Численная модель дифракции плоской электромагнитной волны на осесимметричном параболическом рефлекторе

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Численная модель дифракции плоской электромагнитной волны на осесимметричном параболическом рефлекторе"

Транскрипт

1 Вісник Харківського національного університету 6 6 УДК 59.7; 59.7 Численная модель дифракции плоской электромагнитной волны на осесимметричном параболическом рефлекторе С. В. Жученко Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина Украина В статье предлагается метод численного выделения особенностей в гиперсингулярных уравнениях возникающих в трёхмерной задаче дифракции электромагнитного поля на аксиальносиметричных поверхностях. Приводятся результаты решения одной задачи а с их помощью проводится вычисление электромагнитных полей непосредственно возле рефлектора вдоль его оси. Приведены графики мощности излучения в дальней зоне. Ключевые слова: гиперсингулярное интегральное уравнение численное решение компьютерный эксперимент задача дифракции. В статті пропонується метод чисельного виділення особливостей в гіперсингулярних рівняннях виникаючих в тримірній задачі дифракції електромагнітного поля на аксиальносиметричних поверхнях. Приводяться результати рішення однієї задачі а з їх допомогою здійснюється обчислювання електромагнітних полів безпосередньо біля рефлектора уздовж його осі. Приведені графіки потужності випромінювання в дальній зоні. Ключові слова: гіперсингулярне інтегральне рівняння чисельний розв язок метод виділення особливостей задача дифракції. I he paper was proposed ehod of he uercal deachg fro he sgular hper sgular euao of arsg o hree-desoal ask of he dffraco elecroagec feld owards aall serc surface. The dgal epere was coduced b eaple he aheacal odel of he dffraco elecroagec wave upo he perfecl coducg reflecor. Preseed of he dagras esso power o far-feld radao Ke words: hper sgular egral euaos uercal soluo copuer-based epere dffraco proble.. Истоки исследования автора Такая модель дифракции электромагнитного поля на волноводах вращения использовалась автором и ранее например она подробно представлена в совместном с профессором Щербиной В.А. докладе на симпозиуме МДОЗМФ года или в статье в журнале «Вестник Харьковского университета» в 7 году. Однако ранее возникающее в задаче гиперсингулярное интегральное уравнение решалось без выделения сингулярной и логарифмической особенностей. Численное решение задачи о дифракции электромагнитной волны на параблическом рефлекторе было проведено с использованием такого выделения особенностей. Предлагается технология численного выделения таких особенностей и проводится решение ряда задач. Жученко С. В.

2 64 Серія «Мат. моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління». Постановка задачи Поверхность рефлектора S получается вращением параболы r z вокруг оси z. Параметризацию этой поверхности можно представить в виде: z z + ze r z e. z Здесь e cos e + s e r z R + L z L.. L Линии главных кривизн это меридианы и параллели поверхности. Координаты на поверхности S резонатора: вдоль параллели это угол вращения образующей вокруг оси z а вдоль меридианы это координата z. z + e e z единичные вектора касательных к + z паралелям и меридианам поверхности соответственно z нормаль к поверхности S. В рассматриваемой модели электрическое поле дифракции на рефлекторе S представляется выражением: p e E K ds S где z u z + v z z касательное векторное поле искомого решения на S K k + k. Здесь k k главные кривизны поверхности S. Полное поле представляется в виде суммы векторов E E + E где E плоская волна распространяющаяся вдоль оси z в R. Стационарное поле дифракции представленное в виде интегрального выражения удовлетворяет дифференциальному уравнению Гельмгольца ω E + p E{ } Ω R \ S p c и дифференциальному уравнению электростатики E Ω. Кроме того выражение удовлетворяет условию излучения на бесконечности k e E C + O при. 4 На идеально проводящем экране рефлектора полное поле должно удовлетворять условию E что даёт для неизвестного поля S краевое условие на S вида []:

3 Вісник Харківського національного університету 6 65 p ε e l K ds E 5 ε S ε где ε + ε S. Как показано в [] представление для искомого касательного поля решения в виде J K обеспечивает существование l для любого гладкого поля не зависимо от знака ε. предела ε Касательные к поверхности S вектора в правой и левой части выражения 5 проектируются на касательные к той же поверхности вектора и. В результате получается система из двух скалярных гиперсингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных скалярных функций u и v : p e J ds E 6 S Здесь понимается в смысле предела по ε как это представлено в 5.. Численный метод выделения особенностей Поскольку S поверхность вращения то естественно ядра интегральных уравнений а с ними и искомые функции u v разложить в ряды Фурье по переменной. Можно показать что в этом случае система 6 превратится в бесконечную цепочку независимых друг от друга систем гиперсингулярных интегральных уравнений для различных гармоник рядов Фурье искомых u функций u v то есть пар функций от z ± ± вида v K K u f z. 7 K K v f z Для численного моделирования решений системы 6 её сведение к системе 7 даёт важное преимущество поскольку искомые функции u v зависят от одной переменной z. Чтобы провести эту процедуру согласно методу дискретных особенностей на оси z по высоте параболического рефлектора вводится неравномерная сеть точек координаты которых определяются по формуле

4 66 Серія «Мат. моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління» z L cos π L. Здесь L высота рефлектора а cos π представляют собой различных нулей многочлена Чебышева ΙΙ -го рода степени т.е. U []. Через эти точки проводятся плоскости перпендикулярные оси z которые на поверхности рефлектора образуют круговые сечения. В этих сечениях распологаются неподвижные точки или как их ещё называют точки наблюдения r z а также и точки интегрирования r cos r s z [ π π ]. Именно по этим сечениям проводится разложение подинтегральных выражений в ряды Фурье. Кроме того когда точка наблюдения располагается в сечении где производится интегрирование по кругу при определении коэффициентов Фурье то есть когда при в ядре возникают особенности которые выделяются численно. Для этого в левой части уравнения 6 отдельно рассматриваются интегралы отвечающие потенциалам простого: p e. K ds 8 S и двойного p e. ds 9 S слоёв при ε см. формулу 5. Чтобы избежать деления на нуль в обеих интегралах смещаем вдоль касательной z точку наблюдения на небольшую экспериментально подобранную величину δ. В результате точка наблюдения получает координаты + δ z. Ядра интегралов 9 отвечающие потенциалу двойного слоя при представляются в виде C где C непрерывные функции. Чтобы оценить их в окрестности особенности умножаем эти ядра на δ в случае когда определена при и полученные постоянные обозначим через C. Эти постоянные используются для выделения гиперсингулярных особенностей для

5 Вісник Харківського національного університету 6 67 C [] [] чего проводится интегрирование по углу выражений по обычным формулам прямоугольников но с переменным шагом. Для малых значений угла этот шаг чрезвычайно мал а затем по мере удаления от точки он постепенно увеличивается. Это интегрирование проводится в экспериментально подобранном интервале [ ]. Вычисленные значения и будут искомыми гиперсингулярными особенностями в данном сечении обозначим их через f для соответственно. Эти особенности будут использоваться при интегрировании вдоль оси z то есть в интегралах f [ ] s d при ;. Весовая функция используется при интегрировании вдоль оси z во всех интегралах задачи для выполнения условий Майкснера в вершине и на краю параболоида. Это условие > увеличение обеспечивает ограниченность получаемого решения. При значения интеграла практически прекращается и становится меньшим наперёд заданной величины eps ввиду удалённости от точки поэтому интегрирование по оставшейся части окружности относится к регулярной составляющей интеграла. По аналогичной методике проводится и выделение сингулярных особенностей в интеграле 8 отвечающем за потенциал простого слоя где подинтегральное выражение в окрестности особенности представляется в виде B. Чтобы оценить непрерывную функцию B в этой окрестности при z ядро этого интеграла умножаем на δ. Сингулярные особенности вычисленные для интегралов отвечающих за потенциал простого слоя обозначим как p для соответственно. Особенности будут использоваться при интегрировании вдоль оси z в p интегралах d. Впрочем эти особенности будут ещё s корректироваться. Дело в том что при вычислении гиперсингулярных особенностей в окрестности угла [ ] мы предполагали что функции C постоянны и равны C. Это видимо не так поэтому эту неточность будем компенсировать с помощью выделения сингулярной особенности в интеграле 9. Для этого выражение

6 68 Серія «Мат. моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління» [] [] C C интегрируется на том же интервале ] [ и полученные значения будут добавлены к сингулярным особенностям p. Неточности имевшие место при выделении особенностей в интеграле 8 тоже будут учтены за счёт выделения логарифмической особенности. Для этого выражение [] [] l / B B интегрируется на том же интервале ] [. Полученные значения будут обозначены как l и будут использованы при интегрировании по оси z в выражениях d sl l при. Когда ядра интегралов 8 и 9 будут регулярными функциями поэтому интегрирование по кругу будет проводиться без выделения особенностей. Из вычисленных значений регулярных интегралов R необходимо вычесть значения гиперсингулярных сингулярных и логарифмических ядер в данном сечении. В результате получается формула. l l p f R R Здесь и нули многочлена Чебышева ΙΙ -го рода степени. В нашей формуле определяет сечение рефлектора по которому проводилось интегрирование по кругу а сечение в котором расположена точка наблюдения. 4. Алгоритм решения задачи и результаты пробных вычислений После выделения особенностей для всех выделеных сечений на каждой неподвижной точке проводится разложение в ряд Фурье регулярных составляющих ядер интегральных уравнений. В результате получаются

7 Вісник Харківського національного університету 6 69 интегральные уравнения 7. Операторы K ; для каждой гармоники в 7 имеют вид: II II w Af + Γ p + L l P R K + где Af 8 f w π с выделенными особенностями f... Γ p π p w с особенностями p... II L l l l w π d гиперсингулярный оператор d сингулярный оператор d оператор с логарифмическим ядром и особенностями l... II P R R w π Γ d регулярный оператор. После применения квадратурных формул [] ко всем операторам одной гармоники для каждой неподвижной точки получаем линейных алгебраических уравнения относительно неизвестных коэффициентов Фурье решения. Используемое в формулах выражение w w и является искомым решением u или v в формуле 7. Когда вычисления проведены для всех неподвижных точек данной гармоники будет получена система линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов Фурье u v.... Для испытания данной методики было проведено решение этой задачи для рефлектора радиусом метр с вершиной расположенной на оси z в точке с координатой -.5 метра. Край рефлектора расположен в перпендикулярном к оси z сечении проходящем через точку z равную +.5 метра. Таким образом L - высота рефлектора равна.5 метра. Частотой плоской волны полагалась равной Ггц. В случае плоской волны распространяющейся вдоль оси вращения рефлектора не нулевыми будут только две гармоники: ±. На рис. и представлены графики решения реальной и мнимой составляющих решений u и v для таких гармоник соответственно. На первых двух графиках рис. представлены вычисленные с использованием этих решений реальные и мнимые составляющие распределения первой компоненты вектора напряжённости электрического поля дифракции E вдоль оси вращения z на интервале.[- м+.5м]. Другие два z

8 7 Серія «Мат. моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління» графика представляют распределение реальных и мнимых составляющих напряжений в плоской волне E на том же интервале. z Рис.. Решение для гармоники. Рис.. Решение для гармоники -.

9 Вісник Харківського національного університету 6 7 Рис. Распределение E и E вдоль оси z. Рис. 4. Графики распределения мощности излучения в дальней зоне в двух ортогональных сечениях. ЛИТЕРАТУРА.. Щербина В.А. Дифракция электромагнитных волн на разрезе в R // Электромагнитные явления Т. 4. С Гандель Ю.В. Лекции о численных методах для сингулярных интегральных уравнений. Учебное пособие. Ч.. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Харьков: Издательство Харьковского национального университета.. 9 с. Надійшла.6..

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой

Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой Вісник Харківського національного університету 89, УДК 539.3:533.6 Интеграл в смысле конечной части по Адамару для функций, заданных на разомкнутой кривой И. Ю. Кононенко, Е. А. Стрельникова Харьковский

Подробнее

Дифференциальные характеристики кривых линий

Дифференциальные характеристики кривых линий Лекция 6. Кривые линии Кривая линия (или просто кривая) - это геометрическое место точек, координаты которых являются функциями одной переменной. Если уравнение кривой в декартовой системе координат алгебраическое,

Подробнее

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов

РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР И. С. Ахмедьянов УДК 59. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО МЕТОДУ КВАДРАТУР 7 И. С. Ахмедьянов Самарский государственный аэрокосмический университет Рассматривается применение

Подробнее

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов Глава. Методы расчета характеристик рассеяния объектов.4.1.1. Основные математические соотношения для расчета электромагнитного поля, рассеянного электрически большой зеркальной антенной с радиопоглощающим

Подробнее

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1)

4. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид (4.1) 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Для неподвижных зарядов уравнения электромагнитного поля принимают вид ot E, div E ρ (4 Безвихревой характер поля позволяет ввести скалярный потенциал электрического поля: E gad, для которого

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам:

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам: Л.А. Данилова ( )() известных коэффициентов c ( ) в нулевой итерации которого полагается ( ) C ( ). После нахождения искомых коэффициентов разложения определяются дополнительные напряжения на всех контурах

Подробнее

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 13-е изд. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. ОГЛАВЛЕНИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Подробнее

3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром.

3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром. 3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром. Речь пойдет об интегралах H 3. l s L 3. В первом разделе выведены квадратурные

Подробнее

E(r) = W = 1. q i ϕ k = 1 ( (6) = 1

E(r) = W = 1. q i ϕ k = 1 ( (6) = 1 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 8 Электростатика в среде Уравнения Максвела в однородной среде с диэлектрической проницаемостью в дифференциальной форме имеют вид: div D = 4πρ своб, rot E =

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕРИАЛЫ. II Всероссийской молодежной научной конференции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕРИАЛЫ. II Всероссийской молодежной научной конференции МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕРИАЛЫ II Всероссийской молодежной научной конференции «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ,

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Тема 5 Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Объемное напряженное состояние. 6. Главные напряжения и главные площадки. 6. Площадки экстремальных касательных напряжений. 6. Деформированное

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов

Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов Лекц ия 4 Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов Вопросы. Работа сил поля при перемещении зарядов в электрическом поле. Потенциал электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического

Подробнее

8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ 8 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ Рассмотрим электромагнитное поле движущегося произвольным образом точечного заряда Оно описывается запаздывающими потенциалами которые запишем в виде

Подробнее

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость.

Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Лекция 4. Идеальная несжимаемая жидкость. Жидкость называется идеальной, если коэффициенты вязкости равны нулю. Предположим, что ρt, x является константой. Тогда уравнения, описывающие движение идеальной

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

E 0 e -i t. rot E = 1 c. c div D = 0, c 2. z 2 + k2 E = 0, 2 E

E 0 e -i t. rot E = 1 c. c div D = 0, c 2. z 2 + k2 E = 0, 2 E 1 Квазистационарные явления 1 1 Квазистационарные явления Урок 6 Скин-эффект Базовые решения - плоскость, шар, цилиндр 11 (Задача 676)Полупространство Z заполнено проводником с проводи- E e -i t мостью

Подробнее

IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики

IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики IX Электростатика. Метод суперпозиции и теорема Гаусса. Диэлектрики Обладать зарядом - одно из свойств материи, такое же, как обладать массой. Заряженные тела создают вокруг себя особый вид материальной

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21 1 ЛЕКЦИЯ 21 Электростатика. Медленно меняющиеся поля. Уравнение Пуассона. Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Напряженность электрического поля системы зарядов.

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

Лабораторная работа 13. Измерение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли и исследование магнитного поля кругового тока

Лабораторная работа 13. Измерение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли и исследование магнитного поля кругового тока Лабораторная работа 13 Измерение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли и исследование магнитного поля кругового тока Цель работы: измерить горизонтальную составляющую индукции магнитного поля

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

r12 q r rik r i r 3 r i. 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

Контрольные задания по теоретической механике для студентов заочной формы обучения

Контрольные задания по теоретической механике для студентов заочной формы обучения Контрольные задания по теоретической механике для студентов заочной формы обучения . Статика Ст- Ст-.Найти опорные реакции в опорах и и реакции в шарнире..найти опорные реакции в опорах и и реакции в шарнире.

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Подробнее

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ SS 995-4565 Вестник РГРТУ Вып 3 Рязань 8 УДК 5964 АА Фефелов ОЦЕНКА КВАЗИСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Подробнее

УДК СТРУКТУРА АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

УДК СТРУКТУРА АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ УДК 5.86 СТРУКТУРА АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПАРАБОЛОИДНЫХ ФОКУСИРУЮЩИХ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В. И. БОРИСОВ, С. С. СЕРГЕЕВ, А. П. МАГИЛИНСКИЙ, Е. Н. ПРОКОПЕНКО ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Подробнее

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г.

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г. Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский ЕГ e-m uov@rmerru Произвольное тело можно преобразовать с помощью ортогонального преобразования сохраняющего углы в сферическое

Подробнее

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 564

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электростатика Лекция 21 ЛЕКЦИЯ 21 ЛЕКЦИЯ 21 Электростатика. Медленно меняющиеся поля. Условия медленно меняющихся полей. Уравнение Пуассона. Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Потенциал поля системы зарядов. Напряженность

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения

Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения Лекция 8. Поверхности. Поверхности вращения Поверхность это множество точек пространства, координаты которых являются функциями двух параметров. Поверхность можно получить в результате перемещения в пространстве

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции.

3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции. 1 3.6. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции. 3.6.1.Поток вектора магнитной индукции. Как и любое векторное поле, магнитное поле может быть наглядно представлено с помощью линий вектора магнитной

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения

Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 68 www.a.ru/scece/rudy/ УДК 537.87+6.37 Решение задачи рассеяния на протяженных цилиндрических телах различного сечения Гиголо А. И. * Кузнецов Г. Ю. ** Московский

Подробнее

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ (38)

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ (38) СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. - 004. - 4(38). - 3-8 УДК 61.313.3 АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ НА БАЗЕ ОДНОЙ КУСОЧ- НО-НЕПРЕРЫВНОЙ СОБСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ А.В. БЛАНК Рассматривается

Подробнее

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, v.tukov@gal.co Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов Предварительные сведения из математики Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними. a b = a

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ЛЕКЦИЯ 9 ФОРМУЛЫ БИНЕ. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ГЕОМЕТРИЯ МАСС Рис. 9.1 Рассмотрим движение точки в центральном поле сил. Точка P массой m движется h] под действием силы вида F = F (R) h], то есть модуль силы

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

Тема 2. Дополнительные характеристики электростатического поля. Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля

Тема 2. Дополнительные характеристики электростатического поля. Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля Тема 2 Дополнительные характеристики электростатического поля П1 Потенциал П2 Разность потенциалов П3Поток ЭСП П4Циркуляция ЭСП П5Закон Гаусса для ЭСП Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности

Подробнее

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА 36 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2011. Т. 52, N- 6 УДК 532.5: 533.6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛОГ ФОРМУЛ СОХОЦКОГО ПЛЕМЕЛЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ КРЫЛА Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики

Подробнее

Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ

Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ Вестник ПГТУ. Механика. 9. 5 УДК 539.3: 534. Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ Предлагается

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

УДК В. Д. М о р о з о в а, Т. Ю. М и х а й л о в а ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

УДК В. Д. М о р о з о в а, Т. Ю. М и х а й л о в а ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ УДК 517.3 В. Д. М о р о з о в а, Т. Ю. М и х а й л о в а ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ В терминах теории функций комплексного переменного представлены возможности

Подробнее

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность электрического поля величина, численно равная

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов

ρ вых ρ вх ρ = ρ 1 (ϕ) α ρ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойных интегралов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 005 г 0 Труды ФОРА НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ИН Жукова Адыгейский государственный университет, г Майкоп Методами классической электродинамики

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Дифракция плоской монохроматической волны на предканторовых решетках

Дифракция плоской монохроматической волны на предканторовых решетках Дифракция плоской монохроматической волны на предканторовых решетках Варшавская Н.А., Гандель Ю.В. Харьковский Государственный Университет 6077, Украина, Харьков, пл. Свободы 4 e-mail: gandel@ilt.kharkov.ua

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА БЕСКОНЕЧНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ, НАХОДЯЩЕМСЯ ПОД ПЛОСКОЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА БЕСКОНЕЧНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ, НАХОДЯЩЕМСЯ ПОД ПЛОСКОЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ III Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» ИРЭ РАН, 6-30 октября 009 г ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА БЕСКОНЕЧНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ, НАХОДЯЩЕМСЯ ПОД ПЛОСКОЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

2 Электричество. Основные формулы и определения. F = k q 1 q 2 / r 2, где k - коэффициент пропорциональности, r расстояние между зарядами.

2 Электричество. Основные формулы и определения. F = k q 1 q 2 / r 2, где k - коэффициент пропорциональности, r расстояние между зарядами. 2 Электричество Основные формулы и определения Сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q 1 и q 2 вычисляется по закону Кулона: F = k q 1 q 2 / r 2, где k - коэффициент пропорциональности,

Подробнее

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R) . Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов Глава. Методы расчета характеристик рассеяния объектов зеркальной антенны за счет выбора материала и толщины РПП кромок зеркала в конкретном диапазоне углов облучения..4.. Расчет характеристик рассеяния

Подробнее

29. Векторный анализ первого порядка (теория поля)

29. Векторный анализ первого порядка (теория поля) 9 Векторный анализ первого порядка (теория поля) Пусть каждой точке какого-либо реального множества E трёхмерного пространства соответствует число U ( ) или вектор F ( ) В этом случае говорят о скалярном

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1. В.А. Коробицын. Томский государственный университет. УДК 59.63 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В.А. Коробицын Томский государственный университет. Методом базисных операторов построены согласованные осесимметричные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z

= 0. (1) E 2z. ϕ(x, y, z) = f 1 (x) f 2 (y) f 3 (z). (3) f 1 (x) + f ) f 3 (z) f. f 3 (z) = γ2. f 3 (z) = Ae γz + B e γz. f 1 (x) = γ2 1, z=0 E 1z 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 6 Разделение переменных в декартовых координатах 1.1. (Задача 1.49) Плоскость z = заряжена с плотностью σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), где σ, α, β постоянные.

Подробнее

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов

Глава 2. Методы расчета характеристик рассеяния объектов Глава. Методы расчета характеристик рассеяния объектов ческих размеров (каковым является, например, самолет весьма сложно провести достаточно мелкое разбиение поверхности. В этом случае приходится удовлетворяться

Подробнее

Давление и импульс электромагнитных волн. Давление электромагнитной волны на поверхность идеального проводника

Давление и импульс электромагнитных волн. Давление электромагнитной волны на поверхность идеального проводника 1 Давление и импульс электромагнитных волн Давление электромагнитной волны на поверхность идеального проводника 1. Электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, оказывают на них давление. Это

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

) (Плотность линий поля E ) ~ E, здесь ds

) (Плотность линий поля E ) ~ E, здесь ds Экзамен. Линии электрического поля E. Линия векторного поля это линия, касательная в каждой точке к которой совпадает с направлением векторного поля. В физике к линиям поля есть дополнительное требование.

Подробнее

3.3. Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля

3.3. Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ 3.. Работа сил электростатического поля 3.. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля 3.3.

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ к самостоятельной работе студентов по курсу «Физика СВЧ» 1. Элементы теории поля

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ к самостоятельной работе студентов по курсу «Физика СВЧ» 1. Элементы теории поля ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ к самостоятельной работе студентов по курсу «Физика СВЧ» 1 Элементы теории поля 11 Подсчитать поток вектора A = 5/ rlr сквозь сферическую поверхность радиуса r = Центр сферы совпадает

Подробнее

= q r 2 r 1. r 1 r 2. a q -q. 2r 3 2r 3. (r 2 r 1 ) (r 2 + r 1 ) = r2 2 r1. ϕ d = rp r 3, ϕ = Q R + Rd R, 3 R 3

= q r 2 r 1. r 1 r 2. a q -q. 2r 3 2r 3. (r 2 r 1 ) (r 2 + r 1 ) = r2 2 r1. ϕ d = rp r 3, ϕ = Q R + Rd R, 3 R 3 . Электростатика. Электростатика Урок 3 Диполь.. (Задача.7 из задачника) Найти потенциал и напряженность поля диполя с дипольным моментом p. Решение Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Уравнения электромагнитного поля в отсутствие источников поля ( ρ = 0, j = 0) могут быть сведены к уравнениям

6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Уравнения электромагнитного поля в отсутствие источников поля ( ρ = 0, j = 0) могут быть сведены к уравнениям 6 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Уравнения электромагнитного поля в отсутствие источников поля ( ρ = 0 j = 0) могут быть сведены к уравнениям 1 1 H E = 0 H = 0 (61) c t c t Эти уравнения представляют собой волновые

Подробнее