Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ"

Транскрипт

1 осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики простейших сигналов Свойства преобразования Фурье Распределение энергии в спектре непериодического сигнала 3 Преобразование Фурье Гармонический анализ можно распространить и на непериодические сигналы Рассмотрим сигнал, который определен некоторой функцией x() на интервале [, ] и равен нулю за пределами этого интервала (этот сигнал показан на рис3 сплошной линией) Будем полагать, что эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема Рис3 Периодическая функция, образованная повторением x() T, целиком включаю- Возьмем произвольный отрезок времени длительностью щий интервал [, ], и образуем периодическую функцию xп () = x ( kt ) k= 7 в которой функция x() повторяется через интервал T (фрагмент этой функции показан на рис 3) Очевидно, что x() = lim x () (3) T Периодическую функцию x п () можно записать в виде ряда Фурье в комплексной форме ω x = c e, (3) где c п п () j = T T = x() e d (33) T jω Подставив (33) в (3) и заменив T = πω, получим jωτ jω п() = [ [ () τ τ] = π x x e d e ω (34)

2 осенний семестр учебного - года Чтобы получить спектральное представление сигнала x(), подставим (34) в (3) и устремим T к бесконечности При T угловая частота ω = π T превращается в бесконечно малое приращение частоты dω, частота -ой составляющей ряда ω в текущую частоту ω, а операция суммирования может быть заменена на операцию интегрирования В результате получим jω jωτ x() = e [ x( τ) e d ] π τ dω (35) X( ω ) = X( jω ) = a ( ω ) + b ( ω ) есть четная функция частоты, а аргумент спектральной характеристики 8 С учетом, что значения и не определены, для внутреннего интеграла в (35) введем обозначение X ( j ) x( ) e ω = j ω d (36) Функцию X( jω ) называют спектральной характеристикой сигнала x() Выражение (35) с учетом (36) принимает вид jω x() = X( jω) e π dω (37) Формулы (36) и (37) образуют пару преобразований Фурье и устанавливают однозначное соответствие между представлением x() сигнала во временной области и его представлением X( jω) в области частот Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье, а функцию X( jω ) спектральной характеристикой сигнала x() Формула (37) позволяет осуществить обратное преобразование и вычислить мгновенное значение сигнала x(), если известна его спектральная характеристика X( jω ) Символически эти преобразования записываются в виде X( jω ) =I[ x( )], x () = I [ X( jω)] Спектральная характеристика X( jω ) сигнала x() в общем случае является комплексной функцией частоты Применив известную формулу Эйлера, ее можно записать в следующем виде X ( jω ) = x( ) e d = x( )cos ω d j x( )siω jω d j ϕω ( ) = a( ω) jb( ω ) = X( ω) e Действительная часть a( ω ) = x( )cosω d спектральной характеристики есть четная функция частоты, а мнимая часть b( ω ) = x( )siω d (38) нечетная функция частоты Отсюда следует, что модуль спектральной характеристики

3 осенний семестр учебного - года φ( ω ) = arg X( jω ) нечетная функция частоты Графически спектральную характеристику X( jω ) сигнала x() в общем случае можно представить в виде годографа на комплексной плоскости (рис 3, а) Однако чаще строят амплитудно-частотную X ( ω ) и фазо-частотную φ( ω ) спектральные характеристики (рис 3, б, в) Учитывая симметричность спектральных характеристик при положительных и отрицательных значениях частоты ω, их, как правило, строят только при положительных значениях частоты ω Рис3 Спектральные характеристики сигнала: а годограф, б амплитудная, в фазовая Формулу (37) обратного преобразования Фурье при помощи формулы Эйлера и выражения (38) можно преобразовать к следующему виду: x( ) = [ a( ω)cos ω + b( ω)si ω] dω π (39) 3 Спектральные характеристики простейших непериодических сигналов 3 Спектральная характеристика одиночного прямоугольного импульса Прямоугольный импульс с началом отсчета, совмещенным с его серединой (рис 33, а), описывается выражением D при τ τ, x () = D rec = τ при < τ и >τ Применяя формулу (36), находим τ jωτ jωτ jω D si( ωτ ) X( jω ) = D e d = ( e e ) = Dτ (3) j ω ωτ τ Спектральная характеристика прямоугольного импульса при выбранном начале отсчета является вещественной функцией (рис 33, б) Максимальное значение X( jω ) достигается при ω= Его можно вычислить по правилу Лопиталя: X() = Dτ Спектральная характеристика обращается в нуль при значениях аргумента ωτ π = π ( ω= ), τ где любое (положительное или отрицательное) целое число 9

4 осенний семестр учебного - года Рис33 Спектральные характеристики прямоугольного импульса (а): б общая; в амплитудная; г фазовая При увеличении длительности τ импульса расстояние между нулями функции X( jω) уменьшается, то есть спектр сужается Значение X ( ) при этом возрастает При уменьшении длительности τ импульса, наоборот, расстояние между нулями функции X( jω ) увеличивается, что свидетельствует о расширении спектра, а значение X () уменьшается Амплитудная спектральная характеристика X ( ω ) прямоугольного импульса показана на рис 33, в При построении фазовой спектральной характеристики θ( ω ) (рис 33, г) каждая перемена знака функции X( jω ) учитывается приращением фазы на π 3 Спектральная характеристика дельта-функции Дельта-функция (функция Дирака) определяется следующим образом: при =, δ () = при Функция удовлетворяет условию δ () d =, которое означает, что площадь импульса равна единице Получить на практике сигнал, описываемый такой функцией, нельзя Однако дельта-функция является очень удобной математической моделью На рис 34, а приведено графическое представление дельта-функции в виде вертикального отрезка, заканчивающегося стрелкой Длина этого отрезка, принимается пропорциональной площади дельта-импульса Найдем спектральную характеристику дельта функции Для этого возьмем прямоугольный импульс, описываемый функцией v () (рис 34, б) Длительность импульса равна τ, а амплитуда τ Поэтому площадь импульса равна единице Будем уменьшать длительность импульса до нуля, при этом его амплитуда будет стремиться к бесконечности Следовательно, δ () = lim v() τ 3

5 осенний семестр учебного - года Рис34 К определению спектральной характеристики дельта-функции: а дельта-функция; б прямоугольный импульс; в спектральная характеристика Спектральная характеристика прямоугольного импульса определяется выражением (3) Отсюда с учетом, что A = τ, получим спектральную характеристику дельтафункции si( ωτ ) X( jω ) = lim = τ ωτ Таким образом, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах (рис 34, в) 33 Спектральная характеристика экспоненциального сигнала Рассмотрим сигнал, описываемый функцией α x() = A e () при положительном вещественном значении параметра α (рис 35, а) Спектральная характеристика экспоненциального сигнала равна α j ω A ( α+ j ω ) A X( jω ) = A e e d = e = α + j ω α+ jω Годограф спектральной характеристики приведен на рис 35, б Амплитудный и фазовый спектры определяются соответственно выражениями: A X( ω ) = X( jω ) =, α +ω φω ( ) = arg X( jω ) = arcg( ωα ) Рис35 К определению спектральной характеристики экспоненциального импульса: а экспоненциальный импульс; б спектральная характеристика 34 Спектральная характеристика ступенчатого сигнала Рассмотрим сигнал, описываемый ступенчатой функцией x() = A () (3) 3

6 осенний семестр учебного - года Ступенчатая функция ( ) не является абсолютно интегрируемой функцией, поэтому формулу прямого преобразования Фурье использовать нельзя Однако функцию (3) можно представить как предел экспоненциальной функции: x() = A lime α α В этом случае спектральную характеристику X( j ω ) можно определить как предел спектральной характеристики экспоненциального сигнала при α : A α ω X( jω ) = lim = Alim jalim α α+ j ω α α α +ω α +ω При α первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на всех частотах, кроме ω=, где оно обращается в бесконечность Найдем площадь α ω ω dω= d arcg = =π α +ω + ( ω α) α α Следовательно, предел первого слагаемого равен πδ( ω ) Предел второго слагаемого очевиден Поэтому окончательно получим X( jω ) =πδ( ω ) + j ω 33 Основные свойства преобразования Фурье Между сигналом x() и его спектром X( j ω ) существует однозначное соответствие Для решения практических задач необходимо знать связь между изменениями сигнала и соответствующими изменениями спектральной характеристики Рассмотрим наиболее важные преобразования сигналов и соответствующие им изменения спектральной характеристики 33 Линейность преобразования Фурье Если сигналы x (),, x() преобразуемы по Фурье и их спектральными характеристиками являются соответственно функции X ( jω ),, X ( jω ) и если λ,, λ величины, не зависящие от и ω, то справедливы следующие равенства: I λ i x i() = λi X i( j ω), i= i= I λi X i( jω ) = λi xi( ) i= i= Таким образом, линейной комбинации сигналов соответствует линейная комбинация спектральных характеристик этих сигналов 33 Спектральная характеристика производной Если функция x(), описывающая сигнал, и ее производная y() = dx d преобразуемы по Фурье и x() имеет спектральную характеристику X( j ω ), то спектральная характеристика производной dx() Y( jω ) =I = jωx( jω) (3) d 3

7 осенний семестр учебного - года Таким образом, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной характеристики на множитель j ω Поэтому принято говорить, что мнимое число j ω является оператором дифференцирования, действующим в частотной области Формула (3) обобщается на случай спектра производной -го порядка Легко показать, что если производная y () = dx () d абсолютно интегрируема в интервале (, ), то Y( jω ) = ( jω) X( jω ) 333 Спектральная характеристика интеграла Если функция x(), описывающая сигнал, преобразуема по Фурье, имеет спектральную характеристику X( jω) и xd () =, то спектральная характеристика интеграла y () = x( τ) dτ равна X ( j ω) Y( jω ) =I x( τ) dτ = j ω Таким образом, множитель ( j ω ) является оператором интегрирования в частотной области Это свойство распространяется и на интегралы кратности 334 Спектральная характеристика смещенного сигнала Пусть имеется сигнал x () (рис 36, а) произвольной формы, существующий на интервале [, ] и обладающий спектральной характеристикой X ( j ω ) Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на время τ позднее и поэтому описываемый функцией x () = x ( τ ) Эта функция определена на интервале [ + τ, + τ ] (рис 36, б) Рис36 Исходный (а) и «запаздывающий» (б) сигналы Если сигнал x () преобразуем по Фурье и имеет спектральную характеристику X ( j ω ), то спектральная характеристика «запаздывающего» сигнала x () равна { } j ωτ X ( jω ) =I x ( τ ) = e X ( j ω) В случае «опережающего» сигнала x() = x( +τ ) будем иметь { } j ωτ X ( jω ) =I x ( +τ = e X ( jω ) 33

8 осенний семестр учебного - года 335 Смещение спектральной характеристики Если функция x() преобразуема по Фурье и имеет спектральную характеристику X( jω), то где a ja { } I e x() = X[ j( ω+ a)], любое вещественное неотрицательное число 336 Сжатие и растяжение сигналов Пусть задан сигнал x () и ее спектральная характеристика X ( j ω ) Подвергнем эту функцию изменению масштаба времени, образовав новую функцию x() = x( k), где k некоторое вещественное число На рис 37 приведены, например, графики сигнала, описываемого функцией для значений Ф k = 5;; 5k x () = e cosπ k, (33) Рис37 Графики сигнала (33): а k = ; б k = ; в k = 5 Легко заметить, что при k > происходит «сжатие» сигнала (рис 37, б), а при < k < «растяжение» сигнала (рис 37, в) Можно показать, что спектральная характеристика сигнала x () определяется выражением ω X( jω ) =I { x( k) } = X( j k k ) Из этого выражения следует, что при сжатии сигнала на временной оси в k раз во столько же раз расширяется его спектр на оси частот Модуль спектральной характеристики при этом уменьшается в k раз При растяжении сигнала во времени, то есть при < k <, имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной характеристики 337 Спектральная характеристика произведения сигналов Пусть имеются два сигнала, которые описываются функциями x () и x () Образуем сигнал y () = x() x() Если сигналы x () и x () преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики есть соответственно X ( j ω ) и X ( j ω ), то спектральная характеристика сигнала y () определяется выражением Y( jω ) = F{ x ( ) x ( ) } = X [ j( ω σ)] X ( j ) d π σ σ 34

9 осенний семестр учебного - года 338 Теорема Парсеваля Если функции x () и x () преобразуемы по Фурье и их спектральные характеристики соответственно равны X ( j ω ) и X ( j ω ), причем интегралы сходятся абсолютно, то справедливо равенство X ( j ω ) d ω, X ( j ω ) d ω x () x () d = X ( jω) X ( jω) d π ω (34) Формула (34) позволяет найти интеграл в бесконечных пределах от произведения двух функций, произведя соответствующие операции со спектральными характеристиками функций После несложных преобразований формулу (34) можно записать в вещественной форме x () x () d = X ( jω) X ( jω) cos[ φ ( ω) φ ( ω)] d ω π Если x() = x() = x(), то X( jω ) = X( jω ) = X( jω ) и из (34) получим равенство, которое называют формулой Парсеваля: x ( ) d = X( jω) dω= X( jω) d π π ω 339 Обратимость преобразования Фурье Нетрудно заметить, что формулы прямого преобразования и обратного преобразования Фурье X ( j ) x( ) e ω = j ω d jω x() = X( jω) e dω π очень похожи друг на друга По этой причине все «пары» преобразований имеют близкие зеркальные образы Покажем это на примере Как показано выше, прямоугольный импульс, описываемый функцией D при τ τ, имеет спектральную характеристику x () = при < τ и >τ si( ωτ ) X( jω ) = Dτ ωτ С другой стороны, если подвергнуть прямому преобразованию Фурье сигнал Dω si( ω ) y () = π ω получим 35

10 осенний семестр учебного - года D при ω ω ω, Y( jω ) = при ω< ω и ω>ω 34 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала Практическая ширина спектра Величина Ex = x () d носит название энергии сигнала Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением Ом, если к его зажимам приложено напряжение x() С помощью формулы Парсеваля энергию сигнала можно выразить через его спектральную характеристику: ω (35) Ex = x ( ) d = X( jω) dω= X( jω) d π π Соотношение (35) позволяет определить энергию сигнала путем интегрирования квадрата модуля спектральной характеристики по всему диапазону частот Кроме того, это соотношение показывает, каким образом распределена энергия сигнала по различным частотным составляющим Из него видно, что на бесконечно малый промежуток частот приходится энергия X( jω) dex = dω π Поэтому функцию N( ω ) = X( jω) π можно назвать спектральной характеристикой энергии сигнала x() Она характеризует распределение энергии сигнала по его гармоническим составляющим В процессе решения практических задач анализа и синтеза сигналов с помощью преобразования Фурье приходится ограничивать интервал частот, в котором строится спектральная характеристика Этот интервал частот [, ω ], называемый практической шириной спектра, содержит существенные для данного исследования составляющие При определении практической ширины спектра сигнала по заданной интенсивности гармонических составляющих используют амплитудную спектральную характеристику Значение ω выбирают из условия, что при ω >ω амплитуды гармониче- пр ских составляющих не превышают заданной величины С энергетической точки зрения практическая ширина спектра непериодического сигнала оценивается по области частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала В соответствии с формулой (35) энергия сигнала, сосредоточенная в полосе частот от до ω, будет E x пр ω пр = X( jω) dω π пр пр 36

11 осенний семестр учебного - года В зависимости от требований к доле полезно используемой энергии сигнал и выбирается практическая ширина спектра Пример Дан прямоугольный импульс, описываемый функцией D при τ τ, x () = (36) при < τ и >τ Энергия сигнала равна τ E = x () d = D d = D τ x Спектральная характеристика прямоугольного импульса найдена выше: si( ωτ ) X( jω ) = Dτ ωτ Пусть D =, τ= Тогда согласно (36) E x = Интегрирование квадрата модуля спектральной характеристики в интервале частот [, ] дает оценку энергии импульса E = 994 x τ Контрольные вопросы Укажите основное принципиальное отличие спектров периодического и непериодического сигналов Поясните физический смысл амплитудного и фазового спектров непериодического сигнала 3 Поясните, что произойдет со спектром непериодического сигнала при изменении полярности последнего на противоположный 4 Как связаны между собой спектры одиночного импульса и периодической последовательности таких же импульсов? 5 Как изменятся амплитудный и фазовый спектры сигнала при его дифференцировании (интегрировании)? 6 Поясните, какова связь между амплитудным и фазовым спектрами данного сигнала и сигнала, запаздывающего на величину τ 7 Поясните, как изменится спектральная характеристика (39) прямоугольного импульса, если длительность импульса τ 8 Покажите, что для преобразования Фурье справедлив принцип суперпозиции 9 В чем состоит физический смысл равенства Парсеваля? Что означает и для чего вводится понятие практической ширины спектра? 37

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ 54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

Спектральный анализ непериодических сигналов. f(t) t 2. Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: 1 2 T

Спектральный анализ непериодических сигналов. f(t) t 2. Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: 1 2 T Ястребов НИ Каф ТОР, РТФ, КПИ Спектральный анализ непериодических сигналов () Т Ранее нами для периодического сигнала был получен ряд Фурье в комплексной форме: () jω C& e, где C & jω () e Поскольку интеграл

Подробнее

T cos. где звездочка означает знак комплексного сопряжения. Следовательно * или F F. можно представить в виде:

T cos. где звездочка означает знак комплексного сопряжения. Следовательно * или F F. можно представить в виде: Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается, что периодическую функцию () с периодом Т, удовлетворяющую определенным требованиям, можно представить рядом Фурье: a a cos n b sn n, где / n, a

Подробнее

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Лекция 6 ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА План Тригонометрическая форма ряда Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Комплексный частотный спектр 3 Мощности в цепях несинусоидального тока Коэффициенты,

Подробнее

Преобразование Фурье в оптике. В математике доказывается, что любую периодическую функцию f(t) с периодом Т можно представить рядом Фурье:,

Преобразование Фурье в оптике. В математике доказывается, что любую периодическую функцию f(t) с периодом Т можно представить рядом Фурье:, Преобразование Фурье в оптике В математике доказывается что любую периодическую функцию () с периодом Т можно представить рядом Фурье: a a cos b s где / a cos d b s d / / a и b - коэффициенты ряда Фурье

Подробнее

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 43 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Подробнее

Лекция 16. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 16. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 64 Лекция 6 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 3 Операторный метод анализа электрических цепей 4 Определение оригинала по известному

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Лабораторная работа 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СОСТАВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 4 Тригонометрическая форма ряда Фурье Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дирихле,

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Базисная система гармонических функций Тригонометрический ряд Фурье Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала Историческая справка Комплексный

Подробнее

РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 4. ДИНАМИЧЕКИЕ ЗВЕНЬЯ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЧАСТОТНАЯ

Подробнее

Задание 1. Анализ временных и частотных характеристик импульсных

Задание 1. Анализ временных и частотных характеристик импульсных сигналов. Задание. Анализ временных и частотных характеристик импульсных Пример.. С помощью свойств преобразования Фурье найти аналитическое выражение спектра аналогового импульсного сигнала (), изображенного

Подробнее

Тема 5. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 5. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Тема 5 ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Свойства линейных стационарных систем: линейность, стационарность, физическая реализуемость Дифференциальное уравнение Передаточная функция Частотная передаточная функция

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

1) Искажающая (передающая) система - например, e( t) Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности, т.е.

1) Искажающая (передающая) система - например, e( t) Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности, т.е. Переходные процессы - операторный подход. Метод Фурье Искажающая передающая система - например B Q{ A } - пусть один вход один выход Реальные системы - казуальны - подчиняются принципу причинности т.е.

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор

4.3. Сложение колебаний. что фаза 0 t растет линейно со временем, а соответственно вектор 4.3. Сложение колебаний. 4.3.. Векторная диаграмма. Сложение колебаний одинаковой частоты. Удобно использовать наглядное изображение колебаний с помощью векторных диаграмм. Введем ось и отложим вектор,

Подробнее

Лекция 4 Москва, 2015

Лекция 4 Москва, 2015 Спектральное представление сигналов к.ф.-м.н., доцент Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Спектральное представление сигналов Лекция 4 Москва,

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число

Комплексные числа, функции и действия над ними. x=re z действительная часть z действ. число, y=im z мнимая часть z действительное число Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Подробнее

Лекция 10. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) План. 1. Метод комплексных амплитуд. m cos.

Лекция 10. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) План. 1. Метод комплексных амплитуд. m cos. 97 Лекция 0 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) План Метод комплексных амплитуд Комплексные сопротивление и проводимость 3 Расчет установившегося синусоидального

Подробнее

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным

Подробнее

Основы теории управления. д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна

Основы теории управления. д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна Основы теории управления д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна Динамические характеристики объектов регулирования 1. Временные характеристики. Кривая разгона. Импульсно переходная функция. 2. Решение дифференциальных

Подробнее

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Рассмотрим электрические колебания, возникающие в том случае, когда в цепи имеется генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н.ДЕНИСЕНКО, В.Н.ИСАКОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ на ПК по дисциплине «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Представление о сигналах и способах их описания

Представление о сигналах и способах их описания Лекция Представление о сигналах и способах их описания Понятие «сигнал» Линейные и нелинейные системы Принцип суперпозиции Метод комплексных амплитуд Спектральный и временной методы описания сигналов и

Подробнее

Основные характеристики переменного синусоидального тока

Основные характеристики переменного синусоидального тока Тема: Законы переменного тока Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц или макроскопических тел Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину

Подробнее

Лекция 2. Представление о сигналах и способах их описания

Лекция 2. Представление о сигналах и способах их описания Лекция Представление о сигналах и способах их описания Понятие «сигнал» Линейные и нелинейные системы Принцип суперпозиции Спектральный метод описания сигналов и анализа результатов их воздействия на линейные

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

1. Основные характеристики детерминированных сигналов

1. Основные характеристики детерминированных сигналов 1. Основные характеристики детерминированных сигналов В технике под термином «сигнал» подразумевают величину, каким-либо образом отражающую состояние физической системы. В радиотехнике сигналом называют

Подробнее

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н.ДЕНИСЕНКО ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Методические указания по выполнению курсовой работы (специальность 96 МОСКВА УДК 66.3..7

Подробнее

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4.1 Временные характеристики динамической системы Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия,

Подробнее

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Подробнее

Лекция 3. Математическое описание систем управления

Лекция 3. Математическое описание систем управления Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Подробнее

Лабораторная работа 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Лабораторная работа 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ Лабораторная работа 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ Цели работы: Изучение дифракционной решетки как спектрального прибора. В процессе работы необходимо: 1) найти длины волн спектральных

Подробнее

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры)

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры) ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 6 Оптимальные линейные цепи (фильтры) 61 Понятие оптимального фильтра его характеристики Пусть на вход линейной

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

Спектральное представление функций (сигналов)

Спектральное представление функций (сигналов) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Лекция 13 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Лекция 13 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 4 Лекция 3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Комплексные передаточные функции Логарифмические частотные характеристики 3 Заключение Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики)

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Практическое занятие 1 ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. 1. Цели и задачи работы

Практическое занятие 1 ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. 1. Цели и задачи работы Практическое занятие ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Цели и задачи работы В результате освоения темы студент должен уметь по заданному дифференциальному уравнению получить операторное уравнение;

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Приложение 4 Вынужденные электрические колебания Переменный ток Приведенные ниже теоретические сведения могут быть полезны при подготовке к лабораторным работам 6, 7, 8 в лаборатории "Электричество и магнетизм"

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Дискретные сигналы

СОДЕРЖАНИЕ. Дискретные сигналы СОДЕРЖАНИЕ Дискретные сигналы. Процедура аналого-цифрового преобразования... 2 2. Математическое описание дискретных сигналов... 4 3. Свойства дискретных сигналов. Спектры аналоговых и дискретных сигналов

Подробнее

Гармонические колебания

Гармонические колебания Гармонические колебания Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющийся во времени. механические колебания электромагнитные электромеханические

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

7 Тригонометрические ряды Фурье

7 Тригонометрические ряды Фурье 35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Подробнее

Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:

Это выражение представляет собой дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид: Лабораторная работа 2 ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ Цель работы - Исследование электрических процессов при прохождении импульсов прямоугольной формы через дифференцирующие и интегрирующие цепи.

Подробнее

5. Корреляционная обработка сигналов

5. Корреляционная обработка сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) 5 Корреляционная обработка сигналов 51 Различение сигналов Коэффициент корреляции сигналов Одной из задач, решаемых при обработке сигналов,

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Задание 3. Анализ прохождения импульсных и периодических сигналов через линейные цепи.

Задание 3. Анализ прохождения импульсных и периодических сигналов через линейные цепи. Задание. Анализ прохождения импульсных и периодических сигналов через линейные цепи. Пример.. Аналоговый импульсный сигнал (), показанный на рис.., подается на вход фильтра верхних частот (ФВЧ) первого

Подробнее

Лекция 4. Типовые динамические звенья

Лекция 4. Типовые динамические звенья Лекция 4 Типовые динамические звенья Системы автоматического регулирования удобно представлять в виде соединения элементов, каждый из которых описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением

Подробнее

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы

Содержание Содержание Теоретические основы ЦОС Виды сигналов Аналоговые сигналы Дискретные сигналы Содержание Содержание.... Теоретические основы ЦОС..... Виды сигналов...... Аналоговые сигналы...... Дискретные сигналы.....3. Цифровые сигналы...3.. Аналоговые сигналы...3... Представление сигнала интегралом

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Тема 2. Затухающие колебания 1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Тема 2. Затухающие колебания 1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний Тема Затухающие колебания Дифференциальное уравнение затухающих колебаний Затухающие механические колебания 3 Характеристики затухающих колебаний 4 Слабое затухание, апериодическое движение 5 Затухающие

Подробнее

Глава 8. Элементы квантовой механики

Глава 8. Элементы квантовой механики Глава 8 Элементы квантовой механики Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории которая принципиально отличается от классической механики Решение задачи о движении тела макроскопических размеров

Подробнее

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Примеры изображения некоторых функций. Теоремы о дифференцировании и интегрировании

Подробнее

Диаграммы дискретизирующих последовательностей

Диаграммы дискретизирующих последовательностей 3 Содержание 1. Цель задания 4. Содержание задания 4 3. Исходные данные 5 4. Методические указания.. 5 5. Оформление отчета. 8 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 9 ПРИЛОЖЕНИЕ.. 11 ПРИЛОЖЕНИЕ 3.. 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 4.. 14 Литература.

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

Цифровая обработка сигналов

Цифровая обработка сигналов Цифровая обработка сигналов Контрольные вопросы к лабораторной работе 1 1. Частоту дискретизации сигнала увеличили в два раза. Как изменится амплитуда выбросов аналогового сигнала, восстановленного согласно

Подробнее

Лекция 9. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ

Лекция 9. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ 88 Лекция 9. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ План 1. Синусоидальные электрические величины.. Двухполюсные элементы цепей на синусоидальном токе. 3. Выводы. 1. Синусоидальные

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

5. Электрические колебания

5. Электрические колебания 1 5 Электрические колебания 51 Колебательный контур Колебаниями в физике называют не только периодические движения тел но и всякий периодический или почти периодический процесс в котором значения той или

Подробнее

Колебания. Периодическая величина: функция f(t) есть периодическая функция (величина) с периодом Т если f(t)=f(t+t)

Колебания. Периодическая величина: функция f(t) есть периодическая функция (величина) с периодом Т если f(t)=f(t+t) Колебания 1Уравнение свободных колебаний под действием квазиупругой силы. Гармонический осциллятор. 3 Энергия гармонического осциллятора. 4 Сложение гармонических колебаний. Колебания Периодическая величина:

Подробнее

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики кафедра ТОРС Задание и методические

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

1. Пассивные RC цепи

1. Пассивные RC цепи . Пассивные цепи Введение В задачах рассматриваются вопросы расчета амплитудно-частотных, фазочастотных и переходных характеристик в пассивных - цепях. Для расчета названных характеристик необходимо знать

Подробнее

О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ П.Н. Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк

О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ П.Н. Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк О ПРИНЦИПЕ ПРИЧИННОСТИ ПН Александровº º ЦГЭМИ ИФЗ РАН, Троицк lexdr@igemiroiskru Ключевые слова: принцип причинности, теория фильтрации, дисперсия физических параметров Частотная дисперсия физических

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

Цифровая обработка сигналов, весна 2016 г. Домашнее задание 1. Методика решения задач. Задача 1 ( )( ) 1 1 j5π 6 1 j5π 6 1

Цифровая обработка сигналов, весна 2016 г. Домашнее задание 1. Методика решения задач. Задача 1 ( )( ) 1 1 j5π 6 1 j5π 6 1 Цифровая обработка сигналов, весна 6 г. Домашнее задание Методика решения задач Задача.9 5.4z 7.7z Условие: X( z) =. 7.3z z.977 4.679z Выделение целой части: X( z) =.77. 7.3z z Расчет полюсов: 7.3z z =,

Подробнее

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен-

Практическое занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана. z получаем dz z, т. е. дифферен- Практическое занятие Аналитические функции Условия Коши-Римана Производная и дифференциал функции комплексной переменной Условия Коши-Римана 3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной 4 Конформное

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Л 2. Затухающие колебания

Л 2. Затухающие колебания Л Затухающие колебания 1 Колебательный контур Добавим в колебательный контур, состоящий из конденсатора C, индуктивности L и ключа К, Замкнем ключ - по закону Ома C IR L где введены обозначения D q C dq

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Свободные электрические колебания в колебательном контуре Рассмотрим колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных емкости

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Основы теории цепей»

Конспект лекций по дисциплине «Основы теории цепей» Конспект лекций по дисциплине «Основы теории цепей» Автор: Ст. преподаватель кафедры СС и ТС Никифорова Н.М. ЛЕКЦИЯ 6 стр. Классический метод расчета ЛЭЦ в режиме гармонических воздействий. Символический

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее