Методы решения задач с параметром

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методы решения задач с параметром"

Транскрипт

1 Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов» Руководитель: Шкулепо Валентина Николаевна Учитель математики высшей категории. МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов» 1

2 Содержание: I. Введение....3 II. Основная часть исследования: 1) Понятие параметра.4 2) Алгебраический метод...5 3) Графический метод 6-7 4) Решение с помощью производной ) Метод симметрии III.Приложение IV. Заключение...15 V. Список литературы

3 Введение Я считаю, что данная тема является актуальной, потому что данный раздел либо не включен в образовательную программу средней школы, либо ему уделяется очень мало внимания. Однако задачи с параметром встречаются почти во всех вариантах ЕГЭ, а именно во второй части, в задании 18. И лишь 2-3% учащихся решают их верно, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметром, учащимися школ по-прежнему остается актуальным. Я выбрал данную тему для исследования, так как задачи с параметром играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность. Цель работы: Систематизировать знания по данной теме, поэтапно разобрать каждый метод решения задач с параметром и выбрать самый рациональный. Задачи работы: 1. Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме. 2. Рассмотреть теорию, связанную с решением задач с параметрами. 3. Освоить методы решения заданий с параметром и выявить наиболее рациональный и удобный. 4. Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе. Объект исследования: Уравнения и неравенства с параметром. 3

4 Основная часть исследования Понятие параметра: Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим. Решить уравнение или неравенство с параметром значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра. Основной принцип решения уравнений (неравенств) с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение (неравенство) решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению (неравенству) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения (неравенства). В отношении уравнений (неравенств) с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи. 1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения (неравенства). 2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным требованиям. Например, при каком значении параметра уравнение(неравенство): не имеет корней(решений), имеет 2 различных корня, имеет более 3-х корней(решений), имеет единственный(-ое) корень(решение) и так далее. 4

5 Алгебраический метод Первый метод алгебраический. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Пример 1: Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2cos(2x)-4аcos(x)+ а 2 +2=0 не имеет решений. Решение: Проведем простейшие преобразования: 2cos(2x)-4аcos(x)+а 2 +2=0, 2(2cos 2 (х)-1)-4аcos(x)+а 2 +2=0, 4cos 2 (x) - 4acos(x)+а 2 =0, (2cos(x)-a ) 2 =0, сos(x)=a/2 Данное уравнение не имеет решений, если a/2 >1, т.к сos (x) 1 a>2, a<-2 Ответ: a є ( ; -2) и (2;+ ) Пример02: При каких значениях параметра a неравенство x 2 +(a+2)x 8a 1>0 имеет хотя бы одно решение? Приведем данное неравенство к положительному коэффициенту при x 2 : x 2 +(a+2)x 8a 1>0 x 2 (a+2)x+8a+1<0. Вычислим дискриминант: D=(a+2) 2 4(8a+1)=a 2 +4a+4 32a 4=a 2 28а. Чтобы данное неравенство имело решение, необходимо, чтобы хотя бы одна точка параболы лежала ниже оси x. Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство a 2 28a>0. Квадратный трехчлен a 2 28a имеет два корня: a1=0, a2=28. Поэтому неравенству a 2 28a>0 удовлетворяют промежутки a ( ;0) (28;+ ). Ответ: a ( ;0) (28;+ ). 5

6 Графический метод Графический способ удобно использовать, когда в уравнении или неравенстве требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Пример 1: Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а: Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции:. Это парабола, ветви направлены вверх, корни равны:, отсюда можно найти координаты вершины:. После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем:, для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси х. Далее необходимо рассечь график семейством прямых, найти точки пересечения и выписать ответ. Глядя на график, выписываем Ответ: при решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения. 6

7 Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение 3x 4 +4x 3-12x 2 = a имеет не менее трех корней? Решение: Построим график данной функции f(x)= 3x 4 +4x 3-12x 2 и f(x)=0; Возьмем производную из нашей функции: f (x)=12x 3 +12x 2-24x=12x(x+2)(x1) Решая неравенства 12x(x+2)(x-1) > 0 и 12x(x+2)(x-1) < 0,получаем, что при xmin=-2 (точка min), xmax=0 (точка max), xmin=1(точка min) f(-2)=-32 f(0)=0 f(1)=-5 Построим схематически график функции, учитывая точки экстремума: График позволяет нам ответить на вопрос, поставленный в задаче: Уравнение 3x 4 +4x 3-12x 2 = a имеет не менее трех корней, если -5 a 0, а є [-5;0] Ответ: а є [-5;0] 7

8 Решение с помощью производной Чтобы найти все значения параметра t, при которых уравнение f(x)=g(t) разрешимо (имеет хотя бы одно решение), надо: 1) найти множество значений функции f(x), когда х пробегает область определения функции. 2) потребовать, чтобы значения функции g(t) менялись на этом множестве. Например, если множество значений f(x) промежуток [A;B], то уравнение f(x) = g(t) разрешимо для значений параметра t, удовлетворяющих неравенствам: A<g(t)<B. Очевидно, что для всех остальных значений t уравнение f(x) = g(t) не имеет решений. Замечание: при нахождении множества значений функции можно воспользоваться всеми правилами нахождения наибольшего и наименьшего значений на промежутке, включая правила, основанные на использовании производной. Пример 1. Найти все a при которых минимум функции f(x)=3 x-a + x²+x-2 меньше 2. Первый модуль определяется числом a, которое может быть каким угодно, зато раскрытие второго модуля зависит только от нулей трехчлена x 2 + x - 2, то есть от чисел -2 и 1. Становится ясно, что если мы знаем, как расположено a по отношению к названным числам, то раскрытие модулей не будет сложным. Случай 1. а -2.Раскроем последовательно модули: а) Если x a, то f(x)=3a-3x+x²+x-2=x²-2x+3a-2 Тогда f (x)=2x-2<0 при x a<1, то есть функция убывает на этом промежутке; б) если a x -2, то f(x)=3x-3a+x²+x-2=x²+4x-3a-2. Тогда f (x)=2x+4 0 при x -2, функция убывает на отрезке [a;-2]; в) если -2 x 1, то f(x)=3x-3a-x²-x+2= -x²+2x-3a+2, тогда f (x)=-2x+2=-2(x-1)>0 и f(x) возрастает; г) если x 1 f(x)=3x-3a+x²+x-2= x²+4x-3a-2, 8

9 тогда f (x)=2x+4>0 и опять f(x) возрастает, минимум функции достигается в точке x=-2, т.е. уmin = f(-2)=-3a-6. Этот минимум должен быть меньше 2, откуда получаем -3a-6<2, a>-8/3. Мы рассмотрели случай а -2. Отсюда следует: а Є(-8/3;-2). Случай < a 1 а) Если x -2, то f(x)=3a-3x+x²+x-2=x²-2x+3a-2. Тогда f (x)=2x-2<0 и f(x) убывает; б) если -2 x a, то f(x)=3a-3x-x²-x+2=-x²-4x+3a+2. Тогда f (x)=-2x-4<0-2(x+2)<0, на этом промежутке f(x) убывает; в) если a x 1, то f(x)=3x-3a-x²-x+2= -x²+2x-3a+2. Тогда f (x)=-2x+2=-2(x-1)>0, f(x) возрастает; г) если x 1 f(x)=3x-3a+x²+x-2= x²+4x-3a-2, тогда f (x)=2x+4>0 и опять f(x) возрастает. Значит, уmin = f(а)=-а 2 а +2 И согласно условию, -a²- a+2<2, a²+a>0 a<-1 или а>0. Отсюда, ответ находится на промежутке aє(-2;-1) и a Є(0;1]. Случай 3. a>1 а) Если x -2, то f(x)=3a-3x+x²+x-2=x²-2x+3a-2. Тогда f (x)=2x-2<0 и f(x) убывает; б) если -2 x 1, то f(x)=3a-3x-x²-x+2=-x²-4x+3a+2. Тогда f (x)=-2x-4<0-2(x+2)<0, на этом промежутке f(x) убывает; в) если 1 x а, то f(x)= x²-2x+3a-2. Тогда f (x)=2x-2=2(x-1)>0, f(x) убывает. г) если x а, то f(x)=3x-3a+x²+x-2= x²+4x-3a-2 тогда f (x)=2x+4>0 и f(x) возрастает. Значит, уmin = f(1)= 3а-3 По условию, 3a-3<2 x<5/3. Теперь осталось полученные три части ответа сложить в одну. Ответ: a Є (-8/3;-1) и (0;5/3). Пример 2. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [ 1;2]. 9

10 Решение: Пусть Рассмотрим уравнение Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению Рассмотрим функцию: и для уравнения определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а. Найдём производную: Отсюда следует, что на промежутках функция убывает, а на промежутке возрастает. Следовательно, точка x = 1 точка минимума, а минимум равен 7. Из полученных свойств функции следует, что при любом значении a данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень, и поскольку то при уравнение имеет ровно один корень на отрезке при уравнение не имеет корней на При a = 7 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке Поскольку то при на отрезке уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке Решим два неравенства и уравнение: Получим: Ответ: 10

11 Метод симметрии Довольно часто среди задач с параметрами встречаются такие, в которых требуется единственность решения. В ряде случаев необходимо обратить внимание на внешний вид условия задачи. Различного рода симметрии (симметрия областей значений, областей определения; симметрия относительно переменных) могут значительно упростить поиск искомых значений параметра. Пример 1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение b 2 x 2 b tg(cos( x)) + 1 = 0 (1) имеет единственное решение. Решение: Уравнение (1) не меняет своего вида при замене x на ( x) (ведь x 2 и cos x чётные функции). Иными словами, уравнение (1) симметрично относительно преобразования x ( x) (то есть относительно отражения в начале координат). Следовательно, данной симметрией будут обладать и решения данного уравнения. Именно, если x0 корень уравнения (1), то и число ( x0) будет его корнем. Вместе с тем, в задаче требуется, чтобы решение было только одно. Единственная возможность корнем уравнения (1) является нуль. В самом деле, если уравнение имеет ненулевое решение, то всего решений будет как минимум два. Подставляя x = 0 в уравнение (1), получаю b tg = 0, откуда b = ctg 1. Это необходимое условие на b (только при таком b наше уравнение может иметь нулевое решение). Теперь вопрос в том, является ли это условие достаточным; то есть, окажется ли при b = ctg 1 нулевое решение и в самом деле единственным, или же уравнение (1) будет иметь и другие корни помимо нуля. Для выяснения достаточности условия (2) подставлю данное значение b в уравнение (1): ctg 2 1 x 2 ctg 1 tg(cos (x)) + 1 = 0. Перепишу это следующим образом: tg(cos x)/ tg 1 = 1 + x 2 /tg 2 1. (3) Тангенс является возрастающей функцией на интервале ( π/2 ; π/2). Косинус, являющийся аргументом тангенса, принимает значения из отрезка [ 1; 1], а этот отрезок находится внутри интервала ( π/2 ; π/2). Следовательно, справедливо неравенство tg(cos (x)) <= tg 1, то есть левая часть уравнения (3) не превосходит 1. В то же время правая часть (3) не меньше 1, и равенство возможно лишь в том 11

12 случае, когда обе они равны 1, то есть при x = 0. Итак, я показал, что условие (2) является достаточным: при b = ctg 1 уравнение (1) имеет единственное (нулевое) решение. Ответ: b = ctg 1. Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение 2x 2 -a tg(cos(x))+a 2 =0 имеет единственное решение? Решение: Так как функция y = 2x 2 -a tg(cos(x))+a 2 четна, то наряду с каждым решением х0 уравнение будет иметь решение ( х0). Для единственности решения необходимо, чтобы х0 = (-х0), то есть х0 = 0 Подставлю х0 = 0 в уравнение и получим: a tg(cos0)+a 2 = 0 а 2 -a tg1=0 а(a-tg1)=0 a=0 или a=tg1 Ответ: а=0 или а=tg1 Приложение В этом пункте я бы хотел показать пару прототипов 18 задания, которые вполне вероятно могут встретиться на ЕГЭ. Пример 1. Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a. Решение: Пусть число решение данного уравнения при некотором значении параметра Тогда число есть его решение при том же значении Если решение единственно, то решения и совпадают, то есть Подставив это решение в исходное уравнение, получаю: 12

13 откуда Пусть Тогда исходное уравнение примет вид Отсюда что следовательно, Исходное уравнение принимает вид решение следует, и оно имеет единственное удовлетворяющее условию Следовательно, удовлетворяет условию задачи. Ответ: при единственное решение Пример 2. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства состоит из одной точки, найдите это решение. Решение: Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и ( x) тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак, Нуль не является положительным числом, значит, условию. При имеем: не соответствует 13

14 него: Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на Итак, подходит. Ответ: При этом 14

15 Заключение Подведем итоги, в процессе исследования я познакомился с понятием параметра, освоил различные методы решения уравнений и неравенств с параметром, рассмотрел каждый из методов на конкретных примерах, выяснил, какого типа задания могут встретиться мне на ЕГЭ во второй части. Также я узнал много новой информации, отличной от той, что включена в школьную программу. Изучая методы решения уравнений и неравенств с параметром, я использовал различную литературу, ресурсы интернета, а также консультировался с педагогом. Вывод: В ходе исследования я пришел к выводу, что нельзя выделить один из методов как самый рациональный и удобный, так как каждый из них посвоему хорош и практичен в применении к определенному типу заданий. Обобщив и систематизировав знания по методам решения задач с параметром, я убедился в необходимости знаний по данной теме. Я уверен, что навыки, приобретенные в ходе работы, пригодятся мне в будущем. 15

16 Список литературы 1) Кожухов С.К. Уравнения и неравенства с параметром. Орел, ) Задачи с параметрами и методы их решения. Крамор В.С. М.: Оникс; Мир и Образование; с. 3) Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:МЦНМО, с. 4) Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами. Количество решений. 5) Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. Высоцкий В.С. М.: с. 6) Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, ) Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. М.: Школа Пресс, ) Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. М.: Наука, Интернет-ресурсы: 1) - подготовка к олимпиадам и ЕГЭ по математике и физике. 2) образовательный портал Решу ЕГЭ. 3) - Википедия свободная энциклопедия. 4) сайт для подготовки к ЕГЭ. 16

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С Шестаков, М Галицкий, Москва УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений»

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos.

,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма. + ) = sin cos + cos sin < cos + cos, а значит cos cos + cos. Задача 1 Сумма трѐх положительных углов равна 90 o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего? Пусть,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90 o, все они

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ Домашнее задание по задачам С5 к лекции по подготовке к ЕГЭ Задача 1 При каких р данная система имеет решения? Задача При каждом а решите систему уравнений: Задача 3 При каких значениях параметра а прямая

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр.

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр. Федеральное агентство по образованию Уральский государственный университет им. А.М. Горького Специализированный учебно-научный центр Математика Алгебра Задания 1 4 для заочного класса (2005 2006 учебный

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства. Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5

Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5 Задачи с параметрами Неравенства. задачи типа заданий С 5 Общие сведения 1. При решении неравенств с модулем пользуемся тем, что a, a, a a x a. xa. a, a, a a x a. xa. Дитярь М.Б.. Изобразить на координатной

Подробнее

Инвариантность и задачи с параметрами

Инвариантность и задачи с параметрами Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

В зависимости от значений параметра k решить уравнение. lg(x + 1) = 2 (1) x + 1 > 0, Тогда исходное уравнение равносильно следующему:

В зависимости от значений параметра k решить уравнение. lg(x + 1) = 2 (1) x + 1 > 0, Тогда исходное уравнение равносильно следующему: В зависимости от значений параметра k решить уравнение lg(kx) lg(x + 1) = (1) О.Д.З.: kx > 0, x + 1 > 0, x + 1 1. Тогда исходное уравнение равносильно следующему: lg(kx) = lg(x + 1) kx = (x + 1) Определим

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2

Задания для самостоятельного решения. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 3 1в точках с абсциссами x 0 =-1 и x 0 =2 Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических. Отбор корней в тригонометрических Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов АГ, г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА,

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений.

Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений. Московский физико-технический институт Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

1 t. Вариант 3 С1 Решите систему уравнений. Решаем подстановкой. Корень t = не подходит, т.к. 3 y > 0. Находим х. Ответ:

1 t. Вариант 3 С1 Решите систему уравнений. Решаем подстановкой. Корень t = не подходит, т.к. 3 y > 0. Находим х. Ответ: Вариант С Решите систему уравнений. y y cos cos Решаем подстановкой y y y t t t t t t, Корень t не подходит, т.к. y Тогда y y Находим х. cos cos ±, Ответ: ±, y Вариант С Решите систему уравнений. si y

Подробнее

Задание С5 единого ГЭ 2005 года.

Задание С5 единого ГЭ 2005 года. Даны два уравнения: Задание С5 единого ГЭ 2005 года. 2 (6p 70)x + 5p 42 = p 1 4x и (1 + 2 p 11 p 15 ) x = 28 3x. Значение параметра p 15 выбирается так, что при умножении числа различных корней первого

Подробнее

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x Тема: Исследование функций Обор корней показательных уравнений Подготовка к ЕГЭ (задание ; ; 8) Производная Формулы дифференцирования: 0 Const k m k n n n sin cos cos sin cos sin tg ctg ln Правила дифференцирования:

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена

УВК школа-лицей 2. Уравнение с модулем. Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена УВК школа-лицей 2 Уравнение с модулем Творческая работа по алгебре Работу выполнила: ученица 8-Б класса Воропай Милена Армянск 2012 с Глава I Тема: Решение уравнений, содержащие модуль Цель работы: показать

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Неравенства Модуль для 0 класса Учебно-методическая

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

Условный экстремум. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Условный экстремум В предыдущем листке «Область значений функции» мы, в частности, выяснили, как в некоторых случаях найти наибольшее и наименьшее значение

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в

Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в Ребята, мы с вами изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике система неравенств. Система неравенств похожа на

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметром. Задание 13. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения и неравенства с параметром. Задание 13. Однородные тригонометрические уравнения Вебинар 5 (6-7) Тема: Тригонометрические уравнения Уравнения и неравенства с параметром ЕГЭ Профиль Задание. Однородные тригонометрические уравнения Уравнение вида asin bcos asink bcosk называют однородным

Подробнее

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными Система уравнений вида называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному УДК 7:51 ББК 22.1я72 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 20. Задачи с параметром Под ред. И. В. Ященко Электронное издание М.: МЦНМО, 2015 240 с. ISBN 978-5-449-2122-8 Рабочая тетрадь по математике

Подробнее

1 Корни и их количество

1 Корни и их количество 1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Исследование квадратного трехчлена

Исследование квадратного трехчлена Исследование квадратного тречлена Пусть f(x) = ax 2 + bx + c имеет действительные корни x 1 и x 2, а M какое-нибудь действительное число, D = b 2 4ас - дискриминант При решении конкретны задач нужно особо

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

2015 года (профильный уровень).

2015 года (профильный уровень). Разбор заданий демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2015 года (профильный уровень). Обсуждаются некоторые задания из той части варианта, которая предполагает развернутое решение задач, проверяемое

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Функция y= sin x неотрицательна при. а функция y = 1 положительна при. и при x=π n не определена. π Функция y= sin x на промежутке π

Функция y= sin x неотрицательна при. а функция y = 1 положительна при. и при x=π n не определена. π Функция y= sin x на промежутке π МЕТОДИЧЕСКИЙ ИЙ ЛАРЕЦ ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ В ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИОННОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ П Ф Севрюков, г Ставрополь Задания, в которых в той или иной мере при ходилось исследовать функции и строить их графики,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

РОНО Устиновского района г. Ижевска МОУ СОШ 32

РОНО Устиновского района г. Ижевска МОУ СОШ 32 РОНО Устиновского района г. Ижевска МОУ СОШ 32 Исследовательская работа на тему: Симметрия в алгебре. Выполнил: Ученик 10 класса М МОУ СОШ 32 Н.Д. Баженов. Учитель: П.А.Стаханова Ижевск, 2009 1 Содержание:

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Исследование функций Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Исследование функций Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения............................ 1 2 Выделение полного квадрата...............................

Подробнее