ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений"

Транскрипт

1 С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017

2

3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017

4 Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол 9 от г.) УДК (076.5) ББК я73 Кубышкина С. Н. Д50 Дифференциальные уравнения для технических направлений практикум: 2-е изд. доп. и перераб. / С. Н. Кубышкина, Е. Ю. Арланова Самара: Самар. гос. техн. ун-т., с. Приведены краткие сведения и формулы по разделу «Дифференциальные уравнения», а также большое количество примеров. Представлены задачи для самостоятельного решения. Для самоконтроля все примеры приведены с ответами. Практикум предназначен для студентовбакалавров первого курса, изучающих математику один год. УДК (076.5) ББК я73 Составители: канд. физ.-мат. наук Кубышкина С. Н., канд. физ.-мат. наук Арланова Е. Ю. Рецензент: кан. физ. мат. наук. Небогина Е. В. С. Н. Кубышкина, Е. Ю. Арланова, составление, 2017 Самарский государственный технический университет, 2017

5 Введение Предлагаемый практикум посвящен методам решения задач из курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель пособия помочь студентам-бакалаврам в формировании их математического мышления, в выработке практических навыков решения и исследования дифференциальных уравнений, описывающих процессы в различных областях естествознания. Это необходимо для понимания теории и практики таких разделов инженерного образования, как сопротивление материалов, физика, теоретическая механика, гидравлика, математическое моделирование в естествознании и др. Каждый раздел соответствует одному практическому занятию по математике, в нем приводятся основные теоретические сведения, необходимые формулы и методы решения типовых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено подбору большого числа задач для самостоятельной работы. Задачи расположены по мере возрастания их сложности. Ко всем задачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный тест для проверки знаний студентов по данному курсу. 3

6 1. Основные понятия Уравнение вида ( F x, y, y,..., y (n)) ( = 0 или y (n) = f x, y, y,..., y (n 1)), где y = y(x) искомая функция, а y (x), y (x),..., y (n) (x) ее производные, называется дифференциальным уравнением n- го порядка. Любая функция y = ϕ(x), обращающая данное уравнение в тождество, называется его решением, а график функции интегральной кривой. Функция y = ϕ (x, C 1, C 2,..., C n ) называется общим решением уравнения n-го порядка, если: 1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C 1, C 2,..., C n ; 2) каковы бы ни были начальные условия y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0, можно определить такие значения постоянных C1 0, C0 2,..., C0 n, что функция y = ϕ ( x, C1, 0 C2, 0..., Cn 0 ) удовлетворяет этим начальным условиям, т.е. будет частным решением уравнения. Равенство Φ (x, C 1, C 2,..., C n ) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом, а равенство Φ ( x, C1 0, C0 2,..., n) C0 = 0 частным интегралом уравнения n- го порядка. Задача отыскания частного решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши для этого уравнения. Иногда частное решение определяется по так называемым краевым условиям. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого отрезка. Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого. Для дифференциального уравнения первого порядка F (x, y, y ) = 0 (или y = f(x, y)) общее и частное решения имеют вид y = ϕ(x, C) и y = ϕ(x, C 0 ) соответственно. 4

7 2. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида или y = f(x)g(y) (1) M(x)N(y) dx + P (x)q(y) dy = 0. (2) Разделив (2) на P (x)n(y) 0, придем к уравнению M(x) P (x) Q(y) dx + dy = 0, N(y) которое почленно интегрируется. В результате получим общий интеграл уравнения (2) в виде M(x) Q(y) P (x) dx + dy = C. N(y) Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить уравнение: 3y dx x 2 dy = 0. Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Делим его на x 2 y, полагая x 2 y 0. Получаем 3 dx x 2 dy y = 0; Интегрируем обе части уравнения: dy y = 3dx x 2. dy 3 dx y = x 2 ; ln y = 3 + ln C ; (3) x (для дальнейших преобразований удобнее произвольную постоянную обозначить через ln C, т. к. ln C при C 0 может принимать любое значение от до + ). Пропотенцируем обе части равенства (3): e ln y = e 3 x +ln C ; e ln y = e 3 x e ln C. 5

8 Пользуясь основным логарифмическим тождеством x = e ln x имеем y = e 3 x C или y = Ce 3 x общее решение исходного уравнения. При делении на x 2 y могли быть потеряны корни x = 0 и y = 0. Если y = 0, то и dy = 0, поэтому y = 0 решение исходного уравнения, но оно получается из общего решения при C = 0, т. е. является частным решением. Если же x = 0, то и dx = 0, т. е. x = 0 также решение данного уравнения. Но оно не может быть получено из общего решения ни при каком конкретном значении постоянной C. При делении на x 2 y оно было потеряно. Итак, решениями уравнения будут y = Ce 3 x, где C произвольная постоянная, и x = 0. Пример 2. Решить уравнение: Решение. Приведем уравнение к виду M(x)N(y) dx + P (x)q(y) dy = 0: x 2 y 2 y + 1 = y. (4) x 2 y 2 dy dx = y 1; x2 y 2 dy = (y 1) dx. Делим обе части уравнения на x 2 (y 1): y 2 dx dy = y 1 x 2. Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: y 2 1 y 1 dy + y 2 dx y 1 dy = x 2 ; dy dx y 1 = x 2 ; y dy = y 1 (y + 1) dy + y y + ln y 1 = 1 x + C 6 dx x 2 ; dy dx y 1 = x 2 ;

9 При делении на x 2 (y 1) могли быть потеряны решения x = 0 и y 1 = 0, т. е. y = 1. Очевидно, y = 1 решение уравнения (4), а x = 0 нет. Таким образом, решениями уравнения будут y2 +y+ln y 1 = 2 = 1 x + C и y = 1. Пример 3. Решить уравнение: x(y + 1) dx ( x ) dy = 0. Решение. Разделим уравнение на произведение ( x ) (y + 1) 0, получим x dx x y dy y + 1 = 0; y dy y + 1 = x dx x Интегрируем обе части уравнения: y dy x dx y y + 1 = x ; dy = 1 dx 2 y x ; y + 1 y + 1 dy 1 y + 1 dy = 1 d(x 2 + 1) 2 x ; y ln y + 1 = 1 2 ln ( x ) + ln C. После потенциирования получим: e y ln y+1 = e ln x 2 +1+ln C ; e y e ln y+1 1 = e ln x 2 +1 e ln C ; e y y + 1 = C x общий интеграл. При делении на ( x ) (y + 1) могли быть потеряны корни. Выражение x , поэтому y + 1 = 0 или y = 1. Подставляя y = 1 и dy = 0 в исходное уравнение, убеждаемся, что это его решение. Оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении постоянной C. Итак, решениями уравнения будут 7 e y y + 1 = C x и y = 1.

10 Пример 4. Решить уравнение: dy dx = xy2 + 2xy. Решение. Перепишем данное уравнение в виде dy = xy(y + 2). dx dy Разделим переменные y(y + 2) = x dx. Проинтегрируем dy y(y + 2) = x dx, ( y 1 ) dy = x dx, y x2 (ln y ln y + 2 ) = + ln C. 2 2 Умножим обе части на 2 и к левой части применим свойство логарифмов ln a = ln a ln b : b ln y y + 2 = x2 + 2 ln C. Переобозначим 2 ln C = ln C 1 : ln потенцирования имеем y y + 2 y y + 2 = ex2 C 1. = x 2 + ln C 1. После При делении на y(y+2) могли быть потеряны корни y = 0 и y = 2. Очевидно, они являются решениями исходного уравнения. y = 0 содержится в полученном решении (если C 1 = 0). Таким образом, решениями уравнения будут y y + 2 = ex2 C 1 и y = 2. Пример 5. Найти решение уравнения y = y x, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 2. Решение. Запишем уравнение в виде dy dx = y, разделим переменные dy dy x y = dx x. Интегрируя y = dx, получим ln y = x 8

11 = ln x + ln C. После потенцирования получим общее решение y = C. При делении на y мы могли потерять решение y = 0, но x оно содержится в общем решении при C = 0. Используя заданное = 2 C = 2, и, следова- начальное условие, получим y(1) = C 1 тельно, частное решение есть y = 2 x. Пример 6. Найти решение уравнения e x dx (1 + e x ) y dy = 0, удовлетворяющее условию y(0) = 1. Решение. Перепишем данное уравнение в виде y dy = ex dx 1 + e x. e x dx y2 Интегрируя y dy =, находим 1 + ex 2 = ln (1 + ex ) + ln C; y 2 ( 2 = ln (C (1 + ex )); y 2 = 2 ln (C (1 + e x )); y 2 = ln C 2 (1 + e x ) 2) ; ( y = ln C 1 (1 + e x ) 2), где C 1 = C 2. Используя заданное условие, получим ( y(0) = ln C 1 (1 + e 0 ) 2) = 1 C 1 = e 4, ( e и, следовательно, частное решение имеет вид y = ln 4 (1+ex ) 2). ( e Преобразуем его: ln 4 (1 + ex ) 2) ( e = ln + ln (1 + e 4) x ) 2 = = ln e ln 4 + ln (1 + e x ) 2 = 1 + ln (1+ex ) 2 = ln ( ) 1+e x 2 2 2, отсюда ( ) 1 + e x y = ln. 2 9

12 2.1. Задания для самостоятельного решения по теме «Уравнения с разделяющимися переменными» В задачах 1 20 решить уравнения. Найти также решение, удовлетворяющее начальным условиям (в тех задачах, где они указаны). 1. xy dx + (x + 1) dy = 0. Ответ: y = C(x + 1)e x ; x = y dx = xy dy. Ответ: ln x = C + y 2 + 1; x = ( x 2 1 ) y + 2xy 2 = 0; y(0) = 1. Ответ: y ( ln x C ) = 1; y = 0; y ( ln x ) = y ctg x + y = 2; y(0) = 1. Ответ: y = 2 + C cos x; y = 2 3 cos x. 5. y = 3 3 y 2 ; y(2) = 0. Ответ: y = (x + C) 3 ; y = 0; y = (x 2) 3 ; y = xy + y = y 2 ; y(1) = 0, 5. Ответ: y(1 Cx) = 1; y = 0; y(1 + x) = x 2 yy + y 2 = 2. Ответ: y 2 2 = Ce 1 x. 8. y xy ( 2 = 2xy. ) Ответ: Ce x2 1 y = 2; y = y = 10 x+y. Ответ: y = lg (C 10 x ). 10. y dy dt + t = 1. Ответ: y 2 + t 2 2t = C. 10

13 11. y = 2x 1 + x 2. Ответ: y = ln ( 1 + x 2) + C. 12. y = y ln y. Ответ: ln y = Ce x. 13. y tg x = y. Ответ: y = C sin x. 14. xyy = 1 x 2. Ответ: x 2 + y 2 = ln Cx xy y = y 3. Cy Ответ: x =. 1 + y y xy = 1 + x 2 y. Ответ: y = 1 + Cx 1 + x xy + y 2 = 1. Ответ: 1 + y 1 y = xc. 18. xy + y = y 2. Ответ: Cx = y 1. y 19. (xy 2 + x) dx + (y x 2 y) dy = 0. Ответ: 1 + y 2 = C(1 x 2 ). 20. tg x sin 2 y dx + cos 2 x ctg y dy = 0. Ответ: ctg 2 y = tg 2 x + C. ( π ) 21. y sin x = y ln y; y = e. 2 Ответ: y = e tg x 2. 11

14 22. sin y cos x dy = cos y sin x dx; y(0) = π 4. Ответ: cos x = 2 cos y. 3. Однородные уравнения Функция F (x, y) называется однородной степени k, если для всех λ > 0 выполняется равенство F (λx, λy) = λ k F (x, y). Примером однородной функции может служить любая форма (однородный многочлен) степени k. Функции x y x + y, x 2 + xy x y, x2 + y 2 xy, x k 1 y + y k являются однородными соответственно степени 0, 1, 2, k. Дифференциальное уравнение dy = f(x, y) называется однородным, если f(x, y) однородная функция степени нуль. dx Уравнение M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 является однородным, если M(x, y) и N(x, y) однородные функции одной и той же степени. Замена y = zx приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить уравнение: y = e y y x + x. Решение. Здесь функция f(x, y) = e y x + y x однородная нулевой степени, так как f(λx, λy) = e λx λy + λx λy = e y x + y x = λ0 f(x, y). Полагаем y = zx, тогда y = z x + z. Подставим в уравнение замену, получим уравнение с разделяющимися переменными: z x + z = e zx x + zx x ; z x + z = e z + z; z x = e z ; dz dx x = ez. 12

15 Разделяя переменные и интегрируя, имеем dz e z = dx x ; dz dx e z = x ; dx e z dz = x ; e z = ln x + ln C; e z = ln x C; e z = ln x C. Логарифмируя левую и правую часть, получим ( ln e z = ln ln 1 ) ( ; z = ln ln C ) 1, где C 1 = 1 C ; y x = ln x C ( ln C 1 x x ) ; y = x ln ( ln C 1 x Пример 2. Решить уравнение: y = y2 x 2 2xy. Решение. Это однородное уравнение, т. к. f(x, y) = y2 x 2 2xy однородная функция нулевой степени, т. е. f(λx, λy) = λ2 y 2 λ 2 x 2 2λxλy Полагая y = zx, y = z x + z, получим: = λ2 ( y 2 x 2) 2λ 2 xy z x + z = z2 x 2 x 2 2xzx ; z x + z = x2 ). = λ 0 f(x, y). ( z 2 1 ) 2x 2 z z x + z = z2 1 ; z x = z2 1 z = z2 1 2z 2 2z 2z 2z dz + z2 x = 1. dx 2z ; = 1 + z2 ; 2z Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем: 2z dz 2z dz dx 1 + z 2 = dx x ; 1 + z 2 = x ; 13

16 ( 1 2 d z ) dx z 2 = x ; ln 1 + z 2 = ln x + ln C; 1 + z 2 = C x. Согласно замене z = y x, получим 1 + y2 x 2 = C x ; x2 + y 2 = Cx. Пример 3. Решить уравнение: dy dx = xy + y2 e x y x 2. Решение. Здесь функция f(x, y) = xy + y2 e x 2 нулевой степени, т. к. f(λx, λy) = λxλy + (λy)2 e λx λy λx 2 Положив y = zx, получим x dz dx + z = z + z2 e 1 z ; x y = λ 0 f(x, y). x dz dx = z2 e 1 z. однородная Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем e 1 z z 2 dz = dx x ; e 1 1 dx z d z = x ; e 1 z = ln x + C; e 1 z + ln x = C; e x y + ln x = C. Пример 4. Решить уравнение: ( x 2 + y 2) dx 2xy dy = 0. Решение. Запишем данное уравнение в виде dy dx = x2 + y 2 2xy. Здесь функция f(x, y) = x2 + y 2 однородная нулевой степени, 2xy т. к. f(λx, λy) = λ2 x 2 + λ 2 y 2 = λ 0 f(x, y). 2λxλy 14

17 Введем замену y = zx, y = z x + z: z x + z = x2 + z 2 x 2 2xzx = 1 + z2 ; 2z z x = 1 + z2 z = 1 + z2 2z 2 = 1 z2. 2z 2z 2z Получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем dz dx x = 1 z2 ; 2z 2z dz 1 z 2 = dx d(1 z 2 x ; ) dx 1 z 2 = x ; ln 1 z 2 = ln x + ln C; ln x + ln 1 z 2 = ln C; ln ( x ( 1 z 2)) = ln C; x ( 1 z 2) = C. Но z = y, поэтому получаем x ( ( ) y 2 x 1 = C; x) x ( x 2 y 2) x 2 = C; x 2 y 2 = Cx; x 2 y 2 Cx = 0 общий интеграл данного уравнения Задания для самостоятельного решения по теме «Однородные уравнения» В задачах 1 15 решить данные уравнения. 1. (x + 2y) dx x dy = 0. Ответ: x + y = Cx 2 ; x = (x y) dx + (x + y) dy = 0. Ответ: ln ( x 2 + y 2) = C 2 arctg ( y x). 15

18 3. ( y 2 2xy ) dx + x 2 dy = 0. Ответ: x(y x) = Cy; y = x 3 y = y ( 2x 2 y 2). Ответ: x = ±y ln Cx ; y = y 2 + x 2 y = xyy. Ответ: y = Ce y x. 6. ( x 2 + y 2) y = 2xy. Ответ: y 2 x 2 = Cy; y = xy y = x tg y x. Ответ: sin y x = Cx. 8. xy = y xe y x. Ответ: y = x ln (ln Cx ). 9. xy y = (x + y) ln x + y x. Ответ: ln x + y x = Cx. 10. y = y x 1. Ответ: y = x ln C x. 11. y = x + y x. Ответ: y = C x x (x y)y dx x 2 dy = 0. Ответ: x = Ce x y. 16

19 13. y dx + (2 xy x) dy = 0. x Ответ: + ln y = C. y 14. y = y2 x 2 2. Ответ: y 2x = Cx 3 (y + x). 15. y = x y + y x. Ответ: y = ±x 2 ln Cx. 16. x 2 y = y(x + y). Ответ: x + ln x = C. y 17. (4y 2 + x 2 )y = xy. Ответ: ln y = x2 8y 2 + C. 18. xy = x 2 + y 2 + y. Ответ: y + x 2 + y 2 = Cx (xy y) arctg y = x; y(1) = 0. x Ответ: e y x arctg y x = x 2 + y y x = y x + x; y(0) = 1. Ответ: ( x y x) 2 = Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Уравнение вида y + p(x)y = q(x), где p(x), q(x) функции, непрерывные на [a, b], называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение ищут в виде 17

20 y(x) = u(x) v(x), где u(x), v(x) две неизвестные функции. После подстановки в уравнение выражений для y и y получаем v du ( ) dv dx + dx + p(x)v u = q(x). В качестве v(x) выбирают одну из функций, dv удовлетворяющих уравнению + p(x)v = 0, dx тогда функция u(x) определяется из уравнения v du dx = q(x). Уравнение вида y + p(x)y = q(x)y α, где α R (α 0, α 1), называется уравнением Бернулли. Путем подстановки z = y 1 α оно сводится к линейному. Его можно решать и непосредственно, применяя подстановку y(x) = u(x) v(x). Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить уравнение: x dy dx 2y = 2x4. Решение. Это линейное уравнение. Ищем решение этого уравнения в виде произведения двух функций: y(x) = u(x)v(x), y = = u v + v u. Имеем x ( u v + v u ) 2uv = 2x 4 ; xu v + u ( xv 2v ) = 2x 4. Выберем функцию v так, чтобы xv 2v = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными, решим его, разделяя переменные и интегрируя. x dv dx = 2v; dv 2 dx v = x ; ln v = 2 ln x; v = x 2. Функцию u(x) находим из уравнения x 3 u = 2x 4 ; xu v = 2x 4 ; xu x 2 = 2x 4 ; du dx = 2x; u(x) = x2 + C. 18

21 Следовательно, все решения исходного уравнения определяются формулой y = Cx 2 + x 4. Пример 2. Решить уравнение: y 2xy = 3x. Решение. Это линейное уравнение. Берем замену y(x) = = u(x)v(x), y = u v + v u. Подставляя выражения для y и y в данное уравнение, получаем u v + v u 2xuv = 3x; u v + u ( v 2xv ) = 3x. Функцию v выбираем так, чтобы v 2xv = 0. Решим это уравнение, разделяя переменные dv dx = 2xv; Для нахождения u(x) имеем уравнение dv v = 2x dx; ln v = x 2 ; v = e x2. u v = 3x; u e x2 = 3x; u = 3xe x2 ; du = 3xe x2 dx; du = 3 e x2 d( x 2 ); u = e x2 + C. Следовательно, все решения уравнения определяются формулой y = e ( 3 ) x2 2 e x2 + C = Cex2. Пример 3. Решить уравнение: y + y cos x = e sin x. Решение. Ищем решение в виде y(x) = u(x)v(x), y = u v + v u. Имеем u v + v u + uv cos x = e sin x ; u v + u ( v + v cos x ) = e sin x. 19

22 Выберем функцию v так, чтобы v + v cos x = 0. Решаем это уравнение, разделяя переменные dv dv = v cos x; dx v = cos x dx; ln v = sin x; v = e sin x. Функцию u(x) находим из уравнения u v = e sin x ; u e sin x = e sin x ; u du = 1; dx = 1; du = dx; u = x + C. Таким образом, решение исходного уравнения определяется формулой y = (x + C)e sin x. Пример 4. Решить уравнение: y + y = x y 1 2. Решение. Это уравнение Бернулли. Согласно подстановке z = = y 1 α, при α = 1 2, будем иметь z = y 1 2. Тогда z = y 2 y. После замены исходное уравнение примет вид z 2z + z 2 = xz; z + z2 2z = xz 2z ; z z = 1 2 x. Это уже уравнение, линейное относительно z и z. Как обычно, z = uv, z = u v + v u. После подстановки получаем u v + v u uv = 1 2 x; u v + u (v + 12 ) v = 1 2 x. Выберем функцию v(x) так, чтобы v + 1 v = 0. Это уравнение с 2 разделяющимися переменными, решая его, получим: dv dx = 1 2 v; dv v = dx;

23 ln v = 1 2 x; v = e 1 2 x. Функцию u(x) найдем из уравнения u v = 1 2 x; Решим отдельно xe x 2 dx = [ du dx e x 1 2 = 2 x; du = 1 xe x 2 dx. 2 u dv = uv v du (формула интегрирования по частям) [ ] u = x; du = dx; = v = e x 2 dx = 2e x = 2xe x2 2 2 Тогда u(x) = 1 2 ] = e x 2 dx = 2xe x 2 4e x 2 + C. (2xe x 2 4e x 2 + C ) = xe x 2 2e x 2 + C. Возвращаясь к переменной y = z 2 = (uv) 2, будем иметь y = общее решение. ) ) ((xe x x 2 2e 2 + C e x 2 ( ) 2 = x 2 + Ce x 2 2 Пример 5. Решить уравнение: xy + y = y 2 ln x. Решение. Это уравнение Бернулли. Будем решать его с помощью подстановки y(x) = u(x)v(x). Тогда y = u v + v u. Подставим выражения для y и y в заданное уравнение, получаем xu v + u ( xv + v ) = u 2 v 2 ln x. Выберем функцию v(x) так, чтобы xv + v = 0, откуда x dv dv dx dx = v; v = x ; ln v = ln x; v = 1 x. Для функции u(x) получаем уравнение xu 1 x = 1 u2 ln x; x2 u = u2 ln x x 2 ; 21 du dx = u2 ln x du ln x x 2 ; u 2 = x 2 dx.

24 Решим отдельно u = ln x ln x x 2 dx = du = dx x v = = dx = 1 x 2 x = ln x 1 x + dx x x = ln x x 1 ln x 1 + C +C = x x После интегрирования, получим Окончательно имеем 1 u = ln x C ; u = x x ln x C. x y = ln x C 1 ; y(ln x C) = 1 x общий интеграл данного уравнения. = ln x C. x Пример 6. Решить уравнение: y + 2y = e x y 2. Решение. Это уравнение Бернулли. Замена: z = y 1 2 = y 1 = = 1 y ; y = 1 z, z = y y 2, y = z y 2. Получим уравнение z 1 z z = ex z 2. Умножим левую и правую части на ( z 2 ): z 2z = e x. Указанная замена привела исходное уравнение к линейному. Будем решать его с помощью подстановки z = u(x)v(x). u v + v u 2uv = e x ; u v + u(v 2v) = e x. Функцию v выберем так, чтобы dv v 2v = 0; v = 2 dx; ln v = 2x; v = e 2x. 22

25 Функцию u найдем из уравнения u e 2x = e x ; u = e x ; du = e x dx; u = ( e x + C ). Учитывая замену, окончательно имеем или z = ( e x + C ) e 2x = e x + Ce 2x ; y = y ( e x + Ce 2x) = 1 общий интеграл данного уравнения. 1 e x + Ce 2x 4.1. Задания для самостоятельного решения по теме «Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли» В задачах 1 20 решить данные уравнения. 1. y + y tg x = 1 cos x. Ответ: y = sin x + C cos x. 2. xy xy = e x. Ответ: y = e x (ln x + C), x = x 2 y + xy + 1 = 0. Ответ: xy = C ln x. 4. y = x ( y x cos x ). Ответ: y = x (C + sin x). 5. y 2xy = 2x 3. Ответ: y = Ce x2 x y 2y x ln x = 1 x. Ответ: y = C ln 2 x ln x. 23

26 7. y 2 x y = ex x 2. Ответ: y = (e x + C) x y y tg x = 1 cos x. Ответ: y = x + C cos x. 9. y + 2y = 4x. Ответ: y = Ce 2x + 2x y + 1 2x x 2 y = 1. Ответ: y = Cx 2 e 1 x + x y + 2xy = xe ( x2. ) Ответ: y = e x2 C + x y + y = cos x. Ответ: y = Ce x + 1 (cos x + sin x) ( 1 + x 2) y 2xy = ( 1 + x 2) 2. Ответ: y = (x + C) ( 1 + x 2). 14. y y x = x. Ответ: y = Cx + x y + 2y x = x3. Ответ: y = x4 6 + C x y + y x = xy2. Ответ: y ( x 2 + Cx ) = 1. 24

27 17. y + 2xy = 2x 3 y 3. 1 Ответ: y 2 = Ce2x2 + x y + y x y2 = 0. 1 Ответ: y = (1 + x)(c + ln 1 + x ). 19. y y tg x + y 2 cos x = 0. Ответ: y(x + C) = 1 cos x. 20. xy 4y x 2 y = 0. Ответ: y = x4 4 ln2 Cx. 21. (2 + x 2 )y 2xy = (2 + x 2 ) 2 ; y(3) = 22. Ответ: y = (x 2 + 2)(x + C), y = (x 2 + 2)(x 1). 5. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение M(x, y) dx+n(x, y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y). В этом случае уравнение можно записать в виде du(x, y) = 0, откуда следует, что соотношение u(x, y) = C является его общим интегралом. Выражение M(x, y) dx + N(x, y) dy, где M, N непрерывные функции вместе со своими частными производными M y и N x в некоторой области D, есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда M y = N во всей области D. x Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить уравнение: ( 3x 2 + 6xy 2) dx + ( 6x 2 y + 4y 3) dy = 0. 25

28 Решение. M(x, y) = 3x 2 + 6xy 2, N(x, y) = 6x 2 y + 4y 3. Так как M N M = 12xy; = 12xy; y x y = N, то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Значит x M dx + N dy = du. Следовательно M dx + N dy = u x dx + u y dy и u x = M; u y = N; { u x = 3x2 + 6xy 2 ; u y = 6x2 y + 4y 3. Проинтегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной: (3x u(x, y) = 2 + 6xy 2) dx = 3 x3 +6y2 x ϕ(y) = x3 +3x 2 y 2 +ϕ(y), где ϕ(y) произвольная непрерывно-дифференцируемая функция.тогда u y = 6x2 y + ϕ (y). Определим ϕ(y), используя второе уравнение системы 6x 2 y + ϕ (y) = 6x 2 y + 4y 3 ; ϕ (y) = 4y 3 ; ϕ(y) = y 4 + C. u(x, y) = x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 + C. Общий интеграл дифференциального уравнения: x 3 + 3x 2 y 2 + y 4 = C. Пример 2. Решить уравнение: ( 2x 1 + ) x 2 y dx x 2 y dy = 0. Решение. M(x, y) = 2x ( 1 + ) x 2 y, N(x, y) = x 2 y; 26

29 M y = N x = x x 2 y ; x (1 = 2x + ) x 2 y ; u y = x 2 y. { u Проинтегрируем второе уравнение по y: x u(x, y) = 2 y dy = 2 ( x 2 y ) ϕ(x); 3 u x = (x2 y) 1 2 2x + ϕ (x); 2x x 2 y + ϕ (x) = 2x + 2x x 2 y; ϕ (x) = 2x; ϕ(x) = x 2 + C; u(x, y) = 2 (x 3 2 y) 3 + x 2 + C. Общий интеграл 2 (x 3 2 y) 3 + x 2 + C = 0. Пример 3. Решить уравнение: ( 1 x y 2 ) ( x 2 (x y) 2 dx + (x y) 2 1 ) = 0. y Решение. M(x, y) = 1 x y 2 (x y) 2, N(x, y) = x 2 (x y) 2 1 y ; M y = N x = 2xy (x y) 3 ; { u x = 1 x u y = y2 ; (x y) 2 x2 1 (x y) 2 y. Проинтегрируем первое уравнение по x: ( 1 u(x, y) = x y 2 ) (x y) 2 dx = ln x + y2 (x y) + ϕ(y); 27

30 u 2xy y2 = y (x y) 2 + ϕ (y) = x2 (x 2 2xy + y 2 ) (x y) 2 + ϕ (y) = = x 2 (x y) ϕ (y) = ϕ (y) = 1 1 ; ϕ(y) = y ln y + C; y u(x, y) = ln x + Общий интеграл ln x y + y2 + y ln y + C. (x y) xy (x y) = C. Пример 4. Решить уравнение: ( ) x sin y + 2 dx + (x2 + 1) cos y dy = 0. cos 2y 1 Решение. x 2 (x y) 2 1 y ; M(x, y) = x sin y + 2, N(x, y) = (x2 + 1) cos y cos 2y 1 ; M y = N x { u x = = x cos y sin 2 y ; x sin y + 2; u y = (x2 +1) cos y cos 2y 1. Проинтегрируем первое уравнение по x: ( ) x u(x, y) = sin y + 2 dx = x2 + 2x + ϕ(y); 2 sin y u y = x2 cos y 2 sin 2 y + ϕ (y); x2 cos y 2 sin 2 y + ϕ (y) = (x2 + 1) cos y cos 2y 1 ; x2 cos y 2 sin 2 y + ϕ (y) = x2 cos y 2 sin 2 y + cos y 2 sin 2 y ; 28

31 ϕ (y) = cos y cos y dy 2 sin 2 y ; ϕ(y) = 1 2 sin 2 y = 1 2 sin y + C; u(x, y) = x2 2 sin y + 2x sin y + C. Общий интеграл x x sin y + C sin y = 0. Пример 5. Решить уравнение: x dx + y dy x 2 + y 2 Решение. Запишем уравнение в виде: ( ) ( x x 2 + y y 2 x 2 dx + M(x, y) = y x 2 + y x y dx x dy = x 2. ) dy = 0; x x 2 + y y 2 x 2, N(x, y) = y x 2 + y x ; M y = N x = u x = u y = xy (x 2 + y 2 ) 1 3 x 2 ; x y ; x 2 +y 2 x 2 y x 2 +y x. Проинтегрируем первое уравнение по x: ( ) x u(x, y) = x 2 + y y 2 x 2 dx = u y = = 1 2 d(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 y dx x 2 = x 2 + y 2 + y x + ϕ(y); y x 2 + y x + ϕ (y); ϕ (y) = 0; ϕ(y) = C; u(x, y) = x 2 + y 2 + y x + C. Общий интеграл x 2 + y 2 + y x + C = 0. 29

32 5.1. Задания для самостоятельного решения по теме «Уравнения в полных дифференциалах» В задачах 1 20 решить данные уравнения. 1. 2xy dx + (x 2 y 2 ) dy = 0. Ответ: (3x 2 y y 3 ) = C. 2. (2 9xy 2 )x dx + (4y 2 6x 3 )y dy = 0. Ответ: x 2 3x 3 y 2 + y 4 = C. 3. e y dx ( 2y + xe y) dy = 0. Ответ: xe y y 2 = C. 4. y x dx + ( y 3 + ln x ) dy = 0. Ответ: 4y ln x + y 4 = C. 5. 3x2 + y 2 y 2 dx 2x3 + 5y y 3 dy = 0. Ответ: x + x3 y y = C. 6. ( 1 + y 2 sin 2x ) dx 2y cos 2 x dy = 0. Ответ: x y 2 cos 2 x = C. 7. ( 2x + 3x 2 y ) dx + ( x 3 3y 2) dy = 0. Ответ: x 2 + x 3 y y 3 = C. 8. ( 2x 3 xy 2) dx + ( 2y 3 x 2 y ) dy = 0. Ответ: x 4 x 2 y 2 + y 4 = C. ( ) x dy y 9. x 2 + y 2 = x 2 + y 2 1 dx. Ответ: arctg x y x + C = e y dx + (xe y 2y) dy = 0. Ответ: xe y y 2 = C. 30

33 11. yx y 1 dx + x y ln x dy = 0. Ответ: x y = C. 12. y + sin x cos2 (xy) cos 2 dx + x dy (xy) cos 2 + sin y dy = 0. (xy) Ответ: tg(xy) cos x cos y = C. 13. (1 + x ) x 2 + y 2 Ответ: x dx + ( 1 + ) x 2 + y 2 y dy = 0. (x 2 + y 2 ) 3 y2 2 + C = (x + y) dx + (x + 2y) dy = 0. Ответ: x2 2 + xy + y2 = C. 15. ( x 2 + y 2 + 2x ) dx + 2xy dy = 0. Ответ: x3 3 + xy2 + x 2 = C. 16. ( x 3 3xy ) dx ( 3x 2 y y 2) dy = 0. Ответ: x x2 y 2 + 2x + y3 3 = C. x dy y dx 17. x dx + y dy = x 2 + y 2. Ответ: x 2 + y arctg x y = C. 2x dx 18. y 3 + y2 3x 2 y 4 dy = 0. Ответ: x 2 y 2 = Cy x 2 y(1 + ln y)dx + (x 3 2y 2 )dy = 0. Ответ: x 3 (1 + ln y) y 2 = C. 20. (x 2 y 1)y + xy 2 1 = 0. Ответ: x 2 y 2 2(x + y) = C. 31

34 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Общий вид дифференциальных уравнений высшего порядка ( F x, y, y, y,..., y (n)) = 0. Допускают понижение порядка следующие типы дифференциальных уравнений. 1. Уравнение вида y (n) = f(x) решают путем n кратного интегрирования. 2. Уравнение вида F ( x, y, y ) = 0, явно не содержащее искомой функции y(x), сводят к уравнению первого порядка путем введения новой неизвестной функции z = z(x), полагая y (x) = z(x), y (x) = z (x). Тогда уравнение принимает вид F ( x, z, z ) = Уравнение вида F ( y, y, y ) = 0, явно не содержащее независимой переменной x, интегрируют с помощью подстановки p = y, где p = p(y) новая неизвестная функция, а за аргумент временно принята переменная y. Тогда y = p p. При этом порядок уравнения понижается на единицу. 4. Если левая часть дифференциального уравнения есть точная производная какой либо функции, то порядок уравнения так же можно понизить. Примеры точных производных y y = (ln y) ; y y = ( ln y ) ; и так далее. xy + y = ( xy ) ; yy + (y ) 2 = (yy ) ; yy (y ) 2 ( ) y y 2 = y Рассмотрим примеры. 32

35 Пример 1. Найти общее решение уравнения: y = x 2 + sin 2x. Решение. Правая часть данного уравнения есть функция только переменной x, поэтому оно решается трехкратным интегрированием: (x y = 2 + sin 2x ) dx = x cos 2x + C 1; y = x sin 2x+C 1x+C 2 ; y = x cos 2x+ C 1 2 x2 +C 2 x+c 3. Пример 2. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: { y = x ln x y(1) = 1, y (1) = 0. Решение. y = x ln x dx = u = ln x du = dx x v = x dx = x2 2 = x2 x 2 2 ln x 2 = x2 2 dx x = ln x x2 4 + C 1. Найдем C 1 из начальных условий y (1) = 0 0 = 1 2 ln C 1 C 1 = 1 4 ; y = x2 2 Проинтегрируем еще раз ( x 2 y = 2 ln x x x2 ln x ) dx = 1 x 2 ln x dx x x + C 2. 33

36 Вычислим x 2 ln x dx = Тогда y = 1 2 ( x 3 3 u = ln x du = dx x v = x 2 dx = x3 3 = = x3 3 ln x x 3 3 dx x = x3 x3 ln x C. ) x3 ln x x x + C 2 = x3 5x3 ln x x 4 + C 2. Найдем C 2 из начальных условий: y(1) = 1 1 = 1 6 ln C 2 C 2 = 8 9. Общее решение: y(x) = x3 6 ln x 5 36 x3 + x Пример 3. Решить уравнение: xy = y. Решение. В уравнении отсутствует искомая функция y, согласно пункту 2 делаем замену y = z, y = z. Получим уравнение с разделяющимися переменными: xz = z; dz z = dx x ; ln z = ln x + ln C 1 ; z = C 1 x. Вернемся к переменной y: y = C 1 x, интегрируя это уравнение, находим y = C 1 x C 2 или y = C 1 x 2 + C 2. Пример 4. Решить уравнение: y + y tg x = sin 2x. Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Сделаем замену z = y, z = y, где z = z(x). Получим линейное уравнение z + z tg x = sin 2x. 34

37 Сделаем замену переменной: z = uv. Тогда u v + uv + uv tg x = = sin 2x; { v + v tg x = 0; u v = sin 2x; dv v = tg x dx; ln v = ln cos x ; v = cos x; u cos x = sin 2x; u = 2 cos x + C 1. Таким образом, решение имеет вид z(x) = 2 cos 2 x + C 1 cos x. Возвращаясь к первоначальной переменной y, имеем уравнение интегрируя которое, находим dy dx = 2 cos2 x + C 1 cos x, y = x sin 2x 2 + C 1 sin x + C 2. Пример 5. Решить уравнение: yy = (y ) 2. Решение. В дифференциальном уравнении отсутствует независимая переменная x. Согласно пункту 3, y = p(y), y = pp. Уравнение принимает вид yp p = p 2. Разделив обе части уравнения на p (p 0, y 0, значит y = A является решением), получим yp = p; dp p = dy y ; ln p = ln y + ln C 1; p = yc 1 ; y = yc 1 ; dy dx = yc 1; Таким образом, общее решение имеет вид y = A входит при C 1 = 0. dy y = C 1 dx; ln y = C 1 x + C 2. y = e C 1x+C 2. 35

38 Пример 6. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: { 4y y = 1; y(0) = 1, y (0) = 1. Решение. Дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную x. Сделаем замену переменных y = p(y), y = pp, тогда 4p p y = 1. Получили уравнение с разделяющимися переменными: 2p dp = dy 2 y (y 0); p2 = y + C 1 ; (y ) 2 = y + C 1. Найдем C 1 : ( y (0) ) 2 = y(0) + C1 ; 1 = 1 + C 1 ; C 1 = 0. Вернемся к старой переменной: Так как y (0) = 1 < 0, то (y ) 2 = y; y = ± 4 y. Найдем C 2 : y = 4 y; dy = dx; y y 3 4 = x + C = C 2 C 2 = 4 3 ; 4 3 y = x + 3 ; y = решение задачи Коши. (1 34 x ) 4 3 y(x) = 3 ( x ) 4 36

39 Пример 7. Решить уравнение: yy = y 2. Решение. Разделим обе части уравнения на yy, получим y y = y y. Обе части уравнения являются полными производными по x, значит ( ln y ) = (ln y) ; ln y = ln y + ln C; y = yc; dy y = C dx; ln y = Cx + C 1; y = C 2 e Cx Задания для самостоятельного решения по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка» В задачах 1 20 решить данные уравнения. 1. y = x + sin x. Ответ: y = x3 6 sin x + C 1x + C y = y x + x. Ответ: y = C 1 x x3 3 + C xy = y ln y x. Ответ: y = ( C 1 x C1 2 ) x +1 e C 1 + C xy y = (y ) Ответ: y = ± 2 3C 1 (C1 x 1) 3 + C 2. 37

40 5. y y (y ) 2 = 0. Ответ: y = C 1x + C 2 1 C 1 x + C yy + (y ) 2 = 1. Ответ: y 2 = (x + C 1 ) 2 + C yy yy ln y = (y ) 2. 1 Ответ: arctg ln y = x + C 2. C 1 C y = y x + x2 y ; y(2) = 0; y (2) = 4. Ответ: y = 2 5 x2 2x y = 3y 2 ; y( 2) = 1; y ( 2) = 1. 4 Ответ: y = (x + 4) y = 1 x. Ответ: y = x 2 ln x + C 1 x 2 + C 2 x + C xy y = 0. Ответ: y = C 1 x C 2x + C y = e 2y ; y(0) = 0; y (0) = 1. Ответ: y = ln x y 3 y = 1; y(1) = 1; y (1) = 0. Ответ: y = x 2 2x x 2 y = y 2. Ответ: C 1 x C 2 1y = ln C 1 x C 2 ; 2y = x 2 + C; y = C. 38

41 15. y 3 y = 1. Ответ: C 1 y 2 1 = (C 1 x + C 2 ) y 2 + 2yy = 0. Ответ: y 3 = C 1 (x + C 2 ) 2 ; y = C. 17. y = arctg x. Ответ: y = arctg x (x 2 1) x 2 2 ln(1 + x2 ) + C 1 x + C y(1 ln y)y + (1 + ln y)(y 2 ) = 0. Ответ: (x + C 2 ) ln y = x + C y = y x Ответ: y = 1 2 x2. ) (1 + ln y ; y(1) = 1 x 2 ; y (1) = yy = (y ) 2 (y ) 3 ; y(1) = 1; y (1) = 1. Ответ: y x = 2 ln y. 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 7.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами Чтобы решить ЛОДУ с постоянными коэффициентами a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y = 0, (5) надо составить характеристическое уравнение a 0 λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = 0 (6) и найти все его корни λ 1,..., λ n. 39

42 Общее решение уравнения (5) есть сумма, состоящая из слагаемых вида C i e λ ix для каждого простого корня λ i уравнения (6) и слагаемых вида ( C m+1 + C m+2 x + C m+3 x C m+k x k 1) e λx (7) для каждого кратного корня λ уравнения (6), где k кратность корня. Все C i произвольные постоянные. Для каждой пары комплексных сопряженных корней λ = α±iβ в формулу общего решения включаются слагаемые C m+1 e αx cos βx + C m+2 e αx sin βx, если эти корни простые, и слагаемые P k 1 (x)e αx cos βx + Q k 1 (x)e αx sin βx, если каждый из корней α + iβ и α iβ имеет кратность k. Здесь P k 1 и Q k 1 многочлены степени k 1, аналогичные многочлену в (7), их коэффициенты произвольные постоянные. Например, вид общего решения уравнения второго порядка y + a 1 y + a 2 y = 0 (8) с постоянными коэффициентами зависит от корней характеристического уравнения λ 2 + a 1 λ + a 2 = 0. Если λ 1 и λ 2 различные и действительные корни, общее решение уравнения (8) имеет вид y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x. Если λ 1 = λ 2 = λ двукратный действительный корень, общее решение имеет вид y = C 1 e λx + C 2 xe λx. 40

43 Если λ 1,2 = α ± iβ комплексно сопряженные корни, общее решение записывается в виде y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx). Рассмотрим примеры. Пример 1. Найти общее решение уравнения: а. y 7y + 12y = 0 б. y + 6y + 9y = 0 в. y 2y + 2y = 0 г. y IV + 2y 2y y = 0 д. y V 2y IV 16y + 32y = 0 Решение. a) Характеристическое уравнение данного уравнения имеет вид λ 2 7λ + 12 = 0. Его корни λ 1 = 3, λ 2 = 4. Общее решение дифференциального уравнения y(x) = C 1 e 3x + C 2 e 4x. б) Характеристическое уравнение λ 2 +6λ+9 = 0 имеет двукратный корень λ = 3, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. в) Характеристическое уравнение λ 2 2λ + 2 = 0 имеет комплексно сопряженные корни λ 1,2 = 1 ± i. Общее решение дифференциального уравнения y(x) = e x (C 1 cos x + C 2 sin x). г) Характеристическое уравнение λ 4 +2λ 3 2λ 1 = 0. Разлагая левую часть на множители, находим корни: ( λ 4 1 ) +2 ( λ 3 λ ) = ( = 0; λ 2 1 ) ( λ 2 +1 ) + 2λ ( λ 2 1 ) ( = 0; λ 2 1 ) ( λ λ ) = 0; (λ 1) (λ+1) 3 = 0; λ 1 = 1; λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1. Корни действительные, но корень 1 трехкратный. Общее решение данного уравнения y(x) = C 1 e x + C 2 e x + C 3 xe x + C 4 x 2 e x. д) Характеристическое уравнение λ 5 2λ 4 16λ + 32 = 0. Разлагая левую часть на множители, находим корни: λ 4 (λ 2) 16(λ 2) = 0; (λ 2)(λ 4 16) = 0; (λ 2) 2 (λ + 2)(λ 2 + 4) = 0; λ 1 = λ 2 = 2; λ 3 = 2; λ 4 = 2i; λ 5 = 2i. Общее решение уравнения имеет вид y = (C 1 + C 2 x)e 2x + C 3 e 2x + C 4 cos 2x + C 5 sin 2x. 41

44 Пример 2. Найти частное решение уравнения ( y + 9y = 0, π ) удовлетворяющее краевым условиям y(0) = 0; y = 1. 4 Решение. Характеристическое уравнение λ 2 +9 = 0 имеет корни λ 1 = 3i, λ 2 = 3i. Общее решение данного уравнения имеет вид y(x) = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x. Удовлетворив краевым условиям y(0) = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 = 0; ( π ) y = C 1 cos 3π C 2 sin 3π 4 = 1, получим C 1 = 0, C 2 = 2. Частное решение, удовлетворяющее данным краевым условиям, имеет вид y(x) = 2 sin 3x Задания для самостоятельного решения по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами» В задачах 1 22 решить данные уравнения. 1. 3y 2y 8y = 0. Ответ: y = C 1 e 2x + C 2 e 4 3 x. 2. y + 6y + 13y = 0. Ответ: y = e 3x (C 1 cos 2x + C 2 sin 2x). 3. 4y 20y + 25y = 0. Ответ: y = e 5 2 x (C 1 + C 2 x). 4. y + y 2y = 0. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e 2x. 5. y 4y + 5y = 0. Ответ: y = e 2x (C 1 cos x + C 2 sin x). 42

45 6. y + 4y + 3y = 0. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e 3x. 7. y + 2y + 10y = 0. Ответ: y = e x (C 1 cos 3x + C 2 sin 3x). 8. y 27y = 0. ( Ответ: y = C 1 e 3x + C 2 cos x + C 3 sin 3 ) 3 2 x e 3 2 x. 9. y 8y = 0. Ответ: y = C 1 e 2x + e x (C 2 cos x 3 + C 3 sin x 3). 10. y + 8y = 0. Ответ: y = C 1 e 2x + e x (C 2 cos 3x + C 3 sin 3x). 11. y + 64y = 0. Ответ: y = C 1 + C 2 cos 8x + C 3 sin 8x. 12. y 3y + 3y y = 0. Ответ: y = e x (C 1 + C 2 x + C 3 x 2 ). 13. y y y + y = 0. Ответ: y = e x (C 1 + C 2 x) + C 3 e x. 14. y y + 4y 4y = 0. Ответ: y = C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 sin 2x. 15. y IV y = 0. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 cos x + C 4 sin x. 16. y IV + 4y = 0. Ответ: y = e x (C 1 cos x + C 2 sin x) + e x (C 3 cos x + C 4 sin x). 17. y V I + 64y = 0. Ответ: y = e x 3 (C 1 cos x + C 2 sin x) + C 3 cos 2x + C 4 sin 2x+ +e x 3 (C 5 cos x + C 6 sin x). 43

46 18. y IV + 2y + y = 0. Ответ: y = (C 1 + C 2 x) cos x + (C 3 + C 4 x) sin x. 19. y IV 6y + 9y = 0. Ответ: y = C 1 e 3x + C 2 xe 3x + C 3 e 3x + C 4 xe 3x. 20. y V 10y + 9y = 0. Ответ: y = C 1 + C 2 e x + C 3 e x + C 4 e 3x + C 5 e 3x. 21. y V + 8y + 16y = 0. Ответ: y = C 1 + (C 2 + C 3 x) cos 2x + (C 4 + C 5 x) sin 2x. 22. y 5y + 4y = 0; y(0) = 5; y (0) = 8. Ответ: y = 4e x + e 4x. 23. y + π 2 y = 0; y(0) = 0; y (1) = π 2. Ответ: y = π sin πx Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида Рассмотрим уравнение y (n) + p 1 y (n 1) + p 2 y (n 2) p n y = f(x). (9) Общее решение дифференциального уравнения (9) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (5), то есть y(x) = y 0 (x) + y(x). Решение однородного уравнения y 0 (x) определяется так же, как и в пункте 7.1, y(x) частное решение уравнения (9) в случае, когда правая часть дифференциального уравнения (9) имеет 44

47 специальный вид, определяется методом неопределенных коэффициентов. Правая часть специального вида f(x) = e αx (P m (x) cos βx + Q n (x) sin βx), где P m (x), Q n (x) полиномы степеней m и n соответственно. Укажем вид частного решения дифференциального уравнения (9) в двух случаях. 1. Если число α + iβ не является корнем характеристического уравнения (6) дифференциального уравнения (9), то y(x) = e αx (S l (x) cos βx + R l (x) sin βx), (10) где S l и R l полиномы степени l = max{m, n} с неопределенными коэффициентами. 2. Если число α + iβ является корнем характеристического уравнения (6) дифференциального уравнения (9) кратности k, то y(x) = x k e αx (S l (x) cos βx + R l (x) sin βx), (11) то есть частное решение приобретает множитель x k. Рассмотрим примеры. Пример 1. Найти общее решение уравнения: а. 2y y y = 4xe 2x в. y + y = x sin x б. y 2y + y = xe x г. y 2y + y = e x (x 2 + 1) Решение. а) Характеристическое уравнение 2λ 2 λ 1 = 0 имеет корни λ 1 = 1 и λ 2 = 1. Общее решение соответствующего однородного 2 уравнения y 0 = C 1 e x + C 2 e x 2. Правая часть заданного уравнения 4xe 2x. Контрольное число σ = α + iβ = 2 + i 0 = 2 не является корнем характеристического уравнения, поэтому согласно формуле (10), y(x) = e 2x (Ax + B). Дифференцируя y(x) два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим: 2e 2x (4Ax + 4B + 4A) e 2x (2Ax + 2B + A) e 2x (Ax + B) = 4xe 2x. 45

48 Сокращая на e 2x и приравнивая друг к другу коэффициенты при первых степенях x и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем 5A = 4 и 7A + 5B = 0, откуда A = 4 ( 5 и B = Таким образом, y(x) = e 2x 5 x 28 ), а общее решение данного 25 уравнения есть ( y = C 1 e x + C 2 e x 2 + e 2x 4 5 x 28 ). 25 б) Характеристическое уравнение λ 2 2λ+1 = 0 имеет двукратный корень λ = 1. Правая часть уравнения имеет вид f(x) = xe x. Здесь α = 1, β = 0 и число α + iβ = 1 является корнем характеристического уравнения кратности k = 2. Согласно формуле (11), y(x) = x 2 e x (Ax + B). Дифференцируя y(x) два раза, подставляя производные в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим A = 1, B = 0. Следовательно, общее решение данного уравнения 6 запишется в виде y = (C 1 + C 2 x)e x x3 e x. в) Характеристическое уравнение λ 2 +1 = 0 имеет корни λ 1 = i, λ 2 = i. Общее решение соответствующего однородного уравнения будет y 0 (x) = C 1 cos x + C 2 sin x. Правая часть имеет вид f(x) = x sin x. Контрольное число σ = α + iβ = 0 + i = i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1. Согласно формуле (11), y(x) = x ((Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x). Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение, приравниваем коэффициенты в обеих частях равенства при cos x, x cos x, sin x и x sin x. В результате получим четыре уравнения 2A + 2D = 0; 4C = 0; 2B + 2C = 0; 4A = 1, 46

49 из которых определяются A = 1 4, B = 0, C = 0, D = 1 4. Поэтому y(x) = x2 4 cos x + x sin x. Общее решение 4 y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x x2 4 cos x + x sin x. 4 г) Характеристическое уравнение λ 2 2λ + 1 = 0 имеет двукратный корень λ = 1. Откуда y 0 = C 1 e x + C 2 xe x. Правая часть f(x) = e x ( x ). Здесь α = 1, β = 0. Тогда α + iβ = 1 двукратный корень характеристического уравнения, значит k = 2. Согласно формуле (11), y(x) = x 2 e x ( Ax 2 + Bx + C ). Дифференцируя y(x) дважды и подставляя выражение для y, y, y в исходное уравнение, находим 12Ax 2 + 6Bx + 2C = x Сравнив коэффициенты при соответствующих степенях x в правой и левой частях, получим систему из трех уравнений: 12A = 1, 6B = 0, 2C = 1, откуда следует A = 1 12, B = 0, C = 1 ( ) 2. Тогда x частное решение примет вид y(x) = e x x2. Общее решение 2 исходного уравнения y = e x C 1 + e x C 2 x + x2 2 ex + x4 12 ex. Пример 2. Решить уравнение: y 2y + y = sin x + e x. Решение. Характеристическое уравнение имеет один двукратный корень λ = 1, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид y 0 (x) = C 1 e x + C 2 xe x. Так как правая часть исходного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида, частное решение ищем в виде y(x) = y 1 (x) + y 2 (x), где y 1 (x) частное решение уравнения y 2y + y = sin x; y 2 (x) частное решение уравнения y 2y + y = e x. Найдем y 1 (x). Так как f(x) = sin x, то α = 0, β = 1. Следовательно, 47

50 α + iβ не является корнем характеристического уравнения, поэтому k = 0 и y 1 (x) = A cos x+b sin x. Подставляя выражение для y 1, y 1, y 1 в уравнение y 2y +y = sin x и сравнивая коэффициенты при cos x и sin x в правой и левой частях тождества, имеем A = 1 2, B = 0, следовательно, y 1 = 1 2 cos x. Поступая аналогично, находим частное решение y 2 (x) уравнения y 2y + y = e x, а именно: y 2 (x) = 1 4 e x. Таким образом, y(x) = 1 2 cos x e x. Общее решение исходного уравнения y(x) = C 1 e x + C 2 xe x cos x e x. Замечание. Частное решение исходного уравнения можно было искать сразу в виде y(x) = A cos x + B sin x + Ce x. Пример 3. Решить уравнение: y 6y + 5y = 3e x + 5x 2 12x + 2. Решение. Характеристическое уравнение λ 2 6λ + 5 = 0 имеет корни λ 1 = 5, λ 2 = 1, значит y 0 (x) = C 1 e x + C 2 e 5x. Так как правая часть представляет сумму двух функций, то частное решение ищем в виде y(x) = y 1 (x) + y 2 (x). Так как f 1 (x) = 3e x, число α + iβ = 1 является корнем характеристического уравнения кратности k = 1, то y 1 (x) = Axe x. Дифференцируя y 1 (x) дважды и подставляя в уравнение y 6y +5y = 3e x, имеем Ae x (x + 2) 6Ae x (x + 1) + 5xe x = 3e x, откуда A = 3 4 и y 1(x) = 3 4 xex. Так как f 2 (x) = 5x 2 12x + 2, число α + iβ = 0 не является корнем характеристического уравнения, то y 2 (x) = Ax 2 + Bx + C. Дифференцируя y 2 (x) дважды и подставляя в уравнение y 6y + +5y = 5x 2 12x + 2, получим 5Ax 2 + x( 12A + 5B) + 2A 6B + 5C = 5x 2 12x

51 Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при x 2, x и свободные члены, получим систему трех уравнений 5A = 5; 12A + 5B = 12; 2A 6B + 5C = 2, откуда A = 1, B = 0, C = 0 и y 2 (x) = x 2. Общее решение исходного уравнения y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) + y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 5x xex + x Задания для самостоятельного решения по теме «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида» В задачах 1 21 решить данные уравнения. 1. y 2y 3y = e 4x. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e 3x e4x. 2. y + y = 4xe x. Ответ: y = C 1 cos x + C 2 sin x + (2x 2)e x. 3. y y = 2e x x 2. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e x + xe x + x y + y 2y = 3xe x. ( x Ответ: y = C 1 e x + C 2 e 2x x ) e x y 3y + 2y = sin x. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e 2x + 0, 1 sin x + 0, 3 cos x. 49

52 6. y + y = 4 sin x. Ответ: y = C 1 cos x + C 2 sin x 2x cos x. 7. y 2y + y = 6xe x. Ответ: y = ( C 1 + C 2 x + x 3) e x. 8. y 4y + 4y = 3e 2x. Ответ: y = e 2x ( C 1 + C 2 x + 1, 5x 2). 9. 5y 6y + 5y = e 0,6x sin 0, 8x. Ответ: y = e 0,6x ( C 1 cos 0, 8x + C 2 sin 0, 8x 1 8 x cos 0, 8x ). 10. y y = 2 sin x 4 cos x. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e x + 2 cos x sin x. 11. y + 4y = sin 2x. Ответ: y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x x cos 2x y + y = cos x + cos 2x. Ответ: y = C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 sin x 1 cos 2x y 3y = e 3x 18x. Ответ: y = C 1 e 3x + C 2 + x 3 e3x + 3x 2 + 2x. 14. y 2y + y = 4e x. Ответ: y = e x (C 1 + C 2 x) + 2x 2 e x. 15. y + y = 4x cos x. Ответ: y = (C 1 + x) cos x + (C 2 + x 2 ) sin x. 16. y 9y = e 3x cos x. Ответ: y = C 1 e 3x + C 2 e 3x e3x (6 sin x cosx). 50

53 17. y + 4y + 4y = 3e x ; y(0) = y (0) = 0. Ответ: y = 3 2 x2 e 2x. 18. y + 4y = sin 2x; y(0) = y (0) = 0. Ответ: y = x 4 cos 2x + 1 sin 2x y + y + sin 2x = 0; y(π) = y (π) = 1. Ответ: y = 1 3 sin 2x cos x 1 sin x y + 2y + 2y = xe x ; y(0) = y (0) = 0. Ответ: y = e x (x sin x). 21. y + 2y 8y = 2 cos x; y(0) = y (0) = 0. Ответ: y = e 4x e2x cos x + 4 sin x Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка Общее решение y(x) линейного неоднородного уравнения второго порядка y + p 1 (x)y + p 2 (x)y = f(x) (12) есть сумма общего решения y 0 соответствующего ему однородного уравнения y + p 1 (x)y + p 2 (x)y = 0 и какого-нибудь частного решения y уравнения (12) y(x) = y 0 (x) + y. Суть метода Лагранжа вариации произвольных постоянных заключается в следующем. Если y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2 общее решение однородного уравнения, то частное решение y(x) ищется в виде y = C 1 (x)y 1 + C 2 (x)y 2, 51

54 где C 1 (x) и C 2 (x) неизвестные пока функции, производные от которых определяются из системы { C 1 (x)y 1 + C 2 (x)y 2 = 0; C 1 (x)y 1 + C 2 (x)y 2 = f(x). (13) Решая данную систему, находим C 1 (x) и C 2 (x), откуда после интегрирования определяем C 1 (x), C 2 (x). Рассмотрим примеры. Пример 1. Методом вариации произвольных постоянных решить уравнение: а. y + y = x б. y 2y + y = ex в. y + 4y + 4y = e 2x ln x г. y y = ex 1 + e x x Решение. а) Решая однородное уравнение y +y = 0, получаем: y 0 = C 1 +C 2 e x. Следовательно, решение данного уравнения можно искать в виде y = C 1 (x) + C 2 (x)e x. Составим систему (13), получим { C 1 (x) + C 2 (x)e x = 0; C 2 (x)e x = x. Отсюда C 2 (x) = xe x dx = C 2(x) = xe x ; x = u du = dx v = e x dx = e x ( = xe x = ) e x dx = xe x + e x + A; C 1(x) = C 2(x)e x = x; C 1 (x) = 52 x dx = x2 2 + B

55 и, следовательно, ( ) x 2 y = 2 + B + ( xe x + e x + A) e x = B + Ae x + 1 x + x2 2. б) Решая однородное уравнение y 2y + y = 0, имеем y 0 = = (C 1 + C 2 x)e x. Ищем решение исходного уравнения в виде Запишем систему (13): Отсюда C 1 (x) = y(x) = (C 1 (x) + C 2 (x)x) e x. { C 1 (x)e x + C 2 (x)xex = 0; C 1 (x)ex + C 2 (x)(1 + x)ex = ex x C 2(x) = 1 x ; C 2(x) = arctg x + A; C 1(x) = C 2(x)x = x x ; x dx d(x 2 x = 1 + 1) 2 x 2 = ln x B. Общее решение исходного уравнения y(x) = e x (B + Ax) + e (x x arctg x 1 ) 2 ln x в) Решая однородное уравнение y + 4y + 4y = 0, получим y 0 (x) = (C 1 + C 2 x)e 2x. Ищем решение данного уравнения в виде Составим систему (13): y(x) = (C 1 (x) + C 2 (x)x)e 2x. { C 1 (x)e 2x + C 2 (x)xe 2x = 0; C 1 (x)( 2e 2x ) + C 2 (x) ( e 2x 2xe 2x) = e 2x ln x. 53

56 Отсюда C 2 (x) = ln x dx = C 1 (x) = x ln x dx = Общее решение: y(x) = ( x2 2 C 2(x) = ln x; u = ln x du = dx x v = dx = x C 1(x) = C 2(x)x = x ln x; ( x 2 = 2 ln x u = ln x du = dx x v = x dx = x2 x 2 x dx = x ln x x = x ln x x+a; 2 2 dx x = ) = x2 2 ln x + x2 4 + B. ) x2 ln x B e 2x + (x ln x x + A)xe 2x = ( x = (B + Ax)e 2x + e 2x 2 2 ln x 3 ) 4 x2. г) Решая однородное уравнение y y = 0, получим y 0 (x) = = C 1 + C 2 e x. Будем искать решение в виде Запишем систему (13): y(x) = C 1 (x) + C 2 (x)e x. { C 1 (x) + C 2 (x)ex = 0; C 2 (x)ex = ex 1+e. x Отсюда C 1(x) = C 2(x)e x ; C 2(x) = e x ; 54

57 C 2 (x) = = dx 1 + e x = 1 + e x = t e x dx = dt dx = dt = dt (t 1)t = dt t ( ) = t t 1 d 1 t 1 1 = ln 1 1 t = ln t 1 t + A = ln e x 1 + e t x + A; e x dx d(e x C 1 (x) = 1 + e x = + 1) 1 + e x = ln 1 + e x + B. Общее решение имеет вид ( y(x) = ( ln 1 + e x + B) + ln e x ) 1 + e x + A e x = = Ae x + B (1 + e x ) ln(1 + e x ) + e x x Задания для самостоятельного решения по теме «Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка» В задачах 1 20 решить данные уравнения. Найти также решение, удовлетворяющее начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия). 1. y + 4y = 1 cos 2x. Ответ: y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x cos 2x ln cos 2x + 1 x sin 2x y y = 4x2 + 1 x x. Ответ: y = C 1 e x + C 2 e x 4 x. 3. y 2y + y = x2 + 2x + 2 x 3. Ответ: y = e x (C 1 + C 2 x) + 1 x. 55

58 4. y 2y + y = ex x. Ответ: y = e x (x ln x + C 1 x + C 2 ). 5. y + 3y + 2y = 1 e x + 1. Ответ: y = ( e x + e 2x) ln e x C 1 e x + C 2 e 2x. 6. y + y = 1 sin x. Ответ: y = (C 1 + ln sin x ) sin x + (C 2 x) cos x. 7. y + 4y = 2 tg x. Ответ: y = sin 2x ln cos x x cos 2x + C 1 sin 2x + C 2 cos 2x. 8. y + 2y + y = ( 3e x x + 1. ) 4 Ответ: y = e x 5 (x + 1) C1 + C 2 x. 9. y y = 1 e x + 1. Ответ: y = C 1 e x + C 2 + (e x + 1) ln(1 + e x ). 10. y 4y + 4y = 3e 2x. Ответ: y = (C 1 + C 2 x)e 2x x2 e 2x. 11. y + y + ctg 2 x = 0. Ответ: y = C 1 sin x + C 2 cos x + ln tg x cos x y y = e 2x 1 e 2x. 1 Ответ: y = 3 (1 e2x ) C 1 + ( e e x x 1 e 2 2x + 1 ) 2 arcsin ex + C y y = e 2x cos e x. Ответ: y = C 1 e x + C 2 cos e x. 56


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy.

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. Матвеев В. М. Ульянов ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Университет Российской академии образования Новомосковский филиал В. А. Матвеев, В. М. Ульянов Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

F (x) = f(x). f(x) dx = F (x) + C, (1.1)

F (x) = f(x). f(x) dx = F (x) + C, (1.1) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет имени

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Е.А. Голикова, А.В. Зенков, А.С. Соболева Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я, Р Я Д Ы,

Е.А. Голикова, А.В. Зенков, А.С. Соболева Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я, Р Я Д Ы, Е.А. Голикова, А.В. Зенков, А.С. Соболева Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я, Р Я Д Ы, Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы И И Н Т Е Г Р А Л Ы, З А В И С Я Щ И Е О Т П А Р А М Е

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Асташова И.В., Никишкин В.А.

Асташова И.В., Никишкин В.А. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Асташова И.В., Никишкин В.А. ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" Москва

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Методы интегрирования уравнений первого порядка

Методы интегрирования уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений первого порядка 1. Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение P (x, y) dx + Q(x, y) = 0. (1) Пусть P, Q непрерывно дифференцируемые функции в области D изменения

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) А. А. Ельцов, Т. А. Ельцова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫ РАБОТЫ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫ РАБОТЫ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРАКТИЧЕСКИЕ И ЛАБОРАТОРНЫ РАБОТЫ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов высшей

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее