Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж"

Транскрипт

1 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 50, N УДК 59.; 5; РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж E-mil: В аналитическом виде с использованием метода расширения границ получено решение задачи о кручении упругого стержня с правильным s-угольником в сечении. Метод основан на введении достаточно широкой прямоугольной области и специальных быстросходящихся рядов Фурье. Ключевые слова: упругий стержень, кручение, метод расширения границ. В работе [1 путем подбора полиномов из декартовых координат получено точное решение задачи о кручении стержня с правильным треугольником в сечении. В работе [ с использованием метода разделения переменных найдено аналитическое решение о кручении стержня прямоугольного сечения. Этот подход развит в [, где решены задачи для сечений специальной формы, границы областей которых совпадают с координатными линиями декартовой, цилиндрической или эллиптической систем координат. В [4 предложен метод теории функции комплексной переменной, однако его использование затруднено вследствие сложности построения конформных отображений. Предложенный в настоящей работе метод расширения границ позволяет c большой точностью в аналитическом виде решать задачи теории упругости для тел сложной формы. В качестве одного из простейших примеров рассматривается задача о кручении стержня, поперечное сечение которого представляет собой правильный s-угольник. Данная задача имеет прикладное значение, так как в технике часто используются многогранные стержни, работающие на скручивание. Разделим правильный s-угольник на s одинаковых прямоугольных треугольников с острым углом α = π/s. Начало координат выберем в центре многоугольника, как показано y C B O A x Треугольная и расширенная по отношению к ней области

2 194 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 50, N- 6 на рисунке. Тогда для функции напряжений в треугольнике Ω = OAB задачу поставим следующим образом: U U =, = U y y=0 x= = U U x sin α cos α = 0, y y=x tg α 1 U {L α p Ω, C Ω} L α p классы функций Соболева Лиувилля. Для вычисления производных и последующего разложения неизвестных функций в ряды Фурье необходимо, чтобы в 1 выполнялись требования гладкости C и интегрируемости [5. В качестве области, расширенной по отношению к треугольнику OAB, выберем прямоугольник Ω = OABC, 0 x, 0 y со сторонами OA = и AB = = tg α. Граничные условия на сторонах этого прямоугольника запишем в виде U = U U y y=0 x= = 0, = f x, U y y= x=0 = f 4 y. На двух сторонах прямоугольника OABC, которые при y = 0, x = совпадают с катетами треугольника, граничные условия совпадают с граничными условиями основной задачи 1, а на двух других сторонах прямоугольника при y =, x = 0 условия f x, f 4 y неизвестны и находятся при выполнении условия первоначальной задачи на гипотенузе OB треугольника последнего из граничных условий в 1. Для этого выполним замену Ux, y = Mx, y V x, y, M, V L α p Ω, M, V {C 4 0 < x <, C 0 x, C 0 < y <, C 0 y }, где граничная функция M на сторонах прямоугольника должна удовлетворять тем же условиям, что и функция U: M = M M y y=0 x= = 0, = f x, M y y= x=0 = f 4 y, M C Ω. Кроме выполнения условий потребуем, чтобы вторая частная производная M xx удовлетворяла дополнительным граничным условиям M xx x= = U xx x= = f 6 y, M xx x=0 = U xx x=0 = f 8 y. 4 Введение дополнительных условий 4 не вносит каких-либо ограничений на решение задачи, так как функции f 6 y и f 8 y являются неизвестными, однако позволяет в дальнейшем использовать ряды Фурье с высокой скоростью сходимости и вычислять вторые частные производные U xx, U yy на всех сторонах прямоугольника. В формулах, 4 используются четыре неизвестные функции f x, f 4 y, f 6 y, f 8 y, которые выражаются через функцию U и ее частные производные на границах расширенной области Ω. Из условий гладкости следует, что указанные функции не могут быть произвольными, в углах прямоугольника они должны удовлетворять условиям согласования f 40 = f 60 = f 80 = f = 0, f 0 = f 4, f 6 = f, f 8 = f 0. 5

3 А. Д. Чернышов 195 Используя граничную функцию M, для отыскания U можно построить быстросходящиеся ряды Фурье. Приведем простейший вид функции Mx, y: M = y [ f x 1 x x f 0 1 x 6 x 6 x f 4 y x f 6 x 6 x 6 x x f 6 y f 0 x 6 x f 8 y. 6 Непосредственной проверкой можно убедиться, что при выполнении условий согласования 5 функция M из 6 удовлетворяет граничным условиям, 4. Поскольку функции f 6 y, f 8 y в соотношениях 5 определяются через вторые частные производные, для вычисления этих функций в уравнении Пуассона из 1 последовательно положим x = 0, x =. Получаем U xx x=0 U yy x=0 =, U xx x= U yy x= =. 7 Используя соотношения, 4, запишем вспомогательные выражения в виде Из 7, 8 находим U xx x=0 = f 8 y, U x=0 = f 4 y U yy x=0 = f 4 y, U x= = 0 U yy x= = 0. f 6 y =, f 8 y = f 4 y. 9 С учетом 9 упростим условия согласования 5: f = f = f 40 = f 4 0 = 0, f 0 = f 4, f 0 = f С использованием 9, 10 выражение для функции M из 6 представим в виде M = y [ f x 1 x x f 0 1 x f 4 y x 6 x x x 6 x f 0 x x 8 f 4 y, x [0,, y [0,. 11 Относительно функции V в расширенной области Ω для неоднородного уравнения Пуассона получаем краевую задачу с однородными граничными условиями: V V = M, = V y y=0 x= = V = V y y= x=0 = 0. 1 Из решения уравнения Эйлера Лагранжа находим собственные функции и собственные значения G m,n, λ m,n G m,n G m,n λ m,n G m,n = 0, = G x= m,n = G m,n = G x=0 m,n = 0. y y=0 y y= Для прямоугольника собственные функции и собственные значения имеют вид G m,n = sin mπx cos nπy mπ nπ,, λ m,n = m = 1,,..., n = 0, 1,....

4 196 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 50, N- 6 Искомые функции V x, y, f x, f 4 y, каждую в своей области определения, представим в виде быстросходящихся рядов Фурье U = M V, V = v m,n sin mπx cos nπy v m,0 sin mπx, f x = 1 x x f 0 x 6 x f 0 f 4 y = f4 y y f 0 f y 1 f,m sin mπx, 1 cos nπy. В рядах Фурье 1 слагаемые перед суммами для f x, f 4 y граничные функции подобраны таким образом, чтобы данные ряды равномерно сходились в соответствующих областях их определения вместе с производными до четвертого порядка по переменной x и производными до пятого порядка по переменной y включительно [6. При этом ряд Фурье для Ux равномерно сходится в Ω вместе со своими частными производными четвертого порядка по переменной x и производными до третьего порядка по переменной y включительно. Это позволяет дать оценку коэффициентам разложения: v m,n 1 m 5 n 4 n 0, v m,0, f,m 1 m 5, 1 n Из 14 следует, что функция кручения U и ее частные производные U x, U y, через которые выражаются касательные напряжения в упругом стержне, вычисляются с погрешностью δu mx m 0 1 5, n = δ 0, δu x mx m 0 1 4, n 0 1 4, δu y mx m 0 1 5, n 0 1. Правомерность вычисления частных производных U x, U y от рядов Фурье, используемых в определении решения U, обоснована тем, что при выборе граничной функции M в виде 11 и граничных функций из 1 при представлении f x и f 4 y выполняются условия теоремы о почленном дифференцировании рядов Фурье [6. Оценки 14, 15 позволяют сделать вывод, что в ряде Фурье 1 для U следует учитывать только те коэффициенты из множества {v m,n }, номера m, n которых удовлетворяют неравенству m 1 5 n 1 4 δ0 1, n 1. При построении решения задачи с точностью до 10 4 достаточно в суммах по индексам n, m взять по четыре слагаемых n 0 = m 0 = 4. Отбрасывая малые коэффициенты высшего порядка, получаем следующее множество неизвестных величин: n=0 v m,0, v m,1, v 1,, v 1,, f 0, f 0, f,m, f 4, f 4,, m = 1,..., 4, n = 1,..., 4, для отыскания которых подставим U из 1 и M из 11 в уравнение Пуассона 1: v m,n λ m,n G m,n = y [ f x 1 x x f 0 x 6 x f4 IV y 1 [ f x 1 x x f 0 x 6 x 15 f 0. 16

5 А. Д. Чернышов 197 Заменив выражение f x с помощью соотношений 1, упростим равенство 16: m π v m,n λ m,n G m,n v m,0 sin mπx = y m π f,m sin mπx 1 f,m sin mπx x x 6 x [ 1 f 4 n 4 π 4 4 cos nπy. 17 Умножая уравнение 17 на G m,n и интегрируя по прямоугольной области Ω, найдем коэффициенты v m,0, v m,n в явной форме v m,0 = f,m 6 f,m m π f 4 4 m 5 π 5, v m,n = [ f,m 1 n m λ m,n n f n 4 π 4,n m 4. Для того чтобы найти коэффициенты f 0, f4, f 4, f,m,, функции M из 11 и V из 1 подставим в соотношения, а затем функцию U в последнее граничное условие из 1, заданное на гипотенузе OB при y = x tg α. В результате имеем x x f,m mπ cos mπx x v m,n nπ [f 4 f 0 x f 4 x 4 1 x x x [ f 0 f 4 x 6 1 f,m sin mπx v m,n mπ mπx cos sin mπx cos nπx mπ v m,0 nπx sin cos nπx n π [ x f 0 x f 4 x 6 x x x 6 x [ f 4 x cos mπx cos nπx nπ n π Исключая v m,0, v m,n с помощью выражений для них из 18, получаем f 0 x x x f4 [ x f 4 x4 6 x 4 x x 1 x 6 1 x x x 1 6 x x 1 90 x 1 x 1 x nπx sin sin nπx. 18

6 198 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 50, N- 6 m 0 m 0 f,m {[ x mπ {[ n π m π [x πm 0 1 p 1 pπx cos λ m,p p p=1 0 1 p 1 λ m,p p p=1 x x nπx cos n4 π [ nπ 1 x n π x x 6 x pπx sin sin mπx } n 5 π 5 0 q=1 0 q=1 mπ 6 cos mπx mπ 1 qπx cos cos nπx λ q,n q 1 qπx sin λ q,n q sin nπx } = = x. 19 Левая и правая части уравнения 19 выражены различными функциями переменной x [0,, однако при надлежащем выборе коэффициентов f 0, f4, f 4, f,m, x [0, значения этих частей одинаковы. Последовательно полагая в уравнении 19 x = 0, x =, интегрируя его левую и правую части по x в пределах [0,, получаем три алгебраических уравнения. После умножения левой и правой частей 19 на cos qπx/, затем на sin qπx/ q = 1,,... и интегрирования по промежутку [0, приходим к замкнутой относительно f 0, f4, f 4, f,m, системе, которая может быть получена и в явной конечной форме. Вследствие громоздкости выражений эта система не приводится. Поскольку в данном случае используются быстросходящиеся ряды Фурье, можно применить более простой поточечный метод, позволяющий удовлетворить граничному условию 19. Для этого в каждой сумме уравнения 19 ограничимся конечным числом слагаемых, полагая m = 1,..., m 0, n = 1,..., n 0. Требуя выполнения равенства 19 не всюду, а только в расчетных точках на гипотенузе треугольника: x = x k = k/m 0 n 0, k = 0,..., m 0 n 0, 0 из 19 получаем линейную систему алгебраических уравнений, замкнутую относительно f 0, f4, f 4, f,m,. Решив эту систему, найдем значения v m,n, f 0, f4, f,m, и подставим их в выражения 1 для V, f, f 4, затем в 6 для M и в для получения решения задачи U. Следует отметить, что в случае использования классических рядов Фурье поточечный метод вычисления коэффициентов неприменим. Поскольку функция U представлена в аналитическом виде, напряжения в любой точке сечения стержня вычислим по формулам { y σ xz = G 0 θ f,m sin mπx x x 6 x f v m,n πn 4 y sin mπx nπy sin π n 1 x [ y y f 0 f 4 6 y 6 sin nπy πn nπy } sin,

7 А. Д. Чернышов 199 { πy σ yz = G 0 θ 1 f,m m cos mπx π n=0 mv m,n cos mπx v m,0 mπ [f 4 y y f 0 f y 1 mπx cos nπy cos x n=0 x x [ 1 y f 0 f 4 6 cos nπy π n cos nπy }. Здесь G 0 упругий модуль Юнга; θ угол закручивания на единицу длины стержня; v m,n, v m,0 следует взять из 18. При m 0 = n 0 = 4 и = 1, = для упругого стержня треугольного сечения из линейной алгебраической системы находим следующие значения коэффициентов f 0, f4, f 4, f,m, приводятся только первые четыре цифры после запятой: f 0 = 1,70, f4 = 0,6666, f 4 = 6,54 106, f,1 = 1, , f, = 1, , f, = 9, , f,4 = 9, , f 4,1 = 1, , f 4, =, , f 4, = 6, , f 4,4 = 6, ; U0, 0 = 0,6666. Погрешность приближенного решения имеет порядок менее 10 5 и определяется как разность значений функции напряжений в центре упругого стержня U0, 0, полученных при приближенном решении в форме 1 и точном решении [1. Полагая в уравнении 19 = 1, = 1/, находим решение задачи о кручении упругого стержня шестиугольного сечения. Получаем следующие значения коэффициентов f 0, f4, f 4, f,m, : f 0 = 1,458, f4 = 0,04, f 4 = 9,5468, f,1 = 5,414, f, = 1,7, f, = 0,7581, f,4 = 0,1987, f 4,1 = 0,9, f 4, = 0,0469, f 4, = 0,0091, f 4,4 = 0,00; U0, 0 = 0,61. Для вычисления коэффициентов f 0, f4, f 4, f,m, и решения задачи при m 0 = n 0 = 4 использовалась система 11 линейных алгебраических уравнений, полученная из 19 в точках x = x k равномерной сетки 0. С целью проверки возможности применения поточечного метода для того, чтобы удовлетворить граничному условию 19, проведен следующий численный эксперимент. Подставим в 19 приведенные выше значения коэффициентов f 0, f4, f 4, f,m,, разность между левой и правой частями обозначим через δy x. По построению в расчетных точках x = x k должны выполняться равенства δy x k = 0, тогда как в промежуточных точках x k < x < x k1 выполняются неравенства δy x 0. Численно проверено, что mx δy x < 10 6 x [0, 1. Это означает, что граничное условие 19 всюду выполнено с высокой точностью. Из данного примера следует, что использование предложенного метода расширения границ позволяет получить приближенное решение в аналитическом виде с высокой точностью при незначительных вычислительных затратах. Аналогично можно решать задачи для областей более сложной криволинейной формы, а также нелинейные и динамические плоские и пространственные задачи с подвижной границей. В случае нелинейных задач система алгебраических уравнений является нелинейной, для динамических задач имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени t, т. е. метод расширения достаточно универсальный и имеет прикладную направленность. Таким образом, предложенный метод расширения границ имеет существенные преимущества по сравнению с конечно-разностными методами.

8 00 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Т. 50, N- 6 ЛИТЕРАТУРА 1. Sint-Vennt B. // Memoires Svnts Etrngers Т Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, Арутюнян Н. Х. Кручение упругих тел / Н. Х. Арутюнян, Б. Л. Абрамян. М.: Физматгиз, Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука, Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, Поступила в редакцию 15/XII 008 г.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня.

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Сибирский математический журнал Май июнь, 1. Том 53, 3 УДК 517.95 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Аннотация.

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Решение вопросов организации эффективной добычи полезных ископаемых требует изучения закономерностей движения воды, тепла, распределен

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

ВЯЗКОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

ВЯЗКОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ 152 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 3 УДК 534.121/122 ВЯЗКОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ Н. А. Чернышов, А. Д. Чернышов Воронежская государственная технологическая академия,

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Об определении переменной жёсткости круглой пластины

Об определении переменной жёсткости круглой пластины Вычислительные технологии Том 17, 6, 212 Об определении переменной жёсткости круглой пластины Т. А. Аникина 1, А. О. Ватульян 2, П. С. Углич 3 1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону,

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С. А. Чаплыгина, Новосибирск

Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С. А. Чаплыгина, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2001. Т. 42, N- 5 193 УДК 539.3 ОБ УРАВНЕНИЯХ КОНЕЧНОГО ИЗГИБА ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБ С. В. Левяков Сибирский научно-исследовательский институт авиации

Подробнее

Численные методы решения

Численные методы решения Е. В. Воро нова, Т. В. Гладк их Численные методы решения Алгоритм решения задачи тепло-массопереноса в системе символьной математики MAPLE Е. В. ВОРОНОВА, Т. В. ГЛАДКИХ Аннотация. В статье использована

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 26. Т. 47, N- 6 129 УДК 539.3 ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ В. В. Калашников, М. И. Карякин Ростовский

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОЛОЧЕК СПЛАЙНОВЫМ ВАРИАНТОМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОЛОЧЕК СПЛАЙНОВЫМ ВАРИАНТОМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УДК 59. Х.Г. Киямов кандидат технических наук доцент кафедры прикладной математики Н.М. Якупов доктор технических наук профессор кафедры строительной механики заведующий лабораторией ИММ КазНЦ РАН И.Х.

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет»

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск 138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 5 УДК 539.3 НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМИРОВАНИИ И РАЗРУШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал С. Д. Алгазин, Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона для внешности тела вращения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993,

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Мариуполь 2009

Подробнее

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях.

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях. Математика 2 Билет 1 Лектор Конев В.В. 1. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, основные понятия (определение, решение уравнения, общее и

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов. 5 6 семестры МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Лекторы: проф. Б. И. Квасов, проф. Г. С. Хакимзянов 5 6 семестры 1. Математические модели и вычислительный эксперимент. Классификация уравнений математической физики. Примеры корректных

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание

4. Перечень разделов и (или) тем дисциплины и их дидактическое содержание 1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста медицинского кибернетика, владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N- 6 35 УДК 517.9; 519.6; 530.1; 531.01 ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Г. В. Дружинин Казанский

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 3. Т. 44, N- 4 35 УДК 539.3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин Новосибирский государственный технический

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях Министерство образования и науки Украины Государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет» А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В трех частях Часть ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Как известно, явные схемы, в которых оператор, содержащий производные по пространственным координатам, аппроксимируется на слое,

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Развитие библиотеки конечных

Развитие библиотеки конечных Развитие библиотеки конечных элементов ПК ЛИРА 1 Евзеров И. Д. lira-soft.com Стержень переменного сечения Размеры сечения линейно изменяются по длине стержня. При построении матрицы жесткости используются

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Системы уравнений. Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными: Системы уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где f(x, y), g(x, y) некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 2 151 УДК 539.37 НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ НЕУПРУГИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И. Ю. Цвелодуб Институт гидродинамики

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике ОГЛАВЛЕНИЕ Аналитическая геомегрия на плоскости МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 13-е изд. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. ОГЛАВЛЕНИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 9 Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) применяются когда отсутствует/затруднено/неудобно аналитическое

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее