ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух и ее проиводные Если искомая функция у = fх есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным Опр Порядок диф ур-ия определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение х у у е - -го порядка, х у 5у 6у е - -го порядка n Опр Решением диф ур-ия F,,,, называется любая функция х при условии, что при подстановке этой функции и ее производных в ур-ие - это уравнение обращается в тождество График функции х называется интегральной кривой уравнения n F,,,, Процесс нахождения решения диф ур-ия называется интегрированием этого уравнения В теории диф ур-ий изучаются методы интегрирования диф ур-ий Основная задача интегрирования диф ур-ия состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств Пример Уравнение у имеет семейство решений х С - интегральные кривые - параболы Все решения элементарные функции Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям К диф ур-иям приводят многочисленные задачи физики, механики и тд Задача Известно, что скорость распада радия пропорциональна его количеству в каждый данный момент Найти зависимость массы m от времени t dm km, m mt Решение этого уравнения позволяет найти зависимость массы от времени Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия и определения Дифференциальное уравнение первого порядка может быть задано в -х формах у f, - явная F,, - неявная M, d N, d - дифференциальная Одно и то же уравнение можно выразить во всех трех формах:

2 - явная, - неявная, d d - дифференциальная Опр Решением диф ур-ия называется любая дифференцируемая функция у = ух, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Интегралом уравнения называется его решение, полученное в неявном виде Фх,у = Каждое диф ур-ие -го порядка имеет бесконечное множество решений Все это множество можно описать одной функцией, которая называется общим решением или общим интегралом диф ур-ия Из этого множества можно выбрать конкретноечастное решение, если задать начальное условие Опр Начальным условием для ур-ия -го порядка является задание значения искомой функции при заданном значении независимой переменной, те ух = у Опр Общим решением диф ур-ия -го порядка называется функция у = ух, С в обл Д, которая удовлетворяет следующим условиям: а функция содержит одну произвольную постоянную С, Опр Задача Коши нахождение частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию 4 Задание начального условия ух = у означает задание точки М х, у 5 Решить задачу Коши ó f,, ух = у означает, что из всего множества интегральных кривых, представляющих общее решение, необходимо отобрать ту единственную, которая проходит через точку М х, у 8 Определение типа уравнения -го порядка Решение любого дифференциального ур-ия -го порядка необходимо начинать с определения его типа, так как этим определяется схема его дальнейшего решения Тип ур-ия можно практически всегда определить по его исходной записи В каком бы виде не было задано ур-ие, в первую очередь необходимо проверить, не относится ли оно к ур-ию с разделяющимися переменными Если нет, и ур-ие записано в дифференциальной форме M, d N, d, то можно сразу проверить, не относится ли оно к ур-иям в полных дифференциалах Если и это не подходит, то остается убедиться в однородности или линейности ур-ия Как правило, в последнюю очередь остается проверить, не относится ли ур-ие к ур-ию БернуллиНе следует также забывать о том, что ур-ие может быть линейным или типа Бернулли относительно переменной х Дифференциальные уравнения первого порядка Таблица Тип ур-ия Запись Особенности Решение Ур-ие с разделяющимися f g Каждая из ф-ций Зависит от одной Разделение переменной переменными M N d переменной M N d Однородные P,d+Q,d= P,,Q, Однородные ф-ции Введение переменной

3 Линейные относительно х относительно у f, P Q P Q одного измерения f,-однородная ф-ция нулевого измерения Ф-ция и ее производная в первой степени U =UV =UV 4 Уравнение Бернулли 5 Уравнение в полных дифференциалах P Q P Q M, d N, d Отличается от Линейного Сомножителем у α или х α в правой части M N =UV =UV Интегрируется система ф-ций U M,, U N, Основные типы уравнений первого порядка Уравнения с разделенными переменными Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида f d g d, характерной особенностью которого является то, что множителем при d является функция, зависящая только от х, а множителем при d является функция, зависящая только от у Говорят, что в таком уравнении переменные разделены, а само уравнение называется уравнением с разделенными переменными Решение таких уравнений заключается в почленном интегрировании левой и правой его частей f d g d Ñ Пример Решить уравнение cos d d cos d d sin - общий интеграл, sin - общее решение Методы решения рассматриваемых ниже уравнений кроме уравнений в полных дифференциалах представляют собой способы сведения этих уравнений к уравнениям с разделенными переменными Уравнения с разделяющимися переменными Опр Дифференциальное ур-ие у f, или { M, d N, d } является уравнением с разделяющимися переменными, если функции f, {M, и N,} могут быть представлены в виде произведения двух функций, одна из которыз зависит только от х, другая только от у: f, = f f, M, = M M, N, = N N

4 Чтобы решить уравнение с разделяющимися переменными, его нужно свести к уравнению с разделенными переменными и затем проинтегрировать Если ур-ие задано в явной форме d у f, f f, d то умножим сначала все ур-ие на d, d f f d а затем разделим на ф-цию, стоящую не у своего дифференциала f и проинтегрируем полученное ур-ие d d f d f d f f Если ур-ие задано в дифференциальной форме, M, d N, d M M d N N d то раздели все ур-ие на произведение ф-ций, стоящих не у своих дифференциалов M N, а затем проинтегрируем полученное ур-ие M N M N d d d d N M N M Пример Найти общее и частное решение, Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d и интегрируем полученное ур-ие d d - общее решение Подставим в общее решение начальные условия и найдем С и частное решение С у х - частное решение Пример Найти общее и частное решение у, М,4 у Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d d d Умножаем на «стоящую не у своего дифференциала» функцию у и интегрируем полученное ур-ие d d - общее решение Подставим в него М и получим частное решение 4 х у 5 - частное решение Пример Найти общее и частное решение у,

5 Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d d d Делим на «стоящую не у своего дифференциала» функцию у и интегрируем полученное ур-ие d d ln ln ln - общее решение 6=С ху=6 частное решение Отметим, что постоянную интегрирования в выражение для общего решения можно вводить в произвольном виде так, как это удобно в конкретной ситуации, например, С,С/, ln,, cos Пример 4 cos d sin d, 6 Пример 5 ln Пример 6 5 Пример 7 4 Пример 8 Пример 9 6d 6d d d 4 Однородные дифференциальные уравнения -го порядка Опр Функция Fх,у называется однородной измерения n, если при любом t выполняется тождество

6 n F t, t t F, F,, F t, t t tf, - однородная функция первого измерения F, sin - однородная функция второго измерения F, - однородная функция нулевого измерения F4, ln ln - однородная функция нулевого измерения F, - не является однородной функцией 5 Опр Диф ур-ие -го порядка P, d Q, d называется однородным, если Рх,у и Qх,у однородные функции одного и того же измерения Например d d, cos d sin d Опр Уравнение f, называется однородным, если f, - однородная функция нулевого измерения Например Однородные уравнения с помощью подстановки u сводятся к уравнению с разделяющимися переменными Пример Проинтегрировать ур-ие tg и найти частное решение, соотв условию у=π Выразим у tg и убедимся, что это однородное ур-ие Сделаем подстановку u Следовательно у = uх и у =u +u Подставим это в уравнение и получим u +u = u + tg u du du d cosudu d tgu ln sin u ln ln sin u sin - общий d tgu sin u интеграл sin sin - частный интеграл Пример d d d d u u u u du u d ln u u ln ln u u - общий интеграл Пример Найти общее решение диф ур-ия d d Перед d и d однородные функции -го измерения

7 u d ud du Подставим это в ур-ие u ud ud du u u d ud du u d du u d du d du ln ln ln ln e - общий интеграл u u u 5 Линейные уравнения -го порядка Опр Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее у и у в первых степенях P Q Решение линейных диф ур-ий -го порядка методом Бернулли Решение уравнения находится в виде произведения -х функций: u v, uv vu uv vu P uv Q uv u v P v Q Тк решение находится в виде произведения -х функций, на одну из них можно наложить определенное условие Потребуем, чтобы v удовлетворяла следующему уравнению пусть выражение в скобках обращалось в нуль: v P v и тогда уравнение запишется в виде системы: v P v, * uv Q dv Первое уравнение P v - уравнение с разделяющимися переменными d dv P d P d ln v P d v e v Подставим найденное значение ν в ур-ие*: u e P d P d Q du Q e d - ур-ие с разделяющимися переменными u P d Q e d Перемножим u и v и найдем у:

8 vu e P d Q e P d d Пример ctg sin, У и у входят в уравнение в первой степени имеем линейное уравнение u v, uv vu uv vu uvctg sin uv u v vctg sin v vctg, * uv sin dv cos dv cos d v ln v ln sin v sin d sin v sin Подставим найденное значение м в ур-ие*: du u sin sin sin u cos sin cos - общее решение d Найдем частное решение, подставим в общее решение начальное условие: sin cos С С sin cos частное решение Уравнения Бернулли Опр Ур-им Бернулли наз-ся ур-ие вида Рх Q При α= ур-ие Бернулли обращается в линейное ур-ие Методы решения те же, что для линейного Замечание Ур-ие может оказаться ур-ием Бернулли относительно х и х Рух Q ух Решение находим в виде u v Пример у 4у х у u v, u v v u õ u v v u 4uv õ ó õu v u õv 4v õ u v v 4v, dv 4 du 4 du d 4v v u ln ln u v u v d d u 4 u ln u ln uv ln Пример Решить задачу Коши e, Решим ур-ие Бернулли методом вариации произвольной постоянной Ищем решение однородного ур-ия d d у ху d ln ln e d Полагаем С = Сх и решение исходного уравнения ищем в виде Подставляем эти выражения в исходное ур-ие х e, уe e х

9 х х d e хe хe е С e e e d d e d e d e - общее e решение Найдем частное решение х е е х С С е х е С С х е

10 7 Уравнения в полных дифференциалах Опр Ур-ие M, d N, d называется ур-ием в полных дифференциалах, если M,, N, непрерывные дифференцируемые ф-ции, для которых выполняются соотношения: M N M N, причем и непрерывны в некоторой области Интегрирование ур-ий в полных дифференциалах Покажем, что если левая часть ур-ия есть полный дифференциал, то выполняется условие и наоборот, если выполняется условие, то ур-ие полный дифференциал ф- ции Uх,у, те ур-ие имеет вид: du, = U, = общий интеграл Предположим сначала, что левая часть ур-ия есть полный дифференциал некоторой ф-ции Uх,у, те U U M, d N, d du, d d, U U M,, N, 4 Дифференцируя первое соотношение по у, а второе по х, получим M U N U, Предполагая непрерывность вторых производных, получаем

11 M N, те равенство необходимое условие для того, чтобы левая часть ур-ия была полным некоторой ф-ции Uх,у Покажем, что это условие является и достаточным, те при выполнении условия левая часть ур-ия есть полный дифференциал некоторой ф-ции Uх,у U Из соотношения M, находим U При интегрировании M, d предполагаем, что у = const, поэтому константа интегрирования φу может зависеть от у и мы предполагаем, что она дифференцируема Подберем φу так, чтобы выполнялось второе из соотношений 4 Для этого продифференцируем обе части последнего рав-ва по у и результаты приравняем U M d N,, тк M N N, то можно записать d N,, те N N N N, d или, d d Следовательно равенство N M, d M, d N, dd Ñ будет общим интегралом уравнения Пример Найти общий интеграл ур-ия d d M N Проверяем условие : M, ; N, M N ; Итак, критерий выполняется на всей плоскости Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах Находим ф-цию U, Для этого воспользуемся первым из соотношений 4: U, M, d d Найдем ф-цию φу Для этого воспользуемся вторым из соотношений 4: U N, Постоянную интегрирования здесь можно не дописывать, так как нам нужна одна из первообразных Тогда выражение для ф-ции U, примет вид: U, и общий интеграл уравнения U, или Отметим, что всегда можно убедиться в правильности полученного решения, продифференцировав выражение для ф-ции U, по переменным х и у и приравняв соответственно ф-циям M, и N, U M,,

12 U N, Проверка подтверждает правильность полученного решения Можно решать такие ур-ия проще Покажем это на примере Пример Найти общий интеграл ур-ия d d M N Проверяем условие M, ; N, M N ; Итак, критерий выполняется на всей плоскости Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах Находим неопределенные интегралы M, d d,, d d N Беря все известные слагаемые из первого результата и дописав к ни недостающие слагаемые, зависящие только от у из второго результата, получим ф-цию U, Приравняв ее произвольной постоянной, получим общий интеграл данного ур-ия Ñ Замечание При решении ур-ий таким способом обязательно нужно проверить рав-ва: U M,, U N,

13 d d d d ; ctg, 5 s ds e d t dd d d d d tg / e cos ln d d 4 4 tg cos e dd cos d d ln e d d e

14 sin ctg d d 4ln d e 4 cos tg d d 4 e sin ln 5 d d e de d d ln d 9 d 4 6 d 5 d d d d sin cos d d d d ln cos d sin cos 4 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Аналитический аппарат решения уравнений высшего порядка достаточно хорошо разработан для линейных уравнений Нелинейные уравнения можно аналитически решить только, если удается понизить порядок уравнения до первого Но понизить порядок уравнения возможно в следующих случаях Таблица Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

15 Вид уравнения Особенности Решение n f Отсутствие в уравнении самой искомой функции и ее производных до n- порядка включительно F, k, k+, n = отсутствие в уравнении самой искомой функции и ее младших производных до k- порядка включительно F,, = отсутствие в нем в явном виде независимой переменной х Последовательное n кратное интегрирование подстановка k = z допускает понижение порядка на k единиц Порядок ур-ия можно понизить до первого подстановкой p, dp d pp d d 4 Решение уравнений вида n = f Отличительной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем в явном виде самой искомой ф-ции у ии ее производных до n- порядка включительно Решение такого урия находится путем последовательного интегрирования 4 Пример Найти общее решение ур-ия sin Последовательным интегрированием находим 4 d sin d cos d cos d sin 4 d sin d cos 4 5 d cos d sin Решение уравнений вида F, k, k+, n = Отличительной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем самой ф-ции у и ее младших производных до k- порядка включительно Такое ур-ие допускает понижение порядка на k единиц при помощи подстановки k = z Пример Найти общее решение ур-ия ln Уравнение второго порядка не содержит в явном виде ф-цию у Воспользуемся подстановкой z, тогда z Получаем ур-ие первого порядка относительно ф-ции z: z ln z Это ур-ие допускает разделение переменных dz dz d dz d z z z d ln ln ln ln ln ln z ln z ln Находим ф-цию ух Тк z =С ln, то

16 ln ln d d Это и есть общее решенин ур-ия Пример Найти частное решение ур-ия,, Получим сначала общее решение Данное ур-ие ур-ие второго порядка, которое не содержит в явном виде ф-цию у Решим его, z z z z ó ÿâíî íåò Разделим на х и получим линейное ур-ие z z Решим его, V V U U V UV V U U V V U U V z V U z ln ln, d U d du d du U U V V V d V dv V d dv V V UV z Следовательно ln d d z Общее решение ln Найдем частное решение ур-ия ln, ln Частное решение ln 4 Решение уравнений вида F,, = Характерной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем в явном виде независимой переменной х Порядок ур-ия можно понизить до первого подстановкой p p d d d dp p, Пример Найти общее решение ур-ия e, e p p pe p p p p p õ ÿâíî íåò e

17 d p, const d dp d d e t e p e d e e d d d e e d t t t A t B t A t Bt d t t t A t B t ln e ln e ln e Это общий интеграл дифференциального ур-ия Пример Решить задачу Коши, íåò ÿâíî õ p, pp pp dp p d d pdp p то находим С p 4 тк p,, d 4 d Пример Найти общее решение ур-ия Данное ур-ие не содержит в явном виде ни ф-ции ух, ни независимой переменной х Таким образом, порядок этого ур-ия можно понизить как подстановкой z так и p Используем подстановку z, тогда z dz dz z z z d arcsin z z sin d z d sin sin d cos d

18

19

20 4 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами Опр Линейным однородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами называется ур-ие вида n n n а а аn аn, 45 где а, а,,а n действительные числа Метод решения ур-ия 45 был предложен Эйлером В соответствии с ним решение ур-ия k ищется в виде х е k const Подставляя эту ф-цию и ее производные k k n n k ke, k e,, k e в ур-ие 45 получим k n n e k ak an k Ф-ция х е будет решением ур-ия 45 только тогда, когда n n k k ak an k an å 46 и когда k корень алгебраического ур-ия 46 Ур-ие 46 называется характеристическим ур-ием Это алгебраическое ур-ие n-й степени, оно имеет n корнейсчитая и равные корни, среди которых могут быть и комплексные Рассмотрим основные возможные случаи Корни Частные решения Соответствующая часть общего решения различные действительные k k k k n k e, e,, n e e e ne корни k, k,,k n k n действительные корни, среди которых m равны между собой k = k = =k m, k m+,,k n k k m,,, m km k n m,, n e e e e k m e С m e e km kn m n простые комплексносопряженные корни k i, k i, все остальные корни k, k4,, k n являются действительными и различными комплексно-сопряженные корни k i, k i являются m-кратными Если остальные n-m корней являются действительным различными e cos, e sin e cos, e cos e cos, m m e sin, e si e m m m m sin, cos e k m m e k m n m e m sin e kn m m e n e e kn cos sin Свойства решений линейного однородного уравнения Если функция является каким-либо частным решением уравнения 45, то функция С, где С const, также является решением этого уравнения

21 Если функции,, n являются какими-либо частными решениями уравнения 45, то их линейная комбинация С + С + С n n также является решением этого уравнения Пример Решить ур-ие 5 6 Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k 5k 6k k k 5k 6 k, k, k e, e, e Общее решение имеет вид o o e e Пример Решить ур-ие Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k k k k k k k e, e, e o o e e e e Фундаментальная система решений Общее решение Пример Решить ур-ие Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k k k k k k k k k, k i, k i e, e cos, sin e cos sin Фундаментальная система решений Общее решение 4 Пример Решить ур-ие Составляем характеристическое ур-ие 4 k k k k k i, k k4 i Фундаментальная система решений cos, cos, sin, 4 sin Общее решение cos sin 4 45 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами Опр Линейным неоднородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами называется ур-ие вида n n n а а аn аn f 47 где а, а,,а n действительные числа Общее решение ур-ие 47определяется формулой у = у + У, где у - общее решение соответствующего однородного ур-ия, а частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, который применяется только в тех случаях, когда правая часть ур-ия имеет специальный вид Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов Поскольку общее решение ур-ия 47 определяется формулой у = у + У, где у - общее решение соответствующего однородного ур-ия, найдем решение у ур-ия 45, решив соответствующее характеристическое ур-ие 46

22 Частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях Правая часть f e Pn, где Р n х многочлен степени n f e [ P cos Q sin ] n сумму двух ф-ций специального вида f f f m Корни характеристического уравнения α не корень характеристического урия α корень характеристического урия кратности s, α±βi не корень характеристического урия α±βi корни характеристического урия кратности s Частное решение Y e Qn, Q n многочлен степени n с неопределенными коэффициентами s Y e Q Y e [ U r cos Vr sin ], U r, V r многочлены степени r = ma[n,m] s Y e [ U r cos Vr sin ] сумма частных решений Y Y Y n Пример Дано ур-ие f Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а e f ; б f e ; в f 5 Для случая в найти неопределенные коэффициенты и записать общее решение исходного ур-ия Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие k k k k k k имеет корни k =, k =k = -, то соответствующие им частные решения e, e, e и общее решение однородного ур-ия e e e Найдем частные решения У для различных f а f e Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= второй степени Так как α = не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e Qn, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, имеет вид Y e Q e A B б f e Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= нулевой степени Так как α = - корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, n имеет вид Y A e в f 5 Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= первой степени

23 Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, n имеет вид Y e A B A B Пример Дано ур-ие 4 f Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а f e cos sin ; б f cos sin Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия 4 Так как характеристическое ур-ие k 4k k k 4 имеет корни k =, k,k = ±i, то соответствующие им частные решения e, cos, решение однородного ур-ия cos sin sin и общее Найдем частные решения У для различных f а f e cos sin ; Правая часть специального вида f e [ Pn cos Qm sin ] Так как α±βi = ±i не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e [ U cos V sin ], где U r, V r многочлены степени r = = ma[n,m] = r ma,, имеет вид Y б f cos sin r e [ A B cos Dsin ] Правая часть специального вида f e [ Pn cos Qm sin ] Так как α±βi = ±i корни характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение Y e [ U cos V sin ], где U r, V r многочлены степени r = = ma[n,m] = r r Y e [ A B cos D FEsin ] ma,, имеет вид A B cos D FEsin Пример Решить ур-ие e Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие k k k k k k имеет корни k =, k =,k = -, то соответствующие им частные решения решение однородного ур-ия e e e, e, e и общее Найдем частное решение У Правая часть ур-ия f e f f представляет собой сумму двух ф-ций специального вида f e P, f e P, f, f e, n ;, n n n поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Y Y Y Найдем эти решения Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q e A B n

24 Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q e n Итак частное решение Y Y Y A B e A B e Пример 4 Решить ур-ие 4 e sin Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия 4 Так как характеристическое ур-ие 4k k k4k имеет корни k =, k,k = ± /i, то соответствующие им частные решения e, cos, sin и общее решение однородного ур-ия cos sin Найдем частное решение У Правая часть ур-ия f e sin f f представляет собой сумму двух ф-ций специального вида f e P e,, n и n f e [ Pn cos Qm sin ] sin,,, n, m, поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Y Y Y Найдем эти решения Так как для первой ф-ции α = не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e Q e n A Так как для второй ф-ции α =, β = / корень характеристического ур-ия кратности s =, s то частное решение Y e [ U r cos Vr sin ] B cos sin Итак частное решение Y Y Y Ae B cos sin 44 Нормальные системы дифференциальных уравнений С системами дифференциальных ур-ий встречаются при изучении процессов, для описания которых нужно искать несколько ф-ций одновременно по ур-иям, связывающим сами ф-ции и их производные Будем далее в качестве независимой переменной использовать t, а неизвестные ф-ции обозначать t и tрешить систему значит найти эти ф-ции Чаще всего приходится иметь дело с нормальной системой диф ур-ий, разрешенной относительно производных искомых ф-ций Нормальная система ур-ий для -х ф-ций имеет вид:

25 d f, t,, d f, t, Если интерпретировать аргумент t, как время, а, координаты движущейся на плоскости точки, то эта система задает в каждый момент времени t координаты вектора скорости в рассматриваемой точке Решение системы t,t буде давать траекторию движения точки 44 Решение нормальных систем дифференциальных ур-ий методом исключения d Пример Найти общее решение системы d 8 4 d d d d Продифференцируем первое ур-ие по t : Значение подставим из -го ур-ия d d 8 4, d Значение у находим из -го ур-ия и подставляем в последнее d d d d d Это линейное однородное ур-ие Корни характеристического ур-ия t 6t k k k k 6, k, k 6 и его частные e, e и общее решение 6 6t t e d уt находим из первого ур-ия: t 6 e Таким образом решение системы 6t t e 6t t 4e 6t 6t e 4 d 5cost Пример Найти общее решение системы и частное решение, соответствующее d начальным условиям х=, у= d d d Продифференцируем первое ур-ие по t : sin t Значение подставим из -го ур-ия d sin t, d Значение у находим из -го ур-ия 5cost и подставляем в последнее d d d d 5cost sin t 5cost 5sin t e 6t

26 Это линейное неоднородное ур-ие Решим сначала соответствующее однородное ур-ие: d d Корни характеристического ур-ия k k k, k и его частные t t t e e t t e, e и общее решение Найдем частное решение неоднородного ур-ия t Правая часть специального вида f t e [ Pn tcos t Qm tsin t] Так как α±βi = ±i не корень характеристического ур-ия, то частное решение t X e [ U r tcos t Vr tsin t], где U r t, V r t многочлены степени r = = ma[n,m] = ma,, имеет вид X Acost B sin t Подставим частное решение и его производные в неоднородное ур-ие и найдем коэффициенты А и В X AcostBsin t dx Asin tbcost d X AcostBsin t Acost Bsin t Asin t B cost Acost Bsin t 5cost 5sin t A Bcost A Bsin t 5cost 5sin t Приравняем коэффициенты слева исправа при одинаковых выражениях от t при cost: -А В = 5 при sint: А В = 5 Решив полученную систему найдем А = - и В = - Следовательно частное решение X cost sin t и общее решение t t t e e cost sin t, d t t t 5cost e e sin t cost 5cost уt находим из первого ур-ия: t t e e sin t cost Таким образом общее решение системы t t t e e cost sint t t t e e sint cost Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям х=, у=, подставив его в общее решение: С 4 С, С С С Частное решение имеет вид: t 4 t t e e cost sin t t 4 t t e e sin t cost


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГ ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (направление «Прикладная математика

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ. по высшей математике. часть III ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование» Ахметжанова ГВ Павлова ЕС Кошелева НН ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ по

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Витебский государственный технологический университет

Витебский государственный технологический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные интегралы Дифференциальные уравнения Ряды Методические указания к практическим занятиям для студентов второго

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее