8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка"

Транскрипт

1 Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y = f(x, y), y(x ) = y. () Будем считать, что эта задача имеет единственное решение на промежутке [x, b]. Запишем () в интегральном виде: y(x) = y + x x f(t, y(t))dt. () Методы численного решения этого уравнения заключаются в приближенном вычислении значений гипотетического решения y(x) в точках x, x,..., x N [x, b]. Для простоты мы далее будем считать точки (узлы) x,..., x N равноотстоящими, т. е. x k = x + kh, где h = (b x )/N. Во всех рассмотренных методах решения задачи () значения в узлах будут строиться последовательно, т. е. будем считать, что значения y y(x ),..., y m y( ) уже известны, построим y m+ y(+ ). 8.. Метод Эйлера и улучшенный метод Эйлера Наиболее простой способ получить численное решение уравнения () вычислить интеграл в правой части при помощи какой-либо квадратурной формулы. При этом для вычисления y m+ можно использовать только значение y m. Отметим, что такие методы решения дифференциального уравнения дают такую же погрешность, как и соответствующие квадратурные формулы Метод Эйлера Применим формулу левых прямоугольников: x m+h f(t, y(t))dt = y m + hf (, y m ) + O(h ). Расчетная формула метода: h f (, y m ), m =,,..., N. (3) На промежутке [x, b] метод Эйлера дает погрешность порядка h, т. е. y N y(x N ) = O(h).

2 8... Улучшенный метод Эйлера Применим для вычисления интеграла в правой части () формулу средних прямоугольников. Для этого введем дополнительную точку посередине между и +. Обозначим её + = + h. В ней вычислим значение решения уравнения по обычному методу Эйлера, т. е. при помощи формулы левых прямоугольников: y m+ = y m + h f (, y m ). Теперь значение в точке + вычислим по формуле средних прямоугольников: +h ( f(t, y(t))dt y m + hf +, y m+ = y m + hf ) = ( + h, y m + h ) f (, y m ). (4) Обычный метод Эйлера можно уточнить и другим способом. Предположим, что значение y m+ вычислено по формуле левых прямоугольников, т. е. как в формуле (3), далее вычислим соответствующий интеграл по формуле трапеций. Итак, пусть Тогда x m+h ỹ m+ = y m + hf (, y m ). f(t, y(t))dt y m + h (f (, y m ) + f (+, ỹ m+ )) (5) В заключение отметим, что оба предложенных изменения метода Эйлера дают погрешность порядка h Метод Рунге-Кутта 4-го порядка Теперь логично для вычисления интеграла в () применить формулу Симпсона. Расчетные формулы метода 6 (k + k + k 3 + k 4 ), (6) k = hf(, y m ), k = hf ( + h, y ) m + k, k 3 = hf ( + h, y ) m + k, k 4 = hf ( + h, y m + k 3 ), m =,,..., N. Оказывается, если y m = y( ) (равенство точное), то y m+ y(+ ) = O(h 5 ). На всей интегральной кривой метод дает погрешность порядка h 4. Если уравнение имеет вид y = f(x), то k = k 3 и видно, что расчетная формула метода Рунге-Кутта получается в результате применения формулы Симпсона, иначе обобщенной формулы Симпсона. Замечание. Все рассмотренные выше методы одношаговые, то есть для получения решения в следующей точке используется решение лишь в одной предыдущей точке. В одношаговых методах шаг может быть переменным. (7)

3 8.4. Правило Рунге практической оценки погрешности Предположим, что метод вычисления значений решения задачи () фиксирован и имеет порядок точности s. Вычислим значение в точке с шагом h и h/. Полученные значения обозначим через y m (h) и y m (h/) соответственно. Тогда главный член погрешности находится по формуле y m (h) R (h) m = y(h/) m s. Экстраполяция по Ричардсону заключается в уточнении значения в точке по формуле ŷ m = y (h/) m + R (h) m. (8) Заметим, что в результате уточнения по формуле (8) строится метод с более высоким порядком погрешности, чем исходный Методы Адамса Ранее мы отмечали, что узлы x,..., x N мы считаем равноотстоящими для удобства. И во всех рассмотренных выше методах это действительно не более чем удобство, поскольку все эти методы являлись одношаговыми, т. е. значение y m+ строилось исключительно по y m. В частности, все рассмотренные методы допускают переменный шаг аргумента (+ = h m ). Теперь мы зафиксируем шаг h = (b x )/N и все узлы x i = x + ih, i =,,..., N будем считать равноотстоящими. При построении y m+ будут использоваться значения решения в k + предыдущих узлах: y m k,..., y m. Предположим, что известны приближенные значения y(x) в точках x, x,...,, y i y(x i ), i =,,..., m, k m < N (они могут быть найдены одним из рассмотренных выше методов), в дальнейшем m k Экстраполяционный метод Адамса Начинаем мы, как обычно, с немного измененной формулы (): +h f(x, y(x))dx. Подынтегральную функцию f(x, y(x)) заменим на интерполяционный многочлен, построенный по узлам k,...,. Поскольку значение интерполяционного многочлена находится в точке, лежащей вне промежутка, на котором лежат все узлы интеполирования, метод и получил название экстраполяционного. В зависимости от формы многочлена, получатся разные формулы метода. Сначала предположим, что функцию f(x, y(x)) заменили на многочлен в форме Ньютона для конца таблицы. Напомним, что значения y m k,..., y m мы считаем известными. Положим q j = h f(x j, y j ). Многочлен имеет вид P k ( + th) = q m + t q m + + где конечные разности вычисляются по правилу j q s = j q s+ j q s. 3 t(t + ) (t + j ) j q m j +, j!

4 Тогда x m+h f(x, y(x)) dx Для упрощения формулы удобно ввести обозначение a j = j! Тогда получаем расчетную формулу: t(t + ) (t + j ) j q m j dt. j! t(t + ) (t + j ) dt. (9) a j j q m j. () Формулу () можно применять, начиная с m = k для m = k, k +,..., N. Если решение y(x) многочлен степени не выше k +, то экстраполяционный метод Адамса дает точное значение решения. На шаге погрешность метода O(h k+ ), на всем промежутке O(h k+ ), так что y(+ ) = y m+ + O(h k+ ). При k = 4 получаем формулу q m + q m + 5 q m q m q m 4. () Вычисления рекомендуется представлять в виде таблицы, фрагмент которой представлен таблицей. Таблица x y q q q 3 q 4 q x y q q x y q q q 3 q x y q q 4 q q 3 q x 3 y 3 q 3 q 4 q q 3 3 q x 4 y 4 q 4 q 3 q 4 x 5 y 5 q 5 x 6 y 6 Начало таблицы часть таблицы, значения в ячейках которой должны быть известны для применения экстраполяционного метода Адамса. Значения решения в точках начала таблицы следует вычислять соответствующим по порядку методом. 4

5 Преимущества метода Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутта: экономичность; наглядный контроль по последним конечным разностям можно судить о точности результата. Недостатком метода Адамса по сравнению с методом Рунге-Кутта является его многошаговость, то есть то, что решение в следующей точке зависит от решения в нескольких предыдущих точках, и они должны быть равноотстоящими. Используя интерполяционный многочлен в форме Лагранжа или заменяя конечные разности в () выражениями через значения функции, можно получить безразностную формулу экстраполяционного метода Адамса: b kj = y m+ y m + b kj q m j, () ( )j t(t + ).(t + k) dt, j =,,,..., k. (3) j!(k j)! t + j Числа b kj не зависят от m и от h, но зависят от порядка метода. Расчетные формулы методов различных порядков будут приведены ниже в таблице. Заметим, что алгоритм вычисления решения по безразностной формуле реализуется проще, чем по разностной формуле, но наглядный контроль здесь отсутствует Интерполяционный метод Адамса Пусть h = (b x )/N и x i = x + ih, i =,,..., N. Предположим, что известны приближенные значения y(x) в точках x, x,...,, y(x i ) y i, i =,,..., m, k m < N. Обозначим q i = hf(x i, y i ). Заменяя приближенно функцию f(x, y(x)) в выражении + f(x, y(x)) dx интерполяционным многочленом k-ой степени в форме Ньютона для конца таблицы по узлам +,,..., + k и интегрируя, получим расчетную формулу метода a j j q m+ j, (4) где a j = t(t + ) (t + j ) dt. j! Как видно, в правой части формулы (4) присутствует q m+ = hf(+, y m+ ), т. е. формула (4) является уравнением относительно y m+. Интерполяционный метод Адамса является неявным методом. Уравнение (4) рекомендуется решать методом итераций. В качестве нулевого приближения можно взять y m+, найденное экстраполяционным методом, обозначим его y m+. () Вычислим 5

6 q () m+ = hf(+, y () m+), q () m = q () m+ q () m, q () m,..., k q () m+ k. Используя эти значения, вычисляем, y () m+ по расчетной формуле (4). Сравниваем y () m+ y m+ () < ε, где ε заданная точность. Если условие не выполняется, то делаем перерасчет до тех пор, пока не будет выполнено условие. Формулу (4) можно применять для m = k, k +,..., N. Если решение y(x) многочлен степени не выше k +, то интерполяционный метод Адамса дает точное значение решения. На шаге погрешность метода O(h k+ ), на всем промежутке O(h k+ ), так что y(+ ) = y m+ + O(h k+ ).. При k = 4 получаем формулу q m+ q m q m 4 3 q m q m 3. (5) Используя интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, или заменяя конечные разности в (5) выражениями через значения функции, можно получить безразностную формулу интерполяционного метода Адамса: b kj = ( ) j+ (j + )!(k j)! k j= b kj q m j, (6) (t )t(t + )...(t + k ) dt, j =,,,,..., k. (7) t + j Числа b kj не зависят от m и от h. 6

7 8.6. Расчетные формулы методов Адамса Приведем расчетные формулы безразностных методов Адамса при k =,,, 3, 4. k Экстраполяционный метод Адамса q m (3 q m q m ) (3 q m 6 q m + 5 q m ) 3 4 (55 q m 59 q m + 37q m 9 q m 3 ) Таблица 4 7 (9 q m 774 q m + 66 q m 74 q m q m 4 ) k Интерполяционный метод Адамса q m+ (q m+ + q m ) (5 q m+ + 8 q m q m ) 3 4 (9 q m+ + 9 q m 5 q m + q m ) 4 7 (5 q m q m 64 q m + 6 q m 9 q m 3 ) Варианты задания 7

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3)

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3) 8. Граничные условия Задание граничных условий для уравнений Навье-Стокса представляет собой отнюдь не тривиальную задачу. Даже более того. С теоретической точки зрения это наиболее сложная часть рассматриваемой

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

3. Внутренняя энергия. Работа и теплота. Первое начало термодинамики.

3. Внутренняя энергия. Работа и теплота. Первое начало термодинамики. 3. Внутренняя энергия. Работа и теплота. Первое начало термодинамики. Энергия является фундаментальной величиной, которая характеризует каждую физическую систему в определенных ее состояниях. Энергия очень

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике,, ), неудобны,

Подробнее

Триангуляция Делоне и её применение

Триангуляция Делоне и её применение Томский государственный университет Факультет информатики А.В. Скворцов Триангуляция Делоне и её применение Издательство Томского университета 00 УДК 68.3 ББК.9 C 4 C 4 Скворцов А.В. Триангуляция Делоне

Подробнее

E-mail: kostyuk_y_l@sibmail.com

E-mail: kostyuk_y_l@sibmail.com ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Вычислительные методы в дискретной математике 2(20) УДК 519.7 ЭФФЕКТИВНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЁРА МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ Ю. Л. Костюк Национальный

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение.

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение. 7 класс 7.1. Запишите несколько раз подряд число 013 так, чтобы получившееся число делилось на 9. Ответ объясните. Ответ: например, 013013013. Решение. Приведем несколько способов обоснования. Первый способ.

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования ВВЕДЕНИЕ Под названием транспортная задача объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта

Подробнее

Сеточные методы решения краевых задач математической физики

Сеточные методы решения краевых задач математической физики Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М.Э.Рояк Ю.Г.Соловейчик Э.П.Шурина Сеточные методы решения краевых задач математической

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.1. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5.

Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.1. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5. Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5. Политропный процесс 7.6. Дросселирование. Эффект Джоуля-Томсона

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II Управление при случайных возмущениях Оптимальные линейные системы КЮ Поляков Санкт-Петербург 9 КЮ Поляков, 9 «В ВУЗе нужно излагать материал на

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии НОРМАЛЬНАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМА Методические указания для практических занятий

Подробнее

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных 4 Введение в системы дифференциальных уравнений Г Л А В А 4.1. Системы первого порядка и их приложения Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с одной

Подробнее

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений.

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений. Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 46 Системы логических уравнений. Оглавление Замечание о замене переменных.... Задачи содержащие импликацию или ее эквивалентную запись....2 Наличие дополнительного условия...6

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Глава 4. Задача коммивояжера

Глава 4. Задача коммивояжера Глава 4. Задача коммивояжера В задаче коммивояжера рассматривается городов и матрица попарных расстояний между ними. Требуется найти такой порядок посещения городов, чтобы суммарное пройденное расстояние

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН УДК 550.834.5 В. Б. ПИЙП ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ДЛЯ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН Для некоторых класс%& скоростных функций известны методы решения следующей

Подробнее