ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ"

Транскрипт

1 ISSN Уфимский математический журнал Том 1 (9) С УДК ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ ЛЗ УРАЗБАХТИНА Аннотация В работе приведена классификация инвариантных подмоделей построенных на трехмерных подалгебрах из оптимальной системы Классификация подмоделей проведена по порядку инвариантной подмодели модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов Ключевые слова: уравнения газовой динамики уравнение состояния подалгебра подмодель нормализатор 1 Введение Рассмотрим уравнения газовой динамики (УГД) ρ d u dρ ds + p = + ρdiv u = d d d = (1) со специальным уравнением состояния описывающие движение жидкости при больших давлениях и высоких температурах [1] p = Bρ γ + F (S) Здесь u вектор скорости; ρ плотность; p давление; F (S) функция энтропии; B γ постоянные Bγ > γ 1; d/d = + u оператор полного дифференцирования Скорость звука c определяется по формуле c = Bγρ γ 1 В этом случае УГД (1) допускают группу преобразований с 1-мерной алгеброй Ли Неподобные подалгебры сведены в оптимальную систему [] Базис алгебры Ли L 1 состоит из операторов: X 1 X 1 где X 1 X X переносы по пространственным координатам; X 4 X 5 X 6 галилеевы переносы; X 7 X 8 X 9 вращения; X 1 перенос по времени; X 11 равномерное растяжение независимых декартовых переменных x y z ; X 1 = u u v v w w ( γ )ρ ρ γp p растяжение γ = γ(γ 1) 1 γ ; X 1 перенос по давлению В оптимальной системе имеется 7 серий трехмерных подалгебр с одним инвариантом зависящим от независимых переменных Все они сведены в таблицу (см Приложение) В первом столбце указан номер подалгебры из оптимальной системы [] Первая цифра номера указывает на размерность подалгебры Последующие цифры номера указывают на порядковый номер поадлгебры данной размерности Номер подалгебры с одним штрихом указывает на то что параметр γ = 1 с двумя штрихами γ = 1 Во втором столбце записаны инварианты в декартовых переменных x y z u v w или в цилиндрических переменных x r θ U V W а в третьем столбце записан номер нормализатора LZ Urazbachina Invarian submodels of a rank of one gas dynamics wih he special equaion of sae c Уразбахтина ЛЗ 9 Работа поддержана грантом ГНТП-РБ госконтракт 1/-ФМ Поступила августа 9 г 19

2 14 ЛЗ УРАЗБАХТИНА На трехмерных подалгебрах такого типа можно строить инвариантные подмодели Для того чтобы получить подмодель нужно записать представление решения Оно получается приравниванием инвариантов зависящих от газодинамических функций к новым функциям от инварианта зависящего от независимых переменных Затем из этих выражений находим искомые газодинамические функции После их подстановки в УГД (1) получаем инвариантую подмодель которая представляет собой систему из 5 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [] Основная задача найти интегралы у этой фактор-системы Согласно теореме Коши- Ковалевской любая подмодель является интегрируемой Однако очень сложно найти интегралы в простой алгебраической форме С помощью нормализатора подалгебры можно понизить порядок фактор-системы или найти интегралы Порядок нормализатора определяет число интегралов Поэтому для последующей классификации в таблице (см Приложение) в последнем столбце указана размерность нормализатора Если размерность нормализатора равняется то подалгебра самонормализована и симметрий наследуемых из L 1 у подмодели нет Порядок инвариантной подмодели можно понизить за счет симметрий нормализатора или за счет дополнительных интегралов не связанных с этими симметриями Дополнительные интегралы получаются эвристическим путем по аналогии с известными примерами [4] Классификация подмоделей проводится по порядку инвариантной подмодели модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов В уравнения подмодели входят параметры: алгебраические коэффициетны из оптимальной системы или постоянные интегралы При некоторых соотношениях на параметры можно найти новые интегралы и подмодель полностью интегрируется Во второй части статьи рассмотрены подалгебры 6 Эти подалгебры имеют нормализаторы размерности 6 и 7 Все эти подмодели сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению Риккати При некоторых значения параметров уравнения Риккати интегрируются В третьей части работы рассмотрены подалгебры Подмодели подалгебр 1 4 сводятся к линейным фактор-системам дифференциальных уравнений второго порядка В четвертом пункте описаны подалгебры У фактор-системы подалгебры найдены особое и частное решения У фактор-системы подалгебры найдены квадратура и интеграл В пятой части рассмотрена самонормализованная подалгебра 6 У подмодели найден один интеграл и получено точное(особое) решение Подмодели сводящиеся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению Сделано оригинальное наблюдение: подмодели с нормализаторами размерности 6 и 7 сводятся к одному уравнению Риккати Это достигается нахождением дополнительных интегралов Для некоторых значений параметров уравнение Риккати интегрируется 1 Подалгебра Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение): u = x + u 1(z) v = y + v 1(z) w = w 1(z) ρ = () p = y a + p 1(z) a a

3 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 141 После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w aρ 1) = p 1 1 a + w 1 + = w 1 p 1 ab(w 1 + ) = p 1 v 1 w 1 w 1 Из первого уравнения видно что u 1 = C иначе возникает противоречие в четвертом уравнении Постоянную C можно положить нулем тк она убирается галилеевым переносом по оси x (оператор X 4 ) а решения УГД мы рассматриваем с точностью до допускаемых преобразований Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид: X 1 = u1 X = v1 p1 X = z X 11 = z z + u 1 u1 + v 1 v1 + w 1 w1 ρ1 + p 1 p1 Инварианты нормализатора назначим новыми функциями: p = p 1 v 1 w 1 ρ = w 1 В этих переменных операторы нормализатора примут простейший вид По простейшему виду нормализатора можно понять каким образом можно понизить порядок системы Фактор-система () в новых переменных примет вид: () v 1 = 1 aρ w 1 p = w 1 = ρ B (ρ + B) p ρ a(ρ + B) ρ = ρ w 1 ρ p a(ρ + B) + Bp (ρ + B) + abρ (ρ + B) + 1 aρ () В системе () поделим 1-е -е и 4-е уравнения на -е уравнение Таким образом перейдем от дифференцирования по переменной z к дифференцированию по переменной s = ρ Для определения p получим уравнение Риккати a(s + B)p s = p + abp s a B + Bs Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью замены p = p + abs 1 : a(s + B)p s = p a B + (a B + 1)s Для того чтобы привести уравнение Риккати к линейному неоднородному уравнению необходимо найти частное решение Частное решение будем искать в виде p = Ds 1 Существует действительное частное решение p = (6as) 1 при условии на постоянные 1aβ = 1(B = β ) Тогда p = (4as) 1 + aφ s Φ 1 (s β ) где для упрощения записи введена новая функция Φ = Φ(s) такая что Φ s = s 4/ a(s β ) 5/ Из системы () определим оставшиеся функции v 1 = v + w s 7/ Φds w 1 = w s 1/ Φ z = z w a s 4/ Φds

4 14 ЛЗ УРАЗБАХТИНА где v w z постоянные После подстановки найденных функций u 1 v 1 w 1 ρ p в представление решения физические величины примут вид: u = x v = y w Φd(s 4/ ) w = w s 1/ Φ 4a ρ = s4/ w Φ z = z + w Φd(s 1/ ) (4) p = y a + w s 4/ dφ + w Φ s s 1/ (s β ) 4a Замечание Значения параметра s берутся из интервала [ β) или (β + ) так как интеграл s s4/ (s β ) 5/ ds сходится при s < β и в этом случае Φ < а интеграл s 4/ (s β ) 5/ ds сходится при s > β и Φ > Тогда функция z = z(s) однозначно s определена монотонна и значит обратима Вывод Фактор-система () является полностью интегрируемой в квадратурах если выполнено соотношение 1aβ = 1 Подалгебра Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см Приложение) u = x ln + u 1(z) v = y + v 1(z) w = w 1(z) ρ = () p = y a + p 1(z) a a После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = 1 w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w aρ 1) = p 1 1 a + w 1 + = w 1 p 1 ab(w 1 + ) = p 1 v 1 w 1 w 1 Из первого уравнения системы определяется u 1 Оставшиеся уравнения системы совпадают с уравнениями () Таким образом физическое представление решения отличается от (4) лишь формулой: u = x ln s1/ Вывод Фактор-система (5) является полностью интегрируемой в квадратурах для значения параметра 1aβ = 1 Подалгебра 6 b Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) u = ay b + u 1(z) v = y b + v 1(z) w = w 1(z) ρ = (z) p = y b + p 1(z) b где a b произвольные постоянные После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = u 1 av 1 w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + = w 1 p 1 bb(w 1 + 1) = p 1 v 1 w 1 w 1 Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид: X = a u1 v1 p1 X = z X 11 = z z + u 1 u1 + v 1 w1 + w 1 w1 p1 (5) (6)

5 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 14 С помощью инвариантов нормализатора сделаем замену: p = p 1 v 1 w 1 ρ = w 1 Третий инвариант нормализатора мы использовать не будем так как функция u 1 входит только в 1-е уравнение которое служит для определения u 1 Фактор-система (6) в новых переменных примет вид: w 1 u 1 = u 1 av 1 v 1 = 1 bρ w 1 = ρ B (ρ + B) p ρ b(ρ + B) ρ = ρ w 1 w 1 p = ρ p b(ρ + B) + Bp (ρ + B) + bbρ (ρ + B) + 1 bρ По аналогии с интегрированием системы () подалгебры в системе (7) поделим 1-е -е и 4-е уравнение на -е уравнение Таким образом перейдем от дифференцирования по переменной z к дифференцированию по переменной s = ρ Для определения p получим уравнение Риккати b(s + B)p s = p + bbp s b B + Bs Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью следующей замены p = p + (1/)bBs 1 b(s + B)p s = p b B + ((/4)b B + 1)Bs У последнего уравнения существует действительное частное решение p = (4bs) 1 при условии выполнения равенства на постоянные 6bβ = 1(B = β ) Для того чтобы упростить запись введем новую функцию Φ = Φ(s) такую что Φ s = s / b s β 7/4 Тогда p = (bs) 1 + bφ s Φ 1 (s β ) Из системы (7) определим оставшиеся функции u 1 = u s 1/ + a s 1/ v 1 s 1/ ds v 1 = v + w s 5/ Φds b w 1 = s 1/ w Φ z = z w s / Φds где u v w z постоянные После подстановки найденных функций u 1 v 1 w 1 ρ p в представление решения физические величины примут вид: u = y b + u s 1/ + a s 1/ v 1 s 1/ ds v = y b b + w s 5/ Φds b w = w Φ s 1/ ρ = s / w Φ z = z w s / Φds p = y b + w s / dφ + w Φ s s 1/ (s β ) b Замечание Так как интеграл s / s β 7/4 ds сходится при s > β и s s s / s β 7/4 ds сходится при < s < β то функция z = z(s) будет монотонной и значит обратимой на соответствующих интервалах Вывод Фактор-система (6) является полностью интегрируемой в квадратурах если выполнено равенство 6bβ = 1 (7)

6 144 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Подмодели сводящиеся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений Основным результатом данного параграфа является тот факт что некоторые полученные системы являются линейными Теория интегрирования линейных систем достаточно хорошо развита [5] 1 Подалгебра 1 c = b Представление решения имеет вид x a ln u = + u 1(z) y ln v = y ln p = b Подставим представление в УГД (1) + v 1(z) + p 1(z) b w = w 1(z) ρ = (z) w 1 u 1 = a w 1v 1 = 1 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + = w 1 p 1 + bβ (w 1 + ) 1 = p 1 v 1 w 1 w 1 Ненулевые операторы нормализатора 67 в инвариантах подалгебры примут вид: X 1 = u1 X = v1 p1 X = z Инварианты нормализатора имеют вид p = p 1 v 1 Сделаем дополнительные замены ρ = w 1 и p = p 1 v В последней системе перейдем к дифференцированию по новой переменной s = β 1 ρ и введем новую постоянную d = bβ и функцию w = dw 1 В результате система примет вид: u 1s = a s v 1s = 1 s + w d s w s = ( p 1 s = (s 1) 1 d s У последней системы имеются две квадратуры ) w ( s s ) w s + 1 sp (s 1) + 1 s p (s 1) u 1 = u a ln s v 1 = v 1 ln s + I I = 1 w ds d s где u v постоянные Подмодель сводится к системе двух линейных уравнений с переменными коэффициентами ( p s = Физические величины примут вид u = x a ln s ( w s = s s s 1 ) w 1 (s 1) 1 d s ) w + p (s 1) sp (s 1) + 1 s v = y ln s + I w = w d ρ = βds w p = y + p ln s + I b где p w определяются из системы (9) Связь между переменными s и z такова z = z 1 s 1 w ds d где z постоянная (8) (9)

7 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 145 Вывод Фактор-система (8) сводится к системе двух линейных уравнений (9) и трем квадратурам Подалгебра 4 c = b Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см Приложение) u = a(y ln ) b + u 1(z) y ln v = b y ln p = b + v 1(z) + p 1(z) w = w 1(z) ρ = (z) b После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = a + u 1 av 1 w 1 v 1 = 1 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + (1) = w 1 p 1 bb(w 1 + 1) = p 1 v w 1 w 1 Ненулевые операторы пятимерного нормализатора в инвариантах подалгебры имеют вид X = a u1 v1 p1 X = z С помощью инвариантов нормализатора в системе (1) сделаем замену p = p 1 v u = u 1 av 1 и дополнительную замену ρ = w 1 Систему (1) запишем в виде разрешенном относительно производных по переменной s = β 1 ρ u s = u s aw d s v 1s = 1 s + w d s ( 1 w s = s s ) w s + p 1 s 1 ( p 1 s = (s 1) 1 ) sp w d s (s 1) + 1 s где d = bβ w = dw 1 Решения первых двух уравнений системы находятся в квадратурах ( u = u a w (s) ds d s / ) s 1/ v 1 = v 1 ln s + I I = 1 w (s) ds d s где u v постоянные Оставшиеся уравнения образуют систему линейных уравнений второго порядка ( 1 w s = s s ) w s + p 1 s 1 ( p 1 s = (s 1) 1 ) sp w d s (s 1) + 1 (11) s Связь между переменными s и z такова z = z (d) 1 s 1 w (s)ds где z постоянная Физические величины имеют вид u = a (y ln s 1/ s 1/ ) w (s) + I ds + u s 1/ b d s / b v = y ln s 1/ + I w = w (s) ρ = βds d w (s) p = y ln s 1/ + p (s) + I b

8 146 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Вывод Фактор-система (1) сводится к системе двух линейных уравнений (11) и трем квадратурам Подалгебра 4 c b Представление решения имеет вид u = a ln ay b + u 1(I) v = b y ln + v 1(I) w = w 1(I) + z ρ = (I) p = z c + p 1(I) c где I = y ln c 1 bz Нормализатор у подалгебры 6-мерный В инвариантах подалгебры ненулевые операторы нормализатора имеют вид X 1 = u1 X = I v1 X = b c I w1 p1 В фактор-системе сделаем замены J = I + v 1 bc 1 w p = p 1 w 1 ρ = J где J p инварианты нормализатора Ju 1 = u 1 a v 1 = J 1 p + w 1 w 1 = b(p + w 1) c Jρ cρ c = ρ ρ p + w 1 p J cb(j + ) = ρ Из первого уравнения находим квадратуру u 1 (I) = u exp J 1 di + a где u постоянная В оставшихся уравнениях обозначим ρ = s и поделим -е -е и 5-е уравнения на 4-е уравнение Получим систему линейных уравнений третьего порядка csj s + (bs + 1)w 1s + p s = c(j + 1) s(c s b)w 1s bsp s = c J cbsj s s w 1s s p s = cbj + sp Связь между переменными s и I дается квадратурой I = I 1 Jds s где I постоянная Замечание Если исключить w 1s из системы (1) то получим систему второго порядка для функций J и p Вывод Система (1) сводится к линейной системе двух уравнений и трем квадратурам 4 Подалгебра 1 Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение): u = u 1 (z) exp( y) v = v 1 (z) exp( y) w = w 1 (z) exp( y) ρ = (z) exp(y) p = p 1 (z) exp( y) + После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему (1) + w 1 w 1 + v 1 w 1 w 1 u 1 = u 1 v 1 w 1 v 1 = v 1 p 1 w 1 (v 1 w 1) = p 1 = 1 + v 1 p 1 + w 1 p 1 + Bρ1/ 1 (w 1 v 1 ) = (1)

9 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 147 Запишем ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры X = u 1 u1 + v 1 v1 + w 1 w1 ρ1 p 1 p1 X = z Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену u = / 1 u 1 v = / 1 v 1 w = / 1 w 1 p = ρ 1/ 1 p 1 При исследовании подмоделей мы пытаемся понизить порядок системы с помощью нормализатора Но у некоторых систем интегралы находятся без использования нормализатора Из первого уравнения с помощью четвертого уравнения системы найдем интеграл u w = u где u постоянная Оставшиеся уравнения системы (1) в новых переменных примут вид: w v w v v + p = w w w w v + p + p = w + w + v = 1 + v p + w p + w p + B(w v ) B w = 9 У системы (14) можно найти еще один интеграл слудующим образом: прибавим к первому уравнению умноженному на v второе уравнение умноженное на w и полученный результат упростим с помощью четвертого и пятого уравнений Получим обыкновенное дифференциальное уравнение ((v + w B)w ) = Интегрирование с точностью до переноса по z дает интеграл v = z w + B w Если у системы (14) найти все производные то из уравнения для получим квадратуру ( ( ) ) v = ρ exp + p v + 1 w w (w B ) dz В силу найденых интегралов остается два уравнения (14) (w B )w = (1 + p v ) w (w B )p = p (1 + p v ) p v B w (15) Уравнения системы (15) после исключения z в силу интеграла в переменных s = w v = s 1/4 V (s) p = s 1/4 p(s) примут вид 4s 1/ V p = (s B) 1 + pv 4s5/4 p = B (s B) 1 + pv Вывод Фактор-система (1) сводится к системе двух нелинейных уравнений 5 Подалгебра 14 Подалгебра имеет четырехмерный нормализатор Значит должен определиться всего один интеграл Но без использования нормализатора возможно найти два дополнительных интеграла подмодели Представление решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (r) exp( θ/a) V = V 1 (r) exp( θ/a) W = W 1 (r) exp( θ/a) ρ = (r) exp(θ/a) p = p(r) exp(θ/a) + Ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры имеет вид X 1 = U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 p 1 p1

10 148 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену U = / 1 U 1 V = / 1 V 1 W = / 1 W 1 p = ρ 1/ 1 p 1 После подстановки представления решения УГД (1) примут вид: V U r U V r U W ar = V V r + p V r + p V W ar = W r V W r W V r + V W r 1 + p V + p V + p ar = W ar V + V r r + W p + B ar (V V Запишем систему (16) в виде системы Коши-Ковалевской + W ar + V r = r W ar + V r ) = (16) ( B V )V U U = 1 m (B V )V = ( B V ) V r m ( B V )V W = ( B V )( p + av W ar ) + W m ( B V )V = m ( B V ) W ar ( B V )V p = ( B V ) (p B) m где m = 1 + (ar) 1 p W + (V + W )V r 1 Из системы (17) видно что функции U и определяются через квадратуры (следствие инвариантности относительно оператора X 1 ) ( U = U exp ( ( = ρ exp mdr V (B V ) ) m V (B V ) W arv ) ) dr где U ρ постоянные Первое уравнение системы (16) умножим на (U V ) 1 и результат прибавим к четвертому уравнению деленному на V Получим интеграл V U = C 1 r 1 C 1 постоянная который равносилен квадратуре для U Второе и третье уравнения умножим на V 1 W 1 соответственно сложим и результат подставим в 5-е уравнение найдем еще один интеграл (V + W B)V = r + C r 1 где C постоянная Оставшиеся уравнения системы (16) с учетом найденных интегралов образуют систему второго порядка ( B V )V = ( B V ) V r m ( B V )V p = ( B V ) (p B) m Вывод Фактор-система (16) сводится к системе двух дифференциальных уравнений двум квадратурам и интегралу 4 Подмодели сводящиеся к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений 41 Подалгебра c Для подалгебры представление решения имеет вид (см Приложение) U = U 1(r) + x V = V 1(r) W = W 1(r) ρ = (r) p = x p 1(r) c (17)

11 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 149 Подставим представление решения в УГД (1) V 1 U = V 1 V 1 V 1 p 1 = W 1 c c r V 1W 1 W 1 = V 1W 1 r ( V 1 ) + + V 1 r = p 1 + U 1 p 1V 1 + cβ (1 + V 1 + V 1 r ) = Ненулевые операторы нормализатора 55 в инвариантах подалгебры имеют вид X 1 = U1 + p1 X 11 = r r + U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 + p 1 p1 Вычислив инварианты нормализатора сделаем замены V = V 1 r W = W 1 r ρ = r p = p 1 + U 1 r Из первого уравнения системы (18) находим функцию dr U 1 (r) = U cρ V где U постоянная Тем самым использована инвариантность относительно оператора X 1 В новых переменных V W ρ p s = ln r система (18) становится автономной системой V V s p s = W V + V + p 1 cρ cρ c ρ V V W s = W V W (ρ V ) s + ρ V + ρ = (19) V p s + cb ρ V s = p (1 V ) 1 cρ + cβ ρ (1 + V ) Условие автономности возможно в силу инвариантности относительно оператора X 11 Поделим второе уравнение системы (19) на V W а третье уравнение на ρ V и исключая V получим интеграл ρ V W = C exp 5s где C постоянная После подстановки функции W найденную из интеграла в систему (19) получим систему третьего порядка cρ V V s p s = cc exp 5s V cρ V + cρ V + p 1 cρ V (ρ V ) s + ρ V + ρ = ρ V p s + cbv s ρ p (1 V ) c 1 + cβ (1 + V ) У этой системы имеется особое решение когда определитель матрицы при производных равен нулю: U 1 = U 6r V = W = ρ = β p = 4 6 Физические величины примут вид U = x 4 6r V = r W = ρ = β r p = x ± 15r () c Подмодель (18) имеет частное решение U 1 = r4 4cC C V 1 = r W 1 = = C r 4 p 1 = C где 1cβ = 1 C C постоянные (18)

12 15 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Физические величины в данном случае примут вид U = r4 4cC + x V = r W = ρ = C r p = x 4 c (1) Вывод Фактор-система (18) сводится к системе трех уравнений одному интегралу и одной квадратуре Найдены точных решения () и (1) 4 Подалгебра b Рассматривается подалгебра с четырехмерным нормализатором У подалгебры с четырехмерным нормализатором найдено интеграла Один интеграл найден с помощью нормализатора другой интеграл найден по аналогии с нахождением интеграла типа Бернулли Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (r) exp(α) V = V 1 (r) exp(α) W = W 1 (r) exp(α) ρ = (r) exp( α) p = p 1 (r) exp( α) + α = aθ x b Запишем ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры X 1 = U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 p 1 p1 Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену U = / 1 U 1 V = / 1 V 1 W = / 1 W 1 p = ρ 1/ 1 p 1 Подставим представление решения в УГД (1) и используя замену получим факторсистему: U b n + V U U V + p b = V b n + V V V 1 + (p B )n b + V p + V p + p + p = W r W b n + V W W V ap br = V W r b n = V + V + V r + B (V + V r V ) = где n = U aw r 1 У фактор-системы () найдем интеграл типа Бернулли Умножим первое уравнение на U второе уравнение на V третье уравнение на W Сложим полученные уравнения Из полученного вычтем пятое уравнение Затем исключим величину nb 1 + V ρ 1 1 найденную из четвертого уравнения В результате получим интеграл V ( U B) = r + Cr 1 где C постоянная Запишем в новых переменных оператор X 1 = ρ1 Значит в системе () исключается величина ρ 1 1 Для получим квадратуру ( ) k (B V = ρ exp )nb 1 V ( B V dr ) где k = 1 + b 1 np + (V + W )V r 1 ρ произвольная постоянная ()

13 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 151 Останется система трех уравнений в силу полученного интеграла: ( B V )V = ( B V ) V r k ( B V )V W = ( B V )( ap bv W ) + kw br ( B V )V p = ( B V ) k(p B) У системы имеется особое решение при V = β β = B При этом физические величины примут вид U = U ρ 1/ 1 exp(α) V = βρ 1/ 1 exp(α) W = W ρ 1/ 1 exp(α) ρ = (r) exp( α) p = b (r + β (β + W )) / 1 exp( α) + rn где U W произвольные Вывод Фактор-система () сводится к системе трех уравнений одной квадратуре и интегралу Найдено точное решение () 5 Подмодель для самонормализованной подалгебры Рассматривается самонормализованная подалгебра 6 Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (s)r α V = V 1 (s)r α W = W 1 (s)r α ρ = (s)r ( γ )α p = p 1 (s)r α γ + α = 1 γ + 1 s = x r УГД (1) редуцируются к виду: (U 1 sv 1 )U 1 + αu 1 V 1 + p 1 = (U 1 sv 1 )V 1 + αv 1 sp 1 + α γ p 1 = W 1 (U 1 sv 1 )W 1 + (α + 1)V 1 W 1 = ((U 1 sv 1 ) ) + (α( γ 1) + ) V 1 = 1 + (U 1 sv 1 )p 1 + α γp 1 V 1 + Bγρ γ 1(U 1 + (α + 1)V 1 sv 1) = Поделим третье уравнение системы на (U 1 sv 1 )W 1 четвертое на (U 1 sv 1 ) и исключая величину (U 1 sv 1 ) 1 V 1 получим интеграл (U 1 sv 1 ) = W W ( γ+1)α 1 где W постоянная Значит система (4) сводится к системе четвертого порядка Если в полученном интеграле положить W 1 = то найдем точное решение при γ = 1/7: ( 1 p U 1 = sv 1 p 1 = 4 s + 1 V 1 = B/7 p 1 4 s + 1) 1 (s + 1) 5/4 = B ρ /7 p 1 + p s + 1 Bρ1/7 1 p 4 s + 1 Замечание Полученное точное решение совпадает с особым решением системы (4) Если в интеграле положить γ = 1/7 тогда (U 1 sv 1 ) = W Четвертое уравнение системы (4) обращается в тождество и останется система четвертого порядка Вывод У фактор-системы (4) найден один интеграл и точное(особое) решение () (4)

14 15 ЛЗ УРАЗБАХТИНА 6 Приложение Таблица трехмерных подалгебр с одним инвариантом зависящим от независимых переменных 6 z (1 γ)/ γ ; (u x + ay)z 1 vz 1/ γ wz 1/ γ ; =6 ρz ( γ)/ γ (p y)z 1 7 z γ/(1 γ) ; uz 1/ γ ; ρz ( γ)/ γ (p y)z 1 =7 14 γ = 1 : r; U exp(θ/a); ρ exp( θ/a) (p ) exp( θ/a) 45 γ 1 β = ( γ + 1) 1 : θ + aβ ln r ; Ur β ; ρr ( γ)β (p )r γβ 4 α = 1/ γ : θ + aα ln r ; Ur α ; ρr ( γ)α (p x)r α = ( γ + 1) 1 : xr 1 ; Ur α ; ρr ( γ)α (p )r α γ =6 9 r γ/(1 γ) ; Ur 1 ; ρ 1 r 1/( γ) (p x)r 1 =9 1 c = b : z; u x + a ln v y + ln w; 67 ρ 1 bp y + ln a = c : y ln bc 1 z; u x + a ln v y + ln w z; ρ 1 cp z z; u x + ln v y w; ρ 1 ap y 67a = z; u x v y w; ρ 1 ap y 78 4 c = b : z; bu ai v I w z; ρ 1 bp I 514 c : I bc 1 z; cu az cv bz w z; ρ 1 cp z a = b = I = y ln 6 b : z; bu ay v y w; ρ 1 bp y 6 7 a b : z (a+1)/a ; (u x)z 1 (v y)z 1 wz 1/a ; 46 ρz 1/a (bp y)z 1 8 a c : z 1 1/a ; (u bc 1 y)z 1 (v y)z 1 wz 1 ; 47 ρz 1 (cp y)z 1 9 d + c + a = : (α(u x) + β)z 1 (αv βd)z 1 =9 αwz 1 ρz (αp β)z 1 α = d + c a β = y ax b + e : ; ((e b)(u x) + z bx) I 1 ((e b)v dz + dbx) I 1 ((e b)w ez + ebx) I 1 ρi ((e b)p z + bx) I 1 I = α(z bx) β(e b) 1 b : ; (u ay)i 1 vi 1 (w by)i 1 ; Iρ (p y)i 1 =1 I = z by 11 ; (u ay)z 1 vz 1 wz 1 ; ρz (p y)z (y 1 b )z 1 ; (u a)z 1/ (v b)z 1/ wz 1/ ; =1 b ρz 1/ (p )z 1/ 1 a : z exp ; (au by) exp v exp w exp ; 444 ρ exp (ap y) exp 16 θ + 1 a ln r ; (U b)r 1/ V r 1/ W r 1/ ; 447 ρr 1/ (p )r 1/ 18 b : θ a ln r 1 ; (U x)r 1 V r 1 W r 1 ; ρr (bp x)r 1 19 c : (b + 1) ln r b ln aθ; (U cp)r 1 V r 1 W r 1 ; 449 ρr 1 (cp x)r 1 (x 1 )r 1 ; (U )r 1/ V r 1/ W r 1/ ; = ρr 1/ (p )r 1/

15 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 15 1 c a + b = 1 : r; U x + aθ + b ln V W ; ρ cp x + aθ + b ln a = b = c : r; U x V W ; ρ 1 cp x 55 b ln r aθ + ; Ur 1 ; ρr (p x)r 1 46 γ = 1 1 z; u exp(y); ρ exp( y) (p ) exp( y) 5 γ = 1 b : r; UI; ρi (p )I 1 I = exp (x aθ)b 1 45 γ = 1 a = b = СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Станюкович КП Неустановившиеся движения сплошной среды М: ГИТТЛ c Хабиров СВ Оптимальные системы подалгебр допускаемых уравнениями газовой динамики Препринт института механики УНЦ РАН Уфа 1998 с Овсянников ЛВ Групповой анализ дифференциальных уравнений М: Наука с 4 Хабиров СВ Аналитические методы в газовой динамике Уфа: Гилем 19 с 5 Тихонов АН Васильева АБ Свешников АГ Дифференциальные уравнения М: ФИЗМАТЛИТ 56 с Лилия Зинфировна Уразбахтина Уфимский государственный авиационный технический университет ул К Маркса г Уфа Россия

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Е.В. Мамонтов ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА 2-ПОДМОДЕЛЕЙ КЛАССА S УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Е.В. Мамонтов ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА 2-ПОДМОДЕЛЕЙ КЛАССА S УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УДК 533; 517.958 Е.В. Мамонтов ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА 2-ПОДМОДЕЛЕЙ КЛАССА S УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Для системы уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния рассматриваются инвариантные 2-подмодели

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ...

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ... СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 II УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 10 2.1 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ... 10 2.2 ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ. РЕШЕНИЕ АВТОМОРФНОЙ

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ ISSN 274-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. 2 (215). С. 114-122. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ С.В. ХАБИРОВ Аннотация. Получены формулы, задающие все возможные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ОБ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И GL 2 (C)-ОРБИТАХ БИНАРНЫХ ФОРМ

ОБ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И GL 2 (C)-ОРБИТАХ БИНАРНЫХ ФОРМ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. 4 (2012). С. 38-44. УДК 517.957 + 512.745 ОБ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И GL 2 (C)-ОРБИТАХ БИНАРНЫХ ФОРМ П.В. БИБИКОВ Аннотация.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

НЕПОДОБНЫЕ ШЕСТИМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ НА ПЛОСКОСТИ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

НЕПОДОБНЫЕ ШЕСТИМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ НА ПЛОСКОСТИ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ISSN 074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. 3 (009. С. 97-110. УДК 517.91 НЕПОДОБНЫЕ ШЕСТИМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ НА ПЛОСКОСТИ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СУММЫ ДВУХ ИДЕАЛОВ, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СУММЫ ДВУХ ИДЕАЛОВ, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 6. 2 (2014). С. 99-103. УДК 517.3 ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СУММЫ ДВУХ ИДЕАЛОВ, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА С.В. ХАБИРОВ Аннотация. Выведены

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.А. Кыров. Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2)

В.А. Кыров. Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2) Приложение I В.А. Кыров Классификация четыреметрических физических структур ранга (2,2) В теории физических структур исключительно важное значение имеет классификация невырожденных метрических функций,

Подробнее

КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА ПРЯМОЙ

КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА ПРЯМОЙ ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. 4 (2012). С. 119-129. УДК 517.958:533.7 КОЛЛАПС ИЛИ МГНОВЕННЫЙ ИСТОЧНИК ГАЗА НА ПРЯМОЙ Е.B. МАКАРЕВИЧ Аннотация. В работе построено частично инвариантное

Подробнее

Данная работа посвящена групповому анализу уравнения

Данная работа посвящена групповому анализу уравнения Н. В. ФИЛИН В. Е. ФЁДОРОВ ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО НЕКЛАССИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Проведен симметрийный анализ одного уравнения математической физики. Для него найдена основная алгебра

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 64 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 3 УДК 57.944+59.46 О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. А. Чиркунов Новосибирский

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ЛИ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ИСТОЧНИКА

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ЛИ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ИСТОЧНИКА ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 5. 3 (2013). С. 54-66. УДК 517.956.4 ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ ЛИ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ИСТОЧНИКА

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Е. В. Мамонтов ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КЛЕБША

Е. В. Мамонтов ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КЛЕБША УДК 533; 517.958 Е. В. Мамонтов ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КЛЕБША Анализируется возможность построения инвариантных решений уравнений Клебша, описывающих вихревые движения. Ключевые слова: идеальная

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ISSN 074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. 3 009. С. 13-138. УДК 517.9 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М.И. ТИМОШИН Аннотация. Рассматривается задача использования

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. 3 2009. С. 28-45. УДК 517.9 АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ n-компонентной ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА И КРАЕВЫЕ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА НА ОСНОВЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА ЛИ

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА НА ОСНОВЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА ЛИ ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. 3 (2016). С. 49-58. УДК 517.9 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА НА ОСНОВЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА ЛИ А.В. ЖИБЕР, С.Н. КАМАЕВА

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ФАКТОРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ФАКТОРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2003 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Групповой анализ дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ

СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ S e MR ISSN 1813-3304 СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports http://semr.math.nsc.ru Том 11, стр. 605 625 (2014) УДК 517.958:533 MSC 35B06, 35Q99 ВЛОЖЕННЫЕ

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 2 53 УДК 57.944+533.6 МЕТОД A-ОПЕРАТОРОВ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ю. А. Чиркунов Новосибирский государственный университет

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА. Н. Х. Ибрагимов

ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА. Н. Х. Ибрагимов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 11 УДК 517.91 ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА Н. Х. Ибрагимов Технологический институт Блекинге, 37179 Карлскруна,

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович d.shimanchuk@spbu.ru Санкт-Петербургский государственный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Вычислительные технологии Том 3, 6, 1998 ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ А.А. Черевко Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева

Подробнее

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ISSN 2079-8490 Электронное научное издание «Ученые заметки ТОГУ» 2014, Том 5, 4, С. 1357 1363 Свидетельство Эл ФС 77-39676 от 05.05.2010 http://pnu.edu.ru/ru/ejournal/about/ ejournal@pnu.edu.ru УДК 517.95

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее