ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА"

Транскрипт

1 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции сложения и умножение на числа что привело к понятию n-мерного линейного векторного пространства Теперь определим векторное пространство аксиоматически: предварительно о свойствах отдельных векторов ничего не говорим но определяем свойства вводимых над векторами операций Определение: Множество V будем называть действительным линейным (векторным аффинным пространством если: всякой паре элементов a и b из V поставлен в соответствие однозначно определенный элемент a b из V называемый суммой; произведение элемента a на действительное число λ однозначно определено и принадлежит множеству V; введенные операции обладают свойствами (аксиомы: a b b a сложение коммутативно; (ab c a(bc сложение ассоциативно; a a существует нуль-элемент; a (-a существует противоположный элемент (единственный Из аксиом - следует существование и единственность разности a-b Для любых элементов a и b из V для любых действительных чисел k и t и для действительного числа должны иметь место равенства 5 8 и их следствия: 5 k(a ± b ka ± kb a 6 (k ± ta ka ± ta ( a a 7 k( ta (kta k 8 a a ka если k или a Если бы было определено не только умножение на действительное число но и на комплексное то мы получили бы комплексное линейное пространство Приведем несколько примеров линейного пространств Пример 97 В геометрии: множество геометрических векторов с известной операцией сложения векторов a и b (диагональ параллелограмма со сторонами a и b и умножения вектора a на действительное число λ Пример 98 В алгебре: системы n чисел: α (a a a n (строки матрицы коэффициенты линейного уравнения и тп для которых операцию сложения векторов α (a a a n и β (b b b n обычно определяют так: α β (a b a b a n b n а произведением вектора α на число k называется вектор: kα (ka ka ka n Пример 99 В анализе: совокупность всех непрерывных функций на сегменте [a b] причем операциями считаем сложение функций и умножение их на число

2 67 Для уточнения понятия «линейное пространство» приведем также несколько примеров совокупностей (множеств элементов которые не являются линейными пространствами Пример Совокупность всех непрерывных функций на [a b] таких что f ( не образует линейного пространства: из того что f ( и f ( не следует что f ( f ( Пример Множество многочленов степени n не образует линейного пространства тк сумма многочленом степени n может оказаться многочленом более низкой степени: например (t n t (-t n t t Решите примеры: Пример Докажите что линейными пространствами являются: совокупность всех многочленов степени не превышающей натурального числа n с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа; множество матриц порядка n с операциями: сумма матриц a k и b k есть матрица λ a k ; a k bk произведение матрицы k a на число λ есть матрица введенные операции обладают свойствами (аксиомы линейного пространства В приведенных примерах одни и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совершенно разными объектами Нетрудно проверить что в них выполняются все аксиомы линейного пространства Для того чтобы изучать все такие примеры с единой точки зрения и введено понятие линейного (аффинного пространства Конечномерное пространство Базис в n- мерном пространстве Мы изучаем конечномерные линейные векторные пространства Понятие размерности пространства является сложным и может быть определено только в результате изучения понятия линейной зависимости системы векторов Число измерений (размерность пространства Определение Пусть R линейное пространство Векторы y z v называют линейно зависимыми если существуют такие числа α β γ θ из которых хотя бы одно отлично от нуля что: α βy γz θv ( векторы y z v называют линейно независимыми если равенство ( существует только при числа α β γ θ Если векторы y z v линейно зависимы те в равенстве ( не все коэффициенты равны нулю пусть это будет α то можно записать разделив ( на α : λ y μz ςv ( Из ( следует что вектор есть линейная комбинация векторов y z v Вывод: если векторы y z v линейно зависимы то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных Верно и обратное (учтем как ( получается из ( и наоборот: векторы один из которых есть линейная комбинация остальных линейно зависимы Вопросы для самопроверки: Если среди векторов y z v имеется нулевой вектор то будут ли эти векторы линейно независимы? Обоснуйте ответ

3 68 Если векторы y z линейно зависимы то можно ли добавлением к ним некоторого количества независимых векторов получить систему независимых векторов? Докажите что если векторы y z v линейно независимы то представление ( для вектора единственно Определение Линейное пространство R называется n-мерным если в нем существует n линейно независимых векторов и нет большего числа линейно независимых векторов Если в пространстве R можно найти любое число линейно независимых векторов то R называется бесконечномерным Приведем несколько примеров n-мерных и бесконечномерного линейных пространств Пример Пусть имеем R пространство векторами которого являются системы n действительных чисел В этом пространстве можно указать n линейно независимых векторов (легко доказывается: ( ( n ( Пример Пусть имеем R пространство векторами которого являются непрерывные функции: f (t f (tt f N (tt N- где N произвольное целое число Совокупность указанных функций линейно независимые векторы (легко доказывается В этом пространстве имеется произвольное число линейно независимых функций Это значит что указанное пространство бесконечномерно Решите примеры: Пример 5 Пусть имеем R пространство векторами которого являются системы n действительных чисел: ( ( n ( Докажите что указанная система векторов линейно независима Пример 6 Пусть имеем R пространство векторами которого являются многочлены степени не выше (n- Докажите что система n векторов-многочленов t t n- линейно независима Для понимания многих вопросов связанных с понятием линейной зависимости (и независимости векторов важно знать следующую лемму: Лемма (основная часто ее называют теоремой Пусть в линейном пространстве задана система векторов: f f f k пусть также каждый из векторов: g g g m есть линейная комбинация векторов f f f k Тогда если векторы g g g m линейно независимы то m k На основании леммы заметим: среди линейных комбинаций векторов f f f k не может быть больше чем k линейно независимых; если в пространстве R существуют k линейно независимых векторов f f f k таких что каждый вектор из R есть их линейная комбинация то пространство R k-мерно

4 69 Базис в n- мерном пространстве Определение Совокупность n линейно независимых векторов n n-мерного пространства R называется базисом в R По определению n-мерного пространства в нем существует n линейно независимых векторов те существует базис Произвольную систему из k линейно независимых векторов f f f k где k < n можно дополнить до базиса в n-мерном пространстве R Задание произвольного вектора в базисе n- мерного пространства Пусть имеем в n-мерном векторном пространства R базис ( n Так как система векторов n линейно зависима (число векторов равно (n те больше размерности пространства то можно получить разложение вектора в базисе ( n : n n где n - координаты вектора в базисе ( n Теорема Каждый вектор из n-мерного пространства R можно представить и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса n : n n ( числа n называются координатами вектора в базисе n Если векторы и y в базисе n имеют вид: n n ( y y y y n n (5 то их сумму и умножение вектора на действительное число λ можно представить выражениями: y ( y ( y ( n y n n (6 λ λ λ λ n n (7 те при сложении векторов и y их координаты складываются; при умножении вектора на число λ его координаты умножаются на это число Ясно что только нулевой вектор имеет все координаты равными нулю Изоморфизм n- мерных пространств В разобранных примерах некоторые пространства не отличаются друг от друга с точки зрения рассматриваемых свойств: так в случае трехмерного пространства свойства векторов как направленных отрезков по отношению к операциям сложения и умножения на число совпадают со свойствами векторов заданных в виде троек чисел Определение Линейные пространства R и R называются изоморфными если между векторами R и R можно установить взаимно однозначное соответствие так что если вектору соответствует вектор а вектору y соответствует вектор y то вектору y соответствует вектор y ; вектору λ соответствует вектор λ Из определения изоморфизма следует что равенство α βy γz θv равносильно равенству α βy γz θv те линейно зависимым векторам из линейного пространства R соответствуют линейно зависимые векторы из R и обратно Это значит что пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны

5 7 Теорема Все линейные пространства имеющие одну и ту же размерность изоморфны друг другу Итак единственной существенной характеристикой конечномерного пространства является его размерность Преобразование координат вектора при переходе к новому базису Целью настоящего параграфа является получение расчетных формул для вычисления координат n-мерного вектора при переходе от одного базиса к другому Эти формулы зависят от того как выражается переход от одного базиса к другому: в одних случаях используют системы базисных векторов в виде матриц-строк в других в виде матриц-столбцов: матрицы-строки: ( n ( матрицы-столбцы: (9 n n Учитывая что в литературе используются как запись (8 так и запись (9 рассмотрим применение обеих записей Преобразования с использованием записи базиса в виде матрицы-строки Рассмотрим примеры в которых получим формулы преобразования координат при переходе от базиса ( n к базису ( n с использованием формы (8 Так как система векторов линейно зависима (число векторов равно j (n те больше размерности пространства то можно получить разложение вектора j ( в базисе n : где c j c j cnj - координаты вектора j n n (8 j c j c j cnjn ( в базисе ( Применяя форму (8 записи систем векторов базисов представить в виде: n j и j выражение ( можно c c c n c c cn ( n ( n ( cn cn cnn или в компактной форме: C Матрицу С называют матрицей перехода от базиса с использованием формы (8 ( n ( n Нахождение матрицы перехода от одного базиса к другому к базису Рассмотрим примеры в которых получим формулы для вычисления матрицы перехода от базиса ( n к базису ( n с использованием формы (8

6 7 Пример 7 Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( матрицу переходе от базиса ( к ( и через его векторы определены : Необходимо построить если: A B ( ( ( ( ( ( Решение: Представим записи ( и ( в компактной форме: A A B A B C где С искомая матрица перехода от базиса ( к ( Последнее (если учесть что можно записать в виде: A E где Е единичная матрица и то что A E C B В последней записи матрица C B является искомой матрицей перехода Ответ: матрица перехода от базиса к базису есть матрицаc B (см решение задачи Пример 8 Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( матрицу переходе от базиса ( к ( и через его векторы определены : Необходимо построить если: A ( ( ( ( ( B (5 Решение: Представим записи ( и (5 в компактной форме: A A B A B C где A B матрица перехода от базиса : C ( к (

7 7 6 C A B 5 6 Ответ: матрица перехода от базиса к есть матрица C A B (см решение задачи Преобразование координат вектора при переходе к новому базису Пусть в линейном пространстве R в базисе ( a n задан вектор a : α α α n n (6 α α или в форме a ( n α (7 α n представляющей координаты вектора a в виде матрицы-столбца (по другому записать матричное выражение (7 было бы невозможно Этот же вектор a в линейном пространстве R в базисе ( n имеет вид: a α α α n n (8 α α или в форме a ( α n (9 α n Учитывая (6 и (8 для вектора a получаем тождественную запись: a α C α α ( откуда следует: C α α α α ( где C - обратная матрица для матрицы С перехода от старого базиса к новому или в иной форме: α α α α α α α α C ( C α n α n α n α n Пример 9 Пусть линейное пространство R трехмерное с базисом ( и в нем задан вектор a В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: 5 C C ( ( где С матрица перехода от базиса ( к базису (

8 7 Требуется найти координаты вектора a в базисе ( Решение: В соответствии с формулой (7 для вычисления координат вектора a в базисе ( требуется вычислить для матрицы перехода С обратную матрицы Ее можно найти любым их способов рассмотренных в Гл : C Используя найденную матрицу : ( α α α 6 6 C 8 7 запишем строку координат вектора a в базисе те a 6 7 Ответ: a 6 7 Пример Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( и через его векторы определены : A ( ( B ( ( Необходимо составить формулу преобразования координат вектора при переходе от базиса ( к ( Решение: В Примере 7 была получена матрица С перехода от базиса ( базису : C A B ( В соответствии с формулой (8 для вычисления координат вектора х необходимо вычислить обратную матрицу C Применяя один из способов вычисления обратных матриц получаем выражение для : к

9 7 C ( Если теперь присваивать параметрам ( некоторые значения то будем получать определенные координаты вектора х в базисе ( Ответ: Пример Пусть задан некоторый базис ( и через его векторы определены еще два базиса: ( и ( : Необходимо построить матрицу переходе от базиса ( к ( если: ( ( ( A ( ( (5 B Необходимо составить формулу преобразования координат вектора при переходе от базиса к ( ( Решение: В Примере 8 была получена матрица С перехода от базиса к базису ( ( B A C В соответствии с формулой (8 для вычисления координат вектора х необходимо вычислить обратную матрицу Применяя один из способов вычисления обратных матриц получаем выражение для C :

10 75 C некоторые значения то будем полу- Если теперь присваивать параметрам ( чать определенные координаты вектора х в базисе ( Ответ: Решите примеры: (6 Пример Пусть R линейное -мерное пространство с базисом задан вектор ( ( и в нем a В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: C ( ( где С матрица перехода от базиса ( к Требуется найти координаты вектора a в базисе ( 5 Ответ: a Пример Пусть R линейное -мерное пространство с базисом Ответ: a ( и в нем задан вектор a В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: ( ( C где С матрица перехода от базиса ( к ( Требуется найти координаты вектора a в базисе ( Преобразования с использованием записи базиса в виде матрицы-столбца Рассмотрим примеры в которых получим формулы преобразования координат при переходе от базиса ( n к базису ( n с использованием формы (9

11 76 Так как система векторов линейно зависима (число векторов равно j (n те больше размерности пространства то можно получить разложение вектора j ( в базисе n : где c j c j cnj - координаты вектора j n j c j c j cnjn (7 в базисе ( Применяя форму (9 записи систем векторов базисов представить в виде: c c n cn c c c n n j и j выражение ( можно cn cn (8 c nn n или в компактной форме: C Матрицу С называют матрицей перехода от базиса ( n к базису ( n с использованием формы (9 (при переходе от записи (8 к записи (9 матрицу С получают транспонированием матрицы С и наоборот Нахождение матрицы перехода от одного базиса к другому Рассмотрим примеры в которых получим формулы для вычисления матрицы перехода от базиса ( n к базису ( n с использованием формы (9 Пример Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( матрицу переходе от базиса ( к ( A B и через его векторы определены : Необходимо построить если: (9 ( Решение: Представим записи (9 и ( в компактной форме: A A B B A C где C B A матрица перехода от базиса ( к ( : Последнее (если учесть что A E где Е единичная матрица и то что A E можно записать в виде: C B В последней записи матрица C B является искомой матрицей перехода

12 77 Ответ: матрица перехода от базиса к базису есть матрица B C (см решение задачи Пример 5 Пусть задан некоторый базис ( и через его векторы определены еще два базиса: ( и ( : Необходимо построить матрицу переходе от базиса ( к ( если: ( A ( B Решение: Представим записи ( и ( в компактной форме: A A B C A B где матрица перехода от базиса A B C ( к ( : A B C Ответ: матрица перехода от базиса к есть матрица (см решение задачи A B C Преобразование координат вектора при переходе к новому базису Пусть в линейном пространстве R в базисе ( n задан вектор a : n n a α α α ( или в форме ( представляющей координаты вектора a в виде матрицы-столбца (по другому записать матричное выражение ( было бы невозможно ( a α α α α α Этот же вектор a в линейном пространстве R в базисе ( n имеет вид: n n a α α α (5 или в форме (6 ( a α α α α α

13 78 Учитывая ( и (6 для вектора a получаем тождественную запись: a α αc α (7 откуда следует: α C α α α C (8 где C - обратная матрица для матрицы С перехода от старого базиса к новому или в иной форме: ( α α α α C ( α α α α ( α α α ( α α α α C α (9 Пример 6 Пусть линейное пространство R трехмерное с базисом ( и в нем задан вектор a В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: 5 C где С матрица перехода от базиса ( к базису ( Требуется найти координаты вектора a в базисе ( Решение: В соответствии с формулой (8 для вычисления координат вектора a в базисе ( требуется вычислить для матрицы перехода С обратную матрицы Ее можно найти любым их способов рассмотренных в Гл : C Используя найденную матрицу : ( 8 C 6 7 запишем строку координат вектора a в базисе ( α α α ( ( 6 7 те a 6 7 Ответ: a 6 7 Пример 7 Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( и через его векторы определены : A

14 79 B Необходимо составить формулу преобразования координат вектора при переходе от базиса ( к ( Решение: В Примере была получена матрица С перехода от базиса ( базису : C A B ( В соответствии с формулой (8 для вычисления координат вектора х необходимо вычислить обратную матрицу C Применяя один из способов вычисления обратных матриц получаем выражение для : ( ( C ( некоторые значения то будем полу- Если теперь присваивать параметрам ( чать определенные координаты вектора х в базисе ( Ответ: ( ( Пример 8 Пусть задан некоторый базис ( еще два базиса: ( и ( переходе от базиса ( к ( если: и через его векторы определены : Необходимо построить матрицу A к

15 8 B Необходимо составить формулу преобразования координат вектора при переходе от базиса к ( ( Решение: В Примере была получена матрица С перехода от базиса к базису ( ( A B C В соответствии с формулой (8 для вычисления координат вектора х необходимо вычислить обратную матрицу Применяя один из способов вычисления обратных матриц получаем выражение для C : ( ( ( C Если теперь присваивать параметрам ( некоторые значения то будем получать определенные координаты вектора х в базисе ( Ответ: ( ( Решите примеры: Пример 9 Пусть R линейное -мерное пространство с базисом и в нем задан вектор ( a В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: C где С матрица перехода от базиса ( к (

16 8 Требуется найти координаты вектора a в базисе ( 5 Ответ: a Пример Пусть R линейное -мерное пространство с базисом задан вектор ( Ответ: a Вопросы для самопроверки: a ( и в нем В рассматриваемом пространстве задан еще один базис: C где С матрица перехода от базиса ( к Требуется найти координаты вектора a в базисе ( Может ли матрица С перехода от базиса ( к ( Если система векторов базиса ( быть прямоугольной? представляется в виде матрицы-строки то строка координат вектора a представляется в виде столбца и наоборот Почему? 5 Подпространства линейного пространства Нередко возникает необходимость разбиения линейного векторного пространства на части называемые подпространствами В рамках определенного подпространства решение частной задачи может оказаться более рациональным Ниже рассматриваются некоторые из вопросов связанных с определением и использованием подпространств 5 Определение подпространства и примеры Определение: Подпространством R пространства R называется совокупность элементов из R таких что эти элементы сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в R операций сложения и умножения на число: y R R y R λ R Пример Приведем некоторые примеры подпространств: a Нулевое подпространство те подпространство состоящее из единственного элемента нуля; b Все пространство R; c Совокупность векторов ( n удовлетворяющих условию: α α α n n ; d В трехмерном пространстве: совокупность векторов проходящих через начало координат; В трехмерном пространстве: совокупность векторов принадлежащих плоскости проходящей через начало координат

17 8 Очевидно всякое подпространство R пространства R содержит нулевой элемент пространства R Размерность любого подпространства не превосходит размерности всего пространства: в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов чем во всем пространстве Самым простым подпространством является одномерное Базис этого подпространства состоит из одного вектора Это значит что одномерное подпространство состоит из векторов вида α где β произвольное число Аналогично векторы вида α β где и - фиксированные линейно независимые векторы а α и β - произвольные числа образуют двумерное подпространство Пример Доказать что в n-мерном пространстве R где вектор есть строка n чисел все n-мерные векторы у которых координаты с четными номерами равны между собой образуют подпространство R Найти базис и размерность этого подпространства ( Решение: Пусть векторы и y заданного подпространства записанs в виде: a a5 y ( y b y b y5 Тогда в соответствии с определением суммы векторов и умножения вектора на число в пространстве R имеем: y y a b y a b y из чего следует что ( ( λ λa λ λa λ λ 5 R y R y R λ R Учитывая определение вектора подпространства а также свойства операций суммы векторов и умножения вектора на число в пространстве R запишем базис подпространства R : ( ( 5 ( ( причем если размерность n пространства R четное число то вектор закончится числом а вектор n- -числом и наоборот В таком случае нетрудно подсчитать размерность подпространства R определяется числом: n n r где f - функция выделения целой части числа Решите примеры: Пример Проверить являются ли множества векторов подпространствами: Множество n-мерных векторов ( n у которых координаты с четными номерами равны нулю; Множество n-мерных векторов ( n у которых - ; Множество квадратных матриц у которых элементами главной диагонали являются нули: Множество всех многочленов f(t удовлетворяющих условию f( относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочленов на число 5 Сумма и пересечение подпространств

18 8 Пусть заданы два подпространства R и R n-мерного пространства R Определение: Если каждый вектор пространства R можно и притом единственным образом представить как сумму двух векторов: где R R то говорят что пространство R разложено в прямую сумму подпространств R и R Это записывают так: R R R Теорема Для того чтобы пространствоr разлагалось в прямую сумму подпространств R и R достаточно чтобы: Подпространства R и R имели только один общий вектор (нулевой вектор Сума размерностей этих подпространств была равна размерности пространства R Пусть имеем два произвольных подпространства R и R линейного пространства R Подпространство пересечения R и R - это совокупность векторов принадлежащих обоим подпространствам R и R : R R R Пример Пусть R и R два двумерных подпространства трехмерного пространства (две плоскости проходящие через начало координат Тогда их пересечение R R R есть одномерное подпространство (прямая по которой эти плоскости пересекаются По двум подпространствам R и R можно построить еще одно подпространство которое называют суммой: векторами этого подпространства являются всевозможные суммы вида: (* где R R его обозначают: R ~ R R (в отличие от прямой суммы двух подпространств запись (* элемента из R может быть неоднозначной Легко проверить что построенные элементы (* образуют подпространство Теорема Сумма размерностей R и R равна размерности их суммы плюс размерность пересечения Пример 5 Найдем базис пересечения подпространств R R R если R натянут на векторы a и a а R на векторы b и b : a ( ( b ( ( 7 a b Решение: Нетрудно заметить что векторы a и a b и b : - линейно независимы Согласно вышеприведенной теореме запишем размерность пересечения R R R в виде d kr-s где k число независимых векторов порождающих подпространство R ; r число независимых векторов порождающих подпространство R ; s число независимых векторов порождающих подпространство R R (его предстоим вычислить Применяя один из способов вычисления ранга системы векторов получаем: s В таком случае размерность пересечения d - / Найдем базис из условия: c a a b b или

19 8 7 Решая эту систему одним из способов изложенных в Гл5 получим: -s; s; -s; s где s произвольная постоянная Принимая s - получим: c a - a b - b ( Ответ: базис пересечения подпространств: c a - a b - b ( Решите примеры: Пример 6 Найдем базис пересечения подпространств R R R если R натянут на векторы a и a а R на векторы b и b : a ( ( b ( ( a b Ответ: базис пересечения подпространств: c -a a 8 b b (5 9-7 Пример 7 Найдем базис пересечения подпространств R R R если R натянут на векторы a и a а R на векторы b и b : a ( ( b ( b ( a Ответ: базис пересечения подпространств: c a - a - b b ( - 6 Линейные преобразования (операторы Пусть дано n мерное действительное линейное пространство V n Рассмотрим преобразование этого пространства (отображение переводящее каждый вектор a пространства V n в некоторый вектор a этого же пространства Вектор a называется образом вектора a: a a прообраз образ V n Если обозначить преобразование через φ то условимся записывать: a φa Мы будем рассматривать только линейные преобразования 6 Определение линейного преобразования пространства V n Определение: Преобразование φ линейного пространства V n называется линейным преобразованием этого пространства если: φ (ab φa φb причем ab Vn φ (μa μ(φa где μ - любое число Из определения следует: линейное преобразование переводит любую линейную комбинацию данных векторов в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами образов этих векторов: φ(k a k a k r a r k (φa k (φa k r (φa r 6 Свойства линейного преобразования Выделим основные свойства линейного преобразования: V n

20 85 при любом линейном преобразовании φ линейного пространства V n нулевой вектор остается неподвижен: φ; образом вектора противоположного для данного вектора a служит вектор противоположный для образа вектора a: φ ( a (φa; линейное преобразование ε оставляющее всякий вектор на месте: εa a называют тождественным; линейное преобразование ω отображающее всякий вектор a в нуль: ωa называют нулевым; Пусть в пространстве V n выделен базис ( n Всякий вектор a этого пространства однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов базиса В соответствии с определением линейного преобразования образ вектора a с теми же коэффициентами выражается через образы векторов базиса Это значит: всякое линейное преобразование φ пространства V n однозначно определяется заданием образов ϕ ( ϕ ϕ ϕ n фиксированного базиса Так как всякий вектор φ c обладает определенной записью: ( n c a a a n n n то линейное преобразование φ может быть однозначно определено квадратной матрицей Это значит что между всеми линейными преобразованиями пространства V n и всеми квадратными матрицами порядка n имеем взаимно однозначное соответствие φ A причем как увидим далее при смене базиса матрица линейного преобразования также определенным образом изменится 6 Операции над линейными преобразованиями Пусть в пространстве V n заданы линейные преобразования φ и ψ причем в некотором базисе (произвольном матрицей преобразования φ является матрица A а преобразования ψ - матрица B Тогда для произвольного вектора a пространства V n могут быть определены: Сумма линейных преобразований φ и ψ : такое линейное преобразование что: (φψa φaψaaaba (ABa ( Произведение линейных преобразований φ и ψ: такое линейное преобразование что: (φψa φ(ψa A Ba ( Произведение линейного преобразования φ на число λ: такое линейное преобразование что: (λφa λ(φa λ Aa ( 6 Нахождение координат вектора φa для данного вектора a Пусть задан вектор a ( a a an где матрица-столбец и линейное преобразование определяется квадратной матрицей A Тогда образ вектора a может быть записан в виде: ϕ a ( a a an A ( Это значит что строка координат φa равна строке координат вектора a умноженной справа на матрицу A линейного преобразования φ в базисе ( n трехмерного линейного пространства задан Пример 8 Пусть в базисе ( вектор 5 n и линейное преобразование φ задается матрицей: a A

21 86 Найдем образ вектора a вектор φa Решение: Воспользуемся формулой (: ( 5 ( 96 те ϕ a ( 9 6 ϕ a 9 6 Ответ: ( Решите примеры: Пример 9 Пусть в базисе ( вектор трехмерного линейного пространства задан n и линейное преобразование φ задается матрицей: a A Найдите образ вектора a вектор φa ϕ a 5 8 трехмерного линейного пространства задан Ответ: ( Пример Пусть в базисе ( вектор n и линейное преобразование φ задается матрицей: a A 5 Найдите образ вектора a вектор φa ϕ a 6 Ответ: ( 7 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису Как показано в выражения определяющие действия с матрицами зависят от формы записи систем векторов базиса Рассмотрим случаи использования форм записи систем векторов базиса в виде (8 и (9 в задаче «Преобразование матрицы линейного оператора» 7 Преобразования с использованием записи базиса в виде матрицы-строки Применяя форму (8 записи систем векторов базисов и можно записать: c c c n c c cn ( n ( n ( cn cn cnn или в компактной форме: C ; (5 пусть матрицы линейного преобразования φ определяются в базиса выражением:

22 87 и в базисе выражением: a a a n a a a ϕ n A an an ann n ( (6 b b b n b b bn ϕ ( n B (7 bn bn bnn Несложно доказать что: C B AC откуда получаем: B C AC и A CBC (8 Замечание: Матрицы A и B называют подобными для формы (8 записи систем векторов базисов и если они связаны равенством: СB AC где матрица С некоторая невырожденная матрица которую обычно называют трансформирующей матрицей 7 Преобразования с использованием записи базиса в виде матрицы-столбца Применяя форму (9 записи систем векторов базисов и можно записать: c c cn c c cn (9 n c n cn cnn n или в компактной форме: C ; (5 пусть матрицы линейного преобразования φ определяются в базиса выражением: a a an a a an ϕ A (5 a n an a nn n и в базисе выражением: b b bn b b bn ϕ B (5 b n b n b nn n Несложно доказать что: B C C A откуда получаем: B C AC и A C BC (5 Замечания: Для одних и тех же систем векторов ( n и ( n : матрицы С и С перехода от базиса к базису превращаются одна в другую транспонированием;

23 88 матрицы линейных преобразований А и А (аналогично B и B в базисе (также для превращаются одна в другую транспонированием Замечание: Матрицы A и B называют подобными для формы (9 записи систем векторов базисов и если они связаны равенством: BС CA где матрица С некоторая невырожденная матрица которую обычно называют трансформирующей матрицей Ниже приведены примеры применения полученных формул для разных случаев записи систем векторов базисов и Пример В базисе : ( n для формы записи (8 системы векторов базиса 6 задана матрица линейного преобразования φ: A 6 Найдем матрицу этого преобразования в базисе: Решение: Как было показано форма записи решения зависит от вида записи системы векторов базисов и Случай По условию имеем (см ( и (5: C ( Применим полученную в п 7 формулу (8: B C AC Случай По условию имеем (см (9 и (5: п 7 формулу (5: B Ответ: B B C AC 6 6 C 6 6 Применим полученную в Пример Найдем линейное преобразование переводящее векторы ( a ( 5 a ( соответственно в векторы: ( b ( 5 b ( Решение: Задача может быть записана в форме используемой в Примере 6: Пусть задан некоторый базис ( базиса: ( и ( базиса ( к ( a b и через его векторы определены еще два : Необходимо построить матрицу перехода от если: ( ( A 5

24 89 ( ( 5 B Вычисляя обратную матрицу одним из способов получаем матрицу линейного преобразования C A B переводящего систему векторов ( в систему векторов ( : 7 9 C A B Ответ: матрица линейного преобразования C A B (см решение задачи Пример Линейное преобразование А в базисе a ( a ( имеет матрицу преобразования: A b Найдем матрицу этого преобразования в базисе b ( ( Решение: Учитывая приведенные примеры данную задачу можно решать по схеме: решить задачу Пр и найти матрицу С перехода от базиса a ( a a b ( b b ; к базису решить задачу Пр9 и найти матрицу B C AC линейного преобразования в базисе b ( b b 5 Ответ: матрица линейного преобразования B Решите примеры: Пример Линейное преобразование А в базисе ( преобразования: A a a ( имеет матрицу Найдем матрицу этого преобразования в базисе b ( ( 5 Ответ: матрица линейного преобразования B 8 Характеристическая матрица характеристические корни собственные значения и собственные векторы b 8 Характеристическая матрица и характеристический многочлен Определение : Матрица ( A λe называется характеристической матрицей матрицы А и записывается в виде:

25 9 a λ a A λe a n a a a λ n an an (5 a λ nn где А квадратная матрица порядка n с действительными элементами и число λ некоторое неизвестное число Определение : Определитель A λe - многочлен от λ степени n называют характеристическим а его корни характеристическими корнями (могут быть как действительными так и комплексными Известно что подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами следовательно одинаковыми характеристическими корнями Поэтому эти корни называют характеристическими корнями линейного преобразования φ 8 Собственные значения и собственные векторы преобразования Пусть в пространстве V n задано линейное преобразование φ Если вектор b отличен от нуля и: φb λ b где λ - действительное число Тогда вектор b называют собственным вектором преобразования φ а число λ - собственным значением этого преобразования Теорема: Действительные характеристические корни линейного преобразования φ если они существуют и только они служат собственными значениями этого преобразования Замечание: В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование обладает собственными векторами (их n Для нахождения собственных векторов удобно пользоваться формой записи векторов матрица-столбец Тогда исходя из записи линейного преобразования: ϕ b Ab можно записать Аb λ b или Аb - λ b Последнее означает что совокупность ненулевых решений системы линейных уравнений: a λ a an a a λ an ( A λe X (55 a n an ann λ n совпадают с совокупностью собственных векторов линейного преобразования φ Пример 5 Найти собственные векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: A 5 Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму: находим корни характеристического многочлена: λ ϕ ( λ λ 5λ 6 ( λ ( λ 6 5 λ те корни многочлена φ(λ: λ - λ 6

26 9 находим собственные векторы линейного преобразования используя общую запись системы уравнений (55 а собственный вектор b для собственного числа λ -: 5 5 Пусть тогда - следует: b ( - б собственный вектор b для собственного числа λ 6: Пусть тогда 5 следует: b ( 5 Ответ: собственные значения: λ - λ 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ - имеет значение b ( - для λ 6 значение b ( 5 Пример 6 Найти собственные векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: 5 A Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму: находим корни характеристического многочлена: ( ( ( 5 λ λ λ λ λ λ λ λ ϕ те корни многочлена φ(λ: λ - кратности находим собственные векторы линейного преобразования используя общую запись системы уравнений (55 5 Пусть с тогда с - с следует: b с( - Ответ: собственные значения: λ λ λ -; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: b с( - где с Решите примеры: Пример 7 Найти собственные значения и векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: 5 A Ответ: собственные значения: λ λ λ -; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: b с( - где с

27 9 Ответ: собственные числа: векторы преобразования: b с( - где с Пример 8 Найти собственные значения и векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: A Ответ: собственные значения: λ λ λ -; собственные векторы линейного преобразования: для λ имеет значение b с( для λ λ - значение b с ( причем с 9 Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду ( Линейное преобразование φ тогда и только тогда задается в базисе n диагональной матрицей если все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования φ Это следует из равенств: ϕ λ n или ϕ λ ϕ ϕ n Известно что собственные векторы ( b b λ A (56 λ n n b b n линейного преобразования φ относящиеся к различным собственным векторам составляют линейно независимую систему Следствие: Всякая матрица все характеристические корни которой действительные и различны подобна диагональной матрице те приводится к диагональной n составленном из собственных векторов матрица линейного преобразования имеет диагональную форму Пример 9 Найти собственные векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: A Построить базис составленный из собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом 5 базисе форме Это значит что в базисе ( Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму: находим корни характеристического многочлена: λ ϕ ( λ λ 5λ 6 ( λ ( λ 6 5 λ те корни многочлена φ(λ: λ - λ 6 находим собственные векторы линейного преобразования используя общую запись системы уравнений (55 а собственный вектор b для собственного числа λ -:

28 9 5 5 Пусть тогда - следует: b ( - б собственный вектор b для собственного числа λ 6: 5 5 Пусть тогда 5 следует: b ( 5 строим базис из собственных найденных векторов ( b b -5 b составляем диагональную матрицу линейного заданного преобразования в базисе ( b b A 6 b : Ответ: собственные значения: λ - λ 6; собственные векторы линейного преобразования: для λ - имеет значение b ( - для λ 6 значение b ( 5; диагональная b b b имеет простейший вид: форма матрицы линейного преобразования в базисе ( A 6 Решите примеры: Пример Найти собственные векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: A 5 Построить базис составленный из собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом базисе Ответ: собственные значения: λ λ λ ; собственные векторы: b ( b ( b ( - диагональная матрица: A Пример Найти собственные векторы линейного преобразования φ заданного в некотором базисе матрицей: A Построить базис составленный из собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом базисе Ответ: собственные значения: λ λ λ λ -; собственные векторы: b ( b ( b ( b (---

29 9 диагональная матрица: A Вопросы для самопроверки: Что такое линейное пространство? Может ли линейное пространство состоять из а двух элементов; б одного элемента; в элементов? Образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения на число? Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента? 5 Что понимают под операцией вычитания в линейном пространстве? 6 Справедливо ли равенство -? 7 Какие элементы линейного пространства называют линейно независимыми? 8 Можно ли утверждать что элементы n линейного пространства R линейно независимы если данный элемент х этого пространства единственным образом выражается в виде линейной комбинации указанных n элементов? 9 Пусть в линейном пространстве R даны n линейно независимых элементов n Что еще надо потребовать чтобы указанная совокупность элементов была базисом в данном линейном пространстве? С какой целью вводится базис в линейном пространстве? Пусть дано множество всех тех элементов линейного пространства каждая компонента которых равна или или Сколько различных базисом содержит это множество? Сколько базисов имеется в каждом линейном пространстве? Пусть в линейном пространстве R даны n линейно независимых элементов n Что еще надо потребовать чтобы размерность этого линейного пространства была равна n? Как связаны между собой размерность линейного пространства и число элементов в базисе этого линейного пространства? Является ли это соответствие взаимным? 5 Какова формула перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве? 6 Что такое подпространство линейного пространства? 7 В определении подпространства М линейного пространства R речь идет о корректности линейных операций на множестве М Что понимают под этими операциями? 8 Какое соответствие между элементами двух линейных пространств называют изоморфизмом? 9 Какие линейные пространства называют изоморфными? Что называется линейным оператором? Что такое линейное преобразование пространства? Как определяется матрица линейного оператора? Как изменяется матрица линейного преобразования (оператора при переходе от одного базиса к другому? Что такое произведение линейных преобразований? 5 Чему равна матрица произведения линейных преобразований? 6 Что такое характеристическая матрица линейного преобразования? 7 Что такое характеристический многочлен линейного преобразования? 8 Что называется собственным вектором линейного преобразования действующего в линейном пространстве R над числовым полем К? 9 Что такое собственное значение линейного преобразования действующего в линейном пространстве R над числовым полем К? Каким может быть максимальное число собственных значений у линейного оператора действующего в линейном пространстве размерности n? Зависят ли собственные значения линейного преобразования от выбора базиса в линейном пространстве в котором действует это преобразование?

30 Всякий ли линейный оператор действующий в линейном пространстве R над числовым полем К имеет хотя бы одно собственное значение? Как найти собственные значения линейного оператора? Как найти собственные векторы линейного преобразования? 95


( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.1

Линейная алгебра. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012

Домашнее Задание 5. Дмитрий Сорокин. 19 Апреля 2012 Домашнее Задание Дмитрий Сорокин 9 Апреля 22 Задача Рассмотрим подпространство L R 7, являющееся линейной оболочкой векторов v (3, 3,,, 2,, ) v 2 (3, 2, 3, 3, 2,, 2) v 3 ( 3,,, 6, 2, 2, ) v (9,, 3,, 6,,

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ '. ОКТАВЫ ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ Поскольку все дезарговы плоскости являются плоскостями параллельных переносов то плоскости Мултона недезарговы. Влечет ли свойство плоскости быть плоскостью

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр

Практические занятия по алгебре. 1 курс. 2 семестр А.Г.Гейн Практические занятия по алгебре 1 курс 2 семестр Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику задач по алгебре

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы Лекция 1 МАТРИЦЫ 1 Матрицы На этой лекции мы введём основное для всего курса аналитической геометрии понятие матрицы Необходимость введения понятия матрицы обусловлена, например, компактностью записи линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

По дисциплине «Линейная алгебра»

По дисциплине «Линейная алгебра» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее