ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ. Игорь Ляшенко

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ. Игорь Ляшенко"

Транскрипт

1 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 63 ОДИН КЛАСС ОТРАСЛЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ПРИБЫЛИ ДЛЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Игорь Ляшенко Аннотация: Исследуется вопрос построения эколого-экономической производственной функции отрасли, мощности которой распределены по технологиям. Установлены двойственные соотношения, связывающие производственную функцию и функцию прибыли и позволяющие одну из них восстанавливать по другой. Для случая конечного числа технологий и линейности функций затрат экономических и экологических ресурсов указан эффективный путь построения производственной функции. Ключевые слова: экологическая экономика, экономические и экологические ресурсы, производственная функция, функция прибыли, параметрическая задача линейного программирования, двойственные задачи. ACM Classfcato Keywords: G..6 Optzato Costraed optzato, J.4 Socal ad Behavoral sceces Ecoocs Coferece: The paper s selected fro XIV th Iteratoal Coferece "Kowledge-Dalogue-Soluto" KDS 28, Vara, Bulgara, Jue-July 28 Введение Объектом настоящего исследования является экологическая экономика, в которой действуют рыночные механизмы совершенной конкуренции. Рассматривается отрасль, выпускающая однородную продукцию и при этом использующая видов производственных факторов текущего пользования (экономических ресурсов) и видов лимитов на загрязнения окружающей среды (экологических ресурсов). В отрасли имеются различные технологические процессы производства, характеризующиеся различными затратами экономических ресурсов и различными выбросами загрязнений в окружающую среду при выпуске единицы продукции отрасли. Интенсивности использования технологий ограничены имеющимися в отрасли мощностями. В работе Петрова А.А. и Поспелова И.Г. [Петров, Поспелов, 979] была обоснована целесообразность использования производственных функций, построенных на основе информации о распределении мощностей по технологиям, в макроэкономических моделях роста. Впервые распределения мощностей по технологиям были использованы в [Hauthakker, 955] для анализа производственных функций типа Кобба-Дугласа. В работах [Johase, 969], [Johase, Hersoug, 969], [Johase, 972] был предложен подход к построению производственной функции на основе информации о распределении ее мощностей по технологиям. В работе [Hldebrad, 98] изучались некоторые свойства соответствия между распределениями мощностей по технологиям и производственными функциями. В работе [Шананин, 979] для доказательства однозначности этого соответствия использовались функции прибыли. В работе [Шананин, 984] исследование этого соответствия производилось на основе изучения преобразований, связывающих функции прибыли с распределением мощностей по технологиям и производственными функциями. Однако все это касалось производственных функций и функций прибыли, зависимых только от экономических ресурсов. В последнее время большой интерес исследователей проявляется к изучению экологический экономики и построению соответствующих эколого-экономических производственных функций. Актуальным стало установление соответствия между производственной функцией и функцией прибыли для экологической

2 64 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques экономики рыночного типа. Настоящая работа и посвящается этому вопросу. При этом применяется методика, описанная в работе Шананина А.А. [Шананин, 984]. Основной текст Предположим, что при создании мощности осуществляется выбор технологии, по которой эта мощность функционирует. Тогда в любой фиксированный момент времени мощности отрасли оказываются распределенными по технологиям. T Каждая технология характеризуется вектором = (, 2,..., ) выпуск единицы продукции, а также при этом вектором (,,..., ) x x x x затрат экономических ресурсов на z = z z 2 z выбросов загрязнений в окружающую среду. Предположим, что существует локально суммируемая, неотрицательная функция μ( x, z ), определенная на R и такая, что для каждого ограниченного борелевского множества D R суммарная мощность MD ( ) технологий (x, z) равна M( D) = μ ( x, z) dxdz. D Функция μ( x, z ) является распределением мощностей по технологиям. Множество μ {(, ) μ(, ) } D = x z R x z > называется множеством допустимых технологий. Считается, что D R имеет положительную меру Лебега. μ Суммарная мощность отрасли M = μ( x, z) dxdz. R Для полной загрузки мощностей отрасли необходимо, чтобы поток экономических и экологических ресурсов, который поступает в распоряжение отрасли, был не меньше таких величин L = x μ( x, z) dxdz, =,..., ; R S = z μ( x, z) dxdz, =,...,. R T Пусть l ( l, l,..., l ) вектор потоков экономических ресурсов, (,,..., ) = 2 s = s s 2 s - вектор потоков экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли. Если l < L,, или s < S,, то нельзя полностью загрузить все мощности. Обозначим через uxz (, ) степень загрузки мощности, соответствующей технологии (x, z). Предполагается, что uxz (, ) измеримая по Лебегу функция, определенная на R. Рассмотрим задачу о такой загрузке мощностей отрасли, при которой имеющиеся потоки экономических ресурсов l и экологических ресурсов s распределяются так, чтобы суммарный выпуск продукции был максимальным: (, ) R u( x, z) μ( x, z) dxdz ax, () u x z xu( x, z) μ( x, z) dxdz l, (2) R zu( x, z) μ( x, z) dxdz s, (3) R uxz (, ). (4) T T

3 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 65 В работе Шананина А.А. [Шананин, 984] доказаны утверждения, которые вытекают из обобщенной леммы Неймана-Пирсона, о существовании решения аналогичной задачи, в которой учитываются только затраты экономических ресурсов: ( ) R u( x) μ( x) dx ax, u x xu( x) μ( xdx ) l, R u( x, z ). Наше исследование состоит в обобщении результатов работы [Шананин, 984] на случай задачи () (4). В большой степени это переформулировка соответствующих теорем и эколого-экономическая интерпретация полученных результатов. Главная цель это показать применимость результатов [Шананин, 984] для случая экологической экономики и показать, как эффективно строить в аналитическом виде производственную функцию при конечном числе линейных технологий. Теорема. При l, s задача оптимизации () (4) имеет решение u * ls ( x, z ). Теорема 2. Пусть u * ls ( x, z ) оптимальное решение задачи () (4) при l, s. Тогда существуют p, p= p,..., p, q = q,..., q, что такие не равные нулю одновременно числа ( ) ( ) и что u * ls { } { } при почти всех ( xz, ) Dμ ( xz, ) px qz< p, = при почти всех ( xz, ) Dμ ( xz, ) px qz p p * l xuls( x, z) μ( x, z) dxdz =, =,...,, (6) R q * s zu ls( xz, ) μ( xzdxdz, ) =, =,...,. (7) R При этом p >, если l >, s >. * Теорема 3. Пусть p >, p, q. Тогда функция Хевисайда uls ( x, z) = θ ( p px qz ) является оптимальным решением задачи () (4) при условии, что R l = xθ( p px qz) μ( x, z) dxdz <, (8) R q = zθ( p px qz) μ( x, z) dxdz <. (9) Замечание. Утверждения теорем и 3 следуют из обобщенной леммы Неймана-Пирсона [Петров, Поспелов, Шананин, 996] при дополнительном условии, что функции μ( x, z), xμ( xz, ),..., xμ( xz, ), zμ( xz, ),..., z μ( xz, ) суммируемы на R. (5)

4 66 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Определение. Эколого-экономической производственной функцией Fls (, ) будем называть функцию, которая сопоставляет векторам l, s оптимальное значение функционала () в задаче () (4). При заданном распределении мощностей по технологиям μ( x, z ) эколого-экономическая производственная функция Fls (, ) определяет максимальный выпуск продукции отрасли по вектору l потоков экономических ресурсов и вектору s потоков экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли, при условии, что эти потоки оптимально распределяются между мощностями отрасли. Величины потоков экономических и экологических ресурсов и их распределение между мощностями определяются рыночными экономическими механизмами функционирования отрасли, состоящей из множества независимых конкурирующих фирм. Учитывая теоремы 2 и 3, опишем класс экономических механизмов, которые обеспечивают оптимальное распределение между мощностями (фирмами) потоков экономических и экологических ресурсов, поступающих в распоряжение отрасли экологической экономики. Предположим, что все продукты распределяются посредством актов купли-продажи, причем каждый продукт продается и покупается по одной и той же цене. Пусть p > цена на выпускаемую отраслью продукцию, p= ( p,..., p ) - вектор цен на экономические ресурсы, q = ( q,..., q ) - вектор цен на экологические ресурсы (плата за лимиты), которые используются отраслью. Прибыль от выпуска единицы продукции по технологии (x, z) при заданных ценах p, p и q равна p px qz. Предположим, что прибыльные технологии (x, z), т.е. удовлетворяющие условию p px qz >, действуют на полную мощность и обеспечиваются необходимыми для этого экономическими и экологическими ресурсами. Обозначим через ( { ;, ) = (, ) (, ), > } G p p q x z x z R p px qz множество прибыльных при ценах p, p, q технологий (фирм). Предположим, что убыточные технологии, т.е. удовлетворяющие условию p px qz <, не используются (убыточные фирмы не функционируют) и не обеспечиваются экономическими и экологическими ресурсами. Экономические механизмы, удовлетворяющие сформулированным выше предположениям, представляют экономические механизмы рыночного типа. При ценах p >, p, q суммарный выпуск отрасли равен g( p = μ( x, z) dxdz ; () G( p суммарные затраты отраслью экономических ресурсов го вида,, равны g( p = xμ( x, z) dxdz ; () G( p суммарные затраты отраслью экологических ресурсов го вида,, равны суммарная прибыль отрасли равна h( p = z μ( x, z) dxdz ; (2) G( p Π ( p ; pq, ) = ( p px qz) μ( xzdxdz, ). (3) G( p Определение 2. Назовем g( p; p, q ) функцией предложения продукции; g ( p ; p, q ) - функцией спроса на экономический ресурс го вида, ; h ( p ; p, q ) - функцией спроса на экологический ресурс го вида, ; Π( p ; pq, ) - функцией прибыли отрасли.

5 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 67 Следствие. При любых p >, p,..., p, q,..., q, если g ( p ; p, q ) <,, h ( p ; p, q ) <,, то справедливо тождество ( ) где g ( p; pq, ) = ( g( p; pq, ),..., g ( p; pq, )), ( ;, ) = ( ( ;, ),..., ( ;, )) g ( p = F g( p, h( p ; p, q ). (4) h p pq h p pq h p pq. Покажем, что определенная выше эколого-экономическая производственная функция Fls (, ) обладает свойствами, которые обычно постулируются в неоклассической теории производства. Теорема 4. Функция Fls (, ), определенная на вогнута, обращается в нуль на R \tr. Теорема 5. Функция Fls (, ) непрерывна на R. R, монотонно не убывает по каждому аргументу, Лемма. Пусть p >, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ). Тогда для любого измеримого по Лебегу множества U R выполняется неравенство ( p px qz) μ( x, z) dxdz ( p px qz) μ( x, z) dxdz =Π( p ; p, q ). U G( p Доказательство этой леммы очевидно. Теорема 6. Пусть ( LS, ) tr. Предположим, что существует такой вектор FLS (, ) = g (; pq, ), g( L, (;, ), h p q S p[ L g(; p, q )] =, [ ] μ = {(, ) ( ) μ(, ) <, ( ) μ(, ) < } любых (, ), (, ) (, ) ( p, q) R, что q S h(; p, q ) = и множество E x z R p x q z x z px qz x z имеет положительную меру при p q p q p q из некоторой открытой окрестности ( p, q ). Тогда производственная функция Fls (, ) дифференцируема в точке l = L, s = S и Fls (, ) l l= L, s= S Fls (, ) s l= L, s= S = p, =,...,, = q, =,...,. (5) (6) Замечание 2. При нарушении условий, изложенных в теореме 6, производственная функция Fls (, ) быть недифференцируемой в точке l = L, s = S. Важным показателем локального поведения производственной функции Fls (, ) l = L, s = S является эластичность производства ε = FLS (, ) FLS (, ) ( LS, ) L S FLS (, ) l l= L, s = = l= L, s= S s= S может в окрестности точки. (7)

6 68 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Теорема 7. Предположим, что Fls (, ) дифференцируема в точке l = L>, s = S > и что выполняются соотношения FLS (, ) = g (; pq, ), g( L, h( S, p[ L g(; p, q )] =, q[ S h(; p, q )] =, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ) и равенства (5) - (6). Тогда ε ( LS, ) <. Доказательство этой теоремы очевидно и не представляет трудностей. Теорема 8. Существуют такие вектора p= ( p,..., p ) > и q = ( q,..., q ) >, что функция Fls (, ) дифференцируема в точке l = g(; p, q ), s = h(; p, q ), причем выполняются равенства Fls (, ) = p, Fls (, ) l l= g(, s l= g(, s = h( s= h( = q. (8) Замечание 3. Для функции Кобба-Дугласа ρ ρ ρ α α Al s α (, A > ) и для CES функции A αl ( α) s ( α, A >, ρ (,) (, )) при любых l >, s > выполняется соотношение ε ( LS, ) =. Поэтому из теорем 7 и 8 следует, что не существует такого локально суммируемого на R 2 распределения по технологиям μ( x, z ), для которого соответствующей производственной функцией Fls (, ) являлась бы функция Кобба-Дугласа или CES функция. Однако, как доказано в [Hauthakker, 955], функция типа Кобба-Дугласа α α2 α α α α 2 2 Fls (, ) = Al s, A >, α >, α > 2 является производственной функцией для некоторого распределения мощностей по технологиям вида μ α α2 ( xz, ) = Bx z. Теорема 9. При любых p >, p= ( p,..., p ), q = ( q,..., q ) выполняется соотношение l, s [ ] Π ( p = sup p F( l, s) pl qs. (9) Причем, если g( p ; p, q ) <, hp ( ; pq, ) <, то супремум в (9) достигается в точке l = g( p ; p, q ), s = h( p ; p, q ). Теорема. При любых p >, l = ( l,..., l ) T, s = ( s,..., s ) T выполняется соотношение Fls (, ) = f[ Π ( p ; pq, ) pl qs]. p p, q Причем, если l >, s >, то инфинум в (2) достигается в точке Fls (, ) = g ( p ; pq, ), g( p l, ( ;, ), hp pq s p[ l g( p ; p, q )] =, [ ] (, ) q s h( p ; p, q ) =. (2) p q R такой, что Соотношения (9), (2) в некотором смысле являются двойственными и позволяют восстанавливать функцию прибыли отрасли экологической экономики при известной отраслевой производственной функции либо наоборот: восстанавливать отраслевую производственную функцию Fls (, ) при известной функции прибыли Π( p ; pq, ).

7 Iteratoal Book Seres "Iforato Scece ad Coputg" 69 Однако при этом для нахождения отраслевой производственной функции Fls (, ) все равно приходится решать задачу оптимизации () (4) в функциональном пространстве, что представляет немалую трудность. Задача значительно упрощается, если рассматривать конечное число N технологий и линейные функции затрат экономических и экологических ресурсов: x, =,...,, k =,..., N; z, =,...,, k =,..., N. k В этом случае задача () (4) приобретает вид N k = N k = N k = k um ax, (2) k k x um l, =,...,, (22) k k k z u M s, =,...,, (23) k k k u, k =,..., N. (24) k В случае, когда требуется аналитический вид производственной функции Fls (, ), эффективным методом решения задачи (2) (24) является переход к двойственной задаче параметрического линейного программирования N α l β s γ, (25) k = = k= α x M β z M γ M, k =,..., N, (26) k k k k k k = = α, =,...,, β, =,...,, γ, k =,..., N, k блок ограничений в которой не содержит параметров l, s и поэтому сравнительно просто находятся все R R опорные решения α, β, γ ;...; α, β, γ R, представляющие неотрицательные кусочно-постоянные функции от аргументов l, s. В точке оптимума целевые функции (2) и (27) совпадают. Поэтому отраслевой эколого-экономической производственной функцией будет где e = (,,...,) T единичный вектор размерности N. R R R Fls (, ) = α l β s γ e,..., α l β s γ e, (28) (27) Заключение Таким образом, в работе построены отраслевые производственная функция и функция прибыли для экологической экономики. Установлена связь между этими функциями. Предложен метод построения производственной функции для линейной экономики с конечным числом технологических способов.

8 7 Decso Makg ad Busess Itellgece Strateges ad Techques Литература [Петров, Поспелов, 979] Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к теории производственных функций. // Изв. Ан СССР. Сер. техн. кибернетика с [Hauthakker, 955] Hauthakker H.S. The Pareto-Dstrbuto ad Cobb-Douglas Producto Fucto Actvty Aalyss // Rev. Eco. Stud. 955/56. Vol. 23(), #6. p [Johase, 969] Johase L. Outle of a Approach to Producto Studes // Meoradu fro Ist. of Ecoocs. Uv. of Oslo. 28 Aprl, 969. [Johase, Hersoug, 969] Johase L., Hersoug T. Dervato of acro producto fuctos fro dstrbutos of cro uts wth respect to put coeffcets. Soe atheatcal llustratos // Me. Ist. Eco. Uv. of Oslo. 8 October, 969. [Johase, 972] Johase L. Producto fucto. Asterda-Lodo: North Hollad Co., p. [Hldebrad, 98] Hldebrad W. Short-ru producto fuctos based o cro-data // Ecooetrca. 98. v. 49, #5. p [Шананин, 979] Шананин А.А. К теории производственных функций. В кн.: Модели и алгоритмы программного метода планирования. М., ВЦ АН СССР, 979. с [Шананин, 984] Шананин А.А. Исследование одного класса производственных функций, возникающих при макроописании экономических систем // Журн. вычисл. матем. и матем. физики т. 24, 2. с [Петров, Поспелов, Шананин, 996] Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, с. Информация об авторе Игорь Ляшенко д.ф.-м.н., профессор, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, факультет кибернетики, ул. Васильковская, 42, кв. 44, Киев-322, Украина; e-al:

АГРЕГИРОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ДВОЙСТВЕННЫХ БАЛАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК» Игорь Ляшенко, Андрий Онищенко, Игорь Онищенко

АГРЕГИРОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ДВОЙСТВЕННЫХ БАЛАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК» Игорь Ляшенко, Андрий Онищенко, Игорь Онищенко 54 0 Itellget Suort of Deco Mag АГРЕГИРОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ДВОЙСТВЕННЫХ БАЛАНСОВЫХ МОДЕЛЕЙ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК» Игорь Ляшенко Андрий Онищенко Игорь Онищенко Аннотация: Исследование экономических процессов на макро

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые свойства опорной функции выпуклого множества на выпуклом конусе, Вестн. С.- Петербург. ун-та. Сер. 0. Прикл. матем. Информ. Проц.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. уравнений второго порядка с суммарно-разностным.

О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. уравнений второго порядка с суммарно-разностным. Український математичний вiсник Том 8 (211), 3, 44 42 О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с суммарно-разностным ядром на полуоси Хачатур А. Хачатрян, Микаел

Подробнее

Элементы выпуклого анализа

Элементы выпуклого анализа Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ

КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ КОНЕЧНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 11 сентября 2010 г. Текст доклада соответствует лекции, которую автор много лет читал в курсе Экстремальные задачи. 1. В линейном пространстве

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХААРА Е. М. Семенов, С. Н. Уксусов

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХААРА Е. М. Семенов, С. Н. Уксусов Сибирский математический журнал Март апрель, 202. Том 53, 2 УДК 57.52 МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХААРА Е. М. Семенов, С. Н. Уксусов Аннотация. Вычислены нормы мультипликатора по системе Хаара в некоторых

Подробнее

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДЫ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ КАЧЕСТВА РЕСУРСОВ В МОДЕЛЯХ РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДЫ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ КАЧЕСТВА РЕСУРСОВ В МОДЕЛЯХ РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ УДК 58 МЕТОДЫ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ КАЧЕСТВА РЕСУРСОВ В МОДЕЛЯХ РЕГИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ И Б Руссман Д С Чембарцев Воронежский государственный университет В статье

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЭВОЛЮЦИОННАЯ ПАРАДИГМА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ИНТЕГРИРУЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ МЕТОДОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Виталий Снитюк

ЭВОЛЮЦИОННАЯ ПАРАДИГМА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ИНТЕГРИРУЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ МЕТОДОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Виталий Снитюк 52 0 Itellget Support of Decso Makg ЭВОЛЮЦИОННАЯ ПАРАДИГМА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ИНТЕГРИРУЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ МЕТОДОЛОГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Виталий Снитюк Аннотация: В статье рассмотрены составляющие элементы методологии

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ *

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ * НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ О.А. БЕРЕЗОВСКИЙ, Институт кибернетики НАН Украины, Киев, Украина berezovsky@al.ru Приводится необходимое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где Сер. 10. 013. Вып. 1 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК 539.75 Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти inf

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСТРОГО ЯКОБИЕВОЙ МАТРИЦЕЙ В. В. Богданов

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСТРОГО ЯКОБИЕВОЙ МАТРИЦЕЙ В. В. Богданов Сибирский математический журнал Май июнь, 213. Том 54, 3 УДК 519.65 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСТРОГО ЯКОБИЕВОЙ МАТРИЦЕЙ В. В. Богданов Аннотация. Для трехдиагональной

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

arxiv: v2 [math.ca] 19 Mar 2015

arxiv: v2 [math.ca] 19 Mar 2015 arxiv:1412.7986v2 [math.ca] 19 Mar 215 О нижней априорной оценке минимального собственного значения одной задачи Штурма Лиувилля с граничными условиями второго типа (1.1) (1.2) А. А. Владимиров, Е. С.

Подробнее

TR, TC. Рис Пространственная иллюстрация решения задачи максимизации прибыли в одноэтапной постановке L

TR, TC. Рис Пространственная иллюстрация решения задачи максимизации прибыли в одноэтапной постановке L 4.3. Максимизация прибыли и предложение продукции конкурентной фирмой В современной экономической теории часто принимается предпосылка о том, что целью деятельности фирмы является максимизация прибыли,

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОРТФЕЛЯМИ ИНВЕСТОРОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ

УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОРТФЕЛЯМИ ИНВЕСТОРОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ 5943 УДК 007, 33676 УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОРТФЕЛЯМИ ИНВЕСТОРОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ ВГ Саркисов Самарский государственный технический университет Россия, 443100, Самара, ул Молодогвардейская,

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

ρ( f,0) = ψ ( f ( x) ) dx, де ψ - функція типу модуля неперервності,

ρ( f,0) = ψ ( f ( x) ) dx, де ψ - функція типу модуля неперервності, УДК 575 С А Пичугов (Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им акад В Лазаряна Днепропетровск) О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с

Подробнее

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ Постановка задачи математического программирования Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных

Подробнее

ЧАСТЬ iii ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ

ЧАСТЬ iii ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ ЧАСТЬ iii ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ 3. Задачи Задача Технология производства предполагает использование двух ресурсов и характеризуется постоянной отдачей от масштаба. Производство 60 единиц продукта

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u УДК 51.7+532.517 А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в, А. П. Ш а х о р и н О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Подробнее

НЕЧЕТКИЙ АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ВАРИАНТОВ. Алексей Волошин, Николай Маляр, Оксана Швалагин

НЕЧЕТКИЙ АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ВАРИАНТОВ. Алексей Волошин, Николай Маляр, Оксана Швалагин Internatonal Book Seres "Informaton Scence and Computng" 189 НЕЧЕТКИЙ АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА ВАРИАНТОВ Алексей Волошин, Николай Маляр, Оксана Швалагин Аннотация: Предлагается модификация процедур

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В АКТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. II

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В АКТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. II Развивающиеся системы УДК 519.86 1995 г. В. Н. БУРКОВ, д-р техн. наук, Д. А. НОВИКОВ, канд. техн. наук (Институт проблем управления РАН, Москва) ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В АКТИВНОЙ СИСТЕМЕ

Подробнее

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Определим класс задач распознавания свойств как множество проблем, решением которых является ответ «Да» или «Нет». Приведем пример. Простой цикл, содержащий

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Лекция апреля 2009

Лекция апреля 2009 Действительный анализ. Лекция 10. 15 апреля 009 1 Действительный анализ. IV семестр. 009 год. Лектор Скворцов В. А. Об ошибках писать на july.tih@gmil.com Лекция 10 15 апреля 009 Продолжим доказательство

Подробнее

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. Задачи однокритериальной оптимизации Существует значительное число экономических систем, в частности из области управленческой

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ 2393 УДК 517.97 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В СОСТОЯНИИ И УПРАВЛЕНИИ Г.В. Шевченко Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН Россия, 630090,

Подробнее

И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА

И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА УДК 517.925.54 + 517.929 И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА

ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ АВТОМОРФИЗМЫ ГРАФА Page 1 of 5 Вестник ОмГУ Выпуск Тематика Литература Вестник Омского университета, 1996, Вып. 1. С. 18-20. Омский государственный университет, 1996 УДК 519.1 ЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ МНОГОГРАННИКА ПАРОСОЧЕТАНИЙИ

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Геометрия Александрова.

Геометрия Александрова. Тема 5 Геометрия Александрова. В этой лекции мы определим пространства Александрова и обсудим некоторые их свойства. 5.1 Треугольники и углы сравнения Пусть (X, d) произвольное метрическое пространство.

Подробнее

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Май июнь, 23. Том 54, 3 УДК 57.53 О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Аннотация. В элементарных курсах математического анализа обычно приводится

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова Гиподифференциал и ε-субдифференциал полиэдральной функции Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 011 выпуск

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. И. Хухро О разрешимости колец Ли с автоморфизмом конечного порядка Сиб. матем. журн. 21 том 42 номер 5 1187 1192 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм биномиальных

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

последующим домножением полученного равенства на, применением к его правой части формулы (1.13) и переходом к новой независимой переменной.

последующим домножением полученного равенства на, применением к его правой части формулы (1.13) и переходом к новой независимой переменной. 1.3. Характеристики технологии производства в статике В экономике существуют l ресурсов, используемых предприятиями. Индекс, соответствующий каждому из ресурсов, обозначим через h,. Каждый набор из l ресурсов,

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Рынки благ. = Рыночный объем предложения равен объему спроса: Q = = = Отсюда число действующих фирм N = Q/q e

Рынки благ. = Рыночный объем предложения равен объему спроса: Q = = = Отсюда число действующих фирм N = Q/q e Рынки благ. 55 4. Решения Решение задачи 1 а) Оптимум фирмы в коротком периоде достигается при том уровне выпуска, при котором выполняется равенство SMC(q) = P. При решении задачи Производство, 4 части

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Методические указания к решению простейшей задачи вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 2013 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики

Подробнее

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И.

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И. Сибирский математический журнал Январь февраль, 010. Том 51, 1 УДК 519.33.5 АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 011 Управление, вычислительная техника и информатика 1(14) ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ УДК 519.865 Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНА КУПЛИ С ЗАДАННОЙ

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ УДК 59 3:6-5 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Т К Юлдашев Сибирский государственный аэрокосмический университет Поступила в редакцию 373

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

4.2 Отделимость выпуклых множеств

4.2 Отделимость выпуклых множеств 4.2 Отделимость выпуклых множеств При выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах и в задачах с равенствами и неравенствами мы будем использовать свойство отделимости непересекающихся

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Сазонов Д.О. Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»

Сазонов Д.О.   Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы» Кафедра информатики и методики преподавания математики ВГПУ Сазонов Д.О. E-mail: imul@vspu.ac.ru Методические упражнения с решениями и теоремы с доказательством для курса средней школы «Функции и пределы»..

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Голосование в стохастической среде: случай двух групп

Голосование в стохастической среде: случай двух групп Голосование в стохастической среде: случай двух групп П.Ю. Чеботарев, А.К. Логинов, Я.Ю. Цодикова, З.М. Лезина, В.И. Борзенко Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН pchv@rambler.ru. Введение

Подробнее

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура

Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Седьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Докажите, для любых неотрицательных чисел, и выполняется неравенство 6+ + 5 5 + 7 +. Решение. Сложив почленно три известных

Подробнее

Институт инноватики ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ

Институт инноватики  ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ 1. Модели производственного процесса на базе производственных функций А) Объект моделирования Непосредственным объектом моделирования с использованием производственных

Подробнее