ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ. Игорь Ляшенко

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ. Игорь Ляшенко"

Транскрипт

1 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 63 ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Игорь Ляшенко Аннотация: Исследуется вопрос построения эколого-экономической производственной функции отрасли, мощности которой распределены по технологиям. Установлены двойственные соотношения, связывающие производственную функцию и функцию прибыли и позволяющие одну из них восстанавливать по другой. Для случая конечного числа технологий и линейности функций затрат экономических и экологических ресурсов указан эффективный путь построения производственной функции. Ключевые слова: экологическая экономика, экономические и экологические ресурсы, производственная функция, функция прибыли, параметрическая задача линейного программирования, двойственные задачи. ACM Classfcato Keywords: G..6 Optzato Costraed optzato, J.4 Socal ad Behavoral sceces Ecoocs Coferece: The paper s selected fro XIV th Iteratoal Coferece "Kowledge-Dalogue-Soluto" KDS 28, Vara, Bulgara, Jue-July 28 Введение Объектом настоящего исследования является экологическая экономика, в которой действуют рыночные механизмы совершенной конкуренции. Рассматривается отрасль, выпускающая однородную продукцию и при этом использующая видов производственных факторов текущего пользования (экономических ресурсов) и видов лимитов на загрязнения окружающей среды (экологических ресурсов). В отрасли имеются различные технологические процессы производства, характеризующиеся различными затратами экономических ресурсов и различными выбросами загрязнений в окружающую среду при выпуске единицы продукции отрасли. Интенсивности использования технологий ограничены имеющимися в отрасли мощностями. В работе Петрова А.А. и Поспелова И.Г. [Петров, Поспелов, 979] была обоснована целесообразность использования производственных функций, построенных на основе информации о распределении мощностей по технологиям, в макроэкономических моделях роста. Впервые распределения мощностей по технологиям были использованы в [Hauthakker, 955] для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа. В работах [Johase, 969], [Johase, Hersoug, 969], [Johase, 972] был предложен подход к построению производственной функции на основе информации о распределении ее мощностей по технологиям. В работе [Hldebrad, 98] изучались некоторые свойства соответствия между распределениями мощностей по технологиям и производственными функциями. В работе [Шананин, 979] для доказательства однозначности этого соответствия использовались функции прибыли. В работе [Шананин, 984] исследование этого соответствия производилось на основе изучения преобразований, связывающих функции прибыли с распределением мощностей по технологиям и производственными функциями. Однако все это касалось производственных функций и функций прибыли, зависимых только от экономических ресурсов. В последнее время большой интерес исследователей проявляется к изучению экологический экономики и построению соответствующих эколого-экономических производственных функций. Актуальным стало установление соответствия между производственной функцией и функцией прибыли для экологической

2 64 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques экономики рыночного типа. Настоящая работа и посвящается этому вопросу. При этом применяется методика, описанная в работе Шананина А.А. [Шананин, 984]. Основной текст Предположим, что при создании мощности осуществляется выбор технологии, по которой эта мощность функционирует. Тогда в любой фиксированный момент времени мощности отрасли оказываются распределенными по технологиям. T Каждая технология характеризуется вектором = (, 2,..., ) выпуск единицы продукции, а также при этом вектором (,,..., ) x x x x затрат экономических ресурсов на z = z z 2 z выбросов загрязнений в окружающую среду. Предположим, что существует локально суммируемая, неотрицательная функция μ( x, z ), определенная на R и такая, что для каждого ограниченного борелевского множества D R суммарная мощность MD ( ) технологий (x, z) равна M( D) = μ ( x, z) dxdz. D Функция μ( x, z ) является распределением мощностей по технологиям. Множество μ {(, ) μ(, ) } D = x z R x z > называется множеством допустимых технологий. Считается, что D R имеет положительную меру Лебега. μ Суммарная мощность отрасли M = μ( x, z) dxdz. R Для полной загрузки мощностей отрасли необходимо, чтобы поток экономических и экологических ресурсов, который поступает в распоряжение отрасли, был не меньше таких величин L = x μ( x, z) dxdz, =,..., ; R S = z μ( x, z) dxdz, =,...,. R T Пусть l ( l, l,..., l ) вектор потоков экономических ресурсов, (,,..., ) = 2 s = s s 2 s - вектор потоков экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли. Если l < L,, или s < S,, то нельзя полностью загрузить все мощности. Обозначим через uxz (, ) степень загрузки мощности, соответствующей технологии (x, z). Предполагается, что uxz (, ) измеримая по Лебегу функция, определенная на R. Рассмотрим задачу о такой загрузке мощностей отрасли, при которой имеющиеся потоки экономических ресурсов l и экологических ресурсов s распределяются так, чтобы суммарный выпуск продукции был максимальным: (, ) R u( x, z) μ( x, z) dxdz ax, () u x z xu( x, z) μ( x, z) dxdz l, (2) R zu( x, z) μ( x, z) dxdz s, (3) R uxz (, ). (4) T T

3 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 65 В работе Шананина А.А. [Шананин, 984] доказаны утверждения, которые вытекают из обобщенной леммы Неймана-Пирсона, о существовании решения аналогичной задачи, в которой учитываются только затраты экономических ресурсов: ( ) R u( x) μ( x) dx ax, u x xu( x) μ( xdx ) l, R u( x, z ). Наше исследование состоит в обобщении результатов работы [Шананин, 984] на случай задачи () (4). В большой степени это переформулировка соответствующих теорем и эколого-экономическая интерпретация полученных результатов. Главная цель это показать применимость результатов [Шананин, 984] для случая экологической экономики и показать, как эффективно строить в аналитическом виде производственную функцию при конечном числе линейных технологий. Теорема. При l, s задача оптимизации () (4) имеет решение u * ls ( x, z ). Теорема 2. Пусть u * ls ( x, z ) оптимальное решение задачи () (4) при l, s. Тогда существуют p, p= p,..., p, q = q,..., q, что такие не равные нулю одновременно числа ( ) ( ) и что u * ls { } { } при почти всех ( xz, ) Dμ ( xz, ) px qz< p, = при почти всех ( xz, ) Dμ ( xz, ) px qz p p * l xuls( x, z) μ( x, z) dxdz =, =,...,, (6) R q * s zu ls( xz, ) μ( xzdxdz, ) =, =,...,. (7) R При этом p >, если l >, s >. * Теорема 3. Пусть p >, p, q. Тогда функция Хевисайда uls ( x, z) = θ ( p px qz ) является оптимальным решением задачи () (4) при условии, что R l = xθ( p px qz) μ( x, z) dxdz <, (8) R q = zθ( p px qz) μ( x, z) dxdz <. (9) Замечание. Утверждения теорем и 3 следуют из обобщенной леммы Неймана-Пирсона [Петров, Поспелов, Шананин, 996] при дополнительном условии, что функции μ( x, z), xμ( xz, ),..., xμ( xz, ), zμ( xz, ),..., z μ( xz, ) суммируемы на R. (5)

4 66 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Определение. Эколого-экономической производственной функцией Fls (, ) будем называть функцию, которая сопоставляет векторам l, s оптимальное значение функционала () в задаче () (4). При заданном распределении мощностей по технологиям μ( x, z ) эколого-экономическая производственная функция Fls (, ) определяет максимальный выпуск продукции отрасли по вектору l потоков экономических ресурсов и вектору s потоков экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли, при условии, что эти потоки оптимально распределяются между мощностями отрасли. Величины потоков экономических и экологических ресурсов и их распределение между мощностями определяются рыночными экономическими механизмами функционирования отрасли, состоящей из множества независимых конкурирующих фирм. Учитывая теоремы 2 и 3, опишем класс экономических механизмов, которые обеспечивают оптимальное распределение между мощностями (фирмами) потоков экономических и экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли экологической экономики. Предположим, что все продукты распределяются посредством актов купли-продажи, причем каждый продукт продается и покупается по одной и той же цене. Пусть p > цена на выпускаемую отраслью продукцию, p= ( p,..., p ) - вектор цен на экономические ресурсы, q = ( q,..., q ) - вектор цен на экологические ресурсы (плата за лимиты), которые используются отраслью. Прибыль от выпуска единицы продукции по технологии (x, z) при заданных ценах p, p и q равна p px qz. Предположим, что прибыльные технологии (x, z), т.е. удовлетворяющие условию p px qz >, действуют на полную мощность и обеспечиваются необходимыми для этого экономическими и экологическими ресурсами. Обозначим через ( { ;, ) = (, ) (, ), > } G p p q x z x z R p px qz множество прибыльных при ценах p, p, q технологий (фирм). Предположим, что убыточные технологии, т.е. удовлетворяющие условию p px qz <, не используются (убыточные фирмы не функционируют) и не обеспечиваются экономическими и экологическими ресурсами. Экономические механизмы, удовлетворяющие сформулированным выше предположениям, представляют экономические механизмы рыночного типа. При ценах p >, p, q суммарный выпуск отрасли равен g( p = μ( x, z) dxdz ; () G( p суммарные затраты отраслью экономических ресурсов го вида,, равны g( p = xμ( x, z) dxdz ; () G( p суммарные затраты отраслью экологических ресурсов го вида,, равны суммарная прибыль отрасли равна h( p = z μ( x, z) dxdz ; (2) G( p Π ( p ; pq, ) = ( p px qz) μ( xzdxdz, ). (3) G( p Определение 2. Назовем g( p; p, q ) функцией предложения продукции; g ( p ; p, q ) - функцией спроса на экономический ресурс го вида, ; h ( p ; p, q ) - функцией спроса на экологический ресурс го вида, ; Π( p ; pq, ) - функцией прибыли отрасли.

5 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 67 Следствие. При любых p >, p,..., p, q,..., q, если g ( p ; p, q ) <,, h ( p ; p, q ) <,, то справедливо тождество ( ) где g ( p; pq, ) = ( g( p; pq, ),..., g ( p; pq, )), ( ;, ) = ( ( ;, ),..., ( ;, )) g ( p = F g( p, h( p ; p, q ). (4) h p pq h p pq h p pq. Покажем, что определенная выше эколого-экономическая производственная функция Fls (, ) обладает свойствами, которые обычно постулируются в неоклассической теории производства. Теорема 4. Функция Fls (, ), определенная на вогнута, обращается в нуль на R \tr. Теорема 5. Функция Fls (, ) непрерывна на R. R, монотонно не убывает по каждому аргументу, Лемма. Пусть p >, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ). Тогда для любого измеримого по Лебегу множества U R выполняется неравенство ( p px qz) μ( x, z) dxdz ( p px qz) μ( x, z) dxdz =Π( p ; p, q ). U G( p Доказательство этой леммы очевидно. Теорема 6. Пусть ( LS, ) tr. Предположим, что существует такой вектор FLS (, ) = g (; pq, ), g( L, (;, ), h p q S p[ L g(; p, q )] =, [ ] μ = {(, ) ( ) μ(, ) <, ( ) μ(, ) < } любых (, ), (, ) (, ) ( p, q) R, что q S h(; p, q ) = и множество E x z R p x q z x z px qz x z имеет положительную меру при p q p q p q из некоторой открытой окрестности ( p, q ). Тогда производственная функция Fls (, ) дифференцируема в точке l = L, s = S и Fls (, ) l l= L, s= S Fls (, ) s l= L, s= S = p, =,...,, = q, =,...,. (5) (6) Замечание 2. При нарушении условий, изложенных в теореме 6, производственная функция Fls (, ) быть недифференцируемой в точке l = L, s = S. Важным показателем локального поведения производственной функции Fls (, ) l = L, s = S является эластичность производства ε = FLS (, ) FLS (, ) ( LS, ) L S FLS (, ) l l= L, s = = l= L, s= S s= S может в окрестности точки. (7)

6 68 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Теорема 7. Предположим, что Fls (, ) дифференцируема в точке l = L>, s = S > и что выполняются соотношения FLS (, ) = g (; pq, ), g( L, h( S, p[ L g(; p, q )] =, q[ S h(; p, q )] =, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ) и равенства (5) - (6). Тогда ε ( LS, ) <. Доказательство этой теоремы очевидно и не представляет трудностей. Теорема 8. Существуют такие вектора p= ( p,..., p ) > и q = ( q,..., q ) >, что функция Fls (, ) дифференцируема в точке l = g(; p, q ), s = h(; p, q ), причем выполняются равенства Fls (, ) = p, Fls (, ) l l= g(, s l= g(, s = h( s= h( = q. (8) Замечание 3. Для функции Кобба-Дугласа ρ ρ ρ α α Al s α (, A > ) и для CES функции A αl ( α) s ( α, A >, ρ (,) (, )) при любых l >, s > выполняется соотношение ε ( LS, ) =. Поэтому из теорем 7 и 8 следует, что не существует такого локально суммируемого на R 2 распределения по технологиям μ( x, z ), для которого соответствующей производственной функцией Fls (, ) являлась бы функция Кобба-Дугласа или CES функция. Однако, как доказано в [Hauthakker, 955], функция типа Кобба-Дугласа α α2 α α α α 2 2 Fls (, ) = Al s, A >, α >, α > 2 является производственной функцией для некоторого распределения мощностей по технологиям вида μ α α2 ( xz, ) = Bx z. Теорема 9. При любых p >, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ) выполняется соотношение l, s [ ] Π ( p = sup p F( l, s) pl qs. (9) Причем, если g( p ; p, q ) <, hp ( ; pq, ) <, то супремум в (9) достигается в точке l = g( p ; p, q ), s = h( p ; p, q ). Теорема. При любых p >, l = ( l,..., l ) T, s = ( s,..., s ) T выполняется соотношение Fls (, ) = f[ Π ( p ; pq, ) pl qs]. p p, q Причем, если l >, s >, то инфинум в (2) достигается в точке Fls (, ) = g ( p ; pq, ), g( p l, ( ;, ), hp pq s p[ l g( p ; p, q )] =, [ ] (, ) q s h( p ; p, q ) =. (2) p q R такой, что Соотношения (9), (2) в некотором смысле являются двойственными и позволяют восстанавливать функцию прибыли отрасли экологической экономики при известной отраслевой производственной функции либо наоборот: восстанавливать отраслевую производственную функцию Fls (, ) при известной функции прибыли Π( p ; pq, ).

7 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 69 Однако при этом для нахождения отраслевой производственной функции Fls (, ) все равно приходится решать задачу оптимизации () (4) в функциональном пространстве, что представляет немалую трудность. Задача значительно упрощается, если рассматривать конечное число N технологий и линейные функции затрат экономических и экологических ресурсов: x, =,...,, k =,..., N; z, =,...,, k =,..., N. k В этом случае задача () (4) приобретает вид N k = N k = N k = k um ax, (2) k k x um l, =,...,, (22) k k k z u M s, =,...,, (23) k k k u, k =,..., N. (24) k В случае, когда требуется аналитический вид производственной функции Fls (, ), эффективным методом решения задачи (2) (24) является переход к двойственной задаче параметрического линейного программирования N α l β s γ, (25) k = = k= α x M β z M γ M, k =,..., N, (26) k k k k k k = = α, =,...,, β, =,...,, γ, k =,..., N, k блок ограничений в которой не содержит параметров l, s и поэтому сравнительно просто находятся все R R опорные решения α, β, γ ;...; α, β, γ R, представляющие неотрицательные кусочно-постоянные функции от аргументов l, s. В точке оптимума целевые функции (2) и (27) совпадают. Поэтому отраслевой эколого-экономической производственной функцией будет где e = (,,...,) T единичный вектор размерности N. R R R Fls (, ) = α l β s γ e,..., α l β s γ e, (28) (27) Заключение Таким образом, в работе построены отраслевые производственная функция и функция прибыли для экологической экономики. Установлена связь между этими функциями. Предложен метод построения производственной функции для линейной экономики с конечным числом технологических способов.

8 7 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Литература [Петров, Поспелов, 979] Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к теории производственных функций. // Изв. Ан СССР. Сер. техн. кибернетика с [Hauthakker, 955] Hauthakker H.S. The Pareto-Dstrbuto ad Cobb-Douglas Producto Fucto Actvty Aalyss // Rev. Eco. Stud. 955/56. Vol. 23(), #6. p [Johase, 969] Johase L. Outle of a Approach to Producto Studes // Meoradu fro Ist. of Ecoocs. Uv. of Oslo. 28 Aprl, 969. [Johase, Hersoug, 969] Johase L., Hersoug T. Dervato of acro producto fuctos fro dstrbutos of cro uts wth respect to put coeffcets. Soe atheatcal llustratos // Me. Ist. Eco. Uv. of Oslo. 8 October, 969. [Johase, 972] Johase L. Producto fucto. Asterda-Lodo: North Hollad Co., p. [Hldebrad, 98] Hldebrad W. Short-ru producto fuctos based o cro-data // Ecooetrca. 98. v. 49, #5. p [Шананин, 979] Шананин А.А. К теории производственных функций. В кн.: Модели и алгоритмы программного метода планирования. М., ВЦ АН СССР, 979. с [Шананин, 984] Шананин А.А. Исследование одного класса производственных функций, возникающих при макроописании экономических систем // Журн. вычисл. матем. и матем. физики т. 24, 2. с [Петров, Поспелов, Шананин, 996] Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, с. Информация об авторе Игорь Ляшенко д.ф.-м.н., профессор, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, факультет кибернетики, ул. Васильковская, 42, кв. 44, Киев-322, Украина; e-al:

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ *

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ * НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ О.А. БЕРЕЗОВСКИЙ, Институт кибернетики НАН Украины, Киев, Украина berezovsky@al.ru Приводится необходимое

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Банк заданий для промежуточного контроля

Банк заданий для промежуточного контроля Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. Задачи однокритериальной оптимизации Существует значительное число экономических систем, в частности из области управленческой

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Методические указания к решению простейшей задачи вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 2013 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

2 Сильно непрерывные полугруппы

2 Сильно непрерывные полугруппы 2 Сильно непрерывные полугруппы Определение 1 Полугруппа линейных ограниченных операторов T), действующих в банаховом пространстве, называется сильно непрерывной или C -полугруппой), если lim T)x = x x

Подробнее

Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара

Исчисление параметров выпуклости суммы Минковского сильно и слабо выпуклых множеств относительно неограниченного квазишара 26 Высшая и прикладная математика ТРУДЫ МФТИ. 2014. Том 6, 2 УДК 517.982.252 Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански Московский физико-технический институт (государственный университет) Исчисление параметров выпуклости

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Сибирский математический журнал Март апрель, 211. Том 52, 2 УДК 517.983 ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В. Б. Коротков Аннотация. Приводится критерий принадлежности оператора в L p множеству

Подробнее

ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ. Д. Н. Горелов

ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ. Д. Н. Горелов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N- 1 45 УДК 532.5:533.6 ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики СО РАН, 644099 Омск

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 780 УДК 517.97 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В. А. Срочко Иркутский государственный университет Россия, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 E-mail:

Подробнее

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Тема 3: 1 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 2 План темы 3 «Транспортная задача»: 3.1. Постановка задачи, основные определения 3.2. Закрытая и открытая транспортная задача 3.3. Метод северо-западного угла 3.4. Метод

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Тема 2-2: Линейная зависимость

Тема 2-2: Линейная зависимость Тема 2-2: Линейная зависимость А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ *

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ * Раздел 1. Математическая физика 63 О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ * Член-корреспондент АН СССР А.Н. ТИХОНОВ и А.А. САМАРСКИЙ Как известно, всякий линейный функционал A[f],

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. НОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА И ФУНКЦИОНАЛА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Пусть и векторные

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия,

Комплексная алгебраическая геометрия, Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 13: ростки многообразий НМУ/ВШЭ, Москва 23 мая 2014 1 Кольцо ростков комплексно-аналитических функций УПРАЖНЕНИЕ: Пусть U U открытые, связные подмножества комплексного

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3 ВАРИАНТ 5 Задание 1. Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А.

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А. УДК 517.98 О НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ПОРОЖДАЮЩЕЙ ВНУТРЕННЮЮ ЗАДАЧУ СОПРЯЖЕНИЯ Старков П.А. ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.И. ВЕРНАДСКОГО, ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ и ИНФОРМАТИКИ ПР-Т ВЕРНАДСКОГО,

Подробнее

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник)

Комплексная алгебраическая геометрия, 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) Комплексная алгебраическая геометрия, лекция 15: теорема Чжоу НМУ/ВШЭ, Москва 6 июня 2014 13-го июня экзамен (12:00)! (праздник) 1 Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Подробнее

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ 1779 УДК 517.977.56 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОВЕДЕНИЕМ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МЕХАНИКЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ Е.П. Кубышкин Ярославский государственный университет

Подробнее

Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ

Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ Раздел 2, Теория разностных методов 329 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХСЛОЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ* А.А. САМАРСКИЙ В работах [1]-[3] были найдены достаточные условия устойчивости и получены

Подробнее

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях

16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16. Криволинейные координаты. Замена переменных в дифференциальных выражениях 16.1. Математическое описание какого-либо процесса нередко сопровождается выделением набора числовых его характеристик и заданием

Подробнее

Возможность кодирования поля кратности и поля порядка одним числом

Возможность кодирования поля кратности и поля порядка одним числом Математика и её пpиложения: ЖИМО. 2009. Вып. 1 (6). С. 121 128. УДК 512.54 А. А. Толстопятов 1 Возможность кодирования поля кратности и поля порядка одним числом Ключевые слова: булево сжатие, поле кратности,

Подробнее

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ),

f(x 1,..., x k + h,..., x n ) f(x 1,..., x k,..., x n ), 13. Дифференцирование функций многих переменных 13.1. Одним из самых распространенных средств локального изучения функций многих переменных является характеристика ее поведения вдоль координатных прямых

Подробнее

Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2

Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 решение Лекция 8. Д. П. Ветров 1 Д. А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции решение 1 Дифференцирование матриц Задача оптимального распределения

Подробнее

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m)

(1.7) {Γ ζ + [(m2 + 1)(A 2Γ) + m(b + B Γ )]ζ 2 + B m 2 B Γ } m) 178 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2000. Т. 41, N- 4 УДК 539.3 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

Оценка области устойчивости нелинейной системы путем разбиения линейного блока на подсистемы

Оценка области устойчивости нелинейной системы путем разбиения линейного блока на подсистемы Оценка области устойчивости нелинейной системы путем разбиения линейного блока на подсистемы АИ Баркин Аннотация Предлагается новый способ вычисления параметрической области устойчивости нелинейной системы

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Монополистическая конкуренция

Монополистическая конкуренция Южный федеральный университет Экономический факультет Лекция 13 Пять блоков вопросов 1. Характеристики рынка монополистической конкуренции 2. Равновесие фирмы на рынке монополистической конкуренции в краткосрочном

Подробнее

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Жорданова форма нормальная Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ. Кондратьев В. Д. (НИЦ ГИБДД МВД РФ, Москва)

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ. Кондратьев В. Д. (НИЦ ГИБДД МВД РФ, Москва) 46 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ Кондратьев В. Д. (НИЦ ГИБДД МВД РФ, Москва) Рассматриваются постановки задач оптимального размещения объектов обслуживания с учетом ограничений

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра. 2 Применения теоремы Банаха-Штейнгауза. Принцип открытости отображения

1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра. 2 Применения теоремы Банаха-Штейнгауза. Принцип открытости отображения 1 Некоторые определения и факты из прошлого семестра Определение. Пространство Фреше это метризуемое полное локально выпуклое пространство. Теорема 1 (Банах-Штейнгауз). Пусть X, Y пространства Фреше, T

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов

О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 512.541 О РАЗЛОЖИМЫХ ВПОЛНЕ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУППАХ БЕЗ КРУЧЕНИЯ А. Р. Чехлов Аннотация: Установлен ряд свойств вполне транзитивных групп без

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее