0.5 setgray0 0.5 setgray1

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "0.5 setgray0 0.5 setgray1"

Транскрипт

1 5 setgray 5 setgray

2 Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a a nx n b, a 2 x + a a2 nx n b 2, a m x + a m am n x n b m () Введём основную матрицу системы a a a n a 2 a 2 2 a 2 n A A,A 2,,A n, (2) a m a2 m a m n столбец неизвестных X, столбец правой части B x b x 2 X, B b 2 x n b m (3) и расширенную матрицу системы Ã a a a n b a 2 a 2 2 a 2 n b 2 Ã A,A 2,,A n,b A,B a m a m 2 a m n b m (4) С учетом введённых матричных обозначений (2) и (3) систему уравнений () можно записать в компактной матричной форме Дадим определения AX B или A x + + A n x n B (5)

3 2 Однородные системы 3 Определение Столбец X (x,,xn )T называется решением системы уравнений (5), если после его подстановки в систему уравнений (5) получиться тождество Определение 2 Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений 2 Однородные системы Определение 3 Система линейных уравнений называется однородной, если правая часть уравнения (5) равна нулевому столбцу B O : AX O или A x + + A n x n O, O (,,) T (2) З а м е ч а н и е Очевидно, что однородная система уравнений (2) всегда совместна, поскольку всегда имеет тривиальное решение x x 2 X x n Однако, однородная система уравнений может иметь нетривиальное решение Например, система уравнений имеет нетривиальное решение X x + x 2 ( x x 2 ) ( ) Справедлива следующая основная теорема: Теорема Если X и X 2 это два решения однородной системы уравнений (2), то любая их линейная комбинация X 3 c X + c 2 X 2, c,c 2 K также будет решением системы (2) Доказательство AX O, AX 2 O A(c X + c 2 X 2 ) c AX + c 2 AX 2 O Теорема доказана Определение 4 Фундаментальное семейство решений (ФСР) однородной системы (2) это такое семейство линейно независимых решений столбцов X, X 2,,X s, что любое

4 4 Лекция 3 Системы линейных уравнений решение данной системы можно представить в виде их линейной комбинации: X c X + c 2 X c s X s, (22) где c,c 2,,c s это произвольные числа Выражение (22) называется общим решением системы (2) Замечание 2 Число s N линейно независимых решений однородной системы (2) как будет показано ниже s n Например, такая однородная система x + x x n имеет следующие n линейно независимых решений X, X 2,,X n Определение 5 Матрица Φ, столбцами которой являются столбцы ФСР, называется фундаментальной матрицей однородной системы (2): Φ X,X 2,,X s (23) Общее решение X однородной системы (2) выражается через фундаментальную матрицу Φ следующим образом: c s c X c l X l Φ 2 l, (24) c s где c,,c s это произвольные числа из K 3 Неоднородные системы Определение 6 Система уравнений A X B O (3) называется неоднородной Справедлива следующая основная теорема: Теорема 2 Общее решение неоднородной системы (3) представимо в следующем виде: X Y + X, (32)

5 4 Системы уравнений упрощённого вида 5 где Y какое либо решение неоднородной системы уравнений (3), а X это общее решение соответствующей однородной системы уравнений AX O Доказательство Действительно, пусть Y это какое либо решение уравнения AY B, тогда система уравнений (3) примет следующий эквивалентный вид: AX B AX AY A(X Y ) O X Y X, где X это общее решение соответствующей однородной системы уравнений Теорема доказана Следствие Общее решение неоднородной системы уравнений (3) представимо в следующем виде: X Y + c X + + c s X s, (33) где X,,X s это ФСР соответствующей однородной системы и c,,c s K это произвольные числа 4 Системы уравнений упрощённого вида Определение 7 Неизвестная x k называется базисной, если она входит только в одно уравнение системы Определение 8 Система линейных уравнений называется системой упрощённого вида, если в каждом уравнении имеется базисная неизвестная В случае, если некоторое уравнение содержит более одной базисной неизвестной, то выбирается одна из них ПРИМЕР Рассмотрим следующую систему уравнений: { x + x 2 + x 4 x 3 + x 4 В этой системе уравнений неизвестные x и x 2 входят только в первое уравнение, а неизвестная x 3 только во второе Поэтому при выборе базисных переменных у нас имеется произвол Мы можем выбрать в качестве базисных либо x и x 3 либо x 2 и x 3 Переменная x 4 базисной не является, поскольку входит как в первое уравнение, так и во второе уравнение Определение 9 Неизвестные, не относящиеся к выбранным базисным, называются свободными Замечание 3 Пусть x,x 2,,x n это все неизвестные Если x,x 2,,x r это базисные, то x r+,,x n это свободные переменные Продолжение примера 2 Если мы выбрали в качестве базисных переменных переменные x и x 3, то свободные переменные

6 6 Лекция 3 Системы линейных уравнений это x 2 и x 4 Если мы выбрали в качестве базисных переменные x 2 и x 3, то свободные переменные это x и x 4 Специальная линейная однородная система уравнений упрощённого вида Рассмотрим такую систему уравнений x + a r+ xr+ + + a nx n, x 2 + a 2 r+ xr+ + + a 2 nx n, x r + a r r+ xr+ + + a r nx n a r+ a n a 2 r+ a 2 n a r r+ a r n (4) Матричная форма записи системы уравнений (4) имеет следующий вид: x x 2 x r x r+ x n Система линейных уравнений (4) удобна тем, что её общее решение легко явно выписать Действительно, в качестве базисных переменных в данном случае удобно выбрать переменные x,x 2,,x r, а в качестве свободных переменных соответственно выбираем все оставшиеся переменные x r+,,x n Даже если во всех уравнениях системы (4) коэффициенты при некоторой переменной x s (s r +,n) равны нулю мы все равно относим эту переменную к свободной Теперь перепишем систему (4) в следующем виде: x a r+ xr+ a nx n, x 2 a 2 r+ xr+ a 2 nx n, x r a r r+ xr+ a r nx n (42) Теперь мы можем построить общее решение системы (42) С этой целью придадим свободным переменным x r+,,x n соответственно произвольные значения c,,c n r K и представим общее решение в следующем виде:

7 4 Системы уравнений упрощённого вида 7 X x x 2 x r x r+ x n a r+ c a nc n r a 2 r+ c a 2 nc n r a r r+ c a r nc n r c c n r c a r+ a 2 r+ a r r+ + + c n r a n a 2 n a r n (43) Проверим, что столбцы X a r+ a 2 r+ a r r+,,x n r a n a 2 n a r n являются линейно независимыми Действительно, рассмотрим линейную комбинацию c X + + c n r X n r O a r+ c a nc n r a 2 r+ c a 2 nc n r a r r+ c a r nc n r c c n r

8 8 Лекция 3 Системы линейных уравнений c,,c n r Следовательно, фундаментальная матрица Φ системы линейных однородных уравнений (4) имеет следующий явный вид: a r+ a r+2 a n a 2 r+ a 2 r+2 a 2 n Φ a r r+ a r r+ a r n, где серым цветом выделена единичная матрица размера n r Специальная линейная неоднородная система уравнений Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему уравнений специального вида x + a r+ xr+ + + a nx n b, x 2 + a 2 r+ xr+ + + a 2 nx n b 2, x r + a r r+ xr+ + + a r nx n b r (44) В силу результата теоремы 2 общее решение системы уравнений (44) нужно искать в следующем виде: X Y + X, где Y это частное решение неоднородной системы уравнений (44), а X это общее решение соответствующей однородной системы

9 уравнений Заметим, что и поэтому X b b 2 b r 5 Метод Гаусса Жордана 9 Y a r+ a 2 r+ + c a r r+ b b 2 b r + + c n r a n a 2 n a r n Рассмотрим пример ПРИМЕР 2 Рассмотрим следующую неоднородную систему уравнений упрощённого типа: x + 3x 3 + x 5, x 2 + 4x 3 + 2x 5 2, x 4 + 2x 5 3 Общее решение системы имеет вид x 3c c 2 x 2 X x 3 x 4 2 4c 2c 2 c 3 c 2 x 5 c x 3x 3 x 5, x 2 2 4x 3 2x 5, x 4 3 x 5 ; + c 3 4 Серым цветом выделены значения свободных неизвестных + c2 2 5 Метод Гаусса Жордана В этом разделе мы рассмотрим на конкретном примере метод Гаусса Жордана приведения системы линейных уравнений (вообще говоря, неоднородной) к специальному упрощённому виду Прежде все-

10 Лекция 3 Системы линейных уравнений го определим так называемые элементарные преобразования системы уравнений a x + a x2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 x2 + + a 2 nx n b 2, (5) a m x + a2 mx2 + + a m n x n b m, приводящую еë к эквивалентной системе уравнений k x + k x2 + + knx n d, k 2x + k2 2x2 + + knx 2 n d 2, k p x + k p 2 x2 + + knx p n d p Элементарные преобразования системы линейных уравнений Тип Перестановка двух уравнений местами; Т и п 2 Умножение любого уравнения системы на ненулевое число; Т и п 3 Прибавление к любому уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число; Тип 4 Удаления из системы уравнений уравнения вида x + x x n Справедлива следующая теорема: Теорема 3 Любую систему линейных уравнений элементарными преобразованиями можно привести к упрощённой системе уравнений вида (44) Рассмотрим пример ПРИМЕР 3 Найти общее решение неоднородной системы уравнений x + x 2 + 2x 3 + x 4, 2x + 3x 2 + x 3 + x 4, 3x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 (52) Решение Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы системы ( ) 2 Ã 2 3 (53) Шаг Вычтем из третьей строки сумму первой и второй В результате получим матрицу ( ) 2 Ã 2 3 (54)

11 6 Матрицы элементарных преобразований Шаг 2 Вычеркнем третью строчку Получим матрицу ( ) 2 Ã 2 3 (55) Шаг 3 Вычтем из второй строчки первую умноженную на 2 В результате получим ( ) 2 Ã 4 (56) 2 Шаг 4 Вычтем из первой строчки вторую В результате получим ( ) 6 2 Ã 3 4 (57) 2 Итак, мы пришли к следующей упрощённой системе двух неоднородных уравнений x 6x 3 2x 4 + 3, x 2 4x 3 + x 4 (58) 2 Итак, переменные x и x 2 базисные, поэтому оставшиеся переменные x 3 и x 4 свободные Выпишем теперь общее решение x 3 6c 2c X x 2 x c + c 2 c 2 + c 4 + c 2, x 4 c 2 где c,c 2 R произвольные числа 6 Матрицы элементарных преобразований В этом разделе мы предложим матрицы 4 х элементарных преобразований Пусть a a a n A A (a j a 2 k )m a 2 2 a 2 n n, A A 2 a m a2 m a m n A m Перемена местами двух строк Обозначим через P sp преобразование, заключающееся в перемене местами s й и p й строк матрицы A матрица P sp является квадратной размера m m Без ограничения общности будем считать, что s < p

12 2 Лекция 3 Системы линейных уравнений Матрица P sp имеет следующий вид: I I s I p I s+ P sp I p I s I p+ I m (6) где символом I j при j,m мы обозначили вектор строчку длины m, у которой на j-ом месте находится, а все оставшиеся элементы строчки равны нулю Действительно, A j P j spa, A j I j A k I j,,,,, m I j k Ak A j при j s и j p; k m m A s PspA s I p k Ak A p, A p PspA p IkA s k A s Таким образом, умножая матрицу A слева на матрицу P sp мы приходим к матрице A, у которой строчки s и p поменялись местами: A A A s A p A s A A s+ s A A P sp A, A s+, A A p A A s p A p A p+ A p+ A m A m k

13 6 Матрицы элементарных преобразований 3 2 Умножение произвольной строчки на ненулевое число Матрица этого преобразования P βs представляет собой квадратную матрицу размера m m, которая отличается от единичной матрицы того же размера только наличием у s й строчки на s ом месте вместо единицы число β K, те имеет следующий вид: P βs I I s β I s I s+ I m β (62) Действительно, m A j P j βs A, A j I j A I j k Ak A j при j s; k A s P s βsa βi s A β m IkA s k βa s Таким образом, умножая матрицу A слева на матрицу P βs мы приходим к матрице A, у которой s я строчка умножается на число β : A P βs A, A A A s βa s A s+ A m k, A A A s A s A s+ A m 3 Прибавление к произвольной строчке другую строчку, умноженную на произвольное число Матрица этого преобразования P s+βp представляет собой квадратную матри-

14 4 Лекция 3 Системы линейных уравнений цу размера m m, имеющую следующий вид: P s+βp I I s I s + βi p I s+ I p I p I p+ I m Действительно, A j P j s+βp A Ij A β (63) m I j k Ak A j при j s; k A s P s s+βpa (I s + βi p )A m (Ik s + βi p k )Ak A s + βa p Таким образом, умножая матрицу A слева на матрицу P s+βp мы приходим к матрице A, которая имеет следующий вид: A P s+βp A, A k A A s A s + βa p A s+ A p A p A p+ A m, A A A s A s A s+ A p A p A p+ A m 4 Вычёркивание нулевой строчки Пусть у матрицы A s я строчка нулевая Тогда матрица P s операции вычеркивания s й строчки является матрицей размера (m ) m, имеющая следующий

15 вид: Действительно, A j P j s A Ij A 6 Матрицы элементарных преобразований 5 P s I I s I s+ I m m I j k Ak A j k (64) при j,s s+,m Таким образом, умножая матрицу A слева на матрицу P s мы приходим к матрице A размера (m ) n, которая имеет следующий вид: A A A P s A, A A s A s A s+, A A s A s+ A m A m Справедливо следующее утверждение: Теорема 4 Пусть A некоторая матрица размера m n, R(A) : R A это матрица, полученная из A последовательностью матриц элементарных преобразований R Тогда R(A) R(I m ) A, (65) где I m это единичная матрица размера m m, R(I m ) это матрица размера p n при p m, полученная из единичной матрицы в результате применения последовательности матриц элементарных преобразований R В том случае, если в последовательность R не входит элементарные преобразования четвертого типа матрица R(I) размера m m и обратима Доказательство Для доказательства заметим, что в силу ассоциативности умножения матриц R(A) R A R (I m A) (R I m ) A R (I m ) A Можно проверить, что все элементарные преобразования типов 3 обратимы И, следовательно, матрица R обратима тоже

16 6 Лекция 3 Системы линейных уравнений Теорема доказана 7 Вычисление обратной матрицы Пусть R это последовательность элементарных преобразований, приводящие m m матрицу A к единичной матрице I m : R A R (I m A) (R I m ) A R(I m ) A I m A R (I m ) (7) На практике для вычисления обратной матрице к обратимой матрице A удобно составить m 2m матрицу a a a m a 2 a 2 2 a 2 m A, I m (72) a m a2 m a m m и применением последовательности матриц элементарных преобразований строк R привести матрицу A (левый блок матрицы (72)) к единичной I m, тогда в правом блоке мы получим обратную A : Действительно, в силу (7) имеем поэтому A, I m R (I m ), I m A, I m I m, A (73) A R (I m ), R(I m ) A, R A, I m R R (I m ), I m I m,r(i m ) I m, A Здесь мы воспользовались следующим утверждением Лемма B A A 2 B A B A 2 для всех A K m s, A 2 K m p и B K n m Доказательство C : B A A 2, C k B A k, k,s, C l B A 2l, l s +,s + p Лемма доказана Рассмотрим пример ПРИМЕР 4 Вычислить обратную матрицу к ( ) (74)

17 7 Вычисление обратной матрицы 7 Решение Запишем составную матрицу размера 3 6 ( ) (75) Шаг Вычтем из третьей строчки сумму первых двух В результате получим матрицу ( ) (76) Шаг 2 Вычтем из второй строчки первую, умноженную на 2 В результате получим матрицу ( ) (77) Шаг 3 Умножим вторую и третью строчки на В результате получим матрицу ( ) (78) Шаг 4 Вычтем из третьей строчки вторую В результате получим матрицу ( ) (79) 2 Шаг 5 Прибавим к первой строчке третью умноженную на 3 В результате получим матрицу ( ) (7) 2 Шаг 6 Прибавим ко второй строчке третью, умноженную на 2 В результате получим матрицу ( ( ) (7) 2 Шаг 7 Вычтем из первой строчки вторую, умноженную на 2 В результате получим матрицу ( ) (72) 2

18 8 Лекция 3 Системы линейных уравнений Шаг 8 Умножим третью строчку на В результате получим матрицу ( ) (73) 2 Таким образом, обратная матрица имеет следующий вид: ( ) (74) 2


Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 5 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A K m следующего общего вида: a a a A a 2 a 2 2 a 2 A = = A A 2,A 2,,A =, a m a2 m a m A m где a a a 2 A =,,A a 2

Подробнее

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ)

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ) Семинар Однородные СЛАУ ОСЛАУ) Рассмотрим систему, состоящую из m однородных линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a n x n =, a { x + a x + + a n x n =, a m x + a m x + + a mn x n =. Введём

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса.

Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса. Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая школа экономики) Лекции по линейной алгебре Владимир Черняк, Лекция 5. Метод исключения Гаусса и Жордана-Гаусса. Читать под

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений Глава 7 Матрицы и системы линейных уравнений 7 Матричные операции Пусть K произвольное кольцо Таблица a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn в которой a ij K i =,2,,m; j =,2,,n, называется матрицей

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Системы линейных уравнений Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( )

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( ) МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система () m линейных уравнений с неизвестными Для ее решения нужно выполнить следующие действия: Составить расширенную матрицу (7) системы: m

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости

Лекция 17 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. 1. Преобразование базисов и координат на плоскости Лекция 7 ПРИВЕДЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Преобразование базисов и координат на плоскости Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом:

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее