Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ("

Транскрипт

1 Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные функционалы Пусть на - базис пространства всех непродолжаемых решений однородного уравнения и { } - некоторое фиксированное решение неоднородного уравнения тогда для любого { } существует и притом единственная пара чисел таких что *: Если на то в представлении * Предложение : Если задаче то в представлении * есть решение линейной алгебраической системы Для задачи система однородная Верно и обратное Доказательство: подставим * в : следовательно : - зависит от но не от det Обратно читай справа налево Для задачи получаем: тк и Теорема : Следующие три утверждения эквивалентны: любая - задача имеет и только одно решение задача имеет лишь Доказательство: : из следует что для любой - задачи существует и притом единственная пара чисел следовательно по предложению существует и притом единственная - задаче

2 : очевидно : Пусть задача имеет лишь тогда следовательно однородная система имеет лишь тривиальное решение следовательно Предложение : Пусть и фиксируем точку ξ и пусть и ξ ξ тогда совокупность всех непродолжаемых решений однородного уравнения удовлетворяющих условию: есть одномерное подпространство двумерного пространства всех непродолжаемых решений Доказательство: ξ ξ Данному уравнению удовлетворяет пара чисел υ ξ ибо Знаем что! υ {} : υ ξ следовательно υ υ Очевидно что для любого υ ξ ξ Пусть {} : det тк - решение но υ ξ υ ξ det W ξ следовательно и υ линейно зависимые Тк υ то υ Теорема : Если задача имеет υ то Все решения задачи есть одномерное пространство решений однородного уравнения для каждой а : не имеет ни одного решения б : имеет хоть одно решение при этом имеем υ и обратно для каждого решения - задачи существует единственное : υ Доказательство: υ υ следовательно по предложению υ - все решения { } такие что По предложению все решения {} - одномерное пространство υ Таким образом все решения задачи есть υ а из υ решение задачи следует что те det σ тогда столбцы линейно зависимые следовательно существует - линейно τ

3 независимый от столбцов тк пространство двумерное Берем τ σ тогда [] [] τ σ Из выбора следует: не существует следовательно не существует ни одного решения тогда не существует ни одного решения τ σ - задачи б берем любое { } полагаем - задаче пусть -задаче и тогда υ - задаче тк υ Обратно: Пусть - задаче тогда - задаче тогда υ те υ Сведение - задачи к - задаче Лемма : интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра Пусть и тогда существует единственный полином не выше третьей степени : Доказательство: получили алгебраическую систему det 4 следовательно вычисляются однозначно Замечание: вместо двух точек можно взять любой конечный набор точек и в любой точке задать - всего N условий Тогда существует полином не выше степени удовлетворяющий всем условиям i i i i N Лемма : Существует полином не выше третьей степени не единственный такой что из следует что существуют :

4 Аналогично существуют : вычисляются не однозначно далее по лемме следует существование : следовательно Предложение : Если то ϕ где L Верно и обратное Доказательство: L L L L ϕ ϕ обратно: если ϕ L то ϕ Следствие: Достаточно найти все решения L любому решению получим все решения Очевидно - задачи - задачи Потом прибавив к Решение задачи в случае когда задача имеет лишь тривиальное решение F 4 Найдем специальный базис Пусть - решение уравнения 4 отличное от тождественного нуля существует по предложению тогда Пусть r - решение уравнения 4 отличное от тождественного нуля r r существует по предложению тогда r Утверждаем что и r линейно независимые Пусть r r r Из r следует что Аналогично Лемма : * и - базис однородного уравнения 4 F если * то Обратно: если то существует столбец * такой что: Доказательство: метод вариации произвольной постоянной проверить! Замечание: из * следует что F F W W

5 Лемма : Пусть ξ ξ ξ и пусть дифференцируемые в точке ξ функции таковы что ξ ξ ξ ξ 5 Рассмотрим тогда ξ ξ Доказательство: прямое вычисление и использование 5 Решение задачи Любое решение уравнения имеет вид: r * где r следовательно r Из следует что следовательно по формуле Ньютона Лейбница r s F s W s ds r получаем что следовательно r s r s F s ds F s ds W s W s r F s ds s r s F s Получаем что: ds следовательно W s W s s r s s ds r s ds s W s s W s [ ] G s s ds G s - функция Грина дифференциального оператора L с краевыми условиями: При условии что задача имеет лишь тривиальное решение значные : D { [ ] } L : D L [ ] G s - ядро интегрального оператора обратного к L : L G s s ds [ ] [ ] G s доказать! Решение задачи в случае когда задача имеет решение отличное от тривиального υ Теорема : Пусть известно что существует υ - задаче те L υ υ υ Предположим что существует хоть одно тогда

6 s t e dt t s υ s ds ортогональность с весом s s t e dt t Обратно: из s s t e dt t s υ s ds следует что существует При этом все s решения задачи имеют вид: υ Доказательство: υ - любое решение однородного уравнения линейно независимое от υ следовательно для каждого решения существует * что тк если то по предложению υ противоречие Аналогично Пусть - некоторое решение - задачи { } s s ds F s ds W s s F s ds W s Обратно: Пусть есть Построим s F s ds W s * s F s ds W s υ по теореме s s ds s s t W e dt t Теорема доказана выбрав: следовательно { } Все остальные решения - задачи имеют вид s s s t W следовательно e dt ds S t Собственные значения и собственные функции дифференциального оператора L ; - R значные функции ни разу R { D L } значное DL - линейное пространство над С L : D L

7 Определение: - собственное значение дифференциального оператора с условиями если существует D L отличное от тождественно нулевого на что L Для матриц: H H H Предложение : Если - собственное значение дифференциального оператора и υ его собственная функция то все остальные собственные функции отвечающие этому собственному значению есть: υ Доказательство: следует из теоремы части для оператора L L Предложение : Если собственное значение действительное то для него существует R значная собственная функция а остальные Доказательство: пусть u iυ Либо u либо υ L Выделяя Lu u Lυ υ реальную и мнимую части получаем что и следовательно u u υ υ либо υ действительная собственная функция Предложение : Если µ собственные значения дифференциального оператора и t µ - собственные функции тогда e µ dt d t L I Доказательство: L те - задача для оператора L I имеет L µ µ µ L µ µ µ µ µ L I µ следовательно µ µ de получаем - задача имеет хоть одно решение t а именно µ следовательно e µ µ dt d t Сокращаем на µ Приведение дифференциального оператора к самосопряженной форме L ни разу R -значные Если то оператор L имеет самосопряженную форму Умножим уравнение на ρ ни разу Получаем 4 ρ ρ L ρ ρ ρ Подберем ρ так чтобы ρ ρ t ρ следовательно e dt примет вид: 4 : sg sg ρ те ρ тогда 4 t < ρ ρ L q где q ρ

8 Применение к задаче на собственные значения L ни разу - R- значные умножим на ρ получем: L q ρ и то Следствие: если и и обратно: L ρ I те если - собственное значение и собственная функция оператора L то есть собственные значения и собственные функции пары операторов L и ρ I I - тождественный оператор Задача Штурма Лиувилля L q ρ R < q < ρ значн R Задача Штурма Лиувилля: найти число и такое что { верно Тогда - собственное число задачи Штурма Лиувилля - собственная функция задачи Ш-Л Теорема : существует R Λ не собственные значения задачи Штурма - Лиувилля Доказательство: для случая i ρ > [ ] M Пусть Годится Λ q M [ ] Λ что все [ M Докажем что не собственное значение задачи Штурма - Лиувилля M От противного: Пусть - собственное значение R следовательно по предложению существует собственная функция R значная d M [ ] [ ρ q ] i ρ q M d ибо из следует что тождественно нулевое * Пусть > иначе возьмем Пусть первый ноль функции < * Интегрируем от а до х: t t dt Тк то [ ] [ ] * * > следовательно > Противоречие с [ ] *

9 * Эквивалентность задачи Штурма Лиувилля интегральному уравнению Лемма : для уравнения q имеем: q W ost Доказательство: q d W W W W W d W ost L q Следствие: для оператора с условием задача имеет лишь тривиальное решение имеем: G S R значная и G S G S Доказательство: Возьмем Решением однородного уравнения второго порядка с действительными коэффициентами и действительными условиями Коши является действительная функция те R - значная Аналогично r R - значная W R- значных функций R- значен следовательно G S R- значная Берем две симметричные точки S в левом треугольнике и S в правом r S G S S W S r S G S W W W ost SWS SWS те W S W S S S r r G S G S Сведение задачи Штурма Лиувилля к интегральному уравнению L q ρ > q ρ R значные ρ > R Волну над L убрали те пишем L вместо L Пусть не собственное значение задачи Штурма Лиувилля те - задача имеет только тривиальное решение следовательно существует функция Грина G S - действительно значная симметричная [ ] [ ] Лемма : Если и на - собственное значение и собственная функция задачи Штурма Лиувилля те и выполнено то на [ ]и : G S ρ S S ds [ ] Верно и обратное: если Если и

10 [ ] - решение интегрального уравнения то - собственное значение и собственнная функция задачи Штурма Лиувилля Доказательство: из на следует что на [ ] Далее L ρ следовательно те G s s ds [ ] G S ρ S S ds Обратно: из [ ] [ ] ρ А тогда из следует что L ρ и те собственная функция задачи Штурма Лиувилля - собственное значение Лемма доказана Сведение к интегральному уравнению с симметричным ядром Умножим на ρ : ρ G S ρ ρ S ρ S S ds z K S z S ds 4 где z ρ K S G S ρ ρ S [ ] [ ] K S K S Это доказывает следующую лемму Лемма : интегральное уравнение эквивалентно интегральному уравнению с симметричным ядром 4 те если [ ] то z ρ [ ] 4 Верно и обратное: из z [ ] решение Определение: Число оператора z решение 4 следует что непр ρ называется характеристическим числом интегрального z [ ] K S z S ds если существует K S z S ds z [ ] Очевидно число такое что - собственное значение Обратно: Если µ - собственное значение и z- собственная функция то µ есть характеристическое число Лемма : в терминах характеристических чисел Пусть не собственное значение - собственное значение и задачи Штурма Лиувилля Если [ ] собственная функция задачи Штурма Лиувилля то и z ρ являются характеристическим числом и собственной функцией интегрального оператора с ядром K S K S

11 Обратно: если [ ] - характеристическое число и собственная функция z интегрального оператора с ядром K S K S то [ ] - ρ собственное значение и собственная функция задачи Штурма Лиувилля Напоминание: свойства интегральных операторов с действительно значным непрерывным симметричным ядром Пусть K S действительно значное непрерывное симметричное ядро тогда: существует хоть одно характеристическое число их конечное либо бесконечное множество; N их количество если их бесконечно то N все характеристические числа лежат в комплексной плоскости на действительной оси В каждом конечном отрезке их конечное число Так как характеристическое число то их можно упорядочить: < 4 Каждому соответствует конечное число линейно независимых собственных функций и их можно выбрать действительно-значными 5 Если то z z d - ортогональность 6 При каждом фиксированном проортонормируем по Грамму Шмидту; получим z z конечное число либо бесконечное z δ z N z 7 Теорема Гильберта Шмидта: каждая С- значная z [ ] принадлежащая образу интегрального оператора z K S S ds S ряд: N z z При z z d [ ] разлагается в N ряд сходится абсолютно и равномерно на [ ] Следствия для задачи Штурма Лиувилля: существует хоть одно собственное значение их конечное либо бесконечное множество каждое собственное значение действительно В каждом конечном отрезке конечное количество собственных чисел Так как все Λ не собственные значения см теорему то их можно упорядочить: < < если N то 4 Каждому собственному числу соответствует одна действительная собственная функция а остальные имеют вид: 5 Из z z d δ следует что ρ d δ [ ] 6 Разложение по собственным функциям: каждая С - значная и удовлетворяющая условиям разлагается в ряд по собственным функциям: ρ d Если N то ряд сходится абсолютно и равномерно на N [ ]

12 Доказательство 6: L q [ ] следовательно не собственное значение G S S ds ρ теореме Гильберта Шмидта абсолютная и равномерная по следовательно ρ N G S ρ ρ S S ds по ρ S z ρ z и если N то сходимость [ ] разлагается в ряд где i ρ ρ z d ρ d при [ ] ] N z ρ N Из того что следует что этот ряд тоже сходится абсолютно и равномерно на [ если N Следствие из 6: пусть не собственное значение задачи Штурма Лиувилля тогда множество всех собственных чисел бесконечно те N и тогда < < при Доказательство: от противного Пусть N < те все собственные функции задачи Штурма N Лиувилля Построим полиномы N всего N полином следовательно N N N - независимых функций Противоречие N линейно независимых векторов в N мерном пространстве собственное значение Если собственное значение то L q ρ Тк собственное значение то на те - задача имеет нетривиальное решение тогда G Sне существует Но Λ не собственное значение для L Строим L L Λρ I те L L Λρ Если L то Λ L Если L то L L Λρ Λ ρ И обратно: если L то Λ L следовательно не собственное значение для L Тогда существует G s для L и < Λ < Λ собственные числа для L и теже собственные функции со всеми свойствами -6 L < q ρ Теорема Штурма Лиувилля < ρ & q R значные

13 Собственные числа задачи Штурма Лиувилля существуют все действительные и образуют последовательность < < < Для любого собственного числа существует действительная собственная функция остальные - ρ δ Любая - значная функция [ ] разлагается в ряд Фурье: [ ] ρ d Пример: L si π удовлетворяющая условиям Ряд сходится абсолютно и равномерно на N любая [ ] удовлетворяющая разлагается в ряд: si сходится абсолютно и равномерно на [ π ] Замечание : [ ] - собственная функция следовательно существует единственная собственная функция [ ] Замечание : < ρ > достаточно чтобы было выполнено на [ ] Теорема основная: L R значные R тогда: Собственные числа существуют все действительные и образуют последовательность: а если > то < < б если < то < < ни разу на [ ] Для любого собственного числа существует действительная собственная функция t остальные - ρ δ ρ e dt t удовлетворяющая условиям Любая - значная функция [ ] разлагается в ряд Фурье: [ ] ρ d Доказательство: следует из теоремы Штурма Лиувилля и на Замечание : достаточно [ ] Ряд сходится абсолютно и равномерно на

14 Алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций [ ] Пусть образуют базис уравнения тк множество всех решений уравнения таких что есть одномерное линейное пространство над полем С то с учетом линейной независимости и получаем что хоть одно из двух чисел либо отлично от нуля Общее решение уравнения имеет вид: и поэтому получаем: - собственное значение det Пусть - корень уравнения det Первое уравнение линейной системы удовлетворяется ненулевой парой: При таких второе уравнение принимает вид: det тк корень Итак собственная функция соответствующая собственному числу имеет вид:


14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2):

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2): Билет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор Определение 1.1 Линейное подпространство L V линейного пространства называется инвариантным относительно оператора A, если x L Ax L. Теорема

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Симметричные и самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве.

Симметричные и самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Симметричные и самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. 1. Пусть H = L [, 1]. Линейный дифференциальный оператор имеет область определения L = d dx : DL) H DL) = { u C [, 1] : u) =, u 1)

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С.Е. Биркган Интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что ЛЕКЦИЯ 2. Операции с подпространствами, число базисов число базисов и число подпространств размерности k. Основные результаты Лекции 2. 1) U V, U + V, dim(u + V ). 2) Подсчет числа плоскостей в F 4 2.

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Об однородных разностных схемах

Об однородных разностных схемах Доклады Академии наук СССР Том 4 958 А Н Тихонов А А Самарский Об однородных разностных схемах В статье [] была поставлена задача об отыскании разностных схем пригодных для единообразного решения дифференциальных

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2.

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. КУРС АЛГЕБРЫ-1 в НИУ ВШЭ (осень 2017) Валерий Алексеевич Гриценко ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. Основные результаты Лекции 1. Каждое подпространство F n 2 содержит 2k векторов, где 0 k n.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее