Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Math-Net.Ru Общероссийский математический портал"

Транскрипт

1 Math-NetRu Общероссийский математический портал А С Антипин, Ф П Васильев, Метод стабилизации для решения задач равновесного программирования с неточно заданным множеством, Ж вычисл матем и матем физ, 1999, том 39, номер 11, Использование Общероссийского математического портала Math-NetRu подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: марта 2018 г, 20:18:27

2 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 1999, том 39, 11, с УДК МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАВНОВЕСНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С НЕТОЧНО ЗАДАННЫМ МНОЖЕСТВОМ 1 ) 1999 г, А Со Антипин**, Ф П Васильев* (* Москва, Воробьевы горы, МГУ; ** Москва, ГСП-1, ул Вавилова, 40, ВЦ РАН) Поступила в редакцию г Для решения неустойчивых задач равновесного программирования, когда неточно заданы не только целевая функция, но и множество, на котором ищется точка равновесия, предлагается метод стабилизации Исследуется сходимость метода Строится регуляризующий оператор > 1 Рассмотрим следующую задачу равновесного программирования: найти точку v* из условий W = {We W 0 :gi(wy<6, / = l,m, g t (w) = 0, i = m + 1, s}, ' Ф(у*, 7 # )<Ф(^#, w) VweW, (1) где W 0 - заданное множество из евклидова пространства Е", функции Ф(у, w), g t (w) 9 i= 1,5, определены на множестве W 0 Как известно [1]-[7], многие важные проблемы исследования операций, вычислительной математики, математической экономики сводятся к задаче (1) Если целевая функция Ф(у, w) не зависит от v, то задача (1) превращается в обычную задачу математического программирования Точки v*, удовлетворяющие условиям (1), называются точками равновесия Множество точек равновесия будем обозначать через W* Предполагается, что W* Ф 0 Пусть вместо точных функций Ф(v, w), g t (w) известны их приближения Ф5О, w), g^(w), 8 > 0, такие, что Ит Ф 8 (>, и>)-фо, w)\ - 0, lim\g ib (w)--g i (w)\ = 0, i = l,s, Vv, WE W 0 8->0 На первый взгляд кажется, что в качестве приближенного решения задачи (1) можно взять точку v, определяемую условиями ; v d e W(5) = {ше W 0 : g i6 (w) <0, i = 1,m, g ib (w) = 0, i = m + 1, s}, - ^ Ф 5 (^, ^ 5)<Ф(^ 5, w) VweW(S), аналогичными (1), надеясь на то, что p(v 5, W*) = inf v - и\- расстояние от точки v 6 до множества - будет стремиться к нулю при 8 ^ 0 Однако такой наивный подход лишь в редких случаях приводит к успеху Нетрудно привести примеры задач, в которых множество W( 8) = 0 при любых сколь угодно малых 8 и задача (2) теряет смысл Но даже если W(b) * 0 и задача (2) имеет решение v 5, не обязательно limp (v s, W*) = 0 Это говорит о том, что задача (1) неустой- 5 -> 0 чива к возмущениям исходных данных Ф(у, w), g ( (w), i= 1, s, и для надежного вычисления при- Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта ) и по программе государственной поддержки ведущих научных школ (коды проектов , ) 1779

3 1780 АНТИПИН, ВАСИЛЬЕВ ближенного решения этой задачи нужно строить с помощью тех же приближений Ф5О, w), gib( w )> * = 1» «У» другие методы, отличные от напрашивающегося метода (2) 2 Здесь возможно использование идей и методов регуляризации, применяемых для решения неустойчивых задач математического программирования [8] [12] В [13] были исследованы такие методы для задач равновесного программирования с точно заданным множеством W Ниже предлагается и исследуется метод, представляющий собой обобщение известного метода стабилизации [8] [12] в сочетании со штрафными функциями [9], [11], [12] для более сложной задачи (1), когда неточно заданы не только функция Ф(у, w), но и множество W, в котором ищется точка равновесия Ограничимся рассмотрением простейшей штрафной функции [14] s P(w) = ^[ghw)] P, wew 0,p>0; (3) /=1 здесь и ниже для краткости обозначено: zl = max{0; z t } при i = 1, т, z[ = \zt\ при i=m+l 9 s Пусть Q(w) - какая-либо функция со следующими свойствами: Q(w) > 0 Vw е W 0 И множество {we W 0 : Q(w) < С} ограничено при всех С, при которых это множество не пусто Функцию Q(w) с указанными свойствами будем называть стабилизатором задачи (1) Предположим, что приближения Ф (у, w), Pg(w) для функций 0(v, w), P(w) таковы, что w) <5[1 \P s (w)-p(w)\<b[l+q(w)] \/v,we W 0 > 5>0 ( 4 ) Введем функцию r 8 (v,-w) = 0 8 (v,w) + AP g (w) + afi(w), v,wew 0 ; a>0, A>0 (5) Будем искать точку v, удовлетворяющую условиям у ъ W 0, t b ( V b9 Vg) < f 6 ( v 8, w) + 8 Vw G W 0, 6 > 0 (6) Формальное описание метода стабилизации для решения задачи (1) закончено Осталось указать условия на исходные данные задачи (1) и условия согласования параметров a = a(5), А = А(8), 8 = = 8(5) метода (6) с параметром погрешности 8, обеспечивающие существование точки v g и сходимость этого метода 3«Предварительно сформулируем и кратко обсудим некоторые требования на задачу (1), которые необходимы при доказательстве скорости сходимости метода (6) Предположим, что для некоторой точки v* е W* существуют постоянные v > 0, с х > 0 такие, что s Ф(v^v^)<Ф(v^w) + ^c i [g'l(w)] V \/we W 0 (7) / = i Отметим, что неравенство (7) в некотором смысле является продолжением неравенства Ф(У*, v*) < Ф(х^*, w) из (1), справедливого лишь для точек we W, на более широкое множество W 0 Класс задач математического программирования, выделяемый аналогичным (7) неравенством, впервые рассматривался в [12] (см также [14, гл 5, 14]) В следующих двух леммах приведены достаточные условия, обеспечивающие выполнение неравенства (7) Лемма 1 Пусть в задаче минимизации Ф( v*, w) inf, we W, (8) соответствующей некоторой точке v* е W* и имеющей, в силу (I), решение w = v*, функция

4 МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1781 Лагранжа ' S L(w,X) = Otv^^ + ^ ^ w ), we W 0, Xe Л 0, i = 1 имеет седловую точку (v*,x*)e WQXAQ, те Л 0 = {X = (X H,X s )e E': ^>0,Д Ш >0} Ц7,Д)^(7,Д*)<^Д*) Vwe 1У 0, VXe Л 0 (9) Тогда неравенство (7) выполняется при v = 1, c t = \Х* \,i=l,s Доказательство, Из неравенства (9) следует, что (см [14]) X* = 0, * = 1> 5» и v*) < < Ф(^*, w) + ^Г' = 1 A,f g;(w) Vw G 1У 0 Однако A,? <\X* \g* (w*), / = 1, s, поэтому из предыдущего неравенства имеем 1 0(v,vJ<0(v*,w) + A,n^( w ) VWG W 0 / = 1 Лемма 1 доказана Заметим, что условия существования седловой точки функции Лагранжа для задач минимизации вида (8) широко известны, и мы на них здесь останавливаться не будем (см [14]) Лемма 2о Пусть функция Ф( v*, w) удовлетворяет условию Гёльдера 0(V*,II)-0(V #,W) <L M-W P W,WGW 0, (10) где v* - некоторая точка из W#, L, р - постоянные, L> 0, 0 < Р < \, а множество W из (1) является регулярным, те p(w, WO^Mtmaxg-tw)] 7 VWG W 0, (11) 1 < I < 5 где M, у- положительные постоянные Тогда неравенство (7) выполняется при v = Ру, с, = LM^, / = 1,5 Доказательство, Возьмем произвольную точку w G W 0 По определению величины p(w, W) - = inf w - и\, для любого 8 > 0 найдется точка и Е е Wтакая, что w - и г \ < p(w, W) + 8 Тогда с учетом условий (10), (11) имеем S LM P У (^(W)) Py + Ф(V*, w) - Ф( v, V # ) > LM p [maxg*(w)f Y + Ф( v*, w) - Ф( v, и е ) > 1 < I < S >L[p(w, W)] p -L[p(w, W) + 8] p VWG W 0, Ve>0 Отсюда при 8 ^ 0 получаем утверждения леммы 2 Отметим, что достаточные условия регулярности множества WB смысле (11) приведены, например, в [14] и Подчеркнем, что класс задач (1), выделяемых неравенством (7), не исчерпывается указанными в леммах 1, 2 классами Об этом свидетельствует следующий простой Пример, Пусть Ф(^, w) = -w p, W = {we E X : w > 0, g(w) = w^1 < 0}, p > 0,JLL > 0 Очевидно, здесь множество точек равновесия W* = W= {v* = 0} Кроме того, v*) = 0 = -w p + (w v ) p/^ = 0(v*, w) + [g + (w)] p/^ Vw G WQ = {w > 0}, так что неравенство (7) выполняется при v = p/ i, с = 1 Условие регулярности (11) здесь также справедливо при М = 1, у = Однако при р Ф Ц, Ц > 0, р > 1 условия лемм 1, 2 не выполняются ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕ' НОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том

5 1782 АНТИПИН, ВАСИЛЬЕВ Докажем, что если для точки v* Е W* выполнено условие (7), р > V, то справедливо неравенство s c,(^(w)) v < AP(w) + BA~ vl(p - v) \fw e W 0, A > 0, (12) i - 1 где В = (p - v)v v/^- v y v/(/7 " v) kr /07 " v), c = Щ = 1 c ^- v ) ) ( /? " v ) / /? при> v, а при/? = v в (12) последнее слагаемое отсутствует и А > \с\ ж - max c t Пусть сначала р > V Из известного неравенства 1 < I < S аъ <a"/q + b r /r (а > 0, Ъ> 0, q > 1, г > 1, 1/<? + 1/r = 1) при? = p/v, г = р/(р-v),a = [g+ (w)] v (pa/v) v *\ b = CiipA/v) vlp имеем az> = c^(w)) v <A(g^ Суммируя эти неравенства по /, 1 < i < s, получаем оценку (12) при р > v Еслир = v, А >\с\ 00, то c,[^(w)] v < cl fe*(w)] V^ AP{w) Vw e W 0 i = 1 i = 1 Неравенство (12) установлено для всех р > v Покажем, что если ос(5)>5 + 5А(5), 5 + 8А(8) + [<х(8) A(5)]Q( v*) + B[A(5)]" v/(/? " v) < 8(5), 5 > 0, ( 1 3 ) где точка v* е W* взята из условия (7), p>v (при р = v в левой части второго неравенства (13) последнее слагаемое отсутствует), то в (6) можно принять v 5 = v* В самом деле, с учетом (4), (5), (7), (12), (13) и равенства P(v*) = 0 имеем t b (v*, v*) = 0 (v*, v*) + AP b (v*)+-a l(v*)< < Ф(v*, v*) + АР(v*)+ aq(v*) + (5 + SA)[1 + Q(vJ] < < Ф(v*, w) + ^c^iw))^ (a SA)Q(v^) A < < Ф( v*, w) + AP(w) + SA" V/(P " V) + (a A)Q(v # ) + 5'+ 5A < < Ф 5 ( v*, w) + AP b (w) + ah(w) + (- a A)Q(w) + 8(5) < <jt 6 (v #, w) + e(8) VWE W 0 Как видим, точка v* из (7) действительно удовлетворяет условию (6) Это значит, что при сделанных предположениях множество W* 5 точек v, удовлетворяющих условию (6) при произвольном выборе реализаций Ф 8 (^ w), P&(w) из (4), непусто Для практического определения точек v е W* s могут быть использованы любые методы поиска точек равновесия; такие методы описаны и исследованы в [1]-[7] Заметим, что дальнейшее изложение не зависит от способа определения точек v е W*, для нас будет важен лишь сам факт существования таких точек Наряду с условием (7) ниже мы будем еще требовать выполнения неравенства w) - v) - Ф( v, w) + Ф( v, 7) > 0 Vw, v ff 0, (14) которое, следуя [1], будем называть условием кососимметричности функции Ф(у, w) В [4] доказано, что широкие классы задач равновесного программирования после несложных преобразо-

6 МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1783 ваний могут быть сведены к задаче (1) со свойством (14) Заметим, что из (14) при v= v* и условия (7)следует, что * Ф(w 9 w)-ф(w,v^)>ф(v^w)-ф(v^v^)>-^c i [g^(w)] v VWGW 0 (15) S 4 Приступим к исследованию сходимости метода (6) Справедлива Теорема 1 Пусть выполняются следующие условия: 1) W 0 - замкнутое множество, функции g t (w), i = 1, т, g,(w), / = т + 1, s, 0(w, w) полунепрерывна снизу на W 0 ; функция Ф(\л, w) полунепрерывна сверху по vua W Q при любом фиксированном w е W 0 ; множество W* решений задачи (1) непусто; для некоторой точки v* е W* выполнено неравенство (7); функция <E>(v, w) кососимметрична на W 0, те выполнено неравенство (14); 2) Q(w) - стабилизатор задачи (1), P(w) штрафная функция, определенная формулой (3) при p>v; 3) приближения Ф 8 (у w), P 8 (w) функций 0(v, w), P(w) удовлетворяют условиям (4); 4) параметры ос = а(8) > О, А = А(8) > 0, 8 = 8(8) > 0, 8 > 0, удовлетворяют условиям (13) w, кроме того, Нша(8) = 0, lima(8) = +~ Цще(8) = 0, limsa(8) = 0, 8->0 8->0 5->0 8->0 8ирЦМ5)<1, sup^<oo, infa(6)[a(6)f ( - v >>0 5>0 0С(О) 5>0ОС(О) 8>0 (при p = v последнее условие не нужно, но тогда предполагается, Тогда множество W* Ф 0 при всех 8 > 0 и что А(8) > IcU) limp(v 8,W*) = 0, Итр(Ф(^8,> 8 ),Ф*) = 0,, (17) 8^0 8->0 J где Ф* - множество значений функции 0(v, v), когда vпробегает множество W*, причем сходимость в (17) равномерная относительно выбора Ф 8 (у w), P (w) из (4) и точки v 8 из W* 8 В качестве параметров a, А, 8 метода (6), удовлетворяющих условиям (13), (16), можно взять, например, функции а(8) = а х Ъ Ь{, А(8) = а 2 Ъ b l, 8(8) = а 3 8^3, где я,-,fe, (i = 1, 2, 3) - некоторые положительные постоянные Доказательство, Выше было показано, что из условий (7), (13) следует, что W* Ф 0 V8 > 0 Для произвольной точки v 8 е W* с учетом (4)-(6) имеем Ф(у- 5, ^ 8)<Ф(^ 8, v 8 )+-AP(v 8 ) + aq(v 8 ) ; (16) ^ Ф 8 ( v 8, v 8 ) + АР 8 ( v 8 ) + aq( v 8 ) + (8+ 8A)[1 + Д( v 8 )j < <r 8 (v 8,w) (8 + SA)[l+Q(v 8 )]< ( 1 8 ) < Ф(v 8, w) + AP(w) + ali(w) + (8 + 8A)[ (8 + 8A)[1 + Q( v 8 )] Vw e W, 0- взята из условия (7) С учетом равенства Р(у*) = 0 и не В (18) положим w = v*, где точка равенств (12), (15) получим Ф(v 8 ) + АР(v b ) + aq( v 8 ) < <Ф(чл 8, vj + AP(^) + aq(vj + (8 + 8A)[l + a(^)] (8 + 8A)[l + Q(v 8 )]< ^ + v (19) <Ф(v b, v 8 ) + Y с,-ы v 8 )] + (a A)Q(v*) + 2(8 + 8A) + (8 + 8A)Q(v 8 ) + 8 < i = i < Ф(v 8, v 8 ) + AP(v 8 ) + 5A" V/(P ~ V) + (a A)Q(v*) + 2(8 + 8A) + (8 + 8A)Q(v 8 ) + 8

7 1784 АНТИПИН, ВАСИЛЬЕВ Из крайних звеньев цепочки неравенств (19) следует (а SA)Q(v 5 ) < (ос A)Q(v*) + 2(5 + 5А) BA" v/(/7 " v), или сл< ч ^ 1+ (8 + 5А)/а гл/ ч 2(5 + 5A)/oc + 8/oc + fioc А " 8 ) - l-cs-nsava^^ + " 1-(8 + 8А)/а Q ( С учетом условий (16) из (19) имеем -1 A-vl{p-v) (20) 1+sup Q(v*) + sup ос А ^ ' 5>о ос 5>ov ос а 1-sup = С 0 (21) 5>0 ОС ) Далее, выделяя из той же цепочки неравенств (19) левое и предпоследнее звенья, получаем AP(v b ) < с,-(& (v s )) v + (a A)Q( у*) + 2(8 + 5A) + e + (- a A)fl( v 8 ) < i= 1 (22) - б + баа^, / 0 ^ A 8" = 1 i = 1 где C x = 2Q( v*) C 0 + sup [8(5)/a(5)] < <*> в силу (16), (21) Еслиp = v,a> сц, то из (22) следует AP(vd<\c\ P(vd + ac l9 ium 0<AP(v 6 )<-^- ^-ac 1, p = v (23) Если /? > v, то, пользуясь неравенством Гёльдера i=i v=i у Vi = i У 1 1 Va;>0, &,>0, r>l, #>1, = 1 r Я при q = p/v,' г =>/(p - v), = g- (v b )\ b t = q с учетом (22), имеем 0 < AP(v 5 ) < \c\[p(v d )T F P + ocq Обозначим z = [AP(v 5 )] v//? и предыдущее неравенство запишем в виде 0 < z pn ^ c A~ v/;7 z + осс^ Тогда (см [14, с 99, лемма 11]) 0<AP(v 5 ) = ^^H^-^A-^-^ + ^ - a Q (24) Из (23), (24) с учетом равенств limoc(5) = 0, HmA(5) = + получаем 6->0 5->0 lima(8)p(v 8 ) = 0 V/?>v 5->0 Из оценки (21) и определения стабилизатора следует, что sup v 5 < С 2 Тогда семейство точек 6>0 {v s } при 5 ^ 0 имеет хотя бы одну предельную точку Пусть v 0 - произвольная предельная точка этого семейства, пусть v 0 = lim v 5, где {д к } ^ 0 при к <*> В силу замкнутости множества W 0 имеем v 0 е W 0 Из (16), (25) и полунепрерывности снизу функции P(w) следует: 0 < P(v 0 ) < limp( v 6 ) =0, те P(v 0 ) = 0 Это значит, что v 0 е W к к->о Из неравенств (18) при 5 = 5^ 0 с учетом равенства P(w) = 0 Vw е W, свойств функции 0(v, w), оценки (21) и условий (16) получим для всех w G W O(v 0, v 0 )< lim<d(v 6, v b )<lim Ф(^ 6 v s ) < lim 0(v, w)<o(v 0, w) (25) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том

8 к МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1785 Таким образом, каждая предельная точка -у 0 семейства {v } при 6 0 удовлетворяет условиям v 0 G W*, O(v 0, v 0 ) G Ф* Отсюда следуют равенства (17) Остается доказать, что пределы в (17) равномерны относительно выбора Ф ( v, w), /^(w) из (4), v из W* Для этого нужно установить, что lim sup p(v, W*) = 0, lim sup p(0(v, v),0*) = 0 (26) Пусть lim sup,p(y, = lim sup p(v, W*) По определению верхней грани, для каждого номера к найдется точка v bk е W*, соответствующая какой-либо реализации <&s(v, w), P (w) из (4) при 8 = Ъ к такая, что sup p(v, W*)<p(v 6, W*) + l/fc, fc=l,2, (27) vew nk Из (17) при 8 = 8^ имеем lim p( v b, W*) = 0 Отсюда и из (27) следует к-^оо 0 < lim sup p(v, W*) < lim sup p(v, W*) = lim sup p(v, W*) = 0, что равносильно первому равенству (26) Второе равенство (26) устанавливается аналогично Теорема 1 доказана 5о При несколько более жестких требованиях можно уточнить характер сходимости метода (6) Теорема 2 Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 1, стабилизатор Q(w) полунепрерывен снизу на W 0, параметры а = а(б), А = А(8), е = 8(8) метода (6) наряду с (16) удовлетворяют условиям im M = И т5 ± 8^б) = i 0, lim(a(8)) v/(^v) a(8) = +~ (28) б^о а(8) &->оа(8) 5-*о (при p = v последнее равенство не нужно) и множество W* Ф 0 V8 > 0 Тогда limp( v 6, Q ) = 0, Итр(Ф(^, v 6 ), Ф**) = 0, (29) 5->0 6->0 где W** = {VG W*: Q(V) < Q(v*)K точки v* взята из условия (7), и Ф** = {Ф: Ф = 0(v, v), VG G W**}, причем сходимость в (29) равномерная относительно выбора Ф 5, Р из (4), v s из W*s Доказательство Из оценки (20) при выполнении условий теоремы 2 следует, что каждая предельная точка v 0 семейства {v } при 8 > 0 удовлетворяет неравенству Q(v 0 ) < Q( v*), те v 0 G G W** Отсюда вытекают равенства (29) Равномерная сходимость в (29) устанавливается так же, как в (17) Замечание Условие (13) выше было необходимо только для обеспечения непустоты множества W*, а при доказательстве равенств (17) оно никак не использовалось Подчеркнем, что второе из неравенств (13) несовместимо со вторым равенством (28), и потому в формулировке теоремы 2 условие (13) нам пришлось заменить явным требованием непустоты множества W* Нетрудно привести примеры задач (1), в которых W*s Ф 0 и без выполнения условий (13), поэтому замена (13) на условие W* ^ 0 ничему не противоречит 6 Заключение Заметим, что метод (6) при выполнении условий теорем 1, 2 определяет оператор который каждому набору {Ф 5 (У, w), P 6 (W), 8} из (4) и набору параметров {а(8), А(8), 8(8)} ставит в соответствие точку v 5 Из теорем 1, 2 вытекает, что такой оператор /? можно назвать, следуя [8], регуляризующим для задачи (1) Так как параметры а, А, 8 метода (6) опреде-

9 1786 АНТИПИН, ВАСИЛЬЕВ ляются неоднозначно, то можно попытаться выбрать их так, чтобы оператор /? обладал некоторыми дополнительными свойствами, был оптимальным в каком-либо смысле, Эта интересная проблема пока что остается неисследованной СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Антипин АС О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж вычисл матем и матем физ 1995 Т 35 5 С Антипин АС Вычисление неподвижных точек экстремальных отображений при помощи методов градиентного типа // Ж вычисл матем и матем физ 1997 Т 37 1 С Антипин АС Равновесное программирование: проксимальные методы // Ж вычисл матем и матем физ 1997 Т С Антипин АС Расщепление градиентного подхода для решения экстремальных включений // Ж; вычисл матем и матем физ 1998 Т 38 7 С Антипин АС Управляемые проксимальные дифференциальные системы для решения седловых задач // Дифференц ур-ния 1992 Т С Антипин АС О дифференциальных градиентных методах прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отображений // Дифференц ур-ния 1995 Т С Антипин АС Равновесное программирование: методы градиентного типа//автоматика и телемехан С Тихонов АН, Арсении ВЯ Методы решения некорректных задач М; Наука, Васильев ФП Методы решения экстремальных задач М: Наука, Антипин АС Об едином подходе к методам решения некорректных экстремальных задач // Вестн МГУ Сер 1 Матем и механ С Антипин АС Метод регуляризации в задачах выпуклого программирования // Экономика и матем методы 1975 Т 11 Вып 2 С Васильев ФП Методы решения неустойчивых экстремальных задач с неточно заданными исходными данными: Дис докт физ-матем наук М: МГУ, Антипин АС, Васильев ФП Методы регуляризации поиска неподвижной точки экстремальных отображений // Вестн МГУ Сер 15 Вычисл матем и кибернетика С Васильев ФП: Численные методы решения экстремальных задач М: Наука, 1988

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. С. Антипин, Н. Мияйлович, М. Ячимович, Итеративный метод второго порядка для решения квазивариационных неравенств, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 013,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ю. А. Черняев, Метод условного градиента для экстремальных задач с предвыпуклыми ограничениями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, том 43, номер 12,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ф. П. Васильев, О. Обрадович, Регуляризованный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными, Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

Подробнее

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3)

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3) 318 вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11 УДК 519.6 МЕТОД ЧАСТИЧНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Д.А. Дябилкин 1, И.В. Коннов 1 Рассматривается обобщенная

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. С. Белкина, Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II, Труды ПГУ. Математика, 2006, выпуск 13, 26 37 Использование

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Н. Страхов, К вопросу о скорости сходимости в методе простой итерации, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 973, том 3, номер 6, 602 606 Использование Общероссийского

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mth-NetRu Общероссийский математический портал В П Танана, А Р Данилин, Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач, Дифференц уравнения, 1976, том 12, номер 7, 1323 1326

Подробнее

МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СО ШТРАФНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДЛЯ ПОИСКА ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ НЭША В БИЛИНЕЙНОЙ ИГРЕ ДВУХ ЛИЦ С НЕНУЛЕВОЙ СУММОЙ

МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СО ШТРАФНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДЛЯ ПОИСКА ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ НЭША В БИЛИНЕЙНОЙ ИГРЕ ДВУХ ЛИЦ С НЕНУЛЕВОЙ СУММОЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2005, том 45, 5, с. 813-823 УДК 519.6:519.832.4 МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СО ШТРАФНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДЛЯ ПОИСКА ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ НЭША В БИЛИНЕЙНОЙ ИГРЕ

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ УДК 59.8 ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Л.Л. ГАРТ Рассмотрен проекционно-итерационный метод, основанный на одном варианте

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Б. Г. Габдулхаев, Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях, Учен. зап. Казан. ун-та., 1968, том 128, книга 5, 38

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. С. Пилиди, Априорные оценки для бисингулярных операторов с непрерывными коэффициентами, Матем. заметки, 1991, том 49, выпуск 4, 105 109 Использование

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. И. Тимошенко, Описание централизаторов элементов из метабелевых произведений абелевых групп, Сиб. матем. журн., 2014, том 55, номер 1, 212 220 Использование

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. В. Тайков, Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования, Матем. заметки, 1968, том 4, выпуск 2, 233 238 Использование

Подробнее

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4)

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4) А. С. КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации при

Подробнее

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование.

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование. Дальневосточный математический журнал. 015. Том 15. 1. C. 53 60 УДК 519.853 MSC010 65K05, 90C5, 49N15 c А. В. Жильцов, Р. В. Намм 1 Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. Т. Резниковский, Об области сходимости степенного ряда, представляющего решение дифференциального уравнения, УМН, 1958, том 13, выпуск 6(84), 145 150

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. И. Ендовицкий, Некоторые условия устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка, Изв. вузов. Матем., 1969, номер 5, 35 41 Использование

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. В. Павлов, Расчет и оптимизация некоторых характеристик для модели вычислительного комплекса, Информ. и еë примен., 2012, том 6, выпуск 2, 97 100 Использование

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ 84 Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 23. Специальный выпуск. УДК 517.928 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ МАКСИМАЛЬНЫХ СРЕДНИХ c 23 О.П. Филатов 1 Приводятся условия, которые позволяют приближенно

Подробнее

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю А С КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА Предложено решение одной двумерной граничной обратной задачи с подвижной границей оптимальным по порядку методом Впервые

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mth-Net.Ru Общероссийский математический портал О. В. Шерстюкова, Об экстремальном типе целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей и шага, Уфимск. матем. журн., 212, том 4,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Б. Вакарчук Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L Матем. заметки 6 том 8 выпуск 1 11 19 DOI: http://dx.doi.org/1.413/mzm774 Использование

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ш. Ярмухамедов, О задаче Коши для уравнения Лапласа, Матем. заметки, 1975, том 18, выпуск 1, 57 61 Использование Общероссийского математического портала

Подробнее

О методах регуляризации задач оптимального управления., (задача (1))., что x t,

О методах регуляризации задач оптимального управления., (задача (1))., что x t, АНТихонов О методах регуляризации задач оптимального управления Пусть дана система уравнений dx / d f x x x x T m с управляющими функциями из некоторого полного функционального класса U и начальными условиями

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Т. Ш. Кальменов, Д. Сураган, Перенос условий излучения Зоммерфельда на границу ограниченной области, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2012, том 52, номер

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. И. Дикин, Непрерывный процесс для задачи линейной дополнительности, Дискретн. анализ и исслед. опер., 2001, том 8, номер 2, 27 30 Использование Общероссийского

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. Р. Аваков, Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения, Матем. заметки, 1990, том 47, выпуск 5, 3 13 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-et.Ru Общероссийский математический портал З. Х. Рахмонов, Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми, Матем. заметки, 04, том 95, выпуск 3, 445 456 DOI: http://dx.doi.org/0.43/mzm004

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Привалов, О расходимости интерполяционных процессов на множествах второй категории, Матем. заметки, 1975, том 18, выпуск 2, 179 183 Использование

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Н. Мишин, О характеристиках роста операторнозначных функций, Уфимск. матем. журн., 203, том 5, выпуск, 2 24 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал В И Заботин, Ю А Черняев, Обобщение метода проекции градиента на экстремальные задачи с предвыпуклыми ограничениями, Ж вычисл матем и матем физ, 2001, том

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал М. Г. Магомед-Касумов, Особенности поведения частичных сумм Фурье Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва, Сиб. матем. журн., 2013, том 54, номер

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

Kлючевые слова: резонансная эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность линейного роста, теорема Лере Шаудера.

Kлючевые слова: резонансная эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность линейного роста, теорема Лере Шаудера. В. Н. ПАВЛЕНКО ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ РЕЗОНАНСНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ЛИНЕЙНОГО РОСТА Топологическим методом получена теорема существования обобщенного решения резонансной эллиптической краевой

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые свойства опорной функции выпуклого множества на выпуклом конусе, Вестн. С.- Петербург. ун-та. Сер. 0. Прикл. матем. Информ. Проц.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. А. Гурвич, Метрические и ультраметрические пространства сопротивлений, Матем. просв., 2009, выпуск 13, 134 141 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. А. Алякин, Д. Э. Клепнев, О продолжимости свойства трансдиагональности последовательности мер, Матем. моделирование и краев. задачи, 2006, часть 3, 29

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. В. Горский, А. В. Запривода, Модифицированный метод сплайновой аппроксимации для функции нескольких переменных, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 203,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова Гиподифференциал и ε-субдифференциал полиэдральной функции Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 011 выпуск

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. А. Огнева, В. М. Чернышенко, Об одном аналоге метода хорд в пространстве Банаха, Матем. заметки, 1970, том 8, выпуск 4, 487 492 Использование Общероссийского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ С. Р. АЛЕЕВА, Е.О. ЯКУБОВИЧ РАВНОВЕСНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПО НЭШУ Рассматривается одно из актуальных направлений теории оптимизации

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

dx dt y 1 = (1 λ) y + λµx(1 x), T : (1) D : (x r) 2 + (y r) 2 2r 2, (2) N 3,

dx dt y 1 = (1 λ) y + λµx(1 x), T : (1) D : (x r) 2 + (y r) 2 2r 2, (2) N 3, dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 3, 2002 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Моделирование динамических систем

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Г. Ш. Рубинштейн, Общее решение конечной системы линейных неравенств, УМН, 1954, том 9, выпуск 2(60), 171 177 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал К. И. Осколков, С. Б. Стечкин, С. А. Теляковский, Петр Васильевич Галкин, Матем. заметки, 1971, том 10, выпуск 6, 597 600 Использование Общероссийского

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. М. Рябов, Квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов от осциллирующих функций, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, том 36, номер 8,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.u Общероссийский математический портал К. Ю. Осипенко, Неравенство Харди Литтлвуда Полиа для аналитических функций из пространств Харди Соболева, Матем. сб., 006, том 197, номер 3, 15 34 DOI:

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

ТРЕХТОЧЕЧНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

ТРЕХТОЧЕЧНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ Вычислительные технологии Том 5, 2, 2000 ТРЕХТОЧЕЧНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ А.И. Задорин Омский филиал института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Омск, Россия e-mail: zadori@iitam.omsk.et.ru

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. Г. Исмаилов, О проксимационном методе решения невыпуклых оптимизационных задач, Автомат. и телемех., 1990, выпуск 5, 186 189 Использование Общероссийского

Подробнее

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. 4 (2013). С. 84-90. УДК 517.5 ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ О.А. КРИВОШЕЕВА Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ольга В. Ходос, Вычисление радиуса сходимости ряда из гармонических многочленов в R 3, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 1, том 3, выпуск 3, 47 41 Использование

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. В. Старков, Н. А. Шмелев, Биголоморфные отображения круга на сильно выпуклые области, Сиб. матем. журн., 204, том 55, номер 4, 875 88 Использование Общероссийского

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Б. Ларионов, О надструктуре класса квазиоднородных k-значных функций, ПДМ, 2013, номер 3(21), 26 31 Использование Общероссийского математического портала

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. Н. Черепов, Приближение непрерывных функций конечными автоматами, Дискрет. матем., 2012, том 24, выпуск 3, 82 89 DOI: http://dx.doi.org/10.4213/dm1200

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С ( k, s) МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б. В. Симонов

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С ( k, s) МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б. В. Симонов Сибирский математический журнал Май июнь, 00 Том 5, 3 УДК 575 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ С k, s МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Б В Симонов Аннотация: Оцениваются суммы

Подробнее

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 006. С. 76 111 УДК 517.55+517.95 СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ c 006 г. В. И. БУРЕНКОВ, П. Д. ЛАМБЕРТИ,

Подробнее

Устойчивость решений и адекватность детерминированных моделей стимулирования в активных системах. 1. Введение

Устойчивость решений и адекватность детерминированных моделей стимулирования в активных системах. 1. Введение Автоматика и Телемеханика. 1999. 7. С. 115 122 Д.А.Новиков, д-р техн.наук (Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва) Устойчивость решений и адекватность детерминированных моделей стимулирования

Подробнее

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров

ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Сибирский математический журнал Май июнь, 22. Том 43, 3 УДК 517.26 ОБ АСИМПТОТИКЕ ТОЧЕК СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ю. Г. Никоноров Аннотация: Доказаны некоторые асимптотические

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Б. Демидович, Об одном признаке устойчивости разностных уравнений, Дифференц. уравнения, 1969, том 5, номер 7, 1247 1255 Использование Общероссийского

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. Н. Жук, Континуальность множества предполных классов в классе дефинитных автоматов, Фундамент. и прикл. матем., 2009, том 15, выпуск 4, 29 36 Использование

Подробнее

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью УДК 5175 ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПО НЕТОЧНЫМ НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ Н Д ВЫСК, К Ю ОСИПЕНКО Аннотация В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Э. Ким, Собственные функции операторов уничтожения, ассоциированных с коммутационными соотношениями Вигнера, Уфимск. матем. журн., 2012, том 4, выпуск

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. Г. Липчинский, Условия сходимости интерполяционных рациональных дробей с конечным числом полюсов, Сиб. матем. журн., 205, том 56, номер 3, 557 572 DOI:

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА. М. В. Долгополик. 24 сентября 2015 г.

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА. М. В. Долгополик. 24 сентября 2015 г. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 24 сентября 2015 г. Аннотация. В докладе обсуждается один из способов построения модифицированной функции Лагранжа для задач

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mah-Ne.Ru Общероссийский математический портал А. А. Абрамов, Л. Ф. Юхно, Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с избыточными условиями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014,

Подробнее

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН. Том О РЕШЕНИИ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН. Том О РЕШЕНИИ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1 ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 21 1 2015 УДК 517.948 О РЕШЕНИИ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1 Е. В. Табаринцева В работе рассмотрена задача

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Доклады Национальной академии наук Беларуси 2013 январь февраль Том 57 1

Доклады Национальной академии наук Беларуси 2013 январь февраль Том 57 1 Доклады Национальной академии наук Беларуси 203 январь февраль Том 57 УДК 59.6+57.983.54 О. В. МАТЫСИК АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В МЕТОДЕ ИТЕРАЦИЙ ЯВНОГО ТИПА РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. В. Асеев, Отображения, мало изменяющие фиксированное ангармоническое отношение, Сиб. матем. журн., 2013, том 54, номер 5, 963 971 Использование Общероссийского

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал М. В. Нещадим, Некоторые вопросы конструктивных методов в теории обратных задач акустики, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 2009, том 9, выпуск 4,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. А. Онегов, Метод итераций решения системы конечноразностных уравнений в задаче об установившихся колебаниях, Изв. вузов. Матем., 1977, номер 12, 65 70

Подробнее

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ С. М. Добровольский, А. В. Рогозин

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ С. М. Добровольский, А. В. Рогозин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2005. Том 46, 1 УДК 517.929 ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ С. М. Добровольский, А. В. Рогозин Аннотация: Установлен

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. И. Некрицухин, Об одном матричном представлении свободной группы, Чебышевский сб., 2013, том 14, выпуск 3, 88 91 Использование Общероссийского математического

Подробнее