Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; ;60500; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ МОДУЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по курсу Высшая математика для иностранных студентов Утверждено на заседании кафедры высшей математики Протокол 5 от Харьков ХГТУСА 008

2 Методические указания к выполнению заданий модуля Дифференциальные уравнения по курсу Высшая математика для иностранных студентов направлений подготовки бакалавров: 60600; ; 60500; / Составители: ЕА Аршава, ВА Гаевская, ЕВ Поклонский Харьков, ХГТУСА, с Рецензент АП Харченко Кафедра высшей математики

3 ВВЕДЕНИЕ Методические указания предназначены для оказания помощи студентам в организации самостоятельной работы по теме Дифференциальные уравнения Результативность самостоятельной работы обеспечивается системой контроля, которая включает в себя следующие этапы: выполнение индивидуальных домашних заданий; выполнение контрольной работы по теме Дифференциальные уравнения ; выполнение и сдача итогового задания по теме Дифференциальные уравнения -го и -го порядков ; выполнение модульной контрольной работы по всем темам модуля Методические указания содержат рабочую программу модуля, индивидуальные домашние задания, варианты итогового задания и пример его выполнения, а также варианты тестовых заданий, пример выполнения модульного контроля и вопросы для подготовки к его сдаче ПРОГРАММА МОДУЛЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения первого порядка, однородные относительно переменных 5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 6 Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения второго порядка Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям второго порядка Задача Коши, общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка Три типа дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка Свойства частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений

4 5 Определитель Вронского, его свойства Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка 6 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Нахождения общего решения с помощью характеристического уравнения 7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Принцип суперпозиции Метод вариации произвольных постоянных 8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью Метод неопределенных коэффициентов Системы дифференциальных уравнений Основные понятия теории систем дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений, ее физический смысл Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Найти общее или частное решение (интеграл) дифференциальных уравнений -го порядка Вариант d d, ( ) ( ) 0 Вариант tg, sin Вариант, ( ) Вариант sin ln, cos ds cos t s sin t dt

5 Вариант 5 sin ( ), (0) Вариант 7 0 d ( ) d 0 cos cos( sin), (0) Вариант 9 ln ctg tg 9, 0 Вариант ( ) 0 ( ) ( ) d ( ) d, 8 Вариант tg ( ) d ( ) d 0 0, 0 6 Вариант 6 cos, 0 0 Вариант 8, () 8 ( ) 0 Вариант 0 5 ln 0, Вариант ( ) 0 d ( ) ( ) d ( ), (0) Вариант cos ( cos ) d cos d 0 ( ), 0 5

6 Вариант 5 d d 0 ( ) d d 0, ( ) ( ) ( ) d d Вариант 7 tg tg ( ) d ( ) d 0 tds sdt t ln t dt ( )( ), (0) Вариант 9 ( ) cos cos, () ln 5 0 Вариант d ctgd 0, () ( ) r r ( ) Вариант d ( ) d ( ) d d 0, 0 arctg, (0) Вариант 5 6 Вариант 6 ( ) d d 0 d d sin d (5 ), Вариант 8 ( ) d d 0 ( ) tg sin, ( ) 5 ( 5) Вариант 0 ( ) d ( ) d 0 ctg cos ctg 5 d ( ) d, Вариант ( ) d ( ) d 0, ( ) ln Вариант sin 0 ( ln ln ) cos sin, 0 tg sin Вариант 6 S tgt dt ds 0

7 ( ) ctg sin Вариант 7 ( ) d ( ) d 0 sin sin 7 ( ) ( ), (0) Вариант 9 ( ) d ( ) d 0 ( ) d d 0 td ( t sin t) dt 0 cos cos ( sin ), ( 0) d, d 5 Вариант 8 cos, ( ), sin sin Вариант 0 ( ) 0 t t cos t 0 t cos sin cos cos, 0 sin Найти общее или частное решение (интеграл) дифференциальных уравнений -го порядка, допускающих понижение порядка Вариант ( ), (), () 0 Вариант sin ( ) 0,, ( ) ( ) Вариант sin ( ) ( ), 0, Вариант ( ), () 0, () 0 ( )

8 Вариант 5 5sin ( ) ( ), (), () ( ) ( ) Вариант 7 sin 5 tg sin ( ) 5( ), 0, Вариант 9 7 sin ( ) ( ) 0 ( ) 0,, 0 0 Вариант ln,, cos ( ) 0 Вариант 5 ( ) ( ) 0, (0), (0) 8sin cos 0 Вариант 5 0sin ( ) ( ), () 0, () Вариант 7 sin 5 ( ) ( ) 0,, Вариант 6 cos ( ) 0,, 0 Вариант 8 5cos ln ( ) 0,, 0 0 Вариант 0 tg ( ln ) (ln ) 0, (), () ( ) 0 Вариант cos ( ) 0 ( ) ( ),, Вариант 8cos ( ) 0 0 ln,, Вариант 6 6 sin 5 ( ) ( ),, Вариант 8 0 5sin 7 ( ) ( ) ( ),, 8

9 Вариант 9,, 0 0 ( ) ( ln ) ln ( ) 0 Вариант cos sin 6 5 ( ), 0, Вариант ) ( ),, ( Вариант 5 5, (0), (0) ctg sin Вариант 7 8( ) sin tg ( ),, 0 0 Вариант 9 cos sin ( ) 0 ( ), 0, Вариант 0 ( ) 6arcsin,, 0 Вариант 5 (arctg ) 0, (0) 5, (0) 50sin cos Вариант 7 5 ( ) ( ), () 6, () ( ) 0 Вариант 6 sin ( ), (0), (0) ( ) 0 Вариант 8 cos, (), () ( ln ) ( ln )( ) 0 Вариант 0 5,, ( ) ( ) 0 0 9

10 Найти общее или частное решение линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами Вариант 9 9 0, 0, Вариант 5 0, 0, Вариант 5 0, 0, Вариант 0, 0,5, 0 0,5 0 0 Вариант 5 Вариант 6 0 0, 0, 0 0, 6 0, 0 0, Вариант 7 Вариант 8 8 0, 0, , 0 7, 0 0, ,5 0 0,0 0, 0 Вариант 9 Вариант , 0, 0 7 0, 0 0, Вариант 7 6 0, 0, Вариант 0, 0 0, Вариант 5 0 0, 0, Вариант , 0, Вариант 0, 0, Вариант 60 0, 0, Вариант , 0, Вариант , 0 0,

11 0 0 Вариант , 0, Вариант 0, 0, Вариант 0 0, 0, Вариант 5 0, 0, Вариант 7 8 0, 0, 0 5 0,, 0 Вариант 9 0, 0, Вариант 0 0, 0 0, Вариант 0, 0, Вариант 7 0, 0 0, Вариант 6 7 0, 0, Вариант 8 5 0, 0, Вариант , 0, ,5 0 Найти общее или частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами Вариант Вариант 9 5, 0, , 0, 0 8 sin cos 8sin 6 5 Вариант 8, 0 0, 0 9 cos cos Вариант 5, 0, 0 sin ln 5 8 5

12 Вариант 5, 0, tg Вариант 7, 0, 0 sin cos 5 6 Вариант , 0, 0 6,5 m m sin m Вариант cos, 0, 0 5 Вариант 5 5, 0, 0 6 sin Вариант 5 0 cos, 0, 0 sin Вариант 7 8, 0 0, 0 9 cos 6 5 Вариант , 0, 0 sin cos 9 Вариант 6 sin, 0 0, 0 Вариант 8, 0 0, 0 0 d k k sin kt dt Вариант 0, 0, 0 5 cos Вариант,, 0 sin Вариант, 0, sin Вариант 6, 0, sin cos Вариант 8, 0, 0 0 sin cos Вариант , 0, 0 8 cos

13 Вариант 5 5, 0, sin sin Вариант sin, Вариант 5, ctg Вариант 7 6, 0 0, 0 sin cos Вариант 9 6 5, 0, 0 0 sin Вариант 8, 0, 0 cos Вариант 5 6 7, sin cos 6 9 Вариант 6 sin cos, 0, Вариант 8 6, 0, cos Вариант 0, 0, 0 9 sin ВАРИАНТЫ ИТОГОВОГО ЗАДАНИЯ Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения sin ln, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 7 Найти общее решение дифференциального уравнения sin Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 6sin 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных

14 Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения sin 0, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 9 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальному условию ( 0) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) 5( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 6 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 8 0, которое удовлетворяет начальным условиям ( ) ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 5 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( 0)

15 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) 0 Найти частное решение дифференциального уравнения 5 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения 5 6 методом вариации произвольных постоянных Вариант 6 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения sin 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 методом вариации произвольных постоянных Вариант 7 Найти частное решение дифференциального уравнения d d, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ln Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) 7 Найти общее решение дифференциального уравнения 8sin 7cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом cos вариации произвольных постоянных Вариант 8 Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) 0, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ln ) (ln ) 0 Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 5

16 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 методом вариации произвольных постоянных Вариант 9 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 8 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 0 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом sin вариации произвольных постоянных Вариант 0 Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) ( ) 0, которое удовлетворяет начальному условию ( 0) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 5 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 9 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 5 методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальному условию ( 0) Найти общее решение дифференциального уравнения 8cos 5 cos Найти частное решение дифференциального уравнения 7 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 8sin cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения ln методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) d d 0, которое удовлетворяет начальному условию ( )

17 Найти общее решение дифференциального уравнения Найти частное решение дифференциального уравнения 9 0, которое удовлетворяет начальным условиям ( ) 0; ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 6 ( ) методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения tg методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения cos d ( ) d0, которое удовлетворяет начальному условию () 7 Найти общее решение дифференциального уравнения 0sin Найти частное решение дифференциального уравнения 5 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 5 6 Найти частное решение дифференциального уравнения sin d d d, которое удовлетворяет начальному условию () 6 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 cos 7

18 Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 5; (0) 6 Найти общее решение дифференциального уравнения cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения вариации произвольных постоянных Вариант 6 Найти частное решение дифференциального уравнения cos d ( )sin d 0, ( ) 0 методом которое удовлетворяет начальному условию Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 6 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 6; (0) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 7 Найти частное решение дифференциального уравнения ( )( ), которое удовлетворяет начальному условию ( 0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти частное решение дифференциального уравнения 8 0 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 5sin cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 8 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 8

19 Найти частное решение дифференциального уравнения 0 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 6 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 9 cos методом вариации произвольных постоянных Вариант 9 Найти частное решение дифференциального уравнения tg sin, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( arctg ) 0 Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 0 Найти частное решение дифференциального уравнения cos ln d tgd 0, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) ( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 9 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) 5 Найти общее решение дифференциального уравнения sin cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 ( ) методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) ctg, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) 0 Найти частное решение дифференциального уравнения 8 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 6 Найти общее решение дифференциального уравнения sin cos 5

20 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант 0 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) ln Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти частное решение дифференциального уравнения 0 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 7 методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) ln, которое удовлетворяет начальному условию ( ) 5 9 Найти общее решение дифференциального уравнения sin Найти частное решение дифференциального уравнения 9 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 6 6sin cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных Вариант Найти частное решение дифференциального уравнения ( ) d 6 5 d 0, которое удовлетворяет начальному условию ( 0) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения 8( ) Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 8sin 5 Найти общее решение дифференциального уравнения sin методом вариации произвольных постоянных

21 Вариант 5 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( 0) Найти общее решение дифференциального уравнения ctgsin Найти частное решение дифференциального уравнения 6 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) 0; (0) 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 7 5 Найти общее решение дифференциального уравнения вариации произвольных постоянных Вариант 6 Найти частное решение дифференциального уравнения ( 6 ) d d, методом которое удовлетворяет начальному условию ( ) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения методом cos вариации произвольных постоянных 5 Вариант 7 Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения sin Найти частное решение дифференциального уравнения 6 9 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 cos методом вариации произвольных постоянных Вариант 8 Найти частное решение дифференциального уравнения ( ), которое удовлетворяет начальному условию ( 0) 0 Найти общее решение дифференциального уравнения

22 Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 9 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 6 методом вариации произвольных постоянных Вариант 9 Найти частное решение дифференциального уравнения sin ln 0, которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения cos Найти частное решение дифференциального уравнения 0 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5 Найти общее решение дифференциального уравнения cos методом вариации произвольных постоянных Вариант 0 Найти частное решение дифференциального уравнения ctg, sin которое удовлетворяет начальному условию ( ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) 0 Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям (0) ; (0) Найти общее решение дифференциального уравнения 5sin cos 5 Найти общее решение дифференциального уравнения cos методом вариации произвольных постоянных ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ИТОГОВОГО ЗАДАНИЯ Найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию ( )

23 Заданное уравнение может быть представлено в виде: Следовательно, это уравнение Бернулли, где: p ( ) ; q( ) ; n Положим, что uv; uv u v v u v u v uv Тогда u v uv или u v u( v ) Приходим к двум дифференциальным уравнениям с разделенными переменными: v v 0 u v u dv v du u d d dv d du d v u ln v ln ln C u v ln ln c u u ln C Тогда общее решение имеет вид: ln C При і находим значение произвольной переменной C : C Поэтому частным решением уравнения, которое ln C удовлетворяет начальному условию, будет: (ln ) Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) Заданное уравнение относится к типу f (, ) Для его решения положим p( ) Тогда pp и уравнение приобретает вид: p p pp, откуда p Получили дифференциальное уравнение p первого порядка с разделенными переменными Решая его, получим: dp p ; d p

24 pdp d ; p ln( p ) ln ln C ; p C p C d d Учитывая, что p, будем иметь: C d d Разделяя переменные d d и интегрируя это уравнение, C находим общий интеграл C C, а разрешив относительно : C C ( C) - общее решение заданного уравнения C Найти частное решение дифференциального уравнения 0, которое удовлетворяет начальным условиям: (0) ; (0) Составляем характеристическое уравнение k k 0 Его корни p p находим по формуле k, q, согласно которой k 9, i Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные ( k, i ) Следовательно, ; Тогда общее решение заданного уравнения имеет вид C cos C sin Дифференцируя, получим C C cos C C sin Используя начальные условия, находим значения C и C из системы уравнений: C C C 7 Решая систему, получим C ; C Подставляя найденные значения в общее решение, находим частное решение дифференциального уравнения: 7 cos sin Найти общее решение дифференциального уравнения ;

25 Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью Его общее решение будем искать в виде: Y Для нахождения запишем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, соответствующее заданному линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка: 0 Составим характеристическое уравнение: k k 0 Его корни: k ; k Следовательно, C C Правая часть f ( ) заданного уравнения является функцией вида f ( ) P ( ), где n 0, Поэтому n Y A, так как k k Дифференцируя Y дважды, получим: Y A ( ); Y 8A ( ) Подставим, Y, Y Y в заданное уравнение: 8A ( ) A ( ) A, отсюда находим A Следовательно, Y, а общее решение 5 5 заданного уравнения: C C 5 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 методом вариации произвольных постоянных cos Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью f ( ), которая не является функцией cos специального вида Будем искать его решение в виде: C ) C ( ) ( 5 0 Для этого найдем частные решения уравнения : k k 5 0, k, i, cos, Определитель Вронского для и : sin cos sin W (, ) 0, следовательно, и (cos sin ) (sin cos ) - линейно независимые решения 5

26 sin f ( ) Находим C ( ) cos tg, откуда W cos f ( ) C ( ) tgd ln cos C; C ( ) cos, W C ( ) d C Таким образом, общее решение заданного уравнения примет вид: C cos C sin ln cos cos sin ) ( 6 5 ВАРИАНТ МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЯ И ПРИМЕР ЕГО ВЫПОЛНЕНИЯ Вариант МК Тестовая часть Какое уравнение называют дифференциальным уравнением второго порядка? А) F(, )=0; Б) =f(); В) F(,,, )=0; Г) =f(,) К какому типу дифференциальных уравнений первого порядка принадлежит уравнение? А) с разделенными переменными; Б) однородное относительно переменных и ; В) линейное; Г) уравнение Бернулли Какой вид имеет общий интеграл уравнения? А) ln C ; Б) ln ln C ; В) C ; Г) ln C Какой вид имеет общее решение уравнения 0? А) C C ; Б) C C ; В) C sin C cos ;

27 Г) C C имеет вид: C sin C ; cos C C ; C cos C ; ctg C 5 Общее решение уравнения cos А) Б) В) Г) Часть вторая Теорема про структуру общего решения линейного однородного уравнения второго порядка Найти общее решение уравнения 7 6 sin Найти частное решение уравнения sin ln, которое П удовлетворяет начальному условию Решение: Тестовая часть ; ; d ; d d d ; d d C ; ln ln C 0 ; k k 0 ; k k 0 ; k ; k ; 0 C C 5 В Б Б Б В 7

28 ; cos d sin C; C sin d C cos C 5 cos Часть вторая Теорема про структуру общего решения линейного однородного уравнения второго порядка Теорема Если и - два независимых частных решений уравнения p q 0 (), тогда функция C C, где C и C произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения () Доказательство: Пусть уравнения () p q 0; p q 0; и - независимые частные решения W 0 Докажем, что выражение C C является общим решением Для этого согласно определению общего решения необходимо проверить два факта: ) то, что эта функция удовлетворяет уравнению (): C C pc C qc C C p q C p q C 0 C 0 0 ) доказательство того, что для любых начальных условий 0 0; 0 0 можно найти постоянные C и C Запишем эти начальные условия: 0 C 0 C 0 ; 0 C 0 C 0 Для нахождения C и C получена система линейных уравнений Система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю 0 0 W Найти общее решение уравнения 7 6 sin 8

29 Решение 0 Y - общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка Решим соответствующее однородное уравнение ; k k 7k 6 0; ; k 6; 6 0 C C Найдем какое-нибудь частное решение заданного уравнения Y f sin ; n 0, m 0 N mam, n 0; a 0, b a bi 0 i k, s 0 Таким образом, будем искать частное решение в виде: Y Acos Bsin Y Asin Bcos ; Дифференцируя Y дважды, получим: Y Acos Bsin Подставим значения Y, Y, Y в заданное уравнение: Acos Bsin 7 Asin Bcos 6Acos Bsin sin В левой части полученного тождества приводим подобные слагаемые: 5A 7Bcos 7 A 5B sin sin 0 cos Приравнивая коэффициенты при sin и cos в обоих частях тождества, получаем следующую систему уравнений: 5A 7B 0 7A 5B Решая ее, будем иметь: A ; B, Y cos sin Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: C C cos sin 7 7 Найти частное решение уравнения sin ln, которое П удовлетворяет начальному условию Решение Найдем сначала общее решение заданного уравнения Для этого d разрешим его относительно и заменим на : d d ln d sin d d Разделяем переменные ln sin После интегрирования имеем: ln ln ln tg ln C, 9

30 Ctg ln ln ln C tg, ln C tg, или - общее решение уравнения Используя начальное условие, находим значение произвольной Ctg постоянной С: ; C tg ; откуда C Подставляя значение C в общее решение уравнения, получим tg - частное решение уравнения 6 ПЕРЕЧЕНЬ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ Какое уравнение называют дифференциальным уравнением -го порядка? А) F, 0 ; Б) F,, 0 ; В) f ; Г) f,, Что представляет собой общее решение дифференциального уравнения первого порядка? А) функция (, C), которая зависит от и произвольной постоянной С и удовлетворяет условиям: ) (, C) - решение дифференциального уравнения, C ; ) каким бы не было начальное условие ( 0 ) 0, можно найти значение C C0, такое, что (, C0 ) удовлетворяет этому условию; Б) функция (,, C) 0 ; В) функция (,, C0 ) 0; Г) функция (, C), которая является решением дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной С Какой общий вид имеет линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами? А) a b 0 ; Б) a( ) b( ) 0 ; В) a b f () ; Г) a( ) b( ) f ( ) Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами необходимо: А) Найти частное решение неоднородного уравнения s a ( RN ( ) cosb TN ( )sin b) Б) Понизить его порядок путем подстановки підстановки p() В) Проинтегрировать уравнение дважды Г) Составить характеристическое уравнение и найти его корни 0

31 5 При помощи какой подставки дифференциальное уравнение f (, ) приводится к уравнению -го порядка? А) p() ; Б) p( ) ; В) p() ; Г) p() 6 Если характеристическое уравнение имеет разные действительные корни, тогда общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: k k k k А) C C ; Б) C C ; k ( C cos C sin k k C C В) ) ; Г) К какому типу дифференциального уравнения -го порядка принадлежит уравнение ln? А) с разделяющимися переменными; Б) однородное относительно переменных и ; В) линейное; Г) уравнение Бернулли К какому типу дифференциального уравнения -го порядка принадлежит уравнение? А) с разделяющимися переменными; Б) однородное относительно переменных и ; В) линейное; Г) уравнение Бернулли К какому типу дифференциального уравнения -го порядка принадлежит уравнение sin? А) с разделяющимися переменными; Б) однородное относительно переменных и ; В) линейное; Г) уравнение Бернулли К какому типу дифференциального уравнения -го порядка принадлежит уравнение ( )? А) с разделяющимися переменными ; Б) однородное относительно переменных и ; В) линейное; Г) уравнение Бернулли Какой вид имеет общее решение уравнения ( ) d ( ) d 0? А) ln C ; Б) ln C ; В) ln C ; Г) ln C Какой вид имеет общее решение уравнения sin 0? cos cos А) C ; Б) C ;

32 sin cos В) C ; Г) C Какой вид имеет общее решение уравнения d d 0? C А) ; Б) C ; В) C ; Г) C Какой вид имеет общий интеграл уравнения? А) C ; Б) C ; В) C ; Г) C 5 Какой вид имеет общий интеграл уравнения? А) C ; Б) ; В) C ; Г) C Какой вид имеет общее решение уравнения 0? А) C C ; Б) C C ; В) C C ; Г) C C Какой вид имеет общее решение уравнения 8 0? А) C C ; Б) C cos C sin ) ; ( ( C C sin В) C cos C sin ; Г) ) Какой вид имеет общее решение уравнения 0? А) C C ; Б) C C В) C C ; Г) C sin C cos 5 Общее решение уравнения sin( ) имеет вид: А) cos( ) C C ; Б) sin( ) C C ; В) sin( ) C C; Г) cos( ) C C 5 Общее решение уравнения 0 имеет вид: А) ln C C ; Б) ln C C; В) C C; Г) C C 5 Общее решение уравнения имеет вид: ln А) C C ; Б) C C ; 9 9 В) C C ; Г) 9ln C C 9ln ;

33 7 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ 7 Дифференциальные уравнения первого порядка Какое уравнение называют дифференциальным? Как определить порядок дифференциального уравнения? Какая функция называется решением дифференциального уравнения? Какое уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка? 5 Что представляет собой общее решение (интеграл) и частное решение (интеграл) дифференциального уравнения первого порядка? 6 Что называется задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка? 7 Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка 8 Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными и изложите метод их решения 9 Какое дифференциальное уравнение первого порядка называют однородным относительно переменных и? Как оно решается? 0 Какое дифференциальное уравнение первого порядка называют линейным? Изложить метод его решения Какой вид имеет уравнение Бернулли и как оно интегрируется? 7 Дифференциальное уравнение второго порядка Какое уравнение называют дифференциальным уравнением второго порядка? Какой вид имеет задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка? Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка Изложить методы приведения дифференциальных уравнений второго порядка f (,, ) к дифференциальным уравнениям первого порядка, если правая часть не содержит в явном виде: ), ) і, ) 5 Какое уравнение называют линейным дифференциальным уравнением второго порядка? 6 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка 7 Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 8 Изложить метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Какое уравнение называют характеристическим?

34 9 Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни его характеристического уравнения: ) действительные и различные, ) действительные и равные, ) комплексно сопряженные 0 Какой вид имеет частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью в случаях, если: ) f ( ) ( P ( )cos Q ( )sin ); n m ) f ( ) Pn ( ) ; ) f ( ) Acos Bsin? Сформулируйте принцип суперпозиции для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка Что называют определителем Вронского? Какие функции называют линейно независимыми, а какие линейно зависимыми? Изложить метод вариации произвольных постоянных Привести пример

35 Список литературы Кудрявцев ВА, Демидович БП Краткий курс высшей математики М: Наука, 975 Щипачёв ВС Курс высшей математики Изд МГУ, 98 Овчинников ПФ, Яремчук ФП, Михайленко ВМ Высшая математика Под ред ПФ Овчинникова К: Высш Шк, 00 Высшая математика для экономистов Под ред НШ Кремера М: «Банки и биржи», Сборник задач по высшей математике для экономистов Под ред ВИ Ермакова М: Инфра М, Мелентьєв БВ, Оранська АІ, Харченко АП Вища математика у прикладах і задачах Київ УМК ВО, I ч, 99 7 Мелентьєв БВ, Оранська АІ, Харченко АП Вища математика у прикладах і задачах Київ УМК ВО, II ч, 99 СОДЕРЖАНИЕ Введение Программа модуля Варианты индивидуальных домашних заданий Варианты итогового задания Образец выполнения итогового задания 5 Вариант модульного контроля и пример его выполнения 6 6 Перечень тестовых задач 0 7 Вопросы для самоподготовки Список литературы 5 5

36 Навчальне видання Методичні вказівки до виконання завдань модуля Диференціальні рівняння з курсу Вища математика для іноземних студентів напрямів підготовки бакалаврів: 60600; ; 60500; Укладачі: Аршава Олена Олександрівна Гаєвська Вікторія Олексіївна Поклонський Євген Васильович Відповідальний за випуск АІ Кононенко Редактор ВІ Пуцик План 008р, поз 7 Підп до друку Формат 60х8 /6 Папір друк Надруковано на ризографі Обл-вид арк 8 Умов друк арк 6 Тираж 00 прим Зам 99 Безкоштовно ХДТУБА, Україна, 600, Харків, вул Сумська, 0 Підготовлено та надруковано РВВ Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури 6

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для модуля ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Харьков

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее