ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Сборник тестов по высшей математике для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения Минск

2 УДК ББК Рекомендовано к изданию кафедрой математики и физики 29 декабря 2015, протокол 5 Составитель Л А Рябенкова, старший преподаватель кафедры математики и физики Рецензент ИММорозова, доцент кафедры высшей математики БГАТУ М Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия : сборник тестов для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения / сост Л А Рябенкова Мн: УО Белорусская государственная академия связи, с В сборник включены тестовые задания по основным разделам курса высшей математики, это такие как, линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия Сборник может быть полезен для самостоятельной работы студентов при подготовке к занятиям, для преподавателей при проверке знаний студентами теоретического материала и его применения к решению несложных задач, при написании математических диктантов УДК ББК Учреждение образования «Белорусская государственная академия связи»,

3 Линейная алгебра Вариант 1 1 Определитель это а) число б) вектор в) таблицы 2 Единичной матрицей является матрица 3 Невырожденной матрицей является матрица 4 Совместная система из n уравнений и n неизвестных имеет единственное решение, если ее ранг: r(a): 5 Отличие минора от алгебраического дополнения а) б) в) г) а) 2 1 б) в) г) а) r(а) < n б) r(a) = n в) r(a) > n а) нет различий б) конкретным значением в) наличием знака 3

4 1 Определитель a11 a12 - это число, a a равное 2 Диагональной матрицей является матрица 3 Матрица имеет обратную, если 4 Можно ли решать по правилу Крамера данную систему уравнений: x 1 + 2x 2 + 3x 3 =1 5x 1 + 4x 2 x 3 = 5: 5 Если в определителе поменять местами две строки, то определитель Вариант 2 а) a11 a22 a21a 12 б) a21a 12 a11 a22 в) a11 a22 a21a а) б) в) г) а) она вырожденная б) определитель матрицы отличен от нуля в) число её строк равно числу её столбцов г) она невырожденная а) можно б) нельзя а) не изменится б) обратится в нуль в) изменит знак на противоположный г) нет верного ответа 4

5 1 Минор элемента a ij это 2 Ступенчатой является матрица 3 Дана матрица 1 2 A Обратная для 3 4 матрицы A является матрица: 4 Можно ли решать систему m уравнений с n неизвестными по правилу Крамера 5 Система совместна и имеет единственное решение, если Вариант 3 а) определитель (т-1)-го порядка б) матрица (п-1)-го порядка в) определитель п-го порядка а) б) в) г) а) б) в) г) а) можно б) нельзя а) ее определитель отличен от нуля б) ее определитель равен нулю в) величина определителя не имеет значений 5

6 1 Алгебраическое дополнение элемента a ij это 2 Сопоставьте матрицу и ее вид 1) ) ) ) а) диагональная б) единичная в) ступенчатая г) треугольная 3 Систему линейных уравнений 3x1x 3 2, мож- x1 2x 2 1, x1 x2 x3 1 но решить по методу Крамера, так как 4 Если r( А ~ ) = r(a) и r < n, то система m уравнений с n неизвестными 5 Определитель равен нулю если Вариант 4 а) определитель (п-1)-го порядка б) минор (п-1)-го порядка в) M ij а) 1 в б) 2 а в)3 г г) 4 б 1 i j а) x б) x в) x г) x а) не имеет решений б) имеет единственное решение в) имеет бесчисленное множество решений а) все строки различны б) имеются одинаковые строки 6

7 1 Матрица это а) число б) таблица 2 Найдите х, если известно, что определитель матрицы x равен 14: 7 x Вычислить значение определителя: A Вариант 5 в) определитель а) 3 б) 4 в) 7 г) 1 а) положительное б) отрицательное в) нулевое Если A B, то Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель и а) AB не существует б) AB в) AB г) нет верного ответа а) равен нулю б) отличен от нуля в) величина определителя не имеет значения 7

8 1 Обратная матрица существует для 2 Найдите матрицу Х, если известно, что: X Вычислить значение определителя A Определитель изменяет знак при: Для матриц A, B 1 1 можно вы- 1 0 полнить операции Вариант 6 а) любой матрицы б) любой квадратной матрицы в) для матрицы с определителем отличным от а) X б) 5 4 X в) X г) 5 1 X а) положительное б) отрицательное в) нулевое а) вынесении общего множителя строки за знак определителя б) транспонировании в) перестановке двух строк а) A B б) T B A в) AB г) BA 8

9 4 Для какой матрицы существует обратная к ней Если матрица A, 3 2 то матрица 4A имеет вид Вариант 7 1 Ранг матрицы - это а) число, равное количеству определителей, порожденных данной матрицей б) число, равное количеству определителей, отличных от 0, порожденных данной матрицей в) 2 Найдите транспонированную матрицу по от- а) б) ношению к матрице в) г) Отличие матрицы от а) нет различий определителя б) по форме представления в) матрица таблица, определитель число а) прямоугольной б) квадратной в) произвольной 2 4 а) б) в) г)

10 1 Порядок определителя это: 2 Неособенной матрицей называется матрица, у которой: Определитель равен: По отношению к определителю транс понированным будет определитель: 5 Диагональной называется матрица, у которой Вариант 8 а) диапазон значений его элементов б) значение в) число его строк и столбцов г) сумма индексов первого элемента первой строки а) определитель не равен нулю б) определитель равен единице в) число строк равно числу столбцов г) число строк не равно числу столбцов а) 16 б) 26 в) -16 г) 21 а) 6 5 б) в) а) все элементы вне главной диагонали равны нулю б) все элементы главной диагонали равны нулю в) все элементы на главной и побочной диагоналях равны нулю г) все элементы первой строки равны нулю 10

11 1 Скалярной матрицей называется матрица, у которой: 2 Что такое определитель 3-го порядка? 3 Определитель 1 2 матрицы 5 10 равен 4 Вычислить определитель матрицы A Чтобы вычислить произведение матрицы на число, нужно : Вариант 9 а) все элементы отличны от нуля б) все элементы равны нулю в) элементы, стоящие на главной диагонали, равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю г) все диагональные элементы равны единице а) вектор, координатами которого являются элементы, стоящие на главной диагонали матрицы б) вектор, координатами которого являются элементы, стоящие на побочной диагонали матрицы в) некоторое число, определенным образом сопоставленное с матрицей г) решение системы уравнений, из коэффициентов которой составлена матрица а) 20 б) 0 в) -25 г) 52 а) -6 б) 6 в) -4 г) 4 а) умножить элементы главной диагонали на число б) умножить элементы первой строки на число в) умножить каждый элемент на число г) умножить элементы первого столбца на число 11

12 1 Транспонированная квадратная матрица имеет определитель, равный: Если A и B, то AB равно: Обратная матрица существует для: 4 Определитель равен 5 Если матрица содержит одинаковые строки, то ее определитель равен Вариант 10 а) определителю исходной матрицы б) 0 в) 1 г) а) б) в) г) а) любой матрицы б) любой квадратной матрицы в) нулевой матрицы г) любой квадратной невырожденной матрицы а) 95 б) 83 в) 87 г) 91 а) 1 б) 0 в) неизвестному числу 12

13 Векторная алгебра Вариант 1 1 Координаты вектора AB, а) AB x1 x2, y1 y2, z1 z2 где A x1, y1, z1, Bx2, y2, z 2 б) AB x1 x2, y1 y2, z1 z2 вычисляются по правилу: AB x x, y y, z z 2 Результатом скалярного произведения векторов a и b является: в) а) вектор c б) вектор a + b в) число a b cos, где угол 3 Векторным произведением векторов a и b является: 4 Два вектора a и b взаимно тогда и только тогда, когда: 5 С помощью векторного произведения двух векторов a и b можно вычислить: 6 Смешанное произведение трех векторов a, b и c равно: между a и b а) число c б) вектор a + b в) вектор c, удовлетворяющий условиям: 1) c a и c b 2) c a b sin 3) a, b, c правая тройка векторов а) векторное произведение ab 0 б) скалярное произведение ab 0 в) если a 2b а) проекцию вектора a на направление вектора b б) площадь куба, построенного на векторах a и b в) площадь треугольника, построенного на векторах a и b а) вектору d б) числу a в) числу a b c 13

14 1 Расстояние между точками A x1, y 1 и B x2, y 2 находится по формуле: 2 Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда: 3 С помощью скалярного произведения векторов a и b вычисляется: 4 Проекция вектора a на направление вектора b вычисляется по формуле: 5 Векторы a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда: 6 Смешанное произведение трех векторов a, b и c равно: Вариант а) AB x 1 y 1 б) AB x x y y в) AB x y а) a b б) векторное произведение ab 0 в) скалярное произведение ab 0 а) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b б) площадь прямоугольника, построенного на векторах a и b в) косинус угла между векторами a и b а) a b b a b б) a а) a b c 0 б) a b c 0 в) a b c в) a b b а) некоторому вектору d б) некоторому числу a b в) некоторому числу a b c 14

15 1 Длина вектора AB, где A x1, y1, z 1 и B x2, y2, z 2 находится по формуле: 2 Угол между векторами a и b вычисляется по формуле: 3 Скалярное произведение векторов i, j, k находится по таблице: 4 Векторное произведение векторов a и b не обладает свойством: 5 С помощью смешанного произведения трех векторов a, b и c находится: 6 Площадь треугольника находится по формуле: Вариант 3 а) AB x 1 y 1 z 1 б) AB x x y y z z в) AB x 1 y 1 z ab ab а) sin б) cos a b a b ab в) cos a b i j k i j k i j k а) i б) i в) i j j j k а) a b a b k б) a b c в) ab 0 k а) площадь треугольника, построенного на векторах a и b б) объем пирамиды, построенной на векторах a, b и c в) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b 1 а) S a b 2 б) 1 S a b 2 1 в) S a b 2 15

16 1 Направляющие косинусы вектора AB, где A x1, y1, z 1, B x2, y2, z 2 находятся по правилу: 2 Скалярное произведение векторов a и b не обладает свойством: 3 Векторное произведение двух векторов a и b равно: 4 Скалярное произведение двух векторов a x1, y1, z 1 и b x2, y2, z 2 равно: 5 Смешанное произведение трех векторов обладает свойством: 6 Векторное произведение ортов равно: Вариант 4 y2 cos cos x y z а) x1 z cos б) x1 x2 cos 2 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 y1 y2 cos 2 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 2 в) np cos ox AB npoy AB np cos cos oz AB AB AB AB а) a b b a б) aa 0 в) a b c a b a c а) числу с б) вектору равному a +b в) вектор c, удовлетворяющий условиям: 1) c a и c b 2) c a b sin где -угол между a и b 3) c направлен по правилу правого винта а) x x2 y1 y2 z1 z2 б) x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 в) x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 а) a b c b a c б) в) a b c a c b a b c c a b а) i j k б) j j 1 в) k i j 16

17 1 Сумма двух векторов a x1, y1, z 1 и b x2, y2, z 2 равно: 2 Векторное произведение a x, y, z двух векторов и b x, y, z находится по формуле: 3 Скалярное произведение двух векторов a 2, 1,3 и b 1,0,1 равно числу: 4 Векторное произведение двух векторов a и b обладает свойством: 5 Какое взаимное расположение трех векторов a 1,0, 1, b 0,1,1 и c 1,1,0 в пространстве? 6 Работа, совершаемая силой F x1, y1, z 1 на пути S x2, y2, z 2 равна: Вариант 5 а) вектору c x2 x1 y2 y1 z2 z1 б) числу с x x y y z z в) вектору c x x y y z z i j k а) a b x x y y z z i j k б) a b x1 y1 z1 i j k a b x x y y z z в) а) 2 б) 1 в) -1 а) ab a b б) ab b a в) aa 1 а) векторы лежат в одной плоскости б) векторы образуют правую тройку в) векторы образуют левую тройку а) x 1 y 1 x 2 y 2 y 2 z 2 б) x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 в) x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 17

18 1 Сумма двух векторов a и b, где a 2i j k и b i 2 j k равна: 2 Проекция вектора a x, y, z на направление вектора b x, y, z находится по формуле: 3 Векторное произведение a x, y, z двух векторов и b x, y, z находится по формуле: 4 Смешанное произведение трех векторов обладает свойством: 5 Вектор AB, где A2, 1,0, B1,1, 2 имеет длину: 6 Разность двух векторов a x1, y1, z 1 и b x2, y2, z 2 равна: Вариант 6 а) числу с = 1 б) вектору c 3i j в) вектору c 2i 2j k а) ab np a b a x x y y z z б) np a b x1 y1 z1 x x y y z z в) np a b x2 y2 z2 i j k a b а) i j k б) a b x1 y1 z1 в) a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 а) a b c b a c б) a b c ac bc в) a b c c a b а) 3 б) 5 в) 3 а) числу x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 б) вектору c x x y y z z x в) вектору c 2 y2 z2 x1 y1 z1

19 1 Проекция суммы двух векторов на ось l обладает свойством: 2 Даны точки A 1,3,2 и B3, 2,4 Проекция вектора AB на ось Ox равна: 3 Скалярное произведение двух векторов a и b равно: 4 Если векторы a и b параллельны, то: 5 Объем параллелепипеда с вершинами в точках A 0,0,0 B1, 1,0 C 0,1,1 D 1,0,1 равен числу: 6 Если векторы a, b и c компланарны, то Вариант 7 а) б) в) np a b np a np b np a b np a np b np a b np a np b а) 4 б) 2 в) -2 а) ab cos б) ab sin в) a b cos г) a b sin а) их скалярное произведение равно 0 б) их векторное произведение равно 0 в) их смешанное произведение равно 0 а) 0 б) 2 в) 1 а) их векторное произведение равно 0 б) их скалярное произведение равно 0 в) их смешанное произведение равно 0 19

20 1 Длина вектора a 2i 2j k равна: 2 Угол между векторами a x1, y1, z 1 и b x2, y2, z 2 находится по формуле 3 Скалярное произведение двух векторов a 2i j и b j k равно: 4 Если векторы a и b коллинеарны, то: 5 Площадь треугольника, построенного на векторах a и b, вычисляется по формуле: 6 Если смешанное произведение трех векторов a, b и c равно числу 2, то Вариант 8 а) 5 б) 1 в) 3 г) 6 а) x1 x2 y1 y2 tg 2 x1 y1 x2 y2 б) cos x1 x2 y1 y2 2 x1 y1 x y в) x1 x2 y1 y2 z1z2 cos x1 y1 z1 x2 y2 z2 а) числу 5 б) вектору 2,1, 1 в) числу 1 г) числу 1 c а) ab 0 б) ab 0 в) ab b a 1 1 а) S a b б) S a b в) S a b г) S a b 2 2 а) тройка векторов является левой б) тройка векторов является правой в) векторы a, b и c компланарны 20

21 1 Координаты середины отрезка AB, где A x1, y1, z 1, B x2, y2, z 2 находятся по формуле: 2 Длина вектора MN, где M 1, 0, 1 и N 2, 1, 0 равна: 3 Проекция вектора a x1, y1, z 1 на направление вектора b x2, y2, z 2 находится по формуле: 4 Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен: 5 Векторное произведение векторов i 1 0 0, j 0 1 0, равно: k 6 Смешанное произведение трех векторов a, b и c обладает свойством: Вариант 9 а) x2 x1 y2 y1 z2 z1 б) 2x2 x1 2y2 y1 2z2 z1 в) x2 x1 y2 y1 z2 z1 а) 2 б) 5 в) 3 г) 3 a а) np a b a b б) ab np a b b в) ab np a b a а) a b cos б) ab sin в) a b sin а) i j k б) i j k в) i j j а) a b c a c b б) a b c a c b в) a b c b c a 21

22 1 Диагональ параллелограмма на векторах a и b, и выходящая из общей вершины, равна: 2 Выражение i i 2i j k k, где i, j, k единичные векторы, равно 3 Скалярное произведение двух векторов a 2i j и b 3i 2j равно: 4 Длина векторного произведения векторов a и b равна: 5 Смешанное произведение трех векторов a x1, y1, z 1, b x2, y2, z 2 и c x3, y3, z 3 находится по формуле: 6 Работа, совершаемая силой F 2i j k на пути AB i j k равна: Вариант 10 а) a b б) a : b в) a b а) 0 б) 1 в) k а) 5 б) 4 в) 3 г) 1 а) cos угла между векторами б) проекции a на вектор b в) 2 площадям треугольника, построенного на векторах a и b x x y y z z а) б) а) 4 б) 3 в) 2 г) x x y y z z x x y y z z в)

23 Аналитическая геометрия (Прямая на плоскости) Вариант 1 1 Уравнение прямой на плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид: 2 Уравнение вида y kx b называется 3 Уравнение прямой на плоскости y2x 3 отсекает на оси Oy отрезок равный: 4 Уравнением x 0 на плоскости задается: 5 Уравнение прямой на плоскости оси Oy имеет вид: 6 Уравнение прямой на плоскости yx 2 составляет с положительным направлением оси Ox угол равный: а) Ax C 0, A 0, C 0 б) Ax By Cz 0, A, B, C 0 в) Cy D 0, C, D 0 а) общим уравнением прямой на плоскости б) уравнением прямой с угловым коэффициентом в) уравнением прямой в отрезках а) 2 б) 1 в) 3 г) -3 а) уравнение оси Oy б) уравнение оси Ox в) уравнение оси Oz O 00 г) точка а) Ax C 0, A, C 0 б) By C 0, B, C 0 в) Ax By 0, A, B 0 г) Ax By C 0, A, B, C 0 а) 60 б) 30 в) 45 г) 90 23

24 1 Расстояние от точки M x, y до прямой Ax By C 0 равно: 2 x y Прямая 1 отсекает 2 3 на оси Oy отрезок, равный: 3 Прямая x 3 расположена: 4 Тангенс угла наклона прямой y3x 5 к положительному направлению оси Ox равен: 5 Уравнение прямой в отрезках имеет вид: 6 Уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox имеет вид: Вариант 2 Ax By C а) x0 y0 б) в) Ax0 By0 C 2 2 A B Ax0 By0 C 2 2 A B а) 2 б) 3 в) 1 г) -3 а) оси Ox б) оси Oy в) совпадает с осью Ox г) совпадает с осью Oy а) 3 б) 5 в) -5 г) 1 x y x y а) 1 б) 1 a b a b x y в) 0 a b а) Ax C 0, A, C 0 б) By C 0, B, C 0 в) Ax By 0, A, B 0 г) Ax By C 0, A, B, C 0 24

25 1 Общее уравнение на плоскости имеет вид: 2 Уравнение оси Oy имеет вид: 3 Угол между прямыми на плоскости вычисляется по формуле: 4 Прямая y 3 0 на плоскости расположена: 5 Уравнение вида y 0 определяет на плоскости: 6 Прямая заданная уравнением 1 на x y 4 2 плоскости, пересекает Ox в точке A c координатами: Вариант 3 а) Ax By C 0 б) y Bx C в) y kx b г) y y k x x 0 0 а) x 0 б) y 0 в) z 0 г) Ax C 0 k2 k1 а) cos 1 kk б) k k tg 1 kk 1 2 k k tg 1 kk в) k k cos 1 kk г) а) параллельно оси Ox б) параллельно оси Oy в) совпадает с осью Ox г) совпадает с осью Oy а) ось Oy б) ось Ox в) ось Oz а) A 42 б) A4 2 в) A 40 г) A 20 25

26 1 Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом имеет вид: 2 Как расположены прямые 2x y 5 0 и 1 x y 8 0 на плоскости 2 относительно друг друга: 3 Прямая 2x y 0 проходит: 4 Прямая x 1 0 расположена на плоскости: 5 Прямая заданная уравнением 1 пере- y x 2 5 секает ось Ox в точке A c координатами: 6 Угол между прямыми с уравнениями A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 вычисляется по формуле: 26 Вариант 4 x y а) 1 a b б) Ax By C 0 A в) y y0 x г) y kx b а) прямые б) прямые совпадают в) прямые пересекаются а) оси Ox б) оси Oy в) через начало координат а) оси Oy б) оси Ox в) проходит через начало координат A 25 а) б) A 50 в) A 02 г) A0 5 A A B B cos а) 2 A1 B1 A2 B2 A A B B б) tg 2 A1 B1 A2 B2 A A B B cos в) 2 A1 B1 A2 B2

27 1 Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: 2 Прямые на плоскости 3x 2y 7 0 и 2x 3y 6 0 расположены друг относительно друга: 3 Прямая на плоскости 2x y 0 расположена: 4 Как расположена точка M 2, 1 относительно прямой x 2y 4 0? 5 Прямая заданная уравнением y2x 5 пересекает ось Oy в точке B c координатами: 6 Уравнение прямой, проходящей через две за- A x, y данные точки 1 1 и B x, y имеет вид: 2 2 Вариант 5 а) Ax By Cz D 0 б) Ax By k в) Ax By C 0 г) y kx b а) параллельно б) пересекаются в) перпендикулярно а) оси Ox б) оси Oy в) проходит через начало координат а) точка М не принадлежит прямой б) точка М принадлежит прямой в) точка М лежит на оси Ox B 50 а) B 20 б) в) B 25 г) 05 x x y y 1 1 а) x2 x1 y2 y1 x x y y 1 1 б) x2 x1 y2 y1 x x y y 1 1 в) x2 x1 y2 y1 B 27

28 1 Прямые, заданные уравнениями 1 1 x y x y на плоскости, расположены: 2 Расстояние от точки M x, y до прямой Ax By C 0 вычисляется по формуле: 3 Условие параллельности двух прямых на плоскости A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0 имеет вид: 4 Прямая на плоскости, заданная уравнением 2x 8 0, расположена: 5 Точка À 3,5 относительно y2x 1: прямой 6 Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид: Вариант 6 а) прямые б) прямые в) прямые совпадают а) Ax0 By0 C d Ax0 By0 Cz0 D б) d A B C в) d Ax0 By0 C 2 2 A B а) A1 A2 B1 B2 C1C 2 0 A1 B1 б) A B 2 2 A1 B1 в) A1 A2 B1 B2 0 г) 0 A B 2 2 а) проходит через начало координат б) оси Ox в) оси Oy а) точка А не принадлежит прямой б) точка А лежит на прямой в) точка лежит выше прямой x x0 y y0 z z0 а) m n p б) A( x m) B( y n) 0 x x0 y y0 в) m n x x0 y y0 z z0 г) 0 m n p

29 1 Уравнение перпендикулярности прямых A1 x B2 y C2 0 и A x B y C : 0 2 Две прямые, заданные уравнениями x 2y 5 0 и 2y x 8 0 : 3 Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости, имеет вид: 4 Уравнение прямой на плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид: 5 Прямая y 2 0 расположена: 6 Прямая, проходящая À 0, 2 через точку имеет вид: Вариант 7 A B C 0 A B C а) A B C 0 A B C б) в) A1 A2 B1 B2 C1C 2 0 г) A1 A2 B1 B2 0 а) параллельны б) пересекаются в) перпендикулярны г) совпадают x x y y x x y y а) x x y y z z 0 x x y y z z б) x x y y x x y y в) x x y y x x y y г) а) Ax C 0, A, C 0 б) By C 0, B, C 0 в) Ax By 0, A, B 0 г) By 2 0, B 0 а) ниже оси Ox б) выше оси Ox в) проходит через начало координат а) y2x 1 б) y2 x y в) y2x 2 г) 2x 2 29

30 Вариант 8 1 Уравнение прямой на а) k 1 плоскости y2x 1 б) k 2 имеет угловой коэффициент равный: в) k 2 г) k 1 2 Уравнение прямой, проходящей через точку x x0 M 0 x0, y 0 в направлении б) y y0 x x0 y y а) 0 x точки M1 x1, y 1 имеет y y0 x x0 в) вид: y1 y0 x1 x0 3 Уравнение прямой, проходящей а) 3x2y 0 через точку б) y2x 3 M 0, 2 имеет вид: в) y3x 2 г) y 2x 3 4 Прямая, заданная уравнением 2x3y 6 пересекает ось Ox в точке В с координатами: 5 Уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку M 1,2, имеет вид: 6 Уравнение множества прямых, проходящих A 2,3, через точку имеет вид: а) B 23 б) 02 в) B 30 г) 03 B B x y x y а) б) x y в) 1 2 а) y 2 k( x 3) б) y 3 k( x 2) в) y 2 k( x 2) г) y 3 k( x 2) 30

31 1 Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид: 2 Какой длины отрезок отсекает прямая x y 1 от оси Ox : Уравнение оси Ox имеет вид: 4 Угол между прямыми с уравнениями A1 x B2 y C2 0 и A2 x B2 y C2 0 вычисляется по формуле: 5 Прямая, проходящая через начало координат и составляющая с осью Ox угол в 45, имеет вид: 6 Прямая, заданная уравнением 1, пересе- x y 6 4 кает ось Oy в точке А: Вариант 9 а) y kx b, b 0 б) y k x x0 b, b 0 в) y kx г) y b, b 0 а) 2 б) 4 в) 1 а) y 0 б) x 0 в) x y 0 г) y 1 A A B B а) tg 2 2 A1 B1 б) A1 A2 cos B1 B2 A A B B cos в) A1 B1 A2 B2 A A г) tg 2 A1 B1 A2 B2 а) y2x 1 б) y 3x в) y x г) yx 1 B B а) A 64 б) 04 в) A 60 г) 06 A A 31

32 1 Условие двух прямых на плоскости, заданных уравнениями: y k1x b1, y k2x b2: 2 Прямая, заданная уравнением yx 5 составляет с положительным направлением оси Ox угол, равный: 3 Прямая на плоскости, заданная уравнением x 2 0, расположена: 4 Прямые, заданные уравнениями 2x3y 1 и 4x6y 3 расположены на плоскости: 5 Две прямые, заданные уравнениями y2x 0 и 1 y x 0, 2 6 Уравнение прямой, проходящей через точки на M и плоскости 1 1,2 M имеет вид: 2 2,1 Вариант 10 а) k1k2 0 б) 1 2 в) k1k2 1 г) k1 k2 1 а) 60 б) 30 в) 45 г) 90 а) справа от оси Oy б) слева от оси Oy в) совпадает с осью Ox г) совпадает с осью Oy а) перпендикулярно друг другу б) параллельно друг другу в) совпадают друг с другом а) параллельны б) перпендикулярны в) совпадают x1 y1 а) x1 y2 б) x1 y2 в) x1 y1 г)

33 Аналитическая геометрия (Плоскость и прямая в пространстве) Вариант 1 1 Общее уравнение плоскости имеет вид: 2 Плоскость с уравнением 3x 4y z 0 проходит: 3 Какой длины отрезок отсекает плоскость с уравнением 2x 3y 6z 6 от оси Ox : 4 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки,, M x, y, z M1 x1 y1 z 1, 2 и M x, y, z имеет вид: Две плоскости : A1 x B1 y C1z D1 0 : A2 x B2 y C2z D2 0 параллельны, если: 6 Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид: 7 Прямая x x0 y y0 z z0 параллельна плоскости m n p Ax By Cz D 0, если: а) x y z 1 a b c б) Ax By Cz D 1 в) Ax By Cz D 0 а) через начало координат б) параллельно оси Ox в) параллельно плоскости xoy а) 5 б) 1 в) 3 x x y y z z x x y y z z а) б) x x1 y y1 z z1 x x y y z z x x y y z z в) x2 x3 y2 y3 z2 z3 x3 x1 y3 y1 z3 z1 а) A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 б) A1 B1 C1 A2 B2 C2 A A B B C C в) а) x x0 y y0 z z 0 m n p x x0 mt б) Ax By Cz 0 в) y y0 nt z z0 pt а) A B C б) Am Bn Cp 0 m n p в) Am Bn Cp 0 33

34 Вариант 2 1 Уравнение плоскости имеет а) направляющим вид б) нормированным Ax By Cz D 0 Век- в) нормальным тор n A, B, C называется: 2 Уравнением плоскости в отрезках называется уравнение вида: 3 Плоскость с уравнением 3x 4y 7 0 проходит: 4 Угол между двумя плоскостями : A1 x B1 y C1z D1 0 : A2 x B2 y C2z D2 0 находится по формуле: 5 Общие уравнения прямой в пространстве имеют вид: 6 Две прямые с уравнениями 2x y 1 z x 1 y 1 z 1 l1 : l2 : являются: 7 Плоскость с уравнением 3x 2y 3z 5 0 и пря мая x y z являются: а) 0 a b c б) a b c в) 1 a b c а) параллельно оси Ox б) параллельно оси Oz в) через начало координат а) n1 n2 cos б) n1 n2 cos n n n n 1 2 A B C 1 2 в) cos A1 B1 C1 A2 B2 C2 x x y y z z m n p а) б) A1 x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2z D2 0 x x в) 0 y y0 z z0 1 a b c а) параллельными б) перпендикулярными в) совпадающими а) параллельными б) перпендикулярными в) прямая лежит в плоскости 34

35 Вариант 3 1 Уравнение плоскости перпендикулярной вектору б) A x x0 B y y0 C z z0 0 n A, B, C и проходящей а) Ax0 By0 Cz0 D 0 через точку в) M0( x0, y0, z 0) 1 a b c имеет вид: 2 Плоскость с уравнением а) параллельно оси Ox 5x 4 0 проходит: б) параллельно плоскости xoy в) параллельно плоскости yoz 3 Уравнение плоскости вида 1 называется: а) уравнением плоскости в отрезках a b c 4 Плоскости с уравнениями 2x y 3z 1 0 и 4x 2y 6z 5 0 являются 5 x x0 mt Уравнения вида y y0 nt z z0 pt задают: 6 В канонических уравнениях прямой в пространстве x x0 y y0 z z0 m n p m, n, p это: 7 Угол между плоскостью Ax By Cz D 0 и пря- x x y y z z мой m n p находится по формуле: б) общим в) каноническим а) перпендикулярными б) параллельными в) совпадающими а) плоскость, проходящую через т M0( x0, y0, z 0) б) прямую в пространстве в) произвольную кривую а) координаты нормального вектора б) координаты произвольного вектора в) координаты направляющего вектора а) ABC cos A B C б) sin в) cos Am Bn Cp A B C m n p Am Bn Cp A B C m n p 35

36 1 Уравнение плоскости вида Ax By Cz D 0 называется: 2 Уравнение x 0 в пространстве задает: 3 Плоскость с уравнением x y z 4 отсекает от оси Oz отрезок длины 4 Угол между плоскостями A1 x B1 y C1z D1 0 A2 x B2 y C2z D2 0 находится по формуле: 5 Уравнения вида x x0 mt y y0 nt называются: z z0 pt 6 В уравнениях прямой x x0 y y0 z z0 m n p вектор s m, n, p расположен: 7 Плоскость Ax By Cz D 0 перпендикулярна прямой x x0 y y0 z z0 m n p если: Вариант 4 а) каноническим б) основным в) общим а) плоскость оси Ox б) прямую оси Ox в) координатную плоскость yoz а) 4 б) 2 в) 1 а) A1 A2 B1 B2 C1C 2 cos A1 B1 C1 A2 B2 C2 б) A1 B1 A2 B2 cos A B C A B C в) A1 B1C 1 cos A1 B1 C1 A2 B2 C2 а) параметрическими уравнениями прямой в пространстве б) каноническими в) общими а) перпендикулярно относительно прямой б) параллельно прямой в) произвольным образом а) A B C m n p б) Am Bn Cp 0 в) A mb nc p 0 36

37 Вариант 5 1 В уравнении плоскости вида Ax By Cz D 0 A, B, C это координаты: а) направляющего вектора б) нормального вектора в) произвольного вектора 2 Плоскость с уравнением а) параллельно оси Ox 3y 4z 7 0 расположена: б) параллельно координатной плоскости xoy в) параллельно оси Oz 3 Плоскость с уравнением а) 111 б) 1 11 x y z 3 пересекает ось Ox в) 300 в точке с координатами: 4 Две плоскости а) A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 : A1 x B1 y C1z D1 0 б) A1 B1 C1 : A2 x B2 y C2z D2 0 A2 B2 C2 параллельны, если: A B C A B C 5 Уравнение прямой, проходящей через две точки M1( x1, y1, z 1) и M2( x2, y2, z 2) имеют вид: 6 Даны общие уравнения прямой в пространстве A1 x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2z D2 0 Направляющий вектор s этой прямой определяется по правилу: 7 x 2 y z 1 Прямая и плоскость 2x 1,5 y z 1 0 расположены друг относительно друга: в) а) x1 x2 y1 y2 z1 z2 x x y y z z x x y y z z x x y y z z б) x x y y z z x x y y z z в) s A A B B C C а) i j k б) s A B C A B C A B C s A B C в) а) параллельно б) перпендикулярно в) прямая лежит в плоскости 37

38 Вариант 6 1 Уравнение плоскости, проходящей через точку б) Ax0 By0 Cz0 D 0 а) A x x0 B y y0 C z z0 0 M0( x0, y0, z 0) перпендикуляр- в) Ax0 By0 Cz0 0 n A, B, C, имеет но вектору вид: 2 Если плоскость проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид: 3 Плоскость с уравнением 1 пересекает ось a b c Oy в точке с координатами: 4 Плоскости :3x 4y 5z 1 0 и : 6x 8y 10z 2 0 являются: 5 Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения вида: 6 Две прямые : x x y l y z z и m n p : x x y y z l z являются m2 n2 p2 перпендикулярными, если: 7 Расстояние от плоскости : Ax By Cz D 0 до прямой : x x y l y z z, m n p которая параллельна плоскости, находят по формуле: а) Ax By Cz D 0 б) 1 в) a b c Ax By Cz 0 00c а) abc б) в) 0 b 0 а) совпадающими б) перпендикулярными в) параллельными а) x x б) 0 y y0 z z0 a b c m n p в) Ax By Cz D 0 а) ( m1 n1 p1 )( m2 n2 p2) 0 б) m1 m2 n1n 2 p1 p2 0 m1 n1 p1 в) m n p а) d Ax By Cz D A B C б) Am Bn Cp h A B C в) Am Bn Cp h A B C m n p 38

39 1 Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными x, y, z в пространстве задает: 2 Плоскость с уравнением x 0 является: 3 Уравнение плоскости вида 1 называется: a b c 4 Две плоскости : A1 x B1 y C1z D1 0 : A2 x B2 y C2z D2 0 перпендикулярны, если: 5 Параметрическими уравнениями прямой в пространстве являются уравнения вида: вектору 6 Каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (2, 1, 3) параллельно a 3,2,1 являются уравнения: 7 По формуле sin Am Bn Cp н A B C m n p аходится: Вариант 7 а) точку б) поверхность в) плоскость а) координатной осью Ox б) координатной плоскостью yoz в) точкой а) уравнением плоскости в отрезках б) общим в) каноническим а) A1 B1 C1 A2 B2 C2 б) A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 A B C A B C в) x x0 mt а) y y0 nt z z0 pt x x б) 0 y y0 z z 0 m n p в) Ax By Cz D 0 x 2 y 1 z 3 а) б) x y z x 2 2 y 1 z 3 0 в) а) угол между двумя плоскостями б) угол между двумя прямыми в) угол между прямой и плоскостью 39

40 Вариант 8 1 Общим уравнением плоскости а) Ax By Cz D 0 называется равенство вида: x x y y z z 2 Плоскость с уравнением Ax By D 0 проходит: 3 Плоскость с уравнением 1 пересекает ось Ox a b c в точке с координатами: 4 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки A( a1, a2, a 3), C( c, c, c ) имеет вид: 40 B( b1, b2, b 3), Уравнение прямой, проходящей M x, y, z и через две точки M x, y, z имеют вид: 2 6 Две прямые с уравнениями x2 3 t, и x13 t, l1 : y 3 4 t, z 1 2t l2 : y 4 4 t, z 2t являются: 7 Уравнение Ax By Cz D 0 задает плоскость, M0( x0, y0, z 0) - точка не лежащая в плоскости, h, вычисленное по формуле Ax0 By0 Cz0 D h A B C -это б) m n p a b c в) 1 а) параллельно координатной плоскости xoz б) параллельно оси Oz в) через начало координат а) abc б) 00 в) 00c а) б) a x x1 y y1 z z1 x x y y z z x x y y z z x a1 y a2 z a3 b a b a b a c1 a1 c2 a2 c3 a3 в) Ax By Cz D 0 а) x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 x x y y z z б) в) x x y y z z а) пересекающимися б) параллельными в) перпендикулярными а) расстояние от точки M до 0 плоскости б) расстояние от точки M 0 до точки A, B, C в) расстояние между двумя плоскостями

41 1 В общем уравнении плоскости Ax By Cz D 0, A, B, C - это: 2 Плоскость, имеющая уравнение Ax By D 0, проходит: 3 Уравнение плоскости в отрезках это уравнение вида: 4 Две плоскости : A1 x B1 y C1z D1 0 : A2 x B2 y C2z D2 0 параллельны, если: 5 Уравнения, входящие в общие уравнения прямой в пространстве A1 x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2z D2 0 являются: 6 Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(2,3, 1) параллельно вектору m 1,3,1 имеют вид: 7 Если плоскость Ax By Cz D 0 параллельна прямой x x0 y y0 z z0, то m n p Вариант 9 а) координаты любой точки б) координаты нормального вектора в) координаты направляющего вектора а) параллельно плоскости xoy б) перпендикулярно плоскости zoy в) параллельно оси Oz а) Ax By Cz D 0 б) 0 в) 1 a b c a b c A а) 1 B1 C1 A2 B2 C2 б) A1 B1 C1 A2 B2 C2 0 в) A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 а) уравнениями двух плоскостей б) уравнениями двух прямых в) уравнениями произвольных поверхностей x2 t, а) y 3 3 t, б) x 2 y 3 z z 1 t x 1 2 t, в) y 3 3 t, z 1 t а) A B C б) Am Bn Cp 0 m n p в) m n p A B C 41

42 1 Уравнение плоскости, проходящей через точку M0( x0, y0, z 0) перпендикулярно вектору n A, B, C, имеет вид: 2 Плоскость с уравнением By D 0 проходит: 3 Плоскость с уравнением 1 проходит через точку с коор- a b c динатами: 4 Уравнения прямой вида x x0 y y0 z z0 m n p называют: 5 Две прямые : x x y l y z z и m n p : x x y y z l z m2 n2 p2 являются перпендикулярными, если: 6 Угол между двумя плоскостями с нормальными векторами n 1 и n 2 вычисляются по формуле: 7 Расстояние от точки M0( x0, y0, z 0) до плоскости Ax0 By0 Cz0 D 0 вычисляется по формуле: Вариант 10 а) A x x B y y C z z б) A B C в) x x 0 y y 0 z z 0 A B C а) параллельно оси Oy б) параллельно оси Ox в) параллельно координатной плоскости xoz a 00 а) в) a b c abc б) а) параметрическими б) общими в) каноническими а) m1 n1 p1 m2 n2 p2 б) m1 m2 n1n 2 p1 p2 0 в) m1 n1 p1 m2 n2 p2 ( )( ) 0 а) 1 2 cos n n n n 1 2 в) 1 2 cos n n n n 1 2 а) Ax By Cz D d в) Ax By Cz d A B C б) n1 n2 cos n n 1 2 б) Ax By Cz D d A B C 42

43 СОДЕРЖАНИЕ Аналитическая алгебра 3 Векторная алгебра 13 Аналитическая геометрия (прямая на плоскости) 23 Аналитическая геометрия (плоскость и прямая в пространстве) 33 43


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия

Кафедра высшей математики. Дудникова Т.В., Караваева Н.Н. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел: Аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал) Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Государственный

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n

ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ D D. j j МАТРИЦЫ. , если C. Случаи решения системы уравнений: 1. Система имеет единственное решение, если RgA Rg A m n ОПЕРЕДЕЛИТЕЛИ Правило: Определитель -го порядка вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагонали. Алгебраическое дополнение элемента il Определитель: det A ij A ij i j : A ij

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов. Утверждены на заседании кафедры «13» февраля 2012 г.

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов. Утверждены на заседании кафедры «13» февраля 2012 г. Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра «Экономическая теория и моделирование экономических процессов» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее