И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах"

Транскрипт

1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

2 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Сборник заданий для студентов дневной формы обучения факультета экономики и управления Екатеринбург

3 УДК П Пирогова И Н П Аналитическая геометрия в примерах и задачах: сб заданий / И Н Пирогова Екатеринбург : УрГУПС с Сборник заданий предназначен для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов Предлагаемая система дидактических материалов составлена на основе обобщения учебной литературы рекомендуемой Министерством образования РФ и многолетнего педагогического опыта профессорскопреподавательского коллектива кафедры «Высшая математика» УрГУПС Соответствует структуре изучения темы «Аналитическая геометрия» по дисциплине «Математика» для студентов экономических специальностей В сборник заданий вошли примеры учебные задания и типовые расчеты УДК Рекомендовано к печати на заседании кафедры «Высшая математика» протокол от г Автор: И Н Пирогова ст преподаватель кафедры «Высшая математика» УрГУПС Рецензент: О В Куликова доцент кафедры «Высшая математика» канд пед наук УрГУПС Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС)

4 Оглавление УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА6 6 ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 9 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

5 Уравнение прямой на плоскости Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A B C Уравнение прямой с угловым коэффициентом k : k b Если прямая проходит через точку M ( ) то ее уравнение имеет вид: k( ) Уравнение прямой проходящей через две точки M ( ) и M ( ) : A B C Расстояние от точки M ( ) до прямой A B C : d A B Расстояние между двумя точкам M ) и M ) находится по формуле ) ( ) ( ( ( d ( Координаты точки M ) делящей отрезок с концами M ) и M ) в отношении l находят по формуле ( ( ì l ï l í ï l î l Условие параллельности двух прямых заданных уравнениями k b и k b : k k ; условие перпендикулярности : k ; k угол между этими прямыми определяется формулой: tg k k kk j Точка пересечения двух прямых находится из решения системы уравнений ì k b í î k b Пример Составить уравнение двух прямых проходящих через точку А (; ) одна из которых параллельна прямой а другая перпендикулярна той же прямой Решение Угловой коэффициент прямой равен k (так как уравнение прямой можно представить в виде ) По условию параллельности угловой коэффициент параллельной прямой k k ее уравнение имеет вид

6 ( ) или По условию перпендикулярности угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен k уравнение этой k прямой ( ) или Пример Найти расстояние между параллельными прямыми и 6 Решение Возьмем на одной из прямых например произвольную точку A (;6) Тогда искомое расстояние от точки А до прямой равно d 6 Учебные задания Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8 и уравнение одной из его диагоналей Определить координаты вершин этого параллелограмма Стороны треугольника лежат на прямых 9 Вычислить его площадь Найти точку Q симметричную точке P (;) относительно прямой Даны середины сторон треугольника: M (; ) M ( ;) M (; ) Составить уравнение его сторон Задания для самостоятельной работы Даны уравнения двух сторон прямоугольника и одна из его вершин A ( ; ) Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника 6 Даны уравнения двух сторон прямоугольника и уравнение одной из его диагоналей Найти вершины прямоугольника Найти проекцию точки P (6;) на прямую

7 Кривые второго порядка Линия второго порядка это линия которая в декартовой системе координат задается уравнением второй степени относительно и Рассмотрим наиболее важные из них: эллипс гиперболу и параболу Эллипсом называется линия для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек F и F называемых фокусами есть величина постоянная равная a большая чем расстояние между фокусами Каноническое уравнение эллипса имеет вид: b Здесь a и b a соответственно большая и малая полуоси эллипса причем b a c Из уравнения эллипса вытекает что оси эллипса являются осями симметрии а точка О является его центром симметрии и называется центром эллипса (см рис ) b M() a F O F a b Рис В частном случае когда a b фокусы совпадают ( c ) и мы имеем окружность радиуса a с центром в начале координат ее каноническое уравнение будет иметь следующий вид: a Если центр эллипса находится в точке O ) а оси параллельны ( ( ) ( ) координатным осям то его уравнение имеет вид a b Уравнение окружности со смещенным центром в этом случае будет ( ) ( ) a Гиперболой называется линия для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная равная a и меньшая чем расстояние между фокусами Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Отрезок a называется действительной полуосью b мнимой полуосью причем b c a Прямоугольник b a со сторонами a и bназывается основным прямоугольником гиперболы (см рис ) Точки А и В называются вершинами гиперболы Можно показать что b ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямым ± Эти прямые a называются асимптотами гиперболы Уравнение вида b также оп a 6

8 ределяет гиперболу Она называется сопряженной(на рис она показана пунктиром) Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты Отметим что действительная ось ее b расположена на оси O а мнимая ось a на оси Ох Гипербола симметрична относительно координатных осей точка О является ее центром симметрии и называется центром гиперболы b M() F (c;) a O a F (c;) b Рис Если центр гиперболы находится в точке ( ) то ее уравнение будет O ( ) ( ) иметь вид или для сопряженной гиперболы a b ( ) ( ) a b Параболой называется линия все точки которой одинаково удалены от данной точки F называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p ( p > ) Величина p называется параметром параболы Выберем систему координат O так чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (см рис ) N M() p O F( p ;) Рис

9 В этом случае каноническое уравнение параболы будет иметь вид p p Уравнение директрисы Как следует из вида уравнения парабола симметрична относительно оси Ох Ее ветви направлены вправо Точка О называется вершиной параболы Уравнения p ± p также определяют параболы Схематично они изображены на рисунках (см рис ) F F O O O F p p p Рис Если вершина параболы находится в точке О ( ) то ее уравнение ( имеет соответственно один из видов: ) ± p( ) или ( ) ± p( ) Пример Выделяя полные квадраты привести уравнение линии к каноническому виду и построить ее Решение Сгруппируем слагаемые содержащие х и аналогично поступим для : ( ) 9( ) В скобках дополним первые два слагаемых до полного квадрата: (( ) ) 9(( ) ) ( ) 9( ) 9 () ( ) 9( ) 6 Разделим обе части уравнения на 6 Получим ( ) ( ) 9 Это уравнение определяет эллипс с центром в точке О (; ) и полуосями a и b Построим эту линию (рис ) 8

10 O Рис Учебные задания Составить уравнение эллипса фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат зная что: ) его полуоси равны и ; ) его большая полуось равна а расстояние между фокусами с 8 Определить полуоси каждого из следующих эллипсов: ) 6 9 ) ; ) 9 ; ) 9 Установить что каждое из следующих уравнений определяет эллипс и найти его полуоси координаты его центра: ) ; ) 8 Установить какие линии определяются следующими уравнениями: ) 6 6 ; ) 6 Определить полуоси a и b каждой из следующих гипербол: ) ; ) 6 ; ) ; ) Установить что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу найти полуоси и координаты ее центра: ) ; ) Установить какие линии определяются следующими уравнениями: ) 6 ; ) 9

11 8 Установить что каждое из следующих уравнений определяет параболу найти координаты ее вершины и величину параметра p : ) ; ) ; ) ; ) Задания для самостоятельной работы 9 Установить что данное уравнение определяет эллипс Найти его полуоси и координаты его центра 6 8 Установить какие линии определяются следующими уравнениями: ) 6 ; ) 8 Установить что данное уравнение определяет гиперболу найти полуоси и координаты ее центра Установить какие линии определяются следующими уравнениями: ) ; ) 9 8 Установить что данное уравнение определяет параболу найти координаты ее вершины и величину параметра p : ) 8 ; ) ; ) ; ) 6 Прямая и плоскость в пространстве Плоскость ( a ) в пространстве задается точкой М ) и вектором { ABC} ( n перпендикулярным плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости) Тогда можно записать каноническое уравнение плоскости А ( ) B( ) C( ) Уравнение вида A B C D называется общим уравнением Уравнение a b c называется уравнением плоскости в отрезках Здесь a величина отрезка отсекаемого плоскостью на оси О b на оси O с на оси O Если известны три точки плоскости не лежащие на одной прямой: М ) M ) M ) то из условия компланарности ( ( ( векторов М М ММ ММ где М ( ) текущая точка плоскости ( a ) можно получить уравнение плоскости проходящей через три заданные точки:

12 ( Расстояние от точки M ) до плоскости ( a ) заданной общим уравнением вычисляется по формуле A B C D d A B C Прямая линия может быть определена как линия пересечения двух ìa B C D плоскостей í Удобнее использовать канонические îa B C D уравнения прямой где М ( ) точка на прямой A B C l { ABC} направляющий вектор прямой (те вектор лежащий на прямой или параллельный ей) За направляющий вектор прямой можно взять вектор равный векторному произведению нормальных векторов плоскостей: l n n на пересечении которых лежит данная прямая Уравнение прямой проходящей через две точки М ( ) M ) можно записать в виде ( Из канонических уравнений прямой можно вывести параметрические ì At ï уравнения прямой приравнивая каждое из отношений параметру t: í Bt ï î Ct где < t < Примечание Векторным произведением двух векторов вектор с который удовлетворяет трем условиям: a и b называется ) модуль с вектора численно равен площади параллелограмма построенного на векторах a и b т е с a b sin j где j угол между векторами a и b ; ) вектор с перпендикулярен векторам a и b ; ) вектор с направлен так что три вектора a b c образуют правую тройку Говорят что векторы a b c образуют правую тройку если глядя с конца третьего вектора с вращение первого вектора a ко второму b по наименьшему углу происходит против часовой стрелки и левую если против часовой стрелки Векторное произведение выражается через координаты

13 векторов a и b следующим образом i j k a b i j k где j k векторы Смешанным произведением трех векторов a b c называется число равное скалярному произведению вектора a b на вектор c Формула выражающая смешанное произведение векторов a b c i единичные базисные a b c через их координаты имеет вид Пример В системе O даны точки M ( ;; ) M ( ;; ) M ( ; ; ) M (; ; ) Найти: ) уравнение плоскости ( a ) проходящей через точки M M M ; ) расстояние от начала координат до плоскости ( a ); ) cоставить уравнение прямой проходящей через точку M и перпендикулярной плоскости ( a ); ) найти проекцию точки M на плоскость ( a ) и расстояние от точки M до плоскости ( a ); 6) составить уравнение плоскости проходящей через точку M параллельно плоскости ( a ) Решение Уравнение плоскости проходящей через три точки M M M будет иметь вид или 9 Раскрывая этот определитель по элементам первой строки получим ( ) ( ) ; 9 9 или ( ) ( ) ; Таким образом уравнение плоскости ( a ) будет иметь вид Расстояние от точки О ( ) начала координат до этой плоскости найдем по формуле

14 ( ) d 9 Найдем канонические уравнения прямой проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ( a ) Из перпендикулярности прямой и плоскости следует что за направляющий вектор прямой можно принять нормальный r вектор плоскости l n { ; ;} будут иметь следующий вид: r Тогда канонические уравнения прямой Найдем координаты точки M проекции точки M на плоскость ( a ) Параметрические уравнения прямой будут иметь вид: t; t; t Так как точка M лежит и на проектирующей прямой и на плоскости ( a ) то ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости (a ) Подставим значения из параметрических уравнений в уравнение плоскости (a ) Получим ( t) ( t) ( t) Откуда найдем t значение параметра t отвечающее точке пересечения прямой и плоскости ( a ) Далее найдем координаты проекции точки M на плоскость ( a ): ( ); ( ); ( ) т е M (; ; ) Расстояние от точки M до плоскости ( a ) найдем по формуле ( ) ( ) 8 d Так как искомая плоскость (b ) параллельна плоскости ( a ) то нормаль к uur uur плоскости (b ) равна n n { ; ;} b a ( ) ()( ) ( ) Тогда уравнение плоскости ( b) будет иметь вид: или Учебные задания Даны две точки M (; ;) и M (;; ) Составить уравнение плоскости проходящей через точку M перпендикулярно вектору M M Составить уравнение плоскости проходящей через три точки: ( ; ; ) ( ; ; ) ( ;;) M M M

15 Определить двугранные углы образованные пересечением пар плоскостей и Составить уравнение плоскости которая проходит через точку M ; ; параллельно плоскости ( ) Составить каноническое уравнение прямой проходящей через точ M ;; параллельно прямой 6 Составить каноническое уравнение прямой проходящей через две ку ( ) заданные точки M ( ; ;) и ( ) M ;; Составить канонические уравнения прямой проходящей через точку ( ; ; ) M параллельно прямой í ì î 8 Доказать параллельность прямых ì í î 8 9 Найти острый угол между прямыми Найти точку пересечения прямой и плоскости Найти точку Q симметричную точке ( ;;6 ) и и 6 P относительно прямой ì í î P ;; до плоскости проходя ; M ;; M ( ; ;) Вычислить расстояние от точки ( ) щей через три точки M ( ; ) ( ) Точка ( ; ; ) Задания для самостоятельной работы P служит основанием перпендикуляра опущенного из начала координат на плоскость Составить уравнение этой плоскости Определить при каком значении k пара уравнений определяет перпендикулярные плоскости k Составить уравнение плоскости которая проходит через начало координат параллельно плоскости

16 6 Составить параметрические уравнения прямой проходящей через ; ; M M и ( ) две точки ( ) ;; Даны вершины треугольника A ( ;6; ) B ( ; ;) C ( ; ;) Составить параметрические уравнения его медианы проведенной из вершины С 8 Составить канонические уравнения прямой í ì î 9 Найти проекцию точки ( ;; ) P на плоскость Типовой расчет Уравнение прямой на плоскости Даны вершины треугольника ABC Найти: ) уравнение стороны AB; ) уравнение высоты СН; ) уравнение медианы АМ; ) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; ) уравнение прямой проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 6) расстояние от точки С до прямой АВ Вариант Вариант А(; ) B(; ) C(;) А( ; ) B(; ) C(;) Вариант Вариант A(; ) B(; ) C(; ) A(; ) B(; ) C(9; ) Вариант Вариант 6 A(; ) B(8; ) C(; 8) A(; 6) B(; ) C(; ) Вариант А( ;) B(; ) C( ;) Вариант 8 A( ; 8) B( 6; ) C(8; ) Вариант 9 А( ; ) B(; ) C(; ) Вариант A(; ) B(;) C(6; ) Вариант Вариант A(; ) B(9; 6) C(; ) A(; ) B(; ) C(8; ) Вариант Вариант A(; ) B(; 8) C(; 6) A( ; ) B(; ) C(8; )

17 Вариант Вариант 6 A(; ) B(8; ) C(; ) A(; ) B(; ) C(6; 8) Вариант Вариант 8 A(; ) B(; ) C(9; ) A(; ) B(; 6) C(6; ) Вариант 9 Вариант А( ; ) B( ; ) C( ; ) A(; ) B(; ) C(; ) Вариант Вариант А(; ) B(8; 6) C(; 6) A(; ) B(6; ) C(; 8) Вариант Вариант A(6; 9) B(; ) C(; ) A(; ) B(6; ) C(; ) Вариант Вариант 6 A(; ) B(; ) C(; ) A(; ) B(; ) C(; ) Вариант Вариант 8 A(; 6) B(; ) C(; ) A(; ) B(; ) C(; ) Вариант 9 Вариант A( ; ) B(; ) C(; ) A(; ) B(; ) C(; ) Типовой расчет Кривые второго порядка Записать каноническое уравнение кривой применяя метод выделения полного квадрата Указать вид данной кривой Найти координаты центра кривой и построить ее на чертеже 6 6 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ 6

18 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ 6 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 8 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ

19 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 6 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 8 ВАРИАНТ 9 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ

20 ВАРИАНТ ВАРИАНТ ВАРИАНТ 8 ВАРИАНТ ВАРИАНТ 6 Типовой расчет Прямая и плоскость в пространстве Задание Найти расстояние от точки М до плоскости проходящей через три точки М М М М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М ( 6) М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М () М ( ) М () М ( ) М ( ) М () М ( ) М ( ) 6 М ( 9) М () М ( ) М ( ) М ( 9) М ( ) М () М ( 6) 8 М ( 6 ) М ( ) М ( ) М ( 6 ) 9 М () М () М ( ) М ( ) М ( ) М ( ) М () М ( ) М () М () М ( ) М ( ) 9

21 М ( 6) М ( ) М () М ( ) М (68) М ( 6) М ( ) М ( ) М ( 8) М ( ) М ( 6) М ( ) М () М ( ) М () М ( ) 6 М ( ) М (6) М ( ) М () М (8) М (6) М ( ) М (8) 8 М (8) М () М ( ) М ( ) 9 М (8) М () М ( ) М ( ) М ( 8 ) М ( ) М ( 6 ) М (6 ) М ( 6) М ( ) М () М ( 9) М ( 6 8) М () М () М () М ( ) М ( ) М () М ( 6) М (6) М ( ) М () М ( 8 ) М ( 8) М () М ( ) М ( 6 ) 6 М ( 86) М () М ( ) М (6) М () М ( ) М ( ) М ( ) 8 М (8) М () М ( ) М ( ) 9 М ( 8) М () М ( ) М (6) М ( 6) М ( ) М () М ( ) М ( ) М ( ) М (6) М ( ) Задание Написать уравнение плоскости проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС А ( ) В( ) С( ) А( ) В( ) С(6 ) А ( ) В( ) С( ) А( 8) В( ) С( ) А ( ) В( ) С( ) 6 А( ) В( ) С( ) А ( 8) В( ) С( ) 8 А( ) В( ) С( ) 9 А( 9 ) В() С( ) А( ) В( ) С( ) А ( ) В( 6) С( ) А( ) В( ) С( ) А( ) В() С() А( 8) В() С( ) А ( ) В(8) С( 8 ) 6 А( 9) В() С(8) А ( 6) В(9 ) С(66 ) 8 А( ) В(9) С(9) 9 А ( ) В(8 ) С(99 ) А( 6) В( ) С( 96 )

22 А () В(6) С(9 ) А( ) В( ) С(9 ) А ( 8) В( ) С( 8) А( ) В(6 ) С( ) А ( 9 ) В( 8 ) С( ) 6 А( ) В( 6) С( ) А ( ) В( ) С( ) 8 А( ) В() С() 9 А( ) В(8 ) С(8 ) А( 6) В(8 ) С( ) А( ) В(8 ) С(9) Задание Найти угол между плоскостями Задание Написать канонические уравнения прямой ì ì ì 6 í í í î 6 î î 8 ì ì 6 ì 6 í í 6 í î î î ì ì ì í 8 í 9 í î î î ì í í ì í ì î î 8 î 6 í ì 6 í ì 8 í ì 6 8 î î î 6

23 6 î í ì î í ì 6 8 î í ì 9 î í ì 8 î í ì 6 î í ì î í ì î í ì î í ì 6 î í ì 6 î í ì î í ì 6 8 î í ì 9 î í ì 6 î í ì î í ì 6 Задание Найти точку пересечения прямой и плоскости

24 Задание 6 Найти точку Q симметричную точке М относительно прямой (для вариантов ) или плоскости (для вариантов 6 ) 6 ) ( M 6 ) ( M 6 () M 6 () M 6 ) ( M 66 () M

25 6 M () 68 M () 69 () 6 M 6 M () 6 () M 6 M () 6 M () 6 M () 6 M () 66 М ( ) 6 6 М ( ) 68 М ( ) 69 М () 6 М ( ) 6 М () 6 6 М ( ) 6 М ( ) 6 М ( ) 6 М ( ) 66 М ( ) 6 М () 68 М ( ) 69 М () 6 М ( ) М ()

26 Библиографический список Высшая математика для экономистов: учеб для вузов / Под ред НШКрамера М: ЮНИТИ Высшая математика: метод руководство / АР Данилин И Я Кац Екатеринбург: УРГУПС Высшая математика: метод руководство / ВИ Белугин ТВ Величко ЭЕ Поповский УРГУПС: Екатеринбург Конспект лекций по высшей математике: учеб для вузов /ДТ Письменный М: Рольф Практикум по высшей математике для экономистов: учеб пособие для вузов / НШ Кремер ИМТришин БА Путко и др; Под ред Н Ш Кремера М: ЮНИТИДАНА

27 Учебное издание И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Сборник заданий для студентов дневной формы обучения факультета экономики и управления Редактор СВПилюгина Подписано в печать 9 Формат 6 8 /6 Бумага офсетная Усл печ л Тираж экз Заказ 6 Издательство УрГУПС 6 Екатеринбург ул Колмогорова 66

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Е.И. Деревягина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА.

Федеральное агентство по образованию. Е.И. Деревягина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА. Федеральное агентство по образованию Е.И. Деревягина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА. Учебно-методическое пособие для вузов Воронеж 007 Утверждено

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Кафедра высшей математики и статистики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Кафедра высшей математики и статистики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановская государственная текстильная академия»

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.П. КАРАСЁВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.П. КАРАСЁВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рязань 06 Министерство образования и

Подробнее

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Р.М. Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» РМ Минькова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие Научный редактор

Подробнее

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С.А. Зотова В. Б. Светличная Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Волгоград МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения)

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Математика Часть I Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Санкт-Петербург ББК я М Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович)

Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович) Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович) Автор: Егисбаев Нуржан Оспанханович 1. Вычислить определитель -17 11 17-19 1 2. Вычислить определитель 33 27-33 9-1 3. Вычислить определитель

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ТРЕБОВНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РБОТ При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее