ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ"

Транскрипт

1 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА «ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ» ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Методические указания Волгоград 015 1

2 УДК 519. (07) П 78 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ: методические указания / Сост. А. А. Валеев. Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, с. Методические указания содержат теоретический материал, примеры решения задач по данной теме и задачи для контрольной работы. Рассматриваются методы проверки статистических гипотез. Предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика». Библиогр.: 7 назв. Рецензент: к. ф.-м. н. Е. В. Морозова Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета Волгоградский государственный технический университет, 015

3 Введение Методические указания предназначены для проведения практических занятий. Данная работа поможет студентам научиться проверять статистические гипотезы, а так же привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по теории вероятностей и математической статистике. В начале практического занятия студентам, под руководством преподавателя, необходимо изучить теоретическую часть и лишь потом приступить к решению задачи. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Статистической Гипотезой называется предположение о виде неизвестного распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Н о формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная) Н 1, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза (НГ). Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения). При проверке гипотез могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная НГ, и ошибка второго рода, если принята неверная НГ. Для проверки статистической гипотеза используется специально подобранная случайная величина К с известным законом р., называемая статистическим итерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них, область принятия Г, значения К, при которых она принимается, второе, итическая область (КО), содержит значения итерия, при которых НГ отклоняется. Значения К, отделяющие итическую область от области принятия Г, называются итическими точками k. КО может быть правосторонней (если она задается неравенством K k ), левосторонней ( K k ) или двусторонней ( K ( k ) 1, K ( k ) ). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя КО задается условием p( K k ). Порядок проверки статистической гипотезы таков: задается уровень значимости α, выбирается статистический итерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k ; определяется вид итической области; 3

4 1) по выборке вычисляется наблюдаемое значение итерия К набл ; ) если К набл попадает в итическую область, НГ отвергается; при попадании К набл в область принятия гипотезы НГ принимается. Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез. 1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей Пусть имеются две выборки объемов п 1 и п, извлеченные из нормально распределенных генеральных (г.) совокупностей Х и Y. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям s и x s проверить НГ о равенстве г. дисперсий (д.) рассматриваемых г. совокупностей: H o : D (X) = D (Y). sб Критерием служит случайная величина F отношение боль- s шей исправленной д. к меньшей, которая при условии справедливости НГ имеет р. Фишера-Снедекора со степенями свободы k 1 = n 1 1 и k = n 1. КО зависит от вида конкурирующей гипотезы: если H 1 : D (X) > D (Y), то КО правосторонняя: p( F F (, k, k )). 1 Критическая точка F (, k, ) 1 k находится по таблице итических точек распределения Фишера-Снедекора. Если F набл y м s s б м F НГ принимается, в противном случае отвергается. ) При конкурирующей гипотезе H 1 : D (X) D (Y) КО двусторонняя: p( F F1), p( F F ). При этом достаточно найти sб F F (, k1, k ). Тогда, если Fнабл F нет оснований отверг- s нуть НГ, если Fнабл F НГ отвергают. м Пример 1. Даны две независимые выборки объемов п 1 = 10 и п = 15, извлеченные из г. совокупностей Х и Y, распределенных по нормальному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии s,67 и s 1,88. Проверим при уровне значимости α = 0,05 НГ о равенстве г. y дисперсий при конкурирующей гипотезе H 1 : D (X) > D (Y). 4 x

5 Решение. Найдем значение F (0, 05; 9; 14), 65. КО правосторонняя. Вы-,67 числим наблюдаемое значение итерия: Fнабл 1,4 F. 1,88 Следовательно, нет оснований отвергнуть НГ.. Сравнение двух средних генеральных совокупностей 1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих г. совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние х В и у В. При заданном уровне значимости α проверяется НГ о равенстве математических ожиданий г. совокупностей: Н о : М (Х) = М (Y). Статистическим итерием для проверки этой гипотезы является нормированная нормально распределенная случайная величина M ( X ) M ( Y ) Z. D( X ) D( Y ) m n xb yb Наблюдаемое значение итерия zнабл. Вид итической области зависит от типа конкурирующей гипотезы: D( X ) D( Y) m n а) Н 1 : М (Х) М (Y) КО двусторонняя, z определяется как аргумент функции Лапласа, при котором Фz ( 1 ), и КО задается неравенством Z > z. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) КО правосторонняя, z определяется как аргумент функции Лапласа, при котором Фz ( 1 ), и КО определяется неравенством Z > z. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) КО левосторонняя, заданная неравенством Z < -z, где z вычисляется так же, как в предыдущем случае. ) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из г. совокупностей, законы р. и д. которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные д. являются достаточно хорошими оценками г. д. (следовательно, считаем из- 5

6 вестными приближенные значения г. д.). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический итерий имеет вид: X Y Z Z. DB( X ) DB( Y) m n Наблюдаемое значение итерия вычисляется по формуле xb yb zнабл. DB( X ) DB( Y) m n При этом выбор вида итической области и определение итических точек проводятся так же, как в пункте 1. 3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их д. неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки г. д.). Если предположить, что г. д. равны, то в качестве итерия для проверки НГ Н о : М (Х) = М (Y) служит случайная величина T X Y nm( n m ) ( m 1) s ( n 1) s n m x y имеющая при справедливости НГ р. Стьюдента с k = n + m степенями свободы. Наблюдаемое значение итерия вычисляется по формуле T набл хв ув nm( n m ) ( m 1) s ( n 1) s n m x y КО строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. а) Н 1 : М (Х) М (Y) КО двусторонняя, задаваемая неравенством T > t двуст.., где t двуст.. (α, k) находится из таблицы итических точек р. Стьюдента. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) КО правосторонняя, определяемая условием T > t прав... Критическая точка вновь находится по таблице итических точек р. Стьюдента. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) КО левосторонняя, T < t прав... Пример. Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин Х:,, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 и Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9. Требуется проверить для уровня значимости α = 0,1 при условии равенства генеральных д. НГ Н о : М (Х) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н 1 : М (Х) М (Y).,. 6

7 Решение. Объемы выборок т = 10, п = 15. Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии: x 3,8; y 4, 93; s 1,73; s 3,1. Вычислим наблюдаемое значение итерия: x y 3,8 4, T набл 1, 706. КО двусторонняя, 9 1, ,1 5 t двуст.. (0,1; 3) = 1,71 (см. [], приложение 6). Итак, T набл < t двуст.., следовательно, нет оснований отвергнуть НГ можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны. B B 3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п 1 опытов, и событие А появилось т 1 раз; во второй серии из п опытов событие А появилось т раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р 1, а во второй серии через р. Требуется проверить при уровне значимости α НГ о равенстве этих вероятностей: Н о : р 1 = р. В качестве итерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина M1 M n1 n U. 1 1 p(1 p) n n 7 1 Наблюдаемое значение итерия вычисляется по формуле: m1 m n1 n U набл. m1 m m1 m n n n n n n Построение итической области: а) при конкурирующей Г Н 1 : р 1 р u определяется из равенства 1 Фи ( ), и двусторонняя КО задается неравенством U > u. б) при конкурирующей Г Н 1 : р 1 > р u для правосторонней КО находится из условия Фи ( 1 ), и вид КО: U > u.

8 в) при конкурирующей Г Н о : р 1 < р левосторонняя КО имеет вид U < u, где u находится по формуле из пункта б). Пример 3. В серии из 0 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется НГ Н о : р 1 = р при конкурирующей гипотезе Н о : р 1 < р. Решение. 1 0,05 КО левосторонняя, Фи ( ) 0,45, следовательно, и = 1,645, и КО имеет вид U < - 1,645. Вычислим и набл = , 394. U набл > u, следовательно, гипотеза при нимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова. 4. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r B 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить НГ о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции: H o : r Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н 1 : r Г 0. Критерием является случайная величина Т r имеющая при справедливости НГ р. Стьюдента с k = n степенями свободы. КО при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством T > t, где t (α, k) находится по таблице итических точек р. Стьюдента. Пример 4. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r B = - 0,37. Проверим при уровне зна- B 1 п r B, 8

9 чимости α = 0,01 НГ H o : r Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н 1 : r Г 0. Решение. Критическая точка t (0,01; 150) =,58. Вычислим наблюдаемое зна- 0, чение итерия: Т набл 4,85. Поскольку T набл > t, НГ 1 0,37 отвергается, то есть Х и Y коррелированны. 5. Критерий согласия Пирсона Критерием согласия называется итерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение: Варианты x i x 1 x... x s Частоты n i n 1 n... n s С помощью итерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конетном виде распределения вычисляются теоретические частоты n i, и в качестве итерия выбирается случайная величина ( ni ni), ni имеющая закон р. χ с числом степеней свободы k = s 1 r, где s число частичных интервалов выборки, r число параметров предполагаемого распределения КО выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α (, k ) находится по таблице итических точек распределения χ. Теоретические частоты n i вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно: 9

10 выборки, а) для проверки Г о нормальном законе р. n i = п Р i, где п объем Р i x x x x s s i 1 B i B, x i и x i 1 левая и правая границы i-го интервала, соответственно, x B - выборочное среднее, s исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное р. характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n 3; б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра λ принимается * 1 xi xi 1 Тогда теоретические частоты n i = п Р i, Рi e e. Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n ; в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные значения Х, оцениваются по формулам: a x 3 ; b x 3. * * B B B B * 1 n( x1 a ) f x n * * 1 * * Тогда плотность вероятности ( ) ; ; b a b a * n( xi xi 1) n( b xs 1) n n3... ns 1 ; i,3,..., s 1, n. * * s * * b a b a Число степеней свободы k = n 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами. Пример 5. Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид Номер интервалвалтоты Границы интер- Эмпирические час проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о: а) показательном; б) равномерном; в) нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью итерия Пирсона. х. В 10

11 Решение. Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х 1 = 3,5, х = 6,5,, х 6 = 18,5. Найдем x B = 11,43; σ В = 4,03; s = 4,05. а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном р. генеральной совокупности при * 1 11,43 0,087 : 0,087 0, ,174 0,435 n1 70 e e 70 e e 13, 44; аналогично n ,37; n 8,05; n 6,3; n 4,76; n 3,64. Наблюдаемое значение итерия точка χ (0,05;4)=9,5; и гипотеза о показательном распределении отклоняется. (6 13, 44) (5 3, 64) набл... 69,0. Критическая 13,44 3,64, набл б) Для равномерного распределения * 1 a * 11,43 3 4,03 4,45; b 11, , 03 18, 41. f ( x ) 0, 07; теоретические 18,41 4,45 частоты: n 1 70 (5 4, 45) 0, 07, 77; n n3 n4 n ,07 15,1; n 6 70 (18, 41 17) 0, 07 7,1. Наблюдаемое значение итерия (6, 77) (5 7,1) набл... 10,95. Критическая точ-, 77 7,1 ка (0,05;3) 7,8;, набл и гипотеза о равномерном распределении отклоняется. в) Теоретические частоты для нормального распределения: n , 43 11, ( 1, 588) (, 38) 4,05 4,05 70 (,38) (1,588) 70 (0, , 4441) 3,. Так же вычисляются n 9,9; n3 18,; n4 19,6; n5 1,5; n 6 4,7. Наблюдаемое значение итерия (6 3, ) (5 4, 7) набл... 3,87. Критиче- 3, 4,7 ская точка (0,05; 3) 7,8. Поскольку, набл гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается. 11

12 6. Проверка гипотез о значимости коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла Напомним, что при исследовании объектов генеральной совокупности, обладающих двумя качественными признаками: A: x 1, x,..., x n B: y 1, y,..., y n (x i порядковый номер объекта в последовательности убывания качества по признаку А, y i номер того же объекта в последовательности убывания качества по признаку В), для оценки степени связи между этими признаками можно вычислить выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена: 6 di B 1, 3 n n где d i = x i y i, n объем выборки, или Кендалла: 4R B 1, nn ( 1) где R = R 1 + R R n, а R i количество чисел, больших y i, стоящих справа от y i в последовательности рангов по признаку В. Для проверки при уровне значимости α НГ о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена (Н 0 : r Г = 0) при конкурирующей Г Н 1 : r Г 0 нужно вычислить итическую точку: 1 B Т t (, k), n где п объем выборки, а t (α, k) итическая точка двусторонней итической области для р. Стьюдента при числе степеней свободы k = n. Если ρ B < T НГ принимается (связь между качественными признаками незначима). При ρ B > T НГ отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. Аналогичным образом проверяется Г Н 0 : τ Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей Г Н 1 : τ Г 0. Критическая точка вычисляется по формуле: Т z (п 5) 9 пп ( 1) 1 где z аргумент функции Лапласа, при котором Фz ( ) (КО двусторонняя). Если τ B < T НГ принимается (связь между качественными признаками незначима). При τ B > T НГ отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь., 1

13 7. Дополнительные примеры Пример 6. Для проверки нулевой гипотезы H : ( ) 0 M X M ( Y ) при заданном уровне значимости 0,05 выдвинута конкурирующая гипотеза H : ( ) 1 M X M ( Y ). Тогда область принятия гипотезы может иметь вид PT (,11) 0, 05 P(,11 T,11) 0, P(,11 T,11) 0,90 PT (,11) 0,95 Решение: Область принятия гипотезы в данном случае определяется соотношением вида P( t T t ) 1. Таким соотношением является, например P(,11 T,11) 0,95. Пример 7. Левосторонняя итическая область может определяться из соотношения P( K 1, 7) P( K 1, 7) 0,1 P( 1, 7 K 1, 7) 0,90 PK ( 1,7) 0,05 PK ( 1,7) 0,05 Решение: Левосторонней называют итическую область, определяемую соотношением P( K k ), где k отрицательное число, а α уровень значимости. Таким соотношением является PK ( 1,7) 0,05. Пример 8. Правосторонняя итическая область может определяться из соотношения P( K 1,86) P( K 1,86) 0, 05 PK ( 1,86) 0,05 P( 1,86 K 1,86) 0,95 PK ( 1,86) 0, 05 Решение: Правосторонней называют итическую область, определяемую соотно- 13

14 шением P( K k ), где k положительное число, а α уровень значимости. Таким соотношением является PK ( 1,86) 0,05. Пример 9. Двусторонняя итическая область может определяться из соотношения PK (,0) 0,05 P(, 0 K, 0) 0,95 PK (, 0) 0, P( K, 0) P( K, 0) 0, Решение: Двусторонней называют итическую область, определяемую, например, соотношением вида P( K k ) P( K k ), где k положительное число, а уровень значимости. Таким соотношением является P( K, 0) P( K, 0) 0, 05. Пример 10. Основная гипотеза имеет вид может являться гипотеза H : 3,4 0. Тогда конкурирующей H H H H : : 3,4 1 : 3,4 1 : 3,4 Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию 3,4 противоречит H : 3,4. 1 Пример 11. Основная гипотеза имеет вид H : 0,6 0 p. Тогда конкурирующей может являться гипотеза H : p H : p 0 H : p 0 H : p

15 Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию p 0,6 противоречит H : p 0,6. 1 Пример 1. Основная гипотеза имеет вид H : 10,8 0 a. Тогда конкурирующей может являться гипотеза H : a 10,8 H : a 11 H : a 10 H : a 10, Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию a 10,8 противоречит H : a 10,8. 1 Пример 13. Соотношением вида P( K, 78) P( K, 78) 0, 01 можно определить двустороннюю итическую область левостороннюю итическую область правостороннюю итическую область область принятия гипотезы Решение: Данное соотношение определяет двустороннюю итическую область, так как двусторонней называют итическую область, определяемую, например, соотношением вида P( K k ) P( K k ), где k положительное число, а α уровень значимости. Пример 14. Соотношением вида PK ( 1, 49) 0, 05 можно определить область принятия гипотезы правостороннюю итическую область двустороннюю итическую область левостороннюю итическую область Решение: Данное соотношение определяет правостороннюю итическую область, так как правосторонней называют итическую область, определяемую 15

16 соотношением вида P( K k ), где k положительное число, а α уровень значимости. Пример 15. Соотношением вида PK (, 09) 0, 05 можно определить двустороннюю итическую область область принятия гипотезы левостороннюю итическую область правостороннюю итическую область Решение: Данное соотношение определяет левостороннюю итическую область, так как левосторонней называют итическую область, определяемую соотношением P( K k ), где k положительное число, а α уровень значимости. Варианты семестровых работ содержат по 7 задач, в которых необходимо выполнить следующие действия: Задача 1. По данным выборки выдвинуть гипотезу о виде закона распределения и проверить ее, используя итерий Пирсона, при уровне значимости α. В ответе привести: a) выбранную гипотезу о виде закона распределения; б) вычисленное значение итерия; в) итическое значение; г) вывод о принятии или не принятии гипотезы. По двум выборкам из нормально распределенных генеральных совокупностей проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0.1. Определить: а) дисперсию первой выборки; б) дисперсию второй выборки; в) вычисленное значение итерия; г) теоретическое значение итерия. д) Сделать вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 3. По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α. В ответе привести: а) выборочное среднее для первой выборки; б) выборочное среднее для второй выборки; в) вычисленное значение итерия; г) табличное значение. д) Сделать вывод о принятии или не принятии гипотезы. 16

17 Задача 4. По данным двух выборок нормального закона р. (первая - с дисперсией S 1, вторая - с дисперсией S ) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости α (при конкурирующей Г об их неравенстве). В ответе привести: а) выборочное среднее для первой выборки; б) выборочное среднее для второй выборки; в) вычисленное значение итерия; г) итическое значение. д) Сделать вывод о принятии или непринятии гипотезы. Задача 5. При проведении n 1 испытаний в первой серии число благоприятных исходов равнялось m 1. Во второй серии из n испытаний число благоприятных исходов равнялось m. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей Г об их неравенстве) при уровне значимости α. В ответе привести: а) вычисленное значение итерия; б) итическое значение. в) Сделать вывод о принятии или не принятии гипотезы. Задача 6. По данным выборки двумерной случайной величины и уровню значимости α определить: а) вектор математического ожидания; б) вектор дисперсии; в) выборочный коэффициент корреляции; г) вычисленное значение итерия; д) итическое значение. е) Проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Задача 7. По данным двух выборок проверить гипотезу о значимости выборочного рангового коэффициента Спирмена и Кендалла при уровне значимости α. В ответе привести: а) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; б) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла; в) итическую точку для коэффициента Спирмена Т Сп ; г) итическую точку для коэффициента Кендалла Т Кен. д) Сделать вывод о принятии или не принятии каждой гипотезы. 8. Варианты семестровых работ Вариант 1 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка :

18 Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 38, S = 4, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 500, m 1 = 391, n = 700, m = 53, α = Задача 6. α = ( 51.,-104.1) ( 58.0,-118.4) ( 55.1,-111.9) ( 5.7,-107.1) ( 5.,-106.7) ( 6.6,-17.7) ( 7.0, -56.4) ( 5.0,-105.9) ( 41.5, -85.4) ( 5.7,-107.6) ( 49.9,-101.9) ( 44.3, -91.3) ( 56.1,-114.9) ( 36.0, -74.3) Задача 7. α = 0.10 Выборка 1: Выборка : Вариант Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 31, S = 38, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 58, n = 900, m = 3, α = Задача 6. α = ( 75.7, -6.) ( 67.4, -3.5) ( 76.5, -6.7) ( 76.0, -6.5) ( 77.9, -7.7) ( 71.7, -5.0) ( 6.3, -1.9) ( 65.4, -.7) ( 84.0, -9.) ( 65.4, -3.5) Задача 7. α = 0.0 Выборка 1: Выборка : Вариант 3 Задача 1. α =

19 Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 4, S = 39, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 418, n = 700, m = 445, α = Задача 6. α = 0.00 ( 30., -15.3) ( 4.8, -1.1) ( 4.7, -11.8) ( 9.8, -14.9) ( 18.0, -7.5) ( 4.6, -11.9) ( 31.5, -16.0) ( 35.9, -18.9) ( 9.3, -14.8) ( 41.4, -.6) ( 7.0, -13.4) ( 35.9, -18.8) ( 33.7, -17.3) ( 33., -17.) Задача 7. α = 0.05 Выборка 1: Выборка : Вариант 4 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 30, S = 1, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 15, n = 400, m = 165, α = Задача 6. α = 0,050 ( 47.4, 8.) ( 40.0, 4.7) ( 45.4, 7.3) ( 46.7, 7.6) ( 45.3, 6.7) ( 51.6, 9.8) ( 43.6, 6.3) ( 41., 5.6) ( 47.8, 8.6) ( 45.3, 7.0) ( 4.9,5.9) Задача 7. α = 0.05 Выборка 1: Выборка : Вариант 5 Задача 1. α =

20 Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 =, S = 39, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 500, m 1 = 08, n = 1000, m = 433, α = Задача 6. α = ( 71.5, 45.1) ( 77.7, 100.4) ( 46.3, 63.3) ( 70.5, 68.4) ( 53.5, 61.) ( 40.7, 78.7) ( 59.4, 90.1) ( 68.8, 68.8) ( 68.0, 81.) ( 74.3, 64.3) ( 55.4, 57.1) ( 48.8, 54.4) ( 3.7, 69.8) ( 75.5, 70.8) Задача 7. α = 0.0 Выборка 1: Выборка : Вариант 6 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 1, S = 38, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 94, n = 400, m = 10, α = Задача 6. α = 0.00 ( 50.8, 7.5) ( 37.8, 0.0) ( 34.7, 18.8) ( 85.8, 45.0) ( 50.8, 6.7) ( 60.1, 31.8) ( 49.0, 6.) ( 63.8, 34.3) ( 67.4, 35.6) ( 4.7,.4) ( 7.0, 37.9) ( 54.3, 8.8) Задача 7. α =

21 Выборка 1: Выборка : Вариант 7 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 37, S = 9, α = 0.00 Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 00, m 1 = 158, n = 900, m = 639, α = Задача 6. α = 0.00 ( 6.7, -8.3) ( 48.0, -51.7) ( 54.9, -58.6) ( 58.5, -6.9) ( 39.9, -4.3) ( 43.3, -46.4) ( 58.6, -63.1) ( 54., -58.7) ( 59.5, -64.3)( 58.6, -6.6)( 59.9,64.9) Задача 7. α = 0.10 Выборка 1: Выборка : Вариант 8 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = 0.00 Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 0, S = 38, α = Выборка 1: Выборка :

22 Задача 5. n 1 = 600, m 1 = 505, n = 900, m = 78, α = Задача 6. α = ( 63.3, 58.0) ( 46.8, 53.3) ( 50.4, 71.) ( 64.1, 60.0) ( 5.1, 53.5) ( 50.3, 45.0) ( 73.7, 6.0) ( 53.8, 7.3) ( 65.6, 60.8) ( 53., 6.4) Задача 7. α = 0.10 Выборка 1: Выборка : Вариант 9 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 3, S = 33, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 1000, m 1 = 376, n = 00, m = 65, α = Задача 6. α = ( 35.5, 61.1) ( 43.4, 74.8) ( 37.1, 64.3) ( 46.8, 81.3) ( 47.8, 83.0) ( 46.4, 80.3) ( 38., 66.4) ( 36.9, 63.9) ( 34.3, 58.7) ( 4.0, 73.0) Задача 7. α = 0.0 Выборка 1: Выборка : Вариант 10 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = 0.00 Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 4, S = 36, α = 0.00 Выборка 1: Выборка :

23 Задача 5. n 1 = 700, m 1 = 496, n = 800, m = 576, α = Задача 6. α = (75.9, 36.7) (80.6, 5.6) (68.9, 41.6) (61.0, 34.3) (71.8, 41.4)(74.0, 39.8) (7., 4.1) (89.6, 49.8) (66., 41.0) (81.5, 36.3) (68.7, 3.) (84.0, 5.) Задача 7. α = 0.05 Выборка 1: Выборка : Вариант 11 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 0, S = 30, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 300, m 1 = 114, n = 800, m = 393, α = Задача 6. α = ( 64.5, 33.3) ( 84.7, 15.4) ( 75.9, 8.8) ( 7.6, 0.5) ( 5.9, 30.9) ( 61.0, 9.5) ( 67.1, 6.7) ( 59.9, 9.6) ( 59.4, 7.5) ( 64., 46.5) (5.3, 43.4) Задача 7. α = 0.01 Выборка 1: Выборка : Вариант 1 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 38, S = 4, α = Выборка 1:

24 Выборка : Задача 5. n 1 = 300, m 1 = 17, n = 500, m = 191, α = Задача 6. α = (6.9, 30.8) ( 53.1, 6.6) ( 53.1, 6.5) ( 60.8, 9.6) (5.3, 6.3) ( 56.1, 7.9) ( 54.9, 7.0) ( 6., 30.8) ( 57.4, 8.4) ( 70.0, 34.) ( 65., 3.3) ( 68.0, 33.5) ( 44.3,.5) Задача 7. α = 0.10 Выборка 1: Выборка : Вариант 13 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 7, S = 35, α = Выборка 1: Выборка : Задача 5. n 1 = 800, m 1 = 96, n = 00, m =, α = Задача 6. α = (.5, 8.8) (45.6, 0.5) (40.3, 17.) (5.5, 3.5) (3.9, 13.4) (30.3, 1.0) (38.9, 16.5) (41.7, 18.5) (51.0,.8) (4.5, 18.9) (49.0, 1.8) (38.0, 16.) (4., 9.4) Задача 7. α = 0.01 Выборка 1: Выборка : Вариант 14 Задача 1. α = Выборка 1: Выборка : Задача 3. α = Выборка 1: Выборка : Задача 4. S 1 = 33, S =, α =


Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Одной из важнейших задач биологических и медицинских исследований является получение данных о результатах действия внешних факторов на живой объект. Для решения

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

5 Гипотезы и критерии согласия

5 Гипотезы и критерии согласия 5 Гипотезы и критерии согласия Гипотезы и критерии согласия Критерий согласия - Пирсона Пусть,,, выборка из распределения теоретической случайной величины с неизвестной функцией распределения F ( Проверяется

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Медицинская статистика

Медицинская статистика Лукьянова Е.А. Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» 3 Проверка статистических гипотез Критерии согласия Критерий Стьюдента для связанных выборок Критерий Стьюдента для несвязанных выборок

Подробнее

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

Определение Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Лекция 9. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез 1. Статистические гипотезы; 2. Критерии проверки гипотез; 3. Проверка параметрических гипотез; 4. Критерий Пирсона Завершить показ Статистические гипотезы. Статистические

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 8. Статистическая проверка гипотез Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Статистическая гипотеза 2 Ошибки первого и второго

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика

(или a a0, или a a0. ). Для проверки нулевой гипотезы извлекается выборка объема n. В качестве критерия выбирается статистика МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1 Проверка гипотез о математическом ожидании, дисперсии, доле изнака генеральной совокупности Проверка гипотезы о математическом ожидании

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать .8. Постановка задачи проверки статистических гипотез Пример _кз Задачу проверки статистических гипотез рассмотрим на примере. Пример _кз (двусторонний критерий). В результате многократных измерений некоторого

Подробнее

Теория вероятностей и медицинская статистика

Теория вероятностей и медицинская статистика Теория вероятностей и медицинская статистика СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Лекция 6 Кафедра медицинской информатики РУДН Содержание лекции 1. Определение термина статистическая гипотеза 2. Статистические критерии

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Обработка и анализ результатов моделирования Известно, моделирование проводится для определения тех или иных характеристик системы (например, качества системы обнаружения полезного сигнала в помехах, измерения

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе

3. Проверка статистических гипотез Основные положения теории проверки статистических гипотез. На практике часто приходится проверять на основе 3 Проверка статистических гипотез 3 Основные положения теории проверки статистических гипотез На практике часто приходится проверять на основе выборочных данных различные предположения относительно генеральной

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Понятие статистической гипотезы Статистическая гипотеза это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может

Подробнее

Задачи статистической проверки гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез. Задачи статистической проверки гипотез. Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики В.В. БУРАКОВСКИЙ, Н.М.КУРНОСЕНКО ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд.

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд. 11 Тесты по математической статистике Тест 1 P 1 Для любого x имеет место соотношение F x правую часть Заполните Дана выборка ( 3,1,,3,1,4, 5) Составьте вариационный ряд 3 Что оценивают x и выборочная

Подробнее

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная корреляция Как показано выше, облако точек можно описать двумя линиями регрессии регрессией X на Y и Y на X. Чем меньше угол между этими прямыми, тем сильнее зависимость

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

Контрольная работа по математической статистике МЭСИ

Контрольная работа по математической статистике МЭСИ Контрольная работа по математической статистике МЭСИ Контрольная работа по теме «СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ» Задание. На основании вариационного ряда распределения длины плунжеров,

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Полное исследование выборки

Полное исследование выборки Полное исследование выборки ЗАДАНИЕ. Требуется для решения: - Построить интервальный ряд распределения, для каждого интервала подсчитать локальные, а также накопленные частоты, построить вариационный ряд.

Подробнее

7 Корреляционный и регрессионный анализ

7 Корреляционный и регрессионный анализ 7 Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ статистических данных.. Регрессионный анализ статистических данных. Статистические связи между переменными можно изучать методами дисперсионного,

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe :

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 1 ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 0.30-1.4 0.59-1.79 0.4 0.7 1.73 0.45 0.34-0.09 1.09 -.04

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Назаренко, О.А. Шовкопляс, О.А. Литвиненко МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Корреляция. u n. Методические указания

Корреляция. u n. Методические указания Методические указания Корреляция Регрессией Y на X или условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X называется функция вида М (Y/ x)=f(x). Регрессией X на Y

Подробнее

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ Измерен характерный размер X деталей, обрабатываемых на некотором станке. Замерено 60 деталей. Данные замеров приведены в таблице. детали Размер детали Размер детали Размер 7,58

Подробнее

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и

{ статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и { статистическая гипотеза - критерии принятия гипотез - критерий согласия Пирсона - критерий проверки пример - критерии согласия Колмогорова и Смирнова } В математической статистике считается, что данные,

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тамбовский государственный

Подробнее

Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел

Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел Цель работы изучение методов получения на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел и тестов проверки их качества. Теоретические

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИКА. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЛИПЕЦКИЙ ФИЛИАЛ

Подробнее

DOI: /AUT

DOI: /AUT 30 АВТОМЕТРИЯ. 2016. Т. 52, 1 УДК 519.24 КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ Е. Л. Кулешов Дальневосточный федеральный университет, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8 E-mail: kuleshov.el@dvfu.ru

Подробнее

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 МГАПИ Типовой расчет по высшей математике Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станках. Вероятность того, что в течение часа станки будут

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза Статистическая гипотеза Статистической гипотезой (statistical hypothesis) мы называем любое предположение о свойствах и характеристиках исследуемых генеральных совокупностей, которое может быть проверено

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования и науки Российской Федерации Амурский государственный университет А.П. Филимонова, Т.А. Юрьева МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практикум Благовещенск 06 ББК.7 я73 Ф 53 Рекомендовано

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики В.П.

Подробнее

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ Часть II

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРОЧНЫХ ДАННЫХ Часть II Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ВВЕДЕНИЕ Одним из основных разделов математической статистики является проверка статистических гипотез. В этом разделе разрабатываются методы проверки соответствия экспериментальных данных или наблюдений

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6

A.В. Браилов Я.А. Люлько П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 6 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ). Кафедра «Теория

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее