Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс"

Транскрипт

1 АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

2 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ С- Дано:,, x ;,, не лежат на одной прямой Доказать: x () Доказательство: (); (); (), тк x, то x () Чтд Дано: α β m, a α, a β Найти: пересекаются ли a и m m x Решение Допустим, что прямые a и m не пересекаются m α, a α Значит, a m Значит, a β Это противоречит условию Значит, a и m пересекаются Ответ: a и m пересекаются α a β С- Дано: α β F, α, β В плоскости β через т провести прямую так, чтобы она ) пересекала ; ) скрещивалась с ; ) была параллельна ) ; α F β ) F; ) невозможно провести, если такую прямую возможно было провести, то тк она лежала бы в плоскости β и была параллельна, получилось бы, что β, либо β, что противоречит условию Дано:,, Доказать: Доказательство: Тк и, то, а тк, то параллелограмм Чтд 5

3 С- Дано: параллелограмм,, F, : F:F Через и F проведена плоскость α Доказать: α Доказательство: F Тк и ( F параллелограмм), то F и F параллелограмм, тогда F Значит, α Чтд α β c a b F α Дано: a α, c a, β α b Доказать: b c Решение Тк a α, то a b; тк a b и a c, то b c Чтд С-4 P Дано:, P Доказать: P Доказательство Тк, то ; тк P, то P Значит, (P) () β b c a Дано: α β, α, β, α Построить: β, β, β α β, β, β тк α β () β b, b тк β () β a, a тк β () β c, c тк β 6

4 С-5 Дано: параллелепипед, Доказать: Доказательство: ( ) ( ) (тк и ); тк ( ), то ( ) Чтд Дано: тетраэдр, 90, см Найти S() Решение см, аналогично см, см равносторонний, 60 S() sin60 см Ответ: см С-6 Дано: тетраэдр, P,,, P P, Построить: сечение плоскостью P Решение ) проведем прямую P; ) проведем прямую ; ) тк P P и, то P средняя линия в Значит, P ; 4) в плоскости () проведем прямую N, параллельную P; N ; 5) проведем прямую PN; 6) (PN) сечение тетраэдра P N 7

5 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной 8 см, боковые грани прямоугольники, см середина Построить: сечение плоскостью Найти: P сеч Решение ) середина ; ) () сечение искомое, тк см 4 см см P() (0 + ) см Ответ: (0 + ) см С-7 O Дано: правильный треугольник, O его центр, O, O, Найти: расстояния от т до вершин Решение высота, медиана O O + O + (тк правильный и O центр) Ответ: 8

6 Дано: параллелограмм,, F Доказать: F Доказательство: Тк параллелограмм, то ; тк () и F (), то F Значит () (F) Чтд F С-8 Дано: квадрат,, Доказать: Доказательство: Тк и, то (); тк (), то Чтд Дано: α,, 90, α,, 5, 4 Найти: S( ) Решение α S( ) Ответ: 84 С-9 Дано: α;, α; H и H проекции и на α H 8, 09, H 4 Найти: P(, α) Решение H x, H 4x H H 4 9x H H 46 6x 4 9x 46 6x ; 7x, x 4 H Ответ: 0 α H 9

7 С-0 Дано: равнобедренный, H высота в 5, 48,, 5 Найти: P(, ) Решение H тк равнобедренный H ( ) H H Тк H и H, то по ТТП H H H Ответ: 8 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной см, боковые грани прямоугольники 5 см Найти: (, ), ( ; ( )) Решение ( ; ()) (тк параллелепипед прямоугольный) см cos ( ; ( )) 5 см sin Ответ: arccos 5 5 ; arcsin 5 С- L Ответ: 90 0 α β N Дано: ребро двугранного угла, образованного плоскостями α и β LN линейный угол этого двугранного угла LN Найти (, ) Решение Тк плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, то любая прямая, лежащая в плоскости линейного угла, перпендикулярна ребру двугранного угла

8 Дано: прямоугольный ( 90 ), a 0, a,, Найти: (, ) Решение,, ((), ()), тк () и () a sin a tg a a a 60 Ответ: 60 С- Дано: ( прямоугольник) Доказать: 90 Доказательство: ((), ()) 90 перпендикуляр к плоскости (),, Тк и, то (), тк (), то Значит, прямой Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед,, F, середины,,, 4, 6, 56 Построить: сечение F Доказать: F Найти: ) проведем F; ) проведем F; ) в плоскости () проведем прямую, параллельную F; 4) (F) искомое сечение F

9 середина Тк F середина и середина, то F Значит, F () Значит, (F) () ) ; 0 6 Ответ: С- Дано: правильная треугольная призма,, центр Найти: (, ()) (, ()), где середина (те В, тк ) высота и медиана в tg ; 60 Ответ: 60 Дано: правильная четырехугольная призма, 4 см, ((), ()) 45 Найти: S() Тк квадрат, то По ТТП, значит, см, см Тк 45, то прямоугольный равнобедренный, см S() см Ответ: 8 см (ТТП теорема о трех перпендикулярах)

10 С-4 Дано: прямая призма, прямоугольный ( 90 ) 4,, 60 Найти: S бок Тк и, то ( ) прямоугольный; tg S бп P() ( + + ) ( ) 9 9 Ответ: 9 С-5 Дано: наклонная треугольная призма, прямоугольный ( 90 ) Доказать: прямоугольник Доказательство: Тк ( ) () и, то ( ), значит, Значит, прямоугольник Чтд Дано: S 70 см, S 50 см, P 60, 0 см S 50 см S 70 см Найти: S бок? (P) P, Тк параллелограмм, то S P см 50 P P 5 см 0 Тк параллелограмм, то см S 70 см

11 По теореме косинусов из P P + P КP cos P P Тк (P) P, тк P Тогда S P 0 0 см (тк и параллелограмм) S бок см Ответ: 50 см С-6 Дано: P 4 см, 6 см Найти: S пп квадрат P P P см P высота, тк пирамида правильная P см S см Высота на основание, тк он равнобедренный, равна: h 5 см S 56 5 см 4 S пир см Ответ: 96 см Дано: правильная треугольная пирамида, a, H высота, H a Найти: H; H? H радиус окружности, описанной около, H H a ; тк H cos0 4

12 H a 6 из H: H 90 tg(h) H a H arctg H радиус окружности, вписанной в ; H 6 a H a из H: tg(h) 4 H a 6 H arctg( 4 ) Ответ: arctg, arctg( 4 ) С-7 Дано: пирамида, прямоугольный ( 90 ), 0, a, H 60, где МH высота пирамиды Найти: H? Т к все ребра равнонаклонены к основанию, то H центр описанной окружно- H сти Высота H, где H, тк центр описанной окружности a ( 90 ), и H H; из : sin0 H H a H a; из H: tg60 H a H a Ответ: a Дано: (), пирамида (, ) 60, 0, 6 Найти: S бок равнобедренный высота и медиана ; тк () высота и медиана, медиана, а тк (), то В и равнобедренный высота 5

13 Следовательно и (, ) 60 из : tg(60 ) 6 S S ; S 6 96 Sбок Ответ: С-8 Дано: правильная треугольная пирамида, a, грани наклонены под углом 60, через среднюю линию основания, параллельно боковой грани, проведено сечение Найти: S сеч QR средняя линия основания QR, QR, QS QSR искомое сечение Из подобия следует, что его площадь в четыре раза меньше площади a, H H cos 60 S сеч 4 S R H Q a 6 a a Ответ: 4 6 a a a a S() a 6 PH равнобедренный, H PH P H Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида 8, 6 Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 Найти: S бок? Тк PH 45, H P 90 6

14 тк равнобедренный, то P середина PH средняя линия PH 4 P H + PH тк и P подобны, то P P, но P 4 P 4 P 4 P P S 7 P S бок Ответ: 8 С-9 Дано: параллелепипед, прямоугольник,, F F ) векторы, сонаправленные F : ; (тк сонаправленность: если векторы параллельны или лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление); ) векторы, противоположно направленные : ( ); uuuur ; uuuur uuuuur uuuur uuur uuur uuur ) имеют длину, равную : ; ; ; ; ; ; Дано: a α, a β, β α b,, a;, b Найти: при каком условии и коллинеарны коллинеарен, если a b a α a β b α F 7

15 С-0 Дано: параллелепипед Найти: + + +? uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuuur,, uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Ответ: Доказать, что: ( + ) ( + ) Доказательство: ; + ; + ; + ; Чтд С- Дано: тетраэдр, uuuur uuur uuur Изобразить: uuur uuuuur uuur uuur uuuur ; ;, отложим uuuuur uuuur uuuuur от точки вектор, получим искомый Дано:, ; P P Выразить: P через P P P ; P средняя линия P ; uuur uuur uuur P P P Ответ: uuur 8

16 С- Дано: тетраэдр,,, a r, b r c r Разложить: uuuur по a r, b r, c r uuuur uuur uuur r r ( + ) ( a + c ) ; uuuur uuuur r r a + c ; + a+ c b r r r Ответ: r a+ r c b r 4 4 Дано: точка пересечения медиан, по,, uuuur uuur uuur uuur ( + ) ; uuuur uuuur uuur uuuur uuur + + ; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ( + + ) + ; uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ответ: + + С- Дано: правильная треугольная призма, ) S ппп? S S бок 6; S S полн пов 6 + 9

17 ) S? 5 5 Из : + 5 S ) Найти? sin( ) arcsin 5 4)? 90 ; ; sin( ) 0 5) +? 5 ; ; + ; 6) Доказать, что ; ( ) Ответ: ) 6; ) ; ) arcsin ; 4) 0 ; 5) 5 ВАРИАНТ С- Дано: a b 0, a, b, Y Доказать, что a, b и Y лежат в одной плоскости Y a O b Доказательство: a и b лежат в одной плоскости α; a и b, α тк, α, тк Y Y α Чтд 0 α

18 Дано: α β c, a β, b α Доказать, что линия пересечения α и β Доказательство: α c линия пересечения α и β b β, c β c b ; аналогично: a c, c совпадает с c Чтд b a β c С- В β через провести прямую так, что ) она пересекала Невозможно, тк β ) скрещивалась с соединить с F ) параллельна : провести параллельно F прямую T α (T F ) Дано:,,, Доказать, что Доказательство: Тк и параллелограмм, параллелограмм и Чтд F T β С- Дано: ; F ; ; α Найти: F : F, F () Тк F α, а α F по теореме Фалеса F F : F F Ответ: / α F

19 α Дано:, α; ; Доказать, что α Доказательство: Тк и параллелограмм, тк α Чтд С-4 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк и общий Аналогично из и : ; ; Чтд Дано: α β;, β;, α Построить: α, β Построение: Строим прямая α Строим N прямая N β С-5 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк дан параллелепипед и ; ; ( ) ( ); Чтд Дано: 60 ; 4 см Найти: S? равнобедренный, тк ; 60 равносторонний, 4

20 равносторонний, со стороной 4 S sin Ответ: 4 см С-6 Дано:, 0,, (N) () Найти: S N? Тк и, а N N 5; N N N Пусть N высота, а значит и медиана N 69 5 N 6 S N Ответ: 5 Дано: P ; Построить сечение через P и и параллельное Построение: Строим PP и P P требуемое сечение P P С-7 Дано: 90,, O (), O Найти: O () O 90 ; O + + Ответ: O

21 Дано: и () Найти взаимное расположение линии пересечения () и () и и (); () ; () (), () Ответ: они параллельны С-8 Дано:, 90,, () Доказать, что Доказательство: () ; () Чтд Дано: параллелограмм, 4, 6, (), Найти: S пар? По теореме о -х перпендикулярах ( ; ; перпендикуляр), проекция прямоугольник S Ответ: 4 С-9 α T Дано: T α, T T 0, 90, T Найти: Из T: T 0 ; прямоугольный Ответ: 4 4

22 С-0 Дано: 90, 0, a, a (), Найти: ρ(, ) Пусть и По теореме о -х перпендикулярах a 90 sin0 из : a a a a ρ(, ) Ответ: a Дано: параллелепипед, и все боковые грани прямоугольники 90, 90,, 5, 5 Найти: (; ), ( ; ) )? , 5 cos( ) 5 arccos 5 )? 5 sin( ) arcsin 5 Ответ: arccos ; arcsin 5 С- Дано: N c, c c a, c b Доказать, что линейный Доказательство: c a, c b c α c, c линейный Чтд c a b 5

23 Дано: ромб, 60, m m, (), Найти: (; ) Искомый угол? Тк ( середина ) и m m из : m 4 m tg() arctg 45 m Ответ: 45 С- Дано: () (), 90 Доказать, что 90 Доказательство: Тк () () и прямоугольник () 90 Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, 5, 4, 77 Построить сечение плоскостью, проходящей через и Найти: ) Искомое сечение, где, середина ;, ( ), а тк () () ( ) )? Ответ: 6 6

24 С- Дано: правильная четырехугольная призма,, 5, середина Найти: ( ; ) H H и H 5 H H + 5, тк H середина, тк середина ; (С, ) H 45 Ответ: 45 Дано: правильная треугольная призма, N средняя линия, N, (PN, ) 60, P P, 4 см N Найти: S(PN) H 4 N ; H H 4 P cos 60 S(PN) Ответ: см С-4 Дано: прямая призма, 90, 0, 0, 5 Найти: S бок (по теореме о -х перпендикулярах: ) 5;

25 S бок ( + + ) 5 (5 + 0) Ответ: С-5 Дано: параллелепипед, прямо- угольник, 90, ( ) () Доказать, что прямоугольник Доказательство: Тк ( ) (), а ( ) прямоугольник Чтд Дано: призма, S( ) 5 см, S( ) 5 см, 5, 0 Найти: S бок S гран 5 5; аналогично по теореме косинусов: ; 7; из по тереме о -х перпендикулярах:, S S бок Ответ: 75 см С-6 Дано: правильная пирамида, H высота, H см,,, 5 см Найти: S полнпов H 0 H ; x из : x; x x 5; x 900; 4 x 50 00; x 0 0 S 75 8

26 S 0 65 Sполн Ответ: 70 см Дано: правильная пирамида, a, высота a Найти: и Из : a + a a ; a ; a 6 из : tg() a arctg a a tg() 6 arctg6 a Ответ: arctg, arctg 6 С-7 Дано: пирамида, a, 50, H H H 45 Найти: H H высота из равенства углов 45 H H H H H центр описанной окружности; R sin R; R a H a H a Дано: F, F 0 6, P 0, P (F), P 60 Найти: S бок P (F); P F F (по теореме о -х перпендикулярах) P (P, (PF)); из P: P 60 P P 0 0 из : F H P 9

27 S P P S PF P F Sбок Ответ: С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, SH 60, H S S Найти: S a H S a H a, cos 60 H a тк H средняя линия S S() a a Ответ: H T a S N Q R P 7 Дано: NP правильная треугольная усеченная пирамида, 8 см, N 6 см, (, ) 60 Найти: S бок Пусть TQR проекция NP на S(TQ) (S() S(TQR)) (8 6) TH S ( TQ ) ( TQ ) TH H + cos60 S бок (H + ) 4 Ответ: 4 см 0

28 С-9 Дано:, Записать вектора, которые: ) противоположно направлены ; ) сонаправлены ; ) имеют длину, равную ) ; ; ) ; ; uuuur uuuur uuuur uuur ) ; Дано: γ α a; γ β b;, a,, b Могут ли и быть коллинеарными? α a γ Могут, если α β β Ответ: могут b С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + ; + ; + O Ответ: O ur Доказать, что ( + F F) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur F F ; F F F + F ; ; + ; Чтд С- Дано: F тетраэдр Изобразить: F,5 + 0, 5F S, 5 ; T F ; P F S + T P F T S F P

29 Дано:,, F,, F F, () uuuur uuur Выразить через ( F ) ( + ) ; F ( + ) ; С- + F F uuur uuuur F Ответ: ( ) Дано: параллелепипед a, b, c, Разложить по a, b, c a + b + c (правило параллелограмма) + ( a + c) + a c a + b + c a c b + + Ответ: a r r + b + c r F Дано: тетраэдр, точка пересечения медиан Разложить по,, ( + + ) ; ; + ; + ( + ) + Ответ: uuur uuur uuur +

30 С- Дано: правильная четырехугольная пирамида, см, см Найти: ) S полнпов H S 4 ед ; 8 7 S 7 7 S полн 4( + 7 ) ) S? Из : правильный треугольник S sin() ) H: из п : H 60 4) ^ H? Из H: H 8 6 ; H tg(h) 6 ; H arctg 6 5) см 6) Доказать, что H (), H Чтд Ответ: ) 4( + 7 ) см ; ) см ; ) 60 ; 4) arctg 6 ; 5) см ВАРИАНТ С- Найти: в чем ошибка чертежа? O O P F P F α Точки, и должны лежать на одной прямой Ответ: α

31 Q Дано: куб,, F Построить: ) F, F ; F ) F F; P ) F Построение: F F P R F F Q F F F F R, где R R, R F С- 4 α b a c Доказать: и, и, и скрещивающиеся Доказательство: ( ), ( ), ( ) Каждая пара прямых не лежит в одной плоскости Чтд Дано: b α, a α, a b, b, c, α, c a Доказать: c α Доказательство: b α, a b a α; c a c b и c, и α c α Чтд С- Дано: a b, a α Найти: взаимное расположение b и α b не может пересекать α, тк в этом случае a должно пересекать α Поэтому либо b α, либо b α Ответ: b α, либо b α Дано: параллелограмм,,, 0,

32 ) Построить:,, ) Найти: (, ) ) Строим, тогда,, ) (, ) (, ) Ответ: 50 С-4 Доказать, что F F Доказательство: F F,, F, F (F) ( F ); () (F) F, () ( F ) F F F F F F F Чтд Дано: α β α, β Найти: взаимное расположение и F F ) Если либо ; ) если и скрещиваются и скрещиваются 5

33 С-5 Дано: параллелепипед, F F F, F Доказать, что Доказательство: F средняя линия F,, прямоугольник, и диагонали Чтд Дано: 60, 5 см, 8 см, 8 см Найти S? Из : + cos , 49 6 S 8 4 Ответ: 4 см С-6 S P Дано: тетраэдр,,, P, P : P :, все ребра равны a Построить сечение, проходящее через P и параллельно Найти его площадь Строим SP (S ) SP наше сечение S P, тк SP S : S : ; a a ; P 4 a ; P 60 P 5 a + a a a a a a a a P S ; SP H SP 4 4 H 6 a a a a S a 4 a Ответ: 64 a 64

34 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, и P Построение: P F, F G, GP PG искомое сечение P F G С-7 Дано: не пересекает α, α, α, 0, 0,, : :, α Найти:,,,, Получили трапецию : H H 5 ; H 0 5H H 0 H H Ответ: 4 Дано: a α, a β, γ α b, γ β c Найти: взаимное расположение b и c a α и a β α β b c Ответ: они параллельны α H H С-8 Дано: квадрат, () Доказать: Доказательство: Строим H ; H 90 ( квадрат) По теореме о -х перпендикулярах: H Чтд Дано: прямоугольник, (), 5, 4, 0 Доказать: прямоугольный Найти:, () H 7

35 по теореме о трех перпендикулярах 90 Чтд Ответ: 7 С-9 Дано: α β, β, α, β, α,, 6, 5, H Найти: H α По теореме Фалеса, β Аналогично H H 0, H H 5 H 6 H искомое расстояние Ответ: 5 С-0 a Ответ: a H Дано:, a, 60, ромб со стороной a Найти: расстояние (; ),, Найдем ρ(; ); a 60 из : a a + + a 4 4 Дано:, 8, 0,, H (), H (), H Найти: H Из : + cos0 8 8cos0 64( cos0 ) H H sin() sin0 8

36 tg(h) H H sin0 sin0 ctg65, 64( cos0 ) 6( cos0 ) 6 H arctg ctg 65 6 Ответ: arctg ctg 65 6 С- Дано: и лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С ( β, α) ρ(, ) 6, ρ(, ) 0 ρ(, β) 7,5 Найти: ρ(; α) Пусть S c, S c S 6 Пусть S c, S c S 0 Пусть T β и T β T 7,5 Пусть теперь S S и S S c ρ(, β) ρ(, β) T S TS Искомое ρ(, β) ρ(, β) T T S (по ТТП) T 7,5 Из T S : sin T S S 0 4 Пусть α и α По ТТП S, ρ(, α) Ssin T S 9 T S S T β α Ответ: 9 Дано: ромб, α, 45, (α, ) 0 Найти: (α, ) Пусть a, H, H, H 0 a, a, H a N H α a H Ответ: 45 a a H (α, ) 45 9

37 С- a 4 H tg H Дано: и правильные, () () Найти: tg( (; )) H, H H a, где a сторона a H, 60 H H sin60 4 a Ответ: a Дано: правильный параллелепипед, квадрат,, 6 Найти: Доказать: Тк,,, то Чтд Ответ: 4 С- L Дано: правильная треугольная призма, через середину и проведена плоскость, 4 см, см Найти: S сеч Пусть середина Проведем L, L L искомое сечение L L

38 L + S сеч h L, h Ответ: 7 см Дано: прямой параллелепипед, ромб, 60, a, (, ) 45 Найти: S сеч, H H H 45 H sin( ) a H 6 6 a Sсеч a Ответ: 7 6 a ; a S сеч 7 С-4 Дано: прямой параллелепипед,, 7, 50, (, ) 60 Найти: S бок Пусть H H H sin50 sin50 sin50 7 H H tg60 6 (7 + ) Ответ: (7 + ) H С-5 Дано: наклонная призма, правильный, a, b, Найти: S( ) Пусть H проекция (H ), 4

39 тогда H биссектриса H и S ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, Р(, ) Р(, ) +, Р(, ) 9, S бок 40 Найти: углы между смежными боковыми гранями N P Пусть NPQ перпендикулярное сечение Q P 9, N + NP, N + NP NP 6, N 5 cosnp N + NP P N NP 5 6 (, ) 0 (, ) 60 Ответ: 60 С-6 O H Дано: правильная треугольная пирамида, Р(, ) Найти: S бок Пусть проецируется в т O, H H H H, 60 H 6 O 4, тк 6, sin 60 то 4 S бок Ответ: 4 S Дано: S правильная четырехугольная H пирамида, 4, O центр, Р(O, S) Найти: ) (S, S); ) S O OH S, O OH H H 4 + ( ), тк 4 4

40 H cos H H π arccos sin SO HO O + H H H SO O S S S 60 ( S) Ответ: ) π arccos ; ) 60 С-7 Дано: S пирамида, равнобедренная трапеция, 8 см, см, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 Найти: высоту пирамиды и S бок Тк грани равнонаклонены, то расстояния от т O до сторон трапеции равны 8 + можно вписать окружность 5 O O S Пусть радиус окружности равен r По формуле площади для описанной окружности S осн ( 0 6)(0 )(0 5) ( )r r высота пирамиды равна tg60 высота боковой грани равна 4 S бок Ответ: см, 40 см S H Дано: S пирамида, ромб, 60, a, S, S, (S, ) (S, ) 60 Найти: S бок H H asin60 a a S Htg60, 4

41 H SH a Sбок (S(S) + S(S)) cos 60 a a a + a a ( + ) a Ответ: ( + ) С-8 S Q P Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые грани N наклонены к плоскости основания под углом 60 Через центр основания проведена плоскость O Найти: S сеч Пусть O центр, N O, N, Q S, Q S, NP S, P S QPN искомое сечение; SO 60 S a 5 a S 5 a + a Q PN a, cos a QP, N a Sсеч 5 a 5 a a a a a a a a a a Ответ: S Q Дано: NPQ правильная четырехугольная усеченная пирамида, N P 0 см, N 6 см, S(PQ) 8 0 Найти: S бок H 0, NQ NH 5 N 5 + ( ) 8 N 4 S бок 4 (0 + 6) 96 Ответ: 96 см 44

42 С-9 Дано: призма,,,, F,, F F Найти: ) векторы, сонаправленные с F ; F ) противоположно направленные ; ) векторы, имеющие длину, равную длине ), ),, ) проецируется на биссектрису и на высоту и квадрат векторы:,, uuuur Ответ: ), uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ; ),, ; ),, β α Дано:, α, β, α β F Найти: будут ли коллинеарны и F, F и F Будут, тк F Ответ: да, будут С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + 0, uuur uuuur uuuur Ответ: Ответ: 7 см Дано: пирамида; прямоугольник, 8 см, 5 см Найти: +, +,

43 С- uuur uuuur uuur Ответ: + 46 Дано: призма, Выразить через, uuur, и uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur, ( + ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur + + Дано: O точка пересечения диагоналей параллелепипеда, + + O Найти: +, + O O, O Ответ: С- P + P, P P 5 O P Дано: параллелепипед,, P : :, P : P : 5 Разложить вектор P по векторам, и 5P P, 5 P P, P + 5 P 7 ( ) P +,, 4 uuur + P P uuur uuur uuuur P Ответ: uuur uuur uuuur

44 Дано: тетраэдр Доказать: отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: Пусть середина, F, O середина F O ( + F) Дальше пусть P середина, F, O середина PF O Если теперь O середина отрезка, соединяющего середины и, то и в этом случае O + + O O O, те т O, O, O совпадают Этим и доказывается утверждение С- Дано: 90, 60, см, см ) S полнпов? 0 4, S бок , S осн 4 Sполн пов 4( 4 + ) ) S? ; S 4 4, тк по теореме о -х перпендикулярах ) (, )? Искомый угол ; tg( ), 60 4) (, )? Искомый угол, tg( ) 0 47

45 5) Разложить по,, ( + + ) 6) (, )?, ( ) ( ) ( ) Искомый угол 90 Ответ: ) 44 ( + ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) 0 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 С- O F ВАРИАНТ 4 Дано: В чем ошибка чертежа, где O F F должна быть проведена штрихами α P Дано: параллелепипед, P, Построить: ) P, P ; ) P ; ) P ) Проведем P до пересечения с точка их пересечения F искомая; проведем P до пересечения с точка их пересечения G искомая ) Проведем P ) Проводим, PS, S S P 48

46 С- Дано: параллелепипед Доказать, что прямые и, и, и являются скрещивающимися и скрещиваются, тк, а пересекает ее Аналогично и другие пары Дано: a b, a, b, через можно провести прямую, пересекающую лишь одну из прямых Лежит ли в одной плоскости с a и b? Нет, тк в плоском случае прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую С- Дано: a α, α Доказать: b: b α, a b, b Доказательство: Проведем β через a и, она пересечет α по прямой, параллельной a, тк a α, эта прямая будет искомой Чтд Дано: параллелограмм, 00,, Построить: ; ; Найти: (, ) Проводим H, H H; H; параллелограмм (, ) (, ) тк угол между прямыми от 0 до 90 Ответ: ) 80 С-4 Дано: a, b, c не лежат в одной плоскости a b c,, Доказать: Доказательство: a b, параллелограмм 00 a b c 49

47 Аналогично параллелограмм параллелограмм Чтд 50 Дано: α β, α, β Найти: взаимное расположение и Если, то параллельны или пересекаются, если и скрещиваются, то скрещиваются Ответ: Пересекаются или скрещиваются, если ; скрещиваются, если и скрещиваются С-5 Дано: параллелепипед, P P, P,,, Найти: (, P) Тк, то параллелепипед прямой (P; ) 90 Ответ: 90 Дано: тетраэдр, 4 см, 6 см, 6 см, 45 Найти: S() По теореме косинусов (6 ) cos по формуле Герона S() см Ответ: 48 см С-6 P β α F Дано: тетраэдр, все ребра равны a, P, P P,, : : Построить: сечение, проходящее через P и параллельно Найти: его площадь

48 Проводим PF, F PF искомое сечение, PF a a средняя линия PF По теореме косинусов: 4 a a a a P F + cos a a a a a a a S a a Ответ: 6 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, P и Решение Проводим P S S () Проводим S F PF искомое сечение a a a a 6 a a a F S P С-7 Дано: α, α, 4, α, 0,,, α, α, α, α Найти: Проводим среднюю линию трапеции Из подобия следует ; ; 5; α 0 5 Ответ: Дано: α, a α, b a, b α, b β, β α c Найти: взаимное расположение b и c a α, b a b α b c Ответ: b c 5

49 С-8 Дано:,, середина, Доказать: Доказательство:, тк равнобедренный Тк и, то () тк () Чтд Дано: окружность (O, O), окружности, окружность лежит в плоскости α, α,, диаметр окружности, хорда, 45, O Доказать: прямоугольный Найти: O α прямоугольный (тк опирается на диаметр ), и по теореме о -х перпендикулярах прямоугольный, ВСА прямоугольный, 4 sin45 Из :,, по теореме Пифагора + 8 Ответ: С-9 Дано: плоскости α β; точка ;, α α,, β, прямым, ;,, 50, перпендикуляр к α, 4, L перпендикуляр к β Найти: L β L L по двум углам L () L L по двум углам () 5

50 L Умножим () на (), получим ; L учитывая, имеем L L L L Ответ: 54 С-0 Дано:, m, 0, P, PH, H, PH m Найти: P H прямоугольный (H H по теореме о -х перпендикулярах); H60 80 ; m P H H sin60 m Из прямоугольного PH по теореме Пифагора P PH H Дано:, 90, 0, 5, 5 Найти: угол между и плоскостью Из т на плоскость опустим перпендикуляр H H центр описанной окружности H H H R R, m m m m Ответ: 4 5 тк радиус равен половине гипотенузы ; cos cos 0 5 R H ; 5 Из прямоугольного H: cos 0 H 5 cos H Ответ: cos cos 0 0cos0 H 5

51 С- Дано: α β c, α, α, α р(, β) 60 см, р(, β) 48 см Расстояние от одной из точек до c равно 50 β Найти расстояние от другой Тк 48 < 50 < 60, то р(, С) sin( (α, β)) c р(, c) 6,5 см Ответ: 6,5 см sin αβ (, ) 4 α P Дано:, 90,, α, Q S α, (α, ) 0 Найти: (, α) N Строим: H H (α ) H, α, N H, N α H N α Через т и N проводим в α прямые, перпендикулярные к N, и опускаем на них перпендикуляры из точек и Пусть их основаниями являются точки Q и P соответственно Через т в α проводим прямую, перпендикулярную N Пусть PQ пересекает ее в т S Очевидно, SH α a a Пусть a H Q P sin0 SH SH a (α, ) arcsin arcsin 45 Ответ: 45 H a С- H F Дано: правильный, 4,,, (, ) 90, (, ) 60 Найти: S() H H, HF F FH 60 54

52 HF 4 H S() 4 6 Ответ: 6 Дано: прямоугольный параллелепипед, квадрат,, ) Найти: N ) Доказать: ) 9, 9 Пусть, N, тогда,, тк параллелепипед прямоугольный, то ( ) N ( ) и N (тк, то N параллелограмм и N) N ( ) Чтд Ответ: ) С- Дано: правильная S F четырехугольная призма, a, 4a Через и середину 4 проведена плоскость Найти: S сеч O Пусть F середина Проводим F, F искомое сечение a F a PQ средняя линия PQ H, O OH 4 SO Ответ: 4 a Пусть S середина F 4 a a a a a + a S сеч a a 4 55

53 Дано: прямой параллелепипед, ромб, m, 5, через и проведена плоскость α, (α, ) 60 Найти:, S сеч H H H H 60 m S( ) H m H tg60 m 6m S( ) 6 m S сеч m Ответ:, m cos60-4 H Дано: прямой параллелепипед, 7, 5, 60, (, ) 45 Найти: S бок H H H 45 По теореме косинусов S() S H 6 S бок + ( + ) (7 + 5) Ответ: 0 С-5 Дано: наклонный параллелепипед,, квадрат, a, b Найти: S( ) 56

54 Тк, то проецируется на Но высота равна S( ) ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, S бок 880, р(, ):р(, ) Q 7 : 5, Р(, ) 6 N Найти: (( ), ( )), P (( ), ( )) углы между гранями Проводим NPQ перпендикулярное сечение S бок 0 р(npq) р(npq)88 Пусть QP 7x Q 5x р 88 44x x QP 4, Q 0 По теореме косинусов: Q QP arccos QPN 0 Ответ: 0 и 60 + QP P Q QP 40 arccos arccos С-6 S Дано: S правильная четырехугольная пирамида, (S, ) 60, H р(, S) 4, середина Найти: S бок F O Проведем F SF SF 60 H SF H 4 F 8 O центр F FO 4 SO 4 tg60 4 SF S бок Ответ: 8 57

55 S Дано: S правильная треугольная пирамида, высота основания равна, рас- стояние от середины основания до противоположного ребра равно Найти: ) углы между боковыми гранями; O ) плоский угол при вершине ), S, По теореме о -х перпендикулярах S S S, S arctg (, тк 4, тк и правильный) ) arcsin 4 S 80 arcsin 4 Ответ: ) arctg ; ) 80 arcsin 4 С-7 S Дано: S пирамида, ромб, a, 60, боковые грани наклонены под углом в 60 к плоскости основания Найти: высоту, S бок O SO, O N N O, N N ; S( ) a sin 60 a N O a a, тк O, 4 a то S SO 45 O SO и S 4 4 a 6a S бок 4 a 4 Ответ: 6a 58

56 Дано: пирамида, a, 0, () (), () (), ((), ()) 45 Найти: S бок Тк и Проведем H, по ТТП H и Н 45 H Hsin H sin(80 0 ) a a 6 H H, тк H и H 45 H a a sin, H Sбок ( H + + ) a 6 a a a a+ a + a 4 a Ответ: ( 6 ) ( 6 ) + + С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые S Q грани наклонены к основанию под углом 60, через сторону основания пер- P пендикулярно к противоположной стороне проведена плоскость L O H Найти: S сеч SH, HL HL SHL 60 L SH PQ, PQ PQ S LH L L PQ QP искомое сечение SO высота пирамиды a LH a L asin60, SH a cos 60 a, 59

57 a a H a cos60 PQ S сеч a a a a a + Ответ: 8 8 Дано: F усеченная правильная пирамида, 8, 6 Через боковое ребро и середину противо- F положной стороны верхнего основания проведена плоскость, S сеч O N Найти: S бок F, F; проводим N, N N данное сечение и трапеция F равнобокая и середина F, N середина N и N F N апофема 6 9, N 8 ; O N O S ( N ) + N Спроецируем F на, получим F, у которого O 6, O, но O 8, ON 4 N N O F N S бок (6 + 8 ) 4 Ответ: 4 С-9 Дано: параллелепипед, ромб, F F и середины и соответственно Записать векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: ) сонаправлены с F ; ) противоположно направлены ; ) имеют длину, равную 60

58 ) F средняя линия F F это и ) Очевидно, это и, тк ) Очевидно,, и Дано: α β, α γ, β γ, γ α, β Будут ли коллинеарны и? γ α и β будут γ Ответ: да α β С-0 Дано: параллелепипед Найти: Ответ: Дано: треугольная призма, правильный, см, O середина Найти: O O + O O O O cos0 Ответ: см см 6

59 С- Дано: тетраэдр, медиана, середина Выразить: через, и ( + ) + ( + ) + ( + ) Ответ: Дано: параллелепипед, диагонали пересекаются в т O, ( O + + ) Найти: O + + O + O, O Ответ: С- Дано: тетраэдр, O т пересечения медиан, F, F F : F : Разложить OF по, и OF F O O + ( + ) 4 + ( ) ( + ) Ответ: + 4 Дано: параллелепипед Доказать: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (используя векторы) Доказательство: Пусть O середина, тогда O

60 Пусть O середина O O и O совпадают; для других аналогично С- Дано: тетраэдр,, 4 см, см, 90, 60,,, O точка пересечения медиан Найти: ) S бок ; ) S сеч плоскостью ; ) (, ); 4) (, ); 5) разложить O по, и ; O 6) (, ) ) (4 ) S бок tg60 cos см ) ( ) S() 4 4 см ) (, ) arctg 60 4) аналогично пункту (, ) 4 arctg 60 arctg 60 5) O + O + ( + ) + ( + ) ( + + ) 6) (, ) (, ) 90 Ответ: ) ( + 56 ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) arctg 60 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 6

61 С- O N ВАРИАНТ 5 Дано: трапеция,,, середина, O, () Найти: при каком условии,, O и лежат в одной плоскости O (), когда O, тк середина, то O середина Ответ: когда O середина Построить линию пересечения плоскостей ( ) и ( ) Построение:, N, N, N, N искомая прямая С- b F a F P Дано: a и b скрещивающиеся прямые Найти: взаимное положение прямых F и a, F и b Если прямые F и a, F и b параллельны или пересекаются, то прямые и лежат в одной плоскости Значит, прямые a и b лежат в одной плоскости противоречие Значит, F и a, F и b скрещиваются Ответ: они попарно скрещиваются Дано: тетраэдр,, F, P, середины,,, соответственно Доказать: P и F пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: средняя линия Значит,, 64

62 FP средняя линия Значит, FP, FP Значит, FP и FP Значит FP параллелограмм Его диагонали F и P пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд С- Дано: и не лежат в одной плоскости, середина, H середина, середина, (H) P Доказать: PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: H средняя линия Значит, H, H Значит, (H) пересекает () по прямой, параллельной Значит, P средняя линия P, P Значит, PH параллелограмм Его диагонали PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд Дано: параллелограмм, 0,, ) Построить линию пересечения OO плоскостей, проходящих через прямую и точку и прямую и точку ) Найти взаимное положение OO и ) (OO, )? ) Через т проведем прямую H, параллельную H H Через т проведем прямую F, параллельную F F, O, F H O OO линия пересечения плоскостей () и ( ) ) ( ), ( ) Значит, OO ) OO, (; OO ) (; ) Ответ: ) OO ; ) 60 P H O F O H 65

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Бардушкин ВВ, Белов АИ, Ланцева ИА, Прокофьев АА, Фадеичева ТП Существует несколько методов решения

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее

Многогранники в задаче С2

Многогранники в задаче С2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче С Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи С единого госэкзамена по математике.

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство.

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство. 1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число.

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число. 1.2. Тесты 31. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)

Подробнее

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды. Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Подробнее

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют во всех задачах С2, предлагавшихся на ЕГЭ по математике

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

10 класс Повторение планиметрии Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой.

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Тема 65 «Сфера и шар» Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Шаром называется тело, которое состоит из

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013 Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: типы задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Многогранники: типы задач и методы их решения (типовые задания С) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Среднее (полное) общее образование. М.И.Башмаков. Математика. 11 класс Сборник задач. 3-е издание

Среднее (полное) общее образование. М.И.Башмаков. Математика. 11 класс Сборник задач. 3-е издание Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач : среднее (полное)

Подробнее

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ)

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

Подробнее

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ)

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) Вписанные и описанные фигуры в пространстве Москва 008 ВВЕДЕНИЕ Как подготовиться к экзаменам по геометрии и научиться решать стереометрические задачи

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина

VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников? Ответ. Да. Первое решение.

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

Подробнее

14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности.

14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности. 8. Координаты середины отрезка. 9. Формула длины вектора. 30. Расстояние между двумя точками. 3. Угол между векторами. 3. Скалярное произведение векторов. 33. Скалярный квадрат. 34. Условие перпендикулярности

Подробнее

Все прототипы задания В11 (2013)

Все прототипы задания В11 (2013) Все прототипы задания В11 (2013) ( 25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). ( 25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Объем многогранника Объем призмы Объемом многогранника

Объем многогранника Объем призмы  Объемом многогранника Гимназия 1543. 11-В класс. Геометрия-2. Сентябрь 2011г. Объем многогранника. Объем призмы Определение. Пусть на множестве многогранников задана функция, обладающая следующими свойствами: 1. M V(M)>0 (положительная

Подробнее

А.С. Рылов. Домашняя работа по геометрии за 11 класс

А.С. Рылов. Домашняя работа по геометрии за 11 класс АС Рылов Домашняя работа по геометрии за класс к учебнику «Дидактические материалы по геометрии для класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Самостоятельные работы Вариант С Дано: куб, (; ; 0) M Найти:

Подробнее

О требованиях к письменной работе по геометрии в 11-м классе

О требованиях к письменной работе по геометрии в 11-м классе ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОТДЕЛ МАТЕМАТИКИ О требованиях к

Подробнее

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 5. Найдите площадь поверхности

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 5. Найдите площадь поверхности ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

Подробнее

Тема 59 «Пирамида» Элементы пирамиды

Тема 59 «Пирамида» Элементы пирамиды Тема 59 «Пирамида» Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды.

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий)

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) 1. Доказательство 1. Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 6 00-0, 0 0, 0, 6 0, 0, 0 6 00-8, 0,87 0,9 0, 00,,6-0, 6 6 0,9 7, 0 0, 0, 0 7 00 80 -, 8 0,6 8, 00 7 9 0, 6 8 6 9 9,7 0, 0,8 0 8

Подробнее

ID_9086 1/9 neznaika.pro

ID_9086 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В правильной

Подробнее

Задание 8. h, 2000 S осн. V дет Ответ: 1500.

Задание 8. h, 2000 S осн. V дет Ответ: 1500. Вебинар 9 Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Задание 8.. В цилиндрический сосуд налили 000 см воды. Уровень жидкости оказался равным см. В воду полностью погрузили деталь.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 8: СТЕРЕОМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: МНОГОГРАННИКИ Куб правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Подробнее

ВМ-1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013

ВМ-1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 ВМ- МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) ЧАСТЬ II РЕШЕБНИК Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук,

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 5 6 7 5 50 -,5 0, 8 5 5 00,5,6-0,5 5 0,95 0, 5 6 0550-0, 0 0, 5 0 6 0600 7 6-0,875 6 00 80-5, 8 0,6 7 0 90 5 65 0,5 0, 8 8 500 7500

Подробнее

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ.

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ. ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им проф СА Анищенко ЗАОЧНЫЙ ТУР 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1 С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части Анализ Решение

Подробнее

C 1 сентября по 30 декабря

C 1 сентября по 30 декабря Тематическое планирование по геометрии (заочное отделение) в 10 классе Учебник: Л.С. Атанасян, Геометрия 10-11 классы, Просвещение, 2011г. Дидактические материалы по геометрии 10 класс Б.Г. Зив, Просвещение,

Подробнее

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом.

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. Тема 67 «Объемы многогранников» Объем величина, сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные дейребро которого равно ствительные числа. За единицу объема принимается куб, единице измерения длины.

Подробнее

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех»

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» 1. Укажите номера верных утверждений. Г.9.1.1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование. содержания урока

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование. содержания урока Количество часов РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование п/п Тема урока Тип урока Вид контроля Элементы содержания урока Требования к уровню подготовки

Подробнее

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Наглядная геометрия Выпускник научиться: 1) Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические

Подробнее

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция 1 1.1. Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ

ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ ВИРыжик ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ УГОЛ ДВУГРАННЫЙ Окончание Начало см в и 3 за 009 г Использование теоремы синусов для трехгранного угла при вычислении угла между плоскостями Настала очередь поработать этой теореме,

Подробнее

В8 все задачи из банка. Площади поверхности. Параллелепипед

В8 все задачи из банка. Площади поверхности. Параллелепипед В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

Подробнее

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Геометрия Задания 5 7 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

Геометрия, ХI ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия, ХI ГЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия, ХI Экзамен по геометрии экзамен по выбору, форма проведения которого может быть различной: ответ по билету, защита реферата, собеседование, тестовая проверка. Предлагаемые экзаменационные

Подробнее

Задания В Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Задания В Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра. Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач»

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» 1. Применение геометрических преобразований При введении вспомогательных фигур часто используются

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 18 (С4))

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 18 (С4)) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 05 Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 8 (С4)) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики

Подробнее

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные.

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные. Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Подробнее

ОКРУЖНОСТИ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

ОКРУЖНОСТИ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ОКРУЖНОСТИ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ wwwfmclssru Задача В параллелограмм можно вписать окружность Найдите ее радиус, если известно, что радиус окружности, описанной около него, равен Задача Диагонали ромба равны

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 18 (С4))

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 18 (С4)) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 05 Планиметрические задачи на вычисление и доказательство (типовые задания 8 (С4)) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики

Подробнее

Тест 140. Правильный многоугольник. Признак

Тест 140. Правильный многоугольник. Признак Тест 132. Многоугольник. Существование Существуют два треугольника, объединением которых являются: 1. треугольники двух видов: равносторонний и равнобедренный, но не равносторонний; 2. квадрат; 3. шестиугольник;

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 7. Многоугольники и задачи, связанные с ними.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 7. Многоугольники и задачи, связанные с ними. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 7 Многоугольники и задачи, связанные с ними Теоретический материал Напомним основные свойства и теоремы о многоугольниках, которые используются при решении

Подробнее

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ")

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль ГЕОМЕТРИЯ) ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ") 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через

Подробнее

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса (ноябрь 011 года, заочный тур) Задача 1 Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника равны соответственно

Подробнее

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ Предмет «Математика» Вариант ХХХХ I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. 1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби, если ее числитель равен. 2. Найдите точку пересечения

Подробнее

Рабочая программа по геометрии

Рабочая программа по геометрии Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Календарно-тематическое планирование

Календарно-тематическое планирование Данная программа курса по геометрии в 10 классе разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, утв. Приказом Минобрнауки России от 17.12.2010

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 201. Круг. Свойство Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B13 ( 27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B13 ( 27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНКУЛЬТУРЫ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Тюмень

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ Пособие предназначено для студентов 1 курса по всем специальностям. Оно содержит практические задания, необходимые для закрепления знаний, ум

ВВЕДЕНИЕ Пособие предназначено для студентов 1 курса по всем специальностям. Оно содержит практические задания, необходимые для закрепления знаний, ум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ «ГЕОМЕТРИЯ-11» А.Д. Александрова

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ «ГЕОМЕТРИЯ-11» А.Д. Александрова В.И. Васильков, Г.Т. Биктуанова, Е.С. Заикина ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ «ГЕОМЕТРИЯ-» А.Д. Александрова Учебное пособие Челябинск 05 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное

Подробнее

Математика 11 Тематические тестовые задания по геометрии (физико-математическое направление)

Математика 11 Тематические тестовые задания по геометрии (физико-математическое направление) Математика 11 Тематические тестовые задания по геометрии (физико-математическое направление) Пружаны 2013 Автор: Величко С.Н., учитель математики ГУО «Гимназия г. Пружаны» Пособие содержит тесты по основным

Подробнее

Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Одиннадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 14 апреля 2013 года

Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Одиннадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 14 апреля 2013 года Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Одиннадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 14 апреля 2013 года Решения задач 8 9 класс 1. (И. Богданов) В треугольнике биссектриса

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на учебный год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука «Средняя общеобразовательная школа 8» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету: «Геометрия» на 206-207 учебный год Класс : 0- Количество

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Геометрия (решения) Младшая лига

Геометрия (решения) Младшая лига VIII командно-личный турнир «Математическое многоборье» 2 7 ноября 2015 года, г. Москва Геометрия (решения) Младшая лига 1. Дана окружность и ее хорда. В концах хорды к окружности проведены касательные

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс Количество контрольных работ по математике класс количество из них контрольных работ по алгебре по геометрии итоговая к/р 10 класс 12 7 4 1 11 класс 13 7 5 1 10 класс Алгебра Геометрия КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

Десятая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина

Десятая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Десятая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (Н.Москвитин, В.Протасов) (8) Дан прямоугольный треугольник. На катете во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник D,

Подробнее

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B,

Треугольники. Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами A, B, Треугольники Основные сведения Обычно будем обозначать треугольник буквами,, C (записываем треугольник C или символически C ), при этом буквы,, C обозначают как точки вершины треугольника, так и величины

Подробнее

Задачи по с т е р е о м е т р и и

Задачи по с т е р е о м е т р и и Задачи по с т е р е о м е т р и и Ермак Елена Анатольевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа и методики обучения математике Псковского государственного университета

Подробнее

Методическое пособие по математике для учащихся НПО

Методическое пособие по математике для учащихся НПО ФГОУ СПО ЛТК Методическое пособие по математике для учащися НПО. 011 г. Решение линейны уравнений Правило 1: Слагаемые с собираем в левой части уравнения, а числа в правой. Через знак равенства «=», слагаемые

Подробнее

Второй комплект билетов по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации

Второй комплект билетов по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации Второй комплект билетов по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации Билет 1 1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой.

Подробнее