ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1

2 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ Введем понятие линейных комбинаций и линейной оболочки системы векторов. Пусть X 1, X 2,..., X k векторы пространства R n и α 1, α 2,..., α k скаляры (числа). Вектор X = α 1 X 1 + α 2 X α k X k называется линейной комбинацией векторов X i с коэффициентами α i. Пусть теперь Y = β 1 X 1 + β 2 X β k X k линейная комбинация тех же векторов X i с коэффициентами β i. Пусть α, β R. Тогда αx + βy = = α(α 1 X α k X k ) + β(β 1 X β k X k ) = = (αα 1 + ββ 1 )X (αα k + ββ k )X k снова линейная комбинация векторов X i. Мы видим, что множество V всех линейных комбинаций системы векторов X 1, X 2,..., X k обладает свойством X, Y V = αx + βy V для всех α, β R. В частности, нулевой вектор всегда содержится в V. Обычно такое V обозначают символом X 1, X 2,..., X k и называют линейной оболочкой системы векторов X 1, X 2,..., X k. Говорят еще, что оболочка X 1,..., X k натянута на X 1,..., X k или порождена векторами X 1,..., X k. 2

3 Можно определить линейную оболочку любого подмножества S R n, понимая под S совокупность всех линейных комбинаций конечных систем векторов из S. Ясно, что если V линейная оболочка в R n, то V = V : любая линейная комбинация векторов из V принадлежит V. В частности, S V = S V, т. е. линейную оболочку S можно определить как пересечение всех оболочек, содержащих данное множество S векторов из R n : S = V. На первый взгляд не очевидно, что стоящее в правой части выражения пересечение V какого-то множества оболочек будет линейной оболочкой. Но если X, Y V, то X, Y V для каждой оболочки V, входящей в множество. Значит, αx + βy V для всех α, β R, а это и дает нужное включение αx+βy V. Напротив, объединение U V оболочек U и V, вообще говоря, не является оболочкой, как показывает хотя бы пример в R 2. S V U = {(λ, 0) λ R}, V = {(0, λ) λ R} Заметим, что любая линейная оболочка является таким множеством V, состоящим из векторов, что на векторах определена (бинарная) операция сложения и для каждого λ R (унарная) операция умножения на данное число λ, при этом данное множество V с введенными операциями обладает следующими свойствами: 3

4 (1) v, u V v + u = u + v (коммутативность сложения векторов); (2) u, v, w V (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность сложения векторов); (3) 0 V v V 0+v = v (существование нулевого вектора); (4) v V u(= v) V u + v = 0 (существование противоположного вектора); (5) λ, µ R v V (λ + µ)v = λv + µv (дистрибутивность относительно сложения чисел); (6) λ R u, v V λ(u + v) = λu + λv (дистрибутивность относительно сложения векторов); (7) λ, µ R v V (λµ)v = λ(µv) (ассоциативность умножения векторов и чисел); (8) v V 1 v = v (нормирование). Множество (состоящее из векторов) с операциями сложения векторов и умножения векторов на числа называется линейным (векторным) пространством, если оно удовлетворяет выписанным восьми акисомам. Таким образом, любая линейная оболочка системы векторов из R n является линейным пространством. 4

5 Линейная зависимость. Система векторов X 1,..., X k линейного пространства называется линейно зависимой, если найдутся k чисел α 1,..., α k, одновременно равных нулю и таких, что α 1 X α k X k = 0. Будем говорить, что такая линейная зависимость нетривиальна. Если же α 1 X α k X k = 0 = α 1 = = α k = 0, то векторы X 1,..., X k называются линейно независимыми. Рассмотрим в пространстве R n так называемые единичные векторы E 1 = (1, 0,..., 0), E 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., E n = (0, 0,..., 0, 1). Каждый вектор X = (x 1, x 2,..., x n ) однозначно записывается в виде X = x 1 E 1 + x 2 E x n E n. Поэтому R n = E 1, E 2,..., E n. Понятно, что единичные векторы E 1, E 2,..., E n линейно независимы. Один вектор X 0, очевидно, тоже линейно независим. Понятно также, что свойство линейной зависимости/независимости никак не связано с порядком векторов, так как слагаемые α i X i могут переставлены произвольным образом. 5

6 Теорема 1. Имеют место следующие утверждения: (1) система векторов {X 1,..., X k } с линейно зависимой подсистемой сама линейно зависима; (2) любая часть линейно независимой системы векторов {X 1,..., X k } линейно независима; (3) среди линейно зависимой системы векторов хотя бы один является линейной комбинацией остальных; (4) если один из векторов системы выражается через остальные, то система линейно зависима; (5) если векторы X 1,..., X k линейно независимы, а векторы X 1,..., X k, X линейно зависимы, то X линейная комбинация векторов X 1,..., X k ; (6) если векторы X 1,..., X k линейно независимы и вектор X k+1 нельзя через них выразить, то система X 1,..., X k, X k+1 линейно независима. Доказательство. (1) Пусть, например, первые s векторов X 1,..., X s, s < k, линейно зависимы, т. е. α 1 X α s X s = 0, где не все α i равны нулю. Положив тогда α s+1 = = α k = 0, получим нетривиальную линейную зависимость α 1 X α s X s + α s+1 X s α k X k = 0. Утверждение (2) непосредственно следует из (1), рассуждением от противного. 6

7 (3) Пусть, например, α k 0 в соотношении. Тогда (4) Пусть, например, X k = α 1 α k X 1 α k 1 α k X k 1. X k = β 1 X β k 1 X k 1. Положив α 1 = β 1,..., α k 1 = β k 1, α k = 1, придем к нужному соотношению с коэффициентом α k 0. (5) Нетривиальное соотношение β 1 X β k X k + βx = 0 с β 0 дает в силу (3) то, что нужно. Если, однако, β = 0, то β 1 = = β k = 0, поскольку X 1,..., X k по условию линейно независимы. Утверждение (6) непосредственно следует из (5). 7

8 БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ Определение 1. Пусть V ненулевое линейное пространство в R n. Система векторов X 1,..., X r V называется базисом для V (или в V ), если она линейна независима и ее линейная оболочка совпадает с V : X 1,..., X r = V. Из определения базиса и линейной оболочки системы векторов следует, что каждый вектор X V записывается единственным образом в виде X = α 1 X α r X r. Коэффициенты α 1,..., α k R называются координатами вектора X в базисе X 1,..., X r. Как мы уже видели, линейно независимые единичные векторы порождают R n. Значит, {E 1,..., E n } базис пространства R n. Но этот так называемый стандартный базис далеко не единственный базис в R n. Например, векторы E 1 = E 1, E 2 = E 1 + E 2, E 3 = E 1 + E 2 + E 3,..., E n = E 1 + E E n тоже составляют базис пространства R n. С другой стороны, пока не ясно, каждое ли линейное пространство в R n обладает базисом, а если да, то будет ли количество базисных векторов постоянным. 8

9 Ответы на оба вопроса оказываются положительными, рассуждения будут основаны на следующей лемме. Лемма 1 (основная лемма о линейной зависимости). Пусть V линейное пространство в R n, векторы X 1,..., X r порождают V, а Y 1,..., Y s линейно независимая система векторов из V. Тогда s r. Доказательство. Как и все векторы из V, векторы Y 1,..., Y s являются линейными комбинациями базисных векторов. Пусть Y 1 = a 11 X 1 + a 21 X a r1 X r, Y 2 = a 12 X 1 + a 22 X a r2 X r, Y s = a 1s X 1 + a 2s X a rs X r, где a ij какие-то скаляры (являясь координатами векторов Y j, они однозначно определены, но это пока несущественно для нас). Рассуждаем от противного. Предположим, что s > r. Составим линейную комбинацию векторов Y j с коэффициентами x j : x 1 Y x s Y s = = (a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1s x s )X 1 + +(a r1 x 1 +a r2 x 2 + +a rs x s )X r и рассмотрим систему из r линейных уравнений с s неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1s x s = 0, a r1 x 1 + a r2 x a rs x s = 0. 9

10 Так как по предположению s > r, то применимо уже доказанное утверждение, по которому наша система обладает ненулевым решением (x 0 1,..., x 0 s). Мы приходим к нетривиальной линейной зависимости x 0 1Y 1 + x 0 2Y x 0 sy s = 0, наличие которой, однако, противоречит условию леммы. Значит, s r. 10

11 Теорема 2. Каждое ненулевое линейное пространство V R n обладает конечным базисом. Все базисы пространства V состоят из одинакового числа r n векторов (это число называется размерностью пространства V и обозначается dim R V или просто dim V ). Доказательство. В соответствии с условием V содержит хотя бы один ненулевой вектор X 1. Пусть мы нашли в V линейно независимую систему векторов X 1,..., X k. Если линейная оболочка X 1,..., X k не совпадает с V, то выберем в V вектор X k+1 / X 1,..., X k. Другими словами, X k+1 не является линейной комбинацией векторов X 1,..., X k. По предыдущей теореме, пункту (6), система X 1,..., X k, X k+1 оказывается линейно независимой. Мы могли бы продолжать неограниченно процесс расширения линейно независимой системы, но все ее векторы X i лежат в R n = E 1, E 2,..., E n, а по только что доказанной лемме линейно независимая система в R n содержит не более n векторов. Значит, при некотором натуральном r n линейно независимая система X 1,..., X k,..., X r V станет максимальной, то есть мы получим линейно зависимую систему X 1,..., X r, X, каков бы ни был вектор X 0 из V. 11

12 По теореме 1, пункт (5), будем иметь включение Значит, X X 1,..., X r. V = X 1,..., X r, и векторы X 1,..., X r составляют базис для V. Предположим теперь, что Y 1,..., Y s еще один базис для V. По основной лемме о линейной зависимости мы имеет неравенство s r. Поменяв местами системы X 1,..., X r и Y 1,..., Y s, мы получим по той же самой лемме неравенство s r. Значит, s = r и теорема доказана. Итак, с каждым линейным пространством V в R n ассоциируется целое положительное число r n, которое мы назвали ее размерностью: r = dim V. Этот важный числовой параметр пространства можно характеризовать разными другими способами. Один из вариантов определения размерности основан на понятии ранга система векторов. Именно, если {X 1, X 2,... } какая-то, возможно, бесконечная, система векторов в пространстве R n, то, как мы знаем, размерность линейной оболочки X 1,... не превосходит n. Ее называют рангом системы {X 1, X 2,... }: rank {X 1, X 2,... } = dim X 1, X 2,.... В случае V = {0} принято считать dim V = 0. 12

13 Определение 2. Линейная оболочка U V называется суммой подпространств U и V : U + V = U V = U V = {u + v u U, v V }. Если U V = 0, то говорят, что сумма U + V прямая, и пишут U V. Пусть V = V 1 V 2 и X = X 1 + X 2 = X 1 + X 2 два выражения вектора X V в виде линейной комбинации векторов X 1, X 1 V 1 и X 2, X 2 V 2. Тогда имеем X 1 X 1 = X 2 X 2 V 1 V 2, а так как V 1 V 2 = 0, то X 1 = X 1, X 2 = X 2. Если запись X = X 1 + X 2, X 1 V 1, X 2 V 2, единственна для каждого вектора X V, то сумма V = V 1 + V 2 прямая. Сумма V подпространств V 1,..., V k R n называется прямой суммой V = V 1 V k, если каждый вектор X V имеет однозначное выражение вида X = X X k, X i V i. 13


7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что

U+V. Для любых u U и v V существуют a 1,..., a k, b 1,..., b m F 2 такие, что ЛЕКЦИЯ 2. Операции с подпространствами, число базисов число базисов и число подпространств размерности k. Основные результаты Лекции 2. 1) U V, U + V, dim(u + V ). 2) Подсчет числа плоскостей в F 4 2.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2.

ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. КУРС АЛГЕБРЫ-1 в НИУ ВШЭ (осень 2017) Валерий Алексеевич Гриценко ЛЕКЦИЯ 1. Линейные подпространства в F n 2. Основные результаты Лекции 1. Каждое подпространство F n 2 содержит 2k векторов, где 0 k n.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства ГЛАВА V. Линейные пространства Лекция 9 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 9 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R линейное (векторное)

Подробнее

Действия с направленными отрезками

Действия с направленными отрезками Тема 0. Направленные отрезки. Операции с направленными отрезками: сравнение, сложение и умножение на число. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Изоморфизм линейных пространств, матрица перехода в другой базис Раздел электронного учебника для

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.2 Аннотация Линейное подпространство, его свойства и примеры. Линейная оболочка, ее свойства

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.2

Линейная алгебра. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ ЛЕКЦИЯ 15 КОЛЬЦА ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ 1 КОЛЬЦА Определение 1. Пусть K непустое множество, на котором заданы две бинарные операции + (сложение) и (умножение), удовлетворяющие следующим свойствам: (1)

Подробнее

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим . ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ (ГИПЕРПЛОСКОСТЬ) Определение: Назовем подмножество векторов пространства линейным многообразием (или гиперплоскостью), полученным путем сдвига подпространства L на вектор х, если

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции)

НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ЛЕКЦИЯ 12 НЕБОЛЬШАЯ ПОДГОТОВКА К КОЛЛО- КВИУМУ (нет в тексте лекции) ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦАХ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА Определение 1. Множество R с операциями сложения + и умножения называется

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Линейное пространство ЛЕКЦИЯ 1

Линейное пространство ЛЕКЦИЯ 1 Линейное пространство ЛЕКЦИЯ 1 Векторы в трёхмерном пространстве Векторы можно складывать по правилу параллелограмма Вектор можно умножить на число Умножение на 1 не изменяет вектор 1 l = l, числа можно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

УДК О.М. Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ УДК 5254 ОМ Катеринчук К-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ В работе вводятся понятия K-больших и обобщенно K-больших абелевых групп В п и п 2 рассматриваются их основные свойства связи между

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z =

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z = 2. Общие линейные и евклидовы пространства Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Задачи по линейной алгебре 1

Задачи по линейной алгебре 1 Задачи по линейной алгебре А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 9 августа г. c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 4.4 Оглавление Линейные пространства

Подробнее

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 13 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУППЫ ИЗ 12 ЭЛЕМЕНТОВ ПОНЯТИЕ КОЛЬЦА 1 ГРУППЫ ИЗ 8 ЭЛЕМЕНТОВ Теорема 1 (классификация групп из 8 элементов). Любая группа из 8 элементов изоморфна

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 17 ПОЛЯ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЕЙ СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОЛЯ РАЗ- ЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример 2. Для каждого простого числа

Подробнее

Алгебра. Содержание. Дмитрий Абрамов. 18 февраля 2017 г. 1. Лекция Линейная алгебра... 1

Алгебра. Содержание. Дмитрий Абрамов. 18 февраля 2017 г. 1. Лекция Линейная алгебра... 1 Алгебра Дмитрий Абрамов 18 февраля 2017 г Содержание 1 Лекция 1 1 11 Линейная алгебра 1 1 Лекция 1 11 Линейная алгебра Замечание K - поле Определение 11 Линейное уравнение: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x

Подробнее

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств

Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Лекция 3. Операции над вещественными числами 1 Напоминание материала лекции 2 2 Сумма и произведение

Лекция 3. Операции над вещественными числами 1 Напоминание материала лекции 2 2 Сумма и произведение Лекция 3. Операции над вещественными числами 1 Напоминание материала лекции 2 2 Сумма и произведение Определение 1 Чтобы сложить (перемножить) действительные числа, нужно сложить (перемножить) соответствующие

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Линейная алгебра и функции многих переменных

Линейная алгебра и функции многих переменных Линейная алгебра и функции многих переменных В. С. Булдырев Б. С. Павлов 9 февраля 22 г. 2 Часть I Линейная алгебра 3 Глава 1 Линейное пространство Эта глава служит введением в теорию линейных пространств.

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее