Математический Анализ 1 семестр. Часть 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический Анализ 1 семестр. Часть 1"

Транскрипт

1 МГУ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Математический Анализ семестр. Часть Учебно-методическое пособие подготовлено Тесленко М.А. на основе лекций, прочитанных Черемных Ю.Н. г. Москва

2 Математический анализ. УМП часть Оглавление Вопрос. Понятие производственной функции ПФ однофакторной, двухфакторной и ее изокванты... 5 Вопрос. Функция издержек фирмы и ее изокосты... 5 Вопрос. Прибыль фирмы случай двух факторов и ее максимизация с использованием условий первого порядка... 5 Вопрос. Решение задачи максимизации прибыли фирмы в случае ПФ Кобба-Дугласа... 6 Вопрос 5. Решение задачи максимизации выпуска фирмы при ограничении на ресурсы... 7 Вопрос 6. Решение задачи минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой продукции... 9 Вопрос 7. Понятие множества и его элемента... Вопрос 8. Понятие подмножества множества. Множество всех подмножеств данного множества. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества... Вопрос 9. Конечные и бесконечные множества. Множества счетные и несчетные. Мощность континуума... Вопрос. Множество целых чисел счетное доказательство... Вопрос. Множество рациональных чисел счетное доказательство... Вопрос. Операция объединения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация... Вопрос. Операция пересечения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация... Вопрос. Операция разности множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация... Вопрос 5. Множество действительных чисел. Аксиома непрерывности. Понятие мажоранты и миноранты множества. Множества ограниченные неограниченные сверху снизу. Понятие минимального максимального элемента множеств и их единственность... Вопрос 6. Теорема о существовании минимального элемента. Понятие супремума множества... 6 Вопрос 7. Теорема о существовании максимального элемента. Понятие инфинума множества... 6

3 Математический анализ. УМП часть Вопрос 8. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение супремума... 7 Вопрос 9. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение супремума... 7 Вопрос. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение инфимума... 8 Вопрос. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение инфимума... 8 Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, внутренней точки множества, внутренности множества, открытого множества... 9 Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, граничной точки, границы множества, замкнутого множества... Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, предельной точки множества, производного множества данного множества, замкнутого множества второе определение замкнутого множества. Теорема о предельной точке множества... Вопрос 5. Эквивалентность двух определений замкнутого множества доказательство... Вопрос 6. Определение предельной точки с использованием понятия ε- окрестности с выколотым центром... Вопрос 7. Из первого определения предельной точки следует ее второе определение доказательство... Вопрос 8. Из второго определения предельной точки следует ее первое определение доказательство... Вопрос 9. Дополнение открытого множества есть замкнутое множество доказательство... Вопрос. Дополнение замкнутого множества есть открытое множество доказательство... Вопрос. Понятие выпуклой комбинации векторов, отрезка с концами х и х, выпуклого множества.... Вопрос. Определение шара радиуса r в точке, открытого шара, сферы...

4 Математический анализ. УМП часть Вопрос. Открытый шар это открытое множество доказательство... 5 Вопрос. Открытый шар это выпуклое множество доказательство... 5 Вопрос 5. Функция натурального аргумента и ее график и числовая последовательность. Геометрическая интерпретация трех классов функций натурального аргумента... 6 Вопрос 6. Ограниченные сверху, снизу и неограниченные сверху, снизу функции натурального аргумента... 8 Вопрос 7. ФНА бесконечно малые БМ. ФНАБМ ограничена доказательство. Теорема о бесконечно малом «хвосте» ТБМХ. Необходимость теоремы в трех редакциях и доказательство необходимости... 8 Вопрос 8. Формулировка ТБМХ. Достаточность теоремы в трех редакциях и ее доказательство... 9 Вопрос 9. ФНА бесконечно большие ББ. Теорема: если БМФНА, то ББФНА доказательство... Вопрос. Теорема: если ББФНА, то БМФНА доказательство... Вопрос. Теорема о сумме конечного числа БМФНА доказательство. Вопрос. Теорема о произведении БМФНА на ограниченную ФНА доказательство... Вопрос. Теорема о пределе суммы конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы доказательство... Вопрос. Теорема о пределе произведения конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы доказательство... Вопрос 5. Теорема о пределе дроби ФНА... Вопрос 6. Теорема о двух «милиционерах» для ФНА доказательство.. 5 Вопрос 7. Понятие фундаментальной числовой последовательности. Критерий Коши доказательство необходимости Вопрос 8. Последовательности вложенных и стягивающихся отрезков. Теорема о стягивающихся отрезках дакозательство Вопрос 9. Теорема о предельной точке доказательство Вопрос 5. Подпоследовательность числовой последовательности. Теорема о подпоследовательности числовой последовательности, имеющей предел доказательство... 8 Вопрос 5. Теорема Больцано-Вейерштрасса.... 9

5 Математический анализ. УМП часть Вопрос. Понятие производственной функции ПФ однофакторной, двухфакторной и ее изокванты Однофакторная производственная функция ОПФ это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса фактора производства, а зависимая переменная значения объѐмов выпускаемой продукции. Область определения ОПФ множество неотрицательных действительных чисел. Двухфакторная производственная функция ДПФ это функция, две независимых переменных которой принимают значения объѐмов затрачиваемых или используемых ресурсовнапример труд и капитал, а значение функции имеет смысл величины объѐма выпуска: y, y скалярная величина, векторная, координаты вектора Область определения ДПФ множество двумерных векторов, все координаты, которых неотрицательные числа Изокванта это линия уровня ПФ, то есть множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение Вопрос. Функция издержек фирмы и ее изокосты Функция издержек это функция, которая описывает связь между выпуском продукции и минимально возможными затратами, необходимыми для его обеспечения. Изокоста это линия уровня издержек, то есть множество точек, на котором функция издержек принимает постоянное значение Вопрос. Прибыль фирмы случай двух факторов и ее максимизация с использованием условий первого порядка X F L, K производственная функция Y Z L, K функция издержек 5

6 Математический анализ. УМП часть 6 PR прибыль, * P цена единицы продукции, L P цена единицы труда, K P цена единицы капитала,, * * K L Z K L F P K P L P P X PR k L, ' *, ' * ' ' K K L L K L P K L F P P K L F P PR PR Вопрос. Решение задачи максимизации прибыли фирмы в случае ПФ Кобба-Дугласа, 8,, p p p a C y p PR доход y p p p C a y / / / / / / / / / / 8 8 PR

7 Математический анализ. УМП часть Перемножим : х х C p PR х, y х / 6 6 Изокоста и изокванта X Изокоста Изокванта Вопрос 5. Решение задачи максимизации выпуска фирмы при ограничении на ресурсы y 8 / / 6 ma Введём функцию Лагранжа : / /,, 6 8 L 7

8 Математический анализ. УМП часть L L L ' ' ' 6 / / 8 / / 8 Поделим первое уравнение 6 6 y / на второе : Х 8 Изокоста и изокванта Х Изокоста Изокванта 8

9 Математический анализ. УМП часть y C Вопрос 6. Решение задачи минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой продукции /, / 8 mi 8 C 6 6 / / / 6 8 / 6 / / 6 Х 8 Изокоста и изокванта Х Изокоста Изокванта 9

10 Математический анализ. УМП часть Вопрос 7. Понятие множества и его элемента Множество одно из ключевых понятий математики. Понятие множества является аксиоматическим, поэтому не имеет определения. Однако множество можно описать. Под множеством мы понимаем соединение в некоторое целое М определѐнных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления которые мы будем называть элементами множества М. Например множество натуральных чисел или множество студентов МГУ. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы маленькими. Вопрос 8. Понятие подмножества множества. Множество всех подмножеств данного множества. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества Множество является подмножеством множества, если любой элемент также принадлежит, Любое множество является своим подмножеством. Пустое множество является подмножеством любого множества. Если,, тогда является собственным или нетривиальным подмножеством. Говорят, что между множествами и установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу из ставится в соответствие единственный элемент из, причѐм разным элементам из ставятся в соответствие разные элементы из. Множества и эквивалентны, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

11 Математический анализ. УМП часть Вопрос 9. Конечные и бесконечные множества. Множества счетные и несчетные. Мощность континуума Множества бывают конечными и бесконечными. Множество студентов МГУ конечное, множество натуральных чисел бесконечное. Множество называется счѐтным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество называется несчѐтным, если оно не эквивалентно множеству натуральных чисел. Континуум класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [ ; ] называется множеством мощности континуума. Вопрос. Множество целых чисел счетное доказательство Мы можем упорядочить целые числа следующим образом: Видим, что множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, что требовалось доказать. Вопрос. Множество рациональных чисел счетное доказательство Мы можем упорядочить рациональные числа следующим образом: 5 5 По вышеизображѐнной схеме мы можем упорядочить все элементы множества рациональных чисел. В таком случае прослеживается

12 Математический анализ. УМП часть эквивалентность с множеством натуральных чисел, что и требовалось доказать. Вопрос. Операция объединения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация Множество С называют объединением или суммой множеств и C, C если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и. Свойства объединения: идемпотентность C коммутативность i Обозначение: i I Геометрическая интерпретация: C ассоциативность Вопрос. Операция пересечения множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация Множество С называется пересечением или произведением множеств и если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству, и множеству. Свойства пересечения: идемпотентность 5 C C C коммуникативность C C C ассоциативность C дистрибутивность C дистрибутивность

13 Математический анализ. УМП часть Обозначение: I i i Графическая интерпретация: Вопрос. Операция разности множеств и ее свойства. Геометрическая интерпретация Множество C называется разностью множеств и C, если оно состоит из элементов, принадлежащих, но не принадлежащих. Свойства разности: Законы де Моргана: C C C C C C C C C

14 Математический анализ. УМП часть 5 C C 6 C C C 7 C C, если С А 8 Если и С D, то C 9 Если то C C C Обозначение: C { a : a a } Геометрическая интерпретация: Вопрос 5. Множество действительных чисел. Аксиома непрерывности. Понятие мажоранты и миноранты множества. Множества ограниченные неограниченные сверху снизу. Понятие минимального максимального элемента множеств и их единственность Множество вещественных чисел суть, непрерывное упорядоченное поле. Это объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначение Е. Аксиома непрерывности: Пусть множество разбито на непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел a и выполнено неравенство a. Тогда существует единственное число c, такое, что для любых a и выполняется неравенство: a с. Оно отделяет числа класса от чисел класса. Число c является либо наибольшим числом в классе тогда в классе нет наименьшего числа, либо наименьшим числом класса тогда в классе нет наибольшего. Пусть M,. Тогда если m * m, то * мажоранта. * множество всех мажорант множества.

15 Математический анализ. УМП часть Пусть M E, E. Тогда если m M m, то миноранта. множество всех минорант множества. Множество ограничено сверху, если *: * например множество отрицательных чисел. Множество называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху. Или же если:, : например, множество натуральных чисел. Множество ограничено снизу, если : например множество неотрицательных рациональных чисел. Множество называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу. Или же если:, : например множество отрицательных рациональных чисел Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу например множество натуральных чисел, больших и меньших. Число E называется максимумом или максимальным элементом множества, если и. Обозначение: ma. Число E называется минимумом или минимальным элементом множества, если M и M. Обозначение: mi Теорема: если ma M, то число является единственным. Доказательство: Предположим, что существует число a ma. Тогда по определению: а Но отсюда следует, что для а. Однако отсюда получаем, что не является максимумом mi. Противоречие. Такого числа a не существует. Число ma единственное, что и требовалось доказать. 5

16 Математический анализ. УМП часть mi M, то число является единственным. Теорема: если Доказательство: Предположим, что существует число a mi. Тогда по определению: а, но отсюда следует, что для а. Однако отсюда получаем, что не является минимумом. Противоречие. Такого числа a не существует. Число mi единственное, что и требовалось доказать. Вопрос 6. Теорема о существовании минимального элемента. Понятие супремума множества Теорема: Пусть, *, тогда у множества * существует минимальный элемент. Доказательство: Пусть * множество мажорант. Тогда mi * sup, это точная верхняя грань множества. Так как единственность минимума множества * следует из теоремы о единственном минимуме множества, то осталось установить существование sup. По свойству непрерывности можем записать: M, y M * c : c y c Как мажоранта, число c является элементом *, но как миноранта *, число c является минимальным элементом множества * sup X mi Y и c существует, что и требовалось доказать. Вопрос 7. Теорема о существовании максимального элемента. Понятие инфинума множества Теорема: Пусть, максимальный элемент. Доказательство: Пусть ma, то у множества существует множество минорант. Тогда i M, это точная нижняя грань множества. Так как единственность максимума множества следует из теоремы о единственном максимуме множества, то осталось установить существование i M. По свойству непрерывности можем записать: 6

17 Математический анализ. УМП часть c M, y M c : y c Как миноранта, число c является элементом, но как мажоранта, число c является максимальным элементом множества i X ma Y и c существует, что и требовалось доказать. Вопрос 8. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение супремума Вещественное число является супремумом sup mi M * тогда и только тогда, когда: : Необходимость: Пусть супремум. Тогда выполняются условия и. Необходимость необходимости: Для того, чтобы являлось супремумом необходимо, чтобы выполнялись условия и. Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия и достаточно, чтобы являлось супремумом. Вопрос 9. Теорема о необходимом и достаточном условии супремума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение супремума Вещественное число является супремумом sup mi M * тогда и только тогда, когда: : 7

18 Математический анализ. УМП часть Достаточность: Пусть выполняются условия и. Тогда супремум. Необходимость достаточности: Для того чтобы выполнялись условия и необходимо, чтобы являлось супремумом. Достаточность достаточности: Для того, чтобы достаточно, чтобы выполнялись условия и. являлось супремумом Вопрос. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Необходимость теоремы и доказательство необходимости. Рабочее определение инфимума Вещественное число является инфимумом i ma M тогда и только тогда, когда: : Необходимость: Пусть инфимум. Тогда выполняются условия и. Необходимость необходимости: Для того, чтобы являлось инфимумом необходимо, чтобы выполнялись условия и. Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия и достаточно, чтобы являлось инфимумом. Вопрос. Теорема о необходимом и достаточном условии инфимума. Достаточность теоремы и доказательство достаточности. Рабочее определение инфимума Вещественное число является инфимумом i ma M тогда и только тогда, когда: : 8

19 Математический анализ. УМП часть Достаточность: Пусть выполняются условия и. Тогда инфимум. Необходимость достаточности: Для того, чтобы выполнялись условия и необходимо, чтобы являлось инфимумом. Достаточность достаточности: Для того, чтобы достаточно, чтобы выполнялись условия и. являлось инфимумом Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, внутренней точки множества, внутренности множества, открытого множества -окрестность это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки менее, чем на. Пусть X,, тогда ε-окрестность это множество: U { X : }. Точка называется внутренней точкой если: E : U M. Внутренность множества это множество всех внутренних точек Множество называется открытым, если : U то есть любая точка множества является внутренней. Для двумерного многообразия: U X Пусть,, {, : U -окрестность это такое множество Точка, называется внутренней точкой M, если } E 9

20 Математический анализ. УМП часть Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, граничной точки, границы множества, замкнутого множества -окрестность это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки менее, чем на. Пусть X,, тогда -окрестность это множество U { X : }. Точка * называется граничной точкой * M E если: U U * * M E M Граница множества это множество всех граничных точек. Замкнутое множество это множество, которому принадлежит его граница. Для двумерного многообразия: U если: X Пусть,, {, * * -окрестность это такое множество Точка *, называется граничной точкой M U U * * M E M } E Вопрос. Понятие ε-окрестности точки, предельной точки множества, производного множества данного множества, замкнутого множества второе определение замкнутого множества. Теорема о предельной точке множества -окрестность это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки менее, чем на. Пусть X,, тогда -окрестность это множество U { X : }.

21 Математический анализ. УМП часть Точка ' M E является предельной точкой, если выполняется или, или. в U ' содержится бесконечное число точек из в U ' содержится хотя бы одна точка из. Производное множество это множество всех предельных точек. Замкнутое множество это множество, которому принадлежит его производное множество. Для двумерного многообразия: X Пусть,, -окрестность это такое множество U {, } Точка ' ', ' M E является предельной точкой, если выполняется или, или. в U ' содержится бесконечное число точек из в U ' содержится хотя бы одна точка из. Теорема о предельной точке: Если множество ограничено и бесконечно, то у него есть хотя бы одна предельная точка. Вопрос 5. Эквивалентность двух определений замкнутого множества доказательство Докажем эквивалентность двух определений замкнутого множества. Если F* F, то F замкнутое. Если F' F, то F замкнутое. Теорема: Для того, чтобы множество F E, F F* F, необходимо и достаточно, чтобы F' F. Необходимость: Если М замкнутое то есть F* F, то F' F замкнутым т.е. Доказательство: А Если F, то F F F F Б Если F и F, то F' F F было

22 Математический анализ. УМП часть В Если F и F, то каждая предельная точка является или граничной, или внутренней. Если предельная точка является граничной, то она принадлежит F в силу F* F. Если предельная точка внутренняя, то она обязательно принадлежит F F' F, что требовалось доказать. Достаточность: Если F* F' F, то F замкнутое то есть F Доказательство: А Если F *, то F* F Б Если F *, то каждая граничная точка является или предельной, или изолированной. Если граничная точка предельная, то она принадлежит F в силу F' F. Если граничная точка изолированная, то она обязательно принадлежит F F* F, что требовалось доказать. Вопрос 6. Определение предельной точки с использованием понятия ε-окрестности с выколотым центром Точка является предельной точкой, если в U ' содержится хотя бы одна точка из. Для -мерного многообразия: Точка,,..., является предельной точкой, если в U ' содержится хотя бы одна точка из. Вопрос 7. Из первого определения предельной точки следует ее второе определение доказательство Точка ' M E является предельной точкой, если выполняется или, или. в U ' содержится бесконечное число точек из в U ' содержится хотя бы одна точка из. Теорема: из следует Доказательство: если в -окрестности точки содержится бесконечное количество точек множества, то в проколотой -

23 Математический анализ. УМП часть окрестности точки содержится на одну точку меньше, то есть бесконечное количество, а значит и хотя бы одна, что и требовалось доказать. Вопрос 8. Из второго определения предельной точки следует ее первое определение доказательство Точка ' M E является предельной точкой, если выполняется или, или. в U ' содержится бесконечное число точек из в U ' содержится хотя бы одна точка из. Теорема: из следует Доказательство: Предположим, что если утверждение верно, то утверждение неверно, то есть в -окрестности содержится конечное число точек. Пусть i M, i. Тогда учитывая конечность выбранного множества мы можем определить mi. Рассмотрим проколотую окрестность. Но тогда: U M, откуда следует, что U M Но это противоречит условию. Наше предположение неверно, утверждение верно, что и требовалось доказать. i Вопрос 9. Дополнение открытого множества есть замкнутое множество доказательство Теорема: Пусть G, тогда F. Доказательство: G* M * G M Но G* E G G G* M M M* M M F, ч. т. д Вопрос. Дополнение замкнутого множества есть открытое множество доказательство Теорема: Пусть F, тогда G

24 Математический анализ. УМП часть Доказательство: F* M * F M E Но F* F F F* M M M* M M G, ч. т. д Вопрос. Понятие выпуклой комбинации векторов, отрезка с концами х и х, выпуклого множества. Если, то c a выпуклая комбинация векторов a и. Отрезок a это множество всех выпуклых комбинаций векторов a и. Множество называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые его точки, полностью принадлежит данному множеству. Вопрос. Определение шара радиуса r в точке, открытого шара, сферы Шаром с центром в точке, E и радиусом r называется множество: S r, { E r} Открытым шаром с центром в точке, E и радиусом r называется множество: S r, { E r} Шар с центром в точке окрестностью точки X : Сферой с центром в точке называется множество: X и радиусом r также называют, X и радиусом r

25 Математический анализ. УМП часть S r, { E r} Вопрос. Открытый шар это открытое множество доказательство Открытый шар является открытым множеством, если для любой его точки верно, что U {, } Пусть r. Тогда перепишем: U {, r} А это и есть определение шара. Значит шар открытое множество, что и требовалось доказать. M M Вопрос. Открытый шар это выпуклое множество доказательство Теорема: Двумерный шар с центром в точке, и радиусом r является выпуклым множеством. Доказательство: Заданное множество мы можем изобразить геометрически в виде окружности с хордой: АВ отрезок прямой, хорда. По определению хорды АВ лежит в данном круге. Поэтому двумерный шар выпуклое множество, что и требовалось доказать. Также можно привести аналитическое доказательство. Дано: a c p p r r Доказать: p r 5

26 Математический анализ. УМП часть Доказательство: Как выпуклая комбинация a c. Тогда: p a a p r r p r, ч. т. д. r c c p p a a c p c p p p Вопрос 5. Функция натурального аргумента и ее график и числовая последовательность. Геометрическая интерпретация трех классов функций натурального аргумента Числовая последовательность это функция, определѐнная на множестве натуральных чисел и принимающая числовые значения. То есть это функция, аргументом которой является натуральное число. Поэтому числовую последовательность можно определить как функцию натурального аргумента ФНА Пусть дана функция График ФНА это точки, но не линия. Рассмотрим вариации графиков ФНА: 6

27 Математический анализ. УМП часть Первый тип стремится к какому-либо числу: Второй тип бесконечно возрастает, или бесконечно убывает, или бесконечно возрастает и убывает: = = -7 = -, Третий тип колеблется, ни к чему не приближаясь:,5 = + -,5,5 =

28 Математический анализ. УМП часть Вопрос 6. Ограниченные сверху, снизу и неограниченные сверху, снизу функции натурального аргумента ФНА называется ограниченной, если с c. ФНА называется неограниченной, если с c c. Вопрос 7. ФНА бесконечно малые БМ. ФНАБМ ограничена доказательство. Теорема о бесконечно малом «хвосте» ТБМХ. Необходимость теоремы в трех редакциях и доказательство необходимости : { } Если, то бесконечно малая ФНА является бесконечно малой ФНА по определению: : { } Теорема: бесконечно малая ФНА ограничена. Доказательство: бесконечно малая ФНА, тогда по определению: : { Рассмотрим множество K {,,..., }. Оно конечное, поэтому ma K определѐн. Тогда можем записать, что это и есть определение ограниченной ФНА. требовалось доказать. чтобы Теорема: Для того, чтобы lim, где бесконечно малая ФНА. Необходимость: Пусть 8 ma K C. А ограниченная ФНА, что и, необходимо и достаточно, lim. Тогда, где бесконечно малая ФНА. Необходимость необходимости: Для того, чтобы lim необходимо, чтобы, где бесконечно малая ФНА. }

29 Математический анализ. УМП часть Достаточность необходимости: Для того, чтобы бесконечно малая ФНА, достаточно чтобы lim, где Доказательство необходимость: lim, тогда по определению: Пусть доказать. : : Значит по определению {.Тогда : { } бесконечно малая ФНА, что и требовалось } Вопрос 8. Формулировка ТБМХ. Достаточность теоремы в трех редакциях и ее доказательство Теорема: Для того, чтобы lim, необходимо и достаточно, чтобы, где Достаточность: Пусть ФНА. Тогда lim бесконечно малая ФНА., где Необходимость достаточности: Для того, чтобы бесконечно малая ФНА, необходимо чтобы чтобы 9 lim Достаточность достаточности: Для того, чтобы, где бесконечно малая ФНА. Доказательство достаточность: по определению: Пусть : : Значит по определению {.Тогда : { lim бесконечно малая, где lim достаточно, бесконечно малая ФНА, тогда }, что и требовалось доказать. }

30 Математический анализ. УМП часть Вопрос 9. ФНА бесконечно большие ББ. Теорема: если БМФНА, то / ББФНА доказательство Функция бесконечно большая ФНА по определению: E E E : { E} Функция не бесконечно большая ФНА, когда: E E E : { E} Теорема: Пусть бесконечно малая ФНА. Тогда бесконечно большая ФНА. Доказательство: E Пусть E бесконечно малая ФНА, следовательно: : { } Тогда E Получим : E E E : А это есть определение бесконечно большой ФНА. большая ФНА, что требовалось доказать. E бесконечно Вопрос. Теорема: если ББФНА, то / БМФНА доказательство Теорема: Пусть бесконечно малая ФНА бесконечно большая ФНА. Тогда a

31 Математический анализ. УМП часть Пусть Тогда Доказательство: бесконечно большая ФНА, следовательно: E E E : E Получим : E E E А это есть определение бесконечно малой ФНА. малая ФНА, что требовалось доказать. : бесконечно Вопрос. Теорема о сумме конечного числа БМФНА доказательство Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых ФНА: Пусть, бесконечно малые ФНА. Тогда их сумма является бесконечно малой ФНА. Необходимое условие: Для того, чтобы ФНА были бесконечно малыми необходимо, чтобы их сумма была бесконечно малой ФНА Достаточное условие: Для того, чтобы сумма функций натурального аргумента была бесконечно малой ФНА достаточно, чтобы функции были бесконечно малыми. Теорема распространяется на любое конечное число функций. Доказательство: Запишем дважды по определению: б. мфна. : б. мфна. :

32 Математический анализ. УМП часть Пусть ma ;. Тогда. А так же Таким образом, получаем, что :, ч.т.д Отметим, что обратное утверждение неверно. Пусть,. Функции не являются бесконечно малыми. Однако их сумма бесконечно малая ФНА. Вопрос. Теорема о произведении БМФНА на ограниченную ФНА доказательство Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной ФНА: Пусть бесконечно малая ФНА, а ограниченная ФНА. Тогда произведение этих функций является бесконечно малой ФНА. Необходимое условие: Для того, чтобы была бесконечно малой ФНА, а ограниченной ФНА, необходимо, чтобы их произведение было бесконечно малой ФНА Достаточное условие: Для того, чтобы произведение двух функций было бесконечно малой ФНА, достаточно, чтобы была бесконечно малой ФНА, а ограниченной ФНА. Доказательство: запишем определение ограниченной и бесконечно малой ФНА: ограниченная ФНА с : c б. мфна. : c

33 Математический анализ. УМП часть Видим, что при c. Значит: c :, ч.т.д. Вопрос. Теорема о пределе суммы конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы доказательство Теорема о конечном пределе суммы конечного числа ФНА, которые имеют конечный предел: Пусть lim ;lim ;, E. Тогда lim lim lim Доказательство: по теореме о бесконечно малом хвосте можем записать:, где и бесконечно малые ФНА. Сумма бесконечно малых ФНА есть бесконечно малая ФНА, поэтому вновь применяя теорему о бесконечно малом хвосте, получаем, что lim, ч.т.д. Заметим, что обратное утверждение неверно: пусть ;. Тогда у суммы предел равен, а по отдельности пределы равны нулю. Вопрос. Теорема о пределе произведения конечного числа ФНА, имеющих конечные пределы доказательство Теорема о конечном пределе произведения конечного числа ФНА, которые имеют конечный предел: Пусть lim ;lim ;, E. Тогда lim lim lim

34 Математический анализ. УМП часть Доказательство: по теореме о бесконечно малом хвосте можем записать: где и бесконечно малые ФНА. Произведение бесконечно малых ФНА есть бесконечно малая ФНА, произведение числа на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция, поэтому вновь применяя теорему о бесконечно малом хвосте, получаем, что lim, ч.т.д. Заметим, что обратное утверждение неверно: пусть ;. Тогда у произведения предел равен, а по отдельности пределы равны нулю и бесконечности. Вопрос 5. Теорема о пределе дроби ФНА Теорема о конечном пределе частного ФНА имеющих конечный предел: Пусть, ; ;lim lim E. Тогда lim lim lim Необходимое условие: Для того, чтобы, ; ;lim lim E, необходимо, чтобы lim lim lim.

35 Математический анализ. УМП часть 5 Достаточное условие: Для того, чтобы lim lim lim, достаточно, чтобы, ; ;lim lim E Заметим, что обратное утверждение неверно: пусть ;. Тогда у произведения предел равен, а по отдельности пределы равны бесконечности. Вопрос 6. Теорема о двух «милиционерах» для ФНА доказательство Теорема о двух милиционерах: Пусть lim lim. Тогда lim Доказательство: запишем определение предела для первой и третьей функции: : lim : lim Пусть, ma. Тогда : Отсюда следует:

36 Математический анализ. УМП часть lim, ч. т. д. Вопрос 7. Понятие фундаментальной числовой последовательности. Критерий Коши доказательство необходимости. Последовательность X называется последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если :, m m Критерий Коши: Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Для того, чтобы доказать необходимость, вспомним иную формулировку определения сходящейся последовательности. Последовательность а : X называется сходящейся, если Доказательство необходимости критерия Коши. Пусть числовая последовательность сходится, тогда она является фундаментальной. Пусть последовательность X сходится к числу х lim X. Тогда X a :, m, m X, X m.так как модуль суммы двух величин не больше суммы их модулей, можем записать: X X X X X X X X X X m m А это условие и устанавливает фундаментальность последовательности, ч.т.д. m m m 6

37 Математический анализ. УМП часть Вопрос 8. Последовательности вложенных и стягивающихся отрезков. Теорема о стягивающихся отрезках дакозательство. Функция натурального аргумента генерирует числовые последовательности:,,...,,... Пусть мы имеем отрезка [ а ; ] и [ а ; ], причѐм а а и : Тогда [ a ; ] [ a ; ] [ a ; ] : это последовательность вложенных отрезков. Если же lim a, то последовательность вложенных отрезков называют последовательностью стягивающихся отрезков. Теорема о стягивающихся отрезках: Пусть дана последовательность отрезков, таких, что для них справедливо a ; ] [ a ; ] и что [ lim a. Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам. Иначе говоря, [ a ; ] или [ a ; ] Доказательство: Имеем a a. Рассмотрим множество, элементами которого являются все левые концы отрезков a, a,..., a и множество, элементами которого являются все правые концы отрезков,,...,. Тогда. По аксиоме непрерывности существует точка, такая, что a, что и требовалось доказать. Докажем единственность. Предположим, что существует точки,, >. Но тогда a и между ними нет точек противоречие. Точка единственная, ч.т.д. 7

38 Математический анализ. УМП часть Вопрос 9. Теорема о предельной точке доказательство. Теорема о предельной точке: Пусть М Е, М ограничено и бесконечно. Тогда существует предельная точка, принадлежащая М. То есть х М, c, где c предельная точка. Доказательство: Множество ограничено, значит существует отрезок [ c ; c], в котором находится всѐ множество. Пусть c a, c. В отрезке a ; ] расположено бесконечно много элементов множества. [ a Пусть c. Хотя бы один из отрезков [ a ; c], [ c ; ] содержит бесконечное количество точек множества, иначе множество конечно. Для определѐнности пусть это отрезок a ; ]. Положим, что a a, c. Пусть c [ c a. Хотя бы один из отрезков [ a ; c], c ; ] содержит бесконечное количество точек множества, иначе [ множество конечно. Будем продолжать заданную операцию бесконечно долго, тогда получим последовательность стягивающихся отрезков. Значит точка, которая принадлежит всем стягивающимся отрезкам, является искомой предельной точкой. Докажем это. Возьмѐм U. При достаточно большом можем утверждать, что [ a ; ] U U содержит бесконечное количество точек множества. Это означает, что точка действительно является предельной, ч.т.д. Вопрос 5. Подпоследовательность числовой последовательности. Теорема о подпоследовательности числовой последовательности, имеющей предел доказательство. Отметим значения функции натурального аргумента на графике. Выберем часть отмеченных элементом таким образом, чтобы выбранных 8

39 Математический анализ. УМП часть элементов было бесконечное множество. Выбранное множество называют подпоследовательностью числовой последовательности. Теорема: Пусть существует числовая последовательность, причѐм lim. Тогда подпоследовательность k также есть конечный предел и он равен. Доказательство: Так как сходящаяся последовательность и еѐ предел, то. Рассмотрим подпоследовательность k. Так как k, то начиная с номера k, элементы данной подпоследовательности удовлетворяют неравенству k. А значит lim k, ч.т.д. k Вопрос 5. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 9

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Попова Татьяна Михайловна, ауд 433п 2 часа лекции, 3 часа практических занятий ЭКЗАМЕН Содержание 1 семестра: теория пределов, непрерывность функции, основные понятия теории дифференциального

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Математический анализ. Лекция II Счетные и несчетные множества

Математический анализ. Лекция II Счетные и несчетные множества Математический анализ Лекция II Счетные и несчетные множества Трушин Борис Викторович (Московский физико-технический институт) 4 сентября 2013 г TrushinBVru Счетные и несчетные множества 4 сентября 2013

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений. Глава 0. Основы теории множеств и отображений. 1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1.

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Департамент прикладной математики и бизнес-информатики И. Г. Михайлова Дифференциальное исчисление и исследование

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Определение предела функции по Гейне и по Коши.. Односторонние пределы функции. 3. Бесконечные пределы. 4. Критерий Коши существования предела.. Определение предела функции по

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Введение.

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Введение. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Введение Множества и отображения Множества и действия над ними Языком современной математики является язык теории множеств Ее основателем считается немецкий математик

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ КОЗАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (семестровый курс лекций, семестр ) Ростов-на-Дону

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды

ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима. 1. Заряды ЛЕКЦИЯ 3А (4) Теорема Радона Никодима Это занятие будет посвящено доказательству теоремы Радона Никодима. Она будет нужна нам для того, чтобы доказать изоморфизм пространств L p (Ω) и (L q (Ω)) *, где

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

3. Непрерывность функции многих переменных

3. Непрерывность функции многих переменных 3 Непрерывность функции многих переменных 31 Непрерывность в точке Локальные свойства Определение 31 Пусть y = f(x), x X R n, f(x) R m, x 0 X Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если или O(f(x

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математического анализа Т. И. Коршикова, Ю.

Подробнее

Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Глава ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В элементарной математике изучаются действительные (вещественные) числа Сначала в процессе счета возникли натуральные числа 3 для которых

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Т В Родина, Е С Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

22. Связность; полнота

22. Связность; полнота 22. Связность; полнота Эта лекция посвящена двум слабо связанным между собой темам из «абстрактной топологии» (по возможности, с конкретными приложениями). 22.1. Связность Предложение-определение 22.1.

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

А.А.Быков boombook.narod.ru,,

А.А.Быков boombook.narod.ru,, А.А.Быков boombook.arod.ru,, boombook@yadex.ru 1 MA k1s2m3-01-точки и множества в пространстве 1. Точки и множества... 3 1.1. m Расстояние в пространстве R... 3 1.1.1. Понятие... 3 1.1.2. Неравенство Коши...

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ» для студентов I курса ( семестр) специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» Лекций 40 часов Составлен доцентом, ктн Зиновьевой

Подробнее

Математический анализ и топология

Математический анализ и топология Математический анализ и топология Д. Вельтищев ЛЭШ-2006 Предисловие Это краткий конспект курса анализа для ЛЭШ-2006. Он включает в себя основы анализа и топологии, изложенные так, чтобы их можно было перенести

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I ВИ ФОМИН МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Издательство ТГТУ УДК 57(75) ББК В6я73 Ф76 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии ТГУ им ГР Державина

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Отсюда получается следующая система необходимых условий экстремума для задачи (II.2):

Отсюда получается следующая система необходимых условий экстремума для задачи (II.2): 4.2. Минимизация издержек производства в зависимости от объема выпускаемой продукции Симметричной, или взаимной, по отношению к задаче максимизации объема производства при ограничении по издержкам (I.2)

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 1. ВВЕДЕНИЕ.

ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 1. ВВЕДЕНИЕ. ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие предназначено для учащихся - классов, углубленно изучающих математику, и носит скорее теоретический, чем практический характер В стандартных

Подробнее

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ УДК 5254 ОМ Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ В работе вводятся понятия K-больших и обобщенно K-больших абелевых групп В п и п 2 рассматриваются их основные свойства связи между

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу Я. М. Дымарский Лекции по математическому анализу 0. Предварительные замечания Настоящее учебное пособие представляет собой авторский конспект лекций, читаемых студентам первого курса Московского физико-технического

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

В.Т. Дубровин ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Часть I

В.Т. Дубровин ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Часть I В.Т. Дубровин ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I Казань, 2012 В.Т. Дубровин ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I Казань, 2012 УДК 517.5 ББК 22.16Я73 Д79 Печатается по рекомендации кафедры математической

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее