ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и варианты курсовых заданий Составители: Введенская ЕВ Выск НД Гуторина ТА Москва

2 Методические указания предназначены для студентов курса МАТИ- РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Линейная алгебра» В них рассматриваются операции над матрицами, вычисление определителей и основные приемы решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений В каждом разделе приводится решение типовых задач Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях I Матрицы и операции над ними Матрицей называется прямоугольная таблица чисел n n A m m mn Обозначения: А матрица, ij - элемент матрицы, i номер строки, в которой стоит данный элемент, j номер соответствующего столбца; m число строк матрицы, n число ее столбцов Матрица называется квадратной, если m = n Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны, а остальные равны Линейные операции над матрицами Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: c b, i,, m, j,, n ij ij ij

3 Пример Найти сумму матриц A 8 и B 7 Решение Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах: c b ; c ; c ; c ; c ; c ; c ; c 8 7 Следовательно, AB Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число Пример Найти матрицу А В, если А, В Решение 8 8 А, В, А В 8 8 Итак, А В Перемножение матриц Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности p n называется матрица С размерности m n, каждый элемент которой c ij определяется формулой: c ij p k ik b kj, i,, m, j,, n Таким образом, элемент c ij представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В

4 Операция перемножения матриц может зависеть от порядка сомножителей, те возможно AB BA Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать изза несовпадения размерностей Далее, если даже существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если m n ) Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны Пример Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы A и B 7 8 Если произведение существует, вычислить его Решение Сравним размерности матриц А и В: A[ ], B[ ] Следовательно, n l, m k, поэтому произведение АВ[ ] существует, а произведение ВА нет Найдем элементы АВ: (b) = + 7 = ; (b) = + 8 = ; (b) = 7 = ; (b) = 8 = 8; (b) = 7 = -; (b) = 8 = - Таким образом, AB 8, ВА не существует Пример Найти АВ и ВА, если A, B Решение Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность A[ ], B[ ] Следовательно, n = l =, m = k =, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[ ], BA[ ]

5 Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В: с = + (-)(-) + + = 9 (сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс номер столбца В); с = + (-) + + = ; с = - + (-) + (-) + = -9; с = (-_ + = - Следовательно, 9 C AB 9 При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А: d = + (-) = ; d = (-) + = -; d = + (-) = ; d = + = ; d = - + (-) = -; d = - (-) + = ; d = - + (-) = -; d = - + = ; d = + (-) = -; d = (-) + = -; d = + (-) = ; d = + = ; d = + (-) = -8; d = (-) + = ; d = + (-) = -; d = + = Таким образом, D BA 8 Определители Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом: При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый

6 нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали Пример 8 ( ) 8 8 Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом: Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так: образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно Пример Вычислить определитель побочной диагонали: Решение Вычислим определитель -го порядка, используя его определение: Δ = (-) + (-) (-) (-) (-) (-) =,

7 = = Пред тем, как перечислить основные свойства определителей, приведем определение понятия транспонирования матрицы Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования В результате получается матрица А, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением ij = ji Основные свойства определителей Определитель не изменяется при транспонировании, те При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, те k k k k Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю: Определитель, имеющий две равные строки, равен нулю: Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю: 7

8 k k k При перестановке двух строк определителя он умножается на : b c c c 7 b b b b b c c c 8 Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число: k k k Разложение определителя по строке Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент Обозначение: выбранный элемент определителя, M его минор ij Пример 7 Для, M 8 Алгебраическим дополнением ij A элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число ij 8

9 четное, или число, противоположное по знаку минору, если i+j i j нечетно, те A ij ( ) M ij При этом справедливо следующее утверждение: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, те j ij A ij, где i=,, Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя Пример 8 Вычислим определитель из примера с помощью разложения по строке Для удобства вычисления выберем -ю строку, содержащую нулевой элемент (а = ), поскольку при этом нет необходимости находить А, так как произведение а А = Итак, A ( ) ( ( ) ) ; A ( ) ( ( ) ) 8 (напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение A ij, получается вычеркиванием из исходного определителя i-й строки и j-го столбца) Тогда Δ = а А + а А = + (-)(-8) = Определители более высоких порядков Определитель n-го порядка n r есть сумма n! членов ), каждый из которых n ( k k nkn соответствует одному из n! упорядоченных множеств k, k,, kn, полученных r попар-ными перестановками элементов из множества,,,n n n nn 9

10 Свойства определителей -го порядка справедливы и для определителей n-го порядка На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей -го порядка Пример 9 Вычислить определитель -го порядка Решение Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какойлибо строки или столбца стали равными нулю Для этого воспользуемся свойством 8 Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный ± Выберем в качестве такого элемента а = и с его помощью обратим все остальные элементы -го столбца в нуль С этой целью: а) к элементам -й строки прибавим соответствующие элементы -й строки; б) из элементов -й строки вычтем элементы -й строки, умноженные на ; в) из элементов -й строки вычтем элементы -й строки (напомним, что при этом величина определителя не изменится) Тогда Разложим полученный определитель по -му столбцу: ( ) Вычтем из элементов -й строки нового определителя удвоенные элементы -й строки:

11 и разложим этот определитель по -й строке: ( ) ( ( )) 9 Обратная матрица Квадратная матрица А называется вырожденной, если A, и невырожденной, если A Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е При этом В обозначается A Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной Тогда A A A A A A A A n A A A A A A A то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель Пример Найти обратную матрицу для матрицы А Решение Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу: A Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует n A n A n A A nn,

12 Найдем алгебраические дополнения а элементам матрицы А: A A A Значит, A A A A A A A Ранг матрицы Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором -го порядка Ранг матрицы это порядок ее наибольшего ненулевого минора (обозначения: r(a), R(A), Rng A) Пример Определить ранг матрицы А 7 Решение Единственным минором максимального (-го) порядка для матрицы А является ее определитель Если Δ А, r(a) = ; если Δ А =, r(a) < Найдем Δ А разложением по первой строке: A 7 7 Следовательно, r(a) < Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, r(a) > Значит, r(a) = или r(a) = Если найдется минор -го порядка, не равный нулю, то r(a) =

13 Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов: r ( A) Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже ii, равны ), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями) К ним относятся: ) транспонирование; ) умножение строки на ненулевое число; ) перестановка строк; ) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число; ) вычеркивание нулевой строки Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые в ненулевые Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг Пример Определить ранг матрицы А Решение У матрицы А существуют миноры до -го порядка включительно, поэтому r(a) Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров -го, -го и тд порядка потребовало бы слишком много времени Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду Поменяем местами -ю и -ю строки, чтобы элемент а стал равным : А ~

14 Прибавим к третьей строке первую, ко второй удвоенную первую, к четвертой первую, умноженную на Тогда все элементы -го столбца, кроме а, окажутся равными нулю: А ~ Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк: А ~ 8 7 и вычеркнем нулевые строки: А ~ 8 7 Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера, те r(a) Минор, следовательно, r(a) = II Системы линейных уравнений Линейным уравнением называется уравнение вида, b n n где i и b числа, i - неизвестные Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой число Линейное уравнение называется однородным, если b = В противном случае уравнение называется неоднородным Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

15 n n b n n b, () m m mn n bm где ij, bi - числа, j - неизвестные, n число неизвестных, m число уравнений Решением линейной системы называется набор чисел,,, n, которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения Метод Гаусса Пусть в системе () (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами) Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на i, где i номер очередного уравнения Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны, те система выглядит так: ~ ~ ~ n n b ~ ~ ~ n n b ~ ~ n ~ nnn bn Если новые коэффициенты при х не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду: ˆ ˆ n n bˆ ˆ n n bˆ () n bˆ n

16 Здесь символами ~ ~ ij, ˆ ij, bi и bˆ i обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены Из последнего уравнения системы () единственным образом определяется n, а затем последовательной подстановкой остальные неизвестные Пример Решить систему методом Гаусса: y z 9 y z y z Решение Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы Для удобства его применения поменяем местами -е и -е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице: y z y z 9 y z Теперь исключим х из второго и третьего уравнений Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на, а из третьего первое, умноженное на : y z y z y z Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе: y z y z y Из последнего уравнения получаем, что у = Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z =, х = Итак, х =, у =, z =

17 Правило Крамера Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно n n b n n b числу неизвестных: n n nnn bn Назовем главным определителем такой системы определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: а определителем j n n n n nn, () - определитель, полученный из () заменой столбца коэффициентов при j на столбец свободных членов Тогда: ) Если, система () имеет единственное решение, определяемое по формулам: n,,, n ) Если = = для всех значений j, система имеет бесконечно j много решений ) Если =, а хотя бы один из, система не имеет решений j Пример Решить систему по правилу Крамера: y z y z y z Решение Главный определитель 9, следовательно, система имеет единственное решение Найдем Δ х, Δ у и Δ z : () 7

18 Отсюда 9 9, 9, y y y 9,, z z z Решение линейных систем с помощью обратной матрицы Рассмотрим линейную систему () и введем следующие обозначения: n n A - матрица системы, X - столбец n n nn n неизвестных, b b B - столбец свободных членов Тогда систему () можно записать b n в виде матричного уравнения: АХ = В () Пусть матрица А невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица A Умножим обе части равенства () слева на A Получим A AX A B Но A A E, тогда EX A B, а поскольку EX X, X A B Итак, решением матричного уравнения () является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы () Пример Решить систему y z y z y 7z с помощью обратной матрицы Решение Составим матрицу системы: 8

19 А 7 Δ А = -, следовательно, система имеет единственное решение Найдем матрицу А - : А А А А 9 А А А А А 7 Тогда А 9 7 Если В, Х y, то исходная система превращается в z матричное уравнение АХ = В, решение которого Х = А - В Следовательно, 8 Х 9 9 7, 7 8 то есть х =, у =, z = Общее решение однородной линейной системы Рассмотрим однородную линейную систему n n n n m m mn n () Очевидно, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение n, называемое тривиальным Матрицей системы () называется матрица вида 9

20 n n m m mn A (7) Пусть ранг матрицы системы r < n Неизвестные,,,, r коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( n r,, ) свободными неизвестными Тогда число линейно независимых решений системы () равно n r При этом любые n r линейно независимых решений системы () называются ее фундаментальной системой решений, а любое решение однородной линейной системы () является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений, то есть r n r C n X X C X C X, где r X n X X,,, - фундаментальная система решений Пример Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы Решение Найдем r(a): A ~ ~ ~ ~ Выберем в качестве базисного минора Значит, r(a) = Пусть х, х базисные неизвестные, х, х, х свободные неизвестные Запишем для них новую систему:

21 , откуда 9 Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных: ) х =, х = х = Тогда х = -,, х =,, и решение можно записать в виде столбца,, X ) х =, х =, х = При этом х =,, х =,8, и следующее решение системы имеет вид,8, X ) х = х =, х = Отсюда х = -,8, х = -,, и последний столбец,,8 X Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной Поскольку столбцы свободных неизвестных,, линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х, Х, Х Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

22 ,,,,8,,,,8 При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с Х + с Х + с Х, где с, с, с произвольные постоянные Эта формула задает общее решение системы Структура общего решения неоднородной линейной системы Рассмотрим неоднородную линейную систему () Такая система будет совместной, если ранг матрицы системы (7) равен рангу расширенной матрицы, то есть матрицы системы, к которой добавлен столбец свободных членов: m mn m m n n b b b A Ее общее решение можно получить, выражая базисные неизвестные через свободные, то есть решая систему относительно базисных неизвестных (такая система всегда определена, что следует из правила Крамера) Пример 7 Найти общее решение и одно из частных решений линейной системы 9 8 Решение Найдем r(a) и r(a ): 9 8 A ~ 9 8 ~

23 ~ ~ 7 ~ ~ 7 Итак, r = r(a) = r(a ) =, а число неизвестных п = Следовательно, r < n, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена) Число базисных неизвестных равно r, то есть двум Выберем в качестве базисных неизвестных х и х, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: Соответственно х, х, х свободные неизвестные Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы: 7 и выразим базисные неизвестные через свободные: 7 Получено общее решение системы Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х = х = х = Тогда, Таким образом, общее решение 7 ; частное решение,, х = х = х =

24 Другая возможность получить общее решение неоднородной системы заключается в предварительном нахождении общего решения соответствующей однородной системы При этом искомое общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы () и частного решения системы () Пример 8 Найти общее решение неоднородной линейной системы с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы Решение Убедимся в том, что система совместна: A ~ ~ ~ ~ Итак, r(a) = r(a ) = система совместна Составим по преобразованной матрице однородную систему: и найдем для нее фундаментальную систему решений:, Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

25 X, X, X Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы Положим х = х = х =, тогда, Следовательно, частн X, и общее решение системы имеет вид: с X с с, где с, с, с произвольные постоянные

26 ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант Вычислить определитель 8 9 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы y z Решить систему уравнений y z y z 9 y z Решить систему уравнений y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 9

27 Вариант Вычислить определитель 7 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В + ВА + А 8 Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений z t y z t y z t 7 y z t Решить систему уравнений 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 7 7

28 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y t y z y z t y z t Решить систему уравнений y y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 9 8

29 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А + ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z y z 7 y z y z Решить систему уравнений y z y z 7 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 9 9 системы однородных уравнений 8 9

30 Вариант Вычислить определитель 9 8 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + А 7 Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z t y t z 8t y z t Решить систему уравнений y z y z y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 7

31 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А + ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений 7 y z Решить систему уравнений y z 7 y 8z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y z t системы однородных уравнений y z t y z t

32 Вариант 7 Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений 7 y z y z y z Решить систему уравнений 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 9 9

33 Вариант 8 Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить 7 матричный многочлен В ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y t y z y z t y z t y z y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 8 системы однородных уравнений

34 Вариант 9 Вычислить определитель Для матриц A и B матричный многочлен А + ВА + В вычислить Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z t y t z 8t y z t Решить систему уравнений y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

35 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y y z z y z t y t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

36 Вариант Вычислить определитель 7 7 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы 8 7 Решить систему уравнений Решить систему уравнений z y z y z y z t y t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

37 Вариант Вычислить определитель 7 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z t z t y z t 8 y z Решить систему уравнений y z y z y z 8 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 7 системы однородных уравнений 7

38 Вариант 7 Вычислить определитель Для матриц A и B матричный многочлен А + ВА + В вычислить Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы 7 Решить систему уравнений y z y z y z Решить систему уравнений y z y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y z t системы однородных уравнений y z t y z t 8

39 Вариант Вычислить определитель 7 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + В 7 Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z y z y z Решить систему уравнений y z t y t y z t z y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 7 системы однородных уравнений 9

40 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z y z y Решить систему уравнений y z t y z t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 7 системы однородных уравнений 7

41 Вариант Вычислить определитель 7 Для матриц A и B 7 вычислить матричный многочлен А ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы 8 Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z t y t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y z t системы однородных уравнений y z t y z 7t

42 Вариант 7 Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + В 8 Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z y z y z 8 Решить систему уравнений Найти фундаментальную систему решений и общее решение y 7z t системы однородных уравнений y 7z 8t y z 7t

43 Вариант 8 Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен А ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений y z y z y z 8 Решить систему уравнений y z t y t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 7 системы однородных уравнений 7 7

44 Вариант 9 Вычислить определитель 8 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y z t системы однородных уравнений y 9z 8t y z t

45 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y 7z 8t системы однородных уравнений y z t y 9z 7t

46 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В + ВА + В Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы 7 7 Решить систему уравнений Решить систему уравнений 8 7 y z 8t 7 y 9z t 7 y 7z t 9 8y z 7t Найти фундаментальную систему решений и общее решение y 7z t системы однородных уравнений y z t y z t

47 Вариант Вычислить определитель 7 7 Для матриц A и B матричный многочлен В ВА + А вычислить Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y z Найти фундаментальную систему решений и общее решение y z t системы однородных уравнений y z t y z t 7

48 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В + ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы 7 Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z 9 y z y z y z 8t 7y z t 9 y z 8t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение 7 системы однородных уравнений 7 8

49 Вариант Вычислить определитель 7 7 Для матриц A и B вычислить матричный многочлен В ВА + А Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений z t y z t y z t 7 y z t Решить систему уравнений y z t y z t y z t y z t 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 8 9

50 Вариант Вычислить определитель Для матриц A и B матричный многочлен В + ВА + А вычислить Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы 7 7 Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение y 8z t системы однородных уравнений y 9z t y z t

51 Вариант Вычислить определитель Найти матрицу Х, если X Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы 8 Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y z y z y z y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 7

52 Вариант 7 Вычислить определитель Найти матрицу Х, если X Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y z y z y z 9 y z 9 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

53 Вариант 8 Вычислить определитель Найти матрицу Х, если X Вычислить обратную матрицу для матрицы 7 Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z y z y z 8 8y z 7 7 y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

54 Вариант 9 Вычислить определитель Найти матрицу Х, если X 7 8 Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z y z 9 y z y z y z 7 y z 8 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

55 Вариант Вычислить определитель Найти матрицу Х, если X Вычислить обратную матрицу для матрицы Найти ранг матрицы Решить систему уравнений Решить систему уравнений y z 8 y z y z 9 y z y z 7 y z 7 Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений 7

56 ЛИТЕРАТУРА Ильин ВА, Позняк ЭГ Линейная алгебра М: Наука, 999 Бутузов ВФ, Крутицкая НЧ, Шишкин АА Линейная алгебра в вопросах и задачах М: Физматлит, Проскуряков ИВ Сборник задач по линейной алгебре М: Наука, 98 Фаддеев ДК, Соминский ИС Сборник задач по высшей алгебре М: Наука, 98 Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах Ч М: Высшая школа, 99


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА направление: 5 биология ЛЕКЦИЯ Лекция. Матрицы и определители. План лекции:. Определение матрицы.. Определители второго и третьего порядков, их основные

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее