипт

1 Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности , составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,, называются членами ряда (его слагаемыми), выражение - общий член ряда Все слагаемые ряда получаются из при некотором частном значении номера Краткая форма записи ряда такова Ряд называется положительным, если верно > при всех N В случае нестрогих неравенств ряд называется рядом с неотрицательными членами Если же знаки членов ряда произвольны, то ряд называется знакопеременным Частичная сумма S ряда - это сумма первых его членов ряда Сумма S ряда равна пределу частичных сумм при, те S lim S Если сумма ряда конечна, то ряд, говорят, сходится, а в противном случае - расходится Сумму ряда можно обозначать также, как и сам ряд, те Например, ряд расходится, так как его частичная сумма равна S и S lim S Остаточным членом сходящегося ряда называется сумма r В частности, верно разложение S S + r Пример Вычислить сумму числового ряда Решение Запишем формулу общего члена числового ряда + Разложим его на простейшие дроби ( + ) + Укажем список первых членов ряда,,, 4 4 ( ) + ( + ) ( )

2 Вычислим частичную сумму S ряда (при образовании частичной суммы взяли слагаемых) При суммировании замечаем, что происходит уничтожение почти всех дробей, кроме первой (вверху) и последней (внизу) Итак, S S Сумма ряда S lim S lim Исследуемый ряд сходится + Ряд ( + ) Свойства сходящихся рядов называется суммой двух рядов,, а ряд C - произведением ряда на константу C Действия над сходящимися рядами Пусть ряды рядов справедливы равенства: ( ) ) + + ; ), C C, где C cost сходятся Тогда для сумм Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на константу При этом получаются сходящиеся ряды Необходимый и достаточный признак сходимости ряда (критерий Коши) Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда предел остаточного члена r равен нулю при,те верно lim r Это означает, что для любого ε > найдется номер N такой,что для всех N и любом целом будет верно неравенство < ε p p Проверим, что критерий Коши не выполнен для гармонического ряда Оценим сумму > Следовательно, для ряда с общим членом при ε, неравенство < ε не будет выполняться ни при каком Поэтому гармонический + + p ряд расходится (Усечение ряда) При вычеркивании (или добавлении ) конечного числа слагаемых в числовом ряде сходимость или расходимость сохраняется 4Необходимый признак сходимости ряда Если ряд члена сходится, то предел его общего при равен нулю, те lim В частности, верно также lim

3 ( ) + Например, ряд + + расходится, так как lim lim + ( ) Сформулированный признак не является достаточным Например, гармонический ряд расходится, однако предел его общего члена равен нулю при 5Положительный ряд сходится, в том и только том случае, если последовательность его частичных сумм ограничена сверху В частности, если положительный ряд расходится, то S предел его частичных сумм равен lim S + Поэтому можно принять, что его сумма равна 6Сумма положительного ряда не изменится, если в записи ряда переставить местами слагаемые 7 Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии - знаменатель прогрессии, равна q, q < q, где q Проверим этот факт для ряда + q + q + q + q + q Частичная сумма S + q + q + q + q q Ее предел при q < : q S lim S q lim lim lim lim q q q q q q q q q Пример Исследовать сходимость числового ряда q Решение Общий член числового положительного ряда Ряд расходится, так как + для него не выполнен необходимый признак сходимости ряда, те lim lim lim lim Пример Вычислить сумму ряда 6 Решение Преобразуем сумму исследуемого ряда к суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Применим формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии, q

4 Например,, знаменатель прогрессии равен q, первый член 6 Итак, q Далее: 6 Сумма ряда равна 6 6 Суммы некоторых рядов ) ; ) e ; 6!!!! + ) l + ( ) + ; 4) + + ( ) + ; 4 5 5) + ± + ; 6) Теоремы сравнения положительных рядов Ряд называется мажорантой ряда Можно сказать, что ряд мажорирует ряд, если верно неравенство при всех, а ряд Теорема о мажорировании числового ряда Если положительный ряд сходящимся рядом мажорируется рядом, то он также сходится; при этом верна оценка для сумм Заметим, что в условии теоремы для сходимости ряда неравенство при всех достаточно больших Заметим, что если же первый ряд достаточно проверить расходится, то второй ряд также будет мажорируется расходиться Теорема об эквивалентных рядах Сходимость положительного ряда не изменится, если его общий член заменить на эквивалентную величину (тоже верно для расходимости) Можно обозначить ~,если ~ при,те при lim Пример Исследовать сходимость ряда

5 Общий член + ( ) эквивалентен величине при Так как ряд ( + ) сходится, то по второй теореме сравнения сходится исследуемый ряд Пример Исследовать сходимость ряда + Общий член можно оценить с помощью неравенства + + (знаменатель заменили на меньшую величину) Поэтому второй ряд является мажорантой для исследуемого ряда Так как ряд геометрической прогрессии сходится, то по первой теореме сравнения сходится исследуемый ряд 5 Достаточные признаки сходимости Признак Даламбера Ряд будет: + ) сходится, если число Даламбера q lim < ; ) в случае q > ряд расходится; ) если же q, то требуется дополнительное исследование сходимости Радикальный признак Коши Ряд будет сходится, если число Коши q lim < ; в случае q > ряд расходится; если же q, то требуется дополнительное исследование сходимости Полезный предел: lim P ( ), где P() ненулевой многочлен Интегральный признак сходимости Пусть f () - неотрицательная непрерывная и монотонно убывающая функция при Числовой ряд f ( ) с общим членом f( ) сходится, в том и только том случае, если несобственный интеграл и расходится при p + N f ( ) d сходится, где N Как правило, принимаем N Двусторонняя оценка для остаточного члена R ряда: + + f ( ) d R f ( ) d + Эталонные ряды Числовой ряд (обобщенный гармонический ряд) p сходится при p >

6 4 9 Пример Исследовать сходимость ряда Решение Ряд положительный Запишем выражение для общего члена ряда Подставим вместо Даламбера Вычислим предел + ( + ) q lim lim : + lim Применили эквивалентность выражение ( +) и получаем lim ( + ) + ( + ) + lim + ( + ) Применим признак lim ( + ) + ~ при Так как q <, то ряд сходится Пример Исследовать сходимость ряда +! Решение Применим признак Даламбера к положительному ряду + Общий член числового ряда ; последующий член + получается из! + подстановкой вместо значения + Итак: + Тогда : ( + )! + q lim lim + ( + )!! + : lim +! ( + )! + lim + lim lim ( + ) + Так как q <, то числовой ряд сходится по признаку Даламбера Исследовать сходимость ряда + + Пример Общий член числового положительного ряда Применим признак Коши Вычислим предел! +! ( + ) Решение 6 q lim < lim + + lim lim + lim + lim + Применили второй замечательный предел lim + e, 7 Так как q <, то числовой ряд сходится по признаку Коши Пример 4 Исследовать сходимость ряда + e

7 + Решение Общий член числового положительного ряда + Заменим его на эквивалентную величину ~ Из расходимости эталонного ряда, где p согласно теореме сравнения для p числовых положительных рядов вытекает расходимость исходного ряда с эквивалентным общим членом ряда Исследуемый ряд расходится, те не имеет суммы Пример 5 Исследовать сходимость числового ряда l Решение Общий член ряда является значениями функции f ( ) при этом считаем, l что аргумент может принимать любые неотрицательные значения Эта функция монотонно убывает, так как множители в знаменателе, равные, l, монотонно возрастают Применим интегральный признак Исследуемый ряд для монотонно убывающей f ( ) сходится тогда и только тогда, если несобственный интеграл f ( ) d сходится В нашем случае f ( ) + f ( ) d + f ( ) - монотонно убывает Несобственный интеграл расходится l + d d l l + d( l ) l( l ) l Числовой ряд расходится согласно интегральному признаку l Пример 6 Оценить погрешность вычисления суммы ряда с помощью частичной суммы 6 Оценим сумму ряда S + +,6 Общий член является значением монотонно убывающей функции Двусторонняя оценка для остаточного члена ряда: f ( ) d R f ( ) d + + d R + d, R + При получаем R, R, Поэтому для суммы ряда верно ,6 ±, + f ( ) при, R + 7

8 4Знакочередующиеся ряды Абсолютная и условная сходимость Ряд + + ± + ( или ( ) ) называется знакочередующимся 4 рядом, если все числа неотрицательны, те Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают и общий член стремится к нулю, те верны условия : ) ; ) lim 4 Сумма S ряда приближенно равна частичной сумме S с погрешностью, равной первому из отбрасываемых членов ряда, те верно S S + ± Теорема об абсолютной сходимости Знакопеременный ряд ряд 4 сходится, если сходится , составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов )Сумма абсолютно сходящихся рядов является также абсолютно сходящимся рядом )При перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется )При перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма вообще говоря может измениться При подходящей перестановке можно получить в качестве суммы нового ряда любое наперед заданное число + Пример Исследовать сходимость знакочередующегося ряда + ( ) + Решение Абсолютное значение общего члена равно выполнены: Условия признака Лейбница А) lim ; Б) монотонно убывает Этот ряд сходится по признаку Лейбница Оценим его сумму с помощью удержания первых трех слагаемых: + + ( ) + + ±,8 ±, 5 4 Ряд сходится условно Это значит, что ряд, составленный из абсолютных величин расходится, те расходится ряд Известно, что гармонический ряд расходится Лекция Степенные ряды Функциональные ряды Функциональный ряд - это ряд составленный из последовательности функций: f( ) + f( ) + f( ) + + f ( ) + Краткая запись: f ( ) При фиксированном значении функциональный ряд превращается в числовой ряд Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке Совокупность значений, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда 8

9 9 Сумма S( ) функционального ряда является функцией и она равна пределу частных сумм S ) f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ), те S( ) lim S ( ) ( + Остаточный член ряда Функциональный ряд R ( ) S( ) S ( ) f ( ) + f+ ( f ( ) такой сходящийся числовой ряд f + ) + называется мажорируемым на отрезке [ ] ;, если найдется, для всех членов которого верно неравенство ( ) при всех из [ ] ; Числовой ряд называется мажорантой для функционального ряда Это условие можно записать так: f ( ) << Теорема о сходимости Ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится в каждой точке этой области Заметим, что теорема остается верной, если условие мажорирования f ( ) выполнено при достаточно больших Теорема о непрерывности Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на отрезке [ ; ], есть функция, непрерывная на этом отрезке Теорема об интегрировании функционального ряда Ряд непрерывных функций f ( ), мажорируемый на отрезке [ ] ;, можно почленно интегрировать на этом отрезке Это значит, если S( ) f ( ) сумма ряда, то верно равенство S( ) d f ( ) d f ( ) d если ряд составленный из производных если S( ) f ( ) сумма ряда, то верно равенство Теорема о дифференцировании функционального ряда Ряд f ( ), составленный из дифференцируемых функций можно почленно дифференцировать на этом отрезке [ ] ;, Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд ( f ( ), мажорируется на этом отрезке Это значит: S ( ) f( ) f ( ) + + +, составленный из степенных функций; кратко ) Ряд называют обобщенным степенным с опорной точкой Область сходимости степенного ряда не пуста, так как при ряд сходится

10 Интервалом сходимости степенного ряда - называется интервал ( R ; R ) с центром в начале координат, где радиус сходимости равен также другая формула R lim R lim Справедлива Область сходимости степенного ряда состоит из интервала сходимости и возможно граничных точек ±R Это утверждение означает, что степенной ряд: )сходится при < R ; ) расходится при > R; )граничные точки ±R требуют дополнительного исследования (см черт) расходится сходится расходится - R R Для обобщенного степенного ряда центр интервала в опорной точке +, те интервал сходимости определяется неравенством < R Теорема Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри интервала сходимости При этом интервал сходимости (и радиус) не меняется Доказательство Это утверждение вытекает из того, что любой степенной ряд мажорируется r;r, лежащем внутри интервала сходимости, те при r < R на любом отрезке [ ] Достаточно указать сходящийся числовой ряд вида неравенство C q q r Введем число p согласно условию r < p < R, обозначим q < p Ряд p сходится в точке, для которого верно p Поэтому общий член p стремится к нулю при Последовательность p, имеющая предел, является ограниченной величиной, те справедливо неравенство Оценим общий член ряда p p на отрезке [ r;r] : p p p C для некоторой константы C при всех p q C q Числовой ряд C q сходится Ряды Тейлора и Маклорена ) Пусть функция f ( ) имеет производную любого порядка в окрестности точки

11 Ряд Тейлора для функции y f ( ) в окрестности (опорной) точки : f ( ) f ( ) ( ) ( f + + ) ( ) +,!! ( ) ( + ) f ( ) f ( c) + общий член ряда Тейлора ( ) и R ( ) - остаточный член! ( + )! ряда в форме Лагранжа, где точка c находится между числами, Ряд Тейлора интересен в том случае, когда его сумма равна самой функции, те верно равенство f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( ) + ( ) +!! ) Ряд Маклорена - это ряд Тейлора в опорной точке : ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) !!!! Разложения функций в степенные ряды ) e , при < < ;!!!! 5 + ) si + ( ) +,!! 5! ( )! 4 ) cos + ± при < <! 4!! Из этих формул вытекает формула Эйлера, cos + i si ; 4) , при < m m 5) биномиальный ряд ( ) ( m ) m ( m )( m ) + m + + +!!! Для показателей m N интервал сходимости < 4 6) разложение логарифма, l ( + ) + + при < 4 Пример Найти разложение в ряд Маклорена функции f () l( + ) Решение Применим формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии при < Подставим вместо величину ( ), получаем ряд Проинтегрируем его внутри интервала сходимости ( + ) d + + d e i ( ) 4 + l при < 4 4 Приложения степенных рядов, Пример Вычислить d + Решение Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, применяя разложение + + +, < Получим + Интегрируем почленно в +

12 интервале сходимости:,,,,,,, 4,,, d + + d d d Оценим сумму с помощью признака Лейбница Удержим первые два слагаемых ряда,,,, 4, d, 4 ± Погрешность вычисления ε, Пример Решить задачу Коши y + y, y( ) Решение Разложим решение y ( ) задачи Коши в ряд Маклорена, y () y () y () y( ) y() !!! Находим значение производной в опорной точке y + y y ( ) + Далее находим вторую производную y ( y ) ( + y) + y Отсюда y ( ) + Итак, в окрестности точки получено разложение y ( ) + +!! 5 Ряд Фурье на отрезке [ ; ] ( ) Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида + ( cos+ si ) В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригонометрическом ряде вместо простейших степенных функций,,,,, взяты тригонометрические функции, cos, si, cos :, si,, co :,, s si Все функции этой системы являются периодическими с периодом T Если тригонометрический ряд сходится на отрезке [ ;, ] то он сходится на всей числовой оси и его сумма S ( ) тригонометрического ряда является периодической функцией периода T, те справедливо равенство S( + T) S( ) Пусть f ( ) -функция, определенная и интегрируемая на отрезке [ ; ] Тогда коэффициенты, найденные по формулам f( ) d, ( )cos f d, f( )si d, называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд - рядом Фурье функции f () на отрезке [ ; ] Теорема Пусть функция f ( ) на отрезке [ ; ] кусочно монотонна и кусочно непрерывна,те она непрерывна за исключением конечного числа точек разрыва первого рода Тогда ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и сумма S( ) этого ряда: ) равна f ( ) (те S( ) f ( )) во всех точках непрерывности функции f ( ); ) S( ) ( f ( ) + f ( + )), где - точка разрыва ; ) S( ) ( F( ) + F( + ) ), где ± граница отрезка[ ;, ] где F ( ) является - периодическое продолжение функции f ( ) + 4

13 Можно говорить о разложении функции f ( ) на отрезке [ ; ] в ряд Фурье: f ( ) + ( cos+ si ) 6 Ряд Фурье нечетных и четных функций на отрезке [ ; ] ) Нечетная функция раскладывается в сумму синусов, те,, f( )si d, ) Четная функция раскладывается в сумму косинусов, те, f( ) d, ( )cos d f Пример Разложить данную функцию в ряд Фурье на интервале < <, построить графики частичных сумм S, S, S, < < f( ), < Решение Применим формулу разложения функции f ( ) в ряд Фурье на отрезке вместо интервала f ( ) + ( cos+ si ) Коэффициенты f( ) d d + d + f( )cos d, cosd+ cosd + si Далее f( )si d, si d+ si d Получаем: ( cos ) ( ( ) ) Запишем первые коэффициенты ряда Фурье: ; При :, При :,, При :, Подставим коэффициенты в ряд Фурье Получаем ряд Фурье f ( ) + ( cos + si) + ( cos + si ) + f ( ) + si + si Это равенство верно при < < Составим для полученного ряда Фурье частичные суммы S ( это среднее значение функции f ( ) на интервале < < ),

14 S + ( cos + si) + si, S + ( cos + si) + ( cos + si ) + si S S + si + si Сделаем чертеж, на котором изобразим графики функции f ( ), частичных сумм S, S, S, S на интервале < < S S () () Y f ( ) 4 S () 5 X 7 Ряд Фурье функции ( ) f, заданной на произвольном отрезке [ ; ] Ряд Фурье функции f ( ), заданной на произвольном отрезке [ ; ], - это тригонометрический ряд Фурье + cos + si, коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам: f( ) d, f ( ) cos d, f ( ) si d Теорема Пусть функция f ( ) на отрезке [ ; ] и ее производная f ( ) являются кусочно-непрерывными функциями, те они непрерывны за исключением конечного числа точек разрыва первого рода Тогда ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и сумма S( ) этого ряда : )равна ( ) ( ) ( ) непрерывности функции ( ) f (те S f во всех точках S f f S ( F + F + ) - периодическое продолжение функции ( + + )), где - точка разрыва ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), где ± граница отрезка [ ; ], где f ; F( ) является f ( ) Можно говорить о разложении функции f ( ) на отрезке [ ; ] (или в интервале ( ; ) в ряд Фурье: f ( ) + cos + si Константа равна среднему значению f ( ) на отрезке [ ; ] графически Слагаемое cos + si ), которое можно находить называется гармоникой порядка ; эта

15 функция описывает гармоническое колебание с круговой частотой, равной ω и амплитудой A + С физической точки зрения разложение в ряд Фурье показывает, что периодический f можно разложить в сумму усредненного сигнала и гармонических сложный сигнал ( ) колебаний - гармоник с частотой, кратной основной частоте ω Как правило, основной вклад в сумму дает гармоника первого порядка Функцию f ( ) можно аппроксимировать (приближать) частичными суммами ( ) k k S + k cos + k si k 8 Ряд Фурье нечетных и четных функций на произвольном отрезке ) Нечетная функция раскладывается в сумму синусов на отрезке [ ;, те, и f ( ) si d ) Четная функция раскладывается в сумму косинусов, те, f ( ) d и f ( ) cos d ) Если функция f задана на отрезке ;, то ее разложение в ряд Фурье на отрезке [ ; ] зависит от того, как мы доопределим эту функцию на весь отрезок [ ; ] Например, можно доопределить по свойству нечетности функции, тогда получаем ее разложение в ряд синусов Если же функцию доопределим по четности, то получим разложение в сумму косинусов 4) Ряд Фурье функции f ( ), заданной на отрезке [ ; ] Полагаем полупериод Возникает разложение функции в ряд Фурье, где коэффициенты ряда Фурье f ( ) d, f ( ) cos d, f ( ) si d ( ) [ ] 9 Комплексная форма ряда Фурье функции на отрезке [ ; ] f () + i c e, где коэффициенты ( ) S( ω ) c f e i Спектральная плотность по определению равна отношению c к приращению частоты Δ ω ω+ ω, где l S ω Δω ω Отсюда ( ) Амплитудная функция (спектр) ( ) ω Φ( ω ) ( ( )) rg S ω Интеграл Фурье Интеграл Фурье функции B A ρ S( ω ) c d i f e d ( ) Фазовый спектр rctg, где A Re S( ω ), B S( ω ) + Im ( ) f () - равен ( ω) cosω + ( ω) si ω dω, где коэффициенты Фурье находятся согласно формулам ( ω ) f () t cosω t dt, ( ω ) f () t si ωt dt ] 5

16 6 Функция называется абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, если несобственный + интеграл f ( ) d lim f ( ) d < + M - сходится Финитная функция - это функция, M + M которая равна нулю, кроме конечного промежутка Заметим, что любая финитная функция - абсолютно интегрируема Достаточный признак сходимости интеграла Фурье (признак Дирихле) Пусть функция f ( ) на каждом конечном интервале кусочно монотонна и кусочно непрерывна, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, и является абсолютно интегрируемой на всей числовой оси Тогда функция f () представима в виде интеграла Фурье, те f + ( ω cosω + ω siω)dωв любой точке, в которой f ( ) непрерывна В ( ) ( ) ( ) + точке разрыва верно равенство ( ( ω) cosω + ( ω) si ω) dω ( f ( ) + f ( + ) ) С физической точки зрения непериодическая функция f () раскладывается в сумму бесконечного числа периодических функций, имеющих циклическую частоту в диапазоне от ω до ω+ dω Интеграл Фурье как двукратный интеграл f + + ( ) ω () cosω( ) d f t t d t i ω( t) Комплексная форма интеграла Фурье: f ( ) dω f () t e d + + t (внешний интеграл понимается в смысле главного значения) Эта формула возникает как суперпозиция двух операторов: + + ω i F ( ω ) f ( ) e d i ω, f ( ) F( ω) e d ω Функция F( ω ) называется Фурье-образом для f ( ), а сам переход от f ( ) к F( ω ) преобразованием Фурье Это преобразование можно записать так: f( ) F( ω) Функция F (ω) называется также трансформантой Вообще говоря, Фурье-образ - комплекснозначная функция Фурье-образ F(ω) называют спектральной характеристикой функции f ( ), модуль F(ω) - амплитудным спектром, аргумент rg F( ω) - фазовым спектром Косинус-преобразование (косинус-образ) четной функции определяется так: прямое преобразование, F c ( ω ) f ( ) cosω d ; обратное преобразование, f ( ) F ( )cos c ω ω d ω Синус-преобразование (синус-образ) F s ( ω ) нечетной функции f ( ) : прямое преобразование, F s ( ω) обратное преобразование, f ( ) f ( )siω d ; F ( )si s ω ω d ω iω Фурье-образ F( ω) f ( ) e d равен F c ( ω), а нечетной f ( ) верно: F( ω ) if s ( ω ) ; для четной функции f ( ) Фурье-образ F( ω ); F

17 Свойства Фурье- преобразования Линейные свойства: если f ( ) F ( ω), f ( ) F ( ω), то f( ) + f ( ) F( ω ) + F( ω) и C f ( ) C F ( ) ω, где С - константа Если f( ) F( ω), то справедливы теоремы: а) ω ω f( k) F - теорема подобия; б) ( ) f e F( ω) - теорема о смещении; k k в) f ( ) i ω F( ω ), теорема о дифференцировании Свертка двух функций f ( ), g ( )-это функция, обозначаемая f * g( t) и равная интегралу + () ( ) ( ) f * g t f g t d Если F( ω), G( ω) - Фурье-образы для функций f ( ), g ( ), то Фурье-образ свертки равен произведению F( ω) G( ω ) si ω cos ω + ω si ω Таблица косинус-образов ) ; ) ω ω Y f() Y f() ) ) X X Литература ИН Бронштейн, КА Семендяев Справочник по математике 979 7


Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по модулю «Ряды» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ПРОГРАММА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 45 «Сети

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций 009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине 3 семестр

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине 3 семестр ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Утверждаю Заведующий кафедрой профессор сентября 6 г АП Господариков КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8, 9 ПО РЯДАМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 8 9 ПО РЯДАМ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл Например Вы

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее