Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс"

Транскрипт

1 АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

2 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ С- Дано:,, x ;,, не лежат на одной прямой Доказать: x () Доказательство: (); (); (), тк x, то x () Чтд Дано: α β m, a α, a β Найти: пересекаются ли a и m m x Решение Допустим, что прямые a и m не пересекаются m α, a α Значит, a m Значит, a β Это противоречит условию Значит, a и m пересекаются Ответ: a и m пересекаются α a β С- Дано: α β F, α, β В плоскости β через т провести прямую так, чтобы она ) пересекала ; ) скрещивалась с ; ) была параллельна ) ; α F β ) F; ) невозможно провести, если такую прямую возможно было провести, то тк она лежала бы в плоскости β и была параллельна, получилось бы, что β, либо β, что противоречит условию Дано:,, Доказать: Доказательство: Тк и, то, а тк, то параллелограмм Чтд 5

3 С- Дано: параллелограмм,, F, : F:F Через и F проведена плоскость α Доказать: α Доказательство: F Тк и ( F параллелограмм), то F и F параллелограмм, тогда F Значит, α Чтд α β c a b F α Дано: a α, c a, β α b Доказать: b c Решение Тк a α, то a b; тк a b и a c, то b c Чтд С-4 P Дано:, P Доказать: P Доказательство Тк, то ; тк P, то P Значит, (P) () β b c a Дано: α β, α, β, α Построить: β, β, β α β, β, β тк α β () β b, b тк β () β a, a тк β () β c, c тк β 6

4 С-5 Дано: параллелепипед, Доказать: Доказательство: ( ) ( ) (тк и ); тк ( ), то ( ) Чтд Дано: тетраэдр, 90, см Найти S() Решение см, аналогично см, см равносторонний, 60 S() sin60 см Ответ: см С-6 Дано: тетраэдр, P,,, P P, Построить: сечение плоскостью P Решение ) проведем прямую P; ) проведем прямую ; ) тк P P и, то P средняя линия в Значит, P ; 4) в плоскости () проведем прямую N, параллельную P; N ; 5) проведем прямую PN; 6) (PN) сечение тетраэдра P N 7

5 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной 8 см, боковые грани прямоугольники, см середина Построить: сечение плоскостью Найти: P сеч Решение ) середина ; ) () сечение искомое, тк см 4 см см P() (0 + ) см Ответ: (0 + ) см С-7 O Дано: правильный треугольник, O его центр, O, O, Найти: расстояния от т до вершин Решение высота, медиана O O + O + (тк правильный и O центр) Ответ: 8

6 Дано: параллелограмм,, F Доказать: F Доказательство: Тк параллелограмм, то ; тк () и F (), то F Значит () (F) Чтд F С-8 Дано: квадрат,, Доказать: Доказательство: Тк и, то (); тк (), то Чтд Дано: α,, 90, α,, 5, 4 Найти: S( ) Решение α S( ) Ответ: 84 С-9 Дано: α;, α; H и H проекции и на α H 8, 09, H 4 Найти: P(, α) Решение H x, H 4x H H 4 9x H H 46 6x 4 9x 46 6x ; 7x, x 4 H Ответ: 0 α H 9

7 С-0 Дано: равнобедренный, H высота в 5, 48,, 5 Найти: P(, ) Решение H тк равнобедренный H ( ) H H Тк H и H, то по ТТП H H H Ответ: 8 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной см, боковые грани прямоугольники 5 см Найти: (, ), ( ; ( )) Решение ( ; ()) (тк параллелепипед прямоугольный) см cos ( ; ( )) 5 см sin Ответ: arccos 5 5 ; arcsin 5 С- L Ответ: 90 0 α β N Дано: ребро двугранного угла, образованного плоскостями α и β LN линейный угол этого двугранного угла LN Найти (, ) Решение Тк плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, то любая прямая, лежащая в плоскости линейного угла, перпендикулярна ребру двугранного угла

8 Дано: прямоугольный ( 90 ), a 0, a,, Найти: (, ) Решение,, ((), ()), тк () и () a sin a tg a a a 60 Ответ: 60 С- Дано: ( прямоугольник) Доказать: 90 Доказательство: ((), ()) 90 перпендикуляр к плоскости (),, Тк и, то (), тк (), то Значит, прямой Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед,, F, середины,,, 4, 6, 56 Построить: сечение F Доказать: F Найти: ) проведем F; ) проведем F; ) в плоскости () проведем прямую, параллельную F; 4) (F) искомое сечение F

9 середина Тк F середина и середина, то F Значит, F () Значит, (F) () ) ; 0 6 Ответ: С- Дано: правильная треугольная призма,, центр Найти: (, ()) (, ()), где середина (те В, тк ) высота и медиана в tg ; 60 Ответ: 60 Дано: правильная четырехугольная призма, 4 см, ((), ()) 45 Найти: S() Тк квадрат, то По ТТП, значит, см, см Тк 45, то прямоугольный равнобедренный, см S() см Ответ: 8 см (ТТП теорема о трех перпендикулярах)

10 С-4 Дано: прямая призма, прямоугольный ( 90 ) 4,, 60 Найти: S бок Тк и, то ( ) прямоугольный; tg S бп P() ( + + ) ( ) 9 9 Ответ: 9 С-5 Дано: наклонная треугольная призма, прямоугольный ( 90 ) Доказать: прямоугольник Доказательство: Тк ( ) () и, то ( ), значит, Значит, прямоугольник Чтд Дано: S 70 см, S 50 см, P 60, 0 см S 50 см S 70 см Найти: S бок? (P) P, Тк параллелограмм, то S P см 50 P P 5 см 0 Тк параллелограмм, то см S 70 см

11 По теореме косинусов из P P + P КP cos P P Тк (P) P, тк P Тогда S P 0 0 см (тк и параллелограмм) S бок см Ответ: 50 см С-6 Дано: P 4 см, 6 см Найти: S пп квадрат P P P см P высота, тк пирамида правильная P см S см Высота на основание, тк он равнобедренный, равна: h 5 см S 56 5 см 4 S пир см Ответ: 96 см Дано: правильная треугольная пирамида, a, H высота, H a Найти: H; H? H радиус окружности, описанной около, H H a ; тк H cos0 4

12 H a 6 из H: H 90 tg(h) H a H arctg H радиус окружности, вписанной в ; H 6 a H a из H: tg(h) 4 H a 6 H arctg( 4 ) Ответ: arctg, arctg( 4 ) С-7 Дано: пирамида, прямоугольный ( 90 ), 0, a, H 60, где МH высота пирамиды Найти: H? Т к все ребра равнонаклонены к основанию, то H центр описанной окружно- H сти Высота H, где H, тк центр описанной окружности a ( 90 ), и H H; из : sin0 H H a H a; из H: tg60 H a H a Ответ: a Дано: (), пирамида (, ) 60, 0, 6 Найти: S бок равнобедренный высота и медиана ; тк () высота и медиана, медиана, а тк (), то В и равнобедренный высота 5

13 Следовательно и (, ) 60 из : tg(60 ) 6 S S ; S 6 96 Sбок Ответ: С-8 Дано: правильная треугольная пирамида, a, грани наклонены под углом 60, через среднюю линию основания, параллельно боковой грани, проведено сечение Найти: S сеч QR средняя линия основания QR, QR, QS QSR искомое сечение Из подобия следует, что его площадь в четыре раза меньше площади a, H H cos 60 S сеч 4 S R H Q a 6 a a Ответ: 4 6 a a a a S() a 6 PH равнобедренный, H PH P H Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида 8, 6 Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 Найти: S бок? Тк PH 45, H P 90 6

14 тк равнобедренный, то P середина PH средняя линия PH 4 P H + PH тк и P подобны, то P P, но P 4 P 4 P 4 P P S 7 P S бок Ответ: 8 С-9 Дано: параллелепипед, прямоугольник,, F F ) векторы, сонаправленные F : ; (тк сонаправленность: если векторы параллельны или лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление); ) векторы, противоположно направленные : ( ); uuuur ; uuuur uuuuur uuuur uuur uuur uuur ) имеют длину, равную : ; ; ; ; ; ; Дано: a α, a β, β α b,, a;, b Найти: при каком условии и коллинеарны коллинеарен, если a b a α a β b α F 7

15 С-0 Дано: параллелепипед Найти: + + +? uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuuur,, uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Ответ: Доказать, что: ( + ) ( + ) Доказательство: ; + ; + ; + ; Чтд С- Дано: тетраэдр, uuuur uuur uuur Изобразить: uuur uuuuur uuur uuur uuuur ; ;, отложим uuuuur uuuur uuuuur от точки вектор, получим искомый Дано:, ; P P Выразить: P через P P P ; P средняя линия P ; uuur uuur uuur P P P Ответ: uuur 8

16 С- Дано: тетраэдр,,, a r, b r c r Разложить: uuuur по a r, b r, c r uuuur uuur uuur r r ( + ) ( a + c ) ; uuuur uuuur r r a + c ; + a+ c b r r r Ответ: r a+ r c b r 4 4 Дано: точка пересечения медиан, по,, uuuur uuur uuur uuur ( + ) ; uuuur uuuur uuur uuuur uuur + + ; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ( + + ) + ; uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ответ: + + С- Дано: правильная треугольная призма, ) S ппп? S S бок 6; S S полн пов 6 + 9

17 ) S? 5 5 Из : + 5 S ) Найти? sin( ) arcsin 5 4)? 90 ; ; sin( ) 0 5) +? 5 ; ; + ; 6) Доказать, что ; ( ) Ответ: ) 6; ) ; ) arcsin ; 4) 0 ; 5) 5 ВАРИАНТ С- Дано: a b 0, a, b, Y Доказать, что a, b и Y лежат в одной плоскости Y a O b Доказательство: a и b лежат в одной плоскости α; a и b, α тк, α, тк Y Y α Чтд 0 α

18 Дано: α β c, a β, b α Доказать, что линия пересечения α и β Доказательство: α c линия пересечения α и β b β, c β c b ; аналогично: a c, c совпадает с c Чтд b a β c С- В β через провести прямую так, что ) она пересекала Невозможно, тк β ) скрещивалась с соединить с F ) параллельна : провести параллельно F прямую T α (T F ) Дано:,,, Доказать, что Доказательство: Тк и параллелограмм, параллелограмм и Чтд F T β С- Дано: ; F ; ; α Найти: F : F, F () Тк F α, а α F по теореме Фалеса F F : F F Ответ: / α F

19 α Дано:, α; ; Доказать, что α Доказательство: Тк и параллелограмм, тк α Чтд С-4 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк и общий Аналогично из и : ; ; Чтд Дано: α β;, β;, α Построить: α, β Построение: Строим прямая α Строим N прямая N β С-5 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк дан параллелепипед и ; ; ( ) ( ); Чтд Дано: 60 ; 4 см Найти: S? равнобедренный, тк ; 60 равносторонний, 4

20 равносторонний, со стороной 4 S sin Ответ: 4 см С-6 Дано:, 0,, (N) () Найти: S N? Тк и, а N N 5; N N N Пусть N высота, а значит и медиана N 69 5 N 6 S N Ответ: 5 Дано: P ; Построить сечение через P и и параллельное Построение: Строим PP и P P требуемое сечение P P С-7 Дано: 90,, O (), O Найти: O () O 90 ; O + + Ответ: O

21 Дано: и () Найти взаимное расположение линии пересечения () и () и и (); () ; () (), () Ответ: они параллельны С-8 Дано:, 90,, () Доказать, что Доказательство: () ; () Чтд Дано: параллелограмм, 4, 6, (), Найти: S пар? По теореме о -х перпендикулярах ( ; ; перпендикуляр), проекция прямоугольник S Ответ: 4 С-9 α T Дано: T α, T T 0, 90, T Найти: Из T: T 0 ; прямоугольный Ответ: 4 4

22 С-0 Дано: 90, 0, a, a (), Найти: ρ(, ) Пусть и По теореме о -х перпендикулярах a 90 sin0 из : a a a a ρ(, ) Ответ: a Дано: параллелепипед, и все боковые грани прямоугольники 90, 90,, 5, 5 Найти: (; ), ( ; ) )? , 5 cos( ) 5 arccos 5 )? 5 sin( ) arcsin 5 Ответ: arccos ; arcsin 5 С- Дано: N c, c c a, c b Доказать, что линейный Доказательство: c a, c b c α c, c линейный Чтд c a b 5

23 Дано: ромб, 60, m m, (), Найти: (; ) Искомый угол? Тк ( середина ) и m m из : m 4 m tg() arctg 45 m Ответ: 45 С- Дано: () (), 90 Доказать, что 90 Доказательство: Тк () () и прямоугольник () 90 Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, 5, 4, 77 Построить сечение плоскостью, проходящей через и Найти: ) Искомое сечение, где, середина ;, ( ), а тк () () ( ) )? Ответ: 6 6

24 С- Дано: правильная четырехугольная призма,, 5, середина Найти: ( ; ) H H и H 5 H H + 5, тк H середина, тк середина ; (С, ) H 45 Ответ: 45 Дано: правильная треугольная призма, N средняя линия, N, (PN, ) 60, P P, 4 см N Найти: S(PN) H 4 N ; H H 4 P cos 60 S(PN) Ответ: см С-4 Дано: прямая призма, 90, 0, 0, 5 Найти: S бок (по теореме о -х перпендикулярах: ) 5;

25 S бок ( + + ) 5 (5 + 0) Ответ: С-5 Дано: параллелепипед, прямо- угольник, 90, ( ) () Доказать, что прямоугольник Доказательство: Тк ( ) (), а ( ) прямоугольник Чтд Дано: призма, S( ) 5 см, S( ) 5 см, 5, 0 Найти: S бок S гран 5 5; аналогично по теореме косинусов: ; 7; из по тереме о -х перпендикулярах:, S S бок Ответ: 75 см С-6 Дано: правильная пирамида, H высота, H см,,, 5 см Найти: S полнпов H 0 H ; x из : x; x x 5; x 900; 4 x 50 00; x 0 0 S 75 8

26 S 0 65 Sполн Ответ: 70 см Дано: правильная пирамида, a, высота a Найти: и Из : a + a a ; a ; a 6 из : tg() a arctg a a tg() 6 arctg6 a Ответ: arctg, arctg 6 С-7 Дано: пирамида, a, 50, H H H 45 Найти: H H высота из равенства углов 45 H H H H H центр описанной окружности; R sin R; R a H a H a Дано: F, F 0 6, P 0, P (F), P 60 Найти: S бок P (F); P F F (по теореме о -х перпендикулярах) P (P, (PF)); из P: P 60 P P 0 0 из : F H P 9

27 S P P S PF P F Sбок Ответ: С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, SH 60, H S S Найти: S a H S a H a, cos 60 H a тк H средняя линия S S() a a Ответ: H T a S N Q R P 7 Дано: NP правильная треугольная усеченная пирамида, 8 см, N 6 см, (, ) 60 Найти: S бок Пусть TQR проекция NP на S(TQ) (S() S(TQR)) (8 6) TH S ( TQ ) ( TQ ) TH H + cos60 S бок (H + ) 4 Ответ: 4 см 0

28 С-9 Дано:, Записать вектора, которые: ) противоположно направлены ; ) сонаправлены ; ) имеют длину, равную ) ; ; ) ; ; uuuur uuuur uuuur uuur ) ; Дано: γ α a; γ β b;, a,, b Могут ли и быть коллинеарными? α a γ Могут, если α β β Ответ: могут b С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + ; + ; + O Ответ: O ur Доказать, что ( + F F) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur F F ; F F F + F ; ; + ; Чтд С- Дано: F тетраэдр Изобразить: F,5 + 0, 5F S, 5 ; T F ; P F S + T P F T S F P

29 Дано:,, F,, F F, () uuuur uuur Выразить через ( F ) ( + ) ; F ( + ) ; С- + F F uuur uuuur F Ответ: ( ) Дано: параллелепипед a, b, c, Разложить по a, b, c a + b + c (правило параллелограмма) + ( a + c) + a c a + b + c a c b + + Ответ: a r r + b + c r F Дано: тетраэдр, точка пересечения медиан Разложить по,, ( + + ) ; ; + ; + ( + ) + Ответ: uuur uuur uuur +

30 С- Дано: правильная четырехугольная пирамида, см, см Найти: ) S полнпов H S 4 ед ; 8 7 S 7 7 S полн 4( + 7 ) ) S? Из : правильный треугольник S sin() ) H: из п : H 60 4) ^ H? Из H: H 8 6 ; H tg(h) 6 ; H arctg 6 5) см 6) Доказать, что H (), H Чтд Ответ: ) 4( + 7 ) см ; ) см ; ) 60 ; 4) arctg 6 ; 5) см ВАРИАНТ С- Найти: в чем ошибка чертежа? O O P F P F α Точки, и должны лежать на одной прямой Ответ: α

31 Q Дано: куб,, F Построить: ) F, F ; F ) F F; P ) F Построение: F F P R F F Q F F F F R, где R R, R F С- 4 α b a c Доказать: и, и, и скрещивающиеся Доказательство: ( ), ( ), ( ) Каждая пара прямых не лежит в одной плоскости Чтд Дано: b α, a α, a b, b, c, α, c a Доказать: c α Доказательство: b α, a b a α; c a c b и c, и α c α Чтд С- Дано: a b, a α Найти: взаимное расположение b и α b не может пересекать α, тк в этом случае a должно пересекать α Поэтому либо b α, либо b α Ответ: b α, либо b α Дано: параллелограмм,,, 0,

32 ) Построить:,, ) Найти: (, ) ) Строим, тогда,, ) (, ) (, ) Ответ: 50 С-4 Доказать, что F F Доказательство: F F,, F, F (F) ( F ); () (F) F, () ( F ) F F F F F F F Чтд Дано: α β α, β Найти: взаимное расположение и F F ) Если либо ; ) если и скрещиваются и скрещиваются 5

33 С-5 Дано: параллелепипед, F F F, F Доказать, что Доказательство: F средняя линия F,, прямоугольник, и диагонали Чтд Дано: 60, 5 см, 8 см, 8 см Найти S? Из : + cos , 49 6 S 8 4 Ответ: 4 см С-6 S P Дано: тетраэдр,,, P, P : P :, все ребра равны a Построить сечение, проходящее через P и параллельно Найти его площадь Строим SP (S ) SP наше сечение S P, тк SP S : S : ; a a ; P 4 a ; P 60 P 5 a + a a a a a a a a P S ; SP H SP 4 4 H 6 a a a a S a 4 a Ответ: 64 a 64

34 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, и P Построение: P F, F G, GP PG искомое сечение P F G С-7 Дано: не пересекает α, α, α, 0, 0,, : :, α Найти:,,,, Получили трапецию : H H 5 ; H 0 5H H 0 H H Ответ: 4 Дано: a α, a β, γ α b, γ β c Найти: взаимное расположение b и c a α и a β α β b c Ответ: они параллельны α H H С-8 Дано: квадрат, () Доказать: Доказательство: Строим H ; H 90 ( квадрат) По теореме о -х перпендикулярах: H Чтд Дано: прямоугольник, (), 5, 4, 0 Доказать: прямоугольный Найти:, () H 7

35 по теореме о трех перпендикулярах 90 Чтд Ответ: 7 С-9 Дано: α β, β, α, β, α,, 6, 5, H Найти: H α По теореме Фалеса, β Аналогично H H 0, H H 5 H 6 H искомое расстояние Ответ: 5 С-0 a Ответ: a H Дано:, a, 60, ромб со стороной a Найти: расстояние (; ),, Найдем ρ(; ); a 60 из : a a + + a 4 4 Дано:, 8, 0,, H (), H (), H Найти: H Из : + cos0 8 8cos0 64( cos0 ) H H sin() sin0 8

36 tg(h) H H sin0 sin0 ctg65, 64( cos0 ) 6( cos0 ) 6 H arctg ctg 65 6 Ответ: arctg ctg 65 6 С- Дано: и лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С ( β, α) ρ(, ) 6, ρ(, ) 0 ρ(, β) 7,5 Найти: ρ(; α) Пусть S c, S c S 6 Пусть S c, S c S 0 Пусть T β и T β T 7,5 Пусть теперь S S и S S c ρ(, β) ρ(, β) T S TS Искомое ρ(, β) ρ(, β) T T S (по ТТП) T 7,5 Из T S : sin T S S 0 4 Пусть α и α По ТТП S, ρ(, α) Ssin T S 9 T S S T β α Ответ: 9 Дано: ромб, α, 45, (α, ) 0 Найти: (α, ) Пусть a, H, H, H 0 a, a, H a N H α a H Ответ: 45 a a H (α, ) 45 9

37 С- a 4 H tg H Дано: и правильные, () () Найти: tg( (; )) H, H H a, где a сторона a H, 60 H H sin60 4 a Ответ: a Дано: правильный параллелепипед, квадрат,, 6 Найти: Доказать: Тк,,, то Чтд Ответ: 4 С- L Дано: правильная треугольная призма, через середину и проведена плоскость, 4 см, см Найти: S сеч Пусть середина Проведем L, L L искомое сечение L L

38 L + S сеч h L, h Ответ: 7 см Дано: прямой параллелепипед, ромб, 60, a, (, ) 45 Найти: S сеч, H H H 45 H sin( ) a H 6 6 a Sсеч a Ответ: 7 6 a ; a S сеч 7 С-4 Дано: прямой параллелепипед,, 7, 50, (, ) 60 Найти: S бок Пусть H H H sin50 sin50 sin50 7 H H tg60 6 (7 + ) Ответ: (7 + ) H С-5 Дано: наклонная призма, правильный, a, b, Найти: S( ) Пусть H проекция (H ), 4

39 тогда H биссектриса H и S ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, Р(, ) Р(, ) +, Р(, ) 9, S бок 40 Найти: углы между смежными боковыми гранями N P Пусть NPQ перпендикулярное сечение Q P 9, N + NP, N + NP NP 6, N 5 cosnp N + NP P N NP 5 6 (, ) 0 (, ) 60 Ответ: 60 С-6 O H Дано: правильная треугольная пирамида, Р(, ) Найти: S бок Пусть проецируется в т O, H H H H, 60 H 6 O 4, тк 6, sin 60 то 4 S бок Ответ: 4 S Дано: S правильная четырехугольная H пирамида, 4, O центр, Р(O, S) Найти: ) (S, S); ) S O OH S, O OH H H 4 + ( ), тк 4 4

40 H cos H H π arccos sin SO HO O + H H H SO O S S S 60 ( S) Ответ: ) π arccos ; ) 60 С-7 Дано: S пирамида, равнобедренная трапеция, 8 см, см, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 Найти: высоту пирамиды и S бок Тк грани равнонаклонены, то расстояния от т O до сторон трапеции равны 8 + можно вписать окружность 5 O O S Пусть радиус окружности равен r По формуле площади для описанной окружности S осн ( 0 6)(0 )(0 5) ( )r r высота пирамиды равна tg60 высота боковой грани равна 4 S бок Ответ: см, 40 см S H Дано: S пирамида, ромб, 60, a, S, S, (S, ) (S, ) 60 Найти: S бок H H asin60 a a S Htg60, 4

41 H SH a Sбок (S(S) + S(S)) cos 60 a a a + a a ( + ) a Ответ: ( + ) С-8 S Q P Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые грани N наклонены к плоскости основания под углом 60 Через центр основания проведена плоскость O Найти: S сеч Пусть O центр, N O, N, Q S, Q S, NP S, P S QPN искомое сечение; SO 60 S a 5 a S 5 a + a Q PN a, cos a QP, N a Sсеч 5 a 5 a a a a a a a a a a Ответ: S Q Дано: NPQ правильная четырехугольная усеченная пирамида, N P 0 см, N 6 см, S(PQ) 8 0 Найти: S бок H 0, NQ NH 5 N 5 + ( ) 8 N 4 S бок 4 (0 + 6) 96 Ответ: 96 см 44

42 С-9 Дано: призма,,,, F,, F F Найти: ) векторы, сонаправленные с F ; F ) противоположно направленные ; ) векторы, имеющие длину, равную длине ), ),, ) проецируется на биссектрису и на высоту и квадрат векторы:,, uuuur Ответ: ), uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ; ),, ; ),, β α Дано:, α, β, α β F Найти: будут ли коллинеарны и F, F и F Будут, тк F Ответ: да, будут С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + 0, uuur uuuur uuuur Ответ: Ответ: 7 см Дано: пирамида; прямоугольник, 8 см, 5 см Найти: +, +,

43 С- uuur uuuur uuur Ответ: + 46 Дано: призма, Выразить через, uuur, и uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur, ( + ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur + + Дано: O точка пересечения диагоналей параллелепипеда, + + O Найти: +, + O O, O Ответ: С- P + P, P P 5 O P Дано: параллелепипед,, P : :, P : P : 5 Разложить вектор P по векторам, и 5P P, 5 P P, P + 5 P 7 ( ) P +,, 4 uuur + P P uuur uuur uuuur P Ответ: uuur uuur uuuur

44 Дано: тетраэдр Доказать: отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: Пусть середина, F, O середина F O ( + F) Дальше пусть P середина, F, O середина PF O Если теперь O середина отрезка, соединяющего середины и, то и в этом случае O + + O O O, те т O, O, O совпадают Этим и доказывается утверждение С- Дано: 90, 60, см, см ) S полнпов? 0 4, S бок , S осн 4 Sполн пов 4( 4 + ) ) S? ; S 4 4, тк по теореме о -х перпендикулярах ) (, )? Искомый угол ; tg( ), 60 4) (, )? Искомый угол, tg( ) 0 47

45 5) Разложить по,, ( + + ) 6) (, )?, ( ) ( ) ( ) Искомый угол 90 Ответ: ) 44 ( + ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) 0 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 С- O F ВАРИАНТ 4 Дано: В чем ошибка чертежа, где O F F должна быть проведена штрихами α P Дано: параллелепипед, P, Построить: ) P, P ; ) P ; ) P ) Проведем P до пересечения с точка их пересечения F искомая; проведем P до пересечения с точка их пересечения G искомая ) Проведем P ) Проводим, PS, S S P 48

46 С- Дано: параллелепипед Доказать, что прямые и, и, и являются скрещивающимися и скрещиваются, тк, а пересекает ее Аналогично и другие пары Дано: a b, a, b, через можно провести прямую, пересекающую лишь одну из прямых Лежит ли в одной плоскости с a и b? Нет, тк в плоском случае прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую С- Дано: a α, α Доказать: b: b α, a b, b Доказательство: Проведем β через a и, она пересечет α по прямой, параллельной a, тк a α, эта прямая будет искомой Чтд Дано: параллелограмм, 00,, Построить: ; ; Найти: (, ) Проводим H, H H; H; параллелограмм (, ) (, ) тк угол между прямыми от 0 до 90 Ответ: ) 80 С-4 Дано: a, b, c не лежат в одной плоскости a b c,, Доказать: Доказательство: a b, параллелограмм 00 a b c 49

47 Аналогично параллелограмм параллелограмм Чтд 50 Дано: α β, α, β Найти: взаимное расположение и Если, то параллельны или пересекаются, если и скрещиваются, то скрещиваются Ответ: Пересекаются или скрещиваются, если ; скрещиваются, если и скрещиваются С-5 Дано: параллелепипед, P P, P,,, Найти: (, P) Тк, то параллелепипед прямой (P; ) 90 Ответ: 90 Дано: тетраэдр, 4 см, 6 см, 6 см, 45 Найти: S() По теореме косинусов (6 ) cos по формуле Герона S() см Ответ: 48 см С-6 P β α F Дано: тетраэдр, все ребра равны a, P, P P,, : : Построить: сечение, проходящее через P и параллельно Найти: его площадь

48 Проводим PF, F PF искомое сечение, PF a a средняя линия PF По теореме косинусов: 4 a a a a P F + cos a a a a a a a S a a Ответ: 6 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, P и Решение Проводим P S S () Проводим S F PF искомое сечение a a a a 6 a a a F S P С-7 Дано: α, α, 4, α, 0,,, α, α, α, α Найти: Проводим среднюю линию трапеции Из подобия следует ; ; 5; α 0 5 Ответ: Дано: α, a α, b a, b α, b β, β α c Найти: взаимное расположение b и c a α, b a b α b c Ответ: b c 5

49 С-8 Дано:,, середина, Доказать: Доказательство:, тк равнобедренный Тк и, то () тк () Чтд Дано: окружность (O, O), окружности, окружность лежит в плоскости α, α,, диаметр окружности, хорда, 45, O Доказать: прямоугольный Найти: O α прямоугольный (тк опирается на диаметр ), и по теореме о -х перпендикулярах прямоугольный, ВСА прямоугольный, 4 sin45 Из :,, по теореме Пифагора + 8 Ответ: С-9 Дано: плоскости α β; точка ;, α α,, β, прямым, ;,, 50, перпендикуляр к α, 4, L перпендикуляр к β Найти: L β L L по двум углам L () L L по двум углам () 5

50 L Умножим () на (), получим ; L учитывая, имеем L L L L Ответ: 54 С-0 Дано:, m, 0, P, PH, H, PH m Найти: P H прямоугольный (H H по теореме о -х перпендикулярах); H60 80 ; m P H H sin60 m Из прямоугольного PH по теореме Пифагора P PH H Дано:, 90, 0, 5, 5 Найти: угол между и плоскостью Из т на плоскость опустим перпендикуляр H H центр описанной окружности H H H R R, m m m m Ответ: 4 5 тк радиус равен половине гипотенузы ; cos cos 0 5 R H ; 5 Из прямоугольного H: cos 0 H 5 cos H Ответ: cos cos 0 0cos0 H 5

51 С- Дано: α β c, α, α, α р(, β) 60 см, р(, β) 48 см Расстояние от одной из точек до c равно 50 β Найти расстояние от другой Тк 48 < 50 < 60, то р(, С) sin( (α, β)) c р(, c) 6,5 см Ответ: 6,5 см sin αβ (, ) 4 α P Дано:, 90,, α, Q S α, (α, ) 0 Найти: (, α) N Строим: H H (α ) H, α, N H, N α H N α Через т и N проводим в α прямые, перпендикулярные к N, и опускаем на них перпендикуляры из точек и Пусть их основаниями являются точки Q и P соответственно Через т в α проводим прямую, перпендикулярную N Пусть PQ пересекает ее в т S Очевидно, SH α a a Пусть a H Q P sin0 SH SH a (α, ) arcsin arcsin 45 Ответ: 45 H a С- H F Дано: правильный, 4,,, (, ) 90, (, ) 60 Найти: S() H H, HF F FH 60 54

52 HF 4 H S() 4 6 Ответ: 6 Дано: прямоугольный параллелепипед, квадрат,, ) Найти: N ) Доказать: ) 9, 9 Пусть, N, тогда,, тк параллелепипед прямоугольный, то ( ) N ( ) и N (тк, то N параллелограмм и N) N ( ) Чтд Ответ: ) С- Дано: правильная S F четырехугольная призма, a, 4a Через и середину 4 проведена плоскость Найти: S сеч O Пусть F середина Проводим F, F искомое сечение a F a PQ средняя линия PQ H, O OH 4 SO Ответ: 4 a Пусть S середина F 4 a a a a a + a S сеч a a 4 55

53 Дано: прямой параллелепипед, ромб, m, 5, через и проведена плоскость α, (α, ) 60 Найти:, S сеч H H H H 60 m S( ) H m H tg60 m 6m S( ) 6 m S сеч m Ответ:, m cos60-4 H Дано: прямой параллелепипед, 7, 5, 60, (, ) 45 Найти: S бок H H H 45 По теореме косинусов S() S H 6 S бок + ( + ) (7 + 5) Ответ: 0 С-5 Дано: наклонный параллелепипед,, квадрат, a, b Найти: S( ) 56

54 Тк, то проецируется на Но высота равна S( ) ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, S бок 880, р(, ):р(, ) Q 7 : 5, Р(, ) 6 N Найти: (( ), ( )), P (( ), ( )) углы между гранями Проводим NPQ перпендикулярное сечение S бок 0 р(npq) р(npq)88 Пусть QP 7x Q 5x р 88 44x x QP 4, Q 0 По теореме косинусов: Q QP arccos QPN 0 Ответ: 0 и 60 + QP P Q QP 40 arccos arccos С-6 S Дано: S правильная четырехугольная пирамида, (S, ) 60, H р(, S) 4, середина Найти: S бок F O Проведем F SF SF 60 H SF H 4 F 8 O центр F FO 4 SO 4 tg60 4 SF S бок Ответ: 8 57

55 S Дано: S правильная треугольная пирамида, высота основания равна, рас- стояние от середины основания до противоположного ребра равно Найти: ) углы между боковыми гранями; O ) плоский угол при вершине ), S, По теореме о -х перпендикулярах S S S, S arctg (, тк 4, тк и правильный) ) arcsin 4 S 80 arcsin 4 Ответ: ) arctg ; ) 80 arcsin 4 С-7 S Дано: S пирамида, ромб, a, 60, боковые грани наклонены под углом в 60 к плоскости основания Найти: высоту, S бок O SO, O N N O, N N ; S( ) a sin 60 a N O a a, тк O, 4 a то S SO 45 O SO и S 4 4 a 6a S бок 4 a 4 Ответ: 6a 58

56 Дано: пирамида, a, 0, () (), () (), ((), ()) 45 Найти: S бок Тк и Проведем H, по ТТП H и Н 45 H Hsin H sin(80 0 ) a a 6 H H, тк H и H 45 H a a sin, H Sбок ( H + + ) a 6 a a a a+ a + a 4 a Ответ: ( 6 ) ( 6 ) + + С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые S Q грани наклонены к основанию под углом 60, через сторону основания пер- P пендикулярно к противоположной стороне проведена плоскость L O H Найти: S сеч SH, HL HL SHL 60 L SH PQ, PQ PQ S LH L L PQ QP искомое сечение SO высота пирамиды a LH a L asin60, SH a cos 60 a, 59

57 a a H a cos60 PQ S сеч a a a a a + Ответ: 8 8 Дано: F усеченная правильная пирамида, 8, 6 Через боковое ребро и середину противо- F положной стороны верхнего основания проведена плоскость, S сеч O N Найти: S бок F, F; проводим N, N N данное сечение и трапеция F равнобокая и середина F, N середина N и N F N апофема 6 9, N 8 ; O N O S ( N ) + N Спроецируем F на, получим F, у которого O 6, O, но O 8, ON 4 N N O F N S бок (6 + 8 ) 4 Ответ: 4 С-9 Дано: параллелепипед, ромб, F F и середины и соответственно Записать векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: ) сонаправлены с F ; ) противоположно направлены ; ) имеют длину, равную 60

58 ) F средняя линия F F это и ) Очевидно, это и, тк ) Очевидно,, и Дано: α β, α γ, β γ, γ α, β Будут ли коллинеарны и? γ α и β будут γ Ответ: да α β С-0 Дано: параллелепипед Найти: Ответ: Дано: треугольная призма, правильный, см, O середина Найти: O O + O O O O cos0 Ответ: см см 6

59 С- Дано: тетраэдр, медиана, середина Выразить: через, и ( + ) + ( + ) + ( + ) Ответ: Дано: параллелепипед, диагонали пересекаются в т O, ( O + + ) Найти: O + + O + O, O Ответ: С- Дано: тетраэдр, O т пересечения медиан, F, F F : F : Разложить OF по, и OF F O O + ( + ) 4 + ( ) ( + ) Ответ: + 4 Дано: параллелепипед Доказать: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (используя векторы) Доказательство: Пусть O середина, тогда O

60 Пусть O середина O O и O совпадают; для других аналогично С- Дано: тетраэдр,, 4 см, см, 90, 60,,, O точка пересечения медиан Найти: ) S бок ; ) S сеч плоскостью ; ) (, ); 4) (, ); 5) разложить O по, и ; O 6) (, ) ) (4 ) S бок tg60 cos см ) ( ) S() 4 4 см ) (, ) arctg 60 4) аналогично пункту (, ) 4 arctg 60 arctg 60 5) O + O + ( + ) + ( + ) ( + + ) 6) (, ) (, ) 90 Ответ: ) ( + 56 ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) arctg 60 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 6

61 С- O N ВАРИАНТ 5 Дано: трапеция,,, середина, O, () Найти: при каком условии,, O и лежат в одной плоскости O (), когда O, тк середина, то O середина Ответ: когда O середина Построить линию пересечения плоскостей ( ) и ( ) Построение:, N, N, N, N искомая прямая С- b F a F P Дано: a и b скрещивающиеся прямые Найти: взаимное положение прямых F и a, F и b Если прямые F и a, F и b параллельны или пересекаются, то прямые и лежат в одной плоскости Значит, прямые a и b лежат в одной плоскости противоречие Значит, F и a, F и b скрещиваются Ответ: они попарно скрещиваются Дано: тетраэдр,, F, P, середины,,, соответственно Доказать: P и F пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: средняя линия Значит,, 64

62 FP средняя линия Значит, FP, FP Значит, FP и FP Значит FP параллелограмм Его диагонали F и P пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд С- Дано: и не лежат в одной плоскости, середина, H середина, середина, (H) P Доказать: PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: H средняя линия Значит, H, H Значит, (H) пересекает () по прямой, параллельной Значит, P средняя линия P, P Значит, PH параллелограмм Его диагонали PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд Дано: параллелограмм, 0,, ) Построить линию пересечения OO плоскостей, проходящих через прямую и точку и прямую и точку ) Найти взаимное положение OO и ) (OO, )? ) Через т проведем прямую H, параллельную H H Через т проведем прямую F, параллельную F F, O, F H O OO линия пересечения плоскостей () и ( ) ) ( ), ( ) Значит, OO ) OO, (; OO ) (; ) Ответ: ) OO ; ) 60 P H O F O H 65

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

Р. К. Гордин. Это должен знать. каждый матшкольник

Р. К. Гордин. Это должен знать. каждый матшкольник Р. К. Гордин Это должен знать каждый матшкольник МЦНМО, 2003 УДК 514.112 ББК 22.151.0 Г89 Г89 Гордин Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. 2-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2003. 56 с. ISBN 5-94057-093-3

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Федеральное агентство по образованию Троицкий филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ПРЯМАЯ

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения Э. Г. Готман Стереометрические задачи и методы их решения Москва Издательство МЦНМО, 006 УДК 514.11 ББК.151.0 Г7 Г7 Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО, 006. 160 с.: ил.

Подробнее

1. Найдите больший угол равнобедренной. AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 4. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, cosa = 0,4. Найдите AB.

1. Найдите больший угол равнобедренной. AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 4. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 8, cosa = 0,4. Найдите AB. 1. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30 и 45 соответственно. 2. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8,

Подробнее

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 9 ВИРыжик ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ Окончание Начало см в 3 за 2008 г Задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми Ясно, что установление

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2013, стереометрия Интерактивный комплект 1. Виды углов 1.1. Угол между скрещивающимися прямыми Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры решения множества

Подробнее

Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола

Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола 1. ПАРАБОЛА Парабола эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат O координат имеет уравнение = p. (1) Указанная система координат называется

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 Задача 1 4 1 = 9 2 а) 1 18 б) 3 в) 3 7 7 г) 1 18 Задача 2 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 до десятых? 7 а) 1, 6 б) 1, 7 в) 1, 8 г) 1, 9 Задача 3 10

Подробнее

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Еще несколько прямых проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Теорема: Дан треугольник. 1 - точки касания сторон и с вписанной окружностью соответственно. 0 0 - середины сторон. Обозначим

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 00 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 00 года разработан по заданию Федеральной службы по

Подробнее

Лекция 4 Прямые и плоскости

Лекция 4 Прямые и плоскости Лекция 4 Прямые и плоскости 1 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Сначала получим разные виды уравнения прямой на плоскости в произвольной косоугольной системе координат e 1 e 2 11 Параметрическое уравнение прямой на

Подробнее

Задачи с тремя равными окружностями.

Задачи с тремя равными окружностями. Задачи с тремя равными окружностями. А.Карлюченко Г.Филипповский Как здорово сказано: «Окружность это душа геометрии!» (И.Ф.Шарыгин). А если речь идет о трех окружностях? Да еще равных? Ну, тогда душа

Подробнее

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение.

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение. 7 класс 7.1. Запишите несколько раз подряд число 013 так, чтобы получившееся число делилось на 9. Ответ объясните. Ответ: например, 013013013. Решение. Приведем несколько способов обоснования. Первый способ.

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 С6.

Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 С6. Решения и критерии оценивания выполнения заданий С С6. Вариант С. Дано уравнение os + sin=. а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку ;. os sin + = os sin

Подробнее

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» Программа и правила проведения вступительного испытания по «Математике»

Подробнее

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201 Математика класс Вариант МА Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 4 ноября 3 года класс Вариант МА Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут (35

Подробнее

Домашняя работа по геометрии за 11 класс

Домашняя работа по геометрии за 11 класс АА Кадеев Домашняя работа по геометрии за класс к учебнику «Геометрия 0- класс: Учеб для общеобразоват учреждений / ЛС Атанасян и др -е изд М: Просвещение, 00 г» Глава V Метод координат в пространстве

Подробнее

3. Окружность задана уравнением (x + 2) 2 + y 2 = 81. Напишите уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

3. Окружность задана уравнением (x + 2) 2 + y 2 = 81. Напишите уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат. В А Р И А Н Т 1 1. Найдите координаты и длину вектора a, если a = b + 1 3 c, b{2, 1}, c{6, 3}. 2. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1; 4), B(2; 0), C(5; 5). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный,

Подробнее

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А по геометрии для 10 класса

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А по геометрии для 10 класса АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 100 с углубленным изучением отдельных предметов Утверждаю Директор школы 100

Подробнее

Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С2».

Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С2». Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С» Богатова Елена Юрьевна, Пичина Ольга Викторовна, учителя математики высшей квалификационной категории ГБОУ гимназии

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов

Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую

Подробнее

КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Теорема. Для любых двух положительных чисел a и b имеют место неравенства

КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Теорема. Для любых двух положительных чисел a и b имеют место неравенства КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ Определение Средним арифметическим двух чисел a и называется число Определение Средним геометрическим двух неотрицательных чисел a и называется число Определение 3 Средним квадратичным

Подробнее

Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха

Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха 219 Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха Ф. Ивлев В этой заметке содержится, в частности, решение задачи 14.8 из задачника «Математического просвещения» 1) Всем известно, что в любом треугольнике

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (5 - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 5 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО (ОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 8-0 КЛАССОВ 0-04 УЧЕБНОГО ГОДА. ВАРИАНТ (8 класс). Найдите три числа, если первое составляет

Подробнее

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2015 году основного государственного

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2015 году основного государственного ПРОЕКТ Государственная итоговая аттестация по образовательным программам основного общего образования в форме основного государственного экзамена (ОГЭ) Математика. 9 класс Демонстрационный вариант 05 г.

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Способ перемены плоскостей проекции

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Способ перемены плоскостей проекции 1 СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие сведения 2. Примеры решения задач 3. Контрольные вопросы 4. Приложения 4.1. Задания на эпюр 4.2. Данные к заданию 4.3. Образец оформления на листе 2 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Основными способами

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Допуск Выполнение Отчет

Допуск Выполнение Отчет Л. Р. «Разветвляющиеся вычислительные процессы» Студент Иванов И. И. Группа ХХ-999 Дата дд.мм.гг Допуск Выполнение Отчет Условие задачи 1 Ввести число x, выяснить что больше: целая часть числа x, или его

Подробнее

Г л а в а 6 Плоское движение тела

Г л а в а 6 Плоское движение тела Плоское движение тела 53 Аналогичные соотношения имеем из контакта колес 3 и 4, 4 и 5: ω 3 r 3 = ω 4 r 4, ω 4 R 4 = ω 5 R 5. (5.8) Кроме того, имеем уравнение, выражающее расстояние между крайними осями

Подробнее

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Каждая задача оценивается из 7 баллов. Далее, по степени решённости

Подробнее

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209),

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209), 7 КЛАСС 1. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение HOK(x, y) = HOK(201, 209), где HOK - наименьшее общее кратное двух чисел? Ответ: 81. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6,

Подробнее

a = p 1p 2, b = p 1p 3

a = p 1p 2, b = p 1p 3 9.1. Известно, что ни одно из чисел a, b, c не является целым. Может ли случиться так, что каждое из чисел ab, bc, ca, abc целое? Ответ. Может. Решение. Например, выберем три различных простых числа p

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ И.о.директора ГБОУ «МССУОР 4 им. А.Я. Гомельского» Москомспорта М.Н.Телепин. 2013 г. Рабочая программа. по (предмету) Геометрия Класс 10

УТВЕРЖДАЮ И.о.директора ГБОУ «МССУОР 4 им. А.Я. Гомельского» Москомспорта М.Н.Телепин. 2013 г. Рабочая программа. по (предмету) Геометрия Класс 10 Государственное бюджетное образовательное учреждение «Московское среднее специальное училище олимпийского резерва 4 им. А.Я. Гомельского (техникум)» Департамента физической культуры и спорта города Москвы

Подробнее

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 1 по МАТЕМАТИКЕ Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (24 мин) Работа состоит из двух

Подробнее

Рабочая программа по «Геометрии», 11 класс (базовый уровень)

Рабочая программа по «Геометрии», 11 класс (базовый уровень) ЛИЦЕЙ Международного университета в Москве «СОГЛАСОВАНО» Председатель МО Янишевская Протокол от «СОГЛАСОВАНО» «УТВЕРЖДАЮ» Заместитель директора по УВР Директор Лицея Сумнина Е.В. О.Л. Полунина О.В. Протокол

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ 4 г. МАТЕМАТИКА, класс (4 - / 8) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 4 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по

Подробнее

ϕ =, если положить потенциал на

ϕ =, если положить потенциал на . ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке A, находящейся на, если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ( ). Потенциал, создаваемый в

Подробнее

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год Задачи 1 тура, 5 класс все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры? 2. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами

Подробнее

СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГИМНАЗИЯ 1 г. ВИТЕБСКА Научно-исследовательская работа по математике на тему СРАВНЕНИЕ РАССТОЯНИЙ Выполнил: ученик 9

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ

СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ Начнем с эксперимента. Бросим на поверхность воды замкнутый проволочный контур. От него начнут разбегаться волны одна внутрь, другая наружу. Положение волны в момент времени

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (05 - / 7) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 05 года по МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

Золотое сечение в античной математике

Золотое сечение в античной математике Золотое сечение в античной математике А. И. ЩЕТНИКОВ 1. Постановка проблемы. Не будет преувеличением сказать, что без обсуждения вопроса о золотом сечении не обходится ни одна публикация, посвящённая взаимоотношениям

Подробнее

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нкл и q = 2 нкл находятся на расстоянии d = 10 см друг от Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика» «Электроемкость Конденсаторы» Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений способствуют закреплению

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Инженерная графика строительного профиля»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Инженерная графика строительного профиля» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Инженерная графика строительного профиля» РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Рекомендовано

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. А) Б) В) 6. Представьте выражение

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. А) Б) В) 6. Представьте выражение МАТЕМАТИКА, 9 класс Вариант 1, Апрель 014 Краевая диагностическая pабота по МАТЕМАТИКЕ ВАРИАНТ 1 ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ Работа состоит из 0 заданий На выполнение всей работы отводится 90 минут

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

HOW ONE CAN CRUSH A MILK CARTON IN SUCH A WAY AS TO ENLARGE ITS VOLUME

HOW ONE CAN CRUSH A MILK CARTON IN SUCH A WAY AS TO ENLARGE ITS VOLUME КАК СМЯТЬ ПАКЕТ ОТ МОЛОКА, ЧТОБЫ В НЕГО ВОШЛО БОЛЬШЕ В А АЛЕКСАНДРОВ Новосибирский государственный университет Александров ВА, 000 HOW ONE CAN CRUSH A MILK CARTON IN SUCH A WAY AS TO ENLARGE ITS VOLUME

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

ПЕРЕКАТЫВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

ПЕРЕКАТЫВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЕРЕКАТЫВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ АННОТАЦИЯ ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ МАТЕМАТИКОВ, в которой очень коротко формулируется то, что очень длинно излагается в книге Исследуется бесконечно продолженная связная целогранная

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки

Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Методическое письмо о проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2

ϕ(r) = Q a + Q 2a a 2 1 Урок 14 Энергия поля, Давление. Силы 1. (Задача.47 Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник ЕГЭ-15

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник ЕГЭ-15 И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Задачник ЕГЭ-15 Здесь приведены задачи 15 в прошлом С1, которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических, контрольных и тренировочных работах

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Вычислить (с точностью до трех знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Вычислить (с точностью до трех знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Вариант Вычислить с точностью до трех знаков после ) + ; ) y ln( y ) dy ; + + ) ; + ) ; 6) + / cos ) ) ; / sin Вычислить (с точностью до трех знаков после ) площадь фигуры, ограниченной ) ρ = cos ϕ ) =

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

б ). Как меньшая, пирамида Микерина

б ). Как меньшая, пирамида Микерина Ансамбль пирамид в Гизе. Ансамбль пирамид в Гизе, относящийся ко времени IV династии, скомпонован в единую группу. Все пирамиды довольно точно расположены по странам света почти параллельно одна другой.

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 20 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная функция на конечной группе G, φ : G GL (V ) неприводимое

Подробнее

Выдержки из книги Горбатого И.Н. «Механика» 3.2. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. r r N =

Выдержки из книги Горбатого И.Н. «Механика» 3.2. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. r r N = Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Работа Мощность Кинетическая энергия Рассмотрим частицу которая под действием постоянной силы F r совершает перемещение l r Работой силы F r на перемещении l

Подробнее

Часть 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Часть 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины прямого угла. Часть 1 Ответом на задания B1 B8 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно. B4 Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника,

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

РЕАЛИЗАЦИЯ ФГОС В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ СТАНДАРТА «ПЕДАГОГ»

РЕАЛИЗАЦИЯ ФГОС В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ СТАНДАРТА «ПЕДАГОГ» РЕАЛИЗАЦИЯ ФГОС В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙ СТАНДАРТА «ПЕДАГОГ» Доктор педагогических наук, профессор кафедры математических дисциплин ГБОУ ВПО «АСОУ» ДПО, профессор

Подробнее

МОЖНО ЛИ ПОСТРОИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК ПО ОСНОВАНИЯМ БИССЕКТРИС?

МОЖНО ЛИ ПОСТРОИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК ПО ОСНОВАНИЯМ БИССЕКТРИС? МОЖНО ЛИ ПОСТРОИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК ПО ОСНОВАНИЯМ БИССЕКТРИС? А. В. Устинов 1. Список Верника В работе «Лёгкое решение очень трудной геометрической задачи» (см. [4], а также изложение на английском языке [7])

Подробнее

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента.

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента. Понятие о геометрических характеристиках однородных поперечных сечений Центр тяжести; статические моменты; моменты инерции осевые, центробежный, полярный; моменты сопротивления; радиусы инерции Главные

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика» Определенный интеграл и его приложения Комплект 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Определенный интеграл и его приложения Комплект ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Определенный интеграл и его приложения Комплект Вариант Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из ямы,

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Л Е МОРОЗОВА, В Б СМИРНОВА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Принцип Гюйгенса

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Принцип Гюйгенса И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Принцип Гюйгенса В кодификаторе ЕГЭ принцип Гюйгенса отсутствует. Тем не менее, мы посвящаем ему отдельный листок. Дело в том, что этот основополагающий постулат

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатновекторным

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатновекторным МОУ «СОШ 34 с углубленным изучением художественно-эстетических предметов» Серия «Школьник - школьнику» Методические рекомендации В.В. Леваков Решение заданий С ЕГЭ по математике координатновекторным методом

Подробнее

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами.

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами. Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике 014-15 г.г. Второй этап 15 декабря 014 г. - 5 января 015 г. 7 класс 7.1. В булочной есть пирожки с двумя начинками (яблочной и вишнѐвой) и двух

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ БИЛЕТ 2. Высшая математика. ; в) dx. dx x dx. УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой профессор А-В. А. БИЛЕТ Факультет Нефтетехнологический специальность МАПП семестр IV Понятие неопределенного интеграла и его основные свойства Найти неопределенный интеграл: + а) d ; sin б) + cos d ; в) 5 arcsin d Вычислить

Подробнее

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики

КРСУ Давидюк Т.А., Гончарова И.В. Кафедра высшей математики КРСУ Давидюк ТА Гончарова ИВ Кафедра высшей математики КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ УДК 7 Д Рецензенты: д-р физ-мат наук проф ТМ Иманалиев ст преподаватель НМ Комарцов

Подробнее

7 класс 1. Ответ. Решение. Критерий. Решение. Критерий. ЦИРКУЛЬ ЧАСТНОЕ ЧАСТЬ КРЕСТ Ответ. Решение. Критерий. Ответ. Решение.

7 класс 1. Ответ. Решение. Критерий. Решение.   Критерий. ЦИРКУЛЬ ЧАСТНОЕ ЧАСТЬ КРЕСТ Ответ. Решение. Критерий. Ответ. Решение. 7 класс 1. Компьютерный салон объявил о продаже гаджетов нового поколения. За несколько часов до открытия выстроилась очередь. Из каждого поезда метро между любыми двумя уже стоящими соседями влезало в

Подробнее