СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей математики СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Минск МГЭУ им АД Сахарова

2 ББК я УДК 6) С Авторы-составители: старший преподаватель кафедры физики и высшей математики МГЭУ им АД Сахарова ЕП Борботко; доцент кафедры физики и высшей математики МГЭУ им АД Сахарова, кандидат педагогических наук ТЕ Кузьменкова; доцент кафедры математики и МПМ УО МГПУ, кандидат педагогических наук ВВ Пакштайте; преподаватель кафедры физики и высшей математики МГЭУ им АД Сахарова АВШевцова Рецензенты: кандидат физико-математических наук, зав кафедрой математического анализа УО МГПУ ВВ Шкут; кандидат физико-математических наук, зав кафедрой экологических информационных систем ВА Иванюкович Рекомендовано к изданию научно-методическим советом МГЭУ им АД Сахарова протокол 9 от мая г) Справочное пособие по решению задач курса аналитической геометрии и линейной алгебры / Сост: ЕП Борботко, ТЕ Кузьменкова, ВВ Пакштайте, АВ Шевцова Мн: МГЭУ им АД Сахарова с Предлагаемое учебное пособие содержит определения основных понятий аналитической геометрии и линейной алгебры, соответствующие формулы и примеры решения задач ББК я УДК 6) Борботко ЕП, Кузьменкова ТЕ, Пакштайте ВВ, Шевцова АВ, УО «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова»,

3 Предисловие Данное пособие посвящено решению задач аналитической геометрии и линейной алгебры и включает в себя следующие темы: векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая геометрия в пространстве, матрицы и действия над ними, системы линейных уравнений В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, методы решения) Затем следуют примеры решения несложных типовых задач с подробными пояснениями В конце пособия предлагается список задач различной степени трудности для самостоятельного решения Пособие предназначено для самостоятельного изучения аналитической геометрии и линейной алгебры студентами -го курса

4 Элементы векторной алгебры в пространстве Векторы в пространстве Любой вектор раскладывается по базисным векторам прямоугольной системы координат: i j k Координаты вектора Если в пространстве заданы две точки A ; ; ), B ; ; ), то координаты вектора AB ; ; ) равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:,,, те AB - ; - ; - ) Пример A; -; ), B; ; -) Пусть AB ; ; ) Тогда имеем: -- ; --); -)-- Следовательно, AB -; ; -) Сложение и вычитание векторов Пусть даны два вектора ; ; ), ; ; ) Тогда вектор, равный сумме этих векторов, будет иметь координаты ; ; ) вектор, равный разности этих векторов, имеет координаты: - - ; - ; - ) Пример Вектор d c, если ; ; ), ; ; ), c ; -; ), будет иметь следующие координаты: -; --); -, те d ; ; ) Умножение вектора на число При умножении вектора ; ; ) на число α, на это число умножается каждая координата данного вектора, те вектор α α ; α ; α ) Пример ; 6; -) Вектор ; ; ) Условие коллинеарности векторов Два вектора ; ; ) и ; ; ) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны: Пример Векторы ; -; ) и -6; ; -9) коллинеарны, так как ; ;, те 6 9

5 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: cosϕ Скалярное произведение вектора ; ; ) на вектор ; ; ), заданных относительно прямоугольной системы координат, равно сумме произведений соответствующих координат сомножителей: Пример Скалярное произведение векторов ; -; ) и ; ; -) вычисляется так: ) ) Длина вектора Из свойств скалярного произведения векторов следует, что длина вектора Если вектор задан относительно прямоугольной системы координат ; ; ), то длина его вычисляется с помощью формулы Пример 6 Длина вектора ; -; -) равна ) ) 6 Угол между векторами Косинус угла ϕ между двумя векторами ; ; ) и ; ; ), заданными в прямоугольной системе координат, находится так: cosϕ cosϕ Пример Даны векторы ; -; ), -; ; 6) ) ) 6 cosϕ ) ) 6 Условие перпендикулярности двух векторов Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно, Если эти векторы даны в прямоугольной системе координат: ; ; ) и ; ; ), то условие перпендикулярности выражается через координаты векторов: Пример 8 Найти вектор, зная, что он перпендикулярен векторам ; ; -) и ; -; ) и удовлетворяет условию c 6, где c ; -; ) Решение Пусть вектор имеет координаты ; ; ) Так как перпендикулярен и вектору, и вектору, то можно записать, что и или - и - Кроме того, по условию задачи c 6 Получим равенство --6

6 Итак,,, 6 Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными координатами вектора Решая ее, находим -, ; Ответ -; ; ) Координаты единичного вектора Если длина вектора ; ; ) равна единице,, то координатами этого вектора являются косинусы углов, которые этот вектор образует с базисными векторами i, v j, k прямоугольной системы координат, те cos, i ), cos, j), cos, k ) Векторное произведение векторов Векторным произведением двух векторов и называется вектор, обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям: ) длина этого вектора равна произведению длин данных векторов на синус угла между ними: sin, ) ; ) вектор перпендикулярен как вектору, так и ; ) векторы,,, взятые в указанном порядке, составляют правую тройку векторов Векторное произведение зависит от порядка сомножителей: ) Если,, то векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны Пример 9 Найдем векторное произведение ) ) По свойствам векторного произведения находим: ) ) ) ) 6 ) ) Вычисление векторного произведения Если векторы i j k, i j k даны в прямоугольной системе координат, то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой i j k i j k, те вектор имеет координаты 6

7 ; ; Пример Вычислим координаты векторного произведения ), если ; ; ), ;; ) По свойствам векторного произведения находим ) ) Вычислим ) : i j k i j k i j k Итак, ;-;) Следовательно, ;-;) Вычисление площади треугольника Если три точки A ; ; ), B ; ; ), Cх ; ; ) даны относительно прямоугольной системы координат, то площадь треугольника ABC можно найти с помощью векторного произведения векторов AB и AC : S ABC AB AC Пример Пусть даны точки A; ; ), B; ; -), C; ; 6) Тогда для нахождения площади треугольника ABC найдем сначала координаты векторов AB и AC : AB ; -; -) и AC ; ; 6) Вычисляем векторное произведение: i j k AB AC i j k i j 8k Итак, S ABC AB AC -; -; 8) Отсюда ) ) 8 кв ед) Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов,, c называется число, равное векторному произведению, умноженному скалярно на вектор c, то есть ) c Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах,, c Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей: ) c c) c ) Смешанное произведение меняет знак на противоположный при всякой перестановке, изменяющей последовательность сомножителей: ) c ) c; ) c c) Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы,, c компланарны

8 Вычисление смешанного произведения векторов Если векторы ; ; ), ; ; ), c c ; c ; c ) заданы относительно прямоугольной системы координат, то смешанное произведение векторов вычисляется: c c c c Пример Смешанное произведение векторов ; ; ), -; ; ), c ; -; ) равно c Условие компланарности трех векторов Три вектора,, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, те ) c В координатах векторов ус- ловие компланарности записывается так: c c c Пример Докажем, четыре точки A; ; -), B; ; ), C-; ; ), D; ; ) лежат в одной плоскости Для этого найдем векторы AB, AC, AD Если заданные четыре точки лежат в одной плоскости, то эти векторы должны быть компланарны Следовательно, решение сводится к проверке условия компланарности Координаты векторов равны: AB ; ;6), AC ;;), AD ; ;) Составим определитель, вычислим его: 6 8 Отсюда следует, что три вектора AB, AC, AD компланарны, те четыре данные точки лежат в одной плоскости 8

9 Вычисление объема тетраэдра Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда, те для вычисления объема тетраэдра можно использовать смешанное произведение векторов Так, если даны координаты четырех вершин тетраэдра относительно прямоугольной системы координат A ; ; ), B ; ; ), C,, ), D,, ), то объем тетраэдра равен модуля смешанного произведения векторов: 6 V тетр AB AC) AD 6 Пример Вершины тетраэдра находятся в точках A; -; ), B; ; ), C; ; -), D; ; ) Находим координаты векторов: AB ; 6; ), AC ; ; -), AD ; ; ) Далее 6 V тетр 8 куб ед) 6 6 и, если Примеры решения задач Задача Коллинеарны ли векторы c и c, построенные по векторам ; ; 6), ; ; 8), c, c? Решение Находим координаты векторов c и c, получаем c ; ;), c 9; ; 8) Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны Составим пропорцию: 9 8 Она не выполняется, тогда векторы c и c не будут коллинеарными Ответ Векторы не коллинеарны Задача Найти косинус угла между векторами AB и AC, если A; ; -), B; ; -), C; ; -) Решение Находим координаты векторов AB ; ; ), AC ; ; ) Тогда Ответ 9 8 AB AC 8 cos α 9 AB AC AB и AC, получаем 9

10 Задача Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах p q, p q, p, q, если α p, q ) π Решение Известно, что 9 p q) p q) p q) S Тогда p q) p q) p p) 9 p q) q p) q q) π S p q p q sinα sin 9 9 кв ед Ответ 9 кв ед Задача Компланарны ли векторы 6; ; ), ; ; ), c;; )? Решение Векторы,, c будут компланарны, если их смешанное произведение равно нулю Проводим вычисления: 6 c ) , те данные векторы компланарными не будут Ответ Нет Задача Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A ; ;), A ;; ), A ; ; ), A ;; ) и его высоту, опущенную из вершины A на грань A A A Решение Известно, что V m A A A A A A ) Находим координаты векторов, получаем A A ; ;), A A ; ; ), A A ; ; ) 6 A A A A A A ) 9 V куб ед Находим площадь грани A A A : S кв ед 9 V 9 9 Тогда V Sосн H, отсюда H 9 9 Ответ V 9 куб ед, 9 H S осн

11 Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат на плоскости Деление отрезка в данном отношении Пусть заданы две точки своими координатами: M ; ) начало отрезка, M ; ) конец отрезка, и некоторое число λ - Разделить отрезок M M в отношении λ это значит найти координаты, ) такой точки С, что M C λcm Формулы для вычисления координат точки деления С следующие: λ λ, λ λ При пользовании этими формулами нельзя путать координаты начала и конца отрезка) Если требуется разделить отрезок пополам, то λ и координаты, точки C середины отрезка М М равны, Пример Отрезок АВ разделен на три равные части Найти координаты точек деления, если А -; 6), В ; ) Решение Пусть A начало отрезка, B конец отрезка, C первая точка деления, D вторая Находим координаты точки С Отношение λ, в котором точка С делит отрезок АВ, согласно определе- АС нию, равно λ СВ ) 6 Следовательно,, с Итак, С -; ) c Для точки D второй точки деления, отношение λ ) 6 AD Отсюда Таким образом, D ; ) D, Ответ C -; ), D ; ) D DB

12 Расстояние между двумя точками Расстояние между двумя точками A ; ), B ; ), заданными относительно прямоугольной системы координат, вычисляется как длина вектора AB, те d AB ) ) Пример Расстояние от A ; -) до B ; ) равно Ответ d d ) )) 69 Центр тяжести треугольника Координаты центра тяжести треугольника точки M;)), вершины которого находятся в точках A ; ), B ; ), C ; ), находятся с помощью формул, Пример Координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках А ; ), В ; -) и С ; ) равны, ) Итак, центр тяжести находится в точке М ;) Ответ М ;) Примеры решения задач Задача Три последовательные вершины параллелограмма имеют координаты А ; -), В -; ), С ; 6) Найти координаты четвертой вершины D Решение Диагонали параллелограмма в точке пересечения О делятся пополам Поэтому найдем точку О как середину отрезка АС по формулам 6, Получаем ;, т е О ; ) Пусть и координаты точки D, тогда по формулам координат середины отрезка имеем, Откуда,, те D;) Ответ ; ) Задача Доказать, что треугольник с вершинами А ; ), В ; ), С; -) прямоугольный Решение Зная стороны,, c треугольника, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора, можно установить, является ли данный треугольник прямоугольным c ), остроугольным c > ) или тупоугольным < c ) Найдем длины сторон данного треугольника по формуле d ) )

13 Находим длину стороны АВ: AB ) ) Находим длину стороны АC: AC ) ) Находим длину стороны ВC: BC ) ) ) Квадраты длин сторон будут соответственно равны: АВ, АС, ВС, откуда ВС АВ АС Последнее равенство означает, что треугольник прямоугольный Задача В треугольнике с вершинами А ;), В 6;) и С 6;-) найти длину биссектрисы BN Решение Из элементарной геометрии известно, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам Найдем длины этих сторон По формуле d ) ) имеем AB 6 ) ), BC 6 6) ) 8 Следовательно, AB : BC :8: и AN : NC :, где N ; ) точка пересечения биссектрисы угла B со стороной АС λ Координаты точки N определим по формулам λ, λ λ В данном случае,, 6, -, λ, поэтому 6 ) ; Итак, N ; ) 8 Вычислим длину BN : BN 6 ) ) Ответ 8 Задача На осях координат найти точки, каждая из которых равноудалена от точек А ;) и В ;) Решение Пусть М и М искомые точки, и точка М лежит на оси O, ее координаты х;) Точка М лежит на осиo, ее координаты ;у) Так как точки М и М одинаково удалены от точек А и В, то М АМ В, М АМ В Воспользуемся формулой d ) ) Получаем ) ) ) ) и ) ) ) ) Решаем полученные уравнения:

14 -х) -х) 9, -хх 9-6хх 9, х6, -у) 9-у), -уу 99-уу, у6, Тогда ; M ), M ; ) Ответ ; ), ; ) Уравнение линии на плоскости Под линией на плоскости понимается некоторое множество точек, обладающих определенным, только им присущим геометрическим свойством, координаты которых относительно некоторой системы координат удовлетворяют уравнению F, ) Чтобы составить уравнение линии, необходимо: ) взять произвольную точку данного множества с текущими координатами, ); ) записать общее свойство точек данного множества в виде равенства; ) выразить входящие в это равенство величины с помощью координат Порядок линии не зависит от выбора системы координат) Для проверки принадлежности данной точки M ; ) какой-то определенной линии необходимо подставить координаты ; ) этой точки в уравнение данной линии Если при этом получается тождество, то точка лежит на соответствующей линии; если тождества не получается, то точка М не лежит на данной линии и F ) Координаты точек пересечения двух линий, уравнения которых F ; ) ;, находятся из системы уравнений F ; ), F ; ) Если система имеет действительные решения, то линии пересекаются, причем число точек пересечения равно числу решений системы Если действительных решений нет, то линии общих точек не имеют Примеры решения задач Задача Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух данных точек А -; ), В ; ) Принадлежат ли этому множеству точки С ; ), D ;,)?

15 Решение Пусть M, ) произвольная точка искомого множества В условии дано, что все точки множества обладают геометрическим свойством одинаковой удаленности от точки A и точки B Те ρ А; М ) ρ В; М ) Запишем это равенство через координаты точек A, B, M По формуле расстояния между двумя точками получаем: ρ А; М ) х ) у ), ρ В ; М ) х ) у ) Так как эти расстояния должны быть равны, то х ) у ) х ) у ) Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки: х х у у х х 9 у у Отсюда получаем уравнение искомого множества точек: 6х6у- 69 уравнение прямой Проверяем, принадлежит ли этому множеству точка С Для этого подставляем координаты точки С в левую часть полученного уравнения: Следовательно, точка С не принадлежит этому множеству Для точки D имеем: 6 6,-69 Итак, точка D лежит на данной прямой Ответ Уравнение множества точек 6х6у-69, точка С не принадлежит линии, точка D принадлежит линии Задача Найти точку пересечения двух окружностей, заданных уравнениями х-) у-6), х) у-6) Решение Чтобы найти координаты точек пересечения данных линий, необходимо решить систему уравнений ) 6), ) 6) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем систему 6, 8 Вычитая второе уравнение из первого, получаем х8, откуда х Второе уравнение при х сводится к квадратному уравнению относительно : у -у Решая его, находим у, у Следовательно, данные окружности пересекаются в двух точках: М ;), М ;) Ответ М ;), М ;) Задача Точка М движется так, что в любой момент времени ее расстояние до точки А 6;) втрое больше расстояния до точки В ;) Найти уравнение траектории движения точки М

16 Решение Пусть, ) текущие координаты точки М По условию задачи MA MB Выразим расстояния MAи MB через координаты точек, используя формулу: d ) ) 6) ) МА ; МB ) ) MA MB 6) ) Подставляя эти выражения в равенство траектории движения точки М: ), получим уравнение Откуда х-6) у 9х- ) у ), х -х6у 9х - х )9у, 9 х -х6у 9х -х9у, 8х 8у, х у Получили уравнение окружности радиуса R c центром в начале координат Ответ х у Прямая на плоскости Всякая прямая относительно прямоугольной системы координат на плоскости определяется уравнением первой степени И обратно, всякое уравнение первой степени относительно координат, описывает некоторую прямую на плоскости Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором Различные способы задания прямой Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором Пусть дана некоторая прямая, которая проходит через точку M с известными координатами,, параллельно направляющему вектору а, координаты которого также известны и равны, ) Уравнение этой прямой можно записать в виде Это равенство называется каноническим уравнением прямой Пример Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М -;) и имеющей направляющий вектор а ;-) запишется так: 6

17 Параметрические уравнения прямой Существует еще один вид уравнения прямой, проходящей через данную точку M, ) и имеющей данный направляющий вектор а ):, t, t, где t параметр, принимающий все действительные значения Этот вид называется параметрическими уравнениями прямой Пример Составим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Р -;) параллельно вектору р ;-) Подставляя данные задачи в параметрические уравнения прямой, получим t, t Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пусть некоторая прямая проходит через две точки с известными координатами: M ; ), M ; ) Уравнение этой прямой имеет вид Пример Составить уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами в точках А ;), В 6;), С ; ) Решение Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ Пользуясь уравнением прямой по двум точкам и полагая,, 6,, имеем,, ху-8 6 Составляя уравнение прямой, на которой лежит сторона ВС, считаем 6,,, : 6, 6 6, х-у- При нахождении уравнения прямой АС считаем,,, :, х Ответ АВ: ху-8; ВС: х-у-; АС: х- Уравнение прямой в отрезках по осям Пусть прямая отсекает на оси O отрезок величины, на оси O отрезок В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

18 Пример Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой х-у- Решение Чтобы найти величины и, необходимо данное уравнение записать в виде Для этого перенесем свободный член в правую часть равенства и затем разделим обе части на : х-у, Ответ ; - Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угловым коэффициентом k некоторой прямой называется число, равное отношению координат направляющего вектора а, ) этой прямой, те k Если прямая задана относительно прямоугольной системы координат, то угловой коэффициент k есть тангенс угла α наклона данной прямой к положительному направлению осиo : k tgα, α p π ) Уравнение прямой, заданной точкой M, ) и угловым коэффициентом k имеет вид: k ) Пример Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k - и проходящей через точку М ;-), запишется так: у х-), у х, ху Если в качестве точки M, ) взять точку B ; ) пересечения прямой с осью ординат, то получим уравнение k Пример 6 В прямоугольной системе координат уравнение прямой, отсекающей на оси O отрезок, и образующей с осью O угол, будет иметь вид или, так как k tg Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Если прямая проходит через данную точку M, ) перпендикулярно данному вектору n A; B ) вектор n называется нормальным вектором данной прямой), то ее уравнение имеет вид A ) B ) Пример Уравнение прямой, проходящей через точку М -;) и имеющей нормальный вектор n ;-), будет следующим: 8

19 х -, у, А, В-): х)-у-), х-у, х-у Общее уравнение прямой Каким бы способом ни была задана прямая, ее уравнение всегда можно привести к уравнению вида A B C, которое называется общим уравнением прямой Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой Коэффициенты B; A) общего уравнения прямой A B C являются координатами направляющего вектора а данной прямой, те а B ; A ) Коэффициенты A ; B) есть координаты нормального вектора данной прямой, те n A С A ; B) Угловой коэффициент прямой равен k, а отношение - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси O B В Пример 8 Если прямая дана общим уравнением х-у относительно прямоугольной системы координат, то ее нормальный вектор имеет координаты n ;-), направляющий вектор а ;) Чтобы найти угловой коэффициент, решаем уравнение относительно : ух, у х Сравнивая это уравнение с уравнением прямой с угловым коэффициентом, находим, что k, а отрезок, отсекаемый прямой на оси O, есть Пример 9 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А ;) перпендикулярно к прямой х-у Решение Направляющий вектор заданной прямой х-у есть вектор а ;) Этот вектор, согласно условию, должен быть перпендикулярен искомой прямой Следовательно, мы должны использовать уравнение прямой по точке и нормальному вектору, чтобы найти уравнение искомой прямой: х-)у-), ху-6 Ответ ху-6 Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки M, ) до прямой A B C вычисляется по формуле ρ M, d ) A 9 B A B C Пример Найти расстояние от точки С -;) до прямой х-у

20 Решение Воспользуемся формулой ρ M, d ) Так как в данном случае х -, у, А, В-, то ) d ) A B A B C Ответ Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности прямых Тангенс угла между прямыми, уравнения которых относительно прямоугольной системы координат заданы в виде k и k, вычисляется по формуле k k tg ϕ, k k причем угол принято отсчитывать против часовой стрелки от первой прямой ко второй Необходимое и достаточное условие параллельности заданных прямых выражается равенством k k, а условие перпендикулярности k k Если прямые относительно прямоугольной системы координат заданы общими уравнениями d : A B C и d : A B C, то тангенс угла между ними определяется формулой A B A B tg ϕ, A A B B а косинус угла между ними cos ϕ А А А А A A A B B Необходимое и достаточное условие параллельности прямых есть В, условие перпендикулярности А А В В, условие совпадения В В С В С A B B Пример Угол между прямыми, заданными уравнениями у х-, ху-9, вычисляется по формуле tg ϕ k k k, а k находится из второго уравнения: у х9, k k k, принимая во внимание, что

21 tg, ϕ ) ϕ Пример Указать, какие из следующих прямых ) х-у; )ху-; ) х-у; )х6у-; параллельны и перпендикулярны Решение Так как прямые заданы общими уравнениями, проверим условия параллельности и перпендикулярности прямых А А Для первых двух прямых отношения В, следовательно, прямые ) и ) параллельны В А А ; В В, те Для первой и третьей прямых проверяем условие перпендикулярности: A A BB ), те условие А А В В выполняется Следовательно, прямые ) и ) взаимно перпендикулярны Легко видеть, что условие перпендикулярности выполняется и для прямых ) и ): А А В В ) Ответ Прямые ) и ) параллельны, ) и ) перпендикулярны, ) и ) перпендикулярны 6 Примеры решения задач Задача Для прямой - найти координаты направляющего и нормального векторов, угловой коэффициент, величины отрезков, отсекаемых на осях координат Решение Координаты направляющего вектора равны - B; A ), те,) Координаты нормального вектора n равны A; B ), те n,-) Угловой A коэффициент k Если, то, ; если, то, B Величины отрезков, отсекаемых на осях координат, равны, Ответ,), n, ), k,, Задача Задан треугольник ABC координатами своих вершин: A -, ), B, ), C, -) Найти: а) периметр треугольника; б) точку пересечения медиан; в) уравнение стороны AB; г) уравнение высоты, опущенной из C;

22 д) длину этой высоты Решение а) Находим длины сторон треугольника по формуле d ) : ) AB ) ) 6 ; BC ) ) 6 ; AC ) ) 9 ; p б) Точку пересечения медиан треугольника находим по формулам, Тогда,, те M ; ) в) Составляем уравнение прямой AB по двум точкам:, -), -9 г) Находим угловой коэффициент прямой AB, k AB, тогда k CD, где CD высота, опущенная из вершины С Составим уравнение CD по точке C и угловому коэффициенту: --); - д) Длину высоты CD найдем как расстояние от точки C до прямой AB: ) 9 CD ρ C, AB) 6 Ответ а) p, б) M ; ), в) -9, г) -, д) Задача Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения медиан треугольника, стороны которого лежат на прямых -8, --, 6- Решение Пусть данные уравнения описывают соответственно прямые AB, BC, AC Пусть AM и BN медианы треугольника ABC Найдем координаты вершин данного треугольника, для этого решаем три системы уравнений: 8,, тогда B6, ), тогда С-, -),, 6, 8, тогда A, ) 6, Точка пересечения медиан треугольника имеет координаты: 6 ; Составим уравнение искомой прямой

23 Ответ -, или ; - Задача Найти координаты точки, симметричной точке М -; 9) относительно прямой х-у8 система координат прямоугольная) Решение Обозначим точку, симметричную точке М, через М Эти две точки расположены на одинаковых расстояниях от заданной прямой Пусть точка А середина отрезка ММ, лежащая на данной прямой х- у8 Кроме того, прямая ММ перпендикулярна заданной прямой Используем эти условия: написав уравнение прямой ММ, мы можем найти координаты точки А как точки пересечения двух прямых, и далее с помощью формул координат середины отрезка можно вычислить координаты М Составляем уравнение ММ Находим угловой коэффициент заданной прямой k: 8, 6, k Угловой коэффициент k прямой ММ, перпендикулярной к данной прямой, равен: k Следовательно, уравнение ММ по форму- k ле k ) имеет вид -9 ), -8--6, - Вычисляем координаты точки А, для чего составляем систему уравнений, состоящую из уравнения данной прямой и прямой ММ : 8, х у 8,, х, у 8, 6 Итак, А ;6) Так как точка А середина отрезка ММ, используем формулы:, и получаем 9,, 6, Ответ М ;) Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями Алгебраической линией n -го порядка называется множество точек, определяемое алгебраическим уравнением n -й степени относительно декартовой системы координат В случае n линия называется линией второго порядка

24 Эллипс Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где, длины полуосей Точки пересечения эллипса с его осями симметрии, которые в данном случае совпадают с осями координат, называются вершинами Точки F -c;), F c;) фокусы эллипса, причем c - с Эксцентриситет ε эллипса есть число, равное ε < а Директориальное свойство: для любой точки эллипса справедливы равенства Директрисы эллипса прямые l иl определяются уравнениями - ε а, ε а ε, d d ε, где d, d расстояния от точки до соответствующей данному фокусу директрисы Пример Покажем, что уравнение х 6у 9 есть уравнение эллипса Найдем длины его осей, расстояние между фокусами, эксцентриситет Разделив обе части уравнения на 9, получим уравнение эллипса в каноническом виде: 6 Отсюда 6, те длина большой оси ; и длина малой оси Расстояние между фокусами находим по формуле c - с 6 Эксцентриситет эллипса ε с а 6 Гипербола Каноническое уравнение гиперболы При гипербола называется равносторонней Точки пересечения гиперболы с действительной осью, в данном случае совпадающей с осьюo, называются вершинами гиперболы Фокусы гиперболы F -c;), F c;), где c с Эксцентриситет гиперболы число ε, определяемое формулой ε > а Директрисы гиперболы прямые - ε а, ε а, директриса l соответствует фокусу F, l фокусу F l и l, определяются уравнениями

25 Директориальное свойство: ε, ε, где расстояние от левого d d фокуса до точки любой ветви гиперболы, расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы, d и d расстояния этих точек от директрис и l Асимптоты гиперболы определяются уравнениями, Уравнение - определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей; ветви ее пересекают ось O, фокусы лежат на оси O Пример Определим координаты фокусов и уравнения директрис гиперболы, уравнение которой 6 Это уравнение можно записать так:, те это уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой лежат на оси O По формуле c 6 : c 6 Отсюда F ;-), F ;) Уравнения директрис в данном случае будут у -, Находим экс- ε ε центриситет: ε с 8 Следовательно, уравнения директрис у и l O : Парабола Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси p, где p фокальный параметр расстояние от фокуса параболы до директрисы l ) Директриса l определяется уравнением х- р Вершина параболы совпадает с началом координат Фокус находится в р точке F ;) Парабола, симметричная относительно O и проходящая через начало координат, определяется уравнением q Ее фокус находится в точке F; q ),

26 уравнение директрисы имеет вид: у- q, а фокальный радиус точки М х;у) равен q Пример Получить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у 6х Вычислим расстояние от точки М;) параболы до фокуса Сравнивая уравнение у 6х с уравнением у рх, находим, что р6, р откуда р8, а Следовательно, фокус лежит в точке F;) В соответствии с формулой х- р получаем уравнение х- директрисы параболы Фокальный радиус точки М ;) по формуле р равен 8 Примеры решения задач Задача Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно, эксцентриситет ε 9 Решение Из условия задачи следует, что c, тогда с Так как c ε и c, то а9 Из равенства c получаем 8 9 Каноническое уравнение данного эллипса имеет вид 9 8 Ответ 8 Задача Составить каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 6, эксцентриситет ε Решение Из условия задачи следует, что 6, тогда а Так как c ε и, то c Так как c, то 9 6 Каноническое уравнение гиперболы примет вид 9 6 Ответ 9 6 Задача Для эллипса 9 9 найти длины полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис Решение Запишем уравнение эллипса в каноническом виде: 9 Тогда 9; ; ; Для эллипса c, c ; c 9 8, c 8 Тогда F, ),, ) F 6

27 c Эксцентриситет ε Уравнения директрис имеют вид ±, получаем ε 9 9 ±, ± или ± 9 Ответ,, F, ), F, ), ε, ± Задача Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M;), N ; ) Решение Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, необходимо найти его полуоси, те величины а и Так как эллипс проходит через точки M и N, их координаты должны удовлетворять уравнению эллипса Подставляем в каноническое уравнение эллипса сначала координаты точки M, затем точки N Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и : ) ), 9, 9, ),, ), 9, 9, 8, 8, 8, 8 Следовательно, каноническое уравнение эллипса будет иметь вид 8 8 Ответ 8 8 Задача Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси O симметрично относительно начала координат, если даны уравнения асимптот у± и уравнения директрис ± Решение Каноническое уравнение гиперболы Найдем значения а и

28 Общие уравнения асимптот у± Сравнивая с данными в условии задачи уравнениями, находим, что, отсюда Сравнивая общие уравне- а а ния директрис х± с заданными уравнениями, получаем, что, откуда ε ε с ε Выразим эксцентриситет через полуоси гиперболы: ε Возведем обе части равенства в квадрат: ε Подставляем в правую часть этого равенства полученное ранее равенство а: ε Чтобы найти а, возведем обе части равенства а ε в квадрат и подставим значение ε : а 6 ε 6 8 Итак, 8, а отсюда При найденных значениях а и каноническое уравнение гиперболы будет следующим: 8 Ответ 8 Задача 6 Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллисом и проходящей через точку М ;) Решение Найдем фокусы эллипса Из уравнения : а, По формуле c а - находим с - Значит, фокусы эллипса имеют координаты F ;) и F -;) По условию задачи гипербола имеет с эллипсом общие фокусы Значит, для искомой гиперболы в силу формулы c а имеет место равенство а -, откуда а - Каноническое уравнение гиперболы примет вид Точка М принадлежит гиперболе, значит, ее координаты удовлетворяют ) 9 уравнению гиперболы Получаем, 8,

29 -9- ) - ), -9 -, 6 - Решая полученное уравнение, получаем 9 Тогда а -96 Следовательно, уравнение искомой гиперболы имеет вид 6 9 Ответ 6 9 Задача Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси O и проходящей через точки пересечения прямой ху и окружности х у 8у Решение Находим точки пересечения прямой и окружности, для этого решаем систему уравнений,,,, ) 8, 8, 8, ), уу), у или у -,, Получаем и, Следовательно, О ;), М ;-) искомые точки пересечения Уравнение параболы, симметричной относительно оси O и проходящей через начало координат, имеет вид p Определим параметр р из условия, что парабола проходит через точку М;-) Подставляем координаты этой точки в уравнение параболы и получаем р -), откуда р- Следовательно, искомое уравнение параболы имеет вид х -у Ответ х -у 9

30 Аналитическая геометрия в пространстве Метод координат в пространстве Деление отрезка в данном отношении Координаты,, точки M, делящей отрезок M M в отношении λ, вычисляются по формулам λ λ, λ, λ λ λ Если точка M середина отрезка M M, то λ и формулы принимают вид,, В этих формулах ; ; ) координаты точки M начала отрезка, ; ; ) координаты точки M конца отрезка Пример Даны три вершины параллелограмма ABCD: A; -; ), B-; ; -), C; ; -) Найти его четвертую вершину D, противоположную B Решение Пусть E точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD Как известно, точка E делит диагонали пополам Используя формулы, где за,, примем координаты точки A, а за,, координаты точки C, находим координаты точки E:,, E; -; ) Зная координаты точки E середины отрезка BD, и координаты точки B начала отрезка BD, вычисляем по этим же формулам координаты точки D конца отрезка BD: Ответ D9; -; 6) 9; ; 6 Расстояние между двумя точками Расстояние ρ между двумя точками A ; ; ) и B ; ; ), заданными относительно прямоугольной системы координат в пространстве, определяется формулой ρ A, B) ) ) ) Пример На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки A- ; ; 8) равно Решение Так как искомая точка, обозначим ее B, лежит на оси абсцисс, то ее вторая и третья координаты равны нулю, те B ; ; ) Выразим расстояние от точки B до точки A через координаты этих точек Имеем

31 ρ A, B) )) ) 8) ) 8 По условию задачи это расстояние равно : ρ A, B), ) 8 Решаем это уравнение: 698, 6-,, - Следовательно, на оси O находятся две точки, удовлетворяющие условию задачи: B ; ; ) и B -; ; ) Ответ B ; ; ), B -; ; ) Уравнение поверхности и уравнение линии Уравнение с тремя переменными вида F; ; ) называется уравнением некоторой поверхности, если ему удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней С помощью уравнения поверхности аналитически записано то геометрическое свойство, которым обладают все точки данной поверхности Следовательно, зная геометрические свойства точек некоторой поверхности, можно написать уравнение, определяющее эту поверхность Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум уравнениям, составляет некоторую линию в пространстве линию пересечения соответствующих поверхностей То есть всякая линия в пространстве задается системой из двух уравнений, определяющих поверхности, пересечением которых она является: F ; ; ) G ; ; ) Пример Составить уравнение множества точек пространства, удаленных от точки C; ; -) на расстояние, равное Решение Пусть точка M; ; ) произвольная точка искомого множества Тогда согласно условию ρ M, C), те ) ) ) Возве- дем обе части этого равенства в квадрат, получим -) -) ) Это уравнение сферы с центром в точке C; ; -) и радиусом Ответ -) -) ) Плоскость Всякая плоскость относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве определяется уравнением первой степени и обратно: каждое уравнение первой степени определяет плоскость Различные способы задания плоскости Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам

32 Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве дана точка M ; ; ) некоторой плоскости и два неколлинеарных вектора l l ; l ; ), m m ; m ; ), параллельные этой плоскости l m Тогда уравнение плоскости можно записать так: l l l или в виде: l u m v, l u m v, l u m v, где u, v параметры Последние уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости Пример Если плоскость проходит через точку A;;) параллельно двум векторам ;;) и ;;), то уравнением этой плоскости будет уравнение вида: m m m Раскрывая определитель, получим -) -) -), -6- Можно написать и параметрические уравнения этой же плоскости: uv, uv, uv Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Если относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве даны точки M ; ; ), M ; ; ), M ; ; ), принадлежащие некоторой плоскости, то уравнение этой плоскости имеет вид: Пример Пусть плоскость проходит через точки M ; ; -), M -; ; ), M ; ; -) Тогда ее уравнение получаем так:

33 ) ), ) Раскрывая определитель, получаем уравнение искомой плоскости - Уравнение плоскости в «отрезках» Если некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки: а на оси O, на оси O, с на оси O, то уравнение этой плоскости имеет вид c Пример Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях координат O и O отрезки, соответственно равные и -, и проходящей через точку A; ; ) Решение Известны отрезки а и - Следовательно, уравнение искомой плоскости будет таким: Неизвестный отрезок c, отсекаемый c плоскостью на оси O, найдем из условия, что плоскость проходит через точку A, те координаты точки A должны удовлетворять уравнению плоскости:,,, с c c c Ответ Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат плоскость проходит через точку M ; ; ) перпендикулярно вектору n A; B; C) Уравнение этой плоскости будет иметь вид A- )B- )C- ) Пример Написать уравнение плоскости, зная, что точка P; -6; ) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость Решение Так как искомая плоскость проходит через точку P, то ; -6; Вектор OP будет вектором нормали к данной плоскости и его координаты совпадают с координатами точки P, OP ; -6; ) Отсюда A; B-6; C Следовательно, получим уравнение плоскости -)-66)-), -6-9

34 Общее уравнение плоскости Условие параллельности вектора некоторой плоскости Какими бы способами ни была задана плоскость, ее уравнение можно привести к виду A B C D Это уравнение называется общим уравнением плоскости Если плоскость задана относительно прямоугольной системы координат, то коэффициенты A, B, C этого уравнения служат координатами вектора нормали к данной плоскости: n A; B; C) Вектор p p; p; p ) параллелен плоскости, определяемой уравнением A B C D, тогда и только тогда, когда выполняется условие Ap Bp Cp Пример Вектор p ;6;) параллелен плоскости -, так как данное условие выполняется A; B; C-; p ; p 6; p ) Получаем 6 Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки M ; ; ) до плоскости, определяемой в прямоугольной системе координат общим уравнением A B C D, находится с помощью формулы A B ρ M, δ ) A B C Пример 6 Так, расстояние от точки A; ; -) до плоскости, заданной уравнением --, равно ) ) ρ A, δ ) ) Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Пусть заданы относительно прямоугольной системы координат две плоскости своими общими уравнениями A B C D и A B C D Угол ϕ между этими плоскостями вычисляется как угол между нормальными векторами плоскостей n A ; B; C), n A ; B; C ) : nn A A BB CC cosϕ cos n, n ) n n A B C A B C Условие перпендикулярности двух плоскостей есть условие перпендикулярности векторов n и n : C D A A B B C C

35 Условие параллельности двух плоскостей есть условие коллинеарности двух векторов n и n : A A B C B C Условие совпадения двух плоскостей: A A B C D B C D Пример Определить, при каком значении l плоскости, определяемые уравнениями -l-,, будут взаимно перпендикулярны Решение Для нахождения l используем условие перпендикулярности двух плоскостей Из уравнения первой плоскости A, B -, C l Из уравнения второй плоскости A, B, C Подставляем эти значения в условие перпендикулярности: ) l, l, l6 Ответ l6 Прямая в пространстве Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой Различные способы задания прямой Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору Прямая, проходящая через точку M ; ; ) параллельно направляющему вектору ; ; ), определяется или параметрическими уравнениями t, t, t, где t параметр, принимающий произвольные значения, или каноническими уравнениями вида: В этом уравнении отношения рассматриваются как пропорция, а не как дроби) Пример Составим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ; ; ) параллельно прямой, заданной каноническими уравнениями Так как искомая прямая должна быть параллельна данной, следовательно, обе они имеют один и тот же направляющий вектор Из уравнения данной прямой находим координаты общего направляющего вектора ;; ) Так как для искомой прямой, -, - координаты точки M ), запишем параметрические уравнения

36 t, -t, --t Прямая как линия пересечения двух плоскостей Прямая как линия пересечения двух плоскостей определяется системой уравнений этих плоскостей: A B C D, A B C D Координаты,, направляющего вектора этой прямой равны: B, B C C C, C A A A B, те ; ; ) A B Пример Даны уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей:, Напишем параметрические уравнения этой прямой Для этого найдем координаты направляющего вектора этой прямой:,, 8, те ;;8) В параметрические уравнения входят координаты ; ; ) некоторой точки M, через которую проходит прямая Чтобы их вычислить, решим систему уравнений, задающих прямую:,, поскольку координаты M должны удовлетворять уравнению прямой Придавая произвольное значение, например, получаем и :,,,, M ; -; ) Отсюда параметрические уравнения прямой t, -t, 8t Уравнения прямой, проходящей через две точки Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки M ; ; ), M ; ; ), имеют вид: 6

37 Пример Даны вершины треугольника A;-;-), B; ; -), C-; ; -) Составить уравнение биссектрисы его внутреннего угла при вершине B Решение Чтобы написать уравнение биссектрисы, надо найти координаты точки пересечения ее с противоположной стороной AC Для этого воспользуемся тем свойством биссектрисы, что она делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам С помощью этого свойства найдем отношение λ, в котором точка D точка пересечения биссектрисы со стороной AC делит отрезок AC: AD AB ) )) )) 9 λ DC BC ) ) )) 96 Итак, точка D делит отрезок AC в отношении Находим координаты точки D, принимая во внимание, что точка А начало отрезка, точка С конец: ) ) ; ; Значит, D ;; ) Уравнения биссектрисы запишем как уравнения прямой, проходящей через две точки B и D:, 6 6 Ответ 6 6 Взаимное расположение двух прямых в пространстве Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности прямых Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат даны две прямые, определяемые уравнениями t, t, t, t, t, t Первая прямая проходит через точку M ; ; ) параллельно вектору ; ; ), а вторая прямая проходит через точку M ; ; ) параллельно вектору ; ; ) Если эти прямые скрещиваются, то выполняется условие

38 8 Если же прямые лежат в одной плоскости, то три вектора M M,, должны быть компланарны, следовательно, Угол ϕ между прямыми, заданными уравнениями в прямоугольной системе координат, равен углу между направляющими векторами этих прямых и определяется формулой cos ϕ Условие параллельности двух прямых есть условие коллинеарности направляющих векторов и : Условие перпендикулярности прямых в случае, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, есть условие перпендикулярности направляющих векторов и : а а а Пример Проверим, пересекаются ли прямые, заданные уравнениями и 6 Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости, и в этом случае должно выполняться приведенное условие Проверим его Первая прямая проходит через точку с координатами ; ; ) и имеет направляющий вектор ; ; ) На второй же прямой лежит точка с координатами 6; -; ) и ей параллелен вектор ; -; ) Подставляем эти значения в условие Условие принадлежности двух прямых одной плоскости выполняется Но заданные прямые могут быть параллельны Проверяем это условие:

39 ,,, тогда Условие параллельности прямых не выполняется, следовательно, данные прямые пересекаются Прямая и плоскость Взаимное расположение прямой и плоскости Необходимым и достаточным условием того, что плоскость A B C D и прямая а t, а t, а t пересекаются, является условие: A B C Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, необходимо решить систему из уравнения плоскости и параметрических уравнений прямой A B C D, t, t, t Если прямая и плоскость параллельны, то выполняются условия A A B B C C 9, D Условиями принадлежности прямой некоторой плоскости являются A A B B C C, D Пример Найдем точку пересечения плоскости -- с прямой, 9 заданной каноническими уравнениями Задача решается просто, если уравнение прямой записать в параметрическом виде Так как коорди- наты точки, через которую проходит прямая, равны ; 9;, а направляющий вектор прямой ;; ), то параметрические уравнения имеют вид Далее решаем систему: t, 9 t, t, t, 9 t, t

40 В уравнение плоскости вместо текущих координат,, подставляем их выражения через t из уравнений прямой: t)9t)-t)-, t- Подставив значение t в уравнения прямой, находим координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью:,, -, A; ; -) Угол между прямой и плоскостью Условие перпендикулярности прямой и плоскости Пусть относительно прямоугольной системы координат в пространстве даны плоскость A B C D и прямая а t, а t, а t Угол между ними определяется из соотношения sin A B C ϕ A B C Необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости является условие перпендикулярности векторов ; ; ) и n A; B; C) : A B C Пример При каких значениях l и C прямая перпендикулярна плоскости -C? l Решение Составим условие перпендикулярности данных прямой и плоскости: l 6, C l,, l C 6, C Ответ l 6 ; C 6 Примеры решения задач Задача Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку A; ; -) и через прямую, заданную уравнением Решение Чтобы написать уравнение плоскости, необходимо знать координаты точки, лежащей в плоскости, и координаты двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости Из условия задачи известны координаты точки A Так как искомая плоскость должна проходить через заданную прямую, следовательно, направляющий вектор прямой ;; ) параллелен и плоскости Точка M ; -; ), через которую проходит прямая, будет лежать также в искомой плоскости Поэтому можно найти координаты еще одного вектора AM ; - ; ), параллельного плоскости

41 Теперь для составления уравнения плоскости есть все необходимые данные:, Ответ Задача Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A; - ; ) и параллельной плоскости - Решение: Нормальный вектор данной плоскости n ; ;) является и нормальным вектором искомой плоскости Тогда используем уравнение плоскости по координатам данной точки и нормальному вектору: A- )B- )C- ) Получаем -)- ) -), те -- Ответ -- Задача Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку С, делящую отрезок AB в отношении λ, где A-; ; ), B; ; -6), перпендикулярно прямой 6, Решение Находим координаты точки С, лежащей в искомой плоскости: ) ) ) 6) 9, 6, 9 здесь точка А начало отрезка, точка B конец отрезка) Итак, C -9; -6; 9) Искомая плоскость должна быть перпендикулярна заданной прямой, следовательно, направляющий вектор прямой ; ; ) является вектором нормали к плоскости Вычислим координаты вектора : 6, 8,, те 6; 8; ) Уравнение искомой плоскости можно написать в виде 69)86)-9), 896 Ответ 896 Задача Составить уравнение прямой, проходящей через точку A-;;- 6) перпендикулярно плоскости -6-

42 Решение Нормальный вектор данной плоскости n ; -; 6) будет направляющим вектором искомой прямой, те n ;-;6) параллелен прямой, уравнение которой мы должны написать Запишем уравнение искомой прямой, проходящей через точку А, в каноническом виде: Ответ 6 Задача Найти расстояние от точки M ; ; 8) до плоскости, проходящей через точки M, M, M где M ;; ), M ;; ), M ; ; ) Решение Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M, M M, Получаем или ) ) ) ) 6, 6- Находим расстояние от точки M до полученной плоскости: ρ M, α) 9 6 Ответ Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A-; - ; ) перпендикулярно вектору BC, если B; ; -6), C; ; -) Решение Уравнение плоскости, проходящей через точку M ; ; ) и n перпендикулярной вектору A, B, C), имеет вид A ) B ) C ) Находим координаты вектора BC, получаем ; ; ) Составляем уравнение искомой плоскости ))-), Ответ Задача Найти угол между плоскостями --, -- Решение Из общих уравнений плоскостей выпишем координаты нормальных векторов этих плоскостей, получаем n ; ; ), n ; ; ) n n cosα n n 9 8

43 Ответ p Задача 8 Написать канонические уравнения прямой 6, Решение Канонические уравнения прямой имеют вид p p p p где p ; p ; ) направляющий вектор прямой Находим координаты этого вектора: n ; ; ), n ; ;), тогда, i j k p 9 k n n i j Найдем координаты точки M, лежащей на данной прямой Пусть, тогда 6, Получаем -,, те M ; ; ) Запишем каноническое уравнение прямой или 9 9 Ответ 9 Задача 9 Найти точку пересечения прямой и плоскости Решение Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: t, -t, --t Подставим значения,, в уравнение плоскости, получаем t)--t)--t), 6t-t--8t, t, t, тогда точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты 6, -, - Ответ M6; -; -) Задача Найти точку M, симметричную точке M; -; -) относительно плоскости --- Решение Составим уравнение прямой в параметрическом виде: t, --t, --t Найдем координаты точки O t)---t)---t)-; 6t6t6t-;

44 6t -9 t, тогда,, Точка О является серединой отрезка МM, тогда ' ' ',, Отсюда находим координаты M ', ' ; ', ' ; ', ', те M ; -; ) Ответ M ; -; ) Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, координаты которых относительно некоторой системы координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени вида а а а а а а а а а а Сфера В прямоугольной системе координат уравнение сферы с центром в точке Cа; ; c) и радиусом R имеет вид -а) -) -c) R Пример Написать уравнение сферы, имеющей центр в точке C6;-8;) и касающейся оси O Решение Чтобы написать уравнение сферы, надо найти ее радиус R Он будет равен расстоянию от центра сферы C до точки A касания сферы с осью O Так как точка A лежит на оси O, то ее координаты равны:,, 6, те A6;;) Следовательно, R ρ A, C) 6 6) 8 ) ) Получим уравнение сферы -6) 8) -) Ответ: -6) 8) -) Пример Определить координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением -68 Решение Выделяем в заданном уравнении полные квадраты: -6) 8) ), -69)-9 86)-6 )-,


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее