МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ по темам «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» для студентов I и II курсов всех специальностей дневного обучения Москва - 0

2 Введение В курсе математики студенты дневного отделения изучают темы «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» во втором или в третьем семестрах в зависимости от специальности. Дифференциальные уравнения - наиболее востребованная часть курса математики в инженерных приложениях. Ряды представляют простой и весьма совершенный инструмент для приближённого вычисления функций, интегралов и решения дифференциальных уравнений, что отражено в задачах данного пособия. Важнейшим разделом теории рядов являются ряды Фурье, их приложения к задачам физики, электротехники, радиотехники. В пособии содержатся два контрольных задания и образцы их выполнения. Общие рекомендации студенту по работе над курсом математики Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:. Изучение материала по лекциям;. Изучение материала по учебнику и учебным пособиям (см. список литературы);. Выполнение еженедельных домашних заданий; 4. Выполнение контрольных домашних заданий (КДЗ). Студент может обращаться к преподавателю для получения консультации, посещать имеющиеся факультативные занятия.

3 4 Указания к выполнению КДЗ. Каждое контрольное домашнее задание должно выполняться в отдельной тонкой тетради в клетку, чернилами чёрного или синего цвета. Необходимо оставлять поля для замечаний преподавателя.. На титульном листе тетради должны быть чётко написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины, номер выполняемого варианта. Как правило, номер варианта задаётся преподавателем.. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров, обязательно записывая условие каждой задачи. 4. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. 5. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ». 6. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочёты. Вносить исправления в текст работы после её рецензирования запрещается.

4 5 ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Вариант 0. Решить уравнение: y cos 4yl y.. Решить уравнение: ( y ) d ydy 0.. Решить задачу Коши: y y cos si, y(0). 4. Найти общее и любое частное решение уравнения: + 5. Решить уравнение: 6. Найти общее решение уравнения: 7. Решить задачу Коши: y 0y 50si, y ( 0), y ( 0). 8. Найти общее решение уравнения: Задача. Решить уравнение y cos 4yl y. Решение. Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на cos 4y l y 0 и умножив dy 4d на d, получаем уравнение. yl y cos Интегрируем обе части уравнения: d l y l y 4 d ; cos cosd d si d si si l l y 4 l l C cos si. si si По свойствам логарифмов находим: l si y C ; si si l y C. si

5 si C 6 Таким образом, y e si общее решение, где произвольная постоянная С 0. Отдельно рассмотрим случай cos 4y l y 0. Непосредственной подстановкой в исходное уравнение получаем, что, где натуральное число, и y 0 не являются решениями, а y - решение, которое входит в общее решение при С = 0. Окончательно получаем Ответ: y e si C si, где С - произвольная постоянная. Задача. Решить уравнение ( y ) d ydy 0. Решение. Это уравнение первого порядка является однородным второй степени. y y Разделив обе части этого уравнения на d, получим 0 y. y Обозначим: u. Тогда y u, y u u, и уравнение примет вид udu d d( u ) d u uu u 0, откуда uu u ; ;. u u Интегрируя, находим: l u l l C u ; u C C интеграл исходного уравнения: ; l u l ; C. Возвращаясь к исходной функции, получим общий y y C ; C ; y C. Ответ:. y C

6 7 Задача. Решить задачу Коши: y y cos si, y(0). Решение. Шаг. Находим общее решение данного линейного неоднородного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Первый способ (метод вариации постоянной). Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения y y cos 0. Этим решением является функция si y C e. Пусть теперь C C(). Подставив выражение si si ( ) y C e C( ) e cos si y C( ) e и в исходное уравнение, найдем C ( ), а затем si si интегрированием C( ) si e e C, где C произвольная постоянная. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид si si si si si e e C e si C e y. Второй способ (метод Бернулли). Решение уравнения будем искать в виде y u( ) v( ). Подставив y и y в исходное уравнение, получим u v u v uv cos si или u v u ( v v cos) si. Потребуем, чтобы функции u, v удовлетворяли условиям: v v cos 0. u v si Из этой системы последовательно находим: v si e, si si si u e e C. Общее решение исходного уравнения запишется в виде: y u v si e e C e si C e. si si si si Шаг. Находим частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0). Подставив 0 и y в si общее решение y si C e, найдем константу C 5. Таким образом, получаем частное решение y si 5e si. Ответ: y si 5e si.

7 Задача 4. Найти общее и любое частное решение уравнения + 8 Решение. Это дифференциальное уравнение второго порядка решается непосредственным интегрированием. После первого интегрирования получаем После второго интегрирования получаем общее решение, где и - произвольные постоянные. Частное решение получается из общего при конкретных значениях и Положив, например, а = 0, находим частное решение. Ответ:. Задача 5. Решить уравнение: Решение. Это уравнение второго порядка, не содержащее явно функцию у. Сделаем замену переменной:. Уравнение примет вид: это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его. ; Возвращаясь к исходной переменной, получаем. Ответ:..

8 9 В задачах 6 и 7 нужно решать линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид решения таких уравнений зависит от корней характеристического уравнения и вида правой части уравнения. Поэтому приведем решение не одной, а трех задач такого типа. Задача 6а. Найти общее решение дифференциального уравнения: y. 6y 8y 7e Решение. Данное уравнение второго порядка является линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет комплексные корни i и i. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Y e ( C cos C si). Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ( ) Ae. Тогда ' Ae, 4Ae. Подстановка в уравнение приводит к равенству 4A A8A e 7e, откуда A. Таким образом, общее решение заданного уравнения имеет вид y e ( C cos C si ) e. Ответ: y e ( C cos C si ) e. Задача 6б. Найти общее решение дифференциального уравнения: y. 5y 6y e Решение. Характеристическое уравнение имеет корни и. Значит, общее решение однородного уравнения записывается в виде Y C e C e. Заметим, что первый из корней характеристического

9 0 уравнения совпадает с коэффициентом показателя степени функции в правой части. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Ae. Тогда Ae ( ), Ae (6 9). Подстановка в уравнение приводит к равенству 6A 9A 5A5A 6Ae e, откуда A. Таким образом, общее решение заданного уравнения имеет вид: y Ce Ce e. Ответ: y Ce Ce e. Задача 6в. Найти общее решение дифференциального уравнения: y y cos 8si. Решение. Характеристическое уравнение 0 имеет корни i и i Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид Y C cos C si. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ( a b)cos ( c d) si. Вычислим производные первого и второго порядка этой функции: c (a d) bcos a (c b) dsi, '' a (4c b) a dcos c (4a d) c bsi Подставив их в исходное уравнение, получим соотношение 4c a d cos 4a c b si cos 8si. Это равенство должно выполняться для всех, что с учетом линейной независимости функций cos и si возможно лишь при выполнении условий: 4c a d 4a c b, 8 4a 8 c b 0 и 4c 0, откуда a, b 0, c 0, d a d. Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид: cos si, а общее решение исходного уравнения имеет вид: y C cos C si cos si.. Ответ: y C cos C si cos si.

10 Задача 7. Решить задачу Коши: y 0y 50si, y ( 0), y ( 0). Решение. Характеристическое уравнение 0 0 имеет корни и 7. Значит, общее решение однородного уравнения y 0y y 0 записывается в виде уравнения ищем в виде Y C e C e 7. Частное решение неоднородного ( ) Acos Bsi, где A и B неопределенные коэффициенты. Для их определения вычислим ( ) Asi Bcos, ( ) Acos Bsi и подставим в исходное уравнение. Тогда получим или Acos Bsi 0 Asi Bcos Acos Bsi 50si 0 0Bcos 0B 0A 50si 0 A. Это равенство должно выполняться для всех, что с учетом линейной независимости функций cos и si возможно лишь при выполнении условий: 0A 0B 0. Значит, A, B. Таким образом, общее решение 0B 0A 50 0 исходного уравнения имеет вид: 7 y C e C e cos si. Для решения задачи Коши найдем производную 7 y C e 7Ce si C получим систему C cos. Подставив в начальные условия для y и y, C, откуда C, C. 7C, Ответ: 7 y e e cos si. Задача 8. Найти общее решение уравнения: Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Составляем и решаем характеристическое

11 уравнение λ - 5λ = 0, λ (λ -5) = 0. Оно имеет действительные и различные корни λ = 0, λ, = ± Следовательно, общее решение имеет вид, где,, произвольные постоянные. Ответ:. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОГО ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения: 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:

12 Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения: 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:

13 8. Найти общее решение уравнения:. 4 Вариант 4. Решить уравнение.. Решить уравнение:. Решить задачу Коши: 4. Найти общее решение уравнения: 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение 7. Решить задачу Коши. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 5. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:.

14 5 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение :. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 6. Решить уравнение :.. Решить уравнение :. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 7. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.

15 . Решить задачу Коши: Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение :. 6. Решить уравнение :. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 8. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши :. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 9. Решить уравнение: 4 d 4y dy y dy.

16 7. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение :. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 0. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант. Решить уравнение:.

17 8. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:.

18 9 Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение: 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 4. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:.

19 0 Вариант 5. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения :. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 6. Решить уравнение.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:

20 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 7. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 8. Решить уравнение:.. Решить уравнение :.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:.

21 8. Найти общее решение уравнения: Вариант 9. Решить уравнение:.. Решить уравнение:. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Решить уравнение: 7. Решить задачу Коши: 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант 0. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:.

22 6. Решить уравнение:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение: 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения:. Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши: 4. Найти общее решение уравнения:.

23 4 5. Решить уравнение: 6. Решить уравнение: 7. Решить задачу Коши: 8. Найти общее решение уравнения: Вариант. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши: 4. Найти общее решение уравнения: 5. Решить уравнение: 6. Найти общее решение уравнения 7. Решить задачу Коши: 8. Найти общее решение уравнения: Вариант 4. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши: у (0) =.

24 5 4. Найти общее решение уравнения:. 5. Решить уравнение:. 6. Найти общее решение уравнения:. 7. Решить задачу Коши:. 8. Найти общее решение уравнения: Вариант 5. Решить уравнение:.. Решить уравнение:.. Решить задачу Коши:. 4. Найти общее решение уравнения: 5. Решить уравнение:. 6. Найти общее решение уравнения:. 7. Решить задачу Коши: 8. Найти общее решение уравнения: ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ» Вариант 0 Задача. Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

25 6 а) 5 б)! в) 5 г) l а) 5 Решение Для исследования ряда применим II признак сравнения: Пусть даны два знакоположительных ряда существует предел a и b, и a lim A. Тогда, если A 0 и A, то ряды ведут себя b одинаково (или оба сходятся, или оба расходятся). Для сравнения возьмём гармонический ряд a, 5 b, ; таким образом, lim a b ( ) lim 5 lim 5. Здесь A 0 и A, значит, данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд. Ответ: Ряд расходится. б)!

26 7 Решение Применим признак Даламбера: Если существует ряд сходится, а при q расходится. a lim q и q, то a Здесь a!, a ( )!! ( )! ; ( ) ( ) ( ) lim a a! lim lim ( )! (использован II замечательный предел lim lim e). lim e Таким образом, q, значит, данный ряд сходится. e Ответ: Ряд сходится (по признаку Даламбера). в) 5 Решение Применим признак Коши: Если существует предел ряд сходится, а при q расходится. lim a q и q, то Здесь lim a lim lim ; таким образом, 5 q, значит, данный ряд расходится. Ответ: Ряд расходится (по признаку Коши). г) l

27 8 Решение Применим интегральный признак Коши: Если функция f () положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке [, ), то ряд f ( ) и интеграл d сходятся или расходятся одновременно. Вычислим данный ряд тоже. d l l l. Интеграл расходится, значит, и Ответ: Ряд расходится (по интегральному признаку). Задача. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать, абсолютно или условно. ( ) l Решение Ряд знакочередующийся. Для его исследования применим признак Лейбница: Если члены ряда ( ) a, где a 0, монотонно убывают по абсолютной величине ( a a a... ) и стремятся к нулю ( lim a 0), то ряд сходится. Здесь..., так как функция l монотонно l l l 4 возрастает при 0, lim a lim 0. Значит, данный ряд сходится по l признаку Лейбница. Рассмотрим ряд из абсолютных величин:

28 9 ( ) l l. Этот ряд расходится по признаку сравнения. В самом деле, при 0 l, то есть l, откуда расходится, а члены ряда l (,,... ). Но ряд l (гармонический) больше, чем соответствующие члены гармонического ряда. Значит, ряд из абсолютных величин расходится. Таким образом, данный ряд сходится условно (не абсолютно). Ответ: Ряд сходится условно. Задача. Найти область сходимости степенного ряда ( ) Решение Найдём радиус сходимости данного степенного ряда: a R lim a lim. Тогда интервал сходимости может быть найден из неравенства R, то есть:,,. Таким образом, интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда в концах интервала:

29 0 ). Ряд принимает вид ; этот ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости lim a 0 (здесь lim a lim ); ). Ряд принимает вид ( ) расходится, так как его члены тоже не стремятся к нулю.. Этот ряд также Ответ : Область сходимости данного ряда промежуток (, ). Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. Ответ: 4 4 Решение Используем одно из основных разложений , верное при : 4 Это разложение верно при условии 4 0 ( ) при Задача 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 e d 0 Решение 0 ( ) 4, то есть при 4 4..

30 e 0 Используем основное разложение e...; тогда!! e...,!! d 0 4 4! d! 5 5! ! Если для приближённого вычисления интеграла взять первых члена, то по теореме Лейбница ошибка δ будет меньше первого из отброшенных членов, то есть δ 0, Значит, e d 0, Ответ: С точностью до 0,00 данный интеграл равен 0,46. 0 Задача 6. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения y, y удовлетворяющего начальному условию y ( 0). Решение Пусть y y() искомое частное решение. Ряд Маклорена для функции y () имеет вид: y(0) y (0) y (0) y ( ) y(0)...!!! Из начальных условий следует, что y ( 0). Из уравнения найдём y (0) : y (0) Дифференцируем уравнение:

31 y 4 yy, y ( 0) ; y 4 ( y) yy, y ( 0) Таким образом, можно написать четыре первых члена ряда: 4 9 y ( )...!!! 56 Ответ: y ( ) 4 9,5... Задача 7. Разложить функцию π, ( π π) в ряд Фурье в интервале ( π, π). Построить график функции и график суммы ряда Фурье. График функции Решение π на данном интервале имеет вид: Функция f () на интервале ( π, π) удовлетворяет условиям Дирихле, и её ряд Фурье имеет вид: Найдём коэффициенты ряда: π π a0 a cos b si. a ( ) (π ) π (π π 0 f d d ) π π π π π π π π π ;

32 a π π π π (π ) cos d cos π π 0; π π si π π π π si d π π π π b (π )si d cos cos d π π π π π π π π π cos si cosπ ( ). π π π π Ответ: Ряд Фурье данной функции имеет вид График суммы () ( ) π π si. S ряда Фурье изображён на рисунке:

33 КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ» Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: 4 а) б) в) г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 e 0 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y si y d ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

34 5 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) 4 б)! 5 в) 5 г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. si. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. х 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 cos d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

35 6 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! в) г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда 5 ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место Вычислить интеграл с точностью до 0,00 d cos 0 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y e y; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. π, ( π π)

36 7 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) ( ) б) 5 в) г). Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( )!. Найти область сходимости степенного ряда 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 6 х! 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 5 0 si d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e y ; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( π π)

37 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) 8 si б) в) 4 г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда 4 ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. l ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 5 0 si d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y cos y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. 0 при π 0, ( π π) при 0 π

38 Вариант 6. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) π si 9 б) 5! в) г). Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0,5 e Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e d y; y(0) 4 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( π π)

39 40 Вариант 7. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) ( ) в) г) 0. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) l. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. cos 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0,5 d 0 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье, ( )

40 Вариант 8. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! 4 в) e г) 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( 5) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. l ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0,4 0 5 cos 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y si y ; d y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

41 Вариант 9. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) 5! 8 4 в) 4 г) 5. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) 5. Найти область сходимости степенного ряда ( )! 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 0 l( 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : ) d y y e y ; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( 5 5)

42 4 Вариант 0. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) в) б) г) 7 9. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( )!. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 si ( ) d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y ; y(0) 5 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. при π 0, ( π π) при 0 π

43 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! 44 в) г) 7. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) π si. Найти область сходимости степенного ряда 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. e 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 si 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y cos y ; d y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( π π)

44 45 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) 5 в) l г) l 5. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. l ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 5 0 si( 4 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e ) d y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье, ( )

45 46 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! в) г) 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0,4 e 4 d 0 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y y; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. при π 0, ( π π) 0 при 0 π

46 47 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) в) г). Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( )!. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию si в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 0, 5. Вычислить интеграл e d с точностью до 0, Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e y ; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье, ( π π)

47 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) ( )! 48 в) г) l 4. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) arcsi. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 0 l( ) d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y si ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

48 49 Вариант 6. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) 7 в) г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 cos d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y 5e y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье.

49 50 Вариант 7. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) в) г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. si 5. Вычислить интеграл с точностью до 0, Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y ; d y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. при π 0, ( π π) при 0 π

50 5 Вариант 8. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) ( )( ) б) в) г) 5 l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( 5) ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. e 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 5 0 cos( 4 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y si y ; ) d y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. при 0, ( ) 0 при 0

51 5 Вариант 9. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) 7! в) 4 г) 5. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0, si 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e y d y; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

52 5 Вариант 0. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! 0 в) 5 г) l 6. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, 0 si (5 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y ; ) d y(0) 4 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. при π 0, ( π π) при 0 π

53 54 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б)! в) 4 8 г). Исследовать сходимость знакопеременного ряда сходится, то указать абсолютно или условно.. Найти область сходимости степенного ряда ( ). Если он ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 0, 5. Вычислить интеграл 0 l ( ) ) cos (5 d с точностью до 0,00 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y cos si ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье. 0 при 0, ( ) при 0

54 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) 4! 4 55 в) г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) 6. Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. l ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

55 Вариант. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) 4 б) ( )! 56 в) г). Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( 4) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. cos 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0 si 4 d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y cos y si ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

56 Вариант 4. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) ( 4) ( )! 0 57 в) 4 г) l. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ). Найти область сходимости степенного ряда ( ) 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, e 0 d 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y y ; y(0) 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( )

57 Вариант 5. Исследовать сходимость знакоположительных рядов: а) б) ( ) 0 58 в) г) 5. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно. ( ) ( )!. Найти область сходимости степенного ряда! 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место. l ( ) 5. Вычислить интеграл с точностью до 0,00 0, e 0 6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y y() дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y( 0) a : y e y d y ; y(0) 0 7. Данную функцию f () разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f () и график суммы ряда Фурье., ( 4 4)

58 59 ЛИТЕРАТУРА. Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. М.: «Айрис пресс», Самохин А.В. и др. Сборник задач по высшей математике. Интегралы. Дифференциальные уравнения. М.: МГТУ ГА, 005. Ч.IV, Жулёва Л.Д. и др. Сборник задач по высшей математике. Ряды. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: МГТУ ГА, 000. ч. III, 46.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» А.И. ФРОЛОВИЧЕВ, М.В.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Е.И. Федорако Минск 7 7 Кафедра

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Допущено Министерством сельского хозяйства Российской федерации в качестве

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан SOME APPLICATION OF EXPONENTIAL SERIES Toraeva N.E., Akhmesabyrova

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики ВС Козлова, ГН Радковский, АА Савченко,

Подробнее

51(07) Н192 МАТЕМАТИКА. Методические указания к выполнению семестрового задания. Часть 3. Челябинск 2009 ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

51(07) Н192 МАТЕМАТИКА. Методические указания к выполнению семестрового задания. Часть 3. Челябинск 2009 ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 5(7) Н9 МАТЕМАТИКА Методические указания к выполнению семестрового задания Часть Челябинск 9 Министерство образования и науки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы

МАТЕМАТИКА Дифференциальные уравнения и ряды. Методические указания по выполнению контрольной работы Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации" МАТЕМАТИКА

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2

( 0) = 0. Дисциплина Высшая математика Факультет ФАПИ специальность_занз 08 семестр III_ БИЛЕТ 2 БИЛЕТ Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Структура общего решения Подбор частного решения Решить уравнение: x = 0 Найти решение задачи Коши: =

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

В этом примере мы использовали свойство предела произведения и второй замечательный

В этом примере мы использовали свойство предела произведения и второй замечательный Задание. Вычислить пределы: a) lim 4 b) limctg 0 5 tg 8 4 c) lim 4 Решение: a) lim lim lim lim. 4 4 4 5 5 5 4tg 4tg 4si 5 b) lim 8 8 8 ctg tg lim lim lim 0 0 8 4 0 0 5 tg tg tg si 8 8 8 8 5 5 4si 8 8 8

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Кафедра информационных систем и технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции.

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ЕК Васенкова,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Примеры типовых задач письменного экзамена

Примеры типовых задач письменного экзамена Неопределенные интегралы Примеры типовых задач письменного экзамена Задача ( ) cos( ) d Решение u, du ( ) cos d cos d dv, v si ( Проверка ( Ответ ( )si cos cos d )si cos C si )si cos C ( ( ( u, du )si

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.Н. Кушнер, А.А. Савченко, В.А. Ухова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.Н. Кушнер, А.А. Савченко, В.А. Ухова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.Н. Кушнер, А.А. Савченко, В.А. Ухова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по выполнению контрольных работ и варианты заданий для студентов

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного переменного. Числовые и функциональные ряды. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности 76 «Промышленное и гражданское строительство» семестр Дифференциальное и интегральное исчисление функции одного

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее