Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)"

Транскрипт

1 Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными на интервале ( ; ) являются функции F( ) ; F( ) ; F( ) c, где с - любое действительное число Свойство Если функция F( ) является первообразной функции f( ), то функция F( ) c также является ее первообразной Действительно, пусть F( ) f( ), тогда ( F( ) c) F( ) c f( ) Свойство Если F( ) и ( ) являются первообразными функции f( ) на интервале ( a, b ), то F( ) ( ) c для всех х, принадлежащих интервалу ( a, b ) Доказательство Составим функцию ( ) F( ) ( ), тогда ( ) F( ) ( ) f( ) f( ) 0 ( a, b), те ( ) c, ( a, b) и значит, F( ) ( ) c, ( a, b) Неопределенный интеграл и его свойства Определение Если функция F( ) является первообразной функции f( ), то выражение F( ) c называется неопределенным интегралом от функции f( ) и обозначается символом f( ) Таким образом, по определению, f( ) F( ) c, где F( ) f( ) При этом функцию f( ) называют подынтегральной функцией, f( ) - подынтегральным выражением, символ - знаком интеграла y Следовательно, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y F( ) c Графически он представ- c=0 c= ляет однопараметрическое семейство кривых на плоскости с параметром с Например, интеграл c=- c представляет семейство - c=- парабол y c (рис ) - Неопределенный интеграл существует на отрезке [ a, b ], если - подынтегральная функция непрерывна в каждой точке этого отрезка рис Свойство Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, те f( ) f ( )

2 Доказательство Пусть F( ) f( ), тогда f( ) F( ) c и f( ) F( ) c F( ) f( ) Свойство Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, те d f( ) f( ) Действительно: d f( ) d F( ) c F( ) c F( ) f( ) Свойство Неопределенный интеграл от производной функции равен этой функции плюс постоянная с f ( ) f ( ) c Действительно Найдем следующие производные f ( ) f ( ) f( ) c f( ), Так как правые части равны, то равны и левые, те f ( ) f ( ) c Свойство df( ) f( ) c Действительно Так как df( ) f ( ), то результат следует из свойства Свойство 5 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, те af( ) a f( ) a, cons Свойство 6 Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, те f ( ) ( ) f ( ) ( ) Свойство 7 Свойство инвариантности неопределенного интеграла Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию от нее, те f( ) F( ) c; отсюда следует, что f( u) du F( u) c, где u ( ) - дифференцируемая функция Доказательство В силу инвариантности дифференциала первого порядка df( ) f( ) F f Кроме того, df( u) f( u) du, где u ( ), поскольку Свойство доказано Тогда f( u) du F ( u) du df( u) F( u) c Следствие f( a) F( a) c, a 0 cons a Следствие f( a b) F( a b) c, a 0, a и b - cons a

3 c, где ln c sin cos c cos sin c g c cos cg c sin g ln cos c cg ln sin c Таблица интегралов ln g c sin ln g c ln g c cos cos sh ch c ch sh c h c ch ch c sh e e c a a c ln a arcg c arcg c a a a a ln c a a a arcsin c arcsin c a a

4 a ln a c a a a arcsin c a a a a ln a c Примеры Найти интегралы: sin d( ) cos c sin d( ) cos c sin Тк d( ) d( ) ( ), то ln Тк d(ln ) d(ln ) (ln ), то ln ln ln d(ln ) c 5 cos cos Тк d( ) ( ), то cos ( ) cos ( ) sin d c 6 arcg Тк d(arcg ) (arcg ), то arcg arcg arcg d(arcg ) c 7 Тк d( ) ( ), то sin sin sin d( ) cos c ( ) ln d c d( ) 8 ln( ) c, тк d( ) ( ) A 9, A, a cons a

5 A d( a) Тк d( a), то A A ln a c a a 0 A ( a) A Ad( a) Тк d( a), то ( a) ( a) A( a) A A ( a) d( a) c c ( a) ( ) sin d(cos ) g ln cos c cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos g cg g cg d d ln cos ln sin c ln g c d ln g c cos sin sin cos Тк g sin, то cos sin g, тогда cos ln g c cos cos sin d a arcg c a a a a a a a 5 cos d(sin ) arcg(sin ) c sin sin a a a 6 ( )( ) ( )( ) a a a a a a a ( a)( a) й щ ( a ) ( a ) к ъ л ( )( ) ы a a a a a a a a a a

6 d( a) d( a) a ln a ln a c ln c a a a a a a a a a ln c a a a d a a 7 arcsin c a a a a a a При вычислении интегралов -7 использован метод подведения под знак дифференциала Основные методы интегрирования I Интегрирование методом замены переменной Пусть требуется найти интеграл f( ) в случае, если х является функцией от : ( ), () - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную, ( ) где ( ) В этом случае имеет место равенство f( ) f йл ( ) щы ( ) Доказательство Используем формулу f( ) f ( ), dy dy а также или y y Учитывая, что если ( ), то, получаем ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) йл щы йл щы f й( ) щ ( ) л ы ( ) f йл ( ) щы f( ) Следовательно, f( ) f йл ( ) щы ( ) Примеры Найти интегралы: () asin ; a cos ; a a a sin a cos a cos ; arcsin ; a (cos 0) a a й щ a cos ( cos ) sin c к л ъ ы a sin cos c a a sin a cos c a a a sin sin c arcsin a a c Окончательно

7 a a arcsin a c a a g ; a cos cos a ; a a g a g cos ln g c sin cos sin cos cos cos cos cos (cos 0) g ; a a ln c ln c a a a g cos a ln a ln a c ln a c c Таким образом, ln a c a du Аналогично, ln u u a c u a f( ) Рассмотрим интеграл вида f( ) f( ) f( ) ln c ln f( ) c f( ) f ( ) В частности, 5 ln c ln 5 c 5 ( ) Короче можно записать так: d( 5) ln 5 c 5 5 sin sin e sin e sin cos sin sin e c e c ; ; ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ( ) c c

8 e ; e ; 6 e ; ln( ); e ( ) ; e e ln c ln c ln c e e II Интегрирование по частям Пусть u, v дифференцируемые функции Тогда дифференциал от произведения u v равен: d( uv) udv vdu Отсюда следует, что d( uv) udv vdu или uv udv vdu Получим так называемую формулу интегрирования по частям udv uv vdu () Основные правила для выбора сомножителя dv : ) dv выбирается так, чтобы v находилась легко ) Интеграл в правой части должен быть не сложнее, чем в левой части Для подынтегральных функций вида: Pn ( ) e, Pn ( ) sin, Pn ( ) cos, P - многочлен n-ой степени, в качестве функции u в формуле () выбирают где n многочлен n P Если подынтегральная функция имеет вид Pn ( ) lnm ; m - натуральное число, то в качестве u принимают ln m u Pn ( ); dv e ; n( ) ( ) n n( ) e du Pn ( ) ; v e P e P e P e Интегрируя n раз по частям получим интеграл от функции e, который легко вычисляется Примеры Вычислить интегралы: u ; dv e ; ) e e e du ; v e ; u ; dv e ; e e e du ; v e ; e e e c 9 7

9 u ; dv sin 5 ; ) sin 5 cos 5 du ; v sin 5 5 cos 5 cos 5 cos 5 sin 5 c u e ; dv sin ; ) e sin du e ; v cos ; u e ; dv cos ; e cos e cos du e ; v sin ; e cos e sin e sin Получаем уравнение относительно заданного интеграла e cos e sin или e ( sin cos ) e ( sin cos ) Окончательно e sin e ( sin cos ) c u a ; du ; ) a a a dv ; v ; a ( a ) a a a a a a a a a a ln a Значит, a a a ln a a Окончательно, a a ln a c a ( a ) 5) n n n ( a ) a ( a ) a ( a ) n n a ( a ) a ( a ) u ; dv ; n ( a ) n du ; v ( a ) d( a ) ; n n( a )

10 й щ n n n a ( a ) a к n( a ) n ( a ) ъ л ы n n n a ( a ) na ( a ) na ( a ) n n n na ( a ) na ( a ) Получили рекуррентную формулу: n, n N ( ) n a na ( a ) n na ( a ) n () Если обозначить In ; I n n n ( a ) ( a ), тогда n In I n n, причем na ( a ) na arcg c a a a 6) ( ) ( ) arcg c 8(9 ) III Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен Выделяя полный квадрат, трехчлен вида a b c можно преобразовать так: й b cщ й b b c b щ a b c a к a к ъ л a aъ ы л a a a a ы й b c b щ a к ъ кл a a a ъы й b c b a b c a к a кл a a Рассмотрим интегралы, содержащие квадратный трехчлен: ) a b c Применяя формулу (), имеем: a b c a b c b a a a b Введем подстановку u ; тогда du a c b c b c b Обозначим, при этом, если 0, и a a a a a a c b когда 0 a a Тогда получим щ ъ () ъы c b, a a

11 du a b c a u В частности, 5 ( ) 5, те заданный интеграл сводится к табличному d( ) 5 ln c ( ) ( 5) ( ) ( 5) 5 5 ( ) M Mb a b N ) M N a a a b c a b c M ( a b) Mb M d( a b c) N a a b c a a b c a a b c Mb M Mb N ln a b c N a a b c a a a b c В частности, ( ) ( ) d( 7) d( ) ln 7 ln c ( ) ( ) ) a b c й b c b a щ к ъ кл a a a ъы Если a 0, то интеграл приводится к виду Adu u, если же a 0, но b ac 0, du u M Mb ( a b) N ) M N a a M d( a b c) a b c a b c a a b c Mb M Mb N a b c N a a b c a a a b c то В частности, ( 6)

12 d( 6 ) d( ) 6 ( ) ( ) 6 ln ( ) ( ) c 5) a b c Если a 0, то заданный интеграл с помощью () преобразуется к интегралу вида u du, если a 0, но b В частности, ac 0, то к интегралу вида 8 6 ( ) 0 d( ) ( ) 0 5 ln ( ) 0 c u du Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Определение Правильные рациональные дроби вида: A I a, A, a R, A II ( ) ( - целое положительное число ), a A B III ( A, B, p, q R а корни знаменателя комплексные, те p q p q 0), A B IV ( p q) ( - целое положительное число, корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями I, II, III и IV типов Интегрирование простейших дробей I, II и III типа не представляет большой сложности Действительно, A d( a) I A A ln a c a a A A( a) A II A ( a) d( a) c c ( a) ( a) ( ) A Ap ( p ) B III A B p q p q A p Ap B p q p q

13 A Ap ln p q B p p q A B Ap p ln p q arcg c q p q p Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей IV типа A Ap ( p ) B IV A B ( p q) ( p q) p d A d( p q) Ap B ( ) p q й p p щ к q ъ кл ъы p u ; du ; A ( ) ( ) p q d p q p a q 0 Ap du A Ap du B B, ( u a ) ( )( p q) ( u a ), du где интеграл I ( u a ) ( ) можно вычислить, используя рекуррентную формулу () 5 Интегрирование рациональных дробей Многочлен n-ой степени от х называется выражение вида n n Pn ( ) a0 a an, n N На множестве многочленов можно однозначно определить операцию деления многочлена с остатком Теорема Пусть f( ) и g( ) - два произвольных многочлена, причем многочлен g( ) отличен от нуля Тогда существуют такие многочлены s( ) и r( ), что справедливо равенство f( ) g( ) s( ) r( ) При этом многочлен s( ) определяется однозначно, а многочлен r( ) либо равен нулю, либо имеет степень меньшую, чем s( ) По аналогии с делением чисел, многочлен s( ) называется частным, а r( ) - остатком от деления f( ) на s( ) Пример Произведем деление многочлена P5 ( ) на многочлен Q ( Решение Выполним деление в столбик (сравните с алгоритмом деления чисел!), а именно: 5

14 5 5 Следовательно, 5 ( )( ) ( ) Функция вида делимое частное делитель остаток n n Pn ( ) a0 a an ( ) m m Qm ( ) b0 b bm R называется дробно-рациональной функцией ( i j a i 0 n, b j 0, m R, n, m N ) или рациональной дробью Если n m, то дробь называется правильной Если n m, то дробь называется неправильной Если рациональная дробь неправильная, то посредством деления числителя на знаменатель неправильную рациональную дробь можно представить согласно теореме в виде суммы многочлена и некоторой правильной рациональной дроби: Pn ( ) P ( ) Mn m( ) ; где n m, но m Q ( ) Q ( ) m m 5 Пример Преобразуем дробь Разделим числитель на знаменатель: Следовательно, 5 9 Алгебраическим уравнением n-ой степени называется уравнение f( ) 0, где f( ) - многочлен n-ой степени от х При решении алгебраических уравнений используется следующая теорема Теорема (Теорема Безу) Остаток от деления многочлена f( ) на двучлен ( a ) равен значению многочлена f( ) в точке a, те f( a ):

15 f( ) f( a) g( ) Ы f( ) ( a) g( ) f( a) a a Действительно, из теоремы () имеем: f( ) ( a) g( ) r( ), где остаток r( ) либо равен нулю, либо его степень меньше, чем степень ( a ), те нулевая Итак, r( ) cons Полагая в последнем равенстве a, получим f( a) r( a ) Следовательно, если а корень уравнения f( ) 0, то многочлен f( ) нацело делится на ( a ), тк r( a) f( a ) 0 Таким образом, если известен один корень a уравнения f( ) 0, то f( ) ( a) g( ) и нахождение остальных корней этого уравнения сводится к решению уравнения g( ) 0, имеющего степень ( n ) Теорема (Большая теорема алгебры) Любой многочлен с действительными коэффициентами допускает представление в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов, не имеющих действительных корней, те n m l Q( ) ( a) ( b) ( p q) ( r s), p r где q 0 и s 0 Степень многочлена Q( ) равна n m l Разложение правильной рациональной дроби на простейшие P( ) Пусть нам дана правильная несократимая рациональная дробь Q( ) Теорема Пусть a есть корень знаменателя кратности, те Q( ) ( a) Q ( ), где ( 0 P( ) Q( ) можно представить в виде суммы двух правильных дробей следующим образом: P( ) A P ( ), Q( ) ( a) ( a) Q ( ) () где А - постоянная, не равная нулю, а P ( ) - многочлен, степень которого ниже степени знаменателя ( a) Q( ) Доказательство Запишем тождество: P( ) A P( ) AQ ( ) Q( ) ( a) ( a) Q ( ) (справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен P( ) AQ ( ) делился на a без остатка Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство P( a) AQ( a) 0 Тк P( a) 0, Q ( a) 0, то P( a) A Тогда Q ( a ) P( ) AQ( ) ( a) P ( ) () Подставив () в правую часть (), получим P( ) A ( a) P ( ) Q( ) ( a) ( a) Q ( ) () ()

16 P( ) A P ( ) отсюда Q( ) ( a) ( a) Q ( ) Следствие Применяя аналогичные рассуждения к правильной рациональной дроби P ( ) ( ), можно получить разложение a Q ( ) P( ) A A A A P ( ) Q( ) ( a) ( a) ( a) a, Q ( ) P ( ) где - правильная дробь Q( ) Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя, где каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида p q Если же комплексные корни имеют кратность, то им соответствует выражение ( p q) P( ) Теорема Пусть имеется правильная рациональная дробь Q( ) и знаменатель m Q( ) ( p q) ( ), () где квадратный трехчлен p q имеет комплексно сопряженные корни a bi, а ( ) не делится на p q Тогда правильную рациональную дробь можно представить в виде: P( ) M N P ( ) m m () Q( ) ( p q) ( p q) ( ) Следствие Применяя теорему m раз, получим P( ) M N M N Mm Nm Pm ( ) m m Q( ) ( p q) ( p q) p q ( ) Следствие Любая правильная рациональная дробь допускает разложение на простейшие дроби I, II, III, IV типов, те если знаменатель имеет и действительные, и комплексные корни: m n Q( ) ( a) ( p q) ( r s), то P( ) A A A Am m m m Q( ) ( a) ( a) ( a) a C D C D Cn Dn n n ( p q) ( p q) p q M N M N M N ( r s) ( r s) r s Для определения неизвестных коэффициентов в правой части равенства, приводим ее к общему знаменателю Получим дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства Затем отбрасываем знаменатели и приравниваем числители В результате получим тождественное равенство, в котором левая часть - многочлен с известными коэффициентами, а правая часть - многочлен с неизвестными коэффициентами Имеются два способа определения неизвестных коэффициентов I способ Метод частных значений Тк многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо х в левую и правую части

17 любое число, получим верное равенство, оно является линейным уравнением относительно неизвестных коэффициентов Подставляя столько значений х, сколько неизвестных коэффициентов, получим линейную систему относительно этих коэффициентов Вместо х в левую и правую части можно подставлять любые числа, однако удобно подставлять корни знаменателей дробей II способ Метод неопределенных коэффициентов Тк многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях х Приравнивая эти коэффициенты в левой и правой части, получим линейную систему относительно неизвестных коэффициентов Решая систему, найдем эти коэффициенты На практике при интегрировании дробно-рациональной функции используют оба метода одновременно Схема интегрирования рациональных функций ) Неправильную рациональную дробь представить в виде суммы целой части и правильной дроби ) Разложить знаменатель на множители ) Разложить произвольную дробь на простейшие ) Проинтегрировать простейшие дроби 7 Пример ( )( )( ) 7 Разложим дробь на простейшие ( )( )( ) 7 A B C ( )( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) Приравняем числители 7 A( )( ) B( )( ) C( )( ) Тк в знаменателе нет многочленов с комплексными корнями, то лучше использовать метод частных значений 6 A A При : 6 A При : 0 5 B или 0 5 B B При : 0 0 C 0 0 C C Следовательно, имеем: 7 ( )( )( ) Интегрируем: 7 ( )( )( ) ln ln ln c

18 Пример ( ) ( ) Разложим подынтегральную дробь на простейшие: A B C D ( ) ( ) ( ) A( )( ) B( ) ( C D)( ) ( ) ( ) Приравняем числители A( )( ) B( ) ( C D)( ) ; A( ) B B ( C D)( ); A A A A B B C C C D D D Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х 0 A C 0 A B C D A C D 0 A B D Из первого уравнения выразим С : C A Подставим в третье уравнение: A A D Отсюда выразим D: A D D A D A Подставив в четвертое уравнение, выразим В: A B A 5 B A A A,5 A,5 A A 5 B A 8 Подставив все это во второе уравнение, найдем А: 5 0 A A A A A A A A A A A A A A A; 5 A; A Значит, C 5 7 D ; 5 5

19 5 B Получили ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Осталось проинтегрировать: 6 ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 7 d( ) d( ) 6 d( ) ( ) ln ln( ) arcg 5 c 5 5( ) Интегралы от некоторых иррациональных функций Интегралы от иррациональных функций с помощью соответствующей подстановки сводят к интегралам от рациональных функций m r I Интегралы вида R(, n,, s), где R - рациональная функция своих аргументов m r Пусть - общий знаменатель дробей,, n s Подстановка Тогда ; Пример d( ) m ln( ) C ln c й r щ a b n a b s II Интегралы вида R к,,, ъ к c d c d ъ кл ъы a b m r Подстановка, где - общий знаменатель дробей,, c d n s b ad bc Тогда ; отсюда a c ( a c ) Пример ( ) ( 6 ) ( ) ( ) c ( ) c

20 Пример ( ) ( )6 5 6 ( ) ( )( ) ( ) c ( ) ( ) c III Интегралы вида ( ) a b c Подстановка ; Пример ( ) d c ln c ln ( ) Пример Подстановка:, тогда ; ; c ln c ln c ln c ln IV Интегралы вида Pn( ) a b c, () где Pn ( ) - многочлен степени n Представим интеграл () в виде: Pn ( ) Qn ( ) a b c a b c a b c, () где Qn ( ) - многочлен степени n ; - действительное число

21 Находятся Qn ( ) и следующим образом Продифференцируем выражение (): b a Pn ( ) Q n ( ) a b c Qn ( ) () a b c a b c a b c Приведем обе части () к общему знаменателю и приравняем числители Получим: b Pn ( ) Qn ( ) a b c Qn ( ) a () Затем число и коэффициенты многочлена Qn ( ) находятся либо методом неопределенных коэффициентов, либо методом частных значений Пример Найти интеграл 6 Представим этот интеграл в виде: A B C D Продифференцировав равенство, получаем A B C 6 6 A B C D 6 6 Тогда A B C 6 ( ) A B C D или 8 A ( A 6 B) (9A 5B C) (6 B 9C D) C D Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему: 8 A ; A 6B 0; 9 A 5B C 0; 6B 9C D ; C D 0 Решаем эту систему: A ; B ; C ; D ; Значит, , где 6

22 ln c V Интегралы вида ( ) m a b c Подстановка Затем решаем как IV 7 Интегрирование некоторых тригонометрических функций R, где R- некоторая рациональная функция от sin Интегралы вида (sin, cos ) и cos Подстановка g называется универсальной тригонометрической подстановкой Тогда arcg и Кроме того, sin cos sin cos g sin ; sin cos g cos sin cos sin g cos cos sin g В результате приходим к интегралу от рациональной функции R(sin, cos ) R, R ( ), где R - рациональная функция Итак, универсальная тригонометрическая подстановка g ; sin ; cos ; g ; ; Пример cos sin ; cos ; g ln ln c c g Частные случаи интегрирования тригонометрических функций ) Если функция R нечетна относительно sin : R( sin, cos ) R(sin,cos ), то рекомендуется подстановка cos Тогда sin При помощи формулы sin cos интеграл R(sin,cos )

23 приводится к виду: R (cos ) sin R ( ) sin Пример sin cos sin sin cos cos cos cos c sin c cos cos ) Если функция R нечетна относительно cos : R(sin, cos ) R(sin, cos ), то рекомендуется подстановка sin Тогда cos При помощи формулы cos sin интеграл R(sin,cos ) приводится к виду: R (sin ) cos R ( ) Пример cos sin arcg c arcg(sin ) c cos sin ) Если подынтегральная функция является четной относительно и синуса, и косинуса, те R( sin, cos ) R(sin, cos ), то применяется подстановка: g ; arcg ; ; g cos ; sin ; g g Пример g ; cos ; sin ; g ; ; sin cos cos ; sin ; g ln c ln c g ( ) ) Интегралы вида R(g ) Здесь подынтегральная функция зависит только от g, производиться подстановка g R(g ) R( ) 5) Интегралы вида R(cg ) Здесь подынтегральная функция зависит только от cg Производится подстановка: cg ; arccg ;, тогда R(cg ) R( )

24 6) Интеграл вида sin cos m n Здесь можно выделить три случая: а) Если m 0 и нечетное, а n - четное, то подстановка cos Если n 0 и нечетное, а m - четное, то подстановка sin sin cos sin Пример ( sin ) sin cos cos cos ( sin ) cos c cos ; cos c б) Если оба показателя m и n положительны и четны, применяются формулы понижения степени: cos cos sin cos cos cos Пример sin cos ( cos )( cos ) sin ( cos ) 8 8 cos sin d(sin ) sin sin c Пример sin ( cos ) ( cos cos ) cos cos cos cos sin sin c 8 в) Если оба показателя m и n отрицательны и сумма их четная, производится подстановка g g ; ; Пример sin cos sin ; cos ; ( ) ( ) ln c ln g c g Приведем еще несколько примеров Пример Подынтегральная функция нечетна относительно sin Сделаем подстановку cos cos sin

25 sin sin cos sin cos sin cos ( cos ) sin cos cos ( cos ) sin ( ) ( ) cos ln c ln c cos cos Пример sin Тк подынтегральная функция нечетна относительно sin, сделаем подстановку cos cos sin sin sin ( cos ) sin sin ( cos )( sin ) ( ) ( ) cos c cos c г) Если один из показателей равен нулю, а другой есть отрицательное нечетное число, то производится универсальная подстановка g Например, ln c sin 8 8 ( ) g ln g c 8 8 g 8 Интегрирование некоторых иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок Рассмотрим интеграл R(, a b c) где a 0; b ac 0 Здесь - R рациональная функция относительно своих аргументов При b ac 0 получается рациональная функция Произведем преобразование трехчлена, стоящего под корнем: b b ac a b c a a a Сделаем замену переменной: b b ac a z и обозначим m a a Тогда трехчлен преобразуется к виду: a b c z m Случай a bc c z m не рассматривается, тк выражение z m в области действительных чисел не имеет смысла В результате имеем три случая: I R ( z, m z ) dz Подстановка z m sin

26 II R ( z, m z ) dz Подстановка z m g III R ( z, z m ) dz m Подстановка z cos Пример a Это интеграл типа I Подстановка a sin a sin a sin a cos a sin cos a cos a a a sin a cos a a a sin ( cos ) sin c Из a sin имеем: arcsin Кроме того, a sin sin cos sin sin Тк sin a, то sin и тогда a a a a a a sin arcsin c a c a a a Пример Это интеграл типа III ( 9) Подстановка cos Тогда sin cos 9 cos 9 sin Тогда cos cos cos cos sin cos sin ( 9) 9 sin cos 7 sin cos cos d(sin ) 9 c sin 9 sin 9 sin 9 Тк cos, то sin cos 9 Имеем: c ( 9) 9 9 z Пример ( ) ( ) ( ) dz z g dz cos z z dz g g sin cos sin cos

27 cos cos d(sin ) c sin sin cos sin sin sin g g z Из формулы sin имеем: sin g g z Тогда ( ) c z z ( ) c c 9 Интегрирование дифференциальных биномов Дифференциальным биномом называют выражение вида m n p ( a b ), где a и b - любые постоянные, а показатели степеней m, n, p - некоторые рациональные числа Рассмотрим интеграл от дифференциального бинома: m ( a b n ) p Сделаем замену: n Тогда n и интеграл преобразуется к виду: n m m m n p n p n n p ( a b ) ( a b) ( a b) n n m p p n a b n m Отсюда следует, что если p и - целые числа, то интеграл сводится к интегралу n й m r щ a b n a b s вида R к,,, ъ к c d c d ъ кл ъы Теорема Чебышева Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех следующих случаях: m m ) p - целое; ) - целое; ) p - целое n n Подстановки Чебышева: ) p - целое Подстановка s, где s - наименьшее общее кратное дробей m и n m ) -целое число Подстановка n s a b, где s- знаменатель дроби p n m ) a p - целое число Подстановка b s, где s - знаменатель дроби p n n Пример Имеем: ( ) m ; n ; p ; Подстановка дает m - целое n

28 ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; 7 6 ( ) ( ) c 7 7 c 7 Пример ( ) m Имеем: m 0; n ; p ; p 0 - целое n Подстановка Отсюда Тогда ( ) и 5 ( ) 5 ( ) ( )( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) arcg ln c c arcg ln 0 О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Мы сформулировали теорему о существовании неопределенного интеграла, из которой следует, что если функция f( ) непрерывна на отрезке [ a; b ], то для нее существует первообразная F( ), следовательно, и неопределенный интеграл f( ) на [ a; b ] Но можно указать такие элементарные функции, интегралы от которых не выражаются никакими конечными комбинациями основных элементарных функций Так, например, интегралы ) e,

29 ) cos, ) sin ), ln cos 5), sin 6) нельзя представить никакими элементарными функциями


Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана ЕБ Павельева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» УДК 57

Подробнее

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ;

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ; ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений.....интегрирование иррациональностей..... Интегрирование тригонометрических

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ( u = u( Непосредственное интегрирование. степенные функции. m u. du = показательные функции

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ( u = u( Непосредственное интегрирование. степенные функции. m u. du = показательные функции ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ 0 степенные ии l показательные ии l дробные рациональные и иррациональные ии 5 rg 6 l 7 rsi 8 l тригонометрические ии 9 si 0 si g g si гиперболические ии sh h h sh 5 h h 6 h sh f F C

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А А АТВИНОВСКИЙ И В ПАРУКЕВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

К.А. ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

К.А. ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ КА ЦИПОРКОВА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Рязань УДК 7 Интегральное исчисление функции одной

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4)

C R. ( x) . 3) + C. (3). (4) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет имени НИ Лобачевского СЮ Галкина, ОЕ Галкин НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Курс лекций Рекомендовано методической

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ Ю.И. Тюрин 006г. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование. Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

8. Первообразная и неопределенный интеграл

8. Первообразная и неопределенный интеграл ТЕОРИЯ 8. Первообразная и неопределенный интеграл Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F() называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ Практическое пособие

Подробнее

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» ИВ Дубограй, ЕВ Коломейкина, СИ Шишкина

Подробнее

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни Определение: Многочленом степени n (n N) называется всякое выражение вида: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, где a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n старший коэффициент, a

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания

Подробнее

Многочлены и их корни

Многочлены и их корни Многочлены и их корни 2018 г. Гущина Елена Николаевна Определение: Многочленом степени n n N называется всякое выражение вида: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., где a &, a &+,, a,, a. R, a &

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее