ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ"

Транскрипт

1 ISSN Уфимский математический журнал. Том 9. 4 (7). С УДК ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ Р.А. ГАЙСИН Посвящается столетию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Алексея Федоровича Леонтьева Аннотация. Изучается интерполяционная задача в классе целых функций экспоненциального типа, определяемом некоторой мажорантой из класса сходимости (неквазианалитической мажорантой). В более узком классе, когда мажоранта обладала свойством вогнутости, аналогичная задача ранее рассматривалась Б. Берндсоном, но с узлами в точках некоторой подпоследовательности натуральных чисел. Им был получен критерий разрешимости данной интерполяционной задачи. При этом он впервые применил метод Хёрмандера решения -задачи. В работах А.И. Павлова, Я. Коревара и М. Диксона интерполяционные последовательности в смысле Б. Берндсона успешно применялись в ряде задач комплексного анализа. При этом была обнаружена некоторая связь с аппроксимативными свойствами систем степеней {z p } и с известными задачами Полиа и Макинтайра. В статье установлен критерий интерполяционности в более общем смысле для произвольной последовательности действительных чисел. При доказательстве основной теоремы применяется модифицированный метод Б. Берндсона. Ключевые слова: интерполяционная последовательность, целая функция, класс сходимости. Mahemaics Subjec Classificaio: 3E5. Введение Пусть L класс всех непрерывных на R + функций l = l(x), таких, что < l(x) при x, w(x) { W = w L : x dx <, Ω = ω W : ω(x) } при x. x Множество W принято называть классом сходимости, а функции w из W весами (неквазианалитическими весами). R.A. Gaisi, Pavlov-Korevaar-Dixo ierpolaio problem wih majora i covergece class. c Гайсин Р.А. 7. Работа поддержана РФФИ (грант 5--66). Поступила 4 сентября 7 г.

2 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА... 3 Определение ([]). Пусть {p } возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность {p } называется интерполяционной в смысле Павлова- Коревара-Диксона, если найдется функция ω Ω, зависящая только от последовательности {p }, такая, что для любой последовательности {b } комплексных чисел, b, существует целая функция f, обладающая свойствами: ) f(p ) = b ( ), ) M f (r) = max z r f(z) eω(r). Пусть Λ = {λ } произвольная последовательность действительных чисел, < λ. Последовательность Λ будем называть интерполяционной, если найдется функция w W, зависящая только от этой последовательности, такая, что для любой последовательности {b } комплексных чисел, b, существует целая функция f, обладающая свойствами ) и ), но с функцией w. Условия, необходимые и достаточные для интерполяционности последовательности {p } (p N) в классе Ω были получены в работе []. Цель статьи доказать критерий интерполяционности последовательности Λ = {λ } в классе функций W.. Вспомогательные утверждения Пусть () = λ считающая функция последовательности Λ, а N() = (x) x dx. Не умаляя общности, будем считать, что λ =. Это несколько упростит выкладки в дальнейшем. Справедлива следующая Лемма. Пусть τ = mi λ, h = mi(τ, ), k k { K = ξ : h 4 ξ λ h } Тогда в кольцах K верны оценки: ) sup z k λ ; Доказательство. Пусть z K. Имеем z λ = + λ z λ ( ). ) sup + z k + λ 4 3. (k ). Так как λ z h Значит, для z K, λ h (k ), то z λ 3. z λ 3

3 4 Р.А. ГАЙСИН и sup k z λ. Аналогично проверим ). Имеем + z + λ = + z λ + λ. Поскольку то Значит, Лемма доказана. Имеет место z λ + λ h ( + λ ) 4, z + λ 5 4. sup k + z + λ 4 3. Лемма. Для всех z из K ( ) z + h + λ. Доказательство. Имеем z = + z + λ z λ λ. Так как Re z > для всех z K ( ), а λ =, то < + z ( + λ ) + h 5 λ λ. λ λ Далее, h λ z 4λ λ h <. λ Следовательно, λ z λ h 4λ h + 4λ ( ). Таким образом, для всех z K ( ) z + h + λ. Требуемая оценка получена. λ Пусть последовательность Λ имеет конечную верхнюю плотность lim = τ <. λ Тогда q(z) = целая функция экспоненциального типа. ( z = λ

4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА... 5 Оценим функцию q(z) в кольцах K. Для любого фиксированного q(z) = z + z + + z + λ + λ >λ λ λ λ λ () z = z + Σ + Σ + Σ 3 (в суммах Σ i (i =,, 3) считаем, что λ ). Оценим сумму Σ. Для λ имеем: z = z = + z = = + z λ + λ. Далее, λ k = λ λ λ λ () d () (k ), (3) где () считающая функция последовательности Λ = Λ {λ }. Интегрируя по частям, из (3) получаем = N (λ ) (λ ) λ, (4) λ λ где (x) N () = x dx. Выясним теперь, чему равна сумма λ (k ). Для этого заметим, что λ λ λ λ λ = λ dν(λ ; ) (k ), (5) где ν(λ ; ) число точек λ из отрезка {h : h λ }. Интегрируя по частям интеграл Стилтьеса (5), последнее равенство запишем в виде λ λ λ = ν(λ ; λ ) λ Учитывая соотношения (), (4), (6), получаем, что где Σ = N (λ ) (λ ) M = λ λ λ z λ λ ν(λ ; ) d. (6) ν(λ ; ) d + M, (7) (k ). Приступим к оценке Σ. Поскольку + z ( = + λ + + z + λ,

5 6 Р.А. ГАЙСИН то где Но < λ λ Σ = λ λ M + = ( + λ = + λ λ Следовательно, из (8), (9) получаем, что Тогда, учитывая лемму, имеем: λ λ λ ( + λ + M +, (8) + z + λ. ( + λ d () = (λ ) 3 + () ( + λ ) d (λ ) 3 + N (λ ). Σ (λ ) 3 + N (λ ) + M +. Σ (λ ) 3 + N (λ ) + (λ ) 4 3, (9) то есть Σ (λ ) + N (λ ). () Осталось оценить Σ 3. Поскольку в этой сумме при z K z λ + h λ = + h 4λ 3 4, то r >, и где r = z, () = Σ 3 = λ z d() ( r d(),. Отсюда получаем, что λ Σ 3 (λ ) ( r r () 4λ ( r ) d. λ Отбрасывая первое выражение (в силу сказанного, оно положительно), имеем: С другой стороны, Σ 3 r Σ 3 λ λ () ( r ) d. ( + r d().

6 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА... 7 Отсюда аналогично получаем (подстановка отрицательна) Поэтому в итоге Так как r λ + λ, то Σ 3 r Σ 3 r λ λ () ( + r ) d. r r 4 λ + λ + λ r. () d. ( r () ) Поскольку r λ + +, то r ( r) ( ). Следовательно, учитывая неравенство λ, получаем + λ r 5 5 λ 5. λ Таким образом, из () окончательно имеем: где M q (r) = max z =r q(z). Учитывая (), (7) запишем λ Σ 3 4λ λ () ( + λ ) d M q(λ ), () λ q(z) = z ν(λ ; ) d + N (λ ) (λ ) + M + Σ + Σ 3, z K. Следовательно, для z K λ q(z) ν(λ ; ) d z λ + N (λ ) + (λ ) + M + Σ + Σ 3. Отсюда, учитывая леммы,, оценки (), (), окончательно получаем, что λ q(z) ν(λ ; ) d + h + λ + N (λ ) + (λ ) 8 + M q (λ ). Полученное сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема. Пусть последовательность Λ = {λ } ( = λ < λ ) имеет конечную верхнюю плотность, h = mi(mi λ, ), k Тогда в кольцах K = q(z) = ( z k= λ k. { ξ : h 4 ξ λ h }

7 8 Р.А. ГАЙСИН верна оценка q(z) λ ν(λ ; ) d m(λ ), где ν(λ ; ) число точек λ из отрезка {h : h λ }, m(λ ) = + λ + h + (λ ) 8 + N(λ ) + M q (λ ). Следствие. Если то для z K = λ <, и для некоторой функции w W h w (λ ) ( ), q(z) где w какая-то функция из W. r ν(z; ) d w (r), Мы воспользовались хорошо известным фактом, что сходимость ряда равносильна сходимости интегралов [], [3]: (r) r dr, Сделаем одно замечание. Так как λ = λ λ, k λ λ N(r) dr, r то для Σ (λ ) и A верны соотношения: A = ( λ Так что имеет место λ Лемма 3. Верна оценка λ λ k λ λ λ + λ M q (r) dr. r λ = λ λ = Σ (λ ) + A, ( + λ M λ q (λ ), k λ ν(λ ; ) Σ (λ ) = d + N (λ ) (λ ). ν(λ ; ) d (λ ) + N(λ ) + M q (λ ), где ν(λ ; ) число точек λ из отрезка {h : h λ }. В дальнейшем нам понадобится и следующая Лемма 4. Пусть w W. Тогда функция v(z) = w * ( z ), где w * (r) = ( + r dw(), r = z, субгармоническая в C.

8 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА... 9 Доказательство. Заметим, что v(z) u(z) z dw(), причем u субгармоническая в C функция (см., например, в [4]). Возьмем произвольную точку z C и выберем w на мнимой оси так, что w = z. Так как z = w e αi, то π π v(z + ρe iφ )dφ = π π+α α v [ e αi (w + ρe iψ ) ] dψ, ψ = φ + α. Поскольку функция f(ψ) = v [ e αi (w + ρe iψ ) ] π-периодична, а v(z) = v( z ), то имеем: π π v(z + ρe iφ )dφ = π Далее, для любого ρ > (u субгармонична в C) π π v(w + ρe iψ )dψ π Отсюда и следует субгармоничность функции v. π π v(w + ρe iψ )dψ. u(w + ρe iψ )dψ u(w ) = v(z ). 3. Критерий интерполяционности последовательности Λ Пусть Λ = {λ }, < λ, lim Справедлива следующая λ = τ <. Теорема. Для того чтобы последовательность Λ была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция w W, такая, что а) < ; б) λ λ w(λ ) ( ). = λ < <λ k Отметим, что из леммы 3 и условий а), б) следует, что ( ) h w (λ ) ( ), где h = mi mi λ,, w некоторая функция из класса W. k k Доказательство достаточной части теоремы основано на одной теореме существования Хёрмандера для -уравнений. Приведем формулировку этой теоремы. Теорема 3. Пусть φ = φ(z) функция, субгармоническая в C, g C (C). Тогда существует решение u C (C) уравнения u = g, удовлетворяющее условию z u e φ ( + z ) dλ g e φ dλ, (3) C при условии, что правая часть конечна (λ мера Лебега). C

9 3 Р.А. ГАЙСИН Доказательство. Докажем сначала д о с т а т о ч н о с т ь теоремы. Для этого возьмем функцию ψ C, такую, что ψ(z) = при z < 4 и ψ(z) = при z >. Положим ( z A(z) = b Ψ (z λ ), Ψ (z) = ψ = ({b } любая заданная последовательность комплексных чисел, b ). Поскольку A(z) = b k Ψ k (z ) для z B k = {z : z < h k }, и A(z) = для z из внешности объединения кружков B ( ), то, очевидно, A C. Далее, так как λ h при k, то A( ) = b k ψ() = b k (k ). Пусть φ(z) = z + v(z), = где v субгармоническая функция, которая будет выбрана позже. Так как последовательность Λ имеет конечную верхнюю плотность, то ( ) z целая функция экспоненциального типа, и φ является субгармонической функцией. λ Имеем: M φ (r) = max φ(z) ( + r + M v (r). z =r Далее, = ( + r = λ = λ λ h ( + r d(). (4) Интегрируя по частям интеграл Стилтьеса (4) и учитывая, что () при, получаем: ( + r d() = r () ( + r ) d w (r). Проверим, что w W. Действительно, полагая = sr, имеем: w (r) = /r (sr) s(s + ) ds, откуда видно, что w возрастающая функция. Так как w (r) () dr = dr d π r + r () d <, то w W. Построим субгармоническую функцию v так, чтобы величина M v (r) (максимум модуля функции v) допускала оценку сверху через некоторую функцию из класса W, и при этом правая часть в (3) для g = A была конечной. Пусть K = z { ξ : h 4 < ξ λ < h } ( ). Заметим, что кольца K ( ) попарно не пересекаются. Это следует из того, что h + h + λ + λ ( ).

10 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА... 3 Имеем: + C = K A ξ A ξ e φ dλ = e φ dλ + {ξ: ξ λ > h } = {ξ: ξ λ < h 4 } A ξ A ξ e φ dλ+ e φ dλ. (5) Первый и последний ( из ) интегралов справа в равенстве (5), очевидно, равны нулю. ξ λ Далее, A(ξ) = b ψ h для ξ K. Считая, что ψ = ψ(w, w), где w = x + iy = ξ λ h, ( ) получаем: ψ = ψ w = ψ ξ w ξ w h. Отсюда имеем: ψ ξ = ψ h x + i ψ y ψ h x, ξ K. Поскольку b, то где C T = h A ξ e φ dλ C T, K e v(ξ) а C = max ψ. x x Для каждого фиксированного и ξ K p(ξ) = ξ = ξ k= λ k λ λ k = ξ k= λ < <λ k λ k ξ λ k dλ(ξ), λ ξ ξ. Так как Re ξ > для ξ K ( ), то + ξ. (6) λ k λ Далее, для λ ξ ξ λ k λ k [ 4 ] (7) λ для λ +, то есть при. Учитывая оценки (6), (7), получаем, что для ξ K,, p(ξ) ξ ξ ξ. (8) λ < <λ k λ Применяя лемму, для ξ K ( ) имеем: ξ = λ ξ λ λ (k ). (9) λ k λ

11 3 Р.А. ГАЙСИН Оценим теперь величину ξ λ для ξ K : ξ λ h ξ + λ 4 λ Но из условий а) и б) следует, что (см. выше) h e w (λ ) ( ), h 4λ. где w некоторая функция из класса W. Значит, для ξ K ( ) ξ e w (λ ), w W. () λ Требуемая оценка через функцию из W для первого произведения в (8) легко следует из условий а) и б), если учесть (9). Осталось оценить произведение ξ. Имеем : Пусть Имеем: λ C ξ = ξ d() λ w 3 (r) r w 3 (r) dr = r r = s s λ k λ λ d() C λ r (sr) s 3 (x) x () 3 d = ds dr = dx ds λ () d. 3 (sr) ds. s 3 s 3 (sr) r (x) dx <. x λ dr ds = Так как p(ξ) β > на K, то отсюда и оценок (8) (), условий а), б) теоремы окончательно получаем, что существует функция w 4 W, такая, что для всех Положим w * (r) = ( ) ξ λ+ Поскольку ( ) λ + 4λ < 3, то ( ξ ξ λ k () p(ξ) e w 4(λ ), ξ K. () ( + r так как функция φ(α) = ( α) + 3α возрастает при α < 3 ξ C dw * 4() + (w * 4() + ) ( + r ), 3 ξ, ξ. Но λ 3 при ξ K ( ), поэтому λ, C = 7 4.

12 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА где w 4 * = w 4 + w. Тогда при некотором C > v(z) = Cw * ( z ) искомая функция. Действительно, по лемме 4, v является субгармонической в C функцией, а величина M v (r) = Cw * (r), как мы видели выше с функцией w, представляет собой функцию из класса W. Остается показать, что T <. Учитывая оценку () и определение функции v, имеем: T h K C 3 = 3 π. Заметим, что 6 а также Следовательно, = e Cw*( ξ )+w4(λ) dλ(ξ) C 3 exp [ w (λ ) + w 4 (λ ) Cw * (λ ] ), w * (r) = r w 4() * ( + r ) d + ( + r ) r w 4(r) * T C 3 = = w * (λ ) w * (λ M ( ). ) e C M w* (λ )+w * 4 (λ) C 3 = r d ( + r ) w* 4(r), e ( C M +4)w* (λ ). Из определения функции w * (r) следует, что w * (r) (w * 4() + ) ( + r ), поэтому T C 3 = = ( + λ ) C 4, где C 4 = ( C M 4) (w * 4() + ), C постоянная из определения функции v. Так как последовательность Λ = {λ } имеет конечную верхнюю плотность, то последний ряд сходится, если C 4 >. Для этого достаточно взять C > 5M. Как уже говорилось выше, M v (r) = Cw * (r), w * W. Значит, M φ (r) w 5 (r), (3) где w 5 = w + Cw * функция из класса W. Мы собираемся применить теорему 3 для g = A. Поскольку функция φ выбрана так, z что e φ имеет неинтегрируемую особенность в каждой точке λ, должно быть u(λ ) = ( ). Рассмотрим уравнение u z = A z, u(λ ) = ( ). (4) Положим f = A u, где u решение уравнения (4) (оно существует по теореме Хёрмандера). Ясно, что f целая функция и f(λ ) = b ( ). Так как f субгармоническая во всей плоскости, то для любого ρ >, в частности, при ρ r [5, гл.i, п.6] f(z) πρ ξ z ρ f(ξ) dλ(ξ) < ξ r f(ξ) dλ(ξ), r = z.

13 34 Р.А. ГАЙСИН Поскольку f ( A + u ), имеем: f dλ A dλ + u dλ z r 8πr + z r z r e φ z r u ( + z ) ( + z ) e φ dλ. Применив к последнему интегралу оценку (3) из теоремы Хёрмандера, получим: f dλ 8πr + exp { ( + 4r ) + M φ (r) } g e φ dλ. C z r Учитывая сходимость последнего интеграла и оценку (3), заключаем, что f(z) C 5 e w 6( z ), где w 6 W. Последнее означает, что функция f = A u решает интерполяционную задачу. Достаточность теоремы доказана. Докажем н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Λ = {λ } интерполяционная последовательность и w функция из класса W, существование которой утверждается в определении. Сначала выберем целую функцию f, которая решает интерполяционную задачу для b = и b = ( > ). Из неравенства Йенсена, используя свойство ) интерполяционной последовательности, получаем (r) M f (er) w(er). Как уже говорилось в, сходимость интеграла равносильна условию = (r) r dr λ <. Для того чтобы доказать условие б), зафиксируем и выберем такую целую функцию f, которая решает интерполяционную задачу для b = и b k = (k ). Справедливо представление f(z) = ( zλk G(z), (5) λ < <λ, k где G целая функция (если ни одно из (k ) ( λ не попало в интервал ), λ, то считаем, что G = f). Для λ < λ k < λ имеем: z 4λ, z = 4λ. Отсюда следует, что G(z) f(z), z = 4λ. По принципу максимума модуля, G(λ ) M G (4λ ) M f (4λ ) e w(4λ). (6)

14 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С другой стороны, из (5) следует, что G(λ ) = λ < <λ, k ( λ, (7) поскольку f(λ ) =. Из соотношений (6), (7) окончательно получаем: λ w(4λ ), где w функция из класса W. Теорема доказана полностью. λ < <λ, k Автор выражает благодарность профессору А.М. Гайсину за указание на работу Б. Берндсона, а участникам семинара по теории функций за полезное обсуждение. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Berdsso B. A oe o Pavlov-Korevaar-Dixo ierpolaio // Idag. Mah V P Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, с. 3. Гайсин А.М. Целые функции: основы классической теории с приложениями к исследованиям по комплексному анализу. Уфа: РИЦ БашГУ, 6. 6 с. 4. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функциональный анализ и его приложения Т.. 4. С Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, с. Рашит Ахтярович Гайсин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 3, 4577, г. Уфа, Россия


ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ ISSN 274-863 Уфимский математический журнал. Том 7. 4 (25). С. 5-24. УДК 57.53 ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ДЛЯ K-ПОРЯДКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ Н.Н. АИТКУЖИНА, А.М. ГАЙСИН Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича

Подробнее

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА ISSN 274-863 Уфимский математический журнал. Том 7. 2 (25). С. 66-72. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА УДК 57.53 Р.А. ГАЙСИН Аннотация. Вводится понятие сильной регуляризации положительных

Подробнее

В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус

В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2002. Том 43, 6 УДК 57.53 В УСТОЙЧИВОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА АДАМАРОВСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ДВУХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ А. М. Гайсин, Т. И. Белоус Аннотация: Найден критерий

Подробнее

ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ В СЛУЧАЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ. II А. М. Гайсин, Д. И. Сергеева

ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ В СЛУЧАЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ. II А. М. Гайсин, Д. И. Сергеева Сибирский математический журнал Март апрель, 28. Том 49, 2 УДК 57.53 ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ В СЛУЧАЕ НЕРЕГУЛЯРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ. II А. М. Гайсин, Д. И. Сергеева Аннотация. Изучаются

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина Сибирский математический журнал Март апрель, 202. Том 53, 2 УДК 57.53+57.537.7 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ НА КРИВЫХ РЯДА ДИРИХЛЕ С ПРАВИЛЬНОЙ МАЖОРАНТОЙ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК Н. Н. Аиткужина Аннотация.

Подробнее

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ, ИМЕЮЩИЕ ПРАВИЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ. I А. М. Гайсин, Д. И.

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ, ИМЕЮЩИЕ ПРАВИЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ. I А. М. Гайсин, Д. И. Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 27. Том 48, 5 УДК 517.53 ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ, ИМЕЮЩИЕ ПРАВИЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ. I А. М. Гайсин, Д. И. Сергеева

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский Сибирский математический журнал Июль август, 2005. Том 46, 4 УДК 517.53 УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 4А Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)), где p, q >

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА. 1. Заряды

Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА. 1. Заряды Семинар Лекция 4 ТЕОРЕМА РАДОНА НИКОДИМА Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)), где

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (2013). С. 84-90. УДК 517.5 ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости

Подробнее

k=1 Продолжая подобные рассуждения, получим неравенство (3.1) для любого конечного n. Для n = воспользуемся предельным переходом. Очевидно, что ( n=1

k=1 Продолжая подобные рассуждения, получим неравенство (3.1) для любого конечного n. Для n = воспользуемся предельным переходом. Очевидно, что ( n=1 3. СХОДИМОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА Прежде чем доказывать утверждения, связанные со сходимостью с вероятностью единица, докажем две леммы общего характера. Лемма 3.. Для любого счётного набора событий

Подробнее

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1).

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1). Тема 11 Доказательство теоремы Канторовича теорема 9.1). Мы разобьем доказательство теоремы 9.1 на несколько шагов. Напомним, что мы уже доказали неравенство см. лемму 9.3. sup Jφ, ψ) inf Kπ), Φ c C b

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports S e MR ISSN 83-334 СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reorts htt://semr.math.nsc.ru Том 5, стр. 284 29 28 УДК 57.925 DOI.7377/semi.28.5.4 MSC 34A9 О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ

Подробнее

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева

Лекция 10 ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ. 1. Теорема вложений С. Л. Соболева Лекция ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЙ.. Теорема вложений С. Л. Соболева Теорема. Имеют место непрерывные вложения: W,p () L p () при N > p, p = Np N p, W,p () C ( ) при N < p. В частности,

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Построение специальных целых функций экспоненциального типа

Построение специальных целых функций экспоненциального типа Доклады Башкирского университета. 2016. Том 1. 1 27 Построение специальных целых функций экспоненциального типа О. А. Кривошеева Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан,

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич

О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич Сибирский математический журнал Май июнь, 003. Том 44, 3 УДК 517.53 О ВЛИЯНИИ АРГУМЕНТОВ КОЭФФИЦИЕНТОВ СТЕПЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ НА РОСТ ЕЕ МАКСИМУМА МОДУЛЯ П. В. Филевич Аннотация: Исследован

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения.

Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения. Лекция 10. Пространства С. Л. Соболева. Компактные вложения. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 17 апреля 2012 г. Теорема Реллиха Кондрашова

Подробнее

ПРИМЕР C 1 ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ, МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТА КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ДУГОЙ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ НИ В ОДНОЙ ТОЧКЕ М. В.

ПРИМЕР C 1 ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ, МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТА КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ДУГОЙ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ НИ В ОДНОЙ ТОЧКЕ М. В. Сибирский математический журнал Январь февраль, 2008 Том 49, УДК 5795 ПРИМЕР C ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ, МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТА КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ДУГОЙ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ НИ В ОДНОЙ ТОЧКЕ М В Коробков

Подробнее

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ КЛАССОВ L p И W 1 p ПРИ p 1. В.А.Ильин, А.А.Кулешов В этой работе мы сначала устанавливаем в явном аналитическом виде существование в прямоугольнике

Подробнее

ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ

ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 6. 1 (2014). С. 75-83. УДК 517.5 ТЕОРЕМА КОШИ АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ С.Г. МЕРЗЛЯКОВ Аннотация. В данной статье изучается связь роста коэффициентов

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Лекция 3 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции

Лекция 3 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции Лекция 3 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА Интеграл Лебега, конечно, строится не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем писать

Подробнее

Обобщенная теорема Стоуна-Вейрштрасса

Обобщенная теорема Стоуна-Вейрштрасса Лекция 3 Обобщенная теорема Стоуна В предыдущей лекции рассматривалась теорема, дающая ответ на вопрос о возможности точного представления функции многих переменных функциями одного переменного Оказалось,

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. Г. Липчинский, Условия сходимости интерполяционных рациональных дробей с конечным числом полюсов, Сиб. матем. журн., 205, том 56, номер 3, 557 572 DOI:

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА ISSN 274-863 Уфимский математический журнал Том 2 (2) С -8 УДК 575 ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КОШИ-РИМАНА АЮ ТИМОФЕЕВ Аннотация Изучаются весовые пространства функций, возникающие

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ;

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ; Лекция 7 ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ В этой лекции мы изучим свойства потенциала простого слоя при N 3.. План лекции. Потенциал простого слоя. 2. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя. 3. Формулы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕЙЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕЙЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕЙЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Введение. Рассмотрим функции представимые в виде свертки a f ( x) D ( x ) h( ) d () функции h с ядром Вейля

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев

О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2002. Том 43, 5 УДК 517.5 О ПОРОЖДАЮЩИХ В ИДЕАЛАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И ТИПА В ПЛОСКОСТИ А. С. Кривошеев, С. Н. Ганцев Аннотация: Изучаются

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

4 Ряды аналитических функций

4 Ряды аналитических функций 4 Ряды аналитических функций 4. Функциональные последовательности Пусть Ω C и f n : Ω C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно к функции f : Ω C, если для каждого z Ω lim n f n(z) = f(z).

Подробнее

Дифференцирование внешних мер.

Дифференцирование внешних мер. Тема 7 Дифференцирование внешних мер. В этом разделе мы определим операцию дифференцирования одной внешней меры по другой и докажем ряд формул, являющихся аналогами интегрально-дифференциального исчисления

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Б. Г. Гребенщиков, Построение почти периодических решений для одной системы с линейным запаздыванием, Сиб. матем. журн., 216, том 57, номер 5, 112 12 DOI:

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

ϕ монотонно возрастают при изменении

ϕ монотонно возрастают при изменении ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что ( ) π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i( ) и k ( ) +, т. е. вектор ( i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств Семинар Лекция 9 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N,N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово. 2. (Следствие.) Для любого нормированного

Подробнее

Лекция 14 МЕТОД ГАЛЕРКИНА И КОМПАКТНОСТИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Введение. 2. Нелинейное гиперболическое уравнение

Лекция 14 МЕТОД ГАЛЕРКИНА И КОМПАКТНОСТИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. 1. Введение. 2. Нелинейное гиперболическое уравнение Лекция 14 МЕТОД ГАЛЕРКИНА И КОМПАКТНОСТИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В данной лекции мы рассмотрим один из самых мощных методов нелинейного анализа метод компактности. Данный метод применим ко всем трем

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью Теорема 1. Пусть B банахово пространство с нормой.. Пусть функция

Подробнее

Библиографический список

Библиографический список 107 Библиографический список 1. Кожегельдинов С. Ш. Ал-хусайново уравнение x 4 + y 2 = z 2 // Мат. заметки, 2011. Т. 89, вып. 3. С. 365 377. 2. Поляков В. Н. О некоторых диофантовых уравнениях // Чебышевский

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года.

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года. Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года Задача 1 Докажите, что функции f(x) = arctg x и g(x) = arctg 1+x отличаются на

Подробнее

TЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА CОБОЛЕВА МОРРИ. СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ А. М. Наджафов

TЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА CОБОЛЕВА МОРРИ. СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ А. М. Наджафов Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, 3 УДК 57.58 TЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА CОБОЛЕВА МОРРИ Sp,a,κ,τW l G С ДОМИНИРУЮЩИМИ СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ А. М. Наджафов Аннотация:

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЭЛИ-ВИНЕРА ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЭЛИ-ВИНЕРА ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ ISSN 74-863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (3). С. 3-37. УДК 57.5 ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПЭЛИ-ВИНЕРА ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ Б.В. ВИННИЦКИЙ, В.Н. ДИЛЬНЫЙ Аннотация. В работе рассматривается

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА Лекция 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА 0. План лекции 1. Сильный принцип максимума для гармонических функций. 2. Принцип максимума модуля гармонической функции. 3. Единственность классического решения задачи Дирихле.

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ.

ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. 3 (2013). С. 96-120. УДК 517.5 ЗАМКНУТОСТЬ МНОЖЕСТВА СУММ РЯДОВ ДИРИХЛЕ. А.С. КРИВОШЕЕВ, О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе рассматриваются ряды Дирихле.

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ ISSN 74-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. (13). С. 3-11. УДК 517.968 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ НА ОТРЕЗКЕ С.Н. АСХАБОВ, А.Л. ДЖАБРАИЛОВ Аннотация. Методом потенциальных

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей Семинар Лекция 4 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале.

Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале. Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о горном перевале. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 30 сентября 2011 г. Введение В этой лекции мы рассмотрим важный в приложениях

Подробнее

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Москва 3 УДК 57.937 ББК B6.6 Ф76 Рецензенты: Доктор физико-математических наук профессор директор Института физики

Подробнее

О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Б. И. Пелешенко

О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Б. И. Пелешенко Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 517.948.5 О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Б. И. Пелешенко Аннотация: Доказана эквивалентность

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПРЕДПИСАННЫМИ ПОЛЮСАМИ А. В. Олесов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПРЕДПИСАННЫМИ ПОЛЮСАМИ А. В. Олесов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 010. Том 51, 6 УДК 517.53+517.518.86 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПРЕДПИСАННЫМИ ПОЛЮСАМИ А. В.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее