ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания для студентов дневной формы обучения Москва 0

2 Составитель: ктн Антонова ИИ УДК 57 Дифференциальные уравнения: методические указания для студентов дневной формы обучения/ Сост Антонова ИИ Изд -е, испр и доп М: МГУПИ (МИРЭА), 0 Излагаются основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Приведены примеры решения различных типов задач, в том числе и решение некоторых типов систем дифференциальных уравнений Рассмотрен образец выполнения типового расчета Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневной форме обучения Библиогр: 5 наим Рецензент: доц Якобовская ИМ Содержание Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения высших порядков 5 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Пример решения варианта типового расчёта Литература 7

3 Дифференциальные уравнения первого порядка Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной, называется соотношение вида d f ( ; ) d = Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция = ( ), при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения d f ( ; ) d =, удовлетворяющего условиям, = 0 при = 0 Доказано, что если в некоторой области функция f ( ; ) непрерывна f вместе со своей частной производной, то в этой области задача Коши имеет решение и при том единственное Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в некоторой области называется совокупность функций = ϕ( ; C) (С произвольная постоянная), удовлетворяющая двум условиям: При любом значении произвольной постоянной С функция = ϕ( ; C) является частным решением дифференциального уравнения; Для любых начальных условий задачи Коши = 0 при = 0 найдётся такое значение произвольной постоянной C 0 такое что 0 = ϕ( 0; C0) Если общее решение = ϕ( ; C) неявно определятся соотношением вида Φ ( ; ; C) = 0, то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка Теперь перейдём к конкретным типам дифференциальных уравнений первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Определение Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде: d = f ( ) g( ) d

4 Можно предложить следующую схему решения этого уравнения Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде: d = f ( ) d g( ) Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем: d f d + С g = ( ), ( ) где С произвольная постоянная Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения Замечание Если функция g ( ) равна нулю в точках b, b,, bn, то функции = b, = b,, = bn являются решениями исходного уравнения При изложенном методе такие решения могут быть потеряны, поэтому их рекомендуется выписать отдельно Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Ответ представить в виде ψ(,) = C) d = 0 d Для того, что бы убедиться, что данное уравнение действительно является уравнением с разделяющимися переменными, выразим d d Имеем Тогда f ( ) = = Заметим, что g ( ) 0 Разделяем переменные: + d = d +, g( ) + + d d = + + Интегрируя правую и левую части, получаем d d = + + Приведём схему вычисления интеграла: d d( + ) ( ) = = + d( + ) = ( ) После вычисления интегралов имеем: Ответ: = C = + + = + + C

5 5 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ( + e ) e = 0 Уравнение запишем в виде d e = d + e e Тогда f ( ) =, g( ) = Заметим, что g( ) = 0при = 0 + e Следовательно, функция = 0является решением данного дифференциального уравнения В случае 0 разделяем переменные: d e = d + e Интегрируя правую и левую части, получаем d e = d + e Приведём схему вычисления интеграла e d( e + ) = = ln( e + ) e + e + После вычисления интегралов имеем: ln = ln e + + lnc Потенцируя данное выражение, получаем = C( e + ) Отметим, что решение = 0содержится в полученном выражении общего решения при С = 0 Ответ: = C( e + ) Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения Тогда f ( ) = +, Разделяем переменные: d + = d cos g( ) cos = Заметим, что ( ) 0 cos ( ) d = + d Интегрируя правую и левую части, получаем cos d = ( + ) d + C После вычисления интегралов имеем: Ответ: sin = C g sin = + + C

6 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения d d = d d Поясним, что такая запись подразумевает под d дифференциал независимой переменной, под d дифференциал неизвестной функции (d = d ) Перенесём выражения, содержащие d в левую часть уравнения, выражения, содержащие d в правую часть После некоторых простых преобразований, получаем ( + ) d = ( + ) d Разделяем переменные d = d + + Интегрируя правую и левую части, получаем d = d + + Приведём схему вычисления интеграла d( + ) d = = ln( + ) + + После вычисления интегралов имеем ln( + ) = ln( + ) + ln C Потенцируя полученное выражение, имеем ( + ) = C( + ) Ответ: ( + ) = C( + ) Однородные уравнения Определение Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде: d = f d Можно предложить следующий метод его решения Неизвестную функцию () будем искать в виде = u, где u () неизвестная функция Тогда = u + u Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du u + = f (u) d Данное уравнение представим в виде

7 7 du = [ f ( u) u] d Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции u () Метод его решения рассмотрен ранее Задача 5 Найти общий интеграл дифференциального уравнения d = d + + Данное уравнение является однородным Будем искать неизвестную функцию () в виде = u Тогда = u + u Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du u + = u + u + d Полученное уравнение преобразуем к виду du ( = u + u + ) d Разделяем переменные du d = u + u + Интегрируем правую и левую части du d u + u + = + ln C (В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначит не С, а ln C, где С 0 Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем u + ln = ln + ln C u + Потенцируя, имеем u + = C u + Избавляясь от знака модуля, получаем u + = C u + Поскольку u =, то полученное соотношение может быть представлено в виде + = C + du Заметим, что в уравнении = ( u + u + ), выражение d u + u + = 0при u =, u = Следовательно, функции u = и u = являются решениями дифференциального уравнения для неизвест-

8 8 ной функции u (), а значит, функции = и = являются решениями исходного дифференциального уравнения + Решение = содержится в решении = C, если положить С = Ответ: = C, =, где С произвольная постоянная + Задача 6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения d = e + d Поскольку данное уравнение является однородным, то неизвестную функцию () будем искать в виде = u Тогда = u + u Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du + = + d u u e u Полученное уравнение преобразуем к виду du = e d u Разделяем переменные u e du d = Интегрируем правую и левую части d u e du = + C Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем Поскольку виде u e = ln + C u = e = ln + C, то полученное соотношение может быть представлено в Ответ: e + ln + C = 0, где С произвольная постоянная Задача 7 Найти общий интеграл дифференциального уравнения + = Данное уравнение является однородным Будем искать неизвестную функцию ( ) в виде ( ) = u( ) Тогда = u + u Подставляя и в исходное уравнение, получаем: + u u u + u = u Данное уравнение преобразуем к виду

9 9 + u u = u Поскольку правая часть не равна нулю ни при каких значениях, то, разделяя переменные, получаем u d du = + u Интегрируя, имеем u d du = + u + С Приведём схему вычисления интеграла ( ) ( ) u du = udu = arctgu d u + = u + u + u + u + = arctgu ln( u + ) После вычисления интегралов получаем ln( ) ln arctgu u + = + C Поскольку u =, то выражение записываем в виде arctg ln + ln C = + Ответ: arctg ln + ln C = Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде d + P( ) = Q( ), d где Р(х) и Q(х) известные функции Можно предложить следующий метод решения этого уравнения Неизвестную функцию () будем искать в виде = uv, где u() неизвестная функция, а v () некоторая функция, выбранная специальным образом (Способ выбора v () будет описан позже) Производная равна: = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем u v + uv + P ( ) uv = Q( ) Полученное уравнение преобразуем к виду

10 0 u [ v + P( ) v] + u v = Q( ) Подберём функцию v () так, чтобы было выполнено: v + P( ) v = 0 (Это уравнение для определения функции v () является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю) Тогда для определения u () имеем уравнение u v = Q() Из этого уравнения при известной функции v() находим u (): Q( ) u () = d + C, v( ) где С произвольная постоянная Q( ) Тогда общее решение () имеет вид: = uv = d + C v( ) v( ) Задача 8 Найти решение задачи Коши: + =, ( ) = Вначале найдём общее решение этого уравнения Будем искать в виде = uv Тогда = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем: u v + uv + uv = ; u v v + u v = + Выберем функцию v () из условия v + v = 0 Уравнение для функции v () является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его dv d dv d решение: v + v = 0, = ; v = v ; v ln = ln ; v = Найдём функцию u (): u = ; u = ; u = d ; u = + C 7 Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид C = uv = + 7 Произвольную постоянную С определим из условия ( ) = : 5 = + C ; C = 7 7 Ответ: 5 = Задача 9 Найти общее решение дифференциального уравнения d e d = Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка Будем искать в виде = uv Тогда = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

11 u v + uv uv = e ; u v v u v e + = Выберем функцию v () из условия v = 0 Уравнение для функции v () является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: Найдём функцию () dv d dv v 0 d =, dv d v = ; dv d v = ; ln v = ; v = e u : u e = e ; u = ; u d = ; Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид Ответ: = = ( + ) uv C e = + C e ( ) u = + C Задача 0 Найти решение задачи Коши d + =, (0) = d + + Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка Будем искать в виде = uv Тогда = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du dv dv du v + u + uv = ; u v v d d d + = + d + dv Выберем функцию v( ) из условия + 0 v = Уравнение для d + функции v( ) является уравнением с разделяющимися переменными dv dv Найдём его решение: + 0 v =, = d ; d + v + dv dv d( + ) = d v ; + = v ; ln v = ln( + ), v + = + Найдём функцию u( ): du du = ; d + + d = ; u = d = + C Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид = uv = + C + Определим произвольную постоянную С Так как (0) =, то имеем = 0 C +, C = + 0

12 Ответ: = + + Уравнение Бернулли Определение Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде d d n + P( ) = Q( ) Можно предложить следующий метод решения этого уравнения Неизвестную функцию () будем искать в виде = uv, где u () неизвестная функция, а v () некоторая функция, выбранная специальным образом (Способ выбора v () будет описан позже) Производная равна: = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем u v + uv + P ( ) uv = Q( ) u n v n Полученное уравнение преобразуем к виду u [ v + P( ) v] + u v = Q( ) u n v n Подберём функцию v () из условия: v + P( ) v = 0 (Это уравнение для определения функции v () является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю) Тогда для определения u () имеем уравнение v = Q( u n v n u ) Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее Задача Найти решение задачи Коши: ( + ) =, ( ) = Вначале найдём общее решение этого уравнения Будем искать в виде = uv Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: v) vu u Функцию () u ( v + + = v v определяем из условия: dv dv d dv d + v = 0 ; = ; d v = v ; ln v = ln ; v = Определим u (): du d u = u v ; u = ; du d = u +С; = ln + u C ; u = ln + C Следовательно, общее решение имеет вид = ( ) = определяем произвольную постоянную С: Из условия ln + C = ; С = С

13 Ответ: = (ln ) Задача Найти решение задачи Коши: d d + = e, (0) = Данное уравнение является уравнением Бернулли Будем искать в виде = uv Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: + + = Функцию () u( v v) vu e u v dv d v = ; dv d v = ; ln v = ; v e du 8 du 8 8 = e d ; = e d u u + С; = e + C ; u = u dv d + = ; v определяем из условия: v 0 = Определим () 9 u : e u = e u e ; e 8 C ( Знак плюс при извлечении квадратного корня выбран исходя из начальных условий) Следовательно, общее решение имеет вид = (0) = определяем произвольную постоянную С: Ответ: = e e e 8 C = Из условия C ; С = 0 Задача Найти решение задачи Коши: + = e ( ), (0) = Вначале найдём общее решение этого уравнения Будем искать в виде = uv Тогда = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du dv v + u + uv = u v e ( ) ; d d dv du u + v + v = u v e ( ) d d dv Функцию v( ) определяем из условия: v 0 d + =, dv d v = ; dv d v = ; ln v = ; v = e Определим u( ): du du v u v e ( = ); u ve ( ) d d = ; du = e ( ) d u Интегрируем правую и левую части полученного соотношения du = e ( ) d u Приведём схему вычисления полученных интегралов

14 du u u du u = = = u Для вычисления e ( ) d сделаем замену переменных dt = t, dt = ( ) d, d = Тогда получаем ( ) dt ( ) t ( ) t t e d = e = e dt = e = e ( ) Подставляя полученные интегралы в исходное выражение, получаем = e + C, u = u e + C e Следовательно, общее решение имеет вид = uv = e + C Используя начальные условия задачи Коши, определим С Так как (0) =, то =, С=0 + C Тогда имеем = e Ответ: = e

15 5 Уравнения высших порядков Далее перейдём к уравнениям более высокого порядка Дифференциальным уравнением порядка n, разрешённым относительно старшей производной, называется дифференциальное уравнение вида ( n) ( n ) = f ( ; ; ; ; ) Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция = ( ), при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n называется задача отыскания решения дифференциального уравнения ( n) ( n ) = f ( ; ; ; ; ), удовлетворяющего условиям ( n ) ( n ) ( 0) = 0, ( 0 ) = 0, ( 0) = 0,, ( 0 ) = 0 при = 0 Доказано, что при определённых условиях задача Коши имеет решение и при том единственное Общим решением дифференциального уравнения ( n) ( n ) = f ( ; ; ; ; ) называется совокупность функций = ϕ( ; C; C; C n ), где C, C,, C n произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: При любом наборе произвольных постоянных C, C,, C n функция = ϕ( ; C; C; C n ) является частным решением дифференциального уравнения; Для любых начальных условий задачи Коши ( 0 ) = 0, ( n ) ( n ) ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 0,, ( 0 ) = 0 при = 0существует такой набор значений произвольных постоянных C, C,, C n, что выполнены условия ( ; C ; C ; C ) ϕ ( ; C ; C ; C ) =,, ϕ =, 0 n 0 ( n ) ( n ) ϕ ( 0; C ; C ; C n) = 0 5 Уравнения, допускающие понижение порядка 0 n 0 Пусть дано уравнение порядка n вида ( n) ( n ) ( k ) F(,,, ) = 0, то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k включительно Введём новую неизвестную функцию z( ) = ( ) Производные функции () ( k ) выразятся ( через производные функции z () следующим образом: k + ) = z,, ( n) ( n k ) = z Подставляя в исходное уравнение, получаем

16 ( n k ) ( n k ) ( z, z, z, z, ) = 0 6 F Полученное уравнение для функции z () является уравнением более низкого порядка Если функция z () определена, то функция () определяется интегрированием соотношения ( ) k ( ) = z () Задача При > 0 найти общее решение дифференциального уравнения = Это уравнение явно не содержит и Обозначим = z Тогда: = z, = z Подставляя в исходное уравнение, получаем z = z Уравнение для определения функции z () является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: = z ; = ; dz dz d d z dz d z = ; z ln = ln + ln C ; ln z = ln C ; z = C ; z = C Так как = z, то = zd + C = C d + C = C + C Тогда = C + C d + C = C + C + C 5 Обозначим C = C 5 Ответ: = C + C + C, где C, C, C произвольные постоянные Задача 5 Найти общее решение дифференциального уравнения ( + ) + = Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию Введём новую неизвестную функцию z = Тогда = z и уравнение преобразуется к виду ( + ) z + z = Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка Будем искать z в виде z = uv Тогда = u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du dv ( + ) v + u + uv = ; d d dv du u ( + ) + v + ( + ) v = d d

17 7 dv Выберем функцию v( ) из условия ( + ) + v = 0 Уравнение для d функции v( ) является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: ( + dv ) v 0 d + =, dv = d ; v + dv dv d( + ) = d v ; + = v ; ln v = ln( + ), v + = + Найдём функцию u( ): ( + du ) d + = du ; d = ; u = d = + C Тогда C z = uv = + C = + + ( + ) + Определим C = zd = d + d ( + ) = + C = d d + + ( + ) = + + arctg + Carctg + C Так как C + является так же произвольной постоянной, то окончательный ответ может быть записан в виде = + Carctg + C Ответ: = + Carctg + C Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка) Пусть дано уравнение вида F (,, ) = 0 Будем искать производную как функцию в виде = p( ), где p ( ) неизвестная функция Тогда

18 8 d dp d = p( ) = = p p d d d Подставляя и в исходное уравнение, получаем F ( p p; p; ) = 0 Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции p ( ) Если нам удастся найти функцию p ( ), то для определении имеем уравнение = p( ), которое является уравнением с разделяющимися переменными Замечание При изложенном методе могут быть потерянны решения p ( ) = 0, то есть = const Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно Задача 6 Найти решение задачи Коши: = 8, ( 0) =, ( 0) = 8 Будем искать в виде = p( ) Тогда = p p Подставляя и в исходное уравнение, получаем p p = 8 Полученное для p ( ) уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: dp p = 8, 8 p pdp = d, d pdp = 8 d, = + C Определим произвольную постоянную С Так как при = 0имеем ( 0) =, а ( 0) = 8, то p = 8при = Тогда = + С, С = 0 Следовательно, p = или Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что ( 0) = 8 положительное число Неизвестную функцию () определяем из уравнения = 8 Найдём его решение: = 8, 8 d d d d =, d = 8d, = 8 + C, = Так как ( 0) =, то =, 8 + C C C = Следовательно, = 8 Ответ: = 8 Задача 7 Найти решение задачи Коши: = 6, () =, () = Будем искать в виде = p( ) Тогда = p p Подставляя и в исходное уравнение, получаем p p = 6

19 9 Полученное для p( ) уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: dp p 6 d =, p pdp = 6 d, pdp = 6 d, = + C Определим произвольную постоянную С Так как при = имеем () =, а () =, то p = при = Тогда = + С, С = 0 Следовательно, = или Знак плюс при извлечении корня выберем потому, что p () = положительное число Неизвестную функцию ( ) определяем из уравнения d = Найдём его решение: d =, d d = d, = d, C = +, = Так как ( + C) () =, то =, C = 0 Следовательно, = ( + C) Ответ: = Задача 8 Решить задачу Коши π = 8sin cos, () =, () = Будем искать в виде = p( ) Тогда = p p Подставляя и в исходное уравнение, получаем dp p 8sin cos d = Полученное для p( ) уравнение является уравнением с разделяющимися dp переменными Найдём его решение: p 8sin cos d =, pdp = 8sin cos d, pdp = 8sin cos d, pdp = 8sin d sin p 9, sin C = + Определим произвольную

20 0 постоянную С Так как при = имеем () =, а () =, то p = π при = Тогда 9 9 = + C, С=0 Следовательно, p 9sin = или p = ± sin Знак плюс при извлечении корня выберем плюс потому, что () = положительное число Тогда p = sin Неизвестную d функцию ( ) определяем из уравнения sin d = Найдём его решение: sin d d =, d d sin =, d d sin =, ctg = + C Так π как () =, то 0 = + C, C = Следовательно, = arcctg ( ) Ответ: = arcctg ( ) π

21 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 6 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида Однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида: ( n) ( n ) + a + + an + an = 0, где a,, a n, an действительные числа Характеристическим уравнением соответствующим данному дифференциальному уравнению называется алгебраическое уравнение вида т т λ + a λ + + an λ + an = 0 Общее решение данного дифференциального уравнения находится следующим методом Пусть λ = kявляется действительным корнем этого уравнения кратности s Тогда ему соответствуют s линейно независимых решений k k s k дифференциального уравнения: = e, = e,, s = e Пусть комплексно сопряжённые числа α±βi являются корнями характеристического уравнения кратности s Тогда им соответствуют s линейно независимых решений: u = e α cos β, u = e α s α cos β,, u s = e cos β ; v = e α sin β, v = e α s α sin β,, v s = e sin β Можно показать, что таким образом найдётся ровно n линейно независимых решений исходного дифференциального уравнения,,, n Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 0 запишется в виде 0 = C + C + + C n n где C, C,, Cn произвольные постоянные Неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n будем называть уравнение вида: ( n) ( n ) + a + + an + an = f ( ), где f (), заданная функция Если функция () является частным решением неоднородного уравнения, то его общее решение записывается в виде = + 0, где 0 общее решение соответствующего однородного уравнения При отыскании частного решения неоднородного дифференциального уравнения полезно иметь в виду следующее: если ( ) является частным решением неоднородного уравнения с правой частью f ( ), а ( ) является частным решением неоднородного уравнения с правой частью f ( ), то

22 = + ( ) f( является частным решением неоднородного уравнения с правой частью f + ) Если известно общее решение однородного уравнения, то методом вариации произвольных постоянных можно отыскать частное решение неоднородного уравнения Однако в общем случае применение этого метода вызывает технические трудности Для правых частей некоторого специального типа частное решение может быть найдено более простым путём Рассмотрим два таких типа правых частей Пусть n α f ( ) = P ( ) e, где P n () многочлен степени n Тогда частное решение () может быть найдено в виде ( ) = Qn ( ) e, где Q n () многочлен степени n, s кратность корня λ = α в характеристическом уравнении (Если λ = α не является корнем характеристического уравнения, то полагаем s = 0) α α Пусть f ( ) = P ( ) e sin β + Q ( ) e cos β, где P ( ), Q ( ) m m многочлены степени m,mсоответственно Тогда частное решение может быть найдено в виде s α α ( ) = [ Tn ( ) e sin β + Rn ( ) e cos β], где Tn ( ), Rn ( ) многочлены степени n, n наибольшее из m и m, s кратность корня α + βi в характеристическом уравнении 0 Задача 8 Найти общее решение дифференциального уравнения + = ( ) e Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения ( ) Составляем характеристическое уравнение λ λ + λ = 0 Найдём его корни: λ λ + λ = 0 ; λ ( λ )( λ ) = 0 ; λ = 0, λ =, λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 0 ( ) = C + Ce + Ce Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α =, P n ( ) =, n = Число α = один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = Будем искать () () = () = s m α m в виде Q ( ) e, где Q ( ) многочлен первой степени Тогда ( A + B) e Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы част- d d d ное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём,, d d d d = (A + B) e + ( A + B) e ; d d = Ae + (A + B) e + ( A + B) e ; d :

23 d = 6Ae + ( A + B) e + ( A + B) e d d d d Подставляя,, в исходное уравнение, получаем: d d d 6A + ( A + B) + ( A + B) e A + (A + B) + ( A + B) e [ ] [ ] + [( A + B) + ( A + B) ] e = ( ) e Сокращаем правую и левую части на e и приводим подобные в левой части: A + B = + Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: A =, B = Следовательно А =, В = Тогда частное решение запишется в виде () = ( + ) e Следовательно, общее решение исходного уравнения равно: + = ( + ) e + C + C e C e = 0 + Задача 9 Найти общее решение дифференциального уравнения = Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения ( ) 0 Составляем характеристическое уравнение λ 6λ + 8 = 0 Найдём его корни: λ 6λ + 8 = 0 ; ( λ )( λ ) = 0 ; λ = ; λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 0( ) = Ce + Ce Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, P ( ) = 8 + 0, n = Число 0 n α = не встречается среди корней ха- рактеристического уравнения, значит кратность s = 0 Будем искать ( ) в виде ( ) = Q ( ), где Q ( ) многочлен второй степени Тогда ( ) = A + B + C Коэффициенты А, В и С определим из условия, чтобы d d частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём, : d d d = A + B ; d d = A d d d Подставляя, в исходное уравнение, получаем: d d A 6( A + B) + 8( A + B + C) =

24 Приводим подобные в левой части уравнения: 8 A + (8B A) + (8C 6B + A) = Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: 8A = 8; 8B A = ; 8C 6B + A = 0 Следовательно А =, В = 0, С = Тогда частное решение запишется в виде ( ) = + Следовательно, общее решение исходного уравнения равно: = + 0 = + + Ce + Ce Задача 0 Найти общее решение дифференциального уравнения = + cos Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ λ = 0 Найдём его корни: λ λ = 0 ; λ ( λ )( λ + ) = 0 ; λ = 0, λ =, λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 0 ( ) = C + Ce + Ce Найдём частное решение Правую часть представим как сумму двух функций f ( ) и f ( ), где f ( ) =, f ( ) = cos Рассмотрим уравнение = Функция f ( ) = соответствует правой части первого типа: α = 0, P n ( ) =, n = Число α = 0 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = Будем искать () ( ) = Q ( ), где Q ( ) многочлен первой степени Тогда в виде ( ) = ( A + B) Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём d d d,, : d d d d = (A + B) ; d d = A; d d = 0 d

25 5 d d Подставляя, d, в исходное уравнение, получаем: d d d A B = Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: A =, B = 0 Следовательно А =, В = 0 Тогда частное решение запишется в виде ( ) = Рассмотрим уравнение = cos Функция f ( ) = cos является правой частью второго типа Имеем Pm ( ) = 0, Q ( ) = m, m 0, 0 = m =, α = 0, β = Число λ = i не является корнем характеристического уравнения, значит s = 0 Частное решение ( ) ищем в виде ( ) = T0 ( )sin + Q0( ) cos, где T 0( ), Q0( ) многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел m и m равно нулю Тогда ( ) = Asin + B cos d,, d d Найдём : d d d d = Acos Bsin ; d d = Asin B cos ; d d = Acos + B sin d d d d Подставляя,, в уравнение, получаем: d d d Acos + B sin Acos + B sin = cos Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: А =, В = 0 Следовательно A =, B = 0 То- гда ( ) = sin Тогда частное решение () исходного уравнения () = ( ) + ( ) = sin Общее решение уравнения равно = + 0 = sin + C + Ce + Ce 7 Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка методом вариации произвольных постоянных Пусть дано дифференциальное уравнение вида + a ) + a ( ) = f ( ), (

26 6 где a ( ), a ( ), f ( ) известные функции Пусть и являются линейно независимыми решениями однородного уравнения + a ( ) + a ( ) = 0 Тогда частное решение неоднородного уравнения может быть найдено в виде = C ( ) + C ( ), где функции C ( ) и C ( ) удовлетворяют системе уравнений: C + C = 0, C + C = f ( ) Задача Найти решение задачи Коши π + =, sin = π π, = Найдём решение однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ + = 0 Найдём его корни: λ = ± i Однородное урав- нение имеет два линейно независимых решения = sin и = cos Частное решение ищем в виде = C ( )sin + C( ) cos, где функции C ( ) и C ( ) удовлетворяют системе уравнений: C sin + C cos = 0, C cos C sin = Решая систему, получаем: Находим C и sin С = ctg, C = C : C = ctg d = lnsin, C = d = =sinlnsin cos Тогда Общее решение однородного уравнения равно: = C sin + C cos Общее решение исходного уравнения запишется в виде: = sin lnsin cos+ C sin + C cos π Из условия = получаем C = Найдём производную общего решения: = cos ln sin + sin + C cos C sin π π Из условия = получаем: π π С =, С = 0 Ответ: = sin lnsin cos + sin Задача Найти решение задачи Коши tg = + =, ( ) =, ( )

27 7 Найдём решение однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ + = 0 Найдём его корни: λ = ± i Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения = sin и = cos Частное решение ищем в виде = C ( )sin + C( )cos, где функции C ( ) и C ( ) удовлетворяют системе уравнений: C sin + C cos = 0, C cos C sin = tg Из условия ( ) sin Решая систему, получаем: С =sin, C = cos sin Находим C и C : C = sind = cos, C d cos Для вычисления этого интеграла сделаем замену переменной t = sin Тогда dt = cos d, d = Подставляя в выражение для интеграла, dt cos получаем sin t dt t d = dt cos = cos cos = cos t t = dt = dt = dt = ( sin ) ( t ) t t sin = t ln = sin ln t + sin + * sin Тогда = cossin + sin + ln cos sin + = = sin ln cos sin + Общее решение однородного уравнения равно: 0 = C sin + C cos Общее решение исходного уравнения запишется в виде: sin = ln cos + C sin + C cos sin + 0 = 0получаем C = 0 Найдём производную общего решения: cos cos sin = cos ln sin sin sin + sin + = +

28 C cos C sin + Из условия ( 0) Ответ: = 8 = получаем: = С, С = sin ln cos sin + sin Задача Найти решение задачи Коши =, ( 0) =, ( 0) = + e Найдём решение однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ λ = 0 Найдём его корни: λ = 0, λ = Одно- родное уравнение имеет два линейно независимых решения = и = e Частное решение ищем в виде = C ( ) + C( ) e, где функции C ( ) и C ( ) удовлетворяют системе уравнений: C + C e = 0, C e = + e Решая систему, получаем: C = + e, C = ( + e ) e d Находим C и C d : C =, C = Для вычисления + e ( + e ) e первого интеграла сделаем замену переменной t = e Тогда dt = e d, dt d = Подставляя в выражение для интеграла, получаем e d dt = + e = dt ln t ln( t) ln( e ) t( + t) = + = + t t + При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных d dt = ( + e ) e t ( + t) Разлагая на простейшие дроби, получаем dt = + dt = ln t + ln( t + ) = t ( + t) t t t + t = ln( e ) e + +

29 9 Тогда * e = + ln( + ) + + ln( e + ) e e Общее решение однородного уравнения равно: 0 = C + Ce Общее решение исходного уравнения запишется в виде: = + ln( e + ) + + ln( e + ) e e + C + Ce 0 = получаем Из условия ( ) C + C = ln Найдём производную общего решения: e e = e e + e e ln( e + ) e e Из условия ( 0) = получаем: С = ln Следовательно + + Ce С = ln Тогда = + ln( e + ) + + ln( e + ) e e ln + ( ln ) e = ( + e + )ln( e + ) + + ( ln ) e ln Ответ: = ( + e + )ln( e + ) + ( ln ) e ln 7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида d = f( ; ; ; n) d d = f( ; ; ; n) d dn = fn( ; ; ; n) d Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений называется задача нахождения частного решения указанной системы, удовлетворяющего условиям

30 =, =,, n = n при = 0 Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему n дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению порядка n Задача Найти решение системы дифференциальных уравнений d =, dt d = +, dt удовлетворяющее условиям (0) =, (0) = Продифференцируем первое уравнение Получаем d d d = dt dt dt Подставим в полученное уравнение значение d, взятое из второго уравнения системы Получаем d d d d d = ; = ( + ) ; dt dt dt dt dt d d = + dt dt d Из первого уравнения системы выразим : = dt d d Тогда уравнение = + можно переписать в виде dt dt d d d = + Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функ- dt dt dt ции ( t ) Приводя подобные, запишем его в виде d 5 d + = 0 dt dt Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: λ 5λ + = 0 ; ( λ )( λ ) = 0; λ =, λ = Решение дифференциального уравнения имеет вид t t = C e + C e, где C, C произвольные постоянные d = dt d = = Ce + Ce Ce Ce dt t t = Ce Ce Найдём ( t ) Так как dt, то, подставляя t t = Ce + Ce, получаем: t t t t ( ) ;

31 Тогда общее решение системы имеет вид: C e C e t t = + ; C e C e, t t = Где C C произвольные постоянные Используя начальные условия, найдём произвольные постоянные Так как (0) =, (0) =, то для определения C, C имеем систему уравнений: C + C = ; C C = Решая систему, получаем С C Ответ: t = e, t = e =, = 0 Задача 5 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений d = +, dt d = dt Продифференцируем первое уравнение Получаем d d d = + dt dt dt Подставим в полученное уравнение значение d, взятое из второго уравнения системы Получаем dt d d = + ( ) ; dt dt d d = + dt dt Из первого уравнения системы выразим : Тогда уравнение d d dt dt d = dt = + можно переписать в виде

32 d d d = + dt dt dt Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции ( ) Приводя подобные, запишем его в виде d + 5 = 0 dt Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: λ = ± λ + 5 = 0 ; 5i Решение дифференциального уравнения имеет вид = C sin 5t + C cos 5t, где C, C произвольные постоянные Найдём ( t ) Так как получаем: d = dt = C sin 5t + C cos 5t,, то, подставляя ( 5 cos 5 5 sin 5 sin 5 cos 5 ) d = = C t C t C t C t dt = C ( 5 cos 5t sin 5t ) + C ( 5 sin 5t cos 5t ) Тогда общее решение системы имеет вид: ; t = C sin 5t + C cos 5t ; = C ( 5 cos 5t sin 5t ) + C ( 5 sin 5t cos 5t ) Где C, C произвольные постоянные Ответ: = C sin 5t + C cos 5t ; ( 5 cos 5 sin 5 ) ( 5 sin 5 cos 5 ) = C t t + C t t Задача 6 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений d = +, dt d = + dt Продифференцируем первое уравнение Получаем d d d = + dt dt dt Подставим в полученное уравнение значение d, взятое из второго уравнения системы Получаем dt

33 d d d d d = + ; = + ( + ) ; dt dt dt dt dt d d = dt dt Из первого уравнения системы выразим : d d 8 dt dt d d d = dt dt dt Тогда уравнение d = dt = + + можно переписать в виде Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции ( t ) Приводя подобные, запишем его в виде d dt d 5 = 0 dt Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: λ λ 5 = 0 ; ( λ + )( λ 5) = 0 ; λ =, λ = 5 Решение дифференциального уравнения имеет вид t 5t = Ce + Ce, где C, C произвольные постоянные d = dt, то, подставляя t 5t Ce Ce d = = ( Ce + C5e Ce Ce ) = Ce + Ce dt Найдём ( t ) Так как Тогда общее решение системы имеет вид: C e C e t 5t = + ; C e C e, t 5t = + Где C C произвольные постоянные Ответ: C e C e t 5t = + ; C e C e t 5t = + = +, получаем: t 5t t 5t t 5t

34 Пример решения варианта типового расчёта Задача 6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения e = Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Тогда f ( ) =, g( ) = e Заметим, что g( ) 0 Разделяем переменные: d e d = Интегрируя правую и левую части, получаем d e d = После вычисления интегралов имеем: e = ln + C + Ответ: e ln = C + Задача 7 Найти общий интеграл дифференциального уравнения = + + Данное уравнение является однородным Будем искать неизвестную функцию ( ) в виде = u Тогда = u + u Подставляя и в исходное уравнение, получаем: du u u + = + u d u + Полученное уравнение преобразуем к виду du u = d u + Разделяем переменные ( u + ) d du = ( u ) Интегрируем правую и левую части ( u + ) d du = ( u ) +ln C

35 5 (В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначит не С, а ln C, где C 0 Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем u + ln u = ln + ln C Потенцируя, имеем u e ( u ) = C Избавляясь от знака модуля, получаем u e ( u ) = C Поскольку u =, то полученное соотношение может быть представлено в виде e = C Данное выражение преобразуем к виду ( ) = e C Заметим, что в уравнении du u =, выражение u = 0 d u + u + Следовательно, функция при u = u = является решением дифференциального уравнения для неизвестной функции u( ), а значит, функция = является решением исходного дифференциального уравнения Решение = содержится в решении ( ) e = C, если положить С = 0 e = C, где С произвольная постоянная Ответ: ( ) Задача 8 Найти решение дифференциального уравнения + (tg ) = cos, удовлетворяющее начальному условию (0) = Вначале найдём общее решение этого уравнения Будем искать в виде = uv Тогда =u v + uv Подставляя и в исходное уравнение, получаем: u v + uv +(tg ) uv = cos ; ( v + vtg ) u + u v = cos Выберем функцию v( ) из условия v + vtg = 0 Уравнение для функции v( ) является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его

36 6 решение: v + vtg = 0, dv tgd v = ; dv tgd v = ; ln v = ln cos ; v = cos Найдём функцию u( ): u cos = cos ; u = ; u d = ; u = + C Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид = uv = ( + C)cos Произвольную постоянную С определим из условия (0) = : = C Ответ: = ( + )cos Задача 9 Найти решение дифференциального уравнения e + =, удовлетворяющее начальному условию (0) = Данное уравнение является уравнением Бернулли Будем искать в виде = uv Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим u v + u( v + v) = e u v Функцию v( ) определяем из условия: dv v 0 d + = ; dv d v = ; dv d v = ; ln v = ; v = e Определим du du u( ): u e = e u e ; = e d ; e d u = u +С; = e + C ; u u = e + C e Следовательно, общее решение имеет вид = Из условия e + C (0) = определяем произвольную постоянную С: = ; С = 0 + C Ответ: = e

37 7 Задача 0 Найти общее решение дифференциального уравнения 9 + = Это уравнение явно не содержит Обозначим = z Тогда: = z Подставляя в исходное уравнение, получаем z 9 z + = Уравнение для определения функции z () линейным дифференциальным уравнением первого порядка Будем искать z в виде z = uv Тогда z =u v + uv Подставляя z и z в исходное уравнение, получаем: uv 9 v 9 u v + uv + = ; ( v + ) u + u v = v Выберем функцию v( ) из условия v + = 0 Уравнение для функции v( ) является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его v dv d dv d решение: v + = 0, = ; v = v ; ln v = ln ; v = Найдём функцию u( ): u = ; u = ; u = d ; u = + C Тогда для функции z( ) имеем выражение C z = uv = + C = + Так как = z, то = zd + C = C + d + C = + C ln + C, где C, C произвольные постоянные Задача Найти решение дифференциального уравнения =, удовлетворяющее начальным условиям (0)=, ( 0) =

38 8 Так как исходное уравнение явно не содержит независимую переменную, будем искать в виде = p( ) Тогда = p p Подставляя и в исходное уравнение, получаем dp p d = Полученное для p () уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Найдём его решение: dp p =, pdp = d, d pdp = d, p = + + C Определим произвольную постоянную С Так как при = 0имеем (0) =, а (0) =, то p = при = Тогда = + + C, С = Следовательно, p = + = или p = Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что (0) = положительное число Неизвестную функцию ( ) определяем из уравнения = d d d Найдём его решение: =, = d, d ( ) = d ( ), ln( ) = + C Так как (0) =, то 0 = 0 + C, C = 0 Следовательно, ln( ) =, = + e Ответ: = + e Задача Найти решение дифференциального уравнения e + + =, удовлетворяющее начальным условиям + e 0 = 0, 0 = 0 ( ) ( ) Найдём решение однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ + λ + = 0 Найдём его корни:

39 9 = e и ( ) ( ) λ =, λ = Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения = e Частное решение ищем в виде = C e + C e, где функции C ( ) и C ( ) удовлетворяют системе уравнений: C e + C e = 0, C e C e e = + e e Решая систему, получаем: C = + e, C = ( + e ) Находим C и C : C e d =, C = + e d Для вычисления ( + e ) первого интеграла сделаем замену переменной t = e Тогда dt = e d, dt d = Подставляя в выражение для интеграла, получаем e e d dt = = + e ln( t + ) = ln( e + ) ( + t) При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных d dt dt dt = = ( dt = + e ) t( + t) t ( t + ) = ln t ln( t + ) = ln( e + ) Тогда * = e ln( e + ) + e e ln( e + ) Общее решение однородного уравнения равно: 0 = Ce + Ce Общее решение исходного уравнения запишется в виде: = e ln( e + ) + e e ln( e + ) + Ce + Ce = получаем Из условия ( 0) 0 C + C = ln

40 0 Найдём производную общего решения: e = e ln( e + ) e + e e + e + e + e ln( e + ) e C e Ce e + 5 = получаем: C + C = ln C имеем систему уравнений C + C = ln, 5 C C ln + = Решая эту систему, получаем С = ln, ln С = = e ln( e + ) + e e ln( e + ) + + e ln e + ln = e ln e ln + e + e + + e = e + e + e e ln e + Из условия ( 0) 0 Для определения C и Ответ: = e + e + e e ln e + Задача Найти общее решение дифференциального уравнения + + = Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения ( ) 0 Составляем характеристическое уравнение λ + λ + = 0 Найдём его корни: λ + λ + = 0; ( λ + )( λ + ) = 0; λ = ; λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: ( ) = C e + C e 0

41 α =, Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: 0 P ( ) 6 8 n = + +, n = Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = 0 Будем искать ( ) в виде ( ) = Q ( ), где Q ( ) многочлен второй степени То- гда ( ) = A + B + C Коэффициенты А, В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём, : = A + B ; d d d d d d d = A d d d Подставляя, в исходное уравнение, получаем: d d A + ( A + B) + ( A + B + C) = Приводим подобные в левой части уравнения: A + (B + 6 A) + (C + B + A) = Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: A = ; B + 6A = 6; C + B + A = 8 Следовательно А =, В = 0, С = Тогда частное решение запишется в виде ( ) = + Следовательно, общее решение исходного уравнения равно: = + 0 = + + Ce + Ce Ответ: = + + C e + C e Задача Найти решение дифференциального уравнения = e e, удовлетворяющее начальным услови- ( ) ям ( 0) = 0, ( 0) = 0 Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения Составляем характеристическое уравнение: λ 8λ + = 0 Найдём его корни: λ 8λ + = 0 ; ( λ )( λ 6) = 0 ; λ =, λ = 6

42 Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 6 0( ) = Ce + Ce Найдём частное решение Правую часть представим как сумму двух функций f ( ) и f ( ), где f ( ) = ( 5 6) e, f ( ) = e Рассмотрим уравнение e + = ( ) Функция f ( ) = ( 5 6) e α =, P ( ) соответствует правой части первого типа: ( ) 5 6 n =, n = Число α = не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = 0 Будем искать ( ) в виде ( ) = Q ( ) e, где Q ( ) многочлен первой степени Тогда ( ) =( A + B) e Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём d d, : d d d = ( A + B ) e + Ae ; d d = ( A + B) e + Ae d d d Подставляя, в исходное уравнение, получаем: d d ( A + B) + A e 8 ( A + B) + A) e + A + B e = [ ] [ ] [ ] =( 5 6) e Сокращаем правую и левую части на e и приводим подобные в левой части: 5 A + (5B 6 A) = 5 6 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получаем: 5A = 5,5B 6A = 6 Следовательно А =, В = 0 Тогда частное решение запишется в виде ( ) = e Рассмотрим уравнение 8 + = e Функция f ( ) = e соответствует правой части первого типа: α =, P ( ) n =, n = 0 Число α = один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = Будем искать ( ) в виде

43 ( ) = ( ) Q0 e, где Q ( ) 0 многочлен первой степени Тогда ( ) = Ae Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём d = Ae + Ae ; d d = Ae + Ae d d d d d Подставляя, в исходное уравнение, получаем: d d A + A e 8 A + A) e + A e = e [ ] [ ] [ ] d d, Сокращаем правую и левую части на e и приводим подобные в левой части: A = Следовательно А = Тогда частное решение запишется в виде ( ) = e Общее решение уравнения равно 6 = e + e + Ce + Ce 0 = 0получаем Из условия ( ) C + = Найдём производную общего решения: = e + e + e + e + C e + 6C e C 0 Из условия ( 0) 0 6 = получаем: C + 6C = Для определения C и C имеем систему уравнений C + C = 0, C + 6C = Решая эту систему, получаем С =, С = Тогда = e + e + 6 e e Ответ: e e = e e :

44 Задача 5 Найти общее решение дифференциального уравнения + = sin Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения ( ) 0 Составляем характеристическое уравнение λ λ + = 0 Найдём его корни: λ λ + = 0; ( λ ) = 0; λ = λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 0( ) = Ce + Ce Стоящая в правой части функция f ( ) = sin является правой частью второго типа Имеем Pm ( ) =, Q ( ) 0 m =, m = 0, m = 0, α = 0, β = Число λ = i не является корнем характеристического уравнения, значит s = 0 Частное решение ( ) ищем в виде ( ) T ( )sin + Q ( )cos = 0 0, где T ), Q ( ) многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из 0( 0 чисел m и d d Найдём, : d d d = Acos Bsin ; d d = Asin Bcos d m равно нулю Тогда ( ) = Asin + Bcos * * d d Подставляя, в уравнение, получаем: d d Asin Bcos ( Acos Bsin ) + ( Asin + Bcos ) = sin Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: А = 0, В = Следовательно В = Тогда ( ) = cos Следовательно, общее решение уравнения имеет вид ( ) = cos + C e + C e Задача 6 Найти общее решение дифференциального уравнения + = Вначале найдём общее решение соответствующего однородного уравнения ( ) 0 Составляем характеристическое уравнение

45 5 λ λ λ + = 0 Найдём его корни: λ λ λ + = 0; ( λ ) ( λ + ) = 0; λ =, λ = λ = Общее решение однородного уравнения запишется в виде: 0( ) = Ce + Ce + Ce Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, P ( ) 6 6 n = +, n = Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s = 0 Будем искать ( ) в виде ( ) = Q ( ), где Q ( ) многочлен третьей степени Тогда ( ) = A + B + C + D Коэффициенты А, В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению Найдём d d d,, : d d d d = A + B + C ; d d = 6A + B ; d d = 6A d d d d Подставляя,, в исходное уравнение, получаем: d d d 6 A (6A + B) (A + B + C) + + A + B + C + D = Приводим подобные в левой части уравнения: 8 A + (8B A) + (8C 6B + A) = Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем: 8A = 8; 8B A = ; 8C 6B + A = 0 Следовательно А =, В = 0, С = Тогда частное решение запишется в виде ( ) = + Следовательно, общее решение исходного уравнения равно: = + 0 = + + Ce + Ce

46 6 Задача 7 Найти решение системы дифференциальных уравнений d = 6, dt d =, dt удовлетворяющее начальным условиям (0) =, (0) = Продифференцируем первое уравнение Получаем d d d = 6 dt dt dt Подставим в полученное уравнение значение d, взятое из второго уравнения системы Получаем d d d d d = 6 ; = 6( ) ; dt dt dt dt dt d d = dt dt Из первого уравнения системы выразим : d d 6 6 dt dt d d 6 d = + dt dt dt Тогда уравнение dt d = 6 dt = + можно переписать в виде Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции ( t ) Приводя подобные, запишем его в виде, то, подставляя t t = Ce + Ce, полу- чаем: d dt d + = 0 dt Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: λ λ + = 0 ; ( λ )( λ ) = 0; λ =, λ = Решение дифференциального уравнения имеет вид t t = Ce + Ce, где C, C произвольные постоянные Найдём ( t ) Так как d = 6 dt d = = C e + C e C e C e 6 dt 6 t t = Ce + Ce t t t t ( ) Тогда общее решение системы имеет вид: C e C e t t = + ; C e C e, t t = + Где C C произвольные постоянные Используя начальные условия, найдём произвольные постоянные ;

47 7 Так как (0) =, (0) =, то для определения C, C имеем систему уравнений: C + C = ; C + C = Решая систему, получаем С C Ответ: = e t, t = e =, = 0 Литература Бугров ЯС, Никольский СМ Высшая математика том Дифференциальные уравнения Кратные интегралы Ряды Функции комплексного переменного Изд 5-е, стереотип М: Дрофа, 00 г Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисление, тт - М: Наука, 000 г Ильин ВА, Куркина АВ Высшая математика М: Изд-во МГУ, 00 г Демидович БП Сборник задач по математическому анализу М: АСТ Астрель, 00 г 5 Катасонов АМ Дифференциальные уравнения Программированное учебное пособие М: МГАПИ, Степанов ВВ Курс дифференциальных уравнений М: Изд-во МГУ, 00 г


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГ ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (направление «Прикладная математика

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА МИИТ» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Линейные уравнения 1-го порядка

Линейные уравнения 1-го порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsuaz/kitablar/846pdf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее