Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ Минск БНТУ 5

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов -го курса Минск БНТУ 5

3 УДК 5(758) ББК я7 Ф94 С о с т а в и т е л и : ЕВ Емеличева, СЮ Лошкарева, ЛД Матвеева, ОБ Савченко Р е ц е н з е н т ы : канд физ-мат наук, доцент ИН Катковская; канд физ-мат наук, доцент ОР Габасова Издание предназначено для студентов инженерно-педагогических и инженерных специальностей курса и содержит подробные решения типовых примеров Задачи для самостоятельного решения составлены так, чтобы студенты могли полностью усвоить изучаемый материал и справиться самостоятельно с подобными задачами Белорусский национальный технический университет, 5

4 СОДЕРЖАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 Задание 5 Частные производные функции нескольких переменных 5 Задание 6 Задание 6 Задание 4 7 Частные производные высших порядков 8 Задание 5 8 Задание 6 9 Производная сложной функции Задание 7 4 Производная неявно заданной функции Задание 8 5 Касательная плоскость и нормаль к поверхности 4 Задание 9 4 Задание 6 6 Экстремум функции двух переменных 7 Задание 8 7 Производная по направлению Градиент 8 Задание 9 Задание ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными Задание Однородные дифференциальные уравнения I порядка Задание Линейные дифференциальные уравнения I порядка Задание 4 4 Уравнение Бернулли 5 Задание Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 7 Задание 5 8 Задание 6 9

5 Задание 7 6 Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами Задание 8 Задание 9 7 Линейные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью 4 Задание 6 Задание 7 8 Системы линейных ДУ II порядка с постоянными коэффициентами 7 Задание 8 Литература 4 4

6 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Задание Найти и схематически изобразить область определения функций z 4 9 z ln z z 4 z z z 6 z 7 z 8 z ln z ln 5 z 4 9 z arccos 4 z arcsin 5 z 5 4 Частные производные функции нескольких переменных z z Пример Найти частные производные ; z 5 cos функции Решение При вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные рассматриваются как константы z z 5 sin ; sin

7 Задание Найти частные производные первого порядка для указанных функций z 5 6 z ln 4 7 z arctg z 8 5 z 5 4 z 4 5 z e 6 8 z 9 u 5 z 4 z u z Пример Найти значение частных производных функции z в точке M ; z z РешениеНайдем частные производные ; z z Подставив ; получим 5; Задание Найти значение частных производных для указан- M ; ных функций в заданной точке z z z 4 ; M ; Ответ 8; 5 z z z ; M; Ответ 5; z z z ; M ; Ответ 6; 77 4 z ; M; 4 Ответ M o o z z ; M z

8 5 z cos ; M ; 6 Ответ z z ; 6 z sin ; M ; 6 Ответ z z ; 7 z sin cos cos sin ; M ; z z Ответ ; 8 u z z, M ; ; u u u Ответ ; ; z 9 u ln z ; M ; ; Ответ u u u ; ; z Пример Найти полный дифференциал функции u z u u u Решение Применим формулу du d d dz z u u u Так как ; ;, то z z z z du d d dz z z z Задание 4 Найти полный дифференциал функций 4 z e 4 ctg z z 4 z ln 7 44 sin

9 z 45 z arctg 47 z 5 49 u ln 5 z 46 cos z 48 u z 4 u z Частные производные высших порядков Пример 4 Найти значение производной z e в точке ; M z функции Решение Последовательно вычислим частные производные z e ; z z e e e e ; z e e Значение производной z M o z e e o определим, подставив, Задание 5 Найти частные производные второго порядка z z z ; ; функции z f, 8

10 z 5 z ln 4 5 z arcsin 55 z 57 z ln 59 z arc tg 9 5 cos 5 4 e 54 z 56 z z sin z 5 z e 5 z 55 z tg 5 c tg 5 z z sin cos Задание 6 Проверить, удовлетворяет ли заданная функция указанному уравнению sin 6 z z z e ; 4 Ответ Удовлетворяет z z 6 z ; z Ответ Удовлетворяет z z 6 z e ; Ответ Не удовлетворяет z 64 z arctg ; u u u 65 u ln z ; z 6 z Ответ Удовлетворяет Ответ Удовлетворяет

11 Производная сложной функции z Пример 5 Вычислить частные производные и z сложной функции z u lnu v, где u sin cos, v e Решение Воспользуемся формулами z z u z v z z u z v ; u v u v Находим частные производные z z v u v u ; ; sin sin ; e ; u v u v u v u v cos cos ; e Тогда z v u sin sin e u v u v z v u cos cos e u v u v Задание 7 Найти частные производные сложных функций 7 z u v v u; где u v u 7 z arcsin ; v tg, ctg где u e, v arctg где u v 7 z u v ; arcsin, 5 74 z ln uv u ; где u cos, v 5 75 z arctg uv 5 u; где u, v 5

12 uv 76 z ; w u sin, v ln ; w arctg где 77 z cosu sin v v w ; где u v 78 z ; где u, v sinu u e, v ln ; w 79 z arccos u 4 v; где u e, v Найти z : 7 z ln u u ; где u 5sin cos, v 4 7 z arc tg ; где ln 7 sin z e e ; где arctg v 7 z u ; где u ctg, v e v 74 z ; u где v 75 z ; cos sin, arctg где ln 5 4 Производная неявно заданной функции Пример 6 Вычислить значение частных производных z неявно заданной функции 5 z z в точке M ; ; z и

13 Решение Приведем функцию к виду F,, z и воспользу- z F z F емся формулами ; Fz Fz z z 5 F z; F 4; F ; F ; Fz ; Fz Тогда M z 4 z 4; Задание 8 Найти значение частных производных z, z неявно заданной функции F,, z в точке ; ; z z ; M,, Ответ z, z 8 4 z z 4 ; M,, Ответ 5 z, z 8 z z ; M,, 5 Ответ z, z z z z 8 ; M,, z z z M M M M o o z o Ответ z, z ln ;,, Ответ z, z 86 z z 7; M,, Ответ z, z 87 e ln z z ; M,, Ответ z, z

14 88 tg cos cos sin cos sin ;,, z z M Ответ z, z 89 cos cos z z cos ; M,, Ответ z, z 8 z z ; M,, z 5 Ответ z, z z 8 z e ; M,, z Ответ z, z 4 z 8 z ; M,, Ответ z, z z 8 z 4z ; M,, Ответ 4 z, z 6 84 z z z 5 ; M,, Ответ z, z 9 85 z z 4 z 4 ; M,, Ответ z 7, z 6

15 5 Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пример 7 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке,, z M Решение Вычислим значения частных производных функции: z z z ; 4 ; ; и их числовые значения в точке z( M) z( M) M : 4 4; Получим уравнение касательной плоскости: z 4 или 4 z ; уравнения нормали: z 4 Задание 9 Найти уравнения касательной плоскости и нормали M o, o, z o к заданной поверхности в точке 9 z, M,, 5 Ответ z 5 4 5, z 4 9 z ln, M,, z Ответ z, 9 z, M,, Ответ z, z 94 z, M,, 4 4

16 4 Ответ z 4, z 95 z sin cos, M,, 4 4 Ответ z 4 4, 4 4 z 96 z, M,, 97 z, M,, 98 z,,, 4 4 M 99 z, M,, 9 z, M,, 9 z, M,, 9 z, M,, 6 9 z, M,, 4 94 z 6, M,, 5 95 z 4 4, M,, 4 Пример 8 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z в точке,, 9 4 M Решение Преобразуем уравнение поверхности к виду z Вычислим значения частных производных в точ- 9 4 M,, : ке 5

17 F( M) F( M) ; ; Mo FM ( ) z Получим уравнение касательной плоскости: z или z ; z уравнения нормали: 6 Mo Задание Найти уравнения касательной плоскости и нормали M o, o, z o к поверхности в точке z z M 6,,, Ответ z 5, z 5 z, M,, Ответ z, z z 6, M,, Ответ z 6, z 4 z 9, M,, Ответ z 9, z 5 z, M,, 9 4 Ответ 6z 6, z 6

18 6 z 4, M,, 7 z, M,, 8 z, M 4,, z 676, M 6, 4, 8 z 6 z 8, M,, z z 4, M,, z z, M,, z 6 6, M,, z 4, M 4,, z, M,, 6 Экстремум функции двух переменных Пример9 Найти экстремум функции z Решение Находим частные производные первого порядка z z 6, 6, 4 6 и критические точки: 4 6 Решая эту систему уравнений, получаем две точки M, и M, Находим значения частных производных второго порядка: z z z 6, 6, 48 Для точки M, имеем: A, B 6, C и AC B

19 Следовательно, в точке M экстремума нет Для точки M, : A 6, B 6, C 4 и Следовательно, в точке M заданная функция имеет минимум Значение функции в этой точке zmin 4 Задание Найти экстремумы функций z Ответ В точке Ответ В точке точке z, функция имеет минимум, экстремума нет, экстремума нет, в, функция име- z 6 9 Ответ В точке имеет минимум 4 z 4 Ответ Экстремума нет 5 z 8 Ответ В точке ет минимум В точках, и, экстремума нет В точке, максимум 4 6 z 4 7 z 8 z 4 9 z 6 9 z 4, 4 функция 7 Производная по направлению Градиент Пример Найти величину и направление градиента ln в точке M z, Решение Найдем частные производные данной функции: 8

20 z z ; z M z M ; Следовательно, имеем grad z M равна Пример Найти производную функции и их значения в точке М: grad z M i j Величина градиента 9 z в точке M, 4 по направлению l, заданному вектором 4, a Решение Находим частные производные функции z и вычисляем их значения в точке М z z M z z M 4 ; ; 5 5 Находим направляющие косинусы вектора a : 4 4 cos ; cos z 4 4 Следовательно, l Задание Найти величину и направление градиента функции в точке М z ln tg ; M, 4 grad z M i j; grad z M 5 Ответ z z z M Ответ zm i j k zm z z z M Ответ zm i j k zm ;,, grad ; grad 6 ;,, grad 5 9 ; grad 5

21 4 z 4 5; M 7, 4 5 u z z ; M,, 6 u 4z z 5 z; M,, 7 z ln, M, 8 u z ; M,, 9 z ln, M, u z 6 z; M,, Задание Найти производную функции в точке М по направлению вектора MN z ; M,, N 7, 9 Ответ 7 5 u z; M 5,,, N 9, 4, 4 Ответ 98 u z ; M,,, MN,, 4 Ответ 4 z ; M,, N, z ; M,, N, 6 u z z; M,, 4, N,, 6 7 u z ; M,,, N,, 8 z ; M,, N, 9 u 4 z; M,,, N,, u 5 z 7 z 5 z ; M,,, N 9,, 8

22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Решение d d Разделяем переменные: d d d d; d d Интегрируем: ; arctg ln C Задание Решить уравнения sin Ответ cos C d d C Ответ Ответ C 4 4 e ; Ответ d d Ответ C 5 6 Ответ ln C 7 d ln d Ответ ln C 8 e d d Ответ e C; e e e C 9 d d ;

23 Ответ C; ; 4 4 C; Ответ d d Ответ d d Ответ ln d d Ответ C C 4 d d, Ответ ln C Однородные дифференциальные уравнения I порядка Пример Решить решение 4 Решение Данное уравнение является однородным Сделаем замену u u Тогда u u u u Получаем u 4 u 4 du u 4 u u u u d u u d u Интегрируем udu d d( u ) d d( u 4) d u 4 u 4 u 4 C ln u 4 ln ln C ln u 4 ln C u 4 4 C об- Так как u, то щий интеграл C 4 или

24 Задание Проинтегрировать уравнения d d Ответ d d Ответ d d Ответ Ответ 5 d d Ответ C C C 4 ln C C 6 tg Ответ sin C 7 Ответ 8 Ответ ctg ln sin 9 d d Ответ ln C ln, e Ответ e Ответ e ln C C e ; e Ответ sinln C, Линейные дифференциальные уравнения I порядка Пример Решить уравнение Решение Разделим уравнение на, получаем Здесь

25 p; q Значит, данное уравнение является линейным p q ) (общий вид линейного уравнения Делаем замену u v, тогда uv uv Подставляем в uv уравнение ; получаем uv uv ; dv dv d v v частное решение d v Подставляем v в u v v uv, получаем u общее решение Итак, или u, u C решение Задание Решить уравнения 4 Ответ 4 C ln ln Ответ C ctg Ответ Ccos 4 Ответ Ce 5 e Ответ Ce 6 cos sin Ответ sin C cos e 7 ; Ответ 8 e Ответ e C e 9 cos Ответ C sin C tg Ответ cos cos 4 C общее arctg

26 4 Ответ 4 4 ; C 4 Уравнение Бернулли 4 Пример 4 Решить уравнение m Решение В уравнении присутствуют, и, значит, уравнение можно назвать уравнением Бернулли Проверим Общий вид m уравнения Бернулли p q В нашем уравнении 4 p, q ; m Сделаем замену uv, uv uv, тогда 4 4 u v uv uv uv v uv 4 Выберем функцию v так, чтобы v v, получаем 4v v, uv, те u v u v 4 Из первого уравнения найдем v : dv v dv d, 4, d v 4 ln v 4ln ln v 4 Подставляем v во второе уравнение uv u v : 4 4 u du du d u d 5

27 Интегрируем уравнение: d u u du ln ln C ln C u Получаем u ; u v ln C 4 ln C Задание 4 Найти общее решение или общий интеграл данного уравнения 4 Ответ ln C 4 e 4 Ответ e C d 4 Ответ d 44 cos C sin C Ответ 45 ln Ответ C ln C 46 Ответ 47 Ответ C ln 4 Ответ ln C ; Ответ 4 Ответ 4 ln C ln 6 C Ответ ln C

28 5 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Пример 5 Найти частное решение уравнения IV cos, удовлетворяющее начальным условиям:,,, 8 Решение Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения: cos d cos d sin C 4 sin C d cos C C cos C C d sin C C C sin C C C d 6 4 C C cos C C Воспользуемся начальными условиями: o, o, o, o, o 8 C C ; C C ; C C ; C4 C4 Следовательно, искомое частное решение имеет вид: 4 cos

29 Задание 5 Решить уравнения 5 sin,,, Ответ 4 5 sin sin cos sin Ответ 5 sin cos sin ln sin C C C sin Ответ C C 54 e,,, Ответ e C 55 e 4 Ответ e C C ln,, 9 5 Ответ ln Пример 6 Найти решение уравнения ln Решение Это уравнение не содержит искомой функции Полагая p, где p p, преобразуем уравнение к виду p p ln p p p Отсюда имеем p ln однородное уравнение первого порядка Полагая p u, откуда p u, p u u, получим уравнение или u u u lnu du u ln u d 8

30 Разделяя переменные, получим Интегрируя ln lnu ln ln C du d u ln u du d u ln u ln C, получим или lnu C C, откуда u e Возвращаясь к функции, приходим к уравнению C p e C C C Следовательно, e d e e C C C Задание 6 Решить уравнения 6,, Ответ 4 6 arcsin C arcsin C Ответ Ответ Ce C 6 64 Ответ C ln C C C 65 sin cos Ответ C C cos C C Csin 66 tg Ответ C 4 Пример 7 Решить уравнение 9

31 Решение Это уравнение не содержит независимую переменную dz х Положим z Тогда z Уравнение примет вид d dz z z Это уравнение первого порядка относительно z с d разделяющимися переменными Далее разделяем переменные и интегрируем: ; ln zdz d z ln ln C или z z C ; z C d C ; d C Интегрируя получаем общий интеграл: ln C C C C Пример 8 Решить уравнение Решение Положим Возвращаясь к функции у, имеем,, z Тогда z z Уравнение при- dz мет вид z z z Разделим на z, тогда z d Разделяя переменные и интегрируя, получим dz d, ln z ln ln C, z C z Возвращаясь к функции у, получаем C Разделяя переменные и интегрируя, получаем d C C Cd, ln C C, e Находим C C C C e C Итак, частное решение e

32 Задание 7 Решить уравнения 7 Ответ,5ln C C 7,, Ответ ln 7 Ответ,5C ln C C Ответ 74 Ответ 75 Ответ 76 4 C C 4 C C C 5C 5 6 Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами II Пример 9 Найти общее решение уравнения 5 4 Решение Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид k 5k 4 Его корни вещественные и различные k, k 4 Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид C e C e 4 II Пример Найти общее решение уравнения 6 9 Решение Составим характеристическое уравнение k 6k 9 Оно имеет кратный корень k Следовательно, общее решение e C C имеет вид Пример Найти общее решение уравнения II Решение Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k k Так как дискриминант этого уравнения равен

33 (-4), то уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k i, k i Следовательно, общее решение исходного уравнения зада- ется формулой e C cos C sin Пример Найти частное решение уравнения II,, удовлетворяющее начальным условиям: Решение Характеристическое уравнение k k имеет два различных корня k, k Следовательно, общее решение имеет вид C e C e Подставляя начальные условия в общее решение и его производную C e C e, получим систему CC уравнений относительно C и C :, откуда C, C C C Значит, частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям, имеет вид e e Задание 8 Найти общее решение дифференциального уравнения e C cos C sin Ответ 8 9 Ответ Ccos Csin 8 Ответ C C e 84 6 Ответ e C C Ответ e C cos C sin 85 cos sin 86 5 Ответ Ccos5 Csin Ответ C C e 88 Ответ e C C cos sin 89 8 Ответ C e C e Ответ Ccos4 Csin4

34 Задание 9 Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям 9 4, Ответ e cos4 sin 4 4 9,, Ответ e Ответ e 9 5,, cos sin 94 4, Ответ e e 95,, Ответ e e 4 96,, Ответ e 97 7,, Ответ e e ,, Ответ e e , 4, Ответ e 4cos 8sin 9 4 4,, Ответ e

35 7 Линейные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью II Пример Решить уравнение e Решение Общее решение будем искать в виде *, где общее решение соответствующего однородного уравнения (ищется с помощью характеристического уравнения), * частное решение исходного уравнения (ищется по специальной правой части уравнения) Если f e P ncos Qm sin, тогда r * e P l cos Ql sin, где r показатель кратности корня i в характеристическом 4 полные многочлены от х степени l с не- уравнении, Pl и Ql определенными коэффициентами, где l ma m, n Составим характеристическое уравнение k Оно имеет корни k i, k i, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Ccos Csin Частное решение исходного уравнения будем искать в виде * A Be, где f e,,, i Следовательно, такого корня нет Выражение A B соответствует двучлену первой степени с неопределенными коэффициентами, поскольку f e и х одночлен первой степени Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В, подставим частное решение * в исходное уравнение Для этого найдем Ae A B e, Ae Ae A B e Ae A B e * * Подставляя в уравнение, получаем: Ae A B e A B e e A A B Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части равенства, получаем:

36 AB A, B A Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид Ccos Csin e II Пример 4 Решить уравнение cos sin Решение Общее решение ищем в виде * Для нахождения составим характеристическое уравнение для соответствую- щего однородного уравнения : k k Оно имеет два различных корня k, k Следовательно, общее решение однородного уравнения C e C e Частное решение * Acos Bsin Поскольку: ),, i i не являются корнями характеристического уравнения, следовательно, r ; ) mn, следовательно, l Получаем P A, Q B o o Подставим * в исходное уравнение Имеем * Asin Bcos, * Acos Bsin Следовательно, получаем Acos Bsin Asin Bcos Asin Bcos cos sin Группируя неизвестные коэффициенты при sin и cos получа- B A cos B A sin cos sin Сравниваем коэф- ем фициенты в левой и правой части тождества при BA A, B B A Решением уравнения будет Ce Ce sin Пример 5 Найти частное решение уравнения sin, удовлетворяющее начальным условиям: Решение Найдем общее решение * данного уравнения 5

37 Характеристическое уравнение имеет вид 6 k и имеет два различных корня k i, k i Следовательно, Ccos Csin Частное решение * ищем в виде * Acos Bsin Поскольку по правой части f sin,,, i i являются корнями характеристического уравнения кратности r ; m n l Подставим * в исходное уравнение * Asin Bcos Acos Bsin, * Asin Bcos Acos Bsin Asin Bcos Итак, Asin Bcos sin Откуда получаем A, B A, B Следовательно, * cos Общее решение примет вид Ccos Csin cos Постоянные C и C найдем, используя начальные условия Имеем Csin Ccos cos sin Далее, C cos C sin cos C, C sin C cos cos sin C C, Получаем систему уравнений: C, C C Частное решение, удовлетворяющее заданным условиям имеет вид sin cos Задание Решить уравнения: 6 6 Ответ e Ccos Csin e 6 4 e

38 9 4cos 8sin Ответ C cos C sin cos sin 5 6 cos 9sin Ответ 4 6 e 8 Ce Ce cos sin Ответ C e C e e 4 5 Ответ e C cos C sin e e Задание Найти частное решение ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям , 4, Ответ e e sin cos , Ответ e cos4 sin 4 e cos,, Ответ e cos 4sin 4,, Ответ e Ответ cos4 sin cos 4,, 4 8 Системы линейных ДУ II порядка с постоянными коэффициентами z Пример 6 Проинтегрировать систему ДУ: z 5 z Решение Дифференцируем первое уравнение z

39 Подставляем в правую часть полученного уравнения правые ча- z 5 z 4 z (*) Определяем z из первого уравнения исходной системы z и подставляем его выражение в (*): сти из системы: 4 Решаем полученное уравнение Имеем: k k k, i Находим : e Ccos Csin cos sin sin cos, z e C cos C sin e C sin C cos Поскольку z и e C C e C C то имеем e C cos C sin e C C cos C C sin, Следовательно, решение системы дифференциальных уравнений имеет вид: e C cos C sin, z e C C cos C C sin Задание Проинтегрировать систему ДУ z, e Ccos + Csin, Ответ z z z e Csin - Ccos z, z z Ответ e C C cos + sin, C C C C z e cos sin, z z 4 z Ответ C e + C e, z C e C e 8

40 4 5 z, 4 z 4 z Ответ Ce + Ce, z Ce,6 Ce z, 5 z 5 z Ответ C e + C e, z C e 5 C e 4 z, 6 z z Ответ e C C, z e C C C e 9

41 ЛИТЕРАТУРА Высшая математика: общий курс / под ред СА Самоля Минск : Выш школа, Высшая математика для экономистов / под ред НШ Кремера М : ЮНИТИ, 998 Шипачев, ВС Высшая математика / ВС Шипачев М : Высш школа, Гусак, АА Высшая математика : учебник для студентов вузов : в т / АА Гусак -е изд, стер Минск : ТетраСистемс, 5 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : в 4 ч / под общ ред АП Рябушко Минск : Выш школа, 99 6 Руководство к решению задач по высшей математике / под общ ред ЕН Гурского Минск : Выш школа, 99 7 Бубнов, ВФ Задачи по высшей математике / ВФ Бубнов, ТА Сухая Минск : Выш школа Ч 99 8 Сборник задач и упражнений по высшей математике / ЛН Гайшун [и др] Минск : Выш школа, 9 4

42 Учебное издание ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов -го курса Составители: ЕМЕЛИЧЕВА Елена Владимировна ЛОШКАРЕВА Светлана Юрьевна МАТВЕЕВА Людмила Дмитриевна САВЧЕНКО Ольга Борисовна Технический редактор ОВ Песенько Подписано в печать 85 Формат 684 / 6 Бумага офсетная Ризография Усл печ л,8 Уч-изд л,86 Тираж Заказ 77 Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий /7 от 4 Пр Независимости, 65, г Минск


1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

y неоднородного уравнения:

y неоднородного уравнения: 1 Найти общее решение дифференциального уравнения ( 4 + + = 1 6 - это линейное неоднородное ДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального неоднородного уравнения: = ˆ +. ( 4

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z Идз- ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Найти область определения указанных функций / arcsin ln / 7 arccos 8 / ln / arcsin / ln / 7 arccos 8 arcsin ln / / / / ln 7 / 7 8 e / / Найти частные производные и частные

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy.

Индивидуальные домашние задания. ИДЗ-1 Вычисление частных производных. z sin. 1 Найти область определения функций: 2.. z 2x z ctg xy. Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /( 5) 1 z arcsin( ) 1 z 1 z ln( ) 15 z /(6 ) 16 z 5 17 z arccos( ) 18 z /( ) 19 z 9 11 z ln(

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Информационные системы и технологии» МАТЕМАТИКА

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 2»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 2» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» С Ю Лошкарева О Б Савченко Л В Бань КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81.

РГРТУ. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание 1. Найти область определения функции. z z ln y. z arcsin. ln z. z 81. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Функции нескольких переменных» Задание Найти область определения функции f, и изобразить её на координатной плоскости 9 6 ln ln 8 ln arccos ln ln 5 arccos 5 6 8 6 7 8 arcsin ln 7 9 arcsin

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет. Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания по дисциплине «Математика» для студентов строительных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. А. В. Мужикова, Е. В. Жилина, Е. Н. Мотрюк. α, β, γ углы, которые вектор λ образует с осями координат.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. А. В. Мужикова, Е. В. Жилина, Е. Н. Мотрюк. α, β, γ углы, которые вектор λ образует с осями координат. Производная по направлению Градиент Для характеристики скорости изменения функции (скалярного поля) ( M ) U U в заданном направлении λ в точке М вводится понятие «производной по направлению» U U Если >,

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Ìàòåìàòèêà. в примерах и задачах. Часть 2. В двух частях. Под общей редакцией Л.И. Майсени

Ìàòåìàòèêà. в примерах и задачах. Часть 2. В двух частях. Под общей редакцией Л.И. Майсени Ìàòåìàòèêà в примерах и задачах Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для учащихся учреждений образования, реализующих образовательные программы среднего специального

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии ОВ Исакова, ЛА Сайкова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Рекомендовано

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Контрольная работа 3.

Контрольная работа 3. Контрольная работа В промежутке между сессиями студенты должны провести самостоятельную подготовку Проработать теоретический материал по лекциям на тему «Функции нескольких переменных» (Материал представлен

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Контрольная работа 2. Решение: Находим необходимые частные производные. Подставим найденные частные производные в

Контрольная работа 2. Решение: Находим необходимые частные производные. Подставим найденные частные производные в Контакты: тел. 8-96-966-7-8, Icq: 447-64-7, Контрольная работа. Дана функция z =. Показать, что. Решение: Находим необходимые частные производные z e e z e e e z e e e e Подставим найденные частные производные

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее