Введение. Структура языка. Базовые определения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Введение. Структура языка. Базовые определения"

Транскрипт

1 КОНЦЕПЦИЯ СИГМА-МНОЖЕСТВ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИНГВИСТИКЕ И ТЕОРИИ МАШИННОГО ПЕРЕВОДА А.Е. Гуркин, П.В. Ерохин, С.В. Збукарев Научный руководитель к.т.н., доцент А.В. Матросов (Санкт-Петербургский государственный университет) В работе предложен метод формализации естественного языка. Работа содержит теоретическую часть и приложение реализацию теоретических разработок в моделях немецко-русского перевода. Введение Почему именно немецкий, а не английский или испанский, язык стал темой работы? Причин было две: во-первых, выражаясь фигурально, немецкий язык в гораздо большей степени формализуем и четок, нежели другие европейские языки. Именно у немецкого языка вся структура с достаточной степенью четкости описана в его естественной грамматике. Этот факт, несомненно, является основополагающим при выборе языка для работы. Во-вторых, немецкий любимый иностранный язык авторов, и в некотором плане данная работа «совмещает приятное с полезным». Вопрос машинного перевода сейчас приобрел свою максимальную остроту. Несмотря на то, что исследования в этой области начались в XX веке, эта тема волновала многих великих ученых, таких, например, как Хомски, но, к сожалению, далеко не все проблемы нашли свое решение к настоящему времени. Говоря о машинном переводе с какого-либо одного естественного языка на другой, нельзя не остановиться на том аспекте, что полученная «матрица перевода», формальная грамматика, набор алгоритмов все это будет лишь частным случаем какой-либо глобальной, непостижимой человеческому уму системы нашего мышления. Поэтому просто создать некоторый ряд стандартных алгоритмов кажется несколько сухой и неинтересной задачей. Появилась идея создать систему какихлибо четких правил, фиксирующих некоторые явления немецкого языка формально. Но и эта идея показалась затем несколько частной, следствием чего явился переход к еще более высокому уровню абстракции математической модели естественного языка (опять же неполной), способной в еще более абстрактной и гибкой степени описать явления какоголибо естественного языка. Таким образом, первоначальная тема стала частным случаем окончательного варианта. Тем не менее, примером, подтверждающим аспекты теории, стали модели, базирующиеся именно на структуре и грамматике немецкого языка. Итак, «итоговым продуктом» данной работы стала абстрактная математическая модель естественного языка, подкрепленная четырьмя неформализованными алгоритмами, описывающими наиболее важные функции «интеллектуального переводчика», и один формализованный алгоритм, представленный в виде рабочей модели. Структура языка. Базовые определения Перед тем, как начать рассуждать на какую-либо тему, нужно четко определить значения тех слов и понятий, которыми оперируешь, иначе каждый собеседник может вложить в них свой смысл. В связи с этим введем и определим несколько фундаментальных для данной работы понятий. Базовый объект естественного языка элементарная смысловая структура формализируемого языка, не имеющая смысловых подклассов. Данное понятие имеет фундаментальный характер. Базовое правило естественного языка правило, оперирующее с базовыми понятиями естественного языка, указывающее на оператор, преобразующий эти понятия. Данное понятие имеет фундаментальный характер. 15

2 Сигма-множество (σ-множество) первого уровня (базисное) множество, состоящее из двух подмножеств разной природы: базисных объектов естественного языка и базисных правил естественного языка. Данное понятие имеет фундаментальный характер. Сигма-множество (σ-множество) n-го уровня множество, состоящее из двух подмножеств разной природы: ипсилон-объектов естественного языка (от первого до n- го рода) и лямбда-правил естественного языка (от первого до n-го рода). Данное понятие имеет производный характер. Базисный объект сигма-множества (n-го уровня) объект, являющийся элементом подмножества ипсилон-объектов сигма-множества, имеющий тот же род, что и сигмамножество. Данное понятие имеет фундаментальный характер. Базисное правило сигма-множества (n-го уровня) правило, являющееся элементом подмножества лямбда-правил сигма-множества, имеющее тот же род, что и сигмамножество. Данное понятие имеет фундаментальный характер. Множество определителей (пространство) совокупность всех определителей данной формальной грамматики естественного языка. Данное понятие имеет фундаментальный характер. Словарный вид ипсилон-объектов вид неприведенных ипсилон-объектов, совпадающий со словарем данного языка. Объекты разной природы в данном контексте объекты формального языка, носящие разный характер. Например, ипсилон-объекты имеют смысловой характер, а лямбда-правила соединяющий и указательный. Лингвистическая сумма (*+) соединение «звеньев цепочки» ипсилон-объектов, сохраняющее логическую структуру этой цепочки относительно какого-либо лямбдаправила. Операция штернирования операция получения значения из какого-либо логического выражения. Обозначается знаком «*». Штерн-объекты производные объекты, равные значению лямбда-правила, взятого от каких-либо ипсилон-объектов. Шарп-объекты объекты в приведенной форме. Приведенное лямбда-правило. Приведенный ипсилон-объект (для операторов). Введение в иерархию грамматики естественного языка Сигма-множества первого рода Рассмотрим последовательно иерархию объектов. Пусть изначально имеем сигмамножество σ {{ε 1,ε 2,, ε n },{λ 1,λ 2,,λ m }} сигма-множество первого рода, имеющее подмножеством n первичных объектов ε и m первичных правил λ. Первичные ипсилон-объекты представляют собой некоторые минимальные языковые единицы (слова) в словарном виде. В некоторых случаях может получиться, что для упрощения и ускорения перевода будут автоматически создаваться ε*-объекты, по определению равные ε* = * λ # (ε 1,ε 2,, ε n ), где * λ # (ε 1,ε 2,, ε n ) значение приведенного правила от совокупности ипсилонобъектов. Такие ипсилон-объекты будем называть штернированными или ипсилонштерн-объектами. Лямбда правило по определению равно λ = { i [L i (ε i1,ε i2,, ε ii )] + k [P k (λ 1k,λ 2k,,λ lk )]}, 16

3 где L i (ε i1,ε i2,, ε ii ) оператор из пространства операторов, обеспечивающий взаимодействие ипсилон-объектов произвольного рода; P k (λ 1k,λ 2k,,λ lk ) оператор из пространства операторов, обеспечивающий взаимодействие лямбда-правил произвольного рода (возможно взаимодействие разнородных лямбда-правил); [ ] квадратные скобки показывают на необязательность какого-либо из приведенных условий. Как видим, лямбда-правило не занимается преобразованием ипсилон-объектов, а только указывает на операторы (совокупности операторов) или (и) другие правила, осуществляющие этот переход. Также очевидно, что может иметь место ситуация, когда λ = {ø}. В таком случае лямбда-правило будем называть нуль-правилом. Нуль-правила могут указывать на вырождение каких-либо правил более низкого уровня при переходе на более высокий. Сигма-множество второго рода. Сигма множество n-го рода В рамках данной теории наблюдается следующая концепция: совокупность более низких классов объектов разной природы складывается в иерархически более высокий класс, подобный по внутренней структуре более низкому классу. Формально это явление описывается сигма-множеством более высокого рода. Запишем сигма-множество второго рода: σ {{ε 1,ε 2,, ε n },{λ 1,λ 2,,λ m }}. Данное выражение представляет собой совокупность двух множеств объектов второго рода: ипсилон-штрих-объектов и лямбда-штрих-правил. Эти объекты будут являться базисными для данного сигма-множества. По определению, ипсилон-штрих-объект равен ε = {[ε 1 *+ ε 2 *+ ε n ]}. Для сигма-множеств рода выше первого ипсилон-объекты равны лингвистической сумме n ипсилон-объектов более низкого рода, следовательно, можно утверждать, что ипсилон-объекты рода выше первого являются множествами. Также очевидно, что мы можем получить такой ипсилон-объект: ε = {ø}. Такой ипсилон-объект не содержит в себе ипсилон-объектов более низкого рода. Такой ипсилон-объект будем называть нуль-объектом второго рода (для сигмамножеств второго рода). Нуль-объекты второго рода могут появляться вследствие вырождения ипсилон-объектов первого рода, как следствие взаимодействия лямбдаправил разных родов или совокупности вырожденных ипсилон-штерн-объектов более низкого рода. По определению лямбда-штрих-правило равно λ = { i [L i (ε i1,ε i2,, ε ii )] + k [P k (λ 1k,λ 2k,,λ lk )]}. Пояснения к элементам данного определения аналогичны пояснениям, приведенным для лямбда-правила первого рода, учитывая то, что в данном случае имеются в виду объекты второго рода. Операторы, осуществляющие взаимодействия данных объектов, также берутся из пространства операторов. Также необходимо отметить, что результатом операции штернирования для лямбда-правил рода выше первого могут быть множества ипсилон-объектов или (и) ипсилон-штерн-объектов более низкого рода. Как частный случай, можно рассматривать множество из одного элемента или пустое множество (если правило не имеет разрешения, относительно данной совокупности ипсилон-объектов). Напишем полное определение сигма-множества второго рода: σ {{ε 1 { ε 1 1,ε 1 2,, ε 1 n },ε 2 { ε 2 1,ε 2 2,, ε 2 h },, ε n { ε n 1,ε n 2,, ε n m }},{λ 1 { λ 1 1,λ 1 2,,λ 1 z },λ 2 { λ 2 1,λ 2 2,,λ 2 e },,λ u { λ u 1,λ u 2,,λ u x }}}. Учитывая все вышенаписанное и концепцию данной работы, получим форму абстрактного сигма-множества n-го рода: 17

4 σ (n) {{ε (n) 1,ε (n) 2,, ε (n) x},{λ (n) 1,λ (n) 2,,λ (n) y}}. Структура ипсилон-объектов для таких сигма-множеств, как уже было упомянуто выше, аналогична структуре ипсилон-объектов для сигма-множеств второго рода. Структура лямбда-правил для таких сигма-множеств также аналогична структуре лямбда-правил для сигма-множеств второго рода. Введение в обработку объектов. Лингвистические уравнения Пространство операторов Помимо вышеупомянутой иерархии множеств, концепция данной теории предусматривает наличие пространства операторов. Пространство операторов является «исполняющей начинкой» данной системы, т.е. лямбда-правила разных порядков лишь несут указательный и определительный характер, подразумевая преобразования ипсилон-объектов различных родов посредством операторов из пространства операторов. Природа операторов разнообразна и различна для грамматик различных естественных языков. Выражаясь образно, оператор можно представить виде какого-либо правила, преобразующего данное слово в необходимое. Итак, в самом общем виде оператор для ипсилон-объектов можно представить следующим образом: Σ(ε 1,ε 2,, ε n ) = *{ε 1 => (ε # 1 0) *+ ε 2 => (ε # 2 0) *+ *+ ε n => (ε # n 0)}. Под операцией «=>» следует понимать решение лингвистического уравнения относительно ипсилон-объектов, о которых будет сказано ниже. Знак «*» перед первой фигурной скобкой означает тот факт, что мы хотим получить значение от вычислений данных выражений. Знак «#» после ипсилон-объектов указывает на то, что данные объекты приведенные. Знак выражает возможность возвращения либо приведенного ипсилон-объекта, либо нуль-объекта. Оператор для лямбда-правил можно представить следующим образом: Λ(λ 1,λ 2,,λ m ) = {(λ 1 *+ λ 2 *+ *+ λ n ) => (ζ 1 0) *+ *+ (λ i *+ λ j *+ *+ λ k ) => (ζ m 0) }. Под операцией «=>» следует понимать решение лингвистического уравнения относительно лямда-правил. Под метаправилом (кси) следует понимать правило более высокого рода, чем данные лямбда-правила, учитывая, однако, что данная логически связанная совокупность может использоваться для сигма-множеств более низких родов, чем сигмамножество метаправила кси. Таким образом, в результате мы получим совокупность метаправил, состоящих из логически структурированных, в условиях грамматики данного естественного языка, лямбда-правил. Следует отметить, что в некоторых случаях можно использовать лямбда-правила различных родов. В таком случае род метаправила кси определяется единичной итерацией максимального рода для всех лямбда-правил. Оператор для объектов разной природы можно представить следующим образом: Ψ({ε 1,ε 2,, ε n },{λ 1,λ 2,,λ m }) = [*]{ε 1 => (ε # 1 0) *+ ε 2 => (ε # 2 0) *+ *+ ε n => (ε # n 0)} *+ {(λ 1 *+ λ 2 *+ *+ λ e ) => (ζ 1 0) *+ *+ (λ i *+ λ j *+ *+ λ k ) => (ζ m 0)}. Таким образом, разрешение этого оператора это логическая структура, содержащая ипсилон-объекты (обратите внимание на знак «[*]», который указывает на то, что могут использоваться как сами ипсилон-объекты, так и ссылки на них), а также и лямбда-правила. Возможно использование лямбда-правил различных родов. 18

5 Использование же ипсилон-объектов различных родов, на мой взгляд, может привести к ошибкам и несоответствиям. Таким образом, использование в одном операторе ипсилон-объектов различных родов следует избегать, хотя некоторые грамматики диктуют условия неизбежного использования ипсилон-объектов различных родов в одном операторе. Лингвистические уравнения Решением лингвистического уравнения может быть единственный приведенный ипсилон-объект, если четко заданы начальные условия, и конечное множество тождественно-приведенных ипсилон-объектов, если начальные условия не заданы или неполны. Лингвистическое уравнение в общем виде можно представить следующим оборазом. Имеем: ипсилон-объект, состоящий из конечного числа структурных единиц (символов): ε = {α 1 α 2 α n } совокупность условий и масок этих условий: условие1 = {*#} условие2 = {??#??##*}... условиеn = {##*} ε # (условие1, условие2,, условиеn) = ε { α 1 α 2 α n } + условие1{ } && ε { α 1 α 2 α n } + условие2{ } && ε { α 1 α 2 α n } + условиеn{ }. Знак «+» указывает на наложение маски условия на структурные единицы данного ипсилон-объекта, что влечет к изменению структуры. Знак «&&» указывает на наложение на по-новому структурированный ипсилон-объект новой маски. Таким образом, решением данного уравнения будет приведенный ипсилон-объект с заданными нужными условиями. Синтаксис масок условен, в данном случае имелось в виду: знак «*» сколь угодно длинная последовательность символов; знак «#» структурный элемент маски (символ); знак «?» какой-либо единичный символ. Элементы семантики Иногда одно и то же слово в разных контекстах будет приобретать разные значения. Это создает непреодолимое препятствие для машины-переводчика, так как в данном случае требуется понимание макроконтекста и сопоставления микроконтекста, содержащего данное слово, с макроконтекстом. Данная проблема до сих пор не решена и является одной из фундаментальных проблем теории перевода. Предложенный ниже выход из положения не является абсолютным и не претендует на это, но, возможно, данное решение этой проблемы решит значительное число частных задач, сопряженных с этой проблемой. Итак, для решения проблемы семантики и понимания макроконтекста я предлагаю использовать следующий прием: введем для каждого базисного ипсилон-объекта, создающего проблему неоднозначности, дополнительное множество хи-понятий, составляющих некое ассоциативное поле понятий, сопряженных с данным. По определению, хи-понятие имеет вид ξ{ ε 1,ε 2,, ε n }, где ε 1,ε 2,, ε n понятия, сопряженные с понятием ε. Введем также хи-понятия высших родов: 19

6 ξ (n) { ξ (n-1) 1, ξ (n-1) 2,, ξ (n-1) m} = ξ (n-1) 1{ ε 1 1,ε 1 2,, ε 1 n} + ξ (n-1) 2{ ε 2 1,ε 2 2,, ε 2 n} + + ξ (n-1) m{ ε m 1,ε m 2,, ε m n} = { ε 1 1,ε 1 2,, ε 1 n, ε 2 1,ε 2 2,, ε 2 n, ε m 1,ε m 2,, ε m n }. Очевидно, что хи-понятия всегда будут представлять какую-либо ненулевую совокупность первичных ипсилон-объектов. После того, как мы ввели хи-понятия, можно организовать специальный оператор, который будет обрабатывать макроконтекст, ища данные понятия в нем. В случае нахождения данного ипсилон-объекта из множества хи-понятий в макроконтексте данное слово будет переводиться именно в том смысле, которое приписано к данному хипонятию. Еще раз хочу подчеркнуть, что данный алгоритм едва ли эффективно будет решать проблемы семантики в сложных литературных текстах, где имеют место семантически сложно формализуемые литературные тропы, однако он способен решать ряд мелких частных задач довольно эффективно и качественно. Механизмы перевода в концепции данной теории Несмотря на разнообразие различных языков, для большинства из них в концепции данной теории весьма вероятно найти такой механизм, который максимально качественно перевел бы данный текст. Концепция состоит в том, чтобы формализовать естественные грамматики этих языков и создать общую грамматику, которую будем называть мета-область, где соответствующие грамматики будут с поправками на определенные операторы совмещаться. Возможные типы связей лямбда-правил одной грамматики и другой: 1 тип «один к одному»: правило одной естественной грамматики точно повторяет правило другой; 2 тип «много к одному» и один ко многим: совокупность правил одной грамматики соответствует одному правилу другой, и наоборот; 3 тип «один к нулю и ноль к одному»: в грамматике одного языка нет такого понятия, которая описывает другая грамматика, и наоборот. Чаще всего такая связь входит в состав связи «много к одному». Заметим, что во время реализации механизма перевода подключается область словарей как одного, так и другого естественного языка, через которую и ищутся соответствия между ипсилон-объектами этих языков (ипсилон-объекты находятся в словарном виде). Примеры моделей Модель 1 (неформализованная) определение порядка слов простого предложения. Модель 2 (неформализованная) определение временной формы глагола сказуемого в простом предложении (активный залог). Модель 3 (неформализованная) определение формы глагола сказуемого в простом предложении (пассивный залог). Модель 4 (формализованная) корректное согласование имени существительного и имени прилагательного с заданными параметрами падежа и числа Литература 20

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Рис Виды моделирования систем

Рис Виды моделирования систем 1 Моделирование систем Классификация видов моделирования систем. В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, абсолютное подобие может иметь место лишь при замене объекта другим точно

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Модель представления знаний средствами «Логики предикатов первого порядка».

Модель представления знаний средствами «Логики предикатов первого порядка». Модель представления знаний средствами «Логики предикатов первого порядка». Введение Одним из наиболее важных способов представления знаний является представление знаний средствами логики предикатов первого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Как переводит компьютер. Соколова Светлана президент компании ПРОМТ, кандидат технических наук.

Как переводит компьютер. Соколова Светлана президент компании ПРОМТ, кандидат технических наук. Соколова Светлана президент компании ПРОМТ, кандидат технических наук. Как переводит компьютер Машинный перевод - это такая специфическая область применения компьютеров, в проблемах которой почти каждый

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Тема 3: Лекция 7: Представление и формализация нечетких знаний.

Тема 3: Лекция 7: Представление и формализация нечетких знаний. Тема 3: Лекция 7: Представление и формализация нечетких знаний. Понятия, которыми оперирует человек в различных областях знаний, являются по своей природе слишком сложными и многоплановыми для того, чтобы

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 2. Стандартные схемы программ

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 2. Стандартные схемы программ Теория вычислительных процессов и структур Лекция 2. Стандартные схемы программ Содержание лекции Программа как объект исследования Стандартные схемы Класс стандартных схем Интерпретация схемы Программа

Подробнее

Задание 10. LL-анализ

Задание 10. LL-анализ Задание 10 LL-анализ Ключевые слова 1 :язык, контекстно-свободный язык, магазинный автомат, грамматика, LL(k)-грамматика, LL(1)-анализатор, функции FIRST, FOLLOW. 1 Нисходящий и восходящий разбор Напомним

Подробнее

Алгоритм. Компьютер как исполнитель команд.

Алгоритм. Компьютер как исполнитель команд. Автономное учреждение профессионального образования Ханты-Мансийского автономного округа - Югры «Нефтеюганский политехнический колледж» Алгоритм. Компьютер как исполнитель команд. План 1. Понятие алгоритма

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Метод резолюции в Исчислении высказываний

Метод резолюции в Исчислении высказываний Метод резолюции в Исчислении высказываний В.Я. Беляев Лекция 1. Метод Правило резолюции в логике высказываний представляет собой умозаключение со следующей структурой A B, A C B C Здесь A, B и C - произвольные

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ.

ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ. УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ГЛАГОЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ С ОПРЕДЕЛИ- ТЕЛЬНО ОБСТОЯТЕЛЬСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ В РУССКОМ И АРМЯНСКОМ ЯЗЫКАХ. (на материале текстов по специальности)

НЕКОТОРЫЕ ГЛАГОЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ С ОПРЕДЕЛИ- ТЕЛЬНО ОБСТОЯТЕЛЬСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ В РУССКОМ И АРМЯНСКОМ ЯЗЫКАХ. (на материале текстов по специальности) НЕКОТОРЫЕ ГЛАГОЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ С ОПРЕДЕЛИ- ТЕЛЬНО ОБСТОЯТЕЛЬСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ В РУССКОМ И АРМЯНСКОМ ЯЗЫКАХ (на материале текстов по специальности) ДАНИЕЛЯН ДЖ. Г. Анализ текстов по математике показал,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Законы алгебры диалектики

Законы алгебры диалектики Законы алгебры диалектики (продолжение работы «Диалектический анализ числового ряда») Иванков К.В. kivankov@yande.ru http://kivankov.ru Для того чтобы в большей мере использовать математический аппарат

Подробнее

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск

Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 2 53 УДК 57.944+533.6 МЕТОД A-ОПЕРАТОРОВ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ю. А. Чиркунов Новосибирский государственный университет

Подробнее

18 (повышенный уровень, время 3 мин)

18 (повышенный уровень, время 3 мин) 18 (повышенный уровень, время 3 мин) К. Поляков, 2009-2016 Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

Содержательный модуль 1

Содержательный модуль 1 Содержательный модуль 1 Уравнивание результатов геодезических измерений методами математической статистики 1.1. Сущность задачи уравнивания результатов измерений в геодезии Напомним, что до сих пор, математическая

Подробнее

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Термы, элементарные формулы и формулы логики предикатов. Свободные и

Подробнее

ОСМЫСЛЕННАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ. СЕМАНТИЧЕСКИЕ И КАТЕГОРИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ

ОСМЫСЛЕННАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ. СЕМАНТИЧЕСКИЕ И КАТЕГОРИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ОСМЫСЛЕННАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ. СЕМАНТИЧЕСКИЕ И КАТЕГОРИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ Александров Сергей Эдуардович Фадеев Павел Эдвардович Компания Интеллектуальный Партнер Http://mujweb.cz/www/context E-mail: intelpart@tut.by

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Реализация виртуальных структур на едином поле файловой системы

Реализация виртуальных структур на едином поле файловой системы Реализация виртуальных структур на едином поле файловой системы к.т.н. М.А. Малков Введение В статье предлагается новый подход к построению иерархической структуры файловой системы. В первой части статьи

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В квантовой механике существует небольшое число задач, которые имеют физический смысл и могут быть решены точно. Физический смысл имеют следующие основные задачи: Задача о движении

Подробнее

Глава 2 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Глава 2 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Глава 2 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 2.1. Основные понятия и определения Рассмотрим модель информационной системы, изображаемую функциональной схемой (рис. В.1). Будем полагать, что в роли имитатора

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

БАЗОВЫЙ АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗДЕЛЕННЫХ ГРАММАТИК

БАЗОВЫЙ АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗДЕЛЕННЫХ ГРАММАТИК УДК 004.8 авторская копия для www.prk.glossry.ru) БАЗОВЫЙ АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАЗДЕЛЕННЫХ ГРАММАТИК C.Ю. Соловьев soloviev@glossry.ru) МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва В работе описывается алгоритм

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАММАТИК :

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАММАТИК : ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАММАТИК Порождающие грамматики служат для точного, формального задания языков. На практике часто ставится обратная задача: построить грамматику на основе некоторого числа примеров

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ NVIDIA CUDA ДЛЯ ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ NVIDIA CUDA ДЛЯ ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ NVIDIA CUDA ДЛЯ ПОИСКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ А.В. Высоцкий, Н.Е. Тимофеева, А.Н. Савин, К.И. Шоломов Саратовкский государственный университет ин. Н.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором

2. Множества. смысле строится именно из него. 1 Хотя оно и пустое, но при формальном построении теории множеств все в некотором 2. Множества Эта и следующая лекция будут посвящены теоретико-множественному языку, которым пользуются все математики. Множество «начальное» математическое понятие, и потому этому понятию невозможно дать

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отображения. Функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Филиппов Кирилл Игоревич. Стабилизация движения спутника на круговой орбите по смешанному критерию. Выпускная квалификационная работа бакалавра

Филиппов Кирилл Игоревич. Стабилизация движения спутника на круговой орбите по смешанному критерию. Выпускная квалификационная работа бакалавра Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Кафедра механики управляемого движения Филиппов Кирилл Игоревич Выпускная квалификационная работа бакалавра

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр.

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Александр Охотин. 13 сентября 2017 г. 1 Формальные языки и действия над ними 1. 3 Недетерминированные конечные автоматы (NFA) 4

Александр Охотин. 13 сентября 2017 г. 1 Формальные языки и действия над ними 1. 3 Недетерминированные конечные автоматы (NFA) 4 Теоретическая информатика III, осень 2017 г. Лекция 2: Формальные языки и действия над ними. Регулярные выражения. Недетерминированные конечные автоматы (NFA). Преобразование NFA к DFA (преобразование

Подробнее

Кейс-метод как способ получения неформализованного знания

Кейс-метод как способ получения неформализованного знания Кейс-метод как способ получения неформализованного знания Доклад подготовлен в рамках научного проекта «Разработка и применение учебных кейсов в исследованиях и менеджментобразовании», выполненного при

Подробнее

МЕТОД СЕТЕВОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОД СЕТЕВОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ Вестник РУДН, сер. Инженерные исследования, 7, 4 с. 6-7 6 УДК 59.74 МЕТОД СЕТЕВОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ А.И. Дивеев, Е.А. Софронова Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН 9333, Москва,

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления.

Основы логики и логические основы компьютера. Логика это наука о формах и способах мышления. Основы логики и логические основы компьютера. Формы мышления Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения,

Подробнее

О регулярных языках. Входящими непомеченными стрелками отмечены начальные вершины A и D, исходящими заключительные вершины E и C.

О регулярных языках. Входящими непомеченными стрелками отмечены начальные вершины A и D, исходящими заключительные вершины E и C. А. А. Вылиток О регулярных языках Регулярные языки играют важную роль в математических теориях и в приложениях. К наиболее известным формализмам, описывающим регулярные языки, относятся: регулярные выражения,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так:

ВВЕДЕНИЕ. Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так: Оглавление ВВЕДЕНИЕ Раздел КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Раздел РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯ9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ7

Подробнее

ГЛАВА 5. КВАТЕРНИОННЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

ГЛАВА 5. КВАТЕРНИОННЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ГЛАВА 5 КВАТЕРНИОННЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Компоненты кватернионов, вообще говоря, могут быть комплексными, в частности, мнимыми (с точки зрения алгебры комплексных чисел В этом случае они часто

Подробнее

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным: Л Е К Ц И Я 4 А ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты $ X. Делалось это так. Ставим задачу

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ОТДЕЛОМ НАУКИ ВУЗА С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЬЮ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ОТДЕЛОМ НАУКИ ВУЗА С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЬЮ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА УДК:004.89:378.126.519.713 АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ОТДЕЛОМ НАУКИ ВУЗА С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЬЮ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА Боскебеев К.Д и аспирантка Мамадалиева Ж.Б. КТУ им Раззакова В

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Моделирование потоков данных

Моделирование потоков данных Моделирование потоков 1 Моделирование потоков В основе данной методологии (методологии Gane/Sarson) лежит построение модели анализируемой ИС проектируемой или реально существующей. В соответствии с методологией

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее