ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ"

Транскрипт

1 ISSN Уфимский математический журнал Том 1 (9) С УДК ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ ЛЗ УРАЗБАХТИНА Аннотация В работе приведена классификация инвариантных подмоделей построенных на трехмерных подалгебрах из оптимальной системы Классификация подмоделей проведена по порядку инвариантной подмодели модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов Ключевые слова: уравнения газовой динамики уравнение состояния подалгебра подмодель нормализатор 1 Введение Рассмотрим уравнения газовой динамики (УГД) ρ d u dρ ds + p = + ρdiv u = d d d = (1) со специальным уравнением состояния описывающие движение жидкости при больших давлениях и высоких температурах [1] p = Bρ γ + F (S) Здесь u вектор скорости; ρ плотность; p давление; F (S) функция энтропии; B γ постоянные Bγ > γ 1; d/d = + u оператор полного дифференцирования Скорость звука c определяется по формуле c = Bγρ γ 1 В этом случае УГД (1) допускают группу преобразований с 1-мерной алгеброй Ли Неподобные подалгебры сведены в оптимальную систему [] Базис алгебры Ли L 1 состоит из операторов: X 1 X 1 где X 1 X X переносы по пространственным координатам; X 4 X 5 X 6 галилеевы переносы; X 7 X 8 X 9 вращения; X 1 перенос по времени; X 11 равномерное растяжение независимых декартовых переменных x y z ; X 1 = u u v v w w ( γ )ρ ρ γp p растяжение γ = γ(γ 1) 1 γ ; X 1 перенос по давлению В оптимальной системе имеется 7 серий трехмерных подалгебр с одним инвариантом зависящим от независимых переменных Все они сведены в таблицу (см Приложение) В первом столбце указан номер подалгебры из оптимальной системы [] Первая цифра номера указывает на размерность подалгебры Последующие цифры номера указывают на порядковый номер поадлгебры данной размерности Номер подалгебры с одним штрихом указывает на то что параметр γ = 1 с двумя штрихами γ = 1 Во втором столбце записаны инварианты в декартовых переменных x y z u v w или в цилиндрических переменных x r θ U V W а в третьем столбце записан номер нормализатора LZ Urazbachina Invarian submodels of a rank of one gas dynamics wih he special equaion of sae c Уразбахтина ЛЗ 9 Работа поддержана грантом ГНТП-РБ госконтракт 1/-ФМ Поступила августа 9 г 19

2 14 ЛЗ УРАЗБАХТИНА На трехмерных подалгебрах такого типа можно строить инвариантные подмодели Для того чтобы получить подмодель нужно записать представление решения Оно получается приравниванием инвариантов зависящих от газодинамических функций к новым функциям от инварианта зависящего от независимых переменных Затем из этих выражений находим искомые газодинамические функции После их подстановки в УГД (1) получаем инвариантую подмодель которая представляет собой систему из 5 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [] Основная задача найти интегралы у этой фактор-системы Согласно теореме Коши- Ковалевской любая подмодель является интегрируемой Однако очень сложно найти интегралы в простой алгебраической форме С помощью нормализатора подалгебры можно понизить порядок фактор-системы или найти интегралы Порядок нормализатора определяет число интегралов Поэтому для последующей классификации в таблице (см Приложение) в последнем столбце указана размерность нормализатора Если размерность нормализатора равняется то подалгебра самонормализована и симметрий наследуемых из L 1 у подмодели нет Порядок инвариантной подмодели можно понизить за счет симметрий нормализатора или за счет дополнительных интегралов не связанных с этими симметриями Дополнительные интегралы получаются эвристическим путем по аналогии с известными примерами [4] Классификация подмоделей проводится по порядку инвариантной подмодели модифицированной с помощью нормализатора и дополнительных интегралов В уравнения подмодели входят параметры: алгебраические коэффициетны из оптимальной системы или постоянные интегралы При некоторых соотношениях на параметры можно найти новые интегралы и подмодель полностью интегрируется Во второй части статьи рассмотрены подалгебры 6 Эти подалгебры имеют нормализаторы размерности 6 и 7 Все эти подмодели сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению Риккати При некоторых значения параметров уравнения Риккати интегрируются В третьей части работы рассмотрены подалгебры Подмодели подалгебр 1 4 сводятся к линейным фактор-системам дифференциальных уравнений второго порядка В четвертом пункте описаны подалгебры У фактор-системы подалгебры найдены особое и частное решения У фактор-системы подалгебры найдены квадратура и интеграл В пятой части рассмотрена самонормализованная подалгебра 6 У подмодели найден один интеграл и получено точное(особое) решение Подмодели сводящиеся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению Сделано оригинальное наблюдение: подмодели с нормализаторами размерности 6 и 7 сводятся к одному уравнению Риккати Это достигается нахождением дополнительных интегралов Для некоторых значений параметров уравнение Риккати интегрируется 1 Подалгебра Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение): u = x + u 1(z) v = y + v 1(z) w = w 1(z) ρ = () p = y a + p 1(z) a a

3 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 141 После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w aρ 1) = p 1 1 a + w 1 + = w 1 p 1 ab(w 1 + ) = p 1 v 1 w 1 w 1 Из первого уравнения видно что u 1 = C иначе возникает противоречие в четвертом уравнении Постоянную C можно положить нулем тк она убирается галилеевым переносом по оси x (оператор X 4 ) а решения УГД мы рассматриваем с точностью до допускаемых преобразований Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид: X 1 = u1 X = v1 p1 X = z X 11 = z z + u 1 u1 + v 1 v1 + w 1 w1 ρ1 + p 1 p1 Инварианты нормализатора назначим новыми функциями: p = p 1 v 1 w 1 ρ = w 1 В этих переменных операторы нормализатора примут простейший вид По простейшему виду нормализатора можно понять каким образом можно понизить порядок системы Фактор-система () в новых переменных примет вид: () v 1 = 1 aρ w 1 p = w 1 = ρ B (ρ + B) p ρ a(ρ + B) ρ = ρ w 1 ρ p a(ρ + B) + Bp (ρ + B) + abρ (ρ + B) + 1 aρ () В системе () поделим 1-е -е и 4-е уравнения на -е уравнение Таким образом перейдем от дифференцирования по переменной z к дифференцированию по переменной s = ρ Для определения p получим уравнение Риккати a(s + B)p s = p + abp s a B + Bs Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью замены p = p + abs 1 : a(s + B)p s = p a B + (a B + 1)s Для того чтобы привести уравнение Риккати к линейному неоднородному уравнению необходимо найти частное решение Частное решение будем искать в виде p = Ds 1 Существует действительное частное решение p = (6as) 1 при условии на постоянные 1aβ = 1(B = β ) Тогда p = (4as) 1 + aφ s Φ 1 (s β ) где для упрощения записи введена новая функция Φ = Φ(s) такая что Φ s = s 4/ a(s β ) 5/ Из системы () определим оставшиеся функции v 1 = v + w s 7/ Φds w 1 = w s 1/ Φ z = z w a s 4/ Φds

4 14 ЛЗ УРАЗБАХТИНА где v w z постоянные После подстановки найденных функций u 1 v 1 w 1 ρ p в представление решения физические величины примут вид: u = x v = y w Φd(s 4/ ) w = w s 1/ Φ 4a ρ = s4/ w Φ z = z + w Φd(s 1/ ) (4) p = y a + w s 4/ dφ + w Φ s s 1/ (s β ) 4a Замечание Значения параметра s берутся из интервала [ β) или (β + ) так как интеграл s s4/ (s β ) 5/ ds сходится при s < β и в этом случае Φ < а интеграл s 4/ (s β ) 5/ ds сходится при s > β и Φ > Тогда функция z = z(s) однозначно s определена монотонна и значит обратима Вывод Фактор-система () является полностью интегрируемой в квадратурах если выполнено соотношение 1aβ = 1 Подалгебра Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см Приложение) u = x ln + u 1(z) v = y + v 1(z) w = w 1(z) ρ = () p = y a + p 1(z) a a После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = 1 w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w aρ 1) = p 1 1 a + w 1 + = w 1 p 1 ab(w 1 + ) = p 1 v 1 w 1 w 1 Из первого уравнения системы определяется u 1 Оставшиеся уравнения системы совпадают с уравнениями () Таким образом физическое представление решения отличается от (4) лишь формулой: u = x ln s1/ Вывод Фактор-система (5) является полностью интегрируемой в квадратурах для значения параметра 1aβ = 1 Подалгебра 6 b Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) u = ay b + u 1(z) v = y b + v 1(z) w = w 1(z) ρ = (z) p = y b + p 1(z) b где a b произвольные постоянные После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = u 1 av 1 w 1 v 1 = 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + = w 1 p 1 bb(w 1 + 1) = p 1 v 1 w 1 w 1 Ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры примут вид: X = a u1 v1 p1 X = z X 11 = z z + u 1 u1 + v 1 w1 + w 1 w1 p1 (5) (6)

5 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 14 С помощью инвариантов нормализатора сделаем замену: p = p 1 v 1 w 1 ρ = w 1 Третий инвариант нормализатора мы использовать не будем так как функция u 1 входит только в 1-е уравнение которое служит для определения u 1 Фактор-система (6) в новых переменных примет вид: w 1 u 1 = u 1 av 1 v 1 = 1 bρ w 1 = ρ B (ρ + B) p ρ b(ρ + B) ρ = ρ w 1 w 1 p = ρ p b(ρ + B) + Bp (ρ + B) + bbρ (ρ + B) + 1 bρ По аналогии с интегрированием системы () подалгебры в системе (7) поделим 1-е -е и 4-е уравнение на -е уравнение Таким образом перейдем от дифференцирования по переменной z к дифференцированию по переменной s = ρ Для определения p получим уравнение Риккати b(s + B)p s = p + bbp s b B + Bs Приведем последнее уравнение к каноническому виду с помощью следующей замены p = p + (1/)bBs 1 b(s + B)p s = p b B + ((/4)b B + 1)Bs У последнего уравнения существует действительное частное решение p = (4bs) 1 при условии выполнения равенства на постоянные 6bβ = 1(B = β ) Для того чтобы упростить запись введем новую функцию Φ = Φ(s) такую что Φ s = s / b s β 7/4 Тогда p = (bs) 1 + bφ s Φ 1 (s β ) Из системы (7) определим оставшиеся функции u 1 = u s 1/ + a s 1/ v 1 s 1/ ds v 1 = v + w s 5/ Φds b w 1 = s 1/ w Φ z = z w s / Φds где u v w z постоянные После подстановки найденных функций u 1 v 1 w 1 ρ p в представление решения физические величины примут вид: u = y b + u s 1/ + a s 1/ v 1 s 1/ ds v = y b b + w s 5/ Φds b w = w Φ s 1/ ρ = s / w Φ z = z w s / Φds p = y b + w s / dφ + w Φ s s 1/ (s β ) b Замечание Так как интеграл s / s β 7/4 ds сходится при s > β и s s s / s β 7/4 ds сходится при < s < β то функция z = z(s) будет монотонной и значит обратимой на соответствующих интервалах Вывод Фактор-система (6) является полностью интегрируемой в квадратурах если выполнено равенство 6bβ = 1 (7)

6 144 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Подмодели сводящиеся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений Основным результатом данного параграфа является тот факт что некоторые полученные системы являются линейными Теория интегрирования линейных систем достаточно хорошо развита [5] 1 Подалгебра 1 c = b Представление решения имеет вид x a ln u = + u 1(z) y ln v = y ln p = b Подставим представление в УГД (1) + v 1(z) + p 1(z) b w = w 1(z) ρ = (z) w 1 u 1 = a w 1v 1 = 1 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + = w 1 p 1 + bβ (w 1 + ) 1 = p 1 v 1 w 1 w 1 Ненулевые операторы нормализатора 67 в инвариантах подалгебры примут вид: X 1 = u1 X = v1 p1 X = z Инварианты нормализатора имеют вид p = p 1 v 1 Сделаем дополнительные замены ρ = w 1 и p = p 1 v В последней системе перейдем к дифференцированию по новой переменной s = β 1 ρ и введем новую постоянную d = bβ и функцию w = dw 1 В результате система примет вид: u 1s = a s v 1s = 1 s + w d s w s = ( p 1 s = (s 1) 1 d s У последней системы имеются две квадратуры ) w ( s s ) w s + 1 sp (s 1) + 1 s p (s 1) u 1 = u a ln s v 1 = v 1 ln s + I I = 1 w ds d s где u v постоянные Подмодель сводится к системе двух линейных уравнений с переменными коэффициентами ( p s = Физические величины примут вид u = x a ln s ( w s = s s s 1 ) w 1 (s 1) 1 d s ) w + p (s 1) sp (s 1) + 1 s v = y ln s + I w = w d ρ = βds w p = y + p ln s + I b где p w определяются из системы (9) Связь между переменными s и z такова z = z 1 s 1 w ds d где z постоянная (8) (9)

7 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 145 Вывод Фактор-система (8) сводится к системе двух линейных уравнений (9) и трем квадратурам Подалгебра 4 c = b Подалгебра имеет представление инвариантного решения вида (см Приложение) u = a(y ln ) b + u 1(z) y ln v = b y ln p = b + v 1(z) + p 1(z) w = w 1(z) ρ = (z) b После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему w 1 u 1 = a + u 1 av 1 w 1 v 1 = 1 1 w 1 (1 w bρ 1) = p 1 1 b + w 1 + (1) = w 1 p 1 bb(w 1 + 1) = p 1 v w 1 w 1 Ненулевые операторы пятимерного нормализатора в инвариантах подалгебры имеют вид X = a u1 v1 p1 X = z С помощью инвариантов нормализатора в системе (1) сделаем замену p = p 1 v u = u 1 av 1 и дополнительную замену ρ = w 1 Систему (1) запишем в виде разрешенном относительно производных по переменной s = β 1 ρ u s = u s aw d s v 1s = 1 s + w d s ( 1 w s = s s ) w s + p 1 s 1 ( p 1 s = (s 1) 1 ) sp w d s (s 1) + 1 s где d = bβ w = dw 1 Решения первых двух уравнений системы находятся в квадратурах ( u = u a w (s) ds d s / ) s 1/ v 1 = v 1 ln s + I I = 1 w (s) ds d s где u v постоянные Оставшиеся уравнения образуют систему линейных уравнений второго порядка ( 1 w s = s s ) w s + p 1 s 1 ( p 1 s = (s 1) 1 ) sp w d s (s 1) + 1 (11) s Связь между переменными s и z такова z = z (d) 1 s 1 w (s)ds где z постоянная Физические величины имеют вид u = a (y ln s 1/ s 1/ ) w (s) + I ds + u s 1/ b d s / b v = y ln s 1/ + I w = w (s) ρ = βds d w (s) p = y ln s 1/ + p (s) + I b

8 146 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Вывод Фактор-система (1) сводится к системе двух линейных уравнений (11) и трем квадратурам Подалгебра 4 c b Представление решения имеет вид u = a ln ay b + u 1(I) v = b y ln + v 1(I) w = w 1(I) + z ρ = (I) p = z c + p 1(I) c где I = y ln c 1 bz Нормализатор у подалгебры 6-мерный В инвариантах подалгебры ненулевые операторы нормализатора имеют вид X 1 = u1 X = I v1 X = b c I w1 p1 В фактор-системе сделаем замены J = I + v 1 bc 1 w p = p 1 w 1 ρ = J где J p инварианты нормализатора Ju 1 = u 1 a v 1 = J 1 p + w 1 w 1 = b(p + w 1) c Jρ cρ c = ρ ρ p + w 1 p J cb(j + ) = ρ Из первого уравнения находим квадратуру u 1 (I) = u exp J 1 di + a где u постоянная В оставшихся уравнениях обозначим ρ = s и поделим -е -е и 5-е уравнения на 4-е уравнение Получим систему линейных уравнений третьего порядка csj s + (bs + 1)w 1s + p s = c(j + 1) s(c s b)w 1s bsp s = c J cbsj s s w 1s s p s = cbj + sp Связь между переменными s и I дается квадратурой I = I 1 Jds s где I постоянная Замечание Если исключить w 1s из системы (1) то получим систему второго порядка для функций J и p Вывод Система (1) сводится к линейной системе двух уравнений и трем квадратурам 4 Подалгебра 1 Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение): u = u 1 (z) exp( y) v = v 1 (z) exp( y) w = w 1 (z) exp( y) ρ = (z) exp(y) p = p 1 (z) exp( y) + После подстановки представления в УГД (1) получим фактор-систему (1) + w 1 w 1 + v 1 w 1 w 1 u 1 = u 1 v 1 w 1 v 1 = v 1 p 1 w 1 (v 1 w 1) = p 1 = 1 + v 1 p 1 + w 1 p 1 + Bρ1/ 1 (w 1 v 1 ) = (1)

9 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 147 Запишем ненулевые операторы нормализатора в инвариантах подалгебры X = u 1 u1 + v 1 v1 + w 1 w1 ρ1 p 1 p1 X = z Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену u = / 1 u 1 v = / 1 v 1 w = / 1 w 1 p = ρ 1/ 1 p 1 При исследовании подмоделей мы пытаемся понизить порядок системы с помощью нормализатора Но у некоторых систем интегралы находятся без использования нормализатора Из первого уравнения с помощью четвертого уравнения системы найдем интеграл u w = u где u постоянная Оставшиеся уравнения системы (1) в новых переменных примут вид: w v w v v + p = w w w w v + p + p = w + w + v = 1 + v p + w p + w p + B(w v ) B w = 9 У системы (14) можно найти еще один интеграл слудующим образом: прибавим к первому уравнению умноженному на v второе уравнение умноженное на w и полученный результат упростим с помощью четвертого и пятого уравнений Получим обыкновенное дифференциальное уравнение ((v + w B)w ) = Интегрирование с точностью до переноса по z дает интеграл v = z w + B w Если у системы (14) найти все производные то из уравнения для получим квадратуру ( ( ) ) v = ρ exp + p v + 1 w w (w B ) dz В силу найденых интегралов остается два уравнения (14) (w B )w = (1 + p v ) w (w B )p = p (1 + p v ) p v B w (15) Уравнения системы (15) после исключения z в силу интеграла в переменных s = w v = s 1/4 V (s) p = s 1/4 p(s) примут вид 4s 1/ V p = (s B) 1 + pv 4s5/4 p = B (s B) 1 + pv Вывод Фактор-система (1) сводится к системе двух нелинейных уравнений 5 Подалгебра 14 Подалгебра имеет четырехмерный нормализатор Значит должен определиться всего один интеграл Но без использования нормализатора возможно найти два дополнительных интеграла подмодели Представление решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (r) exp( θ/a) V = V 1 (r) exp( θ/a) W = W 1 (r) exp( θ/a) ρ = (r) exp(θ/a) p = p(r) exp(θ/a) + Ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры имеет вид X 1 = U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 p 1 p1

10 148 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену U = / 1 U 1 V = / 1 V 1 W = / 1 W 1 p = ρ 1/ 1 p 1 После подстановки представления решения УГД (1) примут вид: V U r U V r U W ar = V V r + p V r + p V W ar = W r V W r W V r + V W r 1 + p V + p V + p ar = W ar V + V r r + W p + B ar (V V Запишем систему (16) в виде системы Коши-Ковалевской + W ar + V r = r W ar + V r ) = (16) ( B V )V U U = 1 m (B V )V = ( B V ) V r m ( B V )V W = ( B V )( p + av W ar ) + W m ( B V )V = m ( B V ) W ar ( B V )V p = ( B V ) (p B) m где m = 1 + (ar) 1 p W + (V + W )V r 1 Из системы (17) видно что функции U и определяются через квадратуры (следствие инвариантности относительно оператора X 1 ) ( U = U exp ( ( = ρ exp mdr V (B V ) ) m V (B V ) W arv ) ) dr где U ρ постоянные Первое уравнение системы (16) умножим на (U V ) 1 и результат прибавим к четвертому уравнению деленному на V Получим интеграл V U = C 1 r 1 C 1 постоянная который равносилен квадратуре для U Второе и третье уравнения умножим на V 1 W 1 соответственно сложим и результат подставим в 5-е уравнение найдем еще один интеграл (V + W B)V = r + C r 1 где C постоянная Оставшиеся уравнения системы (16) с учетом найденных интегралов образуют систему второго порядка ( B V )V = ( B V ) V r m ( B V )V p = ( B V ) (p B) m Вывод Фактор-система (16) сводится к системе двух дифференциальных уравнений двум квадратурам и интегралу 4 Подмодели сводящиеся к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений 41 Подалгебра c Для подалгебры представление решения имеет вид (см Приложение) U = U 1(r) + x V = V 1(r) W = W 1(r) ρ = (r) p = x p 1(r) c (17)

11 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 149 Подставим представление решения в УГД (1) V 1 U = V 1 V 1 V 1 p 1 = W 1 c c r V 1W 1 W 1 = V 1W 1 r ( V 1 ) + + V 1 r = p 1 + U 1 p 1V 1 + cβ (1 + V 1 + V 1 r ) = Ненулевые операторы нормализатора 55 в инвариантах подалгебры имеют вид X 1 = U1 + p1 X 11 = r r + U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 + p 1 p1 Вычислив инварианты нормализатора сделаем замены V = V 1 r W = W 1 r ρ = r p = p 1 + U 1 r Из первого уравнения системы (18) находим функцию dr U 1 (r) = U cρ V где U постоянная Тем самым использована инвариантность относительно оператора X 1 В новых переменных V W ρ p s = ln r система (18) становится автономной системой V V s p s = W V + V + p 1 cρ cρ c ρ V V W s = W V W (ρ V ) s + ρ V + ρ = (19) V p s + cb ρ V s = p (1 V ) 1 cρ + cβ ρ (1 + V ) Условие автономности возможно в силу инвариантности относительно оператора X 11 Поделим второе уравнение системы (19) на V W а третье уравнение на ρ V и исключая V получим интеграл ρ V W = C exp 5s где C постоянная После подстановки функции W найденную из интеграла в систему (19) получим систему третьего порядка cρ V V s p s = cc exp 5s V cρ V + cρ V + p 1 cρ V (ρ V ) s + ρ V + ρ = ρ V p s + cbv s ρ p (1 V ) c 1 + cβ (1 + V ) У этой системы имеется особое решение когда определитель матрицы при производных равен нулю: U 1 = U 6r V = W = ρ = β p = 4 6 Физические величины примут вид U = x 4 6r V = r W = ρ = β r p = x ± 15r () c Подмодель (18) имеет частное решение U 1 = r4 4cC C V 1 = r W 1 = = C r 4 p 1 = C где 1cβ = 1 C C постоянные (18)

12 15 ЛЗ УРАЗБАХТИНА Физические величины в данном случае примут вид U = r4 4cC + x V = r W = ρ = C r p = x 4 c (1) Вывод Фактор-система (18) сводится к системе трех уравнений одному интегралу и одной квадратуре Найдены точных решения () и (1) 4 Подалгебра b Рассматривается подалгебра с четырехмерным нормализатором У подалгебры с четырехмерным нормализатором найдено интеграла Один интеграл найден с помощью нормализатора другой интеграл найден по аналогии с нахождением интеграла типа Бернулли Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (r) exp(α) V = V 1 (r) exp(α) W = W 1 (r) exp(α) ρ = (r) exp( α) p = p 1 (r) exp( α) + α = aθ x b Запишем ненулевой оператор нормализатора в инвариантах подалгебры X 1 = U 1 U1 + V 1 V1 + W 1 W1 ρ1 p 1 p1 Вычислив инварианты нормализатора сделаем замену U = / 1 U 1 V = / 1 V 1 W = / 1 W 1 p = ρ 1/ 1 p 1 Подставим представление решения в УГД (1) и используя замену получим факторсистему: U b n + V U U V + p b = V b n + V V V 1 + (p B )n b + V p + V p + p + p = W r W b n + V W W V ap br = V W r b n = V + V + V r + B (V + V r V ) = где n = U aw r 1 У фактор-системы () найдем интеграл типа Бернулли Умножим первое уравнение на U второе уравнение на V третье уравнение на W Сложим полученные уравнения Из полученного вычтем пятое уравнение Затем исключим величину nb 1 + V ρ 1 1 найденную из четвертого уравнения В результате получим интеграл V ( U B) = r + Cr 1 где C постоянная Запишем в новых переменных оператор X 1 = ρ1 Значит в системе () исключается величина ρ 1 1 Для получим квадратуру ( ) k (B V = ρ exp )nb 1 V ( B V dr ) где k = 1 + b 1 np + (V + W )V r 1 ρ произвольная постоянная ()

13 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 151 Останется система трех уравнений в силу полученного интеграла: ( B V )V = ( B V ) V r k ( B V )V W = ( B V )( ap bv W ) + kw br ( B V )V p = ( B V ) k(p B) У системы имеется особое решение при V = β β = B При этом физические величины примут вид U = U ρ 1/ 1 exp(α) V = βρ 1/ 1 exp(α) W = W ρ 1/ 1 exp(α) ρ = (r) exp( α) p = b (r + β (β + W )) / 1 exp( α) + rn где U W произвольные Вывод Фактор-система () сводится к системе трех уравнений одной квадратуре и интегралу Найдено точное решение () 5 Подмодель для самонормализованной подалгебры Рассматривается самонормализованная подалгебра 6 Представление инвариантного решения имеет вид (см Приложение) U = U 1 (s)r α V = V 1 (s)r α W = W 1 (s)r α ρ = (s)r ( γ )α p = p 1 (s)r α γ + α = 1 γ + 1 s = x r УГД (1) редуцируются к виду: (U 1 sv 1 )U 1 + αu 1 V 1 + p 1 = (U 1 sv 1 )V 1 + αv 1 sp 1 + α γ p 1 = W 1 (U 1 sv 1 )W 1 + (α + 1)V 1 W 1 = ((U 1 sv 1 ) ) + (α( γ 1) + ) V 1 = 1 + (U 1 sv 1 )p 1 + α γp 1 V 1 + Bγρ γ 1(U 1 + (α + 1)V 1 sv 1) = Поделим третье уравнение системы на (U 1 sv 1 )W 1 четвертое на (U 1 sv 1 ) и исключая величину (U 1 sv 1 ) 1 V 1 получим интеграл (U 1 sv 1 ) = W W ( γ+1)α 1 где W постоянная Значит система (4) сводится к системе четвертого порядка Если в полученном интеграле положить W 1 = то найдем точное решение при γ = 1/7: ( 1 p U 1 = sv 1 p 1 = 4 s + 1 V 1 = B/7 p 1 4 s + 1) 1 (s + 1) 5/4 = B ρ /7 p 1 + p s + 1 Bρ1/7 1 p 4 s + 1 Замечание Полученное точное решение совпадает с особым решением системы (4) Если в интеграле положить γ = 1/7 тогда (U 1 sv 1 ) = W Четвертое уравнение системы (4) обращается в тождество и останется система четвертого порядка Вывод У фактор-системы (4) найден один интеграл и точное(особое) решение () (4)

14 15 ЛЗ УРАЗБАХТИНА 6 Приложение Таблица трехмерных подалгебр с одним инвариантом зависящим от независимых переменных 6 z (1 γ)/ γ ; (u x + ay)z 1 vz 1/ γ wz 1/ γ ; =6 ρz ( γ)/ γ (p y)z 1 7 z γ/(1 γ) ; uz 1/ γ ; ρz ( γ)/ γ (p y)z 1 =7 14 γ = 1 : r; U exp(θ/a); ρ exp( θ/a) (p ) exp( θ/a) 45 γ 1 β = ( γ + 1) 1 : θ + aβ ln r ; Ur β ; ρr ( γ)β (p )r γβ 4 α = 1/ γ : θ + aα ln r ; Ur α ; ρr ( γ)α (p x)r α = ( γ + 1) 1 : xr 1 ; Ur α ; ρr ( γ)α (p )r α γ =6 9 r γ/(1 γ) ; Ur 1 ; ρ 1 r 1/( γ) (p x)r 1 =9 1 c = b : z; u x + a ln v y + ln w; 67 ρ 1 bp y + ln a = c : y ln bc 1 z; u x + a ln v y + ln w z; ρ 1 cp z z; u x + ln v y w; ρ 1 ap y 67a = z; u x v y w; ρ 1 ap y 78 4 c = b : z; bu ai v I w z; ρ 1 bp I 514 c : I bc 1 z; cu az cv bz w z; ρ 1 cp z a = b = I = y ln 6 b : z; bu ay v y w; ρ 1 bp y 6 7 a b : z (a+1)/a ; (u x)z 1 (v y)z 1 wz 1/a ; 46 ρz 1/a (bp y)z 1 8 a c : z 1 1/a ; (u bc 1 y)z 1 (v y)z 1 wz 1 ; 47 ρz 1 (cp y)z 1 9 d + c + a = : (α(u x) + β)z 1 (αv βd)z 1 =9 αwz 1 ρz (αp β)z 1 α = d + c a β = y ax b + e : ; ((e b)(u x) + z bx) I 1 ((e b)v dz + dbx) I 1 ((e b)w ez + ebx) I 1 ρi ((e b)p z + bx) I 1 I = α(z bx) β(e b) 1 b : ; (u ay)i 1 vi 1 (w by)i 1 ; Iρ (p y)i 1 =1 I = z by 11 ; (u ay)z 1 vz 1 wz 1 ; ρz (p y)z (y 1 b )z 1 ; (u a)z 1/ (v b)z 1/ wz 1/ ; =1 b ρz 1/ (p )z 1/ 1 a : z exp ; (au by) exp v exp w exp ; 444 ρ exp (ap y) exp 16 θ + 1 a ln r ; (U b)r 1/ V r 1/ W r 1/ ; 447 ρr 1/ (p )r 1/ 18 b : θ a ln r 1 ; (U x)r 1 V r 1 W r 1 ; ρr (bp x)r 1 19 c : (b + 1) ln r b ln aθ; (U cp)r 1 V r 1 W r 1 ; 449 ρr 1 (cp x)r 1 (x 1 )r 1 ; (U )r 1/ V r 1/ W r 1/ ; = ρr 1/ (p )r 1/

15 ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ РАНГА ОДИН ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 15 1 c a + b = 1 : r; U x + aθ + b ln V W ; ρ cp x + aθ + b ln a = b = c : r; U x V W ; ρ 1 cp x 55 b ln r aθ + ; Ur 1 ; ρr (p x)r 1 46 γ = 1 1 z; u exp(y); ρ exp( y) (p ) exp( y) 5 γ = 1 b : r; UI; ρi (p )I 1 I = exp (x aθ)b 1 45 γ = 1 a = b = СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Станюкович КП Неустановившиеся движения сплошной среды М: ГИТТЛ c Хабиров СВ Оптимальные системы подалгебр допускаемых уравнениями газовой динамики Препринт института механики УНЦ РАН Уфа 1998 с Овсянников ЛВ Групповой анализ дифференциальных уравнений М: Наука с 4 Хабиров СВ Аналитические методы в газовой динамике Уфа: Гилем 19 с 5 Тихонов АН Васильева АБ Свешников АГ Дифференциальные уравнения М: ФИЗМАТЛИТ 56 с Лилия Зинфировна Уразбахтина Уфимский государственный авиационный технический университет ул К Маркса г Уфа Россия

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ...

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ... СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 II УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 10 2.1 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ... 10 2.2 ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ. РЕШЕНИЕ АВТОМОРФНОЙ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 2 53 УДК 57.944+533.6 МЕТОД A-ОПЕРАТОРОВ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ю. А. Чиркунов Новосибирский государственный университет

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА. Н. Х. Ибрагимов

ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА. Н. Х. Ибрагимов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 11 УДК 517.91 ИНВАРИАНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ: РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАПЛАСА Н. Х. Ибрагимов Технологический институт Блекинге, 37179 Карлскруна,

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Ю.А. Чиркунов О НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ С МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ, КОММУТИРУЮЩЕЙ С КОЛЬЦОМ ПОСТОЯННЫХ МАТРИЦ

Ю.А. Чиркунов О НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ С МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ, КОММУТИРУЮЩЕЙ С КОЛЬЦОМ ПОСТОЯННЫХ МАТРИЦ УДК 517.944 + 519.46 Ю.А. Чиркунов О НЕЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ С МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ, КОММУТИРУЮЩЕЙ С КОЛЬЦОМ ПОСТОЯННЫХ МАТРИЦ Получен критерий существования нелинейного отображения u : C m C m (m 2), матрица

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр 1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., -й семестр A1 Записать комплексные числа в алгебраической форме и отметить на комплексной плоскости: (3; 4), (7; 5),

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Групповой анализ дифференциальных

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ОСНОВЕ ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫХ

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ОСНОВЕ ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫХ 18 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 3 УДК 532.511+517.9 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ОСНОВЕ ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫХ В. В. Пухначев Институт гидродинамики

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение.

Ключевые слова: растущее тело, теплопроводность, шар, собственные функции, разложение, замкнутое решение. УДК 539.3 А. В. М а н ж и р о в, С. А. Л ы ч е в, С. И. К у з н е ц о в, И. Ф е д о т о в АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РАСТУЩЕМ ШАРЕ Работа посвящена исследованию эволюции температурного

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Подробнее

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k

c 1 1 n... c n C =... = (c k k )n n c 1 c1 n c k Лекция 12 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ 11 Преобразование базисов и координат в линейном пространстве Пусть V K линейное пространство над числовым полем K, dim V n, e 1,, e n старый базис в V, e

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА 212 УДК 517926 АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОДИНАКОВЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА БТ Поляк Институт проблем управления им ВА Трапезникова РАН Россия, 117997,

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3104y_RU_Q2017_Qiyabi_Yekun imtahan testinin sualları. Fәnn : 3104y Xәtti cәbr vә riyazi analiz

3104y_RU_Q2017_Qiyabi_Yekun imtahan testinin sualları. Fәnn : 3104y Xәtti cәbr vә riyazi analiz 304y_RU_Q207_Qiyabi_Yekun imtahan testinin sualları Fәnn : 304y Xәtti cәbr vә riyazi analiz 2 3 не пересекается 0 /204 4 66 25 94 5 3 6 В каком случае система линейно независимых векторов образует базис

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

3. Перечень практических занятий

3. Перечень практических занятий очное заочное с сокращенным 3. Перечень практических занятий п/п раз де ла Содержание Кол-во часов Рекомендуем ая литература (примечание) 1 Линейная алгебра 4 1,,3,8 Линейные операции над матрицами, вычисление

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u УДК 51.7+532.517 А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в, А. П. Ш а х о р и н О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей.

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей. Курсовая работа Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли Конечный спрос на продукцию i-й

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет В Т Волков, А Г Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов курса

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ. ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Дополнительные главы алгебры и анализа. Бакалавр

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ. ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Дополнительные главы алгебры и анализа. Бакалавр Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д.Алиева» Кафедра алгебры и геометрии ФОНД

Подробнее

Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки Кинематика материальной точки Виды механических движений. Скорость и ускорение Прямолинейное движение Криволинейное движение Вращательное движение Преобразование Галилея. Инерциальные системы отсчета .

Подробнее

Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния

Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния ИПМ им.м.в.келдыша РАН Электронная библиотека Препринты ИПМ Препринт 5 за 1969 г. Гаджиев М.Г., Молчанов А.М. Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния Рекомендуемая форма

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению

«Векторный и Тензорный анализ» по направлению Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 20 ЛЕКЦИЯ 20

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 20 ЛЕКЦИЯ 20 1 ЛЕКЦИЯ 0 Преобразование токов и зарядов. 4-вектор тока. Скалярный и векторный потенциал. Уравнение для потенциалов. 4-мерный градиент. 4-потенциал. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная форма уравнений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Линейные уравнения с одной переменной Введение Никита Саруханов 7й класс Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

A.В. Фрянцев. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов

A.В. Фрянцев. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов pu µ(x) + ud[q] = F(x) F() pu µ(), u(x ) = u, u µ(τ ξ 1 ) = v, pu µ(x) + ud[q] = F(x) F() pu µ(), u(x ) = u, u µ(τ ξ 2 ) = v, pu µ(x) + ud[q] = F(x) F() pu µ(), u(x + ) = u, u µ(τ ξ 2 ) = v, В силу равенств

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА 36 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 6 УДК 532.5: 533.6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики

Подробнее

Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)

Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл) Б2.Б.1 Математика Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 38.03.04 Государственное

Подробнее