МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ. С.В. Трубников

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ. С.В. Трубников"

Транскрипт

1 УДК. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ С.В. Трубников Предложен новый численный метод решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ключевые слова: численный метод задача Коши обыкновенное дифференциальное уравнение переменный шаг. Введение Значительную часть прикладных математических задач составляют краевые задачи для дифференциальных уравнений. Поэтому одной из центральных проблем современной прикладной математики является разработка и исследование численных методов решения подобных краевых задач. Этой проблеме посвящена обширная литература (см. например библиографию в [] [] и []). В статье [] описан новый подход к построению численных методов решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений основанный на аппроксимации приближенного решения с помощью кусочно-полиномиальной интерполяции многочленами Эрмита а также на принципе минимизации невязки. С помощью этого подхода был построен новый численный метод для решения задачи Коши названный исправленным методом Эйлера с итерационным уточнением который можно отнести к итерационно-разностным методам. В нем используется сетка с постоянным шагом. В данной статье описан новый численный метод с переменным шагом сетки и описана процедура автоматического выбора узлов сетки обеспечивающих заданную точность. Этот метод также относится к итерационно-разностным методам.. Составная функциональная кинематическая кривая и ее свойства Кинематические кривые введены и описаны в статье [4]. Функции задающие составные кинематические кривые представляют собой результат кусочно-многочленной интерполяции многочленами Эрмита порядка с двумя трехкратными узлами. Уравнение составной кинематической кривой на плоскости O можно записать в виде: r r( t) T ( t + ) + T ( t + ) при t [ ] Здесь - заданное натуральное число заданные векторы T ( t) можно записать в виде:. () + ( ) - - интерполяционные многочлены Эрмита порядка [] которые () t t + t t T () t t6t + 8t t T () t t t + t t T 6 T () t t t t T () t 4t + 7t t T () t t t + t 4 Если ввести обозначения компонент векторной функции то равенство () можно записать в виде: r ( t) r ( t) + r ( t) 6. () ()

2 r ( t) T ( t + ) + T ( t + ) при t [ ]. (4) r ( t) T ( t + ) + T ( t + ) при t [ ] Одно из главных свойств кинематической кривой [4] состоит в том что r r dr dr Введем новую кривую задаваемую уравнением () и уравнениями. () d r (6) r ( t) + ( ) ( t + ) при t [ ] d r. (7) r ( t) T ( t + ) + T ( t + ) при t [ ] r l Здесь ( ) - заданные числа такие что (8). (9) а r и l - заданные постоянные.... < < () Для функции заданной формулой (9) будут справедливы условия аналогичные усло- то виям (7). Если считать что [ ] r l ( ) dr l А если считать что [ +] r r ( + ) dr то r Отсюда видно что функция r ( t) и её производные определяются неоднозначно в точках t.... ( ) d r l. () ( ) d r + r. () Из выражения (8) и условия () следует что функция r ( t) является возрастающей и следовательно обратимой. Обратная функция определяется элементарно ( t r ) ( ) + при [ ] Поэтому уравнения (8) (9) неявно задают функцию ( r r ) T r. () + T l

3 при [ ]. (4) Эта функция является однозначной во всех точках [ ] кроме вообще говоря точек ( K ). Значения этой функции и её производных выражаются через значения r ( t) и r ( t). d d r d d d r r ( t) r r dr t () dr ( t) (6) ( t) () dr ( t) () () dr t d r t dr t (7) Из (8) следует что Если считать что [ ] Если считать что [ +] Вторая производная ( ) d r то r ( ) dr то ( + ) dr. (8). (9) ; Из условий () () () () следует что l поскольку [ ] r поскольку [ ] ( ) d d + K. (). С другой стороны ( + ) d d ( ) d r + l + r d K. () ( ) l d ( ) r d + +. Потребуем чтобы постоянные r и l удовлетворяли следующим условиям: r l + r l + r d l + K. () Эти условия гарантируют однозначность и непрерывность функции ( r r ) производных до второго порядка включительно на [ ] и её и выполнение следующих равенств.

4 d d ( ) r l ( ) r l ( ) + r l ( ) d r d d( ) d ( ) d d l + r d d ( ) r d ( ) l d l K. () K ; Кривую заданную формулами () (8) (9) с коэффициентами удовлетворяющими условиям () и () назовем составной функциональной кинематической кривой порядка. Она представляет собой график однозначной и дважды непрерывно дифференцируемой на [ ] функции ( r r ) неявно задаваемой с помощью функций r ( t) и ( t) r.. Задача Коши и представление её приближенного решения Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения порядка разрешенного относительно производной: где a b (a<b) - заданные постоянные ( ) d d ( ) [ a b] f (4) ( a) () f - заданная функция такая что существуют ее непрерывные частные производные до второго порядка включительно а задача Коши (4) () имеет единственное решение которое мы в дальнейшем будем называть точным. решением и обозначать Приближенное решение формулами вида (8) (9) задачи Коши (4) () будем задавать либо неявно r( t) + ( ) ( t + ) при t [ ] r ( t) T ( t + ) + T ( t + ) либо явно формулой вида (4) Здесь ( ( r r ) r при t [ ] T (6) l (7) при [ ] r + T ) - заданные узлы сетки точек на [ a b] l. (8) удовлетворяющие условиям: a < <... b (9)

5 а r и l - заданные постоянные удовлетворяющие условиям () которые гарантируют однозначность и непрерывность приближенного решения ( ) r r производных до второго порядка включительно на [ a b] аналогичных (): r l ( ) r d d l d d ( ) ( ) d r d ( ) d d ( ) l + r и его а также выполнение равенств d ( ) r d d ( ) l d l ( ) + r и его производных выражаются че- Значения приближенного решения ( ) r r рез значения r ( t) и r ( t). d d r d d d () t r r l K ; K. () () r ( t) r t dr () t ( t) dr ( t) () () ( t) () dr ( t) () () dr t d r t dr t. () Для определения приближенного решения остается вычислить значения величин r l ( ) r l ( K ) которые удовлетворяют условиям () и определяют функцию r ( t) и приближенное решение ( r r ). 4. Получение приближенного решения задачи Коши Для определения неизвестных постоянных мы так же как в работе [] введем и будем использовать понятие невязки. Невязкой дифференциального уравнения (4) на его приближенном решении ( r r ) Производная невязки мы назовем величину d R f d ( ) [ a b]. (4) d ( ) ( ) d dr d d d [ a b]. () Учитывая () отсюда получим значение невязки и её производной в узлах : R r l ( ) f ( ) ( ) f ( ) r R l

6 r l ( ) f ( ) f ( ) R r l + dr d dr d ( ) dr d ( ) ( ) r ( ) ( ) ( ) r r r ( ) ( ) f ( ) ( ) l l l r ( r ) ( r ) ( ) ( ) ( ) K (6) r l + + l l l l K. (7) Для определения неизвестных постоянных мы будем использовать принцип предельного обнуления невязки то есть будем требовать выполнение условий которые бы способствовали тому чтобы невязка стремилась к нулю когда а расстояния между узлами стремятся к нулю. Потребуем чтобы для приближения ( r r ) в точках невязка и её производная обращались в ноль. Исходя из этих требований и (7) получаются выражения для r l r и l через r и l : r ( ) f ( r ) ( ) f ( l ) r ( ) f ( r ) l ( ) f ( l ) ( ) ( ) l r ( ) ( ) + K. (8) r ( ) r + r ( ) ( ) + ( ) K r r r + + r ( ) ( ) ( ) ( ) K l l l + l ( ) ( ) ( ) ( ). (9) l l l + l Зная l ( ) и r ( K ) по формулам (8) и (9) можно найти l ( ) r ( K ) а затем l ( ) r ( K ). Таким образом построение приближенного решения свелось к определению l ( ) и r ( K ). Неизвестное значение r мы найдем из начального условия () и условия (): ( ) ( a) r. (4)

7 Остальные значения r и l будем искать последовательно минимизируя квадраты величин невязки в серединах отрезков [ ]. Координаты середин ( + ) результате возникает цепочка задач минимизации ( ) n R. (4) Эти задачи минимизации заменяют требования R. Значение r и l образом ( ) ( ) r r. В R зависит от. При первая из этих величин известна:. Таким R зависит только от одной неизвестной l. Решив первую задачу минимизации (4) для ( ) связи () мы найдем r l R как функции одной переменной мы найдем l. Используя неизвестной величины l. Тогда ( ) R также будет зависеть только от одной. Решив вторую задачу минимизации (4) для ( ) R как функции одной переменной мы найдем l. Используя связи () мы найдем r l. И так далее. Продолжая этот процесс мы последовательно найдем все неизвестные величины. На -ом шаге описанного процесса решения задач минимизации вычисляется точка минимума ( ) как функции R как функции одной переменной l l µ. Представление для R µ мы получим подставив в выражение для невязки (4) представление (8) и вычислив значения ( ) T и ( ) dt 6 : 4 ( ) R ( ) + r r r ( µ ) ( µ ) f Величины ( ( )) ψ ( µ ) функций ( µ ) ( µ ) ( ) f ( µ ) + µ 64 f r r r ( µ ) ( µ ) + + f µ 64 ( ) 6 ( ) f ( µ ) + µ (4) R при представляют собой функции µ. Обозначим их. Для определения очередного значения l необходимо найти точку минимума ψ. ψ ( µ ) n. (4)

8 l После чего значение полагается равным координате этой точки. Для решения этой задачи можно использовать различные итерационные численные методы минимизации [6]. Будем использовать для решения описанной одномерной задачи минимизации функции ψ ( µ ) разностный метод парабол. Важно подобрать начальное приближение µ искомой точки минимума функции ( µ ) ψ достаточно близкое к этой точке чтобы обеспечивалась сходимость применяемой последовательности итераций. Для этого мы используем разложение функции по формуле Тейлора с центром в точке. Запишем это разложение при : l ( ) d + ( ) ( ) d + d d. (44) r + r + r Полученное приближенное значение выберем в качестве начального приближения l µ r + r + r. (4) Последовательность приближений к точке минимума µ s строится с помощью рекуррентной формулы разностного метода парабол: µ s+ ψ ( µ s + ) ψ ( µ s ) ( µ + ) ψ ( µ ) + ψ ( µ ) µ s ψ s... (46) s Здесь - заданное фиксированное маленькое положительное число. Перед каждым вычислением очередного члена последовательности приближений по формуле (46) необходимо проверять условие ( µ + ) ψ ( µ ) + ψ ( µ ) δ > ψ s s s (47) где δ - заданное фиксированное маленькое положительное число. Если это условие не выполняется то это означает что вторая производная функции ψ ( µ ) в точке µ s либо отрицательна либо близка к нулю. Чаще всего такая ситуация возникает когда начальное приближение слишком грубое. В этом случае следует прекратить вычисления. Улучшить качество начального приближения µ можно выбрав большее значение величины. Если в качестве приближений для точек минимума выбрать s s µ не проводя дальнейших итераций по формуле (46) ( l положить равным µ ) то в результате мы получим приближенное сеточное решения задачи Коши (4) (): ( ) µ ( ). l Таким образом формула (4) порождает вычислительную схему получения приближенного сеточного решения µ задачи Коши (4) () которая в книге [] названа исправленным методом Эйлера. Шаговая погрешность этого метода составляет величину ( h ) O при h существует единственно и трижды непрерывно дифференцируемо на [ a b] а функция f ( ) и ее частные производные первого и второго порядка непрерывны и ограничены. При выполнении этих условий компоненты приближенного сеточного решения µ сходятся к компонентам точного сеточного решения при если точное решение задачи Коши.

9 Сходимость начальных приближений µ к точному сеточному решению при и при позволяет добиваться высокого качества начальных приближений за счет увеличения (уменьшения ). Итерации проводимые по формуле (46) при выполнении условия (47) уменьшают невязку и следовательно уточняют значения. В пределе при значения l сходятся к компонентам точного сеточного решения. Поэтому невязка должна стремиться к нулю при и в качестве условия окончания итераций можно использовать неравенство: ( µ ) λ ψ s+ (48) где λ - заданное фиксированное маленькое положительное число. В любом случае количество итераций следует ограничить. Иначе количество вычислительных операций для получения результата может стать неоправданно большим. Поэтому мы введем величину S максимального количества итераций. Даже если условие (48) не будет выполнено вычисления по формуле (46) прекратятся при s > S. Заметим что если выбрать отрицательное значение λ то условие (48) никогда не будет выполнено и количество итераций будет фиксированным и равным S если не возникнет ситуация когда будет нарушено условие (47). Итак мы получили в общих чертах метод вычисления приближенного решения задачи Коши (4) (). Перечислим его основные этапы. Компоненты приближенного решения задачи Коши (4) () функции r( t) r ( t) ( r r ) ( l и задаются формулами (6) и (7) а само приближенное решение функция - формулой (8). В эти формулы входят величины l l ) l ( ) r r r ( K ). Величины задаются произвольно но так чтобы ( a < <... b). Иными словами точки образуют сетку на [ a b] вообще говоря неравномерную. Величины l и r будем вычислять в цикле. На -ом шаге цикла будут вычисляться l l l. При этом предполагается что значения l l l r r r вычислены на предыдущем шаге этого цикла. Процедура вычисления величин l l l следующая. Задаем µ по формуле (4) и проводим итерации по формуле (46). По окончании итерационного процесса получаем l s - номер последней итерации). Далее по формулам (8) и (9) получаем r и определяем тем самым приближенное решение l µ sa (здесь a l l r на [ ]. До начала описанного цикла значение r определяется по формуле (4) а значения r и r - по формулам (8) и (9). По завершении описанного цикла приближенное решение задачи Коши (4) () a b. будет построено на всем [ ] Описанная алгоритмическая схема дает нам принципиальную возможность получения алгоритма с переменным шагом сетки h который будет подбираться таким образом чтобы в результате было получено приближенное решение задачи Коши (4) () с заданной точностью ε. Погрешность приближенного решения определим как разность между приближенным решением и точным: ε. (49)

10 Легко видеть что Поэтому () ( ) () r ( t) r ( t) ε. () r t r t ( ) ( ( ) ( )) r r ε. () В дальнейшем нам понадобятся только приближенные значения ε ( ) и приближен- a ε δ ( ( ). Их можно ные оценки. Обозначим их ) и [ ] получить многими разными способами. Один из способов получения оценок δ и ниже. описан Запишем алгоритм получения приближенного решения задачи Коши (4) () с заданной точностью ε. Исходными данными являются функции и величины: f ( ) ( ) f f ( ) a b. Результатами являются значения величин: ( ) r ( ; K ) l ( ; ) которые в свою очередь позволяют найти приближенное решение по формулам (6) - (8). В начале задается небольшое начальное значение величины равное на отрезке a строится начальная равномерная сетка точек a + h ( ) с постоянным [ b] крупным шагом h ( b a) /. Затем как описано выше на этой сетке определяются неизвестные постоянные цикл по n от до r l a и компоненты оценки погрешности δ. Далее строится N в котором производится измельчение отрезков разбиения [ ] начальной сетки точек. Измельчение отрезков разбиения производится путём введения новых узлов сетки в серединах отдельных отрезков разбиения (при этом соответствующим образом меняется нумерация узлов сетки и увеличивается значение величины ). Измельчение отрезков производится до тех пор пока все значения не станут меньше ε или пока не кончится цикл. В описываемом цикле используются два способа измельчения отрезков разбиения. При измельчении отрезков первым способом измельчаются только те отрезки [ ] на которых значения оценок погрешности превышают ε. При измельчении отрезков вторым способом кроме отмеченных выше отрезков измельчаются также все предыдущие отрезки (с меньшими номерами ). После каждого измельчения отрезков и введения новых узлов вычисляются r l и оценки погрешности δ и. На каждом шаге описываемого цикла в начале производится измельчение вторым способом. N s измельчений первым способом а затем одно Описанный метод решения задачи Коши мы будем называть модифицированным методом Эйлера с итерационным уточнением и переменным шагом. Нам осталось уточнить способ получения оценок погрешности δ и.. Оценка погрешности приближенного решения задачи Коши Для получения оценки погрешности приближенного решения можно воспользоваться невязкой d R f( ) которая становится известной после вычисления d приближенного решения ( r r ). Это обстоятельство позволяет получить

11 оценку погрешности приближенного решения связав погрешность ε с невязкой. Из определения невязки (4) и требования (4) следует что приближенное решение удовлетворяет задаче Коши аналогичной задаче (4) (): d f d ( ) + R [ a b] () ( a) () Отсюда несложно понять что и погрешность приближенного решения также будет удовлетворять аналогичной задаче Коши: dε d ~ f ε ( ) f( ε ) + R f ( ) [ a b] ( a) (4) ε () Поскольку приближенной решение задается на разных отрезках [ ] формулами мы сведем задачу (4) () к цепочке задач Коши. Обозначим функции ε на [ ] разными ε сужения и при каждом значении на каждом из этих отрезков будем последовательно решать задачи Коши для уравнения (4) с начальными условиями вида: dε d ( ) [ ] ~ f ε ( ) ε (6) ε (7) ( ) >. Для приближенного решения задач Коши (6) (7) можно использовать различные методы. Используем например схему Рунге-Кутта 4 порядка. Для этого введем равномерную сетку точек τ + ( N) на [ ]. Обозначим компоненты N z ε τ. Тогда для получения приближенного сеточного решения задачи Коши (6) (7) оценок δ и получается следующий алгоритм: δ z δ z ~ K f ~ K f ~ K f ~ K 4 f z + z + 6N { } : a z +... N δ zn. ( τ z ) ( τ + ( )( / N ) z + ( ) K /( N )) ( τ + ( )( / N ) z + ( ) K /( N )) ( τ + ( )/ N z + ( ) K / N ) ( ) [ K + K + K + K ] 4 (8)

12 При выборе значения N желательно добиваться чтобы относительная погрешность сеточного решения zn ε ( τ N ) zn не превышала %. Оценить ее можно по правилу Рунге. Но можно работать и при фиксированном значении N. 6. Алгоритм вычисления l l l. Для завершения алгоритма исправленного метода Эйлера с итерационным уточнением и переменным шагом нам осталось записать алгоритм вычисления величин l l l по известным значениям r r r. Исходными данными являются f функции и величины: f ( ) ( ) f ( ) T ( t) (... ) r r r δ λ S. Результатами являются значения величин: l l l. Введем также дополнительный результат равной если на [ ] e (... ). Величина e полагается итерации завершаются при выполнении условия (48). Если итерации завершаются при s S то e. А если итерации завершаются при нарушении условия (47) или если s < S то e. На основе исходных данных производятся следующие вычисления: µ если S < то : µ e все l : r + r + r ; : h f ( µ) l : l ( µ ) ( µ ) : h + h l для s от до S с шагом начало цикла по s K ( µ ) : h f ; K ( µ ) ( µ ) : h + h K ν : r + r + r ; ν : 6r 4r r K если + h f 64 ( ν + K K + ) : µ ( + K 4K + 6 ) L : ν µ K ; L : L L L λ то l : µ ; l : K; l : K ; e : конец цикла по s все ( ) K : h f µ ; K ( µ ) ( µ ) : h + h K

13 K + h f 64 ( ν + K K + ( ) ) : µ ( ν + K 4K + 6( ) ) ; L : L L h f ( + ) ( ) f ( ) K h µ + h K µ + + L : µ K K : µ ; K если : + h f 64 ( ν + K K + ( + ) ) : µ ( + K 4K + 6( + ) ) L : ν µ K ; L : L L L + 4 : L L L ; L : L L L 4 δ ; то l : µ ; l : K; l : K ; e : конец цикла по s все L µ : µ L если все s S 4 ; : h f ( µ) то : µ l l конец цикла по s l ( µ ) ( µ ) h h : + l ; e : Подбор параметров и некоторые численные результаты Описанный численный метод был реализован в виде программы на языке Vsual Basc и исследован на трёх модельных задачах Коши. Первая модельная задача Коши d [ 8] (9) d ( ) (6) имеет известное точное решение e экспоненциально растущее на [ 8] и принимающее большие значения вместе со своими производными в окрестности точки 8. Вторая модельная задача имеет известное точное решение d d + [ ] (6) ( ) (6) + e. Это решение имеет большие по модулю значения производных на левом конце отрезка интегрирования (при ) где ставится начальное условие. Поэтому данную задачу Коши можно назвать жесткой.

14 Третья модельная задача d d имеет известное точное решение ln( ) e (.9) ln(.9) [.9.9] (6) (64). Это решение имеет большие по модулю значения производны на концах отрезка интегрирования. Поэтому и третью модельную задачу можно назвать жесткой. Рассмотрим некоторые результаты этого исследования. Прежде всего был произведен подбор основных параметров описанного алгоритма. Значения параметров регулирующих процесс итерационного уточнения выбирались так же как и для исправленного метода Эйлера с итерационным уточнением и постоянным шагом []: 6 δ 4 λ S. Во всех случаях когда заданная точность ε можно рекомендовать следующие значения параметров регулирующих алгоритм дробления шага сетки и получения оценок погрешности: N a 6 N N. Во всех таких случаях заданная точность достигается быстро. Если ε < то время счета начинает быть заметным а заданная точность может и не достигаться. В таких случаях иногда удаётся добиться увеличения заданной точности за счет увеличения значений N и N. Начальное число отрезков разбиения. Но возможны случаи когда при маленьких значе- s a ниях возникает переполнение разрядной сетки. Причиной его являются некоторые очень большие значения квадрата невязки которые реально возникают при решении некоторых задач Коши когда значения малы. В таких случаях надо увеличить значение. Во всех расчетах описанных ниже основные параметры алгоритма имели следующие значения: 6 δ 4 λ S N 6 N N 8. a На рисунках - изображены график погрешности ε и точки графика приближенной оценки погрешности ( ) задач соответственно.... s δ для первой второй и третьей модельной а) б) Рис.. График погрешности ε и точки ( δ )... для первой модельной задачи при ε 7 ; значение 6 ; а) [ ]; б) [ ]

15 Первая модельная задача имеет экспоненциально растущее точное решение имеющее большую по модулю производную в окрестности правого конца интегрирования. На рисунке можно заметить что с ростом значений аргумента шаг сетки точек уменьшается. Модуль производной точного решения второй модельной задачи имеет большие значения в окрестности левого конца отрезка интегрирования. На рисунке можно увидеть что именно в окрестности левого конца интегрирования сетка точек густеет. Производная точного решения третьей модельной задачи велика по модулю как в окрестности левого конца так и в окрестности правого конца отрезка интегрирования. На рисунке можно увидеть что именно в окрестности левого и правого концов отрезка интегрирования сетка точек самая густая. а) б) Рис.. График погрешности ε и точки ( δ )... для третьей модельной задачи при ε 9 ; значение 8 ; а) [ ]; б) [ ] а) б) Рис.. График погрешности ε и точки ( δ )... для второй модельной задачи при ε 7 ; значение ; а) [ ]; б) [ ] Во всех рассмотренных случаях сгущение сетки приводит к локальному уменьшению погрешности. Нетрудно заметить что точки ( δ ) не всегда лежат на графике погрешности. Добиться этого можно увеличив значение переменной N но это приведет к дополнительным вычислительным затратам. Заключение Описанный новый численный метод изложенный применительно к решению одномерных задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений может быть распространен без особых изменений на задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. The new nuercal ethod of the soluton of Cauch probles for the ordnar dfferental equatons s proposed. The ke words: nuercal ethod the Cauch proble ordnar dfferental equatons varable step.

16 Список литературы. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. [Текст] / Н.С.Бахвалов Н.П. Жидков Г.М. Кобельков. М.: Наука Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Том. [Текст] / И.С.Березин Н.П. Жидков. М.: Наука 96.. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. [Текст] / В.М. Вержбицкий. М.: Высш. шк.. 4. Трубников С.В. Кинематические кривые (текст) / С.В.Трубников // Вестник Брянского государственного университета. 4 (4) Естественные и точные науки. Брянск: РИО БГУ 4. С Трубников С.В. О новом подходе к построению численных методов решения одномерных задач Коши на основе эрмитовой кусочно-многочленной интерполяции (текст) / С.В.Трубников // Вестник Брянского государственного университета. 4 (6) Естественные и точные науки. Брянск: РИО БГУ 6. С Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. [Текст] / Ф.П.Васильев. М.: Наука 98 Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. [Текст] / Ф.П. Васильев. М.: Наука 98. Об авторах С.В. Трубников канд. физ-мат. наук доц. Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского al.ru.


Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Лабораторная работа 7 ( часа) Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Глава 9. Численные методы. Лекция 4. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.. Дифференциальная и разностная задачи Эйлера. Определение. Дифференциальной задачей Эйлера

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных Введение Пособие посвящено изложению численных методов решения двухточечных задач, которые встречаются во всех областях науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются в двух точках, а дифференциальные

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши Численные методы позволяют найти только частное решение ДУ (СДУ) в виде сеточной функции. Несмотря на этот недостаток, эти методы применимы к очень

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет) Кафедра "Высшая математика"

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет) Кафедра Высшая математика МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет) Кафедра "Высшая математика" ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Составитель: Данилина И.А. Содержание

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КУРСА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КУРСА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е А Г Е Н С Т В О П О О Б Р А З О В А Н И Ю Н.Н. Гудович ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КУРСА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Выпуск VII Одношаговые методы решения задачи Коши Учебное пособие для вузов ВОРОНЕЖ

Подробнее

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций.

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Подробнее

Методы решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений Лекция стр. Лекция Методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Дано: нелинейное уравнение f () =, где f () функция определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения,

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Численное решение дифференциальных уравнений - - Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши Значительное число задач вычислительной математики сводится к решению обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

Численное решение задач оптимизации

Численное решение задач оптимизации Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов решения задач оптимизации, их программной реализации на компьютере, оценки погрешности решения, сравнение эффективности различных методов

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений С.В. Лемешевский (sergey.lemeshevsky@gmail.com) Институт математики НАН Беларуси Dec 10, 018 Аннотация В вычислительной практике часто приходится

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ ММСП 1 Содержание Введение. 3 1. Приближение табличных данных конкретной системой базисных функций по методу наименьших квадратов. 4. Численное решение задачи

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 6 www.oms.edu А.Т. Когут, Н.Ю. Безбородова Омский государственный университет путей сообщения Исследование

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ]

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ] Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ

ЛЕКЦИЯ 9 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ ЛЕКЦИЯ 9 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ На прошлой лекции для погрешности интерполяции было получено следующее соотношение: f(x) P (x) f (+1) (x) ω(x). (n + 1) Было показано, что многочлен Чебышева обеспечивает минимум

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения

8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения 8. Обзор численных методов решения дифференциальных уравнений движения Постановка задачи Решение уравнений движения является классической задачей механики. В общем случае это система дифференциальных уравнений

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений При поддержке компании Intel Баркалов

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

Методика проведения лабораторной работы по теме «Интерполирование кубическими сплайнами» в курсе численных методов

Методика проведения лабораторной работы по теме «Интерполирование кубическими сплайнами» в курсе численных методов УДК 378.147 Методика проведения лабораторной работы по теме «Интерполирование кубическими сплайнами» в курсе численных методов А.А. Федотов, П.В. Храпов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия В

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\sue.kdu.edu.u 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши Задача Коши для ОДУ Дано обыкновенное дифференциальное уравнение 1го порядка и начальное условие

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

9. Устойчивость . (66)

9. Устойчивость . (66) 9. Устойчивость 1 9. Устойчивость В прошлом разделе мы разобрали основные критерии разностных схем для ОДУ, но пока не касались, пожалуй, основного их свойства устойчивости. В качестве примера при рассмотрении

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Интерполяция сеточных функций

Интерполяция сеточных функций стр. Интерполяция - изменение (лат.) Аппроксимация - приближение (лат.) Интерполяция сеточных функций Дана сеточная функция, заданная таблицей: Лекция = f () Будем считать данную функцию f () и некоторую

Подробнее

1. Введение. dt. (1) ), i=1,, n-1 гладкость порядка 2 во внутренних узлах; в) S ( t ) S '( t ), i = 1,, n-1 гладкость порядка 1 во внутренних узлах;

1. Введение. dt. (1) ), i=1,, n-1 гладкость порядка 2 во внутренних узлах; в) S ( t ) S '( t ), i = 1,, n-1 гладкость порядка 1 во внутренних узлах; Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки д.т.н. проф. Н. И. Гданский, доц. к.т.н. А.В. Карпов, асп. А.А. Бугаенко

Подробнее

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ.

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ. www.reshuzdch.ru Задание.5. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.,8,55, Решение. По условию:,8, b, 55, c,,,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ На прошлой лекции была рассмотрена задача решения переопределенной системы. Такая система имеет вид: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, { a 1 x 1 + a x + + a x = f, { a 1 x 1 + a x

Подробнее

Тема6. «Методы оптимизации.»

Тема6. «Методы оптимизации.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Методы оптимизации.» Кафедра теоретичской и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Построение ММ статики технологических объектов

Построение ММ статики технологических объектов Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем (рис : О с одной входной х и одной

Подробнее

Лекция 9. Метод параллельной стрельбы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Лекция 9. Метод параллельной стрельбы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Лекция 9. Метод параллельной стрельбы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Некоторые сведения из вычислительной математики Анализ прикладного программного обеспечения

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ)

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) применяются когда отсутствует/затруднено/неудобно аналитическое

Подробнее

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка Варианты задания 8. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка 8.. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для обыкновеннго дифференциального уравнения y =

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее