Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Math-Net.Ru Общероссийский математический портал"

Транскрипт

1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Э. М. Габидулин, Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием, Пробл. передачи информ., 1985, том 21, выпуск 1, 3 16 Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: февраля 2018 г., 18:19:21

2 ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ Том XXI 1985 Вып. 1 УДК ТЕОРИЯ КОДОВ С МАКСИМАЛЬНЫМ РАНГОВЫМ РАССТОЯНИЕМ Габидулин Э. М. Рассматриваются коды над GF(q N ). Вводится новая метрика, названная ранговой: нормой вектора х= (xi,..., х п ) называется максимальное число его координат, линейно независимых над GF(q). Для этой метрики строится теория, аналогичная теории кодов МДР. Описаны коды с максимальным ранговым расстоянием, найден их спектр, приведены алгоритмы кодирования и декодирования. 1. Введение Большинство работ по алгебраической теории кодирования посвящено метрике Хэмминга. Однако представляют интерес и другие метрики, так как метрика Хэмминга не всегда хорошо согласуется с характеристиками реальных каналов. В статье вводится новая метрика, названная ранговой. Пусть Х п тг-мерное векторное пространство над полем GF(q N ) 1 q степень простого числа. Пусть и и и 2,..., u N некоторый фиксированный базис поля GF(q N ), рассматриваемого как векторное пространство над GF(q). Любой элемент xfigf(q N ) однозначно представляется в виде Xi : =a ii u J n l ra2iu a N iu N. Пусть A N означает совокупность всех (NXn)- матриц с элементами из GF(q). Зададим биекцию A: X n n -+A N правилом: для любого вектора х= = \Х^ Хчч..., Х п ) #11 #12... #1 П (1) А(х) #21 #22 #2п I #ivi #iv2 a Nn \ Рангом вектора х над GF(q) называется ранг матрицы А(х). Другими словами, ранг вектора это максимальное число его координат, линейно независимых над GF(q). Ранг х над GF(q) будет обозначаться г(х; q). Аналогично рангом (гх/г)-матрицы Н с элементами из GF(q N ) над GF(q) называется максимальное число столбцов, линейно независимых над GF(q). Будем обозначать его г(н; q). Очевидно, r(h; g)^r(h; q N ). Отображение x->r(x; q) задает норму на Х п. Действительно, r(x; q)>0, Vx^X n и r(x; q) =0 тогда и только тогда, когда х=0. Кроме того, г(х+у; g)<r(x; g)+r(y; q) по известному свойству матриц. Наконец, если для a^gf(q N ) положить а =0 при а=0 и # =1 при афо, то г(ах; q) = \a\r(x, q), так как умножение вектора на ненулевой элемент поля не меняет соотношений линейной зависимости между его координатами. Норма r(x; q) задает на Х п ранговую метрику (ранговое расстояние): d(x, y)=r(x-y; q). Далее используется стандартная терминология теории кодирования. 3

3 4 Габидулин Э. М. Код Зй объема М это произвольное множество {х и х 2,..., х м } векторов из Х п. Кодовое расстояние d=d($r) =mm d(x t -, Xj), г^/. Линейный код или (тг, ft)-код это подпространство Х п размерности к. В статье излагается теория кодов, исправляющих ранговые ошибки, для случая n^n. Описаны конструкции кодов, имеющих при заданном d максимально возможный объем. Определен спектр этих кодов. Описаны алгоритмы кодирования и декодирования. 2. Коды с максимальным ранговым расстоянием Для оценок мощности кодов полезна следующая элементарная Лемма 1. Пусть на Х п заданы две нормы г 4 и г 2, причем ^(х)^ <r 2 (x), Vx. Пусть Mi(n, d) и М 2 {п, d) наибольшие мощности кодов t, расстоянием d в соответствующих метриках. Тогда М ± (п, d)<m 2 (n, d). Действительно, любой код мощности М с расстоянием d в метрике г 4 является кодом той же мощности с расстоянием d'^d в метрике г 2. Следствие. Для любого линейного {п, к)-кода ранговое расстояние удовлетворяет неравенству (2) d<n-k+i. Действительно, выберем r l =r(x; q) и r 2 =r H (x), где г н норма Хэмминга. Очевидно, г(х; q)^r H (x). Тогда (2) следует из леммы 1 и соответствующего неравенства для метрики Хэмминга. Коды, для которых в (2) достигается равенство, называются кодами с максимальным ранговым расстоянием (кодами МРР). Теория таких кодов во многом аналогична теории кодов МДР для метрики Хэмминга [1]. Пусть Н проверочная, a G порождающая матрицы линейного (п, к) -кода WI. Теорема 1. Код Ш имеет ранговое расстояние d тогда и только тогда г когда для любой ((d i)xn) -матрицы Y ранга d i с элементами из GF(q) (3) r(yh r ; q N )=d-i и когда существует (dxnj-матрица Y 0 ранга d с элементами из для которой (4) r(y 0 H r ;^)<d. GF(q), Доказательство. Сначала отметим, что любой вектор g= = (ёи 2,..., gn) такой, что r(g; q)^d, можно представить в виде g=zy 0, где Y 0 некоторая (йхтг)-матрица ранга d с элементами из GF(q) r a z=(zi, 2 2,..., z d ), zfigf(q N ), *=1,..., d. Пусть код 9И содержит кодовое слово g с ранговой нормой d. Тогда g=zy 0 и (5) gh T =zy 0 H r =0. Следовательно, выполняется условие (4). Так как код не содержит слов с нормой, меньшей d r то для любой ((d i)xn)-матрицы Y ранга d i с элементами из GF(q) уравнение должно иметь только тривиальное решение, т. е. должно выполняться условие (3). Достаточность очевидна. Теорема 2. Код ЗЛ является линейным {п, к)-кодом МРР тогда и

4 Теория кодов 5 только тогда, когда для любой ((п к) Хп) -матрицы Y ранга п к с элементами из GF(q) (6) r(yh r ; q N )=n-k. Действительно, в этом случае по теореме 1 d^n k+1, а по следствию леммы 1 d^n к+1, т. е. d=n k+l. Теорема 3. Если Ш код МРР, то дуальный ему код - также является кодом МРР. Доказательство. Порождающей матрицей кода Ш 1 - является матрица Н. Из (6) следует, что для любого кодового слова h^si 1 - и любой ((/г к)хп)-матрицы Y ранга п к с элементами из GF(q) (7) Yh T^0. Пусть существует слово h, ранговая норма которого не превосходит к. Тогда его можно представить в виде h=zx=(z lr z 2,..., z k )X, где X (кхп)-матрица ранга к с элементами из GF(q). Согласно (7), для любого Y должно выполняться соотношение YX r z T^0. С другой стороны, для любой (кхп)-матрицы X ранга к с элементами из GF(q) существует ортогональная ей ((п к)хп)-матрица Y 0 ранга п к с элементами из GF(q), т. е. Y 0 X r =0, Y 0 X T z T =0. Полученное противоречие показывает, что код Ш 1 - не содержит слов с нормой, не превосходящей к. Следовательно, кодовое расстояние кода Ш 1 - равно к+1 и он является кодом МРР. 3. Спектр кодов МРР Обозначим через A s (n, d) число слов с ранговой нормой s в линейном (тг, к) -коде МРР с расстоянием d=n к+1. Оказывается, что спектр кода МРР, т. е. совокупность чисел A s (n, d), 5=0, 1,..., п, определяется однозначно размерностью кода. В формулировке результатов важную роль играют числа Y m \ (q m -l)(q m -q)...(q m -q m - i ) Если q степень простого числа, то I это число яг-мерных подпространств тг-мерного векторного пространства над GF(q). Для произвольного вещественного или комплексного q выражение I ] называется многочленом Гаусса [2]. Перечислим некоторые свойства этих многочленов, используемые в дальнейшем: «> (."К"]-. l m J L m J l m 1 J (1!) ["]["]-["][-'] <KK««L m JL p J l p JL rc m J

5 6 Габидулин Э. И. п (13) XJ (-!){"] 2V (j - 1)/2 =(~D n (2-l)(^-l)... п -*-1). 3=0 В частности, при z=l получаем п (14) 2^(-l) J [ B ] g,(, - t)/, =0, п>1. 3=0 ' С помощью соотношений (12) и (14) легко проверить верность пары взаимно обратных соотношений: т (15) a m =2_i[ j + "j 6 * 3=0 ' т b m =Yi {-i) m+l [ d * ]q ln - mn -'- iut a), 3=0 ' m=0,1,2,..., d=l,2,3,... Лемма 2. Пусть Н проверочная матрица (п, к)-кода МРР с расстоянием d. Пусть Z T (nxs) -матрица ранга s с элементами из GF(q), s>d=n k+l. Тогда матрица H=HZ r является проверочной матрицей (s, k+s n) кода МРР ffl с тем же расстоянием. Достаточно проверить, что для любой ((d-l)xs)-матрицы d 1 с элементами из GF(q) W ранга (16) r(wh T ; ff)=d~l. Но ранг ((d-l)xn)-матрицы Y=WZ с элементами из GF(q), очевидно, равен d 1, так что по теореме 1 r(yh r ; q N )=r(ww; q N )=d l. Если столбцы матрицы Н рассматривать как базис?г-мерного векторного пространства над GF(q), то столбцы матрицы H=HZ T образуют базис его 5-мерного подпространства. Число различных 5-мерных подпространств Г П 1 т? ~ равно I -Две матрицы H 1 =HZ T 1 r и H 2 =HZ 2 будут порождать одно и то же подпространство или, другими словами, будут проверочными матрицами одного и того же кода МРР Ш тогда и только тогда, когда Z T 1 =Z T 2 Q r, где Q T какая-либо невырожденная квадратная матрица порядка s с элементами из GF(q). Пусть Н и H=HZ T проверочные матрицы кодов МРР 9Й и 2Я длин соответственно пж s. Если z некоторое слово кода 24, то (17) g=zz является словом кода 9ЭТ. Различным словам z : и z 2 кода 9И соответствуют различные слова g 4 и g 2 кода Ш. Действительно, если бы выполнялось равенство ZiZ=z 2 Z, то уравнение vz=0 имело бы нетривиальное решение v=zi z 2, что невозможно, так как ранг матрицы Z равен s, т. е. размерности вектора v. Обратно, если норма вектора g из 24 равна s, то ему соответствует единственный код 2Я длины s. Действительно, если g=z 1 Z 1 =z 2 Z 2, то ранги векторов Zi и z 2 одинаковы и равны s. Отсюда следует, что квадратные подматрицы порядка s матриц Z t и Z 2, определяемые одинаковыми номе-

6 Теория кодов 7 рами столбцов, имеют один и тот же ранг. В частности, пусть Ui и U 2 такие подматрицы ранга s. Так как z 1 U 1 =z 2 U 2, то z 2 =z 1 U 1 U 2 " 1 =z 1 Q, Q невырожденная матрица с элементами из GF(q). Следовательно, Zt=QZ 2 и проверочные матрицы H 1 =HZ r 1 ==HZ T 2 Q r и H 2 =HZ2 T определяют один и тот же код 9И. Итак, доказана ^ Лемма 3. Различным словам с ранговой нормой s кода 9Й соответствуют различные слова с ранговой нормой $ кода Ш. Каждому слову с ранговой нормой s кода 371 соответствует единственный код 9Й. Теорема 4. Имеет место равенство (18) il # (ra,d) = [ J4,(s,d), d<s^n. Действительно, каждый код Зй содержит A 8 (s, d) слов с ранговой нормой s. Всего таких кодов I \ В силу леммы 3 соответствующие им в коде 2Я слова различны, имеют ранг s и исчерпывают все множество слов с ранговой нормой s. Следствие. Имеем п ( 19 ) Ti[ n ]Mhd) = (q N y-l=q n - d+l -l, Q=q\ i=d Теорема 5. Спектр кода Ш описывается формулами (20) Л 0 (М) = 1, л^пмлл <-Н^Ь d+j Положив в (19) n=d+m, i=d+j, Q m+1 l=a m, те=0, 1,..., получим j=0 По второй из формул (15) находим величины A d+ j(d+j, d), а по формуле (18) величины Ad+m(n, d). 4. Класс кодов МРР Опишем широкий класс кодов МРР для длин n<n. Эти коды являются аналогами обобщенных кодов Рида Соломона [1]. Для упрощения записи введем обозначение [i] =q\ i=0, ±1,... Пусть hfegf(q N ), =1, 2,..., п и пусть эти элементы линейно независимы над GF(q). Зададим целое d<n. Образуем матрицу (21) Н /zi h 2... h n h /4 1]... /4 11 h^]' M d "' 21 '..'. Y^21

7 8 Габидулин Э. М. Теорема 6. Код Ж с проверочной матрицей Н является кодом МРР длины п с расстоянием d. Доказательство. В соответствии с теоремой 2 достаточно проверить, что для любой ((d-l)xn)-матрицы Y ранга d 1 с элементами из GF(q) выполняется соотношение r(hy r ; q N )=d 1. Квадратная матрица HY T имеет вид (22) HY T = А /2... fd-i ЛИ ЛИ Л1] /1 /2 7d-] К [d-2] /[d-2] /2 /[d-2] где (Л, / 2,..., / -!)=(&!, A 2,, An) Y r. Величины f GF(q N ), i=l,..., d-1 линейно независимы над GF(q), так как в противном случае величины/г», i=l,..., тг также оказались бы линейно зависимы вопреки предположению. Известно (см. например, [1]), что в этом случае матрица HY r невырождена, т. е. r(hy T, q N ) =d l. Теорема 7. Пусть Ш код с проверочной матрицей (21). Тогда порождающая матрица G имеет вид (23) G = ft g2 g[ 1] g? ] [1] гг ] g [ r ] Jfc-i] где k=n d+l, а элементы g u g 2,..., ^n линейно независимы над GF(q). Действительно, для d=n 1 это очевидно, так как по теореме 6 существуют линейно независимые над GF(q) элементы Л 4, Я 2,..., Я п, удовлетворяющие соотношениям (24) [S] Я г /г/ =0, 5=0,1,..., тг-2. Возьмем в матрице (23) в качестве первой строки элементы gl Ai,..., g n =An Они линейно независимы над GF(q), а с помощью (24) легко проверить, что GH r =0. В теории кодов МДР важную роль играют многочлены с коэффициентами из GF(q N ). В их терминах можно описать обобщенные коды Рида Соломона, циклические коды и т. д. В теории кодов МРР аналогичную роль играют линеаризованные многочлены. Линеаризованным п называется многочлен вида F{z) = jfiz [i] (см., например, [1, 3]; наг=0 поминаем обозначение [i]=q i ). Приведем некоторые известные результаты о линеаризованных многочленах, необходимые в дальнейшем. Сумма многочленов определяется обычным образом: F(z)+G(z) = ^ZmJ ^zu1 ~*~2Ll SiZ U] =2ml (fi+gi)z ll}. В качестве операции умножения i i i будем использовать символическое произведениз F*G=F(G(z)). Эта операция не коммутативна: вообще говоря, F*G =G*F. Введенные one-

8 Теория кодов 9 рации превращают совокупность всех линеаризованных многочленов в некоммутативное кольцо без делителей нуля с многочленом f 0 (z)=z в качестве единицы. В этом кольце существует алгоритм Евклида деления (как левого, так и правого) одного многочлена на другой. В дальнейшем будет рассматриваться только правое деление. Пусть Fo(z) и F l (z) два линеаризованных многочлена, причем degfi(z)^degf 0 (z). Тогда существует последовательная цепочка равенств (25) F 0 (z) =G, (z) *F t (z) +F 2 (z), deg F,<degF u F,(z) =G 2 (z) *F 2 (z) +F Z (z), degf 3 <deg F 2l F F.-i(z) =G S (z) *F S (z) +F s+i {z), degf s+1 <deg F s, F s (z)=g s+i (z)*f s+i (z). Последний ненулевой остаток F s+l (z) в этой цепочке представляет собой правый символический НОД многочлена F 0 (z) я F i {z). Если ввести многочлены Ui(z), Ai(z), Vi(z) и Bi(z), определяемые для i>l рекуррентно (26) Ui(z)^Ui^(z)*Gi(z) + Ui^{z), Uo(z)=z, l7- ± (z)=0 f Ai(z)=Gi(z)*Ai-i(z)+Ai^z(z), A Q {z)=z, A- i (z)=0 1 V i (z)=v i - i (z)^g i (z)+v i - 2 (z), 7 0 (z)=0, y-t(z)=z, Bi(z) =G t (z) * Д<- 4 (z) +Bi- 2 (z), B 0 (z) =0, B-i(z) =z, TO (27) F 0 (z)^u i (z)*f t (z) + U i^(z)*f i+i (z) 1 FM-ViW+FiW+Vi-MtFi+tiz). Кроме того, (28) F i (z)=(-l) i (B i - i (z)^f 0 (z)-a i - i (z)^f i (z)). Наряду с введенным выше кольцом, рассмотрим его фактор-кольцо R N по модулю многочлена z [N] z, состоящее из правых классов вычетов по этому модулю. Элементы этого кольца можно отождествлять также с линеаризованными многочленами степени не выше [N 1]. Пусть N-1 F(z)=YjiiZ in *RN. Тогда F^ (z) ^tfltzw+fl" z lll jfir z IW Таким образом, возведение в степень q многочлена в кольце R N эквивалентно возведению в степень q всех его коэффициентов с последующим циклическим сдвигом. Эту операцию будем называть ^-циклическим сдвигом. Идеалы в кольце R N являются главными и порождаются многочленами G(z), которые удовлетворяют соотношению z [N] z=h(z)xg(z) f т. е. являются правыми делителями многочлена z liw] z (заметим, впрочем, что если старший коэффициент многочлена G(z) равен единице* то многочлены G(z) и H(z) коммутируют). Идеал {G} инвариантен относительно ^-циклического сдвига, т. е. если g^{g}, то и g [i] {G}. В терминах линеаризованных многочленов коды с порождающей матрицей вида (23) можно описать следующим образом. Пусть g* r g 2,..,-

9 10 Габидулин Э. М...., g n заданные линейно независимые над GF(g) элементы поля GF(q N ). Тогда кодовыми словами являются все векторы вида (29) g=(f( gl ),F(g 2 ),...,F(g n )), где F(z) пробегает все линеаризованные многочлены степени не выше [к 1] =q k ~ i с коэффициентами из GF(q N ). Введем теперь класс кодов, являющихся аналогами обычных циклических кодов. Код Ш называется g-циклическим, если g-циклический сдвиг любого кодового вектора также является кодовым вектором, т. е. если (g 0, g u......, g n -i) принадлежит 9W, то и (gl^i, g 0 C1 \., gl-2) принадлежит Sft. Далее рассматриваются лишь линейные g-циклические коды и для простоты лишь для случая n=n. Линейный g-циклический код Ш является идеалом кольца R N. Пусть Ш.1 G(z) = 2 m j GiZ U] какой-либо правый делитель многочлена z [N] z. Тогда код состоит из всех многочленов вида c(z)*g(z), где c(z) произвольный линеаризованный многочлен степени не выше [N r l]. Другими словами, вектор является кодовым тогда и только тогда, когда соответствующий ему многочлен без остатка делится справа на порождающий многочлен G(z). Размерность кода равна k=n r. Его порождающая матрица^ имеет вид (30) G = Go 0 Gl 1]. 6г г МП.. GT Ml].. 0 tr r Код можно задать и с помощью проверочного многочлена, определяв' мого из соотношения z [N] z=g(z) *H(z). Вектор g является кодовым тогда и только тогда, когда соответствующий ему многочлен g(z) удовлетворяет соотношению g(z) *H(z) =0 mod z uy] z. и рица имеет вид (31) Если H(z) = j HiZ [l] проверочный многочлен, то проверочная матг = 0 где обозначено H { h 1] н к нц\... я 0 * ] о... о I о я 1]... н[ к1 н к+1] 0... о I о.... яг' 1]... H 0 N ~ 1] h 0 /zi... h k h [ 0 1]... АЙ hl 1]... 0 о... лг АГ"1 =h h -i. Опишем еще аналог кодов Рида Соломона. Пусть у, ч ш,..., у 1 "- 11 нормальный базис поля GF(q N ). Пусть G(z) линеаризованный много-

10 Теория кодов 11 член, корнями которого являются всевозможные линейные комбинации с коэффициентами из GF(q) элементов у, у Н],, Ad-2]. Тогда д-цикличеекий код с порождающим многочленом G{z) имеет ранговое расстояние с?. N-1 Действительно, если g(z)= ^jgiz m кодовый многочлен, то g(z) = =c(z)*g(z) и, следовательно, N-1 (32) g(f s, )=I] l f i-f ti+8, =0, s=0,l,...,d-2. г=0 г = 0 Равенства (32) эквивалентны равенству gh r =0, где g=(go, gu, giv-i)? а Н проверочная матрица, причем Н V у[1] 1>[2] p[iv-l]»[d-2] vt d '^.[iv+d-3] Эта матрица имеет тот же вид, что и матрица (21), так что ранговое расстояние кода действительно равно d. Аналогично порождающая матрица этого кода может быть представлена в виде Р Р [1]... $ [N ~ 1} Р [1] Р [2]... P [iv] G = ft[^l] ft[*-2] a[2v+fc-2] I где [J, {i [11,..., p [2V - 1] также некоторый нормальный базис. 5. Кодирование кодов МРР Кодирование во многих случаях сводится к вычислению значений линеаризованных многочленов в поле GF(q N ). Пусть порождающая матрица имеет вид (23). Тогда в соответствии с (29) кодовое слово имеет вид g=(f(gi), F (&),..., F(g )), mzf(z)=2_ J u i z {i \ в 01..., в л -1- информационные символы. Несистематическое кодирование д-циклических кодов является частным случаем описанного выше: надо вычислить вектор (F($), F(p tl] ),......,F(p N -»)). Систематическое кодирование так же, как и в случае обычных циклических кодов, можно осуществить либо с помощью проверочного многочлена, либо с помощью порождающего многочлена. Если h H(z) = ^jhiz [i] проверочный многочлен, то кодовый многочлен г=0 N-1 g(z)=2 mj giz [i] удовлетворяет равенству g(z) *#U)=0, т. е. условиям (зз) g N - i4+i Hr i4+i] =о, ;=о, 1 iv-i. i=o

11 12 Габидулин Э. М. Считая символы g N -i, gjv- 2,..., gn-u информационными, с помощью (33) находим проверочные символы g N -k-i,, go. ЛГ-ft Пусть задан порождающий многочлен g(z)=/, gjz [il. многочлен Go (z) =g N _ lz [N - i] g N - k z ln - h] справа на G (z): (34) G 0 (z)=q(z)*g(z)+f l (z), degf^in-к]. Разделим Тогда коэффициенты g N - { при степенях W i], i=k+i,..., TV, остатка и будут проверочными символами. Обычно вычисления в поле GF(q N ) сводят к вычислениям в поле GF(q), представляя каждый элемент исходного поля некоторым состоянием TV-разрядного д-ичного регистра. Последовательные разряды такого регистра отождествляются с базисными элементами поля GF(q N ), чаще всего с элементами 1, а, а 2,..., а^-1, где а первообразный элемент поля. Однако для вычисления значений линеаризованных многочленов удобнее отождествлять разряды регистра с элементами нормального базиса у, 7 [1 \, Y [JV ~ 1]. В этом случае возведение в степень какого-либо элемента поля сводится просто к циклическому сдвигу содержимого регистра, представляющего этот элемент. Вообще, операции над линеаризованными многочленами сложение, умножение, деление справа или слева имеют примерно ту же сложность, что и операции с обычными многочленами, но здесь мы не имеем возможности углубляться в этот вопрос. 6. Декодирование кодов МРР Коды с проверочной матрицей вида (21) допускают декодирование с помощью алгоритма, подобного алгоритму декодирования обобщенных кодов Рида Соломона [ 1 ]. Пусть g= (g u..., g n ) кодовый вектор, е= (е и..., е п ) вектор ошибки, y=g+e принятый вектор. Вычислим синдром (35) s== (s Q, s b..., s d - 2 ) =yh r =eh T Задача декодера по известному вектору синдрома s найти вектор ошибки. Пусть ранговая норма вектора ошибки равна т. Тогда его можно представить в виде (36) e=ey=( lf...,# m )Y, где величины Е и..., Е т линейно независимы над GF(q), a Y=(Yij) (тхп)-матрица ранга т с элементами из GF(q). Тогда вместо (35) можно записать (37) s=eyh r =EX, где матрица X=YH T имеет вид х = х х х% ^т причем величины п \38) х р = ^ Е>, j=i Х г[1] ±. ГШ ^2 г[1] pjflj,. «*-2 r[d-2] p=l

12 Теория кодов 13 линейно независимы над GF{q). Равенство (36) эквивалентно системе уравнений относительно неизвестных Е и..., Е т, х и..., х т : (39) 2 J ^ P 1 = ^ p=0,l,...,d-2. г = 1 Пусть найдено решение этой системы. Тогда из (38) определяется матрица Y, а из (36) вектор ошибки е. Отметим, что система (39) при заданном т имеет много решений, однако при m^(d l)l2 все решения приводят к одному и тому же вектору е. Итак, задача декодирования сводится к решению системы (39) для наименьшего возможного значения т. d 2 m Введем многочленs(z) = У, ц [Л, ПУСТЬ АЫ = /, A P z [pl, A w =l, ознаj=>0 р=0 чает многочлен, корнями которого являются всевозможные линейные комбинации величин Е и Е 2,..., Е т с коэффициентами из GF{q). Пусть т 1 г F(z)=YjF f z li \ где F ; =2J A P s!!},, i=0,1,..., т-1. г' = 0 р=0 Лемма 4. Имеет место равенство (40) F (z) = A (z) *S (z) mod z^' l \ Действительно Но при m^i^d 2 m m+d 2 Д (z) *S (z) = Ap (S (z)) [ *>= Yi zui ( IJ A W P1 имеем p=0 г=0 p+i=i m m m [p] A^w-.A^*i-EA,(Z ^Г Я )" = p+j=i p=0 p=0 j=l w =Х,4 <! А( ;л=о, так как A ( j) =0, /=1,..., m. Если коэффициенты многочлена F(z) известны, то коэффициенты многочлена A (z) определяются рекуррентно, а именно, пусть s 0 =.. =Si-i=0 f Sj *0. Тогда (41) До=/У*,, А Р = F j+p - Z^^p+j-i) / i sl P \ p=l, 2,..., m, причем при j+p^m полагаем F,- +p =0. Пусть теперь известны величины Е и..., Z? m, а также коэффициенты многочлена A(z). Рассмотрим «укороченную» систему относительно неизвестных m (42) 2J Ed n -=s» P=0,1,..., го-1. ^

13 14 Габидулин Э. М. Будем решать системы (42) методом последовательного исключения переменных. Обозначим Aij=Ej, Qip=s P ; умножим (р+1)-е уравнение системы на -4и~\ извлечем корень q-й степени и вычтем из р-то уравнения. В результате получим систему, не содержащую # t : (43) 2J ^Г==<? 2 *, />=0,1,..., ттг-2, где ( А \ [ ~ 13 -~-) A il9 H,...,w, Q^p=Qip-(^f ± ) "А Ш />=(), l,...,m-2. Повторив эту процедуру тп 1 раз и оставив от систем, полученных на каждом шаге, первые уравнения, придем к системе линейных уравнении с треугольной матрицей коэффициентов: (45) ^/, J Аг Д-ijXj 3 Хэ=()ц>, i= 1,2,..., m, где (46) -4u=#i, /=1,..., m; [0, j<i, I Ai-ij \ -4z-i,j \-j / ^i-i.i-i, ]>i, i=2,...,m, -4i-l,»-i (47) Qip=s Pl p=0, 1,..., ira-1, (? ip =(? i _ 1) p-( *"" 1,P+i J -4<-i,<-i, p=0,1,..., m-i, j=2,. Решение системы (45) находится по рекуррентным формулам (48) Xm=Qmo/Amm, m,171. %m-i=y Qm-i,0 jlj Am-ij X j] ji А т - 4>т - {, 1=1,..., j=m i+l Переходим теперь к описанию алгоритма декодирования. I. Вычисляем синдром s= (s 0l..., s d _ 2 ) и соответствующий многочлен II. Полагаем F 0 (z)=z [d " i \ Fi(z)=S(z) и применяем алгоритм Евклида (25) до тех пор, пока не достигнем такого Fm+i(z), что (49) deg F m (z)>q^^\ degf (z)<q^i)/2 m+i. Тогда (50) A(z)=*tA m (z), F(*)=l(-i) M Fm + i(z), где 7 выбирается так, чтобы коэффициент Д т равнялся единице. Действительно, если число ранговых ошибок не превосходит (d l)/2 r то равенства (50) следуют из соотношения (28) и леммы 4. Единственность многочленов F{z) и A(z) доказывается точно так же, как и для ал-

14 Теория кодов 15 горитма декодирования обычных обобщенных кодов Рида Соломона (см. [1]). Многочлен A(z) может быть найден либо по первой из формул (50), если в процессе проведения алгоритма Евклида параллельно вычисляются многочлены Ai(z), i=l, 2,..., либо по формулам (41), где используются вычисленные в процессе проведения алгоритма коэффициенты остатка F m+i (z). Затем находятся какие-либо линейно независимые над GF(q) корни Z?i,..., Е т многочлена A(z). Некоторые методы нахождения корней описаны в [3]. III. С помощью соотношений (45) (48) по известным Е и..., Е т определяются х и..., х т. Представляя эти величины в виде (38), находим матрицу Y. Наконец, по формуле (36) вычисляем вектор ошибки е. В качестве примера рассмотрим случай d=3, g=2, когда возможно исправление одиночных ранговых ошибок в поле характеристики 2. Вычислим синдром s= (s 0, Si). 1. Если 5о=0, Si=0, то заключаем, что ошибок нет. 2. Если s 0 =^0, $1=^0, то применение алгоритма Евклида приводит к многочлену A (z) = {s[ Is^ z+z [i]. Заключаем, что произошла одиночная ошибка. Находим Е как ненулевой корень уравнения A(z)=0: 2?= (so /Si). Из единственного уравнения системы (44) определяем ^=5 1 /s 0 =2/ife l -b +t/ 2 fe \-y n h n, где i/t=0 или 1. Вектор ошибки равен e=(z/i, у 2 Е, , yje). 3. Если s 0 =0, Si =0 или s 0 =0, Si=0, то заключаем, что произошла ошибка ранга 2 или больше, так как применение алгоритма Евклида в этих случаях дало бы многочлены A(z)==z [1] и A(z)=z t21, не имеющих ненулевых решений. 7. Исправление ошибок в метрике Хэмминга Коды МРР одновременно являются и кодами МДР, поэтому естественно поставить вопрос: какие ошибки в метрике Хэмминга будут исправляться описанным выше алгоритмом? Прежде всего, это, конечно, все хэмминговские ошибки кратности, не превосходящей t=(d 1)/2. Их число равно объему хэмминговского шара радиуса t, т. е. iv= / i С п Ча н 1) г г = 1 Для обычных кодов МДР в общем случае алгоритм Берлекэмпа или его модификации позволяют исправить только эти ошибки. Алгоритм декодирования кодов МРР исправляет значительно большее число ошибок, равное t t (51) N^Yi M*)-X!l["] (Я*" 1 ) (?*-?) (в*-? 1 " 1 )-. г = 1 г = 1 Здесь Ьг(п) число векторов длины п с элементами из GF{q N ), ранговая норма которых равна i. Подсчитаем число ошибок хэмминговской нормы s, исправляемых алгоритмом. Обозначим через Л п ($, 0 число векторов длины, ранговая норма которых равна, а хэммингова s. Для s<i полагаем Л п ($, )=0. Лемма 5. Имеем в (52) 4ДМ)=С ' (-1) к+ *С.*М/с).

15 16 Габидулин Э. М. Действительно, A n (s, i)=c n s A s (s, i). Кроме того, для любых i<s<n п п (53) 2j4 n (s,i)=l], C s n A i {s,i)=l i {n). s i s=i Обращая систему (53), придем к соотношению (52). Из леммы 5 следует Теорема 8. Алгоритм декодирования кодов МРР позволяет исправить t t s (54) ^=,4ЛМ)=Сп^1^ (-1)* +в С^(А), 5=1,2,...,щ ошибок с хэмминговской нормой s. Можно показать, что при s<t M s = =C n s (q N -l) s. В качестве иллюстрации рассмотрим коды над GF(2 N ) для n=n и d=3. В этом случае t=l и общее число исправляемых ошибок равно, согласно (51), Ni=*(2 N -l) 2. Из них M i =C N i {2 N -l) имеют хэммингову норму 1, a M 2 = : C N 2 (2 N 1) хэммингову норму 2. Доля исправляемых двойных ошибок равна 1/(2^ 1). Норма остальных исправляемых ошибок больше или равна 3. Небольшое усовершенствование алгоритма позволяет и такие ошибки интерпретировать как хэмминговские двойные ошибки. Пусть, например, в основном алгоритме получен вектор ошибки ( ", Е,..., 1?, О,..., 0), ранговая норма которой равна 1, а хэммингова s>3. Решим систему (55) Xh l +Yh 2 =E(h i +h h s ), Xh[" +Yh\" =E(h[ 11 +hl n h ) 9 где h u h 2,..., h N элементы первой строки проверочной матрицы кода. Тогда вектор (Х -, F, 0,..., 0) имеет хэммингову норму 2 и лежит в том же смежном классе, что и вектор (Е, Е,..., Е, 0,..., 0). Таким образом, усовершенствованный алгоритм позволяет для метрики Хэмминга существенно приблизиться к полному алгоритму декодирования. Полный алгоритм исправляет 2 2N 1 одиночных и двойных ошибок. Предложенный алгоритм исправляет (2^ I) 2 одиночных и двойных ошибок, т. е. не исправляются лишь 2 N+i 2 двойных ошибок по сравнению с полным алгоритмом. Аналогичное усовершенствование возможно и для кодов с большим кодовым расстоянием, хотя сложность дополнительной части алгоритма быстро возрастает с ростом числа исправляемых ошибок. ЛИТЕРАТУРА 1. Мак-Вилъямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979,. 2. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, Поступила в редакцию 7ЛХ.1984

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г.

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г. Вопросы к экзамену по алгебре, гр. 101 106. лектор Е.С.Голод 2014-2015 уч.г. 1. Системы линейных алгебраических уравнений и связанные с ними матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и сильно ступенчатому

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы ТРЕТИЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Евклидовы пространства 1.1. Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы утверждения a a b a b a + b ; b a b = (a, b векторы a и b линейно

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции)

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ЛЕКЦИЯ 12 НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА Определение 1. Множество R с операциями сложения + и умножения называется

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения.

Экзаменационные вопросы по алгебре. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции их объединения. Экзаменационные вопросы по алгебре 1. Доказать, что число N An всех подмножеств конечного множества A n, состоящего из n элементов, равно N An = 2 n. 2. Доказать, что операция пересечения множеств дистрибутивна

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ. 18. Многочлены от одной переменной

КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ. 18. Многочлены от одной переменной Г л а в а 3 КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ 18. Многочлены от одной переменной 18.1. Определения и основные свойства. Многочленом от одной переменной над кольцом K называется выражение f = f(x) = a 0 + a 1 x +... +

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. 30. Линейные преобразования

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. 30. Линейные преобразования Г л а в а 4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 30. Линейные преобразования 30.1. Определения и примеры. Пусть V векторное пространство над полем P. Отображение ϕ : V V называется линейным преобразованием

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 1 / 71 Часть I Конечные поля или поля Галуа. I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. I 2 / 71 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4 ВМК МГУ Практикум 317 группы, весна 2015 Задание 8. Коды БЧХ Начало выполнения задания: 7 мая 2015 Срок сдачи: 20 мая 2015 (среда), 23:59. Среда для выполнения задания PYTHON. Содержание Необходимая теория

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

Коды с минимальной избыточностью

Коды с минимальной избыточностью Коды с минимальной избыточностью При выборе схемы кодирования естественно учитывать экономичность, т.е. средние затраты времени на передачу и прием сообщений. Предположим, что задан алфавит A {a,, ar},

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Алгоритм восстановления изображения по его коду

Алгоритм восстановления изображения по его коду Алгоритм восстановления изображения по его коду П.Г. Агниашвили В рамках дискретно-геометрического подхода к распознаванию образов представлен алгоритм, вычисляющий по коду все классы а -эквивалентных

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ Алгебраическая теория блоковых кодов» Глава

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

А.В. Давыдов, А.А. Мальцев

А.В. Давыдов, А.А. Мальцев МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ËÅÊÖÈÈ

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич

Прикладная алгебра 1 / 160. Прикладная алгебра. Лекции для групп (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года. Лектор Гуров Сергей Исаевич Прикладная алгебра 1 / 160 Прикладная алгебра Лекции для групп 320 328 (III поток) 5-й семестр 2013/2014 уч. года Лектор Гуров Сергей Исаевич Ассистент Кропотов Дмитрий Александрович Факультет Вычислительной

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 9 Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. П. Ильичев, Г. П. Коган, В. Н. Шевченко, Полиномиальные алгоритмы вычисления перманентов некоторых матриц, Дискрет. матем., 1997, том 9, выпуск 3, 96

Подробнее

Алгоритмы решения линейных систем уравнений

Алгоритмы решения линейных систем уравнений Алгоритмы решения линейных систем уравнений Оглавление. Введение..... Обозначения.... Метод Холецкого (квадратного корня..... Разложение Холецкого..... Алгоритм построения разложения Холецкого... 3.3.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

НОРМАЛИЗАТОРЫ ПОДГРУПП КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

НОРМАЛИЗАТОРЫ ПОДГРУПП КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕКЦИЯ 8 ПРИМЕРЫ ДЕЙСТВИЙ НОРМАЛИЗАТОРЫ ПОДГРУПП КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕНТР p-группы ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК ПРОСТЫЕ ГРУППЫ 1 ПРИМЕРЫ ПОЛИГОНОВ Пример 1. M G = {1, 2,..., n} Sn, где σi значение подстановки

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр 1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., -й семестр A1 Записать комплексные числа в алгебраической форме и отметить на комплексной плоскости: (3; 4), (7; 5),

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. В. Бельгий, А. П. Курдюков, Г. А. Новак, Нахождение представителей циклов в разложении полной системы вычетов по произвольному модулю, Пробл. передачи

Подробнее

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов. Подкольцо. Идеал кольца. Главный идеал кольца. Кольцо главных идеалов. Деление с остатком многочленов над полем. Теорема о кольце

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н. Е. Лушпай, Наилучшие квадратурные формулы на классах дифференцируемых периодических функций, Матем. заметки, 1969, том 6, выпуск 4, 475 481 Использование

Подробнее

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

Элементы общей алгебры. Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа Алгебраическая операция На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым

Подробнее

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода

Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра МСИБ Методическое

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Б. П. Пугачев, Использование плохо сходящихся итерационных процессов для решения систем линейных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, том 8,

Подробнее

Надежность систем и устройств

Надежность систем и устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежность систем и устройств Моисеев Михаил Юрьевич Коды Рида-Соломона Сверточные коды

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Теория Галуа, лекция 2: расширения полей

Теория Галуа, лекция 2: расширения полей Теория Галуа, лекция 2: расширения полей Миша Вербицкий 25 января, 2013 матфак ВШЭ 1 Расширения полей ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расширение поля k есть поле K, содержащее k. Отношение «быть расширением» обозначается

Подробнее

ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРИМАРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРИМАРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ЛЕКЦИЯ 5 ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПРИМАРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 1 ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Лемма 1 (о ретракте абелевых групп). Пусть G и G абелевы группы.

Подробнее

А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие.

А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие. А н д р и а нов Ю. А., А н д Р и а н о в а Т.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методическое пособие. Оглавление. 1. Линейное векторное пространство... Базис и размерность. Линейная зависимость и независимость системы

Подробнее

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов

Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Авдошин С.М., Савельева А.А. Алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов Разработан эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений в кольцах вычетов [], эквивалентный по сложности

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н. В. Черникова, Алгоритм для нахождения общей формулы неотрицательных решений системы линейных неравенств, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, том 5,

Подробнее