Исследование тригонометрических функций

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Исследование тригонометрических функций"

Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения функции f оба числа x ± T также принадлежат её области определения и выполнены равенства fx + T = fx T = fx. Число T при этом называется периодом данной функции. Основные тригонометрические функции являются периодическими. Так, функции sin x и cos x имеют наименьший положительный период π; функции tg x и ctg x имеют наименьший положительный период π. Задача. Докажите, что функция fx = sin x + cos x является периодической, и найдите её наименьший положительный период. Решение. Легко видеть, что fx + π = sinx + π + cosx + π = = sinx + π + cosx + 6π = sin x + cos x = fx, поэтому функция fx периодична с периодом π. Найдём её наименьший положительный период. Пусть T некоторый период функции fx. Тогда для любого x имеем: sinx + T + cosx + T = sin x + cos x, sinx + T sin x = cos x cosx + T, что после преобразования разностей синусов и косинусов в произведения приводит к равенству sin T cosx + T = sin T sin x + T. 1 Это равенство, напомним, должно выполняться при всех x R. Для этого достаточно, чтобы sin T = 0, sin T = 0, то есть T = πk, k Z, T = πm, m Z. Из этих равенств имеем k = m, откуда k чётное число, k = n и тогда m = n, n Z. Следовательно, T = πn. Покажем теперь, что система является также и необходимым условием выполнимости равенства 1 при любом x иными словами, других периодов, кроме πn, наша функция иметь не может. В самом деле, пусть T πn и пусть x = T. Тогда левая часть 1 равна sin T 0, а правая часть равна нулю. Значит, равенство 1 не может быть выполнено при всех x. Таким образом, все периоды нашей функции даются формулой T = πn, n ненулевое целое число, а наименьшим положительным периодом будет число π. На олимпиадах и экзаменах встречаются задачи, в которых требуется найти множество значений тригонометрической функции, наибольшее и наименьшее значения и т. д. 1

2 Задача. МГУ, ф-т глобальных процессов, 005 Выясните, верно ли следующее утверждение: множество значений функции y = cos x sin x принадлежит отрезку [ ; 5 ]. Решение. Имеем: y = 1 sin x sin x. Сделаем замену t = sin x. Когда x пробегает все значения из R, величина t пробегает все значения из отрезка [ 1; 1]. Поэтому задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции yt = t t + 1 на отрезке I = [ 1; 1]. Графиком функции yt служит парабола, ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины параболы t 0 = принадлежит отрезку I, поэтому наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в вершине параболы: y mx = yt 0 = + 1 = Наименьшее значение функции yt на отрезке I достигается на одном из концов отрезка. Вычисляем: y 1 =, y1 = y min =. Итак, множество значений нашей функции на отрезке I есть отрезок Ey = [ ] ; Остаётся сравнить числа 17 и 5. Имеем: = = 6 6 < 0. Поэтому Ey [ ; 5 ], так что утверждение задачи верно. Задача. МФТИ, 1996 Дана функция fx = sin x + cos x cos x + sin x. Найти: 1 корни уравнения fx = 15 7 ; наибольшее и наименьшее значения функции fx. Решение. Имеем: fx = sin x + 1 sin x 1 sin x + sin x ; после замены t = sin x и несложных преобразований получаем функцию ft = t t + t t + = 1 + 1, t [0; 1]. t t + Приравнивая данное выражение к 15, легко получаем 7 16t t+9 = 0, то есть t = 0. Отсюда t =, sin x = ± и x = ± π + πn n Z. Это ответ на вопрос пункта 1. Требование пункта равносильно следующему: найти наибольшее и наименьшее значения функции ft на отрезке I = [0; 1]. Для этого запишем в виде ft = ϕt, где ϕt = t t +. Дискриминант данного квадратного трёхчлена меньше нуля, поэтому функция ϕt принимает только положительные значения.

3 Графиком функции ϕt служит парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины t 0 = принадлежит отрезку I, поэтому наименьшее значение функции ϕt на I достигается в вершине: ϕ min = ϕt 0 = = 7 8. Наибольшего значения функция ϕ достигает на одном из концов отрезка I: ϕ0 =, ϕ1 = 1 ϕ mx =. Теперь находим наибольшее и наименьшее значения функции f: Ответ: 1 ± π 6 + πn, n Z; 15 7 и. f mx = ϕ min = = 15 7 ; f min = ϕ mx = =. В некоторых случаях можно исследовать тригонометрическую функцию с помощью так называемого метода вспомогательного аргумента. Напомним, что речь идёт о следующем преобразовании: cos x + b sin x = + b + b cos x + b + b sin x, и поскольку точка с координатами существует такой угол ϕ, что Поэтому +b ; b + = 1, + b + b b расположена на единичной окружности; следовательно, +b cos ϕ = + b, sin ϕ = b + b. cos x + b sin x = + b cos x cos ϕ + sin x sin ϕ = + b cosx ϕ. Отсюда, в частности, вытекает, что множество значений функции cos x + b sin x есть отрезок [ + b ; + b ]. Задача. МГУ, геологич. ф-т, 1981 Принимает ли функция y = sin x 1 sin x cos x + cos x 66 хотя бы в одной точке положительное значение? Решение. Имеем: y = 1 cos x 6 sin x cos x Вводя вспомогательный аргумент, получим y = 7 cosx + ϕ + 66, 66 = cos x 6 sin x + 66.

4 где cos ϕ = 1 7, sin ϕ = 6 7. Если x = ϕ, то y mx = Обозначим p = 7 + и q = 66. Тогда y mx = p q, и нужно сравнить данную разность с нулём. Заметим при этом, что p q имеет тот же знак, что и p q. Вычисляем: откуда p = 7 + = , q = 58, p q = = > 0. Следовательно, y mx > 0, и поэтому ответ на вопрос задачи утвердительный. Задача. «Ломоносов», 01 Найдите наименьшее значение выражения sin x π 6 sin x cos x cos x cos 6x 7. Решение. Обозначим данное выражение через f и преобразуем его: sin x π sin x π 6 f = 6 = sin x 1 cos x cos x cos x 1 7 sin x π 6 cos x cos x 6. Обозначим также = sin x π 6, b = cos x. Имеем: f = b b 6 = b + 6. Знаменатель последней дроби положителен. Чтобы не связываться со знаком, оценим модуль полученного выражения с учётом неравенств b 0 и 1: откуда f = b = 1, 1 f 1. Если x = π, то = b = 1, и тогда в оценке снизу достигается равенство. Следовательно, наименьшее значение величины f равно 1. Задачи 1. «Покори Воробьёвы горы!», 016 Сравните числа sin 1 + cos 1 и 9. Ответ обоснуйте. 6 Первое число больше. Всеросс., 015, МЭ, 11 Не используя калькулятора, определите знак числа coscos 1 cos 1 sinsin 1 sin 1. Минус

5 . «Физтех», 01 Сколько существует натуральных n таких, что функция имеет период 6π? fx = cos nx sin 10x n 8. «Физтех», 011 Сколько различных целых значений принимает функция fx = 17 sin x + tg x ctg x? 5. МГУ, филологич. ф-т, 1978 Найти наибольшее и наименьшее значения функции fx = sin x + cos x 1. и 6. МГУ, ф-т глобальных процессов, 005 Выясните, верно ли следующее [ утверждение: ] множество значений функции y = cos x cos x принадлежит отрезку ;. Верно 7. МГУ, мехмат, 1995 Найти все числа k, для которых функция не принимает значений, б ольших. yx = k sin x + cos x + 1 [ ; 1] 8. МГУ, мехмат, 010 Найдите наименьшее из положительных значений функции fx = cos x + sin x «Физтех», 011 Найдите наименьшее значение выражения sin α + 7 cos α + 8 sin α + 1 cos α. 9, 10. «Ломоносов», 015 Найдите наименьшее значение выражения 1 + cos x 8 sin x cos y cos y. 0 5

6 11. «Ломоносов», 016 Найдите максимальное число, принадлежащее множеству значений функции fx = 115 sin x + 0 cos x sin x 608 cos x 806 sin x «Ломоносов», 01 Найдите множество значений функции yx = tg x + 6 sin x cos x 1 cos x. [ 1 ; 7] \ { 1 } 1. МФТИ, 1996 Дана функция fx = sin6 x + cos 6 x sin x + cos x. Найти: 1 корни уравнения fx = 7 ; 10 наибольшее и наименьшее значения функции fx. 1 ± π 6 + πn, n Z; 1 и 1 1. «Физтех», 015, 10 Дана функция Найдите: gx = cos x + sin x sin x + cos x. а корни уравнения gx = 1 ; б наибольшее и наименьшее значения функции gx. а π + πn, π + πn, n Z; б и МГУ, геологич. ф-т, 1998 Найти наибольшее и наименьшее значения функции fx = cos x + cos x + 7 cos x + 6 cos x и МГУ, ф-т почвоведения, 1997 Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 1 cos x + 1 cos y cos x cos y и

7 17. «Ломоносов», 01 Найдите наибольшее значение выражения sin x + π sin x + cos x cos x cos 8x ОММО, 009 Найдите сумму всех корней уравнения принадлежащих отрезку [ π ; π ]. cos x + 8 sin x 7 = 0, МГУ, экономич. ф-т, 000 Про функцию fx известно, что она определена на отрезке [ 1 6 ; 6 и удовлетворяет на этом множестве системе Решить неравенство fx π 8. 1 cos fx 1 0 fx π. 1 cos f 1 = 10 x x, [ ; 6 ] 0. Олимпиада ВШЭ, 011, 11 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции fx = coscoscos x. coscos 1 и cos 1 7

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Преобразования тригонометрических уравнений

Преобразования тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Преобразования тригонометрических уравнений Данный листок является непосредственным продолжением материалов «Тригонометрические уравнения. 1» и «Тригонометрические

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими вычислениями, обычно сводятся к стандартным манипуляциям с тригонометрическими

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими вычислениями, обычно сводятся к стандартным манипуляциям с тригонометрическими

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

Функции в уравнениях и неравенствах. 1

Функции в уравнениях и неравенствах. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Функции в уравнениях и неравенствах. Монотонность....................................... Симметрия, периодичность................................

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Функции в уравнениях и неравенствах. 1

Функции в уравнениях и неравенствах. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Функции в уравнениях и неравенствах. Монотонность....................................... Симметрия, периодичность................................

Подробнее

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тригонометрические неравенства Предполагается, что читатель умеет решать простейшие тригонометрические неравенства Мы же переходим к более сложным задачам Задача

Подробнее

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг Тема: Преобразование тригонометрических выражений Тригонометрические уравнения Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Тригонометрический круг Основные тригонометрические формулы sin cos tg cos sin sin cos sin

Подробнее

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Обратные тригонометрические функции Перед этим листком следует повторить статью «Введение в аркфункции», в которой приводятся определения арксинуса, арккосинуса,

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Обратные тригонометрические функции. 2

Обратные тригонометрические функции. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Обратные тригонометрические функции. Перед этим листком следует повторить статью «Обратные тригонометрические функции.», в которой приводятся определения

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Симметрия в задачах с параметрами 1. (МГУ, ф-т почвоведения, 001 ) При каких значениях b уравнение имеет ровно один корень? tg b = log

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Свойства и график функции y=sinx. Свойства и график функции y=cosx

Свойства и график функции y=sinx. Свойства и график функции y=cosx Свойства и график функции y=sinx 1. Область определения - х R, область значений - у [- 1; 1] 2. Период - 2 ; sin(x+2π)=sinx для всех х R 3. Наименьшее значение у=-1 при х= - 2 +2 k, k Z; наибольшее - у=1

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тренировочные задачи Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 1 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 2 + 2x + a = 0 не имеет

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Условный экстремум В предыдущем листке «Область значений функции» мы, в частности, выяснили, как в некоторых случаях найти наибольшее и наименьшее значение

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан

Н.Е. ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. Учебное пособие для иностранных граждан НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на

Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на отрезке ; 2. (4 балла) Найдем значение функции на концах отрезка. При x = значение функции 4 + 3x x =, при x = 2, значение

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Иррациональные уравнения и системы Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 5 Итак, уравнение имеет два корня: x=0 и x. Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют данному уравнению. Ответ: УДК 5.(07.07) x=0 и 5 x. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ

Подробнее

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений»

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова. Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова. Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ типы задач и методы их решений Часть Тригонометрия

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Параметры. Графики. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

Параметры. Графики. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры. Графики Данный листок посвящён задачам с параметрами, в которых существенную помощь оказывает построение графиков функций или областей на координатной

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Неравенства с модулем Геометрический смысл модуля.............................. Замена переменной.................................... Перебор

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ; 2. 0 ; 4. 0

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ; 2. 0 ; 4. 0 ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Вычислите: sin 75 cos5 + cos5. sin cos75 sin 75 + sin 5. cos5 cos. cos 55 cos 5 cos5 sin 5

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тренировочные задачи Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 3 МГУ, ВМК, 003 При всех значениях параметра d решите уравнение 4 x + d 49 x = 4 4 x Олимпиада

Подробнее

Уравнения и неравенства на ММО и Всероссе

Уравнения и неравенства на ММО и Всероссе И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Уравнения и неравенства на ММО и Всероссе Данный листок посвящён задачам, которые внешне кажутся не столько олимпиадными, сколько экзаменационными. Однако

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Тригонометрические функции. Синус и косинус

Тригонометрические функции. Синус и косинус И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Синус и косинус В геометрии синус и косинус определяются как функции острого угла прямоугольного треугольника. Давайте вспомним

Подробнее

Домашняя контрольная работа. Указания к выполнению работы

Домашняя контрольная работа. Указания к выполнению работы Домашняя контрольная работа Указания к выполнению работы Для успешного выполнения контрольной работы по теме «Тригонометрические выражения. Тригонометрические уравнения» необходимо рассмотреть следующие

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos.

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos. Задача 1 Сумма трѐх положительных углов равна 90 o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего? Пусть,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90 o, все они

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ: «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ: «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Белгородский политехнический колледж» Рассмотрено на заседании

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Уравнения с модулем И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Содержание Уравнения с модулем 1 Определение модуля 1 Замена переменной 3 Перебор промежутков Равносильные переходы 5 5 Задачи 6 В данной статье мы изучаем

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Иррациональные неравенства Учёт ОДЗ.......................................... Равносильные преобразования.............................. Двукратное

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства. Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

Подробнее

Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений.

Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений. Московский физико-технический институт Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ Решение многих алгебраических уравнений, неравенств и систем упрощается, если придать входящим в них выражениям геометрический смысл. Например, изобразить

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Алгебраические уравнения с параметром.

Алгебраические уравнения с параметром. Вебинар (06-07) Тема: Тригонометрические выражения, уравнения Алгебраические уравнения с параметром ЕГЭ Профиль Подготовка к заданиям и Преобразование тригонометрических выражений Формулы приведения Вычислить

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Методы решения задач с параметром

Методы решения задач с параметром Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов»

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Подготовка к вступительным экзаменам

Подготовка к вступительным экзаменам МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть Тригонометрические уравнения

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметром. Задание 13. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения и неравенства с параметром. Задание 13. Однородные тригонометрические уравнения Вебинар 5 (6-7) Тема: Тригонометрические уравнения Уравнения и неравенства с параметром ЕГЭ Профиль Задание. Однородные тригонометрические уравнения Уравнение вида asin bcos asink bcosk называют однородным

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6. Математика класс Вариант -3-9- Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos 3π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;4π Решение а)

Подробнее

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия это ещё один вид числовой последовательности. Общее понятие последовательности мы обсудили в предыдущей

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ctgα тригонометрической окружностью. B(;1) Угол и его мера. Мера всей 1 окружности

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С Шестаков, М Галицкий, Москва УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного и половинного угла И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Формулы двойного и половинного угла Формулы двойного угла это формулы, выражающие тригонометрические функции угла α через тригонометрические функции угла

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

Подробнее

Задачи о касательных к параболам

Задачи о касательных к параболам potential_print09qxp 09007 :49 Page Потенциал 09 () 09007 Мирошин Владимир Васильевич Учитель гимназии 5 г Москва, старший преподаватель кафедры математического анализа Московского городского педагогического

Подробнее

МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В. А. Далингер МАТЕМАТИКА: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО -е издание, исправленное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим отделом среднего профессионального

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

1 sin x на некотором отрезке

1 sin x на некотором отрезке ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Решение простейших тригонометрических неравенств целесообразно осуществлять либо с использованием графика соответствующей тригонометрической функции, либо с помощью

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Исследование квадратного трехчлена

Исследование квадратного трехчлена Исследование квадратного тречлена Пусть f(x) = ax 2 + bx + c имеет действительные корни x 1 и x 2, а M какое-нибудь действительное число, D = b 2 4ас - дискриминант При решении конкретны задач нужно особо

Подробнее

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике система неравенств. Система неравенств похожа на

Подробнее

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений. Скворцова Д.А. 1.02.15 Содержание 1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее