ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Москва 07 0

2 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие для студентов всех специальностей ИЭФ Москва 07

3 УДК 57 Х 7 Халилова ЛГ Дифференциальные уравнения: Учебное пособие М: РУТ (МИИТ), 07 7 с В учебном пособии рассматриваются методы и приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей высших технических и экономических направлений и соответствует государственному стандарту Данное учебное пособие предназначено для целенаправленной подготовки к выполнению теста "Дифференциальные уравнения" и содержит все необходимые теоретические сведения, методические рекомендации, образцы решения типовых заданий, задания для тренировки и тридцать вариантов индивидуальных заданий с решением примеров нулевого варианта Рецензенты: Зав Лабораторией НИИ механики МГУ, д ф-м н, профессор ДВ Тарлаковский Зав кафедрой «Высшая и вычислительная математика» РУТ (МИИТ) дф-мн, доцент ОА Платонова РУТ (МИИТ), 07

4 Содержание ДИФФЕРЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5 Введение 5 Что называется решением дифференциального уравнения 7 Общее решение и вычисление значений произвольной постоянной в решении задачи Коши 0 Классификация уравнений первого порядка 4 Решение уравнений с разделяющимися переменными 7 5 Однородные дифференциальные уравнения 0 6 Линейные уравнения первого порядка 6 7 Уравнения в полных дифференциалах 0 8 Уравнение Бернулли 8 9 Интегрирующий множитель 44 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 48 Введение 48 Что называется решением дифференциального уравнения 5 Общее решение уравнения второго порядка и вычисление значений произвольных постоянных в решении задачи Коши 56 Подстановки для уравнений второго порядка 60

5 4 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 65 5 Вычисление значений произвольных постоянных в решении задачи Коши 70 6 Вид частного решения неоднородного уравнения 75 7 Частное решение неоднородного уравнения 8 Индивидуальные задания по теме: «Дифференциальные уравнения» 87 Примерный типовой вариант заданий 88 Решение примеров типового варианта заданий 89 Варианты заданий 07 Литература 7 4

6 ДИФФЕРЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Введение Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производные Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой Ответ на вопрос о том, при каких условиях дифференциальное уравнение имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения Условия, в силу которых функция 5 принимает заданное значение 0в заданной точке 0 называют начальными условиями и записывают обычно так: 0 0 или 0 0 Отыскание решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, одна из важнейших

7 задач теории дифференциальных уравнений Эта задача называется задачей Коши Общим решением дифференциального уравнения первого,, зависящая от порядка называется функция аргумента х и произвольной постоянной С, которая при любом значении С удовлетворяет уравнению, такая, что любое решение данного уравнения может быть получено из, соответствующим выбором постоянной С Частным решением дифференциального уравнения, 0, которая получается из называется функция общего решения, при определенном значении постоянной 0 Для выделения частного решения необходимо задать начальные условия Иногда частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши Итак, дифференциальное уравнение совместно с начальными условиями f,, 0 называется задачей Коши, а ее решение частным решением Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от произвольной постоянной С, а частное решение, 0 одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку, 0 0 0, 6

8 Что называется решением дифференциального уравнения Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Для решения следующих примеров необходимо найти производную заданной функции, затем функцию и ее производную подставить в заданное дифференциальное уравнение и доказать тождество Пример Проверить, что функция ln является решением дифференциального уравнения 4 ln ln Решение Найдем производную заданной функции 4ln и подставим функцию и производную в дифференциальное уравнение ln 4ln ln 4 ln 4ln 4ln ln ln ln 4 ln 4ln ln 7

9 Левая часть равна правой части, следовательно, функция является решением Пример Проверить, что функция является решением дифференциального уравнения sin 8 cos Решение В этом примере надо найти производную неявной функции, для этого продифференцируем соотношение cos, считая, что : sin sin sin Подставим производную в дифференциальное уравнение sin sin sin sin sin sin Левая часть равна правой части, следовательно, функция является решением Примеры для самостоятельного решения Проверить, что данная функция является решением дифференциального уравнения:

10 9 cos, tg tg 0, e 4, 4, e e 5 5cos5, sin5

11 Общее решение и вычисление значений произвольной постоянной в решении задачи Коши Пример Найти общее решение и вычислить значение произвольной постоянной в решении задачи Коши: sin, 0 Решение В данном примере дано простейшее дифференциальное уравнение с правой частью, зависящей только от х Для его решения необходимо проинтегрировать правую часть: cos Это общее решение дифференциального уравнения Используем начальное условие для нахождения значения произвольной постоянной: cos Ответ Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение и вычислить значение произвольной постоянной в решении задачи Коши: 0

12 , sin Ответ 4 4 4, Ответ 0 0 cos e 5, Ответ 0 0

13 Классификация уравнений первого порядка Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными: f f d Заменив на, разделив обе части на f и умножив d на d приведем уравнение к виду d f d f В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у только в левую часть (те переменные разделены) Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение, правая часть которого зависит от отношения : d d f или f Дифференциальное уравнение вида, d Q, d P, и P 0 будет однородным, если Q, есть однородные функции одинаковой степени k: P k k, d P,, Q, Q,

14 P Например, Q,, 4 иq, P, и однородные многочлены, если Уравнение вида p f называется линейным уравнением первого порядка Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция и ее производная входят в уравнение линейно, те в первой степени, и не умножаются друг на друга Если f 0, то уравнение имеет вид p 0 и называется линейным однородным уравнением Если 0 f, то уравнение называют линейным неоднородным уравнением n 4Нелинейное уравнение вида p f называется уравнением Бернулли, при n=0 и n= это уравнение является линейным Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению подстановкой z n 5Уравнение вида P, d Q, d 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если правая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u u, :, d Q, d du P Если такая функция найдена, то общее решение (общий интеграл) уравнения имеет вид

15 , u 0 Уравнение P, d Q, d является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда, Q P, Пример Определить тип уравнения d cos d 0 sin Решение Перенесем второе слагаемое в правую часть d cos sin d Разделим уравнение на ху: sin cos d d В левой части содержится только переменная х, а в правой у Следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными Пример Определить тип уравнения d d 0 Решение Перенесем первое слагаемое в правую часть d d 4

16 Разделим уравнение на d : d d Числитель и знаменатель правой части разделим на : d d d d d d d Уравнение привели к виду f Следовательно, d данное уравнение является однородным Можно рассуждать и иначе Поскольку функции P, иq,, входящие в уравнение, есть однородные (квадратичные) многочлены, то данное уравнение однородное Пример Определить тип уравнения 5e 4 Решение Это линейное уравнение, так как и у входят в уравнение в первой степени и не умножаются друг на друга Пример 4 Определить тип уравнения tg 4 sin 5

17 Решение Это линейное уравнение по левой части, наличие вправой части уравнению Бернулли 4 приводит к тому, что мы относим его к Пример 5 Определить тип уравнения 4 e d e d 0 Решение Это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными, оно не однородное и нелинейное (из-за функций e e 4, ) Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Для этого найдем частные производные: 4, e Q, e, P, Q P, следовательно, это уравнение в полных дифференциалах 6

18 4 Решение уравнений с разделяющимися переменными В этом разделе рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными Во всех примерах необходимо разделить переменные, проинтегрировать и получить общее решение дифференциального уравнения Замечание Поскольку при разделении переменных часто приходится делить на выражения, которые могут обратиться в нуль, то возможны потери решений В рамках данной работы этот вопрос не рассматривается Пример 4 Найти общее решение уравнения Решение Это уравнение с разделяющимися переменными Представим производную в виде отношения дифференциалов d d Разделим переменные и проинтегрируем d d 4 4 Ответ 7

19 Пример 4 Найти общее решение уравнения Решение Представим производную в виде отношения дифференциалов и разделим переменные: d d Преобразуем дифференциалы слева и справа в числителях дробей и проинтегрируем ln d d 8, d d d d ln ln Пропотенцируем полученное соотношение Ответ Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение следующих уравнений:

20 tg Ответ cos tg5 Ответ ln cos5 5 e Ответ e 4 4 e ln ln 5 Ответ e 5 Найти общее решение и вычислить значение произвольной постоянной в решении задачи Коши: 5, Ответ 8 6 4, 4 Ответ 4 9

21 5 Однородные дифференциальные уравнения Однородное уравнение необходимо привести к виду f Затем вводится новая искомая функция u, для чего делается замена u, и, следовательно, u u Уравнение при этом становится уравнением с разделяющимися переменными Пример 5 Найти общее решение однородного уравнения d d 0 Решение Перенесем первое слагаемое в правую часть: d d Разделим уравнение на выражение d: d d Уравнение привели к виду f Положим u или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем u u u u 4u 0

22 du В полученном уравнении представим u и разделим d переменные: du du d 4u d 4u Проинтегрируем левую и правую части уравнения: 4u d d4u d 4 4u 4u d 4 ln 4u 4ln ln ln 4u ln 4u 4 4 Этот выражение можно (но не обязательно) упростить, разделив левую и правую части на, при этом обозначим новой буквой С Заменяя u на получаем 4 Приведем к общему знаменателю: 4 Для данного уравнения можно указать три (по крайней мере) равносильных ответа: 4 ) 4 ) ) 4 4

23 Это обстоятельство нужно иметь в виду, выбирая правильный ответ в тесте (или сравнивая свой ответ с ответом, указанным в задачнике) Мы выбираем третий ответ: 4 Ответ Пример 5 Найти общее решение однородного уравнения Решение Это уравнение имеет вид f Положим u, или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем: u u u u, u u u u, u u Полученное уравнение является уравнением с du разделяющимися переменными, представив u, решим d его: du du d u d u u u ln ln

24 Заменяя uна получаем ответ ln Ответ можно оставить в таком виде, а можно преобразовать: или Ответ ln 8 8 ln 8 ln Пример 5 Найти общее решение однородного уравнения u u sin Решение Это уравнение имеет вид f Положим u, или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем: u sin sin u u u

25 Решаем уравнение с разделяющимися переменными du d sin d sin u u du cosu ln Полученное выражение можно записать с константой в логарифмическом виде или cos Заменяя uна получаем ответ Ответ cos ln u ln ln cos ln cos ln Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение однородных уравнений: cos 5 Ответ sin ln 4

26 5 4 Ответ ln 4 ctg Ответ cos 4 cos Ответ ln tg

27 6 Линейные уравнения первого порядка Линейные уравнения можно решать методом вариации произвольной постоянной и методом Бернулли Оба метода очень похожи, и выбор метода дело вкуса Ниже рассматриваются оба метода Пример 6 Найти общее решение линейного уравнения cos Решение Это уравнение решим методом Бернулли Положим u, или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем преобразуем это уравнение: Найдем u u u cos u u cos (6) из условия 0 : d d d 0 ln ln ln d Полагая = получим Теперь найдемu(х), для чего подставим в уравнение (6): 6

28 du u cos u cos cos du cos d d Следовательно, решение sin Ответ u sin u sin равно Следующий пример решим другим методом методом вариации произвольной постоянной Пример 6 Найти общее решение линейного уравнения 5 5 e Решение Решим сначала линейное однородное уравнение, положив правую часть данного уравнения равной нулю: 5 0 Это уравнение можно решить методом разделения переменных: d d 5 0 d 5d ln 7 5 ln

29 8 ln ln ln 5 5 e e Общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде 5 e где С(х) неизвестная функция Найдем производную : e e Подставим и в исходное уравнение e e e e 5 5 d d e e d d Общее решение исходного уравнения 5 e Ответ 5 e

30 9 Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение линейных уравнений Ответ Ответ e Ответ e 4 cos tg Ответ cos 5 cos Ответ sin

31 7 Уравнения в полных дифференциалах Пример 7 Найти общее решение уравнения 6 sin sin d cos 6cos d 0 Решение Проверим выполнение условия, Q, P Интегрируя, получаем 0, 6 sin sin 6 cos 6sin, P Q, cos 6cos 6 cos 6sin, P, Q,, следовательно, это уравнение в полных дифференциалах и P u u, d Q, d du d d Общее решение уравнения в полных дифференциалах u, имеет вид: Найдем функцию u тождество P, u u, Для этого проинтегрируем, считая у = const:, 6 sin sin d

32 где u, sin cos, (7) пока неопределенная функция Найдем частную u, : производную поу найденной функции u, cos 6cos, u Приравнивая найденную частную производную, известную функцию u, Q, : cos 6cos 0 Подставив найденное значение найдем общее решение исходного уравнения sin Ответ sin cos Q,,получим cos 6cos в выражение (7), cos Пример 7 Найти общее решение уравнения и 6ln d 6 ln d 0 Решение Проверим выполнение условия

33 ,, Q P, 6 6 ln 6, P, 6 6 ln 6, Q,,, Q P следовательно, это уравнение в полных дифференциалах Найдем функцию u, интегрируя тождество P u,,, считая у = const: ln 6, d u Интегрируя, получаем, ln ln, u где пока неопределенная функция Найдем частную производную u, от полученной функции: ln 6, u

34 Приравняем частную производную u, к функции Q, : 0 ln 6 ln 6 Общее решение исходного уравнения имеет вид ln ln Ответ ln ln Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение уравнений в полных дифференциалах 0 4 d d Ответ 4 0 ln 4 d d Ответ ln 0 d d Ответ 4

35 Замечание к разделам 5, 6 и 7: Иногда одно и тоже уравнение можно отнести к различным типам и, следовательно, их можно решать различными способами Поясним это следующим примером: Найти общее решение уравнения d d 0 Решение Это уравнение можно привести к виду f : Перенесем первое слагаемое в правую часть 4 d d Разделим уравнение на выражение d: d d Положим u, или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем u u u u 4 u Решаем уравнение с разделяющимися переменными du d du d 4u 4u

36 5 Проинтегрируем левую и правую части уравнения: d u u d d u u d ln ln 4 ln ln ln 4 u u u Заменяя uна получаем 4 Это выражение можно преобразовать: 4 Решение Это уравнение похоже на уравнение в полных дифференциалах Проверим выполнение условия,, Q P,,, Q P,,, Q P следовательно, это уравнение в полных дифференциалах Найдем функцию u, :, d u

37 Интегрируя, получаем u, u Найдем частную производную, u, : Приравняем частную производную Q, : u, 0 Общее решение исходного уравнения имеет вид функции Если последнее выражение умножить на и С обозначить как С, то получим ответ 4 Этот ответ совпадает с ответом, полученным первым способом Решение Поменяем слагаемые местами d 0 d Разделим левую и правую части уравнения на d: 6

38 d d 0 Раскроем скобки и перенесем х вправо d d После выполненных преобразований уравнение оказалось также и линейным Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение, затем найдем решение неоднородного уравнения: d d d 0 d d 4 d Ответ совпадает с ответами, полученными первым и вторым способами 7

39 8 Уравнение Бернулли p f сводится к Уравнение Бернулли n линейному уравнению подстановкой : 8 z n Пример 8 Найти общее решение уравнения Бернулли Решение Умножим левую и правую части уравнения на и сделаем замену переменной z В этом случае z z, следовательно После замены переменных получим линейное уравнение: z z Решим соответствующее линейное однородное уравнение: z z dz d 0 ln z ln ln, z z В полученном решении варьируем постоянную С:, z 6 и подставим в исходное неоднородное уравнение 6 4,

40 4 d d Интегрируя это уравнение и подставляя найденное выражение для С = С(х) в решение однородного уравнения, находим 5, 5 5 z 5 Делая обратную замену переменных, получим общее решение: или Ответ 5 5 Уравнения Бернулли можно решать сразу как линейные уравнения, поэтому в соответствии с разделом 6 решим один пример методом вариации произвольной постоянной, а другой методом Бернулли Пример 8 Найти общее решение уравнения Бернулли e Решение Решим сначала линейное однородное уравнение, положив правую часть данного уравнения равной нулю: 9

41 40 0 Решим это уравнение методом разделения переменных: d d d d ln ln 0 ln ln ln e e Общее решение исходного уравнения будем искать в виде e, где С(х) неизвестная функция Найдем производную : e e Подставим и в исходное уравнение e e e e e e e e e e e d d d d Из последнего выражения находим функцию С(х):

42 4 Общее решение исходного уравнения e Ответ может быть представлен в другом виде e Ответ e Пример 8 Найти общее решение уравнения Бернулли cos Решение Это уравнение решим методом Бернулли Положим u, или u Тогда u u Подставляя в уравнение выражения для и, получаем cos u u u u преобразуем это уравнение cos u u u Найдем из условия 0 : ln ln ln 0 d d d d

43 Полагая С=, получим v = Теперь найдем u : u u cos u u cos du u cos du cos d d u sin sin u 6 u u sin Решение u представим в виде u : sin Этот ответ может быть записан также следующим образом: sin Ответ sin Примеры для самостоятельного решения Следующие уравнения Бернулли рекомендуется решить разными способами и сравнить полученные ответы 4

44 4 Найти общее решение уравнения cos tg Ответ, cos Найти общее решение уравнения ln Ответ ln Найти общее решение уравнения Ответ Найти общее решение уравнения Ответ 7 7

45 9 Интегрирующий множитель Иногда, когда дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать f,, после умножения на которую, уравнение функцию становится уравнением в полных дифференциалах В данной работе не рассматривается способ нахождения интегрирующего множителя В рассматриваемых примерах только проверяется предложенный множитель и затем решается уравнение в полных дифференциалах Пример 9 Проверить, что функция интегрирующим множителем для уравнения является d d 0 и решить уравнение в полных дифференциалах Решение Сначала убедимся, что это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах:, Q, P,, Q, P 0 следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах Умножим заданное уравнение на предложенный интегрирующий множитель: 44

46 45 0 d d 0 d d 0 4 d d Проверим выполнение условия Q P,, :,,, 4 Q P,, Q P следовательно, это уравнение в полных дифференциалах Найдем функцию u, :,, 4 d u интегрируя, получим 5, 5 u Найдем частную производную u, :, u

47 u Приравняем частную производную, Q, : 0 Общее решение исходного уравнения имеет вид и функцию Ответ 5 Примеры для самостоятельного решения Проверить, что функция интегрирующим множителем для уравнения e d d 0 и решить уравнение в полных дифференциалах Ответ e e является Проверить, что функция интегрирующим множителем для уравнения является ln d d 0 46

48 и решить уравнение в полных дифференциалах ln Ответ Проверить, что функция интегрирующим множителем для уравнения e является e d d 0 и решить уравнение в полных дифференциалах Ответ e 4 Проверить, что функция cos является интегрирующим множителем для уравнения tg cos d d 0 и решить уравнение в полных дифференциалах Ответ cos 47

49 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение вида Введение,,, 0 F, где независимая переменная, искомая функция, 48, ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка Функция F,, величин, может не зависеть от некоторых из,,, но обязательно должна зависеть от Решением называется функция подстановке в уравнение обращает его в тождество, которая при Наиболее простым уравнением второго порядка является уравнение вида f, где f() заданная функция Решение такого уравнения находится двукратным последовательным интегрированием Последовательно интегрируя, находим сначала первый интеграл: а затем и общее решение f d,

50 f d d, где и произвольные постоянные Из этого примера видно, что при интегрировании дифференциальных уравнений второго порядка получается семейство решений, заданных функцией, зависящей от двух произвольных постоянных и : 49,, Следовательно, задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка должна содержать два начальных условия Задача Коши формулируется так: найти решение f,,, удовлетворяющее уравнения начальным условиям где 0, 0, 0 заданные числа Функция, 0 0 0,, 0,, зависящая от х и двух произвольных постоянных и, называется общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если оно является решением уравнения при любых значениях постоянных и и, если при любых начальных условиях существуют единственные значения постоянных 0 0, такие, что функция, 0, 0 и является решением и удовлетворяет начальным условиям Иными

51 словами, функция, называется общим решением,, если она содержит в себе все частные решения уравнения Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных и, называется частным решением дифференциального уравнения Если существует общее решение, то по известным начальным значениям 0, 0, 0 всегда можно найти решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям Это решение является частным Уравнение вида,, 0 Ф,, которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения 50

52 Что называется решением дифференциального уравнения Решением называется функция 5 подстановке в уравнение обращает его в тождество Пример Проверить, что функция sin является решением дифференциального уравнения 8sin, которая при Решение Найдем первую производную данной функции и найдем вторую производную 6cos, 8sin Найденная производная равна правой части дифференциального уравнения Следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения Пример Проверить, что функция e является решением дифференциального уравнения 0

53 5 Решение Найдем первую производную функции у(х) 6 e, найдем вторую производную 6 e Подставим выражения для первой и второй производных и функции в заданное дифференциальное уравнение 6 6 e e 0 e Раскроем скобки и сгруппируем члены e 0 6 Внутри скобок приведем дроби к общему знаменателю 4 4 e

54 e 0 0, Левая часть равна правой, значит, функция является решением дифференциального уравнения Пример Проверить, что функция e 4 является решением дифференциального уравнения 0 Решение В данном примере в качестве решения дана неявная функция, найдем ее первую и вторую производные Для этого продифференцируем соотношение e 4, считая, что : e e Полученное соотношение e продифференцируем еще раз: 4e e e 0 Подставим выражения для первой и второй производных в заданное дифференциальное уравнение: 5

55 0 0 0 e e Левая часть равна правой, значит, функция является решением дифференциального уравнения Примеры для самостоятельного решения Проверить, что функция ln cos 9 является решением дифференциального уравнения cos Проверить, что функция 8 является решением дифференциального уравнения Проверить, что функция является решением дифференциального уравнения 54

56 4 Проверить, что функция 5 4 является решением дифференциального уравнения Проверить, что функция sin является решением дифференциального уравнения tg 55

57 Общее решение уравнения второго порядка и вычисление значений произвольных постоянных в решении задачи Коши В следующих примерах необходимо дважды проинтегрировать правую часть и используя начальные условия определить значения произвольных постоянных Пример Найти общее решение уравнения второго порядка и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши,, Решение Проинтегрируем дважды правую часть d, 4 d 6 4 Общее решение уравнения 6 Для нахождения значений произвольных постоянных используем начальные условия :, 56

58 4 : 6 Из первого уравнения находим уравнения находим 7 6, из второго 4 7 Ответ,, 6 6 Пример Найти общее решение уравнения второго порядка и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши: sin cos,, 0 0 Решение Проинтегрируем дважды правую часть: sin cos d cos sin, cos sin d sin cos Общее решение уравнения sin 9 cos 4 57

59 Для нахождения значений произвольных постоянных используем начальные условия cos 0 sin 0, sin 0 cos После упрощения получаем, 4 Отсюда находим значения произвольных постоянных 5, 4 Ответ sin cos, 9 4 5, 4 Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение уравнений второго порядка и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши e e,, 0 0 Ответ,

60 ,, Ответ, 70 sin cos,, 0 0 Ответ, 59

61 Подстановки для уравнений второго порядка Иногда уравнение второго порядка с помощью замены переменной удается свести к уравнению первого порядка Такое преобразование уравнения называется понижением порядка Рассмотрим два основных случая Уравнения вида f, Уравнение не содержит у В этом случае применяется следующая подстановка: p Тогда p После подстановки в уравнение p и p, получим уравнение первого порядка относительно функции р(х): p f, p Решая его, найдем p, Поскольку p, то, Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение Уравнения вида f d,, Уравнение не содержит х В этом случае применяется следующая подстановка p Тогда d d d d d d dp p d Подставляя в заданное уравнение выражения для и, получаем уравнение первого порядка относительно р как функции от у: dp p f, p d 60

62 Решая его, найдем p, Отсюда, Поскольку p, то d, d Получено уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение данного уравнения: d, Пример Указать подстановку и найти общее решение уравнения tg Решение Уравнение не содержит х В этом случае dp p, p d применяется следующая подстановка: Подставляя в заданное уравнение выражения для и, получаем уравнение dp p p tg d Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными Разделим уравнение на p и решим его: dp p tg d dp p sin d cos dp p d cos cos 6

63 Переменные разделены, можно интегрировать левую и правую части: ln p ln cos ln p cos Заменяя р на получаем снова уравнение первого порядка: d d cos d, cos d sin При делении на p было потеряно решение p 0, те В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при 0 Ответ sin Пример Указать подстановку и найти общее решение уравнения 6tg 0 Решение Уравнение не содержит у В этом случае p, p применяется следующая подстановка Подставляя в заданное уравнение выражения для и, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: 6

64 p 6 p tg 0 dp p 6tgd dp p sin 6 d cos dp p d cos ln p cos ln cos ln p cos d d Заменяя р на получаем уравнение первого порядка cos6 cos d cos d d d sin 6 Ответ sin 6 Примеры для самостоятельного решения Указать подстановку и найти общее решение: Ответ ln 4 v Ответ arctg 6

65 Ответ ln 4 Ответ 5 e e 0 Ответ e 6 4 Ответ Ответ 64

66 4 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами где Уравнение вида p, q и p q f f непрерывные функции на некотором интервале, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка Если 0 f, то уравнение называется линейным однородным уравнением Если же f 0 называется линейным неоднородным уравнением 65, то уравнение Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого его частного решения Важный частный случай линейных уравнений случай, когда функции p, q являются постоянными величинами Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид где а,b,c - константы a b c 0 Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение ak bk c 0 При решении этого уравнения возможны три случая:

67 )корни вещественные и различные k, k приb 4ac 0, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид e k e )корни вещественные и равные k k приb 4ac 0, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид e k )корни комплексные k i, k i при b 4ac 0, тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид e e k ; k cos sin Пример 4 Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Решение Составляем характеристическое уравнение k 6k 5 0 Корни квадратного уравнения k, k 5 вещественные и различные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: e e 5 ; 66

68 5 Ответ e e Пример 4 Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Решение Составляем характеристическое уравнение k 6k 9 0 Корни квадратного уравнения k k вещественные и 67 равные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: e Ответ e e Пример 4 Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами e 6 0 Решение Составляем характеристическое уравнение k 6k 0 Корни квадратного уравнения k i, k i комплексные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

69 e cos sin Ответ e cos sin Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Ответ e 6 0 Ответ cos 4 sin Ответ e e Ответ e e Ответ e cos 4 sin Ответ e e 68

70 Ответ e e Ответ e cos sin Ответ e e 69

71 5 Вычисление значений произвольных постоянных в решении задачи Коши В следующих примерах необходимо составить характеристическое уравнение, записать общее решение дифференциального уравнения, и используя начальные условия, вычислить значения произвольных постоянных Пример 5 Найти общее решение и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши: 6 0,, 0 0 Решение Составляем характеристическое уравнение k 6 0 Корни квадратного уравнения k 4, k 4 вещественные и различные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: Найдем e производную 4 e 4 4 e 4 4 e 4 Для нахождения произвольных постоянных используем начальные условия: или 0 0 : e 40 : 4 e 40 e, 40 4 e 40, 70

72 , Решая систему, находим, Ответ, 8 8 Пример 5 Найти общее решение и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши 6 0,, 0 0 Решение Составляем характеристическое уравнение k 6 0 Корни квадратного уравнения k 4i, k 4i комплексные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: cos 4 sin 4 Найдем производную sin 4 4 cos 4 4 Используя начальные условия, составим систему или cos 40 sin 40, 4 sin 40 4 cos 4 0, 0, 7

73 4 0 4 Решая систему, находим, 4 Ответ, 4 Пример 5 Найти общее решение и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши: 0,, 0 0 Решение Составляем характеристическое уравнение k k 0 Корни квадратного уравнения k 0, k вещественные и различные Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: или e 0 e e, Найдем производную условия, составим систему: e Используя начальные или e 0 e,, 0, 7

74 Решая систему, находим, Ответ, Примеры для самостоятельного решения Найти общее решение и вычислить значения произвольных постоянных в решении задачи Коши 4 0,, Ответ, 5 8 0,, Ответ 5, 5 0,, 0 0 Ответ, 4 9 0,, Ответ, ,, Ответ 5, 7

75 74

76 6 Вид частного решения неоднородного уравнения Общее решение линейного неоднородного уравнения p q f представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения В общем случае для нахождения частного решения применяется метод вариации произвольных постоянных Однако, если в правой части уравнения многочлен или показательная функция, или их произведение, или тригонометрическая функция sin или cos, или линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов Рассмотрим различные виды правых частей Правая часть имеет вид f P, где 75 n P n многочлен степени n Тогда частное решение ищется в виде, а Q r, где Q n многочлен той же степени, что и n r число корней характеристического уравнения, равных нулю Пример 6 Определить вид частного решения неоднородного уравнения Решение Правая часть f P n неполный многочлен первой степени Характеристическое уравнение k k 0 имеет корни k 0, k Один корень равен нулю Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид полного многочлена первой степени, умноженного на х:

77 A B ч н Пример 6 Определить вид частного решения неоднородного уравнения 4 Решение Правая часть f 4 многочлен первой степени Характеристическое уравнение k 0, корни k, k вещественные и различные Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид A ч н B Пример 6 Определить вид частного решения для неоднородного уравнения 4 Решение Правая часть f неполный многочлен второй степени Характеристическое уравнение k 4k 0 имеет корни k 0, k 4 Корни вещественные и различные, один корень равен нулю Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид полного многочлена второй степени, умноженного на х: A B ч н Правая часть имеет вид f e P, где n P n многочлен степени n Тогда частное решение ищется в виде Q, а e r, где Q n многочлен той же степени, что и n r число корней характеристического уравнения, равных α Пример 64 Определить вид частного решения неоднородного уравнения P n 76

78 e Решение Правая часть f e представляет собой произведение константы, которую можно рассматривать как многочлен нулевой степени, и показательной функции e Характеристическое уравнение k k 0имеет корни k 0, k Один корень равен, те совпадает с коэффициентом перед х у показательной функции, следовательно ч н Ae Пример 65 Определить вид частного решения неоднородного уравнения 4 e Решение Правая часть f 4 e представляет собой произведение многочлена первой степени и показательной функции e Характеристическое уравнение k 0 имеет корни k, k и ни один из корней не совпадает с коэффициентом перед х у показательной функции, следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид полного многочлена первой степени, умноженного на показательную функцию ч н A B e e 77

79 где Правая часть имеет вид f Pn cos Qm sin P n многочлен степени n,a 78, Q m m Тогда частное решение ищется в виде где ~ P k и ~ Q k ~ ~ r P cos Q sin, k k многочлен степени многочлены степени k, k man, m число корней характеристического уравнения, равных, а r i Пример 66 Определить вид частного решения неоднородного уравнения 4 sin Решение В этом примере многочлен 0 многочлен P n, а Q m многочлен нулевой степени Характеристическое уравнение k 4k 0 имеет корни k 0, k 4 вещественные и различные, те i i не является корнем характеристического уравнения, поэтому r 0 и частное решение имеет вид ч н Asin Bcos Пример 67 Определить вид частного решения для неоднородного уравнения 9 sin Решение Многочлен P n 0, а многочлен Q m Характеристическое уравнение k 9 0имеет комплексные

80 корни k i, k i Поскольку i i корень характеристического уравнения, то r и частное решение надо искать в виде Asin Bcos ч н Пример 68 Определить вид частного решения неоднородного уравнения sin Решение Многочлен P n 0, а многочлен 79 Q m неполный многочлен первой степени Характеристическое уравнение k k 0 имеет корни k, k Так как i i не является корнем характеристического уравнения, то r 0 и частное решение надо искать в виде произведений полных многочленов первой степени, умноженных соответственно на sin и cos : A B sin D cos ч н Примеры для самостоятельного решения Определить вид частного решения для неоднородного уравнения cos Ответ Asin Bcos 4 sin ч н Ответ Asin Bcos ч н

81 9 cos Ответ Asin Bcos ч н 4 Ответ A B ч н 5 Ответ A B e ч н 4 Ответ Ae e ч н 4 Ответ Ae ч н e Ответ Ae ч н e Ответ A e ч н 80

82 7 Частное решение неоднородного уравнения Здесь рассматривается метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения Пример 7 Найти частное решение неоднородного уравнения Решение Правая часть f полный многочлен первой степени Характеристическое уравнение k k 0 имеет корни k 0, k Один корень равен нулю Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид полного многочлена первой степени, умноженного на х: A B ч н Найдем первую и вторую производные от этого выражения: A A B A, ч н ч н B ч A н Подставим ч н, ч н в заданное уравнение: A B, A и упростим полученное выражение 4A A B 8

83 Коэффициенты А и В находятся методом неопределенных коэффициентов: 4A A, 4 5 A B B B Ответ ч н 4 4 Пример 7 Найти частное решение неоднородного уравнения 5 6 e Решение Правая часть e 5 f представляет собой произведение константы, которую можно рассматривать как многочлен нулевой степени, и показательной функции e 5 Характеристическое уравнение k 6 0имеет корни k 4, k 4 Поскольку ни один из корней не совпадает с коэффициентом перед х у показательной функции частное решение надо искать в виде Ae ч н 5 e 5, то 5 Найдем первую и вторую производные: ч Ae, 5 н 5 Подставим ч н, ч н ч Ae 5Ae 5 6Ae 5 н 5 в заданное уравнение e 5 9Ae 5 e 5 A 9 8

84 Таким образом, частное решение ч e 9 5 н 5 Ответ ч н e 9 Пример 7 Найти частное решение неоднородного уравнения 4 cos Решение Характеристическое уравнение k 4 0 имеет корни k, k, так как i i не является корнем характеристического уравнения, то r 0 Частное решение ищем в виде Asin Bcos ч н Найдем первую и вторую производные: ч Acos Bsin, н ч 9Asin 9Bcos н Подставим ч н, ч н в заданное уравнение: Asin Bcos cos 9Asin 9Bcos 4 Раскроем скобки и приведем подобные члены Asin Bcos cos Приравняем коэффициенты при синусе и косинусе справа и слева: 8

85 Отсюда находим A 0, решение равно: Ответ ч н cos A 0, B, B 84 cos ч н Следовательно, частное Пример 74 Найти частное решение неоднородного уравнения 4 sin Решение Характеристическое уравнение k 4 0 имеет корни k i, k i, так как i i является корнем характеристического уравнения, то r Частное решение ищем в виде Asin Bcos ч н Найдем первую и вторую производные: Acos Bsin Asin Bcos, 4Asin 4Bcos Acos Bsin ч н ч н Подставим ч н, ч н в заданное уравнение: 4 Asin 4Bcos Acos Bsin 4Asin Bcos sin После упрощения получим

86 Acos Bsin sin Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе справа и слева, получим систему A 0, B, из которой находим A 0, B Следовательно, частное решение равно: ч н cos Ответ ч н cos Примеры для самостоятельного решения Найти частное решение неоднородного уравнения 4 4 e Ответ ч н e 9 5sin 5 Ответ ч н sin sin Ответ ч н cos 85

87 4 sin Ответ ч н sin cos e Ответ ч н e Ответ ч н Ответ ч н e 5 Ответ ч н e cos Ответ ч н sin 86

88 Индивидуальные задания по теме: «Дифференциальные уравнения» Содержание индивидуальных заданий В примерах с по 5 решить задачи в соответствии с условиями варианта задании: в примерах - найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения в примере проинтегрировать систему дифференциальных уравнений; в примере 4 решить дифференциальное уравнение с помощью ряда (найти первые три члена разложения в степенной ряд); в примере 5 решить геометрическую задачу на составление дифференциального уравнения 87

89 0 tg tg Примерный типовой вариант заданий 0 sin, 0 ctg sin при d d e 00 e 0 4 5sin 0 tg 0 d 7, dt d 5 dt cos 0, при 0 04, Найти кривую, проходящую через точку (;), для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания 88

90 Решение примеров типового варианта заданий 0 tg tg Решение: Данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнении с разделяющимися переменными Разделим переменные: tg tg d d tg tg d tg tgd Проигнорируем обе части последнего неравенства d tg tgd cos d sin ln sin sin d cos ln cos ln d sin sin d cos cos По свойству логарифмов получаем ln sin ln, или, cos после потенцирования окончательно решение дифференциального уравнения имеет вид: sin cos 0 sin, при Решение: Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений, решение которых осуществляется подстановкой t Отсюда 89

91 t, t t После подстановки в дифференциальное уравнение получим: t t t sin t t sin t разделяем dt d переменные интегрируем обе части уравнения sin t dt sin t d t табличные интегралы ln tg t ln ln на основании свойств логарифмов tg t arctg или Производя обратную замену решение исходного уравнения arctg t Используя начальное условие arctg или arctg, тe =l 4 Итак, искомое частное решение имеет вид: 0 ctg sin arctg, находим общее, получим: Решение: Данное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка 90

92 P Q Решим его методом вариации произвольной постоянной Вначале решим однородное уравнение, опустив правую часть: ctg 0 Это уравнение с разделяющимися переменными: d d ctg d cos d sin Интегрируем последнее уравнение и находим ln ln sin ln sin Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде z sin, где z неизвестная функция Подставляя в исходное уравнение zsin zsin zcos z и производную, получим уравнение: sin zcos z sin ctg sin После очевидных сокращений, будем иметь z d z Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид: sin 9

93 04 Решение: Это уравнение Бернулли Предварительно приведем его к линейному уравнению и затем решим его методом Бернулли Разделив уравнение на, получим: z Введем новую переменную или 9 z, z, подставляя в уравнение, получим z z или z z Это линейное уравнение, которое может быть решено как методом вариации произвольной, так и методом Бернулли Положим z uv, z uv uv Подставляя в исходное уравнение, получим: uv uv uv Сгруппируем члены, содержащие u в первой степени: u v uv v Примем за v какое-либо частное решение уравнения v v 0 Разделяя в нём переменные, находим dv d ; ln v ln ; v Здесь v постоянную интегрирования не вводим Для отыскания u имеем уравнение u v Поскольку v, получаем u или u Интегрируя, получаем u Отсюда z получим решение исходного уравнения: Возвращаясь к исходной переменной, Таким образом, получаем общее

94 05 d d Решение :Проверим, не является ли это уравнение дифференциальным уравнением в полных дифференциалах P Если P, a Q,, то, Q P Q, тe Таким образом, данное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах: du, d d U U,, имеем два Поскольку du d d соотношения для U: U U ; Из первого соотношения находим: U d Продифференцируем полученную функцию по у и подставим во второе соотношение: U 9

95 После элементарных преобразований получим или 94, После подстановки найденного знамения в выражение, окончательно имеем: U, или 06 Решение:Это дифференциальное уравнение второго F,,, решение которого осуществляется порядка типа 0 понижением порядка Подставим в дифференциальное v С учётом того, что уравнение новую переменную v v v v, получим уравнение: v vln, или v ln, которое является однородным дифференциальным уравнением первого порядка Для решения этого уравнения введем ещё v одну переменную t, откуда v t, v t t : t t t ln t, dt d или t ln t Интегрируя последнее уравнение, находим ln ln t ln ln, или ln, откуда t e t v e Возвращаясь к переменной v получим уравнение Переходя окончательно к переменной у получим уравнение e,

96 решая которое методом интегрирования по частям, найдем ответ: e d e e 07 Решение: Это дифференциальное уравнение второго F,,, допускающее понижение порядка типа 0 порядка Введем новую неизвестную функцию v dv В этом случае что v d исходное уравнение, получим: переменные: vdv v d Отсюда найдем: 0 или: v v, полагая Подставим, в dv v v Разделим d vdv Проинтегрируем: v d ln v ln ln, или, v 0 Так как d d v, то или d d Интегрируя, получаем общий интеграл 4, или Отсюда находим общее решение:

97 Решение: Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k 5k 6 0 Его корни k, k 96 Фундаментальная система частных решений e Общее решение уравнения имеет вид: Y e e e, 09 Определить вид частного решения неоднородного уравнения: 4 e Решение: Правая часть f 4 e представляет собой произведение многочлена первой степени и показательной функции e Характеристическое уравнение k 0 имеет корни k, k и ни один из корней не совпадает с коэффициентом перед у показательной функции, следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид полного многочлена первой степени, умноженного на показательную функцию ч н 00 e A B e e вида: Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение этого уравнения можно записать в виде суммы

98 Y, где частное решение уравнения с правой частью, а Y общее решение уравнения без правой части Составляем характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения 0 : k k 0 Находим его корни k, k Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: Y e e Правая часть исходного уравнения f e P n В этом случае частное решение следует искать в виде Q n e r, где r число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом а в показателе степени показательной функции В нашем примере k a, следовательно, r =, и частное решение можно записать в виде Находим и : Ae A Be A B e A Be A B e, 6 A Be 9A B e Подставляя выражения,, в исходное уравнение и сокращая на множитель e 0, получаем тождество: A 6 A B 9A B A B A B A B 97

99 После приведения подобных членов находим A 4B 8A Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений 8A, A 4B из которой находим A, 8 7 B 6 Подставляя найденные значения Aи B в выражение для, найдем частное решение исходного дифференциального уравнения 8 7 e 6 Общее решение исходного уравнения будет иметь вид: Y 7 e 8 e e 0 4 5sin Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, по типу и методу решения аналогичное уравнению, рассмотренному в примере 09 98

100 Составим характеристическое уравнение для однородного уравнения: 4 0 ; k 4 0 Находим его корни k i, k i Общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид: Y cos sin Правая часть исходного уравнения f M cos b N sin b этом случае частное решение следует искать в виде: r Acos b Bsin b, где rравно числу корней характеристического уравнения, совпадающих с bi В нашем примере k bi i совпадает с одним из корней характеристического уравнения и, следовательно, r = Будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме: Находим и : Acos Bsin Asin Bcos Acos Bsin, 4 Acos 4Bsin Asin Bcos Asin Bcos 4Acos 4Bsin 4Asin 4Bcos Подставляя выражения для,, в исходное уравнение, получим: В 99

101 4 Acos 4Bsin 4Asin 4Bcos 4Acos Bsin 5sin После приведения подобных членов находим 4Asin 4Bcos 5sin Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях будем иметь: 4A 5, 4B 0, или 5 A, B Таким образом, cos и общее решение 4 неоднородного уравнения запишется в виде: Y 5 cos cos sin 4 0 tg Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами Для его решения используем метод вариации произвольных постоянных Вначале решим однородное уравнение tg 0 Это дифференциальное уравнение второго порядка типа F,,, допускающее понижение порядка (см пример 0, 05) Для его решения введемпеременную v 00

102 следовательно, v После подстановки новой переменной в однородное уравнение будем иметь v vtg 0, или, разделяя переменные, получим dv sin d d cos v cos, или ln v ln cos ln, или cos v cos Переходя к переменной у, решим уравнение d, разделим переменные d d, cos d cos cos d интегрируем С tg, те Y Сtg cos Будем искать частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения в виде: где С и С С, С неизвестные произвольные постоянные, а tg и два частных решения однородного дифференциального уравнения, образующие фундаментальную систему решения, так как определитель Вронского для них tg W, 0, 0 cos cos не равен нулю 0

103 Для уравнений второго порядка a a 0 a f соответствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных С может быть записана в виде 0 С и С С 0, С tg С 0, f, или С С a0 С 0 cos Так как W, 0, единственное решение cos указанных систем можно найти, используя готовые формулы f d d, a С cos W 0 cos cos d sin 4 d Таким образом, частное решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид: а общее его решение sin Y 4 sin sin tg, 4 sin tg sin cos sin sin tg 4 cos tg tg tg

104 0 d 7, dt d 5 dt Решение: Это система дифференциальных уравнений, она решается методом исключения переменных Продифференцируем первое уравнение системы по t: d d d 7 Подставим в полученное уравнение значение dt dt dt d из второго уравнения системы: dt d d 7 5 dt dt Заменяя функцию у ее выражением из первого уравнения системы d 7, () dt Приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно функции х одной неизвестной: или d 7 dt d dt d 5 7, dt d d 7 0 dt dt Последнее уравнение это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Решая характеристическое уравнение k k 7 0, находим корни k 6 i и k 6 i Таким 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

9 Дифференцирование неявных функций

9 Дифференцирование неявных функций 80 9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция = f задана уравнением F (, )= 0 В этом случае говорят, что функция задана неявно Для нахождения производной считаем, что в уравнении зависит от,иначе

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее