ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух и ее проиводные Если искомая функция у = fх есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным Опр Порядок диф ур-ия определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение х у у е - -го порядка, х у 5у 6у е - -го порядка n Опр Решением диф ур-ия F,,,, называется любая функция х при условии, что при подстановке этой функции и ее производных в ур-ие - это уравнение обращается в тождество График функции х называется интегральной кривой уравнения n F,,,, Процесс нахождения решения диф ур-ия называется интегрированием этого уравнения В теории диф ур-ий изучаются методы интегрирования диф ур-ий Основная задача интегрирования диф ур-ия состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств Пример Уравнение у имеет семейство решений х С - интегральные кривые - параболы Все решения элементарные функции Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям К диф ур-иям приводят многочисленные задачи физики, механики и тд Задача Известно, что скорость распада радия пропорциональна его количеству в каждый данный момент Найти зависимость массы m от времени t dm km, m mt Решение этого уравнения позволяет найти зависимость массы от времени Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия и определения Дифференциальное уравнение первого порядка может быть задано в -х формах у f, - явная F,, - неявная M, d N, d - дифференциальная Одно и то же уравнение можно выразить во всех трех формах:

2 - явная, - неявная, d d - дифференциальная Опр Решением диф ур-ия называется любая дифференцируемая функция у = ух, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Интегралом уравнения называется его решение, полученное в неявном виде Фх,у = Каждое диф ур-ие -го порядка имеет бесконечное множество решений Все это множество можно описать одной функцией, которая называется общим решением или общим интегралом диф ур-ия Из этого множества можно выбрать конкретноечастное решение, если задать начальное условие Опр Начальным условием для ур-ия -го порядка является задание значения искомой функции при заданном значении независимой переменной, те ух = у Опр Общим решением диф ур-ия -го порядка называется функция у = ух, С в обл Д, которая удовлетворяет следующим условиям: а функция содержит одну произвольную постоянную С, Опр Задача Коши нахождение частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию 4 Задание начального условия ух = у означает задание точки М х, у 5 Решить задачу Коши ó f,, ух = у означает, что из всего множества интегральных кривых, представляющих общее решение, необходимо отобрать ту единственную, которая проходит через точку М х, у 8 Определение типа уравнения -го порядка Решение любого дифференциального ур-ия -го порядка необходимо начинать с определения его типа, так как этим определяется схема его дальнейшего решения Тип ур-ия можно практически всегда определить по его исходной записи В каком бы виде не было задано ур-ие, в первую очередь необходимо проверить, не относится ли оно к ур-ию с разделяющимися переменными Если нет, и ур-ие записано в дифференциальной форме M, d N, d, то можно сразу проверить, не относится ли оно к ур-иям в полных дифференциалах Если и это не подходит, то остается убедиться в однородности или линейности ур-ия Как правило, в последнюю очередь остается проверить, не относится ли ур-ие к ур-ию БернуллиНе следует также забывать о том, что ур-ие может быть линейным или типа Бернулли относительно переменной х Дифференциальные уравнения первого порядка Таблица Тип ур-ия Запись Особенности Решение Ур-ие с разделяющимися f g Каждая из ф-ций Зависит от одной Разделение переменной переменными M N d переменной M N d Однородные P,d+Q,d= P,,Q, Однородные ф-ции Введение переменной

3 Линейные относительно х относительно у f, P Q P Q одного измерения f,-однородная ф-ция нулевого измерения Ф-ция и ее производная в первой степени U =UV =UV 4 Уравнение Бернулли 5 Уравнение в полных дифференциалах P Q P Q M, d N, d Отличается от Линейного Сомножителем у α или х α в правой части M N =UV =UV Интегрируется система ф-ций U M,, U N, Основные типы уравнений первого порядка Уравнения с разделенными переменными Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида f d g d, характерной особенностью которого является то, что множителем при d является функция, зависящая только от х, а множителем при d является функция, зависящая только от у Говорят, что в таком уравнении переменные разделены, а само уравнение называется уравнением с разделенными переменными Решение таких уравнений заключается в почленном интегрировании левой и правой его частей f d g d Ñ Пример Решить уравнение cos d d cos d d sin - общий интеграл, sin - общее решение Методы решения рассматриваемых ниже уравнений кроме уравнений в полных дифференциалах представляют собой способы сведения этих уравнений к уравнениям с разделенными переменными Уравнения с разделяющимися переменными Опр Дифференциальное ур-ие у f, или { M, d N, d } является уравнением с разделяющимися переменными, если функции f, {M, и N,} могут быть представлены в виде произведения двух функций, одна из которыз зависит только от х, другая только от у: f, = f f, M, = M M, N, = N N

4 Чтобы решить уравнение с разделяющимися переменными, его нужно свести к уравнению с разделенными переменными и затем проинтегрировать Если ур-ие задано в явной форме d у f, f f, d то умножим сначала все ур-ие на d, d f f d а затем разделим на ф-цию, стоящую не у своего дифференциала f и проинтегрируем полученное ур-ие d d f d f d f f Если ур-ие задано в дифференциальной форме, M, d N, d M M d N N d то раздели все ур-ие на произведение ф-ций, стоящих не у своих дифференциалов M N, а затем проинтегрируем полученное ур-ие M N M N d d d d N M N M Пример Найти общее и частное решение, Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d и интегрируем полученное ур-ие d d - общее решение Подставим в общее решение начальные условия и найдем С и частное решение С у х - частное решение Пример Найти общее и частное решение у, М,4 у Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d d d Умножаем на «стоящую не у своего дифференциала» функцию у и интегрируем полученное ур-ие d d - общее решение Подставим в него М и получим частное решение 4 х у 5 - частное решение Пример Найти общее и частное решение у,

5 Заменяем у отношением d/d Умножаем обе части уравнения на d d d Делим на «стоящую не у своего дифференциала» функцию у и интегрируем полученное ур-ие d d ln ln ln - общее решение 6=С ху=6 частное решение Отметим, что постоянную интегрирования в выражение для общего решения можно вводить в произвольном виде так, как это удобно в конкретной ситуации, например, С,С/, ln,, cos Пример 4 cos d sin d, 6 Пример 5 ln Пример 6 5 Пример 7 4 Пример 8 Пример 9 6d 6d d d 4 Однородные дифференциальные уравнения -го порядка Опр Функция Fх,у называется однородной измерения n, если при любом t выполняется тождество

6 n F t, t t F, F,, F t, t t tf, - однородная функция первого измерения F, sin - однородная функция второго измерения F, - однородная функция нулевого измерения F4, ln ln - однородная функция нулевого измерения F, - не является однородной функцией 5 Опр Диф ур-ие -го порядка P, d Q, d называется однородным, если Рх,у и Qх,у однородные функции одного и того же измерения Например d d, cos d sin d Опр Уравнение f, называется однородным, если f, - однородная функция нулевого измерения Например Однородные уравнения с помощью подстановки u сводятся к уравнению с разделяющимися переменными Пример Проинтегрировать ур-ие tg и найти частное решение, соотв условию у=π Выразим у tg и убедимся, что это однородное ур-ие Сделаем подстановку u Следовательно у = uх и у =u +u Подставим это в уравнение и получим u +u = u + tg u du du d cosudu d tgu ln sin u ln ln sin u sin - общий d tgu sin u интеграл sin sin - частный интеграл Пример d d d d u u u u du u d ln u u ln ln u u - общий интеграл Пример Найти общее решение диф ур-ия d d Перед d и d однородные функции -го измерения

7 u d ud du Подставим это в ур-ие u ud ud du u u d ud du u d du u d du d du ln ln ln ln e - общий интеграл u u u 5 Линейные уравнения -го порядка Опр Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее у и у в первых степенях P Q Решение линейных диф ур-ий -го порядка методом Бернулли Решение уравнения находится в виде произведения -х функций: u v, uv vu uv vu P uv Q uv u v P v Q Тк решение находится в виде произведения -х функций, на одну из них можно наложить определенное условие Потребуем, чтобы v удовлетворяла следующему уравнению пусть выражение в скобках обращалось в нуль: v P v и тогда уравнение запишется в виде системы: v P v, * uv Q dv Первое уравнение P v - уравнение с разделяющимися переменными d dv P d P d ln v P d v e v Подставим найденное значение ν в ур-ие*: u e P d P d Q du Q e d - ур-ие с разделяющимися переменными u P d Q e d Перемножим u и v и найдем у:

8 vu e P d Q e P d d Пример ctg sin, У и у входят в уравнение в первой степени имеем линейное уравнение u v, uv vu uv vu uvctg sin uv u v vctg sin v vctg, * uv sin dv cos dv cos d v ln v ln sin v sin d sin v sin Подставим найденное значение м в ур-ие*: du u sin sin sin u cos sin cos - общее решение d Найдем частное решение, подставим в общее решение начальное условие: sin cos С С sin cos частное решение Уравнения Бернулли Опр Ур-им Бернулли наз-ся ур-ие вида Рх Q При α= ур-ие Бернулли обращается в линейное ур-ие Методы решения те же, что для линейного Замечание Ур-ие может оказаться ур-ием Бернулли относительно х и х Рух Q ух Решение находим в виде u v Пример у 4у х у u v, u v v u õ u v v u 4uv õ ó õu v u õv 4v õ u v v 4v, dv 4 du 4 du d 4v v u ln ln u v u v d d u 4 u ln u ln uv ln Пример Решить задачу Коши e, Решим ур-ие Бернулли методом вариации произвольной постоянной Ищем решение однородного ур-ия d d у ху d ln ln e d Полагаем С = Сх и решение исходного уравнения ищем в виде Подставляем эти выражения в исходное ур-ие х e, уe e х

9 х х d e хe хe е С e e e d d e d e d e - общее e решение Найдем частное решение х е е х С С е х е С С х е

10 7 Уравнения в полных дифференциалах Опр Ур-ие M, d N, d называется ур-ием в полных дифференциалах, если M,, N, непрерывные дифференцируемые ф-ции, для которых выполняются соотношения: M N M N, причем и непрерывны в некоторой области Интегрирование ур-ий в полных дифференциалах Покажем, что если левая часть ур-ия есть полный дифференциал, то выполняется условие и наоборот, если выполняется условие, то ур-ие полный дифференциал ф- ции Uх,у, те ур-ие имеет вид: du, = U, = общий интеграл Предположим сначала, что левая часть ур-ия есть полный дифференциал некоторой ф-ции Uх,у, те U U M, d N, d du, d d, U U M,, N, 4 Дифференцируя первое соотношение по у, а второе по х, получим M U N U, Предполагая непрерывность вторых производных, получаем

11 M N, те равенство необходимое условие для того, чтобы левая часть ур-ия была полным некоторой ф-ции Uх,у Покажем, что это условие является и достаточным, те при выполнении условия левая часть ур-ия есть полный дифференциал некоторой ф-ции Uх,у U Из соотношения M, находим U При интегрировании M, d предполагаем, что у = const, поэтому константа интегрирования φу может зависеть от у и мы предполагаем, что она дифференцируема Подберем φу так, чтобы выполнялось второе из соотношений 4 Для этого продифференцируем обе части последнего рав-ва по у и результаты приравняем U M d N,, тк M N N, то можно записать d N,, те N N N N, d или, d d Следовательно равенство N M, d M, d N, dd Ñ будет общим интегралом уравнения Пример Найти общий интеграл ур-ия d d M N Проверяем условие : M, ; N, M N ; Итак, критерий выполняется на всей плоскости Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах Находим ф-цию U, Для этого воспользуемся первым из соотношений 4: U, M, d d Найдем ф-цию φу Для этого воспользуемся вторым из соотношений 4: U N, Постоянную интегрирования здесь можно не дописывать, так как нам нужна одна из первообразных Тогда выражение для ф-ции U, примет вид: U, и общий интеграл уравнения U, или Отметим, что всегда можно убедиться в правильности полученного решения, продифференцировав выражение для ф-ции U, по переменным х и у и приравняв соответственно ф-циям M, и N, U M,,

12 U N, Проверка подтверждает правильность полученного решения Можно решать такие ур-ия проще Покажем это на примере Пример Найти общий интеграл ур-ия d d M N Проверяем условие M, ; N, M N ; Итак, критерий выполняется на всей плоскости Данное ур-ие является уравнением в полных дифференциалах Находим неопределенные интегралы M, d d,, d d N Беря все известные слагаемые из первого результата и дописав к ни недостающие слагаемые, зависящие только от у из второго результата, получим ф-цию U, Приравняв ее произвольной постоянной, получим общий интеграл данного ур-ия Ñ Замечание При решении ур-ий таким способом обязательно нужно проверить рав-ва: U M,, U N,

13 d d d d ; ctg, 5 s ds e d t dd d d d d tg / e cos ln d d 4 4 tg cos e dd cos d d ln e d d e

14 sin ctg d d 4ln d e 4 cos tg d d 4 e sin ln 5 d d e de d d ln d 9 d 4 6 d 5 d d d d sin cos d d d d ln cos d sin cos 4 Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Аналитический аппарат решения уравнений высшего порядка достаточно хорошо разработан для линейных уравнений Нелинейные уравнения можно аналитически решить только, если удается понизить порядок уравнения до первого Но понизить порядок уравнения возможно в следующих случаях Таблица Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

15 Вид уравнения Особенности Решение n f Отсутствие в уравнении самой искомой функции и ее производных до n- порядка включительно F, k, k+, n = отсутствие в уравнении самой искомой функции и ее младших производных до k- порядка включительно F,, = отсутствие в нем в явном виде независимой переменной х Последовательное n кратное интегрирование подстановка k = z допускает понижение порядка на k единиц Порядок ур-ия можно понизить до первого подстановкой p, dp d pp d d 4 Решение уравнений вида n = f Отличительной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем в явном виде самой искомой ф-ции у ии ее производных до n- порядка включительно Решение такого урия находится путем последовательного интегрирования 4 Пример Найти общее решение ур-ия sin Последовательным интегрированием находим 4 d sin d cos d cos d sin 4 d sin d cos 4 5 d cos d sin Решение уравнений вида F, k, k+, n = Отличительной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем самой ф-ции у и ее младших производных до k- порядка включительно Такое ур-ие допускает понижение порядка на k единиц при помощи подстановки k = z Пример Найти общее решение ур-ия ln Уравнение второго порядка не содержит в явном виде ф-цию у Воспользуемся подстановкой z, тогда z Получаем ур-ие первого порядка относительно ф-ции z: z ln z Это ур-ие допускает разделение переменных dz dz d dz d z z z d ln ln ln ln ln ln z ln z ln Находим ф-цию ух Тк z =С ln, то

16 ln ln d d Это и есть общее решенин ур-ия Пример Найти частное решение ур-ия,, Получим сначала общее решение Данное ур-ие ур-ие второго порядка, которое не содержит в явном виде ф-цию у Решим его, z z z z ó ÿâíî íåò Разделим на х и получим линейное ур-ие z z Решим его, V V U U V UV V U U V V U U V z V U z ln ln, d U d du d du U U V V V d V dv V d dv V V UV z Следовательно ln d d z Общее решение ln Найдем частное решение ур-ия ln, ln Частное решение ln 4 Решение уравнений вида F,, = Характерной особенностью такого ур-ия является отсутствие в нем в явном виде независимой переменной х Порядок ур-ия можно понизить до первого подстановкой p p d d d dp p, Пример Найти общее решение ур-ия e, e p p pe p p p p p õ ÿâíî íåò e

17 d p, const d dp d d e t e p e d e e d d d e e d t t t A t B t A t Bt d t t t A t B t ln e ln e ln e Это общий интеграл дифференциального ур-ия Пример Решить задачу Коши, íåò ÿâíî õ p, pp pp dp p d d pdp p то находим С p 4 тк p,, d 4 d Пример Найти общее решение ур-ия Данное ур-ие не содержит в явном виде ни ф-ции ух, ни независимой переменной х Таким образом, порядок этого ур-ия можно понизить как подстановкой z так и p Используем подстановку z, тогда z dz dz z z z d arcsin z z sin d z d sin sin d cos d

18

19

20 4 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами Опр Линейным однородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами называется ур-ие вида n n n а а аn аn, 45 где а, а,,а n действительные числа Метод решения ур-ия 45 был предложен Эйлером В соответствии с ним решение ур-ия k ищется в виде х е k const Подставляя эту ф-цию и ее производные k k n n k ke, k e,, k e в ур-ие 45 получим k n n e k ak an k Ф-ция х е будет решением ур-ия 45 только тогда, когда n n k k ak an k an å 46 и когда k корень алгебраического ур-ия 46 Ур-ие 46 называется характеристическим ур-ием Это алгебраическое ур-ие n-й степени, оно имеет n корнейсчитая и равные корни, среди которых могут быть и комплексные Рассмотрим основные возможные случаи Корни Частные решения Соответствующая часть общего решения различные действительные k k k k n k e, e,, n e e e ne корни k, k,,k n k n действительные корни, среди которых m равны между собой k = k = =k m, k m+,,k n k k m,,, m km k n m,, n e e e e k m e С m e e km kn m n простые комплексносопряженные корни k i, k i, все остальные корни k, k4,, k n являются действительными и различными комплексно-сопряженные корни k i, k i являются m-кратными Если остальные n-m корней являются действительным различными e cos, e sin e cos, e cos e cos, m m e sin, e si e m m m m sin, cos e k m m e k m n m e m sin e kn m m e n e e kn cos sin Свойства решений линейного однородного уравнения Если функция является каким-либо частным решением уравнения 45, то функция С, где С const, также является решением этого уравнения

21 Если функции,, n являются какими-либо частными решениями уравнения 45, то их линейная комбинация С + С + С n n также является решением этого уравнения Пример Решить ур-ие 5 6 Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k 5k 6k k k 5k 6 k, k, k e, e, e Общее решение имеет вид o o e e Пример Решить ур-ие Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k k k k k k k e, e, e o o e e e e Фундаментальная система решений Общее решение Пример Решить ур-ие Это линейное однородное ур-ие -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое ур-ие k k k k k k k k k, k i, k i e, e cos, sin e cos sin Фундаментальная система решений Общее решение 4 Пример Решить ур-ие Составляем характеристическое ур-ие 4 k k k k k i, k k4 i Фундаментальная система решений cos, cos, sin, 4 sin Общее решение cos sin 4 45 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами Опр Линейным неоднородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами называется ур-ие вида n n n а а аn аn f 47 где а, а,,а n действительные числа Общее решение ур-ие 47определяется формулой у = у + У, где у - общее решение соответствующего однородного ур-ия, а частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, который применяется только в тех случаях, когда правая часть ур-ия имеет специальный вид Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов Поскольку общее решение ур-ия 47 определяется формулой у = у + У, где у - общее решение соответствующего однородного ур-ия, найдем решение у ур-ия 45, решив соответствующее характеристическое ур-ие 46

22 Частное решение У неоднородного ур-ия может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях Правая часть f e Pn, где Р n х многочлен степени n f e [ P cos Q sin ] n сумму двух ф-ций специального вида f f f m Корни характеристического уравнения α не корень характеристического урия α корень характеристического урия кратности s, α±βi не корень характеристического урия α±βi корни характеристического урия кратности s Частное решение Y e Qn, Q n многочлен степени n с неопределенными коэффициентами s Y e Q Y e [ U r cos Vr sin ], U r, V r многочлены степени r = ma[n,m] s Y e [ U r cos Vr sin ] сумма частных решений Y Y Y n Пример Дано ур-ие f Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а e f ; б f e ; в f 5 Для случая в найти неопределенные коэффициенты и записать общее решение исходного ур-ия Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие k k k k k k имеет корни k =, k =k = -, то соответствующие им частные решения e, e, e и общее решение однородного ур-ия e e e Найдем частные решения У для различных f а f e Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= второй степени Так как α = не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e Qn, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, имеет вид Y e Q e A B б f e Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= нулевой степени Так как α = - корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, n имеет вид Y A e в f 5 Правая часть специального вида f e Pn, где Р n х многочлен степени n= первой степени

23 Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q, где Q n многочлен степени n= с неопределенными коэффициентами, n имеет вид Y e A B A B Пример Дано ур-ие 4 f Найти общее решение соответствующего однородного ур-ия у и записать частное решение У с неопределенными коэффициентами в каждом из следующих случаев: а f e cos sin ; б f cos sin Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия 4 Так как характеристическое ур-ие k 4k k k 4 имеет корни k =, k,k = ±i, то соответствующие им частные решения e, cos, решение однородного ур-ия cos sin sin и общее Найдем частные решения У для различных f а f e cos sin ; Правая часть специального вида f e [ Pn cos Qm sin ] Так как α±βi = ±i не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e [ U cos V sin ], где U r, V r многочлены степени r = = ma[n,m] = r ma,, имеет вид Y б f cos sin r e [ A B cos Dsin ] Правая часть специального вида f e [ Pn cos Qm sin ] Так как α±βi = ±i корни характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение Y e [ U cos V sin ], где U r, V r многочлены степени r = = ma[n,m] = r r Y e [ A B cos D FEsin ] ma,, имеет вид A B cos D FEsin Пример Решить ур-ие e Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия Так как характеристическое ур-ие k k k k k k имеет корни k =, k =,k = -, то соответствующие им частные решения решение однородного ур-ия e e e, e, e и общее Найдем частное решение У Правая часть ур-ия f e f f представляет собой сумму двух ф-ций специального вида f e P, f e P, f, f e, n ;, n n n поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Y Y Y Найдем эти решения Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q e A B n

24 Так как α = корень характеристического ур-ия кратности s =, то частное решение s Y e Q e n Итак частное решение Y Y Y A B e A B e Пример 4 Решить ур-ие 4 e sin Найдем сначала общее решение соответствующего однородного ур-ия 4 Так как характеристическое ур-ие 4k k k4k имеет корни k =, k,k = ± /i, то соответствующие им частные решения e, cos, sin и общее решение однородного ур-ия cos sin Найдем частное решение У Правая часть ур-ия f e sin f f представляет собой сумму двух ф-ций специального вида f e P e,, n и n f e [ Pn cos Qm sin ] sin,,, n, m, поэтому частное решение может быть найдено как сумма частных решений Y Y Y Найдем эти решения Так как для первой ф-ции α = не корень характеристического ур-ия, то частное решение Y e Q e n A Так как для второй ф-ции α =, β = / корень характеристического ур-ия кратности s =, s то частное решение Y e [ U r cos Vr sin ] B cos sin Итак частное решение Y Y Y Ae B cos sin 44 Нормальные системы дифференциальных уравнений С системами дифференциальных ур-ий встречаются при изучении процессов, для описания которых нужно искать несколько ф-ций одновременно по ур-иям, связывающим сами ф-ции и их производные Будем далее в качестве независимой переменной использовать t, а неизвестные ф-ции обозначать t и tрешить систему значит найти эти ф-ции Чаще всего приходится иметь дело с нормальной системой диф ур-ий, разрешенной относительно производных искомых ф-ций Нормальная система ур-ий для -х ф-ций имеет вид:

25 d f, t,, d f, t, Если интерпретировать аргумент t, как время, а, координаты движущейся на плоскости точки, то эта система задает в каждый момент времени t координаты вектора скорости в рассматриваемой точке Решение системы t,t буде давать траекторию движения точки 44 Решение нормальных систем дифференциальных ур-ий методом исключения d Пример Найти общее решение системы d 8 4 d d d d Продифференцируем первое ур-ие по t : Значение подставим из -го ур-ия d d 8 4, d Значение у находим из -го ур-ия и подставляем в последнее d d d d d Это линейное однородное ур-ие Корни характеристического ур-ия t 6t k k k k 6, k, k 6 и его частные e, e и общее решение 6 6t t e d уt находим из первого ур-ия: t 6 e Таким образом решение системы 6t t e 6t t 4e 6t 6t e 4 d 5cost Пример Найти общее решение системы и частное решение, соответствующее d начальным условиям х=, у= d d d Продифференцируем первое ур-ие по t : sin t Значение подставим из -го ур-ия d sin t, d Значение у находим из -го ур-ия 5cost и подставляем в последнее d d d d 5cost sin t 5cost 5sin t e 6t

26 Это линейное неоднородное ур-ие Решим сначала соответствующее однородное ур-ие: d d Корни характеристического ур-ия k k k, k и его частные t t t e e t t e, e и общее решение Найдем частное решение неоднородного ур-ия t Правая часть специального вида f t e [ Pn tcos t Qm tsin t] Так как α±βi = ±i не корень характеристического ур-ия, то частное решение t X e [ U r tcos t Vr tsin t], где U r t, V r t многочлены степени r = = ma[n,m] = ma,, имеет вид X Acost B sin t Подставим частное решение и его производные в неоднородное ур-ие и найдем коэффициенты А и В X AcostBsin t dx Asin tbcost d X AcostBsin t Acost Bsin t Asin t B cost Acost Bsin t 5cost 5sin t A Bcost A Bsin t 5cost 5sin t Приравняем коэффициенты слева исправа при одинаковых выражениях от t при cost: -А В = 5 при sint: А В = 5 Решив полученную систему найдем А = - и В = - Следовательно частное решение X cost sin t и общее решение t t t e e cost sin t, d t t t 5cost e e sin t cost 5cost уt находим из первого ур-ия: t t e e sin t cost Таким образом общее решение системы t t t e e cost sint t t t e e sint cost Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям х=, у=, подставив его в общее решение: С 4 С, С С С Частное решение имеет вид: t 4 t t e e cost sin t t 4 t t e e sin t cost


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ АН Дук ЕГ Ткаченко НВ Целуйко ГМ Бартенев ВВ Толстой ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Разделы: Дифференциальное исчисление

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет А. А. Хватцев, И. А. Строчков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Учебное пособие Псков Псковский

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u

Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u Уравнение Лапласа в круговых областях. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круговых областях (внутренность круга, внешность круга, кольцо). Для решения этой задачи перейдем в полярные координаты { x

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие АНГАРСК АГТА 4 Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2

Материалы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса Часть 2 Семестр 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Материалы для подготовки

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях.

Билет 6 1. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Формула Тейлора. 2. Интегрирующий множитель, его нахождение в частных случаях. Математика 2 Билет 1 Лектор Конев В.В. 1. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, основные понятия (определение, решение уравнения, общее и

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации ЕК Васенкова ЕС Волкова ИГ Шандра МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс лекций Москва 00 УДК 5(0758 ББК 8 Д

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко 3-... 2012 УДК 517.9 ББК 22.161.1 C23 Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко C23 Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R) . Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее