Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА"

Транскрипт

1 Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2 Глава МЕТОД КООРДИНАТ Рассмотрим способ, который позволяет определять положение точек на плоскости с помощью чисел и называется методом координат НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ Определение Упорядоченная пара точек А и В называется направленным отрезком АВ Первая точка А называется началом направленного отрезка АВ, а вторая точка В его концом (рис ) В обозначении направленного отрезка АВ порядок точек определяется порядком их записи: B А первая точка, В вторая Если точки А и В различны, то направленный отрезок АВ называется A ненулевым, а если точки А и В совпадают, то Рис направленный отрезок АВ называется нулевым Определение Осью l называется прямая линия, на которой фиксировано положительное направление стрелкой и выбран масштабный отрезок Определение Координатой ненулевого направленного отрезка АВ, лежащего на оси l, называется число, модуль которого равен длине направленного отрезка АВ, измеренной масштабным отрезком оси l; оно положительно, если направленный отрезок АВ и ось l имеют одинаковое направление, и отрицательно в противном случае Определение Осью координат называется ось, на которой фиксирована точка O, называемая началом координат Определение Координатой точки M, лежащей на оси координат, называется координата направленного отрезка OM (рис, а, б) O а M Рис ТЕОРЕМА Координата направленного отрезка АВ, заданного двумя точками А(х ) и В(х ) оси координат, вычисляется по формуле M O б

3 Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определений ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат: горизонтальную и вертикальную, имеющие началом точку пересечения O и равные единицы масштаба для измерения длин Положительные направления осей выбираются так, что поворот оси O на угол в положительном направлении, те в направлении, противоположном вращению часовой стрелки, совмещает полуось положительных значений с полуосью положительных значений Горизонтальная ось называется осью O или осью абсцисс, вертикальная осью O или осью ординат Построенная таким образом система координат называется декартовой прямоугольной системой координат на M M плоскости Пусть M произвольная точка O M плоскости, не лежащая ни на одной оси координат Опустим из точки M Рис перпендикуляры на оси координат Обозначим точки пересечения с осью O М, а с осью O М (рис ) Точки М и М ортогональные проекции точки M на оси координат Пусть координата точки М на оси O, а координата точки М на оси O Числа и называются декартовыми координатами точки М Первая координата II (, +) I (+,+) абсцисса точки М, вторая координата ордината точки М Точка М с координатами, обозначается M(; ) При помощи III (, ) IV (+, ) декартовой системы координат на плоскости устанавливается взаимно однозначное Рис соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар чисел Координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части (рис ), называемые четвертями Четверти нумеруются по определенному правилу Точки, лежащие в каждой из них, характеризуются знаком своих координат Ординаты точек, лежащих на оси О, равны нулю (=) Абсциссы точек, лежащих на оси O, равны нулю (=) Расстояние между двумя точками на плоскости

4 ТЕОРЕМА Расстояние d между точками А(х ) и В(х ) оси координат, вычисляется по формуле d ТЕОРЕМА Для любых точек M ( ; ) и M ( ; ) плоскости расстояние d между ними определяется формулой ) ( ) d ( х () ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Под расстоянием между двумя точками на плоскости понимаем длину отрезка M M По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ММ М имеем (рис ) d M M M MM, M M Таким образом, расстояние между двумя точками M ; и M ; на плоскости вычисляется по формуле () П р и м е р Определить расстояние между точками A(;8) иb( ;) Р е ш е н и е Воспользовавшись формулой (), получим M M M ; d ( ) ( 8) 6 6 Деление отрезка в данном отношении Пусть задан отрезок MN, то есть заданы координаты начальной и конечной его точек: ; N и ; Возьмем точку С C N на MN Будем говорить, что точка С делит отрезок MN в M C отношении λ λ, если MC λ Найдем координаты M C N CN Рис 6 точки С Проведем через т М и т С отрезки, параллельные оси O, а через т С и т N отрезки, параллельные оси O Очевидно, что треугольник MCC подобен треугольнику CN N и, следовательно, справедлива пропорция MC CN MC CN M Рис M M 6

5 Так как MC MC, а CN CN, то λ Отсюда λ λ () Аналогично выводится формула для ординаты точки С λ λ () Вывод формул () и () осуществлен для случая, В других вариантах вывод формул для координаты точки С получается аналогично Вычисление площади треугольника Пусть даны вершины треугольника A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) (рис 7) Пусть В СА d, СB d и ψ угол между отрезками А θ CA и CB Площадь треугольника равна θ половине произведения длин двух сторон на С синус угла между ними, следовательно, S O d d sinψ θ Пусть θ угол между CA и осью O, угол между CB и осью O Так как Рис 7 ψ=θ θ, то d d sinψ d d sin(θ θ) ( d cos θ d sinθ d cos θ d sinθ) Учитывая, что d cosθ, d sinθ (эти формулы выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и угол между отрезком и осью O), получим, что d cosθ, d sinθ, d cosθ, d sinθ Таким образом, выражение для площади треугольника имеет вид S ( ) ( ) ( ) ( ) () В частном случае, если вершина С лежит в начале координат (те ), S 7

6 П р и м е р Определить площадь треугольника с вершинами A(;8), B(;) и С( ; ) Р е ш е н и е Воспользовавшись формулой (), получим S ( )( ) ( )(8 ) 6 (квед) ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ M Точку в пространстве можно задать с помощью чисел, если введена прямоугольная система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей, которые пересекаются в одной точке, имеют равные единицы масштаба для измерения длин и занумерованы в определенном порядке К осям абсцисс О и ординат О плоскости добавляется ось аппликат О При этом положительное направление оси О выбирается таким образом, чтобы поворот от оси О к оси О на угол, меньший, совершался в направлении против часовой стрелки, если смотреть из М полуоси О Пусть М произвольная точка О M пространства, а точки М, М, М ортогональные проекции точки М M M на оси координат (рис 8) Числа M M какой-нибудь точки положительной =OM, =OM и =OM координаты точки М в заданной Рис 8 системе прямоугольных координат Таким образом, точка в пространстве задается тремя координатами,, и записывается M(; ; ) Три координатные плоскости O, O и O разделяют пространство на восемь частей, называемых координатными октантами Пусть M(; ; ) произвольная точка пространства Знаки координат точки определяют ее местоположение в координатном октанте:,, точка М расположена в I октанте;,, точка М расположена во II октанте;,, точка М расположена в III октанте;,, точка М расположена в IVоктанте;,, точка М расположена в Vоктанте;,, точка М расположена в VI октанте;,, точка М расположена в VII октанте;,, точка М расположена в VIII октанте 8

7 Переход от одной прямоугольной системы координат к другой При переходе от системы координат O к новой системе O '', у которой направление осей координат прежнее, а началом является точка O (; ) (рис 9), связь между старыми и новыми координатами для некоторой точки M плоскости определяется формулами, () или, (6) С помощью формул () старые координаты выражаются через новые, а с помощью формул (6) новые через старые При повороте осей координат на угол α (начало координат прежнее, причем α отсчитывается против часовой стрелки; рис ) зависимость между старыми координатами, и новыми ', ' определяется следующими формулами: cosα sinα, sinα cosα, (7) cosα sinα, sinα cosα (8) O ' O (;) Рис 9 M В случае пространства формулы перехода при параллельном переносе осей будут иметь следующий вид:,, c (9) или,, c () При повороте координатных осей cos α cos α cos α ' cos β cos γ ' cos γ 9 cos β cos β cosγ, () где α, α, α углы, образуемые осью O соответственно с новыми осями O', O', O'; β, β, β, γ, γ, γ углы, образуемые соответственно осью O и осью O с новыми осями (или α, β, γ образуемые новой осью O' соответственно со старыми осями O, O, O и т д) O ' α M Рис ' '

8 Полярная система координат Для определения положения точки на M плоскости иногда удобно пользоваться полярной системой координат Полярная система координат (рис ) определяется заданием некоторой точки О, О u называемой полюсом, исходящего из этой точки Рис луча, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин Кроме задания полярной системы координат должно быть указано положительное направление вращения вокруг точки О (от полярной оси к лучу ОМ против часовой стрелки) Число ρ= OM называется полярным радиусом и является первой координатой точки, а число θ полярным углом и является второй координатой точки Определение 6 Полярный радиус и полярный угол точки называются полярными координатами Полярные координаты ρ и θ записываются в скобках после буквы, обозначающей точку: М(ρ, θ) Если точка M имеет полярные координаты ρ> и θ π, то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат (ρ, θ+kπ), где k Z Полюсу О соответствует одно число ρ= Выведем формулу перехода от полярных координат к прямоугольным и обратно Для M простоты рассуждений рассмотрим частный М случай, когда полюс полярной системы ρ координат совпадает с началом прямоугольных координат, а полярная ось с положительной θ полуосью абсцисс (рис ) O M Пусть М произвольная точка Рис плоскости Обозначим через и прямоугольные координаты точки М, через ρ и θ ее полярные координаты Как известно, OM, OM С другой стороны, OM ρ cosθ, OM ρ sinθ Поэтому ρ cos θ, ρ sinθ () Обратно, зная прямоугольные координаты точки, можно определить ее полярные координаты по формулам ρ, tgθ ()

9 В дальнейшем, если не оговорено особо, будем предполагать, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось с положительным направлением оси абсцисс П р и м е р ы Найти полярные координаты точки M(; ) Р е ш е н и е На основании равенств () находим ρ ( ), tgθ Очевидно, что точка M лежит в IV четверти и, следовательно, θ π Таким образом, полярные координаты точки M(; π ) Найти прямоугольные координаты точки A( ; π ) Р е ш е н и е На основании равенств () имеем cos( π ), sin( π ) Таким образом, прямоугольные координаты точки A( ; ) Цилиндрические координаты Пусть точка М имеет декартовы координаты (; ; ) Если Q ортогональная M проекция точки M на плоскость XOY, тогда цилиндрическими координатами точки M называются три числа (ρ; θ; ), где (ρ; θ) О ρ Q полярные координаты точки Q(, ) в плоскости XOY Заметим, что ρ есть расстояние от точки (; ; ) до М(; ; ), те расстояние от точки М до оси (рис ) Связь между цилиндрическими координатами и декартовыми координатами одной и той же точки определяется формулами ρ, () cos θ, sinθ,, ρ ρ ρ cos θ, ρ sinθ, () Сферические координаты Пусть М точка пространства, имеющая декартовы координаты (; ; ) Рис

10 Сферическими координатами точки M является тройка чисел ρ, θ и φ (рис ), определяемые следующим образом: ρ расстояние точки М от начала координат О; θ полярный угол, а φ угол между М положительным направлением оси и лучом ОМ Таким образом, формулы, связывающие O сферические координаты с декартовыми, имеют следующий вид: и cos θ cos φ ρ, ρ,, sinφ sinθ ρ, (6) ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cosφ (7) КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ Опишите систему координат на прямой, на плоскости Выведите формулу расстояния между двумя точками Выведите формулу деления отрезка в данном отношении Выведите формулу площади треугольника по известным координатам трех его вершин Опишите систему координат в пространстве 6 Опишите полярную систему координат Выведите формулы, выражающие полярные координаты через ее прямоугольные координаты и формулы, выражающие прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты 7 Опишите цилиндрические координаты 8 Опишите сферические координаты УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Даны прямоугольные координаты точек: A ;, B 6;, C ;, D ; Найдите их полярные координаты Рис

11 Даны полярные координаты точек M π π ;, N ;, π P ;, Q ; Найдите их прямоугольные координаты Даны координаты вершин треугольника A ;, B ;, C ; Найдите площадь треугольника ABC Даны точки начала и конца отрезка A ;, B ; Известно, что точка С делит отрезок АВ в отношении AC :CB : Найдите координаты точки С Вычислите расстояние между двумя точками на плоскости A ;8, B 8;

12 Глава ВЕКТОРЫ Физические величины, которые характеризуются только числовым значением при выбранной системе единиц измерения, называются скалярными (масса, теплопроводность, электрическое сопротивление и тд) Величины, характеризующиеся не только числом, но и направлением в пространстве, называются векторными Это такие величины механики и физики, как сила, ускорение, скорость, напряжѐнность электрического и магнитного полей ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Определение Связанным вектором называется упорядоченная пара точек (A, B) Первая точка A называется началом вектора, вторая точка В концом вектора Обозначается АВ Если начало и конец связанного вектора совпадают, то вектор называется нулевым Начало связанных векторов не может изменять своего положения, например, вектор скорости при движении газа Определение Направлением ненулевого связанного вектора АВ называется направление луча, вершина которого совпадает с началом А и содержит его конец В Направление нулевого связанного вектора считается произвольным Определение Модулем (длиной) или абсолютной величиной ненулевого связанного вектора АВ ( AB ) называется расстояние между его началом и концом Определение Два ненулевых связанных вектора АВ и СD называются коллинеарными ( АВ СD ), если прямые АВ и СD параллельны или совпадают Нулевой связанный вектор считается коллинеарным любому связанному вектору Коллинеарные связанные векторы АВ и СD, имеющие одинаковое направление, обозначают АВ СD (и называют сонаправленными), противоположное АВ СD (противоположно направленные)

13 Определение Два связанных вектора АВ и СD называются равными ( АВ = СD ), если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине: AB CD AB CD, AB CD Определение 6 Свободным вектором а называется множество всех равных между собой связанных векторов Нулевым вектором множество всех нулевых связанных векторов В Свободный вектор а часто обозначается и изображается любым из связанных векторов АВ А того множества связанных векторов, которым является вектор а (рис ) Построить свободный вектор а от точки А значит построить связанный Рис вектор АВ, входящий в множество связанных векторов, образующих вектор а Длиной и направлением свободного вектора являются длина и направление любого его представителя Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, те начало вектора может быть в любой точке пространства, но направление и длина фиксированы В дальнейшем, под словом вектор будем понимать свободный вектор Определение 7 Два или большее число векторов называется коллинеарными, если их представители с общим началом лежат на одной прямой Определение 8 Три или большее число векторов называется компланарными, если их представители с общим началом лежат в одной плоскости Определение 9 Противоположным для вектора называется вектор той же длины, но противоположного направления ( ):, Определение Единичным вектором (ортом) вектора, ( называется такой вектор, который имеет то же направление, что и единичную длину:, ), и

14 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число Сложение векторов B Результат суммы двух векторов вектор Данная операция имеет в своей основе правило сложения сил и скоростей Суммой двух неколлинеарных A векторов AB и BC (рис ) является C вектор, идущий из начала в конец, B Рис C если вектор приложен к концу вектора ( AB BC AC ) Это правило сложения двух векторов называется правилом A треугольника D Пусть даны неколлинеарные Рис векторы AD и AB (рис ) Их суммой будет являться вектор AC, определяемый диагональю АС параллелограмма ABCD, построенного n на представителях слагаемых как на n сторонах Рис Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма Чтобы найти сумму n данных векторов,,, n, надо от произвольной точки пространства отложить первый вектор, затем от его конца отложить второй вектор, от конца второго вектора отложить третий вектор и тд Вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом последнего, называется суммой данных векторов (рис ) Это правило сложения n векторов называется правилом многоугольника Свойства операции сложения векторов а (коммутативность сложения) ( )+c = ( c) (ассоциативность сложения) ( ) (сложение с противоположным вектором) (сложение с нуль-вектором) 6

15 Вычитание векторов Определение Разностью векторов и называется такой вектор, который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор : Разность векторов совпадает с суммой Геометрически разность неколлинеарных векторов AB, AD представляет собой вектор BD, определяемый диагональю BD параллелограмма ABCD: BD (см рис ) Чтобы построить разность геометрически, надо отложить векторы и от общего начала, концы соединить отрезком и направить вектор разности в сторону уменьшаемого Умножение вектора на число Определение Произведением λ (или λ ) ненулевого вектора на число λ называется новый вектор c такой, что: ) длина вектора c равна произведению длины вектора на абсолютную величину числа λ : c λ ; ) направление вектора c совпадает с направлением вектора, если λ положительное число, или противоположно ему, если λ число отрицательное Если или λ, то полагают по определению λ Свойства операции умножения λ λ μ(λ ) (μ λ) λ( ) λ λ (λ μ) λ μ Если λ, то или λ 6 Если имеет единичный вектор, то 7 ; ( ) Отношение коллинеарных векторов Определение Отношением коллинеарных векторов и называется действительное число λ, равное по модулю отношению длин этих векторов; положительное, если векторы и одинаково направленные, и отрицательное, если векторы и противоположно направленные: : :, :,, 7

16 По определению равенство λ эквивалентно равенству λ для любых коллинеарных векторов и ТЕОРЕМА (первый признак коллинеарности векторов) Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, те λ (или μ ) Доказательство состоит в применении определений Определение Частным от деления вектора на число λ называется вектор, произведение которого на делитель λ дает делимый вектор : λ Частное совпадает с произведением λ λ Длина частного λ равна частному от деления длины вектора на абсолютную величину числа λ:, λ λ а направление совпадает с направлением вектора, а если λ положительное число, и противоположно ему, если λ число отрицательное Свойства операции деления вектора на число: ) λ λ ; ) α λ α λ ; ) :α μ α μ П р и м е р Пусть AA медиана треугольника ABC Доказать, что AB AC AA Р е ш е н и е По правилу сложения векторов имеем AA AB BA, а с другой стороны, AA AC CA Складывая эти выражения, получим AA AB AC BA CA Но векторы BA и CA равны по модулю и противоположны по направлению, значит, их сумма равна нулю AB AC Тогда AA ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВЕКТОРОВ ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа 8

17 Определение Вектор u называется линейной комбинацией векторов,,, n, если его можно представить следующим образом: u α α αn n, где α, α,, αn действительные числа, которые называются коэффициентами линейной комбинации В этом случае говорят, что вектор u разложен по векторам,,, n, а числа α, α,, αn называют коэффициентами разложения Набор векторов,,, n называется системой векторов Определение 6 Система векторов,,, n называется линейно зависимой, если существуют числа α,α,,αn одновременно не равные нулю и такие, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю: α α αn n () В противном случае, векторы,,, n называются линейно независимыми, те векторы,,, n называются линейно независимыми, если равенство () выполняется только с нулевыми коэффициентами α α n Свойства линейной зависимости Если среди векторов,,, n имеется нуль-вектор, то эта система линейно зависима Система двух или более векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора O m A λ, то она линейно зависима i j A B Рис называется ортогональной ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПРЯМУЮ B l Пусть на плоскости заданы прямые l, m, вектор Проекцией вектора AB на прямую l параллельно m называется вектор A B, началом которого служит проекция A начала А, а концом проекция B конца В вектора AB (рис ) При этом AA m, BB m Если прямая m перпендикулярна прямой l, то проекция 9

18 Свойства проекции вектора на прямую Проекции равных векторов на одну и ту же прямую равны между собой При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число Проекция суммы векторов на какую либо прямую равна сумме проекций на эту же прямую слагаемых векторов Длина ортогональной проекции вектора АВ на прямую l равна произведению длины вектора АВ на косинус угла наклона вектора АВ к прямой l : пр l AB = AB cosφ Базис на плоскости Определение 7 Базисом на плоскости называется два неколлинеарных вектора e, e на этой плоскости, взятые в определенном порядке Пусть на плоскости даны три вектора, e, e, причем e не коллинеарен e Разложить вектор по двум векторам e, e означает представить в виде линейной комбинации векторов e e, где, ТЕОРЕМА (о разложении вектора по базису на плоскости) Любой вектор, принадлежащий плоскости, может быть разложен по базису e, e на этой плоскости, то есть представлен в виде e e, где числа, определяются однозначно ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть на плоскости задан базис e, e Построим прямые l, l, содержащие базисные векторы e, e, соответственно Эти прямые пересекаются в точке О, так как базисные векторы неколлинеарны Строим в точке О векторы, e, e, О e l равные заданным в условии теоремы Рис 6 векторам Построим проекции вектора на прямую l параллельно l и на прямую l параллельно l Получим вектора, векторов, соответственно (рис 6) По правилу сложения e l

19 Вектор принадлежит прямой l, как и e, следовательно, он коллинеарен e По первому признаку коллинеарности векторов существует число такое, что Аналогично, существует число e такое, что Подставляя эти соотношения в равенство e, получаем e e Числа, называются координатами вектора в базисе e, e Таким образом, каждому вектору на плоскости взаимнооднозначно соответствует упорядоченная пара чисел, Базис на плоскости называется правым, если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму происходит против часовой стрелки Если кратчайший поворот от e к e происходит по часовой стрелке, то базис называется левым (отрицательным) Базис в пространстве Определение 8 Базисом в трехмерном пространстве называется тройка некомпланарных векторов e, e, e, взятых в определенном порядке l Пусть в пространстве задан базис e, e, e e Построим прямые l, l, l, содержащие базисные вектора e, e, e А соответственно Без ограничения общности О e можно считать, что эти l прямые пересекаются в A одной точке О (рис 7), так как базисные вектора e некомпланарны Постороим проекции,, вектора l на прямые l, l, l Тогда Рис 7 получим OA По первому признаку коллинеарности e, e, e, получаем Подставляя эти соотношения в равенство e e e () Итак, доказана теорема

20 ТЕОРЕМА (о разложении вектора по базису в пространстве) Любой вектор может быть разложен по базису e, e, e в пространстве, то есть представлен в виде (), где числа,, определяются однозначно и называются координатами вектора относительно базиса e, e e, Например, числа, -, являются координатами вектора : e e e ЗАМЕЧАНИЕ Базис на плоскости и в пространстве определяется неоднозначно Например, если e, e, e базис в пространстве, то система векторов λe, λe, λe тоже является базисом при любом λ Следующие свойства выражают геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов ТЕОРЕМА (второй признак коллинеарности векторов) Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы Доказательство По первому признаку коллинеарности один из векторов (скажем ) равен другому, умноженному на число, те λ или λ Обратно Если λ μ (*), и хотя бы одно из чисел, не равно, то деля (*) на него и, применяя первый признак коллинеарности, получим требуемое СЛЕДСТВИЕ Если два вектора, не коллинеарны, то равенство α β возможно лишь тогда, когда оба числа α, β равны нулю ТЕОРЕМА (признак компланарности трех векторов) Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы Доказательство достаточности аналогично доказательству предыдущей теоремы, необходимо лишь учесть, что равенство β c γ d означает по правилу параллелограмма, что компланарен с с и d Необходимость следует из возможности спроецировать один из трех компланарных векторов, отложенных от одной точки, на прямые, содержащие два других (неколлинеарных вектора) СЛЕДСТВИЕ Любые три вектора на плоскости, два из которых не коллинеарны, являются линейно зависимыми СЛЕДСТВИЕ Если три вектора не компланарны, то равенство α β γ c возможно лишь при нулевых коэффициентах, те α β γ

21 ТЕОРЕМА 6 Любые четыре вектора,, c, d в пространстве (трехмерном) линейно зависимы Для доказательства достаточно вектора отложить от одной точки и спроецировать один из них на прямые, содержащие остальные Понятие базиса непосредственно связано с понятием линейной независимости Базис представляет собой упорядоченную совокупность линейно независимых векторов На плоскости это два линейно независимых вектора, взятые в определенном порядке, а в пространстве это три линейно независимых вектора, взятые в определенном порядке Теоремы () (6) позволяют говорить, что базис это полная линейно независимая система векторов в том смысле, что любой вектор линейно выражается через базисные вектора, и эту систему нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ Определение 9 Ориентированной тройкой векторов в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке Тройка некомпланарных векторов, и c называется правой (рис 8, а), если наблюдатель, расположенный в конце третьего вектора, видит направление кратчайшего вращения от первого вектора ко второму против часовой стрелки Тройка называется левой (рис 8, б), если этот же наблюдатель видит кратчайшее направление вращения по c c часовой стрелке Заметим, что если в тройке некомпланарных О О векторов,, c переставить местами два вектора, то она изменит свою ориентацию, те из правой сделается левой или а б наоборот В дальнейшем Рис 8 правую тройку векторов мы будем считать стандартной Определение Если в тройке векторов,, c заменить первый вектор на второй, второй вектор на третий, а третий вектор на первый, то такую замену называют циклической заменой векторов, а полученную тройку векторов, c, называют результатом циклической замены тройки векторов,, c

22 Свойства троек векторов Если два вектора в тройке поменять местами, то ориентация тройки меняется на противоположную При циклической замене векторов ориентация тройки сохраняется РАДИУС-ВЕКТОР ТОЧКИ Зафиксируем в пространстве произвольную точку О и назовем ее началом Определение Радиус-вектором произвольной точки M называется вектор OM M Радиус-вектор точки M обозначается через r M или r r M M, те r M OM (рис 9) Если выбрано начало, то между всеми О точками пространства и всеми радиусвекторами Рис 9 установлено взаимно однозначное соответствие: каждой точке M отвечает единственный радиус-вектор r M, а каждому радиус-вектору r M отвечает единственная точка M его конец Выражение вектора через радиус-векторы его конца и начала А Пусть выбрано начало O и дан вектор AB Обозначим радиус-векторы r А его начала и конца через r A, rb (рис ) r B B Из треугольника AOB получаем О выражение вектора через радиус-векторы Рис его конца и начала AB r B r A, те всякий вектор в пространстве равен разности радиус-векторов его конца и начала Деление отрезка в данном отношении Пусть выбрано начало O и дан вектор AB, радиус-векторы начала и конца отрезка r A, rb, число λ Разделить отрезок AB в отношении λ означает найти такую точку M на отрезке или его AM продолжении, что λ Определим радиус-вектор r M точки M MB Для решения задачи выразим векторы AM rm ra, MB rb rm Отношение этих коллинеарных векторов по условию равно λ, те AM λ MB, rm ra λ rb rm Отсюда получается формула деления отрезка в данном отношении:

23 r A λ r r B M λ Середина отрезка Рассмотрим частный случай, когда точка M находится в середине отрезка В этом случае λ= Подставляя это значение в формулу деления отрезка в данном отношении, получаем выражение радиус-вектора середины отрезка: ra rb r M П р и м е р Доказать, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам Р е ш е н и е Четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда его стороны AB и CD равны и параллельны: AB CD Выражая эти векторы через радиус-векторы вершин параллелограмма, получим r B ra rc rd или r B rd rc ra Отсюда rb rd rc ra Последнее равенство показывает, что середина диагонали BD совпадает с серединой диагонали AC, те диагонали в точке пересечения делятся пополам ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме При этом справедливы следующие свойства Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе) Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов

24 l A B Докажем первое свойство Пусть на плоскости задан базис e, e Построим прямые l, l, содержащие базисные вектора e, e B D соответственно Пусть на плоскости даны равные e векторы AB CD, не e A B C D l параллельные прямым Рис l, l (рис ) Построим равные им векторы A B AB, CD CD Из равенства A B CD следует, что четырехугольник A BDC параллелограмм, а треугольники A BB и C DD равны по стороне и двум прилегающим углам A B C D, B A B D C D A B B C D D ) как с (, соответственно параллельными сторонами Следовательно, A B C А D так как по теореме A B e, CD e, то, то есть равные векторы имеют равные координаты Остальные свойства доказываются аналогично Основные теоремы ()-(6) о разложении вектора по базису устанавливают взаимнооднозначное соответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат в данном базисе А именно, между векторами на прямой и действительными числами, между векторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами в пространстве и упорядоченными тройками чисел Например, при фиксированном базисе e, e, e вектору e e e однозначно соответствует упорядоченная тройка чисел,, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел,, соответствует вектор e e e Взаимнооднозначное соответствие (вектор) (его координаты) сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц- строк,, или матриц-столбцов C D 6

25 ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС Для большинства прикладных практических задач удобно использовать ортонормированные базисы Определение Базис векторов на плоскости или в пространстве называется ортонормированным базисом, если он состоит из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины Ортонормированный базис векторов на плоскости или в пространстве будем обозначать i, j или i, j, k Z соответственно (рис ): j i j k, i j, i k, k О i j k Базисы на плоскости О j Y i, j и в пространстве i, j, k i представляют собой право X Рис ориентированные тройки векторов Определим прямоугольную систему координат так, чтобы оси координат были направлены по векторам базиса, а начало координат совпадало с точкой пересечения ортов Ось O (абсцисс) направлена вдоль вектора i, ось ординат O по вектору j, а ось O (аппликат) по вектору k Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 7 Любой вектор на плоскости может быть единственным образом разложен по базису i, j, то есть может быть представлен в виде i j, () где пр, пр модули проекций вектора на оси координат O, O, их называют координатами вектора, i, j орты этих осей (рис ) Здесь берется знак "+", если соответствующие проекция и орт одного направления, и знак " " в противном случае Определение Векторы i, j в представлении () называются составляющими (компонентами) вектора по осям координат 7 Y j β α О i пр X Рис

26 Длина (модуль) вектора обозначается или и определяется по формуле 8 () Направление вектора определяется углами α, β, которые он образует с соответствующими осями координат Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) определяются по формулам cos α, cos β () Направляющие косинусы вектора связаны соотношением cos α cos β (6) Определение координат вектора в пространстве аналогично плоскости Координаты вектора обозначаются в пространстве через ; ; ) Таким образом, в пространстве вектор может быть ( представлен в виде где,, координаты вектора i j k, (7) Аналогичным образом определяются длина (модуль) вектора и направляющие косинусы вектора в пространстве cosα, (8), cos β, cos γ (9) Направляющие косинусы вектора в пространстве связаны аналогичным соотношением cos α cos β cos γ () ТЕОРЕМА 8 Разложение по базисным векторам в пространстве единственно СЛЕДСТВИЕ Каждый вектор в данном базисе имеет единственные координаты ТЕОРЕМА 8 (о координатах линейной комбинации векторов) Если вектор u равен линейной комбинации векторов,, n, то соответствующие координаты вектора u равны линейной комбинации соответствующих координат векторов,, n с теми же коэффициентами, и обратно СЛЕДСТВИЕ Равные векторы имеют равные координаты

27 СЛЕДСТВИЕ Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны СЛЕДСТВИЕ Если вектор u равен сумме (разности) двух векторов, то его координаты равны сумме (разности) соответствующих координат слагаемых векторов Из теоремы следует, что действия над векторами сводятся к действиям над их координатами Пр и м е р ы Найти координаты векторов,, с, если ; 7;, ; ; Р е ш е н и е По второму следствию ; 7;, ; ; По третьему следствию с ; 7; 8 Доказать, что c, если ;, 6;, c ; 7 Р е ш е н и е c, c 7 По теореме о линейной комбинации векторов c КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Для любой точки М в заданной прямоугольной системе координат можно рассмотреть вектор OM, начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой М Этот вектор называется радиус-вектором точки М Координатами точки М в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора в ортонормированном базисе В пространстве это координаты на плоскости коэффициенты,, в разложении OM i j k,, в разложении OM i j Найдем координаты вектора MN с началом в точке M,, и концом в точке N,, в прямоугольной системе координат OXYZ Радиус-векторы OM, ON представляются в виде OM i j, k ON i j По правилу треугольника вычитания векторов k получаем MN ON OM i j, то есть вектор k,, MN имеет координаты Доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала В прямоугольной системе координат расстояние MN между точками M,, и,, N находится по формуле 9

28 MN В прямоугольной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие ее координаты, причем это соответствие взаимнооднозначно (точка) (ее координаты) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Рассмотрим операцию, которая произведению двух векторов ставит в соответствие число (скаляр) Отсюда и название: скалярное произведение Определение Под скалярным произведением двух ненулевых векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, если они оба отличны от нулевого вектора, и равное нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым, те, cos(, ) cos(, ), если и ; () Если или, то Так как cos, пр и cos, пр, то можно записать пр пр, () пр, () те скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженного на ортогональную проекцию другого на ось с направлением первого вектора Определение Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение Геометрические свойства скалярного произведения Косинус угла φ между двумя ненулевыми векторами и определяется формулой cos Скалярное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, π когда два вектора и перпендикулярны, те Скалярное произведение положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый, и отрицательно, если тупой Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, те

29 Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата, те Алгебраические свойства скалярного произведения λ,, λ λ, c c c λ μ, c λ(, c) μ(, c), где λ и μ скаляры Физический смысл скалярного произведения Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное F перемещение s MN материальной точки M M (рис ) Если сила F образует угол s N с перемещением s, то из физики Рис известно, что работа силы F при перемещении s равна A Fscos Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точки приложения этой силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения Скалярное произведение векторов в координатной форме Пусть известно разложение векторов и в базисе i, j, k : i j k, () i j k () Необходимо выразить скалярное произведение векторов через их координаты Так как базисные орты взаимно перпендикулярны, то их скалярные произведения i j j k k i Каждый орт имеет длину, следовательно, i i j j k k Умножая на и используя при преобразованиях алгебраические свойства скалярного произведения, получим выражение скалярного произведения векторов через их координаты i ji j j j k i jk j k ki ii k j (6) i j kk ik

30 Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат Отсюда, обозначая через угол между векторами и, получим cos (7) Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов примет вид (8) В случае плоскости исключением из (6) пространственной координаты получается выражение Скалярный квадрат, выраженный в координатах, принимает вид, для пространства и плоскости соответственно, те равен сумме квадратов координат, а длина вектора в пространстве и на плоскости выражается через его координаты с помощью формул, П р и м е р ы Скалярное произведение применяется для установления перпендикулярности двух векторов Доказать, что диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны Р е ш е н и е Обозначим в ромбе ABCD векторы AB, AD Тогда диагонали ромба выражаются как AC и DB, и нужно установить перпендикулярность этих векторов Вычислим скалярное произведение: AC DB (так как стороны ромба равны: взаимно перпендикулярны Найти длину вектора ; ) Следовательно, векторы AC, DB Р е ш е н и е Скалярное произведение применяется для нахождения косинуса угла между двумя векторами Найти косинус угла между векторами ;, ; Р е ш е н и е cos

31 ВЕКТОРНОЕ N-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Числовые данные, используемые на практике или в науке, нередко представляют собой списки чисел, каждое из которых имеет определенный смысл В экономике таковы, например: прейскуранты, то есть списки цен различных товаров; объемы продукции разных видов, выпущенных предприятием за квартал, и тому подобное Математическим образом списка такого типа является вектор Определение 6 Пусть n любое натуральное число Упорядоченная совокупность n чисел,,, n называется n-мерным вектором; будем обозначать векторы малыми латинскими буквами со стрелками над ними:,,, n i ; числа n,,, n называются координатами вектора, число n его размерностью Два n-мерных вектора называются равными, если их одноименные (имеющие один и тот же номер) координаты равны Вектор, все координаты которого нули, называется нулевым, или нуль-вектором, и обозначается так: Определим линейные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число Определение 7 Суммой двух n-мерных векторов i n и i n называется вектор, обозначаемый, каждая координата которого рана сумме одноименных координат слагаемых векторов: ;; n n (9) i n Определение 8 Разностью между n-мерными векторами и называется n-мерный вектор, обозначаемый, каждая координата которого равна разности между одноименными координатами векторов i n и i n : Например, если векторы ;; n n () i n и i n являются записями объемов n видов продукции, выпущенной предприятием соответственно в первом и втором кварталах, то вектор представляет собой запись объемов выпуска предприятием этих видов продукции за полугодие, а вектор показывает рост объемов выпуска продукции во втором квартале по сравнению с первым Определение 9 Произведением числа λ на n-мерный вектор, обозначаемый λ, каждая координата которого равна i n произведению числа λ на одноименную координату вектора : i n i n

32 λ λ;; λn () Например, если объемы выпуска продукции n видов в январе, феврале и марте одинаковы и каждый из них описывается вектором, то вектор выпуска этих видов продукции в первом квартале Определение Множество n-мерных векторов, для которых указанным образом определены свойства сложения, вычитания и умножения на число, называют n-мерным векторным пространством и n обозначают символом R (множество R совпадает с множеством всех действительных чисел R ) n Пусть,, c R ; λ, μ R Перечислим свойства линейных действий над векторами: сложение векторов (коммутативность); c c (ассоциативность); умножение вектора на число λμ λ μ (ассоциативность); λ λ λ (дистрибутивность относительно сложения векторов); 6 λ μ λ μ (дистрибутивность относительно сложения чисел); 7 ; 8 λ ; 9 Все эти свойства легко доказать, используя аналогичные свойства чисел и определения действий над векторами Двумерные и трехмерные векторы имеют геометрическую интерпретацию: они изображаются направленными отрезками на плоскости и в пространстве как это было показано в предыдущих разделах этой главы Определение Длиной (нормой) вектора,,, n называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов координат этого вектора: n () Определение Угол φ называется углом между векторами,,, n и,,, n, если справедливо равенство

33 nn cosφ n n () Два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве перпендикулярны в том и только том случае, если их скалярное произведение нулю Действительно, по определению π cosφ cos φ φ n Распространяя отношение перпендикулярности на пространство R, введем следующее понятие Определение Два n-мерных вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю Пример С помощью скалярного произведения можно определить и произведение двух n-мерных вектор-строк (или вектор-столбцов) Для примера рассмотрим аквариум, в котором содержится n рыб одного вида, n рыб второго вида и n рыб третьего вида Естественно определить популяционный вектор как n n, n, n Для средней рыбы первого вида в день может потребоваться q единиц пищи, для второго и третьего вида соответствующие потребности составляют q и q Вектор потребностей есть q q, q, q Тогда общая дневная потребность в пище всей популяции равна n q nq nq ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА Матрицы Пусть имеется m n произвольных, не обязательно различных, действительных чисел Эти числа можно расположить в виде таблицы, состоящей из m строк и n столбцов Определение Прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n (читается "эм на эн") П р и м е р матрица размера Каждое число определяется номером строки и номером столбца, на пересечении которых оно находится Например, число находится во второй строке и первом столбце Элемент матрицы (число), стоящий в общем случае в i-й строке и j-м столбце обозначается (, c и тд) Сами матрицы обозначаются прописными буквами: A, B, C Запись размера m n с элементами ij ij ij ij A обозначает матрицу A ij mn, где i=,,,m, j=,,,n

34 Определение Квадратной матрицей размера n называется матрица, состоящая из n строк и n столбцов Главная диагональ квадратной матрицы это элементы,,, nn Побочная диагональ квадратной матрицы это элементы n, n-,, n Определение 6 Единичной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой определяются по формуле e ij, если i, если i Например, единичная матрица, состоящая из трех строк и трех столбцов, выглядит следующим образом E Очевидно, что элементами главной диагонали единичной матрицы являются единицы, а все остальные нули Единичная матрица обозначается E Определение 7 Нулевой матрицей называется матрица (любого размера), все элементы которой нули Нулевая матрица обозначается O j, j Определитель второго порядка Пусть дана квадратная матрица А размера : А= Определение 8 Определителем второго порядка матрицы А называется число, равное разности произведения элементов главной и произведения элементов побочной диагонали матрицы: Определитель второго порядка обозначается следующим образом: D det A П р и м е р Вычислить определитель матрицы А= Р е ш е н и е D = Определитель третьего порядка Рассмотрим квадратную матрицу А порядка : 6

35 A= Определение 9 Определителем третьего порядка матрицы А называется следующая алгебраическая сумма произведений элементов определителя: D 7 Схематично формулу для вычисления определителя третьего порядка можно изобразить так: D При использовании схемы для вычисления определителей следует обращать внимание на знаки в слагаемых суммы П р и м е р Вычислить определитель матрицы А= Р е ш е н и е При вычислении определителя воспользуемся приведенной схемой D = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 9 Вычисление определителей n-го порядка Рассмотрим квадратную матрицу А размера n: А= n Здесь и далее пунктирной линией обозначается продолжение записи элементов матрицы или определителя Матрице А можно поставить в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы n-го порядка и обозначать D Дадим его определение по индукции Рассмотрим элемент ij квадратной матрицы А=( ij ), где i=,,,n; j=,,,n Вычеркнем i-ю n n n nn

36 строку и j-й столбец матрицы Останется матрица порядка n Обозначим ее определитель через D ij и будем D ij называть минором элемента ij Определение Величина А ij =( ) i+j D ij называется алгебраическим дополнением элемента ij Из определений минора и алгебраического дополнения видно, что они будут различаться только знаком Если сумма индексов i+j четная, они равны, если нечетная, будут отличаться знаком П р и м е р Дан определитель D = Найти минор и алгебраическое дополнение элемента Р е ш е н и е Элемент расположен во второй строке и втором столбце матрицы Чтобы получить минор этого элемента необходимо вычеркнуть вторую строку, второй столбец и вычислить оставшийся определитель второго порядка: D = = ( ) = Для вычисления алгебраического дополнения этого элемента необходимо полученный минор умножить на ( ) + =, те A =( ) + D В данном случае (сумма индексов элемента четная) значения минора и алгебраического дополнения будут совпадать Определение Определитель матрицы равен сумме произведений элементов одной строки на их алгебраические дополнения: D det A A A A i i ТЕОРЕМА 9 Приведенное определение не противоречиво, те число D не зависит от того по какой строке раскладывать определитель, те равно i Доказательство этой теоремы проводится методом математической индукции и весьма громоздко Аналогично можно показать, что определитель может быть получен в результате разложения по любому столбцу Вычислим определитель -го порядка из предыдущего примера, разложив его по элементам первой строки: D = i i = ( ) + D + ( ) + D + ( ) + D = =( ( ) ( ) ) (( ) ( ) ( ) )+= 7 = 9 П р и м е р ы Вычислить определитель единичной матрицы in in 8

37 Р е ш е н и е Разложим определитель порядка n по первой строке Так как в строке только один элемент отличен от нуля, получится только один определитель (n )-го порядка: D= Определитель порядка n опять разложим по первой строке Повторяя операции n раз, получим, что данный определитель равен Вычислить определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны Р е ш е н и е Разложим определитель порядка n по первой строке: n n n nn nn Определитель порядка n опять разложим по первой строке Повторяя операции n раз, получим, что данный определитель равен произведению элементов главной диагонали nn Вычислить определитель четвертого порядка, разложив его по элементам второй строки Р е ш е н и е Свойства определителей Определитель не меняется, если строки поменять местами со столбцами Из этого свойства следует, что строки и столбцы определителя равноправны и все свойства, справедливые для строк, справедливы и для столбцов Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей: det AB=det A det B Определитель, у которого строка (столбец) состоит из нулей, равен нулю Если в определителе переставить местами две строки (столбца), то определитель изменит знак 9

38 Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю 6 Если в i-й строке (столбце) все элементы представлены суммами, то det A=det A +det A, где A и A отличаются от A только i-й строкой (столбцом): у A в i-й строке (столбце) стоят первые слагаемые сумм, а у A вторые слагаемые 7 Значение определителя не изменится, если одну строку (столбец) заменить на сумму или разность этой строки (столбца) и любой другой строки (столбца) определителя (В случае разности заменять следует ту строку (столбец), из которой вычитали) 8 Если в определителе все элементы одной строки (столбца) разделить на, то значение определителя уменьшиться в раз 9 Определитель, у которого одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), равен нулю Используя свойства определителя, можно значительно упростить процесс вычисления определителей высоких порядков П р и м е р Вычислить определитель -го порядка Р е ш е н и е Для упрощения вычислений, прежде чем применять теорему (9), следует, соблюдая равенство, преобразовать исходный определитель так, чтобы в получившемся определителе в какой-либо строке или столбце было как можно больше нулей (все, кроме одного) Этого можно добиться, складывая или вычитая строки (столбцы) определителя и вынося множитель из строки (столбца) за знак определителя (по свойствам определителя его значение при этом не изменится) вычтем из прибавим ко первой строки второму столбцу вторую первый разложим по элементам первой строки


Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее