9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ"

Транскрипт

1 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат а точка O началом координат Прямые проходящие через начало координат в направлении базисных векторов называются координатными осями Для любой точки в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор O начало которого совпадает с началом координат а конец с точкой (рис9 9) Этот вектор называется радиус-вектором точки Аффинная система координат называется прямоугольной если ее базис ортонормированный (см разд85) Координатами вектора в прямоугольной системе координат называются коэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см разд 85) Координатами точки в прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора O в стандартном базисе В пространстве это коэффициенты в разложении O i + j + k на плоскости коэффициенты в разложении O i + j на прямой коэффициент в разложении O i При этом используются обозначения ( ) ( ) () соответственно Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом: в пространстве на плоскости Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются прямоугольными координатами

2 Выбирая стандартные базисы (см разд85) получаем: O i прямоугольную систему координат на прямой это точка O и единичный вектор i на прямой Точки O и (рис9) на координатной оси O обозначаются ( ) O i Рис9 O и ( ) ; O i j прямоугольную систему координат на плоскости это точка O и два взаимно перпендикулярных единичных вектора i и j на плоскости (вектор i первый базисный вектор а j второй; пара векторов i j правая) Координатные оси O (абсцисс) и O (ординат) разбивают плоскость на части называемые четвертями (рис9) Точка ( ) например принадлежит I четверти; II III j i O ( ) Рис9 I IV

3 O i j k прямоугольную систему координат в пространстве это точка O и три попарно перпендикулярных единичных вектора i j k (вектор i первый базисный вектор j второй а k третий; тройка векторов i j k правая) Координатные оси обозначаются: O ось абсцисс O ось ординат O ось аппликат Координатные плоскости O O O проходящие через пары координатных осей разбивают пространство на 8 октантов (рис9) Точка ( ) например принадлежит I октанту III II O IV I ( ) O VIII VII i O k Рис9 j V VI

4 Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей например O O O Чтобы найти координаты вектора с началом в точке ( ) точке ( ) его начала: и концом в нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты ( ) i + ( ) j + ( ) k Это же правило справедливо для прямоугольных систем координат на плоскости и на прямой Координаты точки M которая делит отрезок в отношении β > ) определяются по координатам его концов ( ) В частности: и ( ) M β M α ( α > (см разд): α + β α + β α + β M ; ; (9) α + β α + β α + β точка M ; ; середина отрезка ; точка С С С M ; ; точка пересечения медиан треугольника C Аналогичные формулы справедливы для координат точек на плоскости и на прямой

5 В прямоугольной системе координат расстояние между точками ( ) ( ) находится по формуле ( ) + ( ) + ( ) и (9) Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем: ( ) ( ) + ; Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин ( ) ( ) ( ) C S C C S C где C треугольника C то его площадь вычисляется по формуле ^ S C C C (9) Если известны прямоугольные координаты вершин ( ) ( ) ( ) D ( ) C C C формуле C V D D CD VCD D треугольной пирамиды CD то ее объем вычисляется по где V CD 6 C D C D C D (9) 5

6 Пример 9 Известны прямоугольные координаты вершин ( ) ( 5) ( 6) C (рис9) Найти: а) длину медианы M ; б) длину биссектрисы L ; в) высоту h опущенную из вершины a а) По формуле (9) определяем координаты точки M M 7 Используя частный середины стороны C : M ( ) те ( ) случай формулы (9) для плоскости вычисляем длину медианы: 6 M 7 + C треугольника б) Определяем координаты точки L которая делит сторону C в отношении : (свойство биссектрисы треугольника) Так как ( ) ( 5 ) 5 L LC : C h a L M Рис9 + и С ( ) + ( 6 ) C то по формуле (9) учитывая что : LC 5: находим L α β 5 L те L Вычисляем длину биссектрисы: в) По формуле (9) имеем: треугольника C C ( ) + ( 6 5) 8 ^ S C C 95 L S C 5 6 S S тогда h a C C Следовательно площадь поскольку 8 6

7 Пример 9 Известны прямоугольные координаты вершин ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) C D треугольной пирамиды CD Найти: а) длину отрезка DM соединяющего вершину D пирамиды с точкой M пересечения медиан грани C ; б) объем V пирамиды CD а) Определяем координаты точки M пересечения медиан треугольника C используя частный случай формулы (9): + + ( ) ; ; M те ( ) По формуле (9) находим ( 5) + ( ) + ( + ) M DM б) Находим объем пирамиды CD По формуле (9) вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу (см разд) получаем V CD ( ) ( ) 6 ^ Следовательно V V CD CD 7

8 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Преобразования прямоугольных координат на плоскости Приведем формулы связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат Рассмотрим три типа преобразований: а) параллельный перенос; б) поворот; в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное) Координаты точки в старой системе O i j и координаты в новой системе координат O i j связаны следующими формулами: а) При параллельном переносе системы координат (рис95а) на вектор OO i + j : + + б) При повороте системы координат на угол (рис95б): co in in + co O j i а j O i Рис95 в) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат на противоположное) (рис95в): j O j i i б j O j i в 8

9 Любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводится к композиции преобразований каждое из которых является либо параллельным переносом либо поворотом либо зеркальным отражением в оси координат Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат i j Формулы связывающие старые и новые координаты точки имеют вид: O и O i j при одноименных системах координат те при переходе от правой системы к правой или от левой к левой (рис96а): при разноименных системах координат (рис96б): + co in (95) + in + co + co + in (96) + in co j O j i j i O i а j O Рис96 i j j O i j б i 9

10 Для рассмотренных выше преобразований координат точек соответствующие выражения новых координат через старые: а) б) co + in in + co в) Для преобразования (95) аналогичные формулы имеют вид: ( ) co + ( ) in ( ) in + ( ) co (97) При и из соотношений (96) получается преобразование изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой содержащей биссектрису первого координатного угла)

11 Преобразования прямоугольных координат в пространстве Рассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат: а) параллельный перенос; б) поворот вокруг координатной оси; в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления одной координатной оси на противоположное) Координаты точки в старой системе координат O i j k и координаты в новой системе координат O i j k связаны формулами: а) При параллельном переносе системы координат на вектор переноса начала координат OO i + j + k : б) При повороте системы координат на угол вокруг оси аппликат: co in in + co Очевидно что система координат на плоскости O при этом преобразовании поворачивается на угол в) При зеркальном отражении в плоскости O (изменении направления оси аппликат на противоположное): Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях (изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные)

12 Любое преобразование прямоугольной системы координат в пространстве сводится к композиции преобразований каждое из которых является либо параллельным переносом либо поворотом вокруг координатной оси либо зеркальным отражением в координатной плоскости В частности при композиции поворота на угол вокруг оси O и параллельного переноса на вектор преобразования координат имеют вид: OO i + j + k формулы + co in + in + co + (98) Формулы выражающие новые координаты точек через старые имеют вид: ( ( ) co + ( ) in + ( ) in ) co (99)

13 Аналогичные формулы можно записать для других композиций преобразований Например чтобы получить формулы преобразования координат для композиции поворота на угол вокруг оси абсцисс и параллельного переноса на вектор OO i + j + k нужно записать формулы (98) или (99) сделав циклическую замену букв на на на : + + co in + in + co или ( ) co + ( ) in ( ) in + ( ) co (9)

14 Пример 9 Заданы координаты точки в старой системе координат O i j Новая прямоугольная система координат O i j получена из старой в результате параллельного переноса на вектор точки ( ) i + j и поворота на угол в новой системе координат Так как то по формулам (97) получаем: ( ) ( ) + co + in + ; ( ) ( ) in + co + Найти координаты Пример 9 Заданы координаты 5 точки в старой системе координат O i j k Новая прямоугольная система координат O i j k получена из старой в результате параллельного переноса на вектор оси абсцисс Найти координаты точки ( ) Так как i + j + k и поворота на угол в новой системе координат то по формулам (9) получаем: ; ( ) ( ) + co + 5 in + ; ( ) in + ( 5 ) co + вокруг

15 9 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Полярная система координат на плоскости это совокупность точки O называемой полюсом и полупрямой O называемой полярной осью Кроме того задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса Как правило на полярной оси выбирается вектор i приложенный к точке O длина которого принимается за величину масштабного отрезка а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис97а) O i r а M ( r ) Рис97 Положение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки M до полюса те r OM и углом (полярным углом) между полярной осью и вектором OM Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки M что записывается в виде M ( r ) Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси: в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки) если значение угла положительное; в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки) если значение угла отрицательное Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения r Полярный угол определен для любой точки плоскости за исключением полюса O и принимает значения < называемые главными 5 значениями полярного угла j O i r б M

16 С полярной системой координат O r можно связать прямоугольную систему координат O i j начало O которой совпадает с полюсом а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) с полярной осью Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис97б) Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси Наоборот если на плоскости задана правая прямоугольная система координат то приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось получим полярную систему координат (связанную с данной прямоугольной) Приведем формулы связывающие между собой прямоугольные координаты точки M отличной от точки O и ее полярные координаты r По рис97б получаем: r co r in (9) Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам 6

17 Обратный переход выполняется по формулам: r co r in r (9) где Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых n При ( < из них следует что tg ) находится по формулам (рис98): Главное значение полярного угла n arctg + arctg + arctg > < < < > < II + arctg + arctg III Рис98 I arctg arctg IV Главное значение полярного угла можно выбрать иначе например < 7

18 7 Пример 95 В полярной системе координат а) изобразить координатные линии б) изобразить точки M O r : r r r M с полярными координатами Найти главные значения полярных углов этих точек; ; r 9 r в) найти прямоугольные координаты точек M M ; г) определить полярные координаты точки если известны ее прямоугольные координаты ( ) а) Координатные линии r r r представляют собой окружности соответствующих радиусов а линии полупрямые (рис99а) б) Построим точки M 9 и 7 полярным углом однако имеют одно и то же главное значение одна и та же точка которая совпадает с точкой M ( ) M (рис99бв) Их координаты отличаются M M 9 ( ) Следовательно это изображенной на рис99а M 7 ( ) в) Учитывая п"б" находим прямоугольные координаты точки M По формулам (9) получаем: r co co ; r r in in те M г) Для точки ( ) по формулам (9) определяем полярный радиус ( ) arctg а также учитывая рис98 главное значение полярного угла arctg O r r r а O O 9 7 б Рис99 в 8

19 Расстояние между двумя точками ( ) и ( ) вычисляется по формуле а площадь S # O O r r + r r r co( ) r (длина отрезка на рис9) параллелограмма построенного на векторах O и O по формуле S # O O r r in Пример 96 Даны полярные координаты r и r точек и (рис9) Найти: а) скалярное произведение ( O O) ; б) длину отрезка ; в) площадь параллелограмма построенного на векторах O и O ; г) площадь S треугольника O O ; д) координаты середины C отрезка в прямоугольной системе координат связанной с данной полярной O ( ) r r Рис9 r ( ) r r O C j i r Рис9 9

20 а) По определению скалярного произведения находим: ( O O ) O O coψ r co( ) co r б) Вычисляем длину отрезка r + r r r co( ) + в) Находим площадь параллелограмма построенного на векторах O и O : S r r in in # O O г) Площадь треугольника O вычисляем как половину площади параллелограмма построенного на векторах O и O : S S O # O O д) По формулам (9) находим прямоугольные координаты точек и : r co ; in r ; r co ; in r а затем координаты середины C отрезка : ( ) + + С ; C + +

21 9 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Для введения цилиндрической системы координат в пространстве - выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом O и полярной осью O - через точку O перпендикулярно основной плоскости проводим ось O (ось аппликат) и выбираем ее направление так чтобы возрастание полярного угла наблюдаемое со стороны положительного направления оси O происходило против часовой стрелки (рис9а) Цилиндрические координаты точки M это упорядоченная тройка чисел r соответственно полярный радиус ( r ) полярный угол ( < ) и аппликата ( < < + ) У точек принадлежащих оси аппликат не определен полярный угол они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой С цилиндрической системой координат O r можно связать прямоугольную систему координат O i j k (рис9б) у которой начало и базисные векторы i k совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно а базисный вектор j выбирается так чтобы тройка i j k была правой (при этом базис оказывается стандартным)

22 Наоборот если в пространстве задана правая прямоугольная система координат то приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось получим цилиндрическую систему координат (связанную с данной прямоугольной) M k O i r ( r ) M M k j O i r M M а Поскольку аппликата точки M в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают то формулы связывающие между собой прямоугольные координаты точки M и ее цилиндрические координаты r имеют вид: Рис9 r co r in (9) Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим б

23 Обратный переход выполняется по формулам r + co + in + (9) Главное значение полярного угла ( на рис98 < ) находится по формулам приведенным

24 Пример 97 В цилиндрической системе координат O r : а) построить координатные поверхности r R ; б) найти цилиндрические координаты точки если известны ее прямоугольные координаты ( ) в) определить прямоугольные координаты точки если известны ее цилиндрические координаты: ; r а) Координатной поверхностью r R те геометрическим местом точек M ( R ) при фиксированном значении полярного радиуса r R является прямой круговой цилиндр ось которого совпадает с осью аппликат (рис9) Этим объясняется название цилиндрической системы координат Координатной поверхностью те геометрическим местом точек M ( r ) при фиксированном значении полярного угла является полуплоскость ограниченная осью аппликат (на рис9 изображены полуплоскости и поверхностью ) Координатной ( r те геометрическим местом точек M ) при является плоскость фиксированном значении аппликаты перпендикулярная оси аппликат (на рис9 изображены плоскости и ) б) Находим цилиндрические координаты точки ( ) Аппликата полярный угол определяем по формулам (9) с учетом формул на рис98: ( ) 5 r + + ; arctg arctg arctg ; полярный радиус и так как < и ортогональная проекция точки на координатную плоскость O (основную плоскость) лежит в IV четверти в) Находим прямоугольные координаты точки По формулам (9) вычисляем (см пример 96): ( ) co ; in ; r r O Рис9 R r R

25 9 СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Для введения сферической системы координат в пространстве: - выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом O (начало сферической системы координат) и полярной осью O - через точку O перпендикулярно основной плоскости проводим ось O (ось аппликат) и выбираем ее направление так чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси O происходило против часовой стрелки (рис9а) Сферические координаты точки M это упорядоченная тройка чисел ρ θ радиус ( ρ ) долгота ( < ) и широта ( θ ) У точек принадлежащих оси аппликат не определена долгота их положение задается радиусом ρ и широтой θ для положительной части оси O и θ для отрицательной ее части Начало координат задается нулевым значением радиуса ρ Иногда вместо угла θ широтой называют угол ψ θ принимающий значения ψ M ( ρ θ) M ρ ψ r θ O а k i Рис9 M M θ ρ r O б k i j 5

26 Со сферической системой координат Oρθ можно связать прямоугольную систему координат O i j k (рис9б) у которой начало и базисные векторы i k совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси O и оси аппликат O соответственно а базисный вектор j выбирается так чтобы тройка i j k была правой (при этом базис оказывается стандартным) Наоборот если в пространстве задана правая прямоугольная система координат то приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось получим сферическую систему координат (связанную с данной прямоугольной) Формулы связывающие между собой прямоугольные координаты точки M и ее сферические координаты ρ θ следуют из рис9б: ρ co in θ ρ in in θ ρ coθ (95) Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам 6

27 Обратный переход выполняется по формулам ρ + + co + in + θ arcco arcco ρ + + (96) Формулы (96) определяют долготу с точностью до слагаемых из них следует что формулам приведенным на рис98 tg Главное значение долготы ( < n где n Z При ) находится по 7

28 Пример 98 В сферической системе координат а) построить координатные поверхности R θ θ ( θ < ); < O ρθ : ρ б) найти сферические координаты ρ θ точки если известны ее прямоугольные координаты ( ) ; ρ R в) найти прямоугольные координаты точки если известны ее сферические координаты: ρ ; θ О R а) Координатной поверхностью ρ R те θ геометрическим местом точек M ( Rθ) при фиксированном Рис95 значении радиуса ρ R является сфера с центром в начале координат (рис95) Этим объясняется название сферической системы координат Координатной поверхностью те геометрическим местом точек ( ) M ρ θ при фиксированном значении долготы является полуплоскость ограниченная осью аппликат (на рис95 изображена полуплоскость ) Координатной поверхностью θ те геометрическим местом точек ( ρ θ ) θ M при фиксированном значении широты θ θ является конус ось которого совпадает с осью аппликат а вершина с началом координат При θ получаем основную плоскость На рис95 изображены конус θ θ и основная плоскость θ б) Находим сферические координаты точки ( ) По формулам (96) учитывая формулы на рис98 (см пример 96) получаем: ( ) + ρ + ; arctg ; в) По формулам (95) получаем ( ) θ arcco θ θ ρ co in θ ; ρ in in θ 6 ; ρ co θ 8


Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Рене Дека рт французский математик ( )

Рене Дека рт французский математик ( ) ЛЕКЦИЯ 5. Координатная ось. Прямоугольная система координат на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Трудно переоценить

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат

Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Декартовы системы координат Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четвёрка {O,e 1,e 2,e 3 }, в которой O это некоторая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Учебный год 2015/2016. Класс 11 Образовательный минимум

Учебный год 2015/2016. Класс 11 Образовательный минимум Учебный год 2015/2016 Триместр 1 полугодие Предмет Математика Класс 11 Образовательный минимум Понятие корня n-й степени из действительного числа. Определение: корнем n-й степени из неотрицательного числа

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. Проекцией круга F будет круг

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Геометрия 10 класса. материал у зачету для готовящихся к профессиональному ЕГЭ.

Геометрия 10 класса. материал у зачету для готовящихся к профессиональному ЕГЭ. Геометрия 10 класса материал у зачету для готовящихся к профессиональному ЕГЭ. 1. Аксиомы стереометрии 1.1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 1.2

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее