ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Составитель: доцент Демиденко Н.Ю. Новосибирск 03

2 РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Модуль 3. Математическая статистика Тема 3. Выборочный метод 3.. Генеральная и выборочная совокупности 3... Статистическое распределение выборки Эмпирическая функция распределения Полигон и гистограмма Тема 3.. Статистическое оценивание параметров распределения 3...Точечные оценки 3... Интервальные оценки Вопросы для самоконтроля Задания для самоконтроля Приложения.

3 Тема 3.. Выборочный метод 3... Генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить некоторую совокупность однородных объектов относительно какого-либо качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. В этих случаях проводят либо сплошное обследование, либо, если число объектов велико или обследование связано с уничтожением объекта, то обследуют некоторую часть объектов из общей совокупности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность однородных объектов, которую требуется изучить по количественному или качественному признаку, называется генеральной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность, полученная из генеральной совокупности, над которой проводится сплошное обследование, называется выборочной совокупностью или выборкой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Количество объектов, находящихся в генеральной или выборочной совокупности, называется объемом генеральной совокупности или объемом выборки и обозначается соответственно N и. Например, чтобы дать ответ об эффективности некоторого препарата для лечения гриппа, необходимо его проверить в отношении всех больных на земном шаре, страдающих этим заболеванием. Такая группа больных относится к генеральной совокупности. Однако эта проверка чрезвычайно трудоемка и технически невозможна. Поэтому на практике клиническая апробация нового препарата проводится на ограниченном контингенте больных, который представляет собой выборочную совокупность. Так как о поведении генеральной совокупности судят по ее выборке, то она должна наиболее полно характеризовать свойства и особенности генеральной совокупности, то есть быть репрезентативной (представительной). Это достигается использованием принципа случайного отбора объектов исследования из генеральной совокупности, обеспечивающего одинаковую вероятность любому исследуемому объекту попасть в выборку.

4 3... Статистическое распределение выборки. В ходе экспериментов исследователь получает набор числовых данных, отражающих результаты измерений или наблюдений исследуемых объектов. Совокупность этих числовых данных, представленных в виде последовательности результатов наблюдений есть выборка из генеральной совокупности. Основная задача первичного статистического анализа состоит в том, чтобы по имеющимся экспериментальным данным охарактеризовать исследуемую генеральную совокупность небольшим числом параметров. Пусть на базе генеральной совокупности произведен отбор и получена выборка, которую надо исследовать относительно некоторого признака Х. Замечено, что значение исследуемого признака х наблюдалось раз; значение х встречалось раз; х раз, причем - объему выборки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наблюдаемые значения х называются вариантами, а последовательность неповторяющихся вариант, записанная в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Числа наблюдений частотами (частотами), а называются абсолютными w - относительными частотами, причем w. Замечание. Относительная частота является статистическим аналогом вероятности случайного события. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим распределением выборки для дискретной случайной величины Х называется перечень вариант соответствующих им частот или относительных частот х вариационного ряда и w. Если случайная величина Х является непрерывной, то статистическое распределение выборки задается в виде последовательности частичных интервалов и соответствующих им частот или относительных частот Для построения интервального вариационного ряда и интервального статистического распределения выборки выполняют следующие действия: w. - определяют наименьшее m и наибольшее ma значения варианты; - находят размах варьирования R ma m ;

5 - если в задаче количество интервалов не задано, то выбирают число интервалов из соотношения ; - находят длину частичного интервала, называемую шагом R h ; - разбивают интервал варьирования на частичные интервалы длины h : h, h ; h,..., m m m m m h ; ; ; - находят середины каждого частичного интервала х ; ma -определяют частоту для каждого интервала -й частичный интервал. - количество вариант, попавших в Эмпирическая функция распределения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция F ( ), определяющая для каждого значения относительную частоту события F X : ( ) где - число вариант, меньших ; - объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами: ) 0 F ( ) ; ) F ( ) - неубывающая функция;, то F ( ) 0 при х х и F ( ) при х. 3) если ; Эмпирической функцией распределения F ( ) играет фундаментальную роль в статистическом анализе. Важнейшее ее свойство состоит в том, что при увеличении числа наблюдений над признаком X происходит сближение этой функции с теоретической функцией F (). По этой причине эмпирическую функцию распределения F ( ) часто называют статистическим аналогом теоретической функции F ().,

6 3..4. Полигон и гистограмма Для графического изображения статистического распределения строят полигон и гистограмму. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полигоном частот называется ломаная линия на плоскости, отрезки которой соединяют точки с координатами ( ; ), где х - варианта статистического распределения или середина -го частичного интервала для непрерывного признака, -соответствующая частота. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полигоном относительных частот называется ломаная линия на плоскости, отрезки которой соединяют точки с координатами ( ; w ), где х - варианта статистического распределения или середина -го частичного интервала для непрерывного признака, w - соответствующая частота. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению частоты к шагу h, называемому плотностью частоты. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению относительной частоты к шагу называемому плотностью относительной частоты. Построение полигонов и гистограмм позволяет произвести первичный анализ экспериментальных данных, а именно: по форме полигона и гистограммы сделать предположение о законе распределения случайной величины; выявить наиболее часто встречающееся значение исследуемой величины и разброс или отклонение экспериментальных данных относительно этого значения. w, h ПРИМЕР. Абитуриентами на вступительных экзаменах были получены следующие суммы баллов: 4, 0, 8,, 6,, 4,, 9, 0,, 6,, 9,, 7, 0, 8,, 4,, 5,, 6, 3, 9, 0, 7, 5, 3, 7, 4,, 8, 3, 8, 0, 6, 3, 9,, 5, 3, 0, 8. Требуется

7 ) построить непрерывное и дискретное статистическое распределение исследуемого признака Х полученной суммы баллов; ) найти и построить эмпирическую функцию распределения F (); 3) построить полигон и гистограмму абсолютных частот. РЕШЕНИЕ. ) Построение статистического распределения: -определяем объем выборки: определяем наименьшее m =6 и наибольшее ma =8 значения варианты; - находим размах варьирования R ma m =8-6=; -так как в задаче количество интервалов не задано, то выбираем число интервалов из соотношения 45 6; R - находим длину частичного интервала, называемую шагом h ; 6 - разбиваем интервал варьирования на частичные интервалы длины h =: ;8, 8 ; 0, 0 ;, ; 4, 4 ; 6, 6 ; 8 6 ; - находим середины каждого частичного интервала х :7, 9,, 3, 5, 7. -определяем частоту для каждого интервала: ый частичный интервал: 5, 8,, 0, 7, 3; - количество вариант, попавших в - - строим статистическое распределение для непрерывного и дискретного распределения признака. Непрерывное статистическое распределение: ; [6 8) [8 0) [0 ) [ 4) [4 6) [6 8] Дискретное статистическое распределение: ) Эмпирическая функция распределения строится по дискретному статистическому распределению:

8 - наименьшая варианта m =7, поэтому F ( ) 0 при х 7 ; - значение X 9, а именно 7, наблюдалось 5 раз, следовательно, 5 F ( ) при 7 9 ; значения X, а именно 7 и х 9, наблюдались 5+8=3 раз, следовательно, 3 F ( ) при 9 ; 45 - значения X 3, а именно 7, х 9 и х, наблюдались 5+8+=5 раз, 5 5 следовательно, F ( ) при 3 ; значения X 5, а именно 7, х 9, х и х 3, наблюдались =35 раз, следовательно, F ( ) при 3 5; значения X 7, а именно 7, х 9, х, х 3 и х 5, наблюдались =4 раза, следовательно, F ( ) при 5 7 ; 45 - наибольшая варианта ma =7, поэтому F ( ) при х 7. Тогда эмпирическая функция распределения и ее график будут иметь вид: / 45 3/ 45 F ( ) 5/ 45 35/ 45 4 /

9 F() 4/45 35/45 5/45 3/45 5/ х Рис.. Эмпирическая функция распределения. 3) Для построения полигона и гистограммы абсолютных частот сводим данные в таблицу, добавляя строку, содержащую плотность частоты интервала: для каждого h ; [6 8) [8 0) [0 ) [ 4) [4 6) [6 8] /, ,5,5 Строим полигон абсолютных частот, соединяя отрезками ломаной линии точки с координатами ; ) - соответственно вторая и третья строки таблицы: ( х Рис.. Полигон абсолютных частот.

10 Для изображения гистограммы строим прямоугольники, основаниями которых служат частичные интервалы длины h (первая строка таблицы), а высоты равны плотности абсолютной частоты h (четвертая строка таблицы): h ,5,5, Рис.3. Гистограмма абсолютных частот. 3.. Статистическое оценивание параметров распределения В результате обработки данных выборки получаются выборочные значения числовых характеристик, которые отличаются от соответствующих значений параметров распределения генеральной совокупности. Основной причиной этого отличия является ограниченный объем выборки. С целью получения достоверных результатов производится оценивание числовых характеристик генеральной совокупности с помощью статистических оценок. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистической оценкой (оценкой) называется числовая характеристика, вычисленная по данным выборки. Статистические оценки бывают двух видов: точечные и интервальные. Задача определения этих оценок называется статистическим оцениванием. 3...Точечные оценки ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точечной называется статистическая оценка, если неизвестный параметр оценивается одним числом.

11 Для того чтобы статистическая оценка правдоподобно представляла теоретическое распределение, на нее накладываются следующие требования: несмещенность, эффективность и состоятельность. Пусть требуется оценить параметр теоретического распределения. На основе выборки был получен параметр статистического распределения выборки одного и того же объема, можно получить:,,...,. Делая различные. Тогда оценку рассматривать как случайную величину, а (, ) как ее возможные значения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несмещенной называется статистическая оценка, можно математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть Если M ( ). M ( ), то оценка называется смещенной. Но даже несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра, если возможные значения значения, то есть дисперсия D ( ) значительна. сильно рассеяны вокруг своего среднего ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эффективной называется статистическая оценка, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию, то есть D ( ) m. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Состоятельной называется статистическая оценка, которая приближается (сходится по вероятности) к оцениваемому параметру, то есть lm P для любого 0. Статистической точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя, дисперсии выборочная дисперсия, среднего квадратического отклонения выборочное среднее квадратическое отклонение или выборочный стандарт. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выборочной средней называется величина, определяемая соотношением:, () где - объем выборки, - варианта статистического распределения или середина ого частичного интервала для непрерывного признака, -соответствующая частота.

12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выборочной дисперсией соотношением: где - объем выборки, D B D B называется величина, определяемая, () - варианта статистического распределения или середина ого частичного интервала для непрерывного признака, -соответствующая частота, - выборочная средняя. Из определения выборочной дисперсии следует более простая и удобная формула, которую целесообразно применять в практических задачах: D B. (3) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии:. (4) Статистическими методами установлено, что является оценкой несмещенной и D B эффективной, а D B - оценка смещенная. С целью устранения этого недостатка вводят в рассмотрение исправленную выборочную дисперсию несмещенной и эффективной: S D B S, которая является уже оценкой Из соотношения (3) следует более удобная формула для вычисления S. (5) S : ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Исправленным выборочным средним квадратическим отклонением S или выборочным стандартом называется корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: S S. (7) Если объем выборки велик, значения вариант достаточно большие или очень малые числа, то вычисления по выше приведенным формулам весьма трудоемко. В этих случаях используют так называемый метод рабочего нуля или условной варианты. Этот метод (6)

13 применяется только тогда, когда возможные значения признака (варианты) равноотстоят друг от друга с шагом h. Вводят условные варианты: где u A, (8) u - условные варианты, A - рабочий нуль, равный значению варианты с наибольшей частотой или варианты, близкой к середине распределения. Формулы для вычисления выборочной средней и исправленной выборочной дисперсии с использованием условных вариант имеют вид: A h h u h S u u (0) (9) Замечание. Для проверки правильности определения статистических оценок выборочной средней и выборочной дисперсии D B или S принято производить вычисления двумя способами: по определению (формулы (), (3) или (6)) и с использованием метода рабочего нуля или условной варианты (формулы (9) и (0)). Результаты вычислений по обоим методам должны совпадать, так как формулы (9) и (0) получаются путем преобразования формул () и (6). После определения исправленной выборочной дисперсии квадратическое отклонение S по формуле (7). S вычисляется исправленное выборочное среднее В случае, когда варианты большие числа, но не являются равноотстоящими вариантами, переходят к условным вариантам среднему значение варианты. Формулы для определения статистических оценок примут вид: u A, где А среднее или близкое к ; D В u u. ПРИМЕР. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

14 u РЕШЕНИЕ. Варианты большие числа, поэтому целесообразно перейти к условным вариантам 360. В итоге получим распределение условных вариант: Объем выборки =00. Воспользуемся формулой: D 00 В u u , 9 ОТВЕТ. 67,9. х u Интервальные оценки В некоторых случаях представляет интерес не получение точечной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности, а определение некоторого интервала, в котором может находиться этот параметр с заданной вероятностью. Интервальное оценивание более эффективно при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надежна. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал как бы «накрывает» содержащийся в нем неизвестный параметр и гарантирует, с какой вероятностью оцениваемый параметр будет находиться внутри этого интервала. Вероятность, с которой гарантируется попадание параметра генеральной совокупности внутрь доверительного интервала, называется доверительной вероятностью или надежностью оценки. Чаще в качестве доверительных вероятностей используются следующие уровни вероятности: = 0,95; = 0,99 или

15 = 0,999. Это означает, что параметр генеральной совокупности попадет в указанный интервал в первом варианте в 95 случаях из 00, во втором в 99 случаях из 00 и в третьем случае в 999 случаях из000. В некоторых случаях указывается не доверительная вероятность, а вероятность противоположных случаев, когда параметр не попадает в указанный интервал. Вероятность таких маловозможных случаев называется уровнем значимости и определяется из соотношения. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал: где t t a, () t - точность оценки, - объем выборки, t - значение функции Лапласа (t) (см. Приложение ), при котором ( t ) /. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал: t S a t S, () где S - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, - объем выборки, t находят из Приложения 3 по заданным значениям и. ПРИМЕР. Для статистического распределения предыдущего примера Дискретное статистическое распределение:

16 ) вычислить двумя способами выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию S ; исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S; ) найти доверительный интервал с надежностью =0,95 для оценки математического ожидания a нормального распределения генеральной совокупности. РЕШЕНИЕ. Вычисление выборочной средней и исправленной выборочной дисперсии проведем двумя способами. Для удобства составим расчетную таблицу по данным, полученным в предыдущем примере: u u u В данном примере в качестве рабочего нуля принята варианта A, имеющая наибольшую частоту, равную. Условные варианты значении шага h =. u найдены по формуле (8) при В последней строке таблицы найдены суммы по соответствующему столбцу, которые используются в формулах вычисления оценок. ) Вычисляем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию по определению, используя формулы () и (6) при =45: 6 975,(6) ; 45 6 S (, (6)) 45 (477 4, (9)) 35,0 8,

17 Вычисляем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию по методу рабочего нуля или условной варианты, используя формулы (9) и (0) при =45: S 4 44 A h h ,0. u 6 6 u u ,(6),(6); (5) Сравнивая результаты определения выборочной средней и исправленной выборочной дисперсии S по обоим методам, убеждаемся в правильности проведенных вычислений и получаем:,(6) ; S 8, 0. Далее, используя формулу (7), находим исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение или выборочный стандарт: S S 8,83. ) По условию среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности не известно, а известно найденное в пункте ) выборочное среднее квадратическое отклонение S, 83. Поэтому для нахождения доверительного интервала пользуемся двойным неравенством (): t S t a Из таблицы Приложения 3 при значениях надежности 0, 95 и объему выборки 45 находим t, 06. S Подставляем значения интервал:, t,, S в неравенство () и вычисляем доверительный,06,83,06,83,(6) a,(6) ; ,7058 5,7058,(6) a,(6) ; 6,708 6,708,(6) 0,85 a,(6) 0,85; 0,8(6) a,5(6).

18 Округляя по правилам математики периодическую дробь, получим приближенно: 0,8 a,5. Таким образом, получаем, что математическое ожидание генеральной совокупности с доверительной вероятностью 0, 95 принадлежит интервалу a 0,8;,5. ОТВЕТ. ),(6) ; S 8,0; S,83. ) a 0,8;,5 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки и методы отбора.. Статистическое распределение выборки. 3. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма. 4. Понятие статистической оценки. Точечная оценка числовых характеристик и требования к ней. Точечная оценка математического ожидания. Методы ее вычисления. 5. Точечная оценка дисперсии случайной величины. Исправленная оценка. Методы ее вычисления. 6. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. 7. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной величины при известно и неизвестной дисперсии. 8. Понятие статистической гипотезы. Уровень значимости. Критическая область и область принятия гипотезы. Алгоритм проверки статистической гипотезы. 9. Задача о проверке гипотезы о виде теоретического распределения. Критерии согласия статистического и теоретического распределений. Критерий Пирсона. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Записать статистическое распределение выборки для дискретной случайной величины по данным: 5; 3; 7; 0; 5; 5; ; 0; 7; ; 7; 7. х

19 Ответ: 3 4. Выборка задана в виде распределения частот: х Найти распределение относительных частот. Ответ: х w 0,5 0, 0,5 0,5 выборки: 3. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению х Ответ: 0 при 0. при 5 F ( ) 0.4 при при 7 8 при 8 4. Из генеральной совокупности извлечена выборка: Найти несмещенную оценку генеральной средней. Ответ: =5,76. х Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки: х

20 Указание: Варианты большие числа, поэтому целесообразно перейти к условным вариантам u 60. Ответ: =6. 6. По выборке объема = 65 найдена смещенная оценка D B = 8 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку генеральной совокупности. Ответ: S =8,5. 7. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9;;. Найти: выборочную среднюю результатов измерений; выборочную дисперсию ошибок прибора. Ответ: =0, D B =,5. 8. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки: х 0, 0,5 0,6 0, Указание: Для того чтобы избежать действий с дробями, целесообразно перейти к условным вариантам u 0. Ответ: D ( Х ) D ( u) /0 0, 0344 B В. 9. Для данной простой статистической совокупности: 7; 6; 8; ; 3; ; ; 4 известна выборочная дисперсия: дисперсию и выборочный стандарт. Ответ: = 4, S = 7,43, S =,75; D B = 6,5. Найти выборочное среднее, исправленную выборочную 0. По выборке объема = 0 нормально распределенной случайной величины Х найдены = и S = 3,5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины с доверительной вероятностью 0, 95. Ответ: (9,50; 4,50). Указание: Воспользоваться таблицей Приложения 3.

21 Таблица значений интегральной функции Лапласа ПРИЛОЖЕНИЕ z ( ) e dz Φ() Φ() Φ() Φ() 0,00 0,0000 0,9 0,4 0,58 0,90 0,87 0,3078 0,0 0,0040 0,30 0,79 0,59 0,4 0,88 0,306 0,0 0,0080 0,3 0,7 0,60 0,57 0,89 0,333 0,03 0,00 0,3 0,55 0,6 0,9 0,90 0,359 0,04 0,060 0,33 0,93 0,6 0,34 0,9 0,386 0,05 0,099 0,34 0,33 0,63 0,357 0,9 0,3 0,06 0,039 0,35 0,368 0,64 0,389 0,93 0,338 0,07 0,079 0,36 0,406 0,65 0,4 0,94 0,364 0,08 0,039 0,37 0,443 0,66 0,454 0,95 0,389 0,09 0,0359 0,38 0,480 0,67 0,486 0,96 0,335 0,0 0,0398 0,39 0,57 0,68 0,57 0,97 0,3340 0, 0,0438 0,40 0,554 0,69 0,549 0,98 0,3365 0, 0,0478 0,4 0,59 0,70 0,580 0,99 0,3389 0,3 0,057 0,4 0,68 0,7 0,6,00 0,343 0,4 0,0557 0,43 0,664 0,7 0,64,0 0,3438 0,5 0,0596 0,44 0,700 0,73 0,673,0 0,346 0,6 0,0636 0,45 0,736 0,74 0,703,03 0,3485 0,7 0,0675 0,46 0,77 0,75 0,734,04 0,3508 0,8 0,074 0,47 0,808 0,76 0,764,05 0,353 0,9 0,0753 0,48 0,844 0,77 0,794,06 0,3554 0,0 0,0793 0,49 0,879 0,78 0,83,07 0,3577 0, 0,083 0,50 0,95 0,79 0,85,08 0,3599 0, 0,087 0,5 0,950 0,80 0,88,09 0,36 0,3 0,090 0,5 0,985 0,8 0,90,0 0,3643 0,4 0,0948 0,53 0,09 0,8 0,939, 0,3665 0,5 0,0987 0,54 0,054 0,83 0,967, 0,3686 0,6 0,06 0,55 0,088 0,84 0,995,3 0,3708 0,7 0,064 0,56 0,3 0,85 0,303,4 0,379 0,8 0,03 0,57 0,57 0,86 0,305,5 0,3749 0

22 Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ Φ() Φ() Φ() Φ(),6 0,3770,48 0,4306,80 0,464,4 0,4875,7 0,3790,49 0,439,8 0,4649,6 0,488,8 0,380,50 0,433,8 0,4656,8 0,4887,9 0,3830,5 0,4345,83 0,4664,30 0,4893,0 0,3849,5 0,4357,84 0,467,3 0,4898, 0,3869,53 0,4370,85 0,4678,34 0,4904, 0,3883,54 0,438,86 0,4686,36 0,4909,3 0,3907,55 0,4394,87 0,4693,38 0,493,4 0,395,56 0,4406,88 0,4699,40 0,498,5 0,3944,57 0,448,89 0,4706,4 0,49,6 0,396,58 0,449,90 0,473,44 0,497,7 0,3980,59 0,444,9 0,479,46 0,493,8 0,3997,60 0,445,9 0,476,48 0,4934,9 0,405,6 0,4463,93 0,473,50 0,4938,30 0,403,6 0,4474,94 0,4738,5 0,494,3 0,4049,63 0,4484,95 0,4744,54 0,4945,3 0,4066,64 0,4495,96 0,4750,56 0,4948,33 0,408,65 0,4505,97 0,4756,58 0,495,34 0,4099,66 0,455,98 0,476,60 0,4953,35 0,45,67 0,455,99 0,4767,6 0,4956,36 0,43,68 0,4535,00 0,477,64 0,4959,37 0,447,69 0,4545,0 0,4783,66 0,496,38 0,46,70 0,4554,04 0,4793,68 0,4963,39 0,477,7 0,4564,06 0,4803,70 0,4965,40 0,49,7 0,4573,08 0,48,7 0,4967,4 0,407,73 0,458,0 0,48,74 0,4969,4 0,4,74 0,459, 0,4830,76 0,497,43 0,436,75 0,4599,4 0,4838,78 0,4973,44 0,45,76 0,4608,6 0,4846,80 0,4974,45 0,465,77 0,466,8 0,4854,8 0,4976,46 0,479,78 0,465,0 0,486,84 0,4977,47 0,49,79 0,4633, 0,4868,86 0,4979

23 Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ Φ() Φ() Φ() Φ(),88 0,4980,96 0,4985 3,40 0, ,50 0,499997,90 0,498,98 0,4986 3,60 0, ,00 0,499997,9 0,498 3,00 0, ,80 0,49998,94 0,4984 3,0 0,4993 4,00 0, Замечания: ) Φ(х) 0,5 при х > 5; ) Φ(х) нечётная функция: Φ(-х) = - Φ(х).

24 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Таблица значений tγ = t(γ, ) γ = 0,9 γ = 0,95 γ = 0,99 5,3,776 4,604 6,05,57 4,03 8,895,365 3,499 9,860,306 3,355 0,833,6 3,50,796,0 3,06 3,78,79 3,055 4,77,60 3,0 5,76,45,977 6,753,3,947 8,740,0,898 9,734,0,878 0,79,093,86,7,080,83 3,77,074,89 4,74,069,807 5,7,064,797 30,699,045,756 36,690,030,74 40,685,03,708 50,677,00,680 60,67,00,66 70,667,995,649 80,664,990,640 90,66,987,63 00,660,984,66 0,658,980,68 50,655,976,609 80,,973,604 00,653,97,60 5,65,97,598,600,960,576


6. Элементы математической статистики.

6. Элементы математической статистики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «итебский государственный технологический университет» 6. Элементы математической статистики. Кафедра теоретической и прикладной математики. 90 80 70 60

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОБОКУПНОСТИ. Предмет математической статистики.

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОБОКУПНОСТИ. Предмет математической статистики. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОБОКУПНОСТИ Предмет математической статистики. Выборочный метод Предметом математической статистики является изучение закономерностей,

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский национальный исследовательский медицинский университет имени Н.И. Пирогова» Министерства здравоохранения

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате независимых испытаний. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

8) для непрерывной случайной величины построить график функции плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной

8) для непрерывной случайной величины построить график функции плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной Введение Статистические методы обработки результатов эксперимента используются в курсах численных методов специальными кафедрами без необходимого теоретического обоснования Это вызывает определенные затруднения

Подробнее

Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных

Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Математическая статистика: основные понятия, первичная обработка эмпирических данных Лектор Пахомова Е.Г. 2016 г. Цель любой науки: описание,

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ Измерен характерный размер X деталей, обрабатываемых на некотором станке. Замерено 60 деталей. Данные замеров приведены в таблице. детали Размер детали Размер детали Размер 7,58

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Полное исследование выборки

Полное исследование выборки Полное исследование выборки ЗАДАНИЕ. Требуется для решения: - Построить интервальный ряд распределения, для каждого интервала подсчитать локальные, а также накопленные частоты, построить вариационный ряд.

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Элементы математической статистики. Черных А.А., преподаватель математики и информатики, ОГБПОУ «Ангарский медицинский колледж», 2017

Элементы математической статистики. Черных А.А., преподаватель математики и информатики, ОГБПОУ «Ангарский медицинский колледж», 2017 Элементы математической статистики Черных А.А., преподаватель математики и информатики, ОГБПОУ «Ангарский медицинский колледж», 2017 Статистика наука, изучающая количественные стороны массовых явлений

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ Учебник для училищ и колледжей А.Г. Луканкин МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ 2-е издание, переработанное и дополненное Министерство образования и науки РФ Рекомендовано ФГАУ

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Математическая статистика (МС) раздел прикладной математики, который, основываясь на положении теории вероятностей, разрабатывает методы сбора, анализа и обработки результатов

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Назаренко, О.А. Шовкопляс, О.А. Литвиненко МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ А.Н. Тимошенко, А.Н. Козлов В.В. Трофимов СЕРТИФИКАЦИЯ ОРГАНИЗАЦИЙ АВИАТОПЛИВООБЕСПЕЧЕНИЯ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ Учебно-методическое

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Обработка и анализ результатов моделирования Известно, моделирование проводится для определения тех или иных характеристик системы (например, качества системы обнаружения полезного сигнала в помехах, измерения

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Министерство образования и науки Республики Казахстан ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д.Серикбаева В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания по выполнению

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 6. Выборочный метод Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Задачи статистики 2 Генеральная и выборочная совокупности 3 Статистическое

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГБОУ ВПО АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Н.В.НИГЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск

Подробнее

i с одинаковым законом распределения.

i с одинаковым законом распределения. Лаборатория прикладной математики. Основы обработки выборочных данных. 1. Введение Множество однородных объектов, каждый из которых является носителем одного и того же признака называется генеральной совокупностью.

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

Приложение 1. Задачи медицинской статистики Определение 1. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий

Приложение 1. Задачи медицинской статистики Определение 1. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий Приложение. Задачи медицинской статистики Определение. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий своей задачей создавать методы сбора и обработки статистических

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Теория вероятностей и статистика

Теория вероятностей и статистика Теория вероятностей и статистика Тема 7. Статистические оценки параметров распределения Белов А.И. Уральский федеральный университет Екатеринбург, 2018 Содержание 1 Точечные оценки 2 Характеристики положения

Подробнее

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 МГАПИ Типовой расчет по высшей математике Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станках. Вероятность того, что в течение часа станки будут

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров

{ выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная) функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров { выборка из генеральной совокупности - эмпирическая (выборочная функция распределения гистограмма статистические оценки точечные оценки параметров и их критерии методы получения оценок параметров метод

Подробнее

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина. Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях

Подробнее

n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения

n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения Лекция 3. Статистические методы обработки информации в нефтегазовом деле. Составитель асс. каф. БНГС СамГТУ, магистр Никитин В.И... Вероятность. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятность - числовая характеристика

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

«Оптимизация и математические методы принятия решений» «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 4 Методы математической статистики в задачах принятия решений Введение С О Д Е Р Ж А

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Точечное оценивание Как уже говорилось, наиболее полной и исчерпывающей характеристикой для случайной величины является закон распределения:

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Хабаровск 004 3 УДК 56 Статистическая обработка и анализ экспериментальных данных массовых случайных явлений: Методические

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

Лекция 5 Элементы математической статистики

Лекция 5 Элементы математической статистики Лекция 5 Элементы математической статистики Статистика процесс сбора и первичной обработки числовой структурированной информации о некоторых объектах или процессах. Также: Статистика или статистическая

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика Расчетно-графическая работа Математическая статистика Выборки сделаны из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону. Для заданной статистической совокупности: - составить интервальный

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет

РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ. Министерство образования и науки Российской Федерации. Уральский федеральный университет РАСЧЕТНЫЕ РАБОТЫ Образец заполнения титульного листа Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина Кафедра высшей

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) РАССМОТРЕНО И СОГЛАСОВАНО на заседании кафедры «Бухгалтерский учет и экономика» 11 от 30.06.2017

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд.

11. Тесты по математической статистике. Тест Дана выборка ( 3,1,2,3,1,4, 5). Составьте вариационный ряд. 11 Тесты по математической статистике Тест 1 P 1 Для любого x имеет место соотношение F x правую часть Заполните Дана выборка ( 3,1,,3,1,4, 5) Составьте вариационный ряд 3 Что оценивают x и выборочная

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Расчетная работа Теория вероятностей

Расчетная работа Теория вероятностей Расчетная работа Теория вероятностей Задача 04. На экзамен по математике явилось N = студентов. Из них K = не знает ровным счетом ничего. Весьма доброжелательно настроенный преподаватель решил ставить

Подробнее

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Подробнее