Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве"

Транскрипт

1 Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа началом, а другая концом. Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB и изображается с помощью стрелки, идущей изaвb, см. рис Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор называется нулевым. Можно определить вектор как упорядоченную пару точек (A,B). Длиной, или модулем, вектора AB называется расстояние между точками A и B. Длина обозначается AB, или AB, или просто AB. Нулевой вектор имеет нулевую длину. Два или более векторов называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору. Два или более векторов называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Из этого определения сразу следует, что любые два вектора компланарны. Два ненулевых коллинеарных вектора могут иметь одинаковое направление или разное. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и одинаковую длину, см. рис Все нулевые векторы равны друг другу. Для обозначения равенства двух векторов используется обычный символ «=». Если точки A, B, C, D не расположены на одной прямой и никакие две из них не совпадают, то равенство AB = CD, очевидно, равносильно условию, что четырехугольник ABDC параллелограмм. Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор AB и точка A найдется, причем единственная, точка B, такая, что AB = A B. В этом случае говорят, что вектор AB отложен из точки A. Вектор может обозначаться одиночной буквой (как правило, малой латинской), например, = AB. Нулевой вектор обозначается o. Два коллинеарных вектора, имеющих одинаковую длину и направленных в разные сторо- B A AB Рис Вектор

2 B D B D A C AB = CD A C AB CD Рис Равные и неравные векторы = Рис Противоположные векторы ны называются противоположными. Вектор, противоположный, обозначается. Таким образом, AB = BA. Вектор, противоположный нулевому вектору, это сам нулевой вектор: o = o Линейные операции Определим операцию сложения векторов. Суммой векторов AB и BC называется вектор AC. Таким образом, чтобы получить сумму c векторов и, необходимо отложить вектор из конца вектора и соединить начало вектора с концом (правило треугольника); см. рис Сумма векторов и обозначается +. Другой способ найти сумму использовать так называемое правило параллелограмма: векторы и откладываются из одной точки и строится параллелограмм (если векторы и неколлинеарны), смежные стороны которого суть и. Диагональ параллелограмма, начинающаяся из начальной точки векторов и очевидно есть сумма векторов и. Определим операцию умножения вектора на скаляр. Пусть вектор, а α вещественное число (скаляр). Произведением вектора на скаляр α называется вектор, коллинеарный вектору, длина которого равна α, а направление совпадает с направлением вектора, если α > 0, и противоположно, если α < 0. Произведение вектора на скаляр α обозначается c c = + Рис Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма. 2

3 2 2 Рис Рис Доказательство коммутативности сложения геометрических векторов α или просто α. Если = o или α = 0, то считают, что α = o. Иногда вектор необходимо разделить на некоторое ненулевое вещественное число α. Под результатом такой операции, разумеется, понимается домножение вектора на 1/α: α = 1 α. Операции сложение векторов и умножения вектора на скаляр называются линейными операциями. Рассмотрим некоторые свойства этих операций. Утверждение 6.1 (Свойства линейных операций). Для произвольных векторов,, c и произвольных скаляров α, β справедливо 1. + = + (коммутативность сложения) 2. (+)+c = +(+c) (ассоциативность сложения) 3. +o = 4. +( ) = o 5. 1 = 6. α(β) = (αβ) 7. (α+β) = α+β 8. α(+) = α+α Доказательство. Доказательства свойств 1, 2 понятно из рис. 6.7, 6.6. Остальные свойства очевидны. 3

4 c +c c + (+)+c +(+c) Рис Доказательство ассоциативности сложения геометрических векторов n n Рис. 6.8 Свойство 2 (ассоциативность) позволяет распространить правило сложения векторов на произвольное число слагаемых: чтобы найти сумму n, достаточно отложить вектор 2 из конца вектора 1, затем отложить вектор 3 из конца вектора 2 и т.д. вплоть до вектора n и затем соединить начало вектора 1 с концом вектора n ; см. рис Разумеется, здесь можно было бы упомянуть и о других легко доказываемых свойствах линейных операций геометрических векторов, например, ( 1) =, 0 = o и др. Почему мы выделили отдельно упомянутые выше 8 свойств, будет ясно из дальнейшего. Введем операцию вычитания векторов. Разностью векторов и называется такой вектор c, что c+ =. Непосредственно можно проверить, что вектор c = +( ) удовлетворяет этому определению (c+ = +( )+ = +o = ) и, следовательно, является разностью. Также легко видеть, что по векторам и их разность определяется единственным образом. Действительно, пусть векторы c и c оба удовлетворяют определению разности. Тогда c+ = c +. Прибавляя к обеим частям этого равенства вектор, получим c = c. Разность векторов и обозначается. Итак, = +( ), см. рис Если и отложены из одной начальной точки, то из рисунка видно, что можно изобразить как вектор, соединяющий конец вектора с концом вектора. Часто удобно все векторы откладывать из одной точки O, называемой в этом случае полюсом. Такие векторы называются радиус-векторами. Если A некоторая точка, то вектор OA называется радиус-вектором точки A. Очевидно, что если полюс фиксирован, то между множеством всех радиус-векторов и множеством всех точек (на плоскости или в пространстве) существует взаимно однозначное соответствие. Этот факт позволяет отождествлять радиус-векторы с соответствующими им точками. 4

5 +( ) = +( ) = Рис Разность векторов α 2 e 2 e 2 O e 1 α 1 e 1 Рис Разложение вектора по базису на плоскости Базисы и аффинные системы координат Рассмотрим два некомпланарных вектора на плоскости. Будем говорить, что они образуют базис на плоскости. Теорема 6.2. Пусть e 1, e 2 образуют базис на плоскости. Тогда для любого вектора на плоскости существуют, причем единственные, скаляры α 1 и α 2, такие, что = α 1 e 1 +α 2 e 2. (6.1) Доказательство. Существование. Отложим векторы из одной точки O, см. рис Через конец вектора проведем прямую параллельно вектору e 2 до пересечения с прямой, на которой лежит e 1. Аналогично, через конец вектора проведем прямую параллельно вектору e 1 до пересечения с прямой, на которой лежит e 2. Получаем, что = α 1 e 1 +α 2 e 2 для некоторых чисел α 1, α 2. Единственность. Предположим, что имеется два разложения: = α 1 e 1 +α 2 e 2 = β 1 e 1 +β 2 e 2, откуда (α 1 β 1 )e 1 +(α 2 β 2 )e 2 = o. Если α 1 β 1, то e 1 = α 2 β 2 α 1 β 1 e 2, т.е. векторы e 1 и e 2 коллинеарны, что невозможно, так как они образуют базис. К аналогичному выводу приходим, предположив, что α 2 β 2. Следовательно, α 1 = β 1, α 2 = β 2, т.е. разложение по базису единственно. 5

6 Равенство (6.1) называется разложением вектора по базису e 1, e 2, а скаляры α 1 и α 2 координатами вектора в базисе e 1, e 2. Тот факт, что координаты вектора в базисе e 1, e 2 суть α 1 и α 2, будем записывать следующим образом: (α 1,α 2 ) или [] = (α 1,α 2 ) или (чтобы уточнить, в каком базисе заданы координаты) [] e1,e 2 = (α 1,α 2 ). Теорема 6.3. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат: если [] = (α 1,α 2 ), [] = (β 1,β 2 ), то [ + ] = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ). Координаты произведения вектора на число равны произведению координат на это число: если [] = (α 1,α 2 ), то [β] = (βα 1, βα 2 ). Доказательство. Найдем сумму векторов = α 1 e 1 + α 2 и = β 1 e 1 + β 2 e 2. Имеем + = (α 1 +β 1 )e 1 +(α 2 +β 2 )e 2. Следовательно, [+] = (α 1 +β 1, α 2 +β 2 ). Умножим вектор = α 1 e 1 +α 2 на скаляр β. Получаем = βα 1 e 1 +βα 2 e 2. Следовательно, [β] = (βα 1, βα 2 ). Совокупность некоторой фиксированной точки O (полюса) и базиса e 1, e 2 на плоскости называется (аффинной) системой координат. При этом точка O называется началом системы координат, а прямые, проходящие через O параллельно базисным векторам, ее осями. На каждой из осей задается направление, определяемое направлением соответствующего базисного вектора. Оси системы координат на плоскости традиционно называются осью абсцисс (или осью Ox) и осью ординат (или осью Oy). Координатами точки A в некоторой системе координат O, e 1, e 2 называются координаты ее радиус-вектора: [A] = [ OA ] Имеем AB = OA OB, поэтому координаты вектора равны координатам его конца минус координаты начала Ортонормированный базис и декартова система координат Вектор длины 1 называется единичным вектором. Легко видеть, что есть единичный вектор, коллинеарный вектору и соноправленный с ним. Углом между векторами OA, OB называется величина угла AOB. Говорят, что векторы и ортогональны, или перпендикулярны, есди угол между и равен π/2. Обозначение для ортогональных векторов:. Считают, что нулевой вектор ортогонален любому вектору. Базис e 1, e 2 называется ортогональным, если векторы e 1 и e 2 ортогональны. Базис e 1, e 2 называется ортонормированным, если векторы e 1 и e 2 суть ортогональные единичные векторы. Если базис e 1, e 2 ортонормированный, то система координат O, e 1, e 2 называется прямоугольной, или декартовой системой координат; см. рис Рассмотрим три некомпланарных вектора e 1, e 2, e 3 в пространстве. Будем говорить, что они образуют базис в пространстве. 6

7 y e 2 O e 1 x Рис Прямоугольная система координат на плоскости α 3 e 3 e 3 O e 2 α 2 e 2 α 1 e 1 e 1 Рис Разложение вектора по базису в пространстве Теорема 6.4. Пусть векторы e 1, e 2, e 3 образуют базис в пространстве. Тогда для любого вектора найдутся, причем единственные, числа α 1, α 2 и α 3, такие, что = α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3. (6.2) Доказательство. Существование. Отложим векторы e 1, e 2, e 3, из одной точки O; см. рис Проведем через конец вектора прямую, параллельную вектору e 3. Прямая пересечет плоскость, в которой лежат векторы e 1 и e 2, в некоторой точке. Пусть ее радиусвектор. Так как векторы e 1 и e 2 образуют базис в этой плоскости, то по теореме 6.2 вектор выражается через них, т.е. = α 1 e 1 +α 2 e 2 для некоторых чисел α 1, α 2. Далее, проведем через конец вектора плоскость параллельную векторам e 1 и e 2. Эта плоскость пересечет прямую, на которой лежит вектор e 3 в некоторой точке. Ее радиус-вектор, очевидно, коллинеарен вектору e 3 и поэтому равен α 3 e 3 для некоторого α 3. Теперь имеем = +α 3 e 3 = α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3. Единственность доказыватся аналогично доказательству единственности из теоремы 6.2 и вытекает из некопланарности базисных векторов. Представление (6.2) называется разложением вектора по базису e 1, e 2, e 3. Числа α 1, α 2 и α 3 в равенстве = α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3 называются координатами вектора в базисе e 1, e 2, e 3. Для координат вектора в базисе e 1, e 2, e 3 будем использовать следующее обозначение: (α 1,α 2,α 3 ) или [] = (α 1,α 2,α 3 ) 7

8 или (когда нужно явно указать базис) [] e1,e 2,e 3 = (α 1,α 2,α 3 ). Совокупность точки O и базиса e 1, e 2, e 3 называется (аффиннной) системой координат. В этом случае O называется началом системы координат, а прямые, проходящие через O параллельно базисным векторам, ее осями. Оси системы координат в пространстве традиционно называются осью абсцисс (или осью Ox), осью ординат (или осью Oy), и осью аппликат (или осью Oz) соответственно. На осях выбирается направление согласно направлению базисных векторов. Плоскости, проходящие через оси координат, обозначаются Oxy, Oxz, Oyz. Координатами точки A в некоторой системе координат O, e 1, e 2, e 3 называются координаты ее радиус-вектора: [A] = [ OA ] Как и для векторов на плоскости, доказывается следующее утверждение. Теорема 6.5. Если [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), то [+] = (α 1 +β 1, α 2 +β 2, α 3 +β 3 ) и [β] = (βα 1, βα 2, βα 3 ). Базис e 1, e 2, e 3 называется ортогональным, если e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 e 3. Ортогональный базис e 1, e 2, e 3 называется ортонормированным, если векторы e 1, e 2, e 3 имеют единичную длину. Если базис ортонормированный, то соответствующая система координат называется прямоугольной (или декартовой) Деление отрезка в заданном отношении Утверждение 6.6. Пусть r 1, r 2 радиус-векторы точек A, B соответственно (на плоскости или в пространстве). Для того, чтобы точка R с радиус-вектором r лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое вещественное число α, что r = (1 α)r 1 +αr 2. По точке R число α определяется единственным образом. Для того, чтобы точка R с радиус-вектором r лежала на отрезке [AB], необходимо и достаточно, чтобы существовало такое вещественное число α, что r = (1 α)r 1 +αr 2, 0 α 1. В последнем случае R делит отрезок [AB] в отношении α/(1 α). Доказательство. Точка R лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда векторы AB и AR коллинеарны, т.е. AR = α AB, (6.3) где α некоторое вещественное число. Очевидно, что разным значениям α соответсвуют разные точки R, получаемые по формуле (6.3). При этом R лежит на отрезке [AB] тогда и только тогда, когда 0 α 1. Равенство (6.3), очевидно, эквивалентно r r 1 = α(r 2 r 1 ), или, что равносильно, r = (1 α)r 1 +αr 2. Из (6.3) следует, что R делит отрезок [AB] в отношении AR RB = α AB (1 α) AB = α 1 α. 8

9 6.2. Скалярное, векторное и смешанное произведения Скалярное произведение Определим понятие угла между двумя векторами. Отложим их из одной точки, скажем A. Получим векторы AB и AC. Углом ϑ между векторами AB и AC называется BAC. Заметим, что 0 ϑ π. Если один из векторов нулевой, то угол не определен. Скалярным (или внутренним) произведением векторов и называется число, обозначаемое (,), которое равно (,) = cosϑ, где ϑ угол между и. Если один из векторов нулевой, то величина ϑ не определена, и тогда (,) = 0. Иногда скалярное произведение обозначается просто. Теорема 6.7. Для любых векторов,, c на плоскости или в пространстве и любого скаляра α справедливо 1. (,) = (,) (симметричность), 2. (+,c) = (,c)+(,c), 3. (α,) = α(,), 4. (,) 0, 4. (, ) = 0 тогда и только тогда, когда = o, 5. (, ) = 0 тогда и только тогда, когда и ортогональны, 5. (,) > 0 тогда и только тогда, когда угол между и острый, 5c. (,) < 0 тогда и только тогда, когда угол между и тупой. Доказательство. Свойства 1, 3 5 очевидны. Докажем свойство 2. Будем предполагать, что все три вектора расположены в одной плоскости. Доказательство легко модифицируется для случая векторов в пространстве. В левой части доказываемого равенства имеем (+,c) = + c cosϑ, где ϑ угол между + и c. В правой части (,c) + (,c) = c cosϕ + c cosψ = ( cosϕ + cosψ) c, где ϕ угол между и c, а ψ угол между и c. Таким образом, обе части содержат одинаковый множитель c. Сравним оставшиеся множители. Из рис. 6.13, на котором углы ϕ и ψ изображены острыми, видно, что cosϕ+ cosψ = + cosϑ Аналогично рассматриваются случаи, когда один из углов, ϕ или ψ, тупой и когда оба угла тупые. Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности скалярного произведения (по первому аргументу). Из свойства 1 (симметричность) следует также линейность по второму аргументу: (,+c) = (,)+(,c), (,α) = α(,). Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис, тогда, легко видеть, (e 1,e 1 ) = (e 2,e 2 ) = (e 3,e 3 ) = 1, (e 1,e 2 ) = (e 1,e 3 ) = (e 2,e 3 ) = 0. (6.4) 9

10 + ψ cosψ O ϑ ϕ cosϕ Рис c Теорема 6.8. Пусть e 1, e 2 ортонормированный базис на плоскости и [] = (α 1,α 2 ), [] = (β 1,β 2 ), тогда (,) = α 1 β 1 +α 2 β 2. Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис в пространстве и [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), тогда (,) = α 1 β 1 +α 2 β 2 +α 3 β 3. Доказательство. Имеем (,) = (α 1 e 1 +α 2 e 2,β 1 e 1 +β 2 e 2 ), откуда, пользуясь свойствами линейности скалярного произведения и формулами (6.4), получаем (,) = α 1 β 1 (e 1,e 1 )+α 1 β 2 (e 1,e 2 )+α 2 β 1 (e 2,e 1 )+α 2 β 2 (e 2,e 2 ) = α 1 β 1 +α 2 β 2 Доказательство для случая векторов в пространстве аналогично. Следствие 6.9. Пусть e 1, e 2 ортонормированный базис на плоскости и [] = (α 1,α 2 ) тогда = α1 2 +α2 2. Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис в пространстве и [] = (α 1,α 2,α 3 ) тогда = α1 2 +α2 2 +α3. 2 Следствие Пусть e 1, e 2 ортонормированный базис на плоскости и [A] = (α 1,α 2 ), [B] = (β 1,β 2 ), тогда AB = (α 1 β 1 ) 2 +(α 2 β 2 ) 2. Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис в пространстве и [A] = (α 1,α 2,α 3 ), [B] = (β 1,β 2,β 3 ), тогда AB = (α 1 β 1 ) 2 +(α 2 β 2 ) 2 +(α 3 β 3 ) 2. Скалярное произведение удобно использовать для вычисления углов между векторами. Так как (,) = cosϑ, где ϑ угол между и, то Отсюда, в частности, получаем cosϑ = (,). 10

11 проекция Рис Ортогональная проекция вектора на прямую O ϑ / pr Рис Ортогональная проекция вектора на прямую Следствие Пустьe 1, e 2, e 3 ортонормированный базис в пространстве, [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ) и ϑ угол между и, тогда cosϑ = α 1 β 1 +α 2 β 2 +α 3 β 3 α 2 1 +α β α β2 2 +β2 3 Аналогичное утверждение про векторы на плоскости Ортогональная проекция Ортогональной проекцией вектора на прямую называется вектор, который можно получить следующим образом. Через начало и конец вектора опускаются перпендикуляры на прямую. Точки пересечения этих перпендикуляров с прямой являются соответственно началом и концом проекции. Разумеется, вектор можно сразу расположить так, чтобы его начало лежало на прямой. Тогда достаточно провести перпендикуляр лишь через его конец; см. рис Пусть некоторый ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой). Тогда проекция вектора на прямую, определяемую направлением, равна (см. рис. 6.15) pr v = cosϑ = cosϑ = (,) 2 (,). Утверждение Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис, вектор, причем [] = (α 1,α 2,α 3 ), тогда α 1 = (,e 1 ), α 2 = (,e 2 ), α 3 = (,e 3 ). Аналогичное утверждение для векторов на плоскости. 11

12 c c Рис Правая и левая тройки векторов,,c Доказательство. В ортонормированном базисе координаты, очевидно, равны α j = cosϕ j, где ϕ j угол между векторами и e j, откуда α j = (,e j ) (j = 1,2,3). Можно дать другое доказательство. Имеем = α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3. Домножая обе части этого равенства скалярно на e j и пользуясь линейностью скалярного произведения, получаем (,e j ) = α 1 (e 1,e j )+α 2 (e 2,e j )+α 3 (e 3,e j ). Так как (e i,e j ) = 0 при i j и (e j,e j ) = 1, то из трех слагаемых в правой части остается только одно: (,e j ) = α j. Пусть e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис и, как и в доказательстве теоремы, ϕ j угол между векторами и e j (j = 1,2,3). Величины cosϕ 1, cosϕ 2, cosϕ 3 называются направляющими косинусами. Упражнение Доказать, что направляющие косинусы удовлетворяют равенству cos 2 ϕ 1 +cos 2 ϕ 2 +cos 2 ϕ 3 = 1. Аналогичное утверждение для векторов на плоскости Ориентация векторов в пространстве Упорядоченная тройка некомпланарных векторов,, c называется правой, если после того, как отложить все три вектора из одной точки, кратчайший поворот от к при наблюдении из конца вектора c происходит в направлении против часовой стрелки; см. рис В противном случае тройка некомпланарных векторов называется левой. Если две тройки векторов являются либо обе правыми, либо обе левыми, то говорят, что они имеют одинаковую ориентацию. Если одна из троек левая, а другая правая, то рассматриваемые тройки имеют противоположную ориентацию. Легко видеть, что тройка некомпланарных векторов,, c имеет ту же ориентацию, что и тройки, c,, c,, и противоположную ориентацию с тройками,, c,, c,, c,,. Базис e 1,e 2,e 3 называется правым, если тройка e 1,e 2,e 3 правая, и левым в противном случае. 12

13 [,] [,] = [,] Рис Векторное произведение O ϑ Рис Параллелограмм, построенный на векторах, Векторное и смешанное произведения Пусть и неколлинеарные векторы в пространстве. Построим вектор c, такой, что 1. c = sinϑ, где ϑ угол между и ; 2. c, c ; 3. тройка,, c правая. Правила 1, 2 определяют вектор c с точностью до двух противоположных направлений. Правило 3 уточнет, какое из направлений следует выбрать. Если и коллинеарны, то пусть c = o. Вектор c называется векторным (или внешним) произведением векторов и ; см. рис Обозначение: c = [, ]. Иногда для векторного произведения используется обозначение. Из определения сразу следует, что модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, если их отложить из одной точки; см. рис Смешанным произведением трех векторов,, c в пространстве называется число, обозначаемое (,,c), равное (,,c) = ([,],c). Иногда смешанное произведение обозначается c. Теорема Пусть,, c некомпланарные векторы в пространстве. Абсолютное значение их смешанного произведения равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,, c, если их отложить из одной точки. Доказательство. Объем параллелепипеда, построенного на векторах,, c равен V = Sh, где S площадь основания, h высота; см. рис Основанием является параллелограмм, построенный на векторах,, поэтому S = [,]. Высоту можно представить как проекцию 13

14 H c [,] Рис Абсолютное значение смешанного произведения есть объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. O вектора c на прямую, перпендикулярную плоскости, в которой лежат векторы и. Эта прямая коллинеарна вектору [,], поэтому h = OH = pr [,]. Теперь имеем V = S h = [,] OH = [,] c cosϑ = ([,], c), где ϑ угол между векторами [,] и c. Теорема 6.15 (Свойства смешанного произведения). Для любых векторов,, c, c и любого скаляра α справедливо 1. (,,c) = (,c,) = (c,,) = (,c,) = (,,c) = (c,,) 2. (,,c+c ) = (,,c)+(,,c ) 3. (,,αc) = α(,,c) 4. (,,c) = 0 тогда и только тогда, когда векторы,, c компланарны 4. (,,c) > 0 тогда и только тогда, когда тройка,, c правая 4c. (,,c) < 0 тогда и только тогда, когда тройка,, c левая Доказательство. Докажем свойство 1. Оно очевидно, если векторы,, c компланарны. Пусть теперь векторы,, c не компланарны. Параллелепипед, построенный на этих векторах, не изменится, если векторы рассматривать в другом порядке. Следовательно, не изменится и абсолютная величина смешанного произведения, однако может измениться знак. Однако знак зависит от ориентации рассматриваемой тройки векторов. Свойства 2, 3 следуют из соответсвующих свойств скалярного произведения: (,,c+c ) = ([,],c+c ) = ([,],c)+([,],c ) = (,,c)+(,,c ), (,,αc) = ([,],αc]) = α([,],c) = α(,,c). Свойства 4а, 4, 4c сразу вытекают из определения. Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности смешанного произведения (по третьему аргументу). Из свойства 1 очевидным образом вытекает линейность по первому и второму аргументам. 14

15 Теорема 6.16 (Свойства векторного произведения). Для любых векторов,, c в пространстве и любого скаляра α 1. [, ] = [, ] (антикоммутативность) 2. [+,c] = [,c]+[,c] 3. [α,] = α[,] 4. [, ] = o тогда и только тогда, когда и коллинеарны Доказательство. Свойства 1, 3 5 элементарным образом следуют из определения. Докажем свойство 2. Для этого рассмотрим вектор d = [+,c] [,c] [,c] и покажем, что он нулевой. Действительно, используя линейность скалярного и смешанного произведений, получаем откуда d = o. (d,d) = (d,[+,c] [,c] [,c]) = (d,+,c) (d,,c) (d,,c) = 0, Выражение векторного и смешанного произведений через координаты сомножителей Пусть векторыe 1,e 2,e 3 образуют правый ортонормированный базис. Нетрудно проверить, что [e 1,e 2 ] = e 3, [e 2,e 3 ] = e 1, [e 3,e 1 ] = e 2, [e 2,e 1 ] = e 3, [e 3,e 2 ] = e 1, [e 1,e 3 ] = e 2, [e 1,e 1 ] = o, [e 2,e 2 ] = o, [e 3,e 3 ] = o. Теорема Пусть e 1, e 2, e 3 правый ортонормированный базис, в котором [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), тогда [,] = (α 2 β 3 α 3 β 2 )e 1 +(α 3 β 1 α 1 β 3 )e 2 +(α 1 β 2 α 2 β 1 )e 3. Доказательство. Так как = α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3 и = β 1 e 1 +β 2 e 2 +β 3 e 3, то [,] = [α 1 e 1 +α 2 e 2 +α 3 e 3,β 1 e 1 +β 2 e 2 +β 3 e 3 ] = = [α 1 e 1,β 1 e 1 ] + [α 1 e 1,β 2 e 2 ] + [α 1 e 1,β 3 e 3 ] + + [α 2 e 2,β 1 e 1 ] + [α 2 e 2,β 2 e 2 ] + [α 2 e 2,β 3 e 3 ] + + [α 3 e 3,β 1 e 1 ] + [α 3 e 3,β 2 e 2 ] + [α 3 e 3,β 3 e 3 ] = = 0+α 1 β 2 e 3 α 1 β 3 e 2 α 2 β 1 e 3 +0+α 2 β 3 e 1 +α 3 β 1 e 2 α 3 β 2 e 1 +0 = = (α 2 β 3 α 3 β 2 )e 1 +(α 3 β 1 α 1 β 3 )e 2 +(α 1 β 2 α 2 β 1 )e 3. 15

16 Теорема Пусть e 1, e 2, e 3 базис в пространстве тогда [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), [c] = (γ 1,γ 2,γ 3 ), (,,c) = (α 1 β 2 γ 3 +α 2 β 3 γ 1 +α 3 β 1 γ 2 α 3 β 2 γ 1 α 2 β 1 γ 3 α 1 β 3 γ 2 ) (e 1,e 2,e 3 ). Если базис правый ортонормированный, то (,,c) = α 1 β 2 γ 3 +α 2 β 3 γ 1 +α 3 β 1 γ 2 α 3 β 2 γ 1 α 1 β 3 γ 2 α 2 β 1 γ 3. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы для выражения скалярного произведения через координаты векторов Определители второго и третьего порядка Рассмотрим 4 числа α 1, α 2, β 1, β 2. Из них можно составить таблицу ( α1 α 2 β 1 β 2 называемую матрицей второго порядка. По этой матрице можно вычислить число α 1 β 2 α 2 β 1, называемое определителем, или детерминантом, второго порядка. Определитель обозначается α 1 α 2 β 1 β 2 Матрицей третьего порядка называется таблица Ее определителем называется число ) α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3,. α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 = α 1 β 2 γ 3 +α 2 β 3 γ 1 +α 3 β 1 γ 2 α 3 β 2 γ 1 α 1 β 3 γ 2 α 2 β 1 γ 3. γ 1 γ 2 γ 3 Обратим внимание, что обе формулы: для определителя второго порядка и для определителя третьего порядка представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем каждое произведение составлено из элементов матрицы, которые берутся из разных строк и разных столбцов. Для определения знака, с которым входят члены определителя третьего порядка удобно использовать следующие диаграммы: 16

17 + Легко проверить, что α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3 = α 1 β 2 β 3 γ 2 γ 3 α 2 β 1 β 3 γ 1 γ 3 +α 3 β 1 β 2 γ 1 γ 2. Используя определители, можно компактно записать формулы для выражения векторного и смешанного произведений через координаты векторов. Следствие Пусть e 1, e 2, e 3 правый ортонормированный базис и [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), тогда [,] = e 1 α 2 α 3 β 2 β 3 e 2 α 1 α 3 β 1 β 3 +e 3 α 1 α 2 β 1 β 2 = e 1 e 2 e 3 α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3. Следствие Пусть e 1, e 2, e 3 базис в пространстве и тогда [] = (α 1,α 2,α 3 ), [] = (β 1,β 2,β 3 ), [c] = (γ 1,γ 2,γ 3 ), α 1 α 2 α 3 (,,c) = β 1 β 2 β 3 (e 1,e 2,e 3 ). γ 1 γ 2 γ 3 В частности, если базис правый ортонормированный, то смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов. Следствие 6.21 (Геометрический смысл определителя третьего порядка). Абсолютная величина определителя, составленного из координат трех векторов в ортонормированном базисе, равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Следствие 6.22 (Критерий компланарности векторов). Векторы,, c компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат (в любом базисе), равен нулю. Оказывается, аналогичные утверждения можно доказать и для определителей второго порядка. 17

18 Утверждение 6.23 (Геометрический смысл определителя второго порядка). Абсолютная величина определителя, составленного из координат двух векторов на плоскости в ортонормированном базисе, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Доказательство. Пусть e 1, e 2 ортонормированный базис, в котором векторы и имеют координаты (α 1,α 2 ), (β 1,β 2 ) соответственно. Можно считать, что плоскость, в которой располагаются векторы, находится в пространстве и e 3 единичный вектор, ортогональный этой плоскости. Тогда e 1, e 2, e 3 ортонормированный базис в пространстве. В нем векторы и имеют координаты (α 1,α 2,0), (β 1,β 2,0) соответственно. Имеем e 1 e 2 e 3 [,] = α 1 α 2 0 β 1 β 2 0 = e 3 α 1 α 2 β 1 β 2 Площадь параллелограмма, построенного на векторах,, равна модулю этого векторного произведения, т.е. абсолютному значению определителя α 1 α 2 β 1 β 2. Заметим, что можно дать простое «планиметрическое» доказательство, не использующее понятие векторного произведения и не выводящее за пределы плоскости, в которой расположены векторы,. Утверждение 6.24 (Критерий коллинеарности векторов). Векторы, на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат (в любом базисе), равен нулю. Доказательство. Равенство нулю определителя очевидно, эквивалентно равенству α 1 α 2 β 1 β 2 = α 1β 2 α 2 β 1 = 0, α 1 β 1 = α 2 β 2 (случаи, когда в знаменателях стоят нули, рассматриваются отдельно), которое, в свою очередь, эквивалентно коллинеарности векторов (α 1,α 2 ), (β 1,β 2 ). Пример Найдем векторное произведение [, ], если (1, 2, 3), (3, 4, 2) (в правом ортонормированном базисе) e 1 e 2 e 3 [,] = = ( )e 1 ( )e 2 +( )e 3 = 8e 1 +7e 2 2e Таким образом, координаты [, ] суть ( 8, 7, 2). 18.

19 C A A ϑ Рис D B B H C A Рис Пример Найдем площадь S треугольника ABC, если A(0,1,2), B(2,4,3), C( 1,3,0) (в прямоугольной системе координат); см. рис ТреугольникиABC и A BC равны. Следовательно, площадь треугольникаabc равна половине площади параллелограмма ABA C: S = 1 2 AB AC sinϑ = 1 [ AB, AC ]. 2 Так как [ AB ] = (2,3,1), [ AC ] = ( 1,2, 2), то [ AB, e 1 e 2 e 3 AC ] = = 8e 1 +3e 2 +7e 3. Таким образом, координаты произведения [ AB, AC ] суть ( 8,3,7). Его модуль равен ( 8) = Итак, S =. 2 Пример Найдем смешанное произведение векторов (1, 2, 3), c(4, 5, 7), ( 2, 3, 4) (базис правый ортонормированный) (,,c) = = 1 5 ( 4)+2 7 ( 2)+3 4 ( 3) 3 5 ( 2) 2 4 ( 4) 1 7 ( 3) = Пример Найдем объемv тетраэдраabcd, если A(1,1,1),B(1,2,3),C(0,2,1),D(3,2,1) (система координат прямоугольная); см. рис Объем равен V = 1 3 Sh, где S = 1 [ AB, AC ] площадь треугольника 2 ABC, h = DH = pr AD высота тетраэдра. Следовательно, [ AB, AC ] V = 1 ( 6 ) AB, AC, AD 19

20 B C A B C A Рис Так как AB (0,1,2), AC ( 1,1,0), AD (2,1,0), то Следовательно, V = 1. ( AB, AC, AD ) = = 6. Пример Найдем объем V призмы ABCA B C, если A(1,1,1), B(2,4,3), C(3, 2,2), A (3,4,2) (система координат прямоугольная); см. рис Так как V = 1 2 ( ) AB, AC, AA, AB (1,3,2), AC (2, 3,1), AA (2,3,1), то Поэтому V = 9. ( AB, AC, AD ) = = 18. Выражение [[, ], c] называется двойным векторным произведением. Утверждение [[,],c] = (,c) (,c). Доказательство. Простой, но длинный способ доказательства утверждения ввести произвольный правый ортонормированный базис, перейти к координатам векторов и воспользоваться формулами для выражения скалярного и векторного произведений через координаты. Можно сократить такое доказательство, если выбрать базис специальным образом. Пусть e 1, e 2, e 3 правый ортонормированный базис, такой, что e 1 коллинеарен вектору v, а e 2 компланарен векторам и c. Имеем Откуда [,] = α 1 β 2 e 3 и, следовательно, = α 1 e 1, = β 1 e 1 +β 2 e 2, c = γ 1 e 1 +γ 2 e 2 +γ 3 e 3. [[,],c] = [α 1 β 2 e 3,γ 1 e 1 +γ 2 e 2 +γ 3 e 3 ] = α 1 β 2 γ 1 e 2 α 1 β 2 γ 2 e 1. 20

21 С другой стороны, (,c) (,c) = α 1 γ 1 (β 1 e 1 +β 2 e 2 ) (β 1 γ 1 +β 2 γ 2 )α 1 e 1 = α 1 β 2 γ 1 e 2 α 1 β 2 γ 2 e 1. Мы видим, что левая и правая части доказываемого равенства совпадают. Упражнение Доказать, что [,] 2 = (,) (,) (,) (,). Упражнение Доказать, что (,,c) 2 = (,) (,) (,c) (,) (,) (,c) (c,) (c,) (c,c). Пример Найдем объем параллелепипеда ABCDA B C D, если AB = 1, AD = 2, AA = 3, BAD = π/4, A AB = π/6, A AD = π/3. Обозначим = AB, v = AD, c = AA Легко вычисляются попарные скалярные произведения этих векторов, так как известны их длины и углы между ними: (,) = 1, (,) = 4, (c,c) = 3, (,) = 2, (,c) = 3/2, (,c) = 3. Осюда, воспользовавшись результатом упражнения 6.32, находим квадрат смешанного произведения: 1 2 3/2 (,,c) 2 = /2 = Таким образом, объем параллелепипеда равен

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: {

1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: { ЛЕКЦИЯ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ 1. Определители второго порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных x и y: { a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 (1.1) Здесь

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее