«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю. Е. Кувайскова ЭКОНОМЕТРИКА Учебное пособие Ульяновск УлГТУ 07

2 УДК (075) ББК я7 К 88 Рецензенты: кафедра «Телекоммуникационные технологии и сети» Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой, д-р техн. наук, профессор А. А. Смагин); Карпунина И. Н., канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры общепрофессиональных дисциплин УИ ГА имени Главного маршала авиации Б. П. Бугаева. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия К 88 Кувайскова, Юлия Евгеньевна Эконометрика : учебное пособие / Ю. Е. Кувайскова. Ульяновск : УлГТУ, с. ISBN Учебное пособие посвящено изучению основных разделов эконометрики: парная регрессия, множественная регрессия, системы одновременных уравнений, модели временных рядов, также приводится раздел, посвященный адаптивному регрессионному моделированию. По каждой теме в пособии представлены теоретические сведения, примеры решения задач, задачи для самостоятельного выполнения, методические рекомендации и варианты заданий для выполнения расчетно-графической работы. Пособие предназначено для студентов направления «Прикладная математика», а также студентов других направлений, изучающих курс «Эконометрика». УДК (075) ББК я7 Кувайскова Ю. Е., 07 ISBN Оформление. УлГТУ, 07

3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Предмет эконометрики Методы эконометрики Виды моделей в эконометрике Этапы построения моделей Контрольные вопросы.... ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ..... Постулирование модели..... Оценивание параметров модели линейной парной регрессии. 6.. Оценивание параметров нелинейных моделей Теорема Гаусса Маркова Анализ качества парной регрессии Таблица дисперсионного анализа Критерий Фишера (F критерий) Коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Критерий Стьюдента (t критерий) Интервальные оценки параметров Средняя ошибка аппроксимации Коэффициент эластичности Точечный и интервальный прогноз Примеры Задачи Контрольные вопросы МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ Постулирование модели Оценивание параметров множественной регрессии Теорема Гаусса Маркова Анализ качества модели множественной регрессии... 6

4 .4.. Таблица дисперсионного анализа Критерий Фишера (F критерий) Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Применение частного F критерия и t критерия Частные коэффициенты корреляции Интервальные оценки Средние коэффициенты эластичности Меры качества прогноза Примеры Задачи Контрольные вопросы АДАПТИВНОЕ РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Проблемы поиска оптимальной регрессии Основные предположения регрессионного анализа Предположения о выборке Предположения о векторе параметров В Предположения о матрице Х Предположения о векторе ошибок е Дополнительные предположения о векторе Y Методология регрессионного моделирования Анализ соблюдения предположений регрессионного анализа и способы адаптации Остатки Нарушения предположений о векторе В и способы адаптации Нарушения предположений о матрице X и способы адаптации Нарушения предположений о векторе е и способы адаптации

5 Нарушения предположений о векторе Y и способы адаптации Методы структурной идентификации Полный перебор Метод включения Метод исключения Метод включения с исключением Контрольные вопросы СИСТЕМА ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Структурная и приведенная формы модели Проблема идентификации Оценивание параметров структурной модели Примеры Задачи Контрольные вопросы МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Понятие временного ряда и его составляющих Автокорреляция уровней временного ряда Моделирование трендовой составляющей временного ряда Методы определения наличия тренда Сглаживание временного ряда скользящей средней Метод аналитического выравнивания Моделирование периодической компоненты Метод скользящей средней Гармонический анализ временного ряда Моделирование случайной составляющей временного ряда Примеры Задачи Контрольные вопросы РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

6 7.. Методические указания Подключение пакета «Анализ данных» MS Ecel Задание Пример выполнения расчетно-графической работы Варианты заданий ПРИЛОЖЕНИЕ... 6 ПРИЛОЖЕНИЕ... 6 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

7 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие посвящено изучению основных разделов эконометрики: парная регрессия, множественная регрессия, системы одновременных уравнений, модели временных рядов. А также приводится раздел, посвященный адаптивному регрессионному моделированию. Пособие содержит семь разделов: «Этапы построения эконометрических моделей», «Парная регрессия», «Множественная регрессия», «Адаптивное регрессионное моделирование», «Системы одновременных уравнений», «Моделирование временных рядов» и «Расчетно-графическая работа». Первый раздел содержит понятие дисциплины «Эконометрика», задачи эконометрики, описываются основные методы, применяемые в эконометрических исследованиях, а также виды эконометрических моделей и этапы их построения. Во втором разделе описываются основные понятия метода регрессионного анализа, модели линейной и нелинейных парных регрессий, методы оценивания параметров парных регрессий, основные критерии качества парных регрессионных моделей. В третьем разделе приводятся основные виды моделей множественной регрессии, описываются методы оценки параметров и критерии качества моделей множественной регрессии. Четвертый раздел посвящен вопросам адаптивного регрессионного моделирования. Приводятся основные предположения регрессионного анализа и методы адаптации, применяемые при нарушениях данных предположений. В пятом разделе «Системы одновременных уравнений» содержатся основные понятия систем эконометрических уравнений, проблемы идентификации моделей, описываются методы оценивания параметров систем одновременных уравнений: косвенный метод наи- 7

8 меньших квадратов, двухшаговый метод наименьших квадратов, трехшаговый метод наименьших квадратов. В разделе «Модели временных рядов» приведены основные понятия временных рядов, структура модели временного ряда, методы выявления составляющих модели временного ряда, алгоритмы оценивания параметров составляющих модели временного ряда. Последний раздел содержит методические рекомендации и варианты заданий выполнения расчетно-графической работы, предназначенной для закрепления теоретических сведений и развития навыков самостоятельных практических расчетов у студентов. В пособии содержатся необходимые теоретические сведения для освоения дисциплины, приводятся примеры решения практических задач, также задания для самостоятельного выполнения. Учебное пособие по дисциплине «Эконометрика» должно способствовать формированию у студентов практических навыков по построению и анализу стохастических моделей различных объектов, явлений и процессов. Учебное пособие предназначено для студентов направления «Прикладная математика», также может быть использовано студентами других направлений, изучающих курс «Эконометрика». 8

9 . ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.. Предмет эконометрики Понятие «Эконометрика» является комбинацией двух слов: «экономика» и «метрика». Таким образом, название описывает дисциплину как науку, которая изучает процессы и явления в экономике. Хотя в настоящее время методы эконометрики используются для количественного изучения взаимосвязей процессов и явлений не только в экономике, но и в других областях: технике, астрономии, медицине и т. д. Эконометрика это наука, дающая количественное описание взаимосвязей различных явлений и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Задачи эконометрики: выявление связей между исследуемыми процессами; количественная оценка выявленных закономерностей (формулировка модели и оценивание ее параметров); изучение возможности использования выявленных связей в анализе и прогнозировании... Методы эконометрики Основными методами эконометрики являются методы математической статистики: корреляционный и регрессионный анализы. Корреляционный анализ метод математической статистики, позволяющий исследовать наличие и степень линейной зависимости между количественными переменными. Регрессионный анализ это метод математической статистики, позволяющий описывать математическую зависимость между зави- 9

10 симой переменной (откликом) и множеством независимых между собой переменных j (регрессоров, факторов) по таблице эмпирических данных. Таблица эмпирических (экспериментальных) данных p p p p p.. Виды моделей в эконометрике. Однооткликовые регрессионные модели. В зависимости от количества факторов различают парную и множественную регрессии. Парная регрессия представляет собой зависимость между двумя переменными откликом (зависимая переменная) и фактором (независимая переменная), т. е. модель вида ˆ f ( ). (.) Множественная регрессия представляет собой зависимость между откликом и множеством независимых переменных (факторов), т. е. модель вида ˆ p f (,,..., ). (.). Многооткликовые регрессионные модели. Данные модели представляют собой системы одновременных уравнений, каждое из которых может включать не только объясняющие переменные, но и объясняемые из других уравнений системы. 0

11 . Модели в виде временных рядов. К таким моделям относят модели тренда, сезонности, авторегрессии, скользящего среднего и других функций времени; причем они могут применяться как по отдельности, так и в различных комбинациях друг с другом..4. Этапы построения моделей Модели в эконометрике строятся в несколько этапов.. Постулирование математической зависимости, т. е. выбор регрессоров и модели, наиболее подходящей для описания исследуемых процессов. Одной из задач первого этапа является отбор факторов для включения в модель. В большинстве случаев оптимальный набор регрессоров определяется на основе знаний в области исследований. Прежде всего, в модель включаются факторы, оказывающие значимое влияние на изменения исследуемого явления. В других случаях целесообразность включения в модель каждого фактора проверяется с помощью статистических критериев. После отбора факторов необходимо выбрать вид аналитической зависимости между зависимой переменной и выбранными факторами. Для выбора вида математической модели применяются различные методы: графический (для парной зависимости); экспериментальный (построение нескольких видов моделей и выбор наиболее оптимальной из них); аналитический (выводы аналитических исследований, теоретических законов о качественном характере зависимости).. Оценка параметров модели, т. е. нахождение числовых значений параметров модели на основе таблицы эмпирических данных.

12 . Структурная идентификация оптимальной модели на основе статистического анализа, т. е. анализ качества построенной модели и поиск ее наилучшей структуры. Проверка качества модели проводится на основе применения различных статистических критериев качества, если модель не удовлетворяет выдвинутым критериям, то ищется новая структура модели оптимальная исходным данным..5. Контрольные вопросы. Что изучает наука «Эконометрика»?. Каковы задачи «Эконометрики»?. Назовите основные методы эконометрических исследований. 4. В чем заключается метод регрессионного анализа? 5. Что представляет собой таблица эмпирических данных? 6. Каковы основные виды эконометрических моделей? 7. Какие этапы включает в себя построение эконометрических моделей? 8. В чем состоит постулирование математической зависимости? 9. Как отбираются факторы для включения в модель? 0. Какие методы применяются для выбора вида математической модели?. Что означает оценка параметров моделей?. В чем состоит структурная идентификация оптимальной модели?

13 . ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ.. Постулирование модели Парной регрессией называется математическая модель, характеризующая зависимость среднего значения исследуемого процесса (отклика) от одного фактора (регрессора) х: ˆ f ( ), (.) где зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик); х независимая переменная (фактор, регрессор). Парная регрессия используется, если на изменения исследуемой переменной в большей степени оказывает влияние один доминирующий фактор х. Данные, необходимые для определения параметров парной регрессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных, содержащей наблюдений переменных и. Таблица эмпирических данных для парной регрессии Каждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения (, ), =,,,. Совокупность всех точек изображается на графике в виде диаграммы рассеяния (корреляционного поля) (рис..).

14 ˆ f ( ) a e ˆ Рис... Диаграмма рассеяния и линия регрессии Зависимость ˆ f ( ) задается некоторой кривой на диаграмме рассеяния. Чем ближе кривая ˆ f ( ) подходит ко всем точкам диаграммы рассеяния, тем лучше данная модель описывает исходные наблюдения. Разности между расчетными (модельными) ˆ f ( ) и наблюдаемыми значениями e ˆ (.) называются остатками. Наилучшей считается модель, для которой остатки минимальное значение. Наблюдаемые значения переменной у можно записать: e имеют f ( ) e, (.) где f () это та часть значения переменной, которая объяснена влиянием фактора, а второе слагаемое e это необъясненная часть значения переменной (ошибка, случайная величина, отклонение). Наличие составляющей e обусловлено влиянием на переменную других дополнительных факторов, неверным выбором функциональной зависимости f (), ошибками измерений, выборочным характером исходных данных. 4

15 Для выбора вида математической модели f () используются следующие методы: графический (вид модели определяется на основе визуального анализа расположения точек на диаграмме рассеяния); экспериментальный (построение нескольких конкурирующих моделей и выбор наилучшей из них по критериям качества); аналитический (на основе качественного анализа исследуемой зависимости). Зная типичный вид графиков различных элементарных функций, по визуальному анализу диаграммы рассеяния (рис..) можно подобрать математический вид кривой регрессии f (). По виду математической зависимости различаются линейные и нелинейные модели регрессии. Линейная парная регрессия описывается моделью: ˆ a. (.4) Модели нелинейных регрессий: и другие. ˆ a степенная; ˆ a показательная; ˆ a e экспоненциальная; ˆ a гиперболическая; ˆ обратная; a ˆ a квадратичная; ˆ a l логарифмическая 5

16 6.. Оценивание параметров модели линейной парной регрессии Для оценивания параметров моделей регрессии применяется метод наименьших квадратов. Суть метода наименьших квадратов: параметры модели ) ( f должны быть такими, чтобы сумма квадратов отклонений е S была минимальной. Требуется найти безусловный экстремум функции S. Для этого модель парной линейной регрессии (.4) записывается в виде e a. Далее выражаются остатки a e. Тогда функцию S можно записать в виде a е S ) (. Необходимые условия экстремума функции S : a S a a S 0 ) ( 0 ) (, a a 0 ) ( 0 ) (. После раскрытия скобок получаются так называемые нормальные уравнения: a a. (.5)

17 7 Решая полученную систему, получается точка экстремума:, a, (.6) или, ) ( a, (.7) где среднее значение переменной, среднее значение переменной, ) (,. Коэффициент при независимой переменной характеризует, насколько в среднем изменится величина отклика при изменении на единицу величины фактора. Если фактор представляет собой время, то свободный коэффициент a показывает значение процесса в начальный момент времени. В других случаях коэффициент a может не иметь интерпретации... Оценивание параметров нелинейных моделей Применить обычный метод наименьших квадратов для оценивания параметров нелинейных моделей невозможно. Одним из способов решения этой проблемы является преобразование нелинейной модели к линейному виду. Для этого используются процедуры: ) логарифмирование; ) замена переменных; ) потенцирование.

18 После преобразования переменных и формирования новой таблицы эмпирических данных для оценки параметров нелинейных моделей применяется метод наименьших квадратов. ˆ a проце- Рассмотрим на примере степенной зависимости дуру оценивания параметров нелинейных моделей. Прологарифмируем уравнение l ˆ l( a ). ˆ a : Используя свойства логарифмической функции, получим: l ˆ l a l, l ˆ l a l. Сделаем замены переменных: ~ l ˆ, a ~ l a, ~ l. Получим линеаризованное уравнение: ~ a~ ~. Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных. Преобразование данных Исходная таблица эмпирических данных Преобразованная таблица эмпирических данных ~ l ˆ ~ l ~ l ~ l ~ l ~ l ~ l ~ l Применим к преобразованной модели обычный метод наименьших квадратов, найдем точку экстремума a ~ и : 8

19 ~~ ~ ~, ~ ( ~ a ~ ~ ~. ) Для перехода к степенной модели применим процедуру потенцирования по основанию е: e ~ a ~ ~ e. Сделаем замены переменных: ~ l ˆ, a ~ l a, ~ l. Получим: l ˆ a~ l e e e, e l ˆ a~ l e e. Окончательно получается степенная зависимость вида: ˆ A, a~ где A e параметр степенной зависимости..4. Теорема Гаусса Маркова Оценки параметров модели регрессии являются случайными величинами, так как для их определения используются наблюдения случайных величин и. Поэтому при использовании различных методов оценивания параметров моделей регрессии желательно, чтобы оценки были «лучшими» среди всех остальных в некотором смысле. Для этого оценки должны обладать такими свойствами, как несмещенность, состоятельность и эффективность. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Оценка параметра называется состоятельной, если при возрастании количества наблюдений она сходится по вероятности к оцениваемому параметру. 9

20 Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию в классе всех несмещенных оценок, вычисленных по выборкам одного и того же объема. При использовании метода наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии ответ на вопрос, являются ли полученные оценки наилучшими, дает теорема Гаусса Маркова. Теорема Гаусса Маркова. Если будут выполняться предположения: ) Модель линейна по оцениваемым параметрам a и : a е,,,..., ; ) детерминированная величина;.) математическое ожидание случайной величины e равно нулю в любом наблюдении: M ( ) 0; e.) дисперсия случайной величины e постоянна для всех наблюдений: D ( ) ; e.) значения случайной величины e в любых наблюдениях e и e j не коррелируют между собой: M ( e e j ) 0 при j ; то оценки параметров a и, полученные методом наименьших квадратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок, т. е. оценки будут обладать свойствами несмещенности и эффективности..5. Анализ качества парной регрессии Для оценки качества модели и поиска ее оптимальной структуры используются такие меры качества: 0

21 ) остаточная дисперсия S (стандартная ошибка S); ) критерий Фишера (F критерий); ) коэффициент корреляции R и коэффициент детерминации R ; 4) критерий Стьюдента (t критерий); 5) ошибка аппроксимации; 6) коэффициент эластичности 7) и другие..5.. Таблица дисперсионного анализа Меры качества модели вводятся с помощью метода дисперсионного анализа. При использовании дисперсионного анализа оценивается влияние регрессора на отклик, т. е. степень адекватности регрессии выборочным наблюдениям. В результате дисперсионного анализа полная дисперсия наблюдений (сумма квадратов отклонений наблюдений от среднего): SS ( ) (.8) разлагается на две компоненты: факторную дисперсию, обусловленную регрессией: SS R и остаточную дисперсию: SS e ( ˆ ), (.9) ( ˆ ) е. (.0) Получается основное тождество дисперсионного анализа: SS SS R SS e. (.)

22 Так как в модели парной регрессии присутствует только один фактор х; следовательно, для факторной дисперсии имеется одна степень свободы. R Для остаточной суммы квадратов число степеней равно разности между числом наблюдений п и числом оцениваемых параметров по выборке. Для парной регрессии число оцениваемых параметров равно двум (а и ), тогда ν e. Для полной дисперсии число степеней равно разности между числом наблюдений п и одной степенью свободы, которая необходима для расчета среднего значения по выборке: ν. Средние квадраты (дисперсии) рассчитываются как отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы: MS SS R R, R SS e MSe. (.) νe Значение статистики Фишера вычисляется как отношение средних квадратов: MS R F. (.) MSe Все рассчитанные данные сводятся в таблицу дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ для парной регрессии Вариация (дисперсия) Степень свободы Сумма квадратов Средний квадрат Факторная ν SSR R Остаточная SSe e Полная SS ( ˆ ) MS R SS SS e ( ˆ ) MSe S νe ( ) R R F MS F MS R e

23 Величина S ( ˆ ) e (.4) называется остаточной дисперсией. Она используется как для оценки адекватности модели, так и для сравнения конкурирующих моделей между собой..5.. Критерий Фишера (F критерий) Для оценки значимости и адекватности модели в целом используется F критерий. Для модели парной регрессии выдвигается статистическая гипотеза: H 0 : = 0, т. е. гипотеза о том, регрессор не влияет существенно на изменения переменной, модель незначима в целом. Фактическое значение F критерия вычисляется, используя таблицу дисперсионного анализа, по формуле MS R Fфакт. (.5) MSe Из специальных таблиц квантилей распределения Фишера (Приложение ) находится табличное значение статистики Фишера F табл (, k, k ), где α уровень значимости, т. е. вероятность отвергнуть верную гипотезу (ошибка первого рода); k и k степени свободы, k число независимых переменных (факторов) в уравнении регрессии (для модели парной регрессии k = ν ), k =. Здесь количество наблюдений, число характеризует количество оцениваемых параметров в модели (для парной регрессии a и ). R ν e

24 Затем табличное и фактическое значения статистики Фишера сравниваются. Если F факт F табл, то гипотеза H 0 (гипотеза о незначимости модели) принимается, если F факт > F табл, то модель признается значимой в целом, т. е. регрессор существенно влияет на исследуемый процесс. На практике для оценки адекватности модели используется эмпирическое правило: если F факт > 4F табл, (.6) то модель считается адекватной и пригодной для прогноза..5.. Коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Для оценки степени тесноты линейной связи используется линейный коэффициент корреляции r, определяемый по формуле где r и, (.7) среднеквадратические отклонения переменных и : ( ),. ( ) Линейный коэффициент корреляции принимает значения в интервале r. Чем ближе значение r к единице, тем сильнее степень линейной связи и тем лучше линейная зависимость описывает исходные наблюдения. На практике считается, что: если r 0,, то линейная связь между переменными и практически отсутствует; слабая; если r 0, 0, 5, то степень линейной связи между и 4

25 если r 0,5 0, 75, то степень линейной связи между и средняя; если r 0,75 0, 95, то степень линейной связи между и сильная; если r 0, 95, то между и практически имеет место функциональная связь. Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, значение коэффициента корреляции находится по формуле SSR SSe R ( знак ) ( знак ). (.8) SS SS Степень тесноты нелинейной связи оценивается индексом корреляции R, вычисляемым по формуле SSR SSe R. (.9) SS SS Индекс корреляции R принимает значения в интервале 0 R. Чем ближе значение R к единице, тем теснее нелинейная связь, тем лучше расчетные по модели значения согласуются с исходными наблюдениями. Для оценки качества подбора регрессионной модели рассчитывается квадрат коэффициента корреляции коэффициент детерминации R. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии (вариации) исследуемого процесса, объясняемую регрессией (влиянием фактора), в общей дисперсии переменной : r SSR SS R SS SS Соответственно величина ( R e. (.0) 5 ) характеризует долю дисперсии (вариации) переменной, вызванную влиянием остальных неучтенных в модели факторов.

26 Чем ближе значение R к единице, тем в большей степени модель регрессии пригодна для прогнозирования исследуемого процесса. При известной величине R фактическое значение F критерия для парной регрессии определяется по формуле R F факт ( ). (.) R.5.4. Критерий Стьюдента (t критерий) Для оценки значимости каждого параметра построенной модели используется t критерий Стьюдента. Для этого выдвигается гипотеза о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии: H 0 : = 0 или/и H 0 : a = 0. Выборочные значения t статистики Стьюдента для параметров и a уравнения регрессии вычисляются по формулам: где t a ; ta, (.) S S S и a S a стандартные ошибки параметров, вычисляются как квадратные корни из значений дисперсий параметров и a: D( ) S S, D ( ) ( a) Sa S. (.) ( ) Затем определяется критическое (табличное) значение t критерия t табл (α, ) (Приложение ), где α уровень значимости, ( ) число степеней свободы. При значении t tтабл ( tа tтабл ) делается вывод об отличии от нуля коэффициента (a) и его статистической значимости. 6

27 Аналогично можно оценить значимость коэффициента корреляции. Для этого выдвигается гипотеза о незначимости коэффициента корреляции: H 0 : r = 0. Выборочное значение t статистики вычисляется по формуле r tr, (.4) S r r где Sr стандартная ошибка коэффициента корреляции. Затем определяется критическое (табличное) значение t критерия t табл (α, ) (Приложение ), где α уровень значимости, ( ) число степеней свободы. При значении t r tтабл делается вывод об отличии от нуля коэффициента корреляции и его статистической значимости Интервальные оценки параметров Кроме точечных оценок (.6), (.7) параметров a и вводятся интервальные оценки параметров на основе понятия доверительного интервала. Доверительным интервалом называется интервал, в пределах которого находится точное значение оцениваемого параметра с заданной доверительной вероятностью (надежностью) p = α. Для параметров уравнения парной линейной регрессии границы доверительных интервалов определяются соотношениями: I I p p a t ( α, ) S ; a t ( α, ) S ), (.5) ( табл a табл a t ( α, ) S ; t ( α, ) S ), (.6) ( табл табл 7

28 где ( α, ) это квантиль t распределения с ( ) степенями t табл свободы (Приложение ), S a и S стандартные ошибки параметров модели (.) Средняя ошибка аппроксимации Величина отклонений исходных и расчетных по модели значений ( исследуемого процесса ˆ ) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. ( Так как величина отклонений ˆ ) может быть как положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются в процентах по модулю. Средняя ошибка аппроксимации вычисляется как средняя арифметическая: ( ˆ ) A 00%. (.7) Ошибка аппроксимации, находящаяся в пределах до 0%, свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным Коэффициент эластичности Коэффициент эластичности характеризует, насколько процентов изменится переменная у при изменении фактора х на % от некоторого значения k, и вычисляется по формуле k Э ˆ'( k ). (.8) ˆ( ) k Для линейной регрессии (.4) коэффициент эластичности равен: Э k a, (.9) k 8

29 и зависит от k, поэтому рассчитывается средний коэффициент эластичности: Э. (.0) Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов от среднего значения изменится значение переменной у при изменении значения фактора х на % относительно своего среднего значения Точечный и интервальный прогноз Точечный прогноз отклика у заключается в нахождении прогнозного значения у k, определяемого путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения фактора k : a. (.) k k Интервальный прогноз отклика у заключается в нахождении доверительного интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения у k с заданной доверительной вероятностью p: I p ( k t табл ( α, ) S ; t ( α, ) S k k табл k ), (.) где t табл ( α, ) это квантиль t распределения с ( ) степенями свободы (Приложение ), S k S ( k ) (.) ( ) стандартная ошибка индивидуального значения прогноза у k. 9

30 .6. Примеры Пример. Изучается зависимость уровня годовой инфляции (млн руб.) от объема депозитных вкладов населения (%). Эмпирические данные представлены в таблице. Статистика депозитных вкладов 4 5 5,40,90,6 6,45 6, ) Построить уравнение парной линейной регрессии. ) Найти остаточную дисперсию S, оценки дисперсий параметров модели S a и S. ) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации. 4) Вычислить прогноз уровня инфляции, если объем депозитных вкладов населения увеличится на % от среднего значения. 5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятностью 0,95. Решение. Вычисления будем проводить с точностью до второго знака после запятой (до сотых). ) Для построения парной линейной зависимости проведем следующие расчеты: ( ),60, 5 (5,40,90,6 6,45 6,58) 8,54, 5 0

31 ( ,58) 8,9, 5 (6 5,40 8,90 9,6 6,45 8 ( ) (,60) 50, ) 55,80, Оценки параметров линейной регрессии определим методом наименьших квадратов по формулам (.7): 8,9,60 8,54 0,67, ( ) 55,80 50,76 a 8,54 ( 0,67),60,68. Следовательно, уравнение парной линейной регрессии имеет вид ˆ,68 0, 67. ) Для определения остаточной дисперсии найдем вначале значения остатков e. Для этого составим таблицу наблюдаемых и предсказанных ŷ значений переменной и остатков e ˆ ,40,90,6 6,45 6,58 ŷ 6,6,6 0,95 8,94 4,9 e 0,86,8 0,4,49,66 Используя значения таблицы, получим значение остаточной дисперсии S по формуле (.4): e ( 0,86),8 0,4 (,49) S 5 Для определения оценок дисперсий S a и,66,84. S проведем расчеты:

32 ( ) 69, ( ) (,60) (6,60) (8,60) (8,60) 75,0. Оценки дисперсий параметров модели формулам (.): (9,60) S a и 69 S a S,84 6,85, 575,0 ( ) S S,84 0,05. 75,0 ( ) S определим по ) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации A по формуле (.7): A,66 6,58 ( ˆ ) 0,86 00% 5 5,40 00% 8,80%.,8,9 0,4,6,49 6,45 Ошибка аппроксимации говорит о неудовлетворительном качестве подбора уравнения регрессии, так как принимает значение выше 0%. 4) Для прогнозирования уровня инфляции вычислим значение объема депозитных вкладов, увеличенного на % от среднего значения: k,0,60,0,8 (млн руб.).

33 Тогда ожидаемый уровень инфляции найдем по формуле (.): a,6 0,67,8 8,08 (%). k k 5) Найдем доверительный интервал для прогноза. Вычислим по формуле (.) стандартную ошибку индивидуального значения прогноза: S k S ( k ( ) ),84 (,8,60) 5 75,0,5. Из таблицы квантилей распределения Стьюдента (Приложение ) найдем табличное значение t статистики: t табл ( α, ) t (0,05;5 ) t (0,05;),8. табл Нижняя и верхняя границы доверительного интервала будут соответственно равны: табл t ( α, ) S 8,08,8,5,4, k k t табл табл k ( α, ) S 8,08,8,5 4,9. k Доверительный интервал для прогноза уровня инфляции с доверительной вероятностью p = 0,95 будет иметь вид I (,4;4,9), т. е. (,4;4,9). 0,95 k Пример. Известна зависимость накоплений граждан (млн руб.) от годовой заработной платы одного работающего (тыс. руб.) за 0 лет в виде уравнения парной линейной регрессии: ˆ 6, 0,. 0 Известны значения ˆ 647,7, ˆ 4,. 0 ) Построить таблицу дисперсионного анализа. ) Оценить качество модели по критерию Фишера.

34 ) Найти линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации. Решение. Вычисления будем проводить с точностью до второго знака после запятой (до сотых). ) Построим таблицу дисперсионного анализа. В регрессионной модели присутствует только один фактор х; следовательно, имеется одна степень свободы: ν. Для остаточной дисперсии число степеней равно разности между числом наблюдений п = 0 и числом, оцениваемых параметров по выборке а и, получаем ν (п ) = 0 = 8 степеней свободы. Для полной дисперсии число степеней равно разности между числом наблюдений п = 0 и одной степенью свободы, которая необходима для расчета среднего значения по выборке. Таким образом, получаем число степеней свободы ν = (п ) = 0 = 9. По условию задачи: SS SS R e 0 0 ˆ 647,7, ˆ 4,. Используя основное тождество дисперсионного анализа (.), получим: SS SS R SS 647,7 4, 689,60. e Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы: MS S R SS MS e R R SS 647,7 e e 647,7, 4, 5, R

35 Фактическое значение F статистики: MSR 647,7 F факт,6. MS 5,8 e Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями. Таблица дисперсионного анализа Вариация (дисперсия) Степень свободы Сумма квадратов Средний квадрат Факторная 647,7 647,7 Остаточная 8 4, 5,8 Полная 9 689,60 F,6 ) Оценим качество модели по критерию Фишера. Проверим гипотезу H 0 : = 0, т. е. гипотезу о том, что фактор (годовая заработная плата одного работающего) не влияет существенно на (накопления граждан). Фактическое значение F критерия Фишера возьмем из таблицы дисперсионного анализа: F,6. факт Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение ) найдем табличное значение статистики Фишера F табл, k, k ). ( Примем уровень значимости α =0,05, из таблицы дисперсионного анализа степени свободы k и k соответственно равны k =, k = 8. Тогда табличное значение F статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): F α, k, k ) F (0,05;;8) 5,. табл ( табл При сравнении фактического и табличного значений F статистики оказалось, что 5

36 F,6 F 5,, факт табл следовательно, проверяемая гипотеза H 0 отвергается, и уравнение регрессии признается значимым в целом. Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (.6). Так как F,6 4 F,8, факт табл то модель признается адекватной и пригодной для прогноза. ) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим значение коэффициента корреляции по формуле (.8): SSR 647,7 R ( знак ) 0,97. SS 689,60 Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о сильной степени линейной зависимости между накоплениями граждан и годовой заработной платой одного работающего. Коэффициент детерминации R 0,97 0, 94. Коэффициент детерминации показывает, что 94% дисперсии переменной объясняется влиянием фактора. Пример. Изучается зависимость отношения среднедушевых доходов к прожиточному минимуму от реальных среднедушевых денежных доходов (руб.). Данные по денежным доходам ,69,6,5,07,84,79,

37 ) Простроить модели зависимости от :.) степенную;.) логарифмическую. ) Для каждой модели:.) построить таблицу дисперсионного анализа;.) проверить значимость и адекватность модели;.) найти индекс корреляции и коэффициент детерминации. ) Сравнить построенные модели. Решение. ) Нанесем точки с координатами (, ), где =,,,7, на плоскость и проанализируем полученную диаграмму рассеяния (рис..). Рис... Диаграмма рассеяния Согласно рис.. между откликом и регрессором существует нелинейная зависимость..) Построим степенную модель вида 7 ˆ a. Прологарифмируем уравнение по основанию е:

38 l ˆ l( a ), l ˆ l a l, l ˆ l a l. Для вычисления параметров степенной модели сделаем замены переменных: ~ l ˆ, a ~ l a, ~ l. Получим линеаризованное уравнение: ~ a ~ ~. Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных с точностью до сотых. Преобразование данных Исходная таблица эмпирических данных Преобразованная таблица эмпирических данных ~ l ˆ ~ l,69 7 0,99 5,60,6 9 0,86 5,97, ,8 6, 4, ,7 6,9 5, ,6 6,46 6, ,58 6,67 7, ,59 6,8 Применим к преобразованной модели обычный метод наименьших квадратов, найдем точку экстремума a ~ и. Проведем расчеты с точностью до сотых, получим: ~ ~ ~ ~ (5,60 5, ,67 6,8) 6,9, 7 (0,99 0, ,58 0,59) 0,74, 7 8

39 ~~ ~ ~ ~ ~ (5,60 7 Точка экстремума: ~~ ~ ~ 4,59 ~ ( ~ ) 9,7 ~ 0,74 ( (5,600,99 5,97 0, ,80,59) 4,59, 7 5, ,67 6,90,74 0,9, (6,9) a ~ 0,9) 6,9,9. 6,8 ) 9,7. В результате получим линейное уравнение регрессии: ~,9 0,9 ~. Для перехода к степенной модели применим процедуру потенцирования по основанию е: ~,90,9 ~ e e. Сделаем замены переменных: ~ l ˆ, ~ l. Получим: l ˆ,9 0,9l e e e. Окончательно получаем степенную зависимость вида 0,9 ˆ 4,9..) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем значения отклика и остатки ,69,6,5,07,84,79,8 ŷ,7,6,4,09,96,80,70 e 0,04 0 0, 0,0 0, 0,0 0, 9

40 Вычислим полную сумму квадратов отклонений наблюдений от среднего значения:,69,6...,8,, 7 SS (,69,)... (,8,) 0, 69 Вычислим остаточную сумму квадратов: SS e ˆ e ( 0,04)... 0, 0, 04 Используя основное тождество дисперсионного анализа (.), получим: SS SS SS 0,69 0,04 0,65. R e Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы: SSR 0,65 SSe 0,04 MS R 0,65, S 0, 008. ν ν 7 R Фактическое значение F статистики: MSR 0,65 F факт 8,5. MS 0,008 e Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями. e.. Таблица дисперсионного анализа Вариация (дисперсия) Степень свободы Сумма квадратов Средний квадрат Факторная 0,65 0,65 Остаточная 5 0,04 0,008 Полная 8 0,69 F 8,5 40

41 .) Для оценки значимости и адекватности модели в целом воспользуемся критерием Фишера. Фактическое значение F критерия Фишера возьмем из таблицы дисперсионного анализа: F 8,5. факт Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение ) найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимости α = 0,05: F α, k, k ) F (0,05;;5) 6,6. табл ( табл При сравнении фактического и табличного значений F статистики оказалось, что F 8,5 F 6,6, факт табл следовательно, построенное степенное уравнение регрессии признается значимым в целом. Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (.6). Так как F 8,5 4 F 6,44, факт табл то степенная модель признается адекватной и пригодной для прогноза..) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим значение индекса корреляции по формуле SSR 0,65 R 0,97. SS 0,69 Полученное значение R = 0,97 свидетельствует о тесной степени зависимости между переменными и. Коэффициент детерминации R 0,97 0, 94. Коэффициент детерминации показывает, что 94% дисперсии переменной объясняется влиянием фактора. 4

42 Нанесем построенную степенную модель: ˆ 4,9 0,9 на диаграмму рассеяния, получим рис... Рис... Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой степенной модели.) Построим логарифмическую модель вида ˆ a l. Для нахождения параметров логарифмической модели сделаем замену переменных: ~ l. Получим линеаризованное уравнение: ˆ a ~. Преобразуем данные в исходной таблице эмпирических данных с точностью до сотых. 4

43 Преобразование данных Исходная таблица эмпирических данных Преобразованная таблица эмпирических данных ~ l,69 7,69 5,60,6 9,6 5,97,5 507,5 6, 4, ,07 6,9 5, ,84 6,46 6, ,79 6,67 7,8 95 7,8 6,8 Применим к преобразованной модели обычный метод наименьших квадратов, найдем точку экстремума a и. Проведем расчеты с точностью до сотых, получим: ~ (5,60 5, ,67 6,8) 6,9, 7 (,69,6...,79,8),, 7 ~ ~ (5,60,69 5,97,6... 6,8,8),9, 7 ~ ~ (5,60 5, ,67 7 Тогда точка экстремума: ~ ~,9 6,9, 0,87 ~ ( ~, ) 9,7 (6,9) a ~, ( 0,87) 6,9 7, ,8 ) 9,7. В результате получим линейное уравнение регрессии: ˆ 7,59 0,87 ~.

44 Для перехода к логарифмической модели сделаем замену переменных: ~ l. Окончательно получаем логарифмическую зависимость вида ˆ 7,59 0,87 l..) Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем значения отклика и остатки ,69,6,5,07,84,79,8 ŷ,7,40,7,,97,79,66 e 0,0 0,04 0,08 0,05 0, 0 0,5 Вычислим остаточную сумму квадратов: SS e ˆ e ( 0,0)... 0,5 0, 05 Используя основное тождество дисперсионного анализа (.), получим: SS SS SS 0,69 0,05 0,64. R e Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы: SS R 0,64 SSe 0,05 MS R 0,64, S 0, 0. ν ν 7 R Значение F статистики: MSR 0,64 F факт 64. MS 0,0 e Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями. e. 44

45 Таблица дисперсионного анализа Вариация (дисперсия) Степень свободы Сумма квадратов Средний квадрат Факторная 0,64 0,64 Остаточная 5 0,05 0,0 Полная 8 0,69 F 64.) Для оценки значимости и адекватности модели в целом воспользуемся критерием Фишера. Фактическое значение F критерия Фишера возьмем из таблицы дисперсионного анализа: F 64. факт Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение ) найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимости α = 0,05: F α, k, k ) F (0,05;;5) 6,6. табл ( табл При сравнении фактического и табличного значений F статистики оказалось, что F 64 F 6,6, факт табл следовательно, построенное логарифмическое уравнение регрессии признается значимым в целом. Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (.6). Так как F 64 4 F 6,44, факт табл то логарифмическая модель признается адекватной и пригодной для прогноза. 45

46 .) Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, вычислим значение индекса корреляции по формуле SSR 0,64 R 0,96. SS 0,69 Полученное значение R = 0,96 свидетельствует о тесной степени зависимости между переменными и. Коэффициент детерминации R 0,96 0, 9. Коэффициент детерминации показывает, что 9% дисперсии переменной объясняется влиянием фактора. Нанесем построенную логарифмическую модель: ˆ 7,59 0,87 l на диаграмму рассеяния, получим рис..4. Рис..4. Диаграмма рассеяния с нанесенной кривой логарифмической модели ) Проведем сравнение построенных моделей. 46

47 В целом логарифмическая модель хуже описывает реальные данные, так как фактическое значение F статистики Фишера меньше, чем для степенной модели: F факт (логарифмическая) = 64 < F факт (степенная) = 8,5. Пример 4. Известна зависимость рентабельности производства от числа рабочих в отделе по 0 предприятиям в виде экспоненциального уравнения регрессии:,90,0066 ˆ e. Фактическое значение F статистики: F факт = 6,5. ) Найти коэффициент эластичности, если в среднем на предприятиях трудится 9 рабочих. ) Вычислить коэффициенты корреляции и детерминации. ) Оценить качество модели по критерию Фишера. Решение. ) Найдем коэффициент эластичности, применив формулу (.8): k Э ˆ'( k ). ˆ( ) k Вычислим первую производную уравнения регрессии,90,0066 ˆ ( ) e : ˆ '( ),90,0066,90,0066 0,0066 e e. Тогда коэффициент эластичности: Э ˆ'( k k ) ˆ( k 0,0066 e ),90,0066k e k,90,0066k 0,0066 Если среднее значение х k = 9, то коэффициент эластичности равен: Э 0,0066 0, ,9. k k. 47

48 Коэффициент эластичности показывает, что при изменении числа рабочих на % от 9 человек рентабельность производства возрастет на 0,9%. ) Запишем формулу для определения выборочной F статистики Фишера через коэффициент детерминации и выразим R : R F факт ( ), R R Fфакт R R, F факт Fфакт. Подставим в выведенную формулу значение статистики Фишера и объема выборки, получим коэффициент детерминации: 6,5 6,5 R 0, ,5 8,5 Полученное значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что 78% полной дисперсии переменной обусловлено влиянием фактора; остальные % могут быть объяснены влиянием на отклик неучтенных в модели факторов, ошибками измерений, или, возможно, неправильным выбором вида математической зависимости. Коэффициент корреляции R R 0,78 0, 88. Полученное значение R = 0,88 свидетельствует о сильной степени зависимости между рентабельностью производства и числом рабочих. ) Оценим качество модели по критерию Фишера. Из таблицы квантилей распределения Фишера (Приложение ) найдем табличное значение статистики Фишера при уровне значимости α = 0,05: 48

49 F ( α,, ) F (0,05;;8) 4,4. табл табл При сравнении фактического и табличного значений F статистики оказалось, что F 6,5 4 F 7,64, факт табл следовательно, экспоненциальная модель признается значимой и пригодной для прогноза..7. Задачи. Изучается зависимость объема продаж некоторого товара (шт.) от его цены (тыс. руб.). Эмпирические данные за пять дней представлены в таблице: Построить уравнение парной линейной регрессии.. Изучается зависимость темпа прироста внутреннего валового продукта страны (%) от среднегодовой инфляции (%). Эмпирические данные за пять лет представлены в таблице: 4 5,6 4,8, 4, 5,,6 7,5 0,5 8,6 6,8 Построить уравнение парной линейной регрессии. 49

50 . Изучается зависимость уровня безработицы (%) от среднего возраста безработного (лет). Эмпирические данные за шесть лет представлены в таблице: ,9 9, 7,0 7, 5, 8, Построить уравнение парной линейной регрессии. 4. Изучается зависимость отклика от фактора. Эмпирические данные представлены в таблице: Построить уравнение парной степенной регрессии. 5. Изучается зависимость общего выпуска металлоконструкций (т) от количества переработанных уголков (т). Эмпирические данные представлены в таблице: ,68 4,5, 5,,7,47,8 0,6 0,66,6 0,45,05,,9 Построить уравнения линейной и степенной регрессий. 50

51 6. Изучается зависимость количества больных (тыс. чел.) от концентрации угарного газа (мг / куб. м). Эмпирические данные представлены в таблице: ,5,9,,6,9 4, ) Построить уравнения линейной, квадратичной и экспоненциальной регрессий. ) Проверить качество построенных моделей по критерию Фишера и коэффициенту детерминации. 7. Изучается зависимость доли расходов на покупку промышленных товаров в семейных расходах (%) от среднемесячной заработной платы одного работающего (тыс. руб.). Эмпирические данные по пяти районам области представлены в таблице: ) Построить уравнение парной линейной регрессии. ) Найти оценку остаточной дисперсии S. ) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации. 4) Вычислить прогноз доли расходов на покупку промышленных товаров, если среднемесячная зарплата увеличится на % от среднего значения. 5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятностью 0,95. 5

52 8. Изучается зависимость страховых премий (млрд руб.) от величины выплат (млрд руб.). Эмпирические данные представлены в таблице: ,4 7,5 98,7 58,75 5,5 6,97 40,4 7,79 46,76 7,9,7 5,4 ) Построить уравнение парной линейной регрессии. ) Найти оценку остаточной дисперсии S. ) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации. 4) Вычислить прогноз страховых премий, если величина выплат составит 50 млрд руб. 5) Найти доверительный интервал для прогноза с вероятностью 0, Известна зависимость объема продаж (тыс. долларов) от маркетинговых расходов (тыс. долларов) по магазинам в виде уравнения линейной регрессии: ˆ 0,6 0, 6. Среднеквадратические отклонения переменных и соответственно равны σ 4, 7, σ, 4. ) Определить коэффициент корреляции и оценить его значимость. ) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации. ) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качество регрессии по критерию Фишера. 4) Оценить значимость коэффициента регрессии по критерию Стьюдента. 5

53 5) Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0, Известна зависимость объема производства (тыс. ед.) от числа рабочих (чел.) по 5 предприятиям в виде уравнения квадратичной регрессии: ˆ= 0 0, 4+ 0, 04. Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 0%. ) Определить индекс корреляции. ) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации. ) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию Фишера. 4) Найти эластичность, если в среднем на предприятиях число рабочих составит 0 человек.. Известна зависимость себестоимости продукции (тыс. руб.) от технической оснащенности (тыс. руб.) по 0 предприятиям в виде уравнения гиперболической регрессии: 700 ˆ 0. Доля остаточной дисперсии в полной дисперсии равна 9%. ) Определить индекс корреляции. ) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации. ) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию Фишера. 4) Найти эластичность, если в среднем техническая оснащенность составит 00 тыс. руб.. Результат моделирования прибыли фирмы по показательному уравнению регрессии ˆ a представлен в таблице: 5

54 ŷ ) Определить ошибку аппроксимации. ) Найти индекс корреляции между переменными у и х. ) Оценить качество регрессии по коэффициенту детерминации. 4) Проверить значимость и адекватность регрессии по критерию Фишера..8. Контрольные вопросы. Какая модель называется парной регрессией?. Когда применяется модель парной регрессии?. Что представляет собой таблица эмпирических данных парной регрессии? 4. Как называются разности между расчетными (модельными) и наблюдаемыми значениями? 5. Чем обусловлено наличие случайной составляющей в модели? 6. Какие методы используются для выбора вида аналитической зависимости парной регрессии? 7. Перечислите нелинейные парные регрессии. 8. Какой метод используется для оценивания параметров уравнения регрессии? 9. Что такое нормальные уравнения системы? 0. Что характеризуют коэффициенты парной линейной регрессии?. Какие процедуры используются при оценивании параметров нелинейных моделей?. Каковы основные предположения теоремы Гаусса Маркова? 54

55 . Какие критерии используются для оценки качества модели? 4. Какие столбцы содержит таблица дисперсионного анализа? 5. На какие составляющие разлагается полная дисперсия наблюдений? 6. Каково основное тождество дисперсионного анализа? 7. Что называется остаточной дисперсией? 8. Какой критерий используется для оценки значимости и адекватности модели? 9. Какое правило используется для оценки адекватности модели на практике? 0. Что характеризуют коэффициенты корреляции и детерминации?. Для чего используется критерий Стьюдента?. Как вычисляются интервальные оценки параметров модели парной регрессии?. Как вычисляется точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной регрессии? 4. Что характеризует ошибка аппроксимации? 5. Что показывает коэффициент эластичности? 55

56 . МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ.. Постулирование модели Множественной регрессией называется модель, описывающая зависимость среднего значения отклика от нескольких факторов: ˆ f (,,..., ), (.) p где у зависимая переменная (исследуемый процесс, отклик); х, х,, х p независимые переменные (регрессоры, факторы), p число регрессоров в модели. Модель множественной регрессии используется в случаях, когда из множества факторов, оказывающих значимое влияние на исследуемый процесс, нельзя выделить один доминирующий фактор и целесообразно учитывать влияние нескольких факторов. Данные, необходимые для определения параметров множественной регрессии, записываются в виде таблицы эмпирических данных, содержащей наблюдений переменных х, х,, х p и. Таблица эмпирических данных множественной регрессии p p p p p 56

57 Выбор регрессоров для включения в модель множественной регрессии производится, прежде всего, на основе знаний исследователя о взаимосвязях зависимой переменной с другими процессами. При этом включаемые в модель регрессии факторы должны: ) быть взаимно некоррелированными; ) существенно влиять на вариацию отклика. Соответствие факторов первому требованию осуществляется на этапе постулирования модели. Высокая взаимная коррелированность факторов называется мультиколлинеарностью. Для обнаружения мультиколлинеарности строится матрица парных коэффициентов корреляций r между факторами: j r r R... r p r r r... p r r r p p... p p r... r p r r... p r r... p p. (.) Если в матрице парных коэффициентов корреляции имеются значения коэффициентов r 0, 8, то мультиколлинеарность считается j обнаруженной, а переменные и j называются коллинеарными. При этом один из каждой пары коллинеарных факторов должен быть удален из модели. Исключается тот фактор из пары, который достаточно сильно связан с другими факторами и в наименьшей степени связан с откликом. Соответствие факторов второму требованию осуществляется на этапе анализа качества построенной модели. Включение в модель существенно влияющих на вариацию зависимой переменной факторов проверяется с помощью критерия Стьюдента, а также методами включения и исключения. 57

58 Однако при выборе факторных переменных для включения в модель множественной регрессии руководствуются принципом минимизации числа факторов. Для этого пользуются эмпирическим правилом: число факторов, включаемых в модель, должно быть в 5-5 раз меньше объема исходных наблюдений. При выборе вида математической модели исследователь руководствуется принципами простоты модели и возможности интерпретации ее параметров. Поэтому наиболее часто используемыми моделями множественной регрессии являются линейная и степенная модели. Модель линейной множественной регрессии имеет вид ˆ a. (.) p p Параметры модели j показывают среднее изменение зависимой переменной при изменении соответствующего фактора j на единицу при неизмененном среднем значении других факторов. Модель степенной множественной регрессии имеет вид p p ˆ a. (.4) Параметры модели j являются коэффициентами эластичности, которые показывают, на сколько процентов изменится в среднем значение переменной при изменении значения соответствующего фактора j на % при неизменном значении других факторов... Оценивание параметров множественной регрессии Для оценки параметров модели линейной множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов. Для линейной множественной регрессии система нормальных уравнений имеет вид 58

59 p p p p p p p p p p a a a (.5) Введем следующие обозначения:... Y вектор значений зависимой переменной, p p p X матрица значений факторных переменных х, х,, х p, p a... B вектор параметров модели. Оценки параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов находятся по формуле Y X X X B T T ) (. (.6) Другой способ нахождения оценок параметров модели множественной регрессии метод стандартизованных коэффициентов. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе принимает вид p β p β β t t t t, (.7) где p t t t t,...,,, стандартизованные переменные, вычисляемые по формулам:

60 t, σ j j t, j,,..., p. (.8) j σ j Свойства стандартизованных переменных: ) средние значения равны нулю t 0 ; t j ) среднеквадратические отклонения равны единице. t t j Параметры модели в стандартизованном масштабе β j называются стандартизованными коэффициентами. Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном масштабе j связаны со стандартизованными коэффициентами β j соотношениями: j j j, j j, j,,..., p. (.9) j Свободный коэффициент множественной регрессии а определяется по формуле a... p p. (.0) Стандартизованные коэффициенты регрессии β j показывают, на сколько сигм (среднеквадратических отклонений) изменится в среднем отклик за счет изменения соответствующего фактора х j на одну сигму при неизмененном среднем значении других факторов. Для оценки стандартизованных коэффициентов модели множественной регрессии также можно применить метод наименьших квадратов. Для множественной регрессии в стандартизованном масштабе система нормальных уравнений имеет вид 60

61 r r... r p β β r βr β r p β β r βr β r p β r... β... β p r p p r p p... β p (.). Стандартизованные коэффициенты β j позволяют ранжировать факторы по силе их влияния на переменную. Фактор х j, которому соответствует большее по модулю значение стандартизованного коэффициента β j, будет оказывать большее относительное воздействие на изменение отклика. Для оценивания параметров нелинейных моделей множественной регрессии сначала модель преобразуется к линейному виду с помощью процедур логарифмирования и замены переменных. После преобразования переменных и формирования новой таблицы эмпирических данных для оценки параметров нелинейных моделей множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов. Если нелинейную модель невозможно преобразовать в линейную форму, то для оценки параметров модели используются методы нелинейной оптимизации... Теорема Гаусса Маркова Теорема Гаусса Маркова. Если будут выполняться предположения: ) Модель линейна по оцениваемым параметрам: a e p p ; ) X детерминированная матрица, имеющая максимальный ранг (p+), т. е. векторы х, х,, х p линейно независимы..) математическое ожидание случайной величины e равно нулю в любом наблюдении: M ( ) 0; e 6

62 .) дисперсия случайной величины e постоянна для всех наблюдений: D ( ) ; e.) ошибки e для разных наблюдений e и e j некоррелированы: M ( e e ) 0 при j ; j j j.4) ошибки e имеют нормальное распределение: e ~ N(0, ) для всех,, то оценка B ( X T X ) X T Y, полученная методом наименьших квадратов, является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок..4. Анализ качества модели множественной регрессии В основном для анализа качества модели множественной регрессии используются те же меры качества, что и для парной регрессии..4.. Таблица дисперсионного анализа Дисперсионный анализ для множественной регрессии Вариация Степень Сумма квадратов Средний F (дисперсия) свободы квадрат Факторная Остаточная ν R p SSR ν e p SS Полная SS ( ˆ ) MS R SS SS e e ( ˆ ) MSe S νe ( ) R R MS F MS R e 6

63 Основное тождество дисперсионного анализа: SS SS R SS e. Стандартная ошибка S или остаточная дисперсия S применяются как для оценки адекватности модели, так и для сравнения конкурирующих моделей..4.. Критерий Фишера (F критерий) Для оценки значимости и адекватности модели в целом применяется критерий Фишера. Выдвигается статистическая гипотеза: H :... 0, 0 p т. е. гипотеза о том, что в модели факторы,,..., p не влияют существенно на отклик. Вычисляется фактическое значение F критерия: MSR R p Fфакт, (.) S R p где число наблюдений; p число факторов в модели; R коэффициент детерминации. Затем из таблиц квантилей распределения Фишера (Приложение ) находится табличное значение F табл α, k, k ) при уровне зна- ( чимости α и числами степеней свободы k p и k ( p ). Если Fфакт F табл, то гипотеза H 0 о незначимости модели принимается, в противном случае регрессия признается значимой. Для оценки адекватности модели на практике применяется правило: если F 4, (.) факт F табл то модель считается адекватной и пригодной для прогноза. 6

64 .4.. Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Множественной коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной стохастической связи множества факторов,..., 64, с исследуемым процессом и оценивает тесноту совместного влияния факторов,,..., p на отклик. Пользуясь таблицей дисперсионного анализа, значение множественного коэффициента корреляции вычисляется по формуле SSR SSe R. (.4) SS SS Чем больше значение R ( 0 R ), тем сильнее степень линейной связи между совокупностью факторов переменной. p p,,..., и зависимой Недостаток меры R ( R ) : при увеличении количества регрессоров в модели значения R ( R ) возрастают. Для устранения этого недостатка практически соблюдается условие, чтобы число исходных наблюдений было больше числа факторов в 5 5 раз. Кроме того, вместо R ( R ) применяется скорректированный множественный коэффициент корреляции: R c ( R ) (.5) p или детерминации R c. Используя парные коэффициенты корреляции зависимой переменной с факторами r j вычисляется по формуле j j, множественный коэффициент корреляции R R β j r, (.6) β j стандартизованные коэффициенты регрессии.

65 .4.4. Применение частного F критерия и t критерия Частный F критерий и t критерий применяются для анализа значимости каждого регрессора в отдельности. Это дает возможность в принципе получить оптимальную структуру модели. Выдвигается нулевая гипотеза о незначимости параметра и несущественном влиянии фактора х j на зависимую переменную : H : j 0 ( j, ). 0 p Вычисляется значение частного F критерия: j j F j (.7) S j или t критерия: j t j. (.8) S Если F (,, p ) j F табл t tтабл (, p ) j, то гипотеза H 0 принимается, т. е. коэффициент регрессии j считается равным 0, а соответствующий фактор х j считается статистически незначимой переменной, в противном случае регрессор х j признается значимым. j.4.5. Частные коэффициенты корреляции Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной стохастической связи между зависимой переменной и фактором х j при устранении влияния других факторов, входящих в уравнение множественной регрессии. 65

66 Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков вычисляются через коэффициенты частной корреляции более низких порядков. При двух факторах х и х частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам: r r * * r r r, (.9) ( r )( r ) r r r. (.0) ( r )( r ) Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать факторы по силе их влияния на переменную. Фактор х j, которому соответствует большее по модулю значение частного коэффициента корреляции, будет сильнее связан с переменной Интервальные оценки Интервальная оценка для параметра j определится доверительным интервалом с вероятностью p: I ( t ( p, α) S ; t ( p, α) S ), (.) где p j табл j j табл j S стандартная ошибка параметра j j (корень квадратный из j -го диагонального элемента матрицы ковариаций D ( B) S ( X X ) ). T Остаточная дисперсия вычисляется по формуле S ( ˆ ) p e. (.) p 66

67 .4.7. Средние коэффициенты эластичности Средние коэффициенты эластичности для линейной множественной регрессии вычисляются по формуле j Э j j (.) и показывают, на сколько процентов от среднего значения изменится значение отклика у при изменении значения фактора х j на % относительно своего среднего значения при неизменных средних значениях других факторов. Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их влияния на зависимую переменную у Меры качества прогноза Для оценки качества прогнозов исходная выборка данных делится на две части обучающую (модельную) и контрольную. Обучающая выборка используется для построения модели, а контрольная дает возможность оценить качество прогноза по мерам, основанным на разностях ˆ ) для контрольных точек. ( Одной из таких мер является среднеквадратическое отклонение ошибок на контрольной выборке: ˆ k, (.4) k где k число элементов контрольной выборки; наблюдаемые значения отклика на контрольном интервале; вычисляемые по модели. ŷ их прогнозы, 67

68 .5. Примеры Пример. Изучается зависимость стоимости квартиры (млн руб.) от общей площади квартиры (м ) и количества комнат (единиц). Эмпирические данные представлены в таблице: ,7,5,,8,,,6, ) Построить уравнение множественной линейной регрессии. ) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качество модели по критерию Фишера. ) Определить множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации. 4) Найти частные коэффициенты корреляции. 5) Оценить значимость параметров уравнения множественной регрессии по частному F критерию и t критерию. Решение. ) Рассчитаем параметры уравнения множественной линейной регрессии по формуле (.6), где матрица Х и вектор Y имеют вид X Y,,7,5,,8,.,,6,5 68

69 Тогда вектор параметров будет иметь вид B ( X T X ) X T 0,607 Y 0,096. 0,00 Следовательно, уравнение множественной линейной регрессии имеет вид 0,607 0,096 0, 00. ) Построим таблицу дисперсионного анализа. Для этого сначала составим таблицу наблюдаемых и предсказанных ŷ значений отклика и остатков e ˆ ,7,5,,8,,,6,5 ŷ,780,487,7,66,9,55,74,48 e 0,080 0,0 0,08 0,8 0,008 0,055 0,4 0,07 Вычислим значение полной суммы квадратов SS, используя формулу SS ( ) ( ) 0,90 8(,588) Вычислим значение остаточной суммы квадратов: SS e ˆ ) ( e 0,054. 0,756. Из основного тождества дисперсионного анализа вычислим сумму квадратов, обусловленную регрессией: SS SS SS 0,756 0,054 0,70. R e 69

70 В регрессионной модели присутствуют два фактора х и х, следовательно, степень свободы p. R Для остаточной суммы квадратов число степеней равно ν e p 8 5. Для полной дисперсии число степеней равно ν 8 7. Средние квадраты оцениваются как отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы: SS R 0,70 MS R 0,5, ν MS SS R 0,054 0,0 5 e e S. νe Фактическое значение F критерия Фишера равно: F MS 0,5,909 0,0 R факт. S Заполним таблицу дисперсионного анализа вычисленными значениями. Таблица дисперсионного анализа Вариация (дисперсия) Степень свободы Сумма квадратов Средний квадрат Факторная 0,70 0,5 Остаточная 5 0,054 0,0 Полная 7 0,756 F,909 Оценим качество модели по критерию Фишера. Табличное значение F статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): F табл (α, p, p ) = F табл (0,05; ; 5) = 5,79. При сравнении фактического и табличного значений F статистики оказалось, что 70

71 F факт =,909 > F табл = 5,79, следовательно, уравнение регрессии значимо в целом. Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (.). Так как F,909 4 F 8,96, факт табл то модель множественной регрессии считается адекватной и пригодной для прогноза. ) Рассчитаем множественный коэффициент корреляции по формуле (.4): SSR 0,70 R = 0, 964. SS 0,756 Множественный коэффициент корреляции достаточно близок к, следовательно, линейная стохастическая связь между откликом и факторами и достаточно тесная. Коэффициент детерминации: R 0,964 0,99. Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что 9,9% полной дисперсии отклика обусловлено влиянием факторов и ; остальные 7,% могут быть объяснены влиянием на отклик неучтенных в модели факторов, ошибками измерений, или, возможно, неправильным выбором вида математической зависимости. 4) Для расчета частных коэффициентов корреляции необходимо вычислить парные коэффициенты корреляции по формуле r j j j, j,. ( ) ( ) j j 7

72 Проведем вычисления: 84,50,,58850,50 79,797,,66,,5, 759,750, 55,06. Тогда парный коэффициент корреляции между откликом и фактором : r 0,964. ( ) ( ) Аналогично рассчитываются другие коэффициенты. Составим матрицу парных коэффициентов корреляции. Переменные 0,964 0,89 0,87 Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень связи между зависимой переменной и соответствующим фактором при 7

73 устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Коэффициенты частной корреляции вычисляются по формулам: r r * * r r r 0,964 0,890,87 0, 87, ( r ) ( r ) ( 0,89 ) ( 0,87 ) r r r 0,89 0,9640,87 0, 005. ( r ) ( r ) ( 0,964 ) ( 0,87 ) При закреплении фактора после корреляция и оказывается более низкой 0,87 против 0,964. Аналогично, при закреплении фактора после корреляция и оказывается менее сильной 0,005 против 0,89. Частные коэффициенты корреляции позволяют ранжировать факторы по силе их влияния на отклик и дают конкретную меру тесноты связи каждого фактора с зависимой переменной. Проведем ранжировку: r r, т. е. фактор (общая * * площадь квартиры) оказывает более сильное влияние на отклик (стоимость квартиры) по сравнению с фактором (количеством комнат). 5) Оценим значимость параметров уравнения множественной регрессии по частному F критерию. Частный F критерий оценивает целесообразность включения в модель фактора после других. Фактические значения частных F статистик при двухфакторной модели можно вычислить по формулам: F R r R p 0,99 0,89 0, ,85,

74 F R r R p 0,99 0,964 0,99 8 0,000. Табличное значение F статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): F табл (α,, p ) = F табл (0,05; ; 5) = 6,6. Так как F F табл в модель после фактора, F F табл, следовательно, фактор целесообразно включать, следовательно, фактор нецелесообразно включать в модель после фактора. Это значит, что парная модель зависимости от является достаточно статистически значимой, надежной и нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор. Оценим значимость коэффициентов с помощью t критерия. Вычислим фактические значения t статистики: t F 5,85,98, t F 0,000 0,06. Табличное значение t статистики при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): t табл (, p ) = t табл (0,05; 5) =,57. Так как t t табл, следовательно, коэффициент является статистически значимым, и фактор оказывает существенное влияние на отклик, t t табл, следовательно, коэффициент равен нулю, и фактор является статистически незначимой переменной. То есть на стоимость квартиры основное влияние оказывает общая площадь квартиры, а количество комнат влияет незначительно. 74

75 Пример. Изучается зависимость потребления электроэнергии (тыс. квт/ч) от производства продукции (тыс. ед.) и уровня механизации труда (%) по 0 предприятиям. Переменная Среднее значение Среднеквадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции r 0, r 0, 4 4,5 8 r 0, 8 ) Построить уравнение множественной регрессии в стандартизированном и натуральном масштабах. ) Найти коэффициенты частичной и множественной корреляции. ) Найти частные коэффициенты эластичности. 4) Рассчитать общий и частный критерий Фишера. 5) Найти интервальные оценки коэффициентов регрессии с вероятностью 0,95. 6) Оценить значимость коэффициентов множественной регрессии по критерию Стьюдента. Решение. ) Построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе: t β t β t. Система нормальных уравнений примет вид r r β β β r r β. 75

76 Выразим отсюда стандартизованные коэффициенты β и β : β β β β r r r r r r r r 0,77 0,4 0,8 0,709 0,8. 0,4 0,77 0,8 0,6 0,8, Тогда уравнение в стандартизованном масштабе будет иметь вид t t t. 0,709 0,6 0 Проранжируем факторы. Так как β,709 β 0, 6, следовательно, фактор оказывает большее влияние на, чем фактор. Построим уравнение регрессии в натуральном масштабе. Коэффициенты модели множественной регрессии в натуральном масштабе рассчитаем по формулам: σ 7 β 0,709 0,45, σ 45 σ 7 β 0,6 0,4, σ 8 a 000 0, ,4 4,5 8,457. Тогда уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе имеет вид ˆ 8,457 0,45 0, 4. ) Найдем коэффициенты частичной и множественной корреляции. 76

77 Коэффициенты частной корреляции характеризуют степень тесноты связи между откликом и соответственным фактором при устранении влияния других факторов. Частные коэффициенты корреляции определяются по формулам: r r * * r r r 0,77 0,40,8 0, 76, ( r ) ( r ) ( 0,4 ) ( 0,8 ) r r r 0,4 0,770,8 0,. ( r ) ( r ) ( 0,77 ) ( 0,8 ) Частные коэффициенты корреляции позволяют проводить ранжировку факторов по их влиянию на отклик и дают конкретную меру тесноты связи каждого фактора с откликом. Так как r r, то фактор оказывает более сильное * * влияние на отклик, чем фактор. Множественный коэффициент корреляции можно определить из частных коэффициентов корреляции по формуле R ( r Получим: )( r )( )...( r r p... p R ( 0,77 )( 0, ) 0,784. Коэффициент множественной корреляции достаточно близок к и означает тесную связь переменной с факторами и. Коэффициент детерминации: R 0,784 0,65. Коэффициент детерминации показывает, что 6,5% дисперсии переменной объясняется влиянием факторов и. ). ) Частные коэффициенты эластичности вычислим по формуле (.): 77

78 j Э j j. Получим: 40 Э 0,45 0,8, 000 4,5 Э 0,4 0, Значения частных коэффициентов эластичности показывают, что с увеличением среднего значения фактора на % значение возрастает на 0,8% от среднего значения, с увеличением фактора на % от среднего значения отклик возрастает на 0,0% от среднего значения. 4) Рассчитаем общий F критерий по формуле R p 0,65 0 F факт,565. R p 0,65 Найдем табличное значение F статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): F табл (, p, p ) = F табл (0,05; ; 7) =,5. Так как F,565 F,5, факт табл то уравнение множественной регрессии значимо в целом. Для оценки адекватности модели применим эмпирическое правило (.). Так как F,565 4 F,4, факт табл то модель множественной регрессии считается адекватной и пригодной для прогноза. 78

79 Частные F критерии оценивают целесообразность включения в модель факторов после других. Вычислим фактические значения частных F статистик: F R r R p 0,65 0,4 0,65 0, 880 R r p 0,65 0,77 F 0 0, 66. R 0,65 Найдем табличное значение F статистики Фишера при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): F табл (,, p ) = F табл (0,05; ; 7) = 4,. Так как F,880 F 4,, то фактор целесообразно включить табл в модель после фактора, табл F 0,556 F 4,, то фактор нецелесообразно включить в модель после фактора., 5) Найдем интервальные оценки коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью p = 0,95 по формуле (.): I p ( j t табл ( p, α) S ; 79 t ( p, α) S j j табл j Для этого выразим стандартные ошибки параметров из формулы (.7): j F. j S j Получим: S j j. F j Тогда стандартные ошибки параметров модели равны: ).

80 0,45 S 0,8,,880 0,4 S 0,97. 0,66 Табличное значение t статистики Стьюдента при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): табл α, p t 0,05; 7, 05 t. табл Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для параметра будут соответственно равны: α, p S 0,45,05 0,8 0, 8 tтабл α, p S 0,45,05 0,8 0, 667 tтабл Тогда доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для параметра регрессии будет иметь вид I (0,8;0,667), т. е. 0,8;0,667. 0,95 Нижняя и верхняя границы доверительного интервала для параметра будут соответственно равны: α, p S 0,4,05 0,97 0, 67 tтабл α, p S 0,4,05 0,97 0, 85 tтабл Получим доверительный интервал с вероятностью p = 0,95 для параметра регрессии : I 0,95 ( 0,67;0,85), т. е. 0,67;0,85.,.., 6) Оценим значимость коэффициентов множественной регрессии по критерию Стьюдента. Вычислим фактические значения статистик Стьюдента: t F,880,589, t F 0,66 0,84. 80

81 Табличное значение t статистики Стьюдента при уровне значимости = 0,05 (Приложение ): табл α, p t 0,05; 7, 05 t. Так как табл t,589 t,05, табл следовательно, параметр значим, фактор оказывает значимое влияние на переменную. Так как t 0,84 t,05, табл следовательно, параметр незначим, фактор не оказывает значимое влияние на. То есть на потребление электроэнергии основное значимое влияние оказывает производство продукции, а уровень механизации труда незначительное..6. Задачи. По 5 наблюдениям получена матрица парных коэффициентов корреляции зависимости факторов, и отклика. Переменные,0 0,6,0 0,5 0,9,0 ) Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. ) Определить коэффициент корреляции (скорректированный и нескорректированный). 8

82 . По 0 наблюдениям получена матрица парных коэффициентов корреляции зависимости факторов, и отклика : Переменные,0 0,78,0 0,86 0,96,0 ) Построить уравнение регрессии в стандартизованном виде. ) Определить коэффициент корреляции (скорректированный и нескорректированный).. Известна зависимость производства продукции (млн руб.) от количества отработанных за год человеко часов (тыс. чел. ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования (млн руб.) по 0 предприятиям в виде уравнения множественной линейной регрессии: ˆ 5 0,06., 5 Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,9. Остаточная сумма квадратов равна SS e = 000. ) Определить коэффициент детерминации. ) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качество модели по критерию Фишера. 4. Известна зависимость прибыли (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) и индекса на продукцию (%) по 5 предприятиям в виде уравнения множественной линейной регрессии: ˆ 7 0,

83 Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,87. Остаточная сумма квадратов равна SS e = 00. ) Определить коэффициент детерминации. ) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качество модели по критерию Фишера. 5. Известна зависимость потребления материалов (т) от энерговооруженности труда (квт ч на одного рабочего) и объема продукции (тыс. ед.) по 0 предприятиям в виде уравнения множественной линейной регрессии: ˆ 40 0,. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,78. Остаточная сумма квадратов равна SS e = 00. ) Определить коэффициент детерминации. ) Построить таблицу дисперсионного анализа и оценить качество модели по критерию Фишера. 6. Известна зависимость среднедневного душевого дохода (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего (руб.) и среднего возраста безработного (лет) по 0 районам области в виде уравнения множественной линейной регрессии: ˆ 7,5,6, 5. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,85. Стандартные ошибки параметров множественной регрессии соответственно равны S a, 6, S 0, 8, S 0, 5. ) Оценить значимость параметров множественной регрессии по критерию Стьюдента. ) Оценить по частным F критериям Фишера целесообразность включения в модель фактора после фактора и фактора после фактора. 8

84 7. Известна зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) по 0 предприятиям области в виде уравнения множественной регрессии: ˆ,47,56 0, 54. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,85. Стандартные ошибки параметров множественной регрессии соответственно равны S a 0, 97, S 0, 58, S 0, 084. ) Оценить значимость параметров множественной регрессии по критерию Стьюдента. ) Оценить по частным F критериям Фишера целесообразность включения в модель фактора после фактора и фактора после фактора. 8. Известна зависимость отклика от факторов и по 0 предприятиям в виде уравнения множественной регрессии: ˆ a 0,48 0. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,85. Параметр регрессии а Стандартные ошибки параметров 0,06? t статистика для параметров,5? 4 ) Определить параметр а. ) Найти недостающие значения стандартной ошибки и t статистики для параметров регрессии. ) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации. 4) Проверить значимость и адекватность уравнения регрессии. 84

85 5) Построить доверительные интервалы для параметров регрессии с вероятностью 0, Известна зависимость отклика от факторов и по 0 предприятиям в виде уравнения множественной регрессии: ˆ a 0. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,85. Параметр регрессии а Стандартные ошибки параметров 0,5? t статистика для параметров? 5 ) Определить параметр а. ) Найти недостающие значения стандартной ошибки и t статистики для параметров регрессии. ) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации. 4) Проверить значимость и адекватность уравнения регрессии. 5) Построить доверительные интервалы для параметров регрессии с вероятностью 0, Известна зависимость отклика от факторов и по 40 предприятиям в виде уравнения множественной регрессии: ˆ 0,4. Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,8. Параметр регрессии а Стандартные ошибки параметров? 0,0 0, t статистика для параметров,8? 5 85

86 ) Определить параметр. ) Найти недостающие значения стандартной ошибки и t статистики для параметров регрессии. ) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации. 4) Проверить значимость и адекватность уравнения регрессии. 5) Построить доверительные интервалы для параметров регрессии с вероятностью 0,95.. Известно уравнение множественной регрессии и доверительные интервалы параметров регрессии с вероятностью 0,95: ˆ 4,6 0,.,9,0, 5 4 Граница Доверительные интервалы для параметров регрессии при факторе 4 Нижняя?,,? Верхняя 0,6??,9 Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,87. ) Определить пропущенные границы доверительных интервалов. ) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации.. Известно уравнение множественной регрессии и доверительные интервалы параметров регрессии с вероятностью 0,95: ˆ 0,8.,7, 0 Граница Доверительные интервалы для параметров регрессии при факторе Нижняя 0,5? 4, Верхняя?,8? 86

87 Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,79. ) Определить пропущенные границы доверительных интервалов. ) Оценить качество модели по коэффициенту детерминации.. Известна зависимость отклика от факторов и по 0 наблюдениям: Переменная Среднее Коэффициент значение вариации, % Уравнение регрессии 50 9,5 ˆ 66,6 0,7, ˆ 5,75 0,6 9 8,6 ˆ 60,6,5 Оценить значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что r 0, Изучается зависимость прибыли (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника (ед.) и индекса на продукцию (%) по 0 предприятиям. Переменная Среднее значение Среднеквадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции 50 8 r 0, r 0, 6 r 0, 4 87

88 ) Построить уравнение множественной регрессии в стандартизированном и натуральном масштабах. ) Найти коэффициенты частичной и множественной корреляции. ) Найти частные коэффициенты эластичности и сравнить их со стандартизованными коэффициентами. 4) Рассчитать общий и частный критерии Фишера. 5) Найти интервальные оценки коэффициентов регрессии с вероятностью 0,95. 6) Оценить значимость коэффициентов множественной регрессии по критерию Стьюдента..7. Контрольные вопросы. Какая модель называется множественной регрессией?. Когда применяется модель множественной регрессии?. Как производится отбор факторов для модели множественной регрессии? 4. Каким требованиям должны удовлетворять факторы, включаемые в модель множественной регрессии? 5. Что называется мультиколлинеарностью? 6. Как проводится проверка на наличие мультиколлинеарности? 7. Каким правилом нужно руководствоваться при отборе факторов множественной регрессии? 8. Как интерпретируются коэффициенты уравнения множественной регрессии? 9. Какой метод используется для оценивания параметров множественной регрессии? 0. Как выглядит уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе?. Какими свойствами обладают стандартизованные переменные? 88

89 . Что характеризуют стандартизованные коэффициенты?. Каковы предпосылки теоремы Гаусса Маркова для множественной регрессии? 4. Какие критерии используются для анализа качества множественной регрессии? 5. Как и для чего применяется критерий Фишера? 6. Что характеризуют коэффициенты множественной корреляции и детерминации? 7. Как вычисляется скорректированный коэффициент множественной корреляции? 8. Как и для чего применяется частный F критерий? t критерий? 9. Что характеризуют частные коэффициенты корреляции? 0. Как вычисляются интервальные оценки коэффициентов множественной регрессии?. Что характеризуют средние коэффициенты эластичности?. Как используются меры качества прогноза? 89

90 4. АДАПТИВНОЕ РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 4.. Проблемы поиска оптимальной регрессии В подавляющем числе случаев постулируемая модель: a e p p, или в матричном виде: Y XB e, (4.) где Y вектор значений отклика,... a B вектор оцениваемых параметров модели,... p... p... p X матрица значений регрессоров модели, p e e e вектор ошибок (остатков),... e не является оптимальной (адекватной наблюдениям). Если считать линейную зависимость (4.) подходящей, то основной проблемой будет размерность модели. С одной стороны, опасаясь потерять существенные факторы, исследователь старается включить в правую часть (4.) их как можно 90

91 больше. Поэтому, как правило, модель (4.) является переопределенной, что приводит: а) к экономическим издержкам, б) к включению неинформативных, малоинформативных и дублирующих переменных. Последнее приводит к возрастанию дисперсии прогноза ŷ и к понижению точности оценивания коэффициентов в модели. С другой стороны, недоопределенная модель, не содержащая значимых факторов, приводит к систематической ошибке в прогнозе. Таким образом, выдвигая гипотезу (4.), исследователь сталкивается с множеством конкурирующих моделей (структур), содержащих некоторое количество регрессоров. Так как каждая переменная, p может либо входить в уравнение, либо нет, то всего,..., p получается моделей. Из этого множества структур необходимо выбрать по заданному критерию качества одну или несколько конкурирующих моделей. Проблема выбора критерия оптимальности является достаточно острой даже при однокритериальном подходе. Наиболее подходящими, естественно, являются меры точности прогноза. Если их затруднительно получить, можно остановиться на общем F критерии. Получив при однокритериальном поиске оптимальную модель, следует тщательно изучить вектор остатков e на предмет соблюдения условий применения регрессионного анализа. 4.. Основные предположения регрессионного анализа 4... Предположения о выборке <.> объем наблюдений достаточен, <.> при организации наблюдений обеспечивается случайный отбор, <.> ряд наблюдений однороден, <.4> в наблюдениях отсутствуют грубые промахи. 9

92 4... Предположения о векторе параметров В <.> адекватная наблюдениям модель линейна по элементам вектора В, <.> на вектор В не наложено ограничений, <.> вектор В содержит аддитивную постоянную, <.4> элементы вектора В вычислены с пренебрежимо малой компьютерной ошибкой Предположения о матрице Х <.> элементы матрицы Х (регрессоры,,..., p ) являются линейно-независимыми векторами матрицы Х, <.> элементы матрицы Х (регрессоры,,..., p ) не являются случайными величинами Предположения о векторе ошибок е <4.> ошибки e являются случайными величинами, аддитивно входящими в модель, <4.> ошибки e распределены по нормальному закону, <4.> ошибки e не содержат систематического смещения, <4.4> ошибки e имеют постоянную дисперсию, <4.5> ошибки e не коррелированы и при справедливости <4.> статистически независимы. 9

93 4..5. Дополнительные предположения о векторе Y Гипотезы <> <4> в совокупности являются одновременно гипотезами о векторе Y. Дополнительно вводятся следующие два предположения. <5.> метод поиска оптимального набора регрессоров,,..., для Y является точным; при однокритериальном поиске p p оптимальной модели из возможных точным является метод полного перебора; <5.> для многооткликовой задачи правомерно применение метода наименьших квадратов к каждой из регрессий в отдельности. 4.. Методология регрессионного моделирования Подход адаптивного регрессионного моделирования предусматривает: применение линейной по оцениваемым параметрам модели и вычислительной схемы метода наименьших квадратов; проверку соблюдения предположений регрессионного анализа, ранжирование нарушений по степени искажения свойств оценок параметров модели; последовательную адаптацию к нарушениям предположений регрессионного анализа путем применения соответствующих вычислительных процедур; повторную проверку соблюдения предположений регрессионного анализа и ранжирование нарушений при необходимости. 9

94 4.4. Анализ соблюдения предположений регрессионного анализа и способы адаптации Остатки Анализ предположений обычно выполняется по остаткам: e ˆ, где ŷ прогноз, получаемый по модели. Вместо остатков используются шкалированные остатки: e d, (4.) S где S стандартная ошибка наблюдений, квадратный корень из остаточной дисперсии (.). Предполагая, что d ~ N(0,), строятся графики зависимости остатков d от отклика и регрессоров j, j,,..., p и вычисляются статистические критерии Нарушения предположений о векторе В и способы адаптации 94 ( j Нарушение <.>. Адекватная в целом модель может быть улучшена по структуре путем устранения избыточных факторов или (и) введением значимых регрессоров. Признаки нарушения: при избыточности: наличие незначимых факторов в модели со значениями t статистик tфакт tтабл, где t табл критическое значение t статистики; при недоопределенности: наличие трендов на графиках остатков d, ˆ; ), отличающихся от горизонтальной равномерной полосы шириной S. Адаптация: при избыточности: устранение незначимых факторов и пересчет коэффициентов модели, при одновременном нарушении предположений <.> и <.> использование методов пошаговой рег-

95 k j t рессии или других способов; при недоопределенности: поиск пропущенных факторов (,,,...). Если модель сразу признается неадекватной, то переходят к другому классу моделей. Нарушение <.>. Косвенные признаки нарушения: наличие значимых парных коэффициентов корреляции регрессоров. Адаптация: учет ограничений на вектор В и решение задачи на поиск экстремума функции с ограничениями. Нарушение <.>. О необходимости исключения свободного коэффициента модели судят, исходя из существа процесса или из результатов сравнения по критериям качества Нарушения предположений о матрице X и способы адаптации Нарушение <.>. Зависимость регрессоров j друг от друга называется мультиколлинеарностью. Признаки нарушения: наличие парных коэффициентов корреляции r между регрессорами значимо отличных от нуля; близость j det( X T X ) к нулю. Адаптация: операция центрирования, смещенное оценивание, при числе регрессоров p 0 40 пошаговая регрессия. Полностью избавиться от мультиколлинеарности не всегда представляется возможным. Самый простой способ: вывод из модели несколько коррелирующих (дублирующих) регрессоров, имеющих значения парных коэффициентов корреляции 0, 8 r. j Нарушение <.>. Косвенные признаки нарушения: резкое различие между стандартной ошибкой модели S и точностью прогноза σ Δ, рассчитанной по контрольной выборке. 95

96 Адаптация: применение вычислительной схемы условной регрессии со случайными коэффициентами Нарушения предположений о векторе е и способы адаптации Нарушение <4.>. Косвенные признаки нарушения: наличие гетероскедастичности на графике ( d, ˆ ). Гетероскедастичностью называется явление непостоянства дисперсии переменной ŷ или регрессоров j. Адаптация: преобразование отклика и при необходимости регрессоров j. ( j Нарушение <4.>. Признаки нарушения: наличие на графиках остатков d, ˆ; ) точек за пределами полосы S. Также для проверки нормальности распределения используются аналитические критерии: критерий, Колмогорова Смирнова ( 00), критерий Шапиро и Уилка ( 0), метод Айвазяна. Адаптация: удаление выбросов, применение робастных (устойчивых) методов оценивания. Нарушение <4.>. При наличии свободного коэффициента в модели данное предположение не требует особого внимания. Если величина d отлична от нуля, то это сигнализирует об ошибках в расчетах. Нарушение <4.4>. Признаки нарушения: наличие гетероскедастичности на графиках остатков d, ˆ; ). ( j Адаптация: описание неоднородности дисперсии аналитическим соотношениям, взвешенный метод наименьших квадратов. Нарушение <4.5>. Признаки нарушения: наличие трендов на графике остатков ( d, t), где t время или номер наблюдения; наличие 96

97 взаимных корреляций между e (авторегрессий первого порядка) по критерию Дарбина Уотсона. Адаптация: введение линейного или нелинейного слагаемого по времени t. Если и после этого остается авторегрессия, то используется обобщенный метод наименьших квадратов Нарушения предположений о векторе Y и способы адаптации Нарушение <5.>. Признаки нарушения: применение неполного метода перебора. Адаптация: при невозможности применить метод полного перебора используются методы ветвей и границ, псевдобулевой оптимизации, пошаговой регрессии, генетические алгоритмы. Нарушение <5.>. Признаки нарушения: наличие значимых парных коэффициентов корреляции откликов r. j Адаптация: для оценивания параметров модели использование косвенного метода наименьших квадратов, двухшагового метода наименьших квадратов; трехшагового метода наименьших квадратов и других Методы структурной идентификации Полный перебор Метод полного перебора предполагает построение всех 97 p возможных регрессионных моделей. Модели сравниваются между собой, и выбирается наилучшая по заданному критерию качества (стандартная ошибка, критерий Фишера и т. д.). Основной проблемой при реализации метода полного перебора являются чрезмерные затраты машинного времени. Вследствие этого

98 вместо полного перебора используются методы поиска, в которых количество перебираемых моделей порядка р. Обычно условие <5.> о корректности метода поиска нарушается, если присутствует мультиколлинеарность, количество регрессоров достаточно большое и полный перебор всех структур невозможен Метод включения Начинают с модели, содержащей свободный коэффициент и один фактор, в наибольшей степени коррелирующий с зависимой переменной. Затем в модель последовательно добавляются факторы в порядке возрастания их частных коэффициентов корреляции с откликом. На каждом шаге для включенного фактора j j j вычисляется значение F статистики ( F t ) и сравнивается с табличным значением F табл. При выполнении неравенства регрессоров прекращается. F j Fтабл включение новых Метод исключения Начинают с полной модели, содержащей все факторы. Для каждого регрессора вычисляется значение F статистики ( F ). j Из набора значений статистики Фишера { 98 F j j } выбирается F статистика с наименьшим значением и сравнивается с табличным F табл. Если F j m Fтабл, то регрессор, соответствующий F, j m выводится из модели и производится перерасчет коэффициентов модели без этого фактора. F j Fтабл, то исключение прекращается. Если на каком-то шаге все

99 Метод включения с исключением При использовании методов включения и исключения в случае сильной мультиколлинеарности факторов в модели могут присутствовать лишние факторы. Так как фактор, введенный в модель на раннем шаге, на более позднем из-за корреляции с другими факторами в модели может оказаться малоинформативным. Этот недостаток в некоторой степени устраняется в методе, предусматривающем использование обеих процедур как включения, так и исключения. Для каждой из этих процедур выбирается из таблиц критическое значение F статистики: F табл для включения и F табл для исключения. Идея метода: на каждом этапе включения проверяется, не появляются ли в связи с этим в модели незначимые регрессоры, подлежащие исключению Контрольные вопросы. Какая проблема является основной при поиске оптимальной регрессии?. К каким последствиям приводит включение большого числа факторов в модель?. К чему приводит недоопределенная модель? 4. Какие меры являются наиболее подходящими для поиска оптимальной модели? 5. Назовите основные предположения регрессионного анализа о выборке. 6. Каким предположениям должен удовлетворять вектор параметров модели? 7. Каковы предположения о матрице Х? 8. Каковы предположения о векторе ошибок е? 9. Перечислите дополнительные предположения о векторе Y. 99

100 0. Каковы этапы подхода адаптивного регрессионного моделирования?. Как обычно выполняется анализ предположений регрессионного анализа?. Каковы признаки нарушений предположений о векторе В?. Назовите способы адаптации к нарушениям предположений о векторе В. 4. Каковы признаки нарушений предположений о матрице X? 5. Назовите способы адаптации к нарушениям предположений о матрице X. 6. Каковы признаки нарушений предположений о векторе ошибок е? 7. Назовите способы адаптации к нарушениям предположений о векторе ошибок е. 8. Каковы признаки нарушений предположений о векторе Y? 9. Назовите способы адаптации к нарушениям предположений о векторе Y. 0. В чем суть метода полного перебора?. В чем состоит метод включения? Исключения?. Какова идея метода включения с исключением? 00

101 5. СИСТЕМА ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 5.. Структурная и приведенная формы модели Системой одновременных уравнений называется система взаимозависимых уравнений, характеризующих взаимосвязь исследуемых процессов. В системе одновременных уравнений одни и те же зависимые переменные содержатся в одних уравнениях в левых частях, а в других уравнениях в правых частях системы. Такая форма представления системы одновременных уравнений называется структурной формой модели и имеет вид a a 0 a a a a... a m... a m... a m m e m e m e (5.) Зависимые переменные системы у, у,, называются эндогенными переменными. Их число равно числу уравнений в системе. Предопределенные переменные х, х,, х m, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными. Коэффициенты структурной формы модели переменных и при эндогенных a j при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели. В структурной форме модели отсутствует свободный коэффициент, так как все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего значения, т. е. под х подразумевается, а под у соответственно. Для оценки параметров системы одновременных уравнений обычный метод наименьших квадратов неприменим, так как все

102 уравнения системы взаимосвязаны и не могут рассматриваться по отдельности. Поэтому для оценки структурных коэффициентов модели используются специальные приемы оценивания. Для этого структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели, представляющую собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных: ˆ ˆ... ˆ δ δ δ δ δ δ... δ m... δ... δ m m m где коэффициенты приведенной формы модели. m m, (5.) По своей структуре приведенная форма модели представляет собой систему независимых уравнений, поэтому ее параметры оцениваются с помощью обычного метода наименьших квадратов. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. 5.. Проблема идентификации При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификацией называется единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. С позиции идентифицируемости структурные модели разделяются на три вида: идентифицируемые модели, в которых число коэффициентов структурной формы модели равно числу коэффициентов приведенной 0

103 формы, т. е. все структурные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы модели; неидентифицируемые модели, в которых число коэффициентов структурной формы модели больше числа коэффициентов приведенной формы, т. е. структурные коэффициенты не могут быть определены через коэффициенты приведенной формы модели; сверхидентифицируемые модели, в которых число коэффициентов структурной формы модели меньше числа коэффициентов приведенной формы, т. е. структурные коэффициенты могут быть неоднозначно определены по коэффициентам приведенной формы модели. При исследовании структурной модели на идентифицируемость необходимо проверять каждое уравнение системы. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Необходимое условие идентифицируемости уравнения. Пусть H число эндогенных переменных, содержащихся в уравнении системы, D число экзогенных (предопределенных) переменных, содержащихся в системе, но не входящих в данное уравнение, тогда уравнение системы идентифицируемо, если D + = H; уравнение неидентифицируемо, если D + < H; уравнение сверхидентифицируемо, если D + > H. Достаточное условие идентификации уравнения: уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного. 0

104 5.. Оценивание параметров структурной модели Методы оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный метод наименьших квадратов; двухшаговый метод наименьших квадратов; трехшаговый метод наименьших квадратов; метод максимального правдоподобия с полной информацией; метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели и содержит следующие этапы: модели; ) структурная модель преобразуется в приведенную форму ) для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты обычным методом наименьших квадратов; ) путем алгебраических преобразований коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в структурные коэффициенты модели. Для сверхидентифицируемой системы используется двухшаговый метод наименьших квадратов. Идея двухшагового метода наименьших квадратов: на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, применяем обычный метод наименьших квадратов к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется в случае, когда остатки в различных структурных уравнениях системы коррелируют друг с другом. 04

105 По сути, применение трехшагового метода наименьших квадратов обозначает применение обобщенного метода наименьших квадратов к результатам двухшагового метода: ) коэффициенты системы оцениваются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов; ) для каждого структурного уравнения вычисляются остатки; ) определяется матрица ковариаций остатков; 4) коэффициенты системы одновременных уравнений оцениваются обобщенным методом наименьших квадратов Примеры Пример. Дана структурная форма модели системы одновременных уравнений: a, a Приведенная форма модели имеет вид ˆ δ δ. ˆ δ δ Выразить приведенные коэффициенты модели через структурные коэффициенты. Решение. Система содержит две эндогенные переменные, и две экзогенные переменные,. Выразим из первого уравнения структурной формы модели эндогенную переменную у, получим: a. 05

106 Подставим это выражение вместо у во второе уравнение структурной формы модели, получим: a a a a, ( a a. ), Тогда переменную у можно представить через экзогенные переменные в виде a a. a Подставим это выражение вместо у в выражение для у, получим: a a a ( a ( ) a a (, ( ) a (. ( ) ) ) a a ) a Окончательно для эндогенной переменной у получим выражение: a. a Следовательно, приведенная форма модели будет иметь вид ˆ a a a a Приведенные коэффициенты модели через структурные коэффициенты будут равны:., 06

107 δ δ a a, δ, δ a a. Пример. Дана система одновременных уравнений: ˆ ˆ ˆ a a a a a a a 4 Проверить систему на идентифицируемость. 4. Решение. Система содержит три эндогенные переменные,, и четыре экзогенные переменные,,, 4. Рассмотрим первое уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. В первое уравнение системы входят три эндогенные переменные,, следовательно, H =., В первом уравнении системы отсутствуют две экзогенные переменные и 4, следовательно, D =. Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для первого уравнения системы выполнено. Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу: 07

108 Номер уравнения Отсутствующие переменные 4 a a Вычислим определитель полученной матрицы: det A a 0 0 a4 0, следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено, уравнение неидентифицируемо. Рассмотрим второе уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. Во второе уравнение системы входят две эндогенные переменные и, следовательно, H =. Во втором уравнении системы отсутствует одна экзогенная переменная, следовательно, D =. Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для второго уравнения системы выполнено. Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу: Номер уравнения Переменные a a 08

109 Вычислим определитель полученной матрицы: det A a a 0, ранг матрицы равен, что меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено, и уравнение неидентифицируемо. Рассмотрим третье уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. В третье уравнение системы входят три эндогенные переменные,, следовательно, H =., В третьем уравнении системы отсутствуют две экзогенные переменные и 4, следовательно, D =. Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для третьего уравнения системы выполнено. Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу: Номер уравнения Отсутствующие переменные a a 4 Вычислим определитель полученной матрицы: det A 0 a4 a 0 0, следовательно, достаточное условие идентификации не выполнено, уравнение неидентифицируемо. 09

110 Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируема по необходимому условию, но не может считаться идентифицируемой исходя из достаточного условия. Пример. Дана структурная форма модели: a a a a a Приведенная форма модели имеет вид ) Проверить структурную форму модели на идентифицируемость. ) Определить структурные коэффициенты модели косвенным методом наименьших квадратов. Решение. Модель имеет три эндогенные переменные,,, и три экзогенные,,. ) Проверим каждое уравнение системы на необходимые и достаточные условия идентификации. Рассмотри первое уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. В первое уравнение системы входят две эндогенные переменные,, следовательно, H =. В первом уравнении системы отсутствует одна экзогенная переменная, следовательно, D =. 0

111 Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для первого уравнения системы выполнено, и уравнение идентифицируемо. Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу: Номер уравнения Отсутствующие переменные 0 a Вычислим определитель полученной матрицы: 0 a 0 det A a, ранг матрицы равен, что равно числу эндогенных переменных в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентификации выполнено, и уравнение идентифицируемо. Рассмотри второе уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. Во второе уравнение системы входят три эндогенные переменные,, следовательно, H =., Во втором уравнении системы отсутствуют две экзогенные переменные и, следовательно, D =. Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для второго уравнения системы выполнено, и уравнение идентифицируемо.

112 Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу: Номер уравнения Отсутствующие переменные a 0 a a Вычислим определитель полученной матрицы: det A a a 0 a a a 0, ранг матрицы равен, что равно числу эндогенных переменных в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентификации выполнено, и уравнение идентифицируемо. Рассмотри третье уравнение системы. Проверим уравнение на выполнение необходимого условия идентификации. В третье уравнение системы входят две эндогенные переменные,, следовательно, H =. В третьем уравнении системы отсутствует одна экзогенная переменная, следовательно, D =. Так как D + = += = H, следовательно, необходимое условие идентификации для третьего уравнения системы выполнено, и уравнение идентифицируемо. Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Для этого по отсутствующим в уравнении переменным (эндогенным и экзогенным) из коэффициентов при них в других уравнениях системы составим матрицу:

113 Номер уравнения Отсутствующие переменные a a Вычислим определитель полученной матрицы: det A a a 0, ранг матрицы равен, что равно числу эндогенных переменных в системе без одного, следовательно, достаточное условие идентификации выполнено, и уравнение идентифицируемо. Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема, так как для всех уравнений системы выполнены необходимое и достаточное условия идентификации. ) Определим структурные коэффициенты модели косвенным методом наименьших квадратов. а) Выразим из второго уравнения приведенной формы модели: 4. 0 Подставим его в первое уравнение приведенной формы модели: модели: Первое уравнение структурной формы модели имеет вид б) Выразим из первого уравнения приведенной формы

114 4 6. Выразим из третьего уравнения приведенной формы модели: Подставим в уравнение выражения :, , Теперь подставим в выражение : , Подставим полученные выражения и во второе уравнение приведенной формы модели: Получим второе уравнение структурной формы модели:

115 5 в) Из второго уравнения приведенной формы модели выразим : 4 0. Подставим в третье уравнение приведенной формы модели: Получим третье уравнение структурной формы модели: 0 8. Структурная форма модели имеет вид Задачи. Дана система одновременных уравнений: ˆ ˆ ˆ a a a a a a a a. Проверить систему на идентифицируемость.

116 6. Дана система одновременных уравнений: 4 4 ˆ ˆ ˆ a a a a a a a. Проверить систему на идентифицируемость.. Дана система одновременных уравнений: ˆ ˆ ˆ х а a a a a a a a. Проверить систему на идентифицируемость. 4. Дана система одновременных уравнений: ˆ ˆ ˆ х а a a a a a a a. Проверить систему на идентифицируемость. 5. Дана структурная форма модели: a a a a a. Приведенная форма модели имеет вид

117 ) Проверить структурную форму модели на идентифицируемость. ) Определить структурные коэффициенты модели косвенным методом наименьших квадратов Контрольные вопросы. Что называется системой одновременных уравнений?. Что такое структурная форма модели?. Какие переменные называются эндогенными? 4. Какие переменные называются экзогенными? 5. Почему в уравнениях системы одновременных уравнений отсутствует свободный коэффициент? 6. Что такое приведенная форма модели? 7. Что такое идентификация модели? 8. Какие модели называются идентифицируемыми? 9. Какие модели называются неидентифицируемыми? 0. Какие модели называются сверхидентифицируемыми?. Каково необходимо условие идентифицируемости уравнения системы?. Каково достаточное условие идентифицируемости уравнения системы?. Какие методы используются для оценивания коэффициентов структурной модели? 4. В чем состоит косвенный метод наименьших квадратов? 5. Какова идея двухшагового метода наименьших квадратов? 6. Какие этапы включает трехшаговый метод наименьших квадратов? 7

118 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 6.. Понятие временного ряда и его составляющих Временным рядом называется упорядоченная во времени последовательность значений какого-либо процесса : {(,t ), =,,, }. Величины называются уровнями ряда, а t временными моментами. Обычно рассматриваются ряды с равными интервалами между временными моментами, в качестве значений t берутся порядковые номера наблюдений, и временной ряд представляется в виде последовательности,,...,, где число наблюдений. Главной целью анализа временных рядов является выявление закономерностей в динамике рядов и построение их адекватных моделей для прогнозирования будущих значений временных рядов. В общем случае в модели временного ряда содержится несколько составляющих: тренд (T), описывающий долговременную тенденцию изменения процесса ; периодические (сезонные, циклические) колебания относительно тренда (S); случайная составляющая (E). В большинстве случаев модель временного ряда можно представить как сумму или произведение составляющих T, S и E: аддитивная модель: Y t = T t + S t + E t, (6.) мультипликативная модель: Y t = T t S t E t. (6.) 8

119 Трендом называется систематическая составляющая долговременного действия, характеризующая изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Периодическая составляющая ряда описывает более или менее регулярные колебания в динамике ряда. Колебания называются сезонными, если период колебаний не превышает одного года, и циклическими при большем периоде колебаний. Случайная составляющая ряда формируется под действием большого числа побочных факторов, влияние каждого из которых незначительно, но ощущается их суммарное воздействие. 6.. Автокорреляция уровней временного ряда Если временной ряд содержит тренд и периодические колебания, то значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляция количественно измеряется с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов назад во времени. Коэффициент автокорреляции первого порядка характеризует степень связи между соседними уровнями ряда t и t и вычисляется по формуле r ( )( t t t ( t ) ( t t t ) ) 9, (6.)

120 0 где t t, t t. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту зависимости между уровнями t и t и определяется по формуле t t t t t t t r 4 4 ) ( ) ( ) )( (, (6.4) где t t, 4 t t. Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более высоких порядков: τ t τ t τ τ t τ t τ t τ τ t τ t τ r ) ( ) ( ) )( (, (6.5) где τ t t τ, τ t τ t τ. Величина сдвига τ называется лагом и определяет порядок коэффициента автокорреляции. Коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя сделать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней ряда называется автокорреляционной функцией временного ряда.

121 График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить наличие трендовой и периодической компонент в структуре временного ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тренд. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит колебания с периодом τ. Если все коэффициенты автокорреляции оказались незначимыми, то либо ряд не содержит тренда и периодических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию. 6.. Моделирование трендовой составляющей временного ряда 6... Методы определения наличия тренда Метод сравнения средних применяется для выявления монотонной тенденции. При этом временной ряд разбивается на две примерно равные части,,..., и,,..., с количеством наблюдений и. Для каждой части вычисляются средние, и выборочные дисперсии s, s соответственно. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в динамике процесса (о равенстве средних в обеих частях временного ряда). Для проверки гипотезы применяется критерий Стьюдента. При условии равенства дисперсий в обеих частях временного ряда статистика Стьюдента вычисляется по формуле t факт. (6.6) s s

122 Если предполагается, что дисперсии s различны, то статистика Стьюдента определяется по формуле s и t факт, (6.7) S где S общая выборочная дисперсия временного ряда. Из таблицы (Приложение ) находится критическое значение статистики Стьюдента t табл a, ) при уровне значимости α ( и числе степеней свободы k. Если tфакт t табл, то гипотеза об отсутствии тенденции в динамике ряда принимается, в противном случае считается, что в динамике исследуемого процесса имеется тренд. Метод Фостера Стюарта является более универсальным и дает более надежные результаты. Каждому уровню ряда, начиная со второго, ставится в соответствие два значения p и q : p =, если уровень,,..., ; p = 0 в противном случае; q =, если уровень,,..., ; q = 0 в противном случае. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тенденции в динамике процесса. Для проверки гипотезы применяется критерий Стьюдента. Вычисляется статистика Стьюдента по формуле t факт ( p q ). (6.8) Из таблицы (Приложение ) находится критическое значение статистики Стьюдента t табл ( a, ) при уровне значимости α и числе степеней свободы k.

123 Если tфакт t табл, то гипотеза об отсутствии тенденции в динамике ряда принимается, в противном случае считается, что в динамике исследуемого процесса имеется тренд Сглаживание временного ряда скользящей средней Сглаживание временного ряда методами скользящей средней заключается в замене исходных уровней ряда t сглаженными значениями t. В результате получается временной ряд t, меньше подверженный колебаниям. Для сглаживания временного ряда выбирается нечетная «длина усреднения» N = m +, измеренная в числе подряд идущих членов анализируемого ряда. Затем вычисляется сглаженное значение t временного ряда t по значениям t-m, t-m+,, t, t+,, t+m по формуле где t k m w k k m, t m, m,..., m, (6.9) t k w ( k m, m,..., m ) некоторые положительные «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице, т. е. m w k > 0 и k k m w. Изменяя величину t от m + до m, как бы «скользят» по оси времени, поэтому методы, основанные на формуле (6.9) называются методами скользящей средней. Методы скользящей средней отличаются друг от друга выбором параметров m и w k. Определение весовых коэффициентов w k основано на построении по первым (m + ) точкам временного ряда полинома степени p, оценивании его параметров методом наименьших квадратов и определении по этому полиному сглаженного значения t временного ряда в средней (m + ) точке этого отрезка ряда. Затем «скользят» по оси

124 времени на один такт, аналогично подбирается полином той же степени p к следующему отрезку временного ряда, и определяется оценка сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда и т. д. В результате вычисляются оценки для сглаженных значений t анализируемого временного ряда при всех t, кроме t =,,, m и t =,,, m +. Процедура сглаживания временного ряда, основанная на построении полинома первой степени, называется простой скользящей средней. Процедура сглаживания простой скользящей средней имеет вид m t t k m k m, (6.0) т. е. при линейном характере локальной аппроксимации траектории временного ряда в качестве его сглаженного значения в точке t берется среднее арифметическое из окаймляющих его (m + ) соседних значений: t-m, t-m+,, t, t+,, t+m или в терминах весовых коэффициентов: w -m = w -m+ = = w m = /(m+) Метод аналитического выравнивания Аналитическим выравниванием временного ряда называется построение аналитической функции (кривой роста) ŷ = f(t), характеризующей зависимость уровней ряда от времени. В качестве кривой роста применяются следующие функции: a a t линейная; t 0 t a0 at at... a t параболическая; k k 4

125 a a0 t гиперболическая; t a0 at t e экспоненциальная; t t a0 a t потенциальная; 0 a a t степенная и другие. Параметры кривой роста определяются обычным методом наименьших квадратов, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной уровни временного ряда. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру линеаризации. Для определения типа тренда используются следующие способы: визуальный анализ графика временного ряда; анализ коэффициентов автокорреляции уровней ряда (если коэффициент автокорреляции первого порядка уровней ряда высокий, то временной ряд имеет линейную тенденцию); перебор основных моделей тренда и выбор наилучшего уравнения тренда по критериям качества Моделирование периодической компоненты Метод скользящей средней Одним из методов моделирования периодических колебаний является использование сглаживания временного ряда по методу простой скользящей средней. На основе анализа графика временного ряда определяется вид модели временного ряда аддитивный или мультипликативный. Если амплитуда периодических колебаний приблизительно постоянна, то 5

126 выбирается аддитивная модель. Если амплитуда периодических колебаний возрастает с ростом уровней ряда, то выбирается мультипликативная модель временного ряда. При выборе аддитивной модели периодическая составляющая ряда выделяется путем нахождения разности между уровнями исходного и сглаженного рядов. В случае мультипликативной модели периодические колебания выделяются путем нахождения отношения между уровнями исходного и сглаженного рядов. Затем вычисляются средние значения, соответствующие наблюдениям внутри одного периода колебаний Гармонический анализ временного ряда Другим методом выявления периодической компоненты является гармонический анализ. Согласно гармоническому анализу, временной ряд представляется как совокупность гармонических колебательных процессов: / π π t f ( t) ak coskt k skt, (t =,,,), (6.) k где у t фактический уровень ряда в момент времени t; f(t) выравненный уровень ряда в тот же момент времени; а k, k параметры гармонических колебаний с номером k, в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки. Общее число колебательных процессов, которые можно выделить для ряда, состоящего из уровней, равно /. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером k определяются по формулам: e f (t), t t 6

127 a a k k t t π et coskt ;( k,,..., / k ), π et skt ;( k,,..., / k ), / et cos( πt) t ; 0. / Гармонический анализ применяется для моделирования сезонных колебаний, имеющих синусоидальную форму Моделирование случайной составляющей временного ряда Чаще всего для моделирования случайной составляющей временного ряда используются модели авторегрессии, скользящего среднего, смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего, которые позволяют предсказать текущие значения временного ряда по значениям в предыдущие моменты времени. Модель авторегрессии порядка p определяется выражением: t β β β ε t t... p t p t, (6.) где j (j =,, p) коэффициенты модели; ε t последовательность случайных величин, образующих белый шум. Параметры j (j =,, p) модели обычно оцениваются методом наименьших квадратов при предположениях, что случайная величина t распределена нормально и независимо от t, и коэффициенты модели по абсолютной величине значения меньше единицы. где Модель скользящего среднего порядка q имеет вид t ε θ ε θ ε... θ t θ θ,..., θ ε t t q tq, (6.), q коэффициенты модели; t случайных величин, образующих белый шум. ε последовательность 7

128 Модель, включающая как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего, называется моделью авторегрессии со скользящими средними в остатках порядка (p, q) и имеет вид где t β β ε θ ε... θ β β,..., β t... p t p t t q tq, (6.4) θ θ,..., θ коэффициенты смешанной модели., p и, q ε 6.6. Примеры Пример. Имеются данные об уровне безработицы 8 месяцев: t (%) за Месяц t 8,8 8,6 8,4 8, 7,9 7,6 7,4 7,0 ) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка. ) Выбрать уравнение тренда и определить его параметры методом наименьших квадратов. Решение. ) Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка. t t t t t ( t )( t ) ( t ) ( t ) 8,8 8,6 8,8 0,74 0,69 0,506 0,5476 0,476 8,4 8,6 0,54 0,49 0,646 0,96 0,40 4 8, 8,4 0,4 0,9 0,0696 0,0576 0, ,9 8, 0,04 0,0 0,0004 0,006 0, ,6 7,9 0,6 0, 0,0546 0,0676 0,044 8

129 t t t t t ( t )( t ) Продолжение табл. ( t ) ( t ) 7 7,4 7,6 0,46 0,5 0,46 0,6 0,60 8 7,0 7,4 0,86 0,7 0,606 0,796 0,504 6,8 56,8 0,0 0,0,774,97,6087 Средние значения уровней ряда равны: t t 8,6 8,4 8, 7,9 7,6 7,4 7,0 8 t t 8,8 8,6 8,4 8, 7,9 7,6 7,4 8 7,86, 8,. Определим коэффициент корреляции между уровнями по формуле r t t t t t t t. t и t Получим коэффициент автокорреляции первого порядка:,744 r 0,99.,97,6087 Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между уровнем безработицы текущего и непосредственно предшествующего месяца и, следовательно, о наличии во временном ряду уровней безработицы сильной линейной тенденции. Определим коэффициент автокорреляции второго порядка. 9

130 t t t t t 4 t t 4 t t 4 8,8 8,6 8,4 8,8 0,67 0,57 0,89 0,4489 0,49 4 8, 8,6 0,7 0,7 0,69 0,69 0,69 5 7,9 8,4 0,7 0,7 0,089 0,089 0, ,6 8, 0, 0, 0,069 0,069 0, ,4 7,9 0, 0, 0,089 0,089 0, ,0 7,6 0,7 0,6 0,4599 0,59 0,969 6,8 49,4 0,0 0,0,4,74,04 Средние значения уровней ряда равны: t t 8,4 8, 7,9 7,6 7,4 7,0 8 7,7, t t 8,8 8,6 8,4 8, 7,9 7,6 4 8,. 8 Определим коэффициент автокорреляции второго порядка: t t 4 t,4,74,04 t t 4 t t r 0,998. Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд уровня безработицы содержит линейную тенденцию. ) Построим линейный тренд: ˆ a t. t Методом наименьших квадратов найдем оценки параметров тренда по формулам: 0

131 t t, t t a t. Проведем следующие расчеты: t 8,8 t 76,5 4,565, 8 8,6 8,4 4 8, 5 7,9 6 7,6 7 7,4 8 7, t t 4,5, 8 6,8 7,975, 8 t 5,8875, t t 4 t. t 4,5 0, Тогда оценки параметров тренда будут равны: 4,565 5,8875 0,5, 5,5 0,5 0,5 4,5 9, a 7, ,5, Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид t 9, 0, 5t. Пример. Имеются данные об объемах продаж t за 0 месяцев: Месяц t

132 ) Провести сглаживание временного ряда простой скользящей средней по трем точкам. ) Построить линейный тренд временного ряда. ) Предполагая отсутствие автокорреляции остатков, спрогнозировать ожидаемый объем продаж в -м месяце. Решение. ) Сглаживание простой скользящей средней проведем по формуле (6.0) при m = :. t t k k При этом для первого и последнего периодов вычислить сглаженные значения невозможно. Для остальных месяцев получим: ( 4 ), (4 5) 4,, 9 ( 4),7. Запишем полученные результаты в таблицу. Месяц t t,0 4,0 4,7 6,0 8, 0,0,0,7 Нанесем полученный сглаженный ряд на график исходного временного ряда (сплошная линия) в виде штриховой линии (рис. 6.).

133 Рис. 6.. График исходного временного ряда (сплошная линия) и сглаженного ряда (штриховая линия) ) Построим линейный тренд: ˆ a t. t Методом наименьших квадратов найдем оценки параметров тренда по формулам: t t, t t a t. Проведем следующие расчеты: t t 09, ,7, 0 55 t t 5,5, 0 t 97,5,

134 85 t t 8,5, 0 5,5 0, 5 t. Тогда оценки параметров тренда будут равны: 09 97,5,4, 8,5 0,5 a 7,7,45,5 9,9. Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид t 9,9, 4t. Нанесем полученный линейный тренд на график исходного временного ряда в виде штриховой линии (рис. 6.). Рис. 6.. График исходного временного ряда (сплошная линия) и линейного тренда (штриховая линия) ) Найдем прогнозируемый ожидаемый объем продаж в -м месяце. 4

135 Получим прогнозируемое значение объема продаж в -м месяце в соответствии с полученной моделью тренда: 9,9,4 5,47. Пример. Имеются данные курса акций t за месяцев: Месяц t ) Построить модель авторегрессии первого порядка. ) Найти прогноз курса акций за -й месяц. Решение. ) Построим модель авторегрессии первого порядка по формуле (6.): t β t εt. Построение уравнения авторегрессии первого порядка идентично построению уравнения парной линейной регрессии, где в качестве регрессора выступают уровни ряда t, а в качестве отклика t, при нулевом значении свободного коэффициента ( a 0 ). Найдем оценку параметра β авторегрессионной модели методом наименьших квадратов по формуле t t t β 0,96. t Следовательно, модель авторегрессии первого порядка будет иметь вид t 0,96 ε. t t 5

136 ) Найдем прогноз курса акций за -й месяц по модели авторегрессии первого порядка. Учитывая, что, то прогнозируемое значение курса акций за -й месяц составит: 0,96 9, Задачи. Имеются данные уровня инфляции t (%) за 9 лет: Год t,8 8,80 8,78 6,0 6,58 6,45,6,9 5,8 ) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка. ) Выбрать уравнение тренда и определить его параметры методом наименьших квадратов. ) Предполагая отсутствие автокорреляции остатков, спрогнозировать ожидаемый уровень инфляции на 0-й год.. Имеются данные депозитов физических лиц t в течение года. Месяц t ) Провести сглаживание временного ряда простой скользящей средней по трем точкам. ) Построить линейный тренд временного ряда. 6

137 ) Предполагая отсутствие автокорреляции остатков, спрогнозировать ожидаемый объем депозитов в первом месяце следующего года.. Имеются данные об уровне безработицы в регионе за 4 месяцев. t t 5, 4,6 4,8 5, 5,5 5, 5, 5,4 4,7 4,5 4,6 4,9 4,6 4,5 ) Построить линейный тренд временного ряда. ) Построить модель авторегрессии первого порядка. ) Получить прогноз уровня безработицы в 5-м месяце по модели тренда и авторегрессионной модели Контрольные вопросы. Что называется временным рядом?. Какова цель анализа временных рядов?. Какие составляющие содержит временной ряд? 4. Какие бывают модели временных рядов? 5. Что называется трендом? 6. Какие колебания описывает периодическая компонента? 7. Как формируется случайная компонента? 8. Что называется автокорреляцией уровней ряда? 9. Как вычисляется коэффициент автокорреляции уровней первого порядка? 0. Что измеряет коэффициент автокорреляции уровней первого порядка? 7

138 . Что характеризует коэффициент автокорреляции второго п орядка?. Как называется величина сдвига для определения порядка коэффициента автокорреляции?. Как называется последовательность коэффициентов автокорреляции уровней ряда? 4. Как называется график зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага? 5. Как выявить структуру временного ряда? 6. Какие существуют методы выявления наличия тренда? 7. Что означает сглаживание временного ряда? 8. Какие методы называются методами скользящей средней? 9. Как называется процедура сглаживания временного ряда, основанная на построении полинома первой степени? 0. Как называется метод построения аналитической функции тренда?. Как называется функция, характеризующая зависимость уровней ряда от времени?. Какие функции применяются в качестве кривой роста?. Каким методом можно получить параметры тренда? 4. Каковы способы определения типа тенденции? 5. Какие существуют подходы к моделированию периодических колебаний? 6. В чем суть гармонического анализа временного ряда? 7. Какие модели используются для моделирования случайной составляющей временного ряда? 8. Что представляет собой модель авторегрессии? Скользящего среднего? 8

139 7. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 7.. Методические указания Расчетно-графическая работа является одним из видов самостоятельной работы студентов, предназначенной для закрепления теоретических сведений и развития навыков самостоятельных практических расчетов у студентов. Индивидуальная работа включает одно комплексное задание на построение и анализ качества модели множественной регрессии. При выполнении расчетно-графической работы необходимо использовать возможности надстройки «Анализ данных» табличного процессора MS Ecel. Также возможно использование другого статистического или эконометрического программного пакета. Изучение компьютерных технологий проводится самостоятельно на основе навыков, полученных при изучении курса информатики. К заданию прилагаются варианты исходных данных. Номер варианта определяется в соответствии с номером обучающегося в общем списке группы. Расчетно-графическая работа оформляется в виде пояснительной записки на бумаге формата А4 с титульным листом. Используется шрифт Tmes New Roma размером 4 пт, междустрочный интервал полуторный. Формулы набираются с помощью редактора формул. Законченная расчетно-графическая работа предъявляется руководителю. После проверки работы студенту назначается время защиты. В случае обнаружения недочетов, неверно решенных задач, а также в случае наличия в тексте пояснительной записки большого числа грамматических и орфографических ошибок, работа возвращается на доработку. Среднее время самостоятельной работы студента на выполнение расчетно-графических работ составляет 0 часов. 9

140 7.. Подключение пакета «Анализ данных» MS Ecel При выполнении расчетно-графической работы необходимо использовать возможности пакета «Анализ данных» табличного процессора MS Ecel, предназначенного для решения задач обработки данных, математической статистики и ее приложений. Подключение пакета «Анализ данных» в различных версиях MS Ecel производится по-разному из-за различий графического интерфейса программы. Для подключения пакета в MS Ecel 00 следует выбрать позицию меню «Сервис» / «Надстройки». Появится окно «Надстройки», в котором надо установить флажок «Пакет анализа» и нажать кнопку «ОК» (рис. 7.). Рис. 7.. Выбор надстройки «Пакет анализа» Затем в главном меню «Сервис» появится позиция меню «Анализ данных», при выборе которой открывается окно (рис. 7.). 40

141 Рис. 7.. Окно «Анализ данных» Если надстройка «Пакет анализа» отсутствует в списке «Доступные надстройки» (рис. 7.), то для ее поиска следует нажать кнопку «Обзор...». В случае появления сообщения о том, что «Пакет анализа» не установлен на компьютере, и предложения установить его, следует согласиться и нажать кнопку «Да». Для подключения пакета в MS Ecel 007 следует нажать в левом верхнем углу главного окна круглую кнопку «Mcrosoft Offce», а затем кнопку «Параметры Ecel» (рис. 7.). Рис. 7.. Выбор меню «Параметры Ecel» 4

142 В появившемся окне «Параметры Ecel», в списке команд левой части окна выбрать команду «Надстройки», в списке «Управление» выбрать позицию «Надстройки Ecel» и нажать кнопку «Перейти...» (рис. 7.4). Рис Выбор меню «Надстройки» После этого появится окно «Надстройки», в котором надо установить флажок «Пакет анализа» и нажать кнопку «ОК» (рис. 7.). В результате подключения надстройки на вкладке «Данные» в группе «Анализ» станет доступна команда «Анализ данных». При выборе этой команды будет открываться окно «Анализ данных» (рис. 7.). Для подключения пакета в MS Ecel 00 и старше следует на вкладке «Файл» выбрать команду «Параметры» для открытия окна «Параметры Ecel» (рис. 7.). Дальнейшие действия по подключению надстройки аналогичны действиям, описанным для MS Ecel

143 7.. Задание. Проверить факторы на наличие мультиколлинеарности. Отобрать независимые (неколлинеарные) факторы.. По отобранным факторам построить уравнение линейной множественной регрессии.. Проверить качество уравнения регрессии:. по значениям коэффициентов множественной корреляции и детерминации;. по критерию Фишера;. по критерию Стьюдента. 4. Построить уравнение линейной множественной регрессии с учетом значимых факторов Пример выполнения расчетно-графической работы Таблица эмпирических данных , ,9 05, ,6 05,8 79, ,4 05, , ,5 04, 5 55, ,5 05,7 6 5, , 05,5 7, , 04,7 8 5, , 05,8 9 09, ,4 05,8 0 98, ,5 05,5 94, , 05, 75, ,9 05,7 4075,

144 Окончание табл , ,9 05, 5 704, , 06, 6 898, ,4 05,4 7 0, , 05, , , , , 04,9 0 67, , 05,6 5, ,5 06, ,5 05, 9, , 05, 4 0, ,5 05, 5 9, ,6 05, , , , ,4 8 40, , , , 05, 0 787, ,8 06,7 849, ,4 06, 845, , 06, , 06,7 4 59, , 05,7 5 70, , 05,6 6 69, ,8 05, 7 780, , 06,7 8 8, , , , 04, , , 06, 44

145 . Проверка факторов на наличие мультиколлинеарности Построим корреляционную матрицу, используя функцию табличного процессора MS Ecel. Расположим исходные данные в ячейках (рис. 7.5). Рис Расположение исходных данных в ячейках MS Ecel 45

146 Вызовем меню «Данные» / «Анализ данных» / «Корреляция» (рис. 7.6). Рис Вызов функции «Анализ данных» / «Корреляция» В окне ввода параметров функции «Анализ данных» / «Корреляция» (рис. 7.7) необходимо указать диапазон ячеек, содержащих исходные данные («Входной интервал»), и диапазон ячеек, в которых будет располагаться полученная корреляционная матрица («Выходной интервал»). Рис Окно ввода параметров функции «Анализ данных» / «Корреляция» В области ячеек, начиная с указанной ячейки выходного интервала, получим искомую матрицу (рис. 7.8). 46

147 Рис Корреляционная матрица Переименуем столбцы в соответствии с исходными данными (рис. 7.9). Переменные 4 5 0,87 0,75 0,870 0,74 0,479 0,49 4 0,09 0,00 0,0 0,6 5 0,4 0,04 0,49 0, 0,84 Рис Корреляционная матрица Найдем в корреляционной матрице значения парных коэффициентов корреляции между объясняющими переменными, удовлетворяющие условию r 0, 8. j Получим r 0,87 0, 8, следовательно, факторы и являются дублирующими (коллинеарными), т. е. мультиколлинеарность обнаружена. Один из факторов или должен быть исключен из модели. Предпочтение при этом отдадим тому фактору, который при доста- 47

148 точно тесной связи с имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. Фактор теснее связан с, чем фактор, так как r 0,87 r 0,75, также он имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами, поэтому исключаем фактор. Таким образом, будем строить множественную регрессию у по факторам х, х, х 4 и х 5.. Уравнение линейной множественной регрессии Для построения уравнения линейной множественной регрессии используем функцию «Данные» / «Анализ данных» / «Регрессия» табличного процессора MS Ecel (рис. 7.0). Рис Окно ввода параметров регрессии В окне ввода параметров функции «Анализ данных» / «Регрессия» (рис. 7.0) необходимо указать диапазон ячеек, содержащих исходные 48

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 3 Парная регрессия Оглавление Парная регрессия... 3 Метод наименьших квадратов (МНК)... 3 Интерпретация уравнения регрессии... 4 Оценка качества построенной

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

600 и До размеру. Итого активов, млн руб. Удельный вес банков в % к

600 и До размеру. Итого активов, млн руб. Удельный вес банков в % к ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.11 Эконометрика Примерные зачетные практические задания Задачи: 1. В лотерее разыгрывается:

Подробнее

присутствие в эконометрической модели более чем двух факторов равенством нулю математического ожидания остатков

присутствие в эконометрической модели более чем двух факторов равенством нулю математического ожидания остатков 1. Тема: Предпосылки МНК, методы их проверки Предпосылками метода наименьших квадратов (МНК) являются следующие функциональная связь между зависимой и независимой переменными присутствие в эконометрической

Подробнее

Таблица 1. Среднедневная зарплата, руб., у. региона

Таблица 1. Среднедневная зарплата, руб., у. региона В таблице 7 приведены данные по территориям региона за 199Х год. Число k рассчитывается по формуле k = 100 + 10i + j, где i, j две последние цифры зачетной книжки соответственно. (i = 1, j = 6) Требуется:

Подробнее

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения 1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Подробнее

Контрольные тесты по дисциплине «Эконометрика»

Контрольные тесты по дисциплине «Эконометрика» Контрольные тесты по дисциплине «Эконометрика» Первая главная компонента A. Содержит максимальную долю изменчивости всей матрицы факторов. B. Отражает степень влияния первого фактора на результат. C. Отражает

Подробнее

Абдиев Б.А. «Эконометрика» Предназначено для студентов специальности: Финансы, вечернее отделение (2 курс 4г.о.) Учебный год:

Абдиев Б.А. «Эконометрика» Предназначено для студентов специальности: Финансы, вечернее отделение (2 курс 4г.о.) Учебный год: Абдиев Б.А. «Эконометрика» Предназначено для студентов специальности: Финансы, вечернее отделение (2 курс 4г.о.) Учебный год: 2015-2016 Текст вопроса 1 Парная регрессия у=а+вх+е представляет собой регрессию

Подробнее

Курсовая работа. по дисциплине : «Эконометрика» Тема: «Анализ и прогнозирование ряда динамики» Вариант 21

Курсовая работа. по дисциплине : «Эконометрика» Тема: «Анализ и прогнозирование ряда динамики» Вариант 21 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЭКОНОМЕТРИКА"

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭКОНОМЕТРИКА 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЭКОНОМЕТРИКА" 1. Какие типы экспериментальных данных используются в эконометрических моделях.. Сформулируйте основные этапы эконометрического

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Контрольная работа по дисциплине Эконометрика

Контрольная работа по дисциплине Эконометрика Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный технический университет Кафедра прикладной математики Контрольная работа по дисциплине Эконометрика Выполнил: Студент группы

Подробнее

ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ Парная линейная регрессия регрессионная зависимость между двумя переменными у и х, т е модель вида y a e, где у отклик, х фактор, e - случайная «остаточная» компонента Далее рассмотрим

Подробнее

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. По дисциплине «Эконометрика»

Институт Экономики и Финансов. Кафедра «Математика» Курсовая работа. По дисциплине «Эконометрика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа 55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

Подробнее

Вариант 5.5. Ожидаемая продолжительность жизни при рождении 2005 г., лет, Х 1. человеческого развития, Y. Х 1 прогн = 73, Х 2 прогн =3300, = 0,05.

Вариант 5.5. Ожидаемая продолжительность жизни при рождении 2005 г., лет, Х 1. человеческого развития, Y. Х 1 прогн = 73, Х 2 прогн =3300, = 0,05. Задача 5. Имеются данные по странам за 005 год. Построить регрессионную модель: Y= 0 + Х + Х +. Задание.. По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии i, i= 0,,.. Оценить статистическую значимость найденных

Подробнее

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине «Эконометрика» «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий»

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине «Эконометрика» «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Экономика и управление на транспорте»

Подробнее

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине: «Эконометрика» на тему: «Анализ и прогнозирование временного ряда» Вариант 12

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине: «Эконометрика» на тему: «Анализ и прогнозирование временного ряда» Вариант 12 Ф Е ДЕРАЛЬН О Е ГОСУДАРСТВЕ Н НОЕ БЮ ДЖЕТНОЕ О БРАЗОВАТЕЛ ЬНОЕ У ЧРЕЖ Д ЕНИЕ ВЫСШЕГ О П Р ОФ ЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВА Н ИЯ «МОСК ОВСКИЙ ГОСУД А РСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ П УТЕЙ С ООБЩЕНИЯ» Институт экономики

Подробнее

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине: «Эконометрика» на тему: «Анализ и прогнозирование временного ряда» Вариант 22

КУРСОВАЯ РАБОТА. по дисциплине: «Эконометрика» на тему: «Анализ и прогнозирование временного ряда» Вариант 22 Ф Е ДЕРАЛЬН О Е ГОСУДАРСТВЕ Н НОЕ БЮ ДЖЕТНОЕ О БРАЗОВАТЕЛ ЬНОЕ У ЧРЕЖ Д ЕНИЕ ВЫСШЕГ О П Р ОФ ЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВА Н ИЯ «МОСК ОВСКИЙ ГОСУД А РСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ П УТЕЙ С ООБЩЕНИЯ» Институт экономики

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 38.03.01

Подробнее

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Подробнее

найти средние и частные коэффициенты эластичности.

найти средние и частные коэффициенты эластичности. Имеются выборочные данные (табл. 9) показателей «Объем продукции» (х, тыс. штук) и «Единичные издержки» (, тыс. руб). Таблица 9 наблюдения Единичные издержки Объем продукции наблюдения Единичные издержки

Подробнее

Корреляционный анализ.

Корреляционный анализ. Корреляционный анализ. Корреляционно-регрессионный анализ выполняется на основе анализа эмпирических данных. Методы такого анализа являются составной частью эконометрики, которая устанавливает и исследует

Подробнее

Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика» студента Папченко Антона Алексеевича

Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика» студента Папченко Антона Алексеевича Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика» студента Папченко Антона Алексеевича Задача. Метод наименьших квадратов, уравнения регрессии. Используя метод наименьших квадратов, определить наилучшую

Подробнее

АННОТАЦИИ ДИСЦИПЛИН УЧЕБНОГО ПЛАНА по направлению «Менеджмент» (бакалавриат) Б2. Математический и естественнонаучный цикл

АННОТАЦИИ ДИСЦИПЛИН УЧЕБНОГО ПЛАНА по направлению «Менеджмент» (бакалавриат) Б2. Математический и естественнонаучный цикл АННОТАЦИИ ДИСЦИПЛИН УЧЕБНОГО ПЛАНА по направлению 080200.62 «Менеджмент» (бакалавриат) Б2. Математический и естественнонаучный цикл Б2.В Вариативная часть Б2.В.ОД.1 Эконометрика (составитель аннотации

Подробнее

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед

Подробнее

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 3. парная регрессия) теоретические материалы для студентов ОФиП

Кафедра «Теория рынка» Тимофеев В.С. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ (Раздел 3. парная регрессия) теоретические материалы для студентов ОФиП МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения

1. Общий анализ временного ряда. Доходы населения 1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа Корреляционный анализ Оглавление Понятие корреляционного и регрессионного анализа... 3 Парный корреляционный анализ. Коэффициент корреляции... 4 Задание

Подробнее

ТЕМА 3. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В МНОГОФАКТОРНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ Мультиколлинеарность

ТЕМА 3. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В МНОГОФАКТОРНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ Мультиколлинеарность ТЕМА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В МНОГОФАКТОРНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ Мультиколлинеарность 67 Количественная оценка параметров уравнения регрессии предполагает выполнение условия линейной независимости между независимыми

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного

Подробнее

АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Т. А. Заяц УО «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации», г. Гомель В современных экономических условиях планирование и управление

Подробнее

Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности

Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности Методические указания к выполнению курсовой работы на тему «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий» Москва, 201 Введение Курсовая работа «Комплексный

Подробнее

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Н.В. Карпенко ЭКОНОМЕТРИКА ЧАСТЬ I ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ. Учебное пособие

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Н.В. Карпенко ЭКОНОМЕТРИКА ЧАСТЬ I ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ. Учебное пособие ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М.В. Ишханян, Н.В.

Подробнее

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые

Подробнее

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Пусть у нас есть серии значений двух параметров. Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Подробнее

Кафедра высшей математики и статистики

Кафедра высшей математики и статистики Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ (Текстильный институт

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА ЧАСТЬ I

ЭКОНОМЕТРИКА ЧАСТЬ I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЛИАЛ ГУ КузГТУ В Г. ПРОКОПЬЕВСКЕ

Подробнее

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика» ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Подробнее

, при уровнях значимости = 0, 05

, при уровнях значимости = 0, 05 Задача скачана с сайта wwwqacademru Задача Имеется информация за лет относительно среднего дохода X и среднего потребления Y (млн руб): Годы 9 9 9 93 94 95 96 97 98 99 X,5,6,3 3,7 4,5 6, 7,3 8,7,,8 Y 8,5,3

Подробнее

Институт Экономики и Финансов Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему

Институт Экономики и Финансов Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Институт

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Курсовая работа. на тему. «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий»

Курсовая работа. на тему. «Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)

Подробнее

Варианты индивидуальных заданий

Варианты индивидуальных заданий Номер региона Варианты индивидуальных заданий D.. Парная регрессия и корреляция Приложение D Пример. По территориям региона приводятся данные за 99X г. Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного,

Подробнее

ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ

ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

Подробнее

5. ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

5. ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 5. ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ Основные понятия темы Формальная экстраполяция, прогнозная экстраполяция, моделирование, экономико-математические методы,

Подробнее

Кафедра «Экономика и управление на транспорте» КУРСОВАЯ РАБОТА

Кафедра «Экономика и управление на транспорте» КУРСОВАЯ РАБОТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Экономика и управление на транспорте»

Подробнее

Цель курсовой работы на основе исходных данных провести комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий.

Цель курсовой работы на основе исходных данных провести комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий. Содержание: 1.Составление корреляционной матрицы. Отбор двух факторов.5 2. Построение уравнения множественной линейной регрессии. Интерпретация параметров уравнения...5 3. Коэффициент детерминации, множественный

Подробнее

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика» ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Подробнее

Практикум по теме 2 «Множественная линейная регрессия»

Практикум по теме 2 «Множественная линейная регрессия» Практикум по теме «Множественная линейная регрессия» Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение темы, а также развитие следующих навыков: Обоснование

Подробнее

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ Проверить значимость уравнения регрессии значит установить, соответствует ли построенное уравнение регрессии экспериментальным данным и достаточно

Подробнее

Выполнил студент (ИФО 4-2) Карлова А. О. Руководитель проекта к.т.н., доцент Кирьянова Л. В. Проект защищен с оценкой. Фриштер Л. Ю.

Выполнил студент (ИФО 4-2) Карлова А. О. Руководитель проекта к.т.н., доцент Кирьянова Л. В. Проект защищен с оценкой. Фриштер Л. Ю. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ

Подробнее

С.В. Амелин ЭКОНОМЕТРИКА. Учебное пособие

С.В. Амелин ЭКОНОМЕТРИКА. Учебное пособие С.В. Амелин ЭКОНОМЕТРИКА Учебное пособие Воронеж 06 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» С.В. Амелин ЭКОНОМЕТРИКА Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве

Подробнее

35 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Нелинейная регрессия

35 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Нелинейная регрессия Лекция 5 35 Нелинейная регрессия Нелинейные модели регрессии и их линеаризация Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительные

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Лекция 9. Введение в регрессионный анализ

Лекция 9. Введение в регрессионный анализ Лекция 9. Введение в регрессионный анализ Изучение корреляционных зависимостей основывается на исследовании таких связей между переменными, при которых значения одной переменной, ее можно принять за зависимую

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

7 Корреляционный и регрессионный анализ

7 Корреляционный и регрессионный анализ 7 Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционный анализ статистических данных.. Регрессионный анализ статистических данных. Статистические связи между переменными можно изучать методами дисперсионного,

Подробнее

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи Голубев ВО Литвинова ТЕ Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона Постановка задачи Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных

Подробнее

Примерный перечень тестовых заданий по «Эконометрике»

Примерный перечень тестовых заданий по «Эконометрике» Примерный перечень тестовых заданий по «Эконометрике» 1. Под эконометрикой в узком смысле слова понимается: а) совокупность различного рода экономических исследований; б) самостоятельная научная дисциплина;

Подробнее

Эконометрика это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и

Эконометрика это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и Эконометрика это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. (Большой Энциклопедический

Подробнее

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы)

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы) Эконометрика_0-03 уч.год_типовые ЗАДАЧИ Тема. Основные понятия теории вероятностей и статистики (Теоретические вопросы) Эконометрика- это: наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей в экономике

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к промежуточной аттестации по дисциплине «Эконометрика»

Перечень вопросов для подготовки к промежуточной аттестации по дисциплине «Эконометрика» Перечень вопросов для подготовки к промежуточной аттестации по дисциплине «Эконометрика» 1. Ковариация 2. Ковариация переменных в регрессионной модели 3. Описать основные этапы построения и анализа регрессионной

Подробнее

Вариант 8. Номер семьи Число совместно проживающих членов семьи,

Вариант 8. Номер семьи Число совместно проживающих членов семьи, Задача.Имеются следующие данные: Вариант 8 Номер семьи 3 4 5 6 7 8 9 0 Число совместно проживающих членов семьи, 3 3 4 4 4 5 6 7 7 чел. Годовое потребление электроэнергии, тыс. кв.- час 5 8 0 4 6 9 3 8.

Подробнее

Заведующий кафедрой, доктор физ.-мат. наук, профессор Малафеев О. А. Научный руководитель, доктор физ.-мат. наук, профессор Потапов Д. К.

Заведующий кафедрой, доктор физ.-мат. наук, профессор Малафеев О. А. Научный руководитель, доктор физ.-мат. наук, профессор Потапов Д. К. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МИКРОПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Горбунова Мария Николаевна Выпускная

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Б..ДВ.. Статистический анализ данных Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике.

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б3.ДВ.2.1 «Эконометрика». Направление подготовки «Торговое дело», профиль «Коммерция».

Аннотация рабочей программы дисциплины Б3.ДВ.2.1 «Эконометрика». Направление подготовки «Торговое дело», профиль «Коммерция». Аннотация рабочей программы дисциплины Б3.ДВ.2.1 «Эконометрика». Направление подготовки 100700.62 «Торговое дело», профиль «Коммерция». 1. Цели и задачи дисциплины: Целью дисциплины «Эконометрика» является:

Подробнее

Дисциплина «Методы и статистика исследований» 1. Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели.

Дисциплина «Методы и статистика исследований» 1. Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели. НОВЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Т.РЫСКУЛОВА Научно-педагогическая Магистратура 1курс кафедры Специальности : «6М090200-Таможенное дело», «6М051000-Государственное и местное управление», «6М020200-Международные

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМА ВВП РОССИИ Эренценова В.А. ECONOMETRIC MODELING AND FORECASTING OF RUSSIAN GDP

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМА ВВП РОССИИ Эренценова В.А. ECONOMETRIC MODELING AND FORECASTING OF RUSSIAN GDP ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМА ВВП РОССИИ Эренценова В.А. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия ECONOMETRIC MODELING AND FORECASTING OF RUSSIAN GDP Erentsenova

Подробнее

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования В.И. Гнатюк, 4 Глава 4 Параграф 4 4.4. Оценка адекватности моделирования Оценка адекватности динамической адаптивной модели электропотребления техноценоза [9,] включает две основные процедуры. Первая заключается

Подробнее

Вопросы к зачету по «Эконометрике и экономико-математическим методам и моделям» для студентов ЭУП ВШУБ

Вопросы к зачету по «Эконометрике и экономико-математическим методам и моделям» для студентов ЭУП ВШУБ Вопросы к зачету по «Эконометрике и экономико-математическим методам и моделям» для студентов ЭУП ВШУБ 1. Определение экономико-математической модели 2. Классификация экономико-математических моделей 3.

Подробнее

код квалификации- 62

код квалификации- 62 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская государственная геодезическая

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. Курс лекций для специальности по всем формам обучения

ЭКОНОМЕТРИКА. Курс лекций для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Множественный корреляционно-регрессионный анализ

Множественный корреляционно-регрессионный анализ Лабораторные занятия 5, 6 Множественный корреляционно-регрессионный анализ Работа описана в методическом пособии «Эконометрика. Дополнительные материалы» Иркутск: ИрГУПС, 04. Время на выполнение и защиту

Подробнее

Л.Ф. Филатова ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ. Учебное пособие

Л.Ф. Филатова ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему

Кафедра «Математика» Курсовая работа. по дисциплине «Эконометрика» на тему ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Полный список контрольных вопросов к экзамену по эконометрике

Полный список контрольных вопросов к экзамену по эконометрике Полный список контрольных вопросов к экзамену по эконометрике МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ. 1. Что такое ковариация?. Что выражает ковариация переменных в регрессионной

Подробнее

Проверочная работа 1 (вариант 1) по теме «Классическая линейная модель множественной регрессии»

Проверочная работа 1 (вариант 1) по теме «Классическая линейная модель множественной регрессии» Проверочная работа 1 (вариант 1) 1. Напишите предпосылки регрессионного анализа. 2. Для чего применяется метод наименьших квадратов? В чем его суть? 3. Что такое мультиколлинеарность? Перечислите основные

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ ОРГАНИЗАЦИИ

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ ОРГАНИЗАЦИИ УДК 331.108 Н.В. Парушина, Н.А. Сучкова, С.В. Деминова ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ ОРГАНИЗАЦИИ В статье рассмотрены теоретические и практические

Подробнее

Тема 10. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений.

Тема 10. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений. Тема 10. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений. Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.

Подробнее

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Курсовая работа. Институт экономики и финансов кафедра «Математика» ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Институт экономики и финансов кафедра «Математика»

Подробнее

Использование инструментария математической статистики для прогнозирования инвестиционноинновационного потенциала Республики Башкортостан

Использование инструментария математической статистики для прогнозирования инвестиционноинновационного потенциала Республики Башкортостан Использование инструментария математической статистики... Использование инструментария математической статистики для прогнозирования инвестиционноинновационного потенциала Республики Башкортостан Э.ХАЛИКОВА,

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция Методы отбора факторов.

ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция Методы отбора факторов. Лекция 3. ЭКОНОМЕТРИКА 3. Методы отбора факторов. Оптимальный состав факторов, включаемых в эконометрическую модель, является одним из основных условий ее хорошего качества, понимаемого и как соответствие

Подробнее

ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 5. МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ

ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 5. МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 5. МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ Вопросы: 1. Сущность математико-статистических методов изучения связей 2. Корреляционный анализ 3. Регрессионный анализ 4. Кластерный

Подробнее

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Лекция 10. Методы измерения тесноты парной корреляционной связи. Часть 1 Признаки могут быть представлены в количественных, порядковых и номинальных шкалах. В зависимости от того, по какой шкале представлены

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВО Уральский государственный лесотехнический университет Институт экономики и управления КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Б.Б.8 Эконометрика Специальность 38.05.0 «Экономическая

Подробнее

График 1. ВВП России в ценах 2008 г. в период гг.

График 1. ВВП России в ценах 2008 г. в период гг. Эконометрическое моделирование объема ВВП России и его прогноз на 2014-2015 гг. Чемеркин М.А. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия Econometric modeling of GDP of Russia and its forecast

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента.

ЭКОНОМЕТРИКА. 7. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии. t, (7.1) a j j a j. распределения Стьюдента. Лекция 7 ЭКОНОМЕТРИКА 7 Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа Построенное

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 5 Множественная регрессия Оглавление Множественная регрессия... 3 Мультиколлинеарность... 4 Задание 1. Построение модели множественной регрессии... 5

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ по курсу «ЭКОНОМЕТРИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ по курсу «ЭКОНОМЕТРИКА» ГОУ ВПО «Тверской Государственный Технический Университет» Кафедра "Информационные системы" МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ по курсу «ЭКОНОМЕТРИКА» Тверь, Предмет эконометрики и ее

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

ЭКОНОМЕТРИКА Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра Информационных технологий и моделирования Г.Л. Нохрина ЭКОНОМЕТРИКА Контрольные

Подробнее

Оглавление Глава 1. Введение в математические методы Глава 2. Функции и графики в экономическом моделировании...

Оглавление Глава 1. Введение в математические методы Глава 2. Функции и графики в экономическом моделировании... Оглавление Предисловие... 9 Введение... 11 Глава 1. Введение в математические методы... 12 1.1. Моделирование в экономике и его использование в развитии и формализации экономической теории.... 12 1.2.

Подробнее

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. очень большими. В результате получаются большие дисперсии. X X b X y

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ. очень большими. В результате получаются большие дисперсии. X X b X y МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ Серьезной проблемой при построении моделей множественной регрессии на основе метода наименьших квадратов (МНК) является мультиколлинеарность Мультиколлинеарность

Подробнее