Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс"

Транскрипт

1 АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

2 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ С- Дано:,, x ;,, не лежат на одной прямой Доказать: x () Доказательство: (); (); (), тк x, то x () Чтд Дано: α β m, a α, a β Найти: пересекаются ли a и m m x Решение Допустим, что прямые a и m не пересекаются m α, a α Значит, a m Значит, a β Это противоречит условию Значит, a и m пересекаются Ответ: a и m пересекаются α a β С- Дано: α β F, α, β В плоскости β через т провести прямую так, чтобы она ) пересекала ; ) скрещивалась с ; ) была параллельна ) ; α F β ) F; ) невозможно провести, если такую прямую возможно было провести, то тк она лежала бы в плоскости β и была параллельна, получилось бы, что β, либо β, что противоречит условию Дано:,, Доказать: Доказательство: Тк и, то, а тк, то параллелограмм Чтд 5

3 С- Дано: параллелограмм,, F, : F:F Через и F проведена плоскость α Доказать: α Доказательство: F Тк и ( F параллелограмм), то F и F параллелограмм, тогда F Значит, α Чтд α β c a b F α Дано: a α, c a, β α b Доказать: b c Решение Тк a α, то a b; тк a b и a c, то b c Чтд С-4 P Дано:, P Доказать: P Доказательство Тк, то ; тк P, то P Значит, (P) () β b c a Дано: α β, α, β, α Построить: β, β, β α β, β, β тк α β () β b, b тк β () β a, a тк β () β c, c тк β 6

4 С-5 Дано: параллелепипед, Доказать: Доказательство: ( ) ( ) (тк и ); тк ( ), то ( ) Чтд Дано: тетраэдр, 90, см Найти S() Решение см, аналогично см, см равносторонний, 60 S() sin60 см Ответ: см С-6 Дано: тетраэдр, P,,, P P, Построить: сечение плоскостью P Решение ) проведем прямую P; ) проведем прямую ; ) тк P P и, то P средняя линия в Значит, P ; 4) в плоскости () проведем прямую N, параллельную P; N ; 5) проведем прямую PN; 6) (PN) сечение тетраэдра P N 7

5 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной 8 см, боковые грани прямоугольники, см середина Построить: сечение плоскостью Найти: P сеч Решение ) середина ; ) () сечение искомое, тк см 4 см см P() (0 + ) см Ответ: (0 + ) см С-7 O Дано: правильный треугольник, O его центр, O, O, Найти: расстояния от т до вершин Решение высота, медиана O O + O + (тк правильный и O центр) Ответ: 8

6 Дано: параллелограмм,, F Доказать: F Доказательство: Тк параллелограмм, то ; тк () и F (), то F Значит () (F) Чтд F С-8 Дано: квадрат,, Доказать: Доказательство: Тк и, то (); тк (), то Чтд Дано: α,, 90, α,, 5, 4 Найти: S( ) Решение α S( ) Ответ: 84 С-9 Дано: α;, α; H и H проекции и на α H 8, 09, H 4 Найти: P(, α) Решение H x, H 4x H H 4 9x H H 46 6x 4 9x 46 6x ; 7x, x 4 H Ответ: 0 α H 9

7 С-0 Дано: равнобедренный, H высота в 5, 48,, 5 Найти: P(, ) Решение H тк равнобедренный H ( ) H H Тк H и H, то по ТТП H H H Ответ: 8 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной см, боковые грани прямоугольники 5 см Найти: (, ), ( ; ( )) Решение ( ; ()) (тк параллелепипед прямоугольный) см cos ( ; ( )) 5 см sin Ответ: arccos 5 5 ; arcsin 5 С- L Ответ: 90 0 α β N Дано: ребро двугранного угла, образованного плоскостями α и β LN линейный угол этого двугранного угла LN Найти (, ) Решение Тк плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, то любая прямая, лежащая в плоскости линейного угла, перпендикулярна ребру двугранного угла

8 Дано: прямоугольный ( 90 ), a 0, a,, Найти: (, ) Решение,, ((), ()), тк () и () a sin a tg a a a 60 Ответ: 60 С- Дано: ( прямоугольник) Доказать: 90 Доказательство: ((), ()) 90 перпендикуляр к плоскости (),, Тк и, то (), тк (), то Значит, прямой Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед,, F, середины,,, 4, 6, 56 Построить: сечение F Доказать: F Найти: ) проведем F; ) проведем F; ) в плоскости () проведем прямую, параллельную F; 4) (F) искомое сечение F

9 середина Тк F середина и середина, то F Значит, F () Значит, (F) () ) ; 0 6 Ответ: С- Дано: правильная треугольная призма,, центр Найти: (, ()) (, ()), где середина (те В, тк ) высота и медиана в tg ; 60 Ответ: 60 Дано: правильная четырехугольная призма, 4 см, ((), ()) 45 Найти: S() Тк квадрат, то По ТТП, значит, см, см Тк 45, то прямоугольный равнобедренный, см S() см Ответ: 8 см (ТТП теорема о трех перпендикулярах)

10 С-4 Дано: прямая призма, прямоугольный ( 90 ) 4,, 60 Найти: S бок Тк и, то ( ) прямоугольный; tg S бп P() ( + + ) ( ) 9 9 Ответ: 9 С-5 Дано: наклонная треугольная призма, прямоугольный ( 90 ) Доказать: прямоугольник Доказательство: Тк ( ) () и, то ( ), значит, Значит, прямоугольник Чтд Дано: S 70 см, S 50 см, P 60, 0 см S 50 см S 70 см Найти: S бок? (P) P, Тк параллелограмм, то S P см 50 P P 5 см 0 Тк параллелограмм, то см S 70 см

11 По теореме косинусов из P P + P КP cos P P Тк (P) P, тк P Тогда S P 0 0 см (тк и параллелограмм) S бок см Ответ: 50 см С-6 Дано: P 4 см, 6 см Найти: S пп квадрат P P P см P высота, тк пирамида правильная P см S см Высота на основание, тк он равнобедренный, равна: h 5 см S 56 5 см 4 S пир см Ответ: 96 см Дано: правильная треугольная пирамида, a, H высота, H a Найти: H; H? H радиус окружности, описанной около, H H a ; тк H cos0 4

12 H a 6 из H: H 90 tg(h) H a H arctg H радиус окружности, вписанной в ; H 6 a H a из H: tg(h) 4 H a 6 H arctg( 4 ) Ответ: arctg, arctg( 4 ) С-7 Дано: пирамида, прямоугольный ( 90 ), 0, a, H 60, где МH высота пирамиды Найти: H? Т к все ребра равнонаклонены к основанию, то H центр описанной окружно- H сти Высота H, где H, тк центр описанной окружности a ( 90 ), и H H; из : sin0 H H a H a; из H: tg60 H a H a Ответ: a Дано: (), пирамида (, ) 60, 0, 6 Найти: S бок равнобедренный высота и медиана ; тк () высота и медиана, медиана, а тк (), то В и равнобедренный высота 5

13 Следовательно и (, ) 60 из : tg(60 ) 6 S S ; S 6 96 Sбок Ответ: С-8 Дано: правильная треугольная пирамида, a, грани наклонены под углом 60, через среднюю линию основания, параллельно боковой грани, проведено сечение Найти: S сеч QR средняя линия основания QR, QR, QS QSR искомое сечение Из подобия следует, что его площадь в четыре раза меньше площади a, H H cos 60 S сеч 4 S R H Q a 6 a a Ответ: 4 6 a a a a S() a 6 PH равнобедренный, H PH P H Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида 8, 6 Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 Найти: S бок? Тк PH 45, H P 90 6

14 тк равнобедренный, то P середина PH средняя линия PH 4 P H + PH тк и P подобны, то P P, но P 4 P 4 P 4 P P S 7 P S бок Ответ: 8 С-9 Дано: параллелепипед, прямоугольник,, F F ) векторы, сонаправленные F : ; (тк сонаправленность: если векторы параллельны или лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление); ) векторы, противоположно направленные : ( ); uuuur ; uuuur uuuuur uuuur uuur uuur uuur ) имеют длину, равную : ; ; ; ; ; ; Дано: a α, a β, β α b,, a;, b Найти: при каком условии и коллинеарны коллинеарен, если a b a α a β b α F 7

15 С-0 Дано: параллелепипед Найти: + + +? uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuuur,, uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Ответ: Доказать, что: ( + ) ( + ) Доказательство: ; + ; + ; + ; Чтд С- Дано: тетраэдр, uuuur uuur uuur Изобразить: uuur uuuuur uuur uuur uuuur ; ;, отложим uuuuur uuuur uuuuur от точки вектор, получим искомый Дано:, ; P P Выразить: P через P P P ; P средняя линия P ; uuur uuur uuur P P P Ответ: uuur 8

16 С- Дано: тетраэдр,,, a r, b r c r Разложить: uuuur по a r, b r, c r uuuur uuur uuur r r ( + ) ( a + c ) ; uuuur uuuur r r a + c ; + a+ c b r r r Ответ: r a+ r c b r 4 4 Дано: точка пересечения медиан, по,, uuuur uuur uuur uuur ( + ) ; uuuur uuuur uuur uuuur uuur + + ; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ( + + ) + ; uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ответ: + + С- Дано: правильная треугольная призма, ) S ппп? S S бок 6; S S полн пов 6 + 9

17 ) S? 5 5 Из : + 5 S ) Найти? sin( ) arcsin 5 4)? 90 ; ; sin( ) 0 5) +? 5 ; ; + ; 6) Доказать, что ; ( ) Ответ: ) 6; ) ; ) arcsin ; 4) 0 ; 5) 5 ВАРИАНТ С- Дано: a b 0, a, b, Y Доказать, что a, b и Y лежат в одной плоскости Y a O b Доказательство: a и b лежат в одной плоскости α; a и b, α тк, α, тк Y Y α Чтд 0 α

18 Дано: α β c, a β, b α Доказать, что линия пересечения α и β Доказательство: α c линия пересечения α и β b β, c β c b ; аналогично: a c, c совпадает с c Чтд b a β c С- В β через провести прямую так, что ) она пересекала Невозможно, тк β ) скрещивалась с соединить с F ) параллельна : провести параллельно F прямую T α (T F ) Дано:,,, Доказать, что Доказательство: Тк и параллелограмм, параллелограмм и Чтд F T β С- Дано: ; F ; ; α Найти: F : F, F () Тк F α, а α F по теореме Фалеса F F : F F Ответ: / α F

19 α Дано:, α; ; Доказать, что α Доказательство: Тк и параллелограмм, тк α Чтд С-4 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк и общий Аналогично из и : ; ; Чтд Дано: α β;, β;, α Построить: α, β Построение: Строим прямая α Строим N прямая N β С-5 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк дан параллелепипед и ; ; ( ) ( ); Чтд Дано: 60 ; 4 см Найти: S? равнобедренный, тк ; 60 равносторонний, 4

20 равносторонний, со стороной 4 S sin Ответ: 4 см С-6 Дано:, 0,, (N) () Найти: S N? Тк и, а N N 5; N N N Пусть N высота, а значит и медиана N 69 5 N 6 S N Ответ: 5 Дано: P ; Построить сечение через P и и параллельное Построение: Строим PP и P P требуемое сечение P P С-7 Дано: 90,, O (), O Найти: O () O 90 ; O + + Ответ: O

21 Дано: и () Найти взаимное расположение линии пересечения () и () и и (); () ; () (), () Ответ: они параллельны С-8 Дано:, 90,, () Доказать, что Доказательство: () ; () Чтд Дано: параллелограмм, 4, 6, (), Найти: S пар? По теореме о -х перпендикулярах ( ; ; перпендикуляр), проекция прямоугольник S Ответ: 4 С-9 α T Дано: T α, T T 0, 90, T Найти: Из T: T 0 ; прямоугольный Ответ: 4 4

22 С-0 Дано: 90, 0, a, a (), Найти: ρ(, ) Пусть и По теореме о -х перпендикулярах a 90 sin0 из : a a a a ρ(, ) Ответ: a Дано: параллелепипед, и все боковые грани прямоугольники 90, 90,, 5, 5 Найти: (; ), ( ; ) )? , 5 cos( ) 5 arccos 5 )? 5 sin( ) arcsin 5 Ответ: arccos ; arcsin 5 С- Дано: N c, c c a, c b Доказать, что линейный Доказательство: c a, c b c α c, c линейный Чтд c a b 5

23 Дано: ромб, 60, m m, (), Найти: (; ) Искомый угол? Тк ( середина ) и m m из : m 4 m tg() arctg 45 m Ответ: 45 С- Дано: () (), 90 Доказать, что 90 Доказательство: Тк () () и прямоугольник () 90 Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, 5, 4, 77 Построить сечение плоскостью, проходящей через и Найти: ) Искомое сечение, где, середина ;, ( ), а тк () () ( ) )? Ответ: 6 6

24 С- Дано: правильная четырехугольная призма,, 5, середина Найти: ( ; ) H H и H 5 H H + 5, тк H середина, тк середина ; (С, ) H 45 Ответ: 45 Дано: правильная треугольная призма, N средняя линия, N, (PN, ) 60, P P, 4 см N Найти: S(PN) H 4 N ; H H 4 P cos 60 S(PN) Ответ: см С-4 Дано: прямая призма, 90, 0, 0, 5 Найти: S бок (по теореме о -х перпендикулярах: ) 5;

25 S бок ( + + ) 5 (5 + 0) Ответ: С-5 Дано: параллелепипед, прямо- угольник, 90, ( ) () Доказать, что прямоугольник Доказательство: Тк ( ) (), а ( ) прямоугольник Чтд Дано: призма, S( ) 5 см, S( ) 5 см, 5, 0 Найти: S бок S гран 5 5; аналогично по теореме косинусов: ; 7; из по тереме о -х перпендикулярах:, S S бок Ответ: 75 см С-6 Дано: правильная пирамида, H высота, H см,,, 5 см Найти: S полнпов H 0 H ; x из : x; x x 5; x 900; 4 x 50 00; x 0 0 S 75 8

26 S 0 65 Sполн Ответ: 70 см Дано: правильная пирамида, a, высота a Найти: и Из : a + a a ; a ; a 6 из : tg() a arctg a a tg() 6 arctg6 a Ответ: arctg, arctg 6 С-7 Дано: пирамида, a, 50, H H H 45 Найти: H H высота из равенства углов 45 H H H H H центр описанной окружности; R sin R; R a H a H a Дано: F, F 0 6, P 0, P (F), P 60 Найти: S бок P (F); P F F (по теореме о -х перпендикулярах) P (P, (PF)); из P: P 60 P P 0 0 из : F H P 9

27 S P P S PF P F Sбок Ответ: С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, SH 60, H S S Найти: S a H S a H a, cos 60 H a тк H средняя линия S S() a a Ответ: H T a S N Q R P 7 Дано: NP правильная треугольная усеченная пирамида, 8 см, N 6 см, (, ) 60 Найти: S бок Пусть TQR проекция NP на S(TQ) (S() S(TQR)) (8 6) TH S ( TQ ) ( TQ ) TH H + cos60 S бок (H + ) 4 Ответ: 4 см 0

28 С-9 Дано:, Записать вектора, которые: ) противоположно направлены ; ) сонаправлены ; ) имеют длину, равную ) ; ; ) ; ; uuuur uuuur uuuur uuur ) ; Дано: γ α a; γ β b;, a,, b Могут ли и быть коллинеарными? α a γ Могут, если α β β Ответ: могут b С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + ; + ; + O Ответ: O ur Доказать, что ( + F F) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur F F ; F F F + F ; ; + ; Чтд С- Дано: F тетраэдр Изобразить: F,5 + 0, 5F S, 5 ; T F ; P F S + T P F T S F P

29 Дано:,, F,, F F, () uuuur uuur Выразить через ( F ) ( + ) ; F ( + ) ; С- + F F uuur uuuur F Ответ: ( ) Дано: параллелепипед a, b, c, Разложить по a, b, c a + b + c (правило параллелограмма) + ( a + c) + a c a + b + c a c b + + Ответ: a r r + b + c r F Дано: тетраэдр, точка пересечения медиан Разложить по,, ( + + ) ; ; + ; + ( + ) + Ответ: uuur uuur uuur +

30 С- Дано: правильная четырехугольная пирамида, см, см Найти: ) S полнпов H S 4 ед ; 8 7 S 7 7 S полн 4( + 7 ) ) S? Из : правильный треугольник S sin() ) H: из п : H 60 4) ^ H? Из H: H 8 6 ; H tg(h) 6 ; H arctg 6 5) см 6) Доказать, что H (), H Чтд Ответ: ) 4( + 7 ) см ; ) см ; ) 60 ; 4) arctg 6 ; 5) см ВАРИАНТ С- Найти: в чем ошибка чертежа? O O P F P F α Точки, и должны лежать на одной прямой Ответ: α

31 Q Дано: куб,, F Построить: ) F, F ; F ) F F; P ) F Построение: F F P R F F Q F F F F R, где R R, R F С- 4 α b a c Доказать: и, и, и скрещивающиеся Доказательство: ( ), ( ), ( ) Каждая пара прямых не лежит в одной плоскости Чтд Дано: b α, a α, a b, b, c, α, c a Доказать: c α Доказательство: b α, a b a α; c a c b и c, и α c α Чтд С- Дано: a b, a α Найти: взаимное расположение b и α b не может пересекать α, тк в этом случае a должно пересекать α Поэтому либо b α, либо b α Ответ: b α, либо b α Дано: параллелограмм,,, 0,

32 ) Построить:,, ) Найти: (, ) ) Строим, тогда,, ) (, ) (, ) Ответ: 50 С-4 Доказать, что F F Доказательство: F F,, F, F (F) ( F ); () (F) F, () ( F ) F F F F F F F Чтд Дано: α β α, β Найти: взаимное расположение и F F ) Если либо ; ) если и скрещиваются и скрещиваются 5

33 С-5 Дано: параллелепипед, F F F, F Доказать, что Доказательство: F средняя линия F,, прямоугольник, и диагонали Чтд Дано: 60, 5 см, 8 см, 8 см Найти S? Из : + cos , 49 6 S 8 4 Ответ: 4 см С-6 S P Дано: тетраэдр,,, P, P : P :, все ребра равны a Построить сечение, проходящее через P и параллельно Найти его площадь Строим SP (S ) SP наше сечение S P, тк SP S : S : ; a a ; P 4 a ; P 60 P 5 a + a a a a a a a a P S ; SP H SP 4 4 H 6 a a a a S a 4 a Ответ: 64 a 64

34 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, и P Построение: P F, F G, GP PG искомое сечение P F G С-7 Дано: не пересекает α, α, α, 0, 0,, : :, α Найти:,,,, Получили трапецию : H H 5 ; H 0 5H H 0 H H Ответ: 4 Дано: a α, a β, γ α b, γ β c Найти: взаимное расположение b и c a α и a β α β b c Ответ: они параллельны α H H С-8 Дано: квадрат, () Доказать: Доказательство: Строим H ; H 90 ( квадрат) По теореме о -х перпендикулярах: H Чтд Дано: прямоугольник, (), 5, 4, 0 Доказать: прямоугольный Найти:, () H 7

35 по теореме о трех перпендикулярах 90 Чтд Ответ: 7 С-9 Дано: α β, β, α, β, α,, 6, 5, H Найти: H α По теореме Фалеса, β Аналогично H H 0, H H 5 H 6 H искомое расстояние Ответ: 5 С-0 a Ответ: a H Дано:, a, 60, ромб со стороной a Найти: расстояние (; ),, Найдем ρ(; ); a 60 из : a a + + a 4 4 Дано:, 8, 0,, H (), H (), H Найти: H Из : + cos0 8 8cos0 64( cos0 ) H H sin() sin0 8

36 tg(h) H H sin0 sin0 ctg65, 64( cos0 ) 6( cos0 ) 6 H arctg ctg 65 6 Ответ: arctg ctg 65 6 С- Дано: и лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С ( β, α) ρ(, ) 6, ρ(, ) 0 ρ(, β) 7,5 Найти: ρ(; α) Пусть S c, S c S 6 Пусть S c, S c S 0 Пусть T β и T β T 7,5 Пусть теперь S S и S S c ρ(, β) ρ(, β) T S TS Искомое ρ(, β) ρ(, β) T T S (по ТТП) T 7,5 Из T S : sin T S S 0 4 Пусть α и α По ТТП S, ρ(, α) Ssin T S 9 T S S T β α Ответ: 9 Дано: ромб, α, 45, (α, ) 0 Найти: (α, ) Пусть a, H, H, H 0 a, a, H a N H α a H Ответ: 45 a a H (α, ) 45 9

37 С- a 4 H tg H Дано: и правильные, () () Найти: tg( (; )) H, H H a, где a сторона a H, 60 H H sin60 4 a Ответ: a Дано: правильный параллелепипед, квадрат,, 6 Найти: Доказать: Тк,,, то Чтд Ответ: 4 С- L Дано: правильная треугольная призма, через середину и проведена плоскость, 4 см, см Найти: S сеч Пусть середина Проведем L, L L искомое сечение L L

38 L + S сеч h L, h Ответ: 7 см Дано: прямой параллелепипед, ромб, 60, a, (, ) 45 Найти: S сеч, H H H 45 H sin( ) a H 6 6 a Sсеч a Ответ: 7 6 a ; a S сеч 7 С-4 Дано: прямой параллелепипед,, 7, 50, (, ) 60 Найти: S бок Пусть H H H sin50 sin50 sin50 7 H H tg60 6 (7 + ) Ответ: (7 + ) H С-5 Дано: наклонная призма, правильный, a, b, Найти: S( ) Пусть H проекция (H ), 4

39 тогда H биссектриса H и S ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, Р(, ) Р(, ) +, Р(, ) 9, S бок 40 Найти: углы между смежными боковыми гранями N P Пусть NPQ перпендикулярное сечение Q P 9, N + NP, N + NP NP 6, N 5 cosnp N + NP P N NP 5 6 (, ) 0 (, ) 60 Ответ: 60 С-6 O H Дано: правильная треугольная пирамида, Р(, ) Найти: S бок Пусть проецируется в т O, H H H H, 60 H 6 O 4, тк 6, sin 60 то 4 S бок Ответ: 4 S Дано: S правильная четырехугольная H пирамида, 4, O центр, Р(O, S) Найти: ) (S, S); ) S O OH S, O OH H H 4 + ( ), тк 4 4

40 H cos H H π arccos sin SO HO O + H H H SO O S S S 60 ( S) Ответ: ) π arccos ; ) 60 С-7 Дано: S пирамида, равнобедренная трапеция, 8 см, см, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 Найти: высоту пирамиды и S бок Тк грани равнонаклонены, то расстояния от т O до сторон трапеции равны 8 + можно вписать окружность 5 O O S Пусть радиус окружности равен r По формуле площади для описанной окружности S осн ( 0 6)(0 )(0 5) ( )r r высота пирамиды равна tg60 высота боковой грани равна 4 S бок Ответ: см, 40 см S H Дано: S пирамида, ромб, 60, a, S, S, (S, ) (S, ) 60 Найти: S бок H H asin60 a a S Htg60, 4

41 H SH a Sбок (S(S) + S(S)) cos 60 a a a + a a ( + ) a Ответ: ( + ) С-8 S Q P Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые грани N наклонены к плоскости основания под углом 60 Через центр основания проведена плоскость O Найти: S сеч Пусть O центр, N O, N, Q S, Q S, NP S, P S QPN искомое сечение; SO 60 S a 5 a S 5 a + a Q PN a, cos a QP, N a Sсеч 5 a 5 a a a a a a a a a a Ответ: S Q Дано: NPQ правильная четырехугольная усеченная пирамида, N P 0 см, N 6 см, S(PQ) 8 0 Найти: S бок H 0, NQ NH 5 N 5 + ( ) 8 N 4 S бок 4 (0 + 6) 96 Ответ: 96 см 44

42 С-9 Дано: призма,,,, F,, F F Найти: ) векторы, сонаправленные с F ; F ) противоположно направленные ; ) векторы, имеющие длину, равную длине ), ),, ) проецируется на биссектрису и на высоту и квадрат векторы:,, uuuur Ответ: ), uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ; ),, ; ),, β α Дано:, α, β, α β F Найти: будут ли коллинеарны и F, F и F Будут, тк F Ответ: да, будут С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + 0, uuur uuuur uuuur Ответ: Ответ: 7 см Дано: пирамида; прямоугольник, 8 см, 5 см Найти: +, +,

43 С- uuur uuuur uuur Ответ: + 46 Дано: призма, Выразить через, uuur, и uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur, ( + ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur + + Дано: O точка пересечения диагоналей параллелепипеда, + + O Найти: +, + O O, O Ответ: С- P + P, P P 5 O P Дано: параллелепипед,, P : :, P : P : 5 Разложить вектор P по векторам, и 5P P, 5 P P, P + 5 P 7 ( ) P +,, 4 uuur + P P uuur uuur uuuur P Ответ: uuur uuur uuuur

44 Дано: тетраэдр Доказать: отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: Пусть середина, F, O середина F O ( + F) Дальше пусть P середина, F, O середина PF O Если теперь O середина отрезка, соединяющего середины и, то и в этом случае O + + O O O, те т O, O, O совпадают Этим и доказывается утверждение С- Дано: 90, 60, см, см ) S полнпов? 0 4, S бок , S осн 4 Sполн пов 4( 4 + ) ) S? ; S 4 4, тк по теореме о -х перпендикулярах ) (, )? Искомый угол ; tg( ), 60 4) (, )? Искомый угол, tg( ) 0 47

45 5) Разложить по,, ( + + ) 6) (, )?, ( ) ( ) ( ) Искомый угол 90 Ответ: ) 44 ( + ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) 0 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 С- O F ВАРИАНТ 4 Дано: В чем ошибка чертежа, где O F F должна быть проведена штрихами α P Дано: параллелепипед, P, Построить: ) P, P ; ) P ; ) P ) Проведем P до пересечения с точка их пересечения F искомая; проведем P до пересечения с точка их пересечения G искомая ) Проведем P ) Проводим, PS, S S P 48

46 С- Дано: параллелепипед Доказать, что прямые и, и, и являются скрещивающимися и скрещиваются, тк, а пересекает ее Аналогично и другие пары Дано: a b, a, b, через можно провести прямую, пересекающую лишь одну из прямых Лежит ли в одной плоскости с a и b? Нет, тк в плоском случае прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую С- Дано: a α, α Доказать: b: b α, a b, b Доказательство: Проведем β через a и, она пересечет α по прямой, параллельной a, тк a α, эта прямая будет искомой Чтд Дано: параллелограмм, 00,, Построить: ; ; Найти: (, ) Проводим H, H H; H; параллелограмм (, ) (, ) тк угол между прямыми от 0 до 90 Ответ: ) 80 С-4 Дано: a, b, c не лежат в одной плоскости a b c,, Доказать: Доказательство: a b, параллелограмм 00 a b c 49

47 Аналогично параллелограмм параллелограмм Чтд 50 Дано: α β, α, β Найти: взаимное расположение и Если, то параллельны или пересекаются, если и скрещиваются, то скрещиваются Ответ: Пересекаются или скрещиваются, если ; скрещиваются, если и скрещиваются С-5 Дано: параллелепипед, P P, P,,, Найти: (, P) Тк, то параллелепипед прямой (P; ) 90 Ответ: 90 Дано: тетраэдр, 4 см, 6 см, 6 см, 45 Найти: S() По теореме косинусов (6 ) cos по формуле Герона S() см Ответ: 48 см С-6 P β α F Дано: тетраэдр, все ребра равны a, P, P P,, : : Построить: сечение, проходящее через P и параллельно Найти: его площадь

48 Проводим PF, F PF искомое сечение, PF a a средняя линия PF По теореме косинусов: 4 a a a a P F + cos a a a a a a a S a a Ответ: 6 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, P и Решение Проводим P S S () Проводим S F PF искомое сечение a a a a 6 a a a F S P С-7 Дано: α, α, 4, α, 0,,, α, α, α, α Найти: Проводим среднюю линию трапеции Из подобия следует ; ; 5; α 0 5 Ответ: Дано: α, a α, b a, b α, b β, β α c Найти: взаимное расположение b и c a α, b a b α b c Ответ: b c 5

49 С-8 Дано:,, середина, Доказать: Доказательство:, тк равнобедренный Тк и, то () тк () Чтд Дано: окружность (O, O), окружности, окружность лежит в плоскости α, α,, диаметр окружности, хорда, 45, O Доказать: прямоугольный Найти: O α прямоугольный (тк опирается на диаметр ), и по теореме о -х перпендикулярах прямоугольный, ВСА прямоугольный, 4 sin45 Из :,, по теореме Пифагора + 8 Ответ: С-9 Дано: плоскости α β; точка ;, α α,, β, прямым, ;,, 50, перпендикуляр к α, 4, L перпендикуляр к β Найти: L β L L по двум углам L () L L по двум углам () 5

50 L Умножим () на (), получим ; L учитывая, имеем L L L L Ответ: 54 С-0 Дано:, m, 0, P, PH, H, PH m Найти: P H прямоугольный (H H по теореме о -х перпендикулярах); H60 80 ; m P H H sin60 m Из прямоугольного PH по теореме Пифагора P PH H Дано:, 90, 0, 5, 5 Найти: угол между и плоскостью Из т на плоскость опустим перпендикуляр H H центр описанной окружности H H H R R, m m m m Ответ: 4 5 тк радиус равен половине гипотенузы ; cos cos 0 5 R H ; 5 Из прямоугольного H: cos 0 H 5 cos H Ответ: cos cos 0 0cos0 H 5

51 С- Дано: α β c, α, α, α р(, β) 60 см, р(, β) 48 см Расстояние от одной из точек до c равно 50 β Найти расстояние от другой Тк 48 < 50 < 60, то р(, С) sin( (α, β)) c р(, c) 6,5 см Ответ: 6,5 см sin αβ (, ) 4 α P Дано:, 90,, α, Q S α, (α, ) 0 Найти: (, α) N Строим: H H (α ) H, α, N H, N α H N α Через т и N проводим в α прямые, перпендикулярные к N, и опускаем на них перпендикуляры из точек и Пусть их основаниями являются точки Q и P соответственно Через т в α проводим прямую, перпендикулярную N Пусть PQ пересекает ее в т S Очевидно, SH α a a Пусть a H Q P sin0 SH SH a (α, ) arcsin arcsin 45 Ответ: 45 H a С- H F Дано: правильный, 4,,, (, ) 90, (, ) 60 Найти: S() H H, HF F FH 60 54

52 HF 4 H S() 4 6 Ответ: 6 Дано: прямоугольный параллелепипед, квадрат,, ) Найти: N ) Доказать: ) 9, 9 Пусть, N, тогда,, тк параллелепипед прямоугольный, то ( ) N ( ) и N (тк, то N параллелограмм и N) N ( ) Чтд Ответ: ) С- Дано: правильная S F четырехугольная призма, a, 4a Через и середину 4 проведена плоскость Найти: S сеч O Пусть F середина Проводим F, F искомое сечение a F a PQ средняя линия PQ H, O OH 4 SO Ответ: 4 a Пусть S середина F 4 a a a a a + a S сеч a a 4 55

53 Дано: прямой параллелепипед, ромб, m, 5, через и проведена плоскость α, (α, ) 60 Найти:, S сеч H H H H 60 m S( ) H m H tg60 m 6m S( ) 6 m S сеч m Ответ:, m cos60-4 H Дано: прямой параллелепипед, 7, 5, 60, (, ) 45 Найти: S бок H H H 45 По теореме косинусов S() S H 6 S бок + ( + ) (7 + 5) Ответ: 0 С-5 Дано: наклонный параллелепипед,, квадрат, a, b Найти: S( ) 56

54 Тк, то проецируется на Но высота равна S( ) ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, S бок 880, р(, ):р(, ) Q 7 : 5, Р(, ) 6 N Найти: (( ), ( )), P (( ), ( )) углы между гранями Проводим NPQ перпендикулярное сечение S бок 0 р(npq) р(npq)88 Пусть QP 7x Q 5x р 88 44x x QP 4, Q 0 По теореме косинусов: Q QP arccos QPN 0 Ответ: 0 и 60 + QP P Q QP 40 arccos arccos С-6 S Дано: S правильная четырехугольная пирамида, (S, ) 60, H р(, S) 4, середина Найти: S бок F O Проведем F SF SF 60 H SF H 4 F 8 O центр F FO 4 SO 4 tg60 4 SF S бок Ответ: 8 57

55 S Дано: S правильная треугольная пирамида, высота основания равна, рас- стояние от середины основания до противоположного ребра равно Найти: ) углы между боковыми гранями; O ) плоский угол при вершине ), S, По теореме о -х перпендикулярах S S S, S arctg (, тк 4, тк и правильный) ) arcsin 4 S 80 arcsin 4 Ответ: ) arctg ; ) 80 arcsin 4 С-7 S Дано: S пирамида, ромб, a, 60, боковые грани наклонены под углом в 60 к плоскости основания Найти: высоту, S бок O SO, O N N O, N N ; S( ) a sin 60 a N O a a, тк O, 4 a то S SO 45 O SO и S 4 4 a 6a S бок 4 a 4 Ответ: 6a 58

56 Дано: пирамида, a, 0, () (), () (), ((), ()) 45 Найти: S бок Тк и Проведем H, по ТТП H и Н 45 H Hsin H sin(80 0 ) a a 6 H H, тк H и H 45 H a a sin, H Sбок ( H + + ) a 6 a a a a+ a + a 4 a Ответ: ( 6 ) ( 6 ) + + С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые S Q грани наклонены к основанию под углом 60, через сторону основания пер- P пендикулярно к противоположной стороне проведена плоскость L O H Найти: S сеч SH, HL HL SHL 60 L SH PQ, PQ PQ S LH L L PQ QP искомое сечение SO высота пирамиды a LH a L asin60, SH a cos 60 a, 59

57 a a H a cos60 PQ S сеч a a a a a + Ответ: 8 8 Дано: F усеченная правильная пирамида, 8, 6 Через боковое ребро и середину противо- F положной стороны верхнего основания проведена плоскость, S сеч O N Найти: S бок F, F; проводим N, N N данное сечение и трапеция F равнобокая и середина F, N середина N и N F N апофема 6 9, N 8 ; O N O S ( N ) + N Спроецируем F на, получим F, у которого O 6, O, но O 8, ON 4 N N O F N S бок (6 + 8 ) 4 Ответ: 4 С-9 Дано: параллелепипед, ромб, F F и середины и соответственно Записать векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: ) сонаправлены с F ; ) противоположно направлены ; ) имеют длину, равную 60

58 ) F средняя линия F F это и ) Очевидно, это и, тк ) Очевидно,, и Дано: α β, α γ, β γ, γ α, β Будут ли коллинеарны и? γ α и β будут γ Ответ: да α β С-0 Дано: параллелепипед Найти: Ответ: Дано: треугольная призма, правильный, см, O середина Найти: O O + O O O O cos0 Ответ: см см 6

59 С- Дано: тетраэдр, медиана, середина Выразить: через, и ( + ) + ( + ) + ( + ) Ответ: Дано: параллелепипед, диагонали пересекаются в т O, ( O + + ) Найти: O + + O + O, O Ответ: С- Дано: тетраэдр, O т пересечения медиан, F, F F : F : Разложить OF по, и OF F O O + ( + ) 4 + ( ) ( + ) Ответ: + 4 Дано: параллелепипед Доказать: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (используя векторы) Доказательство: Пусть O середина, тогда O

60 Пусть O середина O O и O совпадают; для других аналогично С- Дано: тетраэдр,, 4 см, см, 90, 60,,, O точка пересечения медиан Найти: ) S бок ; ) S сеч плоскостью ; ) (, ); 4) (, ); 5) разложить O по, и ; O 6) (, ) ) (4 ) S бок tg60 cos см ) ( ) S() 4 4 см ) (, ) arctg 60 4) аналогично пункту (, ) 4 arctg 60 arctg 60 5) O + O + ( + ) + ( + ) ( + + ) 6) (, ) (, ) 90 Ответ: ) ( + 56 ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) arctg 60 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 6

61 С- O N ВАРИАНТ 5 Дано: трапеция,,, середина, O, () Найти: при каком условии,, O и лежат в одной плоскости O (), когда O, тк середина, то O середина Ответ: когда O середина Построить линию пересечения плоскостей ( ) и ( ) Построение:, N, N, N, N искомая прямая С- b F a F P Дано: a и b скрещивающиеся прямые Найти: взаимное положение прямых F и a, F и b Если прямые F и a, F и b параллельны или пересекаются, то прямые и лежат в одной плоскости Значит, прямые a и b лежат в одной плоскости противоречие Значит, F и a, F и b скрещиваются Ответ: они попарно скрещиваются Дано: тетраэдр,, F, P, середины,,, соответственно Доказать: P и F пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: средняя линия Значит,, 64

62 FP средняя линия Значит, FP, FP Значит, FP и FP Значит FP параллелограмм Его диагонали F и P пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд С- Дано: и не лежат в одной плоскости, середина, H середина, середина, (H) P Доказать: PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: H средняя линия Значит, H, H Значит, (H) пересекает () по прямой, параллельной Значит, P средняя линия P, P Значит, PH параллелограмм Его диагонали PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд Дано: параллелограмм, 0,, ) Построить линию пересечения OO плоскостей, проходящих через прямую и точку и прямую и точку ) Найти взаимное положение OO и ) (OO, )? ) Через т проведем прямую H, параллельную H H Через т проведем прямую F, параллельную F F, O, F H O OO линия пересечения плоскостей () и ( ) ) ( ), ( ) Значит, OO ) OO, (; OO ) (; ) Ответ: ) OO ; ) 60 P H O F O H 65

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ПЛОЩАДИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Бардушкин ВВ, Белов АИ, Ланцева ИА, Прокофьев АА, Фадеичева ТП Существует несколько методов решения

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Подробнее

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.»

МОДУЛЬ 10 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.» МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее

Многогранники. Призма

Многогранники. Призма Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14)

Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Вебинар 6 Тема: Многогранники Угол между плоскостями Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Призма и ее элементы Призма многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями

Подробнее

Многогранники в задаче С2

Многогранники в задаче С2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче С Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи С единого госэкзамена по математике.

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды. Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Подробнее

Решение олимпиадных задач для 11 класса (заочный тур) 2012

Решение олимпиадных задач для 11 класса (заочный тур) 2012 Решение олимпиадных задач для класса (заочный тур) 0 Докажите, что во всяком выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника и середины диагоналей, пересекаются

Подробнее

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство.

Вопросы часть I. 1. Выпуклый многоугольник. 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательство. 1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Подробнее

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число.

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число. 1.2. Тесты 31. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)

Подробнее

Задания. * H формула для нахождения боковой поверхности призмы

Задания. * H формула для нахождения боковой поверхности призмы Задания Г -11.5.16. S бок = P осн. * H формула для нахождения боковой поверхности призмы Г -11.5.17. S бок = 1 P осн. * h формула для нахождения боковой 2 поверхности пирамиды 6. Разные задачи Г-10.6.1.

Подробнее

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

10 класс Повторение планиметрии Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5 ) параллельно векторам a = ( ; ;5) и b = ( 4;3;0 ) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Подробнее

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой.

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Тема 65 «Сфера и шар» Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой. Шаром называется тело, которое состоит из

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов А Г г Брянск korynov@milru Прокофьев АА

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Пирамида И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Пирамида Пирамида и призма присутствуют в очень многих задачах по стереометрии (в частности, они фигурируют во всех задачах С2, предлагавшихся на ЕГЭ по математике

Подробнее

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013

ФДП МАТЕМАТИКА. ЕГЭ 2013 Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: типы задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Многогранники: типы задач и методы их решения (типовые задания С) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Среднее (полное) общее образование. М.И.Башмаков. Математика. 11 класс Сборник задач. 3-е издание

Среднее (полное) общее образование. М.И.Башмаков. Математика. 11 класс Сборник задач. 3-е издание Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач : среднее (полное)

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ)

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) Вписанные и описанные фигуры в пространстве Москва 008 ВВЕДЕНИЕ Как подготовиться к экзаменам по геометрии и научиться решать стереометрические задачи

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ)

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

Подробнее

Объем пирамиды. плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем

Объем пирамиды. плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем Объем пирамиды 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 3 дм, ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем 2. Высота правильной четырехугольной

Подробнее

Все прототипы задания В11 (2013)

Все прототипы задания В11 (2013) Все прототипы задания В11 (2013) ( 25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). ( 25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

Подробнее

14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности.

14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности. 8. Координаты середины отрезка. 9. Формула длины вектора. 30. Расстояние между двумя точками. 3. Угол между векторами. 3. Скалярное произведение векторов. 33. Скалярный квадрат. 34. Условие перпендикулярности

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

Подробнее

Кафедра вищої математики ДВНЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра вищої математики ДВНЗ НГУ matem.org.ua matemorgua Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет Библиотека иностранного студента Мильцин АМ, Ткаченко АН, Легенченко НВ МАТЕМАТИКА Часть ГЕОМЕТРИЯ (в примерах и задачах)

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Геометрия 11 класс. Тема 1. Объёмы многогранников. Основные понятия. Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками.

Геометрия 11 класс. Тема 1. Объёмы многогранников. Основные понятия. Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками. Геометрия 11 класс Тема 1 бъёмы многогранников сновные понятия Многогранник фигура, ограниченная несколькими многоугольниками Призма Призма многогранник, состоящий из двух равных n-угольников, расположенных

Подробнее

VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина

VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина VII Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников? Ответ. Да. Первое решение.

Подробнее

прямой и плоскостью, между плоскостями.

прямой и плоскостью, между плоскостями. Вебинар 5 Тема: Многогранники Угол между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями Угол между прямыми Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Угол, не превосходящий любого из трех остальных углов (0 90 ),

Подробнее

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Задание В13 ЕГЭ Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

Подробнее

Четырехугольники. a, b стороны прямоугольника.

Четырехугольники. a, b стороны прямоугольника. Четырехугольники Параллелограмм Параллелограмм это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон Свойства параллелограмма: ) противоположные стороны попарно равны; ) противоположные углы попарно

Подробнее

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК

ОТВЕТЫ НОРМЫ ВЫСТАВЛЕНИЯ ОЦЕНОК АТЕАТИКА, класс Ответы и критерии, Январь 0 ОТВЕТЫ Вариант/ задания В В В В4 В5 В6 В7 С,5 0 4,5 940 0-5 4 4600 4,5 7 0,65 4,8 50 0 98 0,,4 4 4,5 0,5 4 7,5 5 96 7,5 950 6,5 90 6 97,8 45 0,5 500-0,5 455

Подробнее

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 5. Найдите площадь поверхности

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 5. Найдите площадь поверхности ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности

Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности п/п 1. S A K Технологическая карта урока обучающегося Рисунок Вопросы и задачи Вид деятельности О D C Вспомним основные элементы пирамиды. 1. Какой многогранник изображен на рисунке? 2. Назовите вершину

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз?

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

Подробнее

Задание 8. h, 2000 S осн. V дет Ответ: 1500.

Задание 8. h, 2000 S осн. V дет Ответ: 1500. Вебинар 9 Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Задание 8.. В цилиндрический сосуд налили 000 см воды. Уровень жидкости оказался равным см. В воду полностью погрузили деталь.

Подробнее

Десятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Двенадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 13 апреля 2014 года

Десятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Двенадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 13 апреля 2014 года Десятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Двенадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 13 апреля 2014 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В треугольнике : = 45, H

Подробнее

Объем многогранника Объем призмы Объемом многогранника

Объем многогранника Объем призмы  Объемом многогранника Гимназия 1543. 11-В класс. Геометрия-2. Сентябрь 2011г. Объем многогранника. Объем призмы Определение. Пусть на множестве многогранников задана функция, обладающая следующими свойствами: 1. M V(M)>0 (положительная

Подробнее

ID_9151 1/10 neznaika.pro

ID_9151 1/10 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В основание

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 8: СТЕРЕОМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: МНОГОГРАННИКИ Куб правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Подробнее

Тема 59 «Пирамида» Элементы пирамиды

Тема 59 «Пирамида» Элементы пирамиды Тема 59 «Пирамида» Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды.

Подробнее

А.С. Рылов. Домашняя работа по геометрии за 11 класс

А.С. Рылов. Домашняя работа по геометрии за 11 класс АС Рылов Домашняя работа по геометрии за класс к учебнику «Дидактические материалы по геометрии для класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Самостоятельные работы Вариант С Дано: куб, (; ; 0) M Найти:

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий)

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) 1. Доказательство 1. Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1

Подробнее

ID_9086 1/9 neznaika.pro

ID_9086 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. В правильной

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , ,1 0, ,5 0, ,4 2 0,875 2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 9,7 0, 0,8 0 90 6 0, 0, 00 80 -, 8 0,6 0,9 0, 0, 6 0, 0, 6 6 0 6 00-8, 0,87 7 9, 0,9-6 0, 8 0 -, 0, 8 9 8 00 700 -, 7, 0,9 0 6 0,9

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ.

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части. Решение. Анализ. ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им проф СА Анищенко ЗАОЧНЫЙ ТУР 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1 С помощью циркуля и линейки разделить угол 54 градуса на 3 равные части Анализ Решение

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , , ,5 0, ,4 2 0, , ,2 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 6 7 6 00-0, 0 0, 0, 6 0, 0, 0 6 00-8, 0,87 0,9 0, 00,,6-0, 6 6 0,9 7, 0 0, 0, 0 7 00 80 -, 8 0,6 8, 00 7 9 0, 6 8 6 9 9,7 0, 0,8 0 8

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин. 1. Параллельное проекция

ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин. 1. Параллельное проекция ПРОЕКТИРОВАНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИИ П.А. Бородин, А.В. Макаров, В.А. Прошкин 1. Параллельное проекция Пусть в пространстве задана плоскость Π и не параллельная ей прямая v. Тогда каждой точке A пространства

Подробнее

О требованиях к письменной работе по геометрии в 11-м классе

О требованиях к письменной работе по геометрии в 11-м классе ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ОТДЕЛ МАТЕМАТИКИ О требованиях к

Подробнее

ВМ-1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013

ВМ-1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 ВМ- МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4) ЧАСТЬ II РЕШЕБНИК Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук,

Подробнее

C 1 сентября по 30 декабря

C 1 сентября по 30 декабря Тематическое планирование по геометрии (заочное отделение) в 10 классе Учебник: Л.С. Атанасян, Геометрия 10-11 классы, Просвещение, 2011г. Дидактические материалы по геометрии 10 класс Б.Г. Зив, Просвещение,

Подробнее

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3

ОТВЕТЫ В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 С , , ,5 3,6-3 0, , , , ,3 МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Декабрь 0 ариант/ задания ОТЕТЫ 5 6 7 5 50 -,5 0, 8 5 5 00,5,6-0,5 5 0,95 0, 5 6 0550-0, 0 0, 5 0 6 0600 7 6-0,875 6 00 80-5, 8 0,6 7 0 90 5 65 0,5 0, 8 8 500 7500

Подробнее

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом.

Для объемов пространственных фигур справедливы. 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. Тема 67 «Объемы многогранников» Объем величина, сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные дейребро которого равно ствительные числа. За единицу объема принимается куб, единице измерения длины.

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11

Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

Подробнее

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ»

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ» А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

Подробнее

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех»

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» 1. Укажите номера верных утверждений. Г.9.1.1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести

Подробнее

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1

Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Лекция 1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция 1 1.1. Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

В8 все задачи из банка. Площади поверхности. Параллелепипед

В8 все задачи из банка. Площади поверхности. Параллелепипед В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование. содержания урока

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование. содержания урока Количество часов РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА ПО ГЕОМЕТРИИ. 10 КЛАСС Календарно-тематическое планирование п/п Тема урока Тип урока Вид контроля Элементы содержания урока Требования к уровню подготовки

Подробнее

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b ) +

Подробнее

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах

Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Планируемые результаты изучения курса геометрии в 7-9 классах Наглядная геометрия Выпускник научиться: 1) Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.

Подробнее

IX Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина

IX Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина IX Олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (Н.Москвитин) (8) В треугольнике =. Из точки E на стороне опущен перпендикуляр ED на. Оказалось, что E = DE. Найдите угол D. Ответ. 45.

Подробнее

ПРЕДИСЛОВИЕ. Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ:

ПРЕДИСЛОВИЕ. Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ: 6 Геометрия ПРЕДИСЛОВИЕ Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ:. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу геометрии 0 класса,

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ»

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ» ПРИЛОЖЕНИЕ 5.1 К КУРСУ О.Ю.ШВЕДОВА «ГЕОМЕТРИЯ В КООРДИНАТАХ» задания для разбора с преподавателем Москва Курск Орел Рязань, 2010 г. Приложение 5.1 2 1. Координаты и векторы на плоскости К1a.1 () Найдите

Подробнее

Задания В Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Задания В Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра. Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

Подробнее

Централизованное тестирование по геометрии, 2003 год. Часть A

Централизованное тестирование по геометрии, 2003 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Централизованное тестирование по геометрии, 003 год Часть К каждому заданию части дано несколько ответов, из которых только один верный. Решите

Подробнее

Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс

Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс МОУ «СОШ 7» Практическая часть к билетам по геометрии 9 класс г. Ноябрьск Учитель: Зайцева И.А. Для заметок ГЕОМЕТРИЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА В каждом билете три вопроса. В первом вопросе предлагается

Подробнее

Геометрия, ХI ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия, ХI ГЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрия, ХI Экзамен по геометрии экзамен по выбору, форма проведения которого может быть различной: ответ по билету, защита реферата, собеседование, тестовая проверка. Предлагаемые экзаменационные

Подробнее

Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Тема 60 «Параллелепипед и куб» Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Новосибирск I. Проектирование

Подробнее