Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Math-Net.Ru Общероссийский математический портал"

Транскрипт

1 Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Э. М. Габидулин, Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием, Пробл. передачи информ., 1985, том 21, выпуск 1, 3 16 Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением Параметры загрузки: IP: февраля 2018 г., 18:19:21

2 ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ Том XXI 1985 Вып. 1 УДК ТЕОРИЯ КОДОВ С МАКСИМАЛЬНЫМ РАНГОВЫМ РАССТОЯНИЕМ Габидулин Э. М. Рассматриваются коды над GF(q N ). Вводится новая метрика, названная ранговой: нормой вектора х= (xi,..., х п ) называется максимальное число его координат, линейно независимых над GF(q). Для этой метрики строится теория, аналогичная теории кодов МДР. Описаны коды с максимальным ранговым расстоянием, найден их спектр, приведены алгоритмы кодирования и декодирования. 1. Введение Большинство работ по алгебраической теории кодирования посвящено метрике Хэмминга. Однако представляют интерес и другие метрики, так как метрика Хэмминга не всегда хорошо согласуется с характеристиками реальных каналов. В статье вводится новая метрика, названная ранговой. Пусть Х п тг-мерное векторное пространство над полем GF(q N ) 1 q степень простого числа. Пусть и и и 2,..., u N некоторый фиксированный базис поля GF(q N ), рассматриваемого как векторное пространство над GF(q). Любой элемент xfigf(q N ) однозначно представляется в виде Xi : =a ii u J n l ra2iu a N iu N. Пусть A N означает совокупность всех (NXn)- матриц с элементами из GF(q). Зададим биекцию A: X n n -+A N правилом: для любого вектора х= = \Х^ Хчч..., Х п ) #11 #12... #1 П (1) А(х) #21 #22 #2п I #ivi #iv2 a Nn \ Рангом вектора х над GF(q) называется ранг матрицы А(х). Другими словами, ранг вектора это максимальное число его координат, линейно независимых над GF(q). Ранг х над GF(q) будет обозначаться г(х; q). Аналогично рангом (гх/г)-матрицы Н с элементами из GF(q N ) над GF(q) называется максимальное число столбцов, линейно независимых над GF(q). Будем обозначать его г(н; q). Очевидно, r(h; g)^r(h; q N ). Отображение x->r(x; q) задает норму на Х п. Действительно, r(x; q)>0, Vx^X n и r(x; q) =0 тогда и только тогда, когда х=0. Кроме того, г(х+у; g)<r(x; g)+r(y; q) по известному свойству матриц. Наконец, если для a^gf(q N ) положить а =0 при а=0 и # =1 при афо, то г(ах; q) = \a\r(x, q), так как умножение вектора на ненулевой элемент поля не меняет соотношений линейной зависимости между его координатами. Норма r(x; q) задает на Х п ранговую метрику (ранговое расстояние): d(x, y)=r(x-y; q). Далее используется стандартная терминология теории кодирования. 3

3 4 Габидулин Э. М. Код Зй объема М это произвольное множество {х и х 2,..., х м } векторов из Х п. Кодовое расстояние d=d($r) =mm d(x t -, Xj), г^/. Линейный код или (тг, ft)-код это подпространство Х п размерности к. В статье излагается теория кодов, исправляющих ранговые ошибки, для случая n^n. Описаны конструкции кодов, имеющих при заданном d максимально возможный объем. Определен спектр этих кодов. Описаны алгоритмы кодирования и декодирования. 2. Коды с максимальным ранговым расстоянием Для оценок мощности кодов полезна следующая элементарная Лемма 1. Пусть на Х п заданы две нормы г 4 и г 2, причем ^(х)^ <r 2 (x), Vx. Пусть Mi(n, d) и М 2 {п, d) наибольшие мощности кодов t, расстоянием d в соответствующих метриках. Тогда М ± (п, d)<m 2 (n, d). Действительно, любой код мощности М с расстоянием d в метрике г 4 является кодом той же мощности с расстоянием d'^d в метрике г 2. Следствие. Для любого линейного {п, к)-кода ранговое расстояние удовлетворяет неравенству (2) d<n-k+i. Действительно, выберем r l =r(x; q) и r 2 =r H (x), где г н норма Хэмминга. Очевидно, г(х; q)^r H (x). Тогда (2) следует из леммы 1 и соответствующего неравенства для метрики Хэмминга. Коды, для которых в (2) достигается равенство, называются кодами с максимальным ранговым расстоянием (кодами МРР). Теория таких кодов во многом аналогична теории кодов МДР для метрики Хэмминга [1]. Пусть Н проверочная, a G порождающая матрицы линейного (п, к) -кода WI. Теорема 1. Код Ш имеет ранговое расстояние d тогда и только тогда г когда для любой ((d i)xn) -матрицы Y ранга d i с элементами из GF(q) (3) r(yh r ; q N )=d-i и когда существует (dxnj-матрица Y 0 ранга d с элементами из для которой (4) r(y 0 H r ;^)<d. GF(q), Доказательство. Сначала отметим, что любой вектор g= = (ёи 2,..., gn) такой, что r(g; q)^d, можно представить в виде g=zy 0, где Y 0 некоторая (йхтг)-матрица ранга d с элементами из GF(q) r a z=(zi, 2 2,..., z d ), zfigf(q N ), *=1,..., d. Пусть код 9И содержит кодовое слово g с ранговой нормой d. Тогда g=zy 0 и (5) gh T =zy 0 H r =0. Следовательно, выполняется условие (4). Так как код не содержит слов с нормой, меньшей d r то для любой ((d i)xn)-матрицы Y ранга d i с элементами из GF(q) уравнение должно иметь только тривиальное решение, т. е. должно выполняться условие (3). Достаточность очевидна. Теорема 2. Код ЗЛ является линейным {п, к)-кодом МРР тогда и

4 Теория кодов 5 только тогда, когда для любой ((п к) Хп) -матрицы Y ранга п к с элементами из GF(q) (6) r(yh r ; q N )=n-k. Действительно, в этом случае по теореме 1 d^n k+1, а по следствию леммы 1 d^n к+1, т. е. d=n k+l. Теорема 3. Если Ш код МРР, то дуальный ему код - также является кодом МРР. Доказательство. Порождающей матрицей кода Ш 1 - является матрица Н. Из (6) следует, что для любого кодового слова h^si 1 - и любой ((/г к)хп)-матрицы Y ранга п к с элементами из GF(q) (7) Yh T^0. Пусть существует слово h, ранговая норма которого не превосходит к. Тогда его можно представить в виде h=zx=(z lr z 2,..., z k )X, где X (кхп)-матрица ранга к с элементами из GF(q). Согласно (7), для любого Y должно выполняться соотношение YX r z T^0. С другой стороны, для любой (кхп)-матрицы X ранга к с элементами из GF(q) существует ортогональная ей ((п к)хп)-матрица Y 0 ранга п к с элементами из GF(q), т. е. Y 0 X r =0, Y 0 X T z T =0. Полученное противоречие показывает, что код Ш 1 - не содержит слов с нормой, не превосходящей к. Следовательно, кодовое расстояние кода Ш 1 - равно к+1 и он является кодом МРР. 3. Спектр кодов МРР Обозначим через A s (n, d) число слов с ранговой нормой s в линейном (тг, к) -коде МРР с расстоянием d=n к+1. Оказывается, что спектр кода МРР, т. е. совокупность чисел A s (n, d), 5=0, 1,..., п, определяется однозначно размерностью кода. В формулировке результатов важную роль играют числа Y m \ (q m -l)(q m -q)...(q m -q m - i ) Если q степень простого числа, то I это число яг-мерных подпространств тг-мерного векторного пространства над GF(q). Для произвольного вещественного или комплексного q выражение I ] называется многочленом Гаусса [2]. Перечислим некоторые свойства этих многочленов, используемые в дальнейшем: «> (."К"]-. l m J L m J l m 1 J (1!) ["]["]-["][-'] <KK««L m JL p J l p JL rc m J

5 6 Габидулин Э. И. п (13) XJ (-!){"] 2V (j - 1)/2 =(~D n (2-l)(^-l)... п -*-1). 3=0 В частности, при z=l получаем п (14) 2^(-l) J [ B ] g,(, - t)/, =0, п>1. 3=0 ' С помощью соотношений (12) и (14) легко проверить верность пары взаимно обратных соотношений: т (15) a m =2_i[ j + "j 6 * 3=0 ' т b m =Yi {-i) m+l [ d * ]q ln - mn -'- iut a), 3=0 ' m=0,1,2,..., d=l,2,3,... Лемма 2. Пусть Н проверочная матрица (п, к)-кода МРР с расстоянием d. Пусть Z T (nxs) -матрица ранга s с элементами из GF(q), s>d=n k+l. Тогда матрица H=HZ r является проверочной матрицей (s, k+s n) кода МРР ffl с тем же расстоянием. Достаточно проверить, что для любой ((d-l)xs)-матрицы d 1 с элементами из GF(q) W ранга (16) r(wh T ; ff)=d~l. Но ранг ((d-l)xn)-матрицы Y=WZ с элементами из GF(q), очевидно, равен d 1, так что по теореме 1 r(yh r ; q N )=r(ww; q N )=d l. Если столбцы матрицы Н рассматривать как базис?г-мерного векторного пространства над GF(q), то столбцы матрицы H=HZ T образуют базис его 5-мерного подпространства. Число различных 5-мерных подпространств Г П 1 т? ~ равно I -Две матрицы H 1 =HZ T 1 r и H 2 =HZ 2 будут порождать одно и то же подпространство или, другими словами, будут проверочными матрицами одного и того же кода МРР Ш тогда и только тогда, когда Z T 1 =Z T 2 Q r, где Q T какая-либо невырожденная квадратная матрица порядка s с элементами из GF(q). Пусть Н и H=HZ T проверочные матрицы кодов МРР 9Й и 2Я длин соответственно пж s. Если z некоторое слово кода 24, то (17) g=zz является словом кода 9ЭТ. Различным словам z : и z 2 кода 9И соответствуют различные слова g 4 и g 2 кода Ш. Действительно, если бы выполнялось равенство ZiZ=z 2 Z, то уравнение vz=0 имело бы нетривиальное решение v=zi z 2, что невозможно, так как ранг матрицы Z равен s, т. е. размерности вектора v. Обратно, если норма вектора g из 24 равна s, то ему соответствует единственный код 2Я длины s. Действительно, если g=z 1 Z 1 =z 2 Z 2, то ранги векторов Zi и z 2 одинаковы и равны s. Отсюда следует, что квадратные подматрицы порядка s матриц Z t и Z 2, определяемые одинаковыми номе-

6 Теория кодов 7 рами столбцов, имеют один и тот же ранг. В частности, пусть Ui и U 2 такие подматрицы ранга s. Так как z 1 U 1 =z 2 U 2, то z 2 =z 1 U 1 U 2 " 1 =z 1 Q, Q невырожденная матрица с элементами из GF(q). Следовательно, Zt=QZ 2 и проверочные матрицы H 1 =HZ r 1 ==HZ T 2 Q r и H 2 =HZ2 T определяют один и тот же код 9И. Итак, доказана ^ Лемма 3. Различным словам с ранговой нормой s кода 9Й соответствуют различные слова с ранговой нормой $ кода Ш. Каждому слову с ранговой нормой s кода 371 соответствует единственный код 9Й. Теорема 4. Имеет место равенство (18) il # (ra,d) = [ J4,(s,d), d<s^n. Действительно, каждый код Зй содержит A 8 (s, d) слов с ранговой нормой s. Всего таких кодов I \ В силу леммы 3 соответствующие им в коде 2Я слова различны, имеют ранг s и исчерпывают все множество слов с ранговой нормой s. Следствие. Имеем п ( 19 ) Ti[ n ]Mhd) = (q N y-l=q n - d+l -l, Q=q\ i=d Теорема 5. Спектр кода Ш описывается формулами (20) Л 0 (М) = 1, л^пмлл <-Н^Ь d+j Положив в (19) n=d+m, i=d+j, Q m+1 l=a m, те=0, 1,..., получим j=0 По второй из формул (15) находим величины A d+ j(d+j, d), а по формуле (18) величины Ad+m(n, d). 4. Класс кодов МРР Опишем широкий класс кодов МРР для длин n<n. Эти коды являются аналогами обобщенных кодов Рида Соломона [1]. Для упрощения записи введем обозначение [i] =q\ i=0, ±1,... Пусть hfegf(q N ), =1, 2,..., п и пусть эти элементы линейно независимы над GF(q). Зададим целое d<n. Образуем матрицу (21) Н /zi h 2... h n h /4 1]... /4 11 h^]' M d "' 21 '..'. Y^21

7 8 Габидулин Э. М. Теорема 6. Код Ж с проверочной матрицей Н является кодом МРР длины п с расстоянием d. Доказательство. В соответствии с теоремой 2 достаточно проверить, что для любой ((d-l)xn)-матрицы Y ранга d 1 с элементами из GF(q) выполняется соотношение r(hy r ; q N )=d 1. Квадратная матрица HY T имеет вид (22) HY T = А /2... fd-i ЛИ ЛИ Л1] /1 /2 7d-] К [d-2] /[d-2] /2 /[d-2] где (Л, / 2,..., / -!)=(&!, A 2,, An) Y r. Величины f GF(q N ), i=l,..., d-1 линейно независимы над GF(q), так как в противном случае величины/г», i=l,..., тг также оказались бы линейно зависимы вопреки предположению. Известно (см. например, [1]), что в этом случае матрица HY r невырождена, т. е. r(hy T, q N ) =d l. Теорема 7. Пусть Ш код с проверочной матрицей (21). Тогда порождающая матрица G имеет вид (23) G = ft g2 g[ 1] g? ] [1] гг ] g [ r ] Jfc-i] где k=n d+l, а элементы g u g 2,..., ^n линейно независимы над GF(q). Действительно, для d=n 1 это очевидно, так как по теореме 6 существуют линейно независимые над GF(q) элементы Л 4, Я 2,..., Я п, удовлетворяющие соотношениям (24) [S] Я г /г/ =0, 5=0,1,..., тг-2. Возьмем в матрице (23) в качестве первой строки элементы gl Ai,..., g n =An Они линейно независимы над GF(q), а с помощью (24) легко проверить, что GH r =0. В теории кодов МДР важную роль играют многочлены с коэффициентами из GF(q N ). В их терминах можно описать обобщенные коды Рида Соломона, циклические коды и т. д. В теории кодов МРР аналогичную роль играют линеаризованные многочлены. Линеаризованным п называется многочлен вида F{z) = jfiz [i] (см., например, [1, 3]; наг=0 поминаем обозначение [i]=q i ). Приведем некоторые известные результаты о линеаризованных многочленах, необходимые в дальнейшем. Сумма многочленов определяется обычным образом: F(z)+G(z) = ^ZmJ ^zu1 ~*~2Ll SiZ U] =2ml (fi+gi)z ll}. В качестве операции умножения i i i будем использовать символическое произведениз F*G=F(G(z)). Эта операция не коммутативна: вообще говоря, F*G =G*F. Введенные one-

8 Теория кодов 9 рации превращают совокупность всех линеаризованных многочленов в некоммутативное кольцо без делителей нуля с многочленом f 0 (z)=z в качестве единицы. В этом кольце существует алгоритм Евклида деления (как левого, так и правого) одного многочлена на другой. В дальнейшем будет рассматриваться только правое деление. Пусть Fo(z) и F l (z) два линеаризованных многочлена, причем degfi(z)^degf 0 (z). Тогда существует последовательная цепочка равенств (25) F 0 (z) =G, (z) *F t (z) +F 2 (z), deg F,<degF u F,(z) =G 2 (z) *F 2 (z) +F Z (z), degf 3 <deg F 2l F F.-i(z) =G S (z) *F S (z) +F s+i {z), degf s+1 <deg F s, F s (z)=g s+i (z)*f s+i (z). Последний ненулевой остаток F s+l (z) в этой цепочке представляет собой правый символический НОД многочлена F 0 (z) я F i {z). Если ввести многочлены Ui(z), Ai(z), Vi(z) и Bi(z), определяемые для i>l рекуррентно (26) Ui(z)^Ui^(z)*Gi(z) + Ui^{z), Uo(z)=z, l7- ± (z)=0 f Ai(z)=Gi(z)*Ai-i(z)+Ai^z(z), A Q {z)=z, A- i (z)=0 1 V i (z)=v i - i (z)^g i (z)+v i - 2 (z), 7 0 (z)=0, y-t(z)=z, Bi(z) =G t (z) * Д<- 4 (z) +Bi- 2 (z), B 0 (z) =0, B-i(z) =z, TO (27) F 0 (z)^u i (z)*f t (z) + U i^(z)*f i+i (z) 1 FM-ViW+FiW+Vi-MtFi+tiz). Кроме того, (28) F i (z)=(-l) i (B i - i (z)^f 0 (z)-a i - i (z)^f i (z)). Наряду с введенным выше кольцом, рассмотрим его фактор-кольцо R N по модулю многочлена z [N] z, состоящее из правых классов вычетов по этому модулю. Элементы этого кольца можно отождествлять также с линеаризованными многочленами степени не выше [N 1]. Пусть N-1 F(z)=YjiiZ in *RN. Тогда F^ (z) ^tfltzw+fl" z lll jfir z IW Таким образом, возведение в степень q многочлена в кольце R N эквивалентно возведению в степень q всех его коэффициентов с последующим циклическим сдвигом. Эту операцию будем называть ^-циклическим сдвигом. Идеалы в кольце R N являются главными и порождаются многочленами G(z), которые удовлетворяют соотношению z [N] z=h(z)xg(z) f т. е. являются правыми делителями многочлена z liw] z (заметим, впрочем, что если старший коэффициент многочлена G(z) равен единице* то многочлены G(z) и H(z) коммутируют). Идеал {G} инвариантен относительно ^-циклического сдвига, т. е. если g^{g}, то и g [i] {G}. В терминах линеаризованных многочленов коды с порождающей матрицей вида (23) можно описать следующим образом. Пусть g* r g 2,..,-

9 10 Габидулин Э. М...., g n заданные линейно независимые над GF(g) элементы поля GF(q N ). Тогда кодовыми словами являются все векторы вида (29) g=(f( gl ),F(g 2 ),...,F(g n )), где F(z) пробегает все линеаризованные многочлены степени не выше [к 1] =q k ~ i с коэффициентами из GF(q N ). Введем теперь класс кодов, являющихся аналогами обычных циклических кодов. Код Ш называется g-циклическим, если g-циклический сдвиг любого кодового вектора также является кодовым вектором, т. е. если (g 0, g u......, g n -i) принадлежит 9W, то и (gl^i, g 0 C1 \., gl-2) принадлежит Sft. Далее рассматриваются лишь линейные g-циклические коды и для простоты лишь для случая n=n. Линейный g-циклический код Ш является идеалом кольца R N. Пусть Ш.1 G(z) = 2 m j GiZ U] какой-либо правый делитель многочлена z [N] z. Тогда код состоит из всех многочленов вида c(z)*g(z), где c(z) произвольный линеаризованный многочлен степени не выше [N r l]. Другими словами, вектор является кодовым тогда и только тогда, когда соответствующий ему многочлен без остатка делится справа на порождающий многочлен G(z). Размерность кода равна k=n r. Его порождающая матрица^ имеет вид (30) G = Go 0 Gl 1]. 6г г МП.. GT Ml].. 0 tr r Код можно задать и с помощью проверочного многочлена, определяв' мого из соотношения z [N] z=g(z) *H(z). Вектор g является кодовым тогда и только тогда, когда соответствующий ему многочлен g(z) удовлетворяет соотношению g(z) *H(z) =0 mod z uy] z. и рица имеет вид (31) Если H(z) = j HiZ [l] проверочный многочлен, то проверочная матг = 0 где обозначено H { h 1] н к нц\... я 0 * ] о... о I о я 1]... н[ к1 н к+1] 0... о I о.... яг' 1]... H 0 N ~ 1] h 0 /zi... h k h [ 0 1]... АЙ hl 1]... 0 о... лг АГ"1 =h h -i. Опишем еще аналог кодов Рида Соломона. Пусть у, ч ш,..., у 1 "- 11 нормальный базис поля GF(q N ). Пусть G(z) линеаризованный много-

10 Теория кодов 11 член, корнями которого являются всевозможные линейные комбинации с коэффициентами из GF(q) элементов у, у Н],, Ad-2]. Тогда д-цикличеекий код с порождающим многочленом G{z) имеет ранговое расстояние с?. N-1 Действительно, если g(z)= ^jgiz m кодовый многочлен, то g(z) = =c(z)*g(z) и, следовательно, N-1 (32) g(f s, )=I] l f i-f ti+8, =0, s=0,l,...,d-2. г=0 г = 0 Равенства (32) эквивалентны равенству gh r =0, где g=(go, gu, giv-i)? а Н проверочная матрица, причем Н V у[1] 1>[2] p[iv-l]»[d-2] vt d '^.[iv+d-3] Эта матрица имеет тот же вид, что и матрица (21), так что ранговое расстояние кода действительно равно d. Аналогично порождающая матрица этого кода может быть представлена в виде Р Р [1]... $ [N ~ 1} Р [1] Р [2]... P [iv] G = ft[^l] ft[*-2] a[2v+fc-2] I где [J, {i [11,..., p [2V - 1] также некоторый нормальный базис. 5. Кодирование кодов МРР Кодирование во многих случаях сводится к вычислению значений линеаризованных многочленов в поле GF(q N ). Пусть порождающая матрица имеет вид (23). Тогда в соответствии с (29) кодовое слово имеет вид g=(f(gi), F (&),..., F(g )), mzf(z)=2_ J u i z {i \ в 01..., в л -1- информационные символы. Несистематическое кодирование д-циклических кодов является частным случаем описанного выше: надо вычислить вектор (F($), F(p tl] ),......,F(p N -»)). Систематическое кодирование так же, как и в случае обычных циклических кодов, можно осуществить либо с помощью проверочного многочлена, либо с помощью порождающего многочлена. Если h H(z) = ^jhiz [i] проверочный многочлен, то кодовый многочлен г=0 N-1 g(z)=2 mj giz [i] удовлетворяет равенству g(z) *#U)=0, т. е. условиям (зз) g N - i4+i Hr i4+i] =о, ;=о, 1 iv-i. i=o

11 12 Габидулин Э. М. Считая символы g N -i, gjv- 2,..., gn-u информационными, с помощью (33) находим проверочные символы g N -k-i,, go. ЛГ-ft Пусть задан порождающий многочлен g(z)=/, gjz [il. многочлен Go (z) =g N _ lz [N - i] g N - k z ln - h] справа на G (z): (34) G 0 (z)=q(z)*g(z)+f l (z), degf^in-к]. Разделим Тогда коэффициенты g N - { при степенях W i], i=k+i,..., TV, остатка и будут проверочными символами. Обычно вычисления в поле GF(q N ) сводят к вычислениям в поле GF(q), представляя каждый элемент исходного поля некоторым состоянием TV-разрядного д-ичного регистра. Последовательные разряды такого регистра отождествляются с базисными элементами поля GF(q N ), чаще всего с элементами 1, а, а 2,..., а^-1, где а первообразный элемент поля. Однако для вычисления значений линеаризованных многочленов удобнее отождествлять разряды регистра с элементами нормального базиса у, 7 [1 \, Y [JV ~ 1]. В этом случае возведение в степень какого-либо элемента поля сводится просто к циклическому сдвигу содержимого регистра, представляющего этот элемент. Вообще, операции над линеаризованными многочленами сложение, умножение, деление справа или слева имеют примерно ту же сложность, что и операции с обычными многочленами, но здесь мы не имеем возможности углубляться в этот вопрос. 6. Декодирование кодов МРР Коды с проверочной матрицей вида (21) допускают декодирование с помощью алгоритма, подобного алгоритму декодирования обобщенных кодов Рида Соломона [ 1 ]. Пусть g= (g u..., g n ) кодовый вектор, е= (е и..., е п ) вектор ошибки, y=g+e принятый вектор. Вычислим синдром (35) s== (s Q, s b..., s d - 2 ) =yh r =eh T Задача декодера по известному вектору синдрома s найти вектор ошибки. Пусть ранговая норма вектора ошибки равна т. Тогда его можно представить в виде (36) e=ey=( lf...,# m )Y, где величины Е и..., Е т линейно независимы над GF(q), a Y=(Yij) (тхп)-матрица ранга т с элементами из GF(q). Тогда вместо (35) можно записать (37) s=eyh r =EX, где матрица X=YH T имеет вид х = х х х% ^т причем величины п \38) х р = ^ Е>, j=i Х г[1] ±. ГШ ^2 г[1] pjflj,. «*-2 r[d-2] p=l

12 Теория кодов 13 линейно независимы над GF{q). Равенство (36) эквивалентно системе уравнений относительно неизвестных Е и..., Е т, х и..., х т : (39) 2 J ^ P 1 = ^ p=0,l,...,d-2. г = 1 Пусть найдено решение этой системы. Тогда из (38) определяется матрица Y, а из (36) вектор ошибки е. Отметим, что система (39) при заданном т имеет много решений, однако при m^(d l)l2 все решения приводят к одному и тому же вектору е. Итак, задача декодирования сводится к решению системы (39) для наименьшего возможного значения т. d 2 m Введем многочленs(z) = У, ц [Л, ПУСТЬ АЫ = /, A P z [pl, A w =l, ознаj=>0 р=0 чает многочлен, корнями которого являются всевозможные линейные комбинации величин Е и Е 2,..., Е т с коэффициентами из GF{q). Пусть т 1 г F(z)=YjF f z li \ где F ; =2J A P s!!},, i=0,1,..., т-1. г' = 0 р=0 Лемма 4. Имеет место равенство (40) F (z) = A (z) *S (z) mod z^' l \ Действительно Но при m^i^d 2 m m+d 2 Д (z) *S (z) = Ap (S (z)) [ *>= Yi zui ( IJ A W P1 имеем p=0 г=0 p+i=i m m m [p] A^w-.A^*i-EA,(Z ^Г Я )" = p+j=i p=0 p=0 j=l w =Х,4 <! А( ;л=о, так как A ( j) =0, /=1,..., m. Если коэффициенты многочлена F(z) известны, то коэффициенты многочлена A (z) определяются рекуррентно, а именно, пусть s 0 =.. =Si-i=0 f Sj *0. Тогда (41) До=/У*,, А Р = F j+p - Z^^p+j-i) / i sl P \ p=l, 2,..., m, причем при j+p^m полагаем F,- +p =0. Пусть теперь известны величины Е и..., Z? m, а также коэффициенты многочлена A(z). Рассмотрим «укороченную» систему относительно неизвестных m (42) 2J Ed n -=s» P=0,1,..., го-1. ^

13 14 Габидулин Э. М. Будем решать системы (42) методом последовательного исключения переменных. Обозначим Aij=Ej, Qip=s P ; умножим (р+1)-е уравнение системы на -4и~\ извлечем корень q-й степени и вычтем из р-то уравнения. В результате получим систему, не содержащую # t : (43) 2J ^Г==<? 2 *, />=0,1,..., ттг-2, где ( А \ [ ~ 13 -~-) A il9 H,...,w, Q^p=Qip-(^f ± ) "А Ш />=(), l,...,m-2. Повторив эту процедуру тп 1 раз и оставив от систем, полученных на каждом шаге, первые уравнения, придем к системе линейных уравнении с треугольной матрицей коэффициентов: (45) ^/, J Аг Д-ijXj 3 Хэ=()ц>, i= 1,2,..., m, где (46) -4u=#i, /=1,..., m; [0, j<i, I Ai-ij \ -4z-i,j \-j / ^i-i.i-i, ]>i, i=2,...,m, -4i-l,»-i (47) Qip=s Pl p=0, 1,..., ira-1, (? ip =(? i _ 1) p-( *"" 1,P+i J -4<-i,<-i, p=0,1,..., m-i, j=2,. Решение системы (45) находится по рекуррентным формулам (48) Xm=Qmo/Amm, m,171. %m-i=y Qm-i,0 jlj Am-ij X j] ji А т - 4>т - {, 1=1,..., j=m i+l Переходим теперь к описанию алгоритма декодирования. I. Вычисляем синдром s= (s 0l..., s d _ 2 ) и соответствующий многочлен II. Полагаем F 0 (z)=z [d " i \ Fi(z)=S(z) и применяем алгоритм Евклида (25) до тех пор, пока не достигнем такого Fm+i(z), что (49) deg F m (z)>q^^\ degf (z)<q^i)/2 m+i. Тогда (50) A(z)=*tA m (z), F(*)=l(-i) M Fm + i(z), где 7 выбирается так, чтобы коэффициент Д т равнялся единице. Действительно, если число ранговых ошибок не превосходит (d l)/2 r то равенства (50) следуют из соотношения (28) и леммы 4. Единственность многочленов F{z) и A(z) доказывается точно так же, как и для ал-

14 Теория кодов 15 горитма декодирования обычных обобщенных кодов Рида Соломона (см. [1]). Многочлен A(z) может быть найден либо по первой из формул (50), если в процессе проведения алгоритма Евклида параллельно вычисляются многочлены Ai(z), i=l, 2,..., либо по формулам (41), где используются вычисленные в процессе проведения алгоритма коэффициенты остатка F m+i (z). Затем находятся какие-либо линейно независимые над GF(q) корни Z?i,..., Е т многочлена A(z). Некоторые методы нахождения корней описаны в [3]. III. С помощью соотношений (45) (48) по известным Е и..., Е т определяются х и..., х т. Представляя эти величины в виде (38), находим матрицу Y. Наконец, по формуле (36) вычисляем вектор ошибки е. В качестве примера рассмотрим случай d=3, g=2, когда возможно исправление одиночных ранговых ошибок в поле характеристики 2. Вычислим синдром s= (s 0, Si). 1. Если 5о=0, Si=0, то заключаем, что ошибок нет. 2. Если s 0 =^0, $1=^0, то применение алгоритма Евклида приводит к многочлену A (z) = {s[ Is^ z+z [i]. Заключаем, что произошла одиночная ошибка. Находим Е как ненулевой корень уравнения A(z)=0: 2?= (so /Si). Из единственного уравнения системы (44) определяем ^=5 1 /s 0 =2/ife l -b +t/ 2 fe \-y n h n, где i/t=0 или 1. Вектор ошибки равен e=(z/i, у 2 Е, , yje). 3. Если s 0 =0, Si =0 или s 0 =0, Si=0, то заключаем, что произошла ошибка ранга 2 или больше, так как применение алгоритма Евклида в этих случаях дало бы многочлены A(z)==z [1] и A(z)=z t21, не имеющих ненулевых решений. 7. Исправление ошибок в метрике Хэмминга Коды МРР одновременно являются и кодами МДР, поэтому естественно поставить вопрос: какие ошибки в метрике Хэмминга будут исправляться описанным выше алгоритмом? Прежде всего, это, конечно, все хэмминговские ошибки кратности, не превосходящей t=(d 1)/2. Их число равно объему хэмминговского шара радиуса t, т. е. iv= / i С п Ча н 1) г г = 1 Для обычных кодов МДР в общем случае алгоритм Берлекэмпа или его модификации позволяют исправить только эти ошибки. Алгоритм декодирования кодов МРР исправляет значительно большее число ошибок, равное t t (51) N^Yi M*)-X!l["] (Я*" 1 ) (?*-?) (в*-? 1 " 1 )-. г = 1 г = 1 Здесь Ьг(п) число векторов длины п с элементами из GF{q N ), ранговая норма которых равна i. Подсчитаем число ошибок хэмминговской нормы s, исправляемых алгоритмом. Обозначим через Л п ($, 0 число векторов длины, ранговая норма которых равна, а хэммингова s. Для s<i полагаем Л п ($, )=0. Лемма 5. Имеем в (52) 4ДМ)=С ' (-1) к+ *С.*М/с).

15 16 Габидулин Э. М. Действительно, A n (s, i)=c n s A s (s, i). Кроме того, для любых i<s<n п п (53) 2j4 n (s,i)=l], C s n A i {s,i)=l i {n). s i s=i Обращая систему (53), придем к соотношению (52). Из леммы 5 следует Теорема 8. Алгоритм декодирования кодов МРР позволяет исправить t t s (54) ^=,4ЛМ)=Сп^1^ (-1)* +в С^(А), 5=1,2,...,щ ошибок с хэмминговской нормой s. Можно показать, что при s<t M s = =C n s (q N -l) s. В качестве иллюстрации рассмотрим коды над GF(2 N ) для n=n и d=3. В этом случае t=l и общее число исправляемых ошибок равно, согласно (51), Ni=*(2 N -l) 2. Из них M i =C N i {2 N -l) имеют хэммингову норму 1, a M 2 = : C N 2 (2 N 1) хэммингову норму 2. Доля исправляемых двойных ошибок равна 1/(2^ 1). Норма остальных исправляемых ошибок больше или равна 3. Небольшое усовершенствование алгоритма позволяет и такие ошибки интерпретировать как хэмминговские двойные ошибки. Пусть, например, в основном алгоритме получен вектор ошибки ( ", Е,..., 1?, О,..., 0), ранговая норма которой равна 1, а хэммингова s>3. Решим систему (55) Xh l +Yh 2 =E(h i +h h s ), Xh[" +Yh\" =E(h[ 11 +hl n h ) 9 где h u h 2,..., h N элементы первой строки проверочной матрицы кода. Тогда вектор (Х -, F, 0,..., 0) имеет хэммингову норму 2 и лежит в том же смежном классе, что и вектор (Е, Е,..., Е, 0,..., 0). Таким образом, усовершенствованный алгоритм позволяет для метрики Хэмминга существенно приблизиться к полному алгоритму декодирования. Полный алгоритм исправляет 2 2N 1 одиночных и двойных ошибок. Предложенный алгоритм исправляет (2^ I) 2 одиночных и двойных ошибок, т. е. не исправляются лишь 2 N+i 2 двойных ошибок по сравнению с полным алгоритмом. Аналогичное усовершенствование возможно и для кодов с большим кодовым расстоянием, хотя сложность дополнительной части алгоритма быстро возрастает с ростом числа исправляемых ошибок. ЛИТЕРАТУРА 1. Мак-Вилъямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979,. 2. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, Поступила в редакцию 7ЛХ.1984

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1.1. Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям: а) обычного сложения

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Н. Лицын, О. И. Шеховцов, Быстрый алгоритм декодирования кодов Рида Маллера первого порядка, Пробл. передачи информ., 1983, том 19, выпуск 2, 3 7 Использование

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых Глава 3 Линейные блочные шифры В этой главе множества X и Y рассматриваются как подмножества векторных пространств над конечным полем. r Пусть F конечное поле и F пространство векторов-строк длины r Ν

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ

ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ ЛЕКЦИЯ 14 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ ФАКТОР-КОЛЬЦА ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМЕ ДЛЯ КОЛЕЦ МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ 1 ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ Идеал в кольце это аналог нормальной подгруппы в группе. Определение 1. Идеалом кольца R

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67 Часть I Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 2 / 67 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ЛЕКЦИЯ 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОД- НЫЕ МОДУЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ МОДУЛЕЙ На абелевы группы можно смотреть как на векторные пространства над Z. Аналогично

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ЛЕКЦИЯ 6 КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ СТРУКТУРНАЯ ТЕОРЕМА 1 КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Напомним ключевую лемму, которую мы доказали на прошлой лекции. Лемма 1. Пусть A конечная абелева

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. А. Бассалыго, Новые верхние границы для кодов, исправляющих ошибки, Пробл. передачи информ., 1965, том 1, выпуск 4, 41 44 Использование Общероссийского

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111 Часть II Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 2 / 111 Помехоустойчивое кодирование. Блоковое

Подробнее

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г.

Вопросы к экзамену по алгебре, гр лектор Е.С.Голод уч.г. Вопросы к экзамену по алгебре, гр. 101 106. лектор Е.С.Голод 2014-2015 уч.г. 1. Системы линейных алгебраических уравнений и связанные с ними матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и сильно ступенчатому

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. Б. Белов, А. М. Шашин, Коды для хранения информации в памяти с трехкратными дефектами, Пробл. передачи информ., 1977, том 13, выпуск 4, 62 65 Использование

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Линейные операторы (теория к задачам) 206 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ В ДАННОМ БАЗИСЕ 6.. Произведением матрицы размера m на вектор-столбец x высоты называется вектор-столбец

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. С. Долгополов, Недвоичные коды, исправляющие вставки, выпадения и замены символов, Пробл. передачи информ., 1985, том 21, выпуск 1, 35 39 Использование

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. И. Тимошенко, Описание централизаторов элементов из метабелевых произведений абелевых групп, Сиб. матем. журн., 2014, том 55, номер 1, 212 220 Использование

Подробнее

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы

ТРЕТИЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Евклидовы пространства Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы ТРЕТИЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Евклидовы пространства 1.1. Докажите, что для любых векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливы утверждения a a b a b a + b ; b a b = (a, b векторы a и b линейно

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции)

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ЛЕКЦИЯ 12 НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА Определение 1. Множество R с операциями сложения + и умножения называется

Подробнее

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими,

Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, 5 Конечные поля 5.1 Конечные поля Определение 5.1. Кольцом R, +, называется множество R с двумя бинарными операциями + и такими, что 1) R, + абелева группа; 2) операция ассоциативна, т. е. (a b) c = a

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Основы высшей алгебры и теории кодирования

Основы высшей алгебры и теории кодирования Основы высшей алгебры и теории кодирования Предварительная программа экзамена (МФТИ, весенний семестр 2017 года) Экзамен состоит из трёх частей: определения и формулировки основных теорем; доказательства

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Г. А. Кабатянский, В. С. Лебедев, Разностные множества и коды, исправляющие одиночные локализованные ошибки известной величины, Пробл. передачи информ.,

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

11 Поточные криптосистемы

11 Поточные криптосистемы 11 Поточные криптосистемы 11.1 Поточные криптосистемы Напомним наше определение поточной криптосистемы. Пусть имеется слово X A длины X = T. Для зашифрования данного слова на ключе θ Θ выполняются следующие

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ ЛЕКЦИЯ 20 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ, ТЕОРЕМА БЕЗУ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ФОРМУЛЫ ВИЕТА 1 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ Займемся тем, ради чего в прошлом изучали алгебру, корнями многочленов. Дело в том, что многие

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕКОДЕРА СУДАНА ДЛЯ КОДОВ РИДА-СОЛОМОНА

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕКОДЕРА СУДАНА ДЛЯ КОДОВ РИДА-СОЛОМОНА ИНЖЕНЕРНЫЙ ВЕСТНИК ДОНА, 2, 2007, стр. 95 102 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕКОДЕРА СУДАНА ДЛЯ КОДОВ РИДА-СОЛОМОНА 2007 г. Н.В. Ремизов В настоящее время для повышения надежности передачи информации широко используются

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. М. Ермилов, Алгоритм построения системы представителей циклов максимальной длины полиномиальных подстановок над кольцом Галуа, ПДМ. Приложение, 2014,

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. С. Ивачев, Исследование класса дифференцируемых функций в кольцах классов вычетов по примарному модулю, ПДМ. Приложение, 2014, выпуск 7, 19 22 Использование

Подробнее

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов.

Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Разложимые формы, решетки, единицы и число классов идеалов. Задача (Теорема Блихфельда). Пусть k > 0 - натуральное число, X R n, Vol(X) > k. Докажите, что найдется k + различных точек s 0,..., s k X с

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15 14 Е. Ю. Смирнов 3. Третья лекция, 16апреля 2014 г. 3.1. Аннулятор модуля. Циклические модули. Определение 3.1. Модуль, порождённый одним элементом, называется циклическим. Пример 3.2. Всякий циклический

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования»

Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» Экзамен по курсу «Основы высшей алгебры и теории кодирования» 03.06.15 Вариант 1. 1. Порядок элемента g группы G равен 104. Чему равен порядок элемента g 39? Запишите подробное решение. Решение. Обозначим

Подробнее

обозначает операцию, определенную на группе.

обозначает операцию, определенную на группе. Лекция 4. СТАНДАРТ AES. АЛГОРИТМ RIJNDAEL. Стандарт AES (Advnced Encrypton Stndrd) представляет собой новый стандарт шифрования с одним ключом, который заменил стандарт DES. Алгоритм Rjndel (рейн-дал)

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Вращения твердых тел

Вращения твердых тел Вращения твердых тел. Группа вращений твердого тела с закрепленной осью: O(2). 2. Группа вращений твердого тела закрепленной точкой: O(3). 3. Основные формулы тригонометрии. 4. Существование неподвижной

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее