Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие."

Транскрипт

1 НБШепелявая Введение в математический анализ Учебное пособие СЗТУ,3

2 Предисловие Данное учебное пособие является первым в серии пособий, подготовленных кафедрой высшей математики СЗТУ по различным разделам математического анализа Как правило, с материалом, изложенным во "Введении в математический анализ", студенты всех специальностей знакомятся в конце первого семестра Хочется отметить, что изложение ведется на современном математическом языке, который предполагает использование логической символики и теоретико-множественных понятий Необходимые для понимания текста сведения из математической логики и теории множеств содержатся в первых двух пунктах главы, которые носят в данном случае вспомогательный характер Далее следует обычное для начала курса математического анализа знакомство с вещественными (или действительными) числами и их свойствами, а также с функциями одной вещественной переменной и их свойствами Опыт показывает, что достаточно часто такие важнейшие понятия как предел функции и непрерывность функции не очень легко воспринимаются студентами Поэтому хочется посоветовать студентам особенно внимательно изучить вторую главу данного пособия, озаглавленную "Предел функции" В этой главе следует также обратить особое внимание и на понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции Третья глава содержит понятия производной функции и её дифференциала, очень важные для понимания дальнейшего курса математического анализа и его приложений Для проверки усвоения теории в конце каждой главы приведены вопросы, ответы на которые студент должен извлечь из изложенного в данной главе материала Полезно также научиться самостоятельно воспроизводить доказательства теорем, приведенные в тексте Автор надеется, что работа с учебным пособием "Введение в математический анализ" поможет студентам подготовиться к восприятию дальнейших более сложных разделов курса математики, а также обрести элементы того, что принято называть математической культурой

3 Глава Основные понятия Логическая символика Современный математический язык использует большую группу логических понятий и символов, которые позволяют четко и компактно формулировать математические предложения Основное логическое понятие - высказывание (предложение, предикат) По определению, высказывание может быть либо истинно, либо ложно Например, "стороны квадрата равны" истинное высказывание, а " = " ложное Обозначим два произвольных высказывания соответственно буквами P и Q Над ними можно производить операции отрицания логического сложения (P Q, логического умножения эквивалентности, следствия Их результат в зависимости от истинности () или ложности () P P ( P), ) ( P Q), (P Q) (P Q) P P QP Q и Q определяется так: P QP Q P QP Q P QP Q Легко видеть, что значение отрицания P противоположно значению P ; сумма высказываний P Q истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из слагаемых; произведение P Q истинно тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя; эквивалентность P Q истинна тогда и только тогда, когда истинность высказываний P и Q совпадает; следствие P Q истинно всегда, кроме того случая, когда из истинной посылки P следует ложный вывод Q

4 Заметим, что в виде следствия формулируются наиболее часто встречающиеся в математике предложения - теоремы Если условие теоремы обозначить P, а заключение Q, то теорема примет вид: P Q Говорят также, что P есть достаточное условие Q, а Q - необходимое условие P Назовем теорему P Q прямой, теорему Q P - обратной, а теоремы P Q и Q P соответственно, противоположной прямой и противоположной обратной Пример Прямая теорема: если выпуклый четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны Здесь: "выпуклый четырехугольник - ромб" это высказывание P, а утверждение, что "диагонали взаимно перпендикулярны" это высказывание Q Обратная теорема - если диагонали взаимно перпендикулярны, то выпуклый четырехугольник ромб ; противоположная прямой- если выпуклый многоугольник не ромб, то его диагонали взаимно не перпендикулярны ; противоположная обратной- если диагонали не взаимно перпендикулярны, то выпуклый многоугольник не ромб Очевидно, что в данном примере прямая теорема верна, теорема, противоположная обратной, также верна, а обратная и противоположная прямой - нет Такая связь между истинностью не случайна: соответствующие теоремы просто эквивалентны Установим эквивалентность прямой и противоположной обратной теорем: ( P Q) ( Q P) Рассмотрим значения левой и правой части в зависимости от истинности P и Q Если указанные значения во всех возможных случаях совпадут, то эквивалентность будет доказана P - истинно, Q - истинно Тогда слева ( ) - истинно по определению следствия, справа ( ), что по определению отрицания эквивалентно ( ) Последнее истинно по определению следствия P - истинно, Q - ложно Слева ( ) - ложно, справа ( ) ( ) ложно 3 P - ложно, Q - истинно Слева ( ) - истинно, справа ( ) ( ) истинно 4 P - ложно, Q - ложно Слева ( ) - истинно, справа ( ) ( ) истинно Эквивалентность доказана Заметим, что известный метод доказательства от противного представляет собой замену доказательства прямой теоремы на доказательство эквивалентной ей противоположной обратной Используя этот же подход, устанавливают эквивалентность обратной и противоположной прямой теорем Аналогично доказывается еще одна очень важная эквивалентность: ( P Q) (( P Q) ( Q P)), то есть эквивалентно тогда и только, когда следует из и следует из Q P Q Q P P

5 В математике часто приходится иметь дело с выражениями, зависящими от параметра Например, Px ( ) = { x > 5} Очевидно, что P() ложно, а P(3) - истинно В связи с этим применяют особые символы: квантор общности В математике часто приходится иметь дело с выражениями, зависящими от параметра Например, Px ( ) = { x > 5} Очевидно, что P () ложно, а P(3) - истинно В связи с этим применяют особые символы: квантор общности ( ) и квантор существования ( ) Так, запись ( x : P ) означает, что "существует по крайней мере один x, для которого высказывание P истинно", а запись ( x : P ) следует читать: "для всякого x высказывание P истинно" Обратим внимание на то, что при построении отрицания кванторы общности и существования замещают друг друга, а финальное высказывание P заменяется противоположным, то есть ( x : P) ( x: P), ( x: P) ( x: P ) Пример Отрицанием выражения "для каждого x выполнено неравенство f ( x) " будет следующее - "существует по крайней мере один x такой, что выполняется неравенство f( x ) > ", и наоборот, противоположным к предложению "существует по крайней мере один x, такой, что f ( x) " будет следующее - "для каждого x верно f ( x ) > " Утверждение P в общем случае может зависеть от двух и более параметров Пример 3 Пусть Pxy (, ) { студент x решил задачу y} При этом различные кванторы, относящиеся к такому высказыванию, нельзя менять местами Действительно, выражение ( x y: P( x, y)) означает, что "для каждого студента существует по крайней мере одна задача, которую он решил", а ( y x: P( x, y)) читается так: "найдется по крайней мере одна задача, которую решили все студенты" Множества Понятие множества Множество относится к простейшим неопределенным понятиям и понимается как собрание, совокупность объектов Объекты, составляющие множество, называются его элементами Если таковых нет, то множество называют пустым Если x - элемент множества A, то пишут x A ; в противоположном случае: x A (или x / A ) Пустое множество обозначают символом Считается, что множество задано, если перечислены все его элементы или указано некоторое характеристическое свойство, которое их определяет Заметим, что перечисление может быть произведено непосредственно или с помощью рекуррентных формул Пример 4 Множество A = {, dv, } задано непосредственным перечислением элементов

6 Множество натуральных чисел N определяют рекуррентно с помощью следующих двух утверждений: N, и, если N, то + N 3 Множество A = { x: ( x N) ( x< 4)} задано характеристическими свойствами, а именно: его элементы x есть натуральные числа, удовлетворяющие неравенству x < 4 Этому условию удовлетворяют числа,, 3 и только они Следовательно, A = {,, 3} Установим некоторые отношения между множествами Определение Множества A и B называются равными ( A = B ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть ( A = B) (( x: x A x B) ( x: x B x A)) Определение Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то говорят, что B -подмножество A ( B A) Очевидно, ( A = B) (( B A) ( A B)) Пример 5 Доказать, что если A = { x: x 8x+ 5 = } и B = {, 6}, то A= B Множество A задано характеристическим свойством Его элементы есть корни уравнения x 8x+ 5= Решая данное уравнение, найдем, что x =, x = 6 Тогда A = {, 6} Следовательно, A = B по определению равенства множеств (см опp) Пример 6 A = {, } Найти все его подмножества По определению (см опр), каждый элемент подмножества должен содержаться в A Перечислим все возможные подмножества: {}, {}, а также {, } и, ибо по определению A A и A Множества A и называют несобственными подмножествами множества A Определение 3 Множество J называется универсальным множеством для системы множеств ABCL,,,, если каждое из этих множеств является его подмножеством Операции над множествами Определение 4 Объединением ( A B) или суммой множеств A, B называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества A или B, и только из них: A B = { x: ( x A) ( x B)} Определение 5 Пересечением ( A B ) или произведением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B, и только из них: A B = { x: ( x A) ( x B )} Определение 6 Разностью A B множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, не входящих в B, и только из них: A B= { x: ( x A) ( x B)} Определение 7 Дополнением B множества B называется разность J B, где - универсальное множество

7 Пример 7 Пусть A = {,, 6, 9}, B = {, 3, 7, 9, } По определению объединения (см опр4) A B={,, 6, 9, 3, 7, } ; По определению пересечения (см опр5) A B = {, 9} ; 3 По определению разности (см опр6 ) A B = {, 6}, B A = {3, 7, } a) б) в) Рис а) A B ; б) A B; в) A B 3 Эквивалентность множеств Mощность Определение 8 Если каждому элементу множества A по некоторому правилу можно сопоставить один и только один элемент множества B и обратно, каждому элементу множества B можно сопоставить один и только один элемент множества A, то говорят, что между множествами A и B установлено взаимно - однозначное соответствие Множества A и B называются эквивалентными (A : B), если между ними можно установить взаимно - однозначное соответствие, в противном случае говорят, что множества не являются эквивалентными Для доказательства эквивалентности двух множеств достаточно установить между ними какое-либо взаимно - однозначное соответствие Заметим, что из равенства множеств следует их эквивалентность, обратное же утверждение неверно Пример 8 Пусть A = { abc,, } и B = {,, 3} Установим взаимнооднозначное соответствие между ними, например так: a, b, c 3 Тогда A : B (см опр8) Однако при этом A B, (см опр) Установим взаимно - однозначное соответствие между множествами A = { x: x } и B = {y: a y b} Положим y = ( b a) x+ a Если x A, то

8 соответствующий ему элемент y B, и обратно, если y B, то соответствующий ему элемент x = ( y a) /( b a) принадлежит A Заметим, что отношение эквивалентности транзитивно: если A : B и B: C, то A: C Определение 9 Непустое множество A называется конечным, если существует такое натуральное число N, что A : {,, L, } В этом случае говорят, что множество имеет элементов Пустое множество по определению считается конечным Множество, не являющееся конечным называется бесконечным Множество A, эквивалентное множеству N натуральных чисел называется счетным Множество A, эквивалентное множеству R вещественных (действительных) чисел называется множеством мощности континуума Определение Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A Тем самым, мощность есть общая характеристика всех эквивалентных между собой множеств Для конечных множеств мощность множества - это число его элементов Все элементы любого из счетных множеств могут быть перенумерованы, несмотря на то, что их число бесконечно Элементы множества, имеющего мощность континуума, перенумеровать невозможно 3 Множество вещественных чисел В школьном курсе математики Вы уже знакомились с множеством вещественных (действительных) чисел R Уточним некоторые его свойства, наиболее важные для данного курса Итак, целые положительные числа 3,,,L образуют множество натуральных чисел, которое обычно обозначается буквой N Целые отрицательные числа, ноль и целые положительные числа образуют множество целых чисел, которое будем обозначать буквой Z Множество рациональных чисел Q образовано всевозможными обыкновенными дробями m Q= { ± : ( m Z ) ( N )} N Z N Q Z Q Очевидно, что,, Существует бесконечное множество чисел, которые не являются рациональными К ним относятся, например,, 5, π& и тд Эти числа называют иррациональными Пусть C - множество иррациональных чисел Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество вещественных чисел R, те R = Q C Известно, что любое вещественное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби, периодической или непериодической

9 Заметим, что число, которое является периодом бесконечной дроби, обычно не пишут, превращая тем самым бесконечную дробь в конечную При этом рациональные числа представимы в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные - в виде бесконечной непериодической десятичной дроби Далее будут использоваться следующие основные свойства вещественных чисел: Упорядоченность Это значит, что любые два вещественных числа a и b находятся в одном и только в одном из трех соотношений: a< b, a= b, a> b Плотность Между любыми двумя числами находится бесконечно много рациональных и иррациональных чисел Из последнего свойства следует, что всякое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом На практике такое приближение осуществляют, оставляя в бесконечной непериодической дроби, которая соответствует иррациональному числу, только конечное число первых десятичных знаков и заменяя остальные нулями Известно, что множество рациональных чисел счётно, а множество вещественных чисел R не является счетным и имеет, по определению, мощность континуума Это связано со свойством непрерывности R Подробнее о свойствах множества R можно прочесть в одном из полных курсов математического анализа 3 Геометрическая интерпретация вещественных чисел Установим эквивалентность множества вещественных чисел и множества точек числовой оси (вещественной прямой) Напомним, что числовой осью называется прямая, на которой установлено положительное направление (обычно указывается стрелкой); точка, называемая началом отсчета и масштаб, те отрезок, длина которого принята за единицу Рис На рис числовая ось расположена горизонтально, за положительное выбрано направление слева направо Точка, соответствующая числу x строится так: если x >, то эта точка лежит правее точки на расстоянии x от нее; если x <, то точка лежит слева от точки на расстоянии x от нее; если x =, то соответствующая точка совпадает с точкой Аналогичным образом, каждой точке на числовой оси можно поставить в соответствие единственное число x Установленное взаимно однозначное соответствие

10 позволяет отождествить понятия "точка x на числовой оси" и "вещественное число x " Определим некоторые часто встречающиеся подмножества R Пусть abx,, - вещественные числа ( ab, ) = { x: a< x< b}, - открытый интервал; [ ab, ] = { x: a x b} - замкнутый интервал; ( ab, ] = { x: a< x b} и [ ab, ) = { x: a x< b} - полуоткрытые интервалы Эти интервалы называются конечными промежутками и на числовой оси изображаются отрезками с включением или без включения в них конечных точек Введем бесконечные промежутки: (, + ) = {x: x R }, те (,+ ) = R ; (, b) = { x: x< b} ; (, b) = { x: x b} ; [ a,+ ) = { x: x a} ; { a,+ ) = { x: x > a} Можно показать, что любой промежуток имеет мощность континуума 3 Ограниченность числовых множеств Определение Пусть X R Говорят, что X ограничено сверху, если существует M R, такое что x X выполнено x M При этом число M называется верхней границей множества X Наименьшая из всех верхних границ множества X называется точной верхней границей (или верхней гранью) множества X Множество, что X называют ограниченным снизу, если существует m R, такое что x X выполнено x m При этом число m называется нижней границей множества X Наибольшая из всех нижних границ множества X называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества X Верхняя грань множества X обозначается sup X, нижняя - ifx (от латинских слов supremum - наивысшее и ifimum - наинизшее) Верхняя и нижняя грани могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему Пример 9 Полуоткрытый интервал [ ab, ) есть множество, ограниченное сверху и снизу, причем нижняя грань - точка a принадлежит ему, a верхняя грань - точка b не принадлежит ему Множество X = { x: x=, N} имеет верхней гранью число, ему принадлежащее, а нижней - число, которое ему не принадлежит 33 Абсолютная величина вещественного числа Пусть x - произвольное вещественное число, те x R x, если x< x = x, если x>, если x =

11 Заметим, что с геометрической точки зрения x - это расстояние от точки, соответствующей числу x на числовой оси, до начала координат Рис 3 Отсюда следует что, x y - это расстояние между точками, соответствующими числам x и y на числовой оси Перечислим основные свойства модуля: x для любого x, причем x = x= x = x 3 x+ y x + y 4 xy = x y x 5 Если y то x y = y 6 x y x y 7 Если ε >, то ( x < ε) ( ε < x< ε) При этом следует отметить, что пункты - 3 характеризуют свойства модуля как расстояния 3 4 Окрестности точек Расшиpенная вещественная пpямая Важным для дальнейшего изложения является понятие окрестности Определение Пусть ε > ε -окрестностью точки x будем называть множество точек x, расстояние ρ ( x, x ) от которых до точки x меньше ε Обозначим ε -окрестность точки x так: R ε ( x ) Как следует из определения окрестности и определения расстояния (абсолютной величины) на множестве R Rε( x) = { x: x x < ε} или R ε( x) = ( x ε, x + ε) Геометрически R ε ( x ) - это отрезок длины ε с серединой в точке x, без включения в него концевых точек (рис4 a) а) б) Рис 4 Любую точку числовой оси, соответствующую некоторому вещественному числу, принято называть конечной точкой Пусть x - конечная точка Введем в рассмотрение левую R ε ( x)

12 + ε - окрестность точки x и правую R ε ( x ) ε - окрестность точки x + + По определению, R ε ( x) = ( x ε, x ), R ε ( x) = ( x, x + ε ) (см рис4 б) Наряду с ε - окрестностью точки используют и понятие окpестности точки Определение 3 Окpестностью X конечной точки x называется любое подмножество X R, cодеpжащее некотоpую ε -окpестность точки x Расшиpим числовую ось (соответственно и множество вещественных чисел R ), введя на ней три бесконечные точки: +,, Сделаем это путем определения их ε - окрестностей Rε( + ), Rε(, ) R ε(, ) ибо интересовать нас будут впоследствии не сами точки, а их окрестности Итак, пусть ε > Определение 4 R ( + ) = ε ( ) ε( ) ( ) ε,+ ; R =, ε ; R ( ) = (, ε ) ( ) (см рис ε ε,+, 5) Следовательно, Рис 5 ( x R ( + )) ( x > ε ) ( x ε ( )) ( x ) ε, R < ε, ( x R ε ( )) ( x > ) ε Естественно считать бесконечные точки + и частными случаями точки 35 Открытые и замкнутые подмножества R Определение 5 Пусть X - некоторое множество вещественных чисел ( X R) или некоторое множество точек числовой оси Точка x называется внутренней точкой множества X, если она принадлежит X вместе с некоторой своей ε - окрестностью Точка x называется граничной точкой множества X, если любая окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие X, так и точки, не принадлежащие X При этом

13 точка x может принадлежать или не принадлежать X Пример Пусть X = (, 4) Любая точка x, принадлежащая этому открытому интервалу, принадлежит ему вместе с некоторой своей достаточно малой окрестностью В силу этого любая точка промежутка (, 4) является его внутренней точкой Любые окрестности точек x = и x = 4 содержат как точки, принадлежащие промежутку (, 4), так и точки, ему не принадлежащие Следовательно, точки x = и x = 4 будут граничными точками промежутка (, 4), ему не принадлежащими Пусть X = [,+ ) Любая точка x > будет внутренней точкой этого промежутка Точка x = будет граничной точкой промежутка X, ему принадлежащей Определение 6 Множество X R называется открытым, если все его точки внутренние Примером открытого множества может служить рассмотренный выше интервал (, 4) Определение 7 Точка x R называется предельной точкой для множества X R, если любая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку множества X { x}, те ε > : Rε ( x) ( X { x}) Заметим, что предельные точки могут быть как внутренними, так и граничными Пример Пусть X = [,+ ) Любая точка x будет предельной для X по определению, но точка x = при этом является граничной, а остальные - внутренними Определение 8 Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки Примерами замкнутых множеств могут служить, например, замкнутые интервалы [ ab, ] Приведем без доказательства следующую теорему Теорема Для того, чтобы множество X R было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X = R X было замкнутым 4 Функции 4 Отображения множеств Определение 9 Если даны два непустых множества X, Y и закон f, ставящий в соответствие каждому x X один и только один y Y, то говорят, что задано отображение f множества X в множество Y f : X Y () Заметим, что в определении не требуется, чтобы каждый элемент y Y множества Y был непременно поставлен в соответствие некоторому x X Не требуется также и чтобы различным элементам из X были сопоставле-

14 ны различные элементы из Y Любое y, которое получается при отображении f элемента x X, называется образом элемента x Любое x, которое при отображении f переходит в y, называется прообразом элемента y Пусть X X Тогда f( X) = { y Y: y = f( x), x X } называется образом множества X при отображении f Пример Пусть X - множество студентов x из одной студенческой группы численностью 5 человек Y - подмножество множества натуральных чисел: Y = 345,,,, Зададим отображение f следующим образом: каждому студенту x из множества X сопоставим элемент y из множества Y, равный оценке, полученной данным студентом на экзамене по математике Тогда оценка y, полученная студентом x, будет его образом при данном отображении f При этом может оказаться, что для некоторых элементов множества Y (например, для y = и y = 5) не найдется подходящих x, так как не будет студентов, получивших оценки "" и "5" Некоторые же элементы Y (например y = 3) будут сопоставлены сразу нескольким элементам x из множества X, тк именно оценка "3" будет самой распространенной 4 Функции Способы задания Часто (особенно, если множества X и Y - числовые) вместо термина отображение используют слово функция Определение Если X R, Y R, то отображение f называют вещественной функцией одной вещественной переменной или просто функцией Заметим также, что для числовой функции принято называть функцией не только закон соответствия между элементами x и y множеств X и Y, но и саму переменную y, изменяющуюся на множестве f ( X) Вместо записи () в этом случае обычно применяется запись вида y = f( x), или, чтобы не вводить лишних букв, пишут y = y( x), где x называют аргументом функции, y - значением функции Образ a при отображении f (те f ( a ) или ya ( )) тогда называют значением функции в точке a Для функции y = f( x) множество X называют областью определения функции, а множество f ( X), - областью изменения функции или областью значений функции Очевидно, что f ( X) Y Иногда область определения X функции f обозначают через D ( f ), а множество значений f ( X ), соответственно - E ( f ) Если функция y = f( x) задана с помощью формулы (те аналитически), то под областью определения X понимают множество тех вещественных значений аргумента x, при которых аналитическое выражение f ( x ) имеет смысл, то есть, выполнимы все указанные в нём действия В этом случае множество X принято называть естественной

15 областью определения ) Пример 3 Рассмотрим формулу y = x Эта формула каждому значению x (, ] ставит в соответствие единственное значение y, причем все эти значения y образуют промежуток [,+ ) Следовательно, приведенная формула определяет функцию, для которой X = (, ], f ( X) = [,+ ) Числовые функции могут задаваться различными формулами на разных промежутках, принадлежащих множеству определения В этом случае говорят, что функция задана кусочно-аналитически Формулы x, если x [ ], y = x, если x (, ] определяют функцию, для которой X = [, ], f ( X ) = [, ] Иногда функцию, заданную кусочно-аналитически можно задать и аналитически Например, x, если x [,+ ) y = или y = x+ x, если x, ( ) Если множество f ( X) содержит единственный элемент C (то есть, всем x X ставится в соответствие одно и то же число C ), то функция называется постоянной В этом случае пишут f ( x) = C или f ( x) = cost Если задано уравнение F( x, y) =, связывающее аргумент x и функцию y, то говорят, что функция задана неявно В некоторых случаях удается от неявного задания перейти к явному Например, выражение y = 5/ x задает функцию y x + 5= в явном виде К сожалению, эта задача не всегда выполнима Отметим однако, что для решения многих задач переход к явной форме не требуется При решении прикладных задач закон соответствия между элементами множеств X и Y, то есть функция y = f( x), часто задается с помощью графика, получаемого в результате некоторого эксперимента Такой способ задания называется графическим Если функция задана иначе ( не графически ), то может быть полезно рассмотреть её график Определение Графиком функции y = f( x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy называется множество Γ f точек M плоскости Oxy, абсциссы которых являются значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими им значениями функции y = f( x) Γ f = { M ( xy, ): x X, y= f( x)} Множество точек Γ f обычно заполняет некоторую линию l Так что выражение y = f( x), где x X можно рассматривать как уравнение линии l

16 Существует еще один способ задания функции - параметрический Его часто используют в приложениях С этим способом мы познакомимся в паpагpафе Сложная функция Рассмотрим две формулы y = f( u), u U () u = ϕ( x), x X (3) Первая формула определяет функцию y = f( u) на множестве U, а вторая - функцию u = ϕ( x) на множестве X Пусть ϕ( X) U Определение Функция y = f( ϕ( x)), аргументом которой является функция ϕ ( x) называется сложной функцией переменной x В этом случае говорят, что функция () - внешняя, а функция (3) - внутренняя Сложную функцию называют также суперпозицией (наложением) функций () и (3) Область определения X сложной функции состоит из тех и только тех значений x X, для которых соответствующие значения u = ϕ( x) принадлежат множеству определения U функции () ( x X ) ( ϕ( x) U ) Переменная u = ϕ( x) называется промежуточным аргументом сложной функции, тогда как x, принимающая значения из множества X, аргументом сложной функции в обычном смысле Можно сказать, что промежуточный аргумент u - это зависимая переменная, а x - независимая Если ни один элемент множества ϕ( X ) значений функции () не принадлежит множеству U, то есть, если ϕ( X) U =, то сложная функция не определена Аналогично вводятся сложные функции, являющиеся суперпозицией трех и большего числа функций Пример 4 Рассмотрим функции y = lg u, u U = (,+ ), u = x, x =, ϕ ( ) = (, ] X R X Множества ϕ( X ) и U имеют общие элементы (те их пересечение не является пустым множеством), в силу чего данные формулы определяют сложную функцию на множестве X тех значений x, для которых x > Последнее неравенство эквивалентно следующему: < x < Итак, сложная функция y = lg( x ) определена на множестве X = ( ), Найдём область определения X функции y = arcsi + x Так как x arcsi u определен только для u, то

17 + x X = { x : } x Преобразуем неравенство + x x ( + x) к виду Множество его x решений { } (,+ ) Аналогично получим множество решений (, ) { } неравенства + x x Искомая область определения X есть пересечение этих множеств, то есть X = { ; } Интересно заметить, что область определения в данном случае состоит из двух изолированных точек 44 Чётные и нечётные функции Определение 3 Функция y = f( x) с областью определения X называется чётной, если x X выполняется равенство f ( x) = f( x) Функция y = f( x) с областью определения X называется нечётной, если x X выполняется равенство f ( x) = f( x) Функции не чётные и не нечётные называют функциями общего вида Из определения следует, что: Область определения чётной и нечётной функций симметрична относительно начала координат График чётной функции симметричен относительно оси ординат 3 График нечётной функции симметричен относительно начала координат Полезно также иметь ввиду следующее: сумма, разность, произведение и частное (знаменатель отличен от нуля) двух чётных функций также чётна; сумма и разность двух нечётных функций нечётна; произведение и частное двух нечётных функций чётно; произведение и частное чётной и нечётной функций нечётно Заметим, что сказанное выше предполагает совпадение областей определения обеих функций Пример 5 Функция y = x является функцией общего вида, так как её область определения X = [ ;= ) не симметрична относительно начала координат Область определения X = ( ; ) функции y = log x симметрична + x относительно начала координат При этом f( x) = log + x = x log ( x = ) = log x = f ( x) Следовательно, данная функция нечётна + x + x (см определение 3) 3 Функция y = x+ cos x является чётной функцией, так как из чётности tg tg y = x и cos x следует чётность их суммы

18 4 5 Периодические функции Определение 4 Функция y = f( x) с областью определения X называется периодической, если существует такое T >, что: ) x T X и x+ T X ; ) x X выполняется равенство f ( x) = f ( x+ T) ; 3) среди всех таких чисел T есть наименьшее Это наименьшее T называется периодом функции y = f( x) Сформулируем свойства периодических функций: Область определения периодической функции симметрична относительно начала координат Для периодической функции y = f( x) с периодом T на всей области определения справедливо равенство f ( x+ kt) = f( x), где k - целое число 3 Если y = f( x) периодическая функция с периодом T, то y = f( x+ a) также периодическая с периодом T 4 Если y = f( x) периодическая функция с периодом T, то y = f( ax) также периодическая с периодом T / a, где a Пример 6 Рассмотрим функцию y = 3 Равенство f ( x) = f ( x+ T) выполнено x R и для всех T >, но среди указанных значений T нет наименьшего Поэтому данная функция не является периодической Функция y = si x периодическая с периодом π Действительно, si x = cos x, а функция y = cos x имеет период равный π (см свойство 4) 46 Ограниченные функции Определение 4 Говорят, что функция y = f( x) с областью определения X ограничена сверху на множестве X, ( X X ), если существует такое M, что x X выполнено неравенство f ( x) M Функцию y = f( x) называют ограниченной снизу на множестве X, если существует такое m, что x X выполнено неравенство f ( x) m Функцию y = f( x) называют ограниченной на множестве X, если существует такое L >, что x X выполнено неравенство f ( x) L Если X = X, где X - область определения функции y = f( x), то эту функцию называют ограниченной (соответственно, ограниченной сверху, ограниченной снизу) Очевидно, что функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и ограничена снизу Отметим также, что сумма и произведение ограниченных функций также есть ограниченная функция Пример 7 Рассмотрим функцию y = x + 4x+ 5 Выделяя полный квадрат, получим y = ( x+ ) + Наименьшее значение y = эта функция принимает при x = Поэтому множество её значений [;+ ) По определению 5 данная функция ограничена снизу

19 Функция y = si x+ cos x ограничена как сумма ограниченных функций 47 Взаимно - однозначные функции Монотонность Определение 6 Функция y = f( x) с областью определения X и множеством значений f ( X ) называется взаимно-однозначной, если для любых x и x, принадлежащих области определения X из условия x x следует, что f ( x) f( x) Иначе говоря, на всей области определения различным значениям аргумента должны соответствовать различные значения функции Можно говорить о взаимной однозначности функции y = f( x) на некотором подмножестве области определения (в частности, на промежутке ) 4 Пример 8 Функция y = x 3 не является взаимно - однозначной в области определения X= R, так как f ( x) = f( x), но она взаимно- однозначна на промежутках (, ], [,+ ) Функция y = cosx не взаимно - однозначна в области определения X = (,+ ) (н апример, в силу периодичности), но обладает этим свойством на любом из промежутков [ kπ, π + kπ), где k - произвольное целое число Как легко заметить, достаточным условием взаимной - однозначности функции на некотором подмножестве области определения (промежутке) будет строгая монотонность данной функции на нем Напомним соответствующие определения Определение 7 Функция y = f( x) называется возрастающей на некотором множестве X, если дл я любых x, x X выполняется соотношение ( x > x) ( f( x) > f( x)), означающее, что большему значению аргумента отвечает и большее значение функции Функция y = f( x) называется убывающей на X, если для любых x, x X верна импликация: ( x > x) ( f( x) < f( x)), то есть, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции Если функция y = f( x) возрастает на X, или убывает на X, то она называется строго монотонной на X Функция называется неубывающей на множестве X, если ( x > x) ( f( x) f( x)) для любых x, x X, и невозрастающей на множестве X, если ( x > x) ( f( x) f( x)) для любых x, x X Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие на X функции называются функциями, монотонными на X Заметим следующее: если функция y = f( x) монотонна на X, то она монотонна на любом подмножестве множества X При этом характер монотонности сохраняется

20 Пример 9 Функция y = x возрастает н а промежутке X = [,+ ) Множество натуральных чисел N [,+ ) Следовательно, если >, то ( ) > ( ) для, N Отметим следующие важные свойства монотонных функций: Сумма двух возрастающих ( убывающих) функций есть возрастающая (убывающая) функция Если функция y = f( x) возрастающая (убывающая), то функция y = f( x) убывающая ( возрастающая) функция 3 Если функция y = f( x) возрастающая (убывающая), то функция y = убывающая ( возрастающая) функция f ( x) 4 Суперпозиция (см пункт 43) двух монотонно возрастающих (убывающих) функций есть монотонно возрастающая функция 5 Суперпозиция двух функций, одна из которых монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, есть монотонно убывающая функция Пример Функция y = x x убывает на X = (, ) (, + ) как сумма двух убывающих функций Действительно, y = x x = x x (см выше свойства -3) 48 Обратная функция Пусть дана функция y = f( x), для которой X - область определения, Y = f ( X ) - множество значений Пусть эта функция взаимно - однозначна на множестве X Тогда каждому y Y будет соответствовать одноединственное значение x X, такое что f ( x) = y Определение 8 Функция x = ϕ( y), определённая на множестве Y и ставящая в соответствие каждому y Y то единственное значение x X, для которого f ( x) = y, называется обра тной к функции y = f( x) В этом случае функцию y = f( x) называют прямой функцией по отношени ю к своей обратной Соответственно, для функции x = ϕ( y) областью определения будет Y, а множеством значе ний - X Если прямая функция y = f( x) задана аналитически, то выражение для обратной функции x = ϕ( y) (при у словии, что она существует) получает ся в результате разрешения ура внения y = f( x) относительно x Интересно отметить, что, так как у прямой и обратной функций область определения и множество значений меняются местами, то обратную функцию можно использовать для нахождения множества значений прямой Пример Найдем множество значений функции y = x x + Для этого y+ выразим x через y : x = Получили обратную функцию x = ϕ ( y ), y

21 область определения которой y совпадает с множеством значений исходной функции Итак, нашл и множество значений: Y = (, ) (,+ ) Вводя обычные обозначени я для значений аргумента и функции, будем далее обратную функцию записывать в виде y = ϕ( x) Из школьного курса известно, что графики прямой и обратной функций y = f( x) и y = ϕ( x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см рис6) Рис 6 Если функция y = f( x) не является взаимно-однозначной в области определения X, то существуют такие значения x, x X для которых f ( x) = f( x) В этом случае обратной функции не существует Но иногда удается выделить такое подмножество X X на котором исходная функция взаимно-однозначна (что обеспечива ется строгой монотонностью) Тогда, если рассмотреть функцию y = f( x), где x X, то можно построить функцию y = ϕ( x), обратн ую к ней 3 Приме р Функция y = x ( X= R, Y = R) возрастает на X 3 Поэтому она имеет обратную функцию y = x с о бластью определения и множеством значений равным R Функция y = si x, где X= R, Y = [ ], не возраст ает и не убывает на π π X, а поэтому обратной функции не имеет Однако на интервале, она возрастает и принимает все значения из промежутка [, ] Поэтому π π функция y = si x, x [, ], имеет обратную функцию y = arcsi x, с π π ластью определения [, ] и множеством значений [, ] об 49 Параметрическое задание функции Введение понятий сложной и обратной функций позволяет рассмотреть еще один способ задания функции, который часто используют в прикладных задачах Итак, пусть две функции x ϕ() t y ψ () t аргумента t заданы на некотором промежутке T Предположим, что x = ϕ() t взаимно-однозначна на T Тогда для неё существует обратная =, = (4)

22 функция t = (4), получим g( x) (смп 48), подставив которую во вторую из формул y = ψ ( g( x)) = f( x) (5) Таким образом, в результате исключения t из двух равенств (4), мы пришли к формуле (5), определяющей y как функцию от x Следовательно, задание двух равенств (4) равносильно заданию функции y аргумента x То есть, эти равенства каждому значению t T ставят в соответствие пару чисел x и y Первое из них - аргумент функ ции, а второе - ее значение Определение 9 Задание функции y = f( x) при помощи равенств (4) называется параметрическим способом задания этой функции Независимая переменная t при этом называется параметром Если графиком функции y = f( x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy служит некоторая линия l, то равенства (4) называются параметрическими уравнениями этой линии Тогда равенства (4), выражают координаты ( x, y) произвольной точки линии l как функции вспомогательной независимой переменной t (параметра) В то время как параметр t пробегает промежуток T, точка ( x, y) вычерчивает линию l на плоскости XOY Пример 3 Рассмотрим параметрические уравнения x acost y bsi t t [ π ] Функция x = acost убывает на промежу тке [, π ] и, следовательно, она взаимно - однозначна на нем Поэтому равенства (6) определяют функцию y = f( x) с областью определения X = a cos( T) = [ a, a] и областью значений Y = bsi( T) = [, b] Исключим из данных формул параметр t =, =,, (6 x = cos t, y = si t, откуда x + y = a b a b Таким образом, уравнения (6) являются параметрическими уравнениями верхней части эллипса Если предположить, что t [ π, π ], то получим уравнения нижней части эллипса Соответственно для t [, π ] уравнения (6) будут в силу π - периодичности синуса и косинуса задавать замкнутую кривую: эллипс Заметим, что выбор параметра t при задании функции y = f( x) в параметрической форме неоднозначен Поэтому одна и та же функция может быть записана различными параметрическими уравнениями 4 Элементарные функции В курсе математического анализа нам будут встречаться в основном элементарные функции К ним относятся все алгебраические функции (целые рациональные, дробно- рациональные, иррациональные), элементарные трансцендентные функции (степенная с иррациональным показателем, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и обратные тригонометрические функции), а затем все функции, полученные )

23 из них с помощью четырех арифметических действий и операции взятия функции от функции, примененных последовательно конечное число раз Элементарная функция всегда может быть задана аналитически Мы не будем относить к классу элементарных функции, заданные более чем одной формулой при условии, что задать их одним выражением невозможно Пример 4 Функция y = lg(x+ x + 4) является элементарной Пример 5 Функция, если x y = si x+ если x> элементарной не является 5 Вопросы для самоконтроля к главе Сформулируйте основные свойства множества вещественных (действительных) чисел Дайте определение абсолютной величины вещественного числа Сформулируйте её свойства 3 Дайте определение ε - окрестности конечной точки, ε - окрестности бесконечной точки 4 Сформулируйте, какие множества называют открытыми, замкнутыми 5 Дайте определения отображения множеств Приведите примеры 6 Д айте определение функции одной вещественной переменной, её области определения, множества значений, графика функции 7 Перечислите способы задания функции 8 Дайте определение сложной функции Приведите примеры 9 Дайте определение и приведите примеры чётной функции, нечётной функции, функции общего вида Укажите, какими свойствами обладают их графики Дайте определение периодической функции Приведите примеры Сформулируйте определения функции, ограниченной на данном множестве Приведите примеры Что такое взаимно - однозначная функция? Сформулируйте, какие функции называют монотонными 3 Дайте определение обратной функции Укажите условия её существования 4 Какие обратные тригонометрические функции Вам известны? Укажите области их задания и множеств а значений 5 Вспомните, какие функции называются элементарными

24 Глава Предел функции Числовая последовательность При изучении различных разделов математического анализа достаточно часто приходится иметь дело с функциями, определенными на множестве натуральных чисел Определение и способы задания числовой последовательности Определение Функция, заданная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью Итак, пусть задана последовательность f : N R Значения функции в данном случае образуют счётное множество и их обычно обозначают так: f() = x, f() = x, f(3) = x3, L, f( ) = x, L По сложившейся традиции совокупность чисел x, x, L, x, L также называют бесконечной числовой последовательностью и обозначают { x } При этом сами числа x называют членами последовательности, а выражение x = f ( ) - общим членом последовательности { x } Для задания последовательности достаточно каким-либо способом задать функцию f Очевидно, что способы ее задания, то есть способы задания последовательности { x } могут быть различны (см способы задания функций (пункт 4))Очевидно, что последовательность задана, если указан ее общий член Пример Пусть x = si π, тогда последовательность { x} = {si π} имеет вид,,,,,,l, при нечетном Пусть x =, при четном Данная последовательность имеет вид,,,,,l 3 Пусть x = и x = x + 3 для каждого Вид последовательности { x } будет таким: 58,,,,L Заметим, что рассмотренная последовательность есть арифметическая прогрессия с первым членом равным и разностью равной 3

25 4 Пусть x =, x =, x+ = x + x, Соответственно, задана последовательность 66,,,,,L Способ задания последовательности, при котором её последующие члены определяются как функции предыдущих, называется рекуррентным Очевидно, что для однозначного задания последовательности в этом случае необходимо знать начальные данные Последовательность { x } может быть изображена на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны величинам соответствующих членов последовательности Ограниченность числовой последовательности Последовательность может быть ограниченной или неограниченной (те не являющейся ограниченной) Дадим определение ограниченной последовательности Определение Последовательность { x } называется ограниченной, если существует число M >, такое, что для всех N выполняется неравенство x M То есть, по определению ({ x } ограничена) ( M > : N x M) или, используя понятие окрестности ({ x } ограничена) ( L> : N x R ()) L Заметим, во-первых, что число M не обязано быть наименьшим, из всех подходящих по условию чисел, а во-вторых, что в качестве числа L в определении, использующем понятие окрестности, можно брать любое L, удовлетворяющее условию L > M Аналогично, последовательность { } x называют ограниченной сверху (справа), если все ее члены не превосходят некоторого числа M, и ограниченной снизу (слева), если все ее члены не меньше некоторого числа m Очевидно, что ограниченная последовательность ограничена как слева, так и справа Если же последовательность ограничена с одной стороны, то она может быть неограниченной Очевидно, что определение неограниченности (как отрицания ограниченности) будет следующим: Определение 3 Последовательность { } если для любого числа M >, найдется такое неравенство x > M x называется неограниченной, N, что выполняется ({ x } неограничена) ( M > : N x > M)

26 Пример Последовательность { x } { = } ограничена, так как при всех N верно неравенство x Последовательность { x} = { 5} ограничена снизу, так как x 4 при всех N 3 Последовательность { x} = { } ограничена сверху; так как x 3 / 4 Последовательности { 5} и { } не являются ограниченными Отметим, что, так как последовательности - это функции, заданные на подмножестве N множества R (см определение ), то они обладают всеми теми свойствами ограниченных функций, которые перечислены в пункте 46 3 Монотонность Определение 4 Последовательность { x } называется возрастающей, если для любых N выполняется соотношение x+ > x, означающее, что последующий член последовательности всегда больше предыдущего Последовательность { x } называется убывающей, если для любых N выполняется соотношение x+ < x, означающее, что последующий член последовательности всегда меньше предыдущего Если последовательность { x } возрастает на или убывает, то она называется строго монотонной Последовательность { x } называется неубывающей, если для любых N выполняется соотношение x+ x, означающее, что последующий член последовательности всегда не меньше предыдущего и невозрастающей, если для любых N выполняется соотношение x+ x, означающее, что последующий член последовательности всегда не больше предыдущего Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными Пример 3 Докажем, что последовательность x = монотонна Для доказательства монотонности достаточно определить знак разности x + x при всех N Итак, ( + ) ) ( ) x+ x = ( + ) = ( + ) + = > при N + + ( ) Доказано строго монотонное возрастание 4 Конечный предел последовательности Наибольший интерес представляет поведение последовательностей в тех случаях, когда их аргумент стремится к бесконечности, принимая значения

27 строго в порядке возрастания = 3,,,L Определение 5 Число a называется пределом последовательности { x },если для любого положительного числа ε найдется такой номер N, зависящий от ε, что для всех > N выполнено неравенство x a < ε Тот факт, что число a есть предел последовательности { x }, записывается так: lim x = a или x a (lim есть сокращение латинского слова limes, которое означает "предел") Говорят также, что a - предельная точка последовательности { x } Итак, по определению, (lim x = a) ( ε > N = N( ε) : > N x a < ε) Так как ( x a < ε ) ( x R ( a)), то требование выполнения неравенства ε x a < ε в определении может быть заменено требованием принадлежности x окрестности R ε () С геометрической точки зрения определение lim x = a означает, что какова бы ни была ε - окрестность точки a, начиная с некоторого номера, все точки x попадут в эту окрестность; то есть вне ее останется лишь конечное число членов Отсюда следует, что две последовательности, отличающиеся между лишь собой конечным числом членов, ведут себя одинаково с точки зрения наличия у них конечного предела a ( ) Пример 4 Докажем, что lim = Пусть ε - произвольное положительное число Найдем для него такой номер N, для которого выполнение условия > N влечёт за собой выполнение неравенства < ε или, что эквивалентно, неравенства / < ε ( ) Последнее же неравенство выполняется в случае, если > / ε, поэтому N можно положить равным целой части числа / ε Тогда из неравенства ( ) > N < ε, то есть по определению (см определение 5) данный предел равен Что и требовалось доказать 5 Бесконечный предел последовательности Определение предела последовательности, сформулированное с помощью ε - окрестности, имеет смысл и в том случае, когда вместо конечного числа a стоит бесконечность (, + или ) Получаем: (lim x = ) ( ε > N = N( ε) : > N( ε) ( x R ε ( )) Вспомним, что ( x R ( )) ( x > / ε ) ε

28 С учетом этого, определение бесконечного предела означает, что для любого наперед заданного числа M = / ε найдется соответствующее ему число N, такое, что для всех > N выполнено неравенство x > M Определение 6 Последовательность, предел которой равен, называют бесконечно большой Аналогично, вспомнив определения R ε ( + ) и R ε ( ) (см опр 4) получим: (lim x =+ ) ( ε > N = N( ε) : > N( ε) x > ), ε (lim x = ) ( ε > N > N( ε) : > N( ε) x < ) ε В первом случае говорят о том, что последовательность { x } бесконечно большая и положительная, а во втором - последовательность называют бесконечно большой и отрицательной Наличие в первом случае конечного числа отрицательных членов, а во втором - конечного числа положительных членов как отмечалось выше (см пункт 4) не влияет на предел Очевидно, что lim( x ) =+, а lim(5 ) = Принята терминология, согласно которой последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а имеющая бесконечный предел или не имеющая предела, называется расходящейся Ecли сравнить определения бесконечно большой последовательности (см опр 6 ) и неограниченной последовательности (см опр 3), то станет очевидной следующая теорема Теорема (о неограниченности бесконечно большой) Если последовательность { x } бесконечно большая, то она неограниченная Замечание Обратная теорема не верна, то есть из неограниченности не следует существование бесконечного предела Действительно, рассмотрим последовательность, при нечетном x =, при четном Эта последовательность не ограничена, но при этом не является бесконечно большой, так как вообще не имеет предела 6 Свойства последовательностей, имеющих конечный предел Теорема ( о единственности предела) Если последовательность имеет конечный предел, то этот предел единственен Доказательство Проведем доказательство от противного Предположим, что lim x = a, иlim x = b, где a b Возьмем произвольное ε > Тогда (lim x = a) ( N = N ( ε ) : > N x a < ε ),

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математического анализа Т. И. Коршикова, Ю.

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Е. А. ТРОФИМОВА С. В. ПЛОТНИКОВ Д. В. ГИЛËВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

Математика БкПл-100. М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр. Тема 1. Множества и функции

Математика БкПл-100. М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр. Тема 1. Множества и функции Математика БкПл-100 М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Тема 1. Множества и функции 1 Дисциплина «Математика» Основные разделы: математический анализ; логика, линейная алгебра; теория вероятностей.

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

( C x A) x C. (2) Можно сказать, что множество ограничено сверху (снизу), если множество его верхних (нижних) границ непусто.

( C x A) x C. (2) Можно сказать, что множество ограничено сверху (снизу), если множество его верхних (нижних) границ непусто. 1.3. Предел последовательности 3.1. Расширенная числовая прямая. Точные верхняя и нижняя границы. ТЕОРИЯ Множество R вещественных чисел характеризуется наличием в нем алгебраических операций сложения и

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее