ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1

2 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ Введем понятие линейных комбинаций и линейной оболочки системы векторов. Пусть X 1, X 2,..., X k векторы пространства R n и α 1, α 2,..., α k скаляры (числа). Вектор X = α 1 X 1 + α 2 X α k X k называется линейной комбинацией векторов X i с коэффициентами α i. Пусть теперь Y = β 1 X 1 + β 2 X β k X k линейная комбинация тех же векторов X i с коэффициентами β i. Пусть α, β R. Тогда αx + βy = = α(α 1 X α k X k ) + β(β 1 X β k X k ) = = (αα 1 + ββ 1 )X (αα k + ββ k )X k снова линейная комбинация векторов X i. Мы видим, что множество V всех линейных комбинаций системы векторов X 1, X 2,..., X k обладает свойством X, Y V = αx + βy V для всех α, β R. В частности, нулевой вектор всегда содержится в V. Обычно такое V обозначают символом X 1, X 2,..., X k и называют линейной оболочкой системы векторов X 1, X 2,..., X k. Говорят еще, что оболочка X 1,..., X k натянута на X 1,..., X k или порождена векторами X 1,..., X k. 2

3 Можно определить линейную оболочку любого подмножества S R n, понимая под S совокупность всех линейных комбинаций конечных систем векторов из S. Ясно, что если V линейная оболочка в R n, то V = V : любая линейная комбинация векторов из V принадлежит V. В частности, S V = S V, т. е. линейную оболочку S можно определить как пересечение всех оболочек, содержащих данное множество S векторов из R n : S = V. На первый взгляд не очевидно, что стоящее в правой части выражения пересечение V какого-то множества оболочек будет линейной оболочкой. Но если X, Y V, то X, Y V для каждой оболочки V, входящей в множество. Значит, αx + βy V для всех α, β R, а это и дает нужное включение αx+βy V. Напротив, объединение U V оболочек U и V, вообще говоря, не является оболочкой, как показывает хотя бы пример в R 2. S V U = {(λ, 0) λ R}, V = {(0, λ) λ R} Заметим, что любая линейная оболочка является таким множеством V, состоящим из векторов, что на векторах определена (бинарная) операция сложения и для каждого λ R (унарная) операция умножения на данное число λ, при этом данное множество V с введенными операциями обладает следующими свойствами: 3

4 (1) v, u V v + u = u + v (коммутативность сложения векторов); (2) u, v, w V (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность сложения векторов); (3) 0 V v V 0+v = v (существование нулевого вектора); (4) v V u(= v) V u + v = 0 (существование противоположного вектора); (5) λ, µ R v V (λ + µ)v = λv + µv (дистрибутивность относительно сложения чисел); (6) λ R u, v V λ(u + v) = λu + λv (дистрибутивность относительно сложения векторов); (7) λ, µ R v V (λµ)v = λ(µv) (ассоциативность умножения векторов и чисел); (8) v V 1 v = v (нормирование). Множество (состоящее из векторов) с операциями сложения векторов и умножения векторов на числа называется линейным (векторным) пространством, если оно удовлетворяет выписанным восьми акисомам. Таким образом, любая линейная оболочка системы векторов из R n является линейным пространством. 4

5 Линейная зависимость. Система векторов X 1,..., X k линейного пространства называется линейно зависимой, если найдутся k чисел α 1,..., α k, одновременно равных нулю и таких, что α 1 X α k X k = 0. Будем говорить, что такая линейная зависимость нетривиальна. Если же α 1 X α k X k = 0 = α 1 = = α k = 0, то векторы X 1,..., X k называются линейно независимыми. Рассмотрим в пространстве R n так называемые единичные векторы E 1 = (1, 0,..., 0), E 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., E n = (0, 0,..., 0, 1). Каждый вектор X = (x 1, x 2,..., x n ) однозначно записывается в виде X = x 1 E 1 + x 2 E x n E n. Поэтому R n = E 1, E 2,..., E n. Понятно, что единичные векторы E 1, E 2,..., E n линейно независимы. Один вектор X 0, очевидно, тоже линейно независим. Понятно также, что свойство линейной зависимости/независимости никак не связано с порядком векторов, так как слагаемые α i X i могут переставлены произвольным образом. 5

6 Теорема 1. Имеют место следующие утверждения: (1) система векторов {X 1,..., X k } с линейно зависимой подсистемой сама линейно зависима; (2) любая часть линейно независимой системы векторов {X 1,..., X k } линейно независима; (3) среди линейно зависимой системы векторов хотя бы один является линейной комбинацией остальных; (4) если один из векторов системы выражается через остальные, то система линейно зависима; (5) если векторы X 1,..., X k линейно независимы, а векторы X 1,..., X k, X линейно зависимы, то X линейная комбинация векторов X 1,..., X k ; (6) если векторы X 1,..., X k линейно независимы и вектор X k+1 нельзя через них выразить, то система X 1,..., X k, X k+1 линейно независима. Доказательство. (1) Пусть, например, первые s векторов X 1,..., X s, s < k, линейно зависимы, т. е. α 1 X α s X s = 0, где не все α i равны нулю. Положив тогда α s+1 = = α k = 0, получим нетривиальную линейную зависимость α 1 X α s X s + α s+1 X s α k X k = 0. Утверждение (2) непосредственно следует из (1), рассуждением от противного. 6

7 (3) Пусть, например, α k 0 в соотношении. Тогда (4) Пусть, например, X k = α 1 α k X 1 α k 1 α k X k 1. X k = β 1 X β k 1 X k 1. Положив α 1 = β 1,..., α k 1 = β k 1, α k = 1, придем к нужному соотношению с коэффициентом α k 0. (5) Нетривиальное соотношение β 1 X β k X k + βx = 0 с β 0 дает в силу (3) то, что нужно. Если, однако, β = 0, то β 1 = = β k = 0, поскольку X 1,..., X k по условию линейно независимы. Утверждение (6) непосредственно следует из (5). 7

8 БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ Определение 1. Пусть V ненулевое линейное пространство в R n. Система векторов X 1,..., X r V называется базисом для V (или в V ), если она линейна независима и ее линейная оболочка совпадает с V : X 1,..., X r = V. Из определения базиса и линейной оболочки системы векторов следует, что каждый вектор X V записывается единственным образом в виде X = α 1 X α r X r. Коэффициенты α 1,..., α k R называются координатами вектора X в базисе X 1,..., X r. Как мы уже видели, линейно независимые единичные векторы порождают R n. Значит, {E 1,..., E n } базис пространства R n. Но этот так называемый стандартный базис далеко не единственный базис в R n. Например, векторы E 1 = E 1, E 2 = E 1 + E 2, E 3 = E 1 + E 2 + E 3,..., E n = E 1 + E E n тоже составляют базис пространства R n. С другой стороны, пока не ясно, каждое ли линейное пространство в R n обладает базисом, а если да, то будет ли количество базисных векторов постоянным. 8

9 Ответы на оба вопроса оказываются положительными, рассуждения будут основаны на следующей лемме. Лемма 1 (основная лемма о линейной зависимости). Пусть V линейное пространство в R n, векторы X 1,..., X r порождают V, а Y 1,..., Y s линейно независимая система векторов из V. Тогда s r. Доказательство. Как и все векторы из V, векторы Y 1,..., Y s являются линейными комбинациями базисных векторов. Пусть Y 1 = a 11 X 1 + a 21 X a r1 X r, Y 2 = a 12 X 1 + a 22 X a r2 X r, Y s = a 1s X 1 + a 2s X a rs X r, где a ij какие-то скаляры (являясь координатами векторов Y j, они однозначно определены, но это пока несущественно для нас). Рассуждаем от противного. Предположим, что s > r. Составим линейную комбинацию векторов Y j с коэффициентами x j : x 1 Y x s Y s = = (a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1s x s )X 1 + +(a r1 x 1 +a r2 x 2 + +a rs x s )X r и рассмотрим систему из r линейных уравнений с s неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1s x s = 0, a r1 x 1 + a r2 x a rs x s = 0. 9

10 Так как по предположению s > r, то применимо уже доказанное утверждение, по которому наша система обладает ненулевым решением (x 0 1,..., x 0 s). Мы приходим к нетривиальной линейной зависимости x 0 1Y 1 + x 0 2Y x 0 sy s = 0, наличие которой, однако, противоречит условию леммы. Значит, s r. 10

11 Теорема 2. Каждое ненулевое линейное пространство V R n обладает конечным базисом. Все базисы пространства V состоят из одинакового числа r n векторов (это число называется размерностью пространства V и обозначается dim R V или просто dim V ). Доказательство. В соответствии с условием V содержит хотя бы один ненулевой вектор X 1. Пусть мы нашли в V линейно независимую систему векторов X 1,..., X k. Если линейная оболочка X 1,..., X k не совпадает с V, то выберем в V вектор X k+1 / X 1,..., X k. Другими словами, X k+1 не является линейной комбинацией векторов X 1,..., X k. По предыдущей теореме, пункту (6), система X 1,..., X k, X k+1 оказывается линейно независимой. Мы могли бы продолжать неограниченно процесс расширения линейно независимой системы, но все ее векторы X i лежат в R n = E 1, E 2,..., E n, а по только что доказанной лемме линейно независимая система в R n содержит не более n векторов. Значит, при некотором натуральном r n линейно независимая система X 1,..., X k,..., X r V станет максимальной, то есть мы получим линейно зависимую систему X 1,..., X r, X, каков бы ни был вектор X 0 из V. 11

12 По теореме 1, пункт (5), будем иметь включение Значит, X X 1,..., X r. V = X 1,..., X r, и векторы X 1,..., X r составляют базис для V. Предположим теперь, что Y 1,..., Y s еще один базис для V. По основной лемме о линейной зависимости мы имеет неравенство s r. Поменяв местами системы X 1,..., X r и Y 1,..., Y s, мы получим по той же самой лемме неравенство s r. Значит, s = r и теорема доказана. Итак, с каждым линейным пространством V в R n ассоциируется целое положительное число r n, которое мы назвали ее размерностью: r = dim V. Этот важный числовой параметр пространства можно характеризовать разными другими способами. Один из вариантов определения размерности основан на понятии ранга система векторов. Именно, если {X 1, X 2,... } какая-то, возможно, бесконечная, система векторов в пространстве R n, то, как мы знаем, размерность линейной оболочки X 1,... не превосходит n. Ее называют рангом системы {X 1, X 2,... }: rank {X 1, X 2,... } = dim X 1, X 2,.... В случае V = {0} принято считать dim V = 0. 12

13 Определение 2. Линейная оболочка U V называется суммой подпространств U и V : U + V = U V = U V = {u + v u U, v V }. Если U V = 0, то говорят, что сумма U + V прямая, и пишут U V. Пусть V = V 1 V 2 и X = X 1 + X 2 = X 1 + X 2 два выражения вектора X V в виде линейной комбинации векторов X 1, X 1 V 1 и X 2, X 2 V 2. Тогда имеем X 1 X 1 = X 2 X 2 V 1 V 2, а так как V 1 V 2 = 0, то X 1 = X 1, X 2 = X 2. Если запись X = X 1 + X 2, X 1 V 1, X 2 V 2, единственна для каждого вектора X V, то сумма V = V 1 + V 2 прямая. Сумма V подпространств V 1,..., V k R n называется прямой суммой V = V 1 V k, если каждый вектор X V имеет однозначное выражение вида X = X X k, X i V i. 13